રેખીય સમીકરણો: સૂત્રો અને ઉદાહરણો. અસમાનતા અને તેમના ઉકેલ

શાળાના ગણિતમાં રેખીય સમીકરણો એકદમ હાનિકારક અને સમજી શકાય તેવો વિષય છે. પરંતુ, વિચિત્ર રીતે, રેખીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે વાદળીમાંથી ભૂલોની સંખ્યા અન્ય વિષયો - ચતુર્ભુજ સમીકરણો, લઘુગણક, ત્રિકોણમિતિ અને અન્ય કરતાં થોડી ઓછી હોય છે. મોટાભાગની ભૂલોના કારણો સમીકરણોના મામૂલી સમાન રૂપાંતરણો છે. સૌ પ્રથમ, આ સમીકરણના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં શરતો સ્થાનાંતરિત કરતી વખતે સંકેતોમાં મૂંઝવણ છે, તેમજ અપૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે કામ કરતી વખતે ભૂલો. હા, હા! રેખીય સમીકરણોમાં પણ અપૂર્ણાંક દેખાય છે! ચારે બાજુ. નીચે અમે ચોક્કસપણે આવા દુષ્ટ સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરીશું.)

સારું, ચાલો બિલાડીને પૂંછડીથી ન ખેંચીએ અને ચાલો તેને શોધવાનું શરૂ કરીએ, શું આપણે? પછી અમે તેને વાંચીએ છીએ અને તેનો અભ્યાસ કરીએ છીએ.)

રેખીય સમીકરણ શું છે? ઉદાહરણો.

સામાન્ય રીતે રેખીય સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે:

કુહાડી + b = 0,

જ્યાં a અને b કોઈપણ સંખ્યાઓ છે. કોઈપણ પ્રકાર: પૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંક, નકારાત્મક, અતાર્કિક - ત્યાં કોઈપણ હોઈ શકે છે!

ઉદાહરણ તરીકે:

7x + 1 = 0 (અહીં a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (અહીં a = 1, b = -3)

x/2 – 1.1 = 0 (અહીં a = 1/2, b = -1.1)

સામાન્ય રીતે, તમે સમજો છો, મને આશા છે.) બધું સરળ છે, જેમ કે પરીકથામાં. હાલ માટે... અને જો તમે સામાન્ય નોટેશન ax+b=0 પર નજીકથી નજર નાખો, અને થોડો વિચાર કરો? છેવટે, a અને b છે કોઈપણ સંખ્યા! અને જો આપણી પાસે, કહો, a = 0 અને b = 0 (કોઈપણ સંખ્યા લઈ શકાય છે!), તો આપણને શું મળશે?

0 = 0

પરંતુ તે બધી મજા નથી! જો, કહો, a = 0, b = -10 તો શું? પછી તે અમુક પ્રકારની નોનસેન્સ હોવાનું બહાર આવ્યું છે:

0 = 10.

જે ખૂબ જ હેરાન કરે છે અને આપણે પરસેવા અને લોહી વડે મેળવેલ ગણિતમાંના વિશ્વાસને નબળો પાડે છે... ખાસ કરીને પરીક્ષણો અને પરીક્ષાઓ દરમિયાન. પરંતુ આ અગમ્ય અને વિચિત્ર સમાનતાઓમાંથી, તમારે X પણ શોધવાની જરૂર છે! જે બિલકુલ અસ્તિત્વમાં નથી! અને અહીં, સારી રીતે તૈયાર થયેલા વિદ્યાર્થીઓ પણ ક્યારેક મૂર્ખ કહેવાય છે તેમાં પડી શકે છે... પરંતુ ચિંતા કરશો નહીં! આ પાઠમાં આપણે આવા તમામ આશ્ચર્યો પણ જોઈશું. અને આપણે આવી સમાનતાઓમાંથી ચોક્કસપણે એક X શોધીશું.) વધુમાં, આ સમાન X ખૂબ જ સરળ રીતે શોધી શકાય છે. હા, હા! આશ્ચર્યજનક પણ સાચું.)

ઠીક છે, તે સમજી શકાય તેવું છે. પરંતુ તમે કાર્યના દેખાવ દ્વારા કેવી રીતે કહી શકો કે તે એક રેખીય સમીકરણ છે અને કોઈ અન્ય સમીકરણ નથી? કમનસીબે, માત્ર દેખાવ દ્વારા સમીકરણના પ્રકારને ઓળખવું હંમેશા શક્ય નથી. મુદ્દો એ છે કે માત્ર ફોર્મ ax + b = 0 ના સમીકરણોને રેખીય કહેવામાં આવે છે, પણ અન્ય કોઈપણ સમીકરણો કે જે એક અથવા બીજી રીતે, સમાન રૂપાંતરણ દ્વારા આ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. તમે કેવી રીતે જાણો છો કે તે ઉમેરે છે કે નહીં? જ્યાં સુધી તમે ભાગ્યે જ ઉદાહરણ હલ કરી શકતા નથી - લગભગ બિલકુલ નહીં. આ અસ્વસ્થ છે. પરંતુ કેટલાક પ્રકારના સમીકરણો માટે, તમે તરત જ આત્મવિશ્વાસ સાથે કહી શકો છો કે તે રેખીય છે કે નહીં, એક ઝડપી નજરે.

આ કરવા માટે, ચાલો ફરી એકવાર કોઈપણ રેખીય સમીકરણની સામાન્ય રચના જોઈએ:

કુહાડી + b = 0

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: રેખીય સમીકરણમાં હંમેશામાત્ર ચલ x હાજર છે પ્રથમ ડિગ્રીમાંઅને કેટલાક નંબરો! બસ એટલું જ! વધુ કંઈ નહીં. તે જ સમયે, ચોરસમાં, ક્યુબમાં, મૂળની નીચે, લઘુગણકની નીચે અને અન્ય વિચિત્ર વસ્તુઓમાં X નથી. અને (સૌથી અગત્યનું!) ત્યાં કોઈ અપૂર્ણાંક નથી છેદમાં X સાથે!પરંતુ છેદ અથવા વિભાગમાં સંખ્યાઓ સાથેના અપૂર્ણાંક સંખ્યા દીઠ- સરળતાથી!

ઉદાહરણ તરીકે:

આ એક રેખીય સમીકરણ છે. સમીકરણમાં માત્ર X ની પ્રથમ ઘાત અને સંખ્યાઓ છે. અને ઉચ્ચ શક્તિઓમાં કોઈ X નથી - ચોરસ, ઘન, અને તેથી વધુ. હા, અહીં અપૂર્ણાંકો છે, પરંતુ તે જ સમયે અપૂર્ણાંકના છેદ સમાવે છે માત્ર સંખ્યાઓ.એટલે કે, બે અને ત્રણ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્યાં ના છે x દ્વારા વિભાજન.

અને અહીં સમીકરણ છે

તેને હવે રેખીય કહી શકાતું નથી, જો કે અહીં પણ, પ્રથમ પાવર માટે ફક્ત સંખ્યાઓ અને X છે. કારણ કે, અન્ય વસ્તુઓની સાથે, અપૂર્ણાંક પણ છે છેદમાં X સાથે. અને સરળીકરણ અને પરિવર્તન પછી, આવા સમીકરણ કંઈપણ બની શકે છે: રેખીય, ચતુર્ભુજ - કંઈપણ.

રેખીય સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા? ઉદાહરણો.

તો તમે રેખીય સમીકરણો કેવી રીતે હલ કરશો? આગળ વાંચો અને આશ્ચર્ય પામો.) રેખીય સમીકરણોનો સંપૂર્ણ ઉકેલ માત્ર બે મુખ્ય બાબતો પર આધારિત છે. ચાલો તેમની યાદી કરીએ.

1) પ્રાથમિક ક્રિયાઓ અને ગણિતના નિયમોનો સમૂહ.

આ કૌંસનો ઉપયોગ કરે છે, કૌંસ ખોલે છે, અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરે છે, નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરે છે, ગુણાકાર કોષ્ટકો, વગેરે. આ જ્ઞાન અને કૌશલ્ય માત્ર રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે જ નહીં, પરંતુ સામાન્ય રીતે તમામ ગણિત માટે જરૂરી છે. અને, જો તમને આમાં સમસ્યા હોય, તો નીચલા ગ્રેડ યાદ રાખો. નહિંતર, તમારે મુશ્કેલ સમય આવશે ...

2)

તેમાંના બે જ છે. હા, હા! તદુપરાંત, આ ખૂબ જ મૂળભૂત ઓળખ પરિવર્તનો માત્ર રેખીય જ નહીં, પરંતુ સામાન્ય રીતે કોઈપણ ગાણિતિક સમીકરણોના ઉકેલને આધાર રાખે છે! એક શબ્દમાં, અન્ય કોઈપણ સમીકરણનો ઉકેલ - ચતુર્ભુજ, લઘુગણક, ત્રિકોણમિતિ, અતાર્કિક, વગેરે. - એક નિયમ તરીકે, તે આ ખૂબ જ મૂળભૂત પરિવર્તનોથી શરૂ થાય છે. પરંતુ રેખીય સમીકરણોનો ઉકેલ, હકીકતમાં, તેમની સાથે સમાપ્ત થાય છે (રૂપાંતરણો). જવાબ તૈયાર છે.) તેથી આળસુ ન બનો અને લિંક પર એક નજર નાખો.) વધુમાં, રેખીય સમીકરણોનું પણ ત્યાં વિગતવાર વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે.

સારું, મને લાગે છે કે હવે ઉદાહરણો જોવાનું શરૂ કરવાનો સમય છે.

શરૂઆતમાં, વોર્મ-અપ તરીકે, ચાલો કેટલીક મૂળભૂત સામગ્રી જોઈએ. કોઈપણ અપૂર્ણાંક અથવા અન્ય ઘંટ અને સીટી વગર. ઉદાહરણ તરીકે, આ સમીકરણ:

x – 2 = 4 – 5x

આ ક્લાસિક રેખીય સમીકરણ છે. બધા X ની પ્રથમ શક્તિમાં મહત્તમ છે અને X દ્વારા ક્યાંય કોઈ વિભાજન નથી. આવા સમીકરણોમાં સોલ્યુશન સ્કીમ હંમેશા સમાન અને ભયંકર રીતે સરળ હોય છે: X સાથેના તમામ શબ્દો ડાબી બાજુએ એકત્રિત કરવા જોઈએ, અને X ના (એટલે ​​​​કે સંખ્યાઓ) વિનાના તમામ શબ્દો જમણી બાજુએ એકત્રિત કરવા જોઈએ. તો ચાલો એકત્રિત કરવાનું શરૂ કરીએ.

આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ ઓળખ પરિવર્તન શરૂ કરીએ છીએ. આપણે -5x ડાબી તરફ, અને -2 ને જમણી તરફ ખસેડવાની જરૂર છે. ચિહ્નના ફેરફાર સાથે, અલબત્ત.) તેથી અમે સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:

x + 5x = 4 + 2

અહીં તમે જાઓ. અડધી લડાઈ થઈ ગઈ છે: X ને એક ખૂંટોમાં એકત્રિત કરવામાં આવ્યા છે, અને તેથી સંખ્યાઓ પણ છે. હવે અમે ડાબી બાજુએ સમાન રજૂ કરીએ છીએ, અને અમે તેમને જમણી બાજુએ ગણીએ છીએ. અમને મળે છે:

6x = 6

સંપૂર્ણ સુખ માટે હવે આપણી પાસે શું અભાવ છે? હા, જેથી શુદ્ધ X ડાબી બાજુ રહે! અને છ રસ્તામાં આવે છે. તેનાથી કેવી રીતે છુટકારો મેળવવો? હવે આપણે બીજું ઓળખ પરિવર્તન ચલાવીએ છીએ - સમીકરણની બંને બાજુઓને 6 વડે વિભાજીત કરીએ. અને - વોઇલા! જવાબ તૈયાર છે.)

x = 1

અલબત્ત, ઉદાહરણ સંપૂર્ણપણે આદિમ છે. સામાન્ય વિચાર મેળવવા માટે. સારું, ચાલો કંઈક વધુ નોંધપાત્ર નક્કી કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો આ સમીકરણ જોઈએ:

ચાલો તેને વિગતવાર જોઈએ.) આ પણ એક રેખીય સમીકરણ છે, જો કે એવું લાગે છે કે અહીં અપૂર્ણાંકો છે. પરંતુ અપૂર્ણાંકમાં બે વડે ભાગાકાર હોય છે અને ત્રણ વડે ભાગાકાર હોય છે, પણ એક્સ સાથેની અભિવ્યક્તિ દ્વારા કોઈ ભાગાકાર નથી હોતો! તો ચાલો નક્કી કરીએ. સમાન સમાન પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, હા.)

આપણે પહેલા શું કરવું જોઈએ? X ની સાથે - ડાબી બાજુએ, X વિના - જમણી બાજુએ? સિદ્ધાંતમાં, આ શક્ય છે. વ્લાદિવોસ્ટોક થઈને સોચી માટે ફ્લાય કરો.) અથવા તમે સાર્વત્રિક અને શક્તિશાળી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તરત જ ટૂંકો રસ્તો લઈ શકો છો. જો તમે ઓળખ રૂપાંતરણ જાણો છો, અલબત્ત.)

પ્રથમ, હું એક મુખ્ય પ્રશ્ન પૂછું છું: આ સમીકરણ વિશે તમારા માટે સૌથી વધુ શું છે અને સૌથી વધુ નાપસંદ શું છે? 100 માંથી 99 લોકો કહેશે: અપૂર્ણાંકઅને તેઓ સાચા હશે.) તો ચાલો પહેલા તેમાંથી છૂટકારો મેળવીએ. સમીકરણ માટે જ સલામત.) તેથી, ચાલો તરત જ શરૂઆત કરીએ બીજું ઓળખ પરિવર્તન- ગુણાકારમાંથી. આપણે ડાબી બાજુનો શું ગુણાકાર કરવો જોઈએ જેથી કરીને છેદ સફળતાપૂર્વક ઘટાડી શકાય? તે સાચું છે, એક બે. જમણી બાજુ વિશે શું? ત્રણ માટે! પણ... ગણિત એ તરંગી સ્ત્રી છે. તેણી, તમે જુઓ, માત્ર બંને બાજુઓને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે સમાન નંબર માટે!દરેક ભાગને તેની પોતાની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાથી કામ થતું નથી... આપણે શું કરવાના છીએ? કંઈક... સમાધાન માટે જુઓ. આપણી ઇચ્છાઓને સંતોષવા માટે (અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવવા માટે) અને ગણિતને નારાજ ન કરવા માટે.) ચાલો બંને ભાગોને છ વડે ગુણાકાર કરીએ!) એટલે કે સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ તમામ અપૂર્ણાંકોના સામાન્ય છેદ દ્વારા. પછી એકમાં બે અને ત્રણ બંને ઘટશે!)

તો ચાલો ગુણાકાર કરીએ. આખી ડાબી બાજુ અને આખી જમણી બાજુ! તેથી, અમે કૌંસનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ પ્રક્રિયા પોતે આના જેવી દેખાય છે:

હવે આપણે આ જ કૌંસ ખોલીએ છીએ:

હવે, 6 ને 6/1 તરીકે રજૂ કરીએ છીએ, ચાલો ડાબી અને જમણી બાજુના દરેક અપૂર્ણાંક દ્વારા છનો ગુણાકાર કરીએ. આ અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય ગુણાકાર છે, પરંતુ તે હોય, હું તેનું વિગતવાર વર્ણન કરીશ:

અને અહીં - ધ્યાન! મેં અંશ (x-3) કૌંસમાં મૂક્યો છે! આ બધું એટલા માટે છે કારણ કે જ્યારે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે અંશ સંપૂર્ણ રીતે, સંપૂર્ણ રીતે ગુણાકાર થાય છે! અને x-3 અભિવ્યક્તિ એક અભિન્ન બંધારણ તરીકે કામ કરતી હોવી જોઈએ. પરંતુ જો તમે આ રીતે અંશ લખો છો:

6x - 3,

પરંતુ અમારી પાસે બધું બરાબર છે અને અમારે તેને અંતિમ સ્વરૂપ આપવાની જરૂર છે. આગળ શું કરવું? ડાબી બાજુના અંશમાં કૌંસ ખોલો? કોઈ રસ્તો નથી! તમે અને મેં અપૂર્ણાંકોથી છૂટકારો મેળવવા અને કૌંસ ખોલવાની ચિંતા ન કરવા માટે બંને બાજુઓને 6 વડે ગુણાકાર કર્યો. આ તબક્કે આપણને જરૂર છે અમારા અપૂર્ણાંકો ઘટાડો.ઊંડા સંતોષની લાગણી સાથે, અમે તમામ છેદ ઘટાડીએ છીએ અને કોઈપણ અપૂર્ણાંક વિના એક લીટીમાં સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

અને હવે બાકીના કૌંસ ખોલી શકાય છે:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

સમીકરણ વધુ ને વધુ સારું થતું રહે છે! હવે ચાલો પ્રથમ સમાન રૂપાંતરણ વિશે ફરીથી યાદ કરીએ. સીધા ચહેરા સાથે અમે જુનિયર વર્ગોમાંથી જોડણીનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ: X સાથે - ડાબી બાજુ, X વગર - જમણી તરફ. અને આ પરિવર્તન લાગુ કરો:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

અમે ડાબી બાજુએ સમાન રજૂ કરીએ છીએ અને જમણી બાજુએ ગણતરી કરીએ છીએ:

13x = 39

તે બંને ભાગોને 13 વડે વિભાજીત કરવાનું બાકી છે. એટલે કે, ફરીથી બીજા રૂપાંતરણને લાગુ કરો. અમે વિભાજીત કરીએ છીએ અને જવાબ મેળવીએ છીએ:

x = 3

કામ થઈ ગયું. જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ સમીકરણમાં અમારે પ્રથમ રૂપાંતરણ (સ્થાનાંતરિત શરતો) એક વાર અને બીજી બે વાર લાગુ કરવાની હતી: ઉકેલની શરૂઆતમાં અમે અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવવા માટે ગુણાકાર (6 દ્વારા) નો ઉપયોગ કર્યો હતો, અને અંતે X ની સામેના ગુણાંકમાંથી છૂટકારો મેળવવા માટે અમે વિભાજન (13 દ્વારા) નો ઉપયોગ કર્યો છે. અને કોઈપણ (હા, કોઈપણ!) રેખીય સમીકરણના ઉકેલમાં એક અથવા બીજા ક્રમમાં આ સમાન પરિવર્તનોના સંયોજનનો સમાવેશ થાય છે. બરાબર ક્યાંથી શરૂ કરવું તે ચોક્કસ સમીકરણ પર આધાર રાખે છે. કેટલાક સ્થળોએ સ્થાનાંતરણ સાથે પ્રારંભ કરવું વધુ નફાકારક છે, અને અન્યમાં (આ ઉદાહરણમાં) ગુણાકાર (અથવા ભાગાકાર) સાથે.

અમે સરળથી જટિલ સુધી કામ કરીએ છીએ. ચાલો હવે સંપૂર્ણ ક્રૂરતાનો વિચાર કરીએ. અપૂર્ણાંક અને કૌંસના સમૂહ સાથે. અને હું તમને કહીશ કે કેવી રીતે તમારી જાતને વધુ પડતું ન રાખવું.)

ઉદાહરણ તરીકે, અહીં સમીકરણ છે:

અમે એક મિનિટ માટે સમીકરણને જોઈએ છીએ, ગભરાઈ જઈએ છીએ, પરંતુ હજી પણ આપણી જાતને એક સાથે ખેંચીએ છીએ! મુખ્ય સમસ્યા એ છે કે ક્યાંથી શરૂઆત કરવી? તમે જમણી બાજુએ અપૂર્ણાંક ઉમેરી શકો છો. તમે કૌંસમાં અપૂર્ણાંકને બાદ કરી શકો છો. તમે બંને ભાગોને કંઈક વડે ગુણાકાર કરી શકો છો. અથવા વિભાજન... તો હજુ પણ શું શક્ય છે? જવાબ: બધું શક્ય છે! ગણિત સૂચિબદ્ધ કોઈપણ ક્રિયાઓને પ્રતિબંધિત કરતું નથી. અને પછી ભલે તમે ક્રિયાઓ અને પરિવર્તનનો ક્રમ પસંદ કરો, જવાબ હંમેશા એક જ રહેશે - સાચો. સિવાય કે, અલબત્ત, અમુક તબક્કે તમે તમારા રૂપાંતરણની ઓળખનું ઉલ્લંઘન કરો છો અને, તે રીતે, ભૂલો કરો છો...

અને, ભૂલો ન કરવા માટે, આના જેવા સુસંસ્કૃત ઉદાહરણોમાં, તેના દેખાવનું મૂલ્યાંકન કરવું અને તમારા મનમાં આકૃતિ કરવી તે હંમેશા સૌથી વધુ ઉપયોગી છે: ઉદાહરણમાં શું કરી શકાય છે જેથી કરીને મહત્તમતેને એક પગલામાં સરળ બનાવશો?

તો ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. ડાબી બાજુએ છેદમાં છગ્ગા છે. અંગત રીતે, હું તેમને પસંદ નથી કરતો, અને તેઓ દૂર કરવા માટે ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો હું સમીકરણની બંને બાજુઓને 6 વડે ગુણાકાર કરું! પછી ડાબી બાજુના છગ્ગાઓ સફળતાપૂર્વક ઘટાડવામાં આવશે, કૌંસમાંના અપૂર્ણાંક હજુ સુધી ક્યાંય જશે નહીં. સારું, તે ઠીક છે. અમે થોડા સમય પછી તેમની સાથે વ્યવહાર કરીશું.) પરંતુ જમણી બાજુએ, અમે છેદ 2 અને 3 રદ કરીશું (6 વડે ગુણાકાર કરીને) અમે એક પગલામાં મહત્તમ સરળીકરણ પ્રાપ્ત કરીશું!

ગુણાકાર પછી, આપણું આખું દુષ્ટ સમીકરણ આના જેવું બને છે:

જો તમે બરાબર સમજી શકતા નથી કે આ સમીકરણ કેવી રીતે આવ્યું, તો તમે અગાઉના ઉદાહરણનું વિશ્લેષણ સારી રીતે સમજી શક્યા નથી. અને મેં પ્રયાસ કર્યો, માર્ગ દ્વારા ...

તેથી, ચાલો જાહેર કરીએ:

હવે સૌથી તાર્કિક પગલું એ હશે કે ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકને અલગ કરો અને જમણી બાજુએ 5x મોકલો. તે જ સમયે, અમે જમણી બાજુએ સમાન રજૂ કરીશું. અમને મળે છે:

પહેલેથી જ ઘણું સારું. હવે ડાબી બાજુએ પોતાને ગુણાકાર માટે તૈયાર કરી છે. આપણે ડાબી બાજુને શેના વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ જેથી કરીને પાંચ અને ચાર એકસાથે ઘટે? 20 પર! પરંતુ સમીકરણની બંને બાજુએ આપણી પાસે ગેરફાયદા પણ છે. તેથી, સમીકરણની બંને બાજુઓને 20 વડે નહીં, પરંતુ -20 વડે ગુણાકાર કરવાનું સૌથી અનુકૂળ રહેશે. પછી એક જ વારમાં બાદબાકી અને અપૂર્ણાંક બંને અદૃશ્ય થઈ જશે.

તેથી આપણે ગુણાકાર કરીએ છીએ:

કોઈપણ જે હજી પણ આ પગલું સમજી શકતું નથી તેનો અર્થ એ છે કે સમસ્યા સમીકરણોમાં નથી. સમસ્યાઓ મૂળભૂત છે! ચાલો ફરીથી કૌંસ ખોલવાના સુવર્ણ નિયમને યાદ કરીએ:

જો સંખ્યાને કૌંસમાં અમુક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તો આ સંખ્યા આ જ અભિવ્યક્તિના દરેક પદ દ્વારા ક્રમિક રીતે ગુણાકાર થવી જોઈએ. તદુપરાંત, જો સંખ્યા હકારાત્મક છે, તો પછી અભિવ્યક્તિઓના ચિહ્નો વિસ્તરણ પછી સચવાય છે. જો નકારાત્મક હોય, તો વિરુદ્ધમાં બદલો:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

બંને બાજુઓને -20 વડે ગુણાકાર કર્યા પછી અમારા વિપક્ષ અદૃશ્ય થઈ ગયા. અને હવે આપણે ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંક સાથેના કૌંસને તદ્દન વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ હકારાત્મક સંખ્યા 20. તેથી, જ્યારે આ કૌંસ ખોલવામાં આવે છે, ત્યારે તેમની અંદરના તમામ ચિહ્નો સાચવવામાં આવે છે. પરંતુ અપૂર્ણાંકના અંશમાં કૌંસ ક્યાંથી આવે છે, મેં અગાઉના ઉદાહરણમાં પહેલેથી જ વિગતવાર સમજાવ્યું છે.

હવે તમે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકો છો:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

બાકીના કૌંસ ખોલો. ફરીથી, અમે તેને યોગ્ય રીતે જાહેર કરીએ છીએ. પ્રથમ કૌંસ સકારાત્મક સંખ્યા 4 દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને તેથી, જ્યારે તેઓ ખોલવામાં આવે ત્યારે તમામ ચિહ્નો સાચવવામાં આવે છે. પરંતુ બીજા કૌંસને વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે નકારાત્મકસંખ્યા -5 છે અને તેથી, બધા ચિહ્નો વિપરીત છે:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

માત્ર નાની નાની બાબતો બાકી છે. X ની ડાબી બાજુએ, X વિના જમણી બાજુએ:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

તે લગભગ તમામ છે. ડાબી બાજુએ તમારે શુદ્ધ Xની જરૂર છે, પરંતુ નંબર -35 માર્ગમાં છે. તેથી આપણે બંને બાજુઓને (-35) વડે વિભાજીત કરીએ છીએ. ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે બીજું ઓળખ પરિવર્તન આપણને બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવાની મંજૂરી આપે છે ગમે તેસંખ્યા નકારાત્મક મુદ્દાઓ સહિત.) જ્યાં સુધી તે શૂન્ય નથી! નિઃસંકોચ વિભાજીત કરો અને જવાબ મેળવો:

X = 2/35

આ વખતે X અપૂર્ણાંક હોવાનું બહાર આવ્યું. તે બરાબર છે. આવું ઉદાહરણ.)

જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, રેખીય સમીકરણો (સૌથી વધુ જટિલ મુદ્દાઓ પણ) ઉકેલવાનો સિદ્ધાંત એકદમ સરળ છે: અમે મૂળ સમીકરણ લઈએ છીએ અને, સમાન રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, અમને જવાબ ન મળે ત્યાં સુધી તેને ક્રમિક રીતે સરળ બનાવીએ છીએ. બેઝિક્સ સાથે, અલબત્ત! અહીંની મુખ્ય સમસ્યાઓ ચોક્કસપણે મૂળભૂત બાબતોને અનુસરવામાં નિષ્ફળતા છે (ઉદાહરણ તરીકે, કૌંસની સામે એક બાદબાકી છે, અને તેઓ વિસ્તરણ કરતી વખતે ચિહ્નો બદલવાનું ભૂલી ગયા છે), તેમજ મામૂલી અંકગણિતમાં. તેથી મૂળભૂત બાબતોની અવગણના કરશો નહીં! તેઓ અન્ય તમામ ગણિતનો પાયો છે!

રેખીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે કરવા જેવી કેટલીક મનોરંજક વસ્તુઓ. અથવા ખાસ પ્રસંગો.

બધું સારું થઈ જશે. જો કે... રેખીય સમીકરણોમાં એવા રમુજી મોતી પણ છે કે તેમને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં તમને એક મજબૂત મૂર્ખ બનાવી શકે છે. એક ઉત્તમ વિદ્યાર્થી પણ.)

ઉદાહરણ તરીકે, અહીં એક નિર્દોષ દેખાતું સમીકરણ છે:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

બહોળા પ્રમાણમાં અને સહેજ કંટાળી જવાથી, અમે ડાબી બાજુના તમામ X અને જમણી બાજુના તમામ નંબરો એકત્રિત કરીએ છીએ:

7x-4x-3x = 5-2-3

અમે સમાન રજૂ કરીએ છીએ, ગણતરી કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

0 = 0

બસ! મેં સેમ્પલ ટ્રીક આપી! આ સમાનતા પોતે કોઈ વાંધો ઉઠાવતી નથી: શૂન્ય ખરેખર શૂન્ય સમાન છે. પણ X ખૂટે છે! એક ટ્રેસ વિના! અને આપણે જવાબમાં લખવું જોઈએ, x બરાબર શું છે. નહિંતર, નિર્ણય ગણાય નહીં, હા.) શું કરવું?

ગભરાશો નહીં! આવા બિન-માનક કેસોમાં, ગણિતના સૌથી સામાન્ય ખ્યાલો અને સિદ્ધાંતો બચાવમાં આવે છે. સમીકરણ શું છે? સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા? સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે?

સમીકરણ ઉકેલવું એટલે શોધવું બધાચલ x ના મૂલ્યો, જે, જ્યારે માં બદલવામાં આવે છે મૂળસમીકરણ આપણને સાચી સમાનતા (ઓળખ) આપશે!

પરંતુ આપણી પાસે સાચી સમાનતા છે તે પહેલેથી જ થયું છે! 0=0, અથવા તેના બદલે, ક્યાંય નહીં!) આપણે ફક્ત અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે આપણે આ સમાનતા કયા X પર મેળવીએ છીએ. કયા પ્રકારના X ને બદલી શકાય છે મૂળસમીકરણ, જો અવેજી પર તે બધા શું તેઓ હજુ પણ શૂન્ય થઈ જશે?તમે હજુ સુધી તે બહાર figured નથી?

સારું, અલબત્ત! X ને બદલી શકાય છે કોઈપણ!!! ચોક્કસ કોઈપણ. તમને જે જોઈએ તે સબમિટ કરો. ઓછામાં ઓછું 1, ઓછામાં ઓછું -23, ઓછામાં ઓછું 2.7 - ગમે તે હોય! તેઓ હજુ પણ ઘટશે અને પરિણામે, શુદ્ધ સત્ય રહેશે. તેને અજમાવી જુઓ, તેને બદલો અને તમારા માટે જુઓ.)

અહીં તમારો જવાબ છે:

x - કોઈપણ સંખ્યા.

વૈજ્ઞાનિક સંકેતોમાં આ સમાનતા નીચે મુજબ લખાયેલ છે:

આ એન્ટ્રી આની જેમ વાંચે છે: "X એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે."

અથવા અન્ય સ્વરૂપમાં, અંતરાલો પર:

તમને શ્રેષ્ઠ ગમે તે રીતે ડિઝાઇન કરો. આ એક સાચો અને સંપૂર્ણ સંપૂર્ણ જવાબ છે!

હવે હું આપણા મૂળ સમીકરણમાં માત્ર એક સંખ્યા બદલવા જઈ રહ્યો છું. હવે આ સમીકરણ હલ કરીએ:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

ફરીથી અમે શરતો સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, ગણતરી કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

અને તમે આ મજાક વિશે શું વિચારો છો? એક સામાન્ય રેખીય સમીકરણ હતું, પરંતુ તે એક અગમ્ય સમાનતા બની ગયું

0 = 1…

વૈજ્ઞાનિક રીતે કહીએ તો, અમને મળ્યું ખોટી સમાનતા.પરંતુ રશિયનમાં આ સાચું નથી. બુલશીટ. નોનસેન્સ.) કારણ કે શૂન્ય કોઈ પણ રીતે એક સમાન નથી!

અને હવે ચાલો ફરીથી આકૃતિ કરીએ કે જ્યારે મૂળ સમીકરણમાં બદલવામાં આવે ત્યારે કયા પ્રકારનું X આપણને આપશે સાચી સમાનતા?જે? પણ કોઈ નહીં! ભલે તમે Xનો વિકલ્પ લો, બધું હજી ટૂંકું થશે અને બધું વાહિયાત રહેશે.)

અહીં જવાબ છે: કોઈ ઉકેલ નથી.

ગાણિતિક સંકેતોમાં, આ જવાબ આ રીતે લખાયેલ છે:

તે વાંચે છે: "X ખાલી સેટનો છે."

ગણિતમાં આવા જવાબો પણ ઘણી વાર આવે છે: હંમેશા એવું નથી હોતું કે કોઈપણ સમીકરણો મૂળ સિદ્ધાંતમાં હોય છે. કેટલાક સમીકરણોમાં મૂળ જ ન હોય શકે. બિલકુલ.

અહીં બે આશ્ચર્ય છે. હું આશા રાખું છું કે હવે સમીકરણમાંથી X ના અચાનક અદ્રશ્ય થવાથી તમે કાયમ માટે મૂંઝવણમાં મૂકશો નહીં. આ તદ્દન પરિચિત છે.)

અને પછી હું એક તાર્કિક પ્રશ્ન સાંભળું છું: શું તેઓ OGE અથવા યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં હશે? એક કાર્ય તરીકે એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા પર - ના. ખૂબ સરળ. પરંતુ OGE અથવા શબ્દ સમસ્યાઓમાં - સરળતાથી! તો હવે ચાલો તાલીમ લઈએ અને નક્કી કરીએ:

જવાબો (અવ્યવસ્થિતમાં): -2; -1; કોઈપણ સંખ્યા; 2; કોઈ ઉકેલ નથી; 7/13.

બધું કામ કર્યું? સરસ! પરીક્ષામાં તમારી પાસે સારી તક છે.

શું કંઈક ઉમેરાતું નથી? હમ... ઉદાસી, અલબત્ત. આનો અર્થ એ છે કે હજી પણ ક્યાંક ગાબડાં છે. કાં તો મૂળભૂતમાં અથવા સમાન પરિવર્તનોમાં. અથવા તે માત્ર સાદી બેદરકારીની બાબત છે. પાઠ ફરીથી વાંચો. કારણ કે આ એવો વિષય નથી કે જેને ગણિતમાં આટલી સહેલાઈથી વિતરિત કરી શકાય...

સારા નસીબ! તે ચોક્કસપણે તમારા પર સ્મિત કરશે, મારા પર વિશ્વાસ કરો!)

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ એ n રેખીય સમીકરણોનું જોડાણ છે, જેમાં પ્રત્યેક k ચલ હોય છે. તે આ રીતે લખાયેલ છે:

ઘણા લોકો, જ્યારે પ્રથમ વખત ઉચ્ચ બીજગણિતનો સામનો કરે છે, ત્યારે ભૂલથી માને છે કે સમીકરણોની સંખ્યા આવશ્યકપણે ચલોની સંખ્યા સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ. શાળા બીજગણિતમાં આ સામાન્ય રીતે થાય છે, પરંતુ ઉચ્ચ બીજગણિત માટે આ સામાન્ય રીતે કહીએ તો સાચું નથી.

સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓનો ક્રમ છે (k 1, k 2, ..., k n), જે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણનો ઉકેલ છે, એટલે કે. જ્યારે x 1, x 2, ..., x n ચલોને બદલે આ સમીકરણમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે ત્યારે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળે છે.

તદનુસાર, સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ શોધવો અથવા સાબિત કરવું કે આ સમૂહ ખાલી છે. કારણ કે સમીકરણોની સંખ્યા અને અજાણ્યાઓની સંખ્યા એકરૂપ ન હોઈ શકે, ત્રણ કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1. સિસ્ટમ અસંગત છે, એટલે કે. બધા ઉકેલોનો સમૂહ ખાલી છે. એક દુર્લભ કેસ જે સિસ્ટમને હલ કરવા માટે કઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લીધા વિના સરળતાથી શોધી શકાય છે.
2. સિસ્ટમ સંયુક્ત અને નિર્ધારિત છે, એટલે કે. બરાબર એક ઉકેલ છે. ક્લાસિક સંસ્કરણ, શાળા સમયથી જાણીતું છે.
3. સિસ્ટમ સુસંગત અને અવ્યાખ્યાયિત છે, એટલે કે. અસંખ્ય ઉકેલો છે. આ સૌથી મુશ્કેલ વિકલ્પ છે. તે સૂચવવા માટે પૂરતું નથી કે "સિસ્ટમમાં ઉકેલોનો અનંત સમૂહ છે" - આ સેટ કેવી રીતે રચાયેલ છે તેનું વર્ણન કરવું જરૂરી છે.

ચલ x i ને માન્ય કહેવામાં આવે છે જો તે સિસ્ટમના માત્ર એક સમીકરણમાં અને 1 ના ગુણાંક સાથે સમાવવામાં આવેલ હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અન્ય સમીકરણોમાં ચલ x i નો ગુણાંક શૂન્યની બરાબર હોવો જોઈએ.

જો આપણે દરેક સમીકરણમાં એક માન્ય ચલ પસંદ કરીએ, તો અમે સમીકરણોની સમગ્ર સિસ્ટમ માટે માન્ય ચલોનો સમૂહ મેળવીએ છીએ. સિસ્ટમ પોતે, આ ફોર્મમાં લખેલી છે, તેને પણ રિઝોલ્વ્ડ કહેવામાં આવશે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એક અને સમાન મૂળ સિસ્ટમને અલગ-અલગ અનુમતિ આપવામાં આવેલી સિસ્ટમમાં ઘટાડી શકાય છે, પરંતુ અત્યારે અમે આ અંગે ચિંતિત નથી. અહીં મંજૂર સિસ્ટમોના ઉદાહરણો છે:

બંને સિસ્ટમો x 1 , x 3 અને x 4 ચલોના સંદર્ભમાં ઉકેલાય છે. જો કે, તે જ સફળતા સાથે એવી દલીલ કરી શકાય છે કે બીજી સિસ્ટમ x 1, x 3 અને x 5 ના સંદર્ભમાં ઉકેલાઈ ગઈ છે. x 5 = x 4 ફોર્મમાં છેલ્લું સમીકરણ ફરીથી લખવા માટે તે પૂરતું છે.

હવે ચાલો વધુ સામાન્ય કેસ ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો આપણે કુલ k વેરીએબલ્સ રાખીએ, જેમાંથી r માન્ય છે. પછી બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1. માન્ય ચલો r ની સંખ્યા ચલોની કુલ સંખ્યા k: r = k સમાન છે. અમે k સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ જેમાં r = k માન્ય ચલો છે. આવી સિસ્ટમ સંયુક્ત અને નિશ્ચિત છે, કારણ કે x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. માન્ય ચલો r ની સંખ્યા ચલોની કુલ સંખ્યા કરતાં ઓછી છે k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

તેથી, ઉપરોક્ત સિસ્ટમોમાં, x 2, x 5, x 6 (પ્રથમ સિસ્ટમ માટે) અને x 2, x 5 (બીજા માટે) ચલો મફત છે. જ્યારે મુક્ત ચલો હોય ત્યારે પ્રમેય તરીકે વધુ સારી રીતે ઘડવામાં આવે છે:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: આ એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ મુદ્દો છે! તમે પરિણામી સિસ્ટમ કેવી રીતે લખો છો તેના આધારે, સમાન ચલ ક્યાં તો માન્ય અથવા મફત હોઈ શકે છે. મોટાભાગના ઉચ્ચ ગણિતના શિક્ષકો લેક્સિકોગ્રાફિક ક્રમમાં ચલોને લખવાની ભલામણ કરે છે, એટલે કે. ચડતો અનુક્રમણિકા. જો કે, તમે આ સલાહને અનુસરવાની કોઈ જવાબદારી હેઠળ નથી.

પ્રમેય. જો n સમીકરણોની સિસ્ટમમાં x 1, x 2, ..., x r ની મંજૂરી છે, અને x r + 1, x r + 2, ..., x k મુક્ત છે, તો પછી:

1. જો આપણે ફ્રી ચલોની કિંમતો સેટ કરીએ (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), અને પછી x 1, x 2 ની કિંમતો શોધીએ, ..., x r, અમને એક નિર્ણય મળે છે.
2. જો બે ઉકેલોમાં મુક્ત ચલોની કિંમતો એકરૂપ થાય છે, તો માન્ય ચલોની કિંમતો પણ એકરૂપ થાય છે, એટલે કે. ઉકેલો સમાન છે.

આ પ્રમેયનો અર્થ શું છે? સમીકરણોની ઉકેલાયેલી સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો મેળવવા માટે, મફત ચલોને અલગ કરવા માટે તે પૂરતું છે. પછી, ફ્રી વેરીએબલ્સને વિવિધ મૂલ્યો સોંપીને, અમે તૈયાર ઉકેલો મેળવીશું. આટલું જ છે - આ રીતે તમે સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો મેળવી શકો છો. અન્ય કોઈ ઉકેલો નથી.

નિષ્કર્ષ: સમીકરણોની ઉકેલાયેલ સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે. જો ઉકેલાયેલ સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા ચલોની સંખ્યા જેટલી હોય, તો સિસ્ટમ ચોક્કસ હશે, જો ઓછી હશે, તો તે અનિશ્ચિત હશે.

અને બધું સારું રહેશે, પરંતુ પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમમાંથી ઉકેલાયેલ કેવી રીતે મેળવવું? આ માટે છે

અજ્ઞાત x 1, x 2, ..., x n સાથેનું રેખીય સમીકરણ એ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે

A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;

સંખ્યાઓ a અને a 2 , a 2 , ..., a n ને અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, સંખ્યા b એ સમીકરણનો મુક્ત શબ્દ છે.

એક અજાણ્યા સાથેના રેખીય સમીકરણો 4 હજાર વર્ષ પહેલાં પ્રાચીન બેબીલોન અને ઇજિપ્તમાં પાછા ઉકેલવામાં સક્ષમ હતા. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, બ્રિટિશ મ્યુઝિયમમાં સંગ્રહિત અને 2000-1700 ના સમયગાળાની રિન્ડ પેપિરસ (જેને અહેમ્સ પેપિરસ પણ કહેવાય છે) ની સમસ્યા ટાંકીએ. પૂર્વે e.: "એક સંખ્યા શોધો જો તે જાણીતું હોય કે તેમાં 2/3 ઉમેરીને અને પરિણામી રકમમાંથી તેનો ત્રીજો બાદબાકી કરવાથી, સંખ્યા 10 પ્રાપ્ત થાય છે." આ સમસ્યાનો ઉકેલ રેખીય સમીકરણ ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે

x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, જ્યાંથી x = 9.

ચાલો આપણે મેટ્રોડોરસની સમસ્યા પણ રજૂ કરીએ, જેમના જીવન વિશે કશું જ જાણીતું નથી સિવાય કે તે શ્લોકમાં રચાયેલી રસપ્રદ સમસ્યાઓના લેખક હતા.

અહીં ડાયોફન્ટસને દફનાવવામાં આવ્યો છે, અને કબ્રસ્તાન
કુશળ ગણતરી સાથે તે અમને કહેશે
તેનું જીવન કેટલું લાંબું હતું.
ભગવાનના હુકમથી તે તેના જીવનના છઠ્ઠા ભાગ માટે છોકરો હતો;
બારમા ભાગમાં, પછી તેની તેજસ્વી યુવાની પસાર થઈ.
ચાલો જીવનનો સાતમો ભાગ ઉમેરીએ - આપણી સમક્ષ હાયમેનનો હર્થ છે.
પાંચ વર્ષ વીતી ગયા; અને હાયમેને તેને એક પુત્ર મોકલ્યો.
પણ બાળક માટે અફસોસ! તે માંડ માંડ અડધુ જીવતો હતો
પિતા મૃત્યુ પામ્યા તે વર્ષો, કમનસીબ એક.
આવી કબરના નુકશાનથી ડાયોફન્ટસ ચાર વર્ષ સુધી સહન કર્યું
અને તે મૃત્યુ પામ્યો, વિજ્ઞાન માટે જીવ્યો. મને કહો,
જ્યારે ડાયોફન્ટસ મૃત્યુ પામ્યો ત્યારે તેની ઉંમર કેટલી હતી?

રેખીય સમીકરણ ઉકેલવું

(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,

આપણે શોધીએ છીએ કે x = 84 - આ રીતે ડાયોફન્ટસ કેટલા વર્ષ જીવ્યો.

ડાયોફન્ટસે પોતે અનિશ્ચિત સમીકરણો પર ઘણું ધ્યાન આપ્યું હતું (આ બીજગણિતીય સમીકરણો અથવા પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બે કે તેથી વધુ અજ્ઞાત સમીકરણોની સિસ્ટમોને આપવામાં આવેલું નામ છે, જેના માટે પૂર્ણાંક અથવા તર્કસંગત ઉકેલો માંગવામાં આવે છે; અજ્ઞાતની સંખ્યા કરતાં વધુ હોવી જોઈએ. સમીકરણોની સંખ્યા). આ સમીકરણોને ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. સાચું, 2જી-3જી સદીના વળાંકમાં રહેતા ડાયોફન્ટસ મુખ્યત્વે ઉચ્ચ ડિગ્રીના અનિશ્ચિત સમીકરણોથી ચિંતિત હતા.

બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ, જેમાંના દરેકનું સ્વરૂપ (1) હોય છે, તેને રેખીય સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે. સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ સમીકરણોના ગુણાંકને સામાન્ય રીતે બે સૂચકાંકો સાથે ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી પ્રથમ સમીકરણની સંખ્યા છે, અને બીજી (જેમ કે (1)) અજ્ઞાતની સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, n અજ્ઞાત સાથે m સમીકરણોની સિસ્ટમ ફોર્મમાં લખેલી છે

$\ બાકી. \શરૂઆત(સંરેખિત) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))+\ldots+((a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1)), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_ (22))((x)_(2))+\ldots+((a)_(2n))((x)_(n))=((b)_(2)), \\ ((a) )_(m1))((x)_(1))+((a)_(m2))(x)_(2))+\ldots+((a)_(mn))((x) _(n))=((b)_(m)). \\ \end(સંરેખિત) \right\)(2)$

બે અજ્ઞાત સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો વિચાર કરો:

$\ બાકી. \શરૂઆત(સંરેખિત) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))=((b)_(1) )), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_(22))((x)_(2))=((b)_(2) )), \\ \end(સંરેખિત) \right\)(3)$

ચાલો સિસ્ટમ (3) ના પ્રથમ સમીકરણને 22 વડે ગુણાકાર કરીએ અને પરિણામી સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ, 12 વડે ગુણાકાર કરીએ; તેવી જ રીતે, આપણે સિસ્ટમ (3) ના બીજા સમીકરણને 11 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને પરિણામી સમીકરણમાંથી પ્રથમને 21 વડે ગુણાકાર કરીને બાદ કરીએ છીએ. આ પછી અમને સિસ્ટમ મળે છે:

$\ બાકી. \begin(સંરેખિત) (a 11 a 22 - a 12 a 21) x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21) x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end(સંરેખિત) \right\)(4)$

$\ બાકી. \\(સંરેખિત) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \end(સંરેખિત) \right\)(4)$

જે સિસ્ટમનું પરિણામ છે (3). સિસ્ટમ (4) ફોર્મમાં લખી શકાય છે

$\ બાકી. \begin(સંરેખિત) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end(સંરેખિત) \right\)(5)$

જ્યાં ∆ એ સિસ્ટમના ગુણાંકથી બનેલા મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે (નિર્ધારક જુઓ), ∆ i એ મફત શરતોના કૉલમ સાથે i-th કૉલમના અગાઉના રિપ્લેસમેન્ટમાંથી મેળવેલા મેટ્રિક્સના નિર્ધારક છે, i = 1,2 . આગળ, જો ∆ ≠ 0 હોય, તો સિસ્ટમ (5) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે:

x 1 = ∆ 1 /∆, x 2 = ∆ 2 /∆.

ડાયરેક્ટ અવેજી ચકાસે છે કે સંખ્યાઓની આ જોડી સિસ્ટમ (3) માટે પણ ઉકેલ છે. સમાન નિયમનો ઉપયોગ કરીને, n અજ્ઞાત સાથે n રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલ માટે શોધ કરે છે: જો સિસ્ટમ ∆ નો નિર્ધારક શૂન્ય હોય, તો સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે, અને

x i = ∆ i /∆

જ્યાં ∆ i એ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે જે સિસ્ટમના ગુણાંકથી બનેલા મેટ્રિક્સમાંથી મેળવેલા મેટ્રિક્સ છે જેમાં i-th કૉલમને ફ્રી ટર્મ્સના કૉલમ સાથે બદલીને. રેખીય પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે વર્ણવેલ નિયમને ક્રેમરનો નિયમ કહેવામાં આવે છે. (જી. ક્રેમર - સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી, 1704–1752).

જો ∆ = 0 હોય, તો ∆ 1 અને ∆ 2 બંને અદૃશ્ય થઈ જવા જોઈએ (અન્યથા (5), અને ખાસ કરીને (3) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી). જો શરત ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0 સંતુષ્ટ હોય, જો અજ્ઞાત લોકો માટે અનુરૂપ ગુણાંક અને સિસ્ટમ (3) ના સમીકરણની મુક્ત શરતો પ્રમાણસર હોય, તો સિસ્ટમમાં અનંત ઘણા ઉકેલો હશે; જો અજાણ્યાઓ માટે ઓછામાં ઓછું એક ગુણાંક શૂન્યથી અલગ હોય (ઉદાહરણ તરીકે, જો 12 ≠ 0), તો પછી x 1 કોઈપણ તરીકે લઈ શકાય, તો પછી

x 2 = b 1 /a 12 − a 11 x 1 /a 12

જ્યારે સિસ્ટમ પાસે ફોર્મ હોય ત્યારે તે કેસનું વિશ્લેષણ કરવાનું રહે છે

$\ બાકી. \begin(સંરેખિત) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end(સંરેખિત) \right\)$

જેના માટે જવાબ સ્પષ્ટ છે: જો b 1 = b 2 = 0, તો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની કોઈપણ જોડી છે, અન્યથા કોઈ ઉકેલો નથી.

સામાન્ય કિસ્સામાં, ∆ ≠ 0 માટે n અજ્ઞાત સાથે n સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે, સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે, જે પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. જો ∆ = 0 અને ઓછામાં ઓછું એક નિર્ણાયક ∆ i શૂન્યથી અલગ હોય, તો સિસ્ટમ અસંગત છે (એટલે ​​​​કે, કોઈ ઉકેલો નથી). કિસ્સામાં જ્યારે ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, સિસ્ટમ કાં તો અસંગત હોઈ શકે છે અથવા અસંખ્ય ઉકેલો હોઈ શકે છે. નિર્ધારકોનો ઉપયોગ કરીને આ બેમાંથી કયો કેસ સાકાર થાય છે તે સ્થાપિત કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે, અને અમે તેની સાથે વ્યવહાર કરીશું નહીં. વ્યવહારમાં, ક્રેમરનો નિયમ સામાન્ય રીતે રેખીય સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતો નથી. મોટેભાગે, આ હેતુઓ માટે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે (જુઓ અજ્ઞાત અપવાદ).

જેમ જાણીતું છે, રેખીય સમીકરણ a 1 x 1 + a 2 x 2 = b પ્લેન (x 1 ; x 2) પર એક સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે જ્યારે ઓછામાં ઓછા એક ગુણાંક a 1 અને a 2 થી અલગ હોય શૂન્ય જો આપણે પ્લેન પર બે લીટીઓ લઈએ, તો નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે (આકૃતિ જુઓ): 1) રેખાઓ સમાંતર છે અને તેમાં સામાન્ય બિંદુઓ નથી, અને પછી સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી; 2) રેખાઓ છેદે છે, અને પછી સિસ્ટમ પાસે એક ઉકેલ છે; 3) રેખાઓ એકરૂપ થાય છે, અને પછી સિસ્ટમમાં અનંત ઘણા ઉકેલો છે. પરંતુ બે "રેન્ડમલી" લીટીઓ "એક નિયમ તરીકે" છેદે છે, એટલે કે, એક નિયમ તરીકે, બે ચલ સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં એક ઉકેલ હશે. પ્લેન પરની ચોક્કસ રેખા પરનો કોઈપણ બિંદુ "સિસ્ટમ" (એક સમીકરણનો સમાવેશ કરે છે) ના ઉકેલને અનુરૂપ છે, એટલે કે, નિયમ તરીકે, કેસ 3 થાય છે (કેસ 2 અશક્ય છે, અને જો આપણે સમીકરણ લઈએ તો કેસ 1 સમજાય છે. 0 x 1 + 0 x 2 = b, જ્યાં b ≠ 0, જે પ્લેન પરની રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી). જો આપણે પ્લેન પર 3 અથવા વધુ રેખાઓ લઈએ, તો સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તે બધા એક સાથે મળી શકે છે અથવા એક બિંદુમાંથી પસાર થઈ શકે છે, પરંતુ, એક નિયમ તરીકે, પ્રથમ કેસ થાય છે - રેખાઓમાં સામાન્ય બિંદુ નથી.

પ્રથમ તમારે તે શું છે તે સમજવાની જરૂર છે.

એક સરળ વ્યાખ્યા છે રેખીય સમીકરણ, જે નિયમિત શાળામાં આપવામાં આવે છે: "એક સમીકરણ જેમાં ચલ ફક્ત પ્રથમ ઘાતમાં જ થાય છે." પરંતુ તે સંપૂર્ણ રીતે સાચું નથી: સમીકરણ રેખીય નથી, તે તેનાથી ઓછું પણ થતું નથી, તે ઘટાડીને ચતુર્ભુજ થાય છે.

વધુ ચોક્કસ વ્યાખ્યા છે: રેખીય સમીકરણએક સમીકરણ છે જેનો ઉપયોગ કરીને સમકક્ષ પરિવર્તનોફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે, જ્યાં title="a,b bbR માં, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

વાસ્તવમાં, સમીકરણ રેખીય છે કે નહીં તે સમજવા માટે, તેને પ્રથમ સરળ બનાવવું આવશ્યક છે, એટલે કે, તેનું વર્ગીકરણ અસ્પષ્ટ હશે. યાદ રાખો, તમે સમીકરણ સાથે તમે જે ઇચ્છો તે કરી શકો છો જ્યાં સુધી તે તેના મૂળને બદલતું નથી - તે તે જ છે. સમકક્ષ રૂપાંતર. સૌથી સરળ સમકક્ષ પરિવર્તનોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

1. ઓપનિંગ કૌંસ
2. સમાન લાવવું
3. સમીકરણની બંને બાજુઓને બિનશૂન્ય સંખ્યા વડે ગુણાકાર અને/અથવા ભાગાકાર કરવો
4. સમાન સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિની બંને બાજુઓમાંથી ઉમેરવા અને/અથવા બાદબાકી*

ઉદાહરણ 1:
(ચાલો કૌંસ ખોલીએ)
(બંને ભાગોમાં ઉમેરો અને નંબરના ચિહ્નને ડાબી તરફ અને ચલોને જમણી તરફ બદલવા સાથે બાદબાકી/ટ્રાન્સફર કરો)
(ચાલો સમાન આપીએ)
(સમીકરણની બંને બાજુઓને 3 વડે વિભાજીત કરો)

તેથી આપણને એક સમીકરણ મળે છે જેનું મૂળ મૂળ સમાન હોય છે. ચાલો વાચકને તે યાદ અપાવીએ "સમીકરણ ઉકેલો"- એટલે તેના બધા મૂળ શોધવા અને સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ અન્ય નથી, અને "સમીકરણનું મૂળ"- આ એક એવી સંખ્યા છે જે જ્યારે અજ્ઞાતને બદલે છે, ત્યારે તે સમીકરણને સાચી સમાનતામાં ફેરવશે. ઠીક છે, છેલ્લા સમીકરણમાં, એક સંખ્યા શોધવી જે સમીકરણને સાચી સમાનતામાં ફેરવે છે તે ખૂબ જ સરળ છે - આ સંખ્યા છે. આ સમીકરણમાંથી અન્ય કોઈ નંબર ઓળખ બનાવશે નહીં. જવાબ:

ઉદાહરણ 2:
(સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરો , ખાતરી કર્યા પછી કે આપણે આનાથી ગુણાકાર નથી કરી રહ્યા : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(ચાલો કૌંસ ખોલીએ)
(ચાલો શરતો ખસેડીએ)
(ચાલો સમાન આપીએ)
(આપણે બંને ભાગોને દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ)

લગભગ આ રીતે તમામ રેખીય સમીકરણો ઉકેલાય છે. નાના વાચકો માટે, મોટે ભાગે, આ સમજૂતી જટિલ લાગતી હતી, તેથી અમે એક સંસ્કરણ પ્રદાન કરીએ છીએ "ગ્રેડ 5 માટે રેખીય સમીકરણો"

બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણો

શાળાના બાળક પાસે શાળામાં લંચ ખાવા માટે 200 રુબેલ્સ છે. એક કેકની કિંમત 25 રુબેલ્સ છે, અને કોફીના કપની કિંમત 10 રુબેલ્સ છે. તમે 200 રુબેલ્સ માટે કેટલી કેક અને કોફીના કપ ખરીદી શકો છો?

ચાલો કેકની સંખ્યા વડે દર્શાવીએ x, અને કોફીના કપની સંખ્યા y. પછી કેકની કિંમત અભિવ્યક્તિ 25 દ્વારા સૂચવવામાં આવશે x, અને 10 માં કોફીના કપની કિંમત y .

25x-કિંમત xકેક
10y —કિંમત yકોફીના કપ

કુલ રકમ 200 રુબેલ્સ હોવી જોઈએ. પછી આપણને બે ચલ સાથેનું સમીકરણ મળે છે xઅને y

25x+ 10y= 200

આ સમીકરણના મૂળ કેટલા છે?

તે બધું વિદ્યાર્થીની ભૂખ પર આધારિત છે. જો તે 6 કેક અને 5 કપ કોફી ખરીદે છે, તો સમીકરણના મૂળ 6 અને 5 નંબરો હશે.

મૂલ્યોની જોડી 6 અને 5 એ સમીકરણ 25 ના મૂળ હોવાનું કહેવાય છે x+ 10y= 200. (6; 5) તરીકે લખાયેલ છે, જેમાં પ્રથમ નંબર ચલનું મૂલ્ય છે x, અને બીજું - ચલનું મૂલ્ય y .

6 અને 5 એ એક માત્ર મૂળ નથી જે સમીકરણ 25 ને ઉલટાવે છે x+ 10y= 200 થી ઓળખ. જો ઇચ્છિત હોય, તો તે જ 200 રુબેલ્સ માટે વિદ્યાર્થી 4 કેક અને 10 કપ કોફી ખરીદી શકે છે:

આ કિસ્સામાં, સમીકરણ 25 ના મૂળ x+ 10y= 200 એ મૂલ્યોની જોડી છે (4; 10).

તદુપરાંત, શાળાનો બાળક કોફી બિલકુલ ખરીદી શકશે નહીં, પરંતુ સમગ્ર 200 રુબેલ્સ માટે કેક ખરીદશે. પછી સમીકરણ 25 ના મૂળ x+ 10y= 200 ની કિંમતો 8 અને 0 હશે

અથવા તેનાથી વિપરીત, કેક ખરીદશો નહીં, પરંતુ સમગ્ર 200 રુબેલ્સ માટે કોફી ખરીદો. પછી સમીકરણ 25 ના મૂળ x+ 10y= 200 ની કિંમતો 0 અને 20 હશે

ચાલો સમીકરણ 25 ના તમામ સંભવિત મૂળોની સૂચિ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીએ x+ 10y= 200. ચાલો આપણે સંમત થઈએ કે મૂલ્યો xઅને yપૂર્ણાંકોના સમૂહ સાથે સંબંધિત છે. અને આ મૂલ્યોને શૂન્ય કરતા વધારે અથવા સમાન થવા દો:

x∈Z, y∈ ઝેડ;
x ≥ 0, y ≥ 0

આ વિદ્યાર્થી માટે પોતે અનુકૂળ રહેશે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણી આખી કેક અને અડધી કેક કરતાં આખી કેક ખરીદવી વધુ અનુકૂળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણા આખા કપ અને અડધા કપ કરતાં આખા કપમાં કોફી લેવી વધુ અનુકૂળ છે.

નોંધ કરો કે વિચિત્ર માટે xકોઈપણ સંજોગોમાં સમાનતા પ્રાપ્ત કરવી અશક્ય છે y. પછી મૂલ્યો xનીચેની સંખ્યાઓ 0, 2, 4, 6, 8 હશે. અને જાણવું xસરળતાથી નક્કી કરી શકાય છે y

આમ, અમને નીચેના મૂલ્યોની જોડી પ્રાપ્ત થઈ (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). આ જોડી સમીકરણ 25 ના ઉકેલો અથવા મૂળ છે x+ 10y= 200. તેઓ આ સમીકરણને ઓળખમાં ફેરવે છે.

ફોર્મનું સમીકરણ ax + by = cકહેવાય છે બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણ. આ સમીકરણનું સોલ્યુશન અથવા મૂળ મૂલ્યોની જોડી છે ( x; y), જે તેને ઓળખમાં ફેરવે છે.

એ પણ નોંધ કરો કે જો બે ચલ સાથેનું રેખીય સમીકરણ ફોર્મમાં લખેલું હોય ax + b y = c ,પછી તેઓ કહે છે કે તે લખેલું છે પ્રામાણિક(સામાન્ય) સ્વરૂપ.

બે ચલોમાંના કેટલાક રેખીય સમીકરણોને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ 2(16x+ 3y - 4) = 2(12 + 8x − y) ધ્યાનમાં લાવી શકાય છે ax + by = c. ચાલો આ સમીકરણની બંને બાજુના કૌંસ ખોલીએ અને મેળવીએ 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . અમે સમીકરણની ડાબી બાજુએ અજાણ્યા હોય તેવા શબ્દો અને જમણી બાજુએ અજાણ્યા વગરના શબ્દોનું જૂથ કરીએ છીએ. પછી આપણને મળે છે 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . અમે બંને બાજુ સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ, અમને સમીકરણ 16 મળે છે x+ 8y= 32. આ સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટે છે ax + by = cઅને પ્રમાણભૂત છે.

સમીકરણ 25 અગાઉ ચર્ચા કરવામાં આવી હતી x+ 10y= 200 એ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં બે ચલ સાથેનું એક રેખીય સમીકરણ પણ છે. આ સમીકરણમાં પરિમાણો a , bઅને cમૂલ્યો 25, 10 અને 200 અનુક્રમે સમાન છે.

વાસ્તવમાં સમીકરણ ax + by = cઅસંખ્ય ઉકેલો છે. સમીકરણ ઉકેલવું 25x+ 10y= 200, અમે તેના મૂળ ફક્ત પૂર્ણાંકોના સમૂહ પર જ જોયા. પરિણામે, અમે મૂલ્યોની ઘણી જોડી મેળવી છે જેણે આ સમીકરણને ઓળખમાં ફેરવ્યું છે. પરંતુ તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહ પર, સમીકરણ 25 x+ 10y= 200 માં અનંત ઘણા ઉકેલો હશે.

મૂલ્યોની નવી જોડી મેળવવા માટે, તમારે માટે મનસ્વી મૂલ્ય લેવાની જરૂર છે x, પછી વ્યક્ત કરો y. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ચલ માટે લઈએ xમૂલ્ય 7. પછી આપણને એક ચલ સાથે સમીકરણ મળે છે 25×7 + 10y= 200 જેમાં વ્યક્તિ વ્યક્ત કરી શકે છે y

દો x= 15. પછી સમીકરણ 25x+ 10y= 200 25 × 15 બને છે + 10y= 200. અહીંથી આપણે તે શોધીએ છીએ y = −17,5

દો x= −3. પછી સમીકરણ 25x+ 10y= 200 થાય છે 25 × (−3) + 10y= 200. અહીંથી આપણે તે શોધીએ છીએ y = −27,5

બે ચલ સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ

સમીકરણ માટે ax + by = cતમે ગમે તેટલી વખત મનસ્વી મૂલ્યો લઈ શકો છો xઅને માટે મૂલ્યો શોધો y. અલગથી લેવામાં આવે તો, આવા સમીકરણમાં અસંખ્ય ઉકેલો હશે.

પરંતુ તે પણ થાય છે કે ચલો xઅને yએક દ્વારા નહીં, પરંતુ બે સમીકરણો દ્વારા જોડાયેલ છે. આ કિસ્સામાં તેઓ કહેવાતા રચના કરે છે બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ. સમીકરણોની આવી સિસ્ટમમાં મૂલ્યોની એક જોડી હોઈ શકે છે (અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો: "એક ઉકેલ").

એવું પણ બની શકે છે કે સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં દુર્લભ અને અપવાદરૂપ કિસ્સાઓમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોઈ શકે છે.

જ્યારે મૂલ્યો હોય ત્યારે બે રેખીય સમીકરણો સિસ્ટમ બનાવે છે xઅને yઆ દરેક સમીકરણો દાખલ કરો.

ચાલો પહેલા સમીકરણ 25 પર પાછા જઈએ x+ 10y= 200. આ સમીકરણ માટે મૂલ્યોની જોડીમાંની એક જોડી હતી (6; 5). આ એક કેસ છે જ્યારે 200 રુબેલ્સ માટે તમે 6 કેક અને 5 કપ કોફી ખરીદી શકો છો.

ચાલો સમસ્યાને ઘડીએ જેથી જોડી (6; 5) સમીકરણ 25 માટે એકમાત્ર ઉકેલ બની જાય. x+ 10y= 200. આ કરવા માટે, ચાલો બીજું સમીકરણ બનાવીએ જે તેને જોડે xકેક અને yકોફીના કપ.

ચાલો સમસ્યાનું લખાણ નીચે પ્રમાણે જણાવીએ:

“શાળાના છોકરાએ 200 રુબેલ્સમાં ઘણી કેક અને કોફીના ઘણા કપ ખરીદ્યા. એક કેકની કિંમત 25 રુબેલ્સ છે, અને કોફીના કપની કિંમત 10 રુબેલ્સ છે. વિદ્યાર્થીએ કેટલી કેક અને કોફીના કપ ખરીદ્યા જો તે જાણીતું હોય કે કેકની સંખ્યા કોફીના કપની સંખ્યા કરતા એક એકમ વધારે છે?

અમારી પાસે પહેલાથી જ પ્રથમ સમીકરણ છે. આ સમીકરણ 25 છે x+ 10y= 200. હવે શરત માટે એક સમીકરણ બનાવીએ "કેકની સંખ્યા કોફીના કપની સંખ્યા કરતા એક એકમ વધારે છે" .

કેકની સંખ્યા છે x, અને કોફીના કપની સંખ્યા છે y. તમે સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને આ શબ્દસમૂહ લખી શકો છો x−y= 1. આ સમીકરણનો અર્થ એ થશે કે કેક અને કોફી વચ્ચેનો તફાવત 1 છે.

x = y+ 1 આ સમીકરણનો અર્થ છે કે કેકની સંખ્યા કોફીના કપની સંખ્યા કરતાં એક વધુ છે. તેથી, સમાનતા મેળવવા માટે, કોફીના કપની સંખ્યામાં એક ઉમેરવામાં આવે છે. જો આપણે સરળ સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે ધ્યાનમાં લીધેલા ભીંગડાના મોડેલનો ઉપયોગ કરીએ તો આ સરળતાથી સમજી શકાય છે:

અમને બે સમીકરણો મળ્યા: 25 x+ 10y= 200 અને x = y+ 1. મૂલ્યો થી xઅને y, એટલે કે 6 અને 5 આ દરેક સમીકરણોમાં સમાવવામાં આવેલ છે, પછી તેઓ સાથે મળીને એક સિસ્ટમ બનાવે છે. ચાલો આ સિસ્ટમ લખીએ. જો સમીકરણો સિસ્ટમ બનાવે છે, તો તે સિસ્ટમ ચિહ્ન દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. સિસ્ટમ પ્રતીક એ સર્પાકાર તાણવું છે:

ચાલો આ સિસ્ટમને હલ કરીએ. આનાથી અમને એ જોવાની મંજૂરી મળશે કે અમે મૂલ્યો 6 અને 5 પર કેવી રીતે પહોંચીએ છીએ. આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓ છે. ચાલો તેમાંથી સૌથી વધુ લોકપ્રિય જોઈએ.

અવેજી પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિનું નામ પોતાને માટે બોલે છે. તેનો સાર એ છે કે એક સમીકરણને બીજામાં બદલવાનો છે, અગાઉ ચલોમાંના એકને વ્યક્ત કર્યા છે.

અમારી સિસ્ટમમાં, કંઈપણ વ્યક્ત કરવાની જરૂર નથી. બીજા સમીકરણમાં x = y+ 1 ચલ xપહેલેથી જ વ્યક્ત. આ ચલ અભિવ્યક્તિ સમાન છે y+ 1. પછી તમે આ અભિવ્યક્તિને ચલને બદલે પ્રથમ સમીકરણમાં બદલી શકો છો x

અભિવ્યક્તિ અવેજી પછી yતેના બદલે પ્રથમ સમીકરણમાં + 1 x, આપણને સમીકરણ મળે છે 25(y+ 1) + 10y= 200 . આ એક ચલ સાથેનું રેખીય સમીકરણ છે. આ સમીકરણ ઉકેલવા માટે એકદમ સરળ છે:

અમને ચલની કિંમત મળી y. હવે ચાલો આ મૂલ્યને સમીકરણોમાંથી એકમાં બદલીએ અને મૂલ્ય શોધીએ x. આ માટે બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે x = y+ 1. ચાલો તેમાં મૂલ્યને બદલીએ y

આનો અર્થ એ છે કે જોડી (6; 5) એ સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે, જેમ કે આપણે ઇચ્છીએ છીએ. અમે તપાસીએ છીએ અને ખાતરી કરીએ છીએ કે જોડી (6; 5) સિસ્ટમને સંતુષ્ટ કરે છે:

ઉદાહરણ 2

ચાલો પ્રથમ સમીકરણને બદલીએ x= 2 + yબીજા સમીકરણ 3 માં x− 2y= 9. પ્રથમ સમીકરણમાં ચલ xઅભિવ્યક્તિ 2 + સમાન y. ચાલો આ અભિવ્યક્તિને બદલે બીજા સમીકરણમાં બદલીએ x

હવે ચાલો મૂલ્ય શોધીએ x. આ કરવા માટે, ચાલો મૂલ્યને બદલીએ yપ્રથમ સમીકરણમાં x= 2 + y

આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમનો ઉકેલ એ જોડી મૂલ્ય છે (5; 3)

ઉદાહરણ 3. અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ ઉકેલો:

અહીં, અગાઉના ઉદાહરણોથી વિપરીત, ચલોમાંના એકને સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું નથી.

એક સમીકરણને બીજામાં બદલવા માટે, તમારે પહેલા જરૂર છે.

એક ગુણાંક ધરાવતા ચલને વ્યક્ત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. ચલ એક ગુણાંક ધરાવે છે x, જે પ્રથમ સમીકરણમાં સમાયેલ છે x+ 2y= 11. ચાલો આ ચલને વ્યક્ત કરીએ.

ચલ અભિવ્યક્તિ પછી x, અમારી સિસ્ટમ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:

હવે પ્રથમ સમીકરણને બીજામાં બદલીએ અને મૂલ્ય શોધીએ y

ચાલો અવેજી કરીએ y x

આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમનો ઉકેલ એ મૂલ્યોની જોડી છે (3; 4)

અલબત્ત, તમે ચલ પણ વ્યક્ત કરી શકો છો y. મૂળ બદલાશે નહીં. પરંતુ જો તમે વ્યક્ત કરો છો y,પરિણામ એ બહુ સરળ સમીકરણ નથી, જેને ઉકેલવામાં વધુ સમય લાગશે. તે આના જેવો દેખાશે:

આપણે જોઈએ છીએ કે આ ઉદાહરણમાં આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ xવ્યક્ત કરતાં વધુ અનુકૂળ y .

ઉદાહરણ 4. અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાં વ્યક્ત કરીએ x. પછી સિસ્ટમ ફોર્મ લેશે:

y

ચાલો અવેજી કરીએ yપ્રથમ સમીકરણમાં જાઓ અને શોધો x. તમે મૂળ સમીકરણ 7 નો ઉપયોગ કરી શકો છો x+ 9y= 8, અથવા સમીકરણનો ઉપયોગ કરો જેમાં ચલ દર્શાવવામાં આવે છે x. અમે આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીશું કારણ કે તે અનુકૂળ છે:

આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમનો ઉકેલ એ મૂલ્યોની જોડી છે (5; −3)

ઉમેરણ પદ્ધતિ

વધારાની પદ્ધતિમાં ટર્મ દ્વારા સિસ્ટમ ટર્મમાં સમાવિષ્ટ સમીકરણો ઉમેરવાનો સમાવેશ થાય છે. આ ઉમેરણ એક ચલ સાથે નવા સમીકરણમાં પરિણમે છે. અને આવા સમીકરણને હલ કરવું એકદમ સરળ છે.

ચાલો નીચેની સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ:

ચાલો પ્રથમ સમીકરણની ડાબી બાજુ બીજા સમીકરણની ડાબી બાજુ સાથે ઉમેરીએ. અને પ્રથમ સમીકરણની જમણી બાજુ બીજા સમીકરણની જમણી બાજુ સાથે. અમને નીચેની સમાનતા મળે છે:

ચાલો સમાન શબ્દો જોઈએ:

પરિણામે, અમને સૌથી સરળ સમીકરણ 3 મળ્યું x= 27 જેનું મૂળ 9 છે. મૂલ્ય જાણવું xતમે મૂલ્ય શોધી શકો છો y. ચાલો મૂલ્યને બદલીએ xબીજા સમીકરણમાં x−y= 3. આપણને 9 - મળે છે y= 3. અહીંથી y= 6 .

આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમનો ઉકેલ એ મૂલ્યોની જોડી છે (9; 6)

ઉદાહરણ 2

ચાલો પ્રથમ સમીકરણની ડાબી બાજુ બીજા સમીકરણની ડાબી બાજુ સાથે ઉમેરીએ. અને પ્રથમ સમીકરણની જમણી બાજુ બીજા સમીકરણની જમણી બાજુ સાથે. પરિણામી સમાનતામાં અમે સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ:

પરિણામે, અમને સૌથી સરળ સમીકરણ 5 મળ્યું x= 20, જેનું મૂળ 4 છે. મૂલ્ય જાણવું xતમે મૂલ્ય શોધી શકો છો y. ચાલો મૂલ્યને બદલીએ xપ્રથમ સમીકરણ 2 માં x+y= 11. ચાલો 8+ મેળવીએ y= 11. અહીંથી y= 3 .

આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમનો ઉકેલ એ મૂલ્યોની જોડી છે (4;3)

ઉમેરવાની પ્રક્રિયા વિગતવાર વર્ણવેલ નથી. તે માનસિક રીતે થવું જોઈએ. ઉમેરતી વખતે, બંને સમીકરણોને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું આવશ્યક છે. એમ કહેવું છે ac + by = c .

ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણો પરથી, તે સ્પષ્ટ છે કે સમીકરણો ઉમેરવાનો મુખ્ય હેતુ ચલોમાંના એકમાંથી છૂટકારો મેળવવાનો છે. પરંતુ ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ તરત જ ઉકેલવી હંમેશા શક્ય નથી. મોટેભાગે, સિસ્ટમને સૌ પ્રથમ એક ફોર્મમાં લાવવામાં આવે છે જેમાં આ સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ સમીકરણો ઉમેરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સિસ્ટમ ઉમેરા દ્વારા તરત જ ઉકેલી શકાય છે. બંને સમીકરણો ઉમેરતી વખતે, શરતો yઅને −yઅદૃશ્ય થઈ જશે કારણ કે તેમનો સરવાળો શૂન્ય છે. પરિણામે, સૌથી સરળ સમીકરણ 11 રચાય છે x= 22, જેનું મૂળ 2 છે. તે પછી નક્કી કરવું શક્ય બનશે y 5 ની બરાબર.

અને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉમેરવાની પદ્ધતિ તરત જ ઉકેલી શકાતી નથી, કારણ કે આનાથી કોઈ એક ચલો અદ્રશ્ય થઈ જશે નહીં. ઉમેરણ સમીકરણ 8 માં પરિણમશે x+ y= 28, જેમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે.

જો સમીકરણની બંને બાજુઓ સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, શૂન્યની બરાબર નથી, તો તમને આપેલ એકની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે. આ નિયમ બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે પણ સાચો છે. સમીકરણોમાંથી એક (અથવા બંને સમીકરણો) કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે. પરિણામ એક સમકક્ષ સિસ્ટમ હશે, જેનાં મૂળ પાછલા એક સાથે એકરુપ હશે.

ચાલો પ્રથમ સિસ્ટમ પર પાછા આવીએ, જેમાં શાળાના બાળકે કેટલી કેક અને કોફીના કપ ખરીદ્યા તેનું વર્ણન કર્યું હતું. આ સિસ્ટમનો ઉકેલ એ મૂલ્યોની જોડી હતી (6; 5).

ચાલો આ સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ બંને સમીકરણોને અમુક સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ. ચાલો કહીએ કે આપણે પ્રથમ સમીકરણને 2 વડે અને બીજાને 3 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ

પરિણામે, અમને એક સિસ્ટમ મળી
આ સિસ્ટમનો ઉકેલ હજુ પણ મૂલ્યોની જોડી છે (6; 5)

આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમમાં સમાવવામાં આવેલ સમીકરણો ઉમેરવાની પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે યોગ્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.

ચાલો સિસ્ટમ પર પાછા આવીએ , જે અમે ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરી શક્યા નથી.

પ્રથમ સમીકરણને 6 વડે અને બીજાને −2 વડે ગુણાકાર કરો

પછી અમને નીચેની સિસ્ટમ મળે છે:

ચાલો આ સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ સમીકરણો ઉમેરીએ. ઘટકો ઉમેરવાનું 12 xઅને −12 x 0, ઉમેરા 18 માં પરિણમશે yઅને 4 y 22 આપશે y, અને 108 અને −20 ઉમેરવાથી 88 મળે છે. પછી આપણને સમીકરણ 22 મળે છે y= 88, અહીંથી y = 4 .

જો શરૂઆતમાં તમારા માથામાં સમીકરણો ઉમેરવાનું મુશ્કેલ હોય, તો પછી તમે લખી શકો છો કે પ્રથમ સમીકરણની ડાબી બાજુ બીજા સમીકરણની ડાબી બાજુ સાથે અને પ્રથમ સમીકરણની જમણી બાજુ જમણી બાજુ સાથે કેવી રીતે ઉમેરે છે. બીજું સમીકરણ:

એ જાણીને કે ચલની કિંમત y 4 બરાબર છે, તમે મૂલ્ય શોધી શકો છો x. ચાલો અવેજી કરીએ yએક સમીકરણમાં, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ સમીકરણ 2 માં x+ 3y= 18. પછી આપણને એક ચલ 2 સાથે સમીકરણ મળે છે x+ 12 = 18. ચાલો 12 ને જમણી બાજુએ ખસેડીએ, ચિહ્ન બદલીને, આપણને 2 મળે છે x= 6, અહીંથી x = 3 .

ઉદાહરણ 4. ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ચાલો બીજા સમીકરણને −1 વડે ગુણાકાર કરીએ. પછી સિસ્ટમ નીચેનું ફોર્મ લેશે:

ચાલો બંને સમીકરણો ઉમેરીએ. ઘટકો ઉમેરી રહ્યા છે xઅને −x 0, ઉમેરા 5 માં પરિણમશે yઅને 3 y 8 આપશે y, અને 7 અને 1 ઉમેરવાથી 8 મળે છે. પરિણામ સમીકરણ 8 છે y= 8 જેનું મૂળ 1 છે તે જાણીને y 1 બરાબર છે, તમે મૂલ્ય શોધી શકો છો x .

ચાલો અવેજી કરીએ yપ્રથમ સમીકરણમાં, આપણે મેળવીએ છીએ x+ 5 = 7, તેથી x= 2

ઉદાહરણ 5. ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ ઉકેલો:

તે ઇચ્છનીય છે કે સમાન ચલો ધરાવતી શરતો એક બીજાની નીચે સ્થિત હોય. તેથી, બીજા સમીકરણમાં શરતો 5 yઅને −2 xચાલો સ્થાનોની અદલાબદલી કરીએ. પરિણામે, સિસ્ટમ ફોર્મ લેશે:

ચાલો બીજા સમીકરણને 3 વડે ગુણાકાર કરીએ. પછી સિસ્ટમ ફોર્મ લેશે:

હવે ચાલો બંને સમીકરણો ઉમેરીએ. વધારાના પરિણામે આપણે સમીકરણ 8 મેળવીએ છીએ y= 16, જેનું મૂળ 2 છે.

ચાલો અવેજી કરીએ yપ્રથમ સમીકરણમાં, આપણને 6 મળે છે x− 14 = 40. ચાલો −14 શબ્દને જમણી બાજુએ ખસેડીએ, ચિહ્ન બદલીએ અને 6 મેળવીએ x= 54. અહીંથી x= 9.

ઉદાહરણ 6. ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ચાલો અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવીએ. પ્રથમ સમીકરણને 36 વડે અને બીજાને 12 વડે ગુણાકાર કરો

પરિણામી સિસ્ટમમાં પ્રથમ સમીકરણને −5 વડે અને બીજાને 8 વડે ગુણાકાર કરી શકાય છે

ચાલો પરિણામી સિસ્ટમમાં સમીકરણો ઉમેરીએ. પછી આપણને સૌથી સરળ સમીકરણ −13 મળે છે y= −156. અહીંથી y= 12. ચાલો અવેજી કરીએ yપ્રથમ સમીકરણમાં જાઓ અને શોધો x

ઉદાહરણ 7. ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ચાલો બંને સમીકરણોને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવીએ. અહીં બંને સમીકરણોમાં પ્રમાણનો નિયમ લાગુ કરવો અનુકૂળ છે. જો પ્રથમ સમીકરણમાં જમણી બાજુ , અને બીજા સમીકરણની જમણી બાજુ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તો સિસ્ટમ ફોર્મ લેશે:

અમારી પાસે પ્રમાણ છે. ચાલો તેના આત્યંતિક અને મધ્યમ શબ્દોનો ગુણાકાર કરીએ. પછી સિસ્ટમ ફોર્મ લેશે:

ચાલો પ્રથમ સમીકરણને −3 વડે ગુણાકાર કરીએ અને બીજામાં કૌંસ ખોલીએ:

હવે ચાલો બંને સમીકરણો ઉમેરીએ. આ સમીકરણો ઉમેરવાના પરિણામે, અમને બંને બાજુ શૂન્ય સાથે સમાનતા મળે છે:

તે તારણ આપે છે કે સિસ્ટમ પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે.

પરંતુ આપણે ફક્ત આકાશમાંથી મનસ્વી મૂલ્યો લઈ શકતા નથી xઅને y. અમે એક મૂલ્યનો ઉલ્લેખ કરી શકીએ છીએ, અને અન્ય અમે નિર્દિષ્ટ કરેલ મૂલ્યના આધારે નક્કી કરવામાં આવશે. ઉદાહરણ તરીકે, દો x= 2. ચાલો આ મૂલ્યને સિસ્ટમમાં બદલીએ:

સમીકરણોમાંથી એકને ઉકેલવાના પરિણામે, માટેનું મૂલ્ય y, જે બંને સમીકરણોને સંતોષશે:

મૂલ્યોની પરિણામી જોડી (2; −2) સિસ્ટમને સંતુષ્ટ કરશે:

ચાલો મૂલ્યોની બીજી જોડી શોધીએ. દો x= 4. ચાલો આ મૂલ્યને સિસ્ટમમાં બદલીએ:

તમે આંખ દ્વારા કહી શકો છો કે કિંમત yશૂન્ય બરાબર. પછી આપણને મૂલ્યોની જોડી (4; 0) મળે છે જે આપણી સિસ્ટમને સંતુષ્ટ કરે છે:

ઉદાહરણ 8. ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ ઉકેલો:

પ્રથમ સમીકરણને 6 વડે અને બીજાને 12 વડે ગુણાકાર કરો

ચાલો જે બાકી છે તે ફરીથી લખીએ:

ચાલો પ્રથમ સમીકરણને −1 વડે ગુણાકાર કરીએ. પછી સિસ્ટમ ફોર્મ લેશે:

હવે ચાલો બંને સમીકરણો ઉમેરીએ. ઉમેરાના પરિણામે, સમીકરણ 6 રચાય છે b= 48, જેનું મૂળ 8 છે. અવેજી bપ્રથમ સમીકરણમાં જાઓ અને શોધો a

ત્રણ ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ

ત્રણ ચલો સાથેના રેખીય સમીકરણમાં ગુણાંક સાથેના ત્રણ ચલ, તેમજ ઇન્ટરસેપ્ટ ટર્મનો સમાવેશ થાય છે. પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં તે નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

ax + by + cz = d

આ સમીકરણમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે. બે ચલોને જુદી જુદી કિંમતો આપીને, ત્રીજી કિંમત શોધી શકાય છે. આ કિસ્સામાં ઉકેલ એ ત્રણ ગણો મૂલ્યો છે ( x; y; z) જે સમીકરણને ઓળખમાં ફેરવે છે.

જો ચલો x, y, zત્રણ સમીકરણો દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે, પછી ત્રણ ચલ સાથે ત્રણ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ રચાય છે. આવી સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે, તમે સમાન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો જે બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણો પર લાગુ થાય છે: અવેજી પદ્ધતિ અને ઉમેરણ પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ 1. અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ચાલો ત્રીજા સમીકરણમાં વ્યક્ત કરીએ x. પછી સિસ્ટમ ફોર્મ લેશે:

હવે અવેજી કરીએ. ચલ xઅભિવ્યક્તિ સમાન છે 3 − 2y − 2z . ચાલો આ અભિવ્યક્તિને પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોમાં બદલીએ:

ચાલો બંને સમીકરણોમાં કૌંસ ખોલીએ અને સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ:

અમે બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ પર પહોંચ્યા છીએ. આ કિસ્સામાં, ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. પરિણામે, ચલ yઅદૃશ્ય થઈ જશે અને આપણે ચલની કિંમત શોધી શકીએ છીએ z

હવે ચાલો મૂલ્ય શોધીએ y. આ કરવા માટે, સમીકરણ − નો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે y+ z= 4. તેમાં મૂલ્ય બદલો z

હવે ચાલો મૂલ્ય શોધીએ x. આ કરવા માટે, સમીકરણનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે x= 3 − 2y − 2z . ચાલો તેમાં મૂલ્યોને બદલીએ yઅને z

આમ, મૂલ્યોની ત્રિપુટી (3; −2; 2) એ આપણી સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. તપાસ કરીને અમે ખાતરી કરીએ છીએ કે આ મૂલ્યો સિસ્ટમને સંતોષે છે:

ઉદાહરણ 2. વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો પ્રથમ સમીકરણ બીજા સાથે ઉમેરીએ, −2 વડે ગુણાકાર કરીએ.

જો બીજા સમીકરણને −2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો તે સ્વરૂપ લે છે −6x+ 6y - 4z = −4 . હવે ચાલો તેને પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરીએ:

આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રાથમિક પરિવર્તનના પરિણામે, ચલનું મૂલ્ય નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું x. તે એક સમાન છે.

ચાલો મુખ્ય સિસ્ટમ પર પાછા ફરીએ. ચાલો ત્રીજા સાથે બીજું સમીકરણ ઉમેરીએ, −1 વડે ગુણાકાર કરીએ. જો ત્રીજા સમીકરણને −1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો તે સ્વરૂપ લે છે −4x + 5y − 2z = −1 . હવે ચાલો તેને બીજા સમીકરણમાં ઉમેરીએ:

અમને સમીકરણ મળ્યું x− 2y= −1. ચાલો તેમાં મૂલ્યને બદલીએ xજે અમને અગાઉ મળી હતી. પછી આપણે મૂલ્ય નક્કી કરી શકીએ છીએ y

હવે આપણે તેનો અર્થ જાણીએ છીએ xઅને y. આ તમને મૂલ્ય નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે z. ચાલો સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ સમીકરણોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીએ:

આમ, મૂલ્યોની ત્રિપુટી (1; 1; 1) એ આપણી સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. તપાસ કરીને અમે ખાતરી કરીએ છીએ કે આ મૂલ્યો સિસ્ટમને સંતોષે છે:

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો કંપોઝ કરવામાં સમસ્યાઓ

સમીકરણોની પ્રણાલીઓ કંપોઝ કરવાનું કાર્ય અનેક ચલો દાખલ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. આગળ, સમીકરણો સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓના આધારે સંકલિત કરવામાં આવે છે. સંકલિત સમીકરણોમાંથી તેઓ એક સિસ્ટમ બનાવે છે અને તેને હલ કરે છે. સિસ્ટમને હલ કર્યા પછી, તે તપાસવું જરૂરી છે કે તેનો ઉકેલ સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે કે કેમ.

સમસ્યા 1. વોલ્ગા કાર શહેરની બહાર સામૂહિક ફાર્મ તરફ નીકળી ગઈ. તે બીજા રસ્તા પર પાછી ફરી, જે પહેલા કરતા 5 કિમી નાનો હતો. કુલ મળીને કારે 35 કિમીની રાઉન્ડ ટ્રીપ કરી હતી. દરેક રસ્તાની લંબાઈ કેટલા કિલોમીટર છે?

ઉકેલ

દો x-પ્રથમ રસ્તાની લંબાઈ, y- બીજાની લંબાઈ. જો કાર 35 કિમી રાઉન્ડ ટ્રીપ કરે છે, તો પ્રથમ સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે x+ y= 35. આ સમીકરણ બંને રસ્તાઓની લંબાઈના સરવાળાનું વર્ણન કરે છે.

એવું કહેવાય છે કે કાર એવા રસ્તા પર પાછી ફરી હતી જે પહેલા કરતા 5 કિમી ટૂંકી હતી. પછી બીજું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય x− y= 5. આ સમીકરણ બતાવે છે કે રસ્તાની લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત 5 કિમી છે.

અથવા બીજા સમીકરણ તરીકે લખી શકાય x= y+ 5. આપણે આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીશું.

કારણ કે ચલો xઅને yબંને સમીકરણોમાં સમાન સંખ્યા દર્શાવે છે, પછી આપણે તેમાંથી સિસ્ટમ બનાવી શકીએ છીએ:

ચાલો આ સિસ્ટમને અગાઉ અભ્યાસ કરેલી કેટલીક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ. આ કિસ્સામાં, અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે, કારણ કે બીજા સમીકરણમાં ચલ xપહેલેથી જ વ્યક્ત.

બીજા સમીકરણને પ્રથમમાં બદલો અને શોધો y

ચાલો મળેલ મૂલ્યને બદલીએ yબીજા સમીકરણમાં x= y+ 5 અને અમે શોધીશું x

પ્રથમ રસ્તાની લંબાઈ ચલ દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવી હતી x. હવે આપણે તેનો અર્થ શોધી કાઢ્યો છે. ચલ x 20 ની બરાબર છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ રસ્તાની લંબાઈ 20 કિમી છે.

અને બીજા રોડની લંબાઇ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી હતી y. આ ચલનું મૂલ્ય 15 છે. આનો અર્થ એ થાય કે બીજા રસ્તાની લંબાઈ 15 કિમી છે.

ચાલો તપાસીએ. પ્રથમ, ચાલો ખાતરી કરીએ કે સિસ્ટમ યોગ્ય રીતે ઉકેલાઈ છે:

હવે ચાલો તપાસ કરીએ કે શું ઉકેલ (20; 15) સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે.

એવું કહેવાય છે કે કારે કુલ 35 કિમીની રાઉન્ડ ટ્રીપ કરી હતી. અમે બંને રસ્તાઓની લંબાઈ ઉમેરીએ છીએ અને ખાતરી કરીએ છીએ કે સોલ્યુશન (20; 15) આ સ્થિતિને સંતોષે છે: 20 કિમી + 15 કિમી = 35 કિમી

નીચેની શરત: કાર બીજા રસ્તા પર પાછી ફરી, જે પહેલા કરતા 5 કિમી ટૂંકો હતો . આપણે જોઈએ છીએ કે સોલ્યુશન (20; 15) પણ આ સ્થિતિને સંતોષે છે, કારણ કે 15 કિમી 20 કિમી બાય 5 કિમી કરતા નાનું છે: 20 કિમી − 15 કિમી = 5 કિમી

સિસ્ટમ કંપોઝ કરતી વખતે, તે મહત્વપૂર્ણ છે કે ચલ આ સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ તમામ સમીકરણોમાં સમાન સંખ્યાઓ રજૂ કરે છે.

તેથી આપણી સિસ્ટમમાં બે સમીકરણો છે. આ સમીકરણો બદલામાં ચલો ધરાવે છે xઅને y, જે બંને સમીકરણોમાં સમાન સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, એટલે કે 20 કિમી અને 15 કિમીની રોડ લંબાઈ.

સમસ્યા 2. પ્લેટફોર્મ પર ઓક અને પાઈન સ્લીપર્સ લોડ કરવામાં આવ્યા હતા, કુલ 300 સ્લીપર્સ. તે જાણીતું છે કે તમામ ઓક સ્લીપર્સનું વજન તમામ પાઈન સ્લીપર્સ કરતાં 1 ટન ઓછું હતું. નક્કી કરો કે કેટલા ઓક અને પાઈન સ્લીપર અલગ-અલગ હતા, જો દરેક ઓક સ્લીપરનું વજન 46 કિલો અને દરેક પાઈન સ્લીપર 28 કિલો હોય.

ઉકેલ

દો xઓક અને yપાઈન સ્લીપર્સ પ્લેટફોર્મ પર લોડ કરવામાં આવ્યા હતા. જો કુલ 300 સ્લીપર્સ હોય, તો પ્રથમ સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય x+y = 300 .

બધા ઓક સ્લીપરનું વજન 46 હતું xકિલો, અને પાઈનનું વજન 28 હતું yકિલો ઓક સ્લીપર્સનું વજન પાઈન સ્લીપર્સ કરતાં 1 ટન ઓછું હોવાથી, બીજું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય. 28y - 46x= 1000 . આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ઓક અને પાઈન સ્લીપર વચ્ચેના સમૂહમાં તફાવત 1000 કિગ્રા છે.

ઓક અને પાઈન સ્લીપરના સમૂહને કિલોગ્રામમાં માપવામાં આવતા હોવાથી ટનને કિલોગ્રામમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવ્યા હતા.

પરિણામે, અમે બે સમીકરણો મેળવીએ છીએ જે સિસ્ટમ બનાવે છે

ચાલો આ સિસ્ટમને હલ કરીએ. ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાં વ્યક્ત કરીએ x. પછી સિસ્ટમ ફોર્મ લેશે:

પ્રથમ સમીકરણને બીજામાં બદલો અને શોધો y

ચાલો અવેજી કરીએ yસમીકરણમાં x= 300 − yઅને તે શું છે તે શોધો x

આનો અર્થ એ થયો કે પ્લેટફોર્મ પર 100 ઓક અને 200 પાઈન સ્લીપર લોડ કરવામાં આવ્યા હતા.

ચાલો તપાસીએ કે શું ઉકેલ (100; 200) સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે. પ્રથમ, ચાલો ખાતરી કરીએ કે સિસ્ટમ યોગ્ય રીતે ઉકેલાઈ છે:

એવું કહેવામાં આવ્યું હતું કે કુલ 300 સ્લીપર્સ હતા. અમે ઓક અને પાઈન સ્લીપર્સની સંખ્યા ઉમેરીએ છીએ અને ખાતરી કરીએ છીએ કે સોલ્યુશન (100; 200) આ સ્થિતિને સંતોષે છે: 100 + 200 = 300.

નીચેની શરત: બધા ઓક સ્લીપરનું વજન તમામ પાઈન સ્લીપર્સ કરતાં 1 ટન ઓછું હતું . આપણે જોઈએ છીએ કે સોલ્યુશન (100; 200) પણ આ સ્થિતિને સંતોષે છે, કારણ કે 46 × 100 કિલો ઓક સ્લીપર્સ 28 × 200 કિગ્રા પાઈન સ્લીપર્સ કરતાં હળવા હોય છે: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

સમસ્યા 3. અમે વજન દ્વારા 2: 1, 3: 1 અને 5: 1 ના ગુણોત્તરમાં કોપર-નિકલ એલોયના ત્રણ ટુકડા લીધા. તેમની પાસેથી 12 કિલો વજનનો ટુકડો 4: 1 ના તાંબા અને નિકલની સામગ્રીના ગુણોત્તર સાથે ફ્યુઝ કરવામાં આવ્યો હતો. દરેક મૂળ ભાગનું દળ શોધો જો પ્રથમનું દળ બીજાના દળ કરતાં બમણું હોય.