રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થા

"ક્રિવલ્યાન્સ્કાયા માધ્યમિક શાળા"

ઝાબિન્કોવસ્કી જિલ્લો

ફિબોનાકી નંબર્સ અને ગોલ્ડન રેશિયો

સંશોધન કાર્ય

કાર્ય પૂર્ણ:

10મા ધોરણનો વિદ્યાર્થી

સડોવનીચિક વેલેરિયા અલેકસેવના

સુપરવાઈઝર:

લવરેન્યુક લારિસા નિકોલેવના,

કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન શિક્ષક અને

ગણિત 1 લાયકાત

ફિબોનાકી નંબરો અને પ્રકૃતિ

છોડની રચના અને તેમના વિકાસની લાક્ષણિકતા એ સર્પાકાર છે. ગોથે પણ, જે માત્ર એક મહાન કવિ જ નહીં, પણ કુદરતી વૈજ્ઞાનિક પણ હતા, તેમણે સર્પાકારતાને તમામ સજીવોની લાક્ષણિકતામાંની એક, જીવનના આંતરિક સારનું અભિવ્યક્તિ માન્યું. છોડના ટેન્ડ્રીલ્સ સર્પાકારમાં વળી જાય છે, ઝાડના થડમાં પેશીઓની વૃદ્ધિ સર્પાકારમાં થાય છે, સૂર્યમુખીમાં બીજ સર્પાકારમાં સ્થિત હોય છે, મૂળ અને અંકુરની વૃદ્ધિ દરમિયાન સર્પાકાર હલનચલન (ન્યુટેશન) જોવા મળે છે.

પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે પાંદડા અને ફૂલોની સંખ્યા ખૂબ વિશાળ મર્યાદામાં બદલાઈ શકે છે અને કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે. પરંતુ આવા નિષ્કર્ષ અસમર્થ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. સંશોધન દર્શાવે છે કે છોડમાં સમાન નામના અવયવોની સંખ્યા મનસ્વી નથી; એવા મૂલ્યો છે જે ઘણીવાર જોવા મળે છે અને મૂલ્યો ખૂબ જ દુર્લભ છે.

જીવંત પ્રકૃતિમાં, પંચકોણીય સપ્રમાણતા પર આધારિત સ્વરૂપો વ્યાપક છે - સ્ટારફિશ, દરિયાઈ અર્ચિન, ફૂલો.

ફોટો 13. બટરકપ

કેમોમાઇલમાં 55 અથવા 89 પાંખડીઓ હોય છે.

ફોટો 14. કેમોલી

પાયરેથ્રમમાં 34 પાંખડીઓ હોય છે.

પીએચ. 15. પિરેથ્રમ

ચાલો એક પાઈન શંકુ જોઈએ. તેની સપાટી પરના ભીંગડા સખત રીતે નિયમિત રીતે ગોઠવાયેલા છે - બે સર્પાકાર સાથે જે લગભગ જમણા ખૂણા પર છેદે છે. પાઈન શંકુમાં આવા સર્પાકારની સંખ્યા 8 અને 13 અથવા 13 અને 21 છે.

ફોટો 16. શંકુ

સૂર્યમુખી બાસ્કેટમાં, બીજ પણ બે સર્પાકારમાં ગોઠવાયેલા હોય છે, તેમની સંખ્યા સામાન્ય રીતે 34/55, 55/89 હોય છે.

ફોટો 17. સૂર્યમુખી

ચાલો શેલો પર નજીકથી નજર કરીએ. જો તમે પ્રથમ શેલની "સક્કર પાંસળી" ની સંખ્યા ગણો છો, જે રેન્ડમ પર લેવામાં આવે છે, તે 21 છે. ચાલો બીજો, ત્રીજો, પાંચમો, દસમો શેલ લઈએ - તે બધાની સપાટી પર 21 પાંસળી હશે. દેખીતી રીતે, મોલસ્ક માત્ર સારા ઇજનેરો જ ન હતા, તેઓ ફિબોનાકી નંબરો "જાણતા" હતા.

ફોટો 18. શેલ

અહીં ફરી આપણે નજીકમાં સ્થિત ફિબોનાકી નંબરોનું કુદરતી સંયોજન જોઈએ છીએ: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. મર્યાદામાં તેમનો ગુણોત્તર સોનેરી પ્રમાણ તરફ વળે છે, જે 0.61803 નંબર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે...

ફિબોનાકી નંબરો અને પ્રાણીઓ

સ્ટારફિશના કિરણોની સંખ્યા ફિબોનાકી સંખ્યાઓની શ્રેણીને અનુરૂપ છે અથવા તેમની ખૂબ નજીક છે અને તે 5.8, 13,21,34,55 ની બરાબર છે.

ફોટો 19. સ્ટારફિશ

આધુનિક આર્થ્રોપોડ્સ ખૂબ જ વૈવિધ્યસભર છે. લોબસ્ટરમાં પણ પાંચ જોડી પગ હોય છે, પૂંછડી પર પાંચ પીંછા હોય છે, પેટ પાંચ ભાગોમાં વહેંચાયેલું હોય છે અને દરેક પગમાં પાંચ ભાગો હોય છે.

પીએચ. 20. લોબસ્ટર

કેટલાક જંતુઓમાં, પેટમાં આઠ ભાગો હોય છે, ત્યાં ત્રણ જોડી અંગો હોય છે જેમાં આઠ ભાગો હોય છે, અને મોં ખોલવાથી આઠ જુદા જુદા એન્ટેના જેવા અવયવો બહાર આવે છે. આપણા જાણીતા મચ્છરના પગની ત્રણ જોડી છે, પેટ આઠ ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે, અને માથા પર પાંચ એન્ટેના છે. મચ્છરના લાર્વા 12 ભાગોમાં વહેંચાયેલા છે.

પીએચ. 21. મચ્છર

કોબી ફ્લાયનું પેટ પાંચ ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે, ત્યાં પગની ત્રણ જોડી છે, અને લાર્વા આઠ ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે. બે પાંખોમાંથી દરેક પાતળી નસો દ્વારા આઠ ભાગોમાં વહેંચાયેલી છે.

ઘણા જંતુઓના કેટરપિલરને 13 ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ચામડીના ભમરો, મ્યુકોસ બીટલ અને મૂરીશ બૂગર. મોટા ભાગના જંતુ ભૃંગમાં, કેટરપિલર 13 ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે. ભૃંગના પગની રચના ખૂબ જ લાક્ષણિક છે. દરેક પગમાં ત્રણ ભાગો હોય છે, જેમ કે ઉચ્ચ પ્રાણીઓમાં - ખભા, આગળનો હાથ અને પંજો. ભૃંગના પાતળા, ઓપનવર્ક પગ પાંચ ભાગોમાં વહેંચાયેલા છે.

ડ્રેગન ફ્લાયની ઓપનવર્ક, પારદર્શક, વજનહીન પાંખો એ કુદરતની "એન્જિનિયરિંગ" નિપુણતાની શ્રેષ્ઠ કૃતિ છે. આ નાના ઉડતા સ્નાયુ પ્લેનની રચના માટે કયા પ્રમાણનો આધાર છે? ઘણી ડ્રેગનફ્લાય્સમાં પાંખો અને શરીરની લંબાઈનો ગુણોત્તર 4/3 છે. ડ્રેગન ફ્લાયનું શરીર બે મુખ્ય ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે: વિશાળ શરીર અને લાંબી, પાતળી પૂંછડી. શરીરના ત્રણ ભાગો છે: માથું, છાતી, પેટ. પેટ પાંચ ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે, અને પૂંછડી આઠ ભાગો ધરાવે છે. અહીં તમારે ત્રણ ભાગોમાં તેમના વિભાજન સાથે પગની ત્રણ જોડી ઉમેરવાની પણ જરૂર છે.

પીએચ. 22. ડ્રેગનફ્લાય

ફિબોનાકી સંખ્યાઓની શ્રેણીના વિભાજનને ભાગોમાં વિભાજીત કરવાના આ ક્રમમાં જોવું મુશ્કેલ નથી. પૂંછડીની લંબાઈ, શરીર અને ડ્રેગન ફ્લાયની કુલ લંબાઈ સુવર્ણ ગુણોત્તર દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે: પૂંછડી અને શરીરની લંબાઈનો ગુણોત્તર પૂંછડીની લંબાઈ અને કુલ લંબાઈના ગુણોત્તર સમાન છે.

તે આશ્ચર્યજનક નથી કે ડ્રેગનફ્લાય એટલી સંપૂર્ણ લાગે છે, કારણ કે તે સુવર્ણ ગુણોત્તરના કાયદા અનુસાર બનાવવામાં આવી હતી.

તિરાડોથી ઢંકાયેલી તાકીરની પૃષ્ઠભૂમિ સામે કાચબાની દૃષ્ટિ એ એક અદ્ભુત ઘટના છે. શેલની મધ્યમાં એક વિશાળ અંડાકાર ક્ષેત્ર છે જેમાં મોટી ફ્યુઝ્ડ શિંગડા પ્લેટો છે, અને કિનારીઓ સાથે નાની પ્લેટોની સરહદ છે.

પીએચ. 23. કાચબા

કોઈપણ કાચબાને લો - અમારી નજીકના માર્શ ટર્ટલથી લઈને વિશાળ દરિયાઈ કાચબા સુધી - અને તમને ખાતરી થશે કે તેમના શેલ પરની પેટર્ન સમાન છે: અંડાકાર ક્ષેત્ર પર 13 ફ્યુઝ્ડ શિંગડા પ્લેટો છે - મધ્યમાં 5 પ્લેટ અને 8 પર કિનારીઓ, અને પેરિફેરલ બોર્ડર પર લગભગ 21 પ્લેટો (ચિલીના કાચબામાં તેના શેલની પરિઘ સાથે બરાબર 21 પ્લેટો હોય છે). કાચબાના પગ પર 5 અંગૂઠા હોય છે, અને કરોડરજ્જુમાં 34 કરોડનો સમાવેશ થાય છે. તે જોવાનું સરળ છે કે આ તમામ મૂલ્યો ફિબોનાકી નંબરોને અનુરૂપ છે. પરિણામે, કાચબાનો વિકાસ, તેના શરીરની રચના, ભાગોમાં સંપૂર્ણ વિભાજન ફિબોનાકી નંબર શ્રેણીના કાયદા અનુસાર હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું.

ગ્રહ પર સૌથી વધુ પ્રકારના પ્રાણીઓ સસ્તન પ્રાણીઓ છે. ઘણી પ્રાણીઓની જાતિઓમાં પાંસળીઓની સંખ્યા તેર જેટલી અથવા તેની નજીક હોય છે. સંપૂર્ણપણે અલગ સસ્તન પ્રાણીઓમાં - વ્હેલ, ઊંટ, હરણ, ઓરોચ - પાંસળીની સંખ્યા 13 ± 1 છે. કરોડરજ્જુની સંખ્યા મોટા પ્રમાણમાં બદલાય છે, ખાસ કરીને પૂંછડીઓને કારણે, જે પ્રાણીઓની સમાન જાતિઓમાં પણ વિવિધ લંબાઈની હોઈ શકે છે. પરંતુ તેમાંના ઘણામાં કરોડરજ્જુની સંખ્યા 34 અને 55 જેટલી અથવા તેની નજીક હોય છે. આમ, વિશાળ હરણમાં 34 કરોડ અને વ્હેલમાં 55 હોય છે.

ઘરેલું પ્રાણીઓના અંગોના હાડપિંજરમાં ત્રણ સમાન હાડકાની કડીઓ હોય છે: હ્યુમરસ (પેલ્વિક) હાડકું, આગળના હાથનું હાડકું (ટિબિયા) અને પંજાના હાડકા (પગ). પગ, બદલામાં, ત્રણ હાડકાની કડીઓ ધરાવે છે.

ઘણા ઘરેલું પ્રાણીઓમાં દાંતની સંખ્યા ફિબોનાકી સંખ્યાઓ તરફ વળે છે: સસલામાં 14 જોડી, કૂતરા, ડુક્કર અને ઘોડામાં 21 ± 1 જોડી દાંત હોય છે. જંગલી પ્રાણીઓમાં, દાંતની સંખ્યા વધુ વ્યાપક રીતે બદલાય છે: એક મર્સુપિયલ શિકારીમાં તે 54 છે, હાયનામાં - 34, ડોલ્ફિનની એક પ્રજાતિમાં તે 233 સુધી પહોંચે છે. ઘરેલું પ્રાણીઓના હાડપિંજરમાં હાડકાની કુલ સંખ્યા (દાંત સહિત) એક જૂથમાં 230 ની નજીક છે, અને બીજામાં - 300 સુધી. એ નોંધવું જોઈએ કે હાડપિંજરના હાડકાની સંખ્યામાં નાના શ્રાવ્ય ઓસીકલ અને અસ્થિર ઓસીકલ્સનો સમાવેશ થતો નથી. તેમને ધ્યાનમાં લેતા, ઘણા પ્રાણીઓમાં હાડપિંજરના હાડકાંની કુલ સંખ્યા 233 ની નજીક હશે, અને અન્યમાં તે 300 થી વધુ હશે. જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, હાડપિંજરના વિકાસ સાથે શરીરના વિભાજનની લાક્ષણિકતા છે. પ્રાણીઓના વિવિધ અવયવોમાં હાડકાંની સંખ્યામાં એક અલગ ફેરફાર, અને આ સંખ્યાઓ ફિબોનાકી સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે અથવા તેમની ખૂબ નજીક છે, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 પંક્તિ બનાવે છે. મોટાભાગના ચિકન ઈંડાનો કદ ગુણોત્તર 4:3 (કેટલાક 3/2), કોળાના બીજ - 3:2 , તરબૂચના બીજ - 3/2 છે. પાઈન શંકુની લંબાઈ અને તેમના વ્યાસનો ગુણોત્તર 2:1 થયો. સરેરાશ બિર્ચ પાંદડાના કદ ખૂબ નજીક છે, અને એકોર્ન - 5:2.

એવું માનવામાં આવે છે કે જો ફૂલોના લૉનને બે ભાગો (ઘાસ અને ફૂલો) માં વિભાજિત કરવું જરૂરી છે, તો આ પટ્ટાઓ પહોળાઈમાં સમાન બનાવવી જોઈએ નહીં જો તમે તેને 5: 8 અથવા ગુણોત્તરમાં લો છો તો તે વધુ સુંદર હશે 8: 13, એટલે કે. "ગોલ્ડન રેશિયો" નામના પ્રમાણનો ઉપયોગ કરો.

ફિબોનાકી નંબર્સ અને ફોટોગ્રાફી

જ્યારે ફોટોગ્રાફિક કલા પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સુવર્ણ ગુણોત્તર ફ્રેમને બે આડી અને બે ઊભી રેખાઓ દ્વારા 9 અસમાન લંબચોરસમાં વિભાજિત કરે છે. સંતુલિત છબીઓ શૂટ કરવાનું પોતાને સરળ બનાવવા માટે, ફોટોગ્રાફરોએ કાર્યને થોડું સરળ બનાવ્યું અને ફિબોનાકી નંબરો અનુસાર ફ્રેમને 9 સમાન લંબચોરસમાં વિભાજીત કરવાનું શરૂ કર્યું. આમ, સુવર્ણ ગુણોત્તરનો નિયમ ત્રીજા ભાગના નિયમમાં પરિવર્તિત થયો, જે રચનાના સિદ્ધાંતોમાંથી એકનો સંદર્ભ આપે છે.

પીએચ. 24. ફ્રેમ અને ગોલ્ડન રેશિયો

આધુનિક ડિજિટલ કેમેરાના વ્યુફાઈન્ડર્સમાં, ફોકસ પોઈન્ટ 2/8 સ્થાનો પર અથવા સુવર્ણ ગુણોત્તર અનુસાર ફ્રેમને વિભાજીત કરતી કાલ્પનિક રેખાઓ પર સ્થિત છે.

ફોટો 25. ડિજિટલ કેમેરા અને ફોકસ પોઈન્ટ

ફોટો 26.

ફોટો 27. ફોટોગ્રાફી અને ફોકસ પોઈન્ટ

તૃતીયાંશનો નિયમ તમામ વિષય રચનાઓને લાગુ પડે છે: ભલે તમે લેન્ડસ્કેપ અથવા પોટ્રેટનું શૂટિંગ કરી રહ્યાં હોવ, સ્થિર જીવન અથવા અહેવાલ. જ્યાં સુધી તમારી સંવાદિતાની ભાવના પ્રાપ્ત થાય અને બેભાન ન થાય ત્યાં સુધી, ત્રીજાના સરળ નિયમનું પાલન કરવાથી તમે અભિવ્યક્ત, સુમેળભર્યા, સંતુલિત ફોટોગ્રાફ્સ લઈ શકશો.

ફોટો 28. ફોટોગ્રાફી અને સ્વર્ગ અને પૃથ્વીનો ગુણોત્તર 1 થી 2.

નિદર્શન માટેનું સૌથી સફળ ઉદાહરણ લેન્ડસ્કેપ છે. રચનાનો સિદ્ધાંત એ છે કે આકાશ અને જમીન (અથવા પાણીની સપાટી) નો ગુણોત્તર 1:2 હોવો જોઈએ. ફ્રેમનો એક તૃતીયાંશ ભાગ આકાશને ફાળવવો જોઈએ, અને બે તૃતીયાંશ જમીનને, અથવા ઊલટું.

ફોટો 29. સર્પાકારમાં વળી રહેલા ફૂલનો ફોટો

ફિબોનાકી અને જગ્યા

પૃથ્વી પર પાણી અને જમીનનો ગુણોત્તર 62% અને 38% છે.

પૃથ્વી અને ચંદ્રના કદ સુવર્ણ ગુણોત્તરમાં છે.

ફોટો 30. પૃથ્વી અને ચંદ્રના કદ

આકૃતિ માપવા માટે પૃથ્વી અને ચંદ્રના સંબંધિત કદ બતાવે છે.

ચાલો પૃથ્વીની ત્રિજ્યા દોરીએ. ચાલો પૃથ્વીના કેન્દ્રિય બિંદુથી ચંદ્રના કેન્દ્રિય બિંદુ સુધી એક સેગમેન્ટ દોરીએ, જેની લંબાઈ બરાબર હશે). ચાલો ત્રિકોણ બનાવવા માટે આપેલ બે રેખાખંડોને જોડવા માટે એક રેખાખંડ દોરીએ. આપણને સુવર્ણ ત્રિકોણ મળે છે.

શનિ તેના અનેક પરિમાણોમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર દર્શાવે છે

ફોટો 31. શનિ અને તેના વલયો

લીલી રેખાઓ દ્વારા બતાવ્યા પ્રમાણે શનિનો વ્યાસ રિંગ્સના વ્યાસ સાથેના સુવર્ણ ગુણોત્તર સાથે ખૂબ નજીકથી સંબંધિત છે.માં ત્રિજ્યારિંગ્સનો આંતરિક ભાગ રિંગ્સના બાહ્ય વ્યાસની ખૂબ નજીકના ગુણોત્તરમાં હોય છે, જેમ કે વાદળી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

સૂર્યથી ગ્રહોનું અંતર પણ સુવર્ણ ગુણોત્તરને અનુસરે છે.

ફોટો 32. સૂર્યથી ગ્રહોનું અંતર

રોજિંદા જીવનમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર

ગોલ્ડન રેશિયોનો ઉપયોગ રોજિંદા ઉપભોક્તા ઉત્પાદનોના માર્કેટિંગ અને ડિઝાઇનમાં શૈલી અને આકર્ષણ આપવા માટે પણ થાય છે. ઘણા ઉદાહરણો છે, પરંતુ અમે ફક્ત થોડા જ ઉદાહરણ આપીશું.

ફોટો 33. પ્રતીકટોયોટા

ફોટો 34. સુવર્ણ ગુણોત્તર અને કપડાં

ફોટો 34. ગોલ્ડન રેશિયો અને ઓટોમોટિવ ડિઝાઇન

ફોટો 35. પ્રતીકએપલ

ફોટો 36. પ્રતીકGoogle

કેસ સ્ટડીઝ

હવે આપણે પ્રાપ્ત કરેલ જ્ઞાનને વ્યવહારમાં લાગુ કરીશું. ચાલો પહેલા 8મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓમાં માપ લઈએ.

જો તમે ટેલિવિઝન ચિત્રને નજીકથી જોશો, તો તેના પરિમાણો 16 થી 9 અથવા 16 થી 10 હશે, જે સુવર્ણ ગુણોત્તરની પણ નજીક છે.

માં માપન અને બાંધકામો હાથ ધરવા CorelDRAW X4 અને રશિયા 24 ન્યૂઝ ચેનલમાંથી ફ્રેમનો ઉપયોગ કરીને, તમે નીચેની બાબતો શોધી શકો છો:

a) ફ્રેમની પહોળાઈ અને લંબાઈનો ગુણોત્તર 1.7 છે.

b) ફ્રેમમાંની વ્યક્તિ 3/8 ના અંતરે સ્થિત ફોકસ પોઈન્ટ પર બરાબર સ્થિત છે.

આગળ, ચાલો ઇઝવેસ્ટિયા અખબારના સત્તાવાર માઇક્રોબ્લોગ તરફ વળીએ, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ટ્વિટર પૃષ્ઠ પર. 4:3 બાજુઓ સાથે મોનિટર સ્ક્રીન માટે, આપણે જોઈએ છીએ કે પૃષ્ઠનું "હેડર" પૃષ્ઠની સમગ્ર ઊંચાઈના 3/8 છે.

લશ્કરી કેપ્સ પર નજીકથી નજર નાખતા, તમે નીચેની બાબતો શોધી શકો છો:

a) રશિયન ફેડરેશનના સંરક્ષણ પ્રધાનની કેપમાં 21.73 થી 15.52 ના દર્શાવેલ ભાગોનો ગુણોત્તર છે, જે 1.4 ની બરાબર છે.

b) બેલારુસ પ્રજાસત્તાકના સરહદ રક્ષકની કેપમાં દર્શાવેલ ભાગોના પરિમાણો 44.42 થી 21.33 છે, જે 2.1 ની બરાબર છે.

c) યુએસએસઆરના સમયથી કેપમાં દર્શાવેલ ભાગોના પરિમાણો 49.67 થી 31.04 છે, જે 1.6 ની બરાબર છે.

આ મોડેલ માટે, ડ્રેસની લંબાઈ 113.13 મીમી છે.

જો આપણે ડ્રેસને "આદર્શ" લંબાઈ સુધી "સમાપ્ત" કરીએ, તો આપણને આના જેવું ચિત્ર મળશે.

બધા માપમાં કેટલીક ભૂલ હોય છે, કારણ કે તે ફોટોગ્રાફ્સમાંથી હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, જે વલણને જોવામાં દખલ કરતું નથી - આદર્શ છે તે દરેક વસ્તુમાં એક અથવા બીજા ડિગ્રીનો સુવર્ણ ગુણોત્તર હોય છે.

નિષ્કર્ષ

જીવંત પ્રકૃતિની દુનિયા આપણને સંપૂર્ણપણે અલગ દેખાય છે - મોબાઇલ, પરિવર્તનશીલ અને આશ્ચર્યજનક રીતે વૈવિધ્યસભર. જીવન આપણને વિવિધતા અને સર્જનાત્મક સંયોજનોની વિશિષ્ટતાનો અદભૂત કાર્નિવલ બતાવે છે! નિર્જીવ પ્રકૃતિનું વિશ્વ, સૌ પ્રથમ, સમપ્રમાણતાનું વિશ્વ છે, જે તેની રચનાઓને સ્થિરતા અને સુંદરતા આપે છે. કુદરતી વિશ્વ, સૌ પ્રથમ, સંવાદિતાની દુનિયા છે, જેમાં "સુવર્ણ ગુણોત્તરનો કાયદો" કાર્ય કરે છે.

“"સુવર્ણ ગુણોત્તર" એ સત્યની તે ક્ષણ લાગે છે, જેના વિના, સામાન્ય રીતે, અસ્તિત્વમાં કંઈપણ શક્ય નથી. સંશોધનના તત્વ તરીકે આપણે જે પણ લઈએ, "ગોલ્ડન રેશિયો" દરેક જગ્યાએ હશે; જો તેનું કોઈ દૃશ્યમાન પાલન ન હોય તો પણ, તે ચોક્કસપણે ઊર્જાસભર, મોલેક્યુલર અથવા સેલ્યુલર સ્તરે થાય છે.

ખરેખર, કુદરત તેના મૂળભૂત નિયમોના અભિવ્યક્તિમાં એકવિધ (અને તેથી એકીકૃત!) હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તેણીએ શોધેલા "સૌથી સફળ" ઉકેલો વિવિધ પ્રકારની વસ્તુઓ અને સંસ્થાના વિવિધ સ્વરૂપોને લાગુ પડે છે. સંસ્થાની સાતત્ય અને વિવેકબુદ્ધિ દ્રવ્યની દ્વિ એકતામાંથી આવે છે - તેની કોર્પસ્ક્યુલર અને તરંગ પ્રકૃતિ, રસાયણશાસ્ત્રમાં પ્રવેશ કરે છે, જ્યાં તે પૂર્ણાંક સ્ટોઇકોમેટ્રીના નિયમો, સતત અને ચલ રચનાના રાસાયણિક સંયોજનો આપે છે. વનસ્પતિશાસ્ત્રમાં, સાતત્ય અને વિવેકબુદ્ધિ તેમની વિશિષ્ટ અભિવ્યક્તિને ફાયલોટેક્સિસ, વિવેકતાના ક્વોન્ટા, વૃદ્ધિની માત્રા, વિવેકની એકતા અને અવકાશ-સમય સંસ્થાની સાતત્યમાં શોધે છે. અને હવે, છોડના અવયવોના આંકડાકીય ગુણોત્તરમાં, એ. ગર્સ્કી દ્વારા રજૂ કરાયેલ "બહુવિધ ગુણોત્તરનો સિદ્ધાંત" દેખાય છે - રસાયણશાસ્ત્રના મૂળભૂત કાયદાનું સંપૂર્ણ પુનરાવર્તન.

અલબત્ત, આ બધી ઘટનાઓ ફિબોનાકી સિક્વન્સ પર આધારિત છે તે નિવેદન ખૂબ જ મોટેથી લાગે છે, પરંતુ વલણ સ્પષ્ટ છે. અને આ ઉપરાંત, તે પોતે આ વિશ્વની દરેક વસ્તુની જેમ સંપૂર્ણથી દૂર છે.

એવી ધારણા છે કે ફિબોનાકી શ્રેણી એ કુદરત દ્વારા વધુ મૂળભૂત અને સંપૂર્ણ સુવર્ણ ગુણોત્તર લઘુગણક ક્રમમાં અનુકૂલન કરવાનો પ્રયાસ છે, જે લગભગ સમાન છે, માત્ર તે ક્યાંયથી શરૂ થાય છે અને ક્યાંય જતું નથી. કુદરતને ચોક્કસપણે અમુક પ્રકારની સંપૂર્ણ શરૂઆતની જરૂર છે જેમાંથી તે શરૂ કરી શકે છે; ફિબોનાકી ક્રમની પ્રથમ શરતોનો ગુણોત્તર સુવર્ણ ગુણોત્તરથી ઘણો દૂર છે. પરંતુ આપણે તેની સાથે જેટલું આગળ વધીએ છીએ, તેટલું વધુ આ વિચલનો દૂર થાય છે. કોઈપણ શ્રેણીને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, એક પછી એક આવતા તેના ત્રણ શબ્દોને જાણવું પૂરતું છે. પરંતુ સુવર્ણ ક્રમ માટે નહીં, તેના માટે બે પૂરતા છે, તે એક જ સમયે ભૌમિતિક અને અંકગણિત પ્રગતિ છે. કોઈ એવું વિચારી શકે છે કે તે અન્ય તમામ સિક્વન્સનો આધાર છે.

સુવર્ણ લઘુગણક ક્રમનો દરેક શબ્દ એ સુવર્ણ પ્રમાણ () ની શક્તિ છે. શ્રેણીનો ભાગ આના જેવો દેખાય છે:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... જો આપણે ગોલ્ડન રેશિયોના મૂલ્યને ત્રણ દશાંશ સ્થાનો પર રાઉન્ડ કરીએ, તો આપણને મળે છે=1,618 , પછી શ્રેણી આના જેવી દેખાય છે:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... દરેક આગલી મુદત માત્ર અગાઉના એક વડે ગુણાકાર કરીને જ મેળવી શકાતી નથી1,618 , પણ અગાઉના બે ઉમેરીને. આમ, ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ ફક્ત બે સંલગ્ન તત્વો ઉમેરીને પ્રાપ્ત થાય છે. તે શરૂઆત કે અંત વગરની શ્રેણી છે અને ફિબોનાકી ક્રમ જેવો બનવાનો પ્રયત્ન કરે છે. ખૂબ જ ચોક્કસ શરૂઆત કર્યા પછી, તેણી આદર્શ માટે પ્રયત્ન કરે છે, તેને ક્યારેય પ્રાપ્ત કરતી નથી. તે જીવન છે.

અને તેમ છતાં, આપણે જોયેલા અને વાંચેલા દરેક બાબતોના સંબંધમાં, તદ્દન તાર્કિક પ્રશ્નો ઉભા થાય છે:
આ નંબરો ક્યાંથી આવ્યા? બ્રહ્માંડના આ આર્કિટેક્ટ કોણ છે જેણે તેને આદર્શ બનાવવાનો પ્રયાસ કર્યો? શું તે જે રીતે ઇચ્છતો હતો તે રીતે બધું હતું? અને જો એમ હોય તો, તે શા માટે ખોટું થયું? પરિવર્તનો? મફત પસંદગી? આગળ શું થશે? સર્પાકાર કર્લિંગ છે અથવા અનવાઇન્ડિંગ છે?

એક પ્રશ્નનો જવાબ મળ્યા પછી, તમને બીજો પ્રશ્ન મળશે. જો તમે તેને હલ કરો છો, તો તમને બે નવા મળશે. એકવાર તમે તેમની સાથે વ્યવહાર કરો, પછી ત્રણ વધુ દેખાશે. તેમને પણ હલ કર્યા પછી, તમારી પાસે પાંચ વણઉકેલાયેલા હશે. પછી આઠ, પછી તેર, 21, 34, 55...

વપરાયેલ સ્ત્રોતોની યાદી

Vasyutinsky, N. ગોલ્ડન પ્રમાણ / Vasyutinsky N, Moscow, Young Guard, 1990, - 238 p. - (યુરેકા).

વોરોબ્યોવ, એન.એન. ફિબોનાકી નંબરો,

ઍક્સેસ મોડ: . પ્રવેશ તારીખ: 11/17/2015.

ઍક્સેસ મોડ: . પ્રવેશ તારીખ: 16.11.2015.

ઍક્સેસ મોડ: . પ્રવેશ તારીખ: 13.11.2015.

બ્રહ્માંડમાં હજુ પણ ઘણા વણઉકેલ્યા રહસ્યો છે, જેમાંથી કેટલાક વૈજ્ઞાનિકો પહેલાથી જ ઓળખવામાં અને તેનું વર્ણન કરવામાં સક્ષમ છે. ફિબોનાકી સંખ્યાઓ અને સુવર્ણ ગુણોત્તર આપણી આસપાસની દુનિયાને ઉઘાડી પાડવા, તેના સ્વરૂપનું નિર્માણ કરવા અને વ્યક્તિ દ્વારા શ્રેષ્ઠ દ્રશ્ય દ્રષ્ટિનો આધાર બનાવે છે, જેની મદદથી તે સુંદરતા અને સંવાદિતા અનુભવી શકે છે.

સુવર્ણ ગુણોત્તર

સુવર્ણ ગુણોત્તરના પરિમાણોને નિર્ધારિત કરવાનો સિદ્ધાંત સમગ્ર વિશ્વની સંપૂર્ણતા અને તેની રચના અને કાર્યોમાં તેના ભાગોનો આધાર રાખે છે, તેનું અભિવ્યક્તિ પ્રકૃતિ, કલા અને તકનીકમાં જોઈ શકાય છે. સુવર્ણ પ્રમાણના સિદ્ધાંતની સ્થાપના પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા સંખ્યાઓની પ્રકૃતિમાં સંશોધનના પરિણામે કરવામાં આવી હતી.

તે વિભાગોના વિભાગોના પ્રમાણ અને ગુણોત્તરના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે, જે પ્રાચીન ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી પાયથાગોરસ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું હતું. તેણે સાબિત કર્યું કે સેગમેન્ટને બે ભાગમાં વિભાજીત કરતી વખતે: X (નાના) અને Y (મોટા), મોટા અને નાનાનો ગુણોત્તર તેમના સરવાળા (સંપૂર્ણ સેગમેન્ટ) ના ગુણોત્તર સમાન હશે:

પરિણામ એ સમીકરણ છે: x 2 - x - 1=0,જે તરીકે ઉકેલાય છે x=(1±√5)/2.

જો આપણે ગુણોત્તર 1/x ગણીએ, તો તે બરાબર છે 1,618…

પ્રાચીન ચિંતકો દ્વારા સુવર્ણ ગુણોત્તરના ઉપયોગનો પુરાવો યુક્લિડના પુસ્તક "એલિમેન્ટ્સ" માં આપવામાં આવ્યો છે, જે 3જી સદીમાં લખવામાં આવ્યો હતો. પૂર્વે, જેમણે નિયમિત પંચકોણ બાંધવા માટે આ નિયમ લાગુ કર્યો હતો. પાયથાગોરિયનોમાં, આ આંકડો પવિત્ર માનવામાં આવે છે કારણ કે તે સપ્રમાણ અને અસમપ્રમાણ બંને છે. પેન્ટાગ્રામ જીવન અને આરોગ્યનું પ્રતીક છે.

ફિબોનાકી નંબરો

પીસાના ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો દ્વારા પ્રખ્યાત પુસ્તક લિબર એબેસી, જે પાછળથી ફિબોનાકી તરીકે જાણીતું બન્યું, તે 1202 માં પ્રકાશિત થયું હતું. તેમાં, વૈજ્ઞાનિકે પ્રથમ વખત સંખ્યાઓની પેટર્ન ટાંકી છે, જેની શ્રેણીમાં દરેક સંખ્યાનો સરવાળો છે. 2 અગાઉના અંકો. ફિબોનાકી નંબરનો ક્રમ નીચે મુજબ છે:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, વગેરે.

વૈજ્ઞાનિકે સંખ્યાબંધ દાખલાઓ પણ ટાંક્યા:

• શ્રેણીમાંથી કોઈપણ સંખ્યાને આગામી એક વડે ભાગવામાં આવે તે મૂલ્ય 0.618 ની બરાબર હશે. તદુપરાંત, પ્રથમ ફિબોનાકી નંબરો આવી સંખ્યા આપતા નથી, પરંતુ જેમ જેમ આપણે ક્રમની શરૂઆતથી આગળ વધીશું તેમ તેમ આ ગુણોત્તર વધુ ને વધુ સચોટ થતો જશે.
• જો તમે શ્રેણીમાંથી સંખ્યાને પાછલા એક દ્વારા વિભાજીત કરો છો, તો પરિણામ 1.618 સુધી પહોંચશે.
• એક સંખ્યાને બીજા દ્વારા એક વડે ભાગવામાં આવે તો તે 0.382 નું મૂલ્ય દર્શાવશે.

સુવર્ણ ગુણોત્તર, ફિબોનાકી નંબર (0.618) ના જોડાણ અને દાખલાઓનો ઉપયોગ ફક્ત ગણિતમાં જ નહીં, પણ પ્રકૃતિ, ઇતિહાસ, સ્થાપત્ય અને બાંધકામ અને અન્ય ઘણા વિજ્ઞાનમાં પણ મળી શકે છે.

આર્કિમિડીઝ સર્પાકાર અને સોનેરી લંબચોરસ

સર્પાકાર, પ્રકૃતિમાં ખૂબ જ સામાન્ય, આર્કિમિડીઝ દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે તેનું સમીકરણ પણ મેળવ્યું હતું. સર્પાકારનો આકાર સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમો પર આધારિત છે. તેને અનવાઈન્ડ કરતી વખતે, એક લંબાઈ પ્રાપ્ત થાય છે કે જેના પર પ્રમાણ અને ફિબોનાકી નંબરો લાગુ કરી શકાય છે;

ફિબોનાકી સંખ્યાઓ અને સુવર્ણ ગુણોત્તર વચ્ચેના સમાંતરને "ગોલ્ડન લંબચોરસ" બાંધીને જોઈ શકાય છે જેની બાજુઓ 1.618:1 તરીકે પ્રમાણસર હોય છે. તે મોટા લંબચોરસથી નાનામાં ખસેડીને બનાવવામાં આવે છે જેથી બાજુઓની લંબાઈ શ્રેણીમાંથી સંખ્યાઓ જેટલી હોય. તે ચોરસ “1” થી શરૂ કરીને, વિપરીત ક્રમમાં પણ બનાવી શકાય છે. જ્યારે આ લંબચોરસના ખૂણાઓ તેમના આંતરછેદના કેન્દ્રમાં રેખાઓ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે, ત્યારે ફિબોનાકી અથવા લઘુગણક સર્પાકાર પ્રાપ્ત થાય છે.

સુવર્ણ પ્રમાણના ઉપયોગનો ઇતિહાસ

ઇજિપ્તના ઘણા પ્રાચીન સ્થાપત્ય સ્મારકો સોનેરી પ્રમાણનો ઉપયોગ કરીને બાંધવામાં આવ્યા હતા: ચેઓપ્સના પ્રખ્યાત પિરામિડ વગેરે. પ્રાચીન ગ્રીસના આર્કિટેક્ટ્સે મંદિરો, એમ્ફીથિયેટર અને સ્ટેડિયમ જેવી સ્થાપત્ય વસ્તુઓના નિર્માણમાં તેનો વ્યાપક ઉપયોગ કર્યો હતો. ઉદાહરણ તરીકે, આવા પ્રમાણનો ઉપયોગ પાર્થેનોનના પ્રાચીન મંદિર, (એથેન્સ) અને અન્ય વસ્તુઓના નિર્માણમાં કરવામાં આવ્યો હતો જે ગાણિતિક પેટર્ન પર આધારિત સંવાદિતા દર્શાવતી પ્રાચીન સ્થાપત્યની શ્રેષ્ઠ કૃતિ બની હતી.

પાછળની સદીઓમાં, સુવર્ણ ગુણોત્તરમાં રસ ઓછો થયો, અને પેટર્ન ભૂલી ગયા, પરંતુ તે પુનરુજ્જીવનમાં ફ્રાન્સિસકન સાધુ એલ. પેસિઓલી ડી બોર્ગોના પુસ્તક "ધ ડિવાઈન પ્રોપોર્શન" (1509) સાથે ફરી શરૂ થયું. તેમાં લિયોનાર્ડો દા વિન્સીના ચિત્રો હતા, જેમણે નવું નામ “ગોલ્ડન રેશિયો” સ્થાપિત કર્યું હતું. સુવર્ણ ગુણોત્તરના 12 ગુણધર્મો પણ વૈજ્ઞાનિક રીતે સાબિત થયા હતા, અને લેખકે તે કેવી રીતે પ્રકૃતિમાં, કલામાં પોતાને પ્રગટ કરે છે તે વિશે વાત કરી અને તેને "વિશ્વ અને પ્રકૃતિના નિર્માણનો સિદ્ધાંત" કહ્યો.

વિટ્રુવિયન મેન લિયોનાર્ડો

લિયોનાર્ડો દા વિન્સીએ 1492 માં વિટ્રુવિયસના પુસ્તકનું ચિત્રણ કરવા માટે જે ચિત્રનો ઉપયોગ કર્યો હતો, તે બાજુઓ પર ફેલાયેલા હાથ સાથે 2 સ્થિતિમાં માનવ આકૃતિ દર્શાવે છે. આકૃતિ એક વર્તુળ અને ચોરસમાં લખેલી છે. આ રેખાંકનને માનવ શરીર (પુરુષ) ના પ્રમાણભૂત પ્રમાણ તરીકે ગણવામાં આવે છે, જેનું વર્ણન લિયોનાર્ડોએ રોમન આર્કિટેક્ટ વિટ્રુવિયસના ગ્રંથોમાં અભ્યાસના આધારે કર્યું છે.

હાથ અને પગના અંતથી એક સમાન બિંદુ તરીકે શરીરનું કેન્દ્ર નાભિ છે, હાથની લંબાઈ વ્યક્તિની ઊંચાઈ જેટલી છે, ખભાની મહત્તમ પહોળાઈ = ઊંચાઈના 1/8, છાતીની ટોચથી વાળ સુધીનું અંતર = 1/7, છાતીની ટોચથી માથાની ટોચ સુધીનું અંતર = 1/6 વગેરે.

ત્યારથી, ચિત્રનો ઉપયોગ માનવ શરીરની આંતરિક સમપ્રમાણતા દર્શાવતા પ્રતીક તરીકે કરવામાં આવે છે.

લિયોનાર્ડોએ માનવ આકૃતિમાં પ્રમાણસર સંબંધોને નિયુક્ત કરવા માટે "ગોલ્ડન રેશિયો" શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો. ઉદાહરણ તરીકે, કમરથી પગ સુધીનું અંતર નાભિથી માથાની ટોચ સુધીના સમાન અંતર સાથે સંબંધિત છે તે જ રીતે ઊંચાઈ પ્રથમ લંબાઈ (કમરથી નીચે) સુધી છે. સુવર્ણ પ્રમાણની ગણતરી કરતી વખતે આ ગણતરી સેગમેન્ટના ગુણોત્તરની જેમ જ કરવામાં આવે છે અને તે 1.618 તરફ વળે છે.

આ બધા સુમેળભર્યા પ્રમાણનો ઉપયોગ કલાકારો દ્વારા સુંદર અને પ્રભાવશાળી કૃતિઓ બનાવવા માટે કરવામાં આવે છે.

16મી થી 19મી સદીમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર પર સંશોધન

સુવર્ણ ગુણોત્તર અને ફિબોનાકી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને, પ્રમાણના મુદ્દા પર સંશોધન સદીઓથી ચાલી રહ્યું છે. લિયોનાર્ડો દા વિન્સીની સમાંતર, જર્મન કલાકાર આલ્બ્રેક્ટ ડ્યુરેરે પણ માનવ શરીરના યોગ્ય પ્રમાણના સિદ્ધાંતના વિકાસ પર કામ કર્યું. આ હેતુ માટે, તેણે એક ખાસ હોકાયંત્ર પણ બનાવ્યું.

16મી સદીમાં ફિબોનાકી નંબર અને સુવર્ણ ગુણોત્તર વચ્ચેના જોડાણનો પ્રશ્ન ખગોળશાસ્ત્રી I. કેપ્લરના કાર્યને સમર્પિત હતો, જેમણે પ્રથમ વખત આ નિયમો વનસ્પતિશાસ્ત્રમાં લાગુ કર્યા હતા.

19મી સદીમાં સુવર્ણ ગુણોત્તરની નવી "શોધ" રાહ જોઈ રહી હતી. જર્મન વૈજ્ઞાનિક પ્રોફેસર ઝેસીગના "એસ્થેટિક ઇન્વેસ્ટિગેશન" ના પ્રકાશન સાથે. તેમણે આ પ્રમાણોને નિરપેક્ષતામાં વધાર્યા અને જાહેર કર્યું કે તે તમામ કુદરતી ઘટનાઓ માટે સાર્વત્રિક છે. તેણે મોટી સંખ્યામાં લોકોનો અભ્યાસ કર્યો, અથવા તેના બદલે તેમના શારીરિક પ્રમાણ (લગભગ 2 હજાર), જેના પરિણામોના આધારે શરીરના વિવિધ ભાગોના ગુણોત્તરમાં આંકડાકીય રીતે પુષ્ટિ થયેલ પેટર્ન વિશે તારણો કાઢવામાં આવ્યા: ખભાની લંબાઈ, આગળના હાથ, હાથ, આંગળીઓ, વગેરે.

કવિતાઓ લખતી વખતે કલાના પદાર્થો (વાઝ, આર્કિટેક્ચરલ સ્ટ્રક્ચર્સ), સંગીતના ટોન અને કદનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો - ઝેસિગે આ બધું સેગમેન્ટ્સ અને સંખ્યાઓની લંબાઈ દ્વારા પ્રદર્શિત કર્યું, અને તેણે "ગાણિતિક સૌંદર્ય શાસ્ત્ર" શબ્દ પણ રજૂ કર્યો. પરિણામો પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તે બહાર આવ્યું કે ફિબોનાકી શ્રેણી મેળવવામાં આવી હતી.

ફિબોનાકી નંબર અને પ્રકૃતિમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર

વનસ્પતિ અને પ્રાણી વિશ્વમાં સપ્રમાણતાના સ્વરૂપમાં મોર્ફોલોજી તરફ વલણ છે, જે વૃદ્ધિ અને ચળવળની દિશામાં જોવા મળે છે. સપ્રમાણ ભાગોમાં વિભાજન જેમાં સોનેરી પ્રમાણ જોવા મળે છે - આ પેટર્ન ઘણા છોડ અને પ્રાણીઓમાં સહજ છે.

ફિબોનાકી નંબરોનો ઉપયોગ કરીને આપણી આસપાસની પ્રકૃતિનું વર્ણન કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે:

• કોઈપણ છોડના પાંદડા અથવા શાખાઓનું સ્થાન, તેમજ અંતર, આપેલ સંખ્યાઓ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 અને તેથી વધુની શ્રેણી સાથે સંબંધિત છે;
• સૂર્યમુખીના બીજ (શંકુ પરના ભીંગડા, અનેનાસના કોષો), જુદી જુદી દિશામાં ટ્વિસ્ટેડ સર્પાકાર સાથે બે હરોળમાં ગોઠવાયેલા;
• પૂંછડીની લંબાઈ અને ગરોળીના સમગ્ર શરીરનો ગુણોત્તર;
• ઇંડાનો આકાર, જો તમે તેના વિશાળ ભાગ દ્વારા રેખા દોરો છો;
• વ્યક્તિના હાથ પર આંગળીના કદનો ગુણોત્તર.

અને, અલબત્ત, સૌથી રસપ્રદ આકારોમાં સર્પાકાર ગોકળગાયના શેલ, કરોળિયાના જાળાઓ પરની પેટર્ન, વાવાઝોડાની અંદર પવનની હિલચાલ, ડીએનએમાં ડબલ હેલિક્સ અને તારાવિશ્વોની રચનાનો સમાવેશ થાય છે - આ બધામાં ફિબોનાકી ક્રમનો સમાવેશ થાય છે.

કલામાં સુવર્ણ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ

કલાના અભ્યાસમાં સુવર્ણ ગુણોત્તરના ઉપયોગના ઉદાહરણો શોધી રહેલા સંશોધકો વિવિધ આર્કિટેક્ચરલ ચીજવસ્તુઓ અને કલાના કાર્યોનો વિગતવાર અભ્યાસ કરે છે. ત્યાં પ્રખ્યાત શિલ્પકૃતિઓ છે, જેનાં સર્જકો સુવર્ણ પ્રમાણને વળગી રહ્યાં છે - ઓલિમ્પિયન ઝિયસની મૂર્તિઓ, એપોલો બેલ્વેડેર અને

લિયોનાર્ડો દા વિન્સીની રચનાઓમાંની એક, "મોના લિસાનું પોટ્રેટ", ઘણા વર્ષોથી વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા સંશોધનનો વિષય છે. તેઓએ શોધ્યું કે કાર્યની રચનામાં સંપૂર્ણ રીતે "સુવર્ણ ત્રિકોણ" નો સમાવેશ થાય છે જે એકસાથે નિયમિત પેન્ટાગોન-સ્ટારમાં એક થાય છે. દા વિન્સીની બધી કૃતિઓ એ વાતનો પુરાવો છે કે માનવ શરીરની રચના અને પ્રમાણમાં તેમનું જ્ઞાન કેટલું ઊંડું હતું, જેના કારણે તે મોના લિસાના અતિ રહસ્યમય સ્મિતને કેપ્ચર કરવામાં સક્ષમ હતા.

આર્કિટેક્ચરમાં ગોલ્ડન રેશિયો

ઉદાહરણ તરીકે, વૈજ્ઞાનિકોએ "ગોલ્ડન રેશિયો" ના નિયમો અનુસાર બનાવેલ આર્કિટેક્ચરલ માસ્ટરપીસની તપાસ કરી: ઇજિપ્તીયન પિરામિડ, પેન્થિઓન, પાર્થેનોન, નોટ્રે ડેમ ડી પેરિસ કેથેડ્રલ, સેન્ટ બેસિલ કેથેડ્રલ, વગેરે.

પાર્થેનોન - પ્રાચીન ગ્રીસ (5મી સદી બીસી) ની સૌથી સુંદર ઇમારતોમાંની એક - 8 કૉલમ અને 17 વિવિધ બાજુઓ પર છે, તેની ઊંચાઈ અને બાજુઓની લંબાઈનો ગુણોત્તર 0.618 છે. તેના રવેશ પરના પ્રોટ્રુઝન "ગોલ્ડન રેશિયો" (નીચે ફોટો) અનુસાર બનાવવામાં આવે છે.

આર્કિટેક્ચરલ ઑબ્જેક્ટ્સ (કહેવાતા "મોડ્યુલર") માટેના પ્રમાણની મોડ્યુલર સિસ્ટમમાં સુધારો લાવવા અને સફળતાપૂર્વક લાગુ કરનારા વૈજ્ઞાનિકોમાંના એક ફ્રેન્ચ આર્કિટેક્ટ લે કોર્બ્યુઝિયર હતા. મોડ્યુલેટર માનવ શરીરના ભાગોમાં શરતી વિભાજન સાથે સંકળાયેલ માપન સિસ્ટમ પર આધારિત છે.

રશિયન આર્કિટેક્ટ એમ. કાઝાકોવ, જેમણે મોસ્કોમાં ઘણી રહેણાંક ઇમારતો, તેમજ ક્રેમલિનમાં સેનેટ બિલ્ડિંગ અને ગોલિટ્સિન હોસ્પિટલ (હવે N. I. પિરોગોવના નામ પર 1 લી ક્લિનિકલ નામ આપવામાં આવ્યું છે) બનાવ્યા હતા, તે એવા આર્કિટેક્ટ્સમાંના એક હતા જેમણે ડિઝાઇનમાં કાયદાનો ઉપયોગ કર્યો હતો અને સુવર્ણ ગુણોત્તર વિશે બાંધકામ.

ડિઝાઇનમાં પ્રમાણ લાગુ કરવું

કપડાંની ડિઝાઇનમાં, બધા ફેશન ડિઝાઇનરો માનવ શરીરના પ્રમાણ અને સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમોને ધ્યાનમાં લઈને નવી છબીઓ અને મોડેલો બનાવે છે, જોકે પ્રકૃતિ દ્વારા બધા લોકોમાં આદર્શ પ્રમાણ હોતું નથી.

લેન્ડસ્કેપ ડિઝાઇનનું આયોજન કરતી વખતે અને છોડ (ઝાડ અને ઝાડીઓ), ફુવારાઓ અને નાના આર્કિટેક્ચરલ વસ્તુઓની મદદથી ત્રિ-પરિમાણીય પાર્ક કમ્પોઝિશન બનાવતી વખતે, "દૈવી પ્રમાણ" ના નિયમો પણ લાગુ કરી શકાય છે. છેવટે, ઉદ્યાનની રચના મુલાકાતી પર એક છાપ બનાવવા પર કેન્દ્રિત હોવી જોઈએ, જે તેને મુક્તપણે નેવિગેટ કરી શકશે અને રચનાત્મક કેન્દ્ર શોધી શકશે.

ઉદ્યાનના તમામ ઘટકો ભૌમિતિક બંધારણ, સંબંધિત સ્થિતિ, રોશની અને પ્રકાશની મદદથી સંવાદિતા અને સંપૂર્ણતાની છાપ ઊભી કરવા માટે એવા પ્રમાણમાં છે.

સાયબરનેટિક્સ અને ટેકનોલોજીમાં સુવર્ણ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ

સુવર્ણ વિભાગ અને ફિબોનાકી સંખ્યાઓના નિયમો પણ ઉર્જા સંક્રમણોમાં દેખાય છે, રાસાયણિક સંયોજનો બનાવતા પ્રાથમિક કણો સાથે થતી પ્રક્રિયાઓમાં, અવકાશ પ્રણાલીઓમાં અને ડીએનએની આનુવંશિક રચનામાં.

સમાન પ્રક્રિયાઓ માનવ શરીરમાં થાય છે, જે તેના જીવનના બાયોરિધમ્સમાં, અંગોની ક્રિયામાં, ઉદાહરણ તરીકે, મગજ અથવા દ્રષ્ટિમાં પ્રગટ થાય છે.

આધુનિક સાયબરનેટિક્સ અને કોમ્પ્યુટર સાયન્સમાં એલ્ગોરિધમ્સ અને સોનેરી પ્રમાણના દાખલાઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. શિખાઉ પ્રોગ્રામરોને ઉકેલવા માટે જે સરળ કાર્ય આપવામાં આવે છે તેમાંનું એક ફોર્મ્યુલા લખવાનું અને પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ સંખ્યા સુધી ફિબોનાકી સંખ્યાઓનો સરવાળો નક્કી કરવાનું છે.

ગોલ્ડન રેશિયોના સિદ્ધાંતમાં આધુનિક સંશોધન

20મી સદીના મધ્યભાગથી, માનવ જીવન પર સુવર્ણ પ્રમાણના કાયદાઓની સમસ્યાઓ અને પ્રભાવમાં રસ ઝડપથી વધ્યો છે, અને વિવિધ વ્યવસાયોના ઘણા વૈજ્ઞાનિકો તરફથી: ગણિતશાસ્ત્રીઓ, વંશીય સંશોધકો, જીવવિજ્ઞાનીઓ, ફિલસૂફો, તબીબી કામદારો, અર્થશાસ્ત્રીઓ, સંગીતકારો, વગેરે

યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સમાં, ફિબોનાકી ક્વાર્ટરલી મેગેઝિન 1970 માં પ્રકાશિત કરવાનું શરૂ કર્યું, જ્યાં આ વિષય પરની કૃતિઓ પ્રકાશિત કરવામાં આવી. પ્રેસમાં કૃતિઓ દેખાય છે જેમાં જ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર અને ફિબોનાકી શ્રેણીના સામાન્ય નિયમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, માહિતી કોડિંગ, રાસાયણિક સંશોધન, જૈવિક સંશોધન વગેરે માટે.

આ બધું પ્રાચીન અને આધુનિક વૈજ્ઞાનિકોના નિષ્કર્ષની પુષ્ટિ કરે છે કે સુવર્ણ પ્રમાણ બહુપક્ષીય રીતે વિજ્ઞાનના મૂળભૂત મુદ્દાઓ સાથે સંબંધિત છે અને તે આપણી આસપાસના વિશ્વની ઘણી રચનાઓ અને ઘટનાઓની સમપ્રમાણતામાં પ્રગટ થાય છે.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

ફિબોનાકી નંબરો અને ગોલ્ડન રેશિયોઆસપાસના વિશ્વને સમજવા માટે, તેના સ્વરૂપનું નિર્માણ અને વ્યક્તિ દ્વારા શ્રેષ્ઠ દ્રશ્ય દ્રષ્ટિકોણ માટેનો આધાર બનાવે છે, જેની મદદથી તે સુંદરતા અને સંવાદિતા અનુભવી શકે છે.

સુવર્ણ ગુણોત્તરના પરિમાણોને નિર્ધારિત કરવાનો સિદ્ધાંત સમગ્ર વિશ્વની સંપૂર્ણતા અને તેની રચના અને કાર્યોમાં તેના ભાગોનો આધાર રાખે છે, તેનું અભિવ્યક્તિ પ્રકૃતિ, કલા અને તકનીકમાં જોઈ શકાય છે. સુવર્ણ પ્રમાણના સિદ્ધાંતની સ્થાપના પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા સંખ્યાઓની પ્રકૃતિમાં સંશોધનના પરિણામે કરવામાં આવી હતી.

પ્રાચીન ચિંતકો દ્વારા સુવર્ણ ગુણોત્તરના ઉપયોગનો પુરાવો યુક્લિડના પુસ્તક "એલિમેન્ટ્સ" માં આપવામાં આવ્યો છે, જે 3જી સદીમાં લખવામાં આવ્યો હતો. પૂર્વે, જેમણે નિયમિત પંચકોણ બાંધવા માટે આ નિયમ લાગુ કર્યો હતો. પાયથાગોરિયનોમાં, આ આંકડો પવિત્ર માનવામાં આવે છે કારણ કે તે સપ્રમાણ અને અસમપ્રમાણ બંને છે. પેન્ટાગ્રામ જીવન અને આરોગ્યનું પ્રતીક છે.

ફિબોનાકી નંબરો

પીસાના ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો દ્વારા પ્રખ્યાત પુસ્તક લિબર એબેસી, જે પાછળથી ફિબોનાકી તરીકે જાણીતું બન્યું, તે 1202 માં પ્રકાશિત થયું હતું. તેમાં, વૈજ્ઞાનિકે પ્રથમ વખત સંખ્યાઓની પેટર્ન ટાંકી છે, જેની શ્રેણીમાં દરેક સંખ્યાનો સરવાળો છે. 2 અગાઉના અંકો. ફિબોનાકી નંબરનો ક્રમ નીચે મુજબ છે:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, વગેરે.

વૈજ્ઞાનિકે સંખ્યાબંધ દાખલાઓ પણ ટાંક્યા:

શ્રેણીમાંથી કોઈપણ સંખ્યાને આગામી એક વડે ભાગવામાં આવે તે મૂલ્ય 0.618 ની બરાબર હશે. તદુપરાંત, પ્રથમ ફિબોનાકી નંબરો આવી સંખ્યા આપતા નથી, પરંતુ જેમ જેમ આપણે ક્રમની શરૂઆતથી આગળ વધીશું તેમ તેમ આ ગુણોત્તર વધુ ને વધુ સચોટ થતો જશે.

જો તમે શ્રેણીમાંથી સંખ્યાને પાછલા એક દ્વારા વિભાજીત કરો છો, તો પરિણામ 1.618 સુધી પહોંચશે.

એક સંખ્યાને બીજા દ્વારા એક વડે ભાગવામાં આવે તો તે 0.382 નું મૂલ્ય દર્શાવશે.

સુવર્ણ ગુણોત્તર, ફિબોનાકી નંબર (0.618) ના જોડાણ અને દાખલાઓનો ઉપયોગ ફક્ત ગણિતમાં જ નહીં, પણ પ્રકૃતિ, ઇતિહાસ, સ્થાપત્ય અને બાંધકામ અને અન્ય ઘણા વિજ્ઞાનમાં પણ મળી શકે છે.

વ્યવહારુ હેતુઓ માટે, તેઓ Φ = 1.618 અથવા Φ = 1.62 ના અંદાજિત મૂલ્ય સુધી મર્યાદિત છે. ગોળાકાર ટકાવારી મૂલ્યમાં, સુવર્ણ ગુણોત્તર એ 62% અને 38% ના ગુણોત્તરમાં કોઈપણ મૂલ્યનો ભાગ છે.

ઐતિહાસિક રીતે, ગોલ્ડન સેક્શનને મૂળ રીતે સેગમેન્ટ AB નું બિંદુ C દ્વારા બે ભાગોમાં વિભાજન કહેવામાં આવતું હતું (નાના સેગમેન્ટ AC અને મોટા સેગમેન્ટ BC), જેથી સેગમેન્ટની લંબાઈ માટે AC/BC = BC/AB સાચું હતું. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, સુવર્ણ ગુણોત્તર એક સેગમેન્ટને બે અસમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે જેથી નાનો ભાગ મોટા ભાગ સાથે સંબંધિત હોય, જેમ કે મોટો ભાગ સમગ્ર સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત હોય. પાછળથી આ ખ્યાલને મનસ્વી માત્રામાં વિસ્તારવામાં આવ્યો.

નંબર Φ પણ કહેવાય છેગોલ્ડન નંબર.

સુવર્ણ ગુણોત્તરમાં ઘણી અદ્ભુત ગુણધર્મો છે, પરંતુ તે ઉપરાંત, ઘણી કાલ્પનિક ગુણધર્મો તેને આભારી છે.

હવે વિગતો:

GS ની વ્યાખ્યા એ એવા ગુણોત્તરમાં એક સેગમેન્ટનું બે ભાગોમાં વિભાજન છે જેમાં મોટો ભાગ નાના ભાગ સાથે સંબંધિત છે, કારણ કે તેમનો સરવાળો (સંપૂર્ણ સેગમેન્ટ) મોટા ભાગ સાથે છે.

એટલે કે, જો આપણે સમગ્ર સેગમેન્ટ c ને 1 તરીકે લઈએ, તો સેગમેન્ટ a 0.618, સેગમેન્ટ b - 0.382 ની બરાબર હશે. આમ, જો આપણે કોઈ મકાન લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, 3S સિદ્ધાંત મુજબ બાંધવામાં આવેલ મંદિર, તો તેની ઊંચાઈ સાથે, કહો, 10 મીટર, ગુંબજ સાથેના ડ્રમની ઊંચાઈ 3.82 સેમી હશે, અને તેના પાયાની ઊંચાઈ હશે. માળખું 6.18 સેમી હશે (તે સ્પષ્ટ છે કે સ્પષ્ટતા માટે સંખ્યાઓ ફ્લેટ લેવામાં આવી છે)

ZS અને ફિબોનાકી નંબરો વચ્ચે શું જોડાણ છે?

ફિબોનાકી ક્રમ નંબરો છે:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

સંખ્યાઓની પેટર્ન એવી છે કે દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉની બે સંખ્યાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21, વગેરે,

અને અડીને આવેલી સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર ZS ના ગુણોત્તર સુધી પહોંચે છે.
તેથી, 21: 34 = 0.617, અને 34: 55 = 0.618.

એટલે કે, GS ફિબોનાકી ક્રમની સંખ્યાઓ પર આધારિત છે.

એવું માનવામાં આવે છે કે "ગોલ્ડન રેશિયો" શબ્દની રજૂઆત લિયોનાર્ડો દા વિન્સી દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેમણે કહ્યું હતું કે, "કોઈપણ વ્યક્તિ જે ગણિતશાસ્ત્રી નથી તે મારી રચનાઓ વાંચવાની હિંમત ન કરે" અને તેના પ્રખ્યાત ચિત્ર "વિટ્રુવિયન મેન" માં માનવ શરીરનું પ્રમાણ દર્શાવ્યું. " "જો આપણે માનવ આકૃતિ - બ્રહ્માંડની સૌથી સંપૂર્ણ રચના - એક પટ્ટા સાથે બાંધીએ અને પછી પટ્ટાથી પગ સુધીનું અંતર માપીએ, તો આ મૂલ્ય સમાન પટ્ટાથી માથાની ટોચ સુધીના અંતર સાથે સંબંધિત હશે, જેમ વ્યક્તિની સમગ્ર ઊંચાઈ કમરથી પગ સુધીની લંબાઈ સાથે સંબંધિત છે.

ફિબોનાકી નંબર શ્રેણી સર્પાકારના રૂપમાં દૃષ્ટિની રીતે તૈયાર કરવામાં આવી છે (મટીરિયલાઇઝ્ડ) છે.

અને પ્રકૃતિમાં, જીએસ સર્પાકાર આના જેવો દેખાય છે:

તે જ સમયે, સર્પાકાર દરેક જગ્યાએ જોવા મળે છે (પ્રકૃતિમાં અને માત્ર નહીં):

મોટાભાગના છોડના બીજ સર્પાકારમાં ગોઠવાયેલા હોય છે
- સ્પાઈડર સર્પાકારમાં વેબ વણાટ કરે છે
- વાવાઝોડું સર્પાકારની જેમ ફરતું હોય છે
- શીત પ્રદેશનું હરણનું ડરી ગયેલું ટોળું સર્પાકારમાં વિખેરી નાખે છે.
- ડીએનએ પરમાણુ ડબલ હેલિક્સમાં ટ્વિસ્ટેડ છે. ડીએનએ પરમાણુ બે ઊભી રીતે ગૂંથેલા હેલિકોથી બનેલું છે, 34 એંગસ્ટ્રોમ લાંબુ અને 21 એંગસ્ટ્રોમ પહોળું. 21 અને 34 નંબરો ફિબોનાકી ક્રમમાં એકબીજાને અનુસરે છે.
- ગર્ભ સર્પાકાર આકારમાં વિકાસ પામે છે
- આંતરિક કાનમાં કોક્લીયર સર્પાકાર
- પાણી સર્પાકારમાં ગટરની નીચે જાય છે
- સર્પાકાર ગતિશીલતા સર્પાકારમાં વ્યક્તિના વ્યક્તિત્વ અને તેના મૂલ્યોનો વિકાસ દર્શાવે છે.
- અને અલબત્ત, ગેલેક્સી પોતે સર્પાકારનો આકાર ધરાવે છે

આમ, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે કુદરત પોતે સુવર્ણ વિભાગના સિદ્ધાંત અનુસાર બનાવવામાં આવી છે, તેથી જ આ પ્રમાણ માનવ આંખ દ્વારા વધુ સુમેળમાં જોવામાં આવે છે. તેને વિશ્વના પરિણામી ચિત્રમાં "સુધારણા" અથવા ઉમેરાની જરૂર નથી.

મૂવી. ભગવાનનો નંબર. ભગવાનનો અકાટ્ય પુરાવો; ભગવાનની સંખ્યા. ભગવાનનો અવિચારી પુરાવો.

ડીએનએ પરમાણુની રચનામાં સુવર્ણ પ્રમાણ

જીવંત પ્રાણીઓની શારીરિક લાક્ષણિકતાઓ વિશેની તમામ માહિતી માઇક્રોસ્કોપિક ડીએનએ પરમાણુમાં સંગ્રહિત છે, જેની રચનામાં સુવર્ણ પ્રમાણનો કાયદો પણ છે. ડીએનએ પરમાણુ બે ઊભી રીતે એકબીજા સાથે જોડાયેલા હેલિકો ધરાવે છે. આ દરેક સર્પાકારની લંબાઈ 34 એંગસ્ટ્રોમ અને પહોળાઈ 21 એંગસ્ટ્રોમ છે. (1 એંગસ્ટ્રોમ એ સેન્ટીમીટરનો સો મિલિયનમો ભાગ છે).

21 અને 34 એ ફિબોનાકી સંખ્યાઓના ક્રમમાં એકબીજાને અનુસરતી સંખ્યાઓ છે, એટલે કે, DNA પરમાણુના લઘુગણક સર્પાકારની લંબાઈ અને પહોળાઈનો ગુણોત્તર સુવર્ણ ગુણોત્તર 1:1.618નું સૂત્ર ધરાવે છે.

માઇક્રોકોસ્મ્સની રચનામાં સુવર્ણ ગુણોત્તર

ભૌમિતિક આકારો માત્ર ત્રિકોણ, ચોરસ, પંચકોણ અથવા ષટ્કોણ સુધી મર્યાદિત નથી. જો આપણે આ આંકડાઓને એકબીજા સાથે જુદી જુદી રીતે જોડીએ, તો આપણને નવા ત્રિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક આકૃતિઓ મળે છે. આનાં ઉદાહરણો ક્યુબ અથવા પિરામિડ જેવા આકૃતિઓ છે. જો કે, તેમના ઉપરાંત, અન્ય ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિઓ પણ છે જેનો આપણે રોજિંદા જીવનમાં સામનો કર્યો નથી, અને જેમના નામ આપણે સાંભળીએ છીએ, કદાચ પ્રથમ વખત. આવી ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિઓમાં ટેટ્રાહેડ્રોન (નિયમિત ચાર-બાજુની આકૃતિ), અષ્ટાહેડ્રોન, ડોડેકેહેડ્રોન, આઇકોસાહેડ્રોન વગેરે છે. ડોડેકાહેડ્રોનમાં 13 પેન્ટાગોન્સ હોય છે, જે 20 ત્રિકોણનું આઇકોસાહેડ્રોન હોય છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ નોંધે છે કે આ આંકડાઓ ગાણિતિક રીતે ખૂબ જ સરળતાથી રૂપાંતરિત થાય છે, અને તેમનું પરિવર્તન સુવર્ણ ગુણોત્તરના લઘુગણક સર્પાકારના સૂત્ર અનુસાર થાય છે.

માઇક્રોકોઝમમાં, સુવર્ણ પ્રમાણ અનુસાર બાંધવામાં આવેલા ત્રિ-પરિમાણીય લઘુગણક સ્વરૂપો સર્વવ્યાપક છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણા વાયરસ આઇકોસાહેડ્રોનનો ત્રિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક આકાર ધરાવે છે. કદાચ આ વાયરસમાંથી સૌથી પ્રખ્યાત એડેનો વાયરસ છે. એડેનો વાયરસનું પ્રોટીન શેલ ચોક્કસ ક્રમમાં ગોઠવાયેલા પ્રોટીન કોષોના 252 એકમોમાંથી બને છે. આઇકોસાહેડ્રોનના દરેક ખૂણા પર પેન્ટાગોનલ પ્રિઝમના આકારમાં પ્રોટીન કોષોના 12 એકમો છે અને આ ખૂણાઓથી સ્પાઇક જેવી રચનાઓ વિસ્તરે છે.

વાયરસના બંધારણમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર સૌપ્રથમ 1950 ના દાયકામાં શોધાયું હતું. બિર્કબેક કોલેજ લંડનના વૈજ્ઞાનિકો એ. ક્લગ અને ડી. કાસ્પર. 13 પોલીયો વાયરસ લઘુગણક સ્વરૂપ દર્શાવનાર પ્રથમ હતો. આ વાયરસનું સ્વરૂપ રાઇનો 14 વાયરસના સ્વરૂપ જેવું જ નીકળ્યું.

પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે વાયરસ આવા જટિલ ત્રિ-પરિમાણીય આકારો કેવી રીતે બનાવે છે, જેની રચનામાં સુવર્ણ ગુણોત્તર હોય છે, જે આપણા માનવ મન માટે પણ બાંધવું ખૂબ મુશ્કેલ છે? વાયરસના આ સ્વરૂપોના શોધક, વાઈરોલોજિસ્ટ એ. ક્લગ, નીચેની ટિપ્પણી આપે છે:

“ડૉ. કાસ્પર અને મેં બતાવ્યું કે વાઇરસના ગોળાકાર શેલ માટે, આઇકોસાહેડ્રોન આકાર જેવી સપ્રમાણતા સૌથી શ્રેષ્ઠ છે. આ ક્રમ કનેક્ટિંગ તત્વોની સંખ્યાને ઘટાડે છે... બકમિન્સ્ટર ફુલરના મોટાભાગના જીઓડેસિક હેમિસ્ફેરિકલ ક્યુબ્સ સમાન ભૌમિતિક સિદ્ધાંત પર બનેલા છે. 14 આવા ક્યુબ્સના ઇન્સ્ટોલેશન માટે અત્યંત સચોટ અને વિગતવાર સમજૂતીત્મક આકૃતિની જરૂર છે. જ્યારે બેભાન વાયરસ પોતે સ્થિતિસ્થાપક, લવચીક પ્રોટીન સેલ્યુલર એકમોમાંથી આવા જટિલ શેલ બનાવે છે.

શું તમે ક્યારેય સાંભળ્યું છે કે ગણિતને "બધા વિજ્ઞાનની રાણી" કહેવામાં આવે છે? શું તમે આ નિવેદન સાથે સહમત છો? જ્યાં સુધી ગણિત તમારા માટે પાઠ્યપુસ્તકમાં કંટાળાજનક સમસ્યાઓનો સમૂહ રહેશે ત્યાં સુધી તમે આ વિજ્ઞાનની સુંદરતા, વૈવિધ્યતા અને રમૂજનો ભાગ્યે જ અનુભવ કરી શકશો.

પરંતુ ગણિતમાં એવા વિષયો છે જે આપણા માટે સામાન્ય છે તેવી વસ્તુઓ અને ઘટનાઓ વિશે રસપ્રદ અવલોકનો કરવામાં મદદ કરે છે. અને આપણા બ્રહ્માંડની રચનાના રહસ્યના પડદાને પણ ભેદવાનો પ્રયાસ કરો. વિશ્વમાં રસપ્રદ દાખલાઓ છે જે ગણિતનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય છે.

ફિબોનાકી નંબરો રજૂ કરી રહ્યાં છીએ

ફિબોનાકી નંબરોસંખ્યા ક્રમના ઘટકોને નામ આપો. તેમાં, શ્રેણીમાં દરેક આગલી સંખ્યા અગાઉની બે સંખ્યાઓનો સરવાળો કરીને મેળવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ ક્રમ: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

તમે તેને આ રીતે લખી શકો છો:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

તમે નકારાત્મક મૂલ્યો સાથે ફિબોનાકી નંબરોની શ્રેણી શરૂ કરી શકો છો n. તદુપરાંત, આ કિસ્સામાં ક્રમ બે-માર્ગી છે (એટલે ​​​​કે, તે નકારાત્મક અને હકારાત્મક સંખ્યાઓને આવરી લે છે) અને બંને દિશામાં અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે.

આવા ક્રમનું ઉદાહરણ: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

આ કિસ્સામાં સૂત્ર આના જેવો દેખાય છે:

F n = F n+1 - F n+2અથવા તમે આ કરી શકો છો: F -n = (-1) n+1 Fn.

જેને આપણે હવે "ફિબોનાકી નંબરો" તરીકે જાણીએ છીએ તે પ્રાચીન ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ યુરોપમાં ઉપયોગમાં લેવાનું શરૂ થયું તેના ઘણા સમય પહેલા જાણીતું હતું. અને આ નામ સામાન્ય રીતે એક સતત ઐતિહાસિક ટુચકો છે. ચાલો એ હકીકતથી પ્રારંભ કરીએ કે ફિબોનાકી પોતે તેમના જીવનકાળ દરમિયાન પોતાને ક્યારેય ફિબોનાકી કહેતા ન હતા - આ નામ તેમના મૃત્યુની ઘણી સદીઓ પછી જ પીસાના લિયોનાર્ડો પર લાગુ થવાનું શરૂ થયું. પરંતુ ચાલો ક્રમમાં બધું વિશે વાત કરીએ.

પીસાના લિયોનાર્ડો, ઉર્ફે ફિબોનાકી

એક વેપારીનો પુત્ર જે ગણિતશાસ્ત્રી બન્યો અને ત્યારપછી મધ્ય યુગ દરમિયાન યુરોપના પ્રથમ મોટા ગણિતશાસ્ત્રી તરીકે વંશજો તરફથી માન્યતા પ્રાપ્ત થઈ. ઓછામાં ઓછા ફિબોનાકી નંબરો માટે આભાર નથી (જે, ચાલો યાદ કરીએ, તે હજી સુધી કહેવાતા ન હતા). જેનું વર્ણન તેમણે 13મી સદીની શરૂઆતમાં તેમની કૃતિ "લિબર એબેસી" ("બુક ઓફ અબેકસ", 1202)માં કર્યું હતું.

મેં મારા પિતા સાથે પૂર્વમાં પ્રવાસ કર્યો, લિયોનાર્ડોએ આરબ શિક્ષકો સાથે ગણિતનો અભ્યાસ કર્યો (અને તે સમયે તેઓ આ બાબતમાં અને અન્ય ઘણા વિજ્ઞાનમાં શ્રેષ્ઠ નિષ્ણાતોમાં હતા). તેમણે અરબી અનુવાદોમાં પ્રાચીન અને પ્રાચીન ભારતના ગણિતશાસ્ત્રીઓની કૃતિઓ વાંચી.

તેણે જે વાંચ્યું હતું તે બધું જ સારી રીતે સમજ્યા પછી અને પોતાના જિજ્ઞાસુ મનનો ઉપયોગ કરીને, ફિબોનાકીએ ગણિત પર અનેક વૈજ્ઞાનિક ગ્રંથો લખ્યા, જેમાં ઉપરોક્ત “બુક ઑફ અબેકસ”નો પણ સમાવેશ થાય છે. આ ઉપરાંત મેં બનાવ્યું:

• "પ્રેક્ટિકા જ્યોમેટ્રિયા" ("પ્રેક્ટિસ ઓફ ભૂમિતિ", 1220);
• "ફ્લોસ" ("ફ્લાવર", 1225 - ક્યુબિક સમીકરણો પરનો અભ્યાસ);
• "લિબર ક્વાડ્રેટોરમ" ("બુક ઓફ સ્ક્વેર", 1225 - અનિશ્ચિત ચતુર્ભુજ સમીકરણો પર સમસ્યાઓ).

તેઓ ગાણિતિક ટુર્નામેન્ટના મોટા ચાહક હતા, તેથી તેમના ગ્રંથોમાં તેમણે વિવિધ ગાણિતિક સમસ્યાઓના વિશ્લેષણ પર ઘણું ધ્યાન આપ્યું.

લિયોનાર્ડોના જીવન વિશે બહુ ઓછી જીવનચરિત્રાત્મક માહિતી બાકી છે. ફિબોનાકી નામની વાત કરીએ તો, જેના હેઠળ તેણે ગણિતના ઇતિહાસમાં પ્રવેશ કર્યો, તે તેમને ફક્ત 19મી સદીમાં જ સોંપવામાં આવ્યું હતું.

ફિબોનાકી અને તેની સમસ્યાઓ

ફિબોનાકી પછી મોટી સંખ્યામાં સમસ્યાઓ રહી જે પછીની સદીઓમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં ખૂબ જ લોકપ્રિય હતી. અમે સસલાની સમસ્યાને જોઈશું, જે ફિબોનાકી નંબરોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.

સસલા માત્ર મૂલ્યવાન ફર નથી

ફિબોનાકીએ નીચેની શરતો સેટ કરી: આવી રસપ્રદ જાતિના નવજાત સસલા (નર અને માદા) ની જોડી છે કે તેઓ નિયમિતપણે (બીજા મહિનાથી શરૂ કરીને) સંતાન ઉત્પન્ન કરે છે - હંમેશા સસલાની એક નવી જોડી. ઉપરાંત, જેમ તમે ધારી શકો છો, એક પુરુષ અને સ્ત્રી.

આ શરતી સસલાઓને મર્યાદિત જગ્યામાં મૂકવામાં આવે છે અને ઉત્સાહ સાથે પ્રજનન થાય છે. એવું પણ નક્કી કરવામાં આવ્યું છે કે સસલાના કોઈ રહસ્યમય રોગથી એક પણ સસલું મૃત્યુ પામતું નથી.

આપણે એક વર્ષમાં કેટલા સસલા મળશે તેની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

• 1 મહિનાની શરૂઆતમાં અમારી પાસે સસલાની 1 જોડી છે. મહિનાના અંતે તેઓ સમાગમ કરે છે.
• બીજો મહિનો - અમારી પાસે પહેલેથી જ સસલાના 2 જોડી છે (એક જોડીમાં માતાપિતા છે + 1 જોડી તેમના સંતાન છે).
• ત્રીજો મહિનો: પ્રથમ જોડી નવી જોડીને જન્મ આપે છે, બીજી જોડી સંવનન કરે છે. કુલ - સસલાના 3 જોડી.
• ચોથો મહિનો: પ્રથમ જોડી નવી જોડીને જન્મ આપે છે, બીજી જોડી સમય બગાડતી નથી અને નવી જોડીને પણ જન્મ આપે છે, ત્રીજી જોડી માત્ર સમાગમ કરે છે. કુલ - સસલાના 5 જોડી.

માં સસલાની સંખ્યા nઠ્ઠો મહિનો = અગાઉના મહિનાના સસલાની જોડીની સંખ્યા + નવજાત જોડીની સંખ્યા (હવે 2 મહિના પહેલા સસલાની જોડી હતી તેટલી જ સંખ્યામાં સસલાની જોડી છે). અને આ બધું સૂત્ર દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યું છે જે આપણે પહેલાથી જ ઉપર આપ્યું છે: F n = F n-1 + F n-2.

આમ, અમે રિકરન્ટ મેળવીએ છીએ (વિશે સમજૂતી પુનરાવર્તન- નીચે) સંખ્યા ક્રમ. જેમાં દરેક આગલી સંખ્યા અગાઉના બેના સરવાળા જેટલી હોય છે:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

તમે લાંબા સમય સુધી ક્રમ ચાલુ રાખી શકો છો: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. પરંતુ અમે ચોક્કસ સમયગાળો સેટ કર્યો હોવાથી - એક વર્ષ, અમને 12 મી "ચાલ" પર પ્રાપ્ત પરિણામમાં રસ છે. તે. ક્રમનો 13મો સભ્ય: 377.

સમસ્યાનો જવાબ: જો બધી જણાવેલ શરતો પૂરી થાય તો 377 સસલા મેળવવામાં આવશે.

ફિબોનાકી નંબર સિક્વન્સનો એક ગુણ ખૂબ જ રસપ્રદ છે. જો તમે શ્રેણીમાંથી સતત બે જોડી લો અને મોટી સંખ્યાને નાની સંખ્યા વડે વિભાજીત કરો, તો પરિણામ ધીમે ધીમે નજીક આવશે. સુવર્ણ ગુણોત્તર(તમે તેના વિશે લેખમાં પછીથી વધુ વાંચી શકો છો).

ગાણિતિક દ્રષ્ટિએ, "સંબંધોની મર્યાદા a n+1થી એક એનસુવર્ણ ગુણોત્તર સમાન".

વધુ સંખ્યા સિદ્ધાંત સમસ્યાઓ

1. એવી સંખ્યા શોધો કે જેને 7 વડે ભાગી શકાય. ઉપરાંત, જો તમે તેને 2, 3, 4, 5, 6 વડે ભાગશો, તો શેષ એક થશે.
2. ચોરસ સંખ્યા શોધો. તે જાણીતું છે કે જો તમે તેમાં 5 ઉમેરો અથવા 5 બાદ કરો, તો તમને ફરીથી એક વર્ગ નંબર મળશે.

અમે સૂચવીએ છીએ કે તમે આ સમસ્યાઓના જવાબો જાતે જ શોધો. તમે અમને આ લેખની ટિપ્પણીઓમાં તમારા વિકલ્પો છોડી શકો છો. અને પછી અમે તમને કહીશું કે તમારી ગણતરી સાચી હતી કે નહીં.

પુનરાવર્તનની સમજૂતી

પુનરાવર્તન- વ્યાખ્યા, વર્ણન, ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાની છબી જેમાં આ ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયા પોતે જ સમાવે છે. એટલે કે, સારમાં, એક પદાર્થ અથવા પ્રક્રિયા પોતે જ એક ભાગ છે.

ગણિત અને કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન અને કલા અને લોકપ્રિય સંસ્કૃતિમાં પણ પુનરાવર્તનનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે.

ફિબોનાકી નંબરો પુનરાવૃત્તિ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. નંબર માટે n>2 n- e સંખ્યા સમાન છે (n – 1) + (n – 2).

સુવર્ણ ગુણોત્તરની સમજૂતી

સુવર્ણ ગુણોત્તર- નીચેના સિદ્ધાંત મુજબ સંબંધિત ભાગોમાં સંપૂર્ણ (ઉદાહરણ તરીકે, એક સેગમેન્ટ) ને વિભાજીત કરવું: મોટા ભાગ નાના સાથે સંબંધિત છે તે જ રીતે સમગ્ર મૂલ્ય (ઉદાહરણ તરીકે, બે વિભાગોનો સરવાળો) છે મોટા ભાગ સુધી.

સુવર્ણ ગુણોત્તરનો પ્રથમ ઉલ્લેખ યુક્લિડમાં તેમના ગ્રંથ "એલિમેન્ટ્સ" (લગભગ 300 બીસી) માં મળી શકે છે. નિયમિત લંબચોરસ બાંધવાના સંદર્ભમાં.

આપણા માટે પરિચિત શબ્દ 1835 માં જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી માર્ટિન ઓહ્મ દ્વારા પરિભ્રમણમાં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો.

જો આપણે સુવર્ણ ગુણોત્તરનું આશરે વર્ણન કરીએ, તો તે પ્રમાણસર વિભાજનને બે અસમાન ભાગોમાં રજૂ કરે છે: આશરે 62% અને 38%. સંખ્યાત્મક દ્રષ્ટિએ, સુવર્ણ ગુણોત્તર એ સંખ્યા છે 1,6180339887 .

સુવર્ણ ગુણોત્તર લલિત કળા (લિયોનાર્ડો દા વિન્સી અને અન્ય પુનરુજ્જીવનના ચિત્રકારોના ચિત્રો), આર્કિટેક્ચર, સિનેમા (એસ. એસેનસ્ટેઈન દ્વારા “બેટલશિપ પોટેમકિન”) અને અન્ય ક્ષેત્રોમાં વ્યવહારુ ઉપયોગ શોધે છે. લાંબા સમયથી એવું માનવામાં આવતું હતું કે સુવર્ણ ગુણોત્તર એ સૌથી સૌંદર્યલક્ષી પ્રમાણ છે. આ અભિપ્રાય આજે પણ લોકપ્રિય છે. તેમ છતાં, સંશોધન પરિણામો અનુસાર, દૃષ્ટિની રીતે મોટાભાગના લોકો આ પ્રમાણને સૌથી સફળ વિકલ્પ તરીકે જોતા નથી અને તેને ખૂબ વિસ્તરેલ (અપ્રમાણસર) માને છે.

• વિભાગ લંબાઈ સાથે = 1, એ = 0,618, b = 0,382.
• વલણ સાથેથી એ = 1, 618.
• વલણ સાથેથી b = 2,618

હવે ચાલો ફિબોનાકી નંબરો પર પાછા જઈએ. ચાલો તેના ક્રમમાંથી સતત બે પદ લઈએ. મોટી સંખ્યાને નાની સંખ્યા વડે ભાગો અને આશરે 1.618 મેળવો. અને હવે આપણે એ જ મોટી સંખ્યા અને શ્રેણીના આગલા સભ્યનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (એટલે ​​​​કે, તેનાથી પણ મોટી સંખ્યા) - તેમનો ગુણોત્તર પ્રારંભિક 0.618 છે.

અહીં એક ઉદાહરણ છે: 144, 233, 377.

233/144 = 1.618 અને 233/377 = 0.618

માર્ગ દ્વારા, જો તમે અનુક્રમની શરૂઆતથી નંબરો સાથે સમાન પ્રયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરો છો (ઉદાહરણ તરીકે, 2, 3, 5), તો કંઈ કામ કરશે નહીં. સારું, લગભગ. ક્રમની શરૂઆત માટે સુવર્ણ ગુણોત્તરનો નિયમ ભાગ્યે જ અનુસરવામાં આવે છે. પરંતુ જેમ જેમ તમે શ્રેણીમાં આગળ વધો છો અને સંખ્યાઓ વધતી જાય છે, તેમ તે સરસ કામ કરે છે.

અને ફિબોનાકી નંબરોની આખી શ્રેણીની ગણતરી કરવા માટે, એક પછી એક આવતા ક્રમના ત્રણ શબ્દો જાણવા માટે તે પૂરતું છે. તમે તમારા માટે આ જોઈ શકો છો!

સુવર્ણ લંબચોરસ અને ફિબોનાકી સર્પાકાર

ફિબોનાકી સંખ્યાઓ અને સુવર્ણ ગુણોત્તર વચ્ચેનો બીજો રસપ્રદ સમાંતર કહેવાતા "ગોલ્ડન લંબચોરસ" છે: તેની બાજુઓ 1.618 થી 1 ના પ્રમાણમાં છે. પરંતુ આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે 1.618 નંબર શું છે?

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ફિબોનાકી શ્રેણીના બે સળંગ પદો લઈએ - 8 અને 13 - અને નીચેના પરિમાણો સાથે એક લંબચોરસ બનાવીએ: પહોળાઈ = 8, લંબાઈ = 13.

અને પછી આપણે મોટા લંબચોરસને નાનામાં વિભાજીત કરીશું. ફરજિયાત સ્થિતિ: લંબચોરસની બાજુઓની લંબાઈ ફિબોનાકી સંખ્યાઓને અનુરૂપ હોવી જોઈએ. તે. મોટા લંબચોરસની બાજુની લંબાઈ બે નાના લંબચોરસની બાજુઓના સરવાળા જેટલી હોવી જોઈએ.

આ આકૃતિમાં જે રીતે કરવામાં આવે છે (સુવિધા માટે, આકૃતિઓ લેટિન અક્ષરોમાં હસ્તાક્ષરિત છે).

માર્ગ દ્વારા, તમે વિપરીત ક્રમમાં લંબચોરસ બનાવી શકો છો. તે. 1 ની બાજુવાળા ચોરસ સાથે બિલ્ડીંગ શરૂ કરો. જેના માટે, ઉપર જણાવેલ સિદ્ધાંત દ્વારા માર્ગદર્શન આપવામાં આવે છે, ફિબોનાકી સંખ્યાઓની સમાન બાજુઓ સાથેના આંકડા પૂર્ણ થાય છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ અનિશ્ચિત સમય માટે ચાલુ રાખી શકાય છે - છેવટે, ફિબોનાકી શ્રેણી ઔપચારિક રીતે અનંત છે.

જો આપણે આકૃતિમાં મેળવેલ લંબચોરસના ખૂણાઓને સરળ રેખા સાથે જોડીએ, તો આપણને લઘુગણક સર્પાકાર મળે છે. અથવા તેના બદલે, તેનો વિશિષ્ટ કેસ ફિબોનાકી સર્પાકાર છે. તે લાક્ષણિકતા છે, ખાસ કરીને, તે હકીકત દ્વારા કે તેની કોઈ સીમાઓ નથી અને તે આકાર બદલતો નથી.

સમાન સર્પાકાર ઘણીવાર પ્રકૃતિમાં જોવા મળે છે. ક્લેમ શેલો સૌથી આકર્ષક ઉદાહરણોમાંનું એક છે. તદુપરાંત, પૃથ્વી પરથી જોઈ શકાય તેવી કેટલીક તારાવિશ્વો સર્પાકાર આકાર ધરાવે છે. જો તમે ટીવી પર હવામાનની આગાહીઓ પર ધ્યાન આપો છો, તો તમે જોયું હશે કે જ્યારે ઉપગ્રહોમાંથી ફોટોગ્રાફ લેવામાં આવે ત્યારે ચક્રવાતનો આકાર સમાન સર્પાકાર હોય છે.

તે વિચિત્ર છે કે ડીએનએ હેલિક્સ સુવર્ણ વિભાગના નિયમનું પણ પાલન કરે છે - તેના વળાંકના અંતરાલોમાં અનુરૂપ પેટર્ન જોઈ શકાય છે.

આવા અદ્ભુત "સંયોગો" મનને ઉત્તેજિત કરી શકતા નથી અને ચોક્કસ એકલ અલ્ગોરિધમ વિશે વાત કરવા માટે જન્મ આપે છે જેનું બ્રહ્માંડના જીવનની તમામ ઘટનાઓ પાલન કરે છે. હવે તમે સમજો છો કે આ લેખ આ રીતે શા માટે કહેવામાં આવે છે? અને ગણિત તમારા માટે કેવા પ્રકારની અદ્ભુત દુનિયા ખોલી શકે છે?

પ્રકૃતિમાં ફિબોનાકી સંખ્યાઓ

ફિબોનાકી નંબરો અને ગોલ્ડન રેશિયો વચ્ચેનું જોડાણ રસપ્રદ પેટર્ન સૂચવે છે. એટલો જિજ્ઞાસુ છે કે પ્રકૃતિમાં અને ઐતિહાસિક ઘટનાઓ દરમિયાન પણ ફિબોનાકી નંબરો જેવા સિક્વન્સ શોધવાનો પ્રયાસ કરવા માટે તે આકર્ષે છે. અને પ્રકૃતિ ખરેખર આવી ધારણાઓને જન્મ આપે છે. પરંતુ શું આપણા જીવનની દરેક વસ્તુ ગણિતનો ઉપયોગ કરીને સમજાવી અને વર્ણવી શકાય છે?

ફિબોનાકી ક્રમનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય તેવા જીવંત વસ્તુઓના ઉદાહરણો:

• છોડમાં પાંદડા (અને શાખાઓ) ની ગોઠવણી - તેમની વચ્ચેનું અંતર ફિબોનાકી નંબરો (ફાયલોટેક્સિસ) સાથે સંકળાયેલું છે;

• સૂર્યમુખીના બીજની ગોઠવણી (બીજ જુદી જુદી દિશામાં ટ્વિસ્ટેડ સર્પાકારની બે હરોળમાં ગોઠવાયેલા છે: એક પંક્તિ ઘડિયાળની દિશામાં, બીજી ઘડિયાળની દિશામાં);

• પાઈન શંકુ ભીંગડાની ગોઠવણી;
• ફૂલોની પાંખડીઓ;
• અનેનાસ કોષો;
• માનવ હાથ પરની આંગળીઓના ફાલેન્જીસની લંબાઈનો ગુણોત્તર (આશરે), વગેરે.

સંયોજક સમસ્યાઓ

ફિબોનાકી નંબરોનો વ્યાપકપણે કોમ્બીનેટરિક્સ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઉપયોગ થાય છે.

સંયોજનશાસ્ત્રગણિતની એક શાખા છે જે નિયુક્ત સમૂહ, ગણતરી વગેરેમાંથી ચોક્કસ સંખ્યાના તત્વોની પસંદગીનો અભ્યાસ કરે છે.

ચાલો ઉચ્ચ શાળા સ્તર (સ્રોત - http://www.problems.ru/) માટે રચાયેલ સંયોજન સમસ્યાઓના ઉદાહરણો જોઈએ.

કાર્ય #1:

લેશા 10 પગથિયાંની સીડી ચઢે છે. એક સમયે તે એક ડગલું કે બે ડગલાં ઉપર કૂદી પડે છે. લેશા કેટલી રીતે સીડીઓ ચઢી શકે છે?

લેશા જે રીતે સીડીઓ ચઢી શકે છે તેની સંખ્યા nપગલાંઓ, ચાલો સૂચિત કરીએ અને એન.તે તેને અનુસરે છે a 1 = 1, a 2= 2 (બધા પછી, લેશા એક અથવા બે પગલા કૂદકે છે).

તે પણ સંમત છે કે લેશા સીડી ઉપરથી કૂદી જાય છે n> 2 પગલાં ધારો કે તે પ્રથમ વખત બે ડગલાં કૂદ્યો. આનો અર્થ એ છે કે, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, તેને બીજી કૂદકો મારવાની જરૂર છે n – 2પગલાં પછી ચઢાણ પૂર્ણ કરવાના માર્ગોની સંખ્યા આ પ્રમાણે વર્ણવેલ છે a n–2. અને જો આપણે ધારીએ કે પ્રથમ વખત લેશાએ માત્ર એક પગથિયું જમ્પ કર્યું, તો પછી આપણે ચઢાણને સમાપ્ત કરવાના માર્ગોની સંખ્યાનું વર્ણન કરીએ છીએ a n-1.

અહીંથી આપણને નીચેની સમાનતા મળે છે: a n = a n–1 + a n–2(પરિચિત લાગે છે, નહીં?).

કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ a 1અને a 2અને યાદ રાખો કે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર 10 પગલાં છે, બધાની ક્રમમાં ગણતરી કરો એક એન: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

જવાબ: 89 રીતો.

કાર્ય #2:

તમારે 10 અક્ષરો લાંબા શબ્દોની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે જેમાં ફક્ત "a" અને "b" અક્ષરોનો સમાવેશ થાય છે અને તેમાં સળંગ બે અક્ષરો "b" હોવા જોઈએ નહીં.

ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ એક એનશબ્દોની લંબાઈ nઅક્ષરો જેમાં ફક્ત "a" અને "b" અક્ષરોનો સમાવેશ થાય છે અને સળંગ બે અક્ષરો "b" નથી. અર્થ, a 1= 2, a 2= 3.

અનુક્રમે a 1, a 2, <…>, એક એનઅમે તેના દરેક આગામી સભ્યોને અગાઉના સભ્યો દ્વારા વ્યક્ત કરીશું. તેથી, લંબાઈના શબ્દોની સંખ્યા છે nઅક્ષરો કે જેમાં ડબલ અક્ષર "b" પણ નથી અને "a" અક્ષરથી શરૂ થાય છે a n-1. અને જો શબ્દ લાંબો છે nઅક્ષરો "b" અક્ષરથી શરૂ થાય છે, તે તાર્કિક છે કે આવા શબ્દનો આગળનો અક્ષર "a" છે (છેવટે, સમસ્યાની શરતો અનુસાર બે "b" હોઈ શકતા નથી). તેથી, લંબાઈના શબ્દોની સંખ્યા છે nઆ કિસ્સામાં અમે અક્ષરો તરીકે સૂચિત કરીએ છીએ a n–2. પ્રથમ અને બીજા બંને કિસ્સાઓમાં, કોઈપણ શબ્દ (ની લંબાઈ n – 1અને n – 2અનુક્રમે અક્ષરો) ડબલ “b” વગર.

અમે શા માટે ન્યાયી ઠેરવવામાં સક્ષમ હતા a n = a n–1 + a n–2.

ચાલો હવે ગણતરી કરીએ a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. અને આપણને પરિચિત ફિબોનાકી ક્રમ મળે છે.

જવાબ: 144.

કાર્ય #3:

કલ્પના કરો કે કોષોમાં વિભાજિત ટેપ છે. તે જમણી તરફ જાય છે અને અનિશ્ચિત સમય સુધી ચાલે છે. ટેપના પ્રથમ ચોરસ પર એક ખડમાકડી મૂકો. તે ટેપના કોઈપણ કોષ પર હોય, તે ફક્ત જમણી તરફ જઈ શકે છે: કાં તો એક કોષ અથવા બે. ટેપની શરૂઆતથી તિત્તીધોડા કૂદી શકે તેવા કેટલા રસ્તાઓ છે n-મા કોષો?

ચાલો આપણે પટ્ટા સાથે ખડમાકડીને ખસેડવાની રીતોની સંખ્યા દર્શાવીએ n-th કોષો જેવા એક એન. તે કિસ્સામાં a 1 = a 2= 1. માં પણ n+1ખડમાકડી ક્યાં તો થી -th કોષમાં પ્રવેશી શકે છે n-મો કોષ, અથવા તેના પર કૂદકો મારવાથી. અહીંથી a n + 1 = a n – 1 + એક એન. જ્યાં એક એન = Fn - 1.

જવાબ: Fn - 1.

તમે સમાન સમસ્યાઓ જાતે બનાવી શકો છો અને તમારા સહપાઠીઓ સાથે ગણિતના પાઠમાં તેમને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો.

લોકપ્રિય સંસ્કૃતિમાં ફિબોનાકી નંબરો

અલબત્ત, ફિબોનાકી નંબરો જેવી અસામાન્ય ઘટના ધ્યાન આકર્ષિત કરી શકતી નથી. આ કડક રીતે ચકાસાયેલ પેટર્નમાં હજી પણ કંઈક આકર્ષક અને રહસ્યમય છે. તે આશ્ચર્યજનક નથી કે ફિબોનાકી ક્રમ વિવિધ શૈલીઓની આધુનિક લોકપ્રિય સંસ્કૃતિના ઘણા કાર્યોમાં કોઈક રીતે "પ્રકાશિત" થયો છે.

અમે તમને તેમાંથી કેટલાક વિશે જણાવીશું. અને તમે ફરીથી તમારી જાતને શોધવાનો પ્રયાસ કરો છો. જો તમને તે મળે, તો તેને ટિપ્પણીઓમાં અમારી સાથે શેર કરો - અમે પણ ઉત્સુક છીએ!

• ડેન બ્રાઉનના બેસ્ટસેલર ધ ડા વિન્સી કોડમાં ફિબોનાકી નંબરોનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે: ફિબોનાકી સિક્વન્સ પુસ્તકના મુખ્ય પાત્રો દ્વારા સેફ ખોલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા કોડ તરીકે કામ કરે છે.
• 2009ની અમેરિકન ફિલ્મ મિસ્ટર નોબડીમાં, એક એપિસોડમાં ઘરનું સરનામું ફિબોનાકી સિક્વન્સનો એક ભાગ છે - 12358. વધુમાં, અન્ય એપિસોડમાં મુખ્ય પાત્રે એક ફોન નંબર પર કૉલ કરવો આવશ્યક છે, જે આવશ્યકપણે સમાન છે, પરંતુ સહેજ વિકૃત છે. (ક્રમાંક 5 પછી વધારાનો અંક) ક્રમ: 123-581-1321.
• 2012 ની શ્રેણી "કનેક્શન" માં, મુખ્ય પાત્ર, ઓટીઝમથી પીડિત એક છોકરો, વિશ્વમાં બનતી ઘટનાઓમાં પેટર્નને પારખવામાં સક્ષમ છે. ફિબોનાકી નંબરો દ્વારા સહિત. અને નંબરો દ્વારા પણ આ ઘટનાઓનું સંચાલન કરો.
• મોબાઇલ ફોન ડૂમ આરપીજી માટે જાવા ગેમના વિકાસકર્તાઓએ એક સ્તર પર ગુપ્ત દરવાજો મૂક્યો. કોડ જે તેને ખોલે છે તે ફિબોનાકી ક્રમ છે.
• 2012 માં, રશિયન રોક બેન્ડ સ્પ્લીને કોન્સેપ્ટ આલ્બમ "ઓપ્ટિકલ ડિસેપ્શન" બહાર પાડ્યું. આઠમા ટ્રેકને "ફિબોનાકી" કહેવામાં આવે છે. જૂથના નેતા એલેક્ઝાંડર વાસિલીવની છંદો ફિબોનાકી નંબરોના ક્રમ પર ભજવે છે. સળંગ નવ પદોમાંથી દરેક માટે રેખાઓની અનુરૂપ સંખ્યા છે (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 ટ્રેન ઉપડી

1 એક જોઇન્ટ સ્નેપ થયો

1 એક સ્લીવ ધ્રૂજતી

2 બસ, સામગ્રી મેળવો

બસ, સામગ્રી મેળવો

3 ઉકળતા પાણી માટે વિનંતી

ટ્રેન નદીમાં જાય છે

ટ્રેન તાઈગામાંથી પસાર થાય છે<…>.

• જેમ્સ લિન્ડન દ્વારા લિમેરિક (ચોક્કસ સ્વરૂપની ટૂંકી કવિતા - સામાન્ય રીતે પાંચ લીટીઓ, ચોક્કસ કવિતા યોજના સાથે, વિષયવસ્તુમાં રમૂજી, જેમાં પ્રથમ અને છેલ્લી લીટીઓ પુનરાવર્તિત થાય છે અથવા આંશિક રીતે એકબીજાની નકલ કરવામાં આવે છે) પણ ફિબોનાકીના સંદર્ભનો ઉપયોગ કરે છે. રમૂજી હેતુ તરીકે ક્રમ:

ફિબોનાકીની પત્નીઓનો ગાઢ ખોરાક

તે ફક્ત તેમના ફાયદા માટે હતું, બીજું કંઈ નહીં.

પત્નીઓનું વજન, અફવા અનુસાર,

દરેક પાછલા બે જેવું છે.

ચાલો તેનો સરવાળો કરીએ

અમે આશા રાખીએ છીએ કે આજે અમે તમને ઘણી રસપ્રદ અને ઉપયોગી વસ્તુઓ કહી શક્યા છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, હવે તમે તમારી આસપાસની પ્રકૃતિમાં ફિબોનાકી સર્પાકાર શોધી શકો છો. કદાચ તમે એવા વ્યક્તિ બનશો જે "જીવનનું રહસ્ય, બ્રહ્માંડ અને સામાન્ય રીતે" ઉઘાડી પાડવા સક્ષમ હશો.

સંયોજક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે ફિબોનાકી નંબરો માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. તમે આ લેખમાં વર્ણવેલ ઉદાહરણો પર આધાર રાખી શકો છો.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

તમે, અલબત્ત, આ વિચારથી પરિચિત છો કે ગણિત એ તમામ વિજ્ઞાનોમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે. પરંતુ ઘણા આ સાથે અસંમત હોઈ શકે છે, કારણ કે ... ક્યારેક એવું લાગે છે કે ગણિત એ માત્ર સમસ્યાઓ, ઉદાહરણો અને સમાન કંટાળાજનક સામગ્રી છે. જો કે, ગણિત આપણને સાવ અજાણ્યા બાજુથી પરિચિત વસ્તુઓ સરળતાથી બતાવી શકે છે. તદુપરાંત, તે બ્રહ્માંડના રહસ્યો પણ જાહેર કરી શકે છે. કેવી રીતે? ચાલો ફિબોનાકી નંબરો જોઈએ.

ફિબોનાકી નંબરો શું છે?

ફિબોનાકી સંખ્યાઓ સંખ્યાત્મક ક્રમના ઘટકો છે, જ્યાં દરેક અનુગામી બે અગાઉના રાશિઓનો સરવાળો કરીને છે, ઉદાહરણ તરીકે: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... એક નિયમ તરીકે, આવા ક્રમ સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

ફિબોનાકી નંબરો "n" ના નકારાત્મક મૂલ્યોથી શરૂ થઈ શકે છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં ક્રમ દ્વિ-માર્ગી હશે - તે બંને દિશામાં અનંતતા તરફ વલણ ધરાવતા સકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને સંખ્યાઓને આવરી લેશે. આવા ક્રમનું ઉદાહરણ આ હશે: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, અને સૂત્ર હશે: F n = F n+1 - F n+2 અથવા F -n = (-1) n+1 Fn.

ફિબોનાકી નંબરોના નિર્માતા એ મધ્ય યુગમાં પીસાના લિયોનાર્ડો નામના યુરોપના પ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક છે, જે હકીકતમાં, ફિબોનાકી તરીકે ઓળખાય છે - તેમને તેમના મૃત્યુના ઘણા વર્ષો પછી આ ઉપનામ પ્રાપ્ત થયું.

તેમના જીવનકાળ દરમિયાન, પીસાના લિયોનાર્ડોને ગાણિતિક ટૂર્નામેન્ટ્સનો ખૂબ શોખ હતો, તેથી જ તેમની કૃતિઓમાં (“લિબર એબેસી”/ “બુક ઑફ અબેકસ”, 1202; “પ્રેક્ટિકા જ્યોમેટ્રિએ”/ “પ્રેક્ટિસ ઑફ ભૂમિતિ”, 1220, “ફ્લોસ” / "ફ્લાવર", 1225) - ક્યુબિક સમીકરણો અને "લિબર ક્વાડ્રેટોરમ" / "બુક ઑફ સ્ક્વેર", 1225 - અનિશ્ચિત ચતુર્ભુજ સમીકરણો વિશેની સમસ્યાઓ) પરનો અભ્યાસ) ઘણી વાર તમામ પ્રકારની ગાણિતિક સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરે છે.

ફિબોનાકીના જીવન માર્ગ વિશે બહુ ઓછું જાણીતું છે. પરંતુ જે ચોક્કસ છે તે એ છે કે તેની સમસ્યાઓએ પછીની સદીઓમાં ગાણિતિક વર્તુળોમાં ખૂબ જ લોકપ્રિયતા મેળવી. અમે આમાંના એકનો વધુ વિચાર કરીશું.

સસલા સાથે ફિબોનાકી સમસ્યા

કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે, લેખકે નીચેની શરતો સેટ કરી છે: નવજાત સસલા (માદા અને નર) ની જોડી છે, જે એક રસપ્રદ લક્ષણ દ્વારા અલગ પડે છે - જીવનના બીજા મહિનાથી, તેઓ સસલાની નવી જોડી ઉત્પન્ન કરે છે - એક માદા અને એક પુરુષ. સસલાઓને મર્યાદિત જગ્યાઓમાં રાખવામાં આવે છે અને સતત પ્રજનન થાય છે. અને એક પણ સસલું મરતું નથી.

કાર્ય: એક વર્ષમાં સસલાની સંખ્યા નક્કી કરો.

ઉકેલ:

અમારી પાસે છે:

• પ્રથમ મહિનાની શરૂઆતમાં સસલાની એક જોડી, જે મહિનાના અંતે સંવનન કરે છે
• બીજા મહિનામાં સસલાની બે જોડી (પ્રથમ જોડી અને સંતાન)
• ત્રીજા મહિનામાં સસલાની ત્રણ જોડી (પ્રથમ જોડી, પાછલા મહિનાની પ્રથમ જોડીનું સંતાન અને નવું સંતાન)
• ચોથા મહિનામાં સસલાની પાંચ જોડી (પ્રથમ જોડી, પ્રથમ જોડીનું પ્રથમ અને બીજું સંતાન, પ્રથમ જોડીનું ત્રીજું સંતાન અને બીજી જોડીનું પ્રથમ સંતાન)

દર મહિને સસલાની સંખ્યા “n” = ગયા મહિને સસલાની સંખ્યા + સસલાની નવી જોડીની સંખ્યા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉપરોક્ત સૂત્ર: F n = F n-1 + F n-2. આના પરિણામે પુનરાવર્તિત સંખ્યાના ક્રમમાં પરિણમે છે (આપણે પછીથી પુનરાવર્તન વિશે વાત કરીશું), જ્યાં દરેક નવી સંખ્યા અગાઉની બે સંખ્યાના સરવાળાને અનુરૂપ છે:

1 મહિનો: 1 + 1 = 2

2 મહિનો: 2 + 1 = 3

3 મહિનો: 3 + 2 = 5

4 મહિનો: 5 + 3 = 8

5 મહિનો: 8 + 5 = 13

6 મહિનો: 13 + 8 = 21

7મો મહિનો: 21 + 13 = 34

8મો મહિનો: 34 + 21 = 55

9 મહિનો: 55 + 34 = 89

10મો મહિનો: 89 + 55 = 144

11મો મહિનો: 144 + 89 = 233

12 મહિનો: 233+ 144 = 377

અને આ ક્રમ અનિશ્ચિત સમય સુધી ચાલુ રહી શકે છે, પરંતુ એક વર્ષ પછી સસલાની સંખ્યા શોધવાનું કાર્ય છે તે જોતાં, પરિણામ 377 જોડીઓ છે.

અત્રે એ નોંધવું પણ જરૂરી છે કે ફિબોનાકી નંબરોના ગુણોમાંથી એક એ છે કે જો તમે સતત બે જોડીની તુલના કરો અને પછી મોટી જોડીને નાની એક વડે વિભાજીત કરો, તો પરિણામ સુવર્ણ ગુણોત્તર તરફ જશે, જેના વિશે આપણે નીચે પણ વાત કરીશું. .

આ દરમિયાન, અમે તમને ફિબોનાકી નંબરો પર વધુ બે સમસ્યાઓ ઓફર કરીએ છીએ:

• ચોરસ સંખ્યા નક્કી કરો, જેના વિશે આપણે ફક્ત એટલું જ જાણીએ છીએ કે જો તમે તેમાંથી 5 બાદ કરો અથવા તેમાં 5 ઉમેરો, તો તમને ફરીથી એક વર્ગ નંબર મળશે.
• 7 વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યા નક્કી કરો, પરંતુ તે શરતે કે તેને 2, 3, 4, 5 અથવા 6 વડે ભાગવાથી 1 બાકી રહે છે.

આવા કાર્યો માત્ર મનના વિકાસ માટે જ નહીં, પણ મનોરંજક મનોરંજન પણ હશે. તમે ઇન્ટરનેટ પર માહિતી શોધીને આ સમસ્યાઓ કેવી રીતે હલ થાય છે તે પણ શોધી શકો છો. અમે તેમના પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું નહીં, પરંતુ અમારી વાર્તા ચાલુ રાખીશું.

રિકર્ઝન અને ગોલ્ડન રેશિયો શું છે?

પુનરાવર્તન

રિકર્ઝન એ કોઈપણ ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાનું વર્ણન, વ્યાખ્યા અથવા છબી છે, જેમાં આપેલ ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયા પોતે જ સમાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈ વસ્તુ અથવા પ્રક્રિયાને પોતાનો એક ભાગ કહી શકાય.

રિકર્ઝનનો વ્યાપક ઉપયોગ માત્ર ગાણિતિક વિજ્ઞાનમાં જ નહીં, પણ કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન, લોકપ્રિય સંસ્કૃતિ અને કલામાં પણ થાય છે. ફિબોનાકી નંબરો પર લાગુ, આપણે કહી શકીએ કે જો સંખ્યા “n>2” છે, તો “n” = (n-1)+(n-2).

સુવર્ણ ગુણોત્તર

સુવર્ણ ગુણોત્તર એ સિદ્ધાંત અનુસાર સંબંધિત ભાગોમાં સંપૂર્ણનું વિભાજન છે: મોટા ભાગને નાના સાથે તે જ રીતે સંબંધિત છે જે રીતે કુલ મૂલ્ય મોટા ભાગ સાથે સંબંધિત છે.

સુવર્ણ ગુણોત્તરનો પ્રથમ ઉલ્લેખ યુક્લિડ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો (ગ્રંથ “એલિમેન્ટ્સ,” સીએ. 300 બીસી), નિયમિત લંબચોરસના નિર્માણ વિશે બોલતા. જો કે, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી માર્ટિન ઓહ્મ દ્વારા વધુ પરિચિત ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો.

આશરે, સુવર્ણ ગુણોત્તરને પ્રમાણસર વિભાજન તરીકે બે જુદા જુદા ભાગોમાં રજૂ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, 38% અને 68%. સુવર્ણ ગુણોત્તરની સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ આશરે 1.6180339887 છે.

વ્યવહારમાં, સુવર્ણ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ આર્કિટેક્ચર, લલિત કળા (કાર્યો જુઓ), સિનેમા અને અન્ય ક્ષેત્રોમાં થાય છે. લાંબા સમયથી, હવેની જેમ, સુવર્ણ ગુણોત્તરને સૌંદર્યલક્ષી પ્રમાણ માનવામાં આવતું હતું, જો કે મોટાભાગના લોકો તેને અપ્રમાણસર - વિસ્તરેલ તરીકે માને છે.

તમે નીચેના પ્રમાણ દ્વારા માર્ગદર્શન આપીને, સુવર્ણ ગુણોત્તરનો જાતે અંદાજ લગાવવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો:

• સેગમેન્ટની લંબાઈ a = 0.618
• સેગમેન્ટની લંબાઈ b = 0.382
• સેગમેન્ટની લંબાઈ c = 1
• c અને a = 1.618 નો ગુણોત્તર
• c અને b નો ગુણોત્તર = 2.618

હવે ચાલો ફિબોનાકી નંબરો પર સુવર્ણ ગુણોત્તર લાગુ કરીએ: આપણે તેના અનુક્રમના બે સંલગ્ન પદો લઈએ છીએ અને મોટાને નાનાથી વિભાજીત કરીએ છીએ. અમને આશરે 1.618 મળે છે. જો આપણે એ જ મોટી સંખ્યા લઈએ અને તેના પછીની બીજી મોટી સંખ્યા વડે ભાગીએ તો આપણને આશરે 0.618 મળે છે. તેને જાતે અજમાવી જુઓ: 21 અને 34 નંબરો સાથે અથવા કેટલાક અન્ય સાથે "રમો". જો આપણે આ પ્રયોગને ફિબોનાકી ક્રમની પ્રથમ સંખ્યાઓ સાથે હાથ ધરીએ, તો પછી આવા પરિણામ અસ્તિત્વમાં રહેશે નહીં, કારણ કે ક્રમની શરૂઆતમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર "કામ કરતું નથી". માર્ગ દ્વારા, તમામ ફિબોનાકી નંબરો નક્કી કરવા માટે, તમારે ફક્ત પ્રથમ ત્રણ સળંગ નંબરો જાણવાની જરૂર છે.

અને નિષ્કર્ષમાં, વિચાર માટે કેટલાક વધુ ખોરાક.

સુવર્ણ લંબચોરસ અને ફિબોનાકી સર્પાકાર

“ગોલ્ડન રેક્ટેંગલ” એ સુવર્ણ ગુણોત્તર અને ફિબોનાકી સંખ્યાઓ વચ્ચેનો બીજો સંબંધ છે, કારણ કે... તેનો સાપેક્ષ ગુણોત્તર 1.618 થી 1 છે (સંખ્યા 1.618 યાદ રાખો!).

અહીં એક ઉદાહરણ છે: અમે ફિબોનાકી ક્રમમાંથી બે સંખ્યાઓ લઈએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે 8 અને 13, અને 8 સે.મી.ની પહોળાઈ અને 13 સે.મી.ની લંબાઈ સાથેનો લંબચોરસ દોરીએ છીએ, પછી આપણે મુખ્ય લંબચોરસને નાનામાં વિભાજીત કરીએ છીએ, પરંતુ તેમના લંબાઈ અને પહોળાઈ ફિબોનાકી સંખ્યાઓને અનુરૂપ હોવા જોઈએ - મોટા લંબચોરસની એક ધારની લંબાઈ નાનાની ધારની બે લંબાઈ જેટલી હોવી જોઈએ.

આ પછી, અમે અમારી પાસેના તમામ લંબચોરસના ખૂણાઓને એક સરળ રેખા વડે જોડીએ છીએ અને લોગરિધમિક સર્પાકાર - ફિબોનાકી સર્પાકારનો વિશેષ કેસ મેળવીએ છીએ. તેના મુખ્ય ગુણધર્મો સીમાઓની ગેરહાજરી અને આકારમાં ફેરફાર છે. આવા સર્પાકાર ઘણીવાર પ્રકૃતિમાં મળી શકે છે: સૌથી આકર્ષક ઉદાહરણો મોલસ્ક શેલ્સ, ઉપગ્રહની છબીઓમાં ચક્રવાત અને સંખ્યાબંધ તારાવિશ્વો પણ છે. પરંતુ વધુ રસપ્રદ વાત એ છે કે જીવંત સજીવોના ડીએનએ પણ આ જ નિયમનું પાલન કરે છે, કારણ કે શું તમને યાદ છે કે તે સર્પાકાર આકાર ધરાવે છે?

આ અને અન્ય ઘણા "રેન્ડમ" સંયોગો આજે પણ વૈજ્ઞાનિકોની ચેતનાને ઉત્તેજિત કરે છે અને સૂચવે છે કે બ્રહ્માંડમાં દરેક વસ્તુ એક જ અલ્ગોરિધમને આધીન છે, વધુમાં, એક ગાણિતિક. અને આ વિજ્ઞાન વિશાળ સંખ્યામાં કંટાળાજનક રહસ્યો અને રહસ્યોને છુપાવે છે.