"કાર્ય" ખ્યાલની ક્લાસિક વ્યાખ્યાઓમાંની એક તે પત્રવ્યવહાર પર આધારિત છે. ચાલો આવી સંખ્યાબંધ વ્યાખ્યાઓ રજૂ કરીએ.
વ્યાખ્યા 1
એક સંબંધ કે જેમાં સ્વતંત્ર ચલનું દરેક મૂલ્ય નિર્ભર ચલના એક મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તેને કહેવામાં આવે છે. કાર્ય.
વ્યાખ્યા 2
બે બિન-ખાલી સેટ $X$ અને $Y$ આપવા દો. એક પત્રવ્યવહાર $f$ જે દરેક $x\in X$ સાથે એક અને માત્ર એક $y\in Y$ સાથે મેળ ખાય છે. કાર્ય($f:X → Y$).
વ્યાખ્યા 3
$M$ અને $N$ ને બે મનસ્વી નંબર સેટ થવા દો. $f$ ને $M$ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે કહેવાય છે, $N$ માંથી મૂલ્યો લઈને, જો દરેક તત્વ $x\in X$ $N$ માંથી એક અને માત્ર એક જ તત્વ સાથે સંકળાયેલું હોય.
ચલ જથ્થાના ખ્યાલ દ્વારા નીચેની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે. ચલ જથ્થો એ એક એવો જથ્થો છે જે આપેલ અભ્યાસમાં વિવિધ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો લે છે.
વ્યાખ્યા 4
$M$ ને $x$ ચલના મૂલ્યોનો સમૂહ બનવા દો. પછી, જો દરેક મૂલ્ય $x\M$ માં અન્ય ચલના એક ચોક્કસ મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તો $y$ એ $M$ સેટ પર વ્યાખ્યાયિત મૂલ્ય $x$નું કાર્ય છે.
વ્યાખ્યા 5
ચાલો $X$ અને $Y$ ને અમુક સંખ્યાના સમૂહો બનાવીએ. ફંક્શન એ $(x,\y)$ નંબરોની ક્રમાંકિત જોડીનો $f$ છે જેમ કે $x\in X$, $y\in Y$ અને દરેક $x$ એક અને માત્ર એક જોડીમાં સમાવવામાં આવેલ છે. આ સમૂહ, અને દરેક $y$ ઓછામાં ઓછી એક જોડીમાં છે.
વ્યાખ્યા 6
$f=\(\left(x,\y\right)\)$ ઓર્ડર કરેલ જોડીઓનો કોઈપણ સેટ $\left(x,\y\right)$ જેમ કે કોઈપણ જોડી માટે $\left(x",\y" \right)\f$ માં અને $\left(x"",\y""\right)\f$ માં $y"≠ y""$ તે $x"≠x""$ને અનુસરે છે ફંક્શન અથવા ડિસ્પ્લે કહેવાય છે.
વ્યાખ્યા 7
ફંક્શન $f:X → Y$ એ $f$ ઓર્ડર કરેલ જોડીનો સમૂહ છે $\left(x,\y\right)\in X\times Y$ જે કોઈપણ તત્વ $x\in X$ માટે હોય છે. અનન્ય તત્વ $y\in Y$ જેમ કે $\left(x,\y\right)\in f$, એટલે કે, ફંક્શન એ $\left(f,\ X,\ Y\right) ઑબ્જેક્ટનું ટ્યુપલ છે $.
આ વ્યાખ્યાઓમાં
$x$ એ સ્વતંત્ર ચલ છે.
$y$ એ આશ્રિત ચલ છે.
ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોને $x$ ફંક્શનનું ડોમેન કહેવામાં આવે છે, અને $y$ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોને ફંક્શનનું ડોમેન કહેવામાં આવે છે.
કાર્યનો ઉલ્લેખ કરવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ
આ પદ્ધતિ માટે આપણને વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિના ખ્યાલની જરૂર છે.
વ્યાખ્યા 8
વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ એ કોઈપણ સંખ્યાઓ અને ચલો પરની તમામ સંભવિત ગાણિતિક ક્રિયાઓનું ઉત્પાદન છે.
ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવાની વિશ્લેષણાત્મક રીત એ છે કે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને તેનો ઉલ્લેખ કરવો.
ઉદાહરણ 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
ગુણ:
- સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અમે $x$ ચલની કોઈપણ ચોક્કસ કિંમત માટે ફંક્શનની કિંમત નક્કી કરી શકીએ છીએ;
- આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યોનો અભ્યાસ ગાણિતિક વિશ્લેષણના ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.
વિપક્ષ:
- ઓછી દૃશ્યતા.
- કેટલીકવાર તમારે ખૂબ જ બોજારૂપ ગણતરીઓ કરવી પડે છે.
કાર્યનો ઉલ્લેખ કરવાની ટેબ્યુલર પદ્ધતિ
સોંપણીની આ પદ્ધતિમાં સ્વતંત્ર ચલના કેટલાક મૂલ્યો માટે આશ્રિત ચલના મૂલ્યો લખવાનો સમાવેશ થાય છે. આ બધું કોષ્ટકમાં દાખલ થયેલ છે.
ઉદાહરણ 2
આકૃતિ 1.
વત્તા:સ્વતંત્ર ચલ $x$ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે, જે કોષ્ટકમાં દાખલ કરવામાં આવે છે, ફંક્શન $y$નું અનુરૂપ મૂલ્ય તરત જ જાણીતું છે.
વિપક્ષ:
- મોટેભાગે, ત્યાં કોઈ સંપૂર્ણ કાર્ય સ્પષ્ટીકરણ નથી;
- ઓછી દૃશ્યતા.
ફંક્શન એ બે સેટના ઘટકો વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર છે, જે નિયમ મુજબ સ્થાપિત થયેલ છે કે એક સમૂહનું દરેક ઘટક બીજા સમૂહના અમુક તત્વ સાથે સંકળાયેલું છે.
ફંક્શનનો આલેખ એ પ્લેનમાં રહેલા પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન છે જેના એબ્સીસા (x) અને ઓર્ડિનેટ (y) ઉલ્લેખિત કાર્ય દ્વારા સંબંધિત છે:
એક બિંદુ ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્થિત (અથવા સ્થિત) છે જો અને માત્ર જો
આમ, કાર્યને તેના ગ્રાફ દ્વારા પર્યાપ્ત રીતે વર્ણવી શકાય છે.
ટેબ્યુલર પદ્ધતિ. એકદમ સામાન્ય છે વ્યક્તિગત દલીલ મૂલ્યો અને તેમના અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યોના કોષ્ટકનો ઉલ્લેખ કરવો. ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એક અલગ મર્યાદિત સેટ હોય.
ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની ટેબ્યુલર પદ્ધતિથી, દલીલના મધ્યવર્તી મૂલ્યોને અનુરૂપ, કોષ્ટકમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા ફંક્શનના મૂલ્યોની અંદાજે ગણતરી કરવી શક્ય છે. આ કરવા માટે, ઇન્ટરપોલેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.
ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની ટેબ્યુલર પદ્ધતિના ફાયદા એ છે કે તે વધારાના માપન અથવા ગણતરીઓ વિના, ચોક્કસ ચોક્કસ મૂલ્યોને તાત્કાલિક નિર્ધારિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે. જો કે, કેટલાક કિસ્સાઓમાં, કોષ્ટક ફંક્શનને સંપૂર્ણપણે વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી, પરંતુ માત્ર દલીલના કેટલાક મૂલ્યો માટે અને દલીલમાં ફેરફારના આધારે ફંક્શનમાં ફેરફારની પ્રકૃતિની સ્પષ્ટ છબી પ્રદાન કરતું નથી.
ગ્રાફિક પદ્ધતિ. ફંક્શન y = f(x) નો ગ્રાફ એ પ્લેન પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ આપેલ સમીકરણને સંતોષે છે.
ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ હંમેશા દલીલના આંકડાકીય મૂલ્યોને ચોક્કસ રીતે નિર્ધારિત કરવાનું શક્ય બનાવતી નથી. જો કે, અન્ય પદ્ધતિઓ - દૃશ્યતા પર તેનો મોટો ફાયદો છે. ઇજનેરી અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, અને આ માટે આલેખ એ એકમાત્ર રસ્તો છે.
ફંક્શનની ગ્રાફિકલ સોંપણી ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી સંપૂર્ણપણે સાચી હોય તે માટે, ગ્રાફની ચોક્કસ ભૌમિતિક ડિઝાઇન સૂચવવી જરૂરી છે, જે મોટાભાગે, સમીકરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. આ ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની નીચેની રીત તરફ દોરી જાય છે.
વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ. મોટેભાગે, કાયદો કે જે દલીલ અને કાર્ય વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે તે સૂત્રો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. કાર્યને સ્પષ્ટ કરવાની આ પદ્ધતિને વિશ્લેષણાત્મક કહેવામાં આવે છે.
આ પદ્ધતિ દલીલ x ના દરેક સંખ્યાત્મક મૂલ્ય માટે કાર્ય y ના અનુરૂપ સંખ્યાત્મક મૂલ્યને બરાબર અથવા અમુક ચોકસાઈ સાથે શોધવાનું શક્ય બનાવે છે.
જો x અને y વચ્ચેનો સંબંધ y ના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલા સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, એટલે કે. y = f(x) સ્વરૂપ ધરાવે છે, તો પછી આપણે કહીએ છીએ કે x નું કાર્ય સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં આવ્યું છે.
જો x અને y મૂલ્યો ફોર્મ F(x,y) = 0 ના અમુક સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત હોય, એટલે કે. સૂત્ર y ના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલ નથી, જેનો અર્થ છે કે ફંક્શન y = f(x) ગર્ભિત રીતે આપવામાં આવે છે.
કાર્યને તેના ડોમેનના વિવિધ ભાગોમાં વિવિધ સૂત્રો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.
વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ એ કાર્યોને સ્પષ્ટ કરવાની સૌથી સામાન્ય રીત છે. કોમ્પેક્ટનેસ, સંક્ષિપ્તતા, વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી દલીલના મનસ્વી મૂલ્ય માટે ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા, આપેલ કાર્યમાં ગાણિતિક વિશ્લેષણના ઉપકરણને લાગુ કરવાની ક્ષમતા એ સ્પષ્ટ કરવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિના મુખ્ય ફાયદા છે. કાર્ય ગેરફાયદામાં દૃશ્યતાનો અભાવ શામેલ છે, જે ગ્રાફ બનાવવાની ક્ષમતા અને કેટલીકવાર ખૂબ જ બોજારૂપ ગણતરીઓ કરવાની જરૂરિયાત દ્વારા વળતર આપવામાં આવે છે.
મૌખિક પદ્ધતિ. આ પદ્ધતિમાં કાર્યાત્મક અવલંબનને શબ્દોમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 1: ફંક્શન E(x) એ x નો પૂર્ણાંક ભાગ છે. સામાન્ય રીતે, E(x) = [x] એ સૌથી મોટો પૂર્ણાંક સૂચવે છે જે x કરતા વધારે નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો x = r + q, જ્યાં r એ પૂર્ણાંક છે (ઋણ હોઈ શકે છે) અને q એ અંતરાલ = r સાથે સંબંધિત છે. ફંક્શન E(x) = [x] અંતરાલ = r પર સ્થિર છે.
ઉદાહરણ 2: ફંક્શન y = (x) એ સંખ્યાનો અપૂર્ણાંક ભાગ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, y =(x) = x - [x], જ્યાં [x] એ x સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ છે. આ કાર્ય બધા x માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. જો x એ મનસ્વી સંખ્યા છે, તો તેને x = r + q (r = [x]) તરીકે દર્શાવો, જ્યાં r પૂર્ણાંક છે અને q અંતરાલમાં રહેલો છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે દલીલ xમાં n ઉમેરવાથી ફંક્શનની કિંમત બદલાતી નથી.
n માં સૌથી નાની બિન-શૂન્ય સંખ્યા છે, તેથી સમયગાળો પાપ 2x છે.
દલીલ મૂલ્ય કે જેના પર ફંક્શન 0 ની બરાબર છે તેને કહેવામાં આવે છે શૂન્ય (મૂળ) કાર્યો.
ફંક્શનમાં બહુવિધ શૂન્ય હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય y = x (x + 1)(x-3)ત્રણ શૂન્ય છે: x = 0, x = - 1, x =3.
ભૌમિતિક રીતે, ફંક્શનનું શૂન્ય એ અક્ષ સાથેના ફંક્શન ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુનું અવકાશ છે એક્સ .
આકૃતિ 7 શૂન્ય સાથે ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે: x = a, x = b અને x = c.
જો ફંક્શનનો ગ્રાફ અનિશ્ચિત રૂપે ચોક્કસ રેખાની નજીક આવે છે કારણ કે તે મૂળથી દૂર જાય છે, તો આ રેખા કહેવામાં આવે છે એસિમ્પ્ટોટ.
વ્યસ્ત કાર્ય
એક ફંક્શન y=ƒ(x) ને વ્યાખ્યા Dના ડોમેન સાથે અને મૂલ્યો Eના સમૂહ સાથે આપવા દો, જો દરેક મૂલ્ય yєE એક મૂલ્ય xєDને અનુરૂપ હોય, તો ફંક્શન x=φ(y) ને a સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા E નું ડોમેન અને મૂલ્યોનો સમૂહ D (જુઓ ફિગ. 102).
આવા ફંક્શન φ(y) ને ફંક્શન ƒ(x) નો વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે અને તે નીચેના સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે: x=j(y)=f -1 (y) ફંક્શન y=ƒ(x) અને x =φ(y) કહેવાય છે કે તેઓ પરસ્પર વ્યસ્ત છે. x=φ(y) ફંક્શન શોધવા માટે, ફંક્શન y=ƒ (x) થી વિપરીત, x (જો શક્ય હોય તો) માટે સમીકરણ ƒ(x)=y ઉકેલવા માટે તે પૂરતું છે.
1. ફંક્શન y=2x માટે વ્યસ્ત ફંક્શન એ x=y/2 ફંક્શન છે;
2. ફંક્શન y=x2 xє માટે વ્યસ્ત ફંક્શન x=√y છે; નોંધ કરો કે સેગમેન્ટ [-1 પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય y=x 2 માટે; 1], વ્યસ્ત અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે y નું એક મૂલ્ય x ના બે મૂલ્યોને અનુરૂપ છે (તેથી, જો y = 1/4, તો x1 = 1/2, x2 = -1/2).
વ્યસ્ત કાર્યની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે ફંક્શન y=ƒ(x) માં વ્યસ્ત છે જો અને માત્ર જો ફંક્શન ƒ(x) સેટ D અને E વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારનો ઉલ્લેખ કરે છે. તે અનુસરે છે કે કોઈપણ સખત રીતે એકવિધ કાર્યમાં વ્યસ્ત છે. તદુપરાંત, જો ફંક્શન વધે છે (ઘટે છે), તો ઇન્વર્સ ફંક્શન પણ વધે છે (ઘટે છે).
નોંધ કરો કે ફંક્શન y=ƒ(x) અને તેના વ્યસ્ત x=φ(y) સમાન વળાંક દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે, એટલે કે તેમના આલેખ એકરૂપ છે. જો આપણે સંમત થઈએ કે, હંમેશની જેમ, સ્વતંત્ર ચલ (એટલે કે દલીલ) x દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને આશ્રિત ચલ y દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તો ફંક્શન y=ƒ(x) નું વ્યસ્ત કાર્ય y=φ( સ્વરૂપમાં લખવામાં આવશે. x).
આનો અર્થ એ થયો કે વળાંક y=ƒ(x) નો બિંદુ M 1 (x o;y o) વળાંક y=φ(x) નો બિંદુ M 2 (y o;x o) બને છે. પરંતુ બિંદુઓ M 1 અને M 2 સીધી રેખા y=xના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે (ફિગ. 103 જુઓ). તેથી, પરસ્પર વ્યસ્ત કાર્યો y=ƒ(x) અને y=φ(x) ના આલેખ પ્રથમ અને ત્રીજા સંકલન કોણના દ્વિભાજકના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે.
જટિલ કાર્ય
સેટ D પર ફંક્શન у=ƒ(u) ને વ્યાખ્યાયિત કરવા દો, અને D 1 સેટ પર ફંક્શન u= φ(х), અને x D 1 માટે અનુરૂપ મૂલ્ય u=φ(х) є D. પછી સેટ પર D 1 ફંક્શન u=ƒ(φ(x)), જેને x નું જટિલ ફંક્શન (અથવા આપેલ ફંક્શનનું સુપરપોઝિશન અથવા ફંક્શનનું ફંક્શન) કહેવાય છે.
ચલ u=φ(x) એ જટિલ કાર્યની મધ્યવર્તી દલીલ કહેવાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન y=sin2x એ બે ફંક્શન y=sinu અને u=2xનું સુપરપોઝિશન છે. જટિલ કાર્યમાં ઘણી મધ્યવર્તી દલીલો હોઈ શકે છે.
4. મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો અને તેમના આલેખ.
નીચેના કાર્યોને મુખ્ય પ્રાથમિક કાર્યો કહેવામાં આવે છે.
1) ઘાતાંકીય કાર્ય y=a x,a>0, a ≠ 1. ફિગમાં. 104 વિવિધ પાવર બેઝને અનુરૂપ ઘાતાંકીય કાર્યોના આલેખ બતાવે છે.
2) પાવર ફંક્શન y=x α, αєR. વિવિધ ઘાતાંકને અનુરૂપ પાવર ફંક્શનના આલેખના ઉદાહરણો આકૃતિઓમાં આપવામાં આવ્યા છે
3) લોગરીધમિક ફંક્શન y=log a x, a>0,a≠1; વિવિધ પાયાને અનુરૂપ લઘુગણક કાર્યોના આલેખ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યા છે. 106.
4) ત્રિકોણમિતિ વિધેયો y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના આલેખનું સ્વરૂપ ફિગમાં બતાવેલ છે. 107.
5) વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ વિધેયો y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. ફિગ માં. 108 વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના આલેખ બતાવે છે.
એક જ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ ફંક્શન, મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો અને અંકગણિત ક્રિયાઓની મર્યાદિત સંખ્યા (ઉમેર, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર) અને ફંક્શનમાંથી ફંક્શન લેવાની ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને સ્થિરાંકોથી બનેલું હોય છે, તેને પ્રાથમિક કાર્ય કહેવામાં આવે છે.
પ્રાથમિક કાર્યોના ઉદાહરણો કાર્યો છે
બિન-પ્રાથમિક કાર્યોના ઉદાહરણો કાર્યો છે
5. ક્રમ અને કાર્યની મર્યાદાના ખ્યાલો. મર્યાદાના ગુણધર્મો.
કાર્ય મર્યાદા (કાર્યનું મર્યાદા મૂલ્ય) આપેલ બિંદુ પર, ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનને મર્યાદિત કરીને, તે મૂલ્ય છે કે જેના પર વિચારણા હેઠળના ફંક્શનનું મૂલ્ય વલણ આપે છે કારણ કે તેની દલીલ આપેલ બિંદુ તરફ વળે છે.
ગણિતમાં ક્રમની મર્યાદામેટ્રિક સ્પેસ અથવા ટોપોલોજીકલ સ્પેસના એલિમેન્ટ્સ એ જ સ્પેસનું એક એલિમેન્ટ છે જે આપેલ ક્રમના "આકર્ષક" તત્વોની મિલકત ધરાવે છે. ટોપોલોજિકલ સ્પેસના તત્વોના ક્રમની મર્યાદા એ એક બિંદુ છે કે તેના દરેક પડોશમાં ચોક્કસ સંખ્યાથી શરૂ કરીને, ક્રમના તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. મેટ્રિક સ્પેસમાં, પડોશને અંતર કાર્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી અંતરની ભાષામાં મર્યાદાનો ખ્યાલ ઘડવામાં આવે છે. ઐતિહાસિક રીતે, પ્રથમ સંખ્યાત્મક ક્રમની મર્યાદાની વિભાવના હતી, જે ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં ઉદ્ભવે છે, જ્યાં તે અંદાજની સિસ્ટમ માટેના આધાર તરીકે કામ કરે છે અને વિભેદક અને અભિન્ન ગણતરીના નિર્માણમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.
હોદ્દો:
(વાંચે છે: x-nમા ક્રમની મર્યાદા જેમ કે en અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે તે a ની બરાબર છે)
મર્યાદા ધરાવતા ક્રમના ગુણધર્મ કહેવાય છે કન્વર્જન્સ: જો કોઈ ક્રમની મર્યાદા હોય, તો આપેલ ક્રમને કહેવામાં આવે છે એકરૂપ થાય છે; અન્યથા (જો ક્રમની કોઈ મર્યાદા ન હોય તો) ક્રમ કહેવાય છે અલગ પડે છે. હૌસડોર્ફ સ્પેસ અને ખાસ કરીને મેટ્રિક સ્પેસમાં, કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો દરેક અનુગામી કન્વર્જ થાય છે અને તેની મર્યાદા મૂળ ક્રમની મર્યાદા સાથે એકરુપ હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, હોસડોર્ફ સ્પેસના તત્વોના ક્રમમાં બે અલગ અલગ મર્યાદાઓ હોઈ શકે નહીં. જો કે, તે બહાર આવી શકે છે કે ક્રમની કોઈ મર્યાદા નથી, પરંતુ ત્યાં એક અનુગામી (આપેલ ક્રમની) મર્યાદા છે. જો કોઈ અવકાશમાં બિંદુઓના કોઈપણ ક્રમ પરથી કન્વર્જન્ટ અનુગામી ઓળખી શકાય છે, તો આપેલ જગ્યાને અનુક્રમિક કોમ્પેક્ટનેસ (અથવા, સરળ રીતે, કોમ્પેક્ટનેસ, જો કોમ્પેક્ટનેસ ફક્ત ક્રમની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો) ની મિલકત હોવાનું કહેવાય છે.
ક્રમની મર્યાદાની વિભાવના સીધો જ મર્યાદા બિંદુ (સેટ) ની વિભાવના સાથે સંબંધિત છે: જો સમૂહમાં મર્યાદા બિંદુ હોય, તો પછી આ બિંદુ સુધી આ સમૂહના ઘટકોનો ક્રમ છે.
વ્યાખ્યા
એક ટોપોલોજીકલ સ્પેસ અને ક્રમ આપવા દો, જો ત્યાં કોઈ તત્વ હોય
જ્યાં ખુલ્લું સેટ હોય છે, તો તેને ક્રમની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે. જો જગ્યા મેટ્રિક છે, તો મર્યાદા મેટ્રિકનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે: જો ત્યાં કોઈ તત્વ હોય કે જે
મેટ્રિક ક્યાં છે, તેને મર્યાદા કહેવામાં આવે છે.
· જો જગ્યા એન્ટિ-ડિસ્ક્રીટ ટોપોલોજીથી સજ્જ છે, તો કોઈપણ ક્રમની મર્યાદા જગ્યાના કોઈપણ તત્વ હશે.
6. એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદા. એકતરફી મર્યાદા.
એક ચલનું કાર્ય. કોચી અનુસાર એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદાનું નિર્ધારણ.નંબર bકાર્યની મર્યાદા કહેવાય છે ખાતે = f(x) ખાતે એક્સ, માટે પ્રયત્નશીલ એ(અથવા બિંદુ પર એ), જો કોઈ ધન સંખ્યા માટે ત્યાં ધન સંખ્યા હોય જેમ કે બધા x ≠ a માટે, જેમ કે | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | < .
Heine અનુસાર એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદાનું નિર્ધારણ.નંબર bકાર્યની મર્યાદા કહેવાય છે ખાતે = f(x) ખાતે એક્સ, માટે પ્રયત્નશીલ એ(અથવા બિંદુ પર એ), જો કોઈ ક્રમ માટે ( x n ), સાથે કન્વર્જિંગ એ(માટે લક્ષ્ય રાખ્યું છે એ, મર્યાદા નંબર ધરાવે છે એ), અને કોઈપણ મૂલ્ય પર n x n ≠ એ, અનુગામી ( y n= f(x n)) માં કન્વર્જ થાય છે b.
આ વ્યાખ્યાઓ ધારે છે કે કાર્ય ખાતે = f(x) બિંદુના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે એ, સિવાય, કદાચ, બિંદુ પોતે એ.
એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદાની કોચી અને હેઈનની વ્યાખ્યાઓ સમકક્ષ છે: જો સંખ્યા bતેમાંથી એક માટે મર્યાદા તરીકે સેવા આપે છે, પછી આ બીજા માટે પણ સાચું છે.
ઉલ્લેખિત મર્યાદા નીચે મુજબ દર્શાવેલ છે:
ભૌમિતિક રીતે, કોચી અનુસાર બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદાના અસ્તિત્વનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ સંખ્યા > 0 માટે સંકલન સમતલ પર આવા લંબચોરસને આધાર 2 > 0, ઊંચાઈ 2 અને બિંદુ પર કેન્દ્ર દર્શાવવું શક્ય છે. ( એ; b) કે અંતરાલ પર આપેલ ફંક્શનના ગ્રાફના તમામ બિંદુઓ ( એ– ; એ+ ), બિંદુના સંભવિત અપવાદ સાથે એમ(એ; f(એ)), આ લંબચોરસમાં આડો
એકતરફી મર્યાદાગાણિતિક પૃથ્થકરણમાં, સંખ્યાત્મક કાર્યની મર્યાદા, એક બાજુની મર્યાદા બિંદુને "નજીક" સૂચવે છે. આવી મર્યાદાઓને તે મુજબ કહેવામાં આવે છે ડાબી બાજુની મર્યાદા(અથવા ડાબી મર્યાદા) અને જમણી બાજુની મર્યાદા (જમણી તરફ મર્યાદા). ચોક્કસ સંખ્યાત્મક સમૂહ પર સંખ્યાત્મક કાર્ય આપવા દો અને સંખ્યા વ્યાખ્યાના ડોમેનની મર્યાદા બિંદુ છે. એક બિંદુ પર ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદાઓ માટે વિવિધ વ્યાખ્યાઓ છે, પરંતુ તે બધા સમાન છે.
આપવામાં આવે છે, બીજા શબ્દોમાં, જાણીતું છે, જો દલીલોની સંભવિત સંખ્યાના દરેક મૂલ્ય માટે કોઈ ફંક્શનનું અનુરૂપ મૂલ્ય શોધી શકે છે. સૌથી સામાન્ય ત્રણ કાર્ય સ્પષ્ટ કરવાની રીત: ટેબ્યુલર, ગ્રાફિકલ, વિશ્લેષણાત્મક, મૌખિક અને પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ પણ છે.
1. ટેબ્યુલર પદ્ધતિ સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા (લોગરીધમના કોષ્ટકો, વર્ગમૂળ), તેનો મુખ્ય ફાયદો એ ફંક્શનનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય મેળવવાની ક્ષમતા છે, ગેરફાયદા એ છે કે કોષ્ટક વાંચવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે અને કેટલીકવાર તેમાં મધ્યવર્તી મૂલ્યો શામેલ હોતા નથી. દલીલ
ઉદાહરણ તરીકે:
|
x |
||||
|
y |
દલીલ એક્સકોષ્ટકમાં ઉલ્લેખિત મૂલ્યો લે છે, અને ખાતેઆ દલીલ અનુસાર નક્કી કરવામાં આવે છે એક્સ.
2. ગ્રાફિક પદ્ધતિ તેમાં એક રેખા (ગ્રાફ) દોરવાનો સમાવેશ થાય છે જેમાં એબ્સીસાસ દલીલના મૂલ્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને ઓર્ડિનેટ્સ ફંક્શનના અનુરૂપ મૂલ્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ઘણીવાર, સ્પષ્ટતા માટે, અક્ષો પરના ભીંગડાને અલગ અલગ ગણવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:શેડ્યૂલ પર શોધવા માટે ખાતે, જે અનુલક્ષે છે x = 2.5અક્ષ પર લંબ દોરવું જરૂરી છે એક્સનિશાન પર 2,5 . શાસકનો ઉપયોગ કરીને ચિહ્ન એકદમ સચોટ રીતે બનાવી શકાય છે. પછી અમે તે શોધીએ છીએ એક્સ = 2,5 ખાતેબરાબર 7,5 જો કે, જો આપણે મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય ખાતેખાતે એક્સસમાન 2,76 , તો ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ પૂરતી સચોટ રહેશે નહીં, કારણ કે શાસક આવા ચોક્કસ માપની મંજૂરી આપતા નથી.
કાર્યો સોંપવાની આ પદ્ધતિના ફાયદા એ છે કે સમજની સરળતા અને અખંડિતતા, દલીલમાં ફેરફારોની સાતત્યતા; ગેરલાભ એ ચોકસાઈની ઓછી ડિગ્રી અને સચોટ મૂલ્યો મેળવવામાં મુશ્કેલી છે.
3. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ એક અથવા વધુ સૂત્રો દ્વારા ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પદ્ધતિનો મુખ્ય ફાયદો રુચિની દલીલના કાર્યને નિર્ધારિત કરવાની ઉચ્ચ સચોટતા છે, પરંતુ ગેરલાભ એ વધારાની ગાણિતિક ક્રિયાઓ હાથ ધરવા માટે જરૂરી સમય છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
કાર્યને ગાણિતિક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે y=x2,પછી જો એક્સબરાબર 2 , તે ખાતેબરાબર 4, અમે બનાવી રહ્યા છીએ એક્સએક ચોરસ માં.
4. મૌખિક પદ્ધતિ સામાન્ય ભાષામાં ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવાનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. શબ્દો આ કિસ્સામાં, ઇનપુટ, આઉટપુટ મૂલ્યો અને તેમની વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર આપવો જરૂરી છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
તમે મૌખિક રીતે એક કાર્ય (કાર્ય) નો ઉલ્લેખ કરી શકો છો જે કુદરતી દલીલ તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે એક્સમૂલ્ય બનાવે છે તેવા અંકોના સરવાળાના અનુરૂપ મૂલ્ય સાથે ખાતે. ચાલો સ્પષ્ટ કરીએ: જો એક્સબરાબર 4 , તે ખાતેબરાબર 4 , અને જો એક્સબરાબર 358 , તે ખાતેસરવાળો સમાન 3 + 5 + 8 , એટલે કે 16 . વધુ સમાન.
5. પુનરાવર્તિત માર્ગ પોતાના દ્વારા ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવામાં સમાવે છે, જ્યારે કાર્ય મૂલ્યોતેના અન્ય મૂલ્યો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સેટ અને શ્રેણીને સ્પષ્ટ કરવા માટે થાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
વિઘટન દરમિયાન યુલર નંબરોકાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે:
તેનું સંક્ષિપ્ત નામ નીચે આપેલ છે.
સીધી ગણતરી કરતી વખતે, અનંત પુનરાવર્તન થાય છે, પરંતુ તે સાબિત કરી શકાય છે કે મૂલ્ય f(n)વધારો સાથે nએકતા તરફ વલણ ધરાવે છે (તેથી, શ્રેણીની અનંતતા હોવા છતાં, મૂલ્ય યુલર નંબરોચોક્કસપણે). મૂલ્યની અંદાજિત ગણતરી માટે ઇતે કૃત્રિમ રીતે પુનરાવર્તિત ઊંડાઈને અમુક પૂર્વનિર્ધારિત સંખ્યા સુધી મર્યાદિત કરવા માટે પૂરતું છે અને, તેના પર પહોંચ્યા પછી, તેનો ઉપયોગ કરો f(n)એકમ
તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.
વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ
વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.
જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.
અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.
અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:
- જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.
અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:
- અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
- સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
- અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
- જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત
અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.
અપવાદો:
- જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
- પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ
અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.
કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો
તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.
"કાર્ય" ખ્યાલની ક્લાસિક વ્યાખ્યાઓમાંની એક તે પત્રવ્યવહાર પર આધારિત છે. ચાલો આવી સંખ્યાબંધ વ્યાખ્યાઓ રજૂ કરીએ.
વ્યાખ્યા 1
એક સંબંધ કે જેમાં સ્વતંત્ર ચલનું દરેક મૂલ્ય નિર્ભર ચલના એક મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તેને કહેવામાં આવે છે. કાર્ય.
વ્યાખ્યા 2
બે બિન-ખાલી સેટ $X$ અને $Y$ આપવા દો. એક પત્રવ્યવહાર $f$ જે દરેક $x\in X$ સાથે એક અને માત્ર એક $y\in Y$ સાથે મેળ ખાય છે. કાર્ય($f:X → Y$).
વ્યાખ્યા 3
$M$ અને $N$ ને બે મનસ્વી નંબર સેટ થવા દો. $f$ ને $M$ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે કહેવાય છે, $N$ માંથી મૂલ્યો લઈને, જો દરેક તત્વ $x\in X$ $N$ માંથી એક અને માત્ર એક જ તત્વ સાથે સંકળાયેલું હોય.
ચલ જથ્થાના ખ્યાલ દ્વારા નીચેની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે. ચલ જથ્થો એ એક એવો જથ્થો છે જે આપેલ અભ્યાસમાં વિવિધ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો લે છે.
વ્યાખ્યા 4
$M$ ને $x$ ચલના મૂલ્યોનો સમૂહ બનવા દો. પછી, જો દરેક મૂલ્ય $x\M$ માં અન્ય ચલના એક ચોક્કસ મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તો $y$ એ $M$ સેટ પર વ્યાખ્યાયિત મૂલ્ય $x$નું કાર્ય છે.
વ્યાખ્યા 5
ચાલો $X$ અને $Y$ ને અમુક સંખ્યાના સમૂહો બનાવીએ. ફંક્શન એ $(x,\y)$ નંબરોની ક્રમાંકિત જોડીનો $f$ છે જેમ કે $x\in X$, $y\in Y$ અને દરેક $x$ એક અને માત્ર એક જોડીમાં સમાવવામાં આવેલ છે. આ સમૂહ, અને દરેક $y$ ઓછામાં ઓછી એક જોડીમાં છે.
વ્યાખ્યા 6
$f=\(\left(x,\y\right)\)$ ઓર્ડર કરેલ જોડીઓનો કોઈપણ સેટ $\left(x,\y\right)$ જેમ કે કોઈપણ જોડી માટે $\left(x",\y" \right)\f$ માં અને $\left(x"",\y""\right)\f$ માં $y"≠ y""$ તે $x"≠x""$ને અનુસરે છે ફંક્શન અથવા ડિસ્પ્લે કહેવાય છે.
વ્યાખ્યા 7
ફંક્શન $f:X → Y$ એ $f$ ઓર્ડર કરેલ જોડીનો સમૂહ છે $\left(x,\y\right)\in X\times Y$ જે કોઈપણ તત્વ $x\in X$ માટે હોય છે. અનન્ય તત્વ $y\in Y$ જેમ કે $\left(x,\y\right)\in f$, એટલે કે, ફંક્શન એ $\left(f,\ X,\ Y\right) ઑબ્જેક્ટનું ટ્યુપલ છે $.
આ વ્યાખ્યાઓમાં
$x$ એ સ્વતંત્ર ચલ છે.
$y$ એ આશ્રિત ચલ છે.
ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોને $x$ ફંક્શનનું ડોમેન કહેવામાં આવે છે, અને $y$ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોને ફંક્શનનું ડોમેન કહેવામાં આવે છે.
કાર્યનો ઉલ્લેખ કરવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ
આ પદ્ધતિ માટે આપણને વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિના ખ્યાલની જરૂર છે.
વ્યાખ્યા 8
વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ એ કોઈપણ સંખ્યાઓ અને ચલો પરની તમામ સંભવિત ગાણિતિક ક્રિયાઓનું ઉત્પાદન છે.
ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવાની વિશ્લેષણાત્મક રીત એ છે કે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને તેનો ઉલ્લેખ કરવો.
ઉદાહરણ 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
ગુણ:
- સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અમે $x$ ચલની કોઈપણ ચોક્કસ કિંમત માટે ફંક્શનની કિંમત નક્કી કરી શકીએ છીએ;
- આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યોનો અભ્યાસ ગાણિતિક વિશ્લેષણના ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.
વિપક્ષ:
- ઓછી દૃશ્યતા.
- કેટલીકવાર તમારે ખૂબ જ બોજારૂપ ગણતરીઓ કરવી પડે છે.
કાર્યનો ઉલ્લેખ કરવાની ટેબ્યુલર પદ્ધતિ
સોંપણીની આ પદ્ધતિમાં સ્વતંત્ર ચલના કેટલાક મૂલ્યો માટે આશ્રિત ચલના મૂલ્યો લખવાનો સમાવેશ થાય છે. આ બધું કોષ્ટકમાં દાખલ થયેલ છે.
ઉદાહરણ 2
આકૃતિ 1.
વત્તા:સ્વતંત્ર ચલ $x$ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે, જે કોષ્ટકમાં દાખલ કરવામાં આવે છે, ફંક્શન $y$નું અનુરૂપ મૂલ્ય તરત જ જાણીતું છે.
વિપક્ષ:
- મોટેભાગે, ત્યાં કોઈ સંપૂર્ણ કાર્ય સ્પષ્ટીકરણ નથી;
- ઓછી દૃશ્યતા.
