વ્યુત્પન્ન કાર્યનું e વ્યુત્પન્ન શું છે?

વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરીને ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે.

વ્યુત્પન્નને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને સૌથી સરળ (અને ખૂબ જ સરળ નથી) કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની સમસ્યાઓના ઉકેલના પરિણામે, ડેરિવેટિવ્સનું કોષ્ટક અને તફાવતના ચોક્કસ રીતે વ્યાખ્યાયિત નિયમો દેખાયા. . ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાના ક્ષેત્રમાં કામ કરનારા સૌપ્રથમ આઇઝેક ન્યૂટન (1643-1727) અને ગોટફ્રાઇડ વિલ્હેમ લીબનિઝ (1646-1716) હતા.

તેથી, અમારા સમયમાં, કોઈપણ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની ઉપર જણાવેલ મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ તમારે ફક્ત કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. ડેરિવેટિવ્ઝ અને ભિન્નતાના નિયમો. વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે નીચેનો અલ્ગોરિધમ યોગ્ય છે.

વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે મુખ્ય ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિની જરૂર છે સરળ કાર્યોને ઘટકોમાં વિભાજીત કરોઅને કઈ ક્રિયાઓ નક્કી કરો (ઉત્પાદન, સરવાળો, ભાગ)આ કાર્યો સંબંધિત છે. આગળ, આપણે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ છીએ, અને ઉત્પાદનના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના સૂત્રો, સરવાળો અને ભાગ - તફાવતના નિયમોમાં. પ્રથમ બે ઉદાહરણો પછી વ્યુત્પન્ન કોષ્ટક અને ભિન્નતાના નિયમો આપવામાં આવ્યા છે.

ઉદાહરણ 1.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. ભિન્નતાના નિયમો પરથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન એ કાર્યોના વ્યુત્પન્નનો સરવાળો છે, એટલે કે.

ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે "X" નું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે, અને સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન બરાબર છે. અમે આ મૂલ્યોને ડેરિવેટિવ્સના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા આવશ્યક વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

ઉદાહરણ 2.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. અમે રકમના વ્યુત્પન્ન તરીકે તફાવત કરીએ છીએ જેમાં બીજા શબ્દમાં સ્થિર પરિબળ હોય છે તે વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

જો કંઈક ક્યાંથી આવે છે તે અંગે હજુ પણ પ્રશ્નો ઉદ્ભવતા હોય, તો તે સામાન્ય રીતે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટક અને ભેદભાવના સરળ નિયમો સાથે પરિચિત થયા પછી સાફ થઈ જાય છે. અમે હમણાં તેમની તરફ આગળ વધી રહ્યા છીએ.

સરળ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક

1. અચળ (સંખ્યા)નું વ્યુત્પન્ન. કોઈપણ સંખ્યા (1, 2, 5, 200...) જે ફંક્શન એક્સપ્રેશનમાં છે. હંમેશા શૂન્ય સમાન. આ યાદ રાખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તે ઘણી વાર જરૂરી છે
2. સ્વતંત્ર ચલનું વ્યુત્પન્ન. મોટેભાગે "X". હંમેશા એક સમાન. આને લાંબા સમય સુધી યાદ રાખવું પણ જરૂરી છે
3. ડિગ્રીનું વ્યુત્પન્ન. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે બિન-ચોરસ મૂળને શક્તિઓમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે.
4. પાવર -1 માટે ચલનું વ્યુત્પન્ન
5. વર્ગમૂળનું વ્યુત્પન્ન
6. સાઈનનું વ્યુત્પન્ન
7. કોસાઇનનું વ્યુત્પન્ન
8. સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન
9. કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
10. આર્ક્સીનનું વ્યુત્પન્ન
11. આર્કોસીનનું વ્યુત્પન્ન
12. આર્કટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
13. આર્ક કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
14. કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન
15. લઘુગણક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
16. ઘાતાંકનું વ્યુત્પન્ન
17. ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

ભિન્નતાના નિયમો

1. રકમ અથવા તફાવતનું વ્યુત્પન્ન
2. ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન
2a. અચલ અવયવ વડે ગુણાકાર કરેલ અભિવ્યક્તિનું વ્યુત્પન્ન
3. ભાગનું વ્યુત્પન્ન
4. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

નિયમ 1.જો કાર્યો

અમુક બિંદુએ ભિન્નતાપાત્ર હોય છે, તો પછી કાર્યો એક જ બિંદુએ વિભેદક હોય છે

અને

તે વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના વ્યુત્પન્નોના બીજગણિતીય સરવાળા જેટલું છે.

પરિણામ. જો બે વિભેદક કાર્યો એક અચળ પદ દ્વારા અલગ પડે છે, તો તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ સમાન છે, એટલે કે

નિયમ 2.જો કાર્યો

અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે, તો પછી તેમનું ઉત્પાદન તે જ બિંદુએ અલગ કરી શકાય છે

અને

તે બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને અન્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.

કોરોલરી 1. સતત પરિબળ વ્યુત્પન્નની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

કોરોલરી 2. વિવિધ વિભેદક કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન દરેક પરિબળ અને અન્ય તમામના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ ગુણક માટે:

નિયમ 3.જો કાર્યો

અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે અને , પછી આ બિંદુએ તેમનો ભાગ પણ અલગ છેu/v , અને

તે બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન અને છેદના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે, અને છેદ એ છેદનો વર્ગ છે ભૂતપૂર્વ અંશ

અન્ય પૃષ્ઠો પર વસ્તુઓ ક્યાં શોધવી

વાસ્તવિક સમસ્યાઓમાં ઉત્પાદનના વ્યુત્પન્ન અને ભાગને શોધતી વખતે, એક સાથે અનેક વિભેદક નિયમો લાગુ કરવા હંમેશા જરૂરી છે, તેથી લેખમાં આ વ્યુત્પન્નતાઓ પર વધુ ઉદાહરણો છે."ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન અને કાર્યોનો ભાગ".

ટિપ્પણી.તમારે સતત (એટલે ​​​​કે સંખ્યા) ને સરવાળામાં શબ્દ તરીકે અને સતત પરિબળ તરીકે મૂંઝવવું જોઈએ નહીં! શબ્દના કિસ્સામાં, તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, અને સતત પરિબળના કિસ્સામાં, તે વ્યુત્પન્નતાની નિશાનીમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે. આ એક સામાન્ય ભૂલ છે જે ડેરિવેટિવ્ઝનો અભ્યાસ કરવાના પ્રારંભિક તબક્કે થાય છે, પરંતુ સરેરાશ વિદ્યાર્થી ઘણા એક- અને બે ભાગનાં ઉદાહરણો હલ કરે છે, તે હવે આ ભૂલ કરતો નથી.

અને જો, ઉત્પાદન અથવા ભાગને અલગ કરતી વખતે, તમારી પાસે એક શબ્દ છે u"વિ, જેમાં u- એક સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, 2 અથવા 5, એટલે કે, એક સ્થિર, પછી આ સંખ્યાનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હશે અને, તેથી, સમગ્ર શબ્દ શૂન્ય સમાન હશે (આ કેસ ઉદાહરણ 10 માં ચર્ચા કરવામાં આવ્યો છે).

અન્ય એક સામાન્ય ભૂલ યાંત્રિક રીતે જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્નને સરળ કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે હલ કરવાની છે. તેથી જ જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્નએક અલગ લેખ સમર્પિત છે. પરંતુ પહેલા આપણે સરળ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું શીખીશું.

રસ્તામાં, તમે અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કર્યા વિના કરી શકતા નથી. આ કરવા માટે, તમારે નવી વિંડોઝમાં મેન્યુઅલ ખોલવાની જરૂર પડી શકે છે. શક્તિઓ અને મૂળ સાથેની ક્રિયાઓઅને અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી .

જો તમે અપૂર્ણાંકના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના ઉકેલો શોધી રહ્યા હોવ તો પાવર અને મૂળ સાથે, એટલે કે જ્યારે ફંક્શન આના જેવું દેખાય છે , પછી "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" પાઠ અનુસરો.

જો તમારી પાસે કોઈ કાર્ય છે જેમ કે , પછી તમે "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" પાઠ લેશો.

સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઉદાહરણો - ડેરિવેટિવ કેવી રીતે શોધવું

ઉદાહરણ 3.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. અમે કાર્ય અભિવ્યક્તિના ભાગોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ: સમગ્ર અભિવ્યક્તિ ઉત્પાદનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને તેના પરિબળો સરવાળો છે, જેમાંથી બીજામાંના એકમાં એક સ્થિર પરિબળ છે. અમે ઉત્પાદન ભિન્નતાનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન બીજાના વ્યુત્પન્ન દ્વારા આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું છે:

આગળ, અમે સરવાળાના તફાવતનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના ડેરિવેટિવ્ઝના બીજગણિત સરવાળા જેટલું છે. અમારા કિસ્સામાં, દરેક રકમમાં બીજા શબ્દમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન હોય છે. દરેક રકમમાં આપણે સ્વતંત્ર ચલ બંને જોઈએ છીએ, જેનું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે અને એક સ્થિર (સંખ્યા), જેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, "X" એકમાં ફેરવાય છે, અને માઈનસ 5 શૂન્યમાં ફેરવાય છે. બીજા અભિવ્યક્તિમાં, "x" ને 2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તેથી આપણે "x" ના વ્યુત્પન્ન તરીકે સમાન એકમ દ્વારા બેનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. અમે નીચેના વ્યુત્પન્ન મૂલ્યો મેળવીએ છીએ:

અમે મળેલા ડેરિવેટિવ્સને ઉત્પાદનોના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા જરૂરી સમગ્ર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 4.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આપણે અવશેષનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે. અમે અવશેષને અલગ પાડવા માટેનું સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન એ અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે. છેદ, અને છેદ એ ભૂતપૂર્વ અંશનો વર્ગ છે. અમને મળે છે:

આપણે ઉદાહરણ 2 માં અંશમાં પરિબળનું વ્યુત્પન્ન પહેલેથી જ શોધી કાઢ્યું છે. ચાલો આપણે એ પણ ન ભૂલીએ કે ઉત્પાદન, જે વર્તમાન ઉદાહરણમાં અંશમાં બીજું પરિબળ છે, તેને ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવ્યું છે:

જો તમે સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધી રહ્યા છો જેમાં તમારે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર હોય, જ્યાં મૂળ અને શક્તિઓનો સતત ઢગલો હોય, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, , પછી વર્ગમાં આપનું સ્વાગત છે "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" .

જો તમારે સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ અને અન્ય ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ વિશે વધુ જાણવાની જરૂર હોય, એટલે કે જ્યારે ફંક્શન આના જેવું દેખાય છે , પછી તમારા માટે એક પાઠ "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" .

ઉદાહરણ 5.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે ઉત્પાદન જોઈએ છીએ, જેમાંથી એક પરિબળ એ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે, જેનું વ્યુત્પન્ન આપણે આપણી જાતને ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાં ઓળખીએ છીએ. વર્ગમૂળના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદન અને ટેબ્યુલર મૂલ્યને અલગ પાડવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 6.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે એક ભાગ જોઈએ છીએ જેનું ડિવિડન્ડ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે. અવશેષોના ભિન્નતાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, જે આપણે ઉદાહરણ 4 માં પુનરાવર્તિત અને લાગુ કર્યું છે, અને વર્ગમૂળના વ્યુત્પન્નના ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

અંશમાં અપૂર્ણાંકમાંથી છુટકારો મેળવવા માટે, અંશ અને છેદને વડે ગુણાકાર કરો.

પાવર ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ (x થી a ની ઘાત). x ના મૂળમાંથી વ્યુત્પન્ન ગણવામાં આવે છે. ઉચ્ચ ઓર્ડર પાવર ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટેનું સૂત્ર. ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરીના ઉદાહરણો.

a ની ઘાત માટે x નું વ્યુત્પન્ન ગુણાંક x એક બાદબાકીની ઘાતની બરાબર છે:
(1) .

x ના nમા મૂળનું mth ઘાતનું વ્યુત્પન્ન છે:
(2) .

પાવર ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ

કેસ x > 0

ઘાતાંક a સાથે ચલ xના પાવર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો:
(3) .
અહીં a એક મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ચાલો પહેલા કેસને ધ્યાનમાં લઈએ.

ફંક્શન (3) નું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, અમે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને તેને નીચેના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:
.

હવે આપણે આનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
;
.
અહીં .

ફોર્મ્યુલા (1) સાબિત થઈ છે.

x ની ડિગ્રી n થી m ની ડિગ્રીના મૂળના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ

હવે નીચેના ફોર્મનું મૂળ એવા ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો:
(4) .

વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, અમે રુટને પાવર ફંક્શનમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:
.
સૂત્ર (3) સાથે સરખામણી કરતાં આપણે તે જોઈએ છીએ
.
પછી
.

સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને આપણે વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
(1) ;
;
(2) .

વ્યવહારમાં, સૂત્ર (2) યાદ રાખવાની જરૂર નથી. પહેલા મૂળને પાવર ફંક્શનમાં રૂપાંતરિત કરવું અને પછી ફોર્મ્યુલા (1) (પૃષ્ઠના અંતે ઉદાહરણો જુઓ) નો ઉપયોગ કરીને તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા તે વધુ અનુકૂળ છે.

કેસ x = 0

જો , તો પાવર ફંક્શન ચલ x = ની કિંમત માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે 0 . 0 ચાલો x = પર ફંક્શન (3) નું વ્યુત્પન્ન શોધીએ
.

. 0 :
.
આ કરવા માટે, અમે વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ચાલો x = અવેજી કરીએ
.
આ કિસ્સામાં, વ્યુત્પન્ન દ્વારા અમારો અર્થ જમણી બાજુની મર્યાદા છે જેના માટે .
તેથી અમને મળ્યું:
તેથી અમને મળ્યું:
આના પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે માટે .
(1) .
ખાતે, . 0 .

આ પરિણામ ફોર્મ્યુલા (1) પરથી પણ મેળવવામાં આવે છે:< 0

તેથી, સૂત્ર (1) x = માટે પણ માન્ય છે
(3) .
કેસ એક્સ
,
ફંક્શન (3) ને ફરીથી ધ્યાનમાં લો:

સ્થિર a ના અમુક મૂલ્યો માટે, તે ચલ x ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. 3 એટલે કે, એક પરિમેય સંખ્યા હોવા દો. પછી તેને અફર અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: 1 જ્યાં m અને n એ પૂર્ણાંકો છે જેમાં સામાન્ય વિભાજક નથી.
.
જો n વિષમ હોય, તો પાવર ફંક્શન ચલ x ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે n =
.
અને m =
.
આપણી પાસે x નું ઘનમૂળ છે:

.
તે ચલ x ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
.
ચાલો આપણે પાવર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ (3) અચળ a ના તર્કસંગત મૂલ્યો જેના માટે તે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આ કરવા માટે, ચાલો x ને નીચેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ:
.
પછી
.
પછી,
(1) .

અમે વ્યુત્પન્નતાના ચિહ્નની બહાર સ્થિરાંક મૂકીને અને જટિલ કાર્યને અલગ પાડવા માટેનો નિયમ લાગુ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

અહીં . પણ
(3) .
ત્યારથી
.

એટલે કે, સૂત્ર (1) આ માટે પણ માન્ય છે:
.
ઉચ્ચ ઓર્ડર ડેરિવેટિવ્ઝ
;

.

હવે ચાલો પાવર ફંક્શનના ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ અમે પહેલાથી જ પ્રથમ ઓર્ડર વ્યુત્પન્ન શોધી લીધું છે:વ્યુત્પન્નના ચિન્હની બહારના સ્થિરાંકને લઈને, આપણે બીજા-ક્રમનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
.

એ જ રીતે, અમને ત્રીજા અને ચોથા ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ મળે છે: આના પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કેમનસ્વી nth ઓર્ડરનું વ્યુત્પન્ન
.
નીચેના ફોર્મ ધરાવે છે:
,
તેની નોંધ લો

જો a કુદરતી સંખ્યા છે

, પછી nth વ્યુત્પન્ન સ્થિર છે:

પછી તમામ અનુગામી ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન છે:
.

ખાતે

ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરીના ઉદાહરણો
;
.
ઉદાહરણ
.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:
;
.
ઉકેલ
.

ચાલો મૂળને શક્તિમાં રૂપાંતરિત કરીએ:ફંક્શન \(y = f(x)\) ને તેની અંદર બિંદુ \(x_0\) ધરાવતા ચોક્કસ અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. ચાલો દલીલને એક ઇન્ક્રીમેન્ટ \(\Delta x \) આપીએ જેથી તે આ અંતરાલ છોડે નહીં. ચાલો ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો શોધીએ \(\Delta y \) (જ્યારે બિંદુ \(x_0 \) થી બિંદુ \(x_0 + \Delta x \)) પર જઈએ અને સંબંધ \(\frac(\Delta) કંપોઝ કરીએ y)(\Delta x) \). જો આ ગુણોત્તરની મર્યાદા \(\Delta x \rightarrow 0\) હોય, તો ઉલ્લેખિત મર્યાદા કહેવામાં આવે છે. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન\(y=f(x) \) બિંદુ પર \(x_0 \) અને સૂચવો \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

સંજ્ઞા y નો ઉપયોગ ઘણીવાર વ્યુત્પન્નને દર્શાવવા માટે થાય છે નોંધ કરો કે y" = f(x) એ એક નવું કાર્ય છે, પરંતુ કુદરતી રીતે કાર્ય y = f(x) સાથે સંબંધિત છે, જે ઉપરની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે તે તમામ બિંદુઓ x પર વ્યાખ્યાયિત છે. આ કાર્યને આના જેવું કહેવામાં આવે છે: કાર્ય y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન.

વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થનીચે મુજબ છે. જો એબ્સીસા x=a સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, જે y-અક્ષની સમાંતર નથી, તો f(a) સ્પર્શકનો ઢોળાવ વ્યક્ત કરે છે :
\(k = f"(a)\)

ત્યારથી \(k = tg(a) \), તો પછી સમાનતા \(f"(a) = tan(a) \) સાચી છે.

હવે ચાલો અંદાજિત સમાનતાના દૃષ્ટિકોણથી વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનું અર્થઘટન કરીએ. ફંક્શન \(y = f(x)\) ને ચોક્કસ બિંદુ \(x\) પર વ્યુત્પન્ન થવા દો:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ x ની નજીક અંદાજિત સમાનતા \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), એટલે કે \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ડેલ્ટા x\). પરિણામી અંદાજિત સમાનતાનો અર્થપૂર્ણ અર્થ નીચે મુજબ છે: ફંક્શનનો વધારો દલીલના વધારા માટે "લગભગ પ્રમાણસર" છે, અને પ્રમાણસરતાનો ગુણાંક એ આપેલ બિંદુ x પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન \(y = x^2\) માટે અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) માન્ય છે. જો આપણે ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરીએ, તો આપણે શોધીશું કે તેમાં તેને શોધવા માટે એક અલ્ગોરિધમ છે.

ચાલો તેને ઘડીએ.

ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું?

1. \(x\) ની કિંમત ઠીક કરો, \(f(x)\) શોધો
2. દલીલ \(x\) ને વધારો આપો \(\Delta x\), નવા બિંદુ પર જાઓ \(x+ \Delta x \), શોધો \(f(x+ \Delta x) \)
3. ફંક્શનનો ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધો: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. સંબંધ બનાવો \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. ગણતરી કરો $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
આ મર્યાદા બિંદુ x પરના કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે.

જો ફંક્શન y = f(x) બિંદુ x પર વ્યુત્પન્ન હોય, તો તે બિંદુ x પર વિભેદક કહેવાય છે. ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે તફાવતકાર્યો y = f(x).

ચાલો નીચેના પ્રશ્નની ચર્ચા કરીએ: એકબીજા સાથે સંબંધિત બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય અને ભિન્નતા કેવી રીતે છે?

બિંદુ x પર ફંક્શન y = f(x) ને અલગ કરવા દો. પછી બિંદુ M(x; f(x)) પરના કાર્યના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરી શકાય છે, અને યાદ કરો, સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f "(x) ની બરાબર છે. આવો આલેખ "તોડી" શકતો નથી. બિંદુ M પર, એટલે કે કાર્ય બિંદુ x પર સતત હોવું જોઈએ.

આ "હેન્ડ-ઓન" દલીલો હતી. ચાલો વધુ સખત તર્ક આપીએ. જો x બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ભિન્ન હોય, તો અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ધરાવે છે. જો આ સમાનતામાં \(\Delta x) \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પછી \(\Delta y \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને આ એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય માટેની સ્થિતિ છે.

તેથી, જો કોઈ ફંક્શન x બિંદુ પર વિભેદક હોય, તો તે તે બિંદુ પર સતત છે.

વિપરીત નિવેદન સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે: ફંક્શન y = |x| દરેક જગ્યાએ સતત છે, ખાસ કરીને બિંદુ x = 0 પર, પરંતુ "જંકશન બિંદુ" (0; 0) પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં નથી. જો કોઈ બિંદુએ સ્પર્શકને ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરી શકાતું નથી, તો તે બિંદુએ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.

બીજું ઉદાહરણ. ફંક્શન \(y=\sqrt(x)\) બિંદુ x = 0 સહિત સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે. અને કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક કોઈપણ બિંદુએ અસ્તિત્વમાં છે, બિંદુ x = 0 સહિત પરંતુ આ બિંદુએ સ્પર્શક y-અક્ષ સાથે એકરુપ છે, એટલે કે, તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ છે, તેના સમીકરણમાં x = 0 છે. આવી સીધી રેખામાં કોણ ગુણાંક નથી, જેનો અર્થ છે કે \(f "(0)\) અસ્તિત્વમાં નથી.

તેથી, અમે ફંક્શનની નવી મિલકતથી પરિચિત થયા - ભિન્નતા. ફંક્શનના ગ્રાફ પરથી કોઈ કેવી રીતે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે તે અલગ છે?

જવાબ ખરેખર ઉપર આપેલ છે. જો કોઈ બિંદુએ એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ ન હોય તેવા ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન અલગ કરી શકાય તેવું છે. જો કોઈ સમયે ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં ન હોય અથવા તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન ભિન્નતાપાત્ર નથી.

ભિન્નતાના નિયમો

વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવત. આ ઑપરેશન કરતી વખતે, તમારે ઘણીવાર ભાગ, સરવાળો, ફંક્શન્સના ઉત્પાદનો, તેમજ "ફંક્શન્સ ઑફ ફંક્શન્સ" એટલે કે જટિલ ફંક્શન્સ સાથે કામ કરવું પડે છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાના આધારે, અમે ભેદભાવના નિયમો મેળવી શકીએ છીએ જે આ કાર્યને સરળ બનાવે છે. જો C એ સ્થિર સંખ્યા છે અને f=f(x), g=g(x) અમુક વિભેદક વિધેયો છે, તો નીચેના સાચા છે તફાવત નિયમો:

કેટલાક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક

ગણિતમાં ભૌતિક સમસ્યાઓ અથવા ઉદાહરણોનું નિરાકરણ વ્યુત્પન્ન અને તેની ગણતરી માટેની પદ્ધતિઓના જ્ઞાન વિના સંપૂર્ણપણે અશક્ય છે. વ્યુત્પન્ન એ ગાણિતિક પૃથ્થકરણમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિભાવનાઓમાંની એક છે. અમે આજના લેખને આ મૂળભૂત વિષય પર સમર્પિત કરવાનું નક્કી કર્યું છે. ડેરિવેટિવ શું છે, તેનો ભૌતિક અને ભૌમિતિક અર્થ શું છે, ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? આ બધા પ્રશ્નોને એકમાં જોડી શકાય છે: વ્યુત્પન્નને કેવી રીતે સમજવું?

વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અને ભૌતિક અર્થ

એક ફંક્શન થવા દો f(x) , ચોક્કસ અંતરાલમાં ઉલ્લેખિત (a, b) . પોઈન્ટ x અને x0 આ અંતરાલના છે. જ્યારે x બદલાય છે, ત્યારે ફંક્શન પોતે બદલાય છે. દલીલ બદલવી - તેના મૂલ્યોમાં તફાવત x-x0 . આ તફાવત તરીકે લખાયેલ છે ડેલ્ટા x અને તેને દલીલ વધારો કહેવામાં આવે છે. ફંક્શનમાં ફેરફાર અથવા વધારો એ બે બિંદુઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા:

એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટના ગુણોત્તરની મર્યાદા છે જ્યારે બાદમાં શૂન્ય તરફ વળે છે ત્યારે દલીલની વૃદ્ધિ માટે.

નહિંતર, તે આના જેવું લખી શકાય છે:

આવી મર્યાદા શોધવાનો અર્થ શું છે? અને તે શું છે તે અહીં છે:

એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન OX અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાના સ્પર્શક અને આપેલ બિંદુ પરના કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક સમાન છે.

વ્યુત્પન્નનો ભૌતિક અર્થ: સમયના સંદર્ભમાં પાથનું વ્યુત્પન્ન એ રેક્ટીલીનિયર ગતિની ગતિ સમાન છે.

ખરેખર, શાળાના દિવસોથી દરેક જણ જાણે છે કે ઝડપ એ ચોક્કસ માર્ગ છે x=f(t) અને સમય t . ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ ઝડપ:

સમયની એક ક્ષણે ચળવળની ગતિ શોધવા માટે t0 તમારે મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:

નિયમ એક: એક સ્થિર સેટ કરો

અચલને વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી બહાર લઈ શકાય છે. તદુપરાંત, આ કરવું આવશ્યક છે. ગણિતમાં ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે, તેને નિયમ તરીકે લો - જો તમે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી શકો છો, તો તેને સરળ બનાવવાની ખાતરી કરો .

ઉદાહરણ. ચાલો વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ:

નિયમ બે: કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન

બે કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના વ્યુત્પન્નના સરવાળા જેટલું છે. ફંક્શનના તફાવતના વ્યુત્પન્ન માટે પણ આ જ સાચું છે.

અમે આ પ્રમેયની સાબિતી આપીશું નહીં, પરંતુ એક વ્યવહારુ ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈશું.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

નિયમ ત્રણ: વિધેયોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન

બે વિભેદક કાર્યોના ઉત્પાદનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ: ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

ઉકેલ:

અહીં જટિલ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી વિશે વાત કરવી મહત્વપૂર્ણ છે. જટિલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ મધ્યવર્તી દલીલના સંદર્ભમાં આ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદન અને સ્વતંત્ર ચલના સંદર્ભમાં મધ્યવર્તી દલીલના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.

ઉપરના ઉદાહરણમાં આપણે અભિવ્યક્તિ તરફ આવીએ છીએ:

આ કિસ્સામાં, મધ્યવર્તી દલીલ પાંચમી ઘાતની 8x છે. આવી અભિવ્યક્તિના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટે, અમે પ્રથમ મધ્યવર્તી દલીલના સંદર્ભમાં બાહ્ય કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ, અને પછી સ્વતંત્ર ચલના સંદર્ભમાં મધ્યવર્તી દલીલના વ્યુત્પન્ન દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ.

નિયમ ચાર: બે કાર્યોના ભાગનું વ્યુત્પન્ન

બે કાર્યોના ભાગના વ્યુત્પન્નતા નક્કી કરવા માટેનું સૂત્ર:

અમે શરૂઆતથી ડમી માટે ડેરિવેટિવ્ઝ વિશે વાત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. આ વિષય લાગે તેટલો સરળ નથી, તેથી ચેતવણી આપો: ઉદાહરણોમાં ઘણી વાર ખામીઓ હોય છે, તેથી ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરતી વખતે સાવચેત રહો.

આ અને અન્ય વિષયો પર કોઈપણ પ્રશ્નો સાથે, તમે વિદ્યાર્થી સેવાનો સંપર્ક કરી શકો છો. ટુંક સમયમાં, અમે તમને સૌથી મુશ્કેલ કસોટીને ઉકેલવામાં અને કાર્યોને સમજવામાં મદદ કરીશું, પછી ભલે તમે પહેલાં ક્યારેય વ્યુત્પન્ન ગણતરીઓ ન કરી હોય.