પરિમાણ સાથે સિસ્ટમોની પરીક્ષા ઉકેલ. ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનો અભ્યાસ

ફોર્મનું સમીકરણ f(x; a) = 0 કહેવાય છે ચલ સાથે સમીકરણ એક્સઅને પરિમાણ એ.

પરિમાણ સાથે સમીકરણ ઉકેલો એ- આનો અર્થ દરેક મૂલ્ય માટે થાય છે એમૂલ્યો શોધો એક્સ, આ સમીકરણને સંતોષે છે.

ઉદાહરણ 1. ઓહ= 0

ઉદાહરણ 2. ઓહ = એ

ઉદાહરણ 3.

x + 2 = ah
x – ah = -2
x(1 – a) = -2

જો 1 - એ= 0, એટલે કે. એ= 1, પછી એક્સ 0 = -2 કોઈ મૂળ નથી

જો 1 - એ 0, એટલે કે. એ 1, પછી એક્સ =

ઉદાહરણ 4.

(એ 2 – 1) એક્સ = 2એ 2 + એ – 3
(એ – 1)(એ + 1)એક્સ = 2(એ – 1)(એ – 1,5)
(એ – 1)(એ + 1)એક્સ = (1એ – 3)(એ – 1)

જો એ= 1, પછી 0 એક્સ = 0
એક્સ- કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા

જો એ= -1, પછી 0 એક્સ = -2
કોઈ મૂળ નથી

જો એ 1, એ-1, પછી એક્સ= (એકમાત્ર ઉકેલ).

આનો અર્થ એ છે કે દરેક માન્ય મૂલ્ય માટે એએક મૂલ્ય સાથે મેળ ખાય છે એક્સ.

ઉદાહરણ તરીકે:

જો એ= 5, પછી એક્સ = = ;

જો એ= 0, પછી એક્સ= 3, વગેરે.

1. ઓહ = એક્સ + 3

2. 4 + ઓહ = 3એક્સ – 1

3. એ = +

ખાતે એ= 1 કોઈ મૂળ નથી.

ખાતે એ= 3 કોઈ મૂળ નથી.

ખાતે એ = 1 એક્સ– સિવાય કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા એક્સ = 1

ખાતે એ = -1, એ= 0 કોઈ ઉકેલ નથી.

ખાતે એ = 0, એ= 2 કોઈ ઉકેલ નથી.

ખાતે એ = -3, એ = 0, 5, એ= -2 કોઈ ઉકેલ નથી

ખાતે એ = -સાથે, સાથે= 0 કોઈ ઉકેલ નથી.

પરિમાણ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણો

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો

(એ – 1)એક્સ 2 = 2(2એ + 1)એક્સ + 4એ + 3 = 0

મુ એ = 1 6એક્સ + 7 = 0

કિસ્સામાં એ 1, અમે તે પરિમાણ મૂલ્યોને પ્રકાશિત કરીએ છીએ કે જેના પર ડીશૂન્ય પર જાય છે.

ડી = (2(2 એ + 1)) 2 – 4(એ – 1)(4એ + 30 = 16એ 2 + 16એ + 4 – 4(4એ 2 + 3એ – 4એ – 3) = 16એ 2 + 16એ + 4 – 16એ 2 + 4એ + 12 = 20એ + 16

20એ + 16 = 0

20એ = -16

જો એ < -4/5, то ડી < 0, уравнение имеет действительный корень.

જો એ> -4/5 અને એ 1, પછી ડી > 0,

એક્સ =

જો એ= 4/5, પછી ડી = 0,

ઉદાહરણ 2.પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણ કરે છે

x 2 + 2( એ + 1)એક્સ + 9એ– 5 = 0 પાસે 2 અલગ-અલગ નકારાત્મક મૂળ છે?

ડી = 4( એ + 1) 2 – 4(9એ – 5) = 4એ 2 – 28એ + 24 = 4(એ – 1)(એ – 6)

4(એ – 1)(એ – 6) > 0

ટી દ્વારા: એક્સ 1 + એક્સ 2 = -2(એ + 1)
એક્સ 1 એક્સ 2 = 9એ – 5

શરતે એક્સ 1 < 0, એક્સ 2 < 0 то –2(એ + 1) < 0 и 9એ – 5 > 0

પરિણામે

4(એ – 1)(એ – 6) > 0 - 2(એ + 1) < 0 9એ – 5 > 0

એ < 1: а > 6 એ > - 1 એ > 5/9

(ચોખા. 1) < a < 1, либо a > 6

ઉદાહરણ 3.મૂલ્યો શોધો એ, જેના માટે આ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

x 2 – 2( એ – 1)એક્સ + 2એ + 1 = 0

ડી = 4( એ – 1) 2 – 4(2એ + 10 = 4એ 2 – 8એ + 4 – 8એ – 4 = 4એ 2 – 16એ

4એ 2 – 16 0

4એ(એ – 4) 0

A( એ – 4)) 0

A( એ – 4) = 0

a = 0 અથવા એ – 4 = 0
એ = 4

(ચોખા. 2)

જવાબ: એ 0 અને એ 4

ડિડેક્ટિક સામગ્રી

1. કયા મૂલ્ય પર એસમીકરણ ઓહ 2 – (એ + 1) એક્સ + 2એ– 1 = 0 પાસે એક મૂળ છે?

2. કયા મૂલ્ય પર એસમીકરણ ( એ + 2) એક્સ 2 + 2(એ + 2)એક્સ+ 2 = 0 પાસે એક મૂળ છે?

3. a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ છે ( એ 2 – 6એ + 8) એક્સ 2 + (એ 2 – 4) એક્સ + (10 – 3એ – એ 2) = 0 બે કરતાં વધુ મૂળ ધરાવે છે?

4. a, સમીકરણ 2 ના કયા મૂલ્યો માટે એક્સ 2 + એક્સ – એ= 0 સમીકરણ 2 સાથે ઓછામાં ઓછું એક સામાન્ય મૂળ ધરાવે છે એક્સ 2 – 7એક્સ + 6 = 0?

5. સમીકરણના કયા મૂલ્યો માટે એક્સ 2 +ઓહ+ 1 = 0 અને એક્સ 2 + એક્સ + એ= 0 પાસે ઓછામાં ઓછું એક સામાન્ય મૂળ છે?

1. ક્યારે એ = - 1/7, એ = 0, એ = 1

2. ક્યારે એ = 0

3. ક્યારે એ = 2

4. ક્યારે એ = 10

5. ક્યારે એ = - 2

પરિમાણ સાથે ઘાતાંકીય સમીકરણો

ઉદાહરણ 1.તમામ મૂલ્યો શોધો એ, જેના માટે સમીકરણ

9 x - ( એ+ 2)*3 x-1/x +2 એ*3 -2/x = 0 (1) બરાબર બે મૂળ ધરાવે છે.

ઉકેલ. સમીકરણ (1) ની બંને બાજુઓને 3 2/x વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણે સમકક્ષ સમીકરણ મેળવીએ છીએ

3 2(x+1/x) – ( એ+ 2)*3 x+1/x + 2 એ = 0 (2)

ચાલો 3 x+1/x = ખાતે, પછી સમીકરણ (2) ફોર્મ લેશે ખાતે 2 – (એ + 2)ખાતે + 2એ= 0, અથવા

(ખાતે – 2)(ખાતે – એ) = 0, ક્યાંથી ખાતે 1 =2, ખાતે 2 = એ.

જો ખાતે= 2, એટલે કે. 3 x+1/x = 2 પછી એક્સ + 1/એક્સ= લોગ 3 2 , અથવા એક્સ 2 – એક્સલોગ 3 2 + 1 = 0.

આ સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, કારણ કે તે ડી= લોગ 2 3 2 – 4< 0.

જો ખાતે = એ, એટલે કે 3 x+1/x = એતે એક્સ + 1/એક્સ= લોગ 3 એ, અથવા એક્સ 2 –એક્સલોગ 3 a + 1 = 0. (3)

સમીકરણ (3) જો અને માત્ર જો બરાબર બે મૂળ ધરાવે છે

D = લોગ 2 3 2 – 4 > 0, અથવા |લોગ 3 a| > 2.

જો લોગ 3 a > 2 હોય, તો એ> 9, અને જો લોગ 3 એ< -2, то 0 < એ < 1/9.

જવાબ: 0< એ < 1/9, એ > 9.

ઉદાહરણ 2. a ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણ 2 2x છે – ( A - 3) 2 x – 3 એ= 0 પાસે ઉકેલો છે?

આપેલ સમીકરણમાં ઉકેલો મેળવવા માટે, તે સમીકરણ જરૂરી અને પૂરતું છે t 2 – (a - 3) t – 3a= 0 માં ઓછામાં ઓછું એક હકારાત્મક મૂળ હતું. ચાલો વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મૂળ શોધીએ: એક્સ 1 = -3, એક્સ 2 = એ = >

a એ હકારાત્મક સંખ્યા છે.

જવાબ: ક્યારે એ > 0

ડિડેક્ટિક સામગ્રી

1. a ના બધા મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે

25 x - (2 એ+ 5)*5 x-1/x + 10 એ* 5 -2/x = 0 પાસે બરાબર 2 ઉકેલો છે.

2. a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ છે

2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 પાસે એક મૂળ છે?

3. પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણ કરે છે

4 x - (5 એ-3)2 x +4 એ 2 – 3એ= 0 પાસે અનન્ય ઉકેલ છે?

ઉદાહરણ 1.બધા મૂલ્યો શોધો એ, જેના માટે સમીકરણ

લોગ 4x (1 + ઓહ) = 1/2 (1)

એક અનન્ય ઉકેલ છે.

ઉકેલ. સમીકરણ (1) સમીકરણ સમકક્ષ છે

1 + ઓહ = 2એક્સખાતે એક્સ > 0, એક્સ 1/4 (3)

એક્સ = ખાતે

અય 2 - ખાતે + 1 = 0 (4)

(3)માંથી શરત (2) સંતુષ્ટ નથી.

દો એ 0, પછી એયુ 2 – 2ખાતે+ 1 = 0 વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે જો અને માત્ર જો ડી = 4 – 4એ 0, એટલે કે. ખાતે એ 1.અસમાનતા (3) ઉકેલવા માટે, ચાલો કાર્યોનું કાવતરું કરીએ ગેલિટ્સ્કી એમ.એલ., મોશકોવિચ એમ.એમ., શ્વાર્ટ્સબર્ડ એસ.આઈ.બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણના અભ્યાસક્રમનો ઊંડાણપૂર્વકનો અભ્યાસ. - એમ.: શિક્ષણ, 1990

અને અન્ય એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા. અભ્યાસ માર્ગદર્શિકા. – એમ.: પરીક્ષા, 2001-2008.
1. કાર્ય. aકયા પરિમાણ મૂલ્યો પર a - 1)x 2 + 2x + aસમીકરણ (

- શું 1 = 0 માં એક જ મૂળ છે?
1. ઉકેલ. aમુ x= 1 સમીકરણ 2 છે x= 0 અને દેખીતી રીતે એક જ મૂળ ધરાવે છે a= 0. જો a 4a 2 - 8aનંબર 1, તો આ સમીકરણ ચતુર્ભુજ છે અને તે પરિમાણ મૂલ્યો માટે એક જ મૂળ ધરાવે છે કે જેના પર ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીનો ભેદભાવ શૂન્ય બરાબર છે. ભેદભાવને શૂન્ય સાથે સરખાવીને, અમે પરિમાણ માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ a= 0, ક્યાંથી a = 2.

= 0 અથવા 1. જવાબ: aસમીકરણમાં એક જ મૂળ છે

ઓ (0; 1; 2).
2. કાર્ય. aબધા પરિમાણ મૂલ્યો શોધો x 2 +4, જેના માટે સમીકરણ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે+8a+3 = 0.
કુહાડી
2. ઉકેલ. x 2 +4, જેના માટે સમીકરણ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે+8aસમીકરણ +3 = 0 બે અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે જો અને માત્ર જો = 16a 2 -4(8aડી a 2 -8a+3) > 0. આપણને મળે છે (4 ના સામાન્ય અવયવ દ્વારા ઘટાડા પછી) 4

-3 > 0, ક્યાંથી

) અને (1 +
તે જાણીતું છે
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) કાર્યનો આલેખ કરો f 1 (x) ખાતે a = 1.
b) કયા મૂલ્ય પર aકાર્ય આલેખ f 1 (x) અને f 2 (x) એક સામાન્ય બિંદુ છે?

3. ઉકેલ.
3.એ.ચાલો પરિવર્તન કરીએ f 1 (x) નીચે મુજબ
પર આ કાર્યનો ગ્રાફ a= 1 જમણી બાજુની આકૃતિમાં બતાવેલ છે.
3.બી.ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે ફંક્શનના આલેખ y = kx+bઅને y = , જેના માટે સમીકરણ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે 2 +bx+c (aનંબર 0) એક બિંદુ પર છેદે છે જો અને માત્ર જો ચતુર્ભુજ સમીકરણ kx+b = , જેના માટે સમીકરણ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે 2 +bx+cએક જ મૂળ ધરાવે છે. દૃશ્યનો ઉપયોગ કરીને fની 1 3.એ, ચાલો સમીકરણના ભેદભાવની સમાનતા કરીએ a = 6x-x 2 -6 થી શૂન્ય. સમીકરણ 36-24-4 થી a= 0 આપણને મળે છે a= 3. સમીકરણ 2 સાથે તે જ કરો x-a = 6x-x 2 -6 આપણે શોધીશું a= 2. તે ચકાસવું સરળ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે. જવાબ: a= 2 અથવા a = 3.

4. કાર્ય.
બધા મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ x 2 -2, જેના માટે સમીકરણ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે-3a i 0 સેગમેન્ટ સમાવે છે.

4. ઉકેલ.
પેરાબોલા શિરોબિંદુનું પ્રથમ સંકલન f(x) = x 2 -2, જેના માટે સમીકરણ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે-3aની સમાન x 0 = a. ચતુર્ભુજ કાર્યના ગુણધર્મોમાંથી, સ્થિતિ f(xસેગમેન્ટ પર ) i 0 એ ત્રણ સિસ્ટમોના સમૂહની સમકક્ષ છે
બરાબર બે ઉકેલો છે?

5. ઉકેલ.
ચાલો આ સમીકરણને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. આ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે; જો તેનો ભેદભાવ શૂન્ય કરતા વધારે હોય તો તેના બે ઉકેલો છે. ભેદભાવની ગણતરી કરતા, આપણે શોધીએ છીએ કે બરાબર બે મૂળની હાજરી માટેની સ્થિતિ અસમાનતાની પરિપૂર્ણતા છે. a 2 +a-6 > 0. અસમાનતાને હલ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ a < -3 или a> 2. અસમાનતાઓમાં પ્રથમ, દેખીતી રીતે, કુદરતી સંખ્યામાં કોઈ ઉકેલો નથી, અને બીજાનો સૌથી નાનો કુદરતી ઉકેલ નંબર 3 છે.

5. જવાબ: 3.

6. સમસ્યા (10 કી)
બધા મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ અથવા, સ્પષ્ટ પરિવર્તનો પછી, a-2 = | 2-a| . છેલ્લું સમીકરણ અસમાનતાની સમકક્ષ છે a i 2.

6. જવાબ: aવિશે)