વ્યુત્પન્ન શું છે?

ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક.

વ્યુત્પન્ન એ ઉચ્ચ ગણિતની મુખ્ય વિભાવનાઓમાંની એક છે. આ પાઠમાં આપણે આ ખ્યાલ રજૂ કરીશું. ચાલો કડક ગાણિતિક ફોર્મ્યુલેશન અને પુરાવા વિના, એકબીજાને જાણીએ.

આ પરિચય તમને આની મંજૂરી આપશે:

ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સરળ કાર્યોના સારને સમજો;

આ સરળ કાર્યોને સફળતાપૂર્વક હલ કરો;

ડેરિવેટિવ્ઝ પર વધુ ગંભીર પાઠ માટે તૈયાર કરો.

પ્રથમ - એક સુખદ આશ્ચર્ય.)

વ્યુત્પન્નની કડક વ્યાખ્યા મર્યાદાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે અને બાબત એકદમ જટિલ છે. આ અસ્વસ્થ છે. પરંતુ ડેરિવેટિવ્ઝની પ્રાયોગિક એપ્લિકેશન, એક નિયમ તરીકે, આવા વ્યાપક અને ઊંડા જ્ઞાનની જરૂર નથી!

શાળા અને યુનિવર્સિટીમાં મોટાભાગના કાર્યો સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કરવા માટે, તે જાણવું પૂરતું છે માત્ર થોડી શરતો- કાર્યને સમજવા માટે, અને માત્ર થોડા નિયમો- તેને ઉકેલવા માટે. બસ એટલું જ. આ મને ખુશ કરે છે.

ચાલો પરિચિત થવાનું શરૂ કરીએ?)

શરતો અને હોદ્દો.

પ્રાથમિક ગણિતમાં ઘણી વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ છે. સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ઘાત, લઘુગણક, વગેરે. જો તમે આ ઑપરેશનમાં વધુ એક ઑપરેશન ઉમેરશો, તો પ્રાથમિક ગણિત વધારે હશે. આ નવી કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવતઆ કામગીરીની વ્યાખ્યા અને અર્થની ચર્ચા અલગ પાઠમાં કરવામાં આવશે.

અહીં એ સમજવું અગત્યનું છે કે ભિન્નતા એ ફંક્શન પરની ગાણિતિક ક્રિયા છે. અમે કોઈપણ કાર્ય લઈએ છીએ અને, ચોક્કસ નિયમો અનુસાર, તેને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. પરિણામ એક નવું કાર્ય હશે. આ નવા કાર્યને કહેવામાં આવે છે: વ્યુત્પન્ન

ભિન્નતા- કાર્ય પર ક્રિયા.

વ્યુત્પન્ન- આ ક્રિયાનું પરિણામ.

જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, સરવાળો- ઉમેરાનું પરિણામ. અથવા ખાનગી- વિભાજનનું પરિણામ.

શરતોને જાણીને, તમે ઓછામાં ઓછા કાર્યોને સમજી શકો છો.) ફોર્મ્યુલેશન નીચે મુજબ છે: કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો; વ્યુત્પન્ન લો; કાર્યને અલગ પાડવું; વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરોવગેરે આ બધું છે એક અને સમાન.અલબત્ત, ત્યાં વધુ જટિલ કાર્યો પણ છે, જ્યાં વ્યુત્પન્ન (ભિન્નતા) શોધવી એ સમસ્યાને ઉકેલવામાં માત્ર એક પગલું હશે.

ડેરિવેટિવ ફંક્શનની ઉપર જમણી બાજુએ ડેશ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આની જેમ: y"અથવા f"(x)અથવા S"(t)અને તેથી વધુ.

વાંચન igrek સ્ટ્રોક, ef સ્ટ્રોક x માંથી, es સ્ટ્રોક te થી,સારું, તમે સમજો છો ...)

પ્રાઇમ ચોક્કસ કાર્યના વ્યુત્પન્નને પણ સૂચવી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)"વગેરે ઘણીવાર ડેરિવેટિવ્ઝને ડિફરન્સિયલનો ઉપયોગ કરીને સૂચવવામાં આવે છે, પરંતુ અમે આ પાઠમાં આવા સંકેતને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં.

ચાલો માની લઈએ કે આપણે કાર્યોને સમજવાનું શીખ્યા છીએ. તેમને કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખવાનું બાકી છે.) ચાલો હું તમને ફરી એકવાર યાદ અપાવી દઉં: વ્યુત્પન્ન શોધવું ચોક્કસ નિયમો અનુસાર કાર્યનું પરિવર્તન.આશ્ચર્યજનક રીતે, આમાંના ઘણા ઓછા નિયમો છે.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે ફક્ત ત્રણ વસ્તુઓ જાણવાની જરૂર છે. ત્રણ સ્તંભો જેના પર તમામ ભિન્નતા ઊભી છે. અહીં તેઓ આ ત્રણ સ્તંભો છે:

1. ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક (વિભેદક સૂત્રો).

3. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.

ચાલો ક્રમમાં શરૂ કરીએ. આ પાઠમાં આપણે ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક જોઈશું.

ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક.

વિશ્વમાં અસંખ્ય કાર્યો છે. આ સમૂહમાં એવા કાર્યો છે જે વ્યવહારિક ઉપયોગ માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે. આ કાર્યો પ્રકૃતિના તમામ નિયમોમાં જોવા મળે છે. આ ફંક્શન્સમાંથી, જેમ કે ઇંટોમાંથી, તમે બીજા બધાને બનાવી શકો છો. કાર્યોના આ વર્ગને કહેવામાં આવે છે પ્રાથમિક કાર્યો.તે આ કાર્યો છે જે શાળામાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે - રેખીય, ચતુર્ભુજ, હાયપરબોલા, વગેરે.

"શરૂઆતથી" કાર્યોનો તફાવત, એટલે કે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા અને મર્યાદાના સિદ્ધાંતના આધારે, આ એક જગ્યાએ શ્રમ-સઘન વસ્તુ છે. અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ પણ લોકો છે, હા, હા!) તેથી તેઓએ તેમના (અને આપણા) જીવનને સરળ બનાવ્યું. તેઓએ અમારી સમક્ષ પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરી. પરિણામ એ ડેરિવેટિવ્ઝનું ટેબલ છે, જ્યાં બધું તૈયાર છે.)

અહીં તે છે, સૌથી લોકપ્રિય કાર્યો માટે આ પ્લેટ. ડાબી બાજુએ પ્રાથમિક કાર્ય છે, જમણી બાજુએ તેનું વ્યુત્પન્ન છે.

	કાર્ય y	ફંક્શન y નું વ્યુત્પન્ન y"
1	C (સતત મૂલ્ય)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - કોઈપણ સંખ્યા)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	પાપ x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - પાપ x
	tg x
	ctg x
5	આર્ક્સીન એક્સ
	આર્કોસ એક્સ
	આર્ક્ટન એક્સ
	arcctg x
4	a x
	ઇ x
5	લોગ a x
	ln x ( a = e)

હું ડેરિવેટિવ્ઝના આ કોષ્ટકમાં કાર્યોના ત્રીજા જૂથ પર ધ્યાન આપવાની ભલામણ કરું છું. પાવર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ સૌથી સામાન્ય સૂત્રોમાંથી એક છે, જો સૌથી સામાન્ય ન હોય તો! શું તમને સંકેત મળે છે?) હા, ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક હૃદયથી જાણવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. માર્ગ દ્વારા, આ લાગે તેટલું મુશ્કેલ નથી. વધુ ઉદાહરણો હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો, ટેબલ પોતે જ યાદ રાખવામાં આવશે!)

ડેરિવેટિવનું કોષ્ટક મૂલ્ય શોધવું, જેમ તમે સમજો છો, એ સૌથી મુશ્કેલ કાર્ય નથી. તેથી, ઘણી વાર આવા કાર્યોમાં વધારાની ચિપ્સ હોય છે. ક્યાં તો કાર્યના શબ્દોમાં, અથવા મૂળ કાર્યમાં, જે ટેબલમાં હોય તેવું લાગતું નથી...

ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ:

1. ફંક્શન y = x નું વ્યુત્પન્ન શોધો 3

કોષ્ટકમાં આવું કોઈ કાર્ય નથી. પરંતુ સામાન્ય સ્વરૂપ (ત્રીજા જૂથ) માં પાવર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન છે. અમારા કિસ્સામાં n=3. તેથી અમે n ને બદલે ત્રણ બદલીએ છીએ અને કાળજીપૂર્વક પરિણામ લખીએ છીએ:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

બસ.

જવાબ: y" = 3x 2

2. x = 0 બિંદુ પર ફંક્શન y = sinx ના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

આ કાર્યનો અર્થ એ છે કે તમારે પહેલા સાઈનનું વ્યુત્પન્ન શોધવું જોઈએ, અને પછી મૂલ્યને બદલવું જોઈએ x = 0આ ખૂબ જ વ્યુત્પન્ન માં. બરાબર એ ક્રમમાં!નહિંતર, એવું બને છે કે તેઓ તરત જ મૂળ ફંક્શનમાં શૂન્યને બદલે છે... અમને મૂળ ફંક્શનની કિંમત નહીં, પરંતુ મૂલ્ય શોધવાનું કહેવામાં આવે છે. તેનું વ્યુત્પન્ન.વ્યુત્પન્ન, હું તમને યાદ કરાવું, એક નવું કાર્ય છે.

ટેબ્લેટનો ઉપયોગ કરીને આપણે સાઈન અને અનુરૂપ વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

y" = (sin x)" = cosx

અમે વ્યુત્પન્નમાં શૂન્યને બદલીએ છીએ:

y"(0) = cos 0 = 1

આ જવાબ હશે.

3. કાર્યને અલગ પાડો:

શું, તે પ્રેરણા આપે છે?) ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં આવું કોઈ કાર્ય નથી.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે ફંક્શનને અલગ પાડવા માટે ફક્ત આ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાનું છે. જો તમે પ્રાથમિક ત્રિકોણમિતિ ભૂલી જાઓ છો, તો અમારા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવું ખૂબ જ મુશ્કેલીભર્યું છે. ટેબલ મદદ કરતું નથી ...

પરંતુ જો આપણે જોઈએ કે આપણું કાર્ય છે ડબલ એંગલ કોસાઇન, પછી બધું તરત જ સારું થઈ જાય છે!

હા, હા! યાદ રાખો કે મૂળ કાર્યને રૂપાંતરિત કરવું ભેદભાવ પહેલાંતદ્દન સ્વીકાર્ય! અને તે જીવનને ઘણું સરળ બનાવે છે. ડબલ એંગલ કોસાઇન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને:

તે. અમારા મુશ્કેલ કાર્ય કરતાં વધુ કંઈ નથી y = cosx. અને આ એક ટેબલ ફંક્શન છે. અમને તરત જ મળે છે:

જવાબ: y" = - પાપ x.

અદ્યતન સ્નાતકો અને વિદ્યાર્થીઓ માટેનું ઉદાહરણ:

4. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

અલબત્ત, ડેરિવેટિવ્ઝ ટેબલમાં આવું કોઈ કાર્ય નથી. પરંતુ જો તમને પ્રાથમિક ગણિત, શક્તિઓ સાથેની કામગીરી યાદ હોય... તો આ કાર્યને સરળ બનાવવું તદ્દન શક્ય છે. આની જેમ:

અને દસમા ભાગની ઘાત x એ પહેલેથી જ ટેબ્યુલર ફંક્શન છે! ત્રીજું જૂથ, n=1/10. અમે સૂત્ર અનુસાર સીધા લખીએ છીએ:

બસ. આ જવાબ હશે.

હું આશા રાખું છું કે ભિન્નતાના પ્રથમ સ્તંભ - ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટક સાથે બધું સ્પષ્ટ છે. તે બે બાકી વ્હેલ સાથે વ્યવહાર કરવા માટે રહે છે. આગળના પાઠમાં આપણે ભિન્નતાના નિયમો શીખીશું.

એક ચલના કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.

પરિચય.

આ પદ્ધતિસરના વિકાસ ઔદ્યોગિક અને સિવિલ એન્જિનિયરિંગ ફેકલ્ટીના વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે. તેઓ "એક ચલના કાર્યોના વિભેદક કલન" વિભાગમાં ગણિતના કોર્સ પ્રોગ્રામના સંબંધમાં સંકલિત કરવામાં આવ્યા હતા.

વિકાસ એક પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે: સંક્ષિપ્ત સૈદ્ધાંતિક માહિતી; "માનક" સમસ્યાઓ અને આ ઉકેલો માટે વિગતવાર ઉકેલો અને સમજૂતી સાથે કસરતો; પરીક્ષણ વિકલ્પો.

દરેક ફકરાના અંતે વધારાની કસરતો છે. વિકાસની આ રચના તેમને શિક્ષકની ન્યૂનતમ સહાય સાથે વિભાગમાં સ્વતંત્ર નિપુણતા માટે યોગ્ય બનાવે છે.

§1. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા.

યાંત્રિક અને ભૌમિતિક અર્થ

વ્યુત્પન્ન

ડેરિવેટિવની વિભાવના એ ગાણિતિક વિશ્લેષણની સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિભાવનાઓમાંની એક છે જે 17મી સદીમાં ઉદ્ભવી હતી. વ્યુત્પન્નની વિભાવનાની રચના ઐતિહાસિક રીતે બે સમસ્યાઓ સાથે સંકળાયેલી છે: વૈકલ્પિક ગતિની ગતિની સમસ્યા અને વળાંકમાં સ્પર્શકની સમસ્યા.

આ સમસ્યાઓ, તેમની વિવિધ સામગ્રી હોવા છતાં, સમાન ગાણિતિક ક્રિયા તરફ દોરી જાય છે જે ફંક્શન પર થવી જોઈએ. આ કામગીરીને ગણિતમાં વિશેષ નામ પ્રાપ્ત થયું છે. તેને ફંક્શનના ભિન્નતાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે. ડિફરન્સિએશન ઓપરેશનના પરિણામને ડેરિવેટિવ કહેવામાં આવે છે.

તેથી, x0 બિંદુ પર ફંક્શન y=f(x) નું વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) છે.
ખાતે
.

વ્યુત્પન્ન સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ સૂચવવામાં આવે છે:
.

આમ, વ્યાખ્યા દ્વારા

પ્રતીકોનો ઉપયોગ ડેરિવેટિવ્ઝ દર્શાવવા માટે પણ થાય છે
.

વ્યુત્પન્નનો યાંત્રિક અર્થ.

જો s=s(t) એ ભૌતિક બિંદુની રેક્ટીલીનિયર ગતિનો નિયમ છે, તો પછી
ટી સમયે આ બિંદુની ગતિ છે.

વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ.

જો કાર્ય y=f(x) બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન હોય , પછી બિંદુ પરના કાર્યના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક
બરાબર
.

ઉદાહરણ.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
બિંદુ પર =2:

1) ચાલો તેને એક બિંદુ આપીએ =2 વધારો
. તેની નોંધ લો.

2) બિંદુ પર કાર્યની વૃદ્ધિ શોધો =2:

3) ચાલો ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના ઇન્ક્રીમેન્ટનો ગુણોત્તર બનાવીએ:

ચાલો પર ગુણોત્તરની મર્યાદા શોધીએ
:

.

આમ,
.

§ 2. કેટલાકના ડેરિવેટિવ્ઝ

સરળ કાર્યો.

વિદ્યાર્થીએ ચોક્કસ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે શીખવાની જરૂર છે: y=x,y= અને સામાન્ય રીતે= .

ચાલો ફંક્શન y=x નું વ્યુત્પન્ન શોધીએ.

તે (x)′=1.

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ

વ્યુત્પન્ન

દો
પછી

પાવર ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના અભિવ્યક્તિઓમાં પેટર્નની નોંધ લેવી સરળ છે
n=1,2,3 સાથે.

આથી,

. (1)

આ સૂત્ર કોઈપણ વાસ્તવિક n માટે માન્ય છે.

ખાસ કરીને, સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને, અમારી પાસે છે:

;

.

ઉદાહરણ.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

.

.

આ ફંક્શન એ ફોર્મના ફંક્શનનો ખાસ કેસ છે

ખાતે
.

સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને, અમારી પાસે છે

.

ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ y=sin x અને y=cos x.

y=sinx દો.

∆x વડે ભાગાકાર કરીએ તો આપણને મળે છે

∆x→0 ની મર્યાદામાં પસાર થવું, આપણી પાસે છે

ચાલો y=cosx.

∆x→0 ની મર્યાદામાં પસાર થવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

;
. (2)

§3. ભિન્નતાના મૂળભૂત નિયમો.

ચાલો ભિન્નતાના નિયમોને ધ્યાનમાં લઈએ.

પ્રમેય1 . જો આપેલ બિંદુએક્સ પર u=u(x) અને v=v(x) વિધેયો વિભેદક હોય, તો આ બિંદુએ તેમનો સરવાળો પણ વિભેદક હોય છે, અને સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન પદના વ્યુત્પન્નના સરવાળા જેટલું હોય છે. : (u+v)"=u"+v".(3 )

સાબિતી: ફંક્શન y=f(x)=u(x)+v(x) ને ધ્યાનમાં લો.

દલીલ x નો વધારો ∆x એ u અને v ફંક્શનના ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ના વધારાને અનુરૂપ છે. પછી ફંક્શન y વધશે

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

આથી,

તેથી, (u+v)"=u"+v".

પ્રમેય2. જો ફંક્શન્સ u=u(x) અને v=v(x) આપેલ પોઈન્ટએક્સ પર ભિન્ન હોય, તો તેમના ઉત્પાદન સમાન બિંદુ પર અલગ પડે છે, આ કિસ્સામાં, ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન નીચેના સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે: ( uv)"=u"v+uv". (4)

સાબિતી: ચાલો y=uv, જ્યાં u અને v એ x ના કેટલાક વિભેદક કાર્યો છે. ચાલો x ને ∆x નો વધારો આપીએ; પછી તમને ∆u નો વધારો મળશે, v ને ∆v નો વધારો મળશે અને y ને ∆y નો વધારો મળશે.

અમારી પાસે y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), અથવા છે

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

તેથી, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

અહીંથી

∆x→0 ની મર્યાદામાં પસાર થવું અને u અને v ∆x પર નિર્ભર નથી તે ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે હશે

પ્રમેય 3. બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન એ અપૂર્ણાંક જેટલું છે, જેનો છેદ ભાજકના વર્ગ જેટલો છે, અને અંશ એ વિભાજક દ્વારા ડિવિડન્ડના વ્યુત્પન્નના ગુણાંક અને તેના ગુણાંક વચ્ચેનો તફાવત છે. વિભાજકના વ્યુત્પન્ન દ્વારા ડિવિડન્ડ, એટલે કે.

જો
તે
(5)

પ્રમેય 4.અચળનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે, એટલે કે. જો y=C, જ્યાં C=const, તો y"=0.

પ્રમેય 5.સતત પરિબળ વ્યુત્પન્નના ચિહ્નમાંથી લઈ શકાય છે, એટલે કે. જો y=Cu(x), જ્યાં C=const, તો y"=Cu"(x).

ઉદાહરણ 1.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

.

આ ફંક્શનમાં ફોર્મ છે
, whereu=x,v=cosx. ભિન્નતા નિયમ (4) લાગુ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ

.

ઉદાહરણ 2.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

.

ચાલો સૂત્ર (5) લાગુ કરીએ.

અહીં
;
.

કાર્યો.

નીચેના કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

આ લેખમાં આપણે મૂળભૂત ખ્યાલો આપીશું કે જેના પર એક ચલના કાર્યના વ્યુત્પન્ન વિષય પરના તમામ આગળના સિદ્ધાંતો આધારિત હશે.

પાથ x એ ફંક્શન f(x) ની દલીલ છે અને શૂન્યથી અલગ નાની સંખ્યા છે.

("ડેલ્ટા એક્સ" વાંચો) કહેવાય છે ફંક્શન દલીલમાં વધારો. આકૃતિમાં, લાલ રેખા દલીલમાં મૂલ્ય x થી મૂલ્યમાં ફેરફાર દર્શાવે છે (તેથી દલીલના "વૃદ્ધિ" નામનો સાર).

જ્યારે દલીલના મૂલ્યમાંથી ફંક્શનના મૂલ્યો તરફ આગળ વધતા હોય ત્યારે તે મુજબ માંથી માં બદલાય છે, જો કે અંતરાલ પર ફંક્શન મોનોટોનિક હોય. તફાવત કહેવાય છે કાર્ય f(x) નો વધારો, આ દલીલના વધારાને અનુરૂપ. આકૃતિમાં, ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટ વાદળી રેખા સાથે બતાવવામાં આવે છે.

ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ વિભાવનાઓને જોઈએ.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન લઈએ . ચાલો બિંદુ અને દલીલના વધારાને ઠીક કરીએ. આ કિસ્સામાં, જ્યારે માંથી તરફ જતી વખતે કાર્યનો વધારો બરાબર હશે

નકારાત્મક વધારો સેગમેન્ટ પરના કાર્યમાં ઘટાડો સૂચવે છે.

ગ્રાફિક ચિત્ર

એક બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન નક્કી કરવું.

ફંક્શન f(x) ને અંતરાલ (a; b) પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને અને આ અંતરાલના બિંદુઓ બનો. બિંદુ પર ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્નપર દલીલની વૃદ્ધિ અને ફંક્શનના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા કહેવાય છે. નિયુક્ત .

જ્યારે છેલ્લી મર્યાદા ચોક્કસ અંતિમ મૂલ્ય લે છે, ત્યારે આપણે અસ્તિત્વ વિશે વાત કરીએ છીએ બિંદુ પર મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન. જો મર્યાદા અનંત છે, તો તેઓ કહે છે કે વ્યુત્પન્ન આપેલ બિંદુ પર અનંત છે. જો મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી, તો પછી આ બિંદુએ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.

ફંક્શન f(x) કહેવાય છે બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું, જ્યારે તેમાં મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન હોય છે.

જો ફંક્શન f(x) ચોક્કસ અંતરાલ (a; b) ના દરેક બિંદુએ અલગ કરી શકાય તેવું હોય, તો આ અંતરાલ પર ફંક્શનને ડિફરન્સિએબલ કહેવામાં આવે છે. આમ, અંતરાલ (a; b) માંથી કોઈપણ બિંદુ x આ બિંદુએ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે, એટલે કે, અમારી પાસે એક નવું કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરવાની તક છે, જેને કહેવામાં આવે છે અંતરાલ (a; b) પર ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન.

વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવત.

ચાલો આપણે એક બિંદુ પર અને અંતરાલ પર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની વિભાવનાઓની પ્રકૃતિમાં તફાવત કરીએ: બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ સંખ્યા છે, અને અંતરાલ પરના ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શન છે.

ચાલો ચિત્રને વધુ સ્પષ્ટ કરવા ઉદાહરણો સાથે આને જોઈએ. ભિન્નતા કરતી વખતે, અમે વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીશું, એટલે કે, અમે મર્યાદા શોધવા આગળ વધીશું. જો મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય, તો અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે સિદ્ધાંત વિભાગનો સંદર્ભ લો.

ઉદાહરણ.

વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો.

ઉકેલ.

આપણે એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધી રહ્યા હોવાથી, જવાબમાં સંખ્યા હોવી આવશ્યક છે. ચાલો ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટના ગુણોત્તરની મર્યાદા અને દલીલના ઇન્ક્રીમેન્ટને લખીએ અને ત્રિકોણમિતિના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ:

વ્યુત્પન્ન શું છે?
વ્યુત્પન્ન કાર્યની વ્યાખ્યા અને અર્થ

એક ચલ અને તેની એપ્લિકેશનના કાર્યના વ્યુત્પન્ન પરના મારા લેખકના અભ્યાસક્રમમાં આ લેખની અણધારી પ્લેસમેન્ટથી ઘણાને આશ્ચર્ય થશે. છેવટે, જેમ કે તે શાળાના સમયથી છે: પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તક સૌ પ્રથમ વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા, તેના ભૌમિતિક, યાંત્રિક અર્થ આપે છે. આગળ, વિદ્યાર્થીઓ વ્યાખ્યા દ્વારા વિધેયોના વ્યુત્પન્ન શોધે છે, અને, વાસ્તવમાં, ત્યારે જ તેઓ ભિન્નતાની તકનીકનો ઉપયોગ કરીને પરિપૂર્ણ કરે છે. વ્યુત્પન્ન કોષ્ટકો.

પરંતુ મારા દૃષ્ટિકોણથી, નીચેનો અભિગમ વધુ વ્યવહારિક છે: સૌ પ્રથમ, તે સારી રીતે સમજવું સલાહભર્યું છે કાર્યની મર્યાદા, અને, ખાસ કરીને, અનંત માત્રામાં. મુદ્દો એ છે કે વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા મર્યાદાના ખ્યાલ પર આધારિત છે, જે શાળાના અભ્યાસક્રમમાં ખરાબ રીતે ગણવામાં આવે છે. તેથી જ જ્ઞાનના ગ્રેનાઈટના યુવા ગ્રાહકોનો નોંધપાત્ર ભાગ વ્યુત્પન્નના સારને સમજી શકતો નથી. આમ, જો તમને ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસની થોડી સમજ હોય ​​અથવા સમજદાર મગજે ઘણા વર્ષોથી સફળતાપૂર્વક આ સામાનમાંથી મુક્તિ મેળવી હોય, તો કૃપા કરીને શરૂઆત કરો. કાર્ય મર્યાદા. તે જ સમયે, તેમના ઉકેલને માસ્ટર/યાદ રાખો.

સમાન વ્યવહારુ અર્થ સૂચવે છે કે તે પ્રથમ ફાયદાકારક છે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું શીખો, સહિત જટિલ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ. સિદ્ધાંત સિદ્ધાંત છે, પરંતુ, જેમ તેઓ કહે છે, તમે હંમેશા તફાવત કરવા માંગો છો. આ સંદર્ભે, સૂચિબદ્ધ મૂળભૂત પાઠો દ્વારા કામ કરવું વધુ સારું છે, અને કદાચ ભિન્નતાના માસ્ટરતેમની ક્રિયાઓના સારને સમજ્યા વિના.

હું લેખ વાંચ્યા પછી આ પૃષ્ઠ પરની સામગ્રીથી પ્રારંભ કરવાની ભલામણ કરું છું. ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સૌથી સરળ સમસ્યાઓ, જ્યાં, ખાસ કરીને, ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શકની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. પરંતુ તમે રાહ જોઈ શકો છો. હકીકત એ છે કે ડેરિવેટિવની ઘણી એપ્લિકેશનોને તેને સમજવાની જરૂર હોતી નથી, અને તે આશ્ચર્યજનક નથી કે સૈદ્ધાંતિક પાઠ ખૂબ મોડો દેખાયો - જ્યારે મને સમજાવવાની જરૂર પડી વધતા/ઘટાતા અંતરાલો અને ચરમસીમા શોધવીકાર્યો તદુપરાંત, તે લાંબા સમયથી આ વિષય પર હતો. કાર્યો અને આલેખ”, જ્યાં સુધી મેં આખરે તેને વહેલું મૂકવાનું નક્કી કર્યું નહીં.

તેથી, પ્રિય ટીપોટ્સ, ભૂખ્યા પ્રાણીઓની જેમ વ્યુત્પન્નના સારને શોષવા માટે ઉતાવળ કરશો નહીં, કારણ કે સંતૃપ્તિ સ્વાદહીન અને અપૂર્ણ હશે.

કાર્યના વધતા, ઘટતા, મહત્તમ, લઘુત્તમનો ખ્યાલ

ઘણી પાઠ્યપુસ્તકો કેટલીક વ્યવહારુ સમસ્યાઓની મદદથી ડેરિવેટિવ્ઝની વિભાવના રજૂ કરે છે, અને હું એક રસપ્રદ ઉદાહરણ પણ લઈને આવ્યો છું. કલ્પના કરો કે આપણે એવા શહેરમાં જવાના છીએ કે જ્યાં સુધી જુદી જુદી રીતે પહોંચી શકાય. ચાલો તરત જ વળાંકવાળા પાથને છોડી દઈએ અને માત્ર સીધા હાઈવે પર વિચાર કરીએ. જો કે, સીધી-રેખા દિશાઓ પણ અલગ છે: તમે સરળ હાઇવે સાથે શહેરમાં જઈ શકો છો. અથવા ડુંગરાળ હાઇવે સાથે - ઉપર અને નીચે, ઉપર અને નીચે. બીજો રસ્તો માત્ર ચઢાવ પર જાય છે, અને બીજો રસ્તો બધા સમયે ઉતાર પર જાય છે. આત્યંતિક ઉત્સાહીઓ ઢાળવાળી ભેખડ અને બેહદ ચઢાણ સાથેના ઘાટમાંથી માર્ગ પસંદ કરશે.

પરંતુ તમારી પસંદગીઓ ગમે તે હોય, તે વિસ્તારને જાણવો અથવા ઓછામાં ઓછો તેનો ટોપોગ્રાફિક નકશો રાખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. જો આવી માહિતી ખૂટે તો શું? છેવટે, તમે પસંદ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, એક સરળ રસ્તો, પરંતુ પરિણામે ખુશખુશાલ ફિન્સ સાથે સ્કી સ્લોપ પર ઠોકર ખાવી. તે હકીકત નથી કે નેવિગેટર અથવા તો સેટેલાઇટ ઇમેજ વિશ્વસનીય ડેટા પ્રદાન કરશે. તેથી, ગણિતનો ઉપયોગ કરીને માર્ગની રાહતને ઔપચારિક બનાવવી સરસ રહેશે.

ચાલો કેટલાક રસ્તાઓ જોઈએ (બાજુનું દૃશ્ય):

માત્ર કિસ્સામાં, હું તમને એક પ્રાથમિક હકીકત યાદ અપાવીશ: મુસાફરી થાય છે ડાબેથી જમણે. સરળતા માટે, અમે ધારીએ છીએ કે કાર્ય સતતવિચારણા હેઠળના વિસ્તારમાં.

આ ગ્રાફની વિશેષતાઓ શું છે?

અંતરાલોમાં કાર્ય વધે છે, એટલે કે, તેની દરેક આગલી કિંમત વધુઅગાઉનું એક. લગભગ કહીએ તો, શેડ્યૂલ ચાલુ છે નીચેથી ઉપર સુધી(અમે ટેકરી પર ચઢીએ છીએ). અને ઈન્ટરવલ પર ફંક્શન ઘટે છે- દરેક આગામી મૂલ્ય ઓછુંઅગાઉનું, અને અમારું શેડ્યૂલ ચાલુ છે ઉપરથી નીચે(અમે ઢાળ નીચે જઈએ છીએ).

ચાલો ખાસ મુદ્દાઓ પર પણ ધ્યાન આપીએ. બિંદુએ આપણે પહોંચીએ છીએ મહત્તમ, એટલે કે અસ્તિત્વમાં છેપાથનો આવો વિભાગ જ્યાં મૂલ્ય સૌથી મોટું (સૌથી વધુ) હશે. તે જ બિંદુએ તે પ્રાપ્ત થાય છે ન્યૂનતમ, અને અસ્તિત્વમાં છેતેનો પડોશ કે જેમાં મૂલ્ય સૌથી નાનું (સૌથી ઓછું) છે.

અમે વર્ગમાં વધુ કડક પરિભાષા અને વ્યાખ્યાઓ જોઈશું. કાર્યના અંતિમ ભાગ વિશે, પરંતુ હમણાં માટે ચાલો અન્ય મહત્વપૂર્ણ લક્ષણનો અભ્યાસ કરીએ: અંતરાલો પર કાર્ય વધે છે, પરંતુ તે વધે છે વિવિધ ઝડપે. અને પ્રથમ વસ્તુ જે તમારી આંખને પકડે છે તે એ છે કે અંતરાલ દરમિયાન ગ્રાફ ઉપર વધે છે વધુ ઠંડી, અંતરાલ કરતાં. શું ગાણિતિક સાધનોનો ઉપયોગ કરીને રસ્તાની ઢાળને માપવી શક્ય છે?

કાર્યના ફેરફારનો દર

વિચાર આ છે: ચાલો થોડું મૂલ્ય લઈએ ("ડેલ્ટા એક્સ" વાંચો), જેને અમે કૉલ કરીશું દલીલમાં વધારો, અને ચાલો આપણા પાથ પરના વિવિધ બિંદુઓ પર "તેનો પ્રયાસ" કરવાનું શરૂ કરીએ:

1) ચાલો સૌથી ડાબી બાજુ જોઈએ: અંતર પસાર કરીને, આપણે ઢાળને ઊંચાઈ (લીલી રેખા) પર ચઢીએ છીએ. જથ્થો કહેવાય છે કાર્ય વધારો, અને આ કિસ્સામાં આ વધારો હકારાત્મક છે (અક્ષ સાથેના મૂલ્યોમાં તફાવત શૂન્ય કરતા વધારે છે). ચાલો એક ગુણોત્તર બનાવીએ જે આપણા રસ્તાની ઢાળનું માપ હશે. દેખીતી રીતે, આ એક ખૂબ જ ચોક્કસ સંખ્યા છે, અને કારણ કે બંને વૃદ્ધિ હકારાત્મક છે, તો પછી.

ધ્યાન આપો! હોદ્દો છે એકપ્રતીક, એટલે કે, તમે "X" માંથી "ડેલ્ટા" ને "ફાડી" શકતા નથી અને આ અક્ષરોને અલગથી ધ્યાનમાં લઈ શકતા નથી. અલબત્ત, ટિપ્પણી ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટ સિમ્બોલની પણ ચિંતા કરે છે.

ચાલો પરિણામી અપૂર્ણાંકની પ્રકૃતિને વધુ અર્થપૂર્ણ રીતે અન્વેષણ કરીએ. ચાલો આપણે શરૂઆતમાં 20 મીટરની ઊંચાઈએ (ડાબી કાળા બિંદુએ) હોઈએ. મીટરનું અંતર (ડાબી લાલ રેખા) કવર કર્યા પછી, આપણે આપણી જાતને 60 મીટરની ઊંચાઈએ શોધીશું. પછી ફંક્શનનો ઇન્ક્રીમેન્ટ થશે મીટર (લીલી રેખા) અને: . આમ, દરેક મીટર પરરસ્તાનો આ વિભાગ ઊંચાઈ વધે છે સરેરાશ 4 મીટર દ્વારા...તમારા ચડતા સાધનો ભૂલી ગયા છો? =) બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બાંધવામાં આવેલ સંબંધ ફંક્શનના ફેરફારના સરેરાશ દર (આ કિસ્સામાં, વૃદ્ધિ) દર્શાવે છે.

નોંધ : પ્રશ્નમાંના ઉદાહરણના આંકડાકીય મૂલ્યો માત્ર ડ્રોઇંગના પ્રમાણને અનુરૂપ છે.

2) હવે ચાલો જમણી બાજુના કાળા બિંદુથી સમાન અંતરે જઈએ. અહીં વધારો વધુ ક્રમિક છે, તેથી વધારો (ક્રિમસન લાઇન) પ્રમાણમાં નાનો છે, અને અગાઉના કેસની તુલનામાં ગુણોત્તર ખૂબ જ સાધારણ હશે. પ્રમાણમાં કહીએ તો, મીટર અને કાર્ય વૃદ્ધિ દરછે . એટલે કે, અહીં પાથના દરેક મીટર માટે ત્યાં છે સરેરાશઅડધો મીટર વધારો.

3) પર્વતમાળા પર થોડું સાહસ. ચાલો ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર સ્થિત ટોચના કાળા બિંદુને જોઈએ. ચાલો માની લઈએ કે આ 50 મીટરનું ચિહ્ન છે. અમે ફરીથી અંતરને દૂર કરીએ છીએ, પરિણામે આપણે પોતાને નીચા શોધીએ છીએ - 30 મીટરના સ્તરે. ત્યારથી આંદોલન કરવામાં આવે છે ઉપરથી નીચે(અક્ષની "કાઉન્ટર" દિશામાં), પછી અંતિમ કાર્યનો વધારો (ઊંચાઈ) નકારાત્મક હશે: મીટર (ડ્રોઇંગમાં બ્રાઉન સેગમેન્ટ). અને આ કિસ્સામાં આપણે પહેલાથી જ વાત કરી રહ્યા છીએ ઘટાડો દરવિશેષતાઓ: , એટલે કે, આ વિભાગના પાથના દરેક મીટર માટે, ઊંચાઈ ઘટે છે સરેરાશ 2 મીટર દ્વારા. પાંચમા બિંદુએ તમારા કપડાંની કાળજી લો.

હવે ચાલો આપણી જાતને પૂછીએ: ઉપયોગ કરવા માટે શ્રેષ્ઠ "માપ પ્રમાણભૂત" મૂલ્ય શું છે? તે સંપૂર્ણપણે સમજી શકાય તેવું છે, 10 મીટર ખૂબ રફ છે. એક સારા ડઝન હમ્મોક્સ તેમના પર સરળતાથી ફિટ થઈ શકે છે. મુશ્કેલીઓ ભલે ગમે તે હોય, નીચે એક ઊંડી ખાડો હોઈ શકે છે, અને થોડા મીટર પછી તેની બીજી બાજુ વધુ ઊંચો વધારો છે. આમ, દસ-મીટર સાથે આપણને ગુણોત્તર દ્વારા પાથના આવા વિભાગોનું બુદ્ધિગમ્ય વર્ણન મળશે નહીં.

ઉપરોક્ત ચર્ચામાંથી નીચે મુજબનું નિષ્કર્ષ નીકળે છે. મૂલ્ય જેટલું ઓછું છે, વધુ સચોટ રીતે આપણે રોડ ટોપોગ્રાફીનું વર્ણન કરીએ છીએ. વધુમાં, નીચેની હકીકતો સાચી છે:

– કોઈપણ માટેલિફ્ટિંગ પોઈન્ટ તમે મૂલ્ય પસંદ કરી શકો છો (ભલે ખૂબ જ નાનું હોય) જે ચોક્કસ ઉદયની સીમાઓમાં બંધબેસે છે. આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ ઊંચાઈ વૃદ્ધિ હકારાત્મક હોવાની ખાતરી આપવામાં આવશે, અને અસમાનતા આ અંતરાલોના દરેક બિંદુએ કાર્યની વૃદ્ધિને યોગ્ય રીતે સૂચવશે.

- તેવી જ રીતે, કોઈપણ માટેઢાળ બિંદુ ત્યાં એક મૂલ્ય છે જે આ ઢોળાવ પર સંપૂર્ણપણે ફિટ થશે. પરિણામે, ઊંચાઈમાં અનુરૂપ વધારો સ્પષ્ટપણે નકારાત્મક છે, અને અસમાનતા આપેલ અંતરાલના દરેક બિંદુએ કાર્યમાં ઘટાડો યોગ્ય રીતે બતાવશે.

- ખાસ કરીને રસપ્રદ કિસ્સો એ છે કે જ્યારે ફંક્શનના ફેરફારનો દર શૂન્ય હોય છે: . સૌપ્રથમ, શૂન્ય ઊંચાઈ વધારો () એ સરળ માર્ગની નિશાની છે. અને બીજું, ત્યાં અન્ય રસપ્રદ પરિસ્થિતિઓ છે, જેના ઉદાહરણો તમે આકૃતિમાં જુઓ છો. કલ્પના કરો કે ભાગ્ય આપણને ઉડતા ગરુડ સાથેની ટેકરીની ટોચ પર અથવા ક્રોકિંગ દેડકાઓ સાથે કોતરના તળિયે લાવ્યું છે. જો તમે કોઈપણ દિશામાં નાનું પગલું ભરો છો, તો ઊંચાઈમાં ફેરફાર નજીવો હશે, અને આપણે કહી શકીએ કે કાર્યના પરિવર્તનનો દર વાસ્તવમાં શૂન્ય છે. આ બિંદુઓ પર અવલોકન થયેલ ચિત્ર બરાબર છે.

આમ, અમે ફંક્શનના ફેરફારના દરને સંપૂર્ણ રીતે સચોટ રીતે દર્શાવવાની એક અદ્ભુત તક પર આવ્યા છીએ. છેવટે, ગાણિતિક વિશ્લેષણ દલીલના વધારાને શૂન્ય તરફ દિશામાન કરવાનું શક્ય બનાવે છે: , એટલે કે, તેને બનાવવું અનંત.

પરિણામે, બીજો તાર્કિક પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું રસ્તા અને તેના શેડ્યૂલ માટે શોધવાનું શક્ય છે અન્ય કાર્ય, જે અમને જણાવશેબધા સપાટ વિભાગો, ચડતો, ઉતરતા, શિખરો, ખીણો, તેમજ રસ્તામાં દરેક બિંદુએ વૃદ્ધિ/ઘટાડાના દર વિશે?

વ્યુત્પન્ન શું છે? વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા.
વ્યુત્પન્ન અને વિભેદકનો ભૌમિતિક અર્થ

કૃપા કરીને કાળજીપૂર્વક વાંચો અને ખૂબ ઝડપથી નહીં - સામગ્રી સરળ અને દરેક માટે સુલભ છે! તે ઠીક છે જો કેટલીક જગ્યાએ કંઈક સ્પષ્ટ નથી લાગતું, તો તમે હંમેશા પછીથી લેખ પર પાછા આવી શકો છો. હું વધુ કહીશ, બધા મુદ્દાઓને સારી રીતે સમજવા માટે સિદ્ધાંતનો ઘણી વખત અભ્યાસ કરવો ઉપયોગી છે (સલાહ ખાસ કરીને "તકનીકી" વિદ્યાર્થીઓ માટે સંબંધિત છે, જેમના માટે શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં ઉચ્ચ ગણિત મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે).

સ્વાભાવિક રીતે, એક બિંદુએ વ્યુત્પન્નની ખૂબ જ વ્યાખ્યામાં આપણે તેને આની સાથે બદલીએ છીએ:

આપણે શું કરવા આવ્યા છીએ? અને અમે નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે કાયદા અનુસાર કાર્ય માટે અનુસાર મૂકવામાં આવે છે અન્ય કાર્ય, જેને કહેવામાં આવે છે વ્યુત્પન્ન કાર્ય(અથવા માત્ર વ્યુત્પન્ન).

વ્યુત્પન્ન લાક્ષણિકતા ફેરફારનો દરકાર્યો કેવી રીતે? લેખની શરૂઆતથી જ વિચાર લાલ દોરાની જેમ ચાલે છે. ચાલો અમુક મુદ્દા ધ્યાનમાં લઈએ વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્રકાર્યો આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનને અલગ કરવા દો. પછી:

1) જો, તો બિંદુ પર કાર્ય વધે છે. અને દેખીતી રીતે છે અંતરાલ(એકદમ નાનો પણ), જેમાં એક બિંદુ છે કે જેના પર કાર્ય વધે છે અને તેનો ગ્રાફ "નીચેથી ઉપર" જાય છે.

2) જો , તો બિંદુ પર કાર્ય ઘટે છે. અને ત્યાં એક અંતરાલ છે જેમાં એક બિંદુ છે કે જેના પર કાર્ય ઘટે છે (ગ્રાફ "ટોચથી નીચે" જાય છે).

3) જો, તો અનંત નજીકએક બિંદુની નજીક ફંક્શન તેની ગતિ સતત જાળવી રાખે છે. આ થાય છે, જેમ નોંધ્યું છે, સતત કાર્ય સાથે અને કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓ પર, ખાસ કરીને ન્યૂનતમ અને મહત્તમ પોઈન્ટ પર.

થોડીક સિમેન્ટિક્સ. ક્રિયાપદ "ભેદ" નો વ્યાપક અર્થમાં શું અર્થ થાય છે? ભિન્નતાનો અર્થ એ છે કે કોઈ લક્ષણને પ્રકાશિત કરવું. ફંક્શનને અલગ કરીને, અમે ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન સ્વરૂપમાં તેના ફેરફારના દરને "અલગ" કરીએ છીએ. માર્ગ દ્વારા, "વ્યુત્પન્ન" શબ્દનો અર્થ શું છે? કાર્ય થયુંકાર્યમાંથી.

વ્યુત્પન્નના યાંત્રિક અર્થ દ્વારા શબ્દો ખૂબ જ સફળતાપૂર્વક અર્થઘટન કરવામાં આવે છે :
ચાલો સમયના આધારે શરીરના કોઓર્ડિનેટ્સમાં ફેરફારના નિયમ અને આપેલ શરીરની ગતિની ગતિના કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. ફંક્શન બોડી કોઓર્ડિનેટ્સના ફેરફારના દરને દર્શાવે છે, તેથી તે સમયના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન છે: . જો કુદરતમાં "શરીર ચળવળ" ની વિભાવના અસ્તિત્વમાં ન હોત, તો ત્યાં ના હોત વ્યુત્પન્ન"શરીરની ગતિ" નો ખ્યાલ.

શરીરનો પ્રવેગ એ ગતિના પરિવર્તનનો દર છે, તેથી: . જો "શરીરની ગતિ" અને "શરીરની ગતિ" ની પ્રારંભિક વિભાવનાઓ પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વમાં ન હોત, તો ત્યાં અસ્તિત્વમાં ન હોત વ્યુત્પન્ન"શરીર પ્રવેગક" ની વિભાવના.