Inégalités irrationnelles de l'analyse des solutions à l'examen. Des inégalités irrationnelles

Dans cette leçon, nous examinerons la résolution d’inégalités irrationnelles et donnerons divers exemples.

Sujet : Équations et inégalités. Systèmes d'équations et d'inégalités

Leçon:Des inégalités irrationnelles

Lorsqu’on résout des inégalités irrationnelles, il est bien souvent nécessaire d’élever dans une certaine mesure les deux côtés de l’inégalité ; Rappelons les caractéristiques.

Les deux côtés de l’inégalité peuvent être mis au carré s’ils sont tous deux non négatifs, ce n’est qu’alors que nous obtenons une vraie inégalité à partir d’une vraie inégalité.

Les deux côtés de l’inégalité peuvent dans tous les cas être cubiques ; si l’inégalité d’origine était vraie, alors une fois cubique, nous obtenons l’inégalité correcte.

Considérons une inégalité de la forme :

L'expression radicale doit être non négative. La fonction peut prendre n'importe quelle valeur ; deux cas doivent être considérés.

Dans le premier cas, les deux côtés de l’inégalité sont non négatifs, on a le droit de la mettre au carré. Dans le second cas, le membre de droite est négatif et nous n’avons pas le droit de le mettre au carré. Dans ce cas, il faut regarder le sens de l'inégalité : ici l'expression positive (racine carrée) est plus grande que l'expression négative, ce qui signifie que l'inégalité est toujours satisfaite.

Nous avons donc le schéma de solution suivant :

Dans le premier système, on ne protège pas séparément l’expression radicale, puisque lorsque la seconde inégalité du système est satisfaite, l’expression radicale doit automatiquement être positive.

Exemple 1 - résoudre l'inégalité :

D'après le schéma, on passe à un ensemble équivalent de deux systèmes d'inégalités :

Illustrons :

Riz. 1 - illustration de la solution de l'exemple 1

Comme nous le voyons, lorsque nous nous débarrassons de l'irrationalité, par exemple lors de la mise au carré, nous obtenons un ensemble de systèmes. Parfois, cette conception complexe peut être simplifiée. Dans l'ensemble résultant, on a le droit de simplifier le premier système et d'obtenir un ensemble équivalent :

En tant qu’exercice indépendant, il est nécessaire de prouver l’équivalence de ces ensembles.

Considérons une inégalité de la forme :

Comme pour l’inégalité précédente, nous considérons deux cas :

Dans le premier cas, les deux côtés de l’inégalité sont non négatifs, on a le droit de la mettre au carré. Dans le second cas, le membre de droite est négatif et nous n’avons pas le droit de le mettre au carré. Dans ce cas, il faut regarder le sens de l'inégalité : ici l'expression positive (racine carrée) est inférieure à l'expression négative, ce qui signifie que l'inégalité est contradictoire. Il n'est pas nécessaire de considérer le deuxième système.

Nous avons un système équivalent :

Parfois, des inégalités irrationnelles peuvent être résolues graphiquement. Cette méthode est applicable lorsque les graphiques correspondants peuvent être construits assez facilement et que leurs points d'intersection peuvent être trouvés.

Exemple 2 - résoudre graphiquement les inégalités :

UN)

Nous avons déjà résolu la première inégalité et connaissons la réponse.

Pour résoudre graphiquement les inégalités, vous devez construire un graphique de la fonction du côté gauche et un graphique de la fonction du côté droit.

Riz. 2. Graphiques de fonctions et

Pour représenter graphiquement une fonction, il faut transformer la parabole en parabole (la refléter par rapport à l'axe des y) et décaler la courbe résultante de 7 unités vers la droite. Le graphique confirme que cette fonction décroît de façon monotone dans son domaine de définition.

Le graphique d’une fonction est une ligne droite et est facile à construire. Le point d'intersection avec l'axe y est (0;-1).

La première fonction diminue de façon monotone, la seconde augmente de manière monotone. Si l'équation a une racine, alors c'est la seule ; il est facile de la deviner à partir du graphique : .

Lorsque la valeur de l’argument est inférieure à la racine, la parabole est au dessus de la droite. Lorsque la valeur de l’argument est comprise entre trois et sept, la droite passe au-dessus de la parabole.

Nous avons la réponse :

Une méthode efficace pour résoudre les inégalités irrationnelles est la méthode des intervalles.

Exemple 3 - résoudre les inégalités en utilisant la méthode des intervalles :

UN)

Selon la méthode des intervalles, il est nécessaire de s'éloigner temporairement des inégalités. Pour ce faire, déplacez tout dans l'inégalité donnée vers la gauche (obtenez zéro à droite) et introduisez une fonction égale au côté gauche :

Nous devons maintenant étudier la fonction résultante.

ODZ :

Nous avons déjà résolu cette équation graphiquement, nous ne nous attardons donc pas sur la détermination de la racine.

Il faut maintenant sélectionner des intervalles de signe constant et déterminer le signe de la fonction sur chaque intervalle :

Riz. 3. Intervalles de constance de signe par exemple 3

Rappelons que pour déterminer les signes sur un intervalle, il faut prendre un point d'essai et le substituer dans la fonction, la fonction conservera le signe résultant pendant tout l'intervalle ;

Vérifions la valeur au point limite :

La réponse est évidente :

Considérons les types d’inégalités suivants :

Tout d'abord, écrivons l'ODZ :

Les racines existent, elles sont non négatives, on peut mettre les deux côtés au carré. On obtient :

Nous avons un système équivalent :

Le système résultant peut être simplifié. Lorsque les deuxième et troisième inégalités sont satisfaites, la première est automatiquement vraie. Nous avons::

Exemple 4 - résoudre l'inégalité :

Nous agissons selon le schéma - nous obtenons un système équivalent.

Toute inégalité qui inclut une fonction sous la racine est appelée irrationnel. Il existe deux types de telles inégalités :

Dans le premier cas, la racine est inférieure à la fonction g(x), dans le second elle est supérieure. Si g(x) - constante, l'inégalité est grandement simplifiée. Attention : extérieurement, ces inégalités sont très similaires, mais leurs schémas de solution sont fondamentalement différents.

Aujourd'hui, nous allons apprendre à résoudre les inégalités irrationnelles du premier type - ce sont les plus simples et les plus compréhensibles. Le signe d'inégalité peut être strict ou non strict. La déclaration suivante est vraie pour eux :

Théorème. Toute inégalité irrationnelle de la forme

Équivalent au système des inégalités :

Pas faible ? Voyons d'où vient ce système :

f (x) ≤ g 2 (x) - tout est clair ici. C'est l'inégalité originale au carré ;
f (x) ≥ 0 est l'ODZ de la racine. Je vous le rappelle : la racine carrée arithmétique n'existe qu'à partir de non négatif Nombres;
g(x) ≥ 0 est la plage de la racine. En réduisant les inégalités au carré, nous brûlons les aspects négatifs. En conséquence, des racines supplémentaires peuvent apparaître. L'inégalité g(x) ≥ 0 les coupe.

De nombreux étudiants « s'accrochent » à la première inégalité du système : f (x) ≤ g 2 (x) - et oublient complètement les deux autres. Le résultat est prévisible : mauvaise décision, points perdus.

Puisque les inégalités irrationnelles sont un sujet assez complexe, regardons 4 exemples à la fois. Du basique au très complexe. Tous les problèmes sont issus des examens d'entrée à l'Université d'État de Moscou. M. V. Lomonossov.

Exemples de résolution de problèmes

Tâche. Résoudre l'inégalité :

Devant nous se trouve un classique inégalité irrationnelle: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 est une constante. Nous avons:

Sur les trois inégalités, seules deux subsistent à la fin de la solution. Parce que l’inégalité 2 ≥ 0 est toujours vraie. Traversons les inégalités restantes :