Вычислим энергию заряженного конденсатора. Пусть первоначально обкладки конденсатора не заряжены. Будем переносить положительный (ил отрицательный) заряд малыми порциями с одной обкладки на другую. Для переноса необходимо совершить работу против электрического поля;
,
где - мгновенное значение разности потенциалов между обкладками. Эта работа полностью идет на увеличение электрической энергии конденсатора
.
Интегрируя, получим
.
Энергия взаимодействия точечных зарядов получается при переносе их из бесконечности в то место, где они расположены. Получается формула
,
где штрих при потенциале означает, что при его расчете учитываются все заряды, кроме того, на который они действуют. Для непрерывно распределенных зарядов получается интеграл по объему, занимаемому зарядами
,
где - объемная плотность зарядов.
Так как электрическое поле конденсатора сконцентрировано внутри и однородно, то можно считать, что энергия поля тоже распределена внутри конденсатора. Если разделить вычисленную энергию на объем 
, где - площадь обкладки, то получится объемная плотность энергии
.
Можно показать, что эта формула верна при любой конфигурации электрического поля.
Электромагнитная индукция
Электромагнитная индукция была открыта Фарадеем в 1831 г. Для демонстрации этого явления возьмем неподвижный магнит и проволочную катушку, концы которой соединены с гальванометром. Если катушку приближать к одному из полюсов магнита, то во время движения стрелка гальванометра отклоняется - в катушке возбуждается электрический ток. При движении катушки в обратном направлении направление тока меняется на противоположное. Магнит можно заменить другой катушкой с током или электромагнитом. Этот ток называется индукционным током, а само явление - электромагнитной индукцией.
Возбуждение электрического тока при движении проводника в магнитном поле объясняется действием силы Лоренца, возникающей при движении проводника. Рассмотрим простейший случай, когда два параллельных провода и помещены в постоянное однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости рисунка и направленное на нас. (см. рис.) Слева провода и замкнуты, справа - разомкнуты. Вдоль проводов свободно движется проводящий мостик . Когда мостик движется вправо со скоростью , вместе с ним движутся электроны и положительные ионы. На каждый движущийся заряд в магнитном поле действует сила Лоренца 
. На положительный ион она действует вниз, на отрицательный электрон - вверх. Электроны начнут перемещаться вверх и там будет скапливаться отрицательный заряд, внизу останется больше положительных ионов. То есть положительные и отрицательные заряды разделяются, возникает электрическое поле вдоль мостика, и потечет ток. Этот ток называется индукционным. Ток потечет и в других частях контура 
. На рисунке токи изображены сплошными стрелками.
Возникает напряженность стороннего поля, равная 
.Электродвижущая сила, создаваемая этим полем, называется электродвижущей силой индукции и обозначается . В рассматриваемом случае 
, где - длина мостика. Знак минус поставлен потому, что стороннее поле направлено против положительного обхода контура, определяемого вектором по правилу правого винта. Величина есть приращение площади контура 
в единицу времени. Поэтому равна 
, т.е. скорости приращения магнитного потока, пронизывающего площадь контура . Таким образом,
.
К этой формуле необходимо добавить правило, которое позволяет быстро определять направление индукционного тока. Оно носит название правило Ленца и гласит: Индукционный ток всегда имеет такое направление, что его собственное магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, его вызывающего.
Возникающий в проводнике ток исчезает потому, что существует сопротивление. Если бы сопротивления не было, то раз возникнув, ток продолжался бесконечно долго. Такие условия встречаются в сверхпроводниках. Кроме этого, закон электромагнитной индукции позволяет объяснить диамагнетизм в атомах и молекулах. Магнитное поле возникшего дополнительного тока направлено в сторону, противоположную внешнему полю. И так как сопротивления в молекулах нет, то оно не исчезает.
Магнитный поток
После предварительного рассмотрения сформулируем закон в общем виде. Как и в случае электрического поля можно ввести поток индукции магнитного поля:
.
Здесь - площадь контура, через который проходит магнитное поле, - нормаль к площадке, ограниченной контуром. Скалярное произведение может быть заменено на 
, где - угол между направлениями вектора индукции и нормалью. Если магнитная индукция меняется по величине и направлению, то формула для потока переходит в следующую
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ.
Электрический заряд q - физическая величина, определяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия.
[q] = l Кл (Кулон).
Атомы состоят из ядер и электронов. В состав ядра входят положительно заряженные протоны и не имеющие заряда нейтроны. Электроны несут отрицательный заряд. Количество электронов в атоме равно числу протонов в ядре, поэтому в целом атом нейтрален.
Заряд любого тела: q = ±Ne , где е = 1,6*10 -19 Кл - элементарный или минимально возможный заряд (заряд электрона), N - число избыточных или недостающих электронов. В замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов остается постоянной:
q 1 + q 2 + … + q n = const.
Точечный электрический заряд - заряженное тело, размеры которого во много раз меньше расстояния до другого наэлектризованного тела, взаимодействующего с ним.
Закон Кулона
Два неподвижных точечных электрических заряда в вакууме взаимодействуют с силами, направленными по прямой, соединяющей эти заряды; модули этих сил прямо пропорциональны произведению зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:
Коэффициент пропорциональности
где - электрическая постоянная.
где 12 - сила, действующая со стороны второго заряда на первый, а 21 - со стороны первого на второй.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ
Факт взаимодействия электрических зарядов на расстоянии можно объяснить наличием вокруг них электрического поля - материального объекта, непрерывного в пространстве и способного действовать на другие заряды.
Поле неподвижных электрических зарядов называют электростатическим.
Характеристикой поля является его напряженность.
Напряженность электрического поля в данной точке - это вектор, модуль которого равен отношению силы, действующей на точечный положительный заряд, к величине этого заряда, а направление совпадает с направлением силы.
Напряженность поля точечного заряда Q на расстоянии r от него равна
Принцип суперпозиции полей
Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей каждого из зарядов системы:
Диэлектрическая проницаемость среды равна отношению напряженностей поля в вакууме и в веществе:
Она показывает во сколько раз вещество ослабляет поле. Закон Кулона для двух точечных зарядов q и Q , расположенных на расстоянии r в среде c диэлектрической проницаемостью:
Напряженность поля на расстоянии r от заряда Q равна
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРО-СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Между двумя большими пластинами, заряженными противоположными знаками и расположенными параллельно, поместим точечный заряд q .
Так как электрическое поле между пластинами с напряженностью однородное, то на заряд во всех точках действует сила F = qE , которая при перемещении заряда на расстояние вдоль совершает работу
Эта работа не зависит от формы траектории, то есть при перемещении заряда q вдоль произвольной линии L работа будет такой же.
Работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории, а определяется исключительно начальным и конечным состояниями системы. Она, как и в случае с полем сил тяжести, равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:
Из сравнения с предыдущей формулой видно, что потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле равна:
Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня и поэтому сама по себе не имеет глубокого смысла.
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЕ
Потенциальным называется поле, работа которого при переходе из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории. Потенциальными являются поле силы тяжести и электростатическое поле.
Работа, совершаемая потенциальным полем, равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с противоположным знаком:
Потенциал - отношение потенциальной энергии заряда в поле к величине этого заряда:
Потенциал однородного поля равен
где d - расстояние, отсчитываемое от некоторого нулевого уровня.
Потенциальная энергия взаимодействия заряда q с полем равна .
Поэтому работа поля по перемещению заряда из точки с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 составляет:
Величина называется разностью потенциалов или напряжением.
Напряжение или разность потенциалов между двумя точками - это отношение работы электрического поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную к величине этого заряда:
[U]=1Дж/Кл=1В
НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ И РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ
При перемещении заряда q вдоль силовой линии электрического поля напряженностью на расстояние Δ d поле совершает работу
Так как по определению, то получаем:
Отсюда и напряженность электрического поля равна
Итак, напряженность электрического поля равна изменению потенциала при перемещении вдоль силовой линии на единицу длины.
Если положительный заряд перемещается в направлении силовой линии, то направление действия силы совпадает с направлением перемещения, и работа поля положительна:
Тогда , то есть напряженность направлена в сторону убывания потенциала.
Напряженность измеряют в вольтах на метр:
[E]=1 B/м
Напряженность поля равна 1 В/м, если напряжение между двумя точками силовой линии, расположенными на расстоянии 1 м, равна 1 В.
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
Если независимым образом измерять заряд Q , сообщаемый телу, и его потенциал φ, то можно обнаружить, что они прямо пропорциональны друг другу:
Величина С характеризует способность проводника накапливать электрический заряд и называется электрической емкостью. Электроемкость проводника зависит от его размеров, формы, а также электрических свойств среды.
Электроёмкостъ двух проводников - отношение заряда одного из них к разности потенциалов между ними:
Емкость тела равно 1 Ф , если при сообщении ему заряда 1 Кл оно приобретает потенциал 1 В.
КОНДЕНСАТОРЫ
Конденсатор - два проводника, разделенные диэлектриком, служащие для накопления электрического заряда. Под зарядом конденсатора понимают модуль заряда одной из его пластин или обкладок.
Способность конденсатора накапливать заряд характеризуется электроемкостью, которая равна отношению заряда конденсатора к напряжению:
Емкость конденсатора равна 1 Ф, если при напряжении 1 В его заряд равен 1 Кл.
Емкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин S , диэлектрической проницаемости среды, и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами d :
ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО КОНДЕНСАТОРА.
Точные эксперименты показывают, что W=CU 2 /2
Так как q = CU , то
Плотность энергии электрического поля
где V = Sd - объем, занимаемый полем внутри конденсатора. Учитывая, что емкость плоского конденсатора
а напряжение на его обкладках U=Ed
получаем:
Пример. Электрон, двигаясь в электрическом поле из точки 1 через точку 2, увеличил свою скорость от 1000 до 3000 км/с. Определите разность потенциалов между точками 1 и 2.
Вычислим энергию заряженного конденсатора. Пусть первоначально обкладки конденсатора не заряжены. Будем переносить положительный (ил отрицательный) заряд малыми порциями с одной обкладки на другую. Для переноса необходимо совершить работу против электрического поля; 
, где - мгновенное значение разности потенциалов между обкладками. Эта работа полностью идет на увеличение электрической энергии конденсатора 
.
Интегрируя, получим 
.
Энергия взаимодействия точечных зарядов получается при переносе их из бесконечности в то место, где они расположены. Получается формула 
, где штрих при потенциале означает, что при его расчете учитываются все заряды, кроме того, на который они действуют. Для непрерывно распределенных зарядов получается интеграл по объему, занимаемому зарядами 
, где - объемная плотность зарядов.
Так как электрическое поле конденсатора сконцентрировано внутри и однородно, то можно считать, что энергия поля тоже распределена внутри конденсатора. Если разделить вычисленную энергию на объем 
, где - площадь обкладки, то получится объемная плотность энергии
.
Можно показать, что эта формула верна при любой конфигурации электрического поля.
Электромагнитная индукция
Электромагнитная индукция была открыта Фарадеем в 1831 г. Для демонстрации этого явления возьмем неподвижный магнит и проволочную катушку, концы которой соединены с гальванометром. Если катушку приближать к одному из полюсов магнита, то во время движения стрелка гальванометра отклоняется - в катушке возбуждается электрический ток. При движении катушки в обратном направлении направление тока меняется на противоположное. Магнит можно заменить другой катушкой с током или электромагнитом. Этот ток называется индукционным током, а само явление - электромагнитной индукцией.
Возбуждение электрического тока при движении проводника в магнитном поле объясняется действием силы Лоренца, возникающей при движении проводника. Рассмотрим простейший случай, когда два параллельных провода и помещены в постоянное однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости рисунка и направленное на нас. (см. рис.) Слева провода и замкнуты, справа - разомкнуты. Вдоль проводов свободно движется проводящий мостик . Когда мостик движется вправо со скоростью , вместе с ним движутся электроны и положительные ионы. На каждый движущийся заряд в магнитном поле действует сила Лоренца 
. На положительный ион она действует вниз, на отрицательный электрон - вверх. Электроны начнут перемещаться вверх и там будет скапливаться отрицательный заряд, внизу останется больше положительных ионов. То есть положительные и отрицательные заряды разделяются, возникает электрическое поле вдоль мостика, и потечет ток. Этот ток называется индукционным. Ток потечет и в других частях контура 
. На рисунке токи изображены сплошными стрелками.
Возникает напряженность стороннего поля, равная 
.Электродвижущая сила, создаваемая этим полем, называется электродвижущей силой индукции и обозначается . В рассматриваемом случае 
, где - длина мостика. Знак минус поставлен потому, что стороннее поле направлено против положительного обхода контура, определяемого вектором по правилу правого винта. Величина есть приращение площади контура 
в единицу времени. Поэтому равна 
, т.е. скорости приращения магнитного потока, пронизывающего площадь контура . Таким образом, 
. К этой формуле необходимо добавить правило, которое позволяет быстро определять направление индукционного тока. Оно носит название правило Ленца и гласит: Индукционный ток всегда имеет такое направление, что его собственное магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, его вызывающего.
Возникающий в проводнике ток исчезает потому, что существует сопротивление. Если бы сопротивления не было, то раз возникнув, ток продолжался бесконечно долго. Такие условия встречаются в сверхпроводниках. Кроме этого, закон электромагнитной индукции позволяет объяснить диамагнетизм в атомах и молекулах. Магнитное поле возникшего дополнительного тока направлено в сторону, противоположную внешнему полю. И так как сопротивления в молекулах нет, то оно не исчезает.
Магнитный поток
Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная
где Вn - В cos a - проекция вектора В на направление нормали к площадке dS (а - угол между векторами n и В); dS - вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали n к площадке.
Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos а (определяется выбором положительного направления нормали n). Поток вектора B связывают с контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление нормали к контуру связывается с током правилом правого винта. Следовательно, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность ограниченную им самим, всегда положителен.
Пусть одно тело создает в окружающем пространстве поле Е, а другое поле Е2
Результирующее поле Е=Е+Е2 и квадрат этой величины
Полная энергия в данной системе равна сумме трех интегралов
Первые два интеграла представляют собой собственную энергию первого и второго заряженных тел, последний интеграл энергию их взаимодействия W 12 из формулы следует.
1. Собственная энергия каждого заряженного тела величина положительная. Положительной является всегда и полная энергия, Энергия же взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной.
2. При всех возможных перемещениях заряженных тел собственная энергия тел остается поэтому её можно считать аддитивной постоянной в выражении для полной энергии W 1,2 В частности, именно так ведет себя энергия системы двух точечных зарядов при изменении расстояния между ними
3. В отличие от вектора Е энергия электрического поля-величина не аддитивная, т.е.
Энергия поля Е является суммой Е1 и Е2 не равна сумме энергий обоих полит из-за взаимной энергии W1 ,2 При возрастании Е в н раз энергия поля увеличивается в н ра3
Силы при наличии диэлектрика э
Опыт показывает, что на диэлектрик в электрическом поле действуют силы (их, иногда называют пондеромоторными) причиной их возникновения является действия неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика. Под действием пондеромоторных сил поляризованный диэлектрик деформируется. Это явление называют электрострикцией. Вследствие электрострикции в диэлектрике возникают механическое напряжения. Во многих случаях эти силы можно вычислить с помощью закона сокращения энергии.
Электрический метод определения сил
В Случае когда заряженные проводника отключены от источников напряжения, заряды на проводниках остаются постоянными. Работа А перемещение проводников и диэлектриков совершается целиком за счет убыли электрической энергии W системы или её поля.
Для бесконечно малых перемещений можно записать
Символ –q показывает что убыль энергии системы должна быть вычислена при постоянных зарядов на проводах.
При бесконечно малом поступательном перемещении dx этого тела в направлении работа искомой силы F на перемещении d x
Где Fx – проекция силы F на положительное направление оси Х после подстановки в выратени для SA и делится на dx получили
Если перемещения происходят при постоянном потенциале на проводниках то
Электрическая энергия Из курса механики известно, что тела, взаимодействующие посредством гравитационных сил, обла дают потенциальной энергией. Закон Кулона для взаимодействия электрически заряженных тел имеет такую же математическую форму, что и закон всемирного тяготения. Отсюда можно сделать вывод, что система заряженных тел также обладает потенциальной энергией. Эго означает, что система заряженных тел способна соьершить определенную работу.
Например, такая работа совершается при отталкивании заряженных листочков электроскопа друг от друга.
Потенциальную энергию заряженных тел называют электрической или кулоновской.
Энергия взаимодействия электронов с ядром в атоме и энергия взаимодействия атомов друг с другом в молекулах (химиче ская энергия) это в основном электрическая энергия. Огромная электрическая энергия запасена внутри атомного ядра. Именно за счет этой энергии выделяется теплота при работе ядерного реактора атомной электростанции.
С точки зрения теории близкодействия на заряд непосредственно действуют не другие заряды, а созданное ими электрическое поле При перемещении заряда именно действующая на него со стороны поля сила совершает работу. (В дальнейшем для краткости мы будем говорить о работе поля.) Поэтому можно говорить не только об энергии системы заряженных частиц, но и о потенциальной энергии отдельного заряженного тела в электрическом поле.
Найдем потенциальную энергию заряда в однородном электрическом поле.
Работа при перемещении заряда в однородном поле. Однородное поле создают, например, большие металлические пластины, имеющие заряды противоположного знака. Это поле действует на заряд с постоянной силой подобно тому как Земля действует с постоянной силой на камень вблизи ее поверхности. Пусть пластины расположены вертикально (рис 124), причем левая пластина В заряжена отрицательно, а правая положительно. Вычислим работу, совершаемую полем при перемещении заряда из точки 1, находящейся на расстоянии от пластины В, в точку 2, расположенную на расстоянии от той же пластины. Точки 1 и 2 лежат на одной силовой линии.
На участке пути электрическое поле совершит работу:
Эта работа не зависит от формы траектории.
Соответствующее доказательство для постоянной силы тяжести приведено в учебнике физики для VIII класса и повторять его для постоянной силы нет необходимости. Здесь существен только факт постоянства силы, но не ее происхождение.
Потенциальная энергия. Если работа не зависит от формы траектории движения тела, то она равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком. (Об
этом подробно говорилось в курсе физики VIII класса.) Действительно,
Потенциальная энергия заряда в однородном электрическом поле на расстоянии от пластины.
Формула (8.19) подобна формуле для потенциальной энергии тела над поверхностью Земли. Но заряд в отличие от массы может быть как положительным, так и отрицательным. Если то потенциальная энергия (8.19) отрицательна.
Если поле совершает положительную работу, то потенциальная энергия заряженного тела в поле уменьшается: Одновременно согласно закону сохранения энергии растет его кинетическая энергия. На этом основано ускорение электронов электрическим полем в электронных лампах, телевизионных трубках и т.д. Наоборот, если работа отрицательна (например, при движении положительно заряженной частицы в направлении, противоположном направлению напряженности Е; это движение подобно движению камня, брошенного вверх), то Потенциальная энергия растет, а кинетическая энергия уменьшается: частица тормозится.
На замкнутой траектории, когда заряд возвращается в начальную точку работа поля равна нулю:
Нулевой уровень потенциальной энергии. Потенциальная энергия (8.19) равна нулю на поверхности пластины В. Это означает, что нулевой уровень потенциальной энергии совпадает с пластиной В. Но, как и в случае сил тяготения, нулевой уровень потенциальной энергии выбирают произвольно. Можно считать, что на расстоянии от пластины В. Тогда
Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений, определяемая работой поля при перемещении заряда из начального положения в конечное.
