ઋતુઓ

- ∑a k i x i = 0 સ્વરૂપ ધરાવે છે. જ્યાં m > n અથવા m રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, કારણ કે rangA = rangB. તેમાં દેખીતી રીતે શૂન્યનો સમાવેશ થતો ઉકેલ છે, જેને કહેવામાં આવે છેતુચ્છ

સેવાનો હેતુ

. ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટર SLAE માટે બિન-તુચ્છ અને મૂળભૂત ઉકેલ શોધવા માટે રચાયેલ છે. પરિણામી સોલ્યુશન વર્ડ ફાઇલમાં સેવ થાય છે (ઉદાહરણ સોલ્યુશન જુઓ).

બિન-તુચ્છ ઉકેલો, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે તેના મેટ્રિક્સનો ક્રમ અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય.

બિન-તુચ્છ ઉકેલોપ્રમેય
. જો અને માત્ર જો આ સિસ્ટમનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોય તો જ m=n કિસ્સામાં સિસ્ટમમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય છે.. સિસ્ટમના ઉકેલોનું કોઈપણ રેખીય સંયોજન એ પણ તે સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. વ્યાખ્યા. રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોના સમૂહને કહેવામાં આવે છે

ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ

, જો આ સમૂહમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો હોય અને સિસ્ટમનો કોઈપણ ઉકેલ આ ઉકેલોનું રેખીય સંયોજન હોય.

1. પ્રમેય. જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો ક્રમ r અજ્ઞાતની સંખ્યા n કરતા ઓછો હોય, તો ત્યાં (n-r) ઉકેલો ધરાવતા ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ અસ્તિત્વમાં છે.
2. રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ
3. મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવો.
4. અમે મૂળભૂત માઇનોર પસંદ કરીએ છીએ. અમે આશ્રિત (મૂળભૂત) અને મુક્ત અજ્ઞાતને અલગ પાડીએ છીએ.
5. અમે સિસ્ટમના તે સમીકરણોને વટાવીએ છીએ કે જેના ગુણાંક બેઝિસ માઇનરમાં શામેલ નથી, કારણ કે તે અન્યના પરિણામો છે (આધારિત ગૌણ પરના પ્રમેય મુજબ).
6. અમે મુક્ત અજ્ઞાત ધરાવતા સમીકરણોની શરતોને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ. પરિણામે, આપણે r અજ્ઞાત સાથે r સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ, જે આપેલ સમકક્ષ છે, જેનો નિર્ણાયક શૂન્ય છે.
7. અમે અજાણ્યાઓને દૂર કરીને પરિણામી સિસ્ટમને હલ કરીએ છીએ. અમે મુક્ત રાશિઓ દ્વારા આશ્રિત ચલોને વ્યક્ત કરતા સંબંધો શોધીએ છીએ.

ઉદાહરણ. વેક્ટર્સ સિસ્ટમનો આધાર શોધો (a 1, a 2,...,a m), ક્રમાંક આપો અને આધારના આધારે વેક્ટર્સને વ્યક્ત કરો. જો a 1 =(0,0,1,-1), અને 2 =(1,1,2,0), અને 3 =(1,1,1,1), અને 4 =(3,2,1 ,4), અને 5 =(2,1,0,3).
ચાલો સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ લખીએ:

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ જેમાં તમામ મુક્ત પદો શૂન્ય સમાન હોય છે તેને કહેવામાં આવે છે સજાતીય :

કોઈપણ સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, કારણ કે તે હંમેશા હોય છે શૂન્ય (રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ) ઉકેલ. પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે કઈ પરિસ્થિતિઓમાં સજાતીય પ્રણાલીમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હશે.

પ્રમેય 5.2.સજાતીય પ્રણાલીમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો અંતર્ગત મેટ્રિક્સનો ક્રમ તેના અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય.

પરિણામ. એક ચોરસ સજાતીય સિસ્ટમમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય છે જો અને માત્ર જો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર ન હોય.

ઉદાહરણ 5.6.પેરામીટર l ના મૂલ્યો નક્કી કરો કે જેના પર સિસ્ટમ પાસે બિન-તુચ્છ ઉકેલો છે, અને આ ઉકેલો શોધો:

ઉકેલ. જ્યારે મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે આ સિસ્ટમમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હશે:

આમ, જ્યારે l=3 અથવા l=2 હોય ત્યારે સિસ્ટમ બિન-તુચ્છ છે. l=3 માટે, સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ 1 છે. પછી, માત્ર એક સમીકરણ છોડીને અને ધારી રહ્યા છીએ કે y=aઅને z=b, અમને મળે છે x=b-a, એટલે કે

l=2 માટે, સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ 2 છે. પછી, આધાર તરીકે નાનાને પસંદ કરીને:

અમને એક સરળ સિસ્ટમ મળે છે

અહીંથી આપણે તે શોધીએ છીએ x=z/4, y=z/2. માનતા z=4a, અમને મળે છે

સજાતીય સિસ્ટમના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે રેખીય મિલકત : જો કૉલમ X 1 અને એક્સ 2 - સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલો AX = 0, પછી તેમાંથી કોઈપણ રેખીય સંયોજન a એક્સ 1 + b એક્સ 2 આ સિસ્ટમનો ઉકેલ પણ હશે. ખરેખર, ત્યારથી AX 1 = 0 અને AX 2 = 0 , તે એ(એ એક્સ 1 + b એક્સ 2) = એ AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. તે આ ગુણધર્મને કારણે છે કે જો રેખીય પ્રણાલીમાં એક કરતાં વધુ ઉકેલો હોય, તો આ ઉકેલોની અસંખ્ય સંખ્યા હશે.

રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કૉલમ ઇ 1 , ઇ 2 , એક, જે સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલો છે, કહેવામાં આવે છે વ્યાખ્યા રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ જો આ સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલને આ કૉલમના રેખીય સંયોજન તરીકે લખી શકાય:

જો સજાતીય સિસ્ટમ હોય nચલ, અને સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ બરાબર છે આર, તે k = n-r.

ઉદાહરણ 5.7.રેખીય સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ શોધો:

ઉકેલ. ચાલો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો રેન્ક શોધીએ:

આમ, સમીકરણોની આ સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ પરિમાણની રેખીય સબસ્પેસ બનાવે છે n-r= 5 - 2 = 3. ચાલો નાનાને આધાર તરીકે પસંદ કરીએ

પછી, ફક્ત મૂળભૂત સમીકરણો (બાકીના આ સમીકરણોનું રેખીય સંયોજન હશે) અને મૂળભૂત ચલો (અમે બાકીના, કહેવાતા મુક્ત ચલોને જમણી તરફ ખસેડીએ છીએ) ને છોડીને, અમે સમીકરણોની એક સરળ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

માનતા x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, અમે શોધીએ છીએ

માનતા a= 1, b = c= 0, અમે પ્રથમ મૂળભૂત ઉકેલ મેળવીએ છીએ; માનતા b= 1, a = c= 0, અમે બીજો મૂળભૂત ઉકેલ મેળવીએ છીએ; માનતા c= 1, a = b= 0, અમે ત્રીજો મૂળભૂત ઉકેલ મેળવીએ છીએ. પરિણામે, ઉકેલોની સામાન્ય મૂળભૂત સિસ્ટમ સ્વરૂપ લેશે

મૂળભૂત સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને, સજાતીય સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલને આ રીતે લખી શકાય છે

એક્સ = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

ચાલો રેખીય સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીના ઉકેલોના કેટલાક ગુણધર્મો નોંધીએ AX=Bઅને સમીકરણોની અનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલી સાથેનો તેમનો સંબંધ AX = 0.

અસંગત સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલઅનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલી AX = 0 ના સામાન્ય ઉકેલના સરવાળો અને અસંગત પ્રણાલીના મનસ્વી વિશિષ્ટ ઉકેલના સરવાળા સમાન છે. ખરેખર, દો વાય 0 એ અસંગત પ્રણાલીનું મનસ્વી વિશિષ્ટ ઉકેલ છે, એટલે કે. એવાય 0 = બી, અને વાય- વિજાતીય સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ, એટલે કે. AY=B. એક સમાનતાને બીજીમાંથી બાદ કરીએ તો આપણને મળે છે
એ(Y-Y 0) = 0, એટલે કે. Y-Y 0 એ અનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલીનો સામાન્ય ઉકેલ છે AX=0. આથી, Y-Y 0 = એક્સ, અથવા Y=Y 0 + એક્સ. Q.E.D.

અસંગત પ્રણાલીમાં AX = B સ્વરૂપ રહેવા દો 1 + બી 2 . પછી આવી સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ X = X તરીકે લખી શકાય 1 + એક્સ 2 , જ્યાં AX 1 = બી 1 અને AX 2 = બી 2. આ ગુણધર્મ સામાન્ય રીતે (બીજગણિત, વિભેદક, કાર્યાત્મક, વગેરે) કોઈપણ રેખીય સિસ્ટમોની સાર્વત્રિક મિલકતને વ્યક્ત કરે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આ ગુણધર્મ કહેવાય છે સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત, ઇલેક્ટ્રિકલ અને રેડિયો એન્જિનિયરિંગમાં - સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત. ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય વિદ્યુત સર્કિટના સિદ્ધાંતમાં, કોઈપણ સર્કિટમાં વર્તમાન દરેક ઉર્જા સ્ત્રોત દ્વારા અલગથી થતા પ્રવાહોના બીજગણિત સરવાળા તરીકે મેળવી શકાય છે.

6.3. રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓ

હવે સિસ્ટમમાં આવવા દો (6.1).

સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે. ઉકેલ () કહેવાય છે શૂન્ય, અથવા રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમો.

સજાતીય પ્રણાલી (6.1) પાસે બિન-શૂન્ય ઉકેલ હોય છે જો અને માત્ર જો તેનો ક્રમ ( ) અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતાં ઓછી છે. ખાસ કરીને, એક સજાતીય પ્રણાલી કે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે, જો અને માત્ર જો તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય હોય તો જ બિનશૂન્ય ઉકેલ હોય છે.

કારણ કે આ વખતે બધું, સૂત્રો (6.6) ને બદલે આપણે નીચે આપેલ મેળવીએ છીએ:

(6.7)

ફોર્મ્યુલા (6.7) માં સજાતીય પ્રણાલીના કોઈપણ ઉકેલો (6.1) હોય છે.

1. રેખીય સમીકરણો (6.1) ની સજાતીય સિસ્ટમના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ એક રેખીય જગ્યા બનાવે છે.

2. રેખીય જગ્યાઆરરેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીના તમામ ઉકેલો (6.1) સાથેnઅજ્ઞાત અને સમાન મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમઆર, પરિમાણ ધરાવે છેn–r.

કોઈપણ સમૂહ (n–r) સજાતીય સિસ્ટમના રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો (6.1) અવકાશમાં એક આધાર બનાવે છેઆરબધા નિર્ણયો. તે કહેવાય છે મૂળભૂતસમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોનો સમૂહ (6.1). પર વિશેષ ભાર મૂકવામાં આવે છે "સામાન્ય"સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોનો મૂળભૂત સમૂહ (6.1):

(6.8)

આધારની વ્યાખ્યા દ્વારા, કોઈપણ ઉકેલ એક્સસજાતીય સિસ્ટમ (6.1) ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

(6.9)

જ્યાં - મનસ્વી સ્થિરાંકો.

કારણ કે ફોર્મ્યુલા (6.9) માં સજાતીય સિસ્ટમ (6.1) માટે કોઈપણ ઉકેલ શામેલ છે, તે આપે છે સામાન્ય ઉકેલઆ સિસ્ટમ.

ઉદાહરણ.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ AX = 0હંમેશા સાથે. તેમાં બિન-તુચ્છ (બિન-શૂન્ય) ઉકેલો છે જો આર= રેન્ક એ< n .

સજાતીય પ્રણાલીઓ માટે, મૂળભૂત ચલો (જેના ગુણાંક મૂળભૂત ગૌણ બનાવે છે) ફોર્મના સંબંધો દ્વારા મુક્ત ચલો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

પછી n-rલીનિયરલી સ્વતંત્ર વેક્ટર સોલ્યુશન્સ હશે:

અને અન્ય કોઈપણ ઉકેલ એ તેમનું રેખીય સંયોજન છે. વેક્ટર સોલ્યુશન્સ સામાન્ય મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે.

રેખીય અવકાશમાં, રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોનો સમૂહ પરિમાણની સબસ્પેસ બનાવે છે n-r; - આ સબસ્પેસનો આધાર.

સિસ્ટમ mસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત(અથવા, રેખીય સિસ્ટમ

અહીં x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, એક mn- સિસ્ટમ ગુણાંક - અને b 1 , b 2 , … b m એક iji) અને અજ્ઞાત ( j

સિસ્ટમ (1) કહેવાય છે સજાતીયb 1 = b 2 = … = b m= 0), અન્યથા - વિજાતીય.

સિસ્ટમ (1) કહેવાય છે ચોરસ, જો નંબર mસંખ્યા સમાન સમીકરણો nઅજ્ઞાત

ઉકેલસિસ્ટમો (1) - સેટ nસંખ્યાઓ c 1 , c 2 , …, c n, જેમ કે દરેકની અવેજીમાં c iતેના બદલે x iસિસ્ટમમાં (1) તેના તમામ સમીકરણોને ઓળખમાં ફેરવે છે.

સિસ્ટમ (1) કહેવાય છે સંયુક્ત બિન-સંયુક્ત

ઉકેલો c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) અને c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n વિવિધ

ચોક્કસ અનિશ્ચિત. જો અજાણ્યા કરતાં વધુ સમીકરણો હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે પુનઃવ્યાખ્યાયિત.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

મેટ્રિક્સ સમીકરણો ઉકેલવા ~ ગૌસ પદ્ધતિ

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ બે જૂથોમાં વહેંચાયેલી છે:

1. ચોક્કસ પદ્ધતિઓ, જે સિસ્ટમના મૂળની ગણતરી કરવા માટેના મર્યાદિત અલ્ગોરિધમ્સ છે (વિપરીત મેટ્રિક્સ, ક્રેમરનો નિયમ, ગૌસની પદ્ધતિ વગેરેનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમો ઉકેલવા),

2. પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ, જે કન્વર્જન્ટ પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાઓ (પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ, સીડેલ પદ્ધતિ, વગેરે) દ્વારા આપેલ ચોકસાઈ સાથે સિસ્ટમનો ઉકેલ મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે.

અનિવાર્ય રાઉન્ડિંગને લીધે, ચોક્કસ પદ્ધતિઓના પરિણામો અંદાજિત છે. પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરતી વખતે, વધુમાં, પદ્ધતિની ભૂલ ઉમેરવામાં આવે છે.

પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓનો અસરકારક ઉપયોગ પ્રારંભિક અંદાજની સફળ પસંદગી અને પ્રક્રિયાના કન્વર્જન્સની ઝડપ પર નોંધપાત્ર રીતે આધાર રાખે છે.

મેટ્રિક્સ સમીકરણો ઉકેલવા

સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો nઆદર સાથે રેખીય બીજગણિત સમીકરણો nઅજ્ઞાત એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, x n:

.

(15)

મેટ્રિક્સ એ, જેનાં સ્તંભો અનુરૂપ અજ્ઞાત માટે ગુણાંક છે, અને પંક્તિઓ અનુરૂપ સમીકરણમાં અજ્ઞાત માટે ગુણાંક છે, તેને કહેવાય છે. સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ; મેટ્રિક્સ-સ્તંભ b, જેના તત્વો સિસ્ટમના સમીકરણોની જમણી બાજુ છે, તેને કહેવામાં આવે છે જમણી બાજુનું મેટ્રિક્સઅથવા માત્ર સિસ્ટમની જમણી બાજુ. કૉલમ મેટ્રિક્સ એક્સ, જેના તત્વો અજ્ઞાત અજ્ઞાત છે, કહેવાય છે સિસ્ટમ સોલ્યુશન.

જો મેટ્રિક્સ એ- બિન-વિશેષ, એટલે કે, det એ એન e 0 ની બરાબર છે, પછી સિસ્ટમ (13), અથવા તેના સમકક્ષ મેટ્રિક્સ સમીકરણ (14) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે.

હકીકતમાં, પૂરી પાડવામાં આવેલ det A બરાબર નથી 0 ત્યાં એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે એ-1. મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણ (14) ની બંને બાજુનો ગુણાકાર એ-1 આપણને મળે છે:

ફોર્મ્યુલા (16) સમીકરણ (14) નો ઉકેલ આપે છે અને તે અનન્ય છે.

ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે તે અનુકૂળ છે ઉકેલો.

ઉકેલો( A, b)

ઉકેલ વેક્ટર પરત કરવામાં આવે છે xજેમ કે ઓહ= b

દલીલો:

એ- ચોરસ, બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ.

b- મેટ્રિક્સમાં જેટલી પંક્તિઓ છે તેટલી જ પંક્તિઓ ધરાવતો વેક્ટર એ .

આકૃતિ 8 ત્રણ અજાણ્યામાં ત્રણ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ બતાવે છે.

ગૌસ પદ્ધતિ

ગૌસીયન પદ્ધતિ, જેને ગૌસીયન નાબૂદી પદ્ધતિ પણ કહેવામાં આવે છે, તેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે સિસ્ટમ (13) અજ્ઞાતને ક્રમિક દૂર કરીને ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ સાથે સમકક્ષ સિસ્ટમમાં ઘટાડો થાય છે:

મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં, આનો અર્થ એ થાય છે કે પ્રથમ (ગૌસિયન પદ્ધતિનો સીધો અભિગમ), પંક્તિઓ પર પ્રારંભિક કામગીરી દ્વારા, સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને એક પગલાવાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

અને પછી (ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત) આ સ્ટેપ મેટ્રિક્સ રૂપાંતરિત થાય છે જેથી પ્રથમ nકૉલમ અમને એકમ મેટ્રિક્સ મળે છે:

.

છેલ્લે, ( n+ 1) આ મેટ્રિક્સના સ્તંભમાં સિસ્ટમનો ઉકેલ છે (13).

Mathcad માં, ગૌસીયન પદ્ધતિની આગળ અને પાછળની ચાલ ફંક્શન દ્વારા કરવામાં આવે છે રેફ(એ).

આકૃતિ 9 ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ બતાવે છે, જે નીચેના કાર્યોનો ઉપયોગ કરે છે:

રેફ( એ)

મેટ્રિક્સનું સ્ટેપ ફોર્મ પરત આવે છે એ.

વધારો( એ, IN)

સ્થાન દ્વારા રચાયેલ એરે પરત કરે છે એ અને IN બાજુમાં. અરે એ અને IN સમાન સંખ્યામાં રેખાઓ હોવી આવશ્યક છે.

સબમેટ્રિક્સ( A, ir, jr, ic, jc)

સાથેના તમામ ઘટકોનો સમાવેશ કરતું સબમેટ્રિક્સ પરત કરે છે irદ્વારા જુનિયરઅને સાથે કૉલમ આઇસીદ્વારા જેસીતેની ખાતરી કરો ir જુનિયરઅને

આઇસી જેસી,અન્યથા પંક્તિઓ અને/અથવા કૉલમનો ક્રમ ઉલટાવી દેવામાં આવશે.

આકૃતિ 9.

પદ્ધતિનું વર્ણન

n અજ્ઞાત સાથે n રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે (એક મનસ્વી ક્ષેત્ર પર)

સિસ્ટમ મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક સાથે Δ શૂન્યથી અલગ, ઉકેલ ફોર્મમાં લખાયેલ છે

(સિસ્ટમ મેટ્રિક્સના i-th કૉલમને મફત શરતોના કૉલમ દ્વારા બદલવામાં આવે છે).
અન્ય સ્વરૂપમાં, ક્રેમરનો નિયમ નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવ્યો છે: કોઈપણ ગુણાંક c1, c2, ..., cn માટે નીચેની સમાનતા ધરાવે છે:

આ સ્વરૂપમાં, ક્રેમરનું સૂત્ર એ ધારણા વિના માન્ય છે કે Δ શૂન્યથી અલગ છે તે જરૂરી પણ નથી કે સિસ્ટમના ગુણાંક એક અવિભાજ્ય રિંગના ઘટકો હોય (સિસ્ટમના નિર્ધારકમાં શૂન્યનો વિભાજક પણ હોઈ શકે છે; ગુણાંક રીંગ). આપણે એમ પણ ધારી શકીએ કે ક્યાં તો સેટ b1,b2,...,bn અને x1,x2,...,xn, અથવા સેટ c1,c2,...,cn, ગુણાંક રિંગના ઘટકોનો સમાવેશ કરતા નથી. સિસ્ટમની, પરંતુ આ રિંગની ઉપરના કેટલાક મોડ્યુલ. આ સ્વરૂપમાં, ક્રેમરના સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રામ નિર્ધારક અને નાકાયામાના લેમ્માના સૂત્રના પુરાવામાં.

35) ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય

n અજ્ઞાતમાં m અસંગત રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આવશ્યકતાનો પુરાવો. એક્સ 1 =α 1 , એક્સ 2 =α 2 , …, સિસ્ટમ (1.13) સુસંગત રહેવા દો, એટલે કે, આવી સંખ્યાઓ અસ્તિત્વમાં છે x n = α n , શું (1.15) ચાલો આપણે વિસ્તૃત મેટ્રિક્સની છેલ્લી કૉલમમાંથી તેના પ્રથમ કૉલમને બાદ કરીએ, α 1 વડે ગુણાકાર કરીએ, બીજાને - α 2, ..., nth - α n વડે ગુણાકાર કરીએ, એટલે કે મેટ્રિક્સના છેલ્લા કૉલમમાંથી (1.14) આપણે સમાનતાઓની ડાબી બાજુઓને બાદ કરવી જોઈએ ( 1.15). પછી આપણને મેટ્રિક્સ મળે છે આનો અર્થ એ છે કે મેટ્રિક્સની બાકીની પંક્તિઓ પ્રથમ r પંક્તિઓના રેખીય સંયોજનો તરીકે મેળવી શકાય છે, એટલે કે, મેટ્રિક્સની m-r પંક્તિઓ પ્રથમ r પંક્તિઓના સરવાળા તરીકે કેટલીક સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. પરંતુ પછી સિસ્ટમ (1.13) ના પ્રથમ r સમીકરણો સ્વતંત્ર છે, અને બાકીના તેમના પરિણામો છે, એટલે કે, પ્રથમ r સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ બાકીના સમીકરણોનો આપમેળે ઉકેલ છે. ત્યાં બે સંભવિત કિસ્સાઓ છે. x 1. r=n. પછી પ્રથમ r સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમમાં સમાન સંખ્યામાં સમીકરણો અને અજ્ઞાત છે અને તે સુસંગત છે, અને તેનો ઉકેલ અનન્ય છે. x 2.આર x(1.16) “મફત” અજ્ઞાત x 1 , x 2 , …, xઆર +1, એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સઆર +2, …, n કોઈપણ મૂલ્યો આપી શકાય છે. પછી અજાણ્યાઓને અનુરૂપ મૂલ્યો મળે છે +1 =c 1 , n કોઈપણ મૂલ્યો આપી શકાય છે. પછી અજાણ્યાઓને અનુરૂપ મૂલ્યો મળે છે +2 =c 2 , …, આર. આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ (1.13) સુસંગત છે, પરંતુ અનિશ્ચિત છે.ટિપ્પણી. ઓર્ડર r નો નોનઝીરો માઈનોર, જ્યાં આર x 1 (c 1 , …, r ને મૂળભૂત પણ કહેવામાં આવે છે, બાકીના મફત છે. સિસ્ટમ (1.16) ને ટૂંકી કહેવામાં આવે છે.), x 2 (c 1 , …, r ને મૂળભૂત પણ કહેવામાં આવે છે, બાકીના મફત છે. સિસ્ટમ (1.16) ને ટૂંકી કહેવામાં આવે છે.), …, જો મફત અજ્ઞાત સૂચિત કરવામાં આવે છે(c 1 , …, r ને મૂળભૂત પણ કહેવામાં આવે છે, બાકીના મફત છે. સિસ્ટમ (1.16) ને ટૂંકી કહેવામાં આવે છે.), c 1 , c 2 , …, r ને મૂળભૂત પણ કહેવામાં આવે છે, બાકીના મફત છે. સિસ્ટમ (1.16) ને ટૂંકી કહેવામાં આવે છે. x આર

x n = c n - r
સિસ્ટમ mસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત(અથવા, રેખીય સિસ્ટમ, તો મૂળભૂત અજ્ઞાત તેમના પર નિર્ભર રહેશે, એટલે કે, n અજ્ઞાત સાથે m સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલનું સ્વરૂપ X = (

અહીં x 1 , x 2 , …, x n c n - r a 11 , a 12 , …, એક mn x આર b 1 , b 2 , … b m) T , જ્યાં T પ્રતીકનો અર્થ થાય છે ટ્રાન્સપોઝ. એક ijસિસ્ટમના આ ઉકેલને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે. i) અને અજ્ઞાત ( j 36) નિશ્ચિતતા, અનિશ્ચિતતા

સિસ્ટમ (1) કહેવાય છે સજાતીય) રેખીય બીજગણિતમાં ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમ છે b 1 = b 2 = … = b m- અજ્ઞાત જે નક્કી કરવાની જરૂર છે. વિજાતીય.

સિસ્ટમ (1) કહેવાય છે સંયુક્ત- સિસ્ટમ ગુણાંક - અને બિન-સંયુક્ત- મુક્ત સભ્યો - જાણીતા હોવાનું માનવામાં આવે છે. ગુણાંક સૂચકાંકો (

) સિસ્ટમો સમીકરણ નંબરો દર્શાવે છે (

ઉકેલો c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) અને c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n), જેના પર આ ગુણાંક અનુક્રમે રહે છે. વિવિધ, જો તેની તમામ મુક્ત શરતો શૂન્ય સમાન હોય (

= 0), અન્યથા - ચોક્કસ, જો તેની પાસે ઓછામાં ઓછું એક ઉકેલ છે, અને અનિશ્ચિત

, જો તેણી પાસે એક પણ ઉકેલ નથી.

પ્રકાર (1) ની સંયુક્ત સિસ્ટમમાં એક અથવા વધુ ઉકેલો હોઈ શકે છે.

મેટ્રિક્સ એ(2) ફોર્મની સંયુક્ત સિસ્ટમો (1) કહેવામાં આવે છે b, જો ઓછામાં ઓછી એક સમાનતાનું ઉલ્લંઘન થાય છે:

ફોર્મની સંયુક્ત સિસ્ટમ (1) કહેવામાં આવે છે

, જો તેની પાસે અનન્ય ઉકેલ છે; જો તેની પાસે ઓછામાં ઓછા બે અલગ અલગ ઉકેલો હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે 37) ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવીમૂળ સિસ્ટમ આના જેવી દેખાવા દો સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ કહેવાય છે,.

- મફત સભ્યોની કૉલમ.

બધા માટે ઉપરોક્ત શરત સુસંગતતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત તરીકે ઘડી શકાય છે:

યાદ કરો કે સંયુક્ત સિસ્ટમનો ક્રમ એ તેના મુખ્ય મેટ્રિક્સ (અથવા વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ, કારણ કે તે સમાન છે) ની રેન્ક છે.

અલ્ગોરિધમ

વર્ણન

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ને ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ બે તબક્કામાં વહેંચાયેલું છે.

§ પ્રથમ તબક્કે, કહેવાતી સીધી ચાલ હાથ ધરવામાં આવે છે, જ્યારે, પંક્તિઓ પર પ્રાથમિક પરિવર્તન દ્વારા, સિસ્ટમને સ્ટેપ્ડ અથવા ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં લાવવામાં આવે છે, અથવા તે સ્થાપિત થાય છે કે સિસ્ટમ અસંગત છે. એટલે કે, મેટ્રિક્સના પ્રથમ સ્તંભના ઘટકોમાંથી, બિન-શૂન્ય એક પસંદ કરો, પંક્તિઓને ફરીથી ગોઠવીને તેને સૌથી ઉપરના સ્થાને ખસેડો, અને પુન: ગોઠવણી પછી બાકીની પંક્તિઓમાંથી પરિણામી પ્રથમ પંક્તિને બાદ કરો, તેને મૂલ્ય વડે ગુણાકાર કરો. આ દરેક પંક્તિના પ્રથમ ઘટક અને પ્રથમ પંક્તિના પ્રથમ તત્વના ગુણોત્તર સમાન, તેની નીચેની કૉલમને શૂન્ય કરો. દર્શાવેલ રૂપાંતરણો પૂર્ણ થયા પછી, પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમ માનસિક રીતે પાર કરવામાં આવે છે અને શૂન્ય કદનું મેટ્રિક્સ રહે ત્યાં સુધી ચાલુ રાખવામાં આવે છે. જો કોઈપણ પુનરાવૃત્તિ પર પ્રથમ કૉલમના ઘટકોમાં કોઈ બિન-શૂન્ય તત્વ ન હોય, તો પછીની કૉલમ પર જાઓ અને સમાન ઑપરેશન કરો.

§ બીજા તબક્કે, કહેવાતી વિપરીત ચાલ હાથ ધરવામાં આવે છે, જેનો સાર એ છે કે તમામ પરિણામી મૂળભૂત ચલોને બિન-મૂળભૂતની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવા અને ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમની રચના કરવી, અથવા, જો બધા ચલો મૂળભૂત, પછી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો એકમાત્ર ઉકેલ આંકડાકીય રીતે વ્યક્ત કરો. આ પ્રક્રિયા છેલ્લા સમીકરણથી શરૂ થાય છે, જેમાંથી અનુરૂપ મૂળભૂત ચલ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે (અને ત્યાં માત્ર એક જ છે) અને અગાઉના સમીકરણોમાં અવેજી કરવામાં આવે છે, અને તેથી આગળ, "પગલાઓ" ઉપર જઈને. દરેક લાઇન બરાબર એક બેઝિસ વેરિએબલને અનુરૂપ છે, તેથી છેલ્લી (સૌથી ટોચની) સિવાયના દરેક પગલા પર, પરિસ્થિતિ છેલ્લી લાઇનના કિસ્સામાં બરાબર પુનરાવર્તન કરે છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિને ઓર્ડરની જરૂર છે ઓ(n 3) ક્રિયાઓ.

આ પદ્ધતિ આના પર આધાર રાખે છે:

38)ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય.
સિસ્ટમ સુસંગત છે જો અને માત્ર જો તેના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ તેના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમની સમાન હોય.

તે શું છે તે સમજવા માટે મૂળભૂત નિર્ણય સિસ્ટમતમે ક્લિક કરીને સમાન ઉદાહરણ માટે વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ જોઈ શકો છો. હવે ચાલો બધા જરૂરી કાર્યના વાસ્તવિક વર્ણન પર આગળ વધીએ. આ તમને આ મુદ્દાના સારને વધુ વિગતવાર સમજવામાં મદદ કરશે.

રેખીય સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ કેવી રીતે શોધવી?

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે રેખીય સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ લઈએ:

ચાલો સમીકરણોની આ રેખીય પદ્ધતિનો ઉકેલ શોધીએ. સાથે શરૂ કરવા માટે, અમે તમારે સિસ્ટમના ગુણાંક મેટ્રિક્સ લખવાની જરૂર છે.

ચાલો આ મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકારમાં પરિવર્તિત કરીએ.અમે ફેરફારો વિના પ્રથમ લીટી ફરીથી લખીએ છીએ. અને તમામ ઘટકો કે જે $a_(11)$ હેઠળ છે તે શૂન્ય બનાવવું આવશ્યક છે. તત્વ $a_(21)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે બીજી લીટીમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરવાની અને બીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(31)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ત્રીજી લીટીમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરવાની અને ત્રીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(41)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ચોથી લીટીમાંથી 2 વડે પ્રથમ ગુણાકાર બાદબાકી કરવાની અને ચોથી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(31)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે પાંચમી લીટીમાંથી 2 વડે પ્રથમ ગુણાકાર બાદબાકી કરવાની અને પાંચમી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે.

અમે ફેરફારો વિના પ્રથમ અને બીજી લાઇન ફરીથી લખીએ છીએ. અને તમામ ઘટકો કે જે $a_(22)$ હેઠળ છે તે શૂન્ય બનાવવું આવશ્યક છે. તત્વ $a_(32)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ત્રીજી લીટીમાંથી 2 વડે ગુણાકાર કરેલ બીજાને બાદબાકી કરવાની અને ત્રીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(42)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ચોથી લીટીમાંથી બીજા ગુણાકારને 2 બાદબાકી કરવાની અને ચોથી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. $a_(52)$ તત્વની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે પાંચમી લીટીમાંથી 3 વડે ગુણાકાર કરેલ બીજાને બાદબાકી કરવાની અને પાંચમી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે.

તે આપણે જોઈએ છીએ છેલ્લી ત્રણ લીટીઓ સમાન છે, તેથી જો તમે ચોથા અને પાંચમામાંથી ત્રીજાને બાદ કરશો, તો તેઓ શૂન્ય થઈ જશે.

આ મેટ્રિક્સ અનુસાર સમીકરણોની નવી સિસ્ટમ લખો.

આપણે જોઈએ છીએ કે આપણી પાસે ફક્ત ત્રણ રેખીય સ્વતંત્ર સમીકરણો છે, અને પાંચ અજાણ્યા છે, તેથી ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમમાં બે વેક્ટર હશે. તેથી અમે આપણે છેલ્લા બે અજાણ્યાઓને જમણી તરફ ખસેડવાની જરૂર છે.

હવે, અમે ડાબી બાજુએ રહેલા અજાણ્યાઓને જમણી બાજુના લોકો દ્વારા વ્યક્ત કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ. અમે છેલ્લા સમીકરણથી શરૂઆત કરીએ છીએ, પહેલા અમે $x_3$ વ્યક્ત કરીએ છીએ, પછી અમે પરિણામી પરિણામને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને $x_2$ વ્યક્ત કરીએ છીએ, અને પછી પ્રથમ સમીકરણમાં અને અહીં અમે $x_1$ વ્યક્ત કરીએ છીએ. આમ, અમે ડાબી બાજુના તમામ અજાણ્યાઓને જમણી બાજુના અજાણ્યાઓ દ્વારા વ્યક્ત કર્યા.

પછી $x_4$ અને $x_5$ ને બદલે, અમે કોઈપણ સંખ્યાઓને બદલી શકીએ છીએ અને $x_1$, $x_2$ અને $x_3$ શોધી શકીએ છીએ. આ દરેક પાંચ સંખ્યાઓ આપણી મૂળ સમીકરણોની સિસ્ટમના મૂળ હશે. જેમાં સમાવવામાં આવેલ છે તે વેક્ટર શોધવા માટે FSRઆપણે $x_4$ ને બદલે 1, અને $x_5$ ને બદલે 0 ને બદલવાની જરૂર છે, $x_1$, $x_2$ અને $x_3$ શોધો, અને પછી ઊલટું $x_4=0$ અને $x_5=1$.