આંકડામાં ચી ચોરસ શું છે. જટિલ પૂર્વધારણાઓને ચકાસવા માટે ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરવો

પીયર્સનની χ 2 પરીક્ષણ એ બિન-પેરામેટ્રિક પદ્ધતિ છે જે અમને પરિણામોની વાસ્તવિક (જાહેર) સંખ્યા અથવા દરેક કેટેગરીમાં આવતા નમૂનાની ગુણાત્મક લાક્ષણિકતાઓ અને અભ્યાસમાં અપેક્ષિત સૈદ્ધાંતિક સંખ્યા વચ્ચેના તફાવતના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો નલ પૂર્વધારણા સાચી હોય તો જૂથો. તેને સરળ રીતે કહીએ તો, પદ્ધતિ તમને બે અથવા વધુ સંબંધિત સૂચકાંકો (ફ્રિકવન્સી, પ્રમાણ) વચ્ચેના તફાવતના આંકડાકીય મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે.

1. χ 2 માપદંડના વિકાસનો ઇતિહાસ

આકસ્મિક કોષ્ટકોનું વિશ્લેષણ કરવા માટેની ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટ 1900 માં એક અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી, આંકડાશાસ્ત્રી, જીવવિજ્ઞાની અને ફિલસૂફ દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી અને પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી, જે ગાણિતિક આંકડાશાસ્ત્રના સ્થાપક અને બાયોમેટ્રિક્સના સ્થાપકોમાંના એક હતા. કાર્લ પીયર્સન(1857-1936).

2. પીયર્સનની χ 2 ટેસ્ટ શા માટે વપરાય છે?

વિશ્લેષણમાં ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરી શકાય છે આકસ્મિક કોષ્ટકોજોખમ પરિબળની હાજરીના આધારે પરિણામોની આવર્તન પરની માહિતી ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાર-ક્ષેત્ર આકસ્મિક કોષ્ટકઆના જેવો દેખાય છે:

આવા આકસ્મિક કોષ્ટક કેવી રીતે ભરવું? ચાલો એક નાનું ઉદાહરણ જોઈએ.

ધમનીના હાયપરટેન્શનના જોખમ પર ધૂમ્રપાનની અસર પર એક અભ્યાસ હાથ ધરવામાં આવી રહ્યો છે. આ હેતુ માટે, વિષયોના બે જૂથો પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા - પ્રથમમાં 70 લોકોનો સમાવેશ થાય છે જેઓ દરરોજ ઓછામાં ઓછા 1 પેક સિગારેટ પીવે છે, બીજામાં સમાન વયના 80 બિન-ધૂમ્રપાન કરનારાઓનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ જૂથમાં, 40 લોકોને હાઈ બ્લડ પ્રેશર હતું. બીજામાં, 32 લોકોમાં ધમનીનું હાયપરટેન્શન જોવા મળ્યું હતું. તદનુસાર, ધૂમ્રપાન કરનારાઓના જૂથમાં સામાન્ય બ્લડ પ્રેશર 30 લોકોમાં (70 - 40 = 30) અને ધૂમ્રપાન ન કરનારાઓના જૂથમાં - 48 (80 - 32 = 48) માં હતું.

અમે પ્રારંભિક ડેટા સાથે ચાર-ફીલ્ડ આકસ્મિક કોષ્ટક ભરીએ છીએ:

પરિણામી આકસ્મિક કોષ્ટકમાં, દરેક લીટી વિષયોના ચોક્કસ જૂથને અનુલક્ષે છે. કૉલમ ધમનીય હાયપરટેન્શન અથવા સામાન્ય બ્લડ પ્રેશર ધરાવતા લોકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

સંશોધક સમક્ષ જે કાર્ય છે તે છે: શું ધૂમ્રપાન કરનારા અને ધૂમ્રપાન ન કરનારાઓમાં બ્લડ પ્રેશર ધરાવતા લોકોની આવર્તન વચ્ચે આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર તફાવત છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટની ગણતરી કરીને અને પરિણામી મૂલ્યની નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરીને આપી શકાય છે.

3. પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરવા માટેની શરતો અને મર્યાદાઓ

1. તુલનાત્મક સૂચકાંકો માપવામાં આવશ્યક છે નજીવા સ્કેલ(ઉદાહરણ તરીકે, દર્દીનું લિંગ પુરુષ કે સ્ત્રી છે) અથવા માં ક્રમબદ્ધ(ઉદાહરણ તરીકે, ધમનીના હાયપરટેન્શનની ડિગ્રી, 0 થી 3 સુધીના મૂલ્યો લેતી).
2. આ પદ્ધતિ તમને માત્ર ચાર-ક્ષેત્ર કોષ્ટકોનું વિશ્લેષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જ્યારે પરિબળ અને પરિણામ બંને દ્વિસંગી ચલો હોય છે, એટલે કે, તેમની પાસે ફક્ત બે જ સંભવિત મૂલ્યો હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, પુરુષ અથવા સ્ત્રી લિંગ, હાજરી અથવા ગેરહાજરી. એનામેનેસિસમાં ચોક્કસ રોગ...). જ્યારે પરિબળ અને (અથવા) પરિણામ ત્રણ અથવા વધુ મૂલ્યો લે છે ત્યારે પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટનો ઉપયોગ મલ્ટિ-ફિલ્ડ કોષ્ટકોના વિશ્લેષણના કિસ્સામાં પણ થઈ શકે છે.
3. જે જૂથોની સરખામણી કરવામાં આવી રહી છે તે સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ, એટલે કે, પહેલાં-પછીના અવલોકનોની સરખામણી કરતી વખતે ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટનો ઉપયોગ થવો જોઈએ નહીં. મેકનેમર ટેસ્ટ(બે સંબંધિત વસ્તીની સરખામણી કરતી વખતે) અથવા ગણતરી કરેલ કોકરાનની ક્યૂ ટેસ્ટ(ત્રણ અથવા વધુ જૂથોની સરખામણીના કિસ્સામાં).
4. ચાર-ક્ષેત્ર કોષ્ટકોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે અપેક્ષિત મૂલ્યોદરેક કોષમાં ઓછામાં ઓછા 10 હોવા જોઈએ. જો ઓછામાં ઓછા એક કોષમાં અપેક્ષિત ઘટના 5 થી 9 સુધીનું મૂલ્ય લે છે, તો ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટની ગણતરી કરવી આવશ્યક છે યેટ્સના સુધારા સાથે. જો ઓછામાં ઓછા એક કોષમાં અપેક્ષિત ઘટના 5 કરતા ઓછી હોય, તો વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ ફિશરની ચોક્કસ કસોટી.
5. મલ્ટિફિલ્ડ કોષ્ટકોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, 20% કરતા વધુ કોષોમાં અવલોકનોની અપેક્ષિત સંખ્યા 5 કરતા ઓછી ન હોવી જોઈએ.

4. પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટની ગણતરી કરવા માટે તમારે આની જરૂર છે:

આ અલ્ગોરિધમ ચાર-ફીલ્ડ અને મલ્ટી-ફીલ્ડ કોષ્ટકો બંને માટે લાગુ પડે છે.

5. પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટના મૂલ્યનું અર્થઘટન કેવી રીતે કરવું?

જો χ 2 માપદંડનું પ્રાપ્ત મૂલ્ય નિર્ણાયક મૂલ્ય કરતાં વધારે હોય, તો અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે અભ્યાસ કરેલ જોખમ પરિબળ અને મહત્વના યોગ્ય સ્તરે પરિણામ વચ્ચે આંકડાકીય સંબંધ છે.

6. પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટની ગણતરીનું ઉદાહરણ

ચાલો ઉપર ચર્ચા કરેલ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને ધમનીના હાયપરટેન્શનની ઘટનાઓ પર ધૂમ્રપાન પરિબળના પ્રભાવનું આંકડાકીય મહત્વ નક્કી કરીએ:

1. અમે દરેક કોષ માટે અપેક્ષિત મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:
2. પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટનું મૂલ્ય શોધો:

   χ 2 = (40-33.6) 2 /33.6 + (30-36.4) 2 /36.4 + (32-38.4) 2 /38.4 + (48-41.6) 2 /41.6 = 4.396.

3. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા f = (2-1)*(2-1) = 1. કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટનું નિર્ણાયક મૂલ્ય શોધીએ છીએ, જે મહત્વના સ્તરે p=0.05 અને સંખ્યા સ્વતંત્રતા 1 ની ડિગ્રી 3.841 છે.
4. અમે ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટના મેળવેલ મૂલ્યની નિર્ણાયક સાથે સરખામણી કરીએ છીએ: 4.396 > 3.841, તેથી, ધૂમ્રપાનની હાજરી પર ધમનીના હાયપરટેન્શનની ઘટનાઓની અવલંબન આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર છે. આ સંબંધનું મહત્વ સ્તર p ને અનુરૂપ છે<0.05.

આ માપદંડનો ઉપયોગ સૈદ્ધાંતિક વચ્ચેની વિસંગતતાના આવા માપ (આંકડા) ના ઉપયોગ પર આધારિત છે. એફ(x) અને પ્રયોગમૂલક વિતરણ એફ* n (x) , જે લગભગ વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે χ 2 . પૂર્વધારણા એન 0 આ આંકડાઓના વિતરણનું વિશ્લેષણ કરીને વિતરણોની સુસંગતતા તપાસવામાં આવે છે. માપદંડ લાગુ કરવા માટે આંકડાકીય શ્રેણીનું નિર્માણ જરૂરી છે.

તેથી, નમૂનાને આંકડાઓની સંખ્યાની બાજુમાં આંકડાકીય રીતે રજૂ કરવા દો એમ. અવલોકન કરેલ હિટ રેટ i- મી રેન્ક n i. સૈદ્ધાંતિક વિતરણ કાયદા અનુસાર, હિટની અપેક્ષિત આવર્તન i-મી શ્રેણી છે એફ i. અવલોકન કરેલ અને અપેક્ષિત આવર્તન વચ્ચેનો તફાવત હશે ( n i – એફ i). વચ્ચેની વિસંગતતાની એકંદર ડિગ્રી શોધવા માટે એફ(x) અને એફ* n (x) આંકડાકીય શ્રેણીના તમામ અંકોમાં વર્ગીય તફાવતોના ભારિત સરવાળાની ગણતરી કરવી જરૂરી છે

મૂલ્ય χ 2 અમર્યાદિત વિસ્તૃતીકરણ સાથે n χ 2 વિતરણ ધરાવે છે (અસિમ્પ્ટોટિકલી χ 2 તરીકે વિતરિત). આ વિતરણ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા પર આધારિત છે k, એટલે કે અભિવ્યક્તિમાં શબ્દોના સ્વતંત્ર મૂલ્યોની સંખ્યા (3.7). સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સંખ્યા જેટલી છે yનમૂના પર લાદવામાં આવેલા રેખીય સંબંધોની સંખ્યાને બાદ કરો. એક જોડાણ એ હકીકતને કારણે અસ્તિત્વમાં છે કે કોઈપણ ફ્રીક્વન્સીની ગણતરી બાકીની ફ્રીક્વન્સીઝની કુલતામાંથી કરી શકાય છે. એમ-1 અંક. વધુમાં, જો વિતરણ પરિમાણો અગાઉથી જાણતા ન હોય, તો નમૂનામાં વિતરણને ફિટ કરવાને કારણે બીજી મર્યાદા છે. જો નમૂના નક્કી કરે છે એસ વિતરણ પરિમાણો, પછી સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા હશે k= એમ – એસ–1.

પૂર્વધારણા સ્વીકૃતિ વિસ્તાર એન 0 સ્થિતિ χ દ્વારા નક્કી થાય છે 2 < χ 2 (k; a) , જ્યાં χ 2 (k; a) – મહત્વના સ્તર સાથે χ2 વિતરણનો નિર્ણાયક બિંદુ a. પ્રકાર I ભૂલની સંભાવના છે a, પ્રકાર II ભૂલની સંભાવના સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી, કારણ કે ત્યાં અસંખ્ય મોટી સંખ્યામાં વિવિધ રીતો છે કે જેનું વિતરણ મેળ ખાતું નથી. પરીક્ષણની શક્તિ અંકોની સંખ્યા અને નમૂનાના કદ પર આધારિત છે. જ્યારે માપદંડ લાગુ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે n>200, જ્યારે ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી છે n>40, તે એવી પરિસ્થિતિઓ હેઠળ છે કે માપદંડ માન્ય છે (નિયમ તરીકે, તે ખોટી નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢે છે).

માપદંડ દ્વારા તપાસવા માટે અલ્ગોરિધમ

1. સમાન સંભાવના પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હિસ્ટોગ્રામ બનાવો.

2. હિસ્ટોગ્રામના દેખાવના આધારે, એક પૂર્વધારણા આગળ મૂકો

એચ 0: f(x) = f 0 (x),

એચ 1: f(x) ¹ f 0 (x),

જ્યાં f 0 (x) - અનુમાનિત વિતરણ કાયદાની સંભાવના ઘનતા (ઉદાહરણ તરીકે, સમાન, ઘાતાંકીય, સામાન્ય).

ટિપ્પણી. જો નમૂનાની બધી સંખ્યાઓ હકારાત્મક હોય તો ઘાતાંકીય વિતરણ કાયદા વિશેની પૂર્વધારણા આગળ મૂકી શકાય છે.

3. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને માપદંડની કિંમતની ગણતરી કરો

,

જ્યાં
હિટ દર i-મી અંતરાલ;

પી i- રેન્ડમ ચલની સૈદ્ધાંતિક સંભાવના i- મી અંતરાલ પ્રદાન કરે છે કે પૂર્વધારણા એચ 0 સાચું છે.

ગણતરી માટે સૂત્રો પી iઘાતાંકીય, સમાન અને સામાન્ય કાયદાઓના કિસ્સામાં, તેઓ અનુક્રમે સમાન છે.

ઘાતાંકીય કાયદો

. (3.8)

તે જ સમયે એ 1 = 0, બી m = +¥.

સમાન કાયદો

સામાન્ય કાયદો

. (3.10)

તે જ સમયે એ 1 = -¥, B M = +¥.

નોંધો. પી iબધી સંભાવનાઓની ગણતરી કર્યા પછી

સંદર્ભ સંબંધ સંતુષ્ટ છે કે કેમ તે તપાસો કાર્ય Ф(એક્સ

) - વિચિત્ર. Ф(+¥) = 1.
4. પરિશિષ્ટમાં ચી-ચોરસ કોષ્ટકમાંથી, મૂલ્ય પસંદ કરો k, જ્યાં a એ ઉલ્લેખિત મહત્વ સ્તર છે (a = 0.05 અથવા a = 0.01), અને

k = એમ - 1 - એસ.

- સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા એસઅહીં એચ- પરિમાણોની સંખ્યા કે જેના પર પસંદ કરેલ પૂર્વધારણા આધાર રાખે છે એસ 0 વિતરણ કાયદો. મૂલ્યો

સમાન કાયદા માટે તે 2 છે, ઘાતાંકીય કાયદા માટે તે 1 છે, સામાન્ય કાયદા માટે તે 2 છે.
5. જો એચ, પછી પૂર્વધારણા

0 નકારેલ છે. નહિંતર, તેને નકારવાનું કોઈ કારણ નથી: સંભાવના 1 - b સાથે તે સાચું છે, અને સંભાવના સાથે - b તે ખોટું છે, પરંતુ b નું મૂલ્ય અજ્ઞાત છે. . ઉદાહરણ3 1. માપદંડ c 2 નો ઉપયોગ કરીને, રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદા વિશેની પૂર્વધારણાને આગળ મૂકો અને પરીક્ષણ કરોએક્સ

, વિવિધતા શ્રેણી, અંતરાલ કોષ્ટકો અને વિતરણ હિસ્ટોગ્રામ જેનું ઉદાહરણ 1.2 માં આપવામાં આવ્યું છે. મહત્વ સ્તર a 0.05 છે. ઉકેલ 1. માપદંડ c 2 નો ઉપયોગ કરીને, રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદા વિશેની પૂર્વધારણાને આગળ મૂકો અને પરીક્ષણ કરો. હિસ્ટોગ્રામના દેખાવના આધારે, અમે પૂર્વધારણાને આગળ મૂકીએ છીએ કે રેન્ડમ ચલ

એચ 0: f(x) = સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત:(mએન

એચ 1: f(x) ¹ સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત:(m, ઓ);

, ઓ).

(3.11)

માપદંડનું મૂલ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

ઉપર નોંધ્યું છે તેમ, પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરતી વખતે, સમાન સંભાવના હિસ્ટોગ્રામનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે. આ કિસ્સામાં પી iસૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓ

પીઅમે સૂત્ર (3.10) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ. તે જ સમયે, અમે માનીએ છીએ કે

0,5(-0,845+1) = 0,078.

પી 1 = 0.5(F((-4.5245+1.7)/1.98)-F(-¥+1.7)/1.98)) = 0.5(F(-1.427) -F(-¥)) =

2 = 0.5(F((-3.8865+1.7)/1.98)-F((-4.5245+1.7)/1.98)) =

પી 3 = 0,094; પી 4 = 0,135; પી 5 = 0,118; પી 6 = 0,097; પી 7 = 0,073; પી 8 = 0,059; પી 9 = 0,174;

પી 0.5(F(-1.104)+0.845) = 0.5(-0.729+0.845) = 0.058.

10 = 0.5(F((+¥+1.7)/1.98)-F((0.6932+1.7)/1.98)) = 0.114.

100 × (0.0062 + 0.0304 + 0.0004 + 0.0091 + 0.0028 + 0.0001 + 0.0100 +

0.0285 + 0.0315 + 0.0017) = 100 × 0.1207 = 12.07.

આ પછી, “ચી-સ્ક્વેર” કોષ્ટકમાંથી નિર્ણાયક મૂલ્ય પસંદ કરો

.

કારણ કે
પછી પૂર્વધારણા એચ 0 સ્વીકારવામાં આવે છે (તેને નકારવાનું કોઈ કારણ નથી).

જો χ 2 માપદંડનું પ્રાપ્ત મૂલ્ય નિર્ણાયક મૂલ્ય કરતાં વધારે હોય, તો અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે અભ્યાસ કરેલ જોખમ પરિબળ અને મહત્વના યોગ્ય સ્તરે પરિણામ વચ્ચે આંકડાકીય સંબંધ છે.

પિયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટની ગણતરીનું ઉદાહરણ

ચાલો ઉપર ચર્ચા કરેલ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને ધમનીના હાયપરટેન્શનની ઘટનાઓ પર ધૂમ્રપાન પરિબળના પ્રભાવનું આંકડાકીય મહત્વ નક્કી કરીએ:

1. દરેક કોષ માટે અપેક્ષિત મૂલ્યોની ગણતરી કરો:

2. પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટનું મૂલ્ય શોધો:

χ 2 = (40-33.6) 2 /33.6 + (30-36.4) 2 /36.4 + (32-38.4) 2 /38.4 + (48-41.6) 2 /41.6 = 4.396.

3. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા f = (2-1)*(2-1) = 1. કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટનું નિર્ણાયક મૂલ્ય શોધીએ છીએ, જે મહત્વના સ્તરે p=0.05 અને સ્વતંત્રતા 1 ની ડિગ્રીની સંખ્યા 3.841 છે.

4. અમે ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટના મેળવેલ મૂલ્યની નિર્ણાયક સાથે સરખામણી કરીએ છીએ: 4.396 > 3.841, તેથી, ધૂમ્રપાનની હાજરી પર ધમનીના હાયપરટેન્શનની ઘટનાઓની અવલંબન આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર છે. આ સંબંધનું મહત્વ સ્તર p ને અનુરૂપ છે<0.05.

ઉપરાંત, પિયર્સન ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

પરંતુ 2x2 કોષ્ટક માટે, યેટ્સ કરેક્શન માપદંડ દ્વારા વધુ સચોટ પરિણામો મેળવવામાં આવે છે.

જો તે N(0)સ્વીકાર્યું,

કિસ્સામાં સ્વીકાર્યું H(1)

જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા ઓછી હોય અને કોષ્ટક કોષોમાં 5 કરતા ઓછી આવર્તન હોય, ત્યારે ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટ લાગુ પડતો નથી અને તેનો ઉપયોગ પૂર્વધારણાઓ ચકાસવા માટે થાય છે. ફિશરની ચોક્કસ કસોટી . આ માપદંડની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા તદ્દન શ્રમ-સઘન છે, અને આ કિસ્સામાં કમ્પ્યુટર આંકડાકીય વિશ્લેષણ પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે.

આકસ્મિક કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, તમે બે ગુણાત્મક લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના જોડાણના માપની ગણતરી કરી શકો છો - આ યુલ એસોસિએશન ગુણાંક છે પ્ર (સહસંબંધ ગુણાંકને અનુરૂપ)

પ્ર 0 થી 1 ની રેન્જમાં આવેલું છે. એકની નજીકનો ગુણાંક લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે મજબૂત જોડાણ સૂચવે છે. જો તે શૂન્યની બરાબર છે, તો ત્યાં કોઈ જોડાણ નથી .

ફી-સ્ક્વેર ગુણાંક (φ 2) એ જ રીતે વપરાય છે

બેન્ચમાર્ક કાર્ય

કોષ્ટક ખોરાક સાથે અને વગર ડ્રોસોફિલાના જૂથોમાં પરિવર્તનની આવર્તન વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે

આકસ્મિક કોષ્ટક વિશ્લેષણ

આકસ્મિક કોષ્ટકનું વિશ્લેષણ કરવા માટે, એક H 0 પૂર્વધારણા આગળ મૂકવામાં આવે છે, એટલે કે, અભ્યાસના પરિણામ પર અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાના પ્રભાવની ગેરહાજરી આ માટે, અપેક્ષિત આવર્તનની ગણતરી કરવામાં આવે છે અને એક અપેક્ષા કોષ્ટક બનાવવામાં આવે છે.

રાહ જોવાનું ટેબલ

પદ્ધતિ નંબર 1

રાહ જોવાની આવર્તન નક્કી કરો:

2756 - એક્સ ;

2. 3561 – 3124

જો જૂથોમાં અવલોકનોની સંખ્યા ઓછી હોય, તો X 2 નો ઉપયોગ કરતી વખતે, અલગ વિતરણો માટે વાસ્તવિક અને અપેક્ષિત ફ્રીક્વન્સીની સરખામણી કરવાના કિસ્સામાં, અચોક્કસતા ઘટાડવા માટે, યેટ્સ કરેક્શનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

જૈવિક સંશોધનની પ્રેક્ટિસમાં, ઘણીવાર એક અથવા બીજી પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવું જરૂરી છે, એટલે કે, પ્રયોગકર્તા દ્વારા મેળવેલી વાસ્તવિક સામગ્રી સૈદ્ધાંતિક ધારણાને કેટલી હદ સુધી પુષ્ટિ આપે છે તે શોધવા માટે, અને વિશ્લેષણ કરાયેલ ડેટા સૈદ્ધાંતિક રીતે અપેક્ષિત સાથે કેટલી હદ સુધી સુસંગત છે. રાશિઓ વાસ્તવિક ડેટા અને સૈદ્ધાંતિક અપેક્ષા વચ્ચેના તફાવતનું આંકડાકીય રીતે મૂલ્યાંકન કરવાનું કાર્ય ઉદ્ભવે છે, કયા કિસ્સાઓમાં અને કયા ડિગ્રીની સંભાવના સાથે આ તફાવતને વિશ્વસનીય ગણી શકાય અને, તેનાથી વિપરીત, જ્યારે તેને તકની મર્યાદામાં મામૂલી, મામૂલી ગણવું જોઈએ. પછીના કિસ્સામાં, પૂર્વધારણા જાળવી રાખવામાં આવે છે, જેના આધારે સૈદ્ધાંતિક રીતે અપેક્ષિત ડેટા અથવા સૂચકાંકોની ગણતરી કરવામાં આવે છે. પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેની આવી વૈવિધ્યસભર-આંકડાકીય તકનીક પદ્ધતિ છે ચી-ચોરસ (χ 2). આ માપને ઘણીવાર "ફીટ માપદંડ" અથવા "પિયર્સનની સારી-સુવિધા-યોગ્ય કસોટી" કહેવામાં આવે છે. તેની સહાયથી, કોઈ પણ વ્યક્તિ, વિવિધ સંભાવનાઓ સાથે, સૈદ્ધાંતિક રીતે અપેક્ષિત લોકો સાથે પ્રાયોગિક રીતે મેળવેલા ડેટાના પત્રવ્યવહારની ડિગ્રી નક્કી કરી શકે છે.

ઔપચારિક દૃષ્ટિકોણથી, બે વિવિધતા શ્રેણી, બે વસ્તીની તુલના કરવામાં આવે છે: એક પ્રયોગમૂલક વિતરણ છે, અન્ય સમાન પરિમાણો સાથેનો નમૂનો છે ( n, એમ, એસવગેરે) એ પ્રયોગમૂલક સમાન છે, પરંતુ તેનું આવર્તન વિતરણ પસંદ કરેલા સૈદ્ધાંતિક કાયદા (સામાન્ય, પોઈસન, દ્વિપદી, વગેરે) અનુસાર સખત રીતે બાંધવામાં આવ્યું છે, જે અભ્યાસ હેઠળના રેન્ડમ ચલની વર્તણૂકનું પાલન કરવાનું માનવામાં આવે છે. .

સામાન્ય રીતે, પાલન માપદંડ માટે સૂત્ર નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

જ્યાં a -અવલોકનોની વાસ્તવિક આવર્તન,

એ -આપેલ વર્ગ માટે સૈદ્ધાંતિક રીતે અપેક્ષિત આવર્તન.

નલ પૂર્વધારણા ધારે છે કે તુલનાત્મક વિતરણો વચ્ચે કોઈ નોંધપાત્ર તફાવત નથી. આ તફાવતોના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, તમારે જટિલ ચી-સ્ક્વેર મૂલ્યોના વિશેષ કોષ્ટકનો સંદર્ભ લેવો જોઈએ (કોષ્ટક 9 પી) અને, ગણતરી કરેલ મૂલ્યની તુલના χ કોષ્ટક સાથે 2, નક્કી કરો કે પ્રયોગમૂલક વિતરણ સૈદ્ધાંતિક વિતરણથી વિશ્વસનીય છે કે અવિશ્વસનીય રીતે વિચલિત થાય છે. આમ, આ તફાવતોની ગેરહાજરી વિશેની પૂર્વધારણાને કાં તો રદિયો આપવામાં આવશે અથવા અમલમાં મૂકવામાં આવશે. જો ગણતરી કરેલ મૂલ્ય χ 2 કોષ્ટકની બરાબર અથવા તેનાથી વધી જાય છે χ ² ( α , ડીએફ), નક્કી કરો કે પ્રાયોગિક વિતરણ સૈદ્ધાંતિક કરતાં નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. આમ, આ તફાવતોની ગેરહાજરી વિશેની પૂર્વધારણાને રદિયો આપવામાં આવશે. જો χ ² < χ ² ( α , ડીએફ), શૂન્ય પૂર્વધારણા માન્ય રહે છે. તે સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે કે સ્વીકાર્ય સ્તરનું મહત્વ α = 0.05, કારણ કે આ કિસ્સામાં શૂન્ય પૂર્વધારણા સાચી હોવાની માત્ર 5% તક છે અને તેથી, તેને નકારવા માટે પૂરતું કારણ (95%) છે.

ચોક્કસ સમસ્યા એ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યાનું યોગ્ય નિર્ધારણ છે ( ડીએફ), જેના માટે માપદંડ મૂલ્યો કોષ્ટકમાંથી લેવામાં આવે છે. વર્ગોની કુલ સંખ્યામાંથી સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા નક્કી કરવા kતમારે અવરોધોની સંખ્યા બાદ કરવાની જરૂર છે (એટલે ​​​​કે સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી કરવા માટે વપરાતા પરિમાણોની સંખ્યા).

અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાના વિતરણના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યાની ગણતરી માટેનું સૂત્ર બદલાશે. માટે વૈકલ્પિકવિતરણ ( k= 2) માત્ર એક પરિમાણ (નમૂનાનું કદ) ગણતરીમાં સામેલ છે, તેથી, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા ડીએફ= k−1=2−1=1. માટે બહુપદીવિતરણ સૂત્ર સમાન છે: ડીએફ= k−1. વિતરણ માટે વિવિધતા શ્રેણીના પત્રવ્યવહારને તપાસવા માટે પોઈસનબે પરિમાણો પહેલેથી ઉપયોગમાં લેવાય છે - નમૂનાનું કદ અને સરેરાશ મૂલ્ય (સંખ્યાત્મક રીતે વિક્ષેપ સાથે સુસંગત); સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા ડીએફ= k−2. પ્રયોગમૂલક વિતરણની સુસંગતતા તપાસતી વખતે, વિકલ્પ સામાન્યઅથવા દ્વિપદીકાયદા અનુસાર, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યાને શ્રેણીના નિર્માણ માટે વાસ્તવિક વર્ગો બાદની ત્રણ શરતો તરીકે લેવામાં આવે છે - નમૂનાનું કદ, સરેરાશ અને વિચલન, ડીએફ= k−3. તે તરત જ નોંધવું યોગ્ય છે કે χ² માપદંડ ફક્ત નમૂનાઓ માટે જ કાર્ય કરે છે ઓછામાં ઓછા 25 પ્રકારનું વોલ્યુમ, અને વ્યક્તિગત વર્ગોની ફ્રીક્વન્સી હોવી જોઈએ 4 કરતા ઓછું નથી.

પ્રથમ, અમે વિશ્લેષણના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટનો ઉપયોગ સમજાવીએ છીએ વૈકલ્પિક પરિવર્તનશીલતા. ટામેટાંની આનુવંશિકતાનો અભ્યાસ કરવાના એક પ્રયોગમાં 3629 લાલ અને 1176 પીળા ફળો મળી આવ્યા હતા. બીજી હાઇબ્રિડ જનરેશનમાં અક્ષરોના વિભાજન માટે ફ્રીક્વન્સીઝનો સૈદ્ધાંતિક ગુણોત્તર 3:1 (75% થી 25%) હોવો જોઈએ. શું તેનો અમલ થઈ રહ્યો છે? બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, શું આ નમૂનો એવી વસ્તીમાંથી લેવામાં આવ્યો છે જેમાં આવર્તન ગુણોત્તર 3:1 અથવા 0.75:0.25 છે?

ચાલો એક કોષ્ટક બનાવીએ (કોષ્ટક 4), પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝના મૂલ્યો અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરીના પરિણામો ભરીને:

A = n∙p,

જ્યાં પી- સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ (આ પ્રકારના વેરિઅન્ટના અપૂર્ણાંક),

n -નમૂનાનું કદ.

ઉદાહરણ તરીકે, એ 2 = n∙p 2 = 4805∙0.25 = 1201.25 ≈ 1201.

આ નોંધમાં, χ 2 વિતરણનો ઉપયોગ નિશ્ચિત સંભાવના વિતરણ સાથે ડેટા સેટની સુસંગતતા ચકાસવા માટે થાય છે. કરાર માપદંડ ઘણીવાર ઓતમે ચોક્કસ કેટેગરીના છો તેની સરખામણી એ ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે કરવામાં આવે છે જે સૈદ્ધાંતિક રીતે અપેક્ષિત છે જો ડેટા ખરેખર ઉલ્લેખિત વિતરણ ધરાવે છે.

χ 2 ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ માપદંડનો ઉપયોગ કરીને પરીક્ષણ ઘણા તબક્કામાં કરવામાં આવે છે. પ્રથમ, ચોક્કસ સંભાવના વિતરણ નક્કી કરવામાં આવે છે અને મૂળ ડેટા સાથે તેની સરખામણી કરવામાં આવે છે. બીજું, એક પૂર્વધારણા પસંદ કરેલ સંભાવના વિતરણના પરિમાણો વિશે આગળ મૂકવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, તેની ગાણિતિક અપેક્ષા) અથવા તેમનું મૂલ્યાંકન હાથ ધરવામાં આવે છે. ત્રીજું, સૈદ્ધાંતિક વિતરણના આધારે, દરેક શ્રેણીને અનુરૂપ સૈદ્ધાંતિક સંભાવના નક્કી કરવામાં આવે છે. છેલ્લે, χ2 પરીક્ષણ આંકડાનો ઉપયોગ ડેટા અને વિતરણની સુસંગતતા ચકાસવા માટે થાય છે:

જ્યાં f0- અવલોકન કરેલ આવર્તન, f e- સૈદ્ધાંતિક અથવા અપેક્ષિત આવર્તન, k- મર્જ કર્યા પછી બાકી રહેલી શ્રેણીઓની સંખ્યા, આર- અંદાજિત પરિમાણોની સંખ્યા.

નોંધ ડાઉનલોડ કરો અથવા ફોર્મેટ કરો, ઉદાહરણો ફોર્મેટમાં

પોઈસન વિતરણ માટે χ 2 ગુડનેસ-ઓફ-ફીટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરવો

Excel માં આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવા માટે, =SUMPRODUCT() ફંક્શન (ફિગ. 1) નો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે.

પરિમાણનો અંદાજ કાઢવો λ તમે અંદાજનો ઉપયોગ કરી શકો છો . સૈદ્ધાંતિક આવર્તન 1. માપદંડ c 2 નો ઉપયોગ કરીને, રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદા વિશેની પૂર્વધારણાને આગળ મૂકો અને પરીક્ષણ કરોસફળતાઓ (X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 અને વધુ) પરિમાણને અનુરૂપ λ = 2.9 ફંક્શન =POISSON.DIST(X;;FALSE) નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. નમૂનાના કદ દ્વારા પોઈસન સંભાવનાનો ગુણાકાર n, અમને સૈદ્ધાંતિક આવર્તન મળે છે f e(ફિગ. 2).

ચોખા. 2. પ્રતિ મિનિટ વાસ્તવિક અને સૈદ્ધાંતિક આગમન દર

ફિગમાંથી નીચે મુજબ. 2, નવ કે તેથી વધુ આગમનની સૈદ્ધાંતિક આવર્તન 1.0 થી વધુ નથી. દરેક કેટેગરીમાં 1.0 અથવા તેથી વધુની આવર્તન છે તેની ખાતરી કરવા માટે, "9 અથવા વધુ" કેટેગરી "8" કેટેગરી સાથે જોડવી જોઈએ. એટલે કે, નવ શ્રેણીઓ રહે છે (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 અને વધુ). પોઈસન વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા નમૂનાના ડેટાના આધારે નક્કી કરવામાં આવતી હોવાથી, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા k – p – 1 = 9 – 1 – 1 = 7 જેટલી છે. 0.05 ના મહત્વના સ્તરનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ χ 2 આંકડાઓનું નિર્ણાયક મૂલ્ય, જે સૂત્ર =CHI2.OBR(1-0.05;7) = 14.067 અનુસાર સ્વતંત્રતાના 7 ડિગ્રી ધરાવે છે. નિર્ણય નિયમ નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: પૂર્વધારણા એચ 0નકારવામાં આવે છે જો χ 2 > 14.067, અન્યથા પૂર્વધારણા એચ 0વિચલિત થતું નથી.

χ 2 ની ગણતરી કરવા માટે આપણે સૂત્ર (1) (ફિગ. 3) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

ચોખા. 3. પોઈસન વિતરણ માટે χ 2 -ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ માપદંડની ગણતરી

χ 2 = 2.277 થી< 14,067, следует, что гипотезу એચ 0નકારી શકાય નહીં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમારી પાસે એવું કહેવાનું કોઈ કારણ નથી કે બેંકમાં ગ્રાહકોનું આગમન પોઈસન વિતરણનું પાલન કરતું નથી.

સામાન્ય વિતરણ માટે χ 2 -ગુડનેસ-ઓફ-ફીટ ટેસ્ટની અરજી

અગાઉની નોંધોમાં, જ્યારે સંખ્યાત્મક ચલો વિશેની પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવામાં આવ્યું હતું, ત્યારે અમે ધાર્યું હતું કે અભ્યાસ હેઠળની વસ્તી સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવી હતી. આ ધારણાને ચકાસવા માટે, તમે ગ્રાફિકલ ટૂલ્સનો ઉપયોગ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, બોક્સ પ્લોટ અથવા સામાન્ય વિતરણ ગ્રાફ (વધુ વિગતો માટે, જુઓ). મોટા નમૂનાના કદ માટે, સામાન્ય વિતરણ માટે χ 2 ગુડનેસ-ઓફ-ફીટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ આ ધારણાઓને ચકાસવા માટે કરી શકાય છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, 158 રોકાણ ભંડોળના 5-વર્ષના વળતર પરના ડેટાને ધ્યાનમાં લઈએ (ફિગ. 4). ધારો કે તમે માનવા માંગો છો કે ડેટા સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે કે કેમ. નલ અને વૈકલ્પિક પૂર્વધારણાઓ નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે: એચ 0: 5-વર્ષની ઉપજ સામાન્ય વિતરણને અનુસરે છે, એચ 1: 5-વર્ષની ઉપજ સામાન્ય વિતરણને અનુસરતી નથી. સામાન્ય વિતરણમાં બે પરિમાણો છે - ગાણિતિક અપેક્ષા μ અને પ્રમાણભૂત વિચલન σ, જે નમૂનાના ડેટાના આધારે અંદાજિત કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં = 10.149 અને એસ = 4,773.

ચોખા. 4. 158 ફંડના પાંચ વર્ષના સરેરાશ વાર્ષિક વળતર પરનો ડેટા ધરાવતો ઓર્ડર કરેલ એરે

ભંડોળના વળતર પરના ડેટાને જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, 5% (ફિગ. 5) ની પહોળાઈ સાથે વર્ગો (અંતરાલ) માં.

ચોખા. 5. 158 ફંડના પાંચ વર્ષના સરેરાશ વાર્ષિક વળતર માટે આવર્તન વિતરણ

સામાન્ય વિતરણ સતત હોવાથી, સામાન્ય વિતરણ વળાંક અને દરેક અંતરાલની સીમાઓ દ્વારા બંધાયેલા આંકડાઓનો વિસ્તાર નક્કી કરવો જરૂરી છે. વધુમાં, સામાન્ય વિતરણ સૈદ્ધાંતિક રીતે –∞ થી +∞ સુધીનું હોવાથી, વર્ગની સીમાઓની બહાર આવતા આકારોના વિસ્તારને ધ્યાનમાં લેવો જરૂરી છે. તેથી, બિંદુ -10 ની ડાબી તરફના સામાન્ય વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર, Z મૂલ્યની ડાબી બાજુએ પ્રમાણિત સામાન્ય વળાંક હેઠળ પડેલા આકૃતિના વિસ્તાર જેટલો છે.

Z = (–10 – 10.149) / 4.773 = –4.22

Z = –4.22 મૂલ્યની ડાબી બાજુએ પ્રમાણિત સામાન્ય વળાંક હેઠળ સ્થિત આકૃતિનો વિસ્તાર સૂત્ર =NORM.DIST(-10;10.149;4.773;TRUE) દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે અને તે લગભગ 0.00001 ની બરાબર છે. પોઈન્ટ –10 અને –5 વચ્ચેના સામાન્ય વળાંક હેઠળ પડેલા આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમારે પહેલા બિંદુ –5 ની ડાબી બાજુએ પડેલી આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર છે: =NORM.DIST( -5,10.149,4.773,TRUE) = 0.00075 . તેથી, બિંદુઓ –10 અને –5 વચ્ચેના સામાન્ય વળાંક હેઠળ પડેલા આકૃતિનો વિસ્તાર 0.00075 – 0.00001 = 0.00074 છે. એ જ રીતે, તમે દરેક વર્ગની સીમાઓ દ્વારા મર્યાદિત આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકો છો (ફિગ. 6).

ચોખા. 6. 5-વર્ષના વળતરના દરેક વર્ગ માટે વિસ્તારો અને અપેક્ષિત ફ્રીક્વન્સીઝ

તે જોઈ શકાય છે કે ચાર આત્યંતિક વર્ગો (બે લઘુત્તમ અને બે મહત્તમ) માં સૈદ્ધાંતિક આવર્તન 1 કરતા ઓછી છે, તેથી અમે વર્ગોને જોડીશું, જેમ કે આકૃતિ 7 માં બતાવ્યા પ્રમાણે.

ચોખા. 7. સામાન્ય વિતરણ માટે χ 2 ગુડનેસ-ઓફ-ફીટ ટેસ્ટના ઉપયોગ સાથે સંકળાયેલી ગણતરીઓ

અમે ફોર્મ્યુલા (1) નો ઉપયોગ કરીને ડેટા અને સામાન્ય વિતરણ વચ્ચેના કરાર માટે χ 2 પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમારા ઉદાહરણમાં, મર્જ કર્યા પછી, છ વર્ગો રહે છે. સેમ્પલ ડેટા પરથી અપેક્ષિત મૂલ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ હોવાથી, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા છે k – પી – 1 = 6 – 2 – 1 = 3. 0.05 ના મહત્વના સ્તરનો ઉપયોગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ કે χ 2 આંકડાનું નિર્ણાયક મૂલ્ય, જેમાં ત્રણ ડિગ્રી સ્વતંત્રતા છે = CI2.OBR(1-0.05;F3) = 7.815. χ 2 ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ માપદંડના ઉપયોગ સાથે સંકળાયેલી ગણતરીઓ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 7.

તે જોઈ શકાય છે કે χ 2 -statistic = 3.964< χ U 2 7,815, следовательно гипотезу એચ 0નકારી શકાય નહીં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમારી પાસે એવું માનવા માટે કોઈ કારણ નથી કે ઉચ્ચ-વૃદ્ધિવાળા રોકાણ ભંડોળનું 5-વર્ષનું વળતર સામાન્ય રીતે વિતરિત થતું નથી.

કેટલીક તાજેતરની પોસ્ટ્સે સ્પષ્ટ ડેટાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે વિવિધ અભિગમોની શોધ કરી છે. બે અથવા વધુ સ્વતંત્ર નમૂનાઓના પૃથ્થકરણમાંથી મેળવેલ સ્પષ્ટ માહિતી વિશેની પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવાની પદ્ધતિઓ વર્ણવવામાં આવી છે. ચી-સ્ક્વેર પરીક્ષણો ઉપરાંત, નોનપેરામેટ્રિક પ્રક્રિયાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. વિલ્કોક્સન રેન્ક ટેસ્ટનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે, જેનો ઉપયોગ એવી પરિસ્થિતિઓમાં થાય છે જ્યાં એપ્લિકેશનની શરતો પૂરી થતી નથી t-બે સ્વતંત્ર જૂથોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓની સમાનતા વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેના માપદંડ, તેમજ ક્રુસ્કલ-વોલિસ ટેસ્ટ, જે ભિન્નતાના એક-પરિબળ વિશ્લેષણનો વિકલ્પ છે (ફિગ. 8).

ચોખા. 8. સ્પષ્ટ ડેટા વિશે પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવા માટેની પદ્ધતિઓનો બ્લોક ડાયાગ્રામ

લેવિન એટ અલ મેનેજર્સ માટેના આંકડાઓ પુસ્તકમાંથી સામગ્રીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. – એમ.: વિલિયમ્સ, 2004. – પી. 763–769