ઉદાહરણ 1. સાબિત કરો કે x ની કોઈપણ કિંમત માટે y=sinx ફંક્શન સતત છે.
ઉકેલ. x 0 ને મનસ્વી બિંદુ થવા દો. તેને Δx વધારો આપવાથી, આપણને બિંદુ x=x 0 +Δx મળે છે. પછી . અમને મળે છે .
વ્યાખ્યા. ફંક્શન y=f(x) ને જમણી બાજુએ (ડાબે) જો બિંદુ x 0 પર સતત કહેવામાં આવે છે
.
એક કાર્ય જે આંતરિક બિંદુ પર સતત હોય છે તે બંને જમણે અને ડાબે સતત રહેશે. વાતચીત પણ સાચી છે: જો કોઈ ફંક્શન ડાબી અને જમણી બાજુએ કોઈ બિંદુ પર સતત હોય, તો તે તે બિંદુ પર સતત રહેશે. જો કે, ફંક્શન માત્ર એક બાજુ સતત હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, માટે , , f(1)=1, તેથી, આ ફંકશન ફક્ત ડાબી બાજુએ સતત છે (આ ફંકશનના ગ્રાફ માટે, ઉપર ફકરા 5.7.2 માં જુઓ).
વ્યાખ્યા. ફંક્શનને અમુક અંતરાલ પર સતત કહેવામાં આવે છે જો તે આ અંતરાલના દરેક બિંદુએ સતત હોય.
ખાસ કરીને, જો અંતરાલ એક સેગમેન્ટ છે, તો તેના છેડા પર એકતરફી સાતત્ય સૂચિત છે.

સતત કાર્યોના ગુણધર્મો

કાર્ય વિરામ અને તેમનું વર્ગીકરણ

વિરામ બિંદુઓ માટે નીચેનું વર્ગીકરણ અપનાવવામાં આવ્યું છે.
1) જો બિંદુ x 0 પર મર્યાદિત હોય અને , પરંતુ f(x 0 +0)≠f(x 0 -0), પછી x 0 કહેવાય છે પ્રથમ પ્રકારનો વિરામ બિંદુ , અને કહેવાય છે કાર્ય જમ્પ .

ઉદાહરણ 2. કાર્યને ધ્યાનમાં લો
ફંક્શનને ફક્ત x=2 બિંદુ પર જ તોડી શકાય છે (અન્ય બિંદુઓ પર તે કોઈપણ બહુપદીની જેમ સતત છે).
અમે શોધીશું , . કારણ કે એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત છે, પરંતુ એકબીજાની સમાન નથી, તો પછી બિંદુ x=2 પર ફંક્શન પ્રથમ પ્રકારનું વિરામ ધરાવે છે. તેની નોંધ લો , તેથી આ બિંદુએ કાર્ય જમણી બાજુએ સતત છે (ફિગ. 2).
2) બીજા પ્રકારના ડિસકોન્ટિન્યુટી પોઈન્ટ એવા બિંદુઓ કહેવાય છે કે જેના પર ઓછામાં ઓછી એક એકતરફી મર્યાદા ∞ ની બરાબર હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય.

ઉદાહરણ 3. ફંક્શન y=2 1/ x એ x=0 સિવાય x ના તમામ મૂલ્યો માટે સતત છે. ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓ શોધીએ: , , તેથી x=0 એ બીજા પ્રકારનું વિરામ બિંદુ છે (ફિગ. 3).
3) બિંદુ x=x 0 કહેવાય છે દૂર કરી શકાય તેવું વિરામ બિંદુ , જો f(x 0 +0)=f(x 0 -0)≠f(x 0).
આપણે એ અર્થમાં ગેપને "નાબૂદ" કરીશું કે સેટિંગ દ્વારા આ બિંદુએ ફંક્શનના મૂલ્યને બદલવા (ફંક્શન અથવા પુનઃવ્યાખ્યાયિત) કરવા માટે તે પૂરતું છે, અને ફંક્શન બિંદુ x 0 પર સતત બનશે.
ઉદાહરણ 4. તે જાણીતું છે , અને આ મર્યાદા x કેવી રીતે શૂન્ય તરફ વળે છે તેના પર નિર્ભર નથી. પરંતુ બિંદુ x=0 પરનું કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી. જો આપણે f(0)=1 સેટ કરીને ફંક્શનને લંબાવીએ, તો તે આ બિંદુએ સતત રહેશે (અન્ય બિંદુઓ પર તે સતત ફંક્શન્સ sinx અને xના ભાગ તરીકે સતત છે).
ઉદાહરણ 5. કાર્યની સાતત્ય તપાસો .
ઉકેલ. વિધેયો y=x 3 અને y=2x દરેક જગ્યાએ નિર્ધારિત અને સતત હોય છે, જેમાં દર્શાવેલ અંતરાલોનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો અંતરાલોના જંકશન બિંદુનું પરીક્ષણ કરીએ x=0:
, , . આપણે તે મેળવીએ છીએ, જે સૂચવે છે કે બિંદુ x=0 પર કાર્ય સતત છે.
વ્યાખ્યા. ફંક્શન કે જે પ્રથમ પ્રકારના અથવા દૂર કરી શકાય તેવા વિરામ બિંદુઓની મર્યાદિત સંખ્યા સિવાયના અંતરાલ પર સતત હોય છે તેને આ અંતરાલ પર પીસવાઈઝ સતત કહેવામાં આવે છે.

અવ્યવસ્થિત કાર્યોના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 4. શું કાર્યના અંતરાલને દૂર કરવું શક્ય છે:
a) બિંદુ x=2 પર;
b) બિંદુ x=2 પર;
વી) બિંદુ x=1 પર?
ઉકેલ. ઉદાહરણના સંદર્ભમાં a) આપણે તરત જ કહી શકીએ કે બિંદુ x=2 પરની અસંતુલિતતા f(x) નાબૂદ કરી શકાતી નથી, કારણ કે આ બિંદુએ અનંત એકતરફી મર્યાદાઓ છે (ઉદાહરણ 1 જુઓ).
b) ફંક્શન g(x) જોકે બિંદુ x=2 પર મર્યાદિત એકતરફી મર્યાદા ધરાવે છે

(,),

ઉદાહરણ 5. બતાવો કે ડિરિચલેટ કાર્ય

ઉદાહરણ 6. ફંક્શન બ્રેકપોઇન્ટ શોધો

સ્વતંત્ર નિર્ણય માટે.
સાતત્ય માટે કાર્યોની તપાસ કરો અને વિરામ બિંદુઓનો પ્રકાર નક્કી કરો:
1) ; જવાબ: x=-1 – દૂર કરી શકાય તેવા વિરામનો બિંદુ;
2) ; જવાબ: બિંદુ x=8 પર બીજા પ્રકારની અસંતુલન;
3) ; જવાબ: x=1 પર પ્રથમ પ્રકારનું વિરામ;
4)
જવાબ: બિંદુ x 1 =-5 પર દૂર કરી શકાય તેવું અંતર છે, x 2 =1 પર બીજા પ્રકારનું અંતર છે અને બિંદુ x 3 =0 પર પ્રથમ પ્રકારનું અંતર છે.
5) નંબર A કેવી રીતે પસંદ કરવો જોઈએ જેથી ફંક્શન

x=0 પર સતત રહેશે?
જવાબ: A=2.
6) શું નંબર A પસંદ કરવાનું શક્ય છે જેથી કાર્ય

x=2 પર સતત રહેશે?
જવાબ: ના.

પાઠ હેતુઓ:

સતત કાર્યોની મિલકતના આધારે, અંતરાલોની સામાન્યકૃત પદ્ધતિનો અસરકારક રીતે ઉપયોગ કરવા માટે જ્ઞાન, કુશળતા અને ક્ષમતાઓનો વિકાસ કરો;

ક્રિયાઓનું અલ્ગોરિધમ ઘડવું જે સમાન પરિવર્તન તરફ દોરી જાય છે;

અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે તેને સ્વતંત્ર રીતે કેવી રીતે લાગુ કરવું તે શીખવો;

જ્ઞાન, કુશળતા અને ક્ષમતાઓને નવી પરિસ્થિતિઓમાં સ્થાનાંતરિત કરો.

શૈક્ષણિક: વ્યવસ્થિતકરણ, એકત્રીકરણ, જ્ઞાનનું સામાન્યીકરણ, કુશળતા અને ક્ષમતાઓ.

શૈક્ષણિક: સંપૂર્ણ સુવિધાયુક્ત સુસંગત દલીલ, ચોકસાઈ અને સ્વતંત્રતાની જરૂરિયાતને પોષવું.

વિકાસલક્ષી: ગાણિતિક તર્કનો વિકાસ, વિચારસરણીની ગાણિતિક શૈલીની રચના (તર્કના અભ્યાસક્રમનું સ્પષ્ટ વિચ્છેદન), જ્ઞાનાત્મક રસ.

1) પરિચય, પાઠના લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશો નક્કી કરવા - 2 મિનિટ.

2) હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે - 2 મિનિટ.

(આગળનું કામ, સ્વ-નિયંત્રણ).

3) અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવાના તબક્કાઓનું ગાણિતિક વાજબીપણું - 4 મિનિટ (તૈયાર કરેલ વિદ્યાર્થી જવાબો).

4) અસમાનતાના ગુણધર્મોનું પુનરાવર્તન – 2 મિનિટ.

5) મૂળભૂત જ્ઞાનના પુનરાવર્તન અને અપડેટ દ્વારા નવી શૈક્ષણિક સામગ્રીમાં નિપુણતા (અભ્યાસ) માટેની તૈયારી - 5 મિનિટ. (આગળનું કાર્ય, પ્રશ્નોના જવાબો, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ).

6) અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સામાન્ય અંતરાલ પદ્ધતિ, પ્રારંભિક સમજ - 13 મિનિટ.

(અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓનો સામૂહિક ઉકેલ: બોર્ડ પર અને નોટબુકમાં).

7) હોમવર્ક વિશેની માહિતી, પૂર્ણ કરવા માટેની સૂચનાઓ – 1 મિનિટ.

8) નવા જ્ઞાનનું એકત્રીકરણ – 15 મિનિટ.

1) શાળામાં અંતરાલ પદ્ધતિના વ્યાપક ઉપયોગની જરૂરિયાત ગણિત શીખવવાની સમગ્ર પ્રક્રિયાની વિચારધારા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. મુદ્દો એ છે કે કાર્યાત્મક રેખા (ગણિતના મૂળભૂત બાબતોનો અભ્યાસ કરતી વખતે મુખ્યમાંથી એક) શક્તિશાળી તકનીકી સમર્થન મેળવે છે. અંતરાલ પદ્ધતિ ફંક્શનના શૂન્ય, તેના સતત ચિહ્નના અંતરાલો અને એકવિધતા જેવી કાર્યાત્મક અવલંબનની મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ પર આધારિત છે. પછી સમીકરણો અને અસમાનતાઓના કાર્યાત્મક મૂળ, તેમજ તેમને હલ કરવાની પદ્ધતિઓ, વધુ સ્પષ્ટ બને છે. કાર્યની સાતત્યની શ્રેણીઓ, અનંત વિરામના બિંદુઓની નજીકમાં તેના આલેખનું વર્તન, મૂળ પરના પ્રમેય, ચિહ્નની સ્થિરતા, આત્યંતિક બિંદુઓ અને તેમના પ્રકારો વધુ સ્પષ્ટ બને છે. અને આ બધું એક કાર્યાત્મક સંપૂર્ણ સાથે સજીવ રીતે જોડાયેલું છે.

બીજી બાજુ, ઉપયોગમાં લેવાતા સંશોધન પદાર્થોનું ભૌમિતિકરણ પણ અમૂલ્ય છે, એટલે કે. ઉપયોગમાં લેવાતા કાર્યાત્મક અવલંબનના તમામ ગાણિતિક સાધનોને દૃષ્ટિની અને અલંકારિક રીતે રજૂ કરે છે.

અંતરાલ પદ્ધતિ અંતર્ગત મૂળભૂત સિદ્ધાંતો:

• કાર્યાત્મક (સામાન્યકૃત) અભિગમ;
• કાર્યાત્મક ગુણધર્મોના ભૌમિતિકરણ પર નિર્ભરતા;
• સંશોધન વિઝ્યુલાઇઝેશન.

આ સમાન પ્રકારનાં કાર્યોમાં ઉપયોગમાં લેવાતા અન્ય લોકોની તુલનામાં પદ્ધતિના નીચેના ફાયદાઓ તરફ દોરી જાય છે: સરળતા અને લક્ષ્ય હાંસલ કરવાની ઝડપ; દૃશ્યતા (અને નિયંત્રણ અથવા બે વાર તપાસ કરવાની ક્ષમતા); કમ્પ્યુટિંગ સંસાધનો અને સમયની બચત; સમગ્ર પરિસ્થિતિના કવરેજની પહોળાઈ, સામાન્ય વિચાર અને વિશ્લેષણની કુશળતાની રચના અને વિકાસ, તેમજ તાર્કિક તારણો કાઢવાની સંલગ્ન ક્ષમતા.

2) હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે.(સ્લાઇડ નંબર 4)

3) અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે અંતરાલ પદ્ધતિ વિશેની વાર્તા. (વિદ્યાર્થીઓના જવાબો).

અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે ગાણિતિક વાજબીપણું.

1) અસમાનતાઓને ધ્યાનમાં લો: (x-2)(x-3)>0. (સ્લાઇડ નંબર 5)

તમે તેને આ રીતે હલ કરી શકો છો: બે પરિબળોનું ઉત્પાદન (ભાગ) હકારાત્મક છે જો અને માત્ર જો બંને પરિબળો સમાન ચિહ્નના હોય, એટલે કે. અસમાનતા બે પ્રણાલીઓના સંયોજનની સમકક્ષ છે: (સ્લાઇડ નંબર 6)

પ્રથમ સિસ્ટમમાંથી આપણે x >3 મેળવીએ છીએ, બીજા xમાંથી< 2.

ઉકેલ એ બે સિસ્ટમોના ઉકેલોને જોડવાનો છે.

જવાબ:

ગ્રાફિક પદ્ધતિ (સ્લાઇડ નંબર 7)

બીજી પદ્ધતિ છે અંતરાલ પદ્ધતિ(સ્લાઇડ નંબર 8).

તેમનો વિચાર નીચે મુજબ છે.

ચાલો સંખ્યા રેખા પર બહુપદી (x-2)(x-3) સ્ટેન્ડિંગના શૂન્ય (મૂળ) ને ચિહ્નિત કરીએ

અસમાનતાની ડાબી બાજુએ, એટલે કે. નંબર 2 અને 3.

જ્યારે x >3 (મોટા મૂળની જમણી બાજુએ), તો પછી (x-2)(x-3)>0, કારણ કે દરેક અવયવ ધન છે.

જો તમે અક્ષ સાથે નકારાત્મક દિશામાં આગળ વધો છો, તો પછી બિંદુ x=3માંથી પસાર થવા પર, પરિબળ (x-3) ચિહ્ન બદલશે. ઉત્પાદનમાં (x-2)(x-3) એક નકારાત્મક પરિબળ દેખાશે, પરિણામે (x-2)(x-3)<0. При переходе через следующий корень появится еще один отрицательный множитель и произведение (х-2)(х-3)>0.

હવે અસમાનતાનો ઉકેલ લખવો સરળ છે:

નિષ્કર્ષ: જ્યારે પોઈન્ટ x=2 અને x=3માંથી પસાર થાય ત્યારે જ ઉત્પાદન ચિહ્ન બદલી શકે છે

અને, તેથી, દરેક પરિણામી અંતરાલો પર ચિહ્ન સાચવે છે.

આ સરળ ઉદાહરણથી, અંતરાલ પદ્ધતિના વિચારને સમજવું સરળ છે, પરંતુ તે તેના નોંધપાત્ર ફાયદા બતાવતું નથી.

ચાલો નીચેના ઉદાહરણમાં અંતરાલ પદ્ધતિની તર્કસંગતતા અને તેની શક્તિને ધ્યાનમાં લઈએ (સ્લાઈડ નં. 9, 10,11, 12))

2) અસમાનતા ઉકેલો (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9) ( x-10)>0.

સિસ્ટમોના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને આ અસમાનતાને ઉકેલવા માટે, દરેક સિસ્ટમમાં 10 અસમાનતાઓ સાથે 512 સિસ્ટમોના સમૂહને ધ્યાનમાં લેવો પડશે.

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. ચાલો સંખ્યા રેખા પર બહુપદીના શૂન્યને ચિહ્નિત કરીએ. અંતરાલ x>10 પર બહુપદી હકારાત્મક હશે, કારણ કે દરેક પરિબળ હકારાત્મક છે. દરેક અનુગામી મૂળમાંથી પસાર થતી વખતે, બહુપદી ચિહ્ન બદલશે, કારણ કે ઉત્પાદનમાં વધારાનું નકારાત્મક પરિબળ દેખાશે. હવે વૈકલ્પિક ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાના ઉકેલને લખવાનું સરળ છે.

અંતરાલ પદ્ધતિના ફાયદા.

• સરળતા અને લક્ષ્ય હાંસલ કરવાની ઝડપ;
• દૃશ્યતા (અને નિયંત્રણ અથવા બે વાર તપાસ કરવાની ક્ષમતા);
• કોમ્પ્યુટેશનલ કાર્ય અને સમયની માત્રામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો;
• સમગ્ર પરિસ્થિતિના કવરેજની પહોળાઈ;
• સામાન્યકૃત વિચાર અને વિશ્લેષણની કુશળતાની રચના અને વિકાસ, તેમજ તાર્કિક તારણો કાઢવાની સંલગ્ન ક્ષમતા.

ટિપ્પણી. અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે તે ખૂબ જ અનુકૂળ છે, જેની ડાબી બાજુ ફેક્ટરાઇઝ્ડ છે, કારણ કે શૂન્ય (મૂળ) શોધવાનું મુશ્કેલ નથી.

સોંપણી: અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતા ઉકેલો (x+3) 3 (x-4) 2 (x-5)>0(સ્લાઇડ 13)

4) અસમાનતાના ગુણધર્મોનું પુનરાવર્તન.

a) પ્રશ્ન: કઈ અસમાનતાને સમકક્ષ કહેવાય છે?

(બે અસમાનતાઓને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો પ્રથમ અસમાનતાનો કોઈપણ ઉકેલ બીજાનો ઉકેલ હોય અને તેનાથી વિપરીત, બીજાનો કોઈપણ ઉકેલ એ પ્રથમનો ઉકેલ હોય).

અથવા: બે અસમાનતાઓને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો તેમના ઉકેલોના સમૂહો એકરૂપ થાય.

સ્લાઇડ 14. અસમાનતાના ગુણધર્મોનું પુનરાવર્તન.

સ્લાઇડ 15. પ્રશ્નનો જવાબ આપો અને સમજાવો.

શું અસમાનતાઓ સમાન છે?

1) 4x-5<0 и 4х<5

2) -2x+5>0 અને 2x-5<0

3) -3x 2 +5x-7>0 અને 3x 2 -5x+7<0

4) (x+1)>0 અને (x 2 +5x+10)(x+1)>0

5) મૂળભૂત જ્ઞાનના પુનરાવર્તન અને અપડેટ દ્વારા નવી શૈક્ષણિક સામગ્રીના એસિમિલેશન (અભ્યાસ) માટે તૈયાર કરવા માટે મૌખિક આગળનું કાર્ય.

સ્લાઇડ 16. એક બિંદુ પર સતત કાર્યની વ્યાખ્યા.

સ્લાઇડ 17. સતત કાર્યોની મિલકત.

સ્લાઇડ 18. સાતત્યના અંતરાલો શોધો.

સ્લાઇડ 19. ભૂલ શોધો.

સ્લાઇડ 20. અસમાનતાને મૌખિક રીતે ઉકેલો,
ચાર્ટનો ઉપયોગ કરીને.

સ્લાઇડ 21, 22. અસમાનતાને સમકક્ષ શરત સાથે બદલવી.

અસમાનતા ઉકેલો

આ અસમાનતા શરત f(x) ની સમકક્ષ છે < 0, ગણતરી

તેથી, આપણે x ના તમામ મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે જેના માટે શરત f(x) સંતુષ્ટ છે < 0.

6) અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સામાન્ય અંતરાલ પદ્ધતિ, પ્રારંભિક સમજ - 10 મિનિટ. (અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓનો સામૂહિક ઉકેલ: બોર્ડ પર અને નોટબુકમાં).

સ્લાઇડ 23. અલ્ગોરિધમ. અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિ.

અસમાનતાઓ ઉકેલવી f(x)>0, f(x) > 0, f(x)<0, f(x)< અંતરાલ પદ્ધતિ દ્વારા 0. (યોજના)

સ્લાઇડ્સ 24 અને 25. અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવી. (એલ્ગોરિધમના તમામ મુદ્દાઓ પર ટિપ્પણીઓ).

સ્લાઇડ 26. આ અસમાનતાના ઉકેલનું ગ્રાફિક ચિત્ર.

સ્લાઇડ 27. બોર્ડ પર અને નોટબુકમાં અસમાનતાઓ ઉકેલો .

સ્લાઇડ 28. આ અસમાનતાના ઉકેલનું ગ્રાફિક ચિત્ર.

સ્લાઇડ 29. બોર્ડ પર અને નોટબુકમાં અસમાનતાઓ ઉકેલો

સ્લાઇડ 30. આ અસમાનતાના ઉકેલનું ગ્રાફિક ચિત્ર.

સ્લાઇડ 31, 32. ચિત્રનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાને મૌખિક રીતે ઉકેલો

7) હોમવર્ક વિશે માહિતી.(અંતરાલ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલો વિકલ્પ નંબર 2)

8) નવા જ્ઞાનનું એકીકરણ (સ્વતંત્ર કાર્ય, વિકલ્પ નંબર 1).

9) પાઠનો સારાંશ, તૈયાર ઉકેલો (સ્લાઇડ્સ 33, 34, 35) નો ઉપયોગ કરીને સ્વ-નિયંત્રણ, સામાન્ય અંતરાલ પદ્ધતિના અલ્ગોરિધમનું પુનરાવર્તન અને તેની એપ્લિકેશન.

10) વિદ્યાર્થીઓના શિક્ષણ અને વિષયમાં રસનું વિશ્લેષણ.આ પદ્ધતિ તર્કસંગત, મોડ્યુલસ, અતાર્કિક, ઘાતાંકીય, લઘુગણક સહિત કોઈપણ અસમાનતાને ઉકેલવા માટે સાર્વત્રિક છે, કારણ કે અંતરાલોની પદ્ધતિ સમીકરણોના ઉકેલમાં અસમાનતાના ઉકેલને ઘટાડે છે અને એક બિંદુ પર કાર્યનું મૂલ્ય શોધે છે; મુશ્કેલીઓનું કારણ નથી. પરંતુ મારે અસમાનતાના ઉદાહરણો આપવાના હતા જ્યાં આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ વાજબી નથી, જ્યાં અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો વધુ તર્કસંગત છે.

પ્રસ્તુતિ "અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં સાતત્યનો ઉપયોગ." (35 સ્લાઇડ્સ)

કાર્યની સાતત્ય. બ્રેકિંગ પોઈન્ટ.

આખલો ચાલે છે, ડૂબી જાય છે, નિસાસો નાખે છે:
- ઓહ, બોર્ડ સમાપ્ત થઈ રહ્યું છે, હવે હું પડીશ!

આ પાઠમાં આપણે કાર્યની સાતત્યની વિભાવના, વિરામ બિંદુઓનું વર્ગીકરણ અને સામાન્ય વ્યવહારિક સમસ્યાની તપાસ કરીશું. કાર્યોનો સાતત્ય અભ્યાસ. વિષયના ખૂબ જ નામ પરથી, ઘણા લોકો સાહજિક રીતે અનુમાન કરે છે કે શું ચર્ચા કરવામાં આવશે અને માને છે કે સામગ્રી એકદમ સરળ છે. આ વાત સાચી છે. પરંતુ તે સરળ કાર્યો છે જે મોટેભાગે ઉપેક્ષા અને તેમને હલ કરવા માટેના સુપરફિસિયલ અભિગમ માટે સજા કરવામાં આવે છે. તેથી, હું ભલામણ કરું છું કે તમે લેખનો ખૂબ જ કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરો અને બધી સૂક્ષ્મતા અને તકનીકોને પકડો.

તમારે શું જાણવાની અને કરવા સક્ષમ બનવાની જરૂર છે?બહુ નહીં. પાઠ સારી રીતે શીખવા માટે, તમારે તે શું છે તે સમજવાની જરૂર છે કાર્યની મર્યાદા. નીચા સ્તરની તૈયારી ધરાવતા વાચકો માટે, લેખને સમજવા માટે તે પૂરતું છે કાર્ય મર્યાદા. ઉકેલોના ઉદાહરણોઅને મેન્યુઅલમાં મર્યાદાનો ભૌમિતિક અર્થ જુઓ પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો. તમારી જાતને પરિચિત કરવા માટે પણ સલાહ આપવામાં આવે છે આલેખનું ભૌમિતિક પરિવર્તન, કારણ કે મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં પ્રેક્ટિસમાં ડ્રોઇંગ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે. સંભાવનાઓ દરેક માટે આશાવાદી છે, અને એક સંપૂર્ણ કેટલ પણ આગામી એક કે બે કલાકમાં તેના પોતાના પર કાર્યનો સામનો કરી શકશે!

કાર્યની સાતત્ય. બ્રેકપોઇન્ટ્સ અને તેમનું વર્ગીકરણ

કાર્યની સાતત્યતાનો ખ્યાલ

ચાલો અમુક કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ જે સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત હોય છે:

અથવા, વધુ સંક્ષિપ્તમાં કહીએ તો, આપણું કાર્ય સતત ચાલુ છે (વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ).

સાતત્યનો "ફિલિસ્ટાઇન" માપદંડ શું છે? દેખીતી રીતે, કાગળમાંથી પેન્સિલ ઉપાડ્યા વિના સતત કાર્યનો ગ્રાફ દોરી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં, બે સરળ વિભાવનાઓને સ્પષ્ટપણે અલગ પાડવી જોઈએ: ફંક્શનનું ડોમેનઅને કાર્યની સાતત્ય. સામાન્ય રીતે તે સમાન વસ્તુ નથી. ઉદાહરણ તરીકે:

આ કાર્ય સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, એટલે કે, માટે દરેક વ્યક્તિ“x” નો અર્થ “y” નો પોતાનો અર્થ છે. ખાસ કરીને, જો, તો પછી. નોંધ કરો કે અન્ય બિંદુ વિરામચિહ્નિત છે, કારણ કે કાર્યની વ્યાખ્યા દ્વારા, દલીલનું મૂલ્ય અનુરૂપ હોવું જોઈએ એકમાત્ર વસ્તુકાર્ય મૂલ્ય. આમ, વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્રઅમારું કાર્ય: .

જોકે આ કાર્ય સતત ચાલુ નથી!તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે તે સમયે તે પીડાઈ રહી છે અંતર. આ શબ્દ પણ એકદમ બુદ્ધિગમ્ય અને દ્રશ્ય છે, ખરેખર, અહીં પેન્સિલને કોઈપણ રીતે ફાડી નાખવી પડશે. થોડી વાર પછી આપણે બ્રેકપોઇન્ટનું વર્ગીકરણ જોઈશું.

એક બિંદુ પર અને અંતરાલ પર કાર્યની સાતત્ય

કોઈ ચોક્કસ ગાણિતિક સમસ્યામાં, આપણે કોઈ બિંદુ પર ફંક્શનની સાતત્ય, અંતરાલ પર ફંક્શનની સાતત્ય, અડધા-અંતરે અથવા સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સાતત્ય વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. એટલે કે, ત્યાં કોઈ "માત્ર સાતત્ય" નથી- કાર્ય ક્યાંક સતત હોઈ શકે છે. અને બાકીની દરેક વસ્તુનો મૂળભૂત "બિલ્ડીંગ બ્લોક" છે કાર્યની સાતત્ય બિંદુ પર .

ગાણિતિક વિશ્લેષણનો સિદ્ધાંત "ડેલ્ટા" અને "એપ્સીલોન" પડોશીઓનો ઉપયોગ કરીને એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા આપે છે, પરંતુ વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં એક અલગ વ્યાખ્યા છે, જેના પર આપણે ધ્યાન આપીશું.

પહેલા યાદ કરીએ એકતરફી મર્યાદાજે પ્રથમ પાઠમાં આપણા જીવનમાં પ્રવેશ્યા કાર્ય ગ્રાફ વિશે. રોજિંદા પરિસ્થિતિનો વિચાર કરો:

જો આપણે ધરીને બિંદુ સુધી પહોંચીએ બાકી(લાલ તીર), પછી "રમતો" ના અનુરૂપ મૂલ્યો ધરી સાથે બિંદુ સુધી જશે (ક્રિમસન એરો). ગાણિતિક રીતે, આ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને નિશ્ચિત છે ડાબી બાજુની મર્યાદા:

એન્ટ્રી પર ધ્યાન આપો (વાંચે છે કે "x ડાબી તરફ ka તરફ વલણ ધરાવે છે"). "એડિટિવ" "માઈનસ ઝીરો" પ્રતીક કરે છે , અનિવાર્યપણે આનો અર્થ એ થાય છે કે આપણે ડાબી બાજુથી નંબરની નજીક આવી રહ્યા છીએ.

તેવી જ રીતે, જો તમે બિંદુ "કા" નો સંપર્ક કરો છો અધિકાર(વાદળી તીર), પછી "રમતો" સમાન મૂલ્ય પર આવશે, પરંતુ લીલા તીર સાથે, અને જમણી બાજુની મર્યાદાનીચે પ્રમાણે ફોર્મેટ કરવામાં આવશે:

"એડિટિવ" પ્રતીક કરે છે , અને એન્ટ્રી વાંચે છે: "x જમણી તરફ ka તરફ વલણ ધરાવે છે."

જો એકતરફી મર્યાદા મર્યાદિત અને સમાન હોય(જેમ કે અમારા કિસ્સામાં): , તો આપણે કહીશું કે એક સામાન્ય મર્યાદા છે. તે સરળ છે, સામાન્ય મર્યાદા આપણી "સામાન્ય" છે કાર્યની મર્યાદા, મર્યાદિત સંખ્યાની બરાબર.

નોંધ કરો કે જો ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું નથી (ગ્રાફ શાખા પર કાળા બિંદુને બહાર કાઢો), તો ઉપરની ગણતરીઓ માન્ય રહેશે. પહેલેથી જ ઘણી વખત નોંધ્યું છે, ખાસ કરીને લેખમાં અનંત કાર્યો પર, અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ છે કે "x" અનંત નજીકબિંદુ સુધી પહોંચે છે, જ્યારે વાંધો નથી, શું ફંક્શન પોતે આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે કે નહીં. એક સારું ઉદાહરણ આગલા ફકરામાં જોવા મળશે, જ્યારે ફંક્શનનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવશે.

વ્યાખ્યા: જો આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા તે બિંદુ પરના ફંક્શનની કિંમત જેટલી હોય તો એક બિંદુ પર ફંક્શન સતત હોય છે:

વ્યાખ્યા નીચેની શરતોમાં વિગતવાર છે:

1) કાર્ય બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત હોવું જોઈએ, એટલે કે, મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં હોવું જોઈએ.

2) કાર્યની સામાન્ય મર્યાદા હોવી આવશ્યક છે. ઉપર નોંધ્યું છે તેમ, આ એકતરફી મર્યાદાના અસ્તિત્વ અને સમાનતાને સૂચિત કરે છે: .

3) આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા આ બિંદુએ ફંક્શનની કિંમત જેટલી હોવી જોઈએ: .

જો ઉલ્લંઘન થાય છે ઓછામાં ઓછું એકત્રણ શરતોમાંથી, પછી કાર્ય બિંદુ પર સાતત્યની મિલકત ગુમાવે છે.

અંતરાલ પર કાર્યની સાતત્યચતુરાઈથી અને ખૂબ જ સરળ રીતે ઘડવામાં આવે છે: ફંક્શન અંતરાલ પર સતત હોય છે જો તે આપેલ અંતરાલના દરેક બિંદુએ સતત હોય.

ખાસ કરીને, ઘણા કાર્યો અનંત અંતરાલ પર, એટલે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર સતત હોય છે. આ એક રેખીય કાર્ય છે, બહુપદી, ઘાતાંકીય, સાઈન, કોસાઈન, વગેરે. અને સામાન્ય રીતે, કોઈપણ પ્રાથમિક કાર્યતેના પર સતત વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર, ઉદાહરણ તરીકે, લઘુગણક કાર્ય અંતરાલ પર સતત હોય છે. આશા છે કે અત્યાર સુધીમાં તમને મૂળભૂત કાર્યોના આલેખ કેવા દેખાય છે તેનો ખૂબ સારો ખ્યાલ હશે. તેમની સાતત્ય વિશે વધુ વિગતવાર માહિતી ફિચટેનહોલ્ટ્ઝ નામના દયાળુ માણસ પાસેથી મેળવી શકાય છે.

સેગમેન્ટ અને અર્ધ-અંતરો પર કાર્યની સાતત્ય સાથે, બધું પણ મુશ્કેલ નથી, પરંતુ વર્ગમાં આ વિશે વાત કરવી વધુ યોગ્ય છે. સેગમેન્ટ પર ફંક્શનના ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો શોધવા વિશે, પરંતુ હમણાં માટે ચાલો તેના વિશે ચિંતા ન કરીએ.

વિરામ બિંદુઓનું વર્ગીકરણ

કાર્યોનું રસપ્રદ જીવન તમામ પ્રકારના વિશિષ્ટ મુદ્દાઓથી સમૃદ્ધ છે, અને વિરામ બિંદુઓ તેમના જીવનચરિત્રના ફક્ત એક પૃષ્ઠ છે.

નોંધ : માત્ર કિસ્સામાં, હું પ્રાથમિક બિંદુ પર રહીશ: બ્રેકિંગ પોઇન્ટ હંમેશા છે એક બિંદુ- ત્યાં કોઈ "સળંગ કેટલાક વિરામ બિંદુઓ" નથી, એટલે કે, "વિરામ અંતરાલ" જેવી કોઈ વસ્તુ નથી.

આ બિંદુઓ, બદલામાં, બે મોટા જૂથોમાં વહેંચાયેલા છે: પ્રથમ પ્રકારના ભંગાણઅને બીજા પ્રકારના ભંગાણ. દરેક પ્રકારના ગેપની પોતાની લાક્ષણિકતાઓ છે, જેને આપણે હમણાં જોઈશું:

પ્રથમ પ્રકારનું વિરામ બિંદુ

જો કોઈ બિંદુએ સાતત્યની સ્થિતિનું ઉલ્લંઘન થાય છે અને એકતરફી મર્યાદા મર્યાદિત , પછી તેને કહેવામાં આવે છે પ્રથમ પ્રકારનો વિરામ બિંદુ.

ચાલો સૌથી આશાવાદી કેસ સાથે પ્રારંભ કરીએ. પાઠના મૂળ વિચાર મુજબ, હું સિદ્ધાંતને "સામાન્ય શબ્દોમાં" કહેવા માંગતો હતો, પરંતુ સામગ્રીની વાસ્તવિકતા દર્શાવવા માટે, મેં ચોક્કસ પાત્રો સાથેના વિકલ્પ પર સ્થાયી થયા.

તે ઉદાસી છે, શાશ્વત જ્યોતની પૃષ્ઠભૂમિ સામે નવદંપતીઓના ફોટાની જેમ, પરંતુ નીચેનો શોટ સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે. ચાલો ડ્રોઇંગમાં ફંક્શનના ગ્રાફનું નિરૂપણ કરીએ:


આ કાર્ય બિંદુ સિવાય, સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે. અને હકીકતમાં, છેદ શૂન્ય સમાન ન હોઈ શકે. જો કે, મર્યાદાના અર્થ અનુસાર, આપણે કરી શકીએ છીએ અનંત નજીકડાબી અને જમણી બાજુથી "શૂન્ય" નો સંપર્ક કરો, એટલે કે, એકતરફી મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને, દેખીતી રીતે, એકરુપ છે:
(સતતતાની શરત નંબર 2 સંતુષ્ટ છે).

પરંતુ કાર્યને બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતું નથી, તેથી, સાતત્યની શરત નંબર 1 નું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવે છે, અને કાર્ય આ બિંદુએ વિરામનો ભોગ બને છે.

આ પ્રકારનો વિરામ (હાલની સાથે સામાન્ય મર્યાદા) કહેવાય છે સમારકામ કરી શકાય તેવું અંતર. શા માટે દૂર કરી શકાય તેવું? કારણ કે કાર્ય કરી શકે છે ફરીથી વ્યાખ્યાયિત કરોબ્રેકિંગ પોઈન્ટ પર:

શું તે વિચિત્ર લાગે છે? કદાચ. પરંતુ આવા ફંક્શન નોટેશન કંઈપણ વિરોધાભાસી નથી! હવે અંતર બંધ છે અને દરેક ખુશ છે:


ચાલો ઔપચારિક તપાસ કરીએ:

2) - એક સામાન્ય મર્યાદા છે;
3)

આમ, ત્રણેય શરતો સંતુષ્ટ છે, અને કાર્ય એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા દ્વારા એક બિંદુ પર સતત છે.

જો કે, matan દ્વેષીઓ કાર્યને ખરાબ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે :


તે રસપ્રદ છે કે પ્રથમ બે સાતત્ય શરતો અહીં સંતુષ્ટ છે:
1) - કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે;
2) - એક સામાન્ય મર્યાદા છે.

પરંતુ ત્રીજી સીમા પસાર થઈ નથી: , એટલે કે, બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદા સમાન નથીઆપેલ બિંદુ પર આપેલ કાર્યનું મૂલ્ય.

આમ, એક તબક્કે ફંક્શનમાં વિરામ આવે છે.

બીજો, ઉદાસી કેસ કહેવાય છે પ્રથમ પ્રકારનું ભંગાણ જમ્પ સાથે. અને ઉદાસી એકતરફી મર્યાદાઓ દ્વારા ઉદભવે છે મર્યાદિત અને અલગ. પાઠના બીજા ચિત્રમાં એક ઉદાહરણ બતાવવામાં આવ્યું છે. આવા અંતર સામાન્ય રીતે થાય છે ભાગ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કાર્યો, જેનો લેખમાં ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે ગ્રાફ પરિવર્તન વિશે.

પીસવાઇઝ ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો અને અમે તેનું ચિત્ર પૂર્ણ કરીશું. ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો? ખૂબ જ સરળ. અડધા અંતરાલ પર આપણે પેરાબોલા (લીલો) નો ટુકડો દોરીએ છીએ, અંતરાલ પર - એક સીધી રેખા સેગમેન્ટ (લાલ) અને અડધા અંતરાલ પર - એક સીધી રેખા (વાદળી).

તદુપરાંત, અસમાનતાને લીધે, મૂલ્ય ચતુર્ભુજ કાર્ય (લીલા બિંદુ) માટે નક્કી કરવામાં આવે છે, અને અસમાનતાને કારણે, મૂલ્ય રેખીય કાર્ય (વાદળી બિંદુ) માટે નક્કી કરવામાં આવે છે:

સૌથી મુશ્કેલ કિસ્સામાં, તમારે ગ્રાફના દરેક ભાગના પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ બાંધકામનો આશરો લેવો જોઈએ (પ્રથમ જુઓ કાર્યોના ગ્રાફ વિશે પાઠ).

હવે આપણે ફક્ત મુદ્દામાં જ રસ લઈશું. ચાલો તેને સાતત્ય માટે તપાસીએ:

2) ચાલો એકતરફી મર્યાદાની ગણતરી કરીએ.

ડાબી બાજુએ આપણી પાસે લાલ લાઇન સેગમેન્ટ છે, તેથી ડાબી બાજુની મર્યાદા છે:

જમણી બાજુએ વાદળી સીધી રેખા છે, અને જમણી બાજુની મર્યાદા:

પરિણામે, અમને પ્રાપ્ત થયું મર્યાદિત સંખ્યાઓ, અને તેઓ સમાન નથી. એકતરફી મર્યાદા થી મર્યાદિત અને અલગ: , પછી આપણું કાર્ય સહન કરે છે કૂદકા સાથે પ્રથમ પ્રકારની અવ્યવસ્થા.

તે તાર્કિક છે કે ગેપને દૂર કરી શકાતો નથી - કાર્યને ખરેખર વધુ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતું નથી અને "એકસાથે ગુંદર" કરી શકાતું નથી, જેમ કે અગાઉના ઉદાહરણમાં.

બીજા પ્રકારના ડિસકોન્ટિન્યુટી પોઈન્ટ

સામાન્ય રીતે, ભંગાણના અન્ય તમામ કેસોને આ કેટેગરીમાં ચતુરાઈપૂર્વક વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. હું દરેક વસ્તુની સૂચિ બનાવીશ નહીં, કારણ કે વ્યવહારમાં, 99% સમસ્યાઓમાં તમે સામનો કરશો અનંત અંતર- જ્યારે ડાબા હાથે અથવા જમણા હાથે, અને વધુ વખત, બંને મર્યાદા અનંત છે.

અને, અલબત્ત, સૌથી વધુ સ્પષ્ટ ચિત્ર બિંદુ શૂન્ય પરનું હાઇપરબોલા છે. અહીં બંને એકતરફી મર્યાદા અનંત છે: , તેથી, કાર્ય બિંદુ પર બીજા પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે.

હું મારા લેખોને શક્ય તેટલી વૈવિધ્યસભર સામગ્રી સાથે ભરવાનો પ્રયાસ કરું છું, તેથી ચાલો આપણે એવા ફંક્શનના ગ્રાફ પર નજર કરીએ જે હજી સુધી આવી નથી:

પ્રમાણભૂત યોજના અનુસાર:

1) કાર્ય આ બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત નથી કારણ કે છેદ શૂન્ય પર જાય છે.

અલબત્ત, અમે તરત જ નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે કાર્ય બિંદુ પર એક અવ્યવસ્થિતતાનો ભોગ બને છે, પરંતુ વિરામની પ્રકૃતિનું વર્ગીકરણ કરવું સારું રહેશે, જે ઘણી વખત સ્થિતિ દ્વારા જરૂરી છે. આ કરવા માટે:

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે રેકોર્ડિંગ દ્વારા અમારો અર્થ છે અનંત નકારાત્મક સંખ્યા, અને પ્રવેશ હેઠળ - અનંત હકારાત્મક સંખ્યા.

એકતરફી મર્યાદા અનંત છે, જેનો અર્થ છે કે કાર્ય બિંદુ પર 2જી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે. y-અક્ષ છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટગ્રાફ માટે.

બંને એકતરફી મર્યાદાઓનું અસ્તિત્વ હોવું અસામાન્ય નથી, પરંતુ તેમાંથી માત્ર એક જ અનંત છે, ઉદાહરણ તરીકે:

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ છે.

અમે સાતત્ય માટેના મુદ્દાની તપાસ કરીએ છીએ:

1) કાર્ય આ બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત થયેલ નથી.

2) ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

અમે વ્યાખ્યાનના છેલ્લા બે ઉદાહરણોમાં આવી એકતરફી મર્યાદાની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ વિશે વાત કરીશું, જો કે ઘણા વાચકોએ પહેલેથી જ બધું જોયું છે અને અનુમાન લગાવ્યું છે.

ડાબા હાથની મર્યાદા મર્યાદિત છે અને શૂન્યની બરાબર છે (આપણે “પોઈન્ટ પર જ જતા નથી”), પરંતુ જમણી બાજુની મર્યાદા અનંત છે અને આલેખની નારંગી શાખા તેની નજીક આવે છે. વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ, સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કાળા ડોટેડ રેખા).

તેથી કાર્ય પીડાય છે બીજા પ્રકારની અવ્યવસ્થાબિંદુ પર

1લી પ્રકારની વિરામ માટે, કાર્યને વિરામ બિંદુ પર જ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, piecewise કાર્ય માટે કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર કાળા બોલ્ડ ડોટ મૂકવા માટે નિઃસંકોચ. જમણી બાજુએ હાઇપરબોલાની શાખા છે, અને જમણી બાજુની મર્યાદા અનંત છે. મને લાગે છે કે લગભગ દરેકને આ ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તેનો ખ્યાલ છે.

દરેક જણ જેની રાહ જોઈ રહ્યા હતા:

સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કેવી રીતે કરવી?

એક બિંદુ પર સાતત્ય માટે કાર્યનો અભ્યાસ પહેલેથી જ સ્થાપિત નિયમિત યોજના અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાં સાતત્યની ત્રણ શરતો તપાસવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 1

અન્વેષણ કાર્ય

ઉકેલ:

1) કાર્યક્ષેત્રમાં એકમાત્ર બિંદુ એ છે જ્યાં કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી.

2) ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને સમાન છે.

આમ, બિંદુ પર કાર્ય દૂર કરી શકાય તેવી વિરામનો ભોગ બને છે.

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે?

હું સરળ બનાવવા માંગુ છું , અને એવું લાગે છે કે એક સામાન્ય પેરાબોલા પ્રાપ્ત થાય છે. પરંતુમૂળ કાર્ય બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત નથી, તેથી નીચેની કલમ જરૂરી છે:

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

જવાબ આપો: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત રહે છે તે બિંદુ સિવાય કે જ્યાં તે દૂર કરી શકાય તેવી વિરામનો ભોગ બને છે.

કાર્યને વધુ સારી રીતે અથવા એટલી સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, પરંતુ સ્થિતિ અનુસાર આ જરૂરી નથી.

તમે કહો છો કે આ એક દૂરનું ઉદાહરણ છે? બિલકુલ નહિ. વ્યવહારમાં આવું ડઝનેક વખત બન્યું છે. સાઇટના લગભગ તમામ કાર્યો વાસ્તવિક સ્વતંત્ર કાર્ય અને પરીક્ષણોમાંથી આવે છે.

ચાલો અમારા મનપસંદ મોડ્યુલોથી છૂટકારો મેળવીએ:

ઉદાહરણ 2

અન્વેષણ કાર્ય સાતત્ય માટે. જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો ફંક્શન ડિસઓન્ટિન્યુટીઝની પ્રકૃતિ નક્કી કરો. ડ્રોઇંગ ચલાવો.

ઉકેલ: કેટલાક કારણોસર, વિદ્યાર્થીઓ ડરતા હોય છે અને મોડ્યુલ સાથેના કાર્યોને પસંદ કરતા નથી, જો કે તેમાં કંઈ જટિલ નથી. અમે પાઠમાં આવી વસ્તુઓ પર થોડો સ્પર્શ કર્યો છે. આલેખનું ભૌમિતિક પરિવર્તન. મોડ્યુલ બિન-નકારાત્મક હોવાથી, તે નીચે પ્રમાણે વિસ્તૃત થયેલ છે: , જ્યાં "આલ્ફા" અમુક અભિવ્યક્તિ છે. આ કિસ્સામાં, અને અમારું કાર્ય ભાગરૂપે લખવું જોઈએ:

પરંતુ બંને ટુકડાઓના અપૂર્ણાંકો દ્વારા ઘટાડવું આવશ્યક છે. ઘટાડો, અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, પરિણામો વિના થશે નહીં. મૂળ કાર્ય બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત નથી કારણ કે છેદ શૂન્ય પર જાય છે. તેથી, સિસ્ટમે વધુમાં શરતનો ઉલ્લેખ કરવો જોઈએ અને પ્રથમ અસમાનતાને કડક બનાવવી જોઈએ:

હવે એક ખૂબ જ ઉપયોગી નિર્ણય તકનીક વિશે: ડ્રાફ્ટ પર કાર્યને અંતિમ સ્વરૂપ આપતા પહેલા, ચિત્ર બનાવવાનું ફાયદાકારક છે (પછી ભલે તે શરતો દ્વારા જરૂરી હોય કે નહીં). આનાથી, પ્રથમ, સાતત્યના બિંદુઓ અને વિરામના બિંદુઓ તરત જ જોવામાં મદદ મળશે, અને, બીજું, તે એકતરફી મર્યાદા શોધતી વખતે તમને ભૂલોથી 100% સુરક્ષિત કરશે.

ચાલો ડ્રોઈંગ કરીએ. અમારી ગણતરીઓ અનુસાર, બિંદુની ડાબી બાજુએ પેરાબોલા (વાદળી રંગ) નો ટુકડો દોરવો જરૂરી છે, અને જમણી તરફ - પેરાબોલાનો ટુકડો (લાલ રંગ), જ્યારે કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી. પોતે નિર્દેશ કરો:

જો શંકા હોય તો, થોડા x મૂલ્યો લો અને તેમને ફંક્શનમાં પ્લગ કરો (યાદ રાખીને કે મોડ્યુલ સંભવિત માઈનસ ચિહ્નનો નાશ કરે છે) અને ગ્રાફ તપાસો.

ચાલો વિશ્લેષણાત્મક રીતે સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરીએ:

1) કાર્ય બિંદુ પર નિર્ધારિત નથી, તેથી આપણે તરત જ કહી શકીએ કે તે તેના પર સતત નથી.

2) ચાલો વિરામની પ્રકૃતિ સ્થાપિત કરીએ, આ કરવા માટે, અમે એકતરફી મર્યાદાની ગણતરી કરીએ છીએ:

એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને ભિન્ન છે, જેનો અર્થ એ થાય છે કે બિંદુ પર કૂદકા સાથે ફંક્શન 1લી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે. ફરીથી નોંધ કરો કે જ્યારે મર્યાદાઓ શોધી રહ્યા હોય, ત્યારે વિરામ બિંદુ પરનું કાર્ય વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે કે નહીં તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.

હવે જે બાકી છે તે ડ્રાફ્ટમાંથી ડ્રોઇંગને સ્થાનાંતરિત કરવાનું છે (તે સંશોધનની મદદથી બનાવવામાં આવ્યું હતું ;-)) અને કાર્ય પૂર્ણ કરો:

જવાબ આપો: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત રહે છે તે બિંદુ સિવાય કે જ્યાં તે કૂદકા સાથે પ્રથમ પ્રકારની વિરામનો ભોગ બને છે.

કેટલીકવાર તેમને અસંતુલિત કૂદકાના વધારાના સંકેતની જરૂર હોય છે. તે સરળ રીતે ગણવામાં આવે છે - જમણી મર્યાદામાંથી તમારે ડાબી મર્યાદાને બાદ કરવાની જરૂર છે: , એટલે કે, વિરામ બિંદુ પર અમારું કાર્ય 2 એકમ નીચે ગયું (જેમ કે માઈનસ ચિહ્ન અમને કહે છે).

ઉદાહરણ 3

અન્વેષણ કાર્ય સાતત્ય માટે. જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો ફંક્શન ડિસઓન્ટિન્યુટીઝની પ્રકૃતિ નક્કી કરો. એક ચિત્ર બનાવો.

આ તમારા માટે જાતે ઉકેલવા માટેનું ઉદાહરણ છે, પાઠના અંતે એક નમૂનાનો ઉકેલ.

ચાલો કાર્યના સૌથી લોકપ્રિય અને વ્યાપક સંસ્કરણ પર આગળ વધીએ, જ્યારે કાર્યમાં ત્રણ ભાગો હોય છે:

ઉદાહરણ 4

સાતત્ય માટે ફંક્શનની તપાસ કરો અને ફંક્શનનો આલેખ બનાવો .

ઉકેલ: તે સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શનના ત્રણેય ભાગો અનુરૂપ અંતરાલો પર સતત છે, તેથી તે ટુકડાઓ વચ્ચે "જંકશન" ના ફક્ત બે બિંદુઓને તપાસવાનું બાકી છે. પ્રથમ, ચાલો એક ડ્રાફ્ટ ડ્રોઇંગ બનાવીએ; મેં લેખના પહેલા ભાગમાં પૂરતી વિગતમાં બાંધકામ તકનીક પર ટિપ્પણી કરી. એકમાત્ર વસ્તુ એ છે કે આપણે કાળજીપૂર્વક અમારા એકવચન બિંદુઓને અનુસરવાની જરૂર છે: અસમાનતાને લીધે, મૂલ્ય સીધી રેખા (લીલા બિંદુ) નું છે, અને અસમાનતાને કારણે, મૂલ્ય પેરાબોલા (લાલ બિંદુ) નું છે:


સારું, સૈદ્ધાંતિક રીતે, બધું સ્પષ્ટ છે =) જે બાકી છે તે નિર્ણયને ઔપચારિક બનાવવાનું છે. બે "સંયુક્ત" બિંદુઓમાંથી પ્રત્યેક માટે, અમે પ્રમાણભૂત રીતે 3 સાતત્ય શરતો તપાસીએ છીએ:

હું)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1)

એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને ભિન્ન છે, જેનો અર્થ એ થાય છે કે બિંદુ પર કૂદકા સાથે ફંક્શન 1લી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે.

ચાલો જમણી અને ડાબી મર્યાદા વચ્ચેના તફાવત તરીકે અસંતુલિત કૂદકાની ગણતરી કરીએ:
, એટલે કે, ગ્રાફ એક એકમ ઉપર ધક્કો માર્યો.

II)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1) - કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

2) એકતરફી મર્યાદા શોધો:

– એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે એક સામાન્ય મર્યાદા છે.

3) - એક બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા આપેલ બિંદુ પર આ ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે.

અંતિમ તબક્કે, અમે ડ્રોઇંગને અંતિમ સંસ્કરણમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, ત્યારબાદ અમે અંતિમ તાર મૂકીએ છીએ:

જવાબ આપો: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત રહે છે, તે બિંદુ સિવાય કે જ્યાં તે કૂદકા સાથે પ્રથમ પ્રકારની વિરામનો ભોગ બને છે.

ઉદાહરણ 5

સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો .

આ સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેનું ઉદાહરણ છે, ટૂંકા ઉકેલ અને પાઠના અંતે સમસ્યાનો અંદાજિત નમૂનો.

તમે એવી છાપ મેળવી શકો છો કે એક તબક્કે કાર્ય સતત હોવું જોઈએ, અને બીજા સમયે વિરામ હોવો જોઈએ. વ્યવહારમાં, આ હંમેશા કેસ નથી. બાકીના ઉદાહરણોની અવગણના ન કરવાનો પ્રયાસ કરો - ત્યાં ઘણી રસપ્રદ અને મહત્વપૂર્ણ સુવિધાઓ હશે:

ઉદાહરણ 6

એક ફંકશન આપ્યું . પોઈન્ટ પર સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો. એક ગ્રાફ બનાવો.

ઉકેલ: અને ફરીથી તરત જ ડ્રાફ્ટ પર ડ્રોઇંગ ચલાવો:

આ આલેખની ખાસિયત એ છે કે પીસવાઈઝ ફંક્શન એબ્સીસા અક્ષના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં આ વિસ્તાર લીલા રંગમાં દોરવામાં આવ્યો છે, પરંતુ નોટબુકમાં તે સામાન્ય રીતે સરળ પેન્સિલ વડે બોલ્ડમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવે છે. અને, અલબત્ત, અમારા રેમ્સ વિશે ભૂલશો નહીં: મૂલ્ય સ્પર્શક શાખા (લાલ બિંદુ) નું છે, અને મૂલ્ય સીધી રેખા સાથે સંબંધિત છે.

ડ્રોઇંગમાંથી બધું સ્પષ્ટ છે - ફંક્શન આખી નંબર લાઇન સાથે સતત છે, જે બાકી છે તે ઉકેલને ઔપચારિક બનાવવાનું છે, જે 3-4 સમાન ઉદાહરણો પછી શાબ્દિક રીતે સંપૂર્ણ ઓટોમેશનમાં લાવવામાં આવે છે:

હું)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1) - કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

2) ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય મર્યાદા છે.

માત્ર કિસ્સામાં, ચાલો હું તમને એક તુચ્છ હકીકતની યાદ અપાવી દઉં: અચળની મર્યાદા સતત સમાન હોય છે. આ કિસ્સામાં, શૂન્યની મર્યાદા શૂન્યની બરાબર છે (ડાબા હાથની મર્યાદા).

3) - એક બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા આપેલ બિંદુ પર આ ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે.

આમ, એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા દ્વારા એક બિંદુ પર કાર્ય સતત છે.

II)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1) - કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

2) એકતરફી મર્યાદા શોધો:

અને અહીં - એકની મર્યાદા એકમ જેટલી જ છે.

- એક સામાન્ય મર્યાદા છે.

3) - એક બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા આપેલ બિંદુ પર આ ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે.

આમ, એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા દ્વારા એક બિંદુ પર કાર્ય સતત છે.

હંમેશની જેમ, સંશોધન પછી અમે અમારા ડ્રોઇંગને અંતિમ સંસ્કરણમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ.

જવાબ આપો: કાર્ય બિંદુઓ પર સતત છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે શરતમાં અમને સાતત્ય માટે સમગ્ર કાર્યનો અભ્યાસ કરવા વિશે કંઈપણ પૂછવામાં આવ્યું ન હતું, અને તે ઘડવાનું સારું ગાણિતિક સ્વરૂપ માનવામાં આવે છે. ચોક્કસ અને સ્પષ્ટપૂછાયેલા પ્રશ્નનો જવાબ. માર્ગ દ્વારા, જો પરિસ્થિતિઓમાં તમારે ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર નથી, તો તમને તે ન બનાવવાનો સંપૂર્ણ અધિકાર છે (જોકે પછીથી શિક્ષક તમને આ કરવા દબાણ કરી શકે છે).

તેને જાતે હલ કરવા માટે એક નાનું ગાણિતિક "જીભ ટ્વિસ્ટર":

ઉદાહરણ 7

એક ફંકશન આપ્યું . પોઈન્ટ પર સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો. બ્રેકપોઈન્ટનું વર્ગીકરણ કરો, જો કોઈ હોય તો. ડ્રોઇંગ ચલાવો.

બધા "શબ્દો" ને યોગ્ય રીતે "ઉચ્ચારણ" કરવાનો પ્રયાસ કરો =) અને ગ્રાફને વધુ ચોક્કસ, ચોકસાઈથી દોરો, તે દરેક જગ્યાએ અનાવશ્યક રહેશે નહીં;-)

જેમ તમને યાદ છે, મેં તરત જ ડ્રાફ્ટ તરીકે ડ્રોઇંગ પૂર્ણ કરવાની ભલામણ કરી હતી, પરંતુ સમયાંતરે તમે એવા ઉદાહરણો જુઓ છો જ્યાં તમે તરત જ આકૃતિ કેવો દેખાય છે તે સમજી શકતા નથી. તેથી, સંખ્યાબંધ કેસોમાં, પ્રથમ એકતરફી મર્યાદા શોધવાનું ફાયદાકારક છે અને તે પછી જ, અભ્યાસના આધારે, શાખાઓનું નિરૂપણ કરવું. અંતિમ બે ઉદાહરણોમાં આપણે કેટલીક એકતરફી મર્યાદાની ગણતરી કરવાની તકનીક પણ શીખીશું:

ઉદાહરણ 8

સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો અને તેનો યોજનાકીય ગ્રાફ બનાવો.

ઉકેલ: ખરાબ બિંદુઓ સ્પષ્ટ છે: (ઘાતના છેદને શૂન્ય સુધી ઘટાડે છે) અને (સંપૂર્ણ અપૂર્ણાંકના છેદને શૂન્ય સુધી ઘટાડે છે). આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે સ્પષ્ટ નથી, જેનો અર્થ છે કે પહેલા કેટલાક સંશોધન કરવું વધુ સારું છે.

વ્યાખ્યા 4. ફંક્શનને સેગમેન્ટ પર સતત કહેવામાં આવે છે જો તે આ સેગમેન્ટના દરેક બિંદુ પર સતત હોય (બિંદુ a પર તે જમણી બાજુએ સતત હોય છે, એટલે કે, અને બિંદુ b પર તે ડાબી બાજુએ સતત હોય છે, એટલે કે).

તમામ મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો તેમની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સતત છે.

અંતરાલ પર સતત કાર્યોના ગુણધર્મો:

• 1) જો કોઈ ફંક્શન એક અંતરાલ પર સતત હોય, તો તે આ અંતરાલ પર બંધાયેલું છે (વેઅરસ્ટ્રાસનું પ્રથમ પ્રમેય).
• 2) જો કોઈ ફંક્શન સેગમેન્ટ પર સતત હોય, તો આ સેગમેન્ટ પર તે તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય અને મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે (વેઅરસ્ટ્રાસનું બીજું પ્રમેય) (ફિગ. 2 જુઓ).
• 3) જો કોઈ ફંક્શન સેગમેન્ટ પર સતત રહે છે અને તેના છેડે વિવિધ ચિહ્નોના મૂલ્યો લે છે, તો સેગમેન્ટની અંદર ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ હોય છે જે (બોલઝાનો-કોચી પ્રમેય).

કાર્ય વિરામ બિંદુઓ અને તેમનું વર્ગીકરણ

કાર્ય સાતત્ય બિંદુ સેગમેન્ટ

જે બિંદુઓ પર સાતત્યની સ્થિતિ સંતુષ્ટ નથી તે આ કાર્યના વિરામ બિંદુઓ કહેવાય છે. જો ફંક્શનનો અસંતુલન બિંદુ છે, તો વ્યાખ્યાઓ 1, 2 માં ઉલ્લેખિત કાર્યની સાતત્ય માટેની ત્રણ શરતોમાંથી ઓછામાં ઓછી એક સંતુષ્ટ નથી, એટલે કે:

1) કાર્ય બિંદુના પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, પરંતુ બિંદુ પર જ વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી ઉદાહરણ તરીકે ગણવામાં આવેલ કાર્ય 2 a) એક બિંદુ પર વિરામ ધરાવે છે, કારણ કે તે આ બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત નથી.

2) કાર્ય એક બિંદુ અને તેની આસપાસના પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, ત્યાં એકતરફી મર્યાદાઓ છે અને, પરંતુ તે એકબીજા સાથે સમાન નથી: . ઉદાહરણ તરીકે, ઉદાહરણ 2 b) માંથી કાર્ય એક બિંદુ અને તેની નજીકમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, પરંતુ, ત્યારથી a.

3) ફંક્શનને બિંદુ અને તેની આસપાસના વિસ્તારમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, ત્યાં એકતરફી મર્યાદાઓ છે અને તે એકબીજાની સમાન છે, પરંતુ બિંદુ પરના કાર્યના મૂલ્યની સમાન નથી: . ઉદાહરણ તરીકે, એક કાર્ય. અહીં વિરામ બિંદુ છે: આ બિંદુએ કાર્ય વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, ત્યાં એકતરફી મર્યાદાઓ છે અને, એકબીજાની સમાન છે, પરંતુ, એટલે કે .

ફંક્શન બ્રેક પોઈન્ટ નીચે પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 5. જો આ બિંદુએ મર્યાદિત મર્યાદાઓ હોય અને, પરંતુ તે એકબીજાની સમાન ન હોય તો બિંદુને પ્રથમ પ્રકારનાં કાર્યનો વિરામ બિંદુ કહેવામાં આવે છે: જથ્થાને બિંદુ પર કાર્યનો જમ્પ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 6. બિંદુને ફંક્શનના દૂર કરી શકાય તેવા વિરામનો બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો આ બિંદુએ ત્યાં મર્યાદિત મર્યાદા હોય અને, તેઓ એકબીજાની સમાન હોય: , પરંતુ કાર્ય પોતે બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત નથી, અથવા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, પરંતુ.

વ્યાખ્યા 7. જો આ બિંદુએ ઓછામાં ઓછી એક એકતરફી મર્યાદા (અથવા) અસ્તિત્વમાં ન હોય અથવા અનંતની સમાન હોય તો બિંદુને બીજા પ્રકારનાં કાર્યનો વિરામ બિંદુ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3. નીચેના ફંક્શન્સના બ્રેકપોઇન્ટ્સ શોધો અને તેમનો પ્રકાર નક્કી કરો: a) b)

ઉકેલ. a) કાર્ય વ્યાખ્યાયિત અને અંતરાલો પર સતત છે, અને, કારણ કે આ દરેક અંતરાલો પર તે સતત પ્રાથમિક કાર્યો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પરિણામે, આપેલ ફંક્શનના બ્રેક પોઈન્ટ માત્ર તે બિંદુઓ હોઈ શકે છે કે જેના પર ફંક્શન તેના વિશ્લેષણાત્મક કાર્યને બદલે છે, એટલે કે. પોઈન્ટ અને ચાલો બિંદુ પર કાર્યની એકતરફી મર્યાદા શોધીએ:

એકતરફી મર્યાદાઓ અસ્તિત્વમાં હોવાથી અને મર્યાદિત છે, પરંતુ એકબીજાની સમાન નથી, બિંદુ એ પ્રથમ પ્રકારનું વિરામ બિંદુ છે. કાર્ય જમ્પ:

બિંદુ માટે આપણે શોધીએ છીએ.