આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ દર્શાવે છે. પેઇડ સોલ્યુશન્સની ક્ષમતાઓનું પરીક્ષણ કરો

"કેટ્રેન-સ્ટાઇલ" તબીબી આંકડા પર કોન્સ્ટેન્ટિન ક્રાવચિકની શ્રેણીનું પ્રકાશન ચાલુ રાખે છે. અગાઉના બે લેખોમાં, લેખકે વિભાવનાઓની સમજૂતી સાથે વ્યવહાર કર્યો જેમ કે અને.

કોન્સ્ટેન્ટિન ક્રાવચિક

ગણિતશાસ્ત્રી-વિશ્લેષક. દવા અને માનવતામાં આંકડાકીય સંશોધનમાં નિષ્ણાત

શહેર: મોસ્કો

ઘણી વાર ક્લિનિકલ અભ્યાસો પરના લેખોમાં તમે એક રહસ્યમય શબ્દસમૂહ શોધી શકો છો: "આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ" (95% CI અથવા 95% CI - આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ). ઉદાહરણ તરીકે, એક લેખ લખી શકે છે: "ભિન્નતાના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનો ઉપયોગ 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો."

"95% વિશ્વાસ અંતરાલ" નું મૂલ્ય શું છે અને તેની ગણતરી શા માટે કરવી?

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શું છે? - આ એવી શ્રેણી છે કે જેની અંદર સાચી વસ્તી એટલે જૂઠ. શું ત્યાં "અસત્ય" સરેરાશ છે? એક અર્થમાં, હા, તેઓ કરે છે. અમે સમજાવ્યું છે કે સમગ્ર વસ્તીમાં રસના પરિમાણને માપવું અશક્ય છે, તેથી સંશોધકો મર્યાદિત નમૂના સાથે સંતુષ્ટ છે. આ નમૂનામાં (ઉદાહરણ તરીકે, શરીરના વજન દ્વારા) એક સરેરાશ મૂલ્ય (ચોક્કસ વજન) છે, જેના દ્વારા આપણે સમગ્ર વસ્તીમાં સરેરાશ મૂલ્યનો નિર્ણય કરીએ છીએ. જો કે, તે અસંભવિત છે કે નમૂનામાં સરેરાશ વજન (ખાસ કરીને એક નાનું) સામાન્ય વસ્તીના સરેરાશ વજન સાથે મેળ ખાતું હોય. તેથી, વસ્તી સરેરાશની શ્રેણીની ગણતરી કરવી અને તેનો ઉપયોગ કરવો વધુ યોગ્ય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, કલ્પના કરો કે હિમોગ્લોબિન માટે 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ (95% CI) 110 થી 122 g/L છે. આનો અર્થ એ થયો કે વસ્તીમાં સાચું સરેરાશ હિમોગ્લોબિન મૂલ્ય 110 અને 122 g/L ની વચ્ચે હોવાની 95% શક્યતા છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે વસ્તીમાં સરેરાશ હિમોગ્લોબિન મૂલ્ય જાણતા નથી, પરંતુ અમે, 95% સંભાવના સાથે, આ લક્ષણ માટે મૂલ્યોની શ્રેણી સૂચવી શકીએ છીએ.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો ખાસ કરીને જૂથો વચ્ચેના અર્થમાં તફાવતો અથવા અસરના કદ માટે સંબંધિત છે કારણ કે તેઓ કહે છે.

ચાલો કહીએ કે અમે બે આયર્ન તૈયારીઓની અસરકારકતાની તુલના કરીએ છીએ: એક કે જે લાંબા સમયથી બજારમાં છે અને એક જે હમણાં જ નોંધાયેલ છે. ઉપચારના કોર્સ પછી, અમે દર્દીઓના અભ્યાસ કરેલા જૂથોમાં હિમોગ્લોબિન સાંદ્રતાનું મૂલ્યાંકન કર્યું, અને આંકડાકીય પ્રોગ્રામે ગણતરી કરી કે બે જૂથોના સરેરાશ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત, 95% સંભાવના સાથે, 1.72 થી રેન્જમાં હતો. 14.36 g/l (કોષ્ટક 1).

ટેબલ 1. સ્વતંત્ર નમૂનાઓ માટે પરીક્ષણ
(જૂથોની સરખામણી હિમોગ્લોબિન સ્તર દ્વારા કરવામાં આવે છે)

આનો અર્થ નીચે મુજબ થવો જોઈએ: સામાન્ય વસ્તીના કેટલાક દર્દીઓમાં જેઓ નવી દવા લે છે, હિમોગ્લોબિન અગાઉથી જાણીતી દવા લેતા લોકોની સરખામણીએ સરેરાશ 1.72–14.36 g/l વધારે હશે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સામાન્ય વસ્તીમાં, જૂથો વચ્ચે સરેરાશ હિમોગ્લોબિન મૂલ્યોમાં તફાવત 95% સંભાવના સાથે આ મર્યાદાઓની અંદર છે. આ ઘણું છે કે થોડું તે નક્કી કરવાનું સંશોધક પર નિર્ભર રહેશે. આ બધાનો મુદ્દો એ છે કે અમે એક સરેરાશ મૂલ્ય સાથે કામ કરી રહ્યા નથી, પરંતુ મૂલ્યોની શ્રેણી સાથે, તેથી, અમે જૂથો વચ્ચેના પરિમાણમાં તફાવતનો વધુ વિશ્વસનીય અંદાજ લગાવીએ છીએ.

આંકડાકીય પેકેજોમાં, સંશોધકના વિવેકબુદ્ધિથી, તમે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓને સ્વતંત્ર રીતે સાંકડી અથવા વિસ્તૃત કરી શકો છો. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની સંભાવનાઓને ઘટાડીને, અમે માધ્યમોની શ્રેણીને સંકુચિત કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, 90% CI પર માધ્યમની શ્રેણી (અથવા અર્થમાં તફાવત) 95% કરતાં સાંકડી હશે.

તેનાથી વિપરીત, સંભાવનાને 99% સુધી વધારવાથી મૂલ્યોની શ્રેણી વિસ્તરે છે. જૂથોની સરખામણી કરતી વખતે, CI ની નીચલી મર્યાદા શૂન્ય ચિહ્નને પાર કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓને 99-% સુધી વિસ્તૃત કરીએ, તો અંતરાલની સીમાઓ –1 થી 16 g/l સુધીની છે. આનો અર્થ એ છે કે સામાન્ય વસ્તીમાં જૂથો છે, જે વચ્ચેની લાક્ષણિકતા માટે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તે વચ્ચેનો તફાવત 0 (M = 0) ની બરાબર છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનો ઉપયોગ કરીને, તમે આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓ ચકાસી શકો છો. જો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શૂન્ય મૂલ્યને પાર કરે છે, તો નલ પૂર્વધારણા, જે ધારે છે કે જૂથો અભ્યાસ કરવામાં આવતા પરિમાણ પર અલગ નથી, તે સાચું છે. ઉદાહરણ ઉપર વર્ણવેલ છે જ્યાં અમે સીમાઓને 99% સુધી વિસ્તૃત કરી છે. સામાન્ય વસ્તીમાં ક્યાંક અમને એવા જૂથો મળ્યા જે કોઈપણ રીતે અલગ નહોતા.

હિમોગ્લોબિનમાં તફાવતનો 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ, (g/l)

આ આંકડો બે જૂથો વચ્ચેના સરેરાશ હિમોગ્લોબિન મૂલ્યોમાં તફાવત માટે 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ દર્શાવે છે. રેખા શૂન્ય ચિહ્નમાંથી પસાર થાય છે, તેથી શૂન્યના માધ્યમો વચ્ચે તફાવત છે, જે નલ પૂર્વધારણાની પુષ્ટિ કરે છે કે જૂથો અલગ નથી. જૂથો વચ્ચેના તફાવતની શ્રેણી -2 થી 5 g/L છે આનો અર્થ એ છે કે હિમોગ્લોબિન 2 g/L સુધી ઘટી શકે છે અથવા 5 g/L સુધી વધી શકે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ એ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ સૂચક છે. તેના માટે આભાર, તમે જોઈ શકો છો કે જૂથોમાં તફાવતો ખરેખર અર્થમાં તફાવતને કારણે હતા અથવા મોટા નમૂનાને કારણે હતા, કારણ કે મોટા નમૂના સાથે તફાવતો શોધવાની શક્યતા નાના કરતા વધારે છે.

વ્યવહારમાં તે આના જેવો દેખાઈ શકે છે. અમે 1000 લોકોનો નમૂનો લીધો, હિમોગ્લોબિનનું સ્તર માપ્યું અને જાણવા મળ્યું કે અર્થમાં તફાવત માટેનો વિશ્વાસ અંતરાલ 1.2 થી 1.5 g/l સુધીનો છે. આ કિસ્સામાં આંકડાકીય મહત્વનું સ્તર પી

આપણે જોઈએ છીએ કે હિમોગ્લોબિન સાંદ્રતામાં વધારો થયો છે, પરંતુ લગભગ અસ્પષ્ટપણે, તેથી, આંકડાકીય મહત્વ નમૂનાના કદને કારણે ચોક્કસપણે દેખાય છે.

આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોની ગણતરી માત્ર માધ્યમો માટે જ નહીં, પણ પ્રમાણ (અને જોખમ ગુણોત્તર) માટે પણ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમને વિકસિત દવા લેતી વખતે માફી પ્રાપ્ત કરનારા દર્દીઓના પ્રમાણના આત્મવિશ્વાસ અંતરાલમાં રસ છે. ચાલો ધારીએ કે પ્રમાણ માટે 95% CI, એટલે કે, આવા દર્દીઓના પ્રમાણ માટે, 0.60–0.80 ની રેન્જમાં આવેલું છે. આમ, આપણે કહી શકીએ કે અમારી દવા 60 થી 80% કેસોમાં રોગનિવારક અસર ધરાવે છે.

આ લેખમાંથી તમે શીખી શકશો:

શું થયું છે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ?

શું વાત છે 3 સિગ્મા નિયમો?

તમે આ જ્ઞાનને વ્યવહારમાં કેવી રીતે લાગુ કરી શકો?

આજકાલ, ઉત્પાદનોના વિશાળ વર્ગીકરણ, વેચાણની દિશાઓ, કર્મચારીઓ, પ્રવૃત્તિના ક્ષેત્રો વગેરે સાથે સંકળાયેલી માહિતીની વિપુલતાના કારણે, મુખ્ય વસ્તુને પ્રકાશિત કરવી મુશ્કેલ બની શકે છે, જે, સૌ પ્રથમ, ધ્યાન આપવાનું અને વ્યવસ્થા કરવા માટે પ્રયત્નો કરવા યોગ્ય છે. વ્યાખ્યા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલઅને તેની સીમાઓથી આગળ જતા વાસ્તવિક મૂલ્યોનું વિશ્લેષણ - એક તકનીક કે જે તમને પરિસ્થિતિઓને પ્રકાશિત કરવામાં મદદ કરશે, બદલાતા વલણોને પ્રભાવિત કરે છે.તમે સકારાત્મક પરિબળો વિકસાવવા અને નકારાત્મક પરિબળોના પ્રભાવને ઘટાડવામાં સમર્થ હશો. આ ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ ઘણી જાણીતી વૈશ્વિક કંપનીઓમાં થાય છે.

ત્યાં કહેવાતા છે " ચેતવણીઓ", જે સંચાલકોને જાણ કરોકે આગામી મૂલ્ય ચોક્કસ દિશામાં છે આગળ ગયો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. આનો અર્થ શું છે? આ એક સંકેત છે કે કેટલીક અસામાન્ય ઘટના બની છે, જે આ દિશામાં પ્રવર્તમાન વલણને બદલી શકે છે. આ એક સંકેત છેતે માટે તેને બહાર કાઢવા માટેપરિસ્થિતિમાં અને તેને શું પ્રભાવિત કર્યું તે સમજો.

ઉદાહરણ તરીકે, ઘણી પરિસ્થિતિઓનો વિચાર કરો. અમે 2011 માટે 100 પ્રોડક્ટ આઇટમ્સ માટેની આગાહી મર્યાદા સાથે વેચાણની આગાહીની ગણતરી મહિના પ્રમાણે અને વાસ્તવિક વેચાણ માર્ચમાં કરી છે:

1. "સૂર્યમુખી તેલ" માટે તેઓએ આગાહીની ઉપરની મર્યાદા તોડી નાખી અને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલમાં ન આવી.
2. "ડ્રાય યીસ્ટ" માટે અમે આગાહીની નીચલી મર્યાદાને વટાવી દીધી છે.
3. "ઓટમીલ પોર્રીજ" ઉપલી મર્યાદામાંથી પસાર થઈ ગયું છે.

અન્ય ઉત્પાદનો માટે, વાસ્તવિક વેચાણ આપેલ આગાહી મર્યાદાની અંદર હતું. તે. તેમનું વેચાણ અપેક્ષાની અંદર હતું. તેથી, અમે 3 ઉત્પાદનોને ઓળખ્યા કે જે સરહદોની બહાર ગયા હતા અને તેઓને સરહદોની બહાર જવા માટે શું પ્રભાવિત કરે છે તે શોધવાનું શરૂ કર્યું:

1. સૂર્યમુખી તેલ માટે, અમે નવા વિતરણ નેટવર્કમાં પ્રવેશ કર્યો, જેણે અમને વધારાનું વેચાણ વોલ્યુમ આપ્યું, જેના કારણે અમે ઉપરની મર્યાદાથી આગળ વધી ગયા. આ ઉત્પાદન માટે, આ નેટવર્ક માટે વેચાણની આગાહીને ધ્યાનમાં લેતા, વર્ષના અંત સુધી આગાહીની પુનઃગણતરી કરવી યોગ્ય છે.
2. "ડ્રાય યીસ્ટ" માટે, કાર કસ્ટમ્સમાં અટવાઈ ગઈ, અને 5 દિવસમાં તેની અછત હતી, જેણે વેચાણમાં ઘટાડા પર અસર કરી અને નીચી મર્યાદાને વટાવી દીધી. તેનું કારણ શું છે તે શોધવાનું અને આ પરિસ્થિતિને પુનરાવર્તિત ન કરવાનો પ્રયાસ કરવો યોગ્ય છે.
3. ઓટમીલ પોર્રીજ માટે વેચાણ પ્રમોશન ઇવેન્ટ શરૂ કરવામાં આવી હતી, જેણે વેચાણમાં નોંધપાત્ર વધારો કર્યો હતો અને કંપની આગાહી કરતાં આગળ વધી હતી.

અમે 3 પરિબળોને ઓળખ્યા કે જે આગાહીની મર્યાદાઓથી આગળ જવાને પ્રભાવિત કરે છે. આગાહી અને આયોજનની સચોટતા વધારવા માટે જીવનમાં તેમાંથી ઘણું બધું હોઈ શકે છે, જે હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે વાસ્તવિક વેચાણ આગાહીથી આગળ વધી શકે છે, તે પ્રકાશિત કરવા અને તેમના માટે અલગથી આગાહીઓ અને યોજનાઓ બનાવવા યોગ્ય છે. અને પછી મુખ્ય વેચાણની આગાહી પર તેમની અસરને ધ્યાનમાં લો. તમે નિયમિતપણે આ પરિબળોની અસરનું મૂલ્યાંકન પણ કરી શકો છો અને પરિસ્થિતિને વધુ સારી રીતે બદલી શકો છો. નકારાત્મકના પ્રભાવને ઘટાડીને અને સકારાત્મક પરિબળોના પ્રભાવને વધારીને.

આત્મવિશ્વાસના અંતરાલ સાથે અમે આ કરી શકીએ છીએ:

1. દિશાઓ પસંદ કરો, જેના પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે, કારણ કે ઘટનાઓ આ દિશામાં આવી છે જે અસર કરી શકે છે વલણમાં ફેરફાર.
2. પરિબળો ઓળખો, જે ખરેખર પરિસ્થિતિમાં પરિવર્તનને પ્રભાવિત કરે છે.
3. સ્વીકારો જાણકાર નિર્ણય(ઉદાહરણ તરીકે, ખરીદી, આયોજન વગેરે વિશે).

હવે ચાલો જોઈએ કે કોન્ફિડન્સ ઈન્ટરવલ શું છે અને એક્સેલમાં તેની ગણતરી કેવી રીતે કરવી.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શું છે?

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ એ આગાહીની સીમાઓ છે (ઉપલા અને નીચલા), જેની અંદર આપેલ સંભાવના સાથે (સિગ્મા)વાસ્તવિક મૂલ્યો દેખાશે.

તે. અમે આગાહીની ગણતરી કરીએ છીએ - આ અમારી મુખ્ય માર્ગદર્શિકા છે, પરંતુ અમે સમજીએ છીએ કે વાસ્તવિક મૂલ્યો અમારી આગાહીના 100% સમાન હોવાની શક્યતા નથી. અને પ્રશ્ન ઉભો થાય છે, કઈ સીમાઓની અંદરવાસ્તવિક મૂલ્યો ઘટી શકે છે, જો વર્તમાન વલણ ચાલુ રહે? અને આ પ્રશ્ન અમને જવાબ આપવામાં મદદ કરશે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ ગણતરી, એટલે કે - આગાહીની ઉપલી અને નીચલી મર્યાદા.

આપેલ સંભાવના સિગ્મા શું છે?

ગણતરી કરતી વખતેઆત્મવિશ્વાસ અંતરાલ આપણે કરી શકીએ છીએ સંભાવના સેટ કરો હિટવાસ્તવિક મૂલ્યો આપેલ આગાહી મર્યાદામાં. આ કેવી રીતે કરવું? આ કરવા માટે, અમે સિગ્માનું મૂલ્ય સેટ કરીએ છીએ અને, જો સિગ્મા સમાન હોય તો:

3 સિગ્મા- તો પછી, વિશ્વાસ અંતરાલમાં આવતા આગામી વાસ્તવિક મૂલ્યની સંભાવના 99.7%, અથવા 300 થી 1 હશે, અથવા સીમાઓથી આગળ જવાની 0.3% સંભાવના છે.

2 સિગ્મા- પછી, સીમાઓની અંદર આવતા આગામી મૂલ્યની સંભાવના ≈ 95.5% છે, એટલે કે. મતભેદ લગભગ 20 થી 1 છે, અથવા ઓવરબોર્ડ જવાની 4.5% તક છે.

1 સિગ્મા- પછી સંભાવના ≈ 68.3% છે, એટલે કે. મતભેદ લગભગ 2 થી 1 છે, અથવા 31.7% સંભાવના છે કે આગામી મૂલ્ય વિશ્વાસ અંતરાલની બહાર આવશે.

અમે ઘડ્યું 3 સિગ્મા નિયમ,જે કહે છે કે હિટ સંભાવનાઅન્ય રેન્ડમ મૂલ્ય આત્મવિશ્વાસ અંતરાલમાંઆપેલ મૂલ્ય સાથે ત્રણ સિગ્મા 99.7% છે.

મહાન રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી ચેબીશેવે પ્રમેય સાબિત કર્યો કે ત્રણ સિગ્માના આપેલ મૂલ્ય સાથે આગાહી મર્યાદાથી આગળ જવાની 10% સંભાવના છે. તે. 3-સિગ્મા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની અંદર આવવાની સંભાવના ઓછામાં ઓછી 90% હશે, જ્યારે આગાહી અને તેની સીમાઓની "આંખ દ્વારા" ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ વધુ નોંધપાત્ર ભૂલોથી ભરપૂર છે.

એક્સેલમાં આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની જાતે ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને Excel માં વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી જોઈએ (એટલે ​​​​કે, આગાહીની ઉપલી અને નીચેની મર્યાદા). અમારી પાસે સમય શ્રેણી છે - 5 વર્ષ માટે મહિના પ્રમાણે વેચાણ. જોડાયેલ ફાઇલ જુઓ.

આગાહી મર્યાદાની ગણતરી કરવા માટે, અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

1. વેચાણની આગાહી().
2. સિગ્મા - પ્રમાણભૂત વિચલનવાસ્તવિક મૂલ્યો પરથી અનુમાન મોડેલ.
3. ત્રણ સિગ્મા.
4. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ.

1. વેચાણની આગાહી.

=(RC[-14] (સમય શ્રેણી ડેટા)- આરસી[-1] (મોડલ મૂલ્ય))^2(ચોરસ)

3. દરેક મહિના માટે, ચાલો સ્ટેજ 8 Sum((Xi-Ximod)^2) થી વિચલન મૂલ્યોનો સરવાળો કરીએ, એટલે કે. ચાલો દરેક વર્ષ માટે જાન્યુઆરી, ફેબ્રુઆરી...નો સરવાળો કરીએ.

આ કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો =SUMIF()

SUMIF(ચક્રની અંદર પીરિયડ નંબર્સ સાથે એરે (1 થી 12 મહિના માટે); ચક્રમાં પીરિયડ નંબર સાથે લિંક; સ્ત્રોત ડેટા અને પીરિયડ વેલ્યુ વચ્ચેના તફાવતના વર્ગો સાથે એરેની લિંક)

4. ચક્રમાં 1 થી 12 (સ્ટેજ 10) ના દરેક સમયગાળા માટે પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરો જોડાયેલ ફાઇલમાં).

આ કરવા માટે, અમે સ્ટેજ 9 પર ગણતરી કરેલ મૂલ્યમાંથી રુટ કાઢીએ છીએ અને આ ચક્ર માઈનસ 1 = SQRT((Sum(Xi-Ximod)^2/(n-1)) માં સમયગાળાની સંખ્યા વડે ભાગીએ છીએ.

ચાલો Excel =ROOT(R8.) માં સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ ((Sum(Xi-Ximod)^2 ની લિંક)/(COUNTIF($O$8:$O$67 (સાયકલ નંબરો સાથે એરેની લિંક); O8 (અમે એરેમાં ગણીએ છીએ તે ચોક્કસ ચક્ર નંબરની લિંક))-1))

એક્સેલ ફોર્મ્યુલા = COUNTIF નો ઉપયોગ કરીનેઆપણે સંખ્યા n ગણીએ છીએ

આગાહી મોડેલમાંથી વાસ્તવિક ડેટાના પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કર્યા પછી, અમે દરેક મહિના માટે સિગ્મા મૂલ્ય મેળવ્યું - સ્ટેજ 10 જોડાયેલ ફાઇલમાં.

3. ચાલો 3 સિગ્માની ગણતરી કરીએ.

સ્ટેજ 11 પર અમે સિગ્માસની સંખ્યા સેટ કરીએ છીએ - અમારા ઉદાહરણમાં "3" (સ્ટેજ 11 જોડાયેલ ફાઇલમાં):

પ્રેક્ટિસ સિગ્મા મૂલ્યો માટે પણ અનુકૂળ:

1.64 સિગ્મા - મર્યાદા ઓળંગવાની 10% તક (10 માં 1 તક);

1.96 સિગ્મા - મર્યાદાથી આગળ જવાની 5% તક (20 માં 1 તક);

2.6 સિગ્મા - મર્યાદાઓથી આગળ જવાની 1% તક (100 માં 1 તક).

5) ત્રણ સિગ્માની ગણતરી, આ માટે આપણે દરેક મહિના માટે "સિગ્મા" મૂલ્યોને "3" વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.

3. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરો.

1. ઉચ્ચ આગાહી મર્યાદા- વૃદ્ધિ અને મોસમને ધ્યાનમાં લેતા વેચાણની આગાહી + (વત્તા) 3 સિગ્મા;
2. નીચી આગાહી મર્યાદા- વૃદ્ધિ અને મોસમને ધ્યાનમાં લેતા વેચાણની આગાહી - (માઈનસ) 3 સિગ્મા;

લાંબા ગાળા માટે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની સુવિધા માટે (જોડાયેલ ફાઇલ જુઓ), અમે એક્સેલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીશું. =Y8+VLOOKUP(W8,$U$8:$V$19,2,0), ક્યાં

Y8- વેચાણની આગાહી;

W8- મહિનાની સંખ્યા કે જેના માટે આપણે 3-સિગ્મા મૂલ્ય લઈશું;

તે. ઉચ્ચ આગાહી મર્યાદા= “વેચાણની આગાહી” + “3 સિગ્મા” (ઉદાહરણમાં, VLOOKUP(મહિનો નંબર; 3 સિગ્મા મૂલ્યો સાથેનું કોષ્ટક; કૉલમ કે જેમાંથી આપણે સંબંધિત પંક્તિમાં મહિનાની સંખ્યાની બરાબર સિગ્મા મૂલ્ય કાઢીએ છીએ; 0)).

નીચી આગાહી મર્યાદા= “વેચાણની આગાહી” બાદ “3 સિગ્મા”.

તેથી, અમે Excel માં વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરી.

હવે અમારી પાસે એક આગાહી અને સીમાઓ સાથેની શ્રેણી છે જેમાં વાસ્તવિક મૂલ્યો આપેલ સિગ્મા સંભાવના સાથે ઘટશે.

આ લેખમાં, અમે સિગ્મા અને થ્રી-સિગ્મા નિયમ શું છે, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ કેવી રીતે નક્કી કરવો અને તમે આ તકનીકનો વ્યવહારમાં ઉપયોગ કેમ કરી શકો તે વિશે જોયું.

અમે તમને સચોટ આગાહી અને સફળતાની ઇચ્છા કરીએ છીએ!

કેવી રીતે Forecast4AC PRO તમને મદદ કરી શકે છેઆત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરતી વખતે?:

Forecast4AC PRO એકસાથે 1000 થી વધુ સમયની શ્રેણી માટે આગાહીના ઉપલા અથવા નીચલા સીમાઓની આપમેળે ગણતરી કરશે;

એક કીસ્ટ્રોક વડે ચાર્ટ પરની આગાહી, વલણ અને વાસ્તવિક વેચાણની સરખામણીમાં આગાહીની સીમાઓનું વિશ્લેષણ કરવાની ક્ષમતા;

Forcast4AC PRO પ્રોગ્રામમાં સિગ્મા મૂલ્ય 1 થી 3 સુધી સેટ કરવું શક્ય છે.

અમારી સાથે જોડાઓ!

મફત આગાહી અને વ્યવસાય વિશ્લેષણ એપ્લિકેશનો ડાઉનલોડ કરો:

• નોવો ફોરકાસ્ટ લાઇટ- આપોઆપ આગાહી ગણતરીવી એક્સેલ.
• 4 એનાલિટિક્સ - ABC-XYZ વિશ્લેષણઅને ઉત્સર્જન વિશ્લેષણ એક્સેલ.
• ક્લિક સેન્સડેસ્કટોપ અને QlikViewવ્યક્તિગત આવૃત્તિ - ડેટા વિશ્લેષણ અને વિઝ્યુલાઇઝેશન માટે BI સિસ્ટમ્સ.

પેઇડ સોલ્યુશન્સની ક્ષમતાઓનું પરીક્ષણ કરો:

• નોવો ફોરકાસ્ટ પ્રો- મોટા ડેટા સેટ્સ માટે એક્સેલમાં આગાહી.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ(CI; અંગ્રેજીમાં, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ - CI) નમૂના સાથેના અભ્યાસમાં મેળવેલ, આવા તમામ દર્દીઓની વસ્તી (સામાન્ય વસ્તી) વિશે તારણો કાઢવા માટે અભ્યાસના પરિણામોની ચોકસાઈ (અથવા અનિશ્ચિતતા)નું માપ આપે છે. 95% CI ની સાચી વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: આવા અંતરાલોના 95% વસ્તીમાં સાચું મૂલ્ય હશે. આ અર્થઘટન કંઈક અંશે ઓછું સચોટ છે: CI એ મૂલ્યોની શ્રેણી છે જેમાં તમે 95% ખાતરી કરી શકો છો કે તે સાચું મૂલ્ય ધરાવે છે. CI નો ઉપયોગ કરતી વખતે, આંકડાકીય મહત્વના પરીક્ષણથી પરિણમતા P મૂલ્યની વિરુદ્ધ, માત્રાત્મક અસર નક્કી કરવા પર ભાર મૂકવામાં આવે છે. P મૂલ્ય કોઈપણ જથ્થાનો અંદાજ કાઢતું નથી, પરંતુ "કોઈ અસર" ની નલ પૂર્વધારણા સામે પુરાવાની મજબૂતાઈના માપ તરીકે કામ કરે છે. P નું મૂલ્ય પોતે જ આપણને તફાવતની તીવ્રતા વિશે અથવા તેની દિશા વિશે પણ કશું કહેતું નથી. તેથી, સ્વતંત્ર P મૂલ્યો લેખો અથવા અમૂર્તમાં સંપૂર્ણપણે બિનમાહિતી છે. તેનાથી વિપરિત, CI તાત્કાલિક રસની અસરનું કદ, જેમ કે સારવારનો લાભ અને પુરાવાની તાકાત બંને સૂચવે છે. તેથી, DI સીધા EBM ની પ્રેક્ટિસ સાથે સંબંધિત છે.

આંકડાકીય પૃથ્થકરણ માટે અંદાજિત અભિગમ, CI દ્વારા ઉદાહરણ તરીકે, રસની અસરના જથ્થાને માપવાનો હેતુ (નિદાન પરીક્ષણની સંવેદનશીલતા, અનુમાનિત કેસોનો દર, સારવાર સાથે સંબંધિત જોખમમાં ઘટાડો વગેરે) અને તેમાં અનિશ્ચિતતાને માપવાનો પણ છે. અસર મોટેભાગે, CI એ અંદાજની બંને બાજુએ મૂલ્યોની શ્રેણી છે જેમાં સાચું મૂલ્ય જૂઠું હોવાની શક્યતા છે, અને તમે તેની 95% ખાતરી કરી શકો છો. P મૂલ્યની જેમ 95% સંભાવનાનો ઉપયોગ કરવાનો કરાર મનસ્વી છે.<0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».

CI એ વિચાર પર આધારિત છે કે દર્દીઓના જુદા જુદા નમૂનાઓ પર કરવામાં આવેલ સમાન અભ્યાસ સમાન પરિણામો ઉત્પન્ન કરશે નહીં, પરંતુ તેમના પરિણામો સાચા પરંતુ અજ્ઞાત મૂલ્યની આસપાસ વિતરિત કરવામાં આવશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, CI તેને "નમૂના આધારિત પરિવર્તનશીલતા" તરીકે વર્ણવે છે. CI અન્ય કારણોસર વધારાની અનિશ્ચિતતાને પ્રતિબિંબિત કરતું નથી; ખાસ કરીને, તેમાં ફોલો-અપ માટે પસંદગીના નુકસાનની અસર, નબળા અનુપાલન અથવા અચોક્કસ પરિણામ માપન, અંધત્વનો અભાવ, વગેરેનો સમાવેશ થતો નથી. તેથી CI હંમેશા અનિશ્ચિતતાની કુલ રકમને ઓછો અંદાજ આપે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ ગણતરી

કોષ્ટક A1.1. પસંદ કરેલ ક્લિનિકલ માપન માટે માનક ભૂલો અને વિશ્વાસ અંતરાલ

સામાન્ય રીતે, CI ની ગણતરી જથ્થાના અવલોકન કરેલ અંદાજ પરથી કરવામાં આવે છે, જેમ કે બે પ્રમાણ વચ્ચેનો તફાવત (d) અને તે તફાવતના અંદાજમાં પ્રમાણભૂત ભૂલ (SE). આ રીતે મેળવેલ અંદાજિત 95% CI d ± 1.96 SE છે. પરિણામ માપનની પ્રકૃતિ અને CI ના અવકાશ અનુસાર ફોર્મ્યુલા બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એસેલ્યુલર પેર્ટ્યુસિસ રસીના રેન્ડમાઇઝ્ડ, પ્લેસબો-નિયંત્રિત અજમાયશમાં, 1670 માંથી 72 (4.3%) શિશુઓ કે જેમણે રસી મેળવ્યું હતું તેઓએ પર્ટ્યુસિસ વિકસિત કર્યો અને નિયંત્રણ જૂથમાં 1665 માંથી 240 (14.4%) થયો. ટકાવારી તફાવત, સંપૂર્ણ જોખમ ઘટાડા તરીકે ઓળખાય છે, 10.1% છે. આ તફાવતનો SE 0.99% છે. તદનુસાર, 95% CI 10.1% + 1.96 x 0.99% છે, એટલે કે. 8.2 થી 12.0 સુધી.

તેમના વિવિધ દાર્શનિક અભિગમો હોવા છતાં, CIs અને આંકડાકીય મહત્વના પરીક્ષણો ગાણિતિક રીતે નજીકથી સંબંધિત છે.

આમ, P મૂલ્ય "નોંધપાત્ર" છે, એટલે કે. આર<0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.

અંદાજની અનિશ્ચિતતા (અચોક્કસતા), જે CI માં વ્યક્ત કરવામાં આવી છે, તે મોટે ભાગે નમૂનાના કદના વર્ગમૂળ સાથે સંબંધિત છે. નાના નમૂનાઓ મોટા કરતા ઓછી માહિતી પ્રદાન કરે છે, અને CI નાના નમૂનામાં અનુરૂપ રીતે વિશાળ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, હેલિકોબેક્ટર પાયલોરી ચેપનું નિદાન કરવા માટે વપરાતા ત્રણ પરીક્ષણોની કામગીરીની સરખામણી કરતા લેખમાં 95.8% (95% CI 75-100) ની યુરિયા શ્વાસ પરીક્ષણની સંવેદનશીલતા નોંધવામાં આવી છે. જ્યારે 95.8% આંકડો પ્રભાવશાળી છે, જે. પાયલોરી સાથેના 24 પુખ્ત દર્દીઓના નાના નમૂનાનો અર્થ છે કે આ અંદાજમાં નોંધપાત્ર અનિશ્ચિતતા છે, જેમ કે વ્યાપક CI દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે. ખરેખર, 75% ની નીચી મર્યાદા 95.8% અંદાજ કરતા ઘણી ઓછી છે. જો 240 લોકોના નમૂનામાં સમાન સંવેદનશીલતા જોવામાં આવી હોય, તો 95% CI 92.5–98.0 હશે, જે વધુ ખાતરી આપે છે કે પરીક્ષણ અત્યંત સંવેદનશીલ છે.

રેન્ડમાઇઝ્ડ કંટ્રોલ્ડ ટ્રાયલ્સ (RCTs) માં, અગમ્ય પરિણામો (એટલે ​​કે, P >0.05 ધરાવતા) ​​ખાસ કરીને ખોટા અર્થઘટન માટે સંવેદનશીલ હોય છે. CI અહીં ખાસ કરીને ઉપયોગી છે કારણ કે તે દર્શાવે છે કે પરિણામો તબીબી રીતે ઉપયોગી સાચી અસર સાથે કેટલા સુસંગત છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોલોનિક સિવેન અને સ્ટેપલ એનાસ્ટોમોસિસની સરખામણી કરતી આરસીટીમાં, ઘાના ચેપનો વિકાસ અનુક્રમે 10.9% અને 13.5% દર્દીઓમાં થયો હતો (P = 0.30). આ તફાવત માટે 95% CI 2.6% (−2 થી +8) છે. 652 દર્દીઓના આ અભ્યાસમાં પણ, તે શક્ય છે કે બે પ્રક્રિયાઓના પરિણામે ચેપની ઘટનાઓમાં સામાન્ય તફાવત છે. જેટલું ઓછું સંશોધન, તેટલી મોટી અનિશ્ચિતતા. સુંગ એટ અલ. 100 દર્દીઓમાં તીવ્ર વેરીસિયલ રક્તસ્રાવ માટે તીવ્ર સ્ક્લેરોથેરાપી સાથે ઓક્ટેરોટાઇડ ઇન્ફ્યુઝનની સરખામણી કરવા માટે આરસીટી કર્યું. ઓક્ટ્રિઓટાઇડ જૂથમાં, રક્તસ્રાવ નિયંત્રણ દર 84% હતો; સ્ક્લેરોથેરાપી જૂથમાં - 90%, જે P = 0.56 આપે છે. નોંધ કરો કે ચાલુ રક્તસ્રાવનો દર ઉલ્લેખિત અભ્યાસમાં ઘાના ચેપ માટે સમાન છે. આ કિસ્સામાં, જો કે, દરમિયાનગીરીઓ વચ્ચેના તફાવત માટે 95% CI 6% (−7 થી +19) છે. ક્લિનિકલ રુચિના 5% તફાવતની તુલનામાં આ શ્રેણી ખૂબ વિશાળ છે. સ્પષ્ટપણે, અભ્યાસ અસરકારકતામાં નોંધપાત્ર તફાવતને નકારી કાઢતો નથી. તેથી, લેખકોનું નિષ્કર્ષ "ઓક્ટેરોટાઇડ ઇન્ફ્યુઝન અને સ્ક્લેરોથેરાપી કાયમની અતિશય ફૂલેલી નસોમાંથી રક્તસ્રાવની સારવારમાં સમાન અસરકારક છે" ચોક્કસપણે અમાન્ય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, જ્યાં, અહીંની જેમ, સંપૂર્ણ જોખમ ઘટાડવા માટે 95% CI (ARR) માં શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે, NNT માટે CI (સારવાર માટે જરૂરી સંખ્યા) નું અર્થઘટન કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. NPL અને તેનું CI ACP ના પરસ્પરમાંથી મેળવવામાં આવે છે (જો આ મૂલ્યો ટકાવારી તરીકે આપવામાં આવે તો 100 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે). અહીં આપણને -14.3 થી 5.3 ના 95% CI સાથે NPL = 100: 6 = 16.6 મળે છે. કોષ્ટકમાં ફૂટનોટ “d” પરથી જોઈ શકાય છે. A1.1, આ CI માં 5.3 થી અનંત સુધી NPL અને 14.3 થી અનંત સુધી NPL ના મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે.

સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા આંકડાકીય અંદાજો અથવા સરખામણીઓ માટે CIs બનાવી શકાય છે. RCT માટે, તેમાં સરેરાશ પ્રમાણ, સંબંધિત જોખમો, મતભેદ ગુણોત્તર અને NLR વચ્ચેનો તફાવત શામેલ છે. એ જ રીતે, ડાયગ્નોસ્ટિક ટેસ્ટ સચોટતા અભ્યાસમાં કરવામાં આવેલા તમામ મુખ્ય અંદાજો માટે CI મેળવી શકાય છે-સંવેદનશીલતા, વિશિષ્ટતા, હકારાત્મક અનુમાનિત મૂલ્ય (જે બધા સરળ પ્રમાણ છે), અને સંભાવના ગુણોત્તર-મેટા-વિશ્લેષણ અને સરખામણી-નિયંત્રણમાં મેળવેલ અંદાજો. અભ્યાસ એક વ્યક્તિગત કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ જે MDI ના આમાંના ઘણા ઉપયોગોને આવરી લે છે તે સ્ટેટિસ્ટિક્સ વિથ કોન્ફિડન્સની બીજી આવૃત્તિ સાથે ઉપલબ્ધ છે. પ્રમાણ માટે CIsની ગણતરી કરવા માટેના મેક્રો એક્સેલ અને આંકડાકીય કાર્યક્રમો SPSS અને Minitab માટે http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_statistics/research/statistics/proportions, htm પર મફતમાં ઉપલબ્ધ છે.

સારવારની અસરના બહુવિધ અંદાજ

જ્યારે CI પ્રાથમિક અભ્યાસના પરિણામો માટે ઇચ્છનીય છે, તે બધા પરિણામો માટે જરૂરી નથી. CI તબીબી રીતે મહત્વની સરખામણીઓની ચિંતા કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે જૂથોની સરખામણી કરતી વખતે, સાચો CI એ જૂથો વચ્ચેના તફાવત માટે રચાયેલ છે, ઉપરના ઉદાહરણોમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, અને દરેક જૂથમાં અંદાજ માટે બાંધી શકાય તેવું CI નથી. દરેક જૂથમાં અંદાજો માટે અલગ સીઆઈ પ્રદાન કરવું એ મદદરૂપ નથી એટલું જ નહીં, આ પ્રસ્તુતિ ગેરમાર્ગે દોરનારી હોઈ શકે છે. તેવી જ રીતે, વિવિધ પેટાજૂથોમાં સારવારની અસરકારકતાની સરખામણી કરતી વખતે સાચો અભિગમ બે (અથવા વધુ) પેટાજૂથોની સીધી સરખામણી કરવાનો છે. એવું માનવું ખોટું છે કે સારવાર માત્ર એક પેટાજૂથમાં અસરકારક છે જો તેની CI કોઈ અસરને અનુરૂપ મૂલ્યને બાકાત રાખે છે અને અન્યમાં નથી. બહુવિધ પેટાજૂથોમાં પરિણામોની સરખામણી કરતી વખતે CIs પણ ઉપયોગી છે. ફિગ માં. A 1.1 મેગ્નેશિયમ સલ્ફેટના પ્લેસબો-નિયંત્રિત RCT થી સ્ત્રીઓના પેટાજૂથોમાં પ્રિક્લેમ્પસિયા ધરાવતી સ્ત્રીઓમાં એક્લેમ્પસિયાનું સંબંધિત જોખમ દર્શાવે છે.

ચોખા. A1.2. વન પ્લોટ પ્લાસિબોની તુલનામાં ઝાડા રોકવા માટે બોવાઇન રોટાવાયરસ રસીના 11 રેન્ડમાઇઝ્ડ ક્લિનિકલ ટ્રાયલ્સનાં પરિણામો દર્શાવે છે. ડાયેરિયાના સંબંધિત જોખમનો અંદાજ કાઢવા માટે 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. કાળા ચોરસનું કદ માહિતીની માત્રાના પ્રમાણસર છે. વધુમાં, સારવારની અસરકારકતાનો સારાંશ અંદાજ અને 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ (હીરા દ્વારા સૂચવાયેલ) બતાવવામાં આવે છે. મેટા-વિશ્લેષણમાં કેટલાક પૂર્વ-નિર્દિષ્ટ કરતા મોટા રેન્ડમ ઇફેક્ટ મોડેલનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો; ઉદાહરણ તરીકે, આ નમૂનાના કદની ગણતરીમાં વપરાતું કદ હોઈ શકે છે. વધુ કડક માપદંડ માટે જરૂરી છે કે સમગ્ર CI રેન્જ પૂર્વ નિર્દિષ્ટ ન્યૂનતમ કરતાં વધુ લાભ દર્શાવે.

બે સારવાર સમાન અસરકારક છે તે સંકેત તરીકે આંકડાકીય મહત્વની અછતને લેવાના ભ્રમણા વિશે અમે પહેલાથી જ ચર્ચા કરી છે. આંકડાકીય મહત્વને ક્લિનિકલ મહત્વ સાથે સરખાવવાનું પણ એટલું જ મહત્વનું છે. જ્યારે પરિણામ આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર હોય અને સારવારની અસરકારકતાના અંદાજની તીવ્રતા હોય ત્યારે ક્લિનિકલ મહત્વ ધારણ કરી શકાય છે.

અભ્યાસો બતાવી શકે છે કે શું પરિણામો આંકડાકીય રીતે મહત્વપૂર્ણ છે અને કયા તબીબી રીતે મહત્વપૂર્ણ છે અને કયા નથી. ફિગ માં. A1.2 ચાર પરીક્ષણોના પરિણામો દર્શાવે છે, જેના માટે સમગ્ર સી.આઈ<1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.

આંકડાઓમાં બે પ્રકારના અંદાજો છે: બિંદુ અને અંતરાલ. બિંદુ અંદાજએકલ નમૂનાનો આંકડા છે જેનો ઉપયોગ વસ્તી પરિમાણનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નમૂનાનો અર્થ વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષા અને નમૂનાના તફાવતનો એક બિંદુ અંદાજ છે એસ 2- વસ્તી તફાવતનો પોઈન્ટ અંદાજ σ 2. એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે નમૂનાનો સરેરાશ વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષાનો નિષ્પક્ષ અંદાજ છે. નમૂનાના સરેરાશને નિષ્પક્ષ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તમામ નમૂનાના સરેરાશ અર્થ (સમાન નમૂનાના કદ સાથે) n) સામાન્ય વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે.

નમૂના તફાવત માટે ક્રમમાં એસ 2વસ્તી તફાવતનો નિષ્પક્ષ અંદાજ બની ગયો σ 2, સેમ્પલ વેરિઅન્સનો છેદ બરાબર સેટ કરવો જોઈએ n – 1 , નહીં n. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વસ્તી તફાવત એ તમામ સંભવિત નમૂના ભિન્નતાઓની સરેરાશ છે.

વસ્તીના પરિમાણોનો અંદાજ કાઢતી વખતે, તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે નમૂનાના આંકડા જેમ કે , ચોક્કસ નમૂનાઓ પર આધાર રાખે છે. આ હકીકત ધ્યાનમાં લેવા માટે, મેળવવા માટે અંતરાલ અંદાજસામાન્ય વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષા, નમૂનાના માધ્યમના વિતરણનું વિશ્લેષણ કરો (વધુ વિગતો માટે, જુઓ). બાંધવામાં આવેલ અંતરાલ ચોક્કસ આત્મવિશ્વાસ સ્તર દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, જે સાચા વસ્તી પરિમાણનો સાચો અંદાજ છે તેની સંભાવના દર્શાવે છે. સમાન આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોનો ઉપયોગ લાક્ષણિકતાના પ્રમાણનો અંદાજ કાઢવા માટે કરી શકાય છે આરઅને વસ્તીનો મુખ્ય વિતરિત સમૂહ.

નોંધ ડાઉનલોડ કરો અથવા ફોર્મેટ કરો, ઉદાહરણો ફોર્મેટમાં

જાણીતા પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનું નિર્માણ

વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાના હિસ્સા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનું નિર્માણ

આ વિભાગ વિશ્વાસ અંતરાલની વિભાવનાને સ્પષ્ટ ડેટા સુધી વિસ્તરે છે. આ અમને વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાના હિસ્સાનો અંદાજ કાઢવા દે છે આરનમૂના શેરનો ઉપયોગ કરીને આરએસ= X/n. સૂચવ્યા મુજબ, જો જથ્થો nઆરઅને n(1 - p)સંખ્યા 5 કરતાં વધી જાય, દ્વિપદી વિતરણ સામાન્ય તરીકે અંદાજિત કરી શકાય છે. તેથી, વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાના હિસ્સાનો અંદાજ કાઢવો આરએક અંતરાલ બાંધવું શક્ય છે જેનું આત્મવિશ્વાસ સ્તર બરાબર છે (1 - α)х100%.

જ્યાં પીએસ- લાક્ષણિકતાનો નમૂનો શેર, સમાન X/n, એટલે કે નમૂનાના કદ દ્વારા વિભાજિત સફળતાની સંખ્યા, આર- સામાન્ય વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાનો હિસ્સો, ઝેડ- પ્રમાણિત સામાન્ય વિતરણનું નિર્ણાયક મૂલ્ય, n- નમૂનાનું કદ.

ઉદાહરણ 3.ચાલો માની લઈએ કે છેલ્લા મહિના દરમિયાન ભરેલા 100 ઇન્વૉઇસનો સમાવેશ થતો નમૂનો માહિતી સિસ્ટમમાંથી કાઢવામાં આવ્યો છે. જણાવી દઈએ કે આમાંથી 10 ઈન્વોઈસ ભૂલો સાથે કમ્પાઈલ કરવામાં આવ્યા હતા. આમ, આર= 10/100 = 0.1. 95% આત્મવિશ્વાસ સ્તર નિર્ણાયક મૂલ્ય Z = 1.96 ને અનુરૂપ છે.

આમ, 4.12% અને 15.88% ઈનવોઈસ વચ્ચે ભૂલો હોવાની સંભાવના 95% છે.

આપેલ નમૂનાના કદ માટે, વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાનું પ્રમાણ ધરાવતો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સતત રેન્ડમ ચલ કરતાં વધુ પહોળો દેખાય છે. આનું કારણ એ છે કે સતત રેન્ડમ ચલના માપમાં સ્પષ્ટ ડેટાના માપ કરતાં વધુ માહિતી હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સ્પષ્ટ ડેટા કે જે ફક્ત બે મૂલ્યો લે છે તેમાં તેમના વિતરણના પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટે અપૂરતી માહિતી હોય છે.

INમર્યાદિત વસ્તીમાંથી કાઢવામાં આવેલા અંદાજોની ગણતરી

ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ.અંતિમ વસ્તી માટે સુધારણા પરિબળ ( fpc) નો ઉપયોગ પરિબળ દ્વારા પ્રમાણભૂત ભૂલ ઘટાડવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. વસ્તી પરિમાણ અંદાજો માટે વિશ્વાસ અંતરાલોની ગણતરી કરતી વખતે, એક સુધારણા પરિબળ એવી પરિસ્થિતિઓમાં લાગુ કરવામાં આવે છે જ્યાં નમૂનાઓ પરત કર્યા વિના દોરવામાં આવે છે. આમ, ગાણિતિક અપેક્ષા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ જેનું આત્મવિશ્વાસ સ્તર બરાબર છે (1 - α)х100%, સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 4.મર્યાદિત વસ્તી માટે કરેક્શન ફેક્ટરનો ઉપયોગ સમજાવવા માટે, ચાલો આપણે ઇન્વૉઇસ્સની સરેરાશ રકમ માટે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની સમસ્યા પર પાછા ફરીએ, જેની ઉપર ઉદાહરણ 3 માં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. ધારો કે કંપની દર મહિને 5,000 ઇન્વૉઇસ ઇશ્યૂ કરે છે, અને X̅=110.27 ડોલર, એસ= $28.95, એન = 5000, n = 100, α = 0.05, ટી 99 = 1.9842. ફોર્મ્યુલા (6) નો ઉપયોગ કરીને આપણે મેળવીએ છીએ:

સુવિધાના શેરનો અંદાજ.વળતર વિના પસંદ કરતી વખતે, આત્મવિશ્વાસ સ્તર સમાન હોય તેવા ગુણોના પ્રમાણ માટેનો વિશ્વાસ અંતરાલ (1 - α)х100%, સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અને નૈતિક મુદ્દાઓ

વસ્તીના નમૂના લેતી વખતે અને આંકડાકીય તારણો દોરતી વખતે, નૈતિક મુદ્દાઓ વારંવાર ઉદ્ભવે છે. મુખ્ય એક એ છે કે કેવી રીતે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો અને નમૂનાના આંકડાઓના બિંદુ અંદાજો સંમત થાય છે. સંબંધિત આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો (સામાન્ય રીતે 95% આત્મવિશ્વાસ સ્તરે) અને નમૂનાનું કદ કે જેમાંથી તેઓ લેવામાં આવ્યા છે તેનો ઉલ્લેખ કર્યા વિના પબ્લિશિંગ પોઈન્ટ અંદાજો મૂંઝવણ પેદા કરી શકે છે. આનાથી વપરાશકર્તાને એવી છાપ મળી શકે છે કે પોઈન્ટ અંદાજ બરાબર તે જ છે જે તેને સમગ્ર વસ્તીના ગુણધર્મોની આગાહી કરવા માટે જરૂરી છે. આમ, એ સમજવું જરૂરી છે કે કોઈપણ સંશોધનમાં ફોકસ પોઈન્ટ અંદાજો પર નહીં, પરંતુ અંતરાલના અંદાજો પર હોવું જોઈએ. વધુમાં, નમૂનાના કદની યોગ્ય પસંદગી પર વિશેષ ધ્યાન આપવું જોઈએ.

મોટેભાગે, આંકડાકીય હેરફેરના પદાર્થો ચોક્કસ રાજકીય મુદ્દાઓ પર વસ્તીના સમાજશાસ્ત્રીય સર્વેક્ષણોના પરિણામો છે. તે જ સમયે, સર્વેક્ષણના પરિણામો અખબારોના પ્રથમ પૃષ્ઠો પર પ્રકાશિત થાય છે, અને નમૂનાની ભૂલ અને આંકડાકીય વિશ્લેષણ પદ્ધતિ મધ્યમાં ક્યાંક પ્રકાશિત થાય છે. પ્રાપ્ત પોઈન્ટ અંદાજોની માન્યતાને સાબિત કરવા માટે, તે કયા આધારે મેળવવામાં આવ્યા હતા તે નમૂનાનું કદ, વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ અને તેના મહત્વના સ્તરને દર્શાવવું જરૂરી છે.

આગલી નોંધ

લેવિન એટ અલ મેનેજર્સ માટેના આંકડાઓ પુસ્તકમાંથી સામગ્રીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. – એમ.: વિલિયમ્સ, 2004. – પી. 448–462

કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયજણાવે છે કે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા નમૂનાના કદ સાથે, માધ્યમોના નમૂનાનું વિતરણ સામાન્ય વિતરણ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે. આ મિલકત વસ્તીના વિતરણના પ્રકાર પર આધારિત નથી.

લક્ષ્ય- વિદ્યાર્થીઓને આંકડાકીય પરિમાણોના આત્મવિશ્વાસના અંતરાલની ગણતરી માટે અલ્ગોરિધમ્સ શીખવો.

આંકડાકીય રીતે ડેટાની પ્રક્રિયા કરતી વખતે, ગણતરી કરેલ અંકગણિત સરેરાશ, વિવિધતાના ગુણાંક, સહસંબંધ ગુણાંક, તફાવત માપદંડો અને અન્ય બિંદુના આંકડાઓને માત્રાત્મક વિશ્વાસ મર્યાદા પ્રાપ્ત થવી જોઈએ, જે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની અંદર નાની અને મોટી દિશામાં સૂચકની સંભવિત વધઘટ દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ 3.1 . વાંદરાઓના લોહીના સીરમમાં કેલ્શિયમનું વિતરણ, અગાઉ સ્થાપિત કર્યા મુજબ, નીચેના નમૂના સૂચકાંકો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે: = 11.94 મિલિગ્રામ%; = 0.127 એમજી%; n= 100. સામાન્ય સરેરાશ માટે વિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરવું જરૂરી છે ) આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે પી = 0,95.

સામાન્ય સરેરાશ અંતરાલમાં ચોક્કસ સંભાવના સાથે સ્થિત છે:

, ક્યાં - નમૂના અંકગણિત સરેરાશ; t- વિદ્યાર્થીની કસોટી; - અંકગણિત સરેરાશની ભૂલ.

કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને "વિદ્યાર્થીનું ટી-ટેસ્ટ મૂલ્યો" આપણે મૂલ્ય શોધીએ છીએ 0.95 ની આત્મવિશ્વાસ સંભાવના અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથે k= 100-1 = 99. તે 1.982 બરાબર છે. અંકગણિત સરેરાશ અને આંકડાકીય ભૂલના મૂલ્યો સાથે, અમે તેને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ:

અથવા 11.69
12,19

આમ, 95% ની સંભાવના સાથે, એવું કહી શકાય કે આ સામાન્ય વિતરણની સામાન્ય સરેરાશ 11.69 અને 12.19 mg% ની વચ્ચે છે.

ઉદાહરણ 3.2 . સામાન્ય વિચલન માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરો ( ) વાંદરાઓના લોહીમાં કેલ્શિયમનું વિતરણ, જો તે જાણીતું હોય
= 1.60, મુ n = 100.

સમસ્યા હલ કરવા માટે તમે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

જ્યાં - વિખેરવાની આંકડાકીય ભૂલ.

અમે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને સેમ્પલિંગ વેરિઅન્સ ભૂલ શોધીએ છીએ:
. તે 0.11 ની બરાબર છે. અર્થ t- 0.95 ની આત્મવિશ્વાસ સંભાવના અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથેનો માપદંડ k= 100–1 = 99 અગાઉના ઉદાહરણ પરથી જાણી શકાય છે.

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ અને મેળવીએ:

અથવા 1.38
1,82

વધુ સચોટ રીતે, સામાન્ય વિચલનોનો વિશ્વાસ અંતરાલનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે (ચી-ચોરસ) - પીયર્સન ટેસ્ટ. આ માપદંડ માટેના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ ખાસ કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે. માપદંડનો ઉપયોગ કરતી વખતે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવા માટે, બે બાજુના મહત્વના સ્તરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. નીચી મર્યાદા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મહત્વના સ્તરની ગણતરી કરવામાં આવે છે
, ટોચ માટે -
. ઉદાહરણ તરીકે, આત્મવિશ્વાસના સ્તર માટે = 0,99= 0,010,= 0.990. તદનુસાર, નિર્ણાયક મૂલ્યોના વિતરણના કોષ્ટક અનુસાર , ગણતરી કરેલ આત્મવિશ્વાસના સ્તરો અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથે k= 100 – 1 = 99, કિંમતો શોધો
અને
. અમને મળે છે
બરાબર 135.80, અને
70.06 બરાબર છે.

નો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય ભિન્નતા માટે વિશ્વાસ મર્યાદા શોધવા માટે ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ: નીચલી સીમા માટે
, ઉપલા બાઉન્ડ માટે
. ચાલો સમસ્યાના ડેટા માટે મળેલા મૂલ્યોને બદલીએ સૂત્રોમાં:
= 1,17;
= 2.26. આમ, આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે પી= 0.99 અથવા 99% સામાન્ય તફાવત 1.17 થી 2.26 mg% સહિતની રેન્જમાં હશે.

ઉદાહરણ 3.3 . એલિવેટરમાં મળેલા બેચમાંથી ઘઉંના 1000 બીજમાંથી 120 બીજ એર્ગોટથી સંક્રમિત જણાયા હતા. ઘઉંના આપેલ બેચમાં ચેપગ્રસ્ત બીજના સામાન્ય પ્રમાણની સંભવિત સીમાઓ નક્કી કરવી જરૂરી છે.

સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેના તમામ સંભવિત મૂલ્યો માટે સામાન્ય શેર માટે વિશ્વાસની મર્યાદા નક્કી કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

,

જ્યાં n - અવલોકનોની સંખ્યા; m- જૂથોમાંથી એકનું સંપૂર્ણ કદ; t- સામાન્યકૃત વિચલન.

ચેપગ્રસ્ત બીજના નમૂનાનું પ્રમાણ છે
અથવા 12%. આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે આર= 95% સામાન્યકૃત વિચલન ( t- ખાતે વિદ્યાર્થીની પરીક્ષા k =
)t = 1,960.

અમે ઉપલબ્ધ ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ:

તેથી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ સમાન છે = 0.122–0.041 = 0.081, અથવા 8.1%; = 0.122 + 0.041 = 0.163, અથવા 16.3%.

આમ, 95% ની આત્મવિશ્વાસ સંભાવના સાથે એવું કહી શકાય કે ચેપગ્રસ્ત બીજનું સામાન્ય પ્રમાણ 8.1 અને 16.3% ની વચ્ચે છે.

ઉદાહરણ 3.4 . વાંદરાઓના લોહીના સીરમમાં કેલ્શિયમ (mg%) ની વિવિધતાને દર્શાવતી વિવિધતાનો ગુણાંક 10.6% જેટલો હતો. નમૂનાનું કદ n= 100. સામાન્ય પરિમાણ માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરવી જરૂરી છે સીવી.

વિવિધતાના સામાન્ય ગુણાંક માટે વિશ્વાસ અંતરાલની મર્યાદા સીવી નીચેના સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

અને
, ક્યાં કે ફોર્મ્યુલા દ્વારા ગણતરી કરેલ મધ્યવર્તી મૂલ્ય
.

આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે તે જાણીને આર= 95% નોર્મલાઇઝ્ડ ડેવિએશન (વિદ્યાર્થીની કસોટી ખાતે k =
)t = 1.960, ચાલો પહેલા મૂલ્યની ગણતરી કરીએ પ્રતિ:

.

અથવા 9.3%

અથવા 12.3%

આમ, 95% આત્મવિશ્વાસ સ્તર સાથે વિવિધતાનો સામાન્ય ગુણાંક 9.3 થી 12.3% ની રેન્જમાં રહેલો છે. પુનરાવર્તિત નમૂનાઓ સાથે, વિવિધતાના ગુણાંક 12.3% થી વધુ નહીં હોય અને 100 માંથી 95 કેસોમાં 9.3% થી નીચે નહીં હોય.

સ્વ-નિયંત્રણ માટે પ્રશ્નો:

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમસ્યાઓ.

1. ઢોલમોગોરી ક્રોસ બ્રેડ ગાયોના સ્તનપાન દરમિયાન દૂધમાં ચરબીની સરેરાશ ટકાવારી નીચે મુજબ હતી: 3.4; 3.6; 3.2; 3.1; 2.9; 3.7; 3.2; 3.6; 4.0; 3.4; 4.1; 3.8; 3.4; 4.0; 3.3; 3.7; 3.5; 3.6; 3.4; 3.8. 95% આત્મવિશ્વાસ સ્તર (20 પોઈન્ટ) પર સામાન્ય સરેરાશ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો સ્થાપિત કરો.

2. 400 વર્ણસંકર રાઈના છોડ પર, પ્રથમ ફૂલો વાવણીના સરેરાશ 70.5 દિવસ પછી દેખાય છે. પ્રમાણભૂત વિચલન 6.9 દિવસ હતું. મહત્વના સ્તરે સામાન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા માટે સરેરાશ અને વિશ્વાસ અંતરાલની ભૂલ નક્કી કરો ડબલ્યુ= 0.05 અને ડબલ્યુ= 0.01 (25 પોઈન્ટ).

3. બગીચાના સ્ટ્રોબેરીના 502 નમુનાઓના પાંદડાઓની લંબાઈનો અભ્યાસ કરતી વખતે, નીચેનો ડેટા મેળવવામાં આવ્યો હતો: = 7.86 સેમી; σ = 1.32 સે.મી., =± 0.06 સે.મી. 0.01 ના મહત્વના સ્તરો સાથે અંકગણિત વસ્તી માટે વિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરો; 0.02; 0.05. (25 પોઈન્ટ).

4. 150 પુખ્ત પુરુષોના અભ્યાસમાં, સરેરાશ ઊંચાઈ 167 સેમી હતી, અને σ = 6 સે.મી. (25 પોઈન્ટ).

5. વાંદરાઓના રક્ત સીરમમાં કેલ્શિયમનું વિતરણ નીચેના પસંદગીના સૂચકાંકો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે: = 11.94 મિલિગ્રામ%, σ = 1,27, n = 100. આ વિતરણના સામાન્ય સરેરાશ માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલ બનાવો. વિવિધતાના ગુણાંક (25 પોઈન્ટ)ની ગણતરી કરો.

6. 37 વર્ષની અને 180 દિવસની ઉંમરે અલ્બીનો ઉંદરોના રક્ત પ્લાઝ્મામાં કુલ નાઇટ્રોજનની સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. પરિણામો પ્લાઝ્માના 100 સેમી 3 દીઠ ગ્રામમાં દર્શાવવામાં આવે છે. 37 દિવસની ઉંમરે, 9 ઉંદરો હતા: 0.98; 0.83; 0.99; 0.86; 0.90; 0.81; 0.94; 0.92; 0.87. 180 દિવસની ઉંમરે, 8 ઉંદરો હતા: 1.20; 1.18; 1.33; 1.21; 1.20; 1.07; 1.13; 1.12. 0.95 (50 પોઈન્ટ) ના આત્મવિશ્વાસ સ્તરે તફાવત માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો સેટ કરો.

7. વાંદરાઓના રક્ત સીરમમાં કેલ્શિયમ (mg%) ના વિતરણના સામાન્ય તફાવત માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરો, જો આ વિતરણ માટે નમૂનાનું કદ n = 100 હોય, તો નમૂનાના તફાવતની આંકડાકીય ભૂલ s σ 2 = 1.60 (40 પોઈન્ટ).

8. લંબાઈ (σ 2 = 40.87 mm 2) સાથે 40 ઘઉંના સ્પાઇકલેટ્સના વિતરણના સામાન્ય તફાવત માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરો. (25 પોઈન્ટ).

9. ધૂમ્રપાન એ અવરોધક પલ્મોનરી રોગો માટેનું મુખ્ય પરિબળ માનવામાં આવે છે. નિષ્ક્રિય ધૂમ્રપાનને આવા પરિબળ માનવામાં આવતું નથી. વૈજ્ઞાનિકોએ નિષ્ક્રિય ધૂમ્રપાનની હાનિકારકતા પર શંકા કરી અને બિન-ધુમ્રપાન કરનારાઓ, નિષ્ક્રિય અને સક્રિય ધૂમ્રપાન કરનારાઓની વાયુમાર્ગની પેટન્સીની તપાસ કરી. શ્વસન માર્ગની સ્થિતિને દર્શાવવા માટે, અમે બાહ્ય શ્વસન કાર્યના સૂચકાંકોમાંથી એક લીધો - મધ્ય-સમાપ્તિનો મહત્તમ વોલ્યુમેટ્રિક પ્રવાહ દર. આ સૂચકમાં ઘટાડો એ વાયુમાર્ગમાં અવરોધની નિશાની છે. સર્વેનો ડેટા કોષ્ટકમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

કોષ્ટક ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, દરેક જૂથ માટે એકંદર સરેરાશ અને એકંદર તફાવત માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલ શોધો. જૂથો વચ્ચે શું તફાવત છે? પરિણામોને ગ્રાફિકલી રજૂ કરો (25 પોઈન્ટ).

10. 64 ફેરોમાં પિગલેટ્સની સંખ્યામાં સામાન્ય તફાવત માટે 95% અને 99% આત્મવિશ્વાસના અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરો, જો નમૂનાના તફાવતની આંકડાકીય ભૂલ s σ 2 = 8.25 (30 પોઈન્ટ).

11. તે જાણીતું છે કે સસલાંનું સરેરાશ વજન 2.1 કિલો છે. સામાન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા માટે 95% અને 99% વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરો n= 30, σ = 0.56 કિગ્રા (25 પોઇન્ટ).

12. કાનમાં અનાજની સામગ્રી 100 કાન માટે માપવામાં આવી હતી ( એક્સ), કાનની લંબાઈ ( વાય) અને કાનમાં અનાજનો સમૂહ ( ઝેડ). પર સામાન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ શોધો પી 1 = 0,95, પી 2 = 0,99, પી 3 = 0.999 જો = 19, = 6.766 સેમી, = 0.554 ગ્રામ; σ x 2 = 29.153, σ y 2 = 2. 111, σ z 2 = 0. 064. (25 પોઈન્ટ).

13. શિયાળાના ઘઉંના 100 અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા કાનમાં, સ્પાઇકલેટ્સની સંખ્યા ગણવામાં આવી હતી. નમૂનાની વસ્તી નીચેના સૂચકાંકો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવી હતી: = 15 સ્પાઇકલેટ અને σ = 2.28 પીસી. સરેરાશ પરિણામ કઈ ચોકસાઈથી પ્રાપ્ત થયું તે નક્કી કરો ( ) અને સામાન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા માટે 95% અને 99% મહત્વના સ્તરો (30 પોઈન્ટ) પર વિશ્વાસ અંતરાલ બનાવો.

14. અશ્મિભૂત મોલસ્ક શેલ્સ પર પાંસળીની સંખ્યા ઓર્થમ્બોનિટ્સ કૅલિગ્રામ:

તે જાણીતું છે n = 19, σ = 4.25. મહત્વના સ્તરે સામાન્ય સરેરાશ અને સામાન્ય તફાવત માટે વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરો ડબલ્યુ = 0.01 (25 પોઈન્ટ).

15. વ્યાપારી ડેરી ફાર્મ પર દૂધની ઉપજ નક્કી કરવા માટે, દરરોજ 15 ગાયોની ઉત્પાદકતા નક્કી કરવામાં આવી હતી. વર્ષના ડેટા અનુસાર, દરેક ગાય દરરોજ સરેરાશ નીચે મુજબનું દૂધ આપે છે (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; 30; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. સામાન્ય ભિન્નતા અને અંકગણિત સરેરાશ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો બનાવો. શું આપણે ગાય દીઠ સરેરાશ વાર્ષિક દૂધ ઉપજ 10,000 લિટરની અપેક્ષા રાખી શકીએ? (50 પોઈન્ટ).

16. કૃષિ સાહસ માટે ઘઉંની સરેરાશ ઉપજ નક્કી કરવા માટે, 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 અને 2 હેક્ટરના ટ્રાયલ પ્લોટ પર કાપણી હાથ ધરવામાં આવી હતી. પ્લોટમાંથી ઉત્પાદકતા (c/ha) 39.4 હતી; 38; 35.8; 40; 35; 42.7; 39.3; 41.6; 33; 42; અનુક્રમે 29. સામાન્ય ભિન્નતા અને અંકગણિત સરેરાશ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો બનાવો. શું આપણે અપેક્ષા રાખી શકીએ કે સરેરાશ કૃષિ ઉપજ 42 c/ha હશે? (50 પોઈન્ટ).