બે મેટ્રિસ આપવામાં આવે છે. "રેખીય બીજગણિત" શિસ્તમાં પરીક્ષણ માટેની સોંપણીઓ

મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા. મેટ્રિસીસના પ્રકાર

માપનું મેટ્રિક્સ m× nસમૂહ કહેવાય છે m·nના લંબચોરસ કોષ્ટકમાં ગોઠવેલ સંખ્યાઓ mરેખાઓ અને nકૉલમ આ કોષ્ટક સામાન્ય રીતે કૌંસમાં બંધ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ આના જેવો દેખાઈ શકે છે:

સંક્ષિપ્તતા માટે, મેટ્રિક્સને એક મોટા અક્ષર દ્વારા સૂચવી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, એઅથવા IN.

સામાન્ય રીતે, કદનું મેટ્રિક્સ m× nતેને આ રીતે લખો

.

જે સંખ્યાઓ મેટ્રિક્સ બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે મેટ્રિક્સ તત્વો. બે સૂચકાંકો સાથે મેટ્રિક્સ ઘટકો પ્રદાન કરવા માટે તે અનુકૂળ છે એક ij: પ્રથમ પંક્તિ નંબર સૂચવે છે અને બીજો કૉલમ નંબર સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, a 23- તત્વ 2જી પંક્તિ, 3જી કૉલમમાં છે.

જો મેટ્રિક્સમાં કૉલમની સંખ્યા જેટલી પંક્તિઓની સંખ્યા હોય, તો મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ચોરસ, અને તેની પંક્તિઓ અથવા કૉલમ્સની સંખ્યા કહેવામાં આવે છે ક્રમમાંમેટ્રિસિસ ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાં, બીજું મેટ્રિક્સ ચોરસ છે - તેનો ક્રમ 3 છે, અને ચોથો મેટ્રિક્સ તેનો ક્રમ 1 છે.

મેટ્રિક્સ કે જેમાં પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી ન હોય તેને કહેવામાં આવે છે લંબચોરસ. ઉદાહરણોમાં આ પ્રથમ મેટ્રિક્સ અને ત્રીજું છે.

એવા મેટ્રિસિસ પણ છે કે જેમાં માત્ર એક પંક્તિ અથવા એક કૉલમ હોય છે.

માત્ર એક પંક્તિ ધરાવતું મેટ્રિક્સ કહેવાય છે મેટ્રિક્સ - પંક્તિ(અથવા સ્ટ્રિંગ), અને માત્ર એક કૉલમ સાથેનું મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ - કૉલમ.

એક મેટ્રિક્સ કે જેના તત્વો બધા શૂન્ય છે તેને કહેવામાં આવે છે નલઅને (0), અથવા ફક્ત 0 દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,

.

મુખ્ય કર્ણચોરસ મેટ્રિક્સના ઉપરના ડાબેથી નીચેના જમણા ખૂણે જતા કર્ણને આપણે કહીએ છીએ.

એક ચોરસ મેટ્રિક્સ કે જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે બધા તત્વો શૂન્ય સમાન હોય તેને કહેવામાં આવે છે ત્રિકોણાકારમેટ્રિક્સ

.

એક ચોરસ મેટ્રિક્સ કે જેમાં મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વો સિવાયના તમામ તત્વો શૂન્યની બરાબર હોય તેને કહેવામાં આવે છે. કર્ણમેટ્રિક્સ ઉદાહરણ તરીકે, અથવા.

એક વિકર્ણ મેટ્રિક્સ કે જેમાં તમામ કર્ણ તત્વો એક સમાન હોય તેને કહેવામાં આવે છે એકલમેટ્રિક્સ અને અક્ષર E દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3જી ઓર્ડર ઓળખ મેટ્રિક્સ ફોર્મ ધરાવે છે .

મેટ્રિસીસ પરની ક્રિયાઓ

મેટ્રિક્સ સમાનતા. બે મેટ્રિસિસ એઅને બીસમાન કહેવાય છે જો તેમની પાસે સમાન સંખ્યામાં પંક્તિઓ અને કૉલમ હોય અને તેમના અનુરૂપ તત્વો સમાન હોય એક ij = b ij. તેથી જો અને , તે A=B, જો a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21અને a 22 = b 22.

ટ્રાન્સપોઝ. મનસ્વી મેટ્રિક્સનો વિચાર કરો એથી mરેખાઓ અને nકૉલમ તે નીચેના મેટ્રિક્સ સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે બીથી nરેખાઓ અને mકૉલમ, જેમાં દરેક પંક્તિ મેટ્રિક્સ કૉલમ છે એસમાન સંખ્યા સાથે (તેથી દરેક કૉલમ મેટ્રિક્સની પંક્તિ છે એસમાન નંબર સાથે). તેથી જો , તે .

આ મેટ્રિક્સ બીકહેવાય છે સ્થાનાંતરિતમેટ્રિક્સ એ, અને થી સંક્રમણ એથી બી ટ્રાન્સપોઝિશન.

આમ, સ્થાનાંતરણ એ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની ભૂમિકાઓનું રિવર્સલ છે. મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સમાં સ્થાનાંતરિત એ, સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે એ ટી.

મેટ્રિક્સ વચ્ચે સંચાર એઅને તેનું ટ્રાન્સપોઝ ફોર્મમાં લખી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે.આપેલ એકનું સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ શોધો.

મેટ્રિક્સ ઉમેરો.મેટ્રિસીસ દો એઅને બીસમાન સંખ્યામાં પંક્તિઓ અને સમાન સંખ્યામાં કૉલમનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. પાસે સમાન કદ. પછી મેટ્રિસિસ ઉમેરવા માટે એઅને બીમેટ્રિક્સ તત્વો માટે જરૂરી એમેટ્રિક્સ તત્વો ઉમેરો બીસમાન સ્થળોએ ઊભા. આમ, બે મેટ્રિસિસનો સરવાળો એઅને બીમેટ્રિક્સ કહેવાય છે સી, જે નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે,

ઉદાહરણો.મેટ્રિસિસનો સરવાળો શોધો:

તે ચકાસવું સરળ છે કે મેટ્રિક્સ ઉમેરણ નીચેના કાયદાઓનું પાલન કરે છે: વિનિમયાત્મક A+B=B+Aઅને સહયોગી ( A+B)+સી=એ+(B+C).

સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર.મેટ્રિક્સને ગુણાકાર કરવા માટે એસંખ્યા દીઠ kમેટ્રિક્સના દરેક તત્વની જરૂર છે એઆ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો. આમ, મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન એસંખ્યા દીઠ kત્યાં એક નવું મેટ્રિક્સ છે, જે નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે અથવા

કોઈપણ નંબરો માટે aઅને bઅને મેટ્રિસિસ એઅને બીનીચેની સમાનતાઓ ધરાવે છે:

ઉદાહરણો.

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર.આ કામગીરી એક વિશિષ્ટ કાયદા અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે. સૌ પ્રથમ, અમે નોંધીએ છીએ કે પરિબળ મેટ્રિસિસના કદ સુસંગત હોવા જોઈએ. તમે ફક્ત તે જ મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરી શકો છો જેમાં પ્રથમ મેટ્રિક્સના કૉલમની સંખ્યા બીજા મેટ્રિક્સની પંક્તિઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ હોય છે (એટલે ​​​​કે, પ્રથમ પંક્તિની લંબાઈ બીજા કૉલમની ઊંચાઈ જેટલી હોય છે). કામમેટ્રિસિસ એમેટ્રિક્સ નથી બીનવું મેટ્રિક્સ કહેવાય છે C=AB, જેનાં ઘટકો નીચે મુજબ બનેલા છે:

આમ, ઉદાહરણ તરીકે, ઉત્પાદન મેળવવા માટે (એટલે ​​કે મેટ્રિક્સમાં સી) 1લી પંક્તિ અને 3જી કૉલમમાં સ્થિત તત્વ 13 થી, તમારે 1લી મેટ્રિક્સમાં 1લી પંક્તિ, 2જીમાં 3જી કૉલમ લેવાની જરૂર છે અને પછી પંક્તિના ઘટકોને સંબંધિત કૉલમ ઘટકો દ્વારા ગુણાકાર કરવાની અને પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરવાની જરૂર છે. અને ઉત્પાદન મેટ્રિક્સના અન્ય ઘટકો પ્રથમ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અને બીજા મેટ્રિક્સના કૉલમના સમાન ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, જો આપણે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરીએ A = (a ij)કદ m× nમેટ્રિક્સ માટે B = (b ij)કદ n× પી, પછી આપણને મેટ્રિક્સ મળે છે સીકદ m× પી, જેના ઘટકોની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે: તત્વ c ijતત્વોના ઉત્પાદનના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે iમેટ્રિક્સની મી પંક્તિ એઅનુરૂપ તત્વો માટે jમી મેટ્રિક્સ કૉલમ બીઅને તેમના ઉમેરાઓ.

આ નિયમથી તે અનુસરે છે કે તમે હંમેશા સમાન ક્રમના બે ચોરસ મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરી શકો છો, અને પરિણામે આપણે સમાન ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ. ખાસ કરીને, ચોરસ મેટ્રિક્સ હંમેશા પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે, એટલે કે. તેને ચોરસ કરો.

બીજો મહત્વનો કેસ એ છે કે પંક્તિ મેટ્રિક્સનો કૉલમ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર, અને પ્રથમની પહોળાઈ બીજાની ઊંચાઈ જેટલી હોવી જોઈએ, પરિણામે પ્રથમ-ક્રમનું મેટ્રિક્સ (એટલે ​​​​કે એક ઘટક) આવે છે. ખરેખર,

.

ઉદાહરણો.

આમ, આ સરળ ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે મેટ્રિસિસ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એકબીજા સાથે સફર કરતા નથી, એટલે કે. A∙B ≠ B∙A . તેથી, મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર કરતી વખતે, તમારે પરિબળોના ક્રમને કાળજીપૂર્વક મોનિટર કરવાની જરૂર છે.

તે ચકાસી શકાય છે કે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સહયોગી અને વિતરણ કાયદાઓનું પાલન કરે છે, એટલે કે. (AB)C=A(BC)અને (A+B)C=AC+BC.

ચોરસ મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે તે તપાસવું પણ સરળ છે એઓળખ મેટ્રિક્સ માટે ઇતે જ ક્રમમાં આપણે ફરીથી મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ એ, અને AE=EA=A.

નીચેની રસપ્રદ હકીકત નોંધી શકાય છે. જેમ તમે જાણો છો, 2 બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન 0 ની બરાબર નથી. મેટ્રિસિસ માટે આ કેસ ન હોઈ શકે, એટલે કે. 2 બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન શૂન્ય મેટ્રિક્સ સમાન હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો , તે

.

નિર્ધારકોનો ખ્યાલ

સેકન્ડ-ઓર્ડર મેટ્રિક્સ આપવા દો - બે પંક્તિઓ અને બે સ્તંભો ધરાવતા ચોરસ મેટ્રિક્સ .

બીજો ક્રમ નિર્ણાયક, આ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ, નીચે પ્રમાણે મેળવેલ સંખ્યા છે: a 11 a 22 - a 12 a 21.

નિર્ણાયક પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે .

તેથી, બીજા ક્રમના નિર્ણાયકને શોધવા માટે, તમારે મુખ્ય કર્ણના તત્વોના ઉત્પાદનમાંથી બીજા કર્ણની સાથે તત્વોના ગુણાંકને બાદ કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણો.બીજા ક્રમ નિર્ધારકોની ગણતરી કરો.

એ જ રીતે, આપણે ત્રીજા-ક્રમના મેટ્રિક્સ અને તેના અનુરૂપ નિર્ણાયકને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ.

ત્રીજો ક્રમ નિર્ણાયક, આપેલ ત્રીજા ક્રમના ચોરસ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ, નીચે પ્રમાણે સૂચિત અને પ્રાપ્ત થયેલ સંખ્યા છે:

.

આમ, આ સૂત્ર પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોના સંદર્ભમાં ત્રીજા-ક્રમ નિર્ણાયકનું વિસ્તરણ આપે છે. a 11, a 12, a 13અને ત્રીજા ક્રમના નિર્ણાયકની ગણતરીને બીજા ક્રમના નિર્ધારકોની ગણતરીમાં ઘટાડે છે.

ઉદાહરણો.ત્રીજા ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી કરો.

એ જ રીતે, કોઈ ચોથા, પાંચમા, વગેરેના નિર્ધારકોની વિભાવનાઓ રજૂ કરી શકે છે. ઓર્ડર્સ, 1લી પંક્તિના ઘટકોમાં વિસ્તરણ કરીને, શરતોના “+” અને “–” ચિહ્નો સાથે તેમના ક્રમમાં ઘટાડો.

તેથી, મેટ્રિક્સથી વિપરીત, જે સંખ્યાઓનું કોષ્ટક છે, નિર્ણાયક એ સંખ્યા છે જે મેટ્રિક્સને ચોક્કસ રીતે અસાઇન કરવામાં આવે છે.

સમાવેશ થાય છે ટીરેખાઓ અને nકૉલમને માપ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે n× m. સંખ્યાઓ એ 11 , એ 12 , ..., એ mnતેણીને કહેવામાં આવે છે તત્વોમેટ્રિક્સ સૂચવે છે તે કોષ્ટક કૌંસમાં લખાયેલ છે અને સૂચિત છે A = (a ij ).

જો મેટ્રિક્સની પંક્તિઓની સંખ્યા તેના સ્તંભોની સંખ્યા જેટલી હોય, તો મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે. ચોરસઅને તેની પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી છે - ક્રમમાંચોરસ મેટ્રિક્સ.

ચોરસ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકોનો સમૂહ જે ઉપલા ડાબા ખૂણાને નીચેના જમણા ખૂણે જોડતા સેગમેન્ટ પર સ્થિત છે તેને કહેવામાં આવે છે. મુખ્ય કર્ણ,અને ઉપલા જમણા ખૂણાને નીચેના ડાબા સાથે જોડતા સેગમેન્ટ પર - બાજુ કર્ણ.

ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે કર્ણજો તેના બધા તત્વો મુખ્ય કર્ણ પર ન હોય તો શૂન્ય સમાન હોય. ચોરસ મેટ્રિક્સ કે જેમાં મુખ્ય કર્ણ સાથેના તત્વો એક સમાન હોય છે અને બાકીના શૂન્ય હોય છે, તેને કહેવામાં આવે છે. એકલઅને નિયુક્ત થયેલ છે ઇ.

બે મેટ્રિસિસ કહેવામાં આવે છે સમાનજો તેમની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા સમાન હોય અને જો આ મેટ્રિસિસના અનુરૂપ સ્થાનોના ઘટકો સમાન હોય.

એક મેટ્રિક્સ કે જેના તત્વો બધા શૂન્ય છે તેને કહેવામાં આવે છે નલઅને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે એન.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરવો એસંખ્યા r માટે, તમારે મેટ્રિક્સના દરેક ઘટકની જરૂર છે એ r વડે ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ. મેટ્રિક્સ આપ્યું A =
, મેટ્રિક્સ 3 શોધો એ.

3 A = 3
=

મેટ્રિસિસનો સરવાળો એઅને INમેટ્રિક્સ C કહેવાય છે, જેના ઘટકો મેટ્રિસિસના અનુરૂપ તત્વોના સરવાળા સમાન હોય છે એઅને IN. પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સમાન સંખ્યાવાળા મેટ્રિસિસ જ ઉમેરી શકાય છે.

ઉદાહરણ. મેટ્રિસ આપેલ છે A =
અને IN =
. મેટ્રિક્સ શોધો C = A + B.

સી =

મેટ્રિક્સ ઉમેરણના ગુણધર્મો:

A+B=B+A

(A+ B)+ C = A+ (B + C)

એ + એન = એ

મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન એમેટ્રિક્સ માટે INજો મેટ્રિક્સ કૉલમની સંખ્યા હોય તો જ વ્યાખ્યાયિત એમેટ્રિક્સની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી INગુણાકારનું પરિણામ મેટ્રિક્સ છે એબી,જેમાં મેટ્રિક્સમાં જેટલી જ પંક્તિઓ છે એ, અને મેટ્રિક્સમાં જેટલી કૉલમ છે IN

બે મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદન એ (m× પી) અને IN(પી× n) મેટ્રિક્સ કહેવાય છે સાથે (m× n), જેનાં તત્વો નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

સાથે ij =

ટિપ્પણી. બે મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર કરવા માટે તમારે ઘટકોની જરૂર છે iપ્રથમ મેટ્રિક્સની મી પંક્તિને તત્વો દ્વારા ગુણાકાર કરો jબીજા મેટ્રિક્સની મી કૉલમ અને પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરો. ચાલો અનુક્રમણિકા સાથે નવા મેટ્રિક્સનું તત્વ મેળવીએ ij.

ઉદાહરણ. આપેલ મેટ્રિસિસ a અને b. ;. મેટ્રિસિસ ab નું ઉત્પાદન શોધો.

AB=

=
=

ઉદાહરણ. મેટ્રિસીસ આપેલ છે એઅને IN. એ=
અને B = .

ઉકેલ: A =(2X3), IN= (3X2) => એબી =(2X2)

AB=
 =
=

મેટ્રિક્સ ગુણાકારના ગુણધર્મો:

એબી VA;

(AB)C=A(BC);

AE= ઈએ= એ

(એબી)k = (AB)k = A(Bk)

(A+B)C = AB +BC

A(B+C) = AB + AC/

ટ્રાન્સપોઝ્ડ મેટ્રિક્સ A ટીએક મેટ્રિક્સ છે જેમાં કૉલમને બદલે પંક્તિઓ લખવામાં આવે છે અને પંક્તિઓને બદલે કૉલમ લખવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ. મેટ્રિક્સ આપવા દો A=
, પછી

એ ટી =

નિર્ધારકો.

બીજો ક્રમ નિર્ણાયકમેટ્રિક્સને અનુરૂપ એ =
, નંબર પર કૉલ કર્યો
=એ 11 એ 22 - એ 12 એ 21 .

ઉદાહરણ. બીજા-ક્રમ નિર્ણાયકનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.

= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.

ત્રીજો ક્રમ નિર્ણાયકમેટ્રિક્સને અનુરૂપ

એ =
, નંબર પર કૉલ કર્યો
=એ 11 એ 22 એ 33 +a 12 એ 23 એ 31 + એ 13 એ 21 એ 32 - એ 13 એ 22 એ 31 - એ 12 એ 21 એ 33 -એ 11 એ 23 એ 32.

સમાનતાની જમણી બાજુએ કયા ઉત્પાદનોને “+” ચિહ્ન સાથે લેવા જોઈએ અને જે “-” ચિહ્ન સાથે લેવા જોઈએ તે યાદ રાખવા માટે, એક ઉપયોગી નિયમને ત્રિકોણ નિયમ કહેવામાં આવે છે, જે ફિગમાં બતાવેલ છે. 1.

« + » « - »

આકૃતિ 1.

ઉદાહરણ. ગણતરી નિર્ણાયક

તૃતીય-ક્રમ નિર્ણાયકોની ગણતરી કરવાની બીજી રીત એ છે કે પ્રથમ બે કૉલમ ઉમેરવા, મુખ્ય કર્ણ અને તેની સમાંતર અને ગૌણ કર્ણ અને તેની સમાંતર સાથે ઉત્પાદનો શોધો.

= એ 11 એ 22 એ 33 +a 12 એ 23 એ 31 + એ 13 એ 21 એ 32 - એ 13 એ 22 એ 31 - એ 12 એ 21 એ 33 -એ 11 એ 23 એ 32.

નિર્ધારકોના ગુણધર્મો:

જો નિર્ણાયકમાં બે પંક્તિઓ (કૉલમ્સ) અદલાબદલી કરવામાં આવે, તો તેનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાશે.

જો નિર્ણાયકમાં પંક્તિઓ અને કૉલમ્સ અદલાબદલી કરવામાં આવે છે, તો તેની નિશાની અને તીવ્રતા બદલાશે નહીં.

જો નિર્ણાયકમાં બે રેખાઓ પ્રમાણસર (સમાન) હોય, તો તે શૂન્યની બરાબર છે.

જો નિર્ણાયકમાં કોઈપણ પંક્તિ (કૉલમ) ને ચોક્કસ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે અને બીજી પંક્તિ (કૉલમ) માં ઉમેરવામાં આવે, તો તેની કિંમત બદલાશે નહીં.

જો નિર્ણાયકમાં કોઈપણ પંક્તિ (કૉલમ) ના ઘટકોમાં સામાન્ય પરિબળ હોય, તો તે નિર્ણાયકની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

જો નિર્ણાયકમાં નલ પંક્તિ અથવા કૉલમ હોય, તો તે શૂન્યની બરાબર છે.

માઇનોર એમ ijનિર્ણાયક તત્વ એ ij કાઢી નાખીને મૂળમાંથી મેળવેલ નિર્ણાયક છે i- ઓહ રેખાઓ અને jમી કૉલમ કે જેના પર આ તત્વ સ્થિત છે.

બીજગણિતીય પૂરક A ijનિર્ણાયક તત્વ એ ijગૌણ કહેવાય છે (-1) વડે ગુણાકાર i + j .

નિર્ધારકોની ગણતરી કરવાની ત્રીજી રીત વિઘટન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી રહી છે.

વિઘટન પ્રમેય:નિર્ણાયક કોઈપણ પંક્તિ (કૉલમ) અને તેમના બીજગણિત પૂરક તત્વોના ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન છે.

ઉદાહરણ. ત્રીજા ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી કરો , નિર્ણાયકને પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોમાં વિસ્તરણ.

= 5· (-1) 1+1 · + 3 · (-1) 1+2 ·
+ 2·(-1) 1+3 ·
= 68.

પ્રોપર્ટી 4 નો ઉપયોગ કરીને સમાન નિર્ણાયકની ગણતરી કરી શકાય છે), અને પછી વિસ્તરણ પ્રમેય લાગુ કરી શકાય છે. અમારા ઉદાહરણમાં, અમે પ્રથમ કૉલમમાં શૂન્ય બનાવીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોમાં બીજી હરોળના ઘટકો ઉમેરીએ છીએ, 5 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને ત્રીજી પંક્તિના ઘટકોમાં આપણે બીજી પંક્તિના ઘટકો ઉમેરીએ છીએ, 7 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. અને અમે પરિણામી વિઘટન કરીએ છીએ. પ્રથમ કૉલમના ઘટકોમાં મેટ્રિક્સ.

=
= 0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.

સૂચનાઓ. ઓનલાઈન સોલ્યુશન માટે, તમારે મેટ્રિક્સ એક્સપ્રેશનનો ઉલ્લેખ કરવાની જરૂર છે. બીજા તબક્કે, મેટ્રિસિસના પરિમાણને સ્પષ્ટ કરવું જરૂરી રહેશે.

માન્ય કામગીરી: ગુણાકાર (*), સરવાળો (+), બાદબાકી (-), વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A^(-1), ઘાતાંક (A^2, B^3), મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝિશન (A^T).
કામગીરીની સૂચિ કરવા માટે, અર્ધવિરામ (;) વિભાજકનો ઉપયોગ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ કામગીરી કરવા માટે:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B)-1
તમારે તેને આ રીતે લખવાની જરૂર પડશે: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

મેટ્રિક્સ એ m પંક્તિઓ અને n કૉલમ્સ સાથેનું લંબચોરસ સંખ્યાત્મક કોષ્ટક છે, તેથી મેટ્રિક્સને યોજનાકીય રીતે લંબચોરસ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
શૂન્ય મેટ્રિક્સ (નલ મેટ્રિક્સ)એક મેટ્રિક્સ છે જેના તત્વો બધા શૂન્ય સમાન છે અને 0 દ્વારા સૂચિત છે.
ઓળખ મેટ્રિક્સફોર્મનું ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ મેટ્રિસિસ પર મૂળભૂત કામગીરી.

મેટ્રિક્સ ઉમેરો

ઉદાહરણ 6. .
મેટ્રિક્સ એડિશનની કામગીરી કોઈપણ સંખ્યાની શરતોના કિસ્સામાં વિસ્તરે છે. દેખીતી રીતે A+0=A .
ચાલો ફરી એકવાર ભારપૂર્વક જણાવીએ કે સમાન કદના માત્ર મેટ્રિસિસ ઉમેરી શકાય છે; વિવિધ કદના મેટ્રિસિસ માટે, ઉમેરણ કામગીરી વ્યાખ્યાયિત નથી.

મેટ્રિસિસની બાદબાકી

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર

ઉદાહરણ 7. મેટ્રિસ આપેલ છે અને . મેટ્રિસિસ C = A·B અને D = B·A શોધો.
ઉકેલ. સૌ પ્રથમ, નોંધ લો કે ઉત્પાદન A·B અસ્તિત્વમાં છે કારણ કે A ના સ્તંભોની સંખ્યા B ની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી છે.

ઉદાહરણ 8. મેટ્રિક્સ આપ્યું . 3A 2 – 2A શોધો.
ઉકેલ.

.
; .
.
ચાલો નીચેની રસપ્રદ હકીકત નોંધીએ.
જેમ તમે જાણો છો, બે બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર નથી. મેટ્રિક્સ માટે, સમાન સંજોગો આવી શકે નહીં, એટલે કે, બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન નલ મેટ્રિક્સની બરાબર હોઈ શકે છે.