Réduction à un indicateur racine. Racines multiplicatrices : règles de base

Racinen-ème degré et ses propriétés fondamentales

Degré nombre réel UN avec indicateur naturel n il y a un travail n facteurs dont chacun est égal UN:

a1 = une; a2 =a·a; UN n =

Par exemple,

25 = 2 2 2 2 2 = 32,

5 fois

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.

4 fois

Nombre réel UN appelé la base du diplôme, et l'entier naturel n est exposant.

Les propriétés de base des puissances à exposants naturels découlent directement de la définition : puissance d'un nombre positif avec n'importe quel n e N positif; La puissance d’un nombre négatif à exposant pair est positive, à exposant impair elle est négative.

Par exemple,

(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.

Les actions avec diplômes sont réalisées comme suit : règles.

1. Pour multiplier des puissances de mêmes bases, il suffit d'ajouter les exposants et de laisser la base la même, c'est-à-dire

Par exemple, p5∙ p3 = p5+3 =p8

2. Pour diviser des puissances avec les mêmes bases, il suffit de soustraire l'exposant du diviseur de l'indice du dividende et de laisser la base la même, c'est-à-dire

https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">

2. Pour élever un degré à une puissance, il suffit de multiplier les exposants en laissant la base la même, c'est-à-dire

(ap)m = à·p. Par exemple, (23)2 = 26.

4. Pour élever un produit à une puissance, il suffit d'élever chaque facteur à cette puissance et de multiplier les résultats, c'est-à-dire

(UN b)p= ap∙bn.

Par exemple, (2à3)2= 4y6.

5. Pour élever une fraction à une puissance, il suffit d'élever séparément le numérateur et le dénominateur à cette puissance et de diviser le premier résultat par le second, c'est-à-dire

https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">

A noter qu'il est parfois utile de lire ces formules de droite à gauche. Dans ce cas, elles deviennent des règles. Par exemple, dans le cas 4, apvp= (av)p on obtient la règle suivante : à pour multiplier des puissances avec les mêmes exposants, il suffit de multiplier les bases en laissant l'exposant le même.

L'utilisation de cette règle est efficace, par exemple, pour calculer le produit suivant

(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.

Donnons maintenant la définition d'une racine.

racine nième d'un nombre réel UN j'ai appelé un vrai numéro X, dont la nième puissance est égale à UN.

Évidemment, conformément aux propriétés fondamentales des puissances à exposants naturels, à partir de tout nombre positif, il existe deux valeurs opposées de la racine d'une puissance paire, par exemple, les nombres 4 et -4 sont des racines carrées de 16, puisque ( -4)2 = 42 = 16, et les nombres 3 et -3 sont les quatrièmes racines de 81, puisque (-3)4 = 34 = 81.

De plus, il n’existe pas de racine paire d’un nombre négatif, puisque la puissance paire de tout nombre réel est non négative. Quant à la racine impaire, pour tout nombre réel, il n’existe qu’une seule racine impaire de ce nombre. Par exemple, 3 est la troisième racine de 27, puisque 33 = 27, et -2 est la cinquième racine de -32, puisque (-2)5 = 32.

En raison de l’existence de deux racines paires d’un nombre positif, nous introduisons la notion de racine arithmétique pour éliminer cette ambiguïté de la racine.

La valeur non négative de la nième racine d'un nombre non négatif est appelée racine arithmétique.

Par exemple, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.

Il ne faut pas oublier que lors de la résolution d’équations irrationnelles, leurs racines sont toujours considérées comme arithmétiques.

Notons la propriété principale de la nième racine.

La taille de la racine ne changera pas si les indicateurs de la racine et le degré de l'expression radicale sont multipliés ou divisés par le même nombre naturel, c'est-à-dire

Exemple 7. Réduire à un dénominateur commun et

Salutations, chats ! La dernière fois, nous avons discuté en détail de ce que sont les racines (si vous ne vous en souvenez pas, je vous recommande de le lire). Le principal point à retenir de cette leçon : il n’existe qu’une seule définition universelle des racines, et c’est ce que vous devez savoir. Le reste n’a aucun sens et c’est une perte de temps.

Aujourd'hui, nous allons plus loin. Nous apprendrons à multiplier les racines, nous étudierons certains problèmes associés à la multiplication (si ces problèmes ne sont pas résolus, ils peuvent alors devenir fatals à l'examen) et nous pratiquerons correctement. Alors faites le plein de pop-corn, installez-vous confortablement et commençons :)

Vous ne l’avez pas encore fumé non plus, n’est-ce pas ?

La leçon s'est avérée assez longue, je l'ai donc divisée en deux parties :

1. Nous examinerons d’abord les règles de multiplication. Cap semble faire allusion : c'est lorsqu'il y a deux racines, entre elles il y a un signe « multiplier » - et nous voulons en faire quelque chose.
2. Regardons ensuite la situation inverse : il existe une grande racine, mais nous avions hâte de la représenter comme le produit de deux racines plus simples. Pourquoi est-ce nécessaire, c'est une question distincte. Nous analyserons uniquement l'algorithme.

Pour ceux qui ont hâte de passer immédiatement à la deuxième partie, vous êtes les bienvenus. Commençons par le reste dans l'ordre.

Règle de base de multiplication

Commençons par la chose la plus simple : les racines carrées classiques. Les mêmes qui sont notés $\sqrt(a)$ et $\sqrt(b)$. Tout est évident pour eux :

Règle de multiplication. Pour multiplier une racine carrée par une autre, il suffit de multiplier leurs expressions radicales et d'écrire le résultat sous le radical commun :

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Aucune restriction supplémentaire n'est imposée sur les nombres à droite ou à gauche : si les facteurs racines existent, alors le produit existe également.

Exemples. Regardons quatre exemples avec des chiffres à la fois :

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le constater, le sens principal de cette règle est de simplifier les expressions irrationnelles. Et si dans le premier exemple nous avions extrait nous-mêmes les racines de 25 et 4 sans nouvelles règles, alors les choses se compliquent : $\sqrt(32)$ et $\sqrt(2)$ ne sont pas considérés seuls, mais leur produit s'avère être un carré parfait, donc sa racine est égale à un nombre rationnel.

Je voudrais particulièrement souligner la dernière ligne. Ici, les deux expressions radicales sont des fractions. Grâce au produit, de nombreux facteurs sont annulés et l'expression entière se transforme en un nombre adéquat.

Bien sûr, les choses ne seront pas toujours aussi belles. Parfois, il y aura de la merde complète sous les racines - on ne sait pas quoi en faire et comment la transformer après la multiplication. Un peu plus tard, lorsque vous commencerez à étudier les équations et les inégalités irrationnelles, vous verrez apparaître toutes sortes de variables et de fonctions. Et très souvent, les rédacteurs de problèmes comptent sur le fait que vous découvrirez des termes ou des facteurs d'annulation, après quoi le problème sera plusieurs fois simplifié.

De plus, il n’est pas du tout nécessaire de multiplier exactement deux racines. Vous pouvez multiplier trois, quatre ou même dix à la fois ! Cela ne changera pas la règle. Jetez un oeil :

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \fin(aligner)\]

Et encore une petite note sur le deuxième exemple. Comme vous pouvez le voir, dans le troisième facteur sous la racine, il y a une fraction décimale - dans le processus de calcul, nous la remplaçons par une fraction régulière, après quoi tout est facilement réduit. Donc : je recommande fortement de se débarrasser des fractions décimales dans toute expression irrationnelle (c'est-à-dire contenant au moins un symbole radical). Cela vous fera gagner beaucoup de temps et de nerfs à l'avenir.

Mais c'était une digression lyrique. Considérons maintenant un cas plus général - lorsque l'exposant racine contient un nombre arbitraire $n$, et pas seulement les deux « classiques ».

Le cas d’un indicateur arbitraire

Nous avons donc trié les racines carrées. Que faire des cubiques ? Ou même avec des racines de degré arbitraire $n$ ? Oui, tout est pareil. La règle reste la même :

Pour multiplier deux racines de degré $n$, il suffit de multiplier leurs expressions radicales, puis d'écrire le résultat sous un radical.

En général, rien de compliqué. Sauf que la quantité de calculs peut être plus importante. Regardons quelques exemples :

Exemples. Calculer les produits :

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5 ; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \fin(aligner)\]

Et encore une fois, attention à la deuxième expression. Nous multiplions les racines cubiques, éliminons la fraction décimale et obtenons que le dénominateur soit le produit des nombres 625 et 25. C'est un nombre assez grand - personnellement, je n'arrive pas à comprendre à quoi cela correspond de ma tête.

Par conséquent, nous avons simplement isolé le cube exact dans le numérateur et le dénominateur, puis avons utilisé l'une des propriétés clés (ou, si vous préférez, la définition) de la $n$ième racine :

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\gauche| a\droit|. \\ \fin(aligner)\]

De telles « machinations » peuvent vous faire gagner beaucoup de temps lors d’un examen ou d’un test, alors rappelez-vous :

Ne vous précipitez pas pour multiplier les nombres en utilisant des expressions radicales. Tout d’abord, vérifiez : et si le degré exact d’une expression y était « crypté » ?

Malgré l'évidence de cette remarque, je dois admettre que la plupart des étudiants non préparés ne voient pas les diplômes exacts à bout portant. Au lieu de cela, ils multiplient tout, puis se demandent : pourquoi ont-ils obtenu des chiffres aussi brutaux :)

Cependant, tout cela n’est qu’un langage de bébé par rapport à ce que nous allons étudier maintenant.

Multiplier des racines avec différents exposants

Bon, maintenant nous pouvons multiplier les racines avec les mêmes indicateurs. Et si les indicateurs sont différents ? Disons, comment multiplier un $\sqrt(2)$ ordinaire par des conneries comme $\sqrt(23)$ ? Est-il même possible de faire cela ?

Oui, bien sûr, vous pouvez. Tout se fait selon cette formule :

Règle pour multiplier les racines. Pour multiplier $\sqrt[n](a)$ par $\sqrt[p](b)$, il suffit d'effectuer la transformation suivante :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Cependant, cette formule ne fonctionne que si les expressions radicales ne sont pas négatives. C’est un point très important sur lequel nous reviendrons un peu plus tard.

Pour l'instant, regardons quelques exemples :

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le constater, rien de compliqué. Voyons maintenant d'où vient l'exigence de non-négativité et que se passera-t-il si nous la violons :)

Pourquoi les expressions radicales doivent-elles être non négatives ?

Bien sûr, vous pouvez être comme des professeurs d’école et citer le manuel avec un look malin :

L'exigence de non-négativité est associée à différentes définitions des racines de degrés pairs et impairs (en conséquence, leurs domaines de définition sont également différents).

Eh bien, est-ce devenu plus clair ? Personnellement, quand j'ai lu cette absurdité en 8e, j'ai compris quelque chose comme ceci : « L'exigence de non-négativité est associée à *#&^@(*#@^#)~% » - bref, je l'ai fait je ne comprends rien à ce moment-là :)

Alors maintenant, je vais tout expliquer de manière normale.

Voyons d’abord d’où vient la formule de multiplication ci-dessus. Pour ce faire, permettez-moi de vous rappeler une propriété importante de la racine :

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

En d'autres termes, nous pouvons élever en toute sécurité l'expression radicale à n'importe quelle puissance naturelle $k$ - dans ce cas, l'exposant de la racine devra être multiplié par la même puissance. Par conséquent, nous pouvons facilement réduire n’importe quelle racine à un exposant commun, puis les multiplier. C'est de là que vient la formule de multiplication :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Mais il existe un problème qui limite fortement l’utilisation de toutes ces formules. Considérez ce numéro :

D’après la formule qui vient d’être donnée, on peut ajouter n’importe quel degré. Essayons d'ajouter $k=2$ :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Nous avons supprimé le moins précisément parce que le carré brûle le moins (comme tout autre degré pair). Effectuons maintenant la transformation inverse : « réduisons » les deux dans l’exposant et la puissance. Après tout, toute égalité peut être lue aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche :

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](un); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \fin(aligner)\]

Mais ensuite, il s'avère que c'est une sorte de connerie :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Cela ne peut pas arriver, car $\sqrt(-5) \lt 0$ et $\sqrt(5) \gt 0$. Cela signifie que pour les puissances paires et les nombres négatifs, notre formule ne fonctionne plus. Après quoi nous avons deux options :

1. Frapper le mur et affirmer que les mathématiques sont une science stupide, où « il y a des règles, mais elles sont inexactes » ;
2. Introduire des restrictions supplémentaires sous lesquelles la formule fonctionnera à 100 %.

Dans la première option, nous devrons constamment détecter les cas « non fonctionnels » - c'est difficile, prend du temps et généralement horrible. Par conséquent, les mathématiciens ont préféré la deuxième option :)

Mais ne vous inquiétez pas ! En pratique, cette limitation n'affecte en rien les calculs, car tous les problèmes décrits ne concernent que des racines de degré impair, et des inconvénients peuvent en être tirés.

Par conséquent, formulons une règle supplémentaire, qui s'applique généralement à toutes les actions avec des racines :

Avant de multiplier des racines, assurez-vous que les expressions radicales ne sont pas négatives.

Exemple. Dans le nombre $\sqrt(-5)$, vous pouvez supprimer le moins sous le signe racine - alors tout sera normal :

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Sentez-vous la différence ? Si vous laissez un moins sous la racine, alors lorsque l'expression radicale sera au carré, elle disparaîtra et la merde commencera. Et si vous supprimez d'abord le moins, vous pouvez alors construire/supprimer le carré jusqu'à ce que votre visage soit bleu - le nombre restera négatif :)

Ainsi, la manière la plus correcte et la plus fiable de multiplier les racines est la suivante :

1. Supprimez tous les négatifs des radicaux. Les inconvénients n'existent que dans les racines de multiplicité impaire - ils peuvent être placés devant la racine et, si nécessaire, réduits (par exemple, s'il y a deux de ces inconvénients).
2. Effectuez la multiplication selon les règles discutées ci-dessus dans la leçon d'aujourd'hui. Si les indicateurs des racines sont les mêmes, on multiplie simplement les expressions radicales. Et s'ils sont différents, on utilise la formule maléfique \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Profitez du résultat et des bonnes notes. :)

Bien? Devons-nous pratiquer ?

Exemple 1 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \fin(aligner)\]

C'est l'option la plus simple : les racines sont les mêmes et impaires, le seul problème est que le deuxième facteur est négatif. Nous retirons ce moins du tableau, après quoi tout est facilement calculé.

Exemple 2 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( aligner)\]

Ici, beaucoup seraient confus par le fait que le résultat s’est avéré être un nombre irrationnel. Oui, cela arrive : nous n’avons pas pu nous débarrasser complètement de la racine, mais au moins nous avons considérablement simplifié l’expression.

Exemple 3 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Je voudrais attirer votre attention sur cette tâche. Il y a deux points ici :

1. La racine n'est pas un nombre ou une puissance spécifique, mais la variable $a$. À première vue, c'est un peu inhabituel, mais en réalité, lors de la résolution de problèmes mathématiques, il faut le plus souvent faire face à des variables.
2. Au final, nous avons réussi à « réduire » l’indicateur de radicalité et le degré d’expression radicale. Cela arrive assez souvent. Et cela signifie qu'il était possible de simplifier considérablement les calculs si vous n'utilisiez pas la formule de base.

Par exemple, vous pourriez faire ceci :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\fin (aligner)\]

En fait, toutes les transformations ont été effectuées uniquement avec le deuxième radical. Et si vous ne décrivez pas en détail toutes les étapes intermédiaires, le nombre de calculs sera finalement considérablement réduit.

En fait, nous avons déjà rencontré une tâche similaire ci-dessus lorsque nous avons résolu l'exemple $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Maintenant, cela peut être écrit beaucoup plus simplement :

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \fin(aligner)\]

Eh bien, nous avons réglé la multiplication des racines. Considérons maintenant l'opération inverse : que faire lorsqu'il y a un produit sous la racine ?

Le contenu de cet article doit être considéré comme faisant partie du sujet conversion d'expressions irrationnelles. Ici, nous utiliserons des exemples pour analyser toutes les subtilités et nuances (qui sont nombreuses) qui surviennent lors de la réalisation de transformations basées sur les propriétés des racines.

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Rappelons les propriétés des racines

Puisque nous sommes sur le point d'aborder la transformation des expressions en utilisant les propriétés des racines, cela ne fera pas de mal de retenir les principales, ou mieux encore, de les écrire sur papier et de les placer devant vous.

Tout d'abord, les racines carrées et leurs propriétés suivantes sont étudiées (a, b, a 1, a 2, ..., a k sont des nombres réels) :

Et plus tard, l'idée de racine est élargie, la définition d'une racine du nième degré est introduite et les propriétés suivantes sont considérées (a, b, a 1, a 2, ..., a k sont des nombres réels, m, n, n 1, n 2, ... , n k - nombres naturels) :

Conversion d'expressions avec des nombres sous des signes radicaux

Comme d'habitude, ils apprennent d'abord à travailler avec des expressions numériques, puis passent ensuite aux expressions avec des variables. Nous ferons de même, et nous traiterons d'abord de la transformation d'expressions irrationnelles contenant uniquement des expressions numériques sous les signes des racines, puis dans le paragraphe suivant nous introduirons des variables sous les signes des racines.

Comment cela peut-il être utilisé pour transformer des expressions ? C’est très simple : on peut par exemple remplacer une expression irrationnelle par une expression ou vice versa. Autrement dit, si l'expression en cours de conversion contient une expression qui correspond en apparence à l'expression de la partie gauche (droite) de l'une des propriétés de racines répertoriées, elle peut alors être remplacée par l'expression correspondante de la partie droite (gauche). Il s'agit de la transformation d'expressions utilisant les propriétés des racines.

Donnons quelques exemples supplémentaires.

Simplifions l'expression . Les nombres 3, 5 et 7 sont positifs, nous pouvons donc appliquer en toute sécurité les propriétés des racines. Ici, vous pouvez agir de différentes manières. Par exemple, une racine basée sur une propriété peut être représentée par , et une racine utilisant une propriété avec k=3 - par , avec cette approche, la solution ressemblera à ceci :

On pourrait procéder différemment en remplaçant par , puis par , auquel cas la solution ressemblerait à ceci :

D'autres solutions sont possibles, par exemple :

Regardons la solution d'un autre exemple. Transformons l'expression. En regardant la liste des propriétés des racines, nous en sélectionnons les propriétés dont nous avons besoin pour résoudre l'exemple, il est clair que deux d'entre elles sont utiles ici et , qui sont valables pour tout a . Nous avons:

Alternativement, on pourrait d'abord transformer les expressions radicales en utilisant

puis appliquer les propriétés des racines

Jusqu’à présent, nous avons converti des expressions contenant uniquement des racines carrées. Il est temps de travailler avec des racines qui ont des indicateurs différents.

Exemple.

Convertir l'expression irrationnelle .

Solution.

Par propriété le premier facteur d'un produit donné peut être remplacé par le nombre −2 :

Passons à autre chose. En vertu de la propriété, le deuxième facteur peut être représenté par , et il ne ferait pas de mal de remplacer 81 par une quadruple puissance de trois, puisque dans les facteurs restants le nombre 3 apparaît sous les signes des racines :

Il est conseillé de remplacer la racine d'une fraction par un rapport de racines de la forme , qui peut être transformé davantage : . Nous avons

Après avoir effectué des opérations par deux, l'expression résultante prendra la forme , et il ne reste plus qu'à transformer le produit des racines.

Pour transformer les produits de racines, ils sont généralement réduits à un seul indicateur, pour lequel il convient de prendre les indicateurs de toutes les racines. Dans notre cas, LCM(12, 6, 12) = 12, et seule la racine devra être réduite à cet indicateur, puisque les deux autres racines ont déjà un tel indicateur. L’égalité, appliquée de droite à gauche, permet de faire face à cette tâche. Donc . En tenant compte de ce résultat, nous avons

Désormais, le produit des racines peut être remplacé par la racine du produit et effectuer les transformations restantes, déjà évidentes :

Écrivons une version courte de la solution :

Répondre:

.

Soulignons séparément que pour appliquer les propriétés des racines, il est nécessaire de prendre en compte les restrictions imposées aux nombres sous les signes des racines (a≥0, etc.). Les ignorer peut entraîner des résultats incorrects. Par exemple, nous savons que la propriété est valable pour un a non négatif. Sur cette base, nous pouvons facilement passer, par exemple, de à, puisque 8 est un nombre positif. Mais si nous prenons par exemple une racine significative d’un nombre négatif et, sur la base de la propriété indiquée ci-dessus, la remplaçons par , alors nous remplaçons en fait −2 par 2. En effet, ah. Autrement dit, pour un a négatif, l'égalité peut être incorrecte, tout comme d'autres propriétés des racines peuvent être incorrectes sans tenir compte des conditions qui leur sont spécifiées.

Mais ce qui a été dit dans le paragraphe précédent ne signifie pas du tout que les expressions avec des nombres négatifs sous les signes des racines ne peuvent pas être transformées en utilisant les propriétés des racines. Il suffit de les « préparer » au préalable en appliquant les règles de fonctionnement avec les nombres ou en utilisant la définition d'une racine impaire d'un nombre négatif, ce qui correspond à l'égalité , où −a est un nombre négatif (tandis que a est positif). Par exemple, il ne peut pas être immédiatement remplacé par , puisque −2 et −3 sont des nombres négatifs, mais il permet de passer de la racine à , puis d'appliquer davantage la propriété de la racine d'un produit : . Et dans un des exemples précédents, il n'était pas nécessaire de passer de racine en racine de la dix-huitième puissance , et ainsi .

Ainsi, pour transformer des expressions en utilisant les propriétés des racines, il vous faut

• sélectionnez la propriété appropriée dans la liste,
• assurez-vous que les nombres sous la racine satisfont aux conditions de la propriété sélectionnée (sinon vous devez effectuer des transformations préalables),
• et réaliser la transformation envisagée.

Conversion d'expressions avec des variables sous des signes radicaux

Pour transformer des expressions irrationnelles contenant non seulement des nombres mais aussi des variables sous le signe racine, les propriétés des racines listées dans le premier paragraphe de cet article doivent être appliquées avec précaution. Cela est principalement dû aux conditions que doivent remplir les nombres impliqués dans les formules. Par exemple, sur la base de la formule, l'expression peut être remplacée par une expression uniquement pour les valeurs de x qui satisfont aux conditions x≥0 et x+1≥0, puisque la formule spécifiée est spécifiée pour a≥0 et b ≥0.

Quels sont les dangers d’ignorer ces conditions ? La réponse à cette question est clairement démontrée par l’exemple suivant. Disons que nous devons calculer la valeur d'une expression à x=−2. Si nous remplaçons immédiatement le nombre −2 à la variable x, nous obtiendrons la valeur dont nous avons besoin . Imaginons maintenant que, sur la base de certaines considérations, nous ayons converti l'expression donnée sous la forme , et seulement après cela, nous avons décidé de calculer la valeur. On substitue le nombre −2 à x et on arrive à l'expression , ce qui n'a pas de sens.

Voyons ce qui arrive plage de valeurs admissibles (APV) variable x lors du passage d'une expression à l'autre. Ce n'est pas un hasard si nous avons évoqué l'ODZ, car il s'agit d'un outil sérieux pour contrôler l'admissibilité des transformations effectuées, et un changement dans l'ODZ après la transformation d'une expression devrait, au minimum, déclencher des signaux d'alarme. Trouver l'ODZ pour ces expressions n'est pas difficile. Pour l'expression ODZ est déterminée à partir de l'inégalité x·(x+1)≥0, sa solution donne l'ensemble numérique (−∞, −1]∪∪∪)