Déplacement d'un pendule à ressort horizontal d'une masse de 10 g Vibrations libres.

Un pendule à ressort est un système oscillatoire constitué d'un point matériel de masse m et d'un ressort. Considérons un pendule à ressort horizontal (Fig. 1, a). Il est constitué d'un corps massif, percé en son milieu et posé sur une tige horizontale, le long de laquelle il peut coulisser sans frottement (un système oscillant idéal). La tige est fixée entre deux supports verticaux.

Un ressort en apesanteur est fixé au corps à une extrémité. Son autre extrémité est fixée à un support, qui dans le cas le plus simple est au repos par rapport au référentiel inertiel dans lequel oscille le pendule. Au début, le ressort n'est pas déformé et le corps est dans la position d'équilibre C. Si, en étirant ou en comprimant le ressort, le corps est sorti de la position d'équilibre, alors une force élastique commencera à agir sur lui à partir de le côté du ressort déformé, toujours dirigé vers la position d'équilibre.

Comprimons le ressort, déplaçons le corps en position A, et relâchons-le. Sous l’influence de la force élastique, il se déplacera plus rapidement. Dans ce cas, en position A, la force élastique maximale agit sur le corps, car ici l'allongement absolu x m du ressort est le plus grand. Par conséquent, dans cette position, l’accélération est maximale. À mesure que le corps se rapproche de la position d’équilibre, l’allongement absolu du ressort diminue et, par conséquent, l’accélération conférée par la force élastique diminue. Mais comme l'accélération lors d'un mouvement donné est co-dirigée avec la vitesse, la vitesse du pendule augmente et en position d'équilibre elle sera maximale.

Ayant atteint la position d'équilibre C, le corps ne s'arrêtera pas (bien que dans cette position le ressort ne soit pas déformé et la force élastique soit nulle), mais ayant de la vitesse, il se déplacera plus loin par inertie, étirant le ressort. La force élastique qui apparaît est désormais dirigée contre le mouvement du corps et le ralentit. Au point D, la vitesse du corps sera égale à zéro et l'accélération sera maximale, le corps s'arrêtera un instant, après quoi, sous l'influence de la force élastique, il commencera à se déplacer dans la direction opposée , à la position d'équilibre. L'ayant repassé par inertie, le corps, comprimant le ressort et ralentissant le mouvement, atteindra le point A (puisqu'il n'y a pas de frottement), c'est-à-dire complétera un swing complet. Après cela, le mouvement du corps sera répété dans la séquence décrite. Ainsi, les raisons des oscillations libres d'un pendule à ressort sont l'action de la force élastique qui apparaît lorsque le ressort est déformé et l'inertie du corps.

D'après la loi de Hooke, F x = -kx. D'après la deuxième loi de Newton, F x = ma x. Donc max = -kx. D'ici

Équation dynamique du mouvement d'un pendule à ressort.

On voit que l'accélération est directement proportionnelle au mélange et est dirigée à l'opposé de celui-ci. Comparaison de l'équation résultante avec l'équation des vibrations harmoniques , on voit que le pendule à ressort effectue des oscillations harmoniques avec une fréquence cyclique

Tout mouvement qui se répète périodiquement est appelé oscillatoire. Par conséquent, les dépendances des coordonnées et de la vitesse d'un corps en fonction du temps lors des oscillations sont décrites par des fonctions périodiques du temps. Dans le cours de physique scolaire, on considère les vibrations dans lesquelles les dépendances et les vitesses du corps sont des fonctions trigonométriques , ou une combinaison de ceux-ci, où représente un certain nombre. De telles oscillations sont appelées harmoniques (fonctions Et souvent appelées fonctions harmoniques). Pour résoudre des problèmes sur les oscillations inclus dans le programme de l'examen d'État unifié de physique, vous devez connaître les définitions des principales caractéristiques du mouvement oscillatoire : amplitude, période, fréquence, fréquence circulaire (ou cyclique) et phase des oscillations. Donnons ces définitions et relions les grandeurs énumérées aux paramètres de dépendance des coordonnées du corps au temps, qui dans le cas d'oscillations harmoniques peuvent toujours être représentées sous la forme

où , et sont quelques nombres.

L'amplitude des oscillations est l'écart maximal d'un corps oscillant par rapport à sa position d'équilibre. Puisque les valeurs maximales et minimales du cosinus dans (11.1) sont égales à ±1, l'amplitude des oscillations du corps oscillant (11.1) est égale à . La période d'oscillation est le temps minimum après lequel le mouvement d'un corps se répète. Pour la dépendance (11.1), la période peut être fixée à partir des considérations suivantes. Le cosinus est une fonction périodique avec point. Par conséquent, le mouvement est complètement répété jusqu'à une valeur telle que . De là, nous obtenons

La fréquence circulaire (ou cyclique) des oscillations est le nombre d'oscillations effectuées par unité de temps. De la formule (11.3), nous concluons que la fréquence circulaire est la quantité de la formule (11.1).

La phase d'oscillation est l'argument d'une fonction trigonométrique qui décrit la dépendance de la coordonnée au temps. De la formule (11.1) on voit que la phase d'oscillations du corps, dont le mouvement est décrit par la dépendance (11.1), est égale à . La valeur de la phase d'oscillation au temps = 0 est appelée phase initiale. Pour la dépendance (11.1), la phase initiale des oscillations est égale à . Évidemment, la phase initiale des oscillations dépend du choix du point de référence temporel (moment = 0), qui est toujours conditionnel. En changeant l'origine du temps, la phase initiale des oscillations peut toujours être « rendue » égale à zéro, et le sinus de la formule (11.1) peut être « transformé » en cosinus ou vice versa.

Le programme d'examen d'État unifié comprend également la connaissance des formules pour la fréquence d'oscillation des pendules à ressort et mathématiques. Un pendule à ressort est généralement appelé corps pouvant osciller sur une surface horizontale lisse sous l'action d'un ressort dont la deuxième extrémité est fixe (figure de gauche). Un pendule mathématique est un corps massif dont les dimensions peuvent être négligées, oscillant sur un long fil en apesanteur et inextensible (figure de droite). Le nom de ce système, « pendule mathématique », est dû au fait qu'il représente une mathématique modèle de réel ( physique) pendule. Il est nécessaire de rappeler les formules de période (ou fréquence) des oscillations du ressort et des pendules mathématiques. Pour un pendule à ressort

où est la longueur du fil, est l’accélération de la gravité. Considérons l'application de ces définitions et lois en utilisant l'exemple de la résolution de problèmes.

Pour trouver la fréquence cyclique des oscillations de la charge dans tâche 11.1.1 Trouvons d'abord la période d'oscillation, puis utilisons la formule (11.2). Puisque 10 m 28 s équivaut à 628 s et que pendant ce temps la charge oscille 100 fois, la période d'oscillation de la charge est de 6,28 s. Par conséquent, la fréquence cyclique des oscillations est de 1 s -1 (réponse 2 ). DANS problème 11.1.2 la charge a fait 60 oscillations en 600 s, donc la fréquence d'oscillation est de 0,1 s -1 (réponse 1 ).

Pour comprendre la distance que la charge parcourra en 2,5 périodes ( problème 11.1.3), suivons son déplacement. Après un certain temps, la charge reviendra au point de déviation maximale, complétant ainsi une oscillation complète. Ainsi, pendant ce temps, la charge parcourra une distance égale à quatre amplitudes : jusqu'à la position d'équilibre - une amplitude, de la position d'équilibre au point d'écart maximum dans l'autre sens - la seconde, de retour à la position d'équilibre - la troisièmement, de la position d'équilibre au point de départ - le quatrième. Pendant la deuxième période, la charge passera à nouveau par quatre amplitudes et pendant la moitié restante de la période, deux amplitudes. La distance parcourue est donc égale à dix amplitudes (réponse 4 ).

La quantité de mouvement du corps est la distance entre le point de départ et le point d'arrivée. Plus de 2,5 périodes en tâche 11.1.4 le corps aura le temps d'effectuer deux oscillations complètes et demie, c'est-à-dire sera à l'écart maximum, mais de l'autre côté de la position d'équilibre. Par conséquent, l’amplitude du déplacement est égale à deux amplitudes (réponse 3 ).

Par définition, la phase d'oscillation est l'argument d'une fonction trigonométrique qui décrit la dépendance des coordonnées d'un corps oscillant au temps. La bonne réponse est donc problème 11.1.5 - 3 .

Une période est le temps d’une oscillation complète. Cela signifie que le retour d'un corps au même point à partir duquel il a commencé à bouger ne signifie pas qu'une période s'est écoulée : le corps doit revenir au même point avec la même vitesse. Par exemple, un corps, ayant commencé ses oscillations à partir d'une position d'équilibre, aura le temps de s'écarter d'un maximum dans un sens, de revenir en arrière, de s'écarter d'un maximum dans l'autre sens et de revenir en arrière. Par conséquent, au cours de cette période, le corps aura le temps de s'écarter deux fois du maximum de la position d'équilibre et de revenir en arrière. Par conséquent, le passage de la position d'équilibre au point d'écart maximal ( problème 11.1.6) le corps passe un quart de la période (réponse 3 ).

Les oscillations harmoniques sont celles dans lesquelles la dépendance des coordonnées du corps oscillant au temps est décrite par une fonction trigonométrique (sinus ou cosinus) du temps. DANS tâche 11.1.7 ce sont les fonctions et , malgré le fait que les paramètres qu'elles contiennent sont désignés par 2 et 2 . La fonction est une fonction trigonométrique du carré du temps. Par conséquent, les vibrations ne sont que des quantités et sont harmoniques (réponse 4 ).

Lors des vibrations harmoniques, la vitesse du corps change selon la loi , où est l'amplitude des oscillations de vitesse (le point de référence temporelle est choisi pour que la phase initiale des oscillations soit égale à zéro). De là, nous trouvons la dépendance de l'énergie cinétique du corps au temps
(problème 11.1.8). En utilisant en outre la formule trigonométrique bien connue, nous obtenons

De cette formule, il résulte que l'énergie cinétique d'un corps change lors des oscillations harmoniques également selon la loi harmonique, mais avec une fréquence double (réponse 2 ).

Derrière la relation entre l'énergie cinétique de la charge et l'énergie potentielle du ressort ( problème 11.1.9) est facile à suivre à partir des considérations suivantes. Lorsque le corps est dévié au maximum par rapport à la position d'équilibre, la vitesse du corps est nulle et, par conséquent, l'énergie potentielle du ressort est supérieure à l'énergie cinétique de la charge. Au contraire, lorsque le corps passe la position d'équilibre, l'énergie potentielle du ressort est nulle, et donc l'énergie cinétique est supérieure à l'énergie potentielle. Ainsi, entre le passage de la position d’équilibre et la déviation maximale, les énergies cinétique et potentielle sont comparées une fois. Et puisque pendant une période le corps passe quatre fois de la position d'équilibre à la déviation maximale ou retour, alors pendant la période l'énergie cinétique de la charge et l'énergie potentielle du ressort sont comparées quatre fois (réponse 2 ).

Amplitude des fluctuations de vitesse ( tâche 11.1.10) est le plus facile à trouver en utilisant la loi de conservation de l’énergie. Au point de déviation maximale, l'énergie du système oscillatoire est égale à l'énergie potentielle du ressort , où est le coefficient de rigidité du ressort, est l'amplitude de vibration. Lors du passage par la position d'équilibre, l'énergie du corps est égale à l'énergie cinétique , où est la masse du corps, est la vitesse du corps lors du passage par la position d'équilibre, qui est la vitesse maximale du corps pendant le processus d'oscillation et représente donc l'amplitude des oscillations de vitesse. En égalisant ces énergies, nous trouvons

(répondre 4 ).

De la formule (11.5) nous concluons ( problème 11.2.2), que sa période ne dépend pas de la masse d'un pendule mathématique, et avec une longueur augmentée de 4 fois, la période d'oscillation augmente de 2 fois (réponse 1 ).

Une horloge est un processus oscillatoire utilisé pour mesurer des intervalles de temps ( problème 11.2.3). Les mots « l’horloge est pressée » signifient que la durée de ce processus est inférieure à ce qu’elle devrait être. Par conséquent, pour clarifier le déroulement de ces horloges, il est nécessaire d’augmenter la durée du processus. D'après la formule (11.5), pour augmenter la période d'oscillation d'un pendule mathématique, il faut augmenter sa longueur (réponse 3 ).

Pour trouver l'amplitude des oscillations dans problème 11.2.4, il est nécessaire de représenter la dépendance des coordonnées du corps au temps sous la forme d'une fonction trigonométrique unique. Pour la fonction donnée dans la condition, cela peut être fait en introduisant un angle supplémentaire. En multipliant et en divisant cette fonction par et en utilisant la formule d'ajout de fonctions trigonométriques, on obtient

où est l'angle tel que . De cette formule, il s'ensuit que l'amplitude des oscillations du corps est (répondre 4 ).

Un pendule à ressort est un point matériel dont la masse est attachée à un ressort absolument élastique et en apesanteur avec une rigidité . Il existe deux cas les plus simples : horizontal (Fig. 15, UN) et vertical (Fig. 15, b) pendules.

UN) Pendule horizontale(Fig.15, a). Quand la charge bouge
à partir de la position d'équilibre par le montant agit sur lui dans le sens horizontal restaurer la force élastique
(Loi de Hooke).

On suppose que le support horizontal le long duquel la charge glisse
lors de ses vibrations, il est absolument lisse (pas de frottement).

b) Pendule verticale(Fig. 15, b). La position d'équilibre dans ce cas est caractérisée par la condition :

Où - l'ampleur de la force élastique agissant sur la charge
lorsque le ressort est étiré statiquement par sous l'influence de la gravité de la charge
.

Figure 15. Pendule à ressort : UN– horizontale et b- verticale

Si vous étirez le ressort et relâchez la charge, il commencera à osciller verticalement. Si le déplacement à un moment donné est
, alors la force élastique s'écrira maintenant comme
.

Dans les deux cas considérés, le pendule à ressort effectue des oscillations harmoniques avec une période

(27)

et fréquence cyclique

. (28)

En utilisant l'exemple d'un pendule à ressort, nous pouvons conclure que les oscillations harmoniques sont un mouvement provoqué par une force qui augmente proportionnellement au déplacement. . Ainsi, si la force de rappel ressemble à la loi de Hooke
(elle a eu le nomforce quasi élastique ), alors le système doit effectuer des oscillations harmoniques. Au moment du passage de la position d'équilibre, aucune force de rappel n'agit sur le corps ; cependant, le corps, par inertie, passe la position d'équilibre et la force de rappel change de direction dans le sens opposé.

Pendule mathématique

Figure 16.

Oscillations d'un tel pendule à petits angles de déviation
(ne dépassant pas 5º) peut être considérée comme harmonique, et la fréquence cyclique d'un pendule mathématique :

, (29)

et période :

. (30)

2.3. Énergie corporelle lors des oscillations harmoniques

L'énergie transmise au système oscillatoire lors de la poussée initiale sera périodiquement transformée : l'énergie potentielle du ressort déformé se transformera en énergie cinétique de la charge en mouvement et inversement.

Laissez le pendule à ressort effectuer des oscillations harmoniques avec la phase initiale
, c'est-à-dire
(Fig.17).

Figure 17. Loi de conservation de l'énergie mécanique

quand un pendule à ressort oscille

A l'écart maximum de la charge par rapport à la position d'équilibre, l'énergie mécanique totale du pendule (l'énergie d'un ressort déformé avec une raideur ) est égal à
.
Lors du passage de la position d'équilibre (
.

) l'énergie potentielle du ressort deviendra égale à zéro, et l'énergie mécanique totale du système oscillatoire sera déterminée comme

La figure 18 montre des graphiques des dépendances de l'énergie cinétique, potentielle et totale dans les cas où les vibrations harmoniques sont décrites par des fonctions trigonométriques du sinus (ligne pointillée) ou du cosinus (ligne continue).

Figure 18. Graphiques de dépendance temporelle de la cinétique

et énergie potentielle lors des oscillations harmoniques

Il ressort des graphiques (Fig. 18) que la fréquence de changement de l'énergie cinétique et potentielle est deux fois plus élevée que la fréquence naturelle des oscillations harmoniques.

Lorsque des oscillations ont lieu à l'école, elles sont illustrées par deux exemples les plus simples : un poids sur un ressort et un pendule mathématique (c'est-à-dire un poids ponctuel sur un fil inextensible) dans un champ gravitationnel. Dans les deux cas, on observe une régularité importante dans les oscillations : leur période ne dépend pas de l'amplitude - du moins tant que cette amplitude reste faible - mais est déterminée uniquement par les propriétés mécaniques du système.

Par souci de simplicité, nous négligeons la troisième dimension et supposons que ce pendule à ressort oscille strictement dans le plan de la figure. Dans ce cas, le poids (qui est également considéré comme un poids ponctuel) peut se déplacer dans un plan vertical dans n'importe quelle direction, et pas seulement de haut en bas ou de gauche à droite, comme le montre la Fig. 2. Mais si nous nous limitons encore une fois à de petits écarts par rapport à la position d'équilibre, alors les oscillations horizontales et verticales se produisent presque indépendamment, avec leurs propres périodes. T x Et T y.

Il semblerait que puisque ces oscillations sont déterminées par des forces et des caractéristiques complètement différentes du système, leurs périodes peuvent alors être complètement arbitraires, sans aucun rapport les unes avec les autres. Il s'avère que non !

Tâche

Prouver que dans un tel pendule la période des oscillations horizontales est toujours supérieure à la période des oscillations verticales : T x > T y.

Indice

Le problème peut au premier abord vous surprendre dans la mesure où il semble que rien n’est donné, mais que quelque chose doit être prouvé. Mais il n’y a rien de mal à cela. Lorsqu'un problème est formulé de cette manière, cela signifie que vous pouvez introduire vous-même quelques notations dont vous avez besoin, calculer avec elles ce qui est requis, puis arriver à une conclusion qui est déjà ne dépend pasà partir de ces valeurs. Faites ceci pour cette tâche. Prenez les formules pour les périodes d'oscillation, réfléchissez aux quantités qu'elles incluent et comparez les deux périodes entre elles, en les divisant l'une par l'autre.

Solution

Période d'oscillation d'un bob de masse m sur un ressort raidisseur k et longueur L 0 est

.

Cette formule ne change pas même si le poids est suspendu dans un champ gravitationnel avec accélération en chute libre. g. Bien entendu, la position d’équilibre du poids se déplacera vers le bas d’une hauteur Δ L = mg/k- c'est avec cet allongement du ressort que la force élastique compense la force de gravité. Mais la période des oscillations verticales par rapport à cette nouvelle position d'équilibre avec le ressort tendu restera la même.

La période d'oscillations horizontales d'un pendule étiré est exprimée en termes d'accélération de la gravité g et lui complet longueur L = L 0 +Δ L:

.

C'est grâce à l'étirement supplémentaire dans le champ gravitationnel que l'on découvre que

C'est la solution.

Épilogue

Malgré son apparente simplicité, un pendule sur ressort est un système assez riche en phénomènes. C'est l'un des exemples les plus simples d'un phénomène intéressant : la résonance de Fermi. Voilà à quoi cela se résume : De manière générale, si le poids est tiré et relâché d’une manière ou d’une autre, il oscillera à la fois verticalement et horizontalement. Ces deux types de vibrations se chevaucheront simplement et n’interféreront pas l’une avec l’autre. Mais si les périodes d'oscillations verticales et horizontales sont liées par la relation T x = 2T y, puis les vibrations horizontales et verticales, comme contre leur gré, commenceront progressivement à se transformer l'une dans l'autre, comme dans l'animation de droite. L'énergie des vibrations sera, pour ainsi dire, pompée des vibrations verticales vers les vibrations horizontales et vice versa.

Cela ressemble à ceci : vous tirez le poids vers le bas et vous le relâchez. Au début, il oscille uniquement de haut en bas, puis tout seul, il commence à se balancer latéralement, pendant un instant l'oscillation devient presque complètement horizontale, puis revient à nouveau à la verticale. Étonnamment, une oscillation strictement verticale s’avère instable.

Une explication de cet effet remarquable, ainsi que le rapport magique T x:T y= 2:1, c'est tout. Notons par x Et ouiécart du poids par rapport à la position d'équilibre (axe oui pointant vers le haut). Avec un tel écart, l'énergie potentielle augmente d'autant

Il s’agit d’une formule précise, elle convient à tout écart, grand ou petit. Mais si x Et oui petit, nettement moins L, alors l'expression est approximativement égale à

ainsi que d'autres termes contenant des degrés d'écart encore plus élevés. Quantités U y Et Ux- ce sont des énergies potentielles ordinaires à partir desquelles sont obtenues des vibrations verticales et horizontales. Et voici la valeur surlignée en bleu Uxy est un additif spécial qui génère interaction entre ces fluctuations. Grâce à cette petite interaction, les vibrations verticales affectent les vibrations horizontales et vice versa. Cela devient complètement transparent si vous continuez les calculs et écrivez l'équation des vibrations horizontalement et verticalement :

où la notation est introduite

Sans l'additif bleu, nous aurions les oscillations verticales et horizontales indépendantes habituelles avec des fréquences ωy Et ωx. Ce supplément joue un rôle force coercitive, berçant également les vibrations. Si les fréquences ωy Et ωx sont arbitraires, alors cette petite force n’entraîne aucun effet significatif. Mais si la relation est vraie ωy = 2ωx, une résonance se produit : la force motrice des deux types d'oscillations contient une composante avec la même fréquence que l'oscillation elle-même. En conséquence, cette force fait osciller lentement mais régulièrement un type de vibration et supprime l’autre. C’est ainsi que les vibrations horizontales et verticales s’entremêlent.

Des beautés supplémentaires apparaissent si nous prenons honnêtement en compte la troisième dimension dans cet exemple. Nous supposerons que le poids peut comprimer et décomprimer le ressort verticalement et osciller comme un pendule dans deux directions horizontales. Ensuite, lorsque la condition de résonance est remplie, vu du dessus, le poids trace une trajectoire en forme d’étoile, comme par exemple sur la Fig. 3. Cela se produit parce que le plan d'oscillation ne reste pas stationnaire, mais tourne - mais pas en douceur, mais comme par sauts. Tandis que l'oscillation se déroule d'un côté à l'autre, ce plan tient plus ou moins, et la rotation se produit pendant cette courte période où l'oscillation est presque verticale. Nous invitons les lecteurs à réfléchir par eux-mêmes quelles sont les raisons de ce comportement et ce qui détermine l'angle de rotation de l'avion. Et ceux qui veulent se plonger tête baissée dans ce problème assez profond peuvent consulter l'article Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring, qui fournit non seulement une analyse détaillée du problème, mais parle également de son histoire et du lien de ce problème avec d'autres branches de la physique, en particulier avec la physique atomique.

Un pendule à ressort est un système oscillatoire constitué d'un point matériel de masse m et d'un ressort. Considérons un pendule à ressort horizontal (Fig. 13.12, a). Il est constitué d'un corps massif, percé en son milieu et posé sur une tige horizontale, le long de laquelle il peut coulisser sans frottement (un système oscillant idéal). La tige est fixée entre deux supports verticaux. Un ressort en apesanteur est fixé au corps à une extrémité. Son autre extrémité est fixée à un support, qui dans le cas le plus simple est au repos par rapport au référentiel inertiel dans lequel oscille le pendule. Au début, le ressort n'est pas déformé et le corps est dans la position d'équilibre C. Si, en étirant ou en comprimant le ressort, le corps est sorti de la position d'équilibre, alors une force élastique commencera à agir sur lui à partir de le côté du ressort déformé, toujours dirigé vers la position d'équilibre. Comprimons le ressort, déplaçons le corps vers la position A, et relâchons \((\upsilon_0=0).\) Sous l'action de la force élastique, il commencera à se déplacer de manière accélérée. Dans ce cas, en position A, la force élastique maximale agit sur le corps, car ici l'allongement absolu x m du ressort est le plus grand. Par conséquent, dans cette position, l’accélération est maximale. À mesure que le corps se rapproche de la position d’équilibre, l’allongement absolu du ressort diminue et, par conséquent, l’accélération conférée par la force élastique diminue. Mais comme l'accélération lors d'un mouvement donné est co-dirigée avec la vitesse, la vitesse du pendule augmente et en position d'équilibre elle sera maximale. Ayant atteint la position d'équilibre C, le corps ne s'arrêtera pas (bien que dans cette position le ressort ne soit pas déformé et la force élastique soit nulle), mais ayant de la vitesse, il se déplacera plus loin par inertie, étirant le ressort. La force élastique qui apparaît est désormais dirigée contre le mouvement du corps et le ralentit. Au point D, la vitesse du corps sera égale à zéro et l'accélération sera maximale, le corps s'arrêtera un instant, après quoi, sous l'influence de la force élastique, il commencera à se déplacer dans la direction opposée , à la position d'équilibre. L'ayant repassé par inertie, le corps, comprimant le ressort et ralentissant le mouvement, atteindra le point A (puisqu'il n'y a pas de frottement), c'est-à-dire complétera un swing complet. Après cela, le mouvement du corps sera répété dans la séquence décrite. Ainsi, les raisons des oscillations libres d'un pendule à ressort sont l'action de la force élastique qui apparaît lorsque le ressort est déformé et l'inertie du corps.

D'après la loi de Hooke \(~F_x=-kx.\) Par la deuxième loi de Newton \(~F_x = ma_x.\) Par conséquent, \(~ma_x = -kx.\) D'où

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) ou \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - équation dynamique du mouvement d'un pendule à ressort.

On voit que l'accélération est directement proportionnelle au mélange et est dirigée à l'opposé de celui-ci. En comparant l'équation résultante avec l'équation des oscillations harmoniques \(~a_x + \omega^2 x = 0,\), nous voyons que le pendule à ressort effectue des oscillations harmoniques avec une fréquence cyclique \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) Puisque \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\) alors

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) est la période d'oscillation du pendule à ressort.

En utilisant la même formule, vous pouvez calculer la période d'oscillation d'un pendule à ressort vertical (Fig. 13.12. b). En effet, en position d'équilibre, sous l'action de la gravité, le ressort est déjà étiré d'une certaine quantité x 0, déterminée par la relation \(~mg=kx_0.\) Lorsque le pendule est déplacé de la position d'équilibre Ô sur X projection de la force élastique \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) et selon la deuxième loi de Newton \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) En substituant ici la valeur \(~kx_0 =mg,\) on obtient l'équation du mouvement du pendule \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) coïncidant avec l'équation du mouvement du pendule horizontal.

Littérature

Aksenovich L. A. Physique au lycée : Théorie. Missions. Tests : Manuel. allocation pour les établissements dispensant un enseignement général. environnement, éducation / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino ; Éd. KS Farino. - Mn. : Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - P. 377-378.