Définition d'une fonction croissante.
Fonction y=f(x) augmente au cours de l'intervalle X, le cas échéant et 
l’inégalité perdure. En d’autres termes, une valeur d’argument plus grande correspond à une valeur de fonction plus grande.
Définition d'une fonction décroissante.
Fonction y=f(x) diminue sur l'intervalle X, le cas échéant et 
l’inégalité persiste 
. En d’autres termes, une valeur plus grande de l’argument correspond à une valeur plus petite de la fonction.
REMARQUE : si la fonction est définie et continue aux extrémités de l'intervalle croissant ou décroissant (un;b), c'est-à-dire quand x=une Et x=b, alors ces points sont inclus dans l'intervalle d'augmentation ou de diminution. Cela ne contredit pas les définitions d'une fonction croissante et décroissante sur l'intervalle X.
Par exemple, d’après les propriétés des fonctions élémentaires de base, nous savons que y=sinx défini et continu pour toutes les valeurs réelles de l'argument. Par conséquent, à partir de l’augmentation de la fonction sinus sur l’intervalle, nous pouvons affirmer qu’elle augmente sur l’intervalle.
Points extremum, extremum d'une fonction.
Le point s'appelle point maximum fonctions y=f(x), si pour tout le monde x de son voisinage, l'inégalité est valable. La valeur de la fonction au point maximum est appelée maximum de la fonction et désignent .
Le point s'appelle point minimum fonctions y=f(x), si pour tout le monde x de son voisinage, l'inégalité est valable. La valeur de la fonction au point minimum est appelée fonction minimale et désignent .
Le voisinage d'un point s'entend comme l'intervalle 
, où est un nombre positif suffisamment petit.
Les points minimum et maximum sont appelés points extrêmes, et les valeurs de la fonction correspondant aux points extremum sont appelées extrema de la fonction.
Ne confondez pas les extrema d'une fonction avec les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction.
Dans la première figure, la plus grande valeur de la fonction sur le segment est atteint au point maximum et est égal au maximum de la fonction, et dans le deuxième chiffre - la valeur la plus élevée de la fonction est atteinte au point x=b, ce qui n'est pas un point maximum.
Conditions suffisantes pour les fonctions croissantes et décroissantes.
Sur la base de conditions (signes) suffisantes pour l'augmentation et la diminution d'une fonction, des intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction sont trouvés.
Voici les formulations des signes des fonctions croissantes et décroissantes sur un intervalle :
si la dérivée de la fonction y=f(x) positif pour tout le monde x de l'intervalle X, alors la fonction augmente de X;
si la dérivée de la fonction y=f(x) négatif pour personne x de l'intervalle X, alors la fonction diminue de X.
Ainsi, pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction, il faut :
Considérons un exemple de recherche des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes pour expliquer l'algorithme.
Exemple.
Trouvez les intervalles des fonctions croissantes et décroissantes.
Solution.
La première étape consiste à trouver la définition de la fonction. Dans notre exemple, l'expression au dénominateur ne doit pas aller à zéro, donc .
Passons à la recherche de la dérivée de la fonction : 
Pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction sur la base d'un critère suffisant, on résout des inégalités sur le domaine de définition. Utilisons une généralisation de la méthode des intervalles. La seule vraie racine du numérateur est x = 2, et le dénominateur tend vers zéro à x=0. Ces points divisent le domaine de définition en intervalles dans lesquels la dérivée de la fonction conserve son signe. Marquons ces points sur la droite numérique. On note classiquement par plus et moins les intervalles auxquels la dérivée est positive ou négative. Les flèches ci-dessous montrent schématiquement l'augmentation ou la diminution de la fonction sur l'intervalle correspondant. 
Soit f continue sur un intervalle et différentiable en points intérieurs de cet intervalle. Alors il existe un point interne à ce segment tel que la tangente au graphe de la fonction, tracée au point d'abscisse c, est parallèle à la corde AB, où A(a;f(x)) et B(b; f(x)). Ou : sur un arc lisse AB il y a toujours un point c où la tangente est parallèle à la corde reliant les extrémités de l'arc.
Soit f continue sur un intervalle et différentiable en points intérieurs de cet intervalle. Alors il existe un point intérieur à ce segment tel que
Corollaire 1 : si une fonction f est continue sur le segment et que sa dérivée est égale à zéro à l'intérieur de ce segment, alors la fonction f est constante sur le segment.
Corollaire 2 : Si les fonctions f et g sont continues sur un intervalle et ont les mêmes dérivées à l'intérieur de cet intervalle, alors elles diffèrent par un terme constant.
2. Un signe suffisant de fonction croissante :
Si f[/](x)>0 en chaque point de l'intervalle I, alors la fonction f augmente sur l'intervalle I.
3. Un signe suffisant de fonction décroissante :
Si f[/](x)
Démontrons ces signes en utilisant la formule de Lagrange :
Prenons deux nombres quelconques de l'intervalle. Qu'il en soit ainsi. D'après la formule de Lagrange, il existe un nombre tel que.
Le nombre c appartient à l'intervalle I, puisque les points appartiennent à cet intervalle. Si f[/](x)>0 pour, alors f[/](c) >0, et donc - cela découle de la formule (1), puisque ->0. Cela prouve que les fonctions f augmentent sur l'intervalle I. Si f[/](x) 0. La fonction f décroît sur l'intervalle I est prouvée.
Exemple 1. trouver les intervalles de fonction croissante et décroissante
2. Trouver la dérivée de la fonction et ses points critiques : ou
3. Marquez les points d'extrema sur l'axe numérique et trouvez les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction
Réponse : - la fonction augmente
La fonction diminue
Exemple 2. Examinez la fonction croissante (décroissante) :
2. Trouvez les points dérivées et extrema de la fonction :
3. Marquez le point critique sur l'axe des nombres et trouvez les intervalles d'augmentation (diminution) de la fonction :
Réponse : - la fonction est décroissante
La fonction augmente
II. Points critiques. Signes de recherche du maximum et du minimum d'une fonction.
1. Points critiques
Définition : les points critiques d'une fonction sont des points internes du domaine de définition de la fonction auxquels sa dérivée est nulle ou n'existe pas.
N°1. Trouver les points critiques de la fonction f : a) g(x) =
Réponse : , où ; , où b) g(x) =
2. Signes de recherche du maximum et du minimum d'une fonction.
Signe des fonctions maximales :
Si la fonction f est continue au point x0, et f[/](x)>0 sur l'intervalle (a;x0) et f[/](x)
Ou : si au point x0 la dérivée change de signe de plus à moins, alors x0 est le point maximum.
Preuve:
La dérivée f[/](x)>0 sur l'intervalle (a;x0), et la fonction est continue au point x0, donc la fonction f augmente sur l'intervalle (a;x0], et donc f(x)
Sur l'intervalle [x0;c) la fonction décroît, et donc f(x)
Signes d'une fonction minimale :
Si la fonction f est continue au point x0, et f[/](x) 0 sur l'intervalle (x0;b), alors le point x0 est le point minimum de la fonction f.
Ou : si au point x0 la dérivée change de signe de moins à plus, alors x0 est le point minimum.
Preuve:
Dérivée f[/](x) f (x0) pour tout x de l'intervalle (a; x0).
Sur l'intervalle [x0;b), la fonction f augmente, et donc f(x) >f (x0) pour tout le monde de l'intervalle (a;b), c'est-à-dire que x0 est le point minimum de f.
III. Dérivée seconde. Signes de convexité et de concavité.
Qu'il y ait une dérivée seconde au point. Alors, si, alors le point est le point minimum, et si, alors le point est le point maximum de la fonction.
Si, alors le renflement est dirigé vers le bas. Si, alors le renflement est dirigé vers le haut.
IV. Asymptotes obliques
Définition : Une droite est l’asymptote inclinée du graphique d’une fonction, où et
Équation asymptote oblique
Asymptote verticale équation de l'asymptote oblique
V. Conception de l'étude fonctionnelle
1. Trouvons le domaine de définition de la fonction.
2. Examinez la fonction pour l'uniformité (bizarre).
3. Trouvez les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées et déterminez les intervalles de signe constant de la fonction.
4. Trouvez la dérivée.
5. Trouvez les points extrêmes de la fonction et les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.
6. Faites un tableau.
7. Trouvez la dérivée seconde.
8. Trouvez les points d'inflexion du graphe de fonctions et établissez les intervalles de convexité et de concavité de ce graphe.
9. Trouvez les asymptotes du graphe de fonctions, si nécessaire.
10. Construisez un croquis du graphique de cette fonction.
11. Recherchez l'ensemble des valeurs de fonction.
VI. Exemples pour étudier une fonction
2). Il est impossible de parler de parité de fonction.
5) Trouver les points extremum de la fonction et les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction :
La fonction augmente
La fonction diminue
6) Faisons un tableau x
7) Trouver la dérivée seconde
8) Trouver les points d'inflexion : ou
Renflement
Renflement vers le bas
9) Trouvons que les asymptotes obliques n'existent pas. il n'y a pas d'asymptote oblique.
10) Calendrier
; x=2 - asymptote verticale
2). Il est impossible de parler de parité de fonction
3) Trouvez les points d'intersection du graphique avec l'axe OX.
Trouvons les points d'intersection du graphique avec l'axe OU.
4) Trouver la dérivée de la fonction :
5) Trouver les points extremum de la fonction et les points d'augmentation et de diminution de la fonction :
La fonction augmente
La fonction diminue
6) Faisons un tableau x
7) Trouvez la dérivée seconde :
8) Trouver les points d'inflexion : il n'y a pas de points d'inflexion
Renflement vers le bas
Renflement
Équation asymptote oblique
10) Calendrier
Asymptote verticale
2) on ne peut pas parler de parité de la fonction
Il n'y a pas de points d'intersection avec l'axe OX.
N'existe pas. Il n’y a pas de tels points.
4) Trouvez la dérivée :
La fonction diminue
La fonction augmente
6) Faisons un tableau :
7) Traçons la fonction :
Asymptote verticale
2) - on ne peut pas parler de parité de la fonction
3) Trouvez les points d'intersection du graphique avec l'axe OX.
Trouvons les points d'intersection du graphique avec l'axe OY.
4) Trouvez la dérivée :
5) Trouver les points extremum de la fonction et les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.
Il n'y a pas de points critiques.
Il n'y a pas de points maximum et minimum.
6) Faisons un tableau :
↘ 7) Trouver la dérivée seconde :
8) Trouvez les points d'inflexion du graphique de fonction et définissez les intervalles de convexité et de concavité :
Il n’y a pas de points d’inflexion.
Renflement
Renflement vers le bas
9) Trouvez les asymptotes obliques :
Équation de l'asymptote horizontale, puisque k = 0.
10) Traçons la fonction :
;
- asymptotes verticales
3) Trouvez les points d'intersection du graphique avec l'axe OX.
Trouvons les points d'intersection du graphique avec l'axe OY.
4) Trouvez la dérivée :
2) - la fonction est étrange, puisque. Le graphique est symétrique par rapport à l’origine.
5) Trouver les points extremum et les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction :
La fonction diminue
La fonction augmente
6) Faisons un tableau :
Il n'y a pas de solution.
↘ Pas un nom.
↗ 7) Trouver les asymptotes obliques :
Il n’y a pas d’asymptote oblique.
8) Trouvez la dérivée seconde :
Renflement vers le bas
Renflement
9) Trouver les points d'inflexion : soit ou
10) Construisons un graphique
VII. Informations historiques.
Ses ancêtres venaient de Pologne et portaient le nom de famille Lubenitz. Après avoir déménagé à Leipzig, leur nom de famille a commencé à être prononcé à la manière allemande. Il est intéressant de noter que le nom même de cette ville est également slave, cela signifie >. de Leipzig. Il a perdu ses parents très tôt : à l'âge de 6 ans, il s'est retrouvé sans père et à 17 ans - sans mère. Au cours de ses années d'école, Leibniz a étonné ses professeurs par sa capacité à composer de la poésie en latin et en grec, la sienne. passionné de philosophie et de mathématiques, il était très curieux, il étudiait seul de nombreuses matières, avant de les rencontrer à l'école, sa mémoire était inégale : il se souvenait facilement des choses complexes et pire des simples il ne pouvait pas faire de calculs longtemps ; temps, mais il s'est tourné vers les généralisations et les abstractions et Leibniz a conservé un tel souvenir et une telle façon de penser tout au long de sa vie.
À l'âge de 15 ans, Leibniz était étudiant à la Faculté de philosophie de l'Université de Leipzig. Cette faculté était préparatoire au droit et à la théologie. Brillamment diplômé de la Faculté de philosophie puis de la Faculté de droit, Leibniz, 20 ans, n'a pas pu obtenir le poste souhaité dans sa ville natale. Les règles conservatrices à l'université ont créé des obstacles matériels à l'obtention d'un doctorat. Il se rend à Nuremberg et y défend sa thèse de doctorat en droit avec un succès sans précédent. Le talent extraordinaire du jeune scientifique a été remarqué. Il est invité au service diplomatique par l'électeur (le prince qui a le droit de choisir le roi) de la ville de Mayence, puis par le duc de Hanovre.
Alors qu'il était à Paris pour affaires avec l'Électeur, Leibniz rencontra de nombreux scientifiques célèbres. Les discussions sur divers problèmes éveillent son intérêt pour les mathématiques. Plus tard, dans une lettre à I. Bernoulli, il rappelle : >. Après avoir obtenu son diplôme universitaire (1666), Leibniz a publié un ouvrage philosophique et mathématique, donc en parlant de son >, il voulait dire l'ignorance des dernières avancées mathématiques. Pour se familiariser avec les nouveaux résultats et idées apparus à cette époque en mathématiques, il s'est tourné vers Huygens pour obtenir de l'aide. Il lui conseille d'étudier attentivement un certain nombre d'œuvres, et Leibniz se met au travail avec un zèle enviable : il étudie les œuvres de Saint-Vincent et Wallis, Descartes et Pascal, et mène ses propres recherches.
Mais lorsqu'il arrive à Londres pour affaires diplomatiques et rapporte ses résultats aux mathématiciens anglais, il est surpris d'apprendre que bon nombre de ces résultats leur sont déjà connus grâce au manuscrit de Newton, conservé à la Royal Society. Leibniz, par l'intermédiaire du secrétaire de cette société, Oldenburg (1615 - 1677), écrit à Newton au sujet de son œuvre. Dans la même lettre, il demande à Newton de lui rendre compte de ses résultats. En réponse, il reçoit (toujours par Oldenburg) deux lettres dans lesquelles Newton explique les opérations de différenciation et d'intégration à l'aide de séries.
Leibniz n'était pas pressé de publier ses résultats dans le domaine du nouveau calcul, attendant peut-être les publications de Newton. Mais en 1683, Tschirnhauz publia un article sur la quadrature des courbes algébriques. Il ne mentionne pas le nom de Leibniz, même si Tschirnhaus lui doit beaucoup dans la résolution de ces problèmes. Pour conserver la palme dans ce domaine, Leibniz publie un article l'année prochaine >, et un an plus tard ->. Le premier d'entre eux contenait les bases du calcul différentiel, le second - intégral.
Il a basé la nouvelle science sur le concept de différentiel. Or le différentiel df(x0) de la fonction y=f(x) au point x0 est donné par la formule df(xo) = f"(xo)dx, où f"(xb) est la dérivée calculée au point xo, c'est l'incrément de l'argument. Leibniz définit le différentiel comme l'une des branches du triangle caractéristique, qui a été discuté dans le chapitre précédent (section 9). La figure 46 montre que ces définitions sont équivalentes.
Leibniz donne des règles pour calculer la différentielle d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un quotient, d'un degré et résout des équations différentielles. Il définit l'intégrale comme la somme des différenciations, en soulignant le caractère mutuellement inverse des opérations de différenciation et d'intégration : >. D'où viennent les propriétés des intégrales et les méthodes de calcul ? Dans des articles ultérieurs, Leibniz développe une nouvelle analyse. Il a prouvé que toute fonction intégrable est bornée (condition nécessaire à l'intégrabilité) et a développé un algorithme de calcul de certains types d'intégrales, notamment une méthode d'intégration de fonctions rationnelles. L'importance de cette méthode ne peut être surestimée, car à l'aide de diverses substitutions aux intégrales des fonctions rationnelles, une grande variété d'intégrales peut être réduite. Examinons cette méthode plus en détail.
Pour résoudre graphiquement le problème de l'intégration de fonctions arbitraires, Leibniz a inventé (1693) un dispositif mécanique - un intégrateur. Si vous déplacez une broche de cet appareil le long du graphique de la fonction, l'autre dessine le graphique de la primitive.
On utilise encore les algorithmes et notations développés par Leibniz, ainsi que la plupart des termes mathématiques qu'il a introduits : fonction, variable, constante, coordonnées, abscisse, algorithme, différentielle, etc. Beaucoup de ces termes ont été utilisés auparavant, mais n'ont pas encore été utilisés. le sens spécifique que leur donnait Leibniz.
Au début du siècle suivant, un débat houleux éclate sur la priorité de l’invention de l’analyse. La raison en était la critique faite par Leibniz (1704) de l'œuvre de Newton, dans laquelle il soulignait le point commun idéologique entre Newton et l'interprétation de l'infinitésimal par Fabry. Une telle comparaison du grand Anglais avec le mathématicien français peu connu O n o -re Fabry (1607 - 1688) a provoqué l'indignation des scientifiques anglais. (Et Leibniz n’avait aucune arrière-pensée ; le livre de Fabry était simplement l’un des rares qui l’a aidé à éliminer pendant la période parisienne.) Ils y voyaient une dévalorisation des mérites de Newton, et c’est ainsi que tout a commencé. Dans ce conflit, les droits de Newton ont été défendus par des scientifiques anglais et ceux de Leibniz par des scientifiques continentaux. Le soutien de Leibniz par la majorité des mathématiciens continentaux s'expliquait par le fait que ses notations se révélaient si parfaites et son enseignement lui-même si accessible qu'ils trouvèrent immédiatement des partisans parmi de nombreux scientifiques en Europe, ce qui est extrêmement rare lorsqu'un nouveau la théorie apparaît.
Apparemment, c'est précisément à cette dispute qu'avait à l'esprit le merveilleux poète russe Valery Bryusov lorsqu'il a écrit les lignes suivantes :
Ô Leibniz, ô sage, créateur de livres prophétiques ! Vous étiez au-dessus du monde, comme les anciens prophètes. Ton âge, s'émerveillant de toi, n'a pas atteint les prophéties Et mêlé de fous reproches à la flatterie.
En fait, les affirmations des deux parties étaient infondées. Les deux scientifiques sont parvenus indépendamment à la création du calcul différentiel et intégral, et leurs approches étaient complètement différentes. Newton a utilisé l'appareil des séries de puissances et Leibniz a utilisé le concept de différentiel. La controverse houleuse a conduit au fait que les mathématiciens anglais ont ignoré tout ce qui venait de Leibniz et de son école, et que les mathématiciens continentaux ont ignoré le travail des Anglais. Puisque le continent s’appuyait sur le symbolisme de Leibniz, plus avancé que celui de Newton, et que les scientifiques étaient unis par des idées communes, publiées et accessibles à tous, les mathématiciens continentaux de la période post-newtonienne ont pris une longueur d’avance sur les Anglais.
Cependant, dans le sort de Leibniz, l'inimitié entre mathématiciens anglais et continentaux a joué un rôle fatal. Le duc, pour qui il fut bibliothécaire, historien et biographe, devenu roi d'Angleterre (1714), partit pour Londres. Leibniz ne put le suivre en raison de relations dégradées avec les mathématiciens anglais. De plus, le duc n'était pas satisfait de son historiographe, estimant qu'il ne prêtait pas suffisamment d'attention à ses fonctions officielles directes. Leibniz dut rester travailler dans la bibliothèque du duc. La défaveur du roi anglais nouvellement couronné a conduit à un rétrécissement considérable du cercle des scientifiques. Deux ans plus tard, il mourut, accompagné lors de son dernier voyage uniquement par sa secrétaire et ses fossoyeurs. L'injustice offensante du destin par rapport au grand scientifique, qui a fait beaucoup.
Malgré son énorme travail dans la compilation de l'histoire de la maison ducale, qui s'est transformée en histoire de l'Europe occidentale, et d'autres responsabilités qui le détournent de la science, Leibniz a laissé de nombreux ouvrages sur les mathématiques, la philosophie, la biologie, la théorie de la connaissance, la politique, le droit et linguistique. Scientifique accompli, il a apporté une contribution inestimable à chacun de ces domaines. Les idées jaillissaient de lui comme d'une corne d'abondance : chaque lettre, chaque note ou article contenait quelque chose de fondamentalement nouveau dans le domaine scientifique considéré, déterminant parfois son développement ultérieur. Beaucoup a été fait avec sa participation directe. À Berlin, il organisa une société scientifique, qui fut plus tard transformée en Académie des sciences de Berlin, et en devint le premier président. Il fut le premier membre étranger de l'Académie des sciences de Paris. Leibniz a rencontré à plusieurs reprises à Berlin Pierre Ier, pour qui il a développé un certain nombre de projets pour le développement de l'éducation et du gouvernement en Russie, ainsi que pour la création de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg.
Mais sa contribution la plus significative fut aux mathématiques. En y étant entré, il a pu le transformer complètement. Après ses travaux et ceux de ses plus proches collaborateurs, non seulement l’analyse mathématique est apparue, mais toutes les mathématiques sont entrées dans une nouvelle ère.
1°. On sait qu'une fonction constante a une dérivée égale à zéro en chaque point du segment. Dans des cours complets d'analyse, le contraire est prouvé, à savoir que une fonction f(x) est constante sur l'intervalle [a, b] si en chaque point de l'intervalle sa dérivée f"(x) est égale à zéro.
Nous illustrons cela géométriquement. Si f" (x) = 0 en chaque point du segment [une, b], alors la tangente au graphique de la fonction y=f(x) dans chacun des points x (une ≤ x ≤ b) parallèle à l'axe Oh. Lors de la transition X d'une valeur à ses valeurs suivantes M. le graphique de la fonction, qui est le point de contact de la tangente, est décalé vers la droite, mais reste dans la direction de la tangente tracée au point M, puisque la tangente ne change pas de direction lors de cette transition. En conséquence, sur le segment [une, b]
graphique d'une fonction y=f(x) va tout droit M.N., parallèle à l'axe Oh, et la valeur de la fonction est égale à fa), reste inchangé.
2°. Si entre les deux un
valeurs positives. Par conséquent, sa limite est la dérivée f "(x) - positif ou zéro
f "(x) ≥ 0
Si entre UN<х fonction y=f(x) décroissant, puis augmentant X chaque valeur suivante de la fonction est inférieure à la précédente. Par conséquent, pour toute valeur donnée de x au moment de l’incrément Δx positif, incrément Δy négatif, attitude Δy/Δx ne prend que des valeurs négatives et en tendant Δxà zéro a pour limite un nombre négatif ou zéro, c'est-à-dire
f "(x) ≤ 0.
Puisque la valeur du dérivé f "(x)égale à la pente de la tangente au graphique de la fonction y = f(x):
f "(x) = tanφ,
et pour la fonction croissante f "(x) = tanφ ≥ 0, alors la tangente au graphique de la fonction croissante se forme avec l'axe Oh angle aigu ou parallèle à l'axe Oh(dessin 106). Dans une fonction décroissante f "(x) = tanφ ≤ 0, la tangente au graphique forme avec l'axe Oh angle obtus ou parallèle à l'axe Oh(merde.).
Entre un
Points sur le graphique d'une fonction croissante (ou décroissante) où la tangente est parallèle à l'axe Bœuf, sont des points distincts dans le sens où leurs abscisses ne forment pas un segment. Bon sang. et putain. ces points sont R. Et R1.
3°. Dans des cours complets d'analyse, les signes suffisants suivants de fonctions croissantes et décroissantes sont prouvés :
la fonction f(x) augmente (ou diminue) dans l'intervalle a
1) la dérivée f" (x) n'est pas négative (ou non positive) dans l'intervalle a<х
f "(x) ≥ 0 (ou f "(x) ≤ 0)
2) dans cet intervalle il n'y a pas de segment a 1 ≤ x ≤ b 1 (a<а 1 .
4°. Exemple. Déterminez les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction : y = x 3 - x 2 - 8x + 2.
Solution. Pour appliquer les signes d'une fonction croissante et décroissante, on trouve la dérivée de cette fonction et on détermine les valeurs X, dans lequel il est positif ou négatif :
y" = 3x 2 - 2x - 8.
Factorisons le trinôme du second degré, car il est beaucoup plus facile de juger le signe du produit par les signes des facteurs que le signe de la somme par les signes des termes.
Racines du trinôme :
|
y" =3(x+4/3)(x-2).
Multiplicateur x + 4/3 négatif à X< - 4/3 и положителен при X> - 4/3. Facteur X- 2 est négatif à X< 2 и положителен при X> 2. L'enseigne du produit sera l'une ou l'autre selon la localisation du point X sur l'axe Oh par rapport aux points -4/3 et 2.
Les points -4/3 et 2 divisent tout l'axe en trois espaces ;
1) - ∞
Pour déterminer le signe de la dérivée dans chacun des intervalles, on fait un tableau :
| Écart non. | Caractéristiques des écarts | Signe x+4/3 | Signe x-2 | Signe f'(x) | Cette fonction |
| - ∞ < x< - 4/3 | - | - | + | augmente | |
| -4/3 < x < 2 | + | - | - | diminue | |
| 2 < х < + ∞ | + | + | + | augmente |
Par conséquent, cette fonction augmente dans les intervalles
- ∞
Le graphique de cette fonction est présenté sur la Fig.
5°.Fonction y = x 3(appareil) a un dérivé y = 3x2, qui est positif pour toute valeur X, différent de zéro. À x = 0 dérivé y" = 0. Fonction y = x 3 augmente dans l'intervalle - ∞
Fonction maximale et minimale
Les problèmes de recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites des quantités sont importants en technologie et, comme le montrent les exemples, se résument à trouver le maximum et le minimum d'une fonction.
Définition. 1. La fonction f(x) a un maximum en x=c si sa valeur en x=c est supérieure à toute autre valeur de x prise dans un certain voisinage du point x=c.
2. La fonction f(x) a un minimum en x=c si sa valeur en x=c est inférieure à toute autre valeur de x prise dans un certain voisinage du point x=c.
Les termes « maximum » et « minimum » sont combinés en un seul terme commun « extremum ».
La valeur de l'argument qui donne le maximum (ou le minimum) de la fonction est appelée un point maximum (minimum) ou un point extrême.
Une fonction ne peut avoir qu'un maximum, par exemple la fonction y = 60x- 2x 2(Fig. 111), ou seulement le minimum, par exemple la fonction y = 2x+72/x(Fig. 112), ou avoir
maximum et minimum, comme la fonction y = x 3 - - x 2 - 8x+2(dessin 108). Une fonction peut avoir plusieurs maxima et minima (Fig. 113), et dans ce cas les maxima et minima alternent. Une fonction ne peut avoir ni maximum ni minimum. Par exemple, les fonctions y = x 3, y = ctgx, y = a x n'ont ni maximum ni minimum, car avec l'augmentation X de - ∞ à +∞ les première et troisième fonctions augmentent, et la seconde ne fait que diminuer.
Le maximum (minimum) d'une fonction ne peut pas être sa valeur la plus grande (la plus petite). Donc, représenté dans le diable. 113 fonction a au point Avec. valeur supérieure au maximum avec 1 M 1 Et avec 3 M 2, et au point à partir de 0 valeur inférieure au minimum c 2 m 1, Et c 4m2, minimum c 4m2 plus que le maximum avec 1 M 1. Le maximum (minimum) d'une fonction en un point donné est généralement la plus grande (la plus petite) valeur de la fonction par rapport à ses valeurs aux points situés à gauche et à droite du point extrême seulement à une proximité suffisante.
Pour déterminer la nature d'une fonction et parler de son comportement, il faut trouver des intervalles d'augmentation et de diminution. Ce processus est appelé recherche de fonctions et représentation graphique. Le point extrême est utilisé pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction, car chez elles, la fonction augmente ou diminue par rapport à l'intervalle.
Cet article dévoile les définitions, formule un signe suffisant d'augmentation et de diminution sur l'intervalle et une condition d'existence d'un extremum. Cela s'applique à la résolution d'exemples et de problèmes. La section sur les fonctions de différenciation doit être répétée, car la solution devra utiliser la recherche de la dérivée.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Définition 1
La fonction y = f (x) augmentera sur l'intervalle x lorsque, pour tout x 1 ∈ X et x 2 ∈ X, x 2 > x 1, l'inégalité f (x 2) > f (x 1) est satisfaite. En d’autres termes, une plus grande valeur de l’argument correspond à une plus grande valeur de la fonction.
Définition 2
La fonction y = f (x) est considérée comme décroissante sur l'intervalle x lorsque, pour tout x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, l'égalité f (x 2) > f (x 1) est considéré comme vrai. En d’autres termes, une valeur de fonction plus grande correspond à une valeur d’argument plus petite. Considérez la figure ci-dessous.
Commentaire: Lorsque la fonction est définie et continue aux extrémités de l'intervalle croissant et décroissant, c'est-à-dire (a; b), où x = a, x = b, les points sont inclus dans l'intervalle croissant et décroissant. Cela ne contredit pas la définition ; cela signifie que cela a lieu sur l'intervalle x.
Les principales propriétés des fonctions élémentaires de type y = sin x sont la certitude et la continuité pour les valeurs réelles des arguments. De là, nous obtenons que le sinus augmente sur l'intervalle - π 2 ; π 2, alors l'augmentation sur le segment a la forme - π 2 ; π2.
Définition 3Le point x 0 est appelé point maximum pour la fonction y = f (x), lorsque pour toutes les valeurs de x l'inégalité f (x 0) ≥ f (x) est valable. Fonction maximale est la valeur de la fonction en un point et est notée y m a x .
Le point x 0 est appelé point minimum pour la fonction y = f (x), lorsque pour toutes les valeurs de x l'inégalité f (x 0) ≤ f (x) est valable. Fonctions minimales est la valeur de la fonction en un point et a une désignation de la forme y m i n .
Les quartiers du point x 0 sont considérés points extrêmes, et la valeur de la fonction qui correspond aux points extremum. Considérez la figure ci-dessous.
Extréma d'une fonction avec la plus grande et la plus petite valeur de la fonction. Considérez la figure ci-dessous.
Le premier chiffre dit qu'il faut trouver la plus grande valeur de la fonction à partir du segment [a; b ] . Il est trouvé en utilisant le maximum de points et est égal à la valeur maximale de la fonction, et le deuxième chiffre ressemble plus à trouver le point maximum en x = b.
Conditions suffisantes pour qu’une fonction augmente et diminue
Pour trouver les maxima et minima d'une fonction, il faut appliquer des signes d'extremum dans le cas où la fonction satisfait ces conditions. Le premier signe est considéré comme le plus fréquemment utilisé.
La première condition suffisante pour un extremum
Définition 4Soit une fonction y = f (x), qui est différentiable dans un voisinage ε du point x 0, et a une continuité au point donné x 0. De là, nous obtenons cela
- quand f " (x) > 0 avec x ∈ (x 0 - ε ; x 0) et f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
- quand f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 pour x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), alors x 0 est le point minimum.
Autrement dit, on obtient leurs conditions de pose du signe :
- lorsque la fonction est continue au point x 0, alors elle a une dérivée de signe changeant, c'est-à-dire de + à -, ce qui signifie que le point est appelé maximum ;
- lorsque la fonction est continue au point x 0, alors elle a une dérivée avec un signe changeant de - à +, ce qui signifie que le point est appelé minimum.
Pour déterminer correctement les points maximum et minimum d'une fonction, vous devez suivre l'algorithme pour les trouver :
- trouver le domaine de définition ;
- trouver la dérivée de la fonction sur cette zone ;
- identifier les zéros et les points où la fonction n'existe pas ;
- déterminer le signe de la dérivée sur les intervalles ;
- sélectionner les points où la fonction change de signe.
Considérons l'algorithme en résolvant plusieurs exemples de recherche d'extrema d'une fonction.
Exemple 1
Trouver les points maximum et minimum de la fonction donnée y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .
Solution
Le domaine de définition de cette fonction est constitué de tous les nombres réels sauf x = 2. Tout d'abord, trouvons la dérivée de la fonction et obtenons :
y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2
De là, nous voyons que les zéros de la fonction sont x = - 1, x = 5, x = 2, c'est-à-dire que chaque parenthèse doit être assimilée à zéro. Marquons-le sur l'axe des nombres et obtenons :
Déterminons maintenant les signes de la dérivée de chaque intervalle. Il est nécessaire de sélectionner un point inclus dans l'intervalle et de le substituer dans l'expression. Par exemple, points x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.
Nous obtenons cela
y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, ce qui signifie que l'intervalle - ∞ - 1 a une dérivée positive. De même, nous trouvons cela.
y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
Puisque le deuxième intervalle s'est avéré inférieur à zéro, cela signifie que la dérivée sur l'intervalle sera négative. Le troisième avec un moins, le quatrième avec un plus. Pour déterminer la continuité, vous devez faire attention au signe de la dérivée ; s'il change, alors c'est un point extrême.
On constate qu'au point x = - 1 la fonction sera continue, ce qui signifie que la dérivée changera de signe de + à -. D’après le premier signe, on a que x = - 1 est un point maximum, ce qui veut dire qu’on obtient
y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0
Le point x = 5 indique que la fonction est continue et la dérivée changera de signe de – à +. Cela signifie que x = -1 est le point minimum, et sa détermination a la forme
y m je n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24
Représentation graphique
Répondre: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.
Il convient de prêter attention au fait que l'utilisation du premier critère suffisant pour un extremum ne nécessite pas que la fonction soit dérivable au point x 0, ce qui simplifie le calcul.
Exemple 2
Trouvez les points maximum et minimum de la fonction y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.
Solution.
Le domaine d’une fonction est constitué de nombres réels. Cela peut s’écrire sous la forme d’un système d’équations de la forme :
1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0
Ensuite, vous devez trouver la dérivée :
y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0
Le point x = 0 n'a pas de dérivée, car les valeurs des limites unilatérales sont différentes. On obtient ça :
lim y " x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
Il s'ensuit que la fonction est continue au point x = 0, alors on calcule
lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8
Il est nécessaire d'effectuer des calculs pour trouver la valeur de l'argument lorsque la dérivée devient nulle :
1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0
1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0
Tous les points obtenus doivent être marqués sur une ligne droite pour déterminer le signe de chaque intervalle. Par conséquent, il est nécessaire de calculer la dérivée en des points arbitraires pour chaque intervalle. Par exemple, on peut prendre des points avec des valeurs x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Nous obtenons cela
y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0
L'image sur la ligne droite ressemble à
Cela signifie que nous arrivons à la conclusion qu'il faut recourir au premier signe d'extremum. Calculons et trouvons que
x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , alors à partir d'ici les points maximum ont les valeurs x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3
Passons au calcul des minimums :
y m je n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m je n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m je n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3
Calculons les maxima de la fonction. Nous obtenons cela
y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Représentation graphique
Répondre:
y m je n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m je n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Si une fonction f"(x 0) = 0 est donnée, alors si f "" (x 0) > 0, on obtient que x 0 est un point minimum si f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
Exemple 3
Trouvez les maxima et minima de la fonction y = 8 x x + 1.
Solution
Tout d’abord, nous trouvons le domaine de définition. Nous obtenons cela
D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0
Il faut différencier la fonction, après quoi on obtient
y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x
À x = 1, la dérivée devient nulle, ce qui signifie que le point est un extremum possible. Pour clarifier, il faut trouver la dérivée seconde et calculer la valeur à x = 1. On obtient :
y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0
Cela signifie qu'en utilisant la 2 condition suffisante pour un extremum, on obtient que x = 1 est un point maximum. Sinon, l'entrée ressemble à y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.
Représentation graphique
Répondre: y m a x = y (1) = 4 ..
Définition 5La fonction y = f (x) a sa dérivée jusqu'au nième ordre au voisinage ε d'un point donné x 0 et sa dérivée jusqu'au n + 1er ordre au point x 0 . Alors f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .
Il s'ensuit que lorsque n est un nombre pair, alors x 0 est considéré comme un point d'inflexion, lorsque n est un nombre impair, alors x 0 est un point extremum, et f (n + 1) (x 0) > 0, alors x 0 est un point minimum, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
Exemple 4
Trouver les points maximum et minimum de la fonction y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.
Solution
La fonction originale est une fonction entière rationnelle, ce qui signifie que le domaine de définition est constitué de tous les nombres réels. Il faut différencier la fonction. Nous obtenons cela
y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)
Cette dérivée ira à zéro à x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Autrement dit, les points peuvent être des points extrêmes possibles. Il faut appliquer la troisième condition suffisante pour l’extremum. La recherche de la dérivée seconde vous permet de déterminer avec précision la présence d'un maximum et d'un minimum d'une fonction. La dérivée seconde est calculée aux points de son extremum possible. Nous obtenons cela
y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 et "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0
Cela signifie que x 2 = 5 7 est le point maximum. En appliquant le 3ème critère suffisant, on trouve que pour n = 1 et f (n + 1) 5 7< 0 .
Il faut déterminer la nature des points x 1 = - 1, x 3 = 3. Pour ce faire, vous devez trouver la dérivée troisième et calculer les valeurs à ces points. Nous obtenons cela
y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0
Cela signifie que x 1 = - 1 est le point d'inflexion de la fonction, puisque pour n = 2 et f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Il faut étudier le point x 3 = 3. Pour ce faire, nous trouvons la dérivée 4ème et effectuons des calculs à ce stade :
y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0
De ce qui a été décidé ci-dessus, nous concluons que x 3 = 3 est le point minimum de la fonction.
Représentation graphique
Répondre: x 2 = 5 7 est le point maximum, x 3 = 3 est le point minimum de la fonction donnée.
Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée
Signes d'augmentation et de diminution locales d'une fonction.
L'une des tâches principales de l'étude d'une fonction est de trouver les intervalles de son augmentation et de sa diminution. Une telle étude peut être facilement réalisée à l’aide de la dérivée. Formulons les affirmations correspondantes.
Un signe suffisant d’augmentation de la fonction.
Si f'(x) > 0 en chaque point de l'intervalle I, alors la fonction f augmente de I.
Un signe suffisant de diminution de la fonction.
Si f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
La preuve de ces signes s'effectue sur la base de la formule de Lagrange (voir paragraphe 19). Prenez deux nombres quelconques x 1 et x2 de l'intervalle. Soit x 1
(1)
Le nombre c appartient à l'intervalle I, puisque les points x 1 et x2 appartiennent à I. Si f"(x)>0 pour x∈I alors f’(c)>0, et donc F(x 1 )
La signification visuelle des signes ressort clairement du raisonnement physique (pour plus de précision, considérons le signe d'augmentation).
Soit un point se déplaçant le long de l'axe des ordonnées au temps t avoir une ordonnée y = f(t). Alors la vitesse de ce point au temps t est égale à f"(t) (voir. Vitesse instantanée ). Si f' (t)>0 à chaque instant de l'intervalle t, alors le point se déplace dans le sens positif de l'axe des ordonnées, c'est-à-dire si t 1
Remarque 1.
Si la fonction f est continue à n'importe quelle extrémité de l'intervalle croissant (décroissant), alors ce point est attaché à cet intervalle.
Remarque 2.
Résoudre les inégalités f" (x)>0 et f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.
Conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un extremum d'une fonction en un point.
Condition nécessaire pour l'extremum
La fonction g(x) en un point a un extremum (maximum ou minimum) si la fonction est définie dans un voisinage bilatéral du point et pour tous les points x d'une région : , l'inégalité est satisfaite en conséquence
(en cas de maximum) ou (en cas de minimum).
L'extremum de la fonction peut être trouvé à partir de la condition : si la dérivée existe, c'est-à-dire nous assimilons la dérivée première de la fonction à zéro.
Condition suffisante pour un extremum
1) Première condition suffisante:
a) f(x) est une fonction continue et est définie dans un certain voisinage d'un point tel que la dérivée première en ce point est égale à zéro ou n'existe pas.
b) f(x) a une dérivée finie au voisinage de la spécification et de la continuité de la fonction
c) la dérivée conserve un certain signe à droite d'un point et à gauche de ce même point, alors le point peut être caractérisé comme suit
Cette condition n'est pas très pratique, car vous devez vérifier de nombreuses conditions et mémoriser le tableau, mais si rien n'est dit sur les dérivées d'ordre supérieur, alors c'est le seul moyen de trouver l'extremum de la fonction.
2) Deuxième condition suffisante
Si la fonction g(x) a une dérivée seconde et qu'à un moment donné la dérivée première est égale à zéro, et la dérivée seconde est différente de zéro. Puis pointez extremum de la fonction g(x), et si , alors le point est un maximum ; si , alors le point est un minimum.
