એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણના કાયદાને જોતાં, તેમાં મૂલ્ય શોધો. અલગ રેન્ડમ ચલો માટે વિતરણ કાયદા

અલગ રેન્ડમચલો એ રેન્ડમ ચલો છે જે ફક્ત એવા મૂલ્યો લે છે જે એકબીજાથી દૂર હોય અને જે અગાઉથી સૂચિબદ્ધ થઈ શકે.
વિતરણનો કાયદો
રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો એ એવો સંબંધ છે જે રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે.
એક અલગ રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી એ તેના સંભવિત મૂલ્યો અને અનુરૂપ સંભાવનાઓની સૂચિ છે.
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય ફંક્શન છે:
,
દલીલ x ની દરેક કિંમત માટે રેન્ડમ ચલ X આ x કરતા ઓછું મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના નક્કી કરી રહ્યા છીએ.

એક અલગ રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા
,
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય ક્યાં છે; - X મૂલ્યો સ્વીકારતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના.
જો રેન્ડમ ચલ સંભવિત મૂલ્યોનો ગણી શકાય એવો સમૂહ લે છે, તો પછી:
.
n સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા:
,

એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલન
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિક્ષેપ:
અથવા .
n સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યાનો તફાવત
,
જ્યાં p એ ઘટના બનવાની સંભાવના છે.
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું માનક વિચલન:
.

ઉદાહરણ 1
ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ વેરીએબલ (DRV) X માટે સંભાવના વિતરણનો કાયદો દોરો - ડાઇસની જોડીના n = 8 થ્રોમાં ઓછામાં ઓછા એક "છ" ની k ઘટનાઓની સંખ્યા. વિતરણ બહુકોણ બનાવો. વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો (વિતરણ મોડ, ગાણિતિક અપેક્ષા M(X), વિક્ષેપ D(X), પ્રમાણભૂત વિચલન s(X)). ઉકેલ:ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ: ઇવેન્ટ A - "જ્યારે ડાઇસની જોડી ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે સિક્સ ઓછામાં ઓછા એક વખત દેખાય છે." ઘટના A ની સંભાવના P(A) = p શોધવા માટે, પહેલા વિરોધી ઘટના Ā ની P(Ā) = q સંભાવના શોધવાનું વધુ અનુકૂળ છે - "જ્યારે ડાઇસની જોડી ફેંકી રહ્યા છીએ, ત્યારે છ ક્યારેય દેખાતા નથી."
એક ડાઇ ફેંકતી વખતે "છ" ના દેખાતા હોવાની સંભાવના 5/6 છે, પછી સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય અનુસાર
P(Ā) = q = = .
અનુક્રમે,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
સમસ્યાના પરીક્ષણો બર્નૌલી યોજનાને અનુસરે છે, તેથી d.s.v. તીવ્રતા એક્સ- નંબર kબે ડાઇસ ફેંકતી વખતે ઓછામાં ઓછા એક છની ઘટના સંભાવના વિતરણના દ્વિપદી નિયમનું પાલન કરે છે:

જ્યાં = ના સંયોજનોની સંખ્યા છે nદ્વારા k.

આ સમસ્યા માટે હાથ ધરવામાં આવેલી ગણતરીઓ ટેબલના રૂપમાં સરળતાથી રજૂ કરી શકાય છે:
સંભાવના વિતરણ d.s.v. એક્સ º k (n = 8; પી = ; q = )

એક અલગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત વિતરણનો બહુકોણ (બહુકોણ). એક્સઆકૃતિમાં બતાવેલ છે:

ચોખા. સંભાવના વિતરણ બહુકોણ d.s.v. એક્સ=k.
ઊભી રેખા વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા દર્શાવે છે એમ(એક્સ).

ચાલો d.s.v ની સંભાવના વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધીએ. એક્સ. વિતરણ મોડ 2 છે (અહીં પી 8(2) = 0.2932 મહત્તમ). વ્યાખ્યા દ્વારા ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે:
એમ(એક્સ) = = 2,4444,
જ્યાં xk = k- d.s.v દ્વારા લેવામાં આવેલ મૂલ્ય એક્સ. ભિન્નતા ડી(એક્સ) આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિતરણ શોધીએ છીએ:
ડી(એક્સ) = = 4,8097.
માનક વિચલન (RMS):
s( એક્સ) = = 2,1931.

ઉદાહરણ2
અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સવિતરણના કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે

ઉકેલ.જો , તો (ત્રીજી મિલકત).
જો, તો. ખરેખર, એક્સ 0.3 સંભાવના સાથે મૂલ્ય 1 લઈ શકે છે.
જો, તો. ખરેખર, જો તે અસમાનતાને સંતોષે છે
, તો પછી આવી શકે તેવી ઘટનાની સંભાવનાની બરાબર થાય છે એક્સમૂલ્ય 1 લેશે (આ ઘટનાની સંભાવના 0.3 છે) અથવા મૂલ્ય 4 (આ ઘટનાની સંભાવના 0.1 છે). આ બે ઘટનાઓ અસંગત હોવાથી, પછી વધારાના પ્રમેય મુજબ, ઘટનાની સંભાવના 0.3 + 0.1 = 0.4 સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે. જો, તો. ખરેખર, ઘટના ચોક્કસ છે, તેથી તેની સંભાવના એક સમાન છે. તેથી, વિતરણ કાર્ય નીચે પ્રમાણે વિશ્લેષણાત્મક રીતે લખી શકાય છે:

આ કાર્યનો આલેખ:
ચાલો આ મૂલ્યોને અનુરૂપ સંભાવનાઓ શોધીએ. શરત મુજબ, ઉપકરણોની નિષ્ફળતાની સંભાવનાઓ સમાન છે: પછી વોરંટી સમયગાળા દરમિયાન ઉપકરણો કામ કરશે તેવી સંભાવનાઓ સમાન છે:




વિતરણ કાયદો ફોર્મ ધરાવે છે:

પ્રકરણ 1. અલગ રેન્ડમ ચલ

§ 1. રેન્ડમ ચલની વિભાવનાઓ.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો.

વ્યાખ્યા : રેન્ડમ એક એવો જથ્થો છે જે પરીક્ષણના પરિણામે, તેના મૂલ્યોના સંભવિત સમૂહમાંથી માત્ર એક મૂલ્ય લે છે, જે અગાઉથી અજાણ હોય છે અને રેન્ડમ કારણોને આધારે.

રેન્ડમ ચલો બે પ્રકારના હોય છે: અલગ અને સતત.

વ્યાખ્યા : રેન્ડમ ચલ X કહેવાય છે અલગ (અસતત) જો તેના મૂલ્યોનો સમૂહ મર્યાદિત અથવા અનંત છે પરંતુ ગણતરીપાત્ર છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક અલગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોને ફરીથી નંબર આપી શકાય છે.

રેન્ડમ ચલનું વર્ણન તેના વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

વ્યાખ્યા : એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓ વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને કૉલ કરો.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણનો કાયદો કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, જેની પ્રથમ પંક્તિમાં રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યો ચડતા ક્રમમાં દર્શાવેલ છે, અને બીજી પંક્તિમાં આની અનુરૂપ સંભાવનાઓ મૂલ્યો, એટલે કે

જ્યાં р1+ р2+…+ рn=1

આવા કોષ્ટકને એક અલગ રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી કહેવામાં આવે છે.

જો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ અનંત છે, તો શ્રેણી p1+ p2+…+ pn+… કન્વર્જ થાય છે અને તેનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણ નિયમને ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરી શકાય છે, જેના માટે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં તૂટેલી રેખા બાંધવામાં આવે છે, જે કોઓર્ડિનેટ્સ (xi; pi), i=1,2,…n સાથે અનુક્રમે બિંદુઓને જોડે છે. પરિણામી રેખા કહેવામાં આવે છે વિતરણ બહુકોણ (ફિગ. 1).

કાર્બનિક રસાયણશાસ્ત્ર" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">ઓર્ગેનિક રસાયણશાસ્ત્ર અનુક્રમે 0.7 અને 0.8 છે. રેન્ડમ ચલ X માટે વિતરણ કાયદો દોરો - વિદ્યાર્થી જે પરીક્ષાઓ પાસ કરશે તેની સંખ્યા.

ઉકેલ. પરીક્ષાના પરિણામે ગણવામાં આવેલ રેન્ડમ ચલ X નીચેના મૂલ્યોમાંથી એક લઈ શકે છે: x1=0, x2=1, x3=2.

ચાલો આ મૂલ્યોની સંભાવના શોધીએ, ચાલો ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

તેથી, રેન્ડમ ચલ X નો વિતરણ કાયદો કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવે છે:

નિયંત્રણ: 0.6+0.38+0.56=1.

§ 2. વિતરણ કાર્ય

રેન્ડમ ચલનું સંપૂર્ણ વર્ણન પણ વિતરણ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા: એક અલગ રેન્ડમ ચલ Xનું વિતરણ કાર્ય ફંક્શન F(x) કહેવાય છે, જે દરેક મૂલ્ય x માટે સંભવિતતા નક્કી કરે છે કે રેન્ડમ ચલ X x કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે:

F(x)=P(X<х)

ભૌમિતિક રીતે, ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શનને સંભવિતતા તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે કે રેન્ડમ ચલ X એ મૂલ્ય લેશે જે સંખ્યા રેખા પર બિંદુ x ની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) એ (-∞;+∞) પર બિન-ઘટતું કાર્ય છે;

3) F(x) - પોઈન્ટ x= xi (i=1,2,...n) પર ડાબી બાજુ સતત અને અન્ય તમામ પોઈન્ટ પર સતત;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

જો ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ X નો વિતરણ કાયદો કોષ્ટકના રૂપમાં આપવામાં આવે છે:

પછી વિતરણ કાર્ય F(x) સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1 માટે 0,

x1 પર р1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 અને x2< х≤ х3

x>xn માટે 1.

તેનો આલેખ આકૃતિ 2 માં દર્શાવેલ છે:

§ 3. એક અલગ રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ.

મહત્વની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓમાંની એક ગાણિતિક અપેક્ષા છે.

વ્યાખ્યા: ગાણિતિક અપેક્ષા M(X) ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ X એ તેના તમામ મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓના ઉત્પાદનોનો સરવાળો છે:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

ગાણિતિક અપેક્ષા રેન્ડમ ચલના સરેરાશ મૂલ્યની લાક્ષણિકતા તરીકે સેવા આપે છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો:

1)M(C)=C, જ્યાં C એ સ્થિર મૂલ્ય છે;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), જ્યાં X, Y સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે;

5)M(X±C)=M(X)±C, જ્યાં C એ સ્થિર મૂલ્ય છે;

તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ એક અલગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોના વિક્ષેપની ડિગ્રીને દર્શાવવા માટે, વિક્ષેપનો ઉપયોગ થાય છે.

વ્યાખ્યા: ભિન્નતા ડી ( એક્સ ) રેન્ડમ ચલ X એ તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલના વર્ગ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા છે:

વિક્ષેપ ગુણધર્મો:

1)D(C)=0, જ્યાં C એ સ્થિર મૂલ્ય છે;

2)D(X)>0, જ્યાં X એ રેન્ડમ ચલ છે;

3)D(C X)=C2 D(X), જ્યાં C એ સ્થિર મૂલ્ય છે;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), જ્યાં X, Y સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે;

વિભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો ઘણીવાર અનુકૂળ હોય છે:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

જ્યાં M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

ભિન્નતા D(X) માં સ્ક્વેર રેન્ડમ ચલનું પરિમાણ છે, જે હંમેશા અનુકૂળ હોતું નથી. તેથી, મૂલ્ય √D(X) નો ઉપયોગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોના વિક્ષેપના સૂચક તરીકે પણ થાય છે.

વ્યાખ્યા: પ્રમાણભૂત વિચલન σ(X) અવ્યવસ્થિત ચલ X એ વિભિન્નતાનું વર્ગમૂળ કહેવાય છે:

કાર્ય નંબર 2.ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ X વિતરણ કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ થયેલ છે:

P2 શોધો, વિતરણ કાર્ય F(x) અને તેનો ગ્રાફ, તેમજ M(X), D(X), σ(X).

ઉકેલ: રેન્ડમ ચલ X ના સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર હોવાથી

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

ચાલો વિતરણ કાર્ય F(x)=P(X

ભૌમિતિક રીતે, આ સમાનતાને નીચે પ્રમાણે અર્થઘટન કરી શકાય છે: F(x) એ સંભાવના છે કે રેન્ડમ ચલ એ મૂલ્ય લેશે જે સંખ્યા અક્ષ પર બિંદુ x ની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

જો x≤-1, તો F(x)=0, કારણ કે (-∞;x) પર આ રેન્ડમ ચલની એક પણ કિંમત નથી.

જો -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

જો 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) બે મૂલ્યો છે x1=-1 અને x2=0;

જો 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

જો 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

જો x>3, તો F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, કારણ કે ચાર મૂલ્યો x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 અંતરાલ (-∞;x) અને x5=3માં આવે છે.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 x≤-1 પર,

-1 પર 0.1<х≤0,

0 પર 0.2<х≤1,

F(x)= 0.5 અને 1<х≤2,

2 પર 0.7<х≤3,

x>3 પર 1

ચાલો ફંક્શન F(x) ને ગ્રાફિકલી રજૂ કરીએ (ફિગ. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. દ્વિપદી વિતરણ કાયદો

ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ, પોઈસનનો કાયદો.

વ્યાખ્યા: દ્વિપદી એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણનો કાયદો કહેવાય છે - n સ્વતંત્ર પુનરાવર્તિત ટ્રાયલ્સમાં ઘટના A ની ઘટનાઓની સંખ્યા, જેમાંની દરેક ઘટનામાં A સંભાવના p સાથે થઈ શકે છે અથવા સંભાવના q = 1-p સાથે ન થઈ શકે. પછી P(X=m) - n ટ્રાયલ્સમાં ઘટના A બરાબર m વખત બનવાની સંભાવનાની ગણતરી બર્નૌલી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

દ્વિસંગી કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલન અનુક્રમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> દરેક અજમાયશમાં ઇવેન્ટ A - "પાંચ રોલ આઉટ" ની સંભાવના સમાન અને 1/6 જેટલી છે , એટલે કે P(A)=p=1/6, પછી P(A)=1-p=q=5/6, જ્યાં

- "એ મેળવવામાં નિષ્ફળતા."

રેન્ડમ ચલ X નીચેના મૂલ્યો લઈ શકે છે: 0;1;2;3.

અમે બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને X ના દરેક સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવના શોધીએ છીએ:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

તે. રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણ કાયદાનું સ્વરૂપ છે:

નિયંત્રણ: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

ચાલો રેન્ડમ ચલ X ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધીએ:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

કાર્ય નંબર 4.ઓટોમેટિક મશીન પાર્ટ્સ સ્ટેમ્પ કરે છે. ઉત્પાદિત ભાગ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના 0.002 છે. 1000 પસંદ કરેલા ભાગોમાં આ હશે તેવી સંભાવના શોધો:

a) 5 ખામીયુક્ત;

b) ઓછામાં ઓછું એક ખામીયુક્ત છે.

ઉકેલ: સંખ્યા n=1000 મોટી છે, ખામીયુક્ત ભાગ p=0.002 ઉત્પન્ન થવાની સંભાવના નાની છે, અને વિચારણા હેઠળની ઘટનાઓ (ભાગ ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે) સ્વતંત્ર છે, તેથી પોઈસન સૂત્ર ધરાવે છે:

Рn(m)= ઇ- λ λm

ચાલો λ=np=1000 0.002=2 શોધીએ.

a) 5 ખામીયુક્ત ભાગો હશે તેવી સંભાવના શોધો (m=5):

1000(5)= ઇ-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) ઓછામાં ઓછો એક ખામીયુક્ત ભાગ હશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઇવેન્ટ A - "પસંદ કરેલ ભાગોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક ખામીયુક્ત છે" એ ઇવેન્ટની વિરુદ્ધ છે - "બધા પસંદ કરેલા ભાગો ખામીયુક્ત નથી તેથી, P(A) = 1-P(). તેથી ઇચ્છિત સંભાવના બરાબર છે: P(A)=1-P1000(0)=1- ઇ-2 20 = 1- e-2=1-0.13534≈0.865.

સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કાર્યો.

1.1

1.2. વિખરાયેલ રેન્ડમ ચલ X વિતરણ કાયદા દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ છે:

p4 શોધો, વિતરણ કાર્ય F(X) અને તેનો ગ્રાફ, તેમજ M(X), D(X), σ(X).

1.3. બોક્સમાં 9 માર્કર છે, જેમાંથી 2 હવે લખતા નથી. રેન્ડમ પર 3 માર્કર્સ લો. રેન્ડમ વેરીએબલ X એ લેવામાં આવેલા લેખન માર્કર્સની સંખ્યા છે. રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો દોરો.

1.4. લાઇબ્રેરીના શેલ્ફ પર 6 પાઠ્યપુસ્તકો અવ્યવસ્થિત રીતે ગોઠવાયેલા છે, જેમાંથી 4 બંધાયેલા છે. ગ્રંથપાલ રેન્ડમ પર 4 પાઠયપુસ્તકો લે છે. રેન્ડમ વેરીએબલ X એ લેવામાં આવેલોમાંથી બાઉન્ડ પાઠ્યપુસ્તકોની સંખ્યા છે. રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો દોરો.

1.5. ટિકિટ પર બે કાર્યો છે. પ્રથમ સમસ્યાને યોગ્ય રીતે ઉકેલવાની સંભાવના 0.9 છે, બીજી 0.7 છે. રેન્ડમ વેરીએબલ X એ ટિકિટમાં યોગ્ય રીતે ઉકેલાયેલી સમસ્યાઓની સંખ્યા છે. વિતરણ કાયદો દોરો, આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાની ગણતરી કરો, અને વિતરણ કાર્ય F(x) પણ શોધો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો.

1.6. ત્રણ શૂટર્સ નિશાન પર ગોળીબાર કરી રહ્યા છે. પ્રથમ શૂટર માટે 0.5, બીજા માટે 0.8 અને ત્રીજા માટે 0.7 છે. રેન્ડમ વેરીએબલ X એ લક્ષ્ય પર હિટની સંખ્યા છે જો શૂટર્સ એક સમયે એક ગોળી ચલાવે છે. વિતરણ કાયદો શોધો, M(X), D(X).

1.7. બાસ્કેટબોલ ખેલાડી 0.8 ના દરેક શોટને ફટકારવાની સંભાવના સાથે બોલને બાસ્કેટમાં ફેંકે છે. દરેક હિટ માટે, તેને 10 પોઈન્ટ મળે છે, અને જો તે ચૂકી જાય, તો તેને કોઈ પોઈન્ટ આપવામાં આવશે નહીં. રેન્ડમ વેરીએબલ X માટે વિતરણ કાયદો દોરો - બાસ્કેટબોલ ખેલાડી દ્વારા 3 શોટમાં મેળવેલા પોઈન્ટની સંખ્યા. M(X),D(X), તેમજ તેને 10 થી વધુ પોઈન્ટ મળે તેવી સંભાવના શોધો.

1.8. પત્રો પર કુલ 5 સ્વરો અને 3 વ્યંજન લખેલા છે. 3 કાર્ડ રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે, અને દરેક વખતે લીધેલું કાર્ડ પાછું આપવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલ X એ લેવામાં આવેલા સ્વરોની સંખ્યા છે. વિતરણ કાયદો દોરો અને M(X),D(X),σ(X) શોધો.

1.9. સરેરાશ, કોન્ટ્રાક્ટના 60% હેઠળ, વીમા કંપની વીમાની ઘટનાના સંબંધમાં વીમાની રકમ ચૂકવે છે. રેન્ડમ ચલ X માટે વિતરણ કાયદો દોરો - કોન્ટ્રાક્ટની સંખ્યા કે જેના માટે રેન્ડમ પસંદ કરાયેલા ચાર કોન્ટ્રાક્ટમાં વીમાની રકમ ચૂકવવામાં આવી હતી. આ જથ્થાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો.

1.10. જ્યાં સુધી દ્વિ-માર્ગી સંચાર સ્થાપિત ન થાય ત્યાં સુધી રેડિયો સ્ટેશન ચોક્કસ સમયાંતરે કોલ સંકેતો (ચારથી વધુ નહીં) મોકલે છે. કૉલ સાઇન માટે પ્રતિસાદ પ્રાપ્ત કરવાની સંભાવના 0.3 છે. રેન્ડમ વેરીએબલ X એ મોકલેલ કૉલ ચિહ્નોની સંખ્યા છે. વિતરણ કાયદો દોરો અને F(x) શોધો.

1.11. ત્યાં 3 ચાવીઓ છે, જેમાંથી ફક્ત એક જ લોકને બંધબેસે છે. જો અજમાવવામાં આવેલ કી અનુગામી પ્રયત્નોમાં ભાગ ન લે તો લોક ખોલવાના પ્રયાસોના રેન્ડમ ચલ X-સંખ્યાના વિતરણ માટે કાયદો બનાવો. M(X), D(X) શોધો.

1.12. વિશ્વસનીયતા માટે ત્રણ ઉપકરણોના સતત સ્વતંત્ર પરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવે છે. દરેક અનુગામી ઉપકરણ ફક્ત ત્યારે જ પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે જો પાછલું એક વિશ્વસનીય હોવાનું બહાર આવ્યું. દરેક ઉપકરણ માટે પરીક્ષણ પાસ કરવાની સંભાવના 0.9 છે. પરીક્ષણ કરેલ ઉપકરણોના રેન્ડમ ચલ X-સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો દોરો.

1.13 .ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ Xમાં ત્રણ સંભવિત મૂલ્યો છે: x1=1, x2, x3 અને x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. ઇલેક્ટ્રોનિક ઉપકરણ બ્લોકમાં 100 સમાન તત્વો છે. T સમય દરમિયાન દરેક તત્વની નિષ્ફળતાની સંભાવના 0.002 છે. તત્વો સ્વતંત્ર રીતે કાર્ય કરે છે. T સમય દરમિયાન બે કરતાં વધુ તત્વો નિષ્ફળ જશે તેવી સંભાવના શોધો.

1.15. પાઠયપુસ્તક 50,000 નકલોના પરિભ્રમણમાં પ્રકાશિત થયું હતું. પાઠ્યપુસ્તક ખોટી રીતે બંધાયેલ હોવાની સંભાવના 0.0002 છે. પરિભ્રમણ સમાવે છે તેવી સંભાવના શોધો:

એ) ચાર ખામીયુક્ત પુસ્તકો,

b) બે કરતાં ઓછી ખામીયુક્ત પુસ્તકો.

1 .16. PBX પર દર મિનિટે આવતા કૉલ્સની સંખ્યા λ=1.5 પેરામીટર સાથે પોઈસનના કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે એક મિનિટમાં નીચેના આવશે:

a) બે કૉલ્સ;

b) ઓછામાં ઓછો એક કૉલ.

1.17.

જો Z=3X+Y હોય તો M(Z),D(Z) શોધો.

1.18. બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના વિતરણના નિયમો આપવામાં આવ્યા છે:

જો Z=X+2Y હોય તો M(Z), D(Z) શોધો.

જવાબો:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; x≤-2 પર 0,

-2 પર 0.3<х≤0,

F(x) = 0.5 પર 0<х≤2,

2 પર 0.9<х≤5,

x>5 પર 1

1.2. p4=0.1; x≤-1 પર 0,

-1 પર 0.3<х≤0,

0 પર 0.4<х≤1,

F(x)= 0.6 અને 1<х≤2,

2 પર 0.7<х≤3,

x>3 પર 1

M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 પર x≤0,

0 પર 0.03<х≤1,

F(x)= 0.37 પર 1<х≤2,

x>2 માટે 1

M(X)=2; D(X)=0.62

M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0.96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1.22 e-0.2≈0.999

1.15. a)0.0189; b) 0.00049

1.16. a)0.0702; b)0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

પ્રકરણ 2. સતત રેન્ડમ ચલ

વ્યાખ્યા: સતત તેઓ એક જથ્થાને તમામ સંભવિત મૂલ્યો કહે છે જેમાંથી સંખ્યા રેખાના મર્યાદિત અથવા અનંત ગાળાને સંપૂર્ણપણે ભરે છે.

દેખીતી રીતે, સતત રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોની સંખ્યા અનંત છે.

વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને સતત રેન્ડમ ચલનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે.

વ્યાખ્યા:એફ વિતરણ કાર્ય સતત રેન્ડમ ચલ X ને ફંક્શન F(x) કહેવાય છે, જે દરેક મૂલ્ય xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> માટે નક્કી કરે છે આર

વિતરણ કાર્યને કેટલીકવાર સંચિત વિતરણ કાર્ય કહેવામાં આવે છે.

વિતરણ કાર્યના ગુણધર્મો:

1)1≤ F(x) ≤1

2) સતત રેન્ડમ ચલ માટે, વિતરણ કાર્ય કોઈપણ બિંદુએ સતત હોય છે અને દરેક જગ્યાએ અલગ પડે છે, સિવાય કે, કદાચ, વ્યક્તિગત બિંદુઓ પર.

3) રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના એક અંતરાલ (a;b), [a;b], [a;b], ફંક્શન F(x) ના મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતની બરાબર છે. બિંદુ a અને b પર, એટલે કે R(a)<Х

4) સતત રેન્ડમ ચલ X એક અલગ મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના 0 છે.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને સતત રેન્ડમ ચલનો ઉલ્લેખ કરવો એ એકમાત્ર રસ્તો નથી. ચાલો સંભાવના વિતરણ ઘનતા (વિતરણ ઘનતા) નો ખ્યાલ રજૂ કરીએ.

વ્યાખ્યા : સંભાવના વિતરણ ઘનતા f ( x ) સતત રેન્ડમ ચલ X એ તેના વિતરણ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે, એટલે કે:

સંભાવના ઘનતા કાર્યને કેટલીકવાર વિભેદક વિતરણ કાર્ય અથવા વિભેદક વિતરણ કાયદો કહેવામાં આવે છે.

સંભાવના ઘનતા વિતરણ f(x) નો ગ્રાફ કહેવાય છે સંભાવના વિતરણ વળાંક .

સંભાવના ઘનતા વિતરણના ગુણધર્મો:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height પર ="62 src="> x≤2 પર 0,

f(x)= c(x-2) 2 પર<х≤6,

x>6 માટે 0.

શોધો: a) c નું મૂલ્ય; b) વિતરણ કાર્ય F(x) અને તેને પ્લોટ કરો; c) P(3≤x<5)

ઉકેલ:

+ ∞

a) આપણે સામાન્યીકરણની સ્થિતિમાંથી c નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ: ∫ f(x)dx=1.

તેથી, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

જો 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 x≤2 પર,

F(x)= (x-2)2/16 at 2<х≤6,

x>6 માટે 1.

ફંક્શન F(x) નો ગ્રાફ આકૃતિ 3 માં બતાવવામાં આવ્યો છે

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 પર x≤0,

F(x)= (3 આર્કટન x)/π પર 0<х≤√3,

x>√3 માટે 1.

વિભેદક વિતરણ કાર્ય f(x) શોધો

ઉકેલ: ત્યારથી f(x)= F’(x), પછી

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના તમામ ગુણધર્મો, વિખરાયેલા રેન્ડમ ચલ માટે અગાઉ ચર્ચા કરવામાં આવ્યા હતા, તે સતત માટે પણ માન્ય છે.

કાર્ય નંબર 3.રેન્ડમ ચલ X એ વિભેદક કાર્ય f(x) દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ છે:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

પી(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમસ્યાઓ.

2.1. એક સતત રેન્ડમ ચલ X વિતરણ કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

x≤0 પર 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤ π/6 માટે,

F(x)= - cos 3x પર π/6<х≤ π/3,

x> π/3 માટે 1.

વિભેદક વિતરણ કાર્ય f(x) શોધો, અને તે પણ

આર(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2 પર 0,

f(x) = c x 2 પર<х≤4,

x>4 માટે 0.

2.4. એક સતત રેન્ડમ ચલ X વિતરણ ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

x≤0 પર 0,

f(x)= c √x 0 પર<х≤1,

x>1 માટે 0.

શોધો: a) નંબર c; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> પર x,

x પર 0.

શોધો: a) F(x) અને તેને કાવતરું કરો; b) M(X), D(X), σ(X); c) સંભાવના કે ચાર સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સમાં X નું મૂલ્ય અંતરાલ (1;4) સાથે સંબંધિત મૂલ્ય કરતાં બરાબર 2 ગણું લેશે.

2.6. સતત રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના વિતરણ ઘનતા આપવામાં આવે છે:

f(x)= 2(x-2) પર x,

x પર 0.

શોધો: a) F(x) અને તેને કાવતરું કરો; b) M(X), D(X), σ (X); c) ત્રણ સ્વતંત્ર અજમાયશમાં X નું મૂલ્ય સેગમેન્ટના મૂલ્ય કરતાં બરાબર 2 ગણું લેશે તેવી સંભાવના.

2.7. ફંક્શન f(x) આ રીતે આપવામાં આવે છે:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. ફંક્શન f(x) આ રીતે આપવામાં આવે છે:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4; π /4].

શોધો: a) સ્થિર c નું મૂલ્ય કે જેના પર ફંક્શન કેટલાક રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના ઘનતા હશે; b) વિતરણ કાર્ય F(x).

2.9. રેન્ડમ ચલ X, અંતરાલ (3;7) પર કેન્દ્રિત, વિતરણ કાર્ય F(x)= દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ છે. તેની સંભાવના શોધો

રેન્ડમ ચલ X મૂલ્ય લેશે: a) 5 કરતાં ઓછું, b) 7 કરતાં ઓછું નહીં.

2.10. રેન્ડમ ચલ X, અંતરાલ પર કેન્દ્રિત (-1;4),

વિતરણ કાર્ય F(x)= દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેની સંભાવના શોધો

રેન્ડમ ચલ X મૂલ્ય લેશે: a) 2 કરતાં ઓછું, b) 4 કરતાં ઓછું નહીં.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

શોધો: a) નંબર c; b) M(X); c) સંભાવના P(X> M(X)).

2.12. રેન્ડમ ચલ વિભેદક વિતરણ કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ થયેલ છે:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

શોધો: a) M(X); b) સંભાવના P(X≤M(X))

2.13. રેમ વિતરણ સંભાવના ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

x ≥0 માટે https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37">.

સાબિત કરો કે f(x) ખરેખર એક સંભાવના ઘનતા કાર્ય છે.

2.14. સતત રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના વિતરણ ઘનતા આપવામાં આવે છે:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(ફિગ. 4) (ફિગ.5)

2.16. રેન્ડમ ચલ X ને અંતરાલ (0;4) (આકૃતિ 5) માં "જમણો ત્રિકોણ" કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સંભાવના ઘનતા f(x) માટે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ શોધો.

જવાબો

x≤0 પર 0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 માટે 0,

F(x)= 3sin 3x π/6 પર<х≤ π/3,

x> π/3 માટે 0. સતત રેન્ડમ ચલ X ચોક્કસ અંતરાલ (a;b) પર સમાન વિતરણ કાયદો ધરાવે છે, જેમાં X ના તમામ સંભવિત મૂલ્યો હોય છે, જો આ અંતરાલ પર સંભાવના વિતરણ ઘનતા f(x) સ્થિર હોય અને તેની બહાર 0 ની બરાબર હોય. , એટલે કે

x≤a માટે 0,

f(x)= a માટે<х

x≥b માટે 0.

ફંક્શન f(x) નો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a માટે 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

કાર્ય નંબર 1.રેન્ડમ ચલ X એ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. શોધો:

a) સંભાવના વિતરણ ઘનતા f(x) અને તેને પ્લોટ કરો;

b) વિતરણ કાર્ય F(x) અને તેને પ્લોટ કરો;

c) M(X), D(X), σ(X).

ઉકેલ: ઉપર ચર્ચા કરેલ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, a=3, b=7 સાથે, આપણે શોધીએ છીએ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7 પર,

x>7 માટે 0

ચાલો તેનો ગ્રાફ બનાવીએ (ફિગ. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 પર x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">ફિગ. 4

D(X) ===https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 at x<0,

x≥0 માટે f(x)= λе-λх.

રેન્ડમ ચલ X નું વિતરણ કાર્ય, ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત, સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

આમ, ગાણિતિક અપેક્ષા અને ઘાતાંકીય વિતરણનું પ્રમાણભૂત વિચલન એકબીજાની સમાન છે.

X ના અંતરાલ (a;b) માં પડવાની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

P(a<Х

કાર્ય નંબર 2.ઉપકરણની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીનો સરેરાશ સમય 100 કલાક છે એમ માનીને કે ઉપકરણની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીનો સમય ઘાતાંકીય વિતરણ કાયદો ધરાવે છે, શોધો:

a) સંભાવના વિતરણ ઘનતા;

b) વિતરણ કાર્ય;

c) ઉપકરણની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીનો સમય 120 કલાકથી વધી જશે તેવી સંભાવના.

ઉકેલ: શરત મુજબ, ગાણિતિક વિતરણ M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 પર x<0,

a) f(x)= 0.01e -0.01x x≥0 માટે.

b) F(x)= 0 અને x<0,

x≥0 પર 1-e -0.01x.

c) અમે વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને ઇચ્છિત સંભાવના શોધીએ છીએ:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3.સામાન્ય વિતરણ કાયદો

વ્યાખ્યા: સતત રેન્ડમ ચલ X ધરાવે છે સામાન્ય વિતરણ કાયદો (ગૌસનો કાયદો), જો તેની વિતરણ ઘનતા ફોર્મ ધરાવે છે:

,

જ્યાં m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

સામાન્ય વિતરણ વળાંક કહેવામાં આવે છે સામાન્ય અથવા ગૌસીયન વળાંક (ફિગ.7)

સામાન્ય વળાંક સીધી રેખા x=mના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય છે, તેની મહત્તમ x=a, બરાબર હોય છે.

રેન્ડમ ચલ X નું વિતરણ કાર્ય, સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત, સૂત્ર અનુસાર લેપ્લેસ ફંક્શન Ф (x) દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

,

લેપ્લેસ કાર્ય ક્યાં છે.

ટિપ્પણી: ફંક્શન Ф(x) વિચિત્ર છે (Ф(-х)=-Ф(х)), વધુમાં, x>5 માટે આપણે Ф(х) ≈1/2 ધારી શકીએ છીએ.

વિતરણ કાર્ય F(x) નો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

વિચલનનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય ધન સંખ્યા δ કરતા ઓછું હોવાની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

ખાસ કરીને, m=0 માટે નીચેની સમાનતા ધરાવે છે:

"થ્રી સિગ્મા નિયમ"

જો રેન્ડમ ચલ X પાસે m અને σ પરિમાણો સાથે સામાન્ય વિતરણ કાયદો હોય, તો તે લગભગ નિશ્ચિત છે કે તેનું મૂલ્ય અંતરાલ (a-3σ; a+3σ) માં આવેલું છે, કારણ કે

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

ફંક્શન મૂલ્યોના કોષ્ટકમાંથી Ф(х) આપણે Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 શોધીએ છીએ.

તેથી, ઇચ્છિત સંભાવના:

પી(28

સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કાર્યો

3.1. રેન્ડમ ચલ X અંતરાલ (-3;5) માં સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. શોધો:

b) વિતરણ કાર્ય F(x);

c) સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ;

d) સંભાવના P(4<х<6).

3.2. રેન્ડમ ચલ X એ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. શોધો:

a) વિતરણ ઘનતા f(x);

b) વિતરણ કાર્ય F(x);

c) સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ;

d) સંભાવના P(3≤х≤6).

3.3. હાઇવે પર સ્વયંસંચાલિત ટ્રાફિક લાઇટ છે, જેમાં લીલી લાઇટ 2 મિનિટ માટે, પીળી 3 સેકન્ડ માટે, લાલ 30 સેકન્ડ માટે, વગેરે છે. એક કાર હાઇવે પર સમયસર રેન્ડમ ક્ષણે ચાલે છે. સંભવિતતા શોધો કે કાર રોકાયા વિના ટ્રાફિક લાઇટ પસાર કરશે.

3.4. સબવે ટ્રેનો નિયમિતપણે 2 મિનિટના અંતરાલથી ચાલે છે. પેસેન્જર રેન્ડમ સમયે પ્લેટફોર્મમાં પ્રવેશ કરે છે. યાત્રીએ ટ્રેન માટે 50 સેકન્ડથી વધુ રાહ જોવી પડે તેવી સંભાવના કેટલી છે? રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો - ટ્રેન માટે રાહ જોવાનો સમય.

3.5. ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન દ્વારા આપવામાં આવેલ ઘાતાંકીય વિતરણનું વિચલન અને પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો:

F(x) = 0 અને x<0,

x≥0 માટે 1st-8x.

3.6. સતત રેન્ડમ ચલ X એ સંભાવના વિતરણ ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

f(x) = 0 અને x<0,

x≥0 પર 0.7 e-0.7x.

a) વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદાને નામ આપો.

b) વિતરણ કાર્ય F(X) અને રેન્ડમ ચલ X ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો.

3.7. રેન્ડમ ચલ X એ સંભાવના વિતરણ ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે:

f(x) = 0 અને x<0,

x≥0 પર 0.4 e-0.4 x.

સંભાવના શોધો કે પરીક્ષણના પરિણામે X અંતરાલ (2.5;5) માંથી મૂલ્ય લેશે.

3.8. એક સતત રેન્ડમ ચલ X વિતરણ કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે:

F(x) = 0 અને x<0,

x≥0 પર 1લી-0.6x

સંભાવના શોધો કે, પરીક્ષણના પરિણામે, X સેગમેન્ટમાંથી મૂલ્ય લેશે.

3.9. સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું અપેક્ષિત મૂલ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલન અનુક્રમે 8 અને 2 છે.

a) વિતરણ ઘનતા f(x);

b) સંભાવના કે પરીક્ષણના પરિણામે X અંતરાલમાંથી મૂલ્ય લેશે (10;14).

3.10. રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય રીતે 3.5 ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને 0.04 ની ભિન્નતા સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે. શોધો:

a) વિતરણ ઘનતા f(x);

b) સંભાવના કે પરીક્ષણના પરિણામે X એ સેગમેન્ટમાંથી મૂલ્ય લેશે.

3.11. રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય રીતે M(X)=0 અને D(X)=1 સાથે વિતરિત થાય છે. કઈ ઘટનાઓ: |X|≤0.6 અથવા |X|≥0.6 વધુ સંભવિત છે?

3.12. રેન્ડમ વેરીએબલ X સામાન્ય રીતે M(X)=0 અને D(X)=1 સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે જેમાંથી એક કસોટી દરમિયાન મૂલ્ય લેવાની શક્યતા વધુ છે?

3.13. શેર દીઠ વર્તમાન ભાવને M(X)=10 ડેન સાથે સામાન્ય વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને મોડેલ કરી શકાય છે. એકમો અને σ (X)=0.3 ડેન. એકમો શોધો:

a) વર્તમાન શેરની કિંમત 9.8 ડેનથી હશે તેવી સંભાવના. એકમો 10.4 દિવસ સુધી એકમો;

b) "ત્રણ સિગ્મા નિયમ" નો ઉપયોગ કરીને, વર્તમાન શેરની કિંમત જે અંદર સ્થિત હશે તે સીમાઓ શોધો.

3.14. વ્યવસ્થિત ભૂલો વિના પદાર્થનું વજન કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ વજનની ભૂલો સરેરાશ ચોરસ ગુણોત્તર σ=5g સાથે સામાન્ય કાયદાને આધીન છે. સંભવિતતા શોધો કે ચાર સ્વતંત્ર પ્રયોગોમાં ત્રણ તોલોમાં ભૂલ નિરપેક્ષ મૂલ્ય 3r માં થશે નહીં.

3.15. રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય રીતે M(X)=12.6 સાથે વિતરિત થાય છે. અંતરાલ (11.4;13.8) માં આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના 0.6826 છે. પ્રમાણભૂત વિચલન σ શોધો.

3.16. રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય રીતે M(X)=12 અને D(X)=36 સાથે વિતરિત થાય છે જેમાં 0.9973 ની સંભાવના સાથે પરીક્ષણના પરિણામે રેન્ડમ ચલ X ઘટશે.

3.17. ઓટોમેટિક મશીન દ્વારા ઉત્પાદિત ભાગને ખામીયુક્ત ગણવામાં આવે છે જો નજીવા મૂલ્યમાંથી તેના નિયંત્રિત પરિમાણનું વિચલન X માપનના મોડ્યુલો 2 એકમો કરતાં વધી જાય. એવું માનવામાં આવે છે કે રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય રીતે M(X)=0 અને σ(X)=0.7 સાથે વિતરિત થાય છે. મશીન કેટલા ટકા ખામીયુક્ત ભાગો ઉત્પન્ન કરે છે?

3.18. ભાગનું X પરિમાણ સામાન્ય રીતે નજીવા મૂલ્યની સમાન 2 ની ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે અને 0.014 ના પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે. નજીવી મૂલ્યમાંથી X નું વિચલન નજીવા મૂલ્યના 1% કરતાં વધુ નહીં હોય તેવી સંભાવના શોધો.

જવાબો

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) x≤-3 માટે 0,

F(x)= left">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

એક અલગ રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી આપવામાં આવે છે. ખૂટતી સંભાવના શોધો અને વિતરણ કાર્યની રચના કરો. આ જથ્થાની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાની ગણતરી કરો.

રેન્ડમ ચલ X માત્ર ચાર મૂલ્યો લે છે: -4, -3, 1 અને 2. તે આ દરેક મૂલ્યોને ચોક્કસ સંભાવના સાથે લે છે. બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર હોવો જોઈએ, તેથી ખૂટતી સંભાવના બરાબર છે:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

ચાલો રેન્ડમ ચલ X નું વિતરણ કાર્ય કંપોઝ કરીએ. તે જાણીતું છે કે વિતરણ કાર્ય , પછી:

આથી,

ચાલો ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ એફ(x) .

એક અલગ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા રેન્ડમ ચલના મૂલ્યના ઉત્પાદનોના સરવાળા અને અનુરૂપ સંભાવનાની બરાબર છે, એટલે કે.

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને એક અલગ રેન્ડમ ચલનો તફાવત શોધીએ છીએ:

અરજી

સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો અહીં: - સંખ્યાનું અવયવી

ઘટનાઓ પર ક્રિયાઓ ઘટના એ કોઈપણ હકીકત છે જે અનુભવના પરિણામે બની શકે છે અથવા ન પણ બની શકે છે. મર્જિંગ ઇવેન્ટ્સ એઅને IN- આ એક ઘટના છે સાથેજેમાં દેખાવ અથવા ઘટનાનો સમાવેશ થાય છે એ, અથવા ઘટનાઓ IN, અથવા બંને ઘટનાઓ એકસાથે. હોદ્દો: ; ક્રોસિંગ ઇવેન્ટ્સ એઅને IN- આ એક ઘટના છે સાથે, જેમાં બંને ઘટનાઓની એક સાથે ઘટનાનો સમાવેશ થાય છે. હોદ્દો: ;

સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા ઘટનાની સંભાવના એપ્રયોગોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે , ઘટનાની ઘટના માટે અનુકૂળ એ, પ્રયોગોની કુલ સંખ્યા સુધી :

સંભાવના ગુણાકાર સૂત્ર ઘટનાની સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: - ઘટનાની સંભાવના એ, - ઘટનાની સંભાવના માં, - ઘટનાની સંભાવના INપૂરી પાડી હતી કે ઘટના એથઈ ચૂક્યું છે. જો ઘટના A અને B સ્વતંત્ર છે (એકની ઘટના અન્યની ઘટનાને અસર કરતી નથી), તો ઘટનાની સંભાવના સમાન છે:

સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનું સૂત્ર ઘટનાની સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: ઘટનાની સંભાવના એ, ઘટનાની સંભાવના માં, - ઘટનાઓની સહ-ઘટનાની સંભાવના એઅને IN. જો ઘટના A અને B અસંગત હોય (એકસાથે થઈ શકતી નથી), તો ઘટનાની સંભાવના સમાન છે:

કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલા ઘટના દો એઘટનાઓમાંથી એક સાથે એક સાથે થઈ શકે છે , , …, - ચાલો તેમને પૂર્વધારણા કહીએ. પણ ઓળખાય છે - અમલની સંભાવના i-મી પૂર્વધારણા અને - એક્ઝિક્યુટ કરતી વખતે ઘટના A બનવાની સંભાવના i-મી પૂર્વધારણા. પછી ઘટનાની સંભાવના એસૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય છે:

બર્નૌલી યોજના n સ્વતંત્ર પરીક્ષણો થવા દો. ઘટનાની ઘટના (સફળતા) ની સંભાવના એતેમાંના દરેકમાં સતત અને સમાન છે પી, નિષ્ફળતાની સંભાવના (એટલે ​​​​કે ઘટના બની રહી નથી એ) q = 1 - પી. પછી ઘટનાની સંભાવના kમાં સફળતા nબર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પરીક્ષણો શોધી શકાય છે: મોટા ભાગે સફળતાની સંખ્યા બર્નૌલી યોજનામાં, આ ચોક્કસ ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા છે જેની સંભાવના સૌથી વધુ છે.

સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર સતત (ઉદાહરણ તરીકે, 5 બાળકો ધરાવતા પરિવારમાં છોકરીઓની સંખ્યા) (ઉદાહરણ તરીકે, કીટલી યોગ્ય રીતે કામ કરે તે સમય) અલગ રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ વિતરણ શ્રેણી દ્વારા એક અલગ જથ્થાને આપવા દો: એક્સ આર , , …, - રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો; એક્સ , , …, અનુરૂપ સંભાવના મૂલ્યો છે. વિતરણ કાર્ય , , …, - રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોરેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય , , …, - રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોસંપૂર્ણ સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ કાર્ય છે અને તેની સંભાવના સમાન છે ઓછા હશે:

એક્સ

પરીક્ષા માટે પ્રશ્નો

ઘટના. રેન્ડમ ઘટનાઓ પર કામગીરી.

ઘટનાની સંભાવનાનો ખ્યાલ.

સંભાવનાઓને ઉમેરવા અને ગુણાકાર કરવાના નિયમો.

શરતી સંભાવનાઓ.

કુલ સંભાવના સૂત્ર. બેયસનું સૂત્ર.

બર્નૌલી યોજના.

રેન્ડમ ચલ, તેનું વિતરણ કાર્ય અને વિતરણ શ્રેણી.

વિતરણ કાર્યના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

ગાણિતિક અપેક્ષા. ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો.

વિખેરી નાખવું. વિખેરવાના ગુણધર્મો.

એક-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલનું સંભવિત ઘનતા વિતરણ.

વિતરણના પ્રકારો: સમાન, ઘાતાંકીય, સામાન્ય, દ્વિપદી અને પોઈસન વિતરણ.

Moivre-Laplace ના સ્થાનિક અને અભિન્ન પ્રમેય.

બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનું કાયદો અને વિતરણ કાર્ય.

બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની વિતરણ ઘનતા.

નમૂના. નમૂના પ્રક્રિયા. બહુકોણ અને આવર્તન હિસ્ટોગ્રામ. પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્ય.

વિતરણ પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવાનો ખ્યાલ.

આકારણી માટે જરૂરીયાતો. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. ગાણિતિક અપેક્ષા અને પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ કાઢવા માટે અંતરાલોનું નિર્માણ.

આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓ. સંમતિ માપદંડ.

વ્યાખ્યા 1

રેન્ડમ ચલ $X$ને અલગ (અસતત) કહેવામાં આવે છે જો તેના મૂલ્યોનો સમૂહ અનંત અથવા મર્યાદિત હોય પરંતુ ગણતરીપાત્ર હોય.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો તેના મૂલ્યોને ક્રમાંકિત કરી શકાય તો જથ્થાને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે.

વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ચલનું વર્ણન કરી શકાય છે.

ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ $X$ ના વિતરણ કાયદાને કોષ્ટકના રૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, જેની પ્રથમ લાઇન રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોને ચડતા ક્રમમાં દર્શાવે છે અને બીજી લાઇનમાં આની અનુરૂપ સંભાવનાઓ શામેલ છે. મૂલ્યો:

આકૃતિ 1.

જ્યાં $р1+ р2+ ... + рn = 1$. આ ટેબલ છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણની નજીક

જો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ અનંત છે, તો શ્રેણી $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ કન્વર્જ થાય છે અને તેનો સરવાળો $1$ જેટલો થશે. વિતરણ બહુકોણ.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ ના વિતરણ કાયદાને ગ્રાફિકલી રજૂ કરી શકાય છે, જેના માટે તૂટેલી રેખા (લંબચોરસ) કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બનાવવામાં આવે છે જે અનુક્રમે $(xi;pi), i=1,2, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુઓને જોડે છે. .. n$. અમને મળેલી લાઇન કહેવાય છે

આકૃતિ 2.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ ના વિતરણ કાયદાને વિશ્લેષણાત્મક રીતે પણ રજૂ કરી શકાય છે (સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

સ્વતંત્ર સંભાવનાઓ પર કામગીરી

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, એક અલગ રેન્ડમ ચલને સ્થિરાંક વડે ગુણાકાર કરવા, બે રેન્ડમ ચલોને ઉમેરવા, તેમને ગુણાકાર કરવા અને તેમને શક્તિમાં વધારવાની કામગીરી હાથ ધરવી જરૂરી છે. આ કિસ્સાઓમાં, રેન્ડમ અલગ જથ્થા માટે નીચેના નિયમોનું પાલન કરવું જરૂરી છે:

વ્યાખ્યા 3ગુણાકાર

અચળ $K$ દ્વારા એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ એ એક અલગ રેન્ડમ ચલ $Y=KX,$ છે જે સમાનતાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ ડાબે(x_i\જમણે)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

વ્યાખ્યા 4 બે રેન્ડમ ચલોને $x$ અને $y$ કહેવામાં આવે છેસ્વતંત્ર

, જો તેમાંથી એકનો વિતરણ કાયદો બીજા જથ્થાને પ્રાપ્ત કરેલ સંભવિત મૂલ્યો પર આધાર રાખતો નથી.

વ્યાખ્યા 5બે સ્વતંત્ર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો $X$ અને $Y$ ને રેન્ડમ ચલ $Z=X+Y કહેવામાં આવે છે,$ સમાનતાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

વ્યાખ્યા 6

વ્યાખ્યા 3બે સ્વતંત્ર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ $X$ અને $Y$ ને રેન્ડમ ચલ $Z=XY કહેવામાં આવે છે,$ સમાનતાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ ડાબે(x_i\જમણે)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

ચાલો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે કેટલાક ઉત્પાદનો $x_(i\ \ \ \ )y_j$ એકબીજાના સમાન હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, ઉત્પાદન ઉમેરવાની સંભાવના અનુરૂપ સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $ તો $x_2y_3$ (અથવા સમાન $x_5y_7$) ની સંભાવના $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 જેટલી હશે .$

ઉપરોક્ત રકમ પર પણ લાગુ પડે છે. જો $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ તો $x_1+\ y_2$ (અથવા સમાન $x_4+\ y_6$) ની સંભાવના $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6 જેટલી હશે. $

રેન્ડમ ચલો $X$ અને $Y$ વિતરણ કાયદા દ્વારા ઉલ્લેખિત છે:

આકૃતિ 3.

જ્યાં $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ પછી સરવાળો $X+Y$ ના વિતરણનો કાયદો ફોર્મ ધરાવશે

આકૃતિ 4.

અને $XY$ ઉત્પાદનના વિતરણના કાયદાનું સ્વરૂપ હશે

આકૃતિ 5.

વિતરણ કાર્ય

રેન્ડમ ચલનું સંપૂર્ણ વર્ણન પણ વિતરણ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે.

ભૌમિતિક રીતે, ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શનને સંભવિતતા તરીકે સમજાવવામાં આવે છે કે રેન્ડમ ચલ $X$ એ મૂલ્ય લે છે જે સંખ્યા રેખા પર બિંદુ $x$ ની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

"રેન્ડમ ચલ" વિષય પર સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો.

કાર્ય 1 . લોટરી માટે 100 ટિકિટ જારી કરવામાં આવી છે. 50 USD ની એક જીત ડ્રો થઈ હતી. અને દરેક 10 USD ની દસ જીત. મૂલ્ય X ના વિતરણનો કાયદો શોધો - સંભવિત જીતની કિંમત.

ઉકેલ. X માટે સંભવિત મૂલ્યો: x 1 = 0; x 2 = 10 અને x 3 = 50. ત્યાં 89 “ખાલી” ટિકિટો હોવાથી, પછી p 1 = 0.89, $10 જીતવાની સંભાવના. (10 ટિકિટ) – પી 2 = 0.10 અને જીતવા માટે 50 USD -પી 3 = 0.01. આમ:

નિયંત્રિત કરવા માટે સરળ: .

કાર્ય 2. ખરીદદારે પ્રોડક્ટની જાહેરાત અગાઉથી વાંચી હોય તેવી સંભાવના 0.6 (p = 0.6) છે. જાહેરાતની ગુણવત્તાનું પસંદગીયુક્ત નિયંત્રણ પ્રથમ વ્યક્તિ કે જેણે અગાઉથી જાહેરાતનો અભ્યાસ કર્યો હોય તે પહેલાં ખરીદદારોનું સર્વેક્ષણ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. સર્વેક્ષણ કરાયેલ ખરીદદારોની સંખ્યા માટે વિતરણ શ્રેણી દોરો.

ઉકેલ. સમસ્યાની શરતો અનુસાર, p = 0.6. તરફથી: q=1 -p = 0.4. આ મૂલ્યોને બદલીને, અમને મળે છે:અને વિતરણ શ્રેણી બનાવો:

કાર્ય 3. કમ્પ્યુટરમાં ત્રણ સ્વતંત્ર રીતે કામ કરતા તત્વો હોય છે: સિસ્ટમ યુનિટ, મોનિટર અને કીબોર્ડ. વોલ્ટેજમાં એક જ તીવ્ર વધારો સાથે, દરેક તત્વની નિષ્ફળતાની સંભાવના 0.1 છે. બર્નૌલી વિતરણના આધારે, નેટવર્કમાં પાવર ઉછાળા દરમિયાન નિષ્ફળ તત્વોની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો બનાવો.

ઉકેલ. ચાલો વિચાર કરીએ બર્નૌલી વિતરણ(અથવા દ્વિપદી): સંભાવના કે n પરીક્ષણો, ઇવેન્ટ A બરાબર દેખાશે k એકવાર: , અથવા:

IN ચાલો કાર્ય પર પાછા આવીએ.

X માટે સંભવિત મૂલ્યો (નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા):

x 0 =0 - કોઈપણ તત્વો નિષ્ફળ થયા નથી;

x 1 =1 - એક તત્વની નિષ્ફળતા;

x 2 =2 - બે ઘટકોની નિષ્ફળતા;

x 3 =3 - બધા તત્વોની નિષ્ફળતા.

કારણ કે, શરત દ્વારા, p = 0.1, પછી q = 1 – p = 0.9. બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

, ,

, .

નિયંત્રણ:.

તેથી, આવશ્યક વિતરણ કાયદો:

સમસ્યા 4. 5000 રાઉન્ડનું ઉત્પાદન કર્યું. એક કારતૂસ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના . સમગ્ર બેચમાં બરાબર 3 ખામીયુક્ત કારતુસ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ. લાગુ ઝેરનું વિતરણ: આ વિતરણનો ઉપયોગ સંભાવનાને નિર્ધારિત કરવા માટે થાય છે કે જે ખૂબ મોટી છે

પરીક્ષણોની સંખ્યા (સામૂહિક પરીક્ષણો), જેમાંના દરેકમાં ઘટના A ની સંભાવના ઘણી ઓછી છે, ઘટના A k વખત આવશે: , ક્યાં .

અહીં n = 5000, p = 0.0002, k = 3. અમે , પછી ઇચ્છિત સંભાવના શોધીએ છીએ: .

સમસ્યા 5. જ્યારે હિટ સંભાવના સાથે પ્રથમ હિટ સુધી ફાયરિંગ પી = 0.6 ફાયરિંગ કરતી વખતે, તમારે ત્રીજા શોટ પર હિટ થવાની સંભાવના શોધવાની જરૂર છે.

ઉકેલ. ચાલો આપણે ભૌમિતિક વિતરણ લાગુ કરીએ: સ્વતંત્ર પરીક્ષણો હાથ ધરવા દો, જેમાંની દરેક ઘટનામાં A ની ઘટના p (અને બિન-ઘટના q = 1 – p) ની સંભાવના છે. ઘટના A બને કે તરત જ ટેસ્ટ સમાપ્ત થાય છે.

આવી પરિસ્થિતિઓમાં, kth ટ્રાયલ પર ઘટના A થવાની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: . અહીં p = 0.6; q = 1 – 0.6 = 0.4;k = 3. તેથી, .

સમસ્યા 6. રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણનો નિયમ આપીએ:

ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.

ઉકેલ. .

નોંધ કરો કે ગાણિતિક અપેક્ષાનો સંભવિત અર્થ એ રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય છે.

સમસ્યા 7. નીચેના વિતરણ કાયદા સાથે રેન્ડમ ચલ X નો તફાવત શોધો:

ઉકેલ. અહીં .

X ના વર્ગ મૂલ્ય માટે વિતરણ કાયદો 2 :

આવશ્યક વિચલન: .

વિક્ષેપ તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલના વિચલન (વિખેરવું) ના માપને દર્શાવે છે.

સમસ્યા 8. વિતરણ દ્વારા રેન્ડમ ચલ આપવા દો:

તેની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો.

ઉકેલ: m, m 2 ,

એમ 2 , મી.

રેન્ડમ ચલ X વિશે આપણે કાં તો કહી શકીએ: તેની ગાણિતિક અપેક્ષા 13.04 મીટરના ભિન્નતા સાથે 6.4 મીટર છે. 2 , અથવા - તેની ગાણિતિક અપેક્ષા 6.4 મીટર છે અને બીજું ફોર્મ્યુલેશન વધુ સ્પષ્ટ છે.

કાર્ય 9. રેન્ડમ ચલએક્સ વિતરણ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે:
.

સંભાવના શોધો કે પરીક્ષણના પરિણામે મૂલ્ય X અંતરાલમાં સમાયેલ મૂલ્ય લેશે .

ઉકેલ. આપેલ અંતરાલમાંથી X મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના આ અંતરાલમાં ઇન્ટિગ્રલ ફંક્શનના વધારાની બરાબર છે, એટલે કે. . અમારા કિસ્સામાં અને તેથી

.

કાર્ય 10. અલગ રેન્ડમ ચલએક્સ વિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

વિતરણ કાર્ય શોધો F(x ) અને તેને પ્લોટ કરો.

ઉકેલ. વિતરણ કાર્યથી,

માટે , તે

ખાતે;

ખાતે;

ખાતે;

ખાતે;

સંબંધિત ચાર્ટ:

સમસ્યા 11.સતત રેન્ડમ ચલએક્સ વિભેદક વિતરણ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે: .

હિટ સંભાવના શોધોઅંતરાલ દીઠ X

ઉકેલ. નોંધ કરો કે આ ઘાતાંકીય વિતરણ કાયદાનો વિશેષ કેસ છે.

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: .

કાર્ય 12. ડિસ્ટ્રિબ્યુશન કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરાયેલ અલગ રેન્ડમ ચલ X ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો: