શ્રેણીના કન્વર્જન્સ (સાબિત) માટે જરૂરી માપદંડ.
પ્રમેય 1.(સંખ્યા શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી શરત). જો સંખ્યા શ્રેણી એકરૂપ થાય છે, તે .
પુરાવો.શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે, એટલે કે. એક મર્યાદા છે. તેની નોંધ લો.
ચાલો વિચાર કરીએ. પછી . અહીંથી, .
કોરોલરી 1.જો શરત પૂરી ન થાય, પછી શ્રેણી અલગ પડે છે.
નોંધ 1.સંખ્યા શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે શરત પર્યાપ્ત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, હાર્મોનિક શ્રેણીઅલગ પડે છે, જો કે તે થાય છે.
વ્યાખ્યા 1.સંખ્યા શ્રેણી એક એન +1 +એક એન+2 +…=, પ્રથમને કાઢીને આપેલ પંક્તિમાંથી મેળવેલ nસભ્યો કહેવાય છે n- m બાકીઆ પંક્તિની અને નિયુક્ત થયેલ છે આર.એન.
પ્રમેય 2.જો સંખ્યા શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે, પછી કોઈપણ શેષ કન્વર્જ થાય છે. પાછળ:જો શૃંખલાનો ઓછામાં ઓછો એક શેષ કન્વર્જ થાય, તો શ્રેણી પોતે જ કન્વર્જ થાય છે. વધુમાં, કોઈપણ એન માટેચાલુ સમાનતા એસ=એસ એન+આર.એન .
કોરોલરી 2.જો તમે પ્રથમ થોડા શબ્દોને દૂર કરો અથવા ઉમેરશો તો સંખ્યા શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ અથવા વિચલન બદલાશે નહીં.
કોરોલરી 3..
32. સરખામણી માપદંડ અને હકારાત્મક શ્રેણી માટે સાઇન
પ્રમેય 1(અસમાનતામાં સકારાત્મક શબ્દો સાથે શ્રેણીની તુલના કરવાની નિશાની) . દોઅને - બિન-નકારાત્મક શરતો સાથે શ્રેણી, અને દરેક એન માટેચાલુ શરત a n સંતુષ્ટ છે£ bn પછી:
1) શ્રેણીના સંપાતથીમોટા શબ્દો સાથે શ્રેણી એકરૂપ થાય છેનાના સભ્યો સાથે;
2) શ્રેણીના વિચલનમાંથીનાના શબ્દો સાથે શ્રેણી અલગ પડે છેમોટા ડિક્સ સાથે.
નોંધ 1.જો શરત હોય તો પ્રમેય સાચું છે એક એન£ b nઅમુક નંબર પરથી ચલાવવામાં આવે છે એનÎ એન .
પ્રમેય 2(મર્યાદા સ્વરૂપમાં સકારાત્મક શબ્દો સાથે શ્રેણીની સરખામણીનું ચિહ્ન) .
દોઅને - બિન-નકારાત્મક શરતો સાથે શ્રેણી અને ત્યાં છે 
. પછી આ શ્રેણીઓ એકસાથે કન્વર્જ થાય છે અથવા અલગ પડે છે .
33. સકારાત્મક-ચિહ્ન શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે ડી'એલેમ્બર્ટની કસોટી
પ્રમેય 1(ડી'એલેમ્બર્ટની નિશાની). દો - હકારાત્મક શબ્દો સાથે શ્રેણી અસ્તિત્વમાં છે .
પછી શ્રેણી q પર કન્વર્જ થાય છે<1 અને q પર અલગ પડે છે>1 .
પુરાવો.દો q<1. Зафиксируем число આરજેમ કે q<પી< 1. По определению
સંખ્યા ક્રમની મર્યાદા, અમુક સંખ્યાથી એનÎ એનઅસમાનતા ધરાવે છે એક એન +1
/એક એન<p,તે એક એન +1 <p×a n.પછી એક એન +1 < p×a N , a N +2 <p 2 ×a N .કોઈપણ માટે ઇન્ડક્શન દ્વારા બતાવવાનું સરળ છે kÎ એનઅસમાનતા સાચી , a N + k<p k ×a N .પરંતુ શ્રેણી ભૌમિતિક શ્રેણીની જેમ એકરૂપ થાય છે ( પી<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд 
પણ એકરૂપ થાય છે. પરિણામે, શ્રેણી પણ એકરૂપ થાય છે (પ્રમેય 2.2 દ્વારા).
દો q>1. પછી અમુક નંબર પરથી એનÎ એનઅસમાનતા સાચી એક એન +1 /એક એન>1, એટલે કે એક એન +1 >એક એન.તેથી, નંબર પરથી એનઅનુગામી ( એક એન) વધી રહી છે અને સ્થિતિ સંતુષ્ટ નથી. અહીંથી, કોરોલરી 2.1 દ્વારા, તે અનુસરે છે કે શ્રેણી અલગ પડે છે q>1.
નોંધ 1.અભિન્ન કસોટીનો ઉપયોગ કરીને, તે તપાસવું સરળ છે કે સંખ્યા શ્રેણી કન્વર્ઝ જો એ>1, અને જો અલગ પડે છે a£1. પંક્તિ કહેવાય છે હાર્મોનિક શ્રેણી, અને શ્રેણી મનસ્વી સાથે aÎ આરકહેવાય છે સામાન્યકૃત હાર્મોનિક શ્રેણી.
34. વૈકલ્પિક પંક્તિઓ. વૈકલ્પિક શ્રેણીના ચિહ્નના કન્વર્જન્સ માટે લીબનીઝ પરીક્ષણ
મનસ્વી ચિહ્નોની શરતો સાથે શ્રેણીનો અભ્યાસ એ વધુ મુશ્કેલ કાર્ય છે, પરંતુ બે કિસ્સાઓમાં અનુકૂળ સંકેતો છે: વૈકલ્પિક સંકેતોની શ્રેણી માટે - લીબનીઝનું પ્રમેય; સંપૂર્ણપણે કન્વર્જન્ટ શ્રેણી માટે, અમે બિન-નકારાત્મક શરતો સાથે અભ્યાસ શ્રેણીના કોઈપણ સંકેતને લાગુ કરીએ છીએ.
વ્યાખ્યા 1.નંબર શ્રેણી કહેવામાં આવે છે સંકેત વૈકલ્પિક, જો કોઈપણ બે સંલગ્ન શબ્દોમાં વિરોધી ચિહ્નો હોય, એટલે કે. શ્રેણીમાં ફોર્મ અથવા , ક્યાં છે એક એન> દરેક માટે 0 nÎ એન .
પ્રમેય 1(લીબનીઝ). વૈકલ્પિક શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે જો:
1) (એક એન) - બિન-વધતો ક્રમ;
2) ખાતે.
આ કિસ્સામાં, વૈકલ્પિક શ્રેણીના સરવાળાનું મોડ્યુલસ તેની પ્રથમ અવધિના મોડ્યુલસ કરતાં વધી જતું નથી, એટલે કે.|એસ|£ a 1 .
હાર્મોનિક શ્રેણી- અસંખ્ય શબ્દોનો બનેલો સરવાળો, કુદરતી શ્રેણીની ક્રમિક સંખ્યાઓના વ્યુત્ક્રમ:
texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1 ) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots
.
શ્રેણીની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો
શ્રેણીના વ્યક્તિગત સભ્યો શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ તેમનો સરવાળો અલગ થઈ જાય છે. હાર્મોનિક શ્રેણીનો nમો આંશિક સરવાળો s n એ nમી હાર્મોનિક સંખ્યા છે:
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલtexvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3 ) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)
કેટલાક આંશિક સરવાળા મૂલ્યો
યુલરનું સૂત્ર
મુ અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvc અર્થ અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): \varepsilon _n \rightarrow 0તેથી, મોટા માટે અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvc
:
texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): s_n\અંદાજે \ln(n) + \gamma- પ્રથમના સરવાળા માટે યુલરનું સૂત્ર અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): nહાર્મોનિક શ્રેણીના સભ્યો. હાર્મોનિક શ્રેણીના આંશિક સરવાળા માટે વધુ સચોટ એસિમ્પ્ટોટિક સૂત્ર:
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલtexvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \dots = \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), ક્યાં અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): B_(2k)- બર્નૌલી નંબરો. આ શ્રેણી અલગ પડે છે, પરંતુ તેના પરની ગણતરીની ભૂલ ક્યારેય પ્રથમ કાઢી નાખવામાં આવેલ શબ્દના અડધા કરતાં વધી જતી નથી.
આંશિક રકમની સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક ગુણધર્મો
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): \forall n>1\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)
શ્રેણીનું વિચલન
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલtexvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ.): s_n\rightarrow \inftyખાતે અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): n\rightarrow \infty
હાર્મોનિક શ્રેણી અલગ પડે છેખૂબ જ ધીરે ધીરે (આંશિક રકમ 100 થી વધી જાય તે માટે, શ્રેણીના લગભગ 10 43 ઘટકોની જરૂર છે).
હાર્મોનિક શ્રેણીના વિચલનને ટેલિસ્કોપિક શ્રેણી સાથે સરખામણી કરીને દર્શાવી શકાય છે:
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલtexvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\right)\underset(+\infty ) (\સિમ)\ફ્રેક (1)(n)
,
જેનો આંશિક સરવાળો દેખીતી રીતે સમાન છે:
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલtexvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): \sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n
.
ઓરેસ્મેનો પુરાવો
વિભિન્નતાનો પુરાવો નીચે પ્રમાણે શરતોને જૂથબદ્ધ કરીને બનાવી શકાય છે:
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલtexvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): \begin(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \left[\frac(1)(2) \right] + \left[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(9)+\cdots\right] +\cdots \\ & () > 1 + \left [\frac(1)(2)\જમણે] + \left[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\જમણે] + \left[\frac(1)(8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(16)+\cdots\right] +\ cdots \ \ & () = 1 + \ \ frac(1)(2) \ \ + \quad \frac(1)(2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1)(2)\ qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \end(સંરેખિત કરો)
છેલ્લી પંક્તિ દેખીતી રીતે અલગ પડે છે. આ પુરાવો મધ્યયુગીન વૈજ્ઞાનિક નિકોલસ ઓરેમ (સી. 1350) પાસેથી મળે છે.
ભિન્નતાનો વૈકલ્પિક પુરાવો
વચ્ચે તફાવત અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): nમી હાર્મોનિક સંખ્યા અને કુદરતી લઘુગણક અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): nયુલર-માશેરોની સ્થિરાંકમાં કન્વર્જ થાય છે.
વિવિધ હાર્મોનિક સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત ક્યારેય પૂર્ણ સંખ્યા જેટલો હોતો નથી અને સિવાય કોઈ હાર્મોનિક સંખ્યા અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ.): H_1=1, પૂર્ણાંક નથી.
સંબંધિત શ્રેણી
ડિરિચલેટ શ્રેણી
સામાન્યકૃત હાર્મોનિક શ્રેણી (અથવા ડિરિચલેટ શ્રેણી) એ શ્રેણી છે
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલtexvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\આલ્ફા) + \frac(1)(4^\alpha) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots
.
સામાન્યકૃત હાર્મોનિક શ્રેણી પર અલગ પડે છે અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): \alpha \leqslant 1અને ખાતે કન્વર્જ થાય છે અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): \alpha > 1
.
ઓર્ડરની સામાન્યકૃત હાર્મોનિક શ્રેણીનો સરવાળો અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): \alphaરીમેન ઝેટા ફંક્શનના મૂલ્યની સમાન:
texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)
સમ સંખ્યાઓ માટે, આ મૂલ્ય સ્પષ્ટપણે pi ના સંદર્ભમાં દર્શાવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6), અને પહેલેથી જ α=3 માટે તેનું મૂલ્ય વિશ્લેષણાત્મક રીતે અજ્ઞાત છે.
હાર્મોનિક શ્રેણીના વિભિન્નતાનું બીજું ઉદાહરણ સંબંધ હોઈ શકે છે અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n
.
વૈકલ્પિક શ્રેણી
હાર્મોનિક શ્રેણીથી વિપરીત, જેમાં તમામ શબ્દો “+” ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, શ્રેણી
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલtexvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): \sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.: 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.
આ સૂત્ર મર્કેટર શ્રેણીનો એક વિશેષ કેસ છે ( અંગ્રેજી), કુદરતી લઘુગણક માટે ટેલર શ્રેણી.
આર્કટેંજન્ટ માટે ટેલર શ્રેણીમાંથી સમાન શ્રેણી મેળવી શકાય છે:
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલtexvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): \sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).
આ સંબંધ લીબનીઝ શ્રેણી તરીકે ઓળખાય છે.
રેન્ડમ હાર્મોનિક શ્રેણી
2003 માં, રેન્ડમ શ્રેણીના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો
અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલtexvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): \sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),
જ્યાં અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ.): s_n- સ્વતંત્ર, સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો કે જે ½ ની સમાન સંભાવના સાથે +1 અને −1 મૂલ્યો લે છે. તે બતાવવામાં આવ્યું છે કે આ શ્રેણી સંભાવના 1 સાથે કન્વર્જ થાય છે, અને શ્રેણીનો સરવાળો એ રસપ્રદ ગુણધર્મો સાથેનું રેન્ડમ ચલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, પોઈન્ટ +2 અથવા −2 પર ગણતરી કરેલ સંભાવના ઘનતા કાર્યનું મૂલ્ય છે:
⅛ થી 10 થી ઓછા −42 થી અલગ.
"પાતળી" હાર્મોનિક શ્રેણી
કેમ્પનર શ્રેણી ( અંગ્રેજી)જો આપણે એક હાર્મોનિક શ્રેણીને ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં ફક્ત એવા શબ્દો બાકી છે કે જેના છેદમાં 9 નંબર નથી, તો તે તારણ આપે છે કે બાકીનો સરવાળો સંખ્યા સાથે કન્વર્જ થાય છે.<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): n, "પાતળી" શ્રેણીના સરવાળા માટે ઓછા અને ઓછા શબ્દો લેવામાં આવે છે. એટલે કે, આખરે, હાર્મોનિક શ્રેણીનો સરવાળો બનાવતા મોટા ભાગના શબ્દોને કાઢી નાખવામાં આવે છે જેથી ઉપરથી મર્યાદિત ભૌમિતિક પ્રગતિને ઓળંગી ન જાય.
લેખ "હાર્મોનિક શ્રેણી" વિશે સમીક્ષા લખો
નોંધો
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
હાર્મોનિક શ્રેણીની લાક્ષણિકતા દર્શાવતો ટૂંકસાર
ભયંકર દિવસનો અંત આવી રહ્યો હતો. હું ખુલ્લી બારી પાસે બેઠો, લાગણી અને કંઈ સાંભળ્યું નહીં. દુનિયા મારા માટે સ્થિર અને આનંદવિહીન બની ગઈ. એવું લાગતું હતું કે તે અલગથી અસ્તિત્વમાં છે, મારા થાકેલા મગજમાં પ્રવેશ કરી રહ્યો નથી અને મને કોઈપણ રીતે સ્પર્શતો નથી... બારી પર, રમતી, બેચેન "રોમન" સ્પેરો હજી પણ ચીસ પાડી રહી હતી. નીચે માનવ અવાજો અને ધમધમતા શહેરનો દિવસનો સામાન્ય અવાજ હતો. પરંતુ આ બધું મારી પાસે એક ખૂબ જ ગાઢ "દિવાલ" દ્વારા આવ્યું, જે લગભગ અવાજોને પસાર થવા દેતું ન હતું... મારી સામાન્ય આંતરિક દુનિયા ખાલી અને બહેરી હતી. તે સાવ અજાણ્યો અને શ્યામ બની ગયો... મધુર, પ્રેમાળ પિતા હવે રહ્યા નથી. તેણે ગિરોલામોને અનુસર્યો...પણ મારી પાસે હજુ પણ અન્ના હતા. અને હું જાણતો હતો કે મારે ઓછામાં ઓછા તેણીને એક અત્યાધુનિક ખૂનીથી બચાવવા માટે જીવવું પડશે જે પોતાને "ભગવાનનો પાદરી", પવિત્ર પોપ કહે છે... કલ્પના કરવી પણ મુશ્કેલ હતું, જો કેરાફા ફક્ત તેના "વાઈસરોય" હોત, ” તો પછી કયા પ્રકારનું જાનવર તેના પ્રિય ભગવાન બનવું જોઈએ?!. મેં મારી "સ્થિર" સ્થિતિમાંથી બહાર નીકળવાનો પ્રયાસ કર્યો, પરંતુ તે બહાર આવ્યું તેમ, તે એટલું સરળ ન હતું - શરીર બિલકુલ પાલન કરતું ન હતું, જીવનમાં આવવા માંગતો ન હતો, અને થાકેલા આત્મા ફક્ત શાંતિની શોધમાં હતો.. .પછી, કંઈ સારું કામ કરતું ન હતું તે જોઈને, મેં મારી જાતને એકલા છોડી દેવાનું નક્કી કર્યું, દરેક વસ્તુને તેના માર્ગ પર જવા દો.
બીજું કંઈપણ વિચાર્યા વિના, અને કંઈપણ નક્કી કર્યા વિના, હું ફક્ત "ઉડી ગયો" જ્યાં મારો ઘાયલ આત્મા બચાવી લેવા માટે પ્રયત્ન કરી રહ્યો હતો... આરામ કરવા અને ઓછામાં ઓછું થોડું ભૂલી જવા માટે, દુષ્ટ "પૃથ્વી" વિશ્વથી દૂર જઈને જ્યાં માત્ર પ્રકાશનું શાસન હતું ...
હું જાણતો હતો કે કારાફા મને લાંબા સમય સુધી એકલા છોડશે નહીં, હું જેમાંથી પસાર થયો હતો તે છતાં, તેનાથી વિપરીત - તે ધ્યાનમાં લેશે કે પીડા મને નબળી પડી ગઈ છે અને નિઃશસ્ત્ર થઈ ગઈ છે, અને કદાચ આ ક્ષણે તે મને આત્મસમર્પણ કરવા દબાણ કરવાનો પ્રયાસ કરશે. કોઈ પ્રકારનું લાદવું - બીજો ભયાનક ફટકો...
દિવસો વીતતા ગયા. પરંતુ, મારા સૌથી આશ્ચર્યની વાત એ છે કે, કારાફા દેખાયો નહીં... આ એક મોટી રાહત હતી, પરંતુ, કમનસીબે, તેણે મને આરામ કરવાની મંજૂરી આપી નહીં. દરેક ક્ષણ માટે હું અપેક્ષા રાખતો હતો કે તેનો શ્યામ, દુષ્ટ આત્મા મારા માટે કઈ નવી અર્થપૂર્ણતા સાથે આવશે ...
પીડા ધીમે ધીમે દરરોજ ઓછી થતી જાય છે, મુખ્યત્વે એક અણધારી અને આનંદકારક ઘટના જે થોડા અઠવાડિયા પહેલા બની હતી અને મને સંપૂર્ણપણે સ્તબ્ધ કરી દીધી હતી - મને મારા મૃત પિતાને સાંભળવાની તક મળી! ..
હું તેને જોઈ શક્યો નહીં, પરંતુ મેં દરેક શબ્દ ખૂબ જ સ્પષ્ટ રીતે સાંભળ્યો અને સમજી લીધો, જાણે મારા પિતા મારી બાજુમાં હોય. પહેલા તો હું માનતો ન હતો, એમ વિચારીને કે હું સંપૂર્ણ થાકથી ચિત્ત હતો. પણ ફોન પુનરાવર્તિત થયો... તે ખરેખર પિતા હતો.
આનંદથી, હું મારા ભાનમાં આવી શક્યો નહીં અને હજી પણ ડરતો હતો કે અચાનક, હમણાં, તે હમણાં જ ઊભો થઈ જશે અને અદૃશ્ય થઈ જશે!.. પણ મારા પિતા અદૃશ્ય થયા નહીં. અને થોડો શાંત થયા પછી, આખરે હું તેને જવાબ આપવા સક્ષમ હતો ...
- શું તે ખરેખર તમે છો!? અત્યારે તમે ક્યાં છો?.. હું તમને કેમ જોઈ શકતો નથી?
- મારી દીકરી... તું જોઈ શકતી નથી કારણ કે તું સંપૂર્ણપણે થાકી ગઈ છે, પ્રિય. અન્ના જુએ છે કે હું તેની સાથે હતો. અને તમે જોશો, પ્રિય. તમારે શાંત થવા માટે માત્ર સમયની જરૂર છે.
શુદ્ધ, પરિચિત હૂંફ મારા સમગ્ર શરીરમાં ફેલાય છે, મને આનંદ અને પ્રકાશમાં આવરી લે છે ...
- તમે કેમ છો, પિતા!? મને કહો કે તે કેવું લાગે છે, આ બીજું જીવન?.. કેવું છે?
- તેણી અદ્ભુત છે, પ્રિય!.. માત્ર તેણી હજી પણ અસામાન્ય છે. અને આપણા પહેલાના ધરતીથી અલગ!.. અહીં લોકો પોતાની દુનિયામાં રહે છે. અને તેઓ ખૂબ સુંદર છે, આ "દુનિયાઓ"!.. પરંતુ હું હજી પણ તે કરી શકતો નથી. દેખીતી રીતે, તે મારા માટે હજી ખૂબ વહેલું છે ... - અવાજ એક સેકન્ડ માટે શાંત પડ્યો, જાણે આગળ બોલવું કે કેમ તે નક્કી કરી રહ્યો હતો.
- તારો ગિરોલામો મને મળ્યો, દીકરી... તે પૃથ્વી પર જેટલો જીવતો અને પ્રેમાળ હતો તેટલો જ પ્રેમાળ છે... તે તને ખૂબ જ યાદ કરે છે અને તડપ કરે છે. અને તેણે મને તમને કહેવાનું કહ્યું કે તે તમને ત્યાં એટલો જ પ્રેમ કરે છે... અને તમે જ્યારે પણ આવો ત્યારે તમારી રાહ જોતા હોય છે... અને તમારી માતા પણ અમારી સાથે છે. અમે બધા પ્રેમ કરીએ છીએ અને તમારી રાહ જોઈ રહ્યા છીએ, પ્રિય. અમે ખરેખર તને યાદ કરીએ છીએ... દીકરી, તારી સંભાળ રાખ. કારાફાને તમારી મજાક ઉડાવવાનો આનંદ ન થવા દો.
- શું તમે ફરીથી મારી પાસે આવશો, પિતા? શું હું તમને ફરીથી સાંભળીશ? - ભયભીત કે તે અચાનક અદૃશ્ય થઈ જશે, મેં પ્રાર્થના કરી.
- શાંત થાઓ, પુત્રી. હવે આ મારી દુનિયા છે. અને કારાફાની શક્તિ તેના સુધી વિસ્તરતી નથી. હું તમને કે અણ્ણાને ક્યારેય નહીં છોડું. તમે જ્યારે પણ ફોન કરશો ત્યારે હું તમારી પાસે આવીશ. શાંત થાઓ, પ્રિય.
- તમને કેવું લાગે છે, પિતા? શું તને કંઈ લાગે છે?... - મારા નિષ્કપટ પ્રશ્નથી થોડી શરમ અનુભવી, મેં હજી પૂછ્યું.
- હું પૃથ્વી પર જે અનુભવું છું તે બધું જ અનુભવું છું, ફક્ત વધુ તેજસ્વી. એક પેન્સિલ ડ્રોઇંગની કલ્પના કરો જે અચાનક રંગોથી ભરાઈ જાય - મારી બધી લાગણીઓ, મારા બધા વિચારો વધુ મજબૂત અને વધુ રંગીન છે. અને બીજી એક વાત... સ્વતંત્રતાની અનુભૂતિ અદ્ભુત છે!.. એવું લાગે છે કે હું હંમેશા જેવો હતો તેવો જ છું, પરંતુ તે જ સમયે સંપૂર્ણપણે અલગ... મને ખબર નથી કે તે તમને કેવી રીતે સમજાવું વધુ સ્પષ્ટ રીતે, પ્રિય... જાણે કે હું તરત જ વિશ્વની દરેક વસ્તુને સ્વીકારી શકું છું, અથવા માત્ર દૂર, દૂર, તારાઓ સુધી ઉડી શકું છું... બધું શક્ય લાગે છે, જાણે હું જે ઇચ્છું તે કરી શકું! તે કહેવું ખૂબ મુશ્કેલ છે, શબ્દોમાં મૂકવું ... પરંતુ મારા પર વિશ્વાસ કરો, પુત્રી, તે અદ્ભુત છે! અને એક બીજી વાત... મને હવે આખી જિંદગી યાદ છે! મને તે બધું યાદ છે જે એકવાર મારી સાથે બન્યું હતું... તે બધું અદ્ભુત છે. આ "અન્ય" જીવન, જેમ તે બહાર આવ્યું છે, એટલું ખરાબ નથી... તેથી, ડરશો નહીં, પુત્રી, જો તમારે અહીં આવવું પડશે, તો અમે બધા તમારી રાહ જોઈશું.
- મને કહો, પિતા... શું ખરેખર ત્યાં પણ કારાફા જેવા લોકો માટે કોઈ અદ્ભુત જીવન રાહ જોઈ રહ્યું છે?.. પરંતુ, તે કિસ્સામાં, આ ફરીથી એક ભયંકર અન્યાય છે!.. શું ખરેખર પૃથ્વી પર બધું ફરીથી જેવું થશે?!. શું તે ખરેખર ક્યારેય બદલો લેશે નહીં?!!
- ઓહ ના, મારો આનંદ, અહીં કારાફા માટે કોઈ સ્થાન નથી. મેં તેના જેવા લોકોને ભયંકર દુનિયામાં જતા સાંભળ્યા છે, પરંતુ હું હજી ત્યાં ગયો નથી. તેઓ કહે છે કે આ તેઓ લાયક છે!.. હું તેને જોવા માંગતો હતો, પરંતુ મારી પાસે હજી સમય નથી. ચિંતા કરશો નહીં, દીકરી, જ્યારે તે અહીં પહોંચશે ત્યારે તેને તે મળશે.
"શું તમે મને ત્યાંથી મદદ કરી શકશો, પિતા?" મેં છુપી આશા સાથે પૂછ્યું.
- મને ખબર નથી, પ્રિય... હું હજી સુધી આ દુનિયાને સમજી શક્યો નથી. હું એક બાળક જેવો છું જે તેના પ્રથમ પગલાં ભરે છે... હું તમને જવાબ આપી શકું તે પહેલાં મારે પહેલા "ચાલવાનું શીખવું" પડશે... અને હવે મારે જવું પડશે. માફ કરશો, પ્રિય. પહેલા મારે આપણી બે દુનિયા વચ્ચે જીવતા શીખવું જોઈએ. અને પછી હું તમારી પાસે વધુ વખત આવીશ. હિંમત રાખો, ઇસિડોરા, અને ક્યારેય કારાફામાં હાર ન આપો. તેને ચોક્કસપણે તે મળશે જે તે લાયક છે, મારા પર વિશ્વાસ કરો.
મારા પિતાનો અવાજ એકદમ પાતળો અને અદૃશ્ય થઈ ગયો ત્યાં સુધી શાંત અને શાંત થઈ ગયો... મારો આત્મા શાંત થઈ ગયો. તે ખરેખર તે જ હતો!.. અને તે ફરીથી જીવ્યો, ફક્ત હવે તેના પોતાનામાં, હજી પણ મારા માટે અજાણ્યો, મરણોત્તર વિશ્વ... પરંતુ તેણે હજી પણ વિચાર્યું અને અનુભવ્યું, જેમ તેણે પોતે કહ્યું હતું - તે જ્યારે જીવતો હતો તેના કરતાં પણ વધુ તેજસ્વી પૃથ્વી. હું હવે ડરતો ન હતો કે હું તેના વિશે ક્યારેય જાણું નહીં... કે તેણે મને કાયમ માટે છોડી દીધો હતો.
પરંતુ મારી સ્ત્રીની આત્મા, બધું હોવા છતાં, તેના માટે હજી પણ દુઃખી હતી ... એ હકીકત વિશે કે જ્યારે હું એકલતા અનુભવતો ત્યારે હું તેને માણસની જેમ ગળે લગાવી શકતો ન હતો ... કે હું મારા ખિન્નતા અને ડરને છુપાવી શક્યો નહીં. તેની પહોળી છાતી, શાંતિ ઇચ્છે છે... કે તેની મજબૂત, સૌમ્ય હથેળી હવે મારા થાકેલા માથા પર પ્રહાર કરી શકતી નથી, જાણે કે બધું કામ કરશે અને બધું ચોક્કસપણે સારું થઈ જશે... હું આ નાની અને મોટે ભાગે નજીવી બાબતોને ખૂબ જ ચૂકી ગયો, પરંતુ આવા પ્રિય, સંપૂર્ણ "માનવ" આનંદ, અને આત્મા તેમના માટે ભૂખ્યો હતો, શાંતિ મેળવવામાં અસમર્થ હતો. હા, હું યોદ્ધા હતી... પણ હું એક સ્ત્રી પણ હતી. તેમની એકમાત્ર પુત્રી, જે હંમેશા જાણતી હતી કે સૌથી ખરાબ થાય તો પણ, મારા પિતા હંમેશા સાથે રહેશે, હંમેશા મારી સાથે રહેશે... અને હું આ બધું ખૂબ જ વેદનાથી ચૂકી ગયો...
કોઈક રીતે વધતી ઉદાસીને દૂર કરીને, મેં મારી જાતને કારાફા વિશે વિચારવાની ફરજ પાડી. આવા વિચારોએ મને તરત જ શાંત કરી દીધો અને મને આંતરિક રીતે એકત્ર કરવા દબાણ કર્યું, કારણ કે હું સંપૂર્ણ રીતે સમજી ગયો હતો કે આ "શાંતિ" માત્ર એક અસ્થાયી રાહત છે ...
પરંતુ મારા સૌથી મોટા આશ્ચર્યની વાત એ છે કે, કારાફા હજી દેખાઈ ન હતી...
દિવસો વીતતા ગયા અને ચિંતા વધતી ગઈ. મેં તેની ગેરહાજરી માટે થોડી સમજૂતી સાથે આવવાનો પ્રયાસ કર્યો, પરંતુ, કમનસીબે, ગંભીર કંઈ ધ્યાનમાં આવ્યું નહીં... મને લાગ્યું કે તે કંઈક તૈયાર કરી રહ્યો છે, પરંતુ હું શું અનુમાન કરી શક્યો નહીં. થાકેલી ચેતાએ રસ્તો આપ્યો. અને રાહ જોવામાં સંપૂર્ણપણે પાગલ ન થવા માટે, મેં દરરોજ મહેલની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કર્યું. મને બહાર જવાની મનાઈ ન હતી, પણ તે મંજૂર પણ નહોતું, તેથી, તાળાબંધી ચાલુ રાખવા માંગતા ન હોવાથી, મેં મારી જાતે નક્કી કર્યું કે હું ફરવા જઈશ... કદાચ કોઈને તે ગમશે નહીં. મહેલ વિશાળ અને અસામાન્ય રીતે સમૃદ્ધ બન્યો. રૂમની સુંદરતાએ કલ્પનાને આશ્ચર્યચકિત કરી દીધું, પરંતુ વ્યક્તિગત રીતે, હું ક્યારેય આવી આકર્ષક વૈભવીમાં જીવી શક્યો નહીં... દિવાલો અને છતની ગિલ્ડિંગ દમનકારી હતી, જે અદ્ભુત ભીંતચિત્રોની કારીગરીનું ઉલ્લંઘન કરતી હતી, આસપાસના ચમકતા વાતાવરણમાં ગૂંગળામણ કરતી હતી. સોનેરી ટોન. મેં આ અદ્ભુત ઘરને રંગનાર કલાકારોની પ્રતિભાને આનંદ સાથે શ્રદ્ધાંજલિ આપી, કલાકો સુધી તેમની રચનાઓની પ્રશંસા કરી અને શ્રેષ્ઠ કારીગરીની નિષ્ઠાપૂર્વક પ્રશંસા કરી. અત્યાર સુધી કોઈએ મને પરેશાન કર્યો નથી, કોઈએ મને રોક્યો નથી. તેમ છતાં ત્યાં હંમેશા કેટલાક લોકો હતા, જેઓ મળ્યા પછી, આદરપૂર્વક નમ્યા અને આગળ વધ્યા, દરેક પોતાના વ્યવસાય વિશે દોડતા હતા. આવી ખોટી "સ્વતંત્રતા" હોવા છતાં, આ બધું ચિંતાજનક હતું, અને દરેક નવો દિવસ વધુને વધુ ચિંતા લાવતો હતો. આ "શાંતિ" કાયમ ટકી શકતી નથી. અને મને લગભગ ખાતરી હતી કે તે ચોક્કસપણે મારા માટે કોઈ ભયંકર અને પીડાદાયક કમનસીબીને "જન્મ આપશે"...
હાર્મોનિક શ્રેણી - સંખ્યા શ્રેણી
તેને આમ કહેવામાં આવે છે કારણ કે હાર્મોનિક શ્રેણીના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે બે પડોશી રાશિઓના હાર્મોનિક સરેરાશ સમાન છે (સરેરાશ મૂલ્યો જુઓ). હાર્મોનિક શ્રેણીની શરતો વધતી સંખ્યાઓ સાથે ઘટે છે અને શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ આંશિક રકમ મર્યાદા વિના વધે છે. આની ખાતરી કરવા માટે, તે નોંધવું પૂરતું છે
,
, 
,
આ દલીલો ચાલુ રાખીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે હાર્મોનિક શ્રેણીની શરતોનો સરવાળો કરતાં વધુ છે. તે અનુસરે છે કે હાર્મોનિક શ્રેણીના આંશિક સરવાળો મર્યાદા વિના વધે છે, એટલે કે. હાર્મોનિક શ્રેણી અલગ છે (શ્રેણી જુઓ). જો કે, આ વૃદ્ધિ ખૂબ જ ધીમી છે. એલ. યુલર, જેમણે હાર્મોનિક શ્રેણીના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો, તે જાણવા મળ્યું
એ 
.
વધુમાં, યુલરે હાર્મોનિક શ્રેણીના આંશિક સરવાળો માટે નોંધપાત્ર સંબંધ સ્થાપિત કર્યો, જે દર્શાવે છે કે તફાવતની મર્યાદા છે, એટલે કે. 
.
તેમના માનમાં નંબરને યુલરનો કોન્સ્ટન્ટ કહેવામાં આવે છે, તે લગભગ 0.5772 ની બરાબર છે (યુલર પોતે, અન્ય વિચારણાઓના આધારે, 15 અંકોની ચોકસાઈ સાથે તેની ગણતરી કરે છે).
ચાલો નીચે પ્રમાણે સમાન ઇંટોથી બનેલી "સીડી" ની કલ્પના કરીએ: બીજી ઇંટ પ્રથમની નીચે મૂકવામાં આવે છે જેથી પ્રથમનું ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર બીજાની જમણી ધાર પર આવે, પછી ત્રીજી આ બે ઇંટોની નીચે મૂકવામાં આવે જેથી કરીને પ્રથમ બેનું ગુરુત્વાકર્ષણનું સામાન્ય કેન્દ્ર જમણી ધાર ત્રીજા પર પડે છે, વગેરે. (ફિગ. 1). આવી "નિસરણી" માટે, ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર બિંદુ સુધી પ્રક્ષેપિત થાય છે, તેથી, "નિસરણી" ઘટશે નહીં. જો ઈંટની લંબાઈ હોય, તો 1લીને 2જી બાયની સાપેક્ષમાં ખસેડવામાં આવશે, 2જીને 3જી બાયની સાપેક્ષમાં, ઠ્ઠી બાયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવશે અને આખી “સીડી” ઈંટની સાપેક્ષમાં ખસેડવામાં આવશે. અધિકાર દ્વારા
.
કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ એ હાર્મોનિક શ્રેણીનો આંશિક સરવાળો છે. તેથી, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, તમે "નિસરણી" ફોલ્ડ કરી શકો છો, તમને ગમે ત્યાં સુધી જમણી તરફ ખસેડી શકો છો. જો કે, નોંધ્યું છે તેમ, તે ખૂબ જ ધીમે ધીમે વધે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે 1000 ઈંટોને સ્ટેક કરો છો, તો તે માત્ર 3.8 ઈંટની લંબાઈ હશે.
જ્યાં સબલિમિટ ફંક્શન એકવિધ રીતે વધે છે, પછીઅથવા
અથવા
અગાઉના એકથી તે સ્પષ્ટ છે કે હાર્મોનિક શ્રેણી એક અલગ શ્રેણી છે, એટલે કે. તેના પ્રથમ n પદોનો સરવાળો લેવાયેલા પદોની સંખ્યા સાથે મર્યાદા વિના વધે છે. જો કે, અન્ય વિભિન્ન શ્રેણીઓથી વિપરીત, શરતોની વધતી સંખ્યા સાથે સરવાળોનો વૃદ્ધિ દર ધીમો પડી જાય છે. હાર્મોનિક શ્રેણી n ની વૃદ્ધિની તુલનામાં નબળી રીતે અલગ હોવાનું કહેવાય છે. ચાલો આ સંદર્ભમાં હાર્મોનિક શ્રેણીને દર્શાવતા નીચેના પ્રમેયને સાબિત કરીએ.
પ્રમેય. કોઈપણ n માટે અંદાજિત સમાનતા છે
જ્યાં 0< g
n < 1.
પુરાવો.વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડ aABb નું ક્ષેત્રફળ આપીએ, જે એસિમ્પ્ટોટ્સ સંબંધિત સમબાજુ હાઇપરબોલા દ્વારા બંધાયેલ છે, જેનું સમીકરણ y = 1/x તેના બે ઓર્ડિનેટ્સ aA અને bB દ્વારા છે, જેનાં સમીકરણો x = 1 અને છે. x = n, અને abscissa અક્ષ. "લંબચોરસના સૂત્રો" નો ઉપયોગ કરીને, અમે આ વિસ્તારની ઉણપ (ફિગ. 2) અને વધુ (ફિગ. 1) સાથે ગણતરી કરીએ છીએ. આધારને n સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરતાં, આપણે શોધીએ છીએ કે વિસ્તાર aABb બરાબર છે
અથવા
|
|
|
|
જેમ જેમ હાર્મોનિક શ્રેણીના પદોની સંખ્યા વધે છે તેમ g n નું મૂલ્ય વધે છે. પરંતુ 0< g n < 1- 1/n. Поэтому существует предел g n , меньший или равный единицы, т.е.
આ મર્યાદાને "યુલેરિયન કોન્સ્ટન્ટ" કહેવામાં આવે છે. H n- 1 અને ln(n) ની ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરીને, આ સંખ્યાનું મૂલ્ય ખૂબ જ ચોકસાઈ સાથે શોધવાનું અને C = 0.57721566490... મેળવવાનું શક્ય હતું.
