નિયમિત પ્રિઝમના પાર્શ્વીય ચહેરાઓ. પ્રિઝમ લેટરલ સપાટી વિસ્તાર

વ્યાખ્યા. પ્રિઝમપોલિહેડ્રોન છે, જેની તમામ શિરોબિંદુઓ બે સમાંતર સમતલોમાં સ્થિત છે, અને આ જ બે વિમાનોમાં પ્રિઝમના બે ચહેરા આવેલા છે, જે અનુરૂપ સમાંતર બાજુઓ સાથે સમાન બહુકોણ છે, અને આ વિમાનોમાં ન હોય તેવી તમામ ધારો સમાંતર છે.

બે સમાન ચહેરાઓ કહેવામાં આવે છે પ્રિઝમ પાયા(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

પ્રિઝમના અન્ય તમામ ચહેરાઓ કહેવામાં આવે છે બાજુના ચહેરા(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

બધી બાજુના ચહેરાઓ રચાય છે પ્રિઝમની બાજુની સપાટી .

પ્રિઝમના તમામ બાજુના ચહેરા સમાંતરગ્રામો છે .

જે કિનારીઓ પાયા પર ન હોય તેને પ્રિઝમની બાજુની કિનારીઓ કહેવામાં આવે છે ( એએ 1, BB 1, સીસી 1, ડીડી 1, ઇઇ 1).

પ્રિઝમ કર્ણ એક સેગમેન્ટ છે જેના છેડા પ્રિઝમના બે શિરોબિંદુઓ છે જે એક જ ચહેરા પર આવેલા નથી (AD 1).

પ્રિઝમના પાયાને અને એક જ સમયે બંને પાયા સાથે લંબરૂપને જોડતા સેગમેન્ટની લંબાઈ કહેવાય છે. પ્રિઝમ ઊંચાઈ .

હોદ્દો:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (પ્રથમ, ટ્રાવર્સલ ક્રમમાં, એક પાયાના શિરોબિંદુઓ સૂચવવામાં આવે છે, અને પછી, તે જ ક્રમમાં, બીજાના શિરોબિંદુઓ; દરેક બાજુની ધારના છેડા સમાન અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, માત્ર એક આધારમાં પડેલા શિરોબિંદુઓ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. અનુક્રમણિકા વિના અક્ષરો દ્વારા, અને બીજામાં - અનુક્રમણિકા સાથે)

પ્રિઝમનું નામ તેના આધાર પર પડેલી આકૃતિમાં ખૂણાઓની સંખ્યા સાથે સંકળાયેલું છે, ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 1 માં આધાર પર એક પંચકોણ છે, તેથી પ્રિઝમ કહેવામાં આવે છે. પંચકોણીય પ્રિઝમ. પરંતુ કારણ કે આવા પ્રિઝમમાં 7 ચહેરા હોય છે, પછી તે હેપ્ટેહેડ્રોન(2 ચહેરા - પ્રિઝમના પાયા, 5 ચહેરા - સમાંતરગ્રામ, - તેના બાજુના ચહેરા)

સીધા પ્રિઝમ્સમાં, એક ચોક્કસ પ્રકાર અલગ પડે છે: નિયમિત પ્રિઝમ.

સીધા પ્રિઝમ કહેવામાં આવે છે સાચું,જો તેના પાયા નિયમિત બહુકોણ હોય.

સમાંતર

લંબચોરસ સમાંતર- જમણી બાજુની સમાંતર પાઈપ જેનો આધાર લંબચોરસ છે.

ગુણધર્મો અને પ્રમેય:

,

જ્યાં d એ ચોરસનો કર્ણ છે;
a ચોરસની બાજુ છે.

પ્રિઝમનો વિચાર આના દ્વારા આપવામાં આવે છે:

• વિવિધ સ્થાપત્ય માળખાં;
• બાળકોના રમકડાં;
• પેકેજિંગ બોક્સ;
• ડિઝાઇનર વસ્તુઓ, વગેરે.

પ્રિઝમની કુલ અને બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર

S સંપૂર્ણ = S બાજુ + 2S મુખ્ય,

જ્યાં એસ સંપૂર્ણ- કુલ સપાટી વિસ્તાર, એસ બાજુ- બાજુની સપાટી વિસ્તાર, એસ આધાર- આધાર વિસ્તાર

સીધા પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર આધારની પરિમિતિ અને પ્રિઝમની ઊંચાઈના ગુણાંક જેટલો હોય છે..

એસ બાજુ= P મૂળભૂત * h,

જ્યાં એસ બાજુ- સીધા પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર,

પી મુખ્ય - સીધા પ્રિઝમના પાયાની પરિમિતિ,

h એ સીધા પ્રિઝમની ઊંચાઈ છે, જે બાજુની ધારની બરાબર છે.

પ્રિઝમ વોલ્યુમ

પ્રિઝમનું પ્રમાણ પાયાના ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈના ઉત્પાદન જેટલું હોય છે.

સીધા પ્રિઝમ વિશે સામાન્ય માહિતી

પ્રિઝમની બાજુની સપાટી (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર) કહેવાય છે સરવાળોબાજુના ચહેરાના વિસ્તારો. પ્રિઝમની કુલ સપાટી બાજુની સપાટી અને પાયાના વિસ્તારોના સરવાળા જેટલી છે.

પ્રમેય 19.1. સીધા પ્રિઝમની બાજુની સપાટી પાયાની પરિમિતિ અને પ્રિઝમની ઊંચાઈના ઉત્પાદનની બરાબર છે, એટલે કે બાજુની ધારની લંબાઈ.

પુરાવો. સીધા પ્રિઝમના બાજુના ચહેરાઓ લંબચોરસ છે. આ લંબચોરસના પાયા પ્રિઝમના પાયા પર પડેલા બહુકોણની બાજુઓ છે, અને ઊંચાઈ બાજુની કિનારીઓની લંબાઈ જેટલી છે. તે અનુસરે છે કે પ્રિઝમની બાજુની સપાટી બરાબર છે

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

જ્યાં a 1 અને n એ પાયાની કિનારીઓની લંબાઈ છે, p એ પ્રિઝમના પાયાની પરિમિતિ છે, અને I બાજુની ધારની લંબાઈ છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

વ્યવહારુ કાર્ય

સમસ્યા (22) . વલણવાળા પ્રિઝમમાં તે હાથ ધરવામાં આવે છે વિભાગ, બાજુની પાંસળીઓને લંબરૂપ અને બધી બાજુની પાંસળીઓને છેદે છે. પ્રિઝમની બાજુની સપાટી શોધો જો વિભાગની પરિમિતિ p ની બરાબર હોય અને બાજુની કિનારીઓ l ની બરાબર હોય.

ઉકેલ. દોરેલા વિભાગનું પ્લેન પ્રિઝમને બે ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે (ફિગ. 411). ચાલો તેમાંથી એકને સમાંતર અનુવાદ માટે આધીન કરીએ, પ્રિઝમના પાયાને જોડીને. આ કિસ્સામાં, અમે એક સીધો પ્રિઝમ મેળવીએ છીએ, જેનો આધાર મૂળ પ્રિઝમનો ક્રોસ-સેક્શન છે, અને બાજુની કિનારીઓ l ની બરાબર છે. આ પ્રિઝમ મૂળની સમાન બાજુની સપાટી ધરાવે છે. આમ, મૂળ પ્રિઝમની બાજુની સપાટી pl ની બરાબર છે.

આવરી લેવામાં આવેલ વિષયનો સારાંશ

હવે ચાલો આપણે પ્રિઝમ વિશે આવરી લીધેલા વિષયનો સારાંશ આપવાનો પ્રયાસ કરીએ અને યાદ કરીએ કે પ્રિઝમમાં કયા ગુણધર્મો છે.

પ્રિઝમ ગુણધર્મો

પ્રથમ, પ્રિઝમ તેના તમામ પાયા સમાન બહુકોણ ધરાવે છે;
બીજું, પ્રિઝમમાં તેના તમામ બાજુના ચહેરા સમાંતરગ્રામો છે;
ત્રીજે સ્થાને, પ્રિઝમ જેવી બહુપક્ષીય આકૃતિમાં, બધી બાજુની ધાર સમાન હોય છે;

ઉપરાંત, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે પોલિહેડ્રા જેમ કે પ્રિઝમ સીધા અથવા વળેલું હોઈ શકે છે.

કયા પ્રિઝમને સીધા પ્રિઝમ કહેવામાં આવે છે?

જો પ્રિઝમની બાજુની ધાર તેના પાયાના સમતલ પર લંબ સ્થિત હોય, તો આવા પ્રિઝમને સીધો કહેવામાં આવે છે.

તે યાદ રાખવું અનાવશ્યક રહેશે નહીં કે સીધા પ્રિઝમના બાજુના ચહેરાઓ લંબચોરસ છે.

કયા પ્રકારના પ્રિઝમને ત્રાંસી કહેવામાં આવે છે?

પરંતુ જો પ્રિઝમની બાજુની ધાર તેના પાયાના પ્લેન પર લંબરૂપ સ્થિત ન હોય, તો અમે સુરક્ષિત રીતે કહી શકીએ કે તે એક વળેલું પ્રિઝમ છે.

કયો પ્રિઝમ સાચો કહેવાય છે?

જો નિયમિત બહુકોણ સીધા પ્રિઝમના પાયા પર આવેલું હોય, તો આવા પ્રિઝમ નિયમિત છે.

હવે ચાલો આપણે નિયમિત પ્રિઝમના ગુણધર્મોને યાદ કરીએ.

નિયમિત પ્રિઝમના ગુણધર્મો

પ્રથમ, નિયમિત બહુકોણ હંમેશા નિયમિત પ્રિઝમના પાયા તરીકે સેવા આપે છે;
બીજું, જો આપણે નિયમિત પ્રિઝમના બાજુના ચહેરાઓને ધ્યાનમાં લઈએ, તો તે હંમેશા સમાન લંબચોરસ હોય છે;
ત્રીજે સ્થાને, જો તમે બાજુની પાંસળીના કદની તુલના કરો છો, તો પછી નિયમિત પ્રિઝમમાં તેઓ હંમેશા સમાન હોય છે.
ચોથું, સાચો પ્રિઝમ હંમેશા સીધો હોય છે;
પાંચમું, જો નિયમિત પ્રિઝમમાં બાજુના ચહેરાઓ ચોરસનો આકાર ધરાવે છે, તો આવી આકૃતિને સામાન્ય રીતે અર્ધ-નિયમિત બહુકોણ કહેવામાં આવે છે.

પ્રિઝમ ક્રોસ સેક્શન

હવે ચાલો પ્રિઝમના ક્રોસ સેક્શનને જોઈએ:

હોમવર્ક

હવે ચાલો આપણે જે વિષય શીખ્યા તે સમસ્યાઓ હલ કરીને એકીકૃત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

ચાલો એક વળેલું ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ દોરીએ, તેની કિનારીઓ વચ્ચેનું અંતર બરાબર હશે: 3 cm, 4 cm અને 5 cm, અને આ પ્રિઝમની બાજુની સપાટી 60 cm2 જેટલી હશે. આ પરિમાણો ધરાવતાં, આ પ્રિઝમની બાજુની ધાર શોધો.

શું તમે જાણો છો કે ભૌમિતિક આકૃતિઓ સતત આપણને ઘેરી લે છે, માત્ર ભૂમિતિના પાઠોમાં જ નહીં, પણ રોજિંદા જીવનમાં પણ એવી વસ્તુઓ હોય છે જે એક અથવા બીજી ભૌમિતિક આકૃતિ સાથે મળતી આવે છે.

ઘરે, શાળામાં અથવા કામ પર દરેક વ્યક્તિ પાસે એક કોમ્પ્યુટર હોય છે જેનો સિસ્ટમ એકમ સીધા પ્રિઝમ જેવો આકાર ધરાવે છે.

જો તમે સાદી પેન્સિલ ઉપાડશો, તો તમે જોશો કે પેન્સિલનો મુખ્ય ભાગ પ્રિઝમ છે.

શહેરની મધ્ય શેરી સાથે ચાલતા, આપણે જોઈએ છીએ કે આપણા પગ નીચે એક ટાઇલ છે જે ષટ્કોણ પ્રિઝમનો આકાર ધરાવે છે.

એ.વી. પોગોરેલોવ, ગ્રેડ 7-11 માટે ભૂમિતિ, શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક

વિવિધ પ્રિઝમ એકબીજાથી અલગ છે. તે જ સમયે, તેઓમાં ઘણું સામ્ય છે. પ્રિઝમના પાયાનો વિસ્તાર શોધવા માટે, તમારે તે કયા પ્રકારનું છે તે સમજવાની જરૂર પડશે.

સામાન્ય સિદ્ધાંત

પ્રિઝમ એ કોઈપણ પોલિહેડ્રોન છે જેની બાજુઓ સમાંતરગ્રામનો આકાર ધરાવે છે. તદુપરાંત, તેનો આધાર કોઈપણ પોલિહેડ્રોન હોઈ શકે છે - ત્રિકોણથી એન-ગોન સુધી. તદુપરાંત, પ્રિઝમના પાયા હંમેશા એકબીજાની સમાન હોય છે. બાજુના ચહેરા પર શું લાગુ પડતું નથી તે એ છે કે તેઓ કદમાં નોંધપાત્ર રીતે બદલાઈ શકે છે.

સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, પ્રિઝમના પાયાનો વિસ્તાર જ નહીં. તેને બાજુની સપાટીના જ્ઞાનની જરૂર પડી શકે છે, એટલે કે, તમામ ચહેરાઓ કે જે પાયા નથી. સંપૂર્ણ સપાટી એ તમામ ચહેરાઓનું જોડાણ હશે જે પ્રિઝમ બનાવે છે.

કેટલીકવાર સમસ્યાઓમાં ઊંચાઈનો સમાવેશ થાય છે. તે પાયા પર લંબ છે. પોલિહેડ્રોનનો કર્ણ એ એક સેગમેન્ટ છે જે એક જ ચહેરાના ન હોય તેવા કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓને જોડીમાં જોડે છે.

એ નોંધવું જોઇએ કે સીધા અથવા વલણવાળા પ્રિઝમનો પાયાનો વિસ્તાર તેમની અને બાજુના ચહેરા વચ્ચેના કોણ પર આધારિત નથી. જો તેઓ ઉપર અને નીચેના ચહેરા પર સમાન આંકડા ધરાવે છે, તો તેમના ક્ષેત્રો સમાન હશે.

ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ

તેના આધાર પર ત્રણ શિરોબિંદુઓ સાથેની એક આકૃતિ છે, એટલે કે, એક ત્રિકોણ. જેમ તમે જાણો છો, તે અલગ હોઈ શકે છે. જો એમ હોય, તો તે યાદ રાખવું પૂરતું છે કે તેનો વિસ્તાર પગના અડધા ઉત્પાદન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

ગાણિતિક સંકેત આના જેવો દેખાય છે: S = ½ av.

સામાન્ય રીતે પાયાનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, સૂત્રો ઉપયોગી છે: હેરોન અને એક જેમાં બાજુનો અડધો ભાગ તેની તરફ દોરેલી ઊંચાઈ દ્વારા લેવામાં આવે છે.

પ્રથમ સૂત્ર નીચે પ્રમાણે લખવું જોઈએ: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). આ સંકેતમાં અર્ધ-પરિમિતિ (p) છે, એટલે કે, બે વડે વિભાજિત ત્રણ બાજુઓનો સરવાળો.

બીજું: S = ½ n a * a.

જો તમે ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમના પાયાનો વિસ્તાર શોધવા માંગતા હો, જે નિયમિત છે, તો ત્રિકોણ સમભુજ હોવાનું બહાર આવે છે. તેના માટે એક સૂત્ર છે: S = ¼ a 2 * √3.

ચતુર્ભુજ પ્રિઝમ

તેનો આધાર કોઈપણ જાણીતા ચતુષ્કોણ છે. તે લંબચોરસ અથવા ચોરસ, સમાંતર અથવા સમચતુર્ભુજ હોઈ શકે છે. દરેક કિસ્સામાં, પ્રિઝમના પાયાના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમારે તમારા પોતાના સૂત્રની જરૂર પડશે.

જો આધાર એક લંબચોરસ છે, તો તેનો વિસ્તાર નીચે પ્રમાણે નક્કી થાય છે: S = ab, જ્યાં a, b એ લંબચોરસની બાજુઓ છે.

જ્યારે ચતુષ્કોણ પ્રિઝમની વાત આવે છે, ત્યારે નિયમિત પ્રિઝમના પાયાના ક્ષેત્રફળની ગણતરી ચોરસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. કારણ કે તે તે છે જે પાયામાં રહે છે. S = a 2.

જ્યારે આધાર સમાંતર હોય તેવા કિસ્સામાં, નીચેની સમાનતાની જરૂર પડશે: S = a * n a. એવું બને છે કે સમાંતર નળીઓની બાજુ અને ખૂણાઓમાંથી એક આપવામાં આવે છે. પછી, ઊંચાઈની ગણતરી કરવા માટે, તમારે વધારાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર પડશે: n a = b * sin A. વધુમાં, કોણ A બાજુ "b" ને અડીને છે, અને ઊંચાઈ n આ ખૂણાની વિરુદ્ધ છે.

જો પ્રિઝમના પાયા પર એક સમચતુર્ભુજ હોય, તો તેનો વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે તમારે સમાન સૂત્રની જરૂર પડશે જેમ કે સમાંતરગ્રામ માટે (કારણ કે તે તેનો વિશેષ કેસ છે). પરંતુ તમે આનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો: S = ½ d 1 d 2. અહીં d 1 અને d 2 એ સમચતુર્ભુજના બે કર્ણ છે.

નિયમિત પંચકોણીય પ્રિઝમ

આ કેસમાં બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરવાનો સમાવેશ થાય છે, જેના વિસ્તારો શોધવાનું સરળ છે. તેમ છતાં એવું બને છે કે આંકડાઓમાં શિરોબિંદુઓની સંખ્યા અલગ હોઈ શકે છે.

પ્રિઝમનો આધાર નિયમિત પંચકોણ હોવાથી, તેને પાંચ સમબાજુ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. પછી પ્રિઝમના પાયાનું ક્ષેત્રફળ આવા એક ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે (સૂત્ર ઉપર જોઈ શકાય છે), પાંચ વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

નિયમિત હેક્સાગોનલ પ્રિઝમ

પંચકોણીય પ્રિઝમ માટે વર્ણવેલ સિદ્ધાંત અનુસાર, આધારના ષટ્કોણને 6 સમભુજ ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરવું શક્ય છે. આવા પ્રિઝમના પાયાના ક્ષેત્ર માટેનું સૂત્ર અગાઉના એક જેવું જ છે. ફક્ત તેને છ વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ.

સૂત્ર આના જેવું દેખાશે: S = 3/2 a 2 * √3.

કાર્યો

નંબર 1. નિયમિત સીધી રેખા જોતાં, તેનો કર્ણ 22 સેમી છે, બહુહેડ્રોનની ઊંચાઈ 14 સેમી છે પ્રિઝમના પાયાના ક્ષેત્રફળ અને સમગ્ર સપાટીની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.પ્રિઝમનો આધાર ચોરસ છે, પરંતુ તેની બાજુ અજાણ છે. તમે તેનું મૂલ્ય ચોરસ (x) ના કર્ણમાંથી શોધી શકો છો, જે પ્રિઝમ (d) અને તેની ઊંચાઈ (h) ના કર્ણ સાથે સંબંધિત છે. x 2 = d 2 - n 2. બીજી બાજુ, આ સેગમેન્ટ “x” એ ત્રિકોણમાંનું કર્ણ છે જેના પગ ચોરસની બાજુ સમાન છે. એટલે કે, x 2 = a 2 + a 2. આમ તે તારણ આપે છે કે a 2 = (d 2 - n 2)/2.

d ને બદલે નંબર 22 ને બદલો, અને "n" ને તેની કિંમત - 14 થી બદલો, તે તારણ આપે છે કે ચોરસની બાજુ 12 સેમી છે હવે ફક્ત આધારનું ક્ષેત્રફળ શોધો: 12 * 12 = 144 સે.મી 2.

સમગ્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે પાયાના ક્ષેત્રફળમાં બમણો ઉમેરો અને બાજુના વિસ્તારને ચાર ગણો કરવાની જરૂર છે. બાદમાં લંબચોરસ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી શોધી શકાય છે: પોલિહેડ્રોનની ઊંચાઈ અને આધારની બાજુનો ગુણાકાર કરો. એટલે કે, 14 અને 12, આ સંખ્યા 168 સેમી 2 ની બરાબર હશે. પ્રિઝમનો કુલ સપાટી વિસ્તાર 960 સેમી 2 છે.

જવાબ આપો.પ્રિઝમના પાયાનો વિસ્તાર 144 સેમી 2 છે. સમગ્ર સપાટી 960 સેમી 2 છે.

નંબર 2. આપેલ આધાર પર 6 સે.મી.ની બાજુ સાથેનો ત્રિકોણ છે.

ઉકેલ.પ્રિઝમ નિયમિત હોવાથી, તેનો આધાર સમભુજ ત્રિકોણ છે. તેથી, તેનો વિસ્તાર 6 ચોરસ જેટલો, ¼ વડે અને 3 ના વર્ગમૂળ વડે ગુણાકાર થાય છે. એક સરળ ગણતરી પરિણામ તરફ દોરી જાય છે: 9√3 cm 2. આ પ્રિઝમના એક આધારનો વિસ્તાર છે.

બધા બાજુના ચહેરા સમાન છે અને 6 અને 10 સે.મી.ની બાજુઓ સાથે લંબચોરસ છે તેમના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરવા માટે, ફક્ત આ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો. પછી તેમને ત્રણ વડે ગુણાકાર કરો, કારણ કે પ્રિઝમમાં બરાબર તેટલા બાજુના ચહેરા છે. પછી ઘાની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર 180 સેમી 2 થાય છે.

જવાબ આપો.વિસ્તારો: આધાર - 9√3 cm 2, પ્રિઝમની બાજુની સપાટી - 180 cm 2.