B - P + G = 1, (*)

જ્યાં B એ શિરોબિંદુઓની કુલ સંખ્યા છે, P એ ધારની કુલ સંખ્યા છે, G એ બહુકોણ (ચહેરા) ની સંખ્યા છે.

પુરાવો. ચાલો સાબિત કરીએ કે જો આપેલ પાર્ટીશનના કેટલાક બહુકોણમાં કર્ણ દોરવામાં આવે તો સમાનતા બદલાતી નથી (ફિગ. 2, a).

a) b)

ફિગ.2

ખરેખર, આવા કર્ણ દોર્યા પછી, નવા પાર્ટીશનમાં B શિરોબિંદુઓ, P+1 ધાર હશે અને બહુકોણની સંખ્યા એકથી વધશે. તેથી, અમારી પાસે છે

B - (P + 1) + (G+1) = B – P + G.

આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, અમે કર્ણ દોરીએ છીએ જે આવનારા બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે, અને પરિણામી પાર્ટીશન માટે અમે સંબંધની શક્યતા બતાવીએ છીએ.

આ કરવા માટે, અમે ત્રિકોણની સંખ્યા ઘટાડીને, ક્રમિક રીતે બાહ્ય કિનારીઓને દૂર કરીશું. આ કિસ્સામાં, બે કેસો શક્ય છે:

ત્રિકોણ ABC ને દૂર કરવા માટે, તમારે બે કિનારીઓ દૂર કરવાની જરૂર છે, અમારા કિસ્સામાં AB અને BC;

ત્રિકોણ MKN દૂર કરવા માટે, તમારે એક ધાર દૂર કરવાની જરૂર છે, અમારા કિસ્સામાં MN.

બંને કિસ્સાઓમાં સમાનતા બદલાશે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ કિસ્સામાં, ત્રિકોણને દૂર કર્યા પછી, ગ્રાફમાં B-1 શિરોબિંદુઓ, P-2 ધાર અને G-1 બહુકોણ હશે:

(B - 1) - (P + 2) + (G -1) = B – P + G.

આમ, એક ત્રિકોણ દૂર કરવાથી સમાનતા બદલાતી નથી.

ત્રિકોણને દૂર કરવાની આ પ્રક્રિયાને ચાલુ રાખીને, આપણે આખરે એક ત્રિકોણ ધરાવતા પાર્ટીશન પર પહોંચીશું. આવા પાર્ટીશન માટે B = 3, P = 3, G = 1 અને તેથી,

B - P + G = 1.

આનો અર્થ એ છે કે સમાનતા મૂળ પાર્ટીશન માટે પણ ધરાવે છે, જેમાંથી આપણે આખરે મેળવીએ છીએ કે બહુકોણના આ પાર્ટીશન માટે સંબંધ માન્ય છે.

નોંધ કરો કે યુલરનો સંબંધ બહુકોણના આકાર પર આધારિત નથી. બહુકોણ વિકૃત થઈ શકે છે, વિસ્તૃત થઈ શકે છે, ઘટાડી શકાય છે અથવા તો તેમની બાજુઓને વળાંક પણ આપી શકે છે, જ્યાં સુધી બાજુઓમાં કોઈ અંતર ન હોય. યુલરનો સંબંધ બદલાશે નહીં.

ચાલો હવે ત્રણ ઘરો અને ત્રણ કુવાઓની સમસ્યા હલ કરવા આગળ વધીએ.

ઉકેલ . ચાલો ધારીએ કે આ કરી શકાય છે. ચાલો ઘરોને પોઈન્ટ D1, D2, D3 અને પોઈન્ટ K1, K2, K3 (ફિગ. 1) સાથે કુવાઓને ચિહ્નિત કરીએ. અમે દરેક ઘરના બિંદુને દરેક કૂવા બિંદુ સાથે જોડીએ છીએ. આપણને નવ ધાર મળે છે જે જોડીમાં છેદે નથી.

આ કિનારીઓ પ્લેન પર બહુકોણ બનાવે છે, જે નાના બહુકોણમાં વિભાજિત થાય છે. તેથી, આ પાર્ટીશન માટે યુલર સંબંધ B - P + G = 1 સંતુષ્ટ હોવો જોઈએ.

ચાલો વિચારણા હેઠળના ચહેરા પર એક વધુ ચહેરો ઉમેરીએ - બહુકોણના સંબંધમાં પ્લેનનો બાહ્ય ભાગ. પછી યુલર સંબંધ B = 6 અને P = 9 સાથે B - P + G = 2 સ્વરૂપ લેશે.

તેથી, Г = 5. પાંચમાંના દરેક ચહેરામાં ઓછામાં ઓછી ચાર કિનારીઓ હોય છે, કારણ કે, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, કોઈપણ પાથ સીધા બે ઘરો અથવા બે કૂવાઓને જોડવા જોઈએ નહીં. દરેક ધાર બરાબર બે ચહેરા પર આવેલી હોવાથી, ધારની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી (5 4)/2 = 10 હોવી જોઈએ, જે તેમની સંખ્યા 9 હોવાની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે.

પરિણામી વિરોધાભાસ દર્શાવે છે કે સમસ્યાનો જવાબ નકારાત્મક છે - દરેક ઘરથી દરેક ગામ સુધી બિન-છેદ્યા માર્ગો દોરવા અશક્ય છે

રસાયણશાસ્ત્રમાં ગ્રાફ થિયરી

રાસાયણિક અને રાસાયણિક-તકનીકી આલેખના વિવિધ વર્ગોના નિર્માણ અને વિશ્લેષણ માટે ગ્રાફ થિયરીનો ઉપયોગ, જેને ટોપોલોજી, મોડેલ્સ, એટલે કે. મોડેલો કે જે ફક્ત શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના જોડાણોની પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લે છે. આ આલેખની ચાપ (કિનારીઓ) અને શિરોબિંદુઓ રાસાયણિક અને રાસાયણિક-તકનીકી વિભાવનાઓ, ઘટનાઓ, પ્રક્રિયાઓ અથવા વસ્તુઓ અને તે મુજબ, ગુણાત્મક અને માત્રાત્મક સંબંધો અથવા તેમની વચ્ચેના ચોક્કસ સંબંધોને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

સૈદ્ધાંતિક સમસ્યાઓ. રાસાયણિક આલેખ રાસાયણિક પરિવર્તનની આગાહી કરવાનું શક્ય બનાવે છે, સારને સમજાવે છે અને રસાયણશાસ્ત્રની કેટલીક મૂળભૂત વિભાવનાઓને વ્યવસ્થિત બનાવે છે: માળખું, રૂપરેખાંકન, પુષ્ટિકરણ, અણુઓની ક્વોન્ટમ યાંત્રિક અને આંકડાકીય-યાંત્રિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ, આઇસોમેરિઝમ, વગેરે. રાસાયણિક આલેખમાં પરમાણુ, દ્વિપક્ષીય અને સિગ્નલ ગ્રાફનો સમાવેશ થાય છે. ગતિ પ્રતિક્રિયા સમીકરણો. સ્ટીરિયોકેમિસ્ટ્રી અને સ્ટ્રક્ચરલ ટોપોલોજી, ક્લસ્ટરોની રસાયણશાસ્ત્ર, પોલિમર વગેરેમાં વપરાતા મોલેક્યુલર આલેખ એ પરમાણુઓની સંરચના પ્રદર્શિત કરતા બિન નિર્દેશિત ગ્રાફ છે. આ આલેખના શિરોબિંદુઓ અને કિનારીઓ અનુરૂપ અણુઓ અને તેમની વચ્ચેના રાસાયણિક બોન્ડને અનુરૂપ છે.

સ્ટીરિયોકેમિસ્ટ્રીમાં.org. c-c સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા મોલેક્યુલર વૃક્ષો છે - મોલેક્યુલર આલેખના વૃક્ષો કે જેમાં પરમાણુઓને અનુરૂપ તમામ શિરોબિંદુઓ હોય છે અને તેમના સમરૂપીકરણને સ્થાપિત કરવાથી પરમાણુ માળખું નક્કી કરવાનું શક્ય બને છે અને અલ્કેન્સના આઇસોમર્સની કુલ સંખ્યા શોધવાનું શક્ય બને છે. alkenes અને alkynes. પરમાણુ આલેખ વિવિધ સંયોજનોના પરમાણુઓના કોડિંગ, નામકરણ અને માળખાકીય લક્ષણો (શાખા, ચક્રીયતા, વગેરે) સંબંધિત સમસ્યાઓને સંપૂર્ણ રીતે ગાણિતિક વિશેષતાઓ અને પરમાણુ આલેખ અને તેમના વૃક્ષોના ગુણધર્મોના વિશ્લેષણ અને સરખામણીને ઘટાડવાનું શક્ય બનાવે છે. તેમના અનુરૂપ મેટ્રિસિસ. પરમાણુઓની રચના અને સંયોજનોના ભૌતિક રાસાયણિક (ફાર્મકોલોજિકલ સહિત) ગુણધર્મો વચ્ચેના સહસંબંધોની સંખ્યાને ઓળખવા માટે, 20 થી વધુ કહેવાતા વિકસિત કરવામાં આવ્યા છે. પરમાણુઓના ટોપોલોજિકલ સૂચકાંકો (વિનર, બાલાબન, હોસોયા, પ્લાટા, રેન્ડિચ, વગેરે), જે પરમાણુ વૃક્ષોની મેટ્રિસિસ અને સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિનર ઇન્ડેક્સ W = (m3 + m)/6, જ્યાં m એ C અણુઓને અનુરૂપ શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છે, પરમાણુ વોલ્યુમો અને રીફ્રેક્શન્સ, રચનાના એન્થાલ્પીઝ, સ્નિગ્ધતા, સપાટીના તણાવ, સંયોજનોના ક્રોમેટોગ્રાફિક સ્થિરાંકો, ઓક્ટેન સાથે સંબંધ ધરાવે છે. હાઇડ્રોકાર્બનની સંખ્યા અને ફિઝિયોલ પણ. દવાઓની પ્રવૃત્તિ. આપેલ પદાર્થના ટૉટોમેરિક સ્વરૂપો અને તેમની પ્રતિક્રિયાત્મકતા તેમજ એમિનો એસિડ, ન્યુક્લિક એસિડ, કાર્બોહાઇડ્રેટ્સ અને અન્ય જટિલ કુદરતી સંયોજનોના વર્ગીકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાતા પરમાણુ ગ્રાફના મહત્વના પરિમાણો સરેરાશ અને કુલ (એચ) માહિતી ક્ષમતા છે. પોલિમરના પરમાણુ આલેખનું વિશ્લેષણ, જેના શિરોબિંદુઓ મોનોમર એકમોને અનુરૂપ છે, અને કિનારીઓ તેમની વચ્ચેના રાસાયણિક બંધનને અનુરૂપ છે, તે સમજાવવાનું શક્ય બનાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગુણો તરફ દોરી જતા બાકાત વોલ્યુમની અસરો. પોલિમરના અનુમાનિત ગુણધર્મોમાં ફેરફાર. ગ્રાફ થિયરી અને કૃત્રિમ બુદ્ધિના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને, રસાયણશાસ્ત્રમાં માહિતી પુનઃપ્રાપ્તિ પ્રણાલીઓ માટે સોફ્ટવેર, તેમજ પરમાણુ માળખાને ઓળખવા માટે અને કાર્બનિક સંશ્લેષણના તર્કસંગત આયોજન માટે સ્વયંસંચાલિત સિસ્ટમો વિકસાવવામાં આવી છે. તર્કસંગત રાસાયણિક માર્ગો પસંદ કરવા માટે ઓપરેશનના કમ્પ્યુટર પર વ્યવહારુ અમલીકરણ માટે. રેટ્રોસિન્થેટીક અને સિન્ટોનિક સિદ્ધાંતો પર આધારિત પરિવર્તનો ઉકેલ વિકલ્પો માટે બહુ-સ્તરીય શાખાવાળા શોધ આલેખનો ઉપયોગ કરે છે, જેના શિરોબિંદુઓ રીએજન્ટ્સ અને ઉત્પાદનોના પરમાણુ આલેખને અનુરૂપ હોય છે, અને આર્ક્સ પરિવર્તનો દર્શાવે છે.

રાસાયણિક તકનીકી પ્રણાલીઓ (સીટીએસ) ના વિશ્લેષણ અને ઑપ્ટિમાઇઝેશનની બહુપરીમાણીય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, નીચેના રાસાયણિક તકનીકી ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: પ્રવાહ, માહિતી પ્રવાહ, સંકેત અને વિશ્વસનીયતા આલેખ. રસાયણશાસ્ત્રમાં અભ્યાસ માટે. મોટી સંખ્યામાં કણો ધરાવતી સિસ્ટમ્સમાં વિક્ષેપનું ભૌતિકશાસ્ત્ર કહેવાતા ઉપયોગ કરે છે. ફેનમેન આકૃતિઓ આલેખ છે, જેના શિરોબિંદુઓ ભૌતિક કણોની પ્રાથમિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ, અથડામણ પછી તેમના માર્ગોની કિનારીઓને અનુરૂપ છે. ખાસ કરીને, આ ગ્રાફ ઓસીલેટરી પ્રતિક્રિયાઓની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરવાનું શક્ય બનાવે છે અને પ્રતિક્રિયા પ્રણાલીઓની સ્થિરતા નક્કી કરે છે સામગ્રી પ્રવાહ ગ્રાફ સીટીએસમાં પદાર્થોના વપરાશમાં ફેરફાર દર્શાવે છે. થર્મલ ફ્લો ગ્રાફ CTS માં ગરમી સંતુલન દર્શાવે છે; આલેખના શિરોબિંદુઓ એવા ઉપકરણોને અનુરૂપ છે જેમાં ભૌતિક પ્રવાહની ગરમીનો વપરાશ બદલાય છે, અને વધુમાં, સિસ્ટમની થર્મલ ઊર્જાના સ્ત્રોતો અને સિંક સાથે; આર્ક્સ ભૌતિક અને કાલ્પનિક (ઉપકરણોમાં ભૌતિક-રાસાયણિક ઉર્જાનું રૂપાંતર) ગરમીના પ્રવાહને અનુરૂપ છે, અને આર્કનું વજન પ્રવાહના એન્થાલ્પીસ જેટલું છે. સામગ્રી અને થર્મલ ગ્રાફનો ઉપયોગ જટિલ રાસાયણિક પ્રણાલીઓના સામગ્રી અને ઉષ્મા સંતુલન માટેના સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ્સના સ્વચાલિત વિકાસ માટેના કાર્યક્રમોને સંકલિત કરવા માટે થાય છે. માહિતી પ્રવાહ આલેખ ગાણિતિક સમીકરણોની સિસ્ટમોની તાર્કિક માહિતી માળખું દર્શાવે છે. XTS મોડલ; આ સિસ્ટમોની ગણતરી માટે શ્રેષ્ઠ અલ્ગોરિધમ્સ વિકસાવવા માટે વપરાય છે. દ્વિપક્ષીય માહિતી ગ્રાફ એ એક નિર્દેશિત અથવા નિર્દેશિત ગ્રાફ છે જેના શિરોબિંદુઓ અનુક્રમે અનુરૂપ છે. સમીકરણો fl -f6 અને ચલો q1 – V, અને શાખાઓ તેમના સંબંધને પ્રતિબિંબિત કરે છે. માહિતી આલેખ - સમીકરણો ઉકેલવાના ક્રમને દર્શાવતો ડિગ્રાફ; આલેખના શિરોબિંદુઓ XTS માહિતીના આ સમીકરણો, સ્ત્રોતો અને પ્રાપ્તકર્તાઓને અનુરૂપ છે અને શાખાઓ માહિતીને અનુરૂપ છે. ચલો સિગ્નલ ગ્રાફ રાસાયણિક તકનીકી પ્રક્રિયાઓ અને પ્રણાલીઓના ગાણિતિક મોડેલોના સમીકરણોની રેખીય સિસ્ટમોને અનુરૂપ છે. વિશ્વસનીયતા ગ્રાફનો ઉપયોગ વિવિધ વિશ્વસનીયતા સૂચકાંકો Xની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

સાહિત્ય વપરાય છે:

1.બર્જ કે., ટી. જી અને તેની એપ્લિકેશન, ફ્રેન્ચમાંથી અનુવાદ, એમ., 1962;

2. કેમેની જે., સ્નેલ જે., થોમ્પસન જે., ફિનાઈટ મેથેમેટિક્સનો પરિચય, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, 2જી આવૃત્તિ, એમ., 1963;

3.ઓપે ઓ., આલેખ અને તેમની એપ્લિકેશન, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, એમ., 1965;

4. Belykh O.V., Belyaev E.V., સમાજશાસ્ત્રમાં ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ કરવાની શક્યતાઓ, માં: માણસ અને સમાજ, વોલ્યુમ. 1, [એલ.], 1966;

5. સમાજશાસ્ત્રીય સંશોધનમાં માત્રાત્મક પદ્ધતિઓ, એમ., 1966; Belyaev E.V., સમાજશાસ્ત્રીય માપનની સમસ્યાઓ, "VF", 1967, નંબર 7; બાવેલાસ. પુસ્તકમાં કાર્યલક્ષી જૂથોમાં સંચાર પેટર્ન. લેર્નર ડી., લાસ વેલ એચ., પોલિટિકલ સાયન્સ, સ્ટેનફોર્ડ, 1951;

મ્યુનિસિપલ સ્વાયત્ત શૈક્ષણિક સંસ્થા માધ્યમિક શાળા નં. 2

તૈયાર

લેગકોકોનેટ્સ વ્લાદિસ્લાવ, વર્ગ 10A નો વિદ્યાર્થી

ગ્રાફ થિયરીની પ્રાયોગિક એપ્લિકેશન

સુપરવાઈઝર

એલ.આઈ. નોસ્કોવા, ગણિતના શિક્ષક

આર્ટ

2011

1.પરિચય ………………………………………………………………………………………………………….3

2. ગ્રાફ થિયરીના ઉદભવનો ઇતિહાસ………………………………………………………..4

3. ગ્રાફ થિયરીની મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને પ્રમેય………………………………………6

4. આલેખનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવેલ સમસ્યાઓ………………………………..………………………..8

4.1 પ્રખ્યાત સમસ્યાઓ ……………………………………………………………… 8

4.2 કેટલીક રસપ્રદ સમસ્યાઓ………………………………………………………..9

5. લોકોના જીવનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં આલેખનો ઉપયોગ………………………………...11

6. સમસ્યાઓનું નિરાકરણ………………………………………………………………………12

7. નિષ્કર્ષ……………………………………………………………………………………….13

8. સંદર્ભોની યાદી………………………………………………………………………………14

9.પરિશિષ્ટ………………………………………………………………………………………………………15

પરિચય

કોયડાઓ ઉકેલવા અને મનોરંજક રમતોમાંથી જન્મેલા, ગ્રાફ થિયરી હવે સમસ્યાઓની વિશાળ શ્રેણીથી સંબંધિત પ્રશ્નોના ઉકેલ માટે એક સરળ, સુલભ અને શક્તિશાળી સાધન બની ગયું છે. આલેખ શાબ્દિક રીતે સર્વવ્યાપી છે. આલેખના સ્વરૂપમાં, તમે, ઉદાહરણ તરીકે, રસ્તાના નકશા અને ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટ, ભૌગોલિક નકશા અને રાસાયણિક સંયોજનોના પરમાણુઓ, લોકો અને લોકોના જૂથો વચ્ચેના જોડાણોનું અર્થઘટન કરી શકો છો. છેલ્લા ચાર દાયકાઓમાં, ગ્રાફ થિયરી ગણિતની સૌથી ઝડપથી વિકસતી શાખાઓમાંની એક બની ગઈ છે. આ ઝડપથી વિસ્તરતા એપ્લિકેશન ક્ષેત્રની માંગ દ્વારા સંચાલિત છે. તેનો ઉપયોગ ઇન્ટિગ્રેટેડ સર્કિટ અને કંટ્રોલ સર્કિટની ડિઝાઇનમાં, ઓટોમેટાના અભ્યાસમાં, લોજિકલ સર્કિટ્સ, પ્રોગ્રામ બ્લોક ડાયાગ્રામ, અર્થશાસ્ત્ર અને આંકડાશાસ્ત્રમાં, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનમાં, શેડ્યુલિંગ થિયરીમાં થાય છે. તેથી જ સુસંગતતાવિષય એક તરફ, આલેખ અને સંબંધિત સંશોધન પદ્ધતિઓની લોકપ્રિયતા દ્વારા અને બીજી તરફ, તેના અમલીકરણ માટે એક અવિકસિત, સર્વગ્રાહી સિસ્ટમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

જીવનમાં ઘણી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે લાંબી ગણતરીઓ કરવી પડે છે, અને કેટલીકવાર આ ગણતરીઓ પણ સફળતા લાવતી નથી. આ શું છે સંશોધન સમસ્યા. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું તેમને હલ કરવા માટે કોઈ સરળ, તર્કસંગત, ટૂંકો અને ભવ્ય ઉકેલ શોધવાનું શક્ય છે? જો તમે આલેખનો ઉપયોગ કરો છો તો શું સમસ્યાનું નિરાકરણ સરળ છે? આ નક્કી કર્યું મારા સંશોધનનો વિષય: "ગ્રાફ થિયરીનો વ્યવહારુ ઉપયોગ"

હેતુવ્યવહારિક સમસ્યાઓને ઝડપથી કેવી રીતે ઉકેલી શકાય તે શીખવા માટે સંશોધન ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવાનો હતો.

સંશોધન પૂર્વધારણા.ગ્રાફ પદ્ધતિ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે અને વિજ્ઞાન અને માનવ પ્રવૃત્તિના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

સંશોધન હેતુઓ:

1. આ મુદ્દા પર સાહિત્ય અને ઇન્ટરનેટ સંસાધનોનો અભ્યાસ કરો.

2.વ્યવહારિક સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આલેખ પદ્ધતિની અસરકારકતા તપાસો.

3. એક નિષ્કર્ષ દોરો.

અભ્યાસનું વ્યવહારુ મહત્વએ છે કે પરિણામો નિઃશંકપણે ઘણા લોકોના રસને ઉત્તેજિત કરશે. શું તમારામાંથી કોઈએ તમારા કુટુંબનું વૃક્ષ બનાવવાનો પ્રયાસ કર્યો નથી? આ યોગ્ય રીતે કેવી રીતે કરવું? પરિવહન એન્ટરપ્રાઇઝના વડાએ ગંતવ્ય સ્થાનથી અનેક વસાહતો સુધી માલ પરિવહન કરતી વખતે પરિવહનના વધુ નફાકારક ઉપયોગની સમસ્યાને હલ કરવી પડશે. દરેક શાળાના બાળકને તાર્કિક ટ્રાન્સફ્યુઝન સમસ્યાઓનો સામનો કરવો પડ્યો છે. તે તારણ આપે છે કે તેઓ આલેખનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

કાર્યમાં નીચેની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: અવલોકન, શોધ, પસંદગી, વિશ્લેષણ.

ગ્રાફ થિયરીનો ઇતિહાસ

ગ્રાફ થિયરીના સ્થાપક ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનહાર્ડ યુલર (1707-1783) માનવામાં આવે છે. આ સિદ્ધાંતનો ઇતિહાસ મહાન વૈજ્ઞાનિકના પત્રવ્યવહાર દ્વારા શોધી શકાય છે. અહીં લેટિન લખાણનો અનુવાદ છે, જે 13 માર્ચ, 1736 ના રોજ સેન્ટ પીટર્સબર્ગથી મોકલવામાં આવેલા ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી અને એન્જિનિયર મેરિનોનીને યુલરના પત્રમાંથી લેવામાં આવ્યો છે.

“મને એકવાર કોનિગ્સબર્ગ શહેરમાં સ્થિત એક ટાપુ વિશે સમસ્યા પૂછવામાં આવી હતી અને તેની આસપાસ સાત પુલ સાથે નદીથી ઘેરાયેલા હતા.

[પરિશિષ્ટ ફિગ.1]પ્રશ્ન એ છે કે શું કોઈ વ્યક્તિ તેમની આસપાસ સતત જઈ શકે છે, દરેક પુલ પરથી માત્ર એક જ વાર પસાર થઈ શકે છે. અને પછી મને જાણ કરવામાં આવી કે હજી સુધી કોઈ પણ આ કરી શક્યું નથી, પરંતુ કોઈએ સાબિત કર્યું નથી કે તે અશક્ય હતું. આ પ્રશ્ન, તેમ છતાં, મને નજીવો લાગ્યો, તેમ છતાં, ધ્યાન આપવા યોગ્ય છે કે ન તો ભૂમિતિ, ન બીજગણિત, ન તો સંયોજન કલા તેને ઉકેલવા માટે પૂરતી છે. ખૂબ વિચાર કર્યા પછી, મને એક સરળ નિયમ મળ્યો, જે સંપૂર્ણપણે ખાતરીપૂર્વકના પુરાવાના આધારે છે, જેની મદદથી આ પ્રકારની તમામ સમસ્યાઓમાં તરત જ નક્કી કરવું શક્ય છે કે આ પ્રકારનો ચકરાવો કોઈપણ નંબર અને ગમે તેટલા પુલ દ્વારા કરી શકાય છે કે કેમ. અથવા નહીં. કોએનિગ્સબર્ગ પુલ એવી રીતે સ્થિત છે કે તેમને નીચેની આકૃતિમાં રજૂ કરી શકાય [પરિશિષ્ટ ફિગ.2], જેમાં A એ ટાપુ સૂચવે છે, અને B, C અને D - ખંડના ભાગો નદીની શાખાઓ દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે

આ પ્રકારની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તેણે શોધેલી પદ્ધતિ વિશે, યુલરે લખ્યું:

“આ ઉકેલ, તેના સ્વભાવથી, દેખીતી રીતે ગણિત સાથે બહુ ઓછો સંબંધ ધરાવે છે, અને મને સમજાતું નથી કે શા માટે આ ઉકેલની અપેક્ષા અન્ય કોઈ વ્યક્તિ પાસેથી નહીં પણ ગણિતશાસ્ત્રી પાસેથી કરવી જોઈએ, કારણ કે આ નિર્ણય ફક્ત તર્ક દ્વારા સમર્થિત છે, અને ત્યાં કોઈ નથી. આ ઉકેલ શોધવા માટે સામેલ કરવાની જરૂર છે, ગણિતમાં અંતર્ગત કોઈપણ કાયદાઓ છે તેથી, મને ખબર નથી કે તે કેવી રીતે બહાર આવે છે કે જે પ્રશ્નોનો ગણિત સાથે બહુ ઓછો સંબંધ છે તે અન્ય લોકો કરતાં ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે.

તો શું આ દરેક પુલ પરથી માત્ર એક જ વાર પસાર થવાથી કોનિગ્સબર્ગ પુલની આસપાસ જવું શક્ય છે? જવાબ શોધવા માટે, ચાલો મેરિનોનીને યુલરનો પત્ર ચાલુ રાખીએ:

"પ્રશ્ન એ નક્કી કરવાનો છે કે શું આ સાતેય પુલની આસપાસ જવું શક્ય છે, દરેકમાંથી એક જ વાર પસાર થાય છે કે નહીં. મારો નિયમ આ પ્રશ્નના નીચેના ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે. સૌ પ્રથમ, તમારે તે જોવાની જરૂર છે કે કેટલા વિભાગો છે. ત્યાં પાણી દ્વારા વિભાજિત થાય છે - જેમ કે, જેનું એકથી બીજામાં કોઈ સંક્રમણ નથી, સિવાય કે એક પુલ દ્વારા, આ ઉદાહરણમાં, આવા ચાર વિભાગો છે - A, B, C, D. આગળ, તમારે તફાવત કરવાની જરૂર છે કે શું સંખ્યા છે. આ વ્યક્તિગત વિભાગો તરફ દોરી જતા પુલોની સંખ્યા સમાન અથવા વિષમ છે તેથી, અમારા કિસ્સામાં, પાંચ પુલ વિભાગ A તરફ દોરી જાય છે, અને દરેક ત્રણ પુલ બાકીના વિભાગો તરફ દોરી જાય છે, એટલે કે વ્યક્તિગત વિભાગો તરફ દોરી જતા પુલોની સંખ્યા વિષમ છે, અને આ એકલા છે. જ્યારે આ નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે અમે નીચેના નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: જો દરેક વ્યક્તિગત વિભાગ તરફ દોરી જતા પુલની સંખ્યા સમાન હોય, તો પછી પ્રશ્નમાં ચકરાવો શક્ય બનશે. આ ચકરાવો કોઈપણ વિભાગમાંથી શરૂ કરો જો તેમાંથી બે સંખ્યાઓ વિષમ હોય, કારણ કે માત્ર એક જ વિષમ ન હોઈ શકે, તો પછી પણ સંક્રમણ પૂર્ણ થઈ શકે છે, પરંતુ માત્ર ચકરાવોની શરૂઆત ચોક્કસપણે કરવી જોઈએ. તે બે વિભાગોમાંથી એક કે જેના પર એક વિષમ સંખ્યામાં પુલ જાય છે. જો, છેવટે, ત્યાં બે કરતા વધુ વિભાગો હતા કે જેમાં એક વિષમ સંખ્યામાં પુલ દોરી જાય છે, તો આવી હિલચાલ સામાન્ય રીતે અશક્ય છે ... જો અન્ય, વધુ ગંભીર સમસ્યાઓ અહીં લાવવામાં આવી શકે, તો આ પદ્ધતિ વધુ ફાયદાકારક હોઈ શકે છે અને જોઈએ. ઉપેક્ષા ન કરવી."

ગ્રાફ થિયરીની મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને પ્રમેય

ગ્રાફ થિયરી એ ગણિતશાસ્ત્રીઓના પ્રયત્નો દ્વારા બનાવવામાં આવેલ ગાણિતિક શિસ્ત છે, તેથી તેની રજૂઆતમાં જરૂરી કડક વ્યાખ્યાઓ શામેલ છે. તેથી, ચાલો આ સિદ્ધાંતના મૂળભૂત ખ્યાલોના સંગઠિત પરિચય તરફ આગળ વધીએ.

વ્યાખ્યા 1.ગ્રાફ એ મર્યાદિત સંખ્યામાં બિંદુઓનો સંગ્રહ છે, જેને ગ્રાફના શિરોબિંદુઓ કહેવાય છે, અને આમાંના કેટલાક શિરોબિંદુઓને જોડતી જોડીમાં રેખાઓ છે, જેને આલેખની ધાર અથવા આર્ક કહેવાય છે.

આ વ્યાખ્યા અલગ રીતે ઘડી શકાય છે: ગ્રાફ એ પોઈન્ટ્સ (શિરોબિંદુઓ) અને સેગમેન્ટ્સ (કિનારીઓ) નો બિન-ખાલી સમૂહ છે, જેના બંને છેડા પોઈન્ટના આપેલ સમૂહના છે.

નીચેનામાં, આપણે લેટિન અક્ષરો A, B, C, D દ્વારા ગ્રાફના શિરોબિંદુઓને સૂચવીશું. કેટલીકવાર સમગ્ર ગ્રાફ એક મોટા અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવશે.

વ્યાખ્યા 2.ગ્રાફના શિરોબિંદુઓ કે જે કોઈપણ ધારથી સંબંધિત નથી તેને અલગ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 3.માત્ર અલગ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા આલેખને નલ કહેવામાં આવે છે - ગણતરી .

નોટેશન: O"- શિરોબિંદુઓ સાથેનો આલેખ કે જેની ધાર નથી

વ્યાખ્યા 4.એક ગ્રાફ કે જેમાં શિરોબિંદુઓની દરેક જોડી ધાર દ્વારા જોડાયેલ હોય તેને પૂર્ણ કહેવામાં આવે છે.

હોદ્દો: U" – આ શિરોબિંદુઓની તમામ સંભવિત જોડીને જોડતો n શિરોબિંદુઓ અને ધારનો સમાવેશ કરતો આલેખ. આવા આલેખને n-gon તરીકે રજૂ કરી શકાય છે જેમાં તમામ કર્ણ દોરેલા હોય છે

વ્યાખ્યા 5.શિરોબિંદુની ડિગ્રી એ ધારની સંખ્યા છે કે જેનાથી શિરોબિંદુ સંબંધિત છે.

વ્યાખ્યા 6.એક આલેખ કે જેની તમામ k શિરોબિંદુઓની ડિગ્રી સમાન હોય તેને સજાતીય ડિગ્રી ગ્રાફ કહેવાય છે .

વ્યાખ્યા 7.આપેલ ગ્રાફનો પૂરક એ તમામ કિનારીઓ અને તેમના છેડાઓનો સમાવેશ કરતો ગ્રાફ છે જે સંપૂર્ણ ગ્રાફ મેળવવા માટે મૂળ ગ્રાફમાં ઉમેરવો આવશ્યક છે.

વ્યાખ્યા 8.એક ગ્રાફ કે જે પ્લેન પર એવી રીતે રજૂ કરી શકાય છે કે તેની કિનારીઓ ફક્ત શિરોબિંદુઓ પર છેદે છે તેને પ્લાનર કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 9.પ્લેનર ગ્રાફનો બહુકોણ જેમાં આલેખની કોઈ શિરોબિંદુ અથવા કિનારીઓ હોતી નથી તેને તેનો ચહેરો કહેવામાં આવે છે.

વિવિધ નકશાના "સાચા" રંગ પર સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે પ્લાનર ગ્રાફ અને ગ્રાફ ફેસની વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 10.પાથ A થી X એ A થી X તરફ જતી કિનારીઓનો ક્રમ છે જેમ કે દરેક બે સંલગ્ન કિનારીઓ સામાન્ય શિરોબિંદુ ધરાવે છે, અને કોઈ ધાર એક કરતા વધુ વખત આવતી નથી.

વ્યાખ્યા 11.ચક્ર એ એક પાથ છે જેમાં પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ એકરૂપ થાય છે.

વ્યાખ્યા 12.એક સરળ ચક્ર એ એક ચક્ર છે જે ગ્રાફના કોઈપણ શિરોબિંદુઓમાંથી એક કરતા વધુ વખત પસાર થતું નથી.

વ્યાખ્યા 13.પાથની લંબાઈ , લૂપ પર નાખ્યો , આ પાથની ધારની સંખ્યા કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 14.ગ્રાફમાં બે શિરોબિંદુ A અને Bને કનેક્ટેડ (ડિસ્કનેક્ટેડ) કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં A થી B તરફ જતો રસ્તો અસ્તિત્વમાં હોય (અસ્તિત્વમાં નથી).

વ્યાખ્યા 15.ગ્રાફને કનેક્ટેડ કહેવામાં આવે છે જો તેના દરેક બે શિરોબિંદુઓ જોડાયેલા હોય; જો ગ્રાફમાં ડિસ્કનેક્ટ થયેલ શિરોબિંદુઓની ઓછામાં ઓછી એક જોડી હોય, તો ગ્રાફને ડિસ્કનેક્ટેડ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 16.વૃક્ષ એ જોડાયેલ આલેખ છે જેમાં ચક્ર નથી.

ટ્રી ગ્રાફનું ત્રિ-પરિમાણીય મોડલ છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક વાસ્તવિક વૃક્ષ તેના જટિલ ડાળીઓવાળું તાજ છે; નદી અને તેની ઉપનદીઓ પણ એક વૃક્ષ બનાવે છે, પરંતુ પહેલાથી જ સપાટ - પૃથ્વીની સપાટી પર.

વ્યાખ્યા 17.ડિસ્કનેક્ટ થયેલ આલેખ જે સંપૂર્ણ રીતે વૃક્ષો ધરાવે છે તેને વન કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 18.એક વૃક્ષ કે જેમાં તમામ n શિરોબિંદુઓ 1 થી n સુધીની સંખ્યાવાળી હોય તેને પુનઃક્રમાંકિત શિરોબિંદુઓ સાથેનું વૃક્ષ કહેવામાં આવે છે.

તેથી, અમે ગ્રાફ થિયરીની મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓની તપાસ કરી છે, જેના વિના પ્રમેયને સાબિત કરવું અશક્ય છે, અને પરિણામે, સમસ્યાઓ હલ કરવી.

આલેખનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

પ્રખ્યાત સમસ્યાઓ

મુસાફરી સેલ્સમેન સમસ્યા

ટ્રાવેલિંગ સેલ્સમેનની સમસ્યા એ સંયોજનશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતમાં જાણીતી સમસ્યાઓમાંની એક છે. તે 1934 માં આગળ મૂકવામાં આવ્યું હતું, અને શ્રેષ્ઠ ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તેના પર તેમના દાંત તોડી નાખ્યા હતા.

સમસ્યાનું નિવેદન નીચે મુજબ છે.
મુસાફરી કરતા સેલ્સમેન (ભટકતા વેપારીએ) પ્રથમ શહેર છોડવું જોઈએ, અજાણ્યા ક્રમમાં 2,1,3..n શહેરોની મુલાકાત લેવી જોઈએ અને પ્રથમ શહેરમાં પાછા ફરવું જોઈએ. શહેરો વચ્ચેનું અંતર જાણીતું છે. પ્રવાસી સેલ્સમેનનો બંધ રસ્તો (પ્રવાસ) સૌથી ટૂંકો હોય તે માટે શહેરોની આસપાસ કયા ક્રમમાં જવું જોઈએ?

ટ્રાવેલિંગ સેલ્સમેનની સમસ્યા હલ કરવાની પદ્ધતિ

લોભી અલ્ગોરિધમનો "નજીકના (જેમાં તમે હજી પ્રવેશ્યા નથી) શહેરમાં જાઓ."
આ અલ્ગોરિધમને "લોભી" કહેવામાં આવે છે કારણ કે છેલ્લા પગલાઓમાં તમારે લોભ માટે ભારે ચૂકવણી કરવી પડશે.
ઉદાહરણ તરીકે આકૃતિમાં નેટવર્કનો વિચાર કરો [પરિશિષ્ટ ફિગ.3], સાંકડી સમચતુર્ભુજનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ટ્રાવેલિંગ સેલ્સમેનને શહેર 1 થી શરૂ કરવા દો. "નજીકના શહેરમાં જાઓ" અલ્ગોરિધમ તેને શહેર 2, પછી 3, પછી 4 પર લઈ જશે; છેલ્લા પગલા પર તમારે તમારા લોભ માટે ચૂકવણી કરવી પડશે, હીરાના લાંબા કર્ણ સાથે પાછા ફરવું પડશે. પરિણામ ટૂંકી નહીં, પરંતુ સૌથી લાંબી ટૂર હશે.

કોનિગ્સબર્ગ પુલ વિશે સમસ્યા.

સમસ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે.
કોએનિગ્સબર્ગ શહેર પ્રેગેલ નદીના કિનારે અને બે ટાપુઓ પર આવેલું છે. શહેરના જુદા જુદા ભાગોને સાત પુલ દ્વારા જોડવામાં આવ્યા હતા. રવિવારે નગરજનોએ શહેરમાં ફરવા નીકળ્યા હતા. પ્રશ્ન: શું એવી રીતે ચાલવું શક્ય છે કે જ્યારે તમે ઘરની બહાર નીકળો ત્યારે દરેક પુલ પર બરાબર એક વાર ચાલીને પાછા ફરો?
પ્રેગેલ નદી પરના પુલ ચિત્રની જેમ સ્થિત છે[પરિશિષ્ટ Fig.1].

બ્રિજ ડાયાગ્રામને અનુરૂપ આલેખને ધ્યાનમાં લો [પરિશિષ્ટ ફિગ. 2].

સમસ્યાના પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ગ્રાફ યુલેરિયન છે કે કેમ તે શોધવા માટે તે પૂરતું છે. (પુલની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી એક શિરોબિંદુથી વિસ્તરેલી હોવી જોઈએ). તમે શહેરની આસપાસ ચાલી શકતા નથી અને એકવાર બધા પુલ પાર કરીને પાછા આવી શકો છો.

કેટલાક રસપ્રદ કાર્યો

1. "માર્ગો".

સમસ્યા 1

જેમ તમને યાદ છે, મૃત આત્માઓ માટે શિકારી ચિચિકોવ એક વખત પ્રખ્યાત જમીન માલિકોની મુલાકાત લે છે. તેમણે નીચેના ક્રમમાં તેમની મુલાકાત લીધી: મનિલોવ, કોરોબોચકા, નોઝડ્રિઓવ, સોબેકેવિચ, પ્લ્યુશકીન, ટેન્ટેટનિકોવ, જનરલ બેટ્રીશ્ચેવ, પેટુખ, કોન્સ્ટનઝોલ્ગો, કર્નલ કોશકરેવ. એક આકૃતિ મળી જેના પર ચિચિકોવે એસ્ટેટની સંબંધિત સ્થિતિ અને તેમને જોડતા દેશના રસ્તાઓનું સ્કેચ કર્યું. નક્કી કરો કે કઈ એસ્ટેટ કોની છે, જો ચિચિકોવ કોઈ પણ રસ્તા પર એક કરતા વધુ વખત વાહન ન ચલાવે [પરિશિષ્ટ ફિગ. 4].

ઉકેલ:

રોડ મેપ બતાવે છે કે ચિચિકોવ એ એસ્ટેટ E થી તેની મુસાફરી શરૂ કરી અને એસ્ટેટ O સાથે સમાપ્ત થઈ. અમે નોંધીએ છીએ કે માત્ર બે રસ્તાઓ જ એસ્ટેટ B અને C તરફ જાય છે, તેથી ચિચિકોવને આ રસ્તાઓ સાથે મુસાફરી કરવી પડી હતી. ચાલો તેમને બોલ્ડ લાઇનથી ચિહ્નિત કરીએ. A માંથી પસાર થતા માર્ગના વિભાગો ઓળખવામાં આવ્યા છે: AC અને AB. ચિચિકોવ AE, AK અને AM માર્ગો પર મુસાફરી કરતો ન હતો. ચાલો તેમને પાર કરીએ. ચાલો બોલ્ડ લાઇન ED સાથે ચિહ્નિત કરીએ; ચાલો ડીકેને પાર કરીએ. ચાલો MO અને MN ને પાર કરીએ; ચાલો બોલ્ડ લાઇન એમએફ સાથે ચિહ્નિત કરીએ; FO પાર કરો; ચાલો FH, NK અને KO ને બોલ્ડ લાઇન વડે ચિહ્નિત કરીએ. ચાલો આ સ્થિતિ હેઠળ એકમાત્ર સંભવિત માર્ગ શોધીએ. અને અમને મળે છે: એસ્ટેટ ઇ - મનિલોવ, ડી - કોરોબોચકા, સી - નોઝડ્રેવ, એ - સોબાકેવિચ, બી - પ્લ્યુશકિન, એમ - ટેન્ટેટનિકોવ, એફ - બેટ્રિશ્ચેવ, એન - પેટુખ, કે - કોન્સ્ટનઝોલ્ગો, ઓ - કોશકારેવની છે. [પરિશિષ્ટ ફિગ.5].

સમસ્યા 2

આકૃતિ વિસ્તારનો નકશો દર્શાવે છે [પરિશિષ્ટ ફિગ. 6].

તમે ફક્ત તીરની દિશામાં જ આગળ વધી શકો છો. તમે દરેક પોઈન્ટની મુલાકાત એક કરતા વધુ વાર નહીં લઈ શકો. તમે બિંદુ 1 થી બિંદુ 9 સુધી કેટલી રીતે મેળવી શકો છો? કયો માર્ગ સૌથી ટૂંકો છે અને કયો સૌથી લાંબો છે.

ઉકેલ:

અમે શિરોબિંદુ 1 થી શરૂ કરીને, એક વૃક્ષમાં સર્કિટને ક્રમિક રીતે "સ્તરીકરણ" કરીએ છીએ [પરિશિષ્ટ ફિગ.7]. ચાલો એક વૃક્ષ લઈએ. 1 થી 9 સુધીના સંભવિત માર્ગોની સંખ્યા વૃક્ષના "લટકાવેલા" શિરોબિંદુઓની સંખ્યા જેટલી છે (તેમાંથી 14 છે). દેખીતી રીતે ટૂંકો રસ્તો 1-5-9 છે; સૌથી લાંબુ 1-2-3-6-5-7-8-9 છે.

2 "જૂથો, ડેટિંગ"

સમસ્યા 1

સંગીત ઉત્સવના સહભાગીઓ, મળ્યા હતા, સરનામાંઓ સાથે પરબિડીયાઓની આપલે કરી હતી. સાબિત કરો કે:

a) સમાન સંખ્યામાં પરબિડીયાઓ સોંપવામાં આવ્યા હતા;

b) એક વિષમ સંખ્યામાં પરબિડીયાઓની આપલે કરનાર સહભાગીઓની સંખ્યા સમ છે.

ઉકેલ: તહેવારના સહભાગીઓ A 1, A 2, A 3 હોવા દો. . . , અને n એ આલેખના શિરોબિંદુઓ છે, અને કિનારીઓ પરબિડીયુંની આપ-લે કરતા લોકોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા શિરોબિંદુઓની જોડીને જોડે છે. [પરિશિષ્ટ ફિગ.8]

ઉકેલ:

a) દરેક શિરોબિંદુ A i ની ડિગ્રી સહભાગી A એ તેના મિત્રોને આપેલા પરબિડીયાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે. પ્રસારિત એન્વલપ્સ N ની કુલ સંખ્યા ગ્રાફ N = ડિગ્રીના તમામ શિરોબિંદુઓના ડિગ્રીના સરવાળા જેટલી છે. A 1 + પગલું. A 2 + + . . . + પગલું. A n -1 + ડિગ્રી. અને n, N =2p, જ્યાં p એ ગ્રાફની ધારની સંખ્યા છે, એટલે કે. એન - પણ. પરિણામે, સમાન સંખ્યામાં પરબિડીયાઓ સોંપવામાં આવ્યા હતા;

b) સમાનતા N = ડિગ્રીમાં. A 1 + પગલું. A 2 + + . . . + પગલું. A n -1 + ડિગ્રી. અને n વિષમ પદોનો સરવાળો સમ હોવો જોઈએ, અને આ માત્ર ત્યારે જ થઈ શકે છે જો વિષમ પદોની સંખ્યા સમ હોય. આનો અર્થ એ થાય છે કે પરબિડીયું વિનિમય કરનારા સહભાગીઓની સંખ્યા બેકી સંખ્યા છે.

સમસ્યા 2

એક દિવસ આન્દ્રે, બોરિસ, વોલોડ્યા, દશા અને ગાલ્યા સાંજે સિનેમામાં જવા માટે સંમત થયા. તેઓએ ફોન પર સિનેમા અને શોની પસંદગીનું સંકલન કરવાનું નક્કી કર્યું. એવું પણ નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું કે જો ફોન દ્વારા કોઈનો સંપર્ક કરવો શક્ય ન હોય તો સિનેમાની સફર રદ કરવામાં આવશે. સાંજે, દરેક જણ સિનેમામાં ભેગા થયા ન હતા, અને તેથી મૂવી મુલાકાત રદ કરવામાં આવી હતી. બીજા દિવસે તેઓ શોધવા લાગ્યા કે કોણે કોને ફોન કર્યો. તે બહાર આવ્યું છે કે આન્દ્રે બોરિસ અને વોલોડ્યા કહે છે, વોલોડ્યા બોરિસ અને દશા કહે છે, બોરિસ આન્દ્રે અને દશા કહે છે, દશા આન્દ્રે અને વોલોડ્યા કહે છે, અને ગાલ્યા આન્દ્રે, વોલોડ્યા અને બોરિસ કહે છે. કોણ ફોન પર મળી શક્યું નથી અને તેથી મીટિંગમાં આવ્યું નથી?

ઉકેલ:

ચાલો પાંચ બિંદુઓ દોરીએ અને તેમને A, B, C, D, D અક્ષરોથી લેબલ કરીએ. આ નામોના પ્રથમ અક્ષરો છે. ચાલો એવા બિંદુઓને જોડીએ કે જેઓ કૉલ કરે છે તેમના નામને અનુરૂપ છે.

[પરિશિષ્ટ ફિગ.9]

ચિત્રમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક વ્યક્તિ - આન્દ્રે, બોરિસ અને વોલોડ્યા - બીજા બધાને ફોન કરે છે. તેથી જ આ લોકો સિનેમામાં આવ્યા. પરંતુ ગાલ્યા અને દશા એકબીજા સાથે ફોન પર આવવામાં અસમર્થ હતા (પોઇન્ટ્સ જી અને ઇ એક લાઇન સેગમેન્ટ દ્વારા જોડાયેલા નથી) અને તેથી, કરાર અનુસાર, સિનેમામાં આવ્યા ન હતા.

લોકોના જીવનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં આલેખનો ઉપયોગ

આપેલ ઉદાહરણો ઉપરાંત, આલેખનો વ્યાપકપણે બાંધકામ, ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ, મેનેજમેન્ટ, લોજિસ્ટિક્સ, ભૂગોળ, મિકેનિકલ એન્જિનિયરિંગ, સમાજશાસ્ત્ર, પ્રોગ્રામિંગ, તકનીકી પ્રક્રિયાઓના સ્વચાલિતતા અને ઉત્પાદન, મનોવિજ્ઞાન અને જાહેરાતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજીના કોઈપણ ક્ષેત્રમાં તમે આલેખનો સામનો કરો છો. આલેખ એ અદ્ભુત ગાણિતિક વસ્તુઓ છે જેની મદદથી તમે ગાણિતિક, આર્થિક અને તાર્કિક સમસ્યાઓ, વિવિધ કોયડાઓ ઉકેલી શકો છો અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, ઇલેક્ટ્રોનિક્સ અને ઓટોમેશનમાં સમસ્યાઓની પરિસ્થિતિઓને સરળ બનાવી શકો છો. ઘણા ગાણિતિક તથ્યો આલેખની ભાષામાં સરળતાથી ઘડી શકાય છે. ગ્રાફ થિયરી ઘણા વિજ્ઞાનનો ભાગ છે. ગ્રાફ થિયરી એ સૌથી સુંદર અને વિઝ્યુઅલ ગાણિતિક સિદ્ધાંતોમાંની એક છે. તાજેતરમાં, ગ્રાફ થિયરી લાગુ મુદ્દાઓમાં વધુ અને વધુ એપ્લિકેશનો શોધી રહી છે. કોમ્પ્યુટેશનલ કેમિસ્ટ્રી પણ ઉભરી આવી છે - ગ્રાફ થિયરીના ઉપયોગ પર આધારિત રસાયણશાસ્ત્રનું પ્રમાણમાં યુવા ક્ષેત્ર.

મોલેક્યુલર આલેખ, સ્ટીરિયોકેમિસ્ટ્રી અને સ્ટ્રક્ચરલ ટોપોલોજી, ક્લસ્ટરોની રસાયણશાસ્ત્ર, પોલિમર, વગેરેમાં ઉપયોગમાં લેવાતા, પરમાણુઓનું માળખું પ્રદર્શિત કરતા અનિર્દેશિત આલેખ છે [પરિશિષ્ટ ફિગ. 10]. આ આલેખના શિરોબિંદુઓ અને કિનારીઓ અનુરૂપ અણુઓ અને તેમની વચ્ચેના રાસાયણિક બોન્ડને અનુરૂપ છે.

મોલેક્યુલર આલેખ અને વૃક્ષો: [પરિશિષ્ટ ફિગ. 10] a, b - અનુક્રમે મલ્ટિગ્રાફ્સ. ઇથિલિન અને ફોર્માલ્ડિહાઇડ; તેઓ કહે છે પેન્ટેન આઇસોમર્સ (વૃક્ષો 4, 5 વૃક્ષ 2 થી આઇસોમોર્ફિક છે).

સજીવોની સ્ટીરિયોકેમિસ્ટ્રીમાં સૌથી વધુ. મોલેક્યુલર ટ્રીઝનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે - મોલેક્યુલર આલેખના મુખ્ય વૃક્ષો, જેમાં માત્ર C અણુઓને અનુરૂપ તમામ શિરોબિંદુઓ હોય છે. વૃક્ષો અને તેમના આઇસોમોર્ફિઝમની સ્થાપના તેઓ કહે છે તે નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. સંરચના કરો અને એલ્કેન્સ, એલ્કેન્સ અને આલ્કીન્સના આઇસોમર્સની કુલ સંખ્યા શોધો

પ્રોટીન નેટવર્ક્સ

પ્રોટીન નેટવર્ક એ શારીરિક રીતે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા પ્રોટીનના જૂથો છે જે કોષમાં એકસાથે અને સંકલિત રીતે કાર્ય કરે છે, શરીરમાં બનતી એકબીજા સાથે જોડાયેલી પ્રક્રિયાઓને નિયંત્રિત કરે છે. [જોડાણ ફિગ. 11].

અધિક્રમિક સિસ્ટમ ગ્રાફવૃક્ષ કહેવાય છે. વૃક્ષની એક વિશિષ્ટ વિશેષતા એ છે કે તેના કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચે માત્ર એક જ રસ્તો હોય છે. વૃક્ષમાં ચક્ર અથવા લૂપ્સ નથી.

સામાન્ય રીતે, વંશવેલો પ્રણાલીનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વૃક્ષમાં એક મુખ્ય શિરોબિંદુ હોય છે, જેને વૃક્ષનું મૂળ કહેવામાં આવે છે. વૃક્ષના દરેક શિરોબિંદુમાં (મૂળ સિવાય) ફક્ત એક જ પૂર્વજ હોય ​​છે - તેના દ્વારા નિયુક્ત કરેલ ઑબ્જેક્ટ એક ઉચ્ચ-સ્તરના વર્ગમાં શામેલ છે. વૃક્ષનું કોઈપણ શિરોબિંદુ ઘણા વંશજો પેદા કરી શકે છે - નીચલા-સ્તરના વર્ગોને અનુરૂપ શિરોબિંદુઓ.

વૃક્ષના શિરોબિંદુઓની દરેક જોડી માટે, તેમને જોડતો એક અનન્ય રસ્તો છે. આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ તમામ પૂર્વજોને શોધવામાં થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પુરૂષ રેખામાં, કોઈપણ વ્યક્તિ કે જેની વંશાવલિ કુટુંબના વૃક્ષના રૂપમાં રજૂ થાય છે, જે ગ્રાફ થિયરીના અર્થમાં "વૃક્ષ" છે.

મારા કુટુંબ વૃક્ષનું ઉદાહરણ [પરિશિષ્ટ ફિગ. 12].

બીજું ઉદાહરણ. ચિત્ર બાઈબલના કુટુંબનું વૃક્ષ બતાવે છે [પરિશિષ્ટ ફિગ. 13].

સમસ્યાનું નિરાકરણ

1.પરિવહન કાર્ય. ક્રાસ્નોદર શહેરમાં કાચા માલસામાન સાથેનો એક આધાર બનવા દો જે ક્રીમ્સ્ક, ટેમ્ર્યુક, સ્લેવ્યાન્સ્ક-ઓન-કુબાન અને તિમાશેવસ્ક શહેરોને એક સફરમાં વિતરિત કરવાની જરૂર છે, શક્ય તેટલો ઓછો સમય અને બળતણ ખર્ચીને અને ક્રાસ્નોદર પાછા ફરવું. .

ઉકેલ:

પ્રથમ, ચાલો તમામ સંભવિત મુસાફરી માર્ગોનો ગ્રાફ બનાવીએ [પરિશિષ્ટ ફિગ.14], આ વસાહતો વચ્ચેના વાસ્તવિક રસ્તાઓ અને તેમની વચ્ચેના અંતરને ધ્યાનમાં લેતા. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, આપણે બીજો ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર છે, એક વૃક્ષ જેવો [પરિશિષ્ટ ફિગ.15].

સોલ્યુશનની સગવડ માટે, અમે નંબરો સાથે શહેરોને નિયુક્ત કરીએ છીએ: ક્રાસ્નોડાર - 1, ક્રિમ્સ્ક - 2, ટેમરીયુક - 3, સ્લેવ્યાન્સ્ક - 4, તિમાશેવસ્ક - 5.

પરિણામ 24 ઉકેલો છે, પરંતુ અમને ફક્ત ટૂંકા માર્ગોની જરૂર છે. તમામ ઉકેલોમાંથી, માત્ર બે જ સંતોષકારક છે, આ 350 કિ.મી.

તેવી જ રીતે, તે શક્ય છે અને, મને લાગે છે કે, એક વિસ્તારમાંથી બીજા વિસ્તારમાં વાસ્તવિક પરિવહનની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

તબદિલીને લગતી તાર્કિક સમસ્યા.ડોલમાં 8 લિટર પાણી છે, અને 5 અને 3 લિટરની ક્ષમતાવાળા બે પેન છે. તમારે પાંચ લિટરના પેનમાં 4 લિટર પાણી રેડવાની જરૂર છે અને ડોલમાં 4 લિટર છોડો, એટલે કે ડોલ અને મોટી તપેલીમાં સમાનરૂપે પાણી રેડવું.

ઉકેલ:

કોઈપણ ક્ષણે પરિસ્થિતિને ત્રણ નંબરો દ્વારા વર્ણવી શકાય છે [પરિશિષ્ટ ફિગ. 16].

પરિણામે, અમને બે ઉકેલો મળે છે: એક 7 ચાલમાં, બીજો 8 ચાલમાં.

નિષ્કર્ષ

તેથી, સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કેવી રીતે કરવું તે શીખવા માટે, તમારે તે સમજવાની જરૂર છે કે તેઓ શું છે, તેઓ કેવી રીતે રચાયેલા છે, તેઓ કયા ઘટકો ધરાવે છે, કયા સાધનો છે જેની મદદથી સમસ્યાઓ હલ થાય છે.

ગ્રાફ થિયરીનો ઉપયોગ કરીને વ્યવહારિક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ, તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે દરેક પગલામાં, તેમના ઉકેલના દરેક તબક્કામાં, સર્જનાત્મકતા લાગુ કરવી જરૂરી છે.

શરૂઆતથી જ, પ્રથમ તબક્કે, તે એ હકીકતમાં રહેલું છે કે તમારે સમસ્યાની સ્થિતિનું વિશ્લેષણ અને એન્કોડ કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે. બીજો તબક્કો એક યોજનાકીય સંકેત છે, જેમાં આલેખની ભૌમિતિક રજૂઆતનો સમાવેશ થાય છે, અને આ તબક્કે સર્જનાત્મકતાનું તત્વ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે સ્થિતિના તત્વો અને તેના અનુરૂપ તત્વો વચ્ચેના પત્રવ્યવહાર શોધવાનું સરળ નથી. આલેખ

પરિવહન સમસ્યા અથવા કુટુંબનું વૃક્ષ દોરવાનું કાર્ય હલ કરતી વખતે, હું નિષ્કર્ષ પર આવ્યો કે ગ્રાફ પદ્ધતિ ચોક્કસપણે રસપ્રદ, સુંદર અને દ્રશ્ય છે.

મને ખાતરી થઈ ગઈ કે આલેખનો અર્થશાસ્ત્ર, સંચાલન અને ટેકનોલોજીમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ગ્રાફ થિયરીનો ઉપયોગ પ્રોગ્રામિંગમાં પણ થાય છે, પરંતુ મને લાગે છે કે તે માત્ર સમયની બાબત છે.

આ વૈજ્ઞાનિક કાર્ય ગાણિતિક આલેખ, તેમના ઉપયોગના ક્ષેત્રોની તપાસ કરે છે અને ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને ઘણી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરે છે. પ્રોડક્શન અને બિઝનેસ મેનેજમેન્ટ (ઉદાહરણ તરીકે, નેટવર્ક કન્સ્ટ્રક્શન શેડ્યૂલ, મેઇલ ડિલિવરી શેડ્યૂલ) સંબંધિત વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ગ્રાફ થિયરીની મૂળભૂત બાબતોનું જ્ઞાન જરૂરી છે. વધુમાં, વૈજ્ઞાનિક કાગળ પર કામ કરતી વખતે, મેં WORD ટેક્સ્ટ એડિટરનો ઉપયોગ કરીને કમ્પ્યુટર પર કામ કરવામાં નિપુણતા મેળવી. આમ, વૈજ્ઞાનિક કાર્યના ઉદ્દેશ્યો પૂર્ણ થયા છે.

તેથી, ઉપરોક્ત તમામમાંથી, ગ્રાફ થિયરીનું પ્રાયોગિક મૂલ્ય નિર્વિવાદપણે અનુસરે છે, જેનો પુરાવો આ કાર્યનું લક્ષ્ય હતું.

સાહિત્ય

બર્જ કે.ગ્રાફ થિયરી અને તેના ઉપયોગો. -એમ.: IIL, 1962.

કેમેની જે., સ્નેલ જે., થોમ્પસન જે.મર્યાદિત ગણિતનો પરિચય. -એમ.: IIL, 1963.

ઓર ઓ.ગ્રાફ અને તેમની એપ્લિકેશન. -એમ.: મીર, 1965.

હરારી એફ.ગ્રાફ થિયરી. -એમ.: મીર, 1973.

ઝાયકોવ એ.એ.મર્યાદિત આલેખ સિદ્ધાંત. -નોવોસિબિર્સ્ક: સાયન્સ, 1969.

બેરેઝિના એલ.યુ.ગ્રાફ અને તેમની એપ્લિકેશન. -એમ.: શિક્ષણ, 1979. -144 પૃષ્ઠ.

"સોરોસ એજ્યુકેશનલ જર્નલ" નંબર 11 1996 (લેખ "ફ્લેટ ગ્રાફ");

ગાર્ડનર એમ. "મેથેમેટિકલ લેઝર", એમ. "વર્લ્ડ", 1972 (પ્રકરણ 35);

ઓલેહનિક એસ.એન., નેસ્ટેરેન્કો યુ., પોટાપોવ એમ.કે. “જૂની મનોરંજક સમસ્યાઓ”, એમ. “સાયન્સ”, 1988 (ભાગ 2, વિભાગ 8; પરિશિષ્ટ 4);

અરજી

અરજી

પી

ચોખા. 6

ચોખા. 7

ચોખા. 8

અરજી

અરજી

અરજી

પી

ચોખા. 14

અરજી

વિષય પર અમૂર્ત ઉચ્ચ ગણિત વિષય પર:

રસાયણશાસ્ત્રમાં ગ્રાફ થિયરીનો ઉપયોગ

NH-202 જૂથના વિદ્યાર્થી દ્વારા કરવામાં આવ્યું

મોસ્કો 2011
આલેખ એ મર્યાદિત ગણિતનું ક્ષેત્ર છે જે અલગ રચનાઓનો અભ્યાસ કરે છે; વિવિધ સૈદ્ધાંતિક અને લાગુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વપરાય છે.
કેટલાક મૂળભૂત ખ્યાલો.ગ્રાફ એ બિંદુઓ (શિરોબિંદુઓ) નો સંગ્રહ છે અને આ બિંદુઓની જોડીનો સંગ્રહ (બધા જ જરૂરી નથી) રેખાઓ દ્વારા જોડાયેલા છે (ફિગ. 1,a). જો ગ્રાફમાં રેખાઓ લક્ષી હોય (એટલે ​​​​કે, તીરો શિરોબિંદુઓના જોડાણની દિશા સૂચવે છે), તો તેને ચાપ અથવા શાખાઓ કહેવામાં આવે છે; જો બિનલક્ષી, - ધાર. તદનુસાર, માત્ર આર્ક્સ ધરાવતા આલેખને નિર્દેશિત ગ્રાફ અથવા ડિગ્રાફ કહેવામાં આવે છે; માત્ર ધાર-અભિમુખ; ચાપ અને પાંસળી - મિશ્ર. બહુવિધ ધાર ધરાવતા આલેખને મલ્ટિગ્રાફ કહેવાય છે; તેના બે વિસંયોજક સબસેટ (ભાગો) ની માત્ર ધાર ધરાવતો આલેખ દ્વિપક્ષીય છે; આર્ક (કિનારીઓ) અને (અથવા) શિરોબિંદુઓ કે જે ચોક્કસ વજન અથવા કોઈપણ પરિમાણોના આંકડાકીય મૂલ્યોને અનુરૂપ હોય છે તેનું વજન કરવામાં આવે છે. ગ્રાફમાં પાથ એ શિરોબિંદુઓ અને ચાપનો વૈકલ્પિક ક્રમ છે જેમાં કોઈ પણ શિરોબિંદુનું પુનરાવર્તન થતું નથી (ઉદાહરણ તરીકે, ફિગ. 1,a માં a, b); સમોચ્ચ - એક બંધ પાથ જેમાં પ્રથમ અને છેલ્લા શિરોબિંદુઓ એકરૂપ થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, f, h); લૂપ - એક ચાપ (ધાર) જે સમાન શિરોબિંદુ પર શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે. ગ્રાફ પાથ એ કિનારીઓનો ક્રમ છે જેમાં કોઈ પણ શિરોબિંદુનું પુનરાવર્તન થતું નથી (ઉદાહરણ તરીકે, c, d, e); ચક્ર - એક બંધ સાંકળ જેમાં તેના પ્રારંભિક અને અંતિમ શિરોબિંદુઓ એકરૂપ થાય છે. ગ્રાફને કનેક્ટેડ કહેવામાં આવે છે જો તેના શિરોબિંદુઓની કોઈપણ જોડી સાંકળ અથવા પાથ દ્વારા જોડાયેલ હોય; નહિંતર, ગ્રાફ ડિસ્કનેક્ટેડ કહેવાય છે.
વૃક્ષ એ કનેક્ટેડ અનડાયરેક્ટેડ ગ્રાફ છે જેમાં ચક્ર અથવા રૂપરેખા નથી (ફિગ. 1, b). ગ્રાફનો ફેલાયેલ સબગ્રાફ એ તેનો સબસેટ છે જેમાં તમામ શિરોબિંદુઓ અને માત્ર અમુક કિનારીઓ શામેલ છે. આલેખનું ફેલાયેલું વૃક્ષ એ તેનો ફેલાયેલ સબગ્રાફ છે, જે એક વૃક્ષ છે. આલેખને આઇસોમોર્ફિક કહેવામાં આવે છે જો તેમના શિરોબિંદુઓ અને કિનારીઓ (આર્ક) ના સમૂહો વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર હોય.
ગ્રાફ થિયરી અને તેના ઉપયોગની સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે, આલેખને મેટ્રિસિસ (સંલગ્નતા, ઘટના, બે-પંક્તિ, વગેરે) તેમજ વિશેષનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરવામાં આવે છે. સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, સંલગ્ન મેટ્રિક્સ (ફિગ. 1c) માં, પંક્તિઓ અને કૉલમ ગ્રાફના શિરોબિંદુઓની સંખ્યાને અનુરૂપ છે, અને તેના ઘટકો 0 અને 1 મૂલ્યો લે છે (અનુક્રમે, આર્કની ગેરહાજરી અને હાજરી વચ્ચે આપેલ શિરોબિંદુઓની જોડી); ઇન્સિડેન્સ મેટ્રિક્સ (ફિગ. 1d) માં, પંક્તિઓ શિરોબિંદુઓની સંખ્યાને અનુરૂપ છે, કૉલમ ચાપની સંખ્યાને અનુરૂપ છે, અને તત્વો 0, + 1 અને - 1 (અનુક્રમે, ગેરહાજરી) મૂલ્યો લે છે , શિરોબિંદુમાં પ્રવેશતા અને છોડતા ચાપની હાજરી). સૌથી સામાન્ય સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ: શિરોબિંદુઓની સંખ્યા (m), ચાપ અથવા ધારની સંખ્યા (n), સાયક્લોમેટિક સંખ્યા, અથવા ગ્રાફની રેન્ક (n - m + k, જ્યાં k એ કનેક્ટેડ સબગ્રાફ્સની સંખ્યા છે. ડિસ્કનેક્ટ થયેલ આલેખ ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 1 માં ,b રેન્ક હશે: 10-6+ 1 =5).
ગ્રાફ થિયરીનો ઉપયોગ રાસાયણિક અને રાસાયણિક-તકનીકી ગ્રાફના વિવિધ વર્ગોના નિર્માણ અને વિશ્લેષણ પર આધારિત છે, જેને ટોપોલોજીકલ મોડલ પણ કહેવામાં આવે છે, એટલે કે. મોડેલો કે જે ફક્ત શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના જોડાણોની પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લે છે. આ આલેખની ચાપ (કિનારીઓ) અને શિરોબિંદુઓ રાસાયણિક અને રાસાયણિક-તકનીકી વિભાવનાઓ, ઘટનાઓ, પ્રક્રિયાઓ અથવા વસ્તુઓ અને તે મુજબ, ગુણાત્મક અને માત્રાત્મક સંબંધો અથવા તેમની વચ્ચેના ચોક્કસ સંબંધો દર્શાવે છે.

ચોખા. 1. કેટલાક મૂળભૂત ખ્યાલોનું ચિત્રણ: એ-મિશ્ર ગ્રાફ; બી-સ્પૅનિંગ ટ્રી (સોલિડ આર્ક્સ a, h, d, f, h) અને ડિગ્રાફનો ચોક્કસ સબગ્રાફ (ડેશ્ડ આર્ક્સ c, e, g, k, l); c, r-matrices resp. સંલગ્નતા અને ડિગ્રાફની ઘટના.
સૈદ્ધાંતિક સમસ્યાઓ.રાસાયણિક આલેખ રાસાયણિક પરિવર્તનની આગાહી કરવાનું શક્ય બનાવે છે, સારને સમજાવે છે અને રસાયણશાસ્ત્રની કેટલીક મૂળભૂત વિભાવનાઓને વ્યવસ્થિત કરે છે: માળખું, રૂપરેખાંકન, રચના, અણુઓની ક્વોન્ટમ યાંત્રિક અને આંકડાકીય-યાંત્રિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ, આઇસોમેરિઝમ, વગેરે. રાસાયણિક આલેખમાં મોલેક્યુલર, દ્વિપક્ષીય અને સિગ્નલનો સમાવેશ થાય છે. ગતિ પ્રતિક્રિયા સમીકરણો.
સ્ટીરીયોકેમિસ્ટ્રી અને સ્ટ્રક્ચરલ ટોપોલોજી, ક્લસ્ટરોની રસાયણશાસ્ત્ર, પોલિમર વગેરેમાં વપરાતા મોલેક્યુલર આલેખ એ અણુનિર્દેશિત આલેખ છે જે પરમાણુઓની રચના દર્શાવે છે (ફિગ. 2). આ આલેખના શિરોબિંદુઓ અને કિનારીઓ અનુક્રમે, તેમની વચ્ચેના અણુઓ અને રાસાયણિક બંધનોને અનુરૂપ છે.

ચોખા. 2. મોલેક્યુલર આલેખ અને વૃક્ષો: અનુક્રમે a, b - મલ્ટિગ્રાફ્સ. ઇથિલિન અને ફોર્માલ્ડિહાઇડ; તેઓ કહે છે પેન્ટેન આઇસોમર્સ (વૃક્ષો 4, 5 વૃક્ષ 2 થી આઇસોમોર્ફિક છે).
કાર્બનિક પદાર્થોની સ્ટીરિયોકેમિસ્ટ્રીમાં, મોલેક્યુલર વૃક્ષોનો મોટાભાગે ઉપયોગ થાય છે - મોલેક્યુલર આલેખના વૃક્ષો, જેમાં માત્ર C અણુઓને અનુરૂપ તમામ શિરોબિંદુઓ હોય છે (ફિગ. 2, a અને b). પરમાણુ વૃક્ષોના સમૂહોનું સંકલન કરવું અને તેમના સમરૂપીકરણને સ્થાપિત કરવાથી પરમાણુ રચનાઓ નક્કી કરવાનું શક્ય બને છે અને અલ્કેન્સ, અલ્કેન્સ અને આલ્કાઇન્સ (ફિગ. 2, c) ના આઇસોમર્સની કુલ સંખ્યા શોધવાનું શક્ય બને છે.
પરમાણુ આલેખ વિવિધ સંયોજનોના પરમાણુઓના કોડિંગ, નામકરણ અને માળખાકીય લક્ષણો (શાખા, ચક્રીયતા, વગેરે) સંબંધિત સમસ્યાઓને સંપૂર્ણ રીતે ગાણિતિક વિશેષતાઓ અને પરમાણુ આલેખ અને તેમના વૃક્ષોના ગુણધર્મોના વિશ્લેષણ અને સરખામણીને ઘટાડવાનું શક્ય બનાવે છે. તેમના અનુરૂપ મેટ્રિસિસ. પરમાણુઓની રચના અને સંયોજનોના ભૌતિક રાસાયણિક (ફાર્મકોલોજિકલ સહિત) ગુણધર્મો વચ્ચેના જથ્થાત્મક સહસંબંધોને ઓળખવા માટે, પરમાણુઓના ટોપોલોજીકલ સૂચકાંકોના 20 હજારથી વધુ નામો (વિનર, બાલાબન, હોસોયા, પ્લેટ, રેન્ડિચ, વગેરે) વિકસાવવામાં આવ્યા છે, જે છે. પરમાણુ વૃક્ષોની મેટ્રિસિસ અને સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારિત. ઉદાહરણ તરીકે, વિનર ઇન્ડેક્સ W = (m 3 + m)/6, જ્યાં m એ C અણુઓને અનુરૂપ શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છે, પરમાણુ વોલ્યુમો અને રીફ્રેક્શન્સ, રચનાના એન્થાલ્પીઝ, સ્નિગ્ધતા, સપાટીના તણાવ, સંયોજનોના ક્રોમેટોગ્રાફિક સ્થિરાંકો, હાઇડ્રોકાર્બનની ઓક્ટેન સંખ્યા અને દવાઓની શારીરિક પ્રવૃત્તિ પણ.
આપેલ પદાર્થના ટૉટોમેરિક સ્વરૂપો અને તેમની પ્રતિક્રિયાત્મકતા તેમજ એમિનો એસિડ, ન્યુક્લિક એસિડ, કાર્બોહાઇડ્રેટ્સ અને અન્ય જટિલ કુદરતી સંયોજનોના વર્ગીકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાતા પરમાણુ ગ્રાફના મહત્વના પરિમાણો સરેરાશ અને કુલ (એચ) માહિતી ક્ષમતા છે. શેનોન માહિતી એન્ટ્રોપી ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને પરિમાણની ગણતરી કરવામાં આવે છે: , જ્યાં p t એ સંભાવના છે કે આલેખના શિરોબિંદુઓ m i-th પ્રકાર, અથવા સમકક્ષતા વર્ગ, k; i = , પરિમાણ. અકાર્બનિક ક્લસ્ટર્સ અથવા મોબિયસ સ્ટ્રીપ્સ જેવા મોલેક્યુલર સ્ટ્રક્ચર્સનો અભ્યાસ જટિલ પોલિહેડ્રા (ઉદાહરણ તરીકે, ક્લસ્ટરના કિસ્સામાં પોલિહેડ્રા) અથવા વિશેષમાં મૂકીને (એમ્બેડિંગ) દ્વારા અનુરૂપ પરમાણુ આલેખના આઇસોમોર્ફિઝમને સ્થાપિત કરવા માટે નીચે આવે છે. બહુપરિમાણીય સપાટીઓ (ઉદાહરણ તરીકે, રીમેન સપાટીઓ). પોલિમરના પરમાણુ આલેખનું વિશ્લેષણ, જેના શિરોબિંદુઓ મોનોમર એકમોને અનુરૂપ છે, અને તેમની વચ્ચેના રાસાયણિક બોન્ડની ધાર, તે સમજાવવાનું શક્ય બનાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, બાકાત વોલ્યુમની અસરો, જે પોલિમરના અનુમાનિત ગુણધર્મોમાં ગુણાત્મક ફેરફારો તરફ દોરી જાય છે. .

ચોખા. 3. પ્રતિક્રિયા આલેખ: a-દ્વિપક્ષીય; ગતિશાસ્ત્રનું b-સિગ્નલ સ્તર; r 1, g 2 -r-tion; a 1 -a 6 -reagents; k-રેટ સ્થિરાંકો p-tsny; s-જટિલ લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ વેરીએબલ.
કૃત્રિમ બુદ્ધિમત્તાના ગ્રાફ થિયરી અને સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને, રસાયણશાસ્ત્રમાં માહિતી પુનઃપ્રાપ્તિ પ્રણાલીઓ તેમજ પરમાણુ માળખાને ઓળખવા અને કાર્બનિક સંશ્લેષણના તર્કસંગત આયોજન માટે સ્વચાલિત સિસ્ટમો માટે સોફ્ટવેર વિકસાવવામાં આવ્યું છે. રેટ્રોસિન્થેટીક અને સિન્ટોનિક સિદ્ધાંતો પર આધારિત રાસાયણિક પરિવર્તનના તર્કસંગત માર્ગો પસંદ કરવા માટે ઓપરેશનના કમ્પ્યુટર પર વ્યવહારુ અમલીકરણ માટે, ઉકેલ વિકલ્પો માટે બહુ-સ્તરીય શાખાવાળા શોધ આલેખનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેની શિરોબિંદુઓ રીએજન્ટ્સ અને ઉત્પાદનોના પરમાણુ આલેખને અનુરૂપ છે, અને આર્ક્સ પદાર્થોના પરિવર્તનને દર્શાવે છે.

ચોખા. 4. સિંગલ-સર્કિટ કેમિકલ-ટેક્નોલોજીકલ સિસ્ટમ અને અનુરૂપ આલેખ: એ-સ્ટ્રક્ચરલ ડાયાગ્રામ; b, અનુક્રમે c-મટીરિયલ ફ્લો ગ્રાફ. કુલ સમૂહ પ્રવાહ દર અને ઘટક A પ્રવાહ દર દ્વારા; r - થર્મલ ફ્લો ગ્રાફ; ફિગમાં આલેખના વિશ્લેષણમાંથી મેળવેલ ભૌતિક સંતુલનના સમીકરણોની સિસ્ટમ (f 1 - f 6)નો d- ટુકડો. 4, b અને c; ઈ-દ્વિપક્ષીય માહિતી ડિગ્રાફ; જી-માહિતી ગ્રાફ, આઇ-મિક્સર; II-રિએક્ટર; III-નિસ્યંદન સ્તંભ; IV-રેફ્રિજરેટર; I 1 -I 8 -ટેકનોલ. સ્ટ્રીમ્સ; q-માસ પ્રવાહ; H એ પ્રવાહની એન્થાલ્પી છે; i s અને i*, s* - resp. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક સ્ત્રોતો અને સામગ્રી અને ગરમીના પ્રવાહના સિંક; રીએજન્ટની c-સાંદ્રતા; V એ રિએક્ટરનું વોલ્યુમ છે.
વિવિધ સંયોજનોના પરમાણુ આલેખની મેટ્રિક્સ રજૂઆતો ક્વોન્ટમ રસાયણશાસ્ત્રની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓની સમકક્ષ છે (સંબંધિત મેટ્રિક્સ તત્વોનું રૂપાંતર કર્યા પછી). તેથી, જટિલ ક્વોન્ટમ રાસાયણિક ગણતરીઓ કરતી વખતે ગ્રાફ થિયરીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: પરમાણુ ભ્રમણકક્ષાની સંખ્યા, ગુણધર્મો અને શક્તિઓ નક્કી કરવા, સંયુક્ત વૈકલ્પિક અને બિન-વૈકલ્પિક પોલિએન્સની પ્રતિક્રિયાત્મકતાની આગાહી કરવા, પદાર્થોના સુગંધિત અને વિરોધી સુગંધિત ગુણધર્મોને ઓળખવા વગેરે.
રાસાયણિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં મોટી સંખ્યામાં કણો ધરાવતી સિસ્ટમ્સમાં વિક્ષેપનો અભ્યાસ કરવા માટે, કહેવાતા ફેનમેન આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે - આલેખ કે જેના શિરોબિંદુઓ ભૌતિક કણોની પ્રાથમિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને અનુરૂપ હોય છે, અથડામણ પછી તેમના માર્ગોની કિનારીઓ. ખાસ કરીને, આ આલેખ ઓસીલેટરી પ્રતિક્રિયાઓની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરવાનું અને પ્રતિક્રિયા પ્રણાલીઓની સ્થિરતા નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે.
જાણીતા ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓના આપેલ સમૂહ માટે રીએજન્ટ પરમાણુઓના રૂપાંતર માટે તર્કસંગત માર્ગો પસંદ કરવા માટે, દ્વિપક્ષીય પ્રતિક્રિયા ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે (શિરોબિંદુઓ પરમાણુઓને અનુરૂપ છે અને આ પ્રતિક્રિયાઓ, આર્ક પ્રતિક્રિયામાં પરમાણુઓની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને અનુરૂપ છે; ફિગ. 3,a). આવા આલેખ રાસાયણિક પરિવર્તનના શ્રેષ્ઠ માર્ગો પસંદ કરવા માટે ઇન્ટરેક્ટિવ અલ્ગોરિધમ્સ વિકસાવવાનું શક્ય બનાવે છે જેમાં મધ્યવર્તી પ્રતિક્રિયાઓની સૌથી ઓછી સંખ્યા, સ્વીકાર્ય લોકોની સૂચિમાંથી ન્યૂનતમ રીએજન્ટ્સની જરૂર હોય અથવા ઉત્પાદનોની સૌથી વધુ ઉપજ પ્રાપ્ત થાય.
પ્રતિક્રિયા ગતિશાસ્ત્રના સમીકરણોના સિગ્નલ આલેખ બીજગણિત ઓપરેટર સ્વરૂપમાં પ્રસ્તુત ગતિ સમીકરણોની સિસ્ટમ્સ દર્શાવે છે (ફિગ. 3b). આલેખના શિરોબિંદુઓ કહેવાતા માહિતી ચલો અથવા સંકેતોને અનુરૂપ છે, રીએજન્ટની સાંદ્રતાના સ્વરૂપમાં, ચાપ - સંકેતોના સંબંધો સાથે, અને ચાપના વજન ગતિ સ્થિરાંકો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આવા આલેખનો ઉપયોગ જટિલ ઉત્પ્રેરક પ્રતિક્રિયાઓના મિકેનિઝમ્સ અને ગતિશાસ્ત્રના અભ્યાસમાં, જટિલ સંયોજનોની રચનામાં જટિલ તબક્કાના સંતુલન, તેમજ ઉકેલોના ઉમેરણ ગુણધર્મોના પરિમાણોની ગણતરી માટે થાય છે.
લાગુ સમસ્યાઓ.રાસાયણિક-તકનીકી પ્રણાલીઓ (CTS) ના વિશ્લેષણ અને ઑપ્ટિમાઇઝેશનની બહુપરીમાણીય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, નીચેના રાસાયણિક-તકનીકી આલેખનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે (ફિગ. 4): પ્રવાહ, માહિતી-પ્રવાહ, સંકેત અને વિશ્વસનીયતા આલેખ. પ્રવાહ આલેખ, જે ભારાંકિત ડિગ્રાફ્સ છે, તેમાં ભૌતિક પ્રવાહના કુલ સમૂહ પ્રવાહ દર અને કેટલાક રાસાયણિક ઘટકો અથવા તત્વોના સમૂહ પ્રવાહ દર તેમજ થર્મલ આલેખના સંદર્ભમાં પેરામેટ્રિક, સામગ્રીનો સમાવેશ થાય છે. સૂચિબદ્ધ આલેખ આપેલ રાસાયણિક પ્રણાલીમાં પદાર્થો અને ઊર્જાના ભૌતિક અને રાસાયણિક પરિવર્તનને અનુરૂપ છે.
પેરામેટ્રિક ફ્લો ગ્રાફ્સ CTS તત્વો દ્વારા ભૌતિક પ્રવાહના પરિમાણો (સામૂહિક પ્રવાહ દર, વગેરે) નું પરિવર્તન દર્શાવે છે; આલેખના શિરોબિંદુઓ ઉપકરણોના ગાણિતિક મોડેલો, તેમજ ઉલ્લેખિત પ્રવાહોના સ્ત્રોતો અને સિંકને અનુરૂપ છે, અને ચાપ પોતે જ પ્રવાહોને અનુરૂપ છે, અને ચાપનું વજન પરિમાણોની સંખ્યા જેટલું છે. અનુરૂપ પ્રવાહ. પેરામેટ્રિક ગ્રાફનો ઉપયોગ મલ્ટિ-સર્કિટ રાસાયણિક સિસ્ટમ્સના તકનીકી મોડ્સનું વિશ્લેષણ કરવા માટે અલ્ગોરિધમ્સ વિકસાવવા માટે થાય છે. આવા ગાણિતીક નિયમો ચલ ઇનપુટ પ્રવાહોના જાણીતા મૂલ્યો સાથે તેના આઉટપુટ પ્રવાહના પરિમાણોને નિર્ધારિત કરવા માટે કોઈપણ સિસ્ટમના વ્યક્તિગત ઉપકરણોના ગાણિતિક મોડલના સમીકરણોની ગણતરી સિસ્ટમોનો ક્રમ સ્થાપિત કરે છે.
સામગ્રીના પ્રવાહના આલેખ રાસાયણિક પદાર્થોમાં પદાર્થોના વપરાશમાં ફેરફાર દર્શાવે છે. આલેખના શિરોબિંદુઓ એવા ઉપકરણોને અનુરૂપ છે જેમાં ભૌતિક પ્રવાહના કુલ સમૂહ પ્રવાહ દરો અને કેટલાક રાસાયણિક ઘટકો અથવા તત્વોના સમૂહ પ્રવાહ દરમાં પરિવર્તન થાય છે, તેમજ પ્રવાહના પદાર્થો અથવા આ ઘટકોના સ્ત્રોતો અને સિંક; તદનુસાર, આલેખના ચાપ ભૌતિક પ્રવાહ અથવા ભૌતિક અને કાલ્પનિક (ઉપકરણોમાં પદાર્થોના રાસાયણિક પરિવર્તન) સ્ત્રોતો અને કોઈપણ ઘટકોના સિંકને અનુરૂપ છે, અને આર્કનું વજન બંને પ્રકારના સમૂહ પ્રવાહ દરો જેટલું છે. થર્મલ ફ્લો ગ્રાફ CTS માં ગરમી સંતુલન દર્શાવે છે; આલેખના શિરોબિંદુઓ એવા ઉપકરણોને અનુરૂપ છે જેમાં ભૌતિક પ્રવાહની ગરમીનો વપરાશ બદલાય છે, અને વધુમાં, સિસ્ટમની થર્મલ ઊર્જાના સ્ત્રોતો અને સિંક સાથે; આર્ક્સ ભૌતિક અને કાલ્પનિક (ઉપકરણોમાં ભૌતિક-રાસાયણિક ઉર્જાનું રૂપાંતર) ગરમીના પ્રવાહને અનુરૂપ છે, અને આર્કનું વજન પ્રવાહના એન્થાલ્પીસ જેટલું છે. સામગ્રી અને થર્મલ ગ્રાફનો ઉપયોગ જટિલ રાસાયણિક પ્રણાલીઓના સામગ્રી અને ઉષ્મા સંતુલન માટેના સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ્સના સ્વચાલિત વિકાસ માટેના કાર્યક્રમોને સંકલિત કરવા માટે થાય છે.
માહિતી-સ્ટોક આલેખ CTS ના ગાણિતિક મોડેલોના સમીકરણોની સિસ્ટમોની તાર્કિક-માહિતી માળખું દર્શાવે છે; આ સિસ્ટમોની ગણતરી માટે શ્રેષ્ઠ અલ્ગોરિધમ્સ વિકસાવવા માટે વપરાય છે. દ્વિપક્ષીય માહિતી આલેખ (ફિગ. 4, e) એ એક દિશાહીન અથવા લક્ષી આલેખ છે, જેના શિરોબિંદુઓ અનુક્રમે f l - f 6 અને ચલ q 1 - V સમીકરણોને અનુરૂપ છે અને શાખાઓ તેમના સંબંધને પ્રતિબિંબિત કરે છે. માહિતી ગ્રાફ (ફિગ. 4, જી) - સમીકરણો ઉકેલવાના ક્રમને દર્શાવતો ડિગ્રાફ; આલેખના શિરોબિંદુઓ XTS માહિતીના આ સમીકરણો, સ્ત્રોતો અને પ્રાપ્તકર્તાઓને અનુરૂપ છે અને શાખાઓ માહિતી ચલોને અનુરૂપ છે.
સિગ્નલ ગ્રાફ રાસાયણિક તકનીકી પ્રક્રિયાઓ અને પ્રણાલીઓના ગાણિતિક મોડેલોના સમીકરણોની રેખીય સિસ્ટમોને અનુરૂપ છે. આલેખના શિરોબિંદુઓ સંકેતોને અનુરૂપ છે (ઉદાહરણ તરીકે, તાપમાન), અને શાખાઓ તેમની વચ્ચેના જોડાણોને અનુરૂપ છે. આવા આલેખનો ઉપયોગ મલ્ટિપેરામીટર પ્રક્રિયાઓ અને રાસાયણિક પ્રણાલીઓના સ્થિર અને ગતિશીલ મોડ્સ, તેમજ તેમની સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો (સ્થિરતા, સંવેદનશીલતા, નિયંત્રણક્ષમતા) ની સંખ્યાના સૂચકાંકો માટે થાય છે.
વિશ્વસનીયતા ગ્રાફનો ઉપયોગ રાસાયણિક સાધનોની વિશ્વસનીયતાના વિવિધ સૂચકાંકોની ગણતરી કરવા માટે થાય છે. આ ગ્રાફના અસંખ્ય જૂથોમાં (ઉદાહરણ તરીકે, પેરામેટ્રિક, લોજિકલ-ફંક્શનલ), કહેવાતા ફોલ્ટ ટ્રી ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે. આવા દરેક વૃક્ષ એક ભારિત ડાઇગ્રાફ છે જે વ્યક્તિગત પ્રક્રિયાઓ અને CTS ઉપકરણોની ઘણી સરળ નિષ્ફળતાઓના આંતરસંબંધને દર્શાવે છે, જે ઘણી ગૌણ નિષ્ફળતાઓ અને સમગ્ર સિસ્ટમની પરિણામી નિષ્ફળતા તરફ દોરી જાય છે.
શ્રેષ્ઠ અત્યંત વિશ્વસનીય ઉત્પાદન (સંસાધન-બચત સહિત) ના સ્વયંસંચાલિત સંશ્લેષણ માટેના કાર્યક્રમોના સંકુલ બનાવવા માટે, આર્ટિફિશિયલ ઇન્ટેલિજન્સ, ઓરિએન્ટેડ સિમેન્ટીક અથવા સિમેન્ટીકના સિદ્ધાંતો સાથે, CTS સોલ્યુશન વિકલ્પોના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ આલેખ, જે ચોક્કસ કિસ્સામાં વૃક્ષો છે, તર્કસંગત વૈકલ્પિક CTS યોજનાઓનો સમૂહ બનાવવા માટેની પ્રક્રિયાઓનું નિરૂપણ કરે છે (ઉદાહરણ તરીકે, સુધારણા દ્વારા લક્ષ્ય ઉત્પાદનોના પાંચ-ઘટક મિશ્રણને અલગ કરતી વખતે 14 શક્ય) અને તેમની વચ્ચે ઓર્ડર કરેલ પસંદગી માટેની પ્રક્રિયાઓ સિસ્ટમની કાર્યક્ષમતાના કેટલાક માપદંડો અનુસાર શ્રેષ્ઠ હોય તેવી યોજના.
વગેરે.............

તદુપરાંત, તેમના જીવનના છેલ્લા 12 વર્ષોથી, યુલર ગંભીર રીતે બીમાર હતો, અંધ થઈ ગયો હતો, અને, તેની ગંભીર બીમારી હોવા છતાં, કામ કરવાનું અને સર્જન કરવાનું ચાલુ રાખ્યું હતું.

આંકડાકીય ગણતરીઓ દર્શાવે છે કે યુલરે દર અઠવાડિયે સરેરાશ એક શોધ કરી હતી.

એક ગાણિતિક સમસ્યા શોધવી મુશ્કેલ છે જે યુલરના કાર્યોમાં સંબોધવામાં આવી ન હતી.

ત્યારપછીની પેઢીના તમામ ગણિતશાસ્ત્રીઓએ યુલર સાથે એક યા બીજી રીતે અભ્યાસ કર્યો હતો અને તે કારણ વગરનું નહોતું કે પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક પી.એસ. લાપલેસે કહ્યું: "ઓઈલરને વાંચો, તે આપણા બધાના શિક્ષક છે."

લેગ્રેન્જ કહે છે: "જો તમે ખરેખર ગણિતને પસંદ કરો છો, તો યુલરને વાંચો; તેમની કૃતિઓની રજૂઆત તેની અદ્ભુત સ્પષ્ટતા અને ચોકસાઈ માટે નોંધપાત્ર છે." ખરેખર, તેની ગણતરીઓની લાવણ્ય ઉચ્ચતમ ડિગ્રી પર લાવવામાં આવી હતી. કોન્ડોર્સેટે યુલરની યાદમાં એકેડેમીમાં તેમનું ભાષણ નીચેના શબ્દો સાથે સમાપ્ત કર્યું: "તેથી યુલરે જીવવાનું અને ગણતરી કરવાનું બંધ કરી દીધું!" ગણતરી માટે જીવવું - બહારથી કેટલું કંટાળાજનક લાગે છે!

સામાન્ય લોકોની રુચિ માટે, દરરોજ દરેક વસ્તુ માટે ગણિતશાસ્ત્રીને શુષ્ક અને બહેરા તરીકે કલ્પના કરવાનો રિવાજ છે.

યુલરના નામ પર રાખવામાં આવેલ, ત્રણ ઘરો અને ત્રણ કુવાઓની સમસ્યા છે.

ટોપોલોજીની શાખાઓમાંની એક. ગ્રાફ એ ભૌમિતિક રેખાકૃતિ છે જે અમુક બિંદુઓને જોડતી રેખાઓની સિસ્ટમ છે. બિંદુઓને શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને તેમને જોડતી રેખાઓને ધાર (અથવા ચાપ) કહેવામાં આવે છે. તમામ ગ્રાફ થિયરી સમસ્યાઓ ગ્રાફિકલ અને મેટ્રિક્સ બંને સ્વરૂપે ઉકેલી શકાય છે. મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખવાના કિસ્સામાં, આપેલ શિરોબિંદુમાંથી બીજામાં સંદેશ પ્રસારિત કરવાની સંભાવના એક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને તેની ગેરહાજરી શૂન્ય દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

18મી સદીમાં ગ્રાફ થિયરીની ઉત્પત્તિ. ગાણિતિક કોયડાઓ સાથે સંકળાયેલ છે, પરંતુ તેના વિકાસ માટે ખાસ કરીને મજબૂત પ્રોત્સાહન 19મી સદીમાં આપવામાં આવ્યું હતું. અને મુખ્યત્વે 20મી સદીમાં, જ્યારે તેના વ્યવહારુ ઉપયોગની શક્યતાઓ શોધી કાઢવામાં આવી હતી: રેડિયો-ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટની ગણતરી કરવા માટે, કહેવાતા ઉકેલવા માટે. પરિવહન કાર્યો, વગેરે. 50 ના દાયકાથી. સામાજિક મનોવિજ્ઞાન અને સમાજશાસ્ત્રમાં ગ્રાફ થિયરીનો વધુને વધુ ઉપયોગ થાય છે.

ગ્રાફ થિયરીના ક્ષેત્રમાં, વ્યક્તિએ એફ. હેરી, જે. કેમેની, કે. ફ્લેમેન્ટ, જે. સ્નેલ, જે. ફ્રેન્ચ, આર. નોર્મન, ઓ. ઓયસર, એ. બેવેલાસ, આર. વેઇસ વગેરેના કાર્યોનો ઉલ્લેખ કરવો જોઈએ. USSR માં, T. g અનુસાર. એમ. બોરોડકિન અને અન્ય.

ગ્રાફ થિયરી ભાષા વિવિધ પ્રકારની રચનાઓનું વિશ્લેષણ કરવા અને રાજ્યોને સ્થાનાંતરિત કરવા માટે સારી રીતે અનુકૂળ છે. આને અનુરૂપ, અમે ગ્રાફ થિયરીનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવતી સામાજિક અને સામાજિક-માનસિક સમસ્યાઓના નીચેના પ્રકારોને અલગ પાડી શકીએ છીએ.

તેની જટિલતાના વિવિધ સ્તરો પર સામાજિક ઑબ્જેક્ટના સામાન્ય માળખાકીય મોડેલનું ઔપચારિકકરણ અને નિર્માણ. ઉદાહરણ તરીકે, સંસ્થાનું માળખાકીય આકૃતિ, સોશિયોગ્રામ, વિવિધ સમાજોમાં સગપણ પ્રણાલીની સરખામણી, જૂથોની ભૂમિકાની રચનાનું વિશ્લેષણ વગેરે.

અમે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ કે ભૂમિકાની રચનામાં ત્રણ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે: વ્યક્તિઓ, હોદ્દાઓ (સરળ સંસ્કરણમાં - હોદ્દાઓ) અને આપેલ સ્થિતિમાં કરવામાં આવતા કાર્યો.

દરેક ઘટકને ગ્રાફ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

તમામ સ્થાનો માટે અથવા ફક્ત એક માટે ત્રણેય આલેખને જોડવાનું શક્ય છે, અને પરિણામે આપણને સી.એલ.ની ચોક્કસ રચનાનો સ્પષ્ટ ખ્યાલ આવે છે. આ ભૂમિકા. આમ, પોઝિશન P5 ની ભૂમિકા માટે આપણી પાસે ગ્રાફ (ફિગ.) છે. ઉલ્લેખિત ઔપચારિક માળખામાં અનૌપચારિક સંબંધોને વણાટ કરવાથી આલેખ નોંધપાત્ર રીતે જટિલ બનશે, પરંતુ તે વાસ્તવિકતાની વધુ સચોટ નકલ હશે.

a) જથ્થો. અધિક્રમિક સંસ્થામાં વ્યક્તિના વજન (સ્થિતિ) નું મૂલ્યાંકન. સ્થિતિ નક્કી કરવા માટેના સંભવિત વિકલ્પોમાંથી એક સૂત્ર છે:

જ્યાં r (p) એ ચોક્કસ વ્યક્તિ p ની સ્થિતિ છે, k એ ગૌણતાના સ્તરનું મૂલ્ય છે, જે આપેલ વ્યક્તિથી તેના ગૌણ સુધીના પગલાઓની સૌથી નાની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે, nk એ આપેલ સ્તર k પર વ્યક્તિઓની સંખ્યા છે . ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના દ્વારા રજૂ કરાયેલ સંસ્થામાં. ગણતરી:

વજન a=1·2+2·7+3·4=28; 6=1·3+2·3=9, વગેરે.

b) જૂથના નેતાનું નિર્ધારણ. નેતા સામાન્ય રીતે અન્યની તુલનામાં બાકીના જૂથ સાથે વધુ જોડાણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. અગાઉના કાર્યની જેમ, લીડરને ઓળખવા માટે અહીં પણ વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

સૌથી સરળ પદ્ધતિ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: r=Σdxy/Σdqx, એટલે કે. દરેક વ્યક્તિના તમામ અંતરના સરવાળાને અન્ય તમામ લોકો માટે આપેલ વ્યક્તિના અંતરના સરવાળા દ્વારા વિભાજીત કરવાનો ભાગ.

4) આ સિસ્ટમની પ્રવૃત્તિની અસરકારકતાનું વિશ્લેષણ, જેમાં સંસ્થાના શ્રેષ્ઠ માળખાની શોધ, જૂથ એકતા વધારવી, તેની સ્થિરતાના દૃષ્ટિકોણથી સામાજિક પ્રણાલીનું વિશ્લેષણ કરવા જેવા કાર્યોનો પણ સમાવેશ થાય છે; માહિતીના પ્રવાહનો અભ્યાસ (સમસ્યાઓને હલ કરતી વખતે સંદેશાઓનું પ્રસારણ, જૂથને એક કરવાની પ્રક્રિયામાં એકબીજા પર જૂથના સભ્યોનો પ્રભાવ); ટેક્નોલોજીની મદદથી, તેઓ શ્રેષ્ઠ સંચાર નેટવર્ક શોધવાની સમસ્યાને હલ કરે છે.

જ્યારે ગ્રાફ થિયરી, તેમજ કોઈપણ ગાણિતિક ઉપકરણ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે સાચું છે કે સમસ્યાને ઉકેલવા માટેના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો મૂળ સિદ્ધાંત (આ કિસ્સામાં, સમાજશાસ્ત્ર) દ્વારા સેટ કરવામાં આવે છે.

કાર્ય : ત્રણ પડોશીઓ પાસે ત્રણ સામાન્ય કૂવા છે. શું દરેક ઘરથી દરેક કૂવા સુધી આંતરછેદ વગરના રસ્તાઓ બનાવવાનું શક્ય છે? કૂવાઓ અને ઘરોમાંથી પાથ પસાર થઈ શકતા નથી (ફિગ. 1).

ચોખા. 1. ઘરો અને કુવાઓની સમસ્યા માટે.

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, અમે 1752માં યુલર દ્વારા સાબિત કરાયેલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું, જે ગ્રાફ થિયરીમાં મુખ્ય છે. ગ્રાફ થિયરી પરનું પ્રથમ કાર્ય લિયોનહાર્ડ યુલર (1736)નું છે, જો કે "ગ્રાફ" શબ્દ સૌપ્રથમ 1936 માં હંગેરિયન ગણિતશાસ્ત્રી ડેનેસ કોનિગ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. આલેખને બિંદુઓ અને આ બિંદુઓને જોડતી સીધી રેખાઓ અથવા વળાંકોના ભાગો ધરાવતા આકૃતિઓ કહેવામાં આવતા હતા.

પ્રમેય. જો બહુકોણને બહુકોણની મર્યાદિત સંખ્યામાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે જેમ કે પાર્ટીશનના કોઈપણ બે બહુકોણમાં કાં તો સામાન્ય બિંદુઓ નથી, અથવા સામાન્ય શિરોબિંદુઓ નથી, અથવા સામાન્ય ધારો છે, તો સમાનતા ધરાવે છે.

B - P + G = 1, (*)

જ્યાં B એ શિરોબિંદુઓની કુલ સંખ્યા છે, P એ ધારની કુલ સંખ્યા છે, G એ બહુકોણ (ચહેરા) ની સંખ્યા છે.

પુરાવો. ચાલો સાબિત કરીએ કે જો આપેલ પાર્ટીશનના કેટલાક બહુકોણમાં કર્ણ દોરવામાં આવે તો સમાનતા બદલાતી નથી (ફિગ. 2, a).

અ) b)

ખરેખર, આવા કર્ણ દોર્યા પછી, નવા પાર્ટીશનમાં B શિરોબિંદુઓ, P+1 ધાર હશે અને બહુકોણની સંખ્યા એકથી વધશે. તેથી, અમારી પાસે છે

B - (P + 1) + (G+1) = B – P + G.

આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, અમે કર્ણ દોરીએ છીએ જે આવનારા બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે, અને પરિણામી પાર્ટીશન માટે અમે સંબંધની શક્યતા બતાવીએ છીએ.

આ કરવા માટે, અમે ત્રિકોણની સંખ્યા ઘટાડીને, ક્રમિક રીતે બાહ્ય કિનારીઓને દૂર કરીશું. આ કિસ્સામાં, બે કેસો શક્ય છે:

ત્રિકોણ ABC ને દૂર કરવા માટે, તમારે બે કિનારીઓ દૂર કરવાની જરૂર છે, અમારા કિસ્સામાં AB અને BC;

ત્રિકોણ MKN દૂર કરવા માટે, તમારે એક ધાર દૂર કરવાની જરૂર છે, અમારા કિસ્સામાં MN.

બંને કિસ્સાઓમાં સમાનતા બદલાશે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ કિસ્સામાં, ત્રિકોણને દૂર કર્યા પછી, ગ્રાફમાં B-1 શિરોબિંદુઓ, P-2 ધાર અને G-1 બહુકોણ હશે:

(B - 1) - (P + 2) + (G -1) = B – P + G.

આમ, એક ત્રિકોણ દૂર કરવાથી સમાનતા બદલાતી નથી.

ત્રિકોણને દૂર કરવાની આ પ્રક્રિયાને ચાલુ રાખીને, આપણે આખરે એક ત્રિકોણ ધરાવતા પાર્ટીશન પર પહોંચીશું. આવા પાર્ટીશન માટે B = 3, P = 3, G = 1 અને તેથી,

આનો અર્થ એ છે કે સમાનતા મૂળ પાર્ટીશન માટે પણ ધરાવે છે, જેમાંથી આપણે આખરે મેળવીએ છીએ કે બહુકોણના આ પાર્ટીશન માટે સંબંધ માન્ય છે.

નોંધ કરો કે યુલરનો સંબંધ બહુકોણના આકાર પર આધારિત નથી. બહુકોણ વિકૃત થઈ શકે છે, વિસ્તૃત થઈ શકે છે, ઘટાડી શકાય છે અથવા તો તેમની બાજુઓને વળાંક પણ આપી શકે છે, જ્યાં સુધી બાજુઓમાં કોઈ અંતર ન હોય. યુલરનો સંબંધ બદલાશે નહીં.

ચાલો હવે ત્રણ ઘરો અને ત્રણ કુવાઓની સમસ્યા હલ કરવા આગળ વધીએ.

ઉકેલ. ચાલો ધારીએ કે આ કરી શકાય છે. ચાલો ઘરોને પોઈન્ટ D1, D2, D3 અને પોઈન્ટ K1, K2, K3 (ફિગ. 1) સાથે કુવાઓને ચિહ્નિત કરીએ. અમે દરેક ઘરના બિંદુને દરેક કૂવા બિંદુ સાથે જોડીએ છીએ. આપણને નવ ધાર મળે છે જે જોડીમાં છેદે નથી.

આ કિનારીઓ પ્લેન પર બહુકોણ બનાવે છે, જે નાના બહુકોણમાં વિભાજિત થાય છે. તેથી, આ પાર્ટીશન માટે યુલર સંબંધ B - P + G = 1 સંતુષ્ટ હોવો જોઈએ.

ચાલો વિચારણા હેઠળના ચહેરા પર એક વધુ ચહેરો ઉમેરીએ - બહુકોણના સંબંધમાં પ્લેનનો બાહ્ય ભાગ. પછી યુલર સંબંધ B = 6 અને P = 9 સાથે B - P + G = 2 સ્વરૂપ લેશે.

તેથી, Г = 5. પાંચમાંના દરેક ચહેરામાં ઓછામાં ઓછી ચાર કિનારીઓ હોય છે, કારણ કે, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, કોઈપણ પાથ સીધા બે ઘરો અથવા બે કૂવાઓને જોડવા જોઈએ નહીં. દરેક ધાર બરાબર બે ચહેરા પર આવેલી હોવાથી, ધારની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી (5 4)/2 = 10 હોવી જોઈએ, જે તેમની સંખ્યા 9 હોવાની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે.

પરિણામી વિરોધાભાસ દર્શાવે છે કે સમસ્યાનો જવાબ નકારાત્મક છે - દરેક ઘરથી દરેક ગામ સુધી બિન-છેદ્યા માર્ગો દોરવા અશક્ય છે

રસાયણશાસ્ત્રમાં ગ્રાફ થિયરી

રાસાયણિક અને રાસાયણિક-તકનીકી આલેખના વિવિધ વર્ગોના નિર્માણ અને વિશ્લેષણ માટે ગ્રાફ થિયરીનો ઉપયોગ, જેને ટોપોલોજી, મોડેલ્સ, એટલે કે. મોડેલો કે જે ફક્ત શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના જોડાણોની પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લે છે. આ આલેખની ચાપ (કિનારીઓ) અને શિરોબિંદુઓ રાસાયણિક અને રાસાયણિક-તકનીકી વિભાવનાઓ, ઘટનાઓ, પ્રક્રિયાઓ અથવા વસ્તુઓ અને તે મુજબ, ગુણાત્મક અને માત્રાત્મક સંબંધો અથવા તેમની વચ્ચેના ચોક્કસ સંબંધોને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

સૈદ્ધાંતિક સમસ્યાઓ. રાસાયણિક આલેખ રાસાયણિક પરિવર્તનની આગાહી કરવાનું શક્ય બનાવે છે, સારને સમજાવે છે અને રસાયણશાસ્ત્રની કેટલીક મૂળભૂત વિભાવનાઓને વ્યવસ્થિત બનાવે છે: માળખું, રૂપરેખાંકન, પુષ્ટિકરણ, અણુઓની ક્વોન્ટમ યાંત્રિક અને આંકડાકીય-યાંત્રિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ, આઇસોમેરિઝમ, વગેરે. રાસાયણિક આલેખમાં પરમાણુ, દ્વિપક્ષીય અને સિગ્નલ ગ્રાફનો સમાવેશ થાય છે. ગતિ પ્રતિક્રિયા સમીકરણો. સ્ટીરિયોકેમિસ્ટ્રી અને સ્ટ્રક્ચરલ ટોપોલોજી, ક્લસ્ટરોની રસાયણશાસ્ત્ર, પોલિમર વગેરેમાં વપરાતા મોલેક્યુલર આલેખ એ પરમાણુઓની સંરચના પ્રદર્શિત કરતા બિન નિર્દેશિત ગ્રાફ છે. આ આલેખના શિરોબિંદુઓ અને કિનારીઓ અનુરૂપ અણુઓ અને તેમની વચ્ચેના રાસાયણિક બોન્ડને અનુરૂપ છે.

સ્ટીરિયોકેમિસ્ટ્રીમાં.org. c-c સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા મોલેક્યુલર વૃક્ષો છે - મોલેક્યુલર આલેખના વૃક્ષો કે જેમાં પરમાણુઓને અનુરૂપ તમામ શિરોબિંદુઓ હોય છે અને તેમના સમરૂપીકરણને સ્થાપિત કરવાથી પરમાણુ માળખું નક્કી કરવાનું શક્ય બને છે અને અલ્કેન્સના આઇસોમર્સની કુલ સંખ્યા શોધવાનું શક્ય બને છે. alkenes અને alkynes. પરમાણુ આલેખ વિવિધ સંયોજનોના પરમાણુઓના કોડિંગ, નામકરણ અને માળખાકીય લક્ષણો (શાખા, ચક્રીયતા, વગેરે) સંબંધિત સમસ્યાઓને સંપૂર્ણ રીતે ગાણિતિક વિશેષતાઓ અને પરમાણુ આલેખ અને તેમના વૃક્ષોના ગુણધર્મોના વિશ્લેષણ અને સરખામણીને ઘટાડવાનું શક્ય બનાવે છે. તેમના અનુરૂપ મેટ્રિસિસ. પરમાણુઓની રચના અને સંયોજનોના ભૌતિક રાસાયણિક (ફાર્મકોલોજિકલ સહિત) ગુણધર્મો વચ્ચેના સહસંબંધોની સંખ્યાને ઓળખવા માટે, 20 થી વધુ કહેવાતા વિકસિત કરવામાં આવ્યા છે. પરમાણુઓના ટોપોલોજિકલ સૂચકાંકો (વિનર, બાલાબન, હોસોયા, પ્લાટા, રેન્ડિચ, વગેરે), જે પરમાણુ વૃક્ષોની મેટ્રિસિસ અને સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિનર ઇન્ડેક્સ W = (m3 + m)/6, જ્યાં m એ C અણુઓને અનુરૂપ શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છે, પરમાણુ વોલ્યુમો અને રીફ્રેક્શન્સ, રચનાના એન્થાલ્પીઝ, સ્નિગ્ધતા, સપાટીના તણાવ, સંયોજનોના ક્રોમેટોગ્રાફિક સ્થિરાંકો, ઓક્ટેન સાથે સંબંધ ધરાવે છે. હાઇડ્રોકાર્બનની સંખ્યા અને ફિઝિયોલ પણ. દવાઓની પ્રવૃત્તિ. આપેલ પદાર્થના ટૉટોમેરિક સ્વરૂપો અને તેમની પ્રતિક્રિયાત્મકતા તેમજ એમિનો એસિડ, ન્યુક્લિક એસિડ, કાર્બોહાઇડ્રેટ્સ અને અન્ય જટિલ કુદરતી સંયોજનોના વર્ગીકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાતા પરમાણુ ગ્રાફના મહત્વના પરિમાણો સરેરાશ અને કુલ (એચ) માહિતી ક્ષમતા છે. પોલિમરના પરમાણુ આલેખનું વિશ્લેષણ, જેના શિરોબિંદુઓ મોનોમર એકમોને અનુરૂપ છે, અને કિનારીઓ તેમની વચ્ચેના રાસાયણિક બંધનને અનુરૂપ છે, તે સમજાવવાનું શક્ય બનાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગુણો તરફ દોરી જતા બાકાત વોલ્યુમની અસરો. પોલિમરના અનુમાનિત ગુણધર્મોમાં ફેરફાર. ગ્રાફ થિયરી અને કૃત્રિમ બુદ્ધિમત્તાના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને, રસાયણશાસ્ત્રમાં માહિતી પુનઃપ્રાપ્તિ પ્રણાલીઓ, તેમજ પરમાણુ બંધારણોને ઓળખવા અને કાર્બનિક સંશ્લેષણના તર્કસંગત આયોજન માટે સ્વચાલિત સિસ્ટમો માટે સોફ્ટવેર વિકસાવવામાં આવ્યું છે. તર્કસંગત રાસાયણિક માર્ગો પસંદ કરવા માટે ઓપરેશનના કમ્પ્યુટર પર વ્યવહારુ અમલીકરણ માટે. રેટ્રોસિન્થેટીક અને સિન્ટોનિક સિદ્ધાંતો પર આધારિત પરિવર્તનો ઉકેલ વિકલ્પો માટે બહુ-સ્તરીય શાખાવાળા શોધ આલેખનો ઉપયોગ કરે છે, જેના શિરોબિંદુઓ રીએજન્ટ્સ અને ઉત્પાદનોના પરમાણુ આલેખને અનુરૂપ હોય છે, અને આર્ક્સ પરિવર્તનો દર્શાવે છે.

રાસાયણિક તકનીકી પ્રણાલીઓ (સીટીએસ) ના વિશ્લેષણ અને ઑપ્ટિમાઇઝેશનની બહુપરીમાણીય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, નીચેના રાસાયણિક તકનીકી ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: પ્રવાહ, માહિતી પ્રવાહ, સંકેત અને વિશ્વસનીયતા આલેખ. રસાયણશાસ્ત્રમાં અભ્યાસ માટે. મોટી સંખ્યામાં કણો ધરાવતી સિસ્ટમ્સમાં વિક્ષેપનું ભૌતિકશાસ્ત્ર કહેવાતા ઉપયોગ કરે છે. ફેનમેન આકૃતિઓ આલેખ છે, જેના શિરોબિંદુઓ ભૌતિક કણોની પ્રાથમિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ, અથડામણ પછી તેમના માર્ગોની કિનારીઓને અનુરૂપ છે. ખાસ કરીને, આ આલેખ ઓસીલેટરી પ્રતિક્રિયાઓની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરવાનું શક્ય બનાવે છે અને રાસાયણિક ગરમી પ્રણાલીઓમાં થર્મલ ફ્લો ગ્રાફ્સ પ્રવાહ દરમાં ફેરફાર દર્શાવે છે. આલેખના શિરોબિંદુઓ એવા ઉપકરણોને અનુરૂપ છે જેમાં ભૌતિક પ્રવાહની ગરમીનો વપરાશ બદલાય છે, અને વધુમાં, સિસ્ટમની થર્મલ ઊર્જાના સ્ત્રોતો અને સિંક સાથે; આર્ક્સ ભૌતિક અને કાલ્પનિક (ઉપકરણોમાં ભૌતિક-રાસાયણિક ઉર્જાનું રૂપાંતર) ગરમીના પ્રવાહને અનુરૂપ છે, અને આર્કનું વજન પ્રવાહના એન્થાલ્પીસ જેટલું છે. સામગ્રી અને થર્મલ ગ્રાફનો ઉપયોગ જટિલ રાસાયણિક પ્રણાલીઓના સામગ્રી અને ઉષ્મા સંતુલન માટેના સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ્સના સ્વચાલિત વિકાસ માટેના કાર્યક્રમોને સંકલિત કરવા માટે થાય છે. માહિતી પ્રવાહ આલેખ ગાણિતિક સમીકરણોની સિસ્ટમોની તાર્કિક માહિતી માળખું દર્શાવે છે. XTS મોડલ; આ સિસ્ટમોની ગણતરી માટે શ્રેષ્ઠ અલ્ગોરિધમ્સ વિકસાવવા માટે વપરાય છે. દ્વિપક્ષીય માહિતી ગ્રાફ એ એક નિર્દેશિત અથવા નિર્દેશિત ગ્રાફ છે જેના શિરોબિંદુઓ અનુક્રમે અનુરૂપ છે. સમીકરણો fl -f6 અને ચલો q1 – V, અને શાખાઓ તેમના સંબંધને પ્રતિબિંબિત કરે છે. માહિતી આલેખ - સમીકરણો ઉકેલવાના ક્રમને દર્શાવતો ડિગ્રાફ; આલેખના શિરોબિંદુઓ XTS માહિતીના આ સમીકરણો, સ્ત્રોતો અને પ્રાપ્તકર્તાઓને અનુરૂપ છે અને શાખાઓ માહિતીને અનુરૂપ છે. ચલો સિગ્નલ ગ્રાફ રાસાયણિક તકનીકી પ્રક્રિયાઓ અને પ્રણાલીઓના ગાણિતિક મોડેલોના સમીકરણોની રેખીય સિસ્ટમોને અનુરૂપ છે. વિશ્વસનીયતા ગ્રાફનો ઉપયોગ વિવિધ વિશ્વસનીયતા સૂચકાંકો Xની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

સાહિત્ય વપરાય છે:

1.બર્જ કે., ટી. જી અને તેની એપ્લિકેશન, ફ્રેન્ચમાંથી અનુવાદ, એમ., 1962;

2. કેમેની જે., સ્નેલ જે., થોમ્પસન જે., ફિનાઈટ મેથેમેટિક્સનો પરિચય, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, 2જી આવૃત્તિ, એમ., 1963;

3.ઓપે ઓ., આલેખ અને તેમની એપ્લિકેશન, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, એમ., 1965;

4. Belykh O.V., Belyaev E.V., સમાજશાસ્ત્રમાં ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ કરવાની શક્યતાઓ, માં: માણસ અને સમાજ, વોલ્યુમ. 1, [એલ.], 1966;

5. સમાજશાસ્ત્રીય સંશોધનમાં માત્રાત્મક પદ્ધતિઓ, એમ., 1966; Belyaev E.V., સમાજશાસ્ત્રીય માપનની સમસ્યાઓ, "VF", 1967, નંબર 7; બાવેલાસ. પુસ્તકમાં કાર્યલક્ષી જૂથોમાં સંચાર પેટર્ન. લેર્નર ડી., લાસ વેલ એચ., પોલિટિકલ સાયન્સ, સ્ટેનફોર્ડ, 1951;

6. કેમેની જે.જી., સ્નેલ જે., સામાજિક વિજ્ઞાનમાં ગાણિતિક મોડલ, એન.વાય., 1962; ફિલામેન્ટ સી., એપ્લીકેશન્સ ઓફ ગ્રાફ થિયરી ટુ ગ્રુપ સ્ટ્રક્ચર, એન.વાય., 1963; ઓસેર ઓ. એ., હારારુ એફ., ગ્રાફ થિયરીના સંદર્ભમાં ભૂમિકાની રચના અને વર્ણન, પુસ્તકમાં: બિડલ વી., થોમસ ઇ.જે., ભૂમિકા સિદ્ધાંત: ખ્યાલો અને સંશોધન, એન.વાય., 1966. ઇ. બેલ્યાએવ. લેનિનગ્રાડ.