Calculatrice mathématique en ligne v.1.0
La calculatrice effectue les opérations suivantes : addition, soustraction, multiplication, division, travail avec des décimales, extraction de racine, exponentiation, calculs de pourcentage et autres opérations.
Solution:
Comment utiliser une calculatrice mathématique
| Clé | Désignation | Explication |
|---|---|---|
| 5 | chiffres 0-9 | Chiffres arabes. Saisie d'entiers naturels, zéro. Pour obtenir un entier négatif, vous devez appuyer sur la touche +/- |
| . | point (virgule) | Séparateur pour indiquer une fraction décimale. S'il n'y a pas de chiffre avant le point (virgule), la calculatrice substituera automatiquement un zéro avant le point. Par exemple : .5 - 0.5 sera écrit |
| + | signe plus | Addition de nombres (entiers, décimaux) |
| - | signe moins | Soustraire des nombres (entiers, décimaux) |
| ÷ | signe de division | Division de nombres (entiers, décimaux) |
| X | signe de multiplication | Multiplication de nombres (entiers, décimaux) |
| √ | racine | Extraire la racine d'un nombre. Lorsque vous appuyez à nouveau sur le bouton « racine », la racine du résultat est calculée. Par exemple : racine de 16 = 4 ; racine de 4 = 2 |
| x2 | la quadrature | Mettre un nombre au carré. Lorsque vous appuyez à nouveau sur le bouton « carré », le résultat est au carré. Par exemple : carré 2 = 4 ; carré 4 = 16 |
| 1/x | fraction | Sortie en fractions décimales. Le numérateur est 1, le dénominateur est le nombre saisi |
| % | pour cent | Obtenir un pourcentage d'un nombre. Pour travailler, vous devez saisir : le nombre à partir duquel le pourcentage sera calculé, le signe (plus, moins, diviser, multiplier), combien de pour cent sous forme numérique, le bouton "%" |
| ( | parenthèse ouverte | Une parenthèse ouverte pour préciser la priorité du calcul. Une parenthèse fermée est obligatoire. Exemple : (2+3)*2=10 |
| ) | parenthèse fermée | Une parenthèse fermée pour préciser la priorité du calcul. Une parenthèse ouverte est obligatoire |
| ± | plus moins | Inverse le signe |
| = | est égal | Affiche le résultat de la solution. Également au-dessus de la calculatrice, dans le champ « Solution », les calculs intermédiaires et le résultat sont affichés. |
| ← | supprimer un personnage | Supprime le dernier caractère |
| AVEC | réinitialiser | Bouton de réinitialisation. Réinitialise complètement la calculatrice en position "0" |
Algorithme du calculateur en ligne à l'aide d'exemples
Ajout.
Addition d'entiers naturels (5 + 7 = 12)
Addition de nombres entiers naturels et négatifs ( 5 + (-2) = 3 )
Addition de fractions décimales (0,3 + 5,2 = 5,5)
Soustraction.
Soustraire des entiers naturels ( 7 - 5 = 2 )
Soustraire des entiers naturels et négatifs ( 5 - (-2) = 7 )
Soustraire des fractions décimales (6,5 - 1,2 = 4,3)
Multiplication.
Produit d'entiers naturels (3 * 7 = 21)
Produit d'entiers naturels et négatifs ( 5 * (-3) = -15 )
Produit de fractions décimales ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Division.
Division d'entiers naturels (27 / 3 = 9)
Division d'entiers naturels et négatifs (15 / (-3) = -5)
Division de fractions décimales (6,2 / 2 = 3,1)
Extraire la racine d'un nombre.
Extraire la racine d'un entier ( root(9) = 3)
Extraire la racine des fractions décimales (root(2.5) = 1.58)
Extraire la racine d'une somme de nombres ( root(56 + 25) = 9)
Extraire la racine de la différence entre les nombres (racine (32 – 7) = 5)
Mettre un nombre au carré.
Mettre au carré un entier ( (3) 2 = 9 )
Nombres décimaux au carré ((2,2)2 = 4,84)
Conversion en fractions décimales.
Calculer les pourcentages d'un nombre
Augmentez le nombre 230 de 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Réduisez le nombre 510 de 35% ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )
18% du nombre 140 est (140 * 0,18 = 25,2)
Comme on le sait, la multiplication des nombres se résume à la somme des produits partiels obtenus en multipliant le chiffre actuel du multiplicateur DANS au multiplicande L. Pour binaire nombres, les produits partiels sont égaux au multiplicande ou à zéro. Par conséquent, la multiplication de nombres binaires est réduite à une sommation séquentielle de produits partiels avec décalage. Pour décimal nombres, les produits partiels peuvent prendre 10 valeurs différentes, dont zéro. Par conséquent, pour obtenir des produits partiels, au lieu de la multiplication, une sommation séquentielle multiple du multiplicande L peut être utilisée. Pour illustrer l'algorithme de multiplication des nombres décimaux, nous utiliserons un exemple.
Exemple 2.26. Pa fig. 2.15, UN La multiplication des nombres décimaux entiers A x b = 54 x 23 est donnée en commençant par le chiffre le moins significatif du multiplicateur. L'algorithme suivant est utilisé pour la multiplication :
0 est pris comme état initial. La première somme est obtenue en ajoutant le multiplicande A = 54 à zéro. Ensuite, le multiplicande est à nouveau ajouté à la première somme. UN= 54. Et enfin, après la troisième sommation, on obtient le premier produit partiel, égal à 0" + 54 + 54 + 54 = 162 ;
Riz. 2.15. Algorithme de multiplication de nombres décimaux entiers 54 x 23(UN) et le principe de sa mise en œuvre(b)
- le premier produit partiel est décalé d'un bit vers la droite (ou le multiplicande vers la gauche) ;
- le multiplicande est ajouté deux fois aux chiffres les plus élevés du premier produit partiel : 16 + 54 + 54 = 124 ;
- après avoir combiné la somme résultante 124 avec le 2 de poids faible du premier produit partiel, le produit 1242 est trouvé.
Considérons, à l'aide d'un exemple, la possibilité d'un circuit de mise en œuvre d'un algorithme utilisant les opérations de sommation, de soustraction et de décalage.
Exemple 2.27. Que ce soit dans le registre R. t le multiplicande est stocké en permanence UNE = 54. Dans l'état initial au registre R. 2 placez le multiplicateur DANS= 23, et inscrivez-vous R. 3 est chargé de zéros. Pour obtenir le premier produit partiel (162), on ajoute trois fois le multiplicande au contenu du registre UNE = 54, en diminuant à chaque fois le contenu du registre d'un R. T Après le bit le moins significatif du registre R., devient égal à zéro, décale le contenu des deux registres /? vers la droite d'un bit, et R.,. Présence de 0 dans le chiffre le moins significatif R. 2c indique que la formation du produit partiel est terminée et qu’un décalage doit être effectué. Ensuite, nous effectuons deux opérations d'ajout du multiplicande UN= 54 avec le contenu du registre et en soustrayant un du contenu du registre R. 0. Après la deuxième opération, le chiffre le moins significatif du registre R., deviendra égal à zéro. Ainsi, en décalant le contenu des registres vers la droite d'un bit R. 3 et R. Oui on obtient le produit recherché P = 1242.
La mise en œuvre de l'algorithme de multiplication des nombres décimaux dans les codes décimaux binaires (Fig. 2.16) présente des fonctionnalités associées à l'exécution d'opérations d'addition et de soustraction.
Riz. 2.16.
(voir paragraphe 2.3), ainsi que le décalage de la tétrade de quatre bits. Considérons-les dans les conditions de l'exemple 2.27.
Exemple 2.28. Multiplication de nombres à virgule flottante. Pour obtenir le produit des nombres A et Bc la virgule flottante doit être définie M c = M je x M n, R. Avec =P{ + R. n. Dans ce cas, les règles de multiplication et d'addition algébrique des nombres à virgule fixe sont utilisées. Le produit reçoit un signe « + » si le multiplicande et le multiplicateur ont les mêmes signes, et un signe « - » si leurs signes sont différents. Si nécessaire, la mantisse résultante est normalisée avec une correction d'ordre appropriée.
Exemple 2.29. Multiplication de nombres binaires normalisés :
Lors de l'exécution d'une opération de multiplication, des cas particuliers peuvent survenir et sont gérés par des instructions spéciales du processeur. Par exemple, si l'un des facteurs est égal à zéro, l'opération de multiplication n'est pas effectuée (bloquée) et un résultat nul est immédiatement généré.
Objet de la prestation. La calculatrice en ligne est conçue pour multiplier des nombres binaires. Exemple n°1. Multipliez les nombres binaires 111 et 101.Solution.
| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 1 | ||
| = | = | = | = | = |
| 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | ||
| = | = | = | = | = |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Lors de la sommation, un débordement s'est produit dans les bits 2, 3, 4. De plus, le débordement s'est également produit dans le chiffre le plus significatif, on écrit donc 1 devant le nombre résultant, et on obtient : 100011
Dans le système numérique décimal, ce nombre a la forme suivante :
Pour traduire, vous devez multiplier le chiffre d'un nombre par le degré de chiffre correspondant.
100011 = 2 5 *1 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 35
Vérifions le résultat de la multiplication dans le système de nombres décimaux. Pour ce faire, nous convertissons les nombres 111 et 101 en notation décimale.
111 2 = 2 2 *1 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 4 + 2 + 1 = 7
101 2 = 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 4 + 0 + 1 = 5
7x5 = 35
Exemple n°2. Trouvez le produit binaire 11011*1100. Convertissez la réponse en système décimal.
Solution. On commence la multiplication à partir des chiffres les plus bas : si le chiffre actuel du deuxième nombre est 0, alors on écrit des zéros partout, si 1, alors on réécrit le premier nombre.
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | ||||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Lors de la sommation, un débordement s'est produit dans les bits 3, 4, 5, 6, 7. De plus, le débordement s'est également produit dans le chiffre le plus significatif, on écrit donc 1 devant le nombre résultant, et on obtient : 101000100
101000100 = 2 8 *1 + 2 7 *0 + 2 6 *1 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 256 + 0 + 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 324
Vérifions le résultat de la multiplication dans le système de nombres décimaux. Pour ce faire, nous convertissons les nombres 11011 et 1100 en notation décimale.
11011 = 2 4 *1 + 2 3 *1 + 2 2 *0 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27
1100 = 2 3 *1 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12
27 x 12 = 324
Exemple n°3. 1101.11*101
On va multiplier des nombres sans tenir compte de la virgule flottante : 110111 x 101
On commence la multiplication à partir des chiffres les plus bas : si le chiffre actuel du deuxième nombre est 0, alors on écrit des zéros partout, si 1, alors on réécrit le premier nombre.
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 1 | |||||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Lors de la sommation, un débordement s'est produit dans les bits 2, 3, 4, 5, 6, 7. De plus, le débordement s'est également produit dans le chiffre le plus significatif, on écrit donc 1 devant le nombre résultant, et on obtient : 100010011
Puisque nous avons multiplié sans prendre en compte la virgule flottante, nous écrivons le résultat final comme suit : 1000100,11
Dans le système de nombres décimaux, ce nombre a la forme suivante :
1000100 = 2 6 *1 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 68
Pour convertir la partie fractionnaire, vous devez diviser le chiffre du nombre par le degré de chiffre correspondant.
11 = 2 -1 *1 + 2 -2 *1 = 0.75
En conséquence, nous obtenons le nombre 68,75
Vérifions le résultat de la multiplication dans le système de nombres décimaux. Pour ce faire, nous convertissons les nombres 1101,11 et 101 en notation décimale.
1101 = 2 3 *1 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
11 = 2 -1 *1 + 2 -2 *1 = 0.75
En conséquence, nous obtenons le nombre 13,75
Convertissez le nombre : 101 2 = 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 4 + 0 + 1 = 5
13,75 x 5 = 68,75
Dans la dernière leçon, nous avons appris à additionner et soustraire des nombres décimaux (voir la leçon « Ajouter et soustraire des nombres décimaux »). Dans le même temps, nous avons évalué à quel point les calculs sont simplifiés par rapport aux fractions ordinaires « à deux étages ».
Malheureusement, cet effet ne se produit pas lors de la multiplication et de la division de nombres décimaux. Dans certains cas, la notation décimale complique même ces opérations.
Tout d’abord, introduisons une nouvelle définition. Nous le verrons assez souvent, et pas seulement dans cette leçon.
La partie significative d'un nombre est tout ce qui se trouve entre le premier et le dernier chiffre non nul, y compris les extrémités. Nous parlons uniquement de chiffres, le point décimal n'est pas pris en compte.
Les chiffres inclus dans la partie significative d’un nombre sont appelés chiffres significatifs. Ils peuvent être répétés et même être égaux à zéro.
Par exemple, considérons plusieurs fractions décimales et écrivez les parties significatives correspondantes :
- 91,25 → 9125 (chiffres significatifs : 9 ; 1 ; 2 ; 5) ;
- 0,008241 → 8241 (chiffres significatifs : 8 ; 2 ; 4 ; 1) ;
- 15,0075 → 150075 (chiffres significatifs : 1 ; 5 ; 0 ; 0 ; 7 ; 5) ;
- 0,0304 → 304 (chiffres significatifs : 3 ; 0 ; 4) ;
- 3000 → 3 (il n'y a qu'un seul chiffre significatif : 3).
Attention : les zéros à l’intérieur de la partie significative du nombre ne vont nulle part. Nous avons déjà rencontré quelque chose de similaire lorsque nous avons appris à convertir des fractions décimales en fractions ordinaires (voir leçon « Décimales »).
Ce point est si important, et les erreurs sont si fréquentes ici, que je publierai prochainement un test sur ce sujet. Assurez-vous de pratiquer! Et nous, armés du concept de partie significative, passerons en fait au sujet de la leçon.
Multiplier des décimales
L'opération de multiplication se compose de trois étapes successives :
- Pour chaque fraction, notez la partie significative. Vous obtiendrez deux entiers ordinaires - sans dénominateurs ni points décimaux ;
- Multipliez ces nombres de la manière qui vous convient. Directement, si les nombres sont petits, ou en colonne. On obtient la partie significative de la fraction recherchée ;
- Découvrez où et de combien de chiffres la virgule décimale dans les fractions originales est décalée pour obtenir la partie significative correspondante. Effectuez des décalages inverses pour la partie significative obtenue à l'étape précédente.
Je vous rappelle encore une fois que les zéros situés à côté de la partie significative ne sont jamais pris en compte. Ignorer cette règle entraîne des erreurs.
- 0,28 12,5 ;
- 6,3 · 1,08 ;
- 132,5 · 0,0034 ;
- 0,0108 1600,5 ;
- 5,25 · 10 000.
On travaille avec la première expression : 0,28 · 12,5.
- Écrivons les parties significatives des nombres de cette expression : 28 et 125 ;
- Leur produit : 28 · 125 = 3500 ;
- Dans le premier facteur, le point décimal est décalé de 2 chiffres vers la droite (0,28 → 28), et dans le second, il est décalé d'un chiffre supplémentaire. Au total, vous avez besoin d'un décalage vers la gauche de trois chiffres : 3500 → 3500 = 3,5.
Regardons maintenant l'expression 6,3 · 1,08.
- Écrivons les parties significatives : 63 et 108 ;
- Leur produit : 63 · 108 = 6804 ;
- Encore une fois, deux décalages vers la droite : respectivement de 2 et 1 chiffre. Total - encore une fois 3 chiffres vers la droite, donc le décalage inverse sera de 3 chiffres vers la gauche : 6804 → 6,804. Cette fois, il n’y a pas de zéros à droite.
Nous avons atteint la troisième expression : 132,5 · 0,0034.
- Parties significatives : 1325 et 34 ;
- Leur produit : 1325 · 34 = 45 050 ;
- Dans la première fraction, la virgule décimale se déplace vers la droite d'un chiffre et dans la seconde, jusqu'à 4. Total : 5 vers la droite. On se décale de 5 vers la gauche : 45 050 → .45050 = 0,4505. Le zéro a été supprimé à la fin et ajouté au début afin de ne pas laisser de point décimal « nu ».
L'expression suivante est : 0,0108 · 1600,5.
- On écrit les parties significatives : 108 et 16 005 ;
- On les multiplie : 108 · 16 005 = 1 728 540 ;
- On compte les nombres après la virgule : dans le premier nombre il y en a 4, dans le second il y en a 1. Le total est encore 5. On a : 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. A la fin, le zéro « supplémentaire » a été supprimé.
Enfin, la dernière expression : 5,25 10 000.
- Parties significatives : 525 et 1 ;
- On les multiplie : 525 · 1 = 525 ;
- La première fraction est décalée de 2 chiffres vers la droite et la deuxième fraction est décalée de 4 chiffres vers la gauche (10 000 → 1,0000 = 1). Total 4 − 2 = 2 chiffres à gauche. On effectue un décalage inverse de 2 chiffres vers la droite : 525, → 52 500 (il a fallu ajouter des zéros).
Remarque dans le dernier exemple : comme la virgule décimale se déplace dans des directions différentes, le décalage total se trouve à travers la différence. C'est un point très important ! Voici un autre exemple :
Considérons les nombres 1,5 et 12 500. Nous avons : 1,5 → 15 (décalage de 1 vers la droite) ; 12 500 → 125 (décalage 2 vers la gauche). Nous « passons » 1 chiffre vers la droite, puis 2 vers la gauche. En conséquence, nous avons fait un pas de 2 − 1 = 1 chiffre vers la gauche.
Division décimale
La division est peut-être l’opération la plus difficile. Bien sûr, ici vous pouvez agir par analogie avec la multiplication : diviser les parties significatives, puis « déplacer » la virgule décimale. Mais dans ce cas, de nombreuses subtilités annulent les économies potentielles.
Regardons donc un algorithme universel, un peu plus long, mais beaucoup plus fiable :
- Convertissez toutes les fractions décimales en fractions ordinaires. Avec un peu de pratique, cette étape ne vous prendra que quelques secondes ;
- Divisez les fractions obtenues de la manière classique. Autrement dit, multipliez la première fraction par la seconde « inversée » (voir la leçon « Multiplier et diviser des fractions numériques »);
- Si possible, présentez à nouveau le résultat sous forme de fraction décimale. Cette étape est également rapide, puisque le dénominateur est souvent déjà une puissance de dix.
Tâche. Trouvez le sens de l'expression :
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Considérons la première expression. Commençons par convertir les fractions en décimales :
Faisons de même avec la deuxième expression. Le numérateur de la première fraction sera à nouveau factorisé :
Il y a un point important dans les troisième et quatrième exemples : après s'être débarrassé de la notation décimale, des fractions réductibles apparaissent. Cependant, nous ne procéderons pas à cette réduction.
Le dernier exemple est intéressant car le numérateur de la deuxième fraction contient un nombre premier. Il n’y a tout simplement rien à factoriser ici, nous le considérons donc directement :
Parfois, la division donne un nombre entier (je parle du dernier exemple). Dans ce cas, la troisième étape n’est pas réalisée du tout.
De plus, lors de la division, des fractions «laides» apparaissent souvent qui ne peuvent pas être converties en décimales. Cela distingue la division de la multiplication, où les résultats sont toujours représentés sous forme décimale. Bien entendu, dans ce cas, la dernière étape n'est pas non plus exécutée.
Faites également attention aux 3ème et 4ème exemples. Dans ceux-ci, nous ne réduisons délibérément pas les fractions ordinaires obtenues à partir de décimales. Sinon, cela compliquera la tâche inverse - représenter à nouveau la réponse finale sous forme décimale.
N’oubliez pas : la propriété fondamentale d’une fraction (comme toute autre règle mathématique) ne signifie pas en soi qu’elle doit être appliquée partout et toujours, à chaque occasion.
