વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન શું છે? એકમ વેક્ટર

7.1. ક્રોસ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા

ત્રણ નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર a, b અને c, દર્શાવેલ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, જો ત્રીજા વેક્ટર c ના અંતથી, પ્રથમ વેક્ટર a થી બીજા વેક્ટર b સુધીનો સૌથી ટૂંકો વળાંક જોવામાં આવે તો, જમણા હાથે ત્રિપુટી બનાવે છે. ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં અને ડાબા હાથની ત્રિપુટી જો ઘડિયાળની દિશામાં હોય (ફિગ જુઓ. .16).

વેક્ટર a અને વેક્ટર b ના વેક્ટર ઉત્પાદનને વેક્ટર c કહેવામાં આવે છે, જે:

1. વેક્ટર a અને b માટે લંબરૂપ છે, એટલે કે c^a અને c ^ b;

2. વેક્ટર a અને પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળની સંખ્યાત્મક રીતે સમાન લંબાઈ ધરાવે છેbબાજુઓ પર (જુઓ. ફિગ. 17), એટલે કે.

3. વેક્ટર a, b અને c જમણા હાથે ટ્રિપલ બનાવે છે.

ક્રોસ પ્રોડક્ટને x b અથવા [a,b] તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. એકમ વેક્ટર વચ્ચેના નીચેના સંબંધો જે હું વેક્ટર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યામાંથી સીધું અનુસરું છું, j અને k

(જુઓ ફિગ. 18):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, તે સાબિત કરીએ

i xj =k. ^ 1) k^i, k

j ; 2) |k |=1, પરંતુ | i x જે

| = |i | અને|જે | પાપ(90°)=1;

3) વેક્ટર i, j અને

જમણી ત્રિપુટી બનાવો (ફિગ. 16 જુઓ).

7.2. ક્રોસ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો = -(1. પરિબળોને ફરીથી ગોઠવતી વખતે, વેક્ટર ઉત્પાદન ચિહ્ન બદલાય છે, એટલે કે.).

અને xb =(b xa) (જુઓ ફિગ. 19).

વેક્ટર a xb અને b xa સમરેખા હોય છે, તેમાં સમાન મોડ્યુલો હોય છે (સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ યથાવત રહે છે), પરંતુ વિરુદ્ધ દિશા નિર્દેશિત હોય છે (એક, b, a xb અને a, b, b x a વિરુદ્ધ દિશાના ત્રિવિધ). તેથી axb b xa b 2. વેક્ટર ઉત્પાદનમાં સ્કેલર પરિબળના સંદર્ભમાં સંયુક્ત ગુણધર્મ છે, એટલે કે l (a xb) = (l a) x b = a x (l b). bચાલો l >0. વેક્ટર l (a xb) એ વેક્ટર a અને b માટે લંબ છે. વેક્ટર ( axb l axb a) x axb b xa bવેક્ટર a અને માટે પણ લંબ છે

(વેક્ટર a, axbપરંતુ તે જ વિમાનમાં સૂવું). આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર્સ axb(a xb) અને ( axb<0.

સમરેખા તે સ્પષ્ટ છે કે તેમની દિશાઓ એકરૂપ છે. તેમની પાસે સમાન લંબાઈ છે: bતેથી જ<=>(a xb)=

એક xb. તે માટે સમાન રીતે સાબિત થાય છે

3. બે બિન-શૂન્ય વેક્ટર a અને

(સમરેખા છે જો અને માત્ર જો તેમનું વેક્ટર ઉત્પાદન શૂન્ય વેક્ટર સમાન હોય, એટલે કે a ||bઅને xb =0. bખાસ કરીને, i *i =j *j =k *k =0 .

4. વેક્ટર ઉત્પાદનમાં વિતરણ ગુણધર્મ છે:

7.3. કોઓર્ડિનેટ્સની દ્રષ્ટિએ ક્રોસ પ્રોડક્ટને વ્યક્ત કરવું

આપણે વેક્ટર i ના ક્રોસ પ્રોડક્ટ ટેબલનો ઉપયોગ કરીશું, એકમ વેક્ટર વચ્ચેના નીચેના સંબંધો જે હું વેક્ટર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યામાંથી સીધું અનુસરું છું,અને k:

જો પ્રથમ વેક્ટરથી બીજા સુધીના ટૂંકા માર્ગની દિશા તીરની દિશા સાથે એકરુપ હોય, તો ઉત્પાદન ત્રીજા વેક્ટરની બરાબર છે જો તે એકરૂપ ન થાય, તો ત્રીજા વેક્ટરને બાદબાકી ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે;

બે વેક્ટર a =a x i +a y આપવા દો એકમ વેક્ટર વચ્ચેના નીચેના સંબંધો જે હું વેક્ટર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યામાંથી સીધું અનુસરું છું,+a z અનેઅને b = b x i+b y એકમ વેક્ટર વચ્ચેના નીચેના સંબંધો જે હું વેક્ટર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યામાંથી સીધું અનુસરું છું,+b z અને. ચાલો આ વેક્ટરોના વેક્ટર ઉત્પાદનને બહુપદી તરીકે ગુણાકાર કરીને શોધીએ (વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મો અનુસાર):

પરિણામી સૂત્ર વધુ સંક્ષિપ્તમાં લખી શકાય છે:

કારણ કે સમાનતાની જમણી બાજુ (7.1) પ્રથમ પંક્તિ (7.2) ના તત્વોના સંદર્ભમાં ત્રીજા-ક્રમ નિર્ણાયકના વિસ્તરણને અનુરૂપ છે તે યાદ રાખવું સરળ છે.

7.4. ક્રોસ પ્રોડક્ટની કેટલીક એપ્લિકેશનો

વેક્ટર્સની સમકક્ષતાની સ્થાપના

સમાંતરગ્રામ અને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવું

વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યા અનુસાર એઅને બી |a xb | =|a | * |b |sin g, એટલે કે S જોડીઓ = |a x b |. અને, તેથી, D S =1/2|a x b |.

બિંદુ વિશે બળની ક્ષણનું નિર્ધારણ

બિંદુ A પર બળ લાગુ થવા દો F = ABઅને દો વિશે- અવકાશમાં અમુક બિંદુ (જુઓ ફિગ. 20).

તે ભૌતિકશાસ્ત્ર પરથી જાણવા મળે છે કે બળની ક્ષણ એફ બિંદુ સંબંધિત વિશેવેક્ટર કહેવાય છે એમ,જે બિંદુ પરથી પસાર થાય છે વિશેઅને:

1) બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિમાનને લંબરૂપ ઓ, એ, બી;

2) આંકડાકીય રીતે હાથ દીઠ બળના ઉત્પાદનની બરાબર

3) OA અને A B વેક્ટર્સ સાથે જમણી ત્રિવિધ બનાવે છે.

તેથી, M = OA x F.

રેખીય પરિભ્રમણ ગતિ શોધવી

ઝડપ વિકોણીય વેગ સાથે ફરતા કઠોર શરીરનો બિંદુ M ડબલ્યુનિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ, યુલરના સૂત્ર v =w xr દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે, જ્યાં r = OM, જ્યાં O એ અક્ષનું અમુક નિશ્ચિત બિંદુ છે (જુઓ ફિગ. 21).

વ્યાખ્યા. વેક્ટર a (મલ્ટિપ્લિકન્ડ) અને નોન-કોલિનિયર વેક્ટર (મલ્ટીપ્લિકન્ડ) નું વેક્ટર ઉત્પાદન એ ત્રીજું વેક્ટર c (ઉત્પાદન) છે, જે નીચે પ્રમાણે બનાવવામાં આવ્યું છે:

1) તેનું મોડ્યુલ આંકડાકીય રીતે ફિગમાં સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. 155).

3) આ કિસ્સામાં, વેક્ટર c ની દિશા પસંદ કરવામાં આવે છે (બે સંભવિતમાંથી) જેથી વેક્ટર c જમણી બાજુની સિસ્ટમ બનાવે છે (§ 110).

હોદ્દો: અથવા

વ્યાખ્યામાં ઉમેરો. જો વેક્ટર સમરેખા હોય, તો આકૃતિને (શરતી રીતે) સમાંતરગ્રામને ધ્યાનમાં લેતા, શૂન્ય વિસ્તાર સોંપવો સ્વાભાવિક છે. તેથી, કોલિનિયર વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનને નલ વેક્ટર સમાન ગણવામાં આવે છે.

કારણ કે નલ વેક્ટરને કોઈપણ દિશા સોંપી શકાય છે, આ કરાર વ્યાખ્યાના ફકરા 2 અને 3 નો વિરોધાભાસ કરતો નથી.

ટિપ્પણી 1. "વેક્ટર ઉત્પાદન" શબ્દમાં પ્રથમ શબ્દ સૂચવે છે કે ક્રિયાનું પરિણામ વેક્ટર છે (સ્કેલર ઉત્પાદનની વિરુદ્ધ; cf. § 104, ટિપ્પણી 1).

ઉદાહરણ 1. વેક્ટર ઉત્પાદન શોધો જ્યાં જમણી સંકલન સિસ્ટમના મુખ્ય વેક્ટર છે (ફિગ. 156).

1. મુખ્ય વેક્ટરની લંબાઈ એક સ્કેલ એકમ જેટલી હોવાથી, સમાંતરગ્રામ (ચોરસ) નો વિસ્તાર સંખ્યાત્મક રીતે એક સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ એક સમાન છે.

2. પ્લેનનો લંબ એક અક્ષ હોવાથી, ઇચ્છિત વેક્ટર ઉત્પાદન વેક્ટર k માટે વેક્ટર કોલિનિયર છે; અને બંને પાસે મોડ્યુલસ 1 હોવાથી, ઇચ્છિત વેક્ટર ઉત્પાદન k અથવા -k ની બરાબર છે.

3. આ બે સંભવિત વેક્ટર્સમાંથી, પહેલું પસંદ કરવું આવશ્યક છે, કારણ કે વેક્ટર k એક જમણા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે (અને વેક્ટર ડાબા હાથે છે).

ઉદાહરણ 2. ક્રોસ પ્રોડક્ટ શોધો

ઉકેલ. ઉદાહરણ 1 ની જેમ, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે વેક્ટર k અથવા -k ની બરાબર છે. પરંતુ હવે આપણે -k પસંદ કરવાની જરૂર છે, કારણ કે વેક્ટર જમણા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે (અને વેક્ટર ડાબા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે). તેથી,

ઉદાહરણ 3. વેક્ટરની લંબાઈ અનુક્રમે 80 અને 50 સેમી જેટલી હોય છે અને 30°નો ખૂણો બનાવે છે. મીટરને લંબાઈના એકમ તરીકે લઈ, વેક્ટર ઉત્પાદન a ની લંબાઈ શોધો

ઉકેલ. વેક્ટર પર બનેલ સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ ઇચ્છિત વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ બરાબર છે

ઉદાહરણ 4. લંબાઈના એકમ તરીકે સેન્ટિમીટર લઈને, સમાન વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ. વેક્ટર પર બનેલ સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી, વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ 2000 સેમી જેટલી છે, એટલે કે.

ઉદાહરણો 3 અને 4 ની સરખામણીથી તે સ્પષ્ટ છે કે વેક્ટરની લંબાઈ માત્ર પરિબળોની લંબાઈ પર જ નહીં પણ લંબાઈ એકમની પસંદગી પર પણ આધારિત છે.

વેક્ટર ઉત્પાદનનો ભૌતિક અર્થ.વેક્ટર ઉત્પાદન દ્વારા રજૂ કરાયેલ અસંખ્ય ભૌતિક જથ્થાઓમાંથી, અમે ફક્ત બળની ક્ષણને ધ્યાનમાં લઈશું.

A ને બિંદુ O ની સાપેક્ષ બળના ક્ષણને વેક્ટર ઉત્પાદન કહેવામાં આવે છે કારણ કે આ વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ સમાંતરગ્રામ (ફિગ. 157) ના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. ક્ષણનું મોડ્યુલસ આધાર અને ઊંચાઈના ગુણાંક સમાન છે, એટલે કે, બિંદુ O થી સીધી રેખા સુધીના અંતર દ્વારા ગુણાકાર કરેલ બળ કે જેની સાથે બળ કાર્ય કરે છે.

મિકેનિક્સમાં, તે સાબિત થયું છે કે કઠોર શરીરના સંતુલન માટે તે જરૂરી છે કે શરીર પર લાગુ દળોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વેક્ટરનો સરવાળો જ નહીં, પણ દળોની ક્ષણોનો સરવાળો પણ હોવો જોઈએ. એવા કિસ્સામાં કે જ્યાં તમામ દળો એક સમતલની સમાંતર હોય, ક્ષણોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વેક્ટરનો ઉમેરો તેમની તીવ્રતાના સરવાળા અને બાદબાકી દ્વારા બદલી શકાય છે. પરંતુ દળોની મનસ્વી દિશાઓ સાથે, આવી બદલી અશક્ય છે. આને અનુરૂપ, વેક્ટર ઉત્પાદનને ચોક્કસ રીતે વેક્ટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, સંખ્યા તરીકે નહીં.

વેક્ટર પ્રોડક્ટની વિભાવના આપતા પહેલા, ચાલો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં a →, b →, c → ક્રમાંકિત ટ્રિપલ વેક્ટરના ઓરિએન્ટેશનના પ્રશ્ન તરફ વળીએ.

શરૂ કરવા માટે, ચાલો એક બિંદુથી a → , b → , c → વેક્ટર્સને બાજુ પર મૂકીએ. ટ્રિપલ a → , b → , c → નું ઓરિએન્ટેશન જમણે કે ડાબે હોઈ શકે છે, જે વેક્ટર c → ની દિશા પર આધાર રાખે છે. ટ્રિપલ a → , b → , c → નો પ્રકાર વેક્ટર c → ના અંતથી વેક્ટર a → થી b → જે દિશામાં સૌથી ટૂંકો વળાંક બનાવવામાં આવે છે તે દિશામાંથી નિર્ધારિત કરવામાં આવશે.

જો સૌથી ટૂંકો વળાંક ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કરવામાં આવે છે, તો વેક્ટરના ત્રિવિધ a → , b → , c → કહેવાય છે. અધિકાર, જો ઘડિયાળની દિશામાં - બાકી.

આગળ, બે નોન-કોલિનિયર વેક્ટર a → અને b → લો. ચાલો પછી A B → = a → અને A C → = b → બિંદુ A થી વેક્ટર્સનું પ્લોટિંગ કરીએ. ચાલો એક વેક્ટર A D → = c → બનાવીએ, જે A B → અને A C → બંને માટે એકસાથે લંબ છે. આમ, વેક્ટર પોતે A D → = c → બનાવતી વખતે, આપણે તેને બે રીતે કરી શકીએ છીએ, તેને કાં તો એક દિશા આપીને અથવા તેનાથી વિરુદ્ધ (ચિત્ર જુઓ).

a → , b → , c → વેક્ટરનો ક્રમાંકિત ટ્રિપલ હોઈ શકે છે, જેમ આપણે શોધી કાઢ્યું છે કે વેક્ટરની દિશાને આધારે જમણે કે ડાબે.

ઉપરથી આપણે વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યા રજૂ કરી શકીએ છીએ. આ વ્યાખ્યા ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશની લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં વ્યાખ્યાયિત બે વેક્ટર માટે આપવામાં આવી છે.

વ્યાખ્યા 1

બે વેક્ટર a → અને b → નું વેક્ટર ઉત્પાદન ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશની લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં વ્યાખ્યાયિત આવા વેક્ટરને આપણે કહીશું જેમ કે:

• જો વેક્ટર a → અને b → સમરેખા હોય, તો તે શૂન્ય હશે;
• તે બંને વેક્ટર a → ​ અને વેક્ટર b → એટલે કે બંને માટે લંબરૂપ હશે. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• તેની લંબાઈ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → વેક્ટરનો ત્રિપુટી આપેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ જેવો જ અભિગમ ધરાવે છે.

a → અને b → વેક્ટર્સના ક્રોસ પ્રોડક્ટમાં નીચેના સંકેતો છે: a → × b → .

વેક્ટર ઉત્પાદનના કોઓર્ડિનેટ્સ

કોઈપણ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ચોક્કસ કોઓર્ડિનેટ્સ હોવાથી, અમે વેક્ટર પ્રોડક્ટની બીજી વ્યાખ્યા રજૂ કરી શકીએ છીએ, જે અમને વેક્ટરના આપેલા કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને તેના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની મંજૂરી આપશે.

વ્યાખ્યા 2

ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાની લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં બે વેક્ટર a → = (a x ; a y ; a z) અને b → = (b x ; b y ; b z) નું વેક્ટર ઉત્પાદન વેક્ટર કહેવાય છે c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , જ્યાં i → , j → , k → સંકલન વેક્ટર છે.

વેક્ટર ઉત્પાદનને ત્રીજા ક્રમના ચોરસ મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં પ્રથમ પંક્તિમાં વેક્ટર વેક્ટર i → , j → , k → , બીજી પંક્તિમાં વેક્ટર a → , અને ત્રીજી પંક્તિના કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે. આપેલ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વેક્ટર b → ના કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, આ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક આના જેવો દેખાય છે: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

આ નિર્ણાયકને પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોમાં વિસ્તરણ કરીને, આપણે સમાનતા મેળવીએ છીએ: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j a → b = y + y = y + x → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ક્રોસ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો

તે જાણીતું છે કે કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર ઉત્પાદન મેટ્રિક્સ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ના નિર્ણાયક તરીકે રજૂ થાય છે, પછી આધાર પર મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકના ગુણધર્મોનીચે દર્શાવેલ છે વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મો:

1. એન્ટિકોમ્યુટેટીવિટી a → × b → = - b → × a → ;
2. વિતરણતા a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → અથવા a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. સહયોગીતા λ a → × b → = λ a → × b → અથવા a → × (λ b →) = λ a → × b →, જ્યાં λ એ મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

આ ગુણધર્મોમાં સરળ પુરાવા છે.

ઉદાહરણ તરીકે, આપણે વેક્ટર ઉત્પાદનની એન્ટિકોમ્યુટિવ પ્રોપર્ટી સાબિત કરી શકીએ છીએ.

એન્ટિકોમ્યુટેટીવીટીનો પુરાવો

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z અને b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . અને જો મેટ્રિક્સની બે પંક્તિઓની અદલાબદલી કરવામાં આવે, તો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની કિંમત વિરુદ્ધમાં બદલવી જોઈએ, તેથી, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x = x - b → × a → , જે અને સાબિત કરે છે કે વેક્ટર ઉત્પાદન પ્રતિકૂળ છે.

વેક્ટર ઉત્પાદન - ઉદાહરણો અને ઉકેલો

મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, ત્રણ પ્રકારની સમસ્યાઓ છે.

પ્રથમ પ્રકારની સમસ્યાઓમાં, બે વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ સામાન્ય રીતે આપવામાં આવે છે, અને તમારે વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં, નીચેના સૂત્ર c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → નો ઉપયોગ કરો.

ઉદાહરણ 1

જો તમે a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 જાણો છો, તો વેક્ટર a → અને b → ના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ

a → અને b → વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ નક્કી કરીને, અમે આ સમસ્યા હલ કરીએ છીએ: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

જવાબ: 15 2 2 .

બીજા પ્રકારની સમસ્યાઓ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે જોડાણ ધરાવે છે, તેમાં વેક્ટર ઉત્પાદન, તેની લંબાઈ વગેરે. આપેલ વેક્ટરના જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા શોધવામાં આવે છે a → = (a x; a y; a z) અને b → = (b x ; b y ; b z) .

આ પ્રકારની સમસ્યા માટે, તમે ઘણા બધા કાર્ય વિકલ્પો હલ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, a → અને b → વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉલ્લેખ કરી શકાતો નથી, પરંતુ ફોર્મના કોઓર્ડિનેટ વેક્ટર્સમાં તેમના વિસ્તરણ b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → અને c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, અથવા વેક્ટર a → અને b → તેમના પ્રારંભના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. અને અંતિમ બિંદુઓ.

નીચેના ઉદાહરણોનો વિચાર કરો.

ઉદાહરણ 2

લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, બે વેક્ટર આપવામાં આવે છે: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). તેમની ક્રોસ પ્રોડક્ટ શોધો.

ઉકેલ

બીજી વ્યાખ્યા દ્વારા, આપણે આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સમાં બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધીએ છીએ: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

જો આપણે મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક દ્વારા વેક્ટર ઉત્પાદન લખીએ, તો આ ઉદાહરણનો ઉકેલ આના જેવો દેખાય છે: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

જવાબ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ઉદાહરણ 3

i → - j → અને i → + j → + k → વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો, જ્યાં i →, j →, k → લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના એકમ વેક્ટર છે.

ઉકેલ

પ્રથમ, ચાલો આપેલ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આપેલ વેક્ટર ઉત્પાદન i → - j → × i → + j → + k → ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ.

તે જાણીતું છે કે વેક્ટર i → - j → અને i → + j → + k → અનુક્રમે કોઓર્ડિનેટ્સ (1; - 1; 0) અને (1; 1; 1) ધરાવે છે. ચાલો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધીએ, પછી આપણી પાસે i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

તેથી, આપેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વેક્ટર ઉત્પાદન i → - j → × i → + j → + k → કોઓર્ડિનેટ્સ (- 1 ; - 1 ; 2) ધરાવે છે.

આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધીએ છીએ (વેક્ટરની લંબાઈ શોધવાનો વિભાગ જુઓ): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

જવાબ: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

ઉદાહરણ 4

લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, ત્રણ બિંદુઓ A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવે છે. એક જ સમયે A B → અને A C → ને લંબરૂપ કેટલાક વેક્ટર શોધો.

ઉકેલ

વેક્ટર A B → અને A C → અનુક્રમે નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ (- 1 ; 2 ; 2) અને (0 ; 4 ; 1) ધરાવે છે. A B → અને A C → વેક્ટર્સનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધી કાઢ્યા પછી, તે સ્પષ્ટ છે કે તે A B → અને A C → બંને માટે વ્યાખ્યા દ્વારા લંબ વેક્ટર છે, એટલે કે, તે અમારી સમસ્યાનો ઉકેલ છે. ચાલો તેને શોધીએ A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

જવાબ: - 6 i → + j → - 4 k → . - લંબ વેક્ટરમાંથી એક.

ત્રીજા પ્રકારની સમસ્યાઓ વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવા પર કેન્દ્રિત છે. જે લાગુ કર્યા પછી, અમે આપેલ સમસ્યાનો ઉકેલ મેળવીશું.

ઉદાહરણ 5

વેક્ટર a → અને b → લંબ છે અને તેમની લંબાઈ અનુક્રમે 3 અને 4 છે. વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

ઉકેલ

વેક્ટર ઉત્પાદનના વિતરક ગુણધર્મ દ્વારા, આપણે 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 લખી શકીએ છીએ. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

જોડાણની મિલકત દ્વારા, આપણે છેલ્લી અભિવ્યક્તિમાં વેક્ટર ઉત્પાદનોની નિશાનીમાંથી સંખ્યાત્મક ગુણાંક લઈએ છીએ: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

વેક્ટર પ્રોડક્ટ્સ a → × a → અને b → × b → 0 ની બરાબર છે, કારણ કે a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 અને b → × b → = b → · b → · પાપ 0 = 0, પછી 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

વેક્ટર ઉત્પાદનની એન્ટિકોમ્યુટેટીવિટીમાંથી તે અનુસરે છે - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → .

વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમાનતા 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → મેળવીએ છીએ.

શરત પ્રમાણે, a → અને b → વેક્ટર લંબ છે, એટલે કે, તેમની વચ્ચેનો કોણ π 2 ની બરાબર છે. હવે જે બાકી છે તે મળેલ મૂલ્યોને યોગ્ય સૂત્રોમાં બદલવાનું છે: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

જવાબ: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

વ્યાખ્યા દ્વારા વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → બરાબર છે. કારણ કે તે પહેલાથી જ જાણીતું છે (શાળાના અભ્યાસક્રમમાંથી) કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેની બે બાજુઓની લંબાઈના અડધા ગુણાંક જેટલો છે અને આ બાજુઓ વચ્ચેના કોણની સાઈન દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. પરિણામે, વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળ જેટલી હોય છે - એક બમણો ત્રિકોણ, એટલે કે વેક્ટર a → અને b → ના રૂપમાં બાજુઓનું ઉત્પાદન, એક બિંદુથી નીચેની સાઈન દ્વારા મૂકવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચેનો કોણ sin ∠ a →, b →.

આ વેક્ટર ઉત્પાદનનો ભૌમિતિક અર્થ છે.

વેક્ટર ઉત્પાદનનો ભૌતિક અર્થ

મિકેનિક્સમાં, ભૌતિકશાસ્ત્રની શાખાઓમાંની એક, વેક્ટર ઉત્પાદનને આભારી, તમે અવકાશના બિંદુને સંબંધિત બળની ક્ષણ નક્કી કરી શકો છો.

વ્યાખ્યા 3

બિંદુ A ની સાપેક્ષમાં, બિંદુ B પર F → લાગુ થવાના ક્ષણ સુધીમાં, આપણે નીચેના વેક્ટર ઉત્પાદન A B → × F → સમજીશું.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

વ્યાખ્યા (x 1 , x 2 , ... , x n) n વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમબદ્ધ સંગ્રહને કહેવાય છે n-પરિમાણીય વેક્ટર, અને સંખ્યાઓ x i (i = ) - ઘટકો,અથવા સંકલન,

ઉદાહરણ. જો, ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ ચોક્કસ ઓટોમોબાઈલ પ્લાન્ટે 50 કાર, 100 ટ્રક, 10 બસો, કાર માટેના સ્પેરપાર્ટ્સના 50 સેટ અને ટ્રક અને બસો માટે 150 સેટ પ્રતિ શિફ્ટનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ, તો આ પ્લાન્ટના ઉત્પાદન કાર્યક્રમને વેક્ટર તરીકે લખી શકાય. (50, 100, 10, 50, 150), જેમાં પાંચ ઘટકો છે.

નોટેશન. વેક્ટર્સને બોલ્ડ લોઅરકેસ અક્ષરો અથવા ટોચ પર બાર અથવા તીર સાથેના અક્ષરો દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે, દા.ત. aઅથવા. બે વેક્ટર કહેવાય છે સમાન, જો તેમની પાસે ઘટકોની સમાન સંખ્યા હોય અને તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોય.

વેક્ટર ઘટકોની અદલાબદલી કરી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, (3, 2, 5, 0, 1)અને (2, 3, 5, 0, 1) વિવિધ વેક્ટર.
વેક્ટર પર કામગીરી.કામ x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારાλ વેક્ટર કહેવાય છેλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

રકમx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) અને y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) વેક્ટર કહેવાય છે x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

વેક્ટર જગ્યા.એન -પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા આર n એ તમામ n-પરિમાણીય વેક્ટરના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના માટે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને ઉમેરા દ્વારા ગુણાકારની ક્રિયાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

આર્થિક ચિત્ર. n-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસનું આર્થિક ચિત્ર: માલની જગ્યા (માલ). હેઠળ માલઅમે કેટલીક સારી અથવા સેવા સમજીશું જે ચોક્કસ સ્થળે ચોક્કસ સમયે વેચાણ પર હતી. ધારો કે ઉપલબ્ધ માલની મર્યાદિત સંખ્યા n છે; ઉપભોક્તા દ્વારા ખરીદેલ તેમાંથી દરેકની માત્રા માલના સમૂહ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

જ્યાં x i ઉપભોક્તા દ્વારા ખરીદેલ i-th ગુડની રકમ દર્શાવે છે. અમે ધારીશું કે તમામ માલસામાનમાં મનસ્વી વિભાજ્યતાની મિલકત છે, જેથી તેમાંથી દરેકની કોઈપણ બિન-નકારાત્મક જથ્થાને ખરીદી શકાય. પછી માલના તમામ સંભવિત સમૂહો માલની જગ્યાના વેક્ટર છે C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

રેખીય સ્વતંત્રતા. સિસ્ટમ ઇ 1 , ઇ 2 , ... , ઇ m n-પરિમાણીય વેક્ટર કહેવામાં આવે છે રેખીય રીતે નિર્ભર, જો આવી સંખ્યાઓ છેλ 1 , λ 2 , ... , λ m , જેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય છે, જેમ કે સમાનતાλ 1 ઇ 1 + λ 2 ઇ 2 +... + λ m ઇ m = 0; અન્યથા, આ વેક્ટર સિસ્ટમ કહેવાય છે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર, એટલે કે, સૂચવેલ સમાનતા ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બધા . માં વેક્ટર્સની રેખીય અવલંબનનો ભૌમિતિક અર્થ આર 3, નિર્દેશિત વિભાગો તરીકે અર્થઘટન, નીચેના પ્રમેય સમજાવો.

પ્રમેય 1. એક વેક્ટર ધરાવતી સિસ્ટમ રેખીય રીતે નિર્ભર છે જો અને માત્ર જો આ વેક્ટર શૂન્ય હોય.

પ્રમેય 2. બે વેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેઓ સમકક્ષ (સમાંતર) હોય.

પ્રમેય 3 . ત્રણ વેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેઓ કોપ્લાનર (એક જ વિમાનમાં આવેલા) હોય.

વેક્ટરની ડાબી અને જમણી ત્રિપુટી. નોન-કોપ્લાનર વેક્ટરનો ટ્રિપલ a, b, cકહેવાય છે અધિકાર, જો તેમના સામાન્ય મૂળમાંથી નિરીક્ષક વેક્ટરના છેડાને બાયપાસ કરે છે a, b, cઆપેલ ક્રમમાં ઘડિયાળની દિશામાં થાય છે. અન્યથા a, b, c -ત્રણ બાકી. વેક્ટરના બધા જમણા (અથવા ડાબે) ત્રિપુટીઓ કહેવામાં આવે છે સમાન લક્ષી.

આધાર અને સંકલન. ટ્રોઇકા ઇ 1, ઇ 2 , ઇમાં 3 નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર આર 3 કહેવાય છે આધાર, અને વેક્ટર પોતે ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 - મૂળભૂત. કોઈપણ વેક્ટર aઆધાર વેક્ટરમાં વિશિષ્ટ રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, એટલે કે, ફોર્મમાં રજૂ થાય છે

એ= x 1 ઇ 1+x2 ઇ 2 + x 3 ઇ 3, (1.1)

સંખ્યાઓ x 1 , x 2 , x 3 વિસ્તરણમાં (1.1) કહેવાય છે સંકલનaઆધાર માં ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 અને નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા છે a(x 1, x 2, x 3).

ઓર્થોનોર્મલ આધાર. જો વેક્ટર્સ ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 જોડી પ્રમાણે લંબ છે અને તેમાંથી દરેકની લંબાઈ એક સમાન છે, તો આધાર કહેવાય છે ઓર્થોનોર્મલ, અને કોઓર્ડિનેટ્સ x 1 , x 2 , x 3 - લંબચોરસઓર્થોનોર્મલ આધારના આધાર વેક્ટર દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે i, j, k.

અમે તેને અવકાશમાં ધારીશું આર 3 કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સની યોગ્ય સિસ્ટમ પસંદ કરવામાં આવી છે (0, i, j, k}.

વેક્ટર આર્ટવર્ક. વેક્ટર આર્ટવર્ક એવેક્ટર માટે bવેક્ટર કહેવાય છે c, જે નીચેની ત્રણ શરતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

1. વેક્ટર લંબાઈ cસંખ્યાત્મક રીતે વેક્ટર પર બનેલા સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળની બરાબર aઅને bએટલે કે
c= |a||b|પાપ ( a^b).

2. વેક્ટર cદરેક વેક્ટરને લંબરૂપ aઅને b

3. વેક્ટર a bઅને c, દર્શાવેલ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, એક જમણી ત્રિપુટી બનાવે છે.

ક્રોસ પ્રોડક્ટ માટે cહોદ્દો રજૂ કરવામાં આવે છે c =[ab] અથવા
c = a × b

જો વેક્ટર્સ aઅને bસમરેખા છે, પછી પાપ( a^b) = 0 અને [ ab] = 0, ખાસ કરીને, [ aa] = 0. એકમ વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનો: [ ij]=k, [જેકે] = i, [કી]=j.

જો વેક્ટર્સ aઅને bઆધારમાં ઉલ્લેખિત છે i, j, kસંકલન a(a 1 , a 2 , a 3 ) b(b 1, b 2, b 3), પછી

મિશ્ર કાર્ય. જો બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન એઅને bત્રીજા વેક્ટર દ્વારા સ્કેલરલી ગુણાકાર c,પછી ત્રણ વેક્ટરના આવા ઉત્પાદનને કહેવામાં આવે છે મિશ્ર કાર્યઅને પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે a b c.

જો વેક્ટર્સ a, bઅને cઆધાર માં i, j, kતેમના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે
a(a 1 , a 2 , a 3 ) b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), પછી

.

મિશ્રિત ઉત્પાદનમાં એક સરળ ભૌમિતિક અર્થઘટન છે - તે એક સ્કેલર છે, જે ત્રણ આપેલ વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતર પાઇપના જથ્થાના ચોક્કસ મૂલ્યમાં સમાન છે.

જો વેક્ટર્સ જમણી ત્રિપુટી બનાવે છે, તો તેમનું મિશ્રિત ઉત્પાદન સૂચવેલ વોલ્યુમની સમાન હકારાત્મક સંખ્યા છે; જો તે ત્રણ છે a, b, c -બાકી, પછી a b c<0 и V = - a b c, તેથી V =|a b c|.

પ્રથમ પ્રકરણની સમસ્યાઓમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ યોગ્ય ઓર્થોનોર્મલ આધારને અનુલક્ષીને આપવામાં આવ્યા હોવાનું માનવામાં આવે છે. વેક્ટર સાથે એકમ વેક્ટર કોડાયરેક્શનલ એ,પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે એઓ. પ્રતીક આર=ઓમબિંદુ M ના ત્રિજ્યા વેક્ટર દ્વારા સૂચિત, પ્રતીકો a, AB અથવા|a|, | એબી|વેક્ટરના મોડ્યુલો સૂચવવામાં આવે છે એઅને એબી.

ઉદાહરણ 1.2. વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો શોધો a= 2m+4nઅને b= m-n, ક્યાં mઅને n-એકમ વેક્ટર અને વચ્ચેનો કોણ mઅને n 120 ઓ ની બરાબર.

ઉકેલ. અમારી પાસે છે: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, જેનો અર્થ થાય છે a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, જેનો અર્થ થાય છે b = . છેલ્લે આપણી પાસે છે: cosφ = = -1/2, φ = 120 ઓ.

ઉદાહરણ 1.3.વેક્ટરને જાણવું એબી(-3,-2.6) અને બી.સી.(-2,4,4), ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ AD ની લંબાઈની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્રને S દ્વારા દર્શાવતા, આપણને મળે છે:
S = 1/2 BC AD. પછી AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| એબી ×AC|. AC=AB+BC, જેનો અર્થ વેક્ટર થાય છે A.C.કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે
. .

ઉદાહરણ 1.4 . બે વેક્ટર આપવામાં આવ્યા છે a(11,10,2) અને b(4,0,3). એકમ વેક્ટર શોધો c,વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ aઅને bઅને નિર્દેશિત કરે છે કે જેથી વેક્ટરના ત્રણ ગણો આદેશ આપ્યો a, b, cસાચો હતો.

ઉકેલ.ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવીએ c x, y, z ની દ્રષ્ટિએ આપેલ અધિકાર ઓર્થોનોર્મલ આધારના સંદર્ભમાં.

ત્યારથી c ⊥ a, c ⊥b, તે ca= 0,સીબી= 0. સમસ્યાની શરતો અનુસાર, તે જરૂરી છે કે c = 1 અને a b c >0.

આપણી પાસે x,y,z શોધવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોમાંથી આપણે z = -4/3 x, y = -5/6 x મેળવીએ છીએ. ત્રીજા સમીકરણમાં y અને z ને બદલીને, આપણી પાસે છે: x 2 = 36/125, ક્યાંથી
x =± . શરતનો ઉપયોગ કરીને a b c > 0, અમને અસમાનતા મળે છે

z અને y માટેના સમીકરણોને ધ્યાનમાં લેતા, અમે પરિણામી અસમાનતાને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ: 625/6 x > 0, જે સૂચવે છે કે x>0. તેથી, x = , y = - , z =- .

એકમ વેક્ટર- આ વેક્ટર, જેનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (મોડ્યુલસ) એકતા સમાન છે. એકમ વેક્ટર દર્શાવવા માટે, અમે સબસ્ક્રિપ્ટ e નો ઉપયોગ કરીશું તેથી, જો વેક્ટર આપવામાં આવે છે એ, તો તેનું એકમ વેક્ટર વેક્ટર હશે એ e એ, અને તેનું મોડ્યુલ એક સમાન છે, એટલે કે, e = 1.

દેખીતી રીતે, એ= એ એ e (a - વેક્ટર મોડ્યુલ અ). આ તે નિયમમાંથી અનુસરે છે કે જેના દ્વારા વેક્ટર દ્વારા સ્કેલરને ગુણાકાર કરવાની કામગીરી કરવામાં આવે છે.

એકમ વેક્ટરઘણીવાર સંકલન પ્રણાલીના સંકલન અક્ષો સાથે સંકળાયેલા હોય છે (ખાસ કરીને, કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની અક્ષો સાથે). આની દિશાઓ વેક્ટરઅનુરૂપ અક્ષોની દિશાઓ સાથે મેળ ખાય છે, અને તેમની ઉત્પત્તિ ઘણીવાર સંકલન પ્રણાલીની ઉત્પત્તિ સાથે જોડાયેલી હોય છે.

ચાલો હું તમને તે યાદ કરાવું કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમઅવકાશમાં, પરસ્પર લંબરૂપ અક્ષોની ત્રિપુટી એક બિંદુ પર છેદતી હોય છે જેને કોઓર્ડિનેટની ઉત્પત્તિ કહેવાય છે. સંકલન અક્ષ સામાન્ય રીતે X, Y, Z અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તેને અનુક્રમે એબ્સીસા અક્ષ, ઓર્ડિનેટ અક્ષ અને એપ્લીકેટ અક્ષ કહેવામાં આવે છે. ડેકાર્ટેસે પોતે માત્ર એક જ અક્ષનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જેના પર એબ્સીસાસનું કાવતરું હતું. ઉપયોગની યોગ્યતા સિસ્ટમોકુહાડી તેના વિદ્યાર્થીઓની છે. તેથી શબ્દસમૂહ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમઐતિહાસિક રીતે ખોટું. વાત કરવી વધુ સારી છે લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમઅથવા ઓર્થોગોનલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ. જો કે, અમે પરંપરાઓને બદલીશું નહીં અને ભવિષ્યમાં અમે ધારીશું કે કાર્ટેશિયન અને લંબચોરસ (ઓર્થોગોનલ) કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ એક અને સમાન છે.

એકમ વેક્ટર, X અક્ષ સાથે નિર્દેશિત, સૂચવવામાં આવે છે i, એકમ વેક્ટર, Y અક્ષ સાથે નિર્દેશિત, સૂચવવામાં આવે છે j, એ એકમ વેક્ટર, Z અક્ષ સાથે નિર્દેશિત, સૂચવવામાં આવે છે k. વેક્ટર્સ i, j, kકહેવાય છે orts(ફિગ. 12, ડાબે), તેમની પાસે સિંગલ મોડ્યુલો છે, એટલે કે
i = 1, j = 1, k = 1.

કુહાડીઓ અને એકમ વેક્ટર લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમકેટલાક કિસ્સાઓમાં તેઓ અલગ અલગ નામો અને હોદ્દો ધરાવે છે. આમ, એબ્સીસા અક્ષ X ને સ્પર્શક ધરી કહી શકાય, અને તેનું એકમ વેક્ટર સૂચવવામાં આવે છે. τ (ગ્રીક નાનો અક્ષર ટાઉ), ઓર્ડિનેટ અક્ષ એ સામાન્ય અક્ષ છે, તેનું એકમ વેક્ટર સૂચવવામાં આવે છે n, એપ્લીકેટ અક્ષ એ દ્વિસંગી અક્ષ છે, તેનું એકમ વેક્ટર સૂચવવામાં આવે છે b. જો સાર એક જ રહે તો નામ શા માટે બદલવા?

હકીકત એ છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, મિકેનિક્સમાં, જ્યારે શરીરની હિલચાલનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો ઉપયોગ ઘણી વાર થાય છે. તેથી, જો સંકલન પ્રણાલી પોતે સ્થિર હોય, અને આ સ્થિર પ્રણાલીમાં મૂવિંગ ઑબ્જેક્ટના કોઓર્ડિનેટ્સમાં ફેરફાર ટ્રૅક કરવામાં આવે છે, તો સામાન્ય રીતે અક્ષોને X, Y, Z, અને તેમના એકમ વેક્ટરઅનુક્રમે i, j, k.

પરંતુ ઘણીવાર, જ્યારે કોઈ વસ્તુ અમુક પ્રકારના વળાંકવાળા પાથ સાથે આગળ વધે છે (ઉદાહરણ તરીકે, વર્તુળમાં), ત્યારે આ ઑબ્જેક્ટ સાથે ફરતી સંકલન પ્રણાલીમાં યાંત્રિક પ્રક્રિયાઓને ધ્યાનમાં લેવી વધુ અનુકૂળ છે. તે આવી મૂવિંગ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે છે કે અક્ષોના અન્ય નામો અને તેમના એકમ વેક્ટરનો ઉપયોગ થાય છે. તે જે રીતે છે તે જ છે. આ કિસ્સામાં, X અક્ષ એ બિંદુ પર સ્પર્શક રીતે નિર્દેશિત થાય છે જ્યાં આ ઑબ્જેક્ટ હાલમાં સ્થિત છે. અને પછી આ અક્ષને હવે X અક્ષ નહીં, પરંતુ સ્પર્શક અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને તેનું એકમ વેક્ટર હવે નિયુક્ત નથી. i, એ τ . Y અક્ષ બોલની વક્રતાની ત્રિજ્યા સાથે નિર્દેશિત થાય છે (વર્તુળમાં ગતિના કિસ્સામાં - વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ). અને ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબરૂપ હોવાથી, અક્ષને સામાન્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે (લંબ અને સામાન્ય સમાન વસ્તુ છે). આ અક્ષનું એકમ વેક્ટર હવે સૂચવવામાં આવતું નથી j, એ n. ત્રીજો અક્ષ (અગાઉ Z) અગાઉના બે પર લંબ છે. આ એક ઓર્થ સાથે દ્વિસંગી છે b(ફિગ. 12, જમણે). માર્ગ દ્વારા, આ કિસ્સામાં આવા લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમઘણીવાર "કુદરતી" અથવા કુદરતી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.