હર્વિટ્ઝ માપદંડ ક્યાં લાગુ કરવામાં આવે છે? મિનિમેક્સ સોલ્યુશન

સિસ્ટમ સ્થિર થવા માટે, હર્વિટ્ઝ નિર્ધારકના તમામ સગીરો હકારાત્મક હોવા જરૂરી અને પૂરતું છે. લાક્ષણિક સમીકરણના ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને, હર્વિટ્ઝ નિર્ણાયકનું સંકલન કરવામાં આવે છે.

આ કરવા માટે, વિભાજકના મુખ્ય કર્ણની સાથે, લાક્ષણિક સમીકરણના તમામ ગુણાંક લખવામાં આવે છે, બીજાથી શરૂ કરીને (એટલે ​​​​કે 1, a 2, a 3, ..., a n), પછી વધતા ગુણાંકો અનુક્રમણિકા ઉપરની તરફ અને નીચે તરફ લખવામાં આવે છે - ઘટતા સૂચકાંક સાથે.

ઉદાહરણ તરીકે, મુખ્ય કર્ણમાં ત્રીજા ગુણાંક માટે, a 3, a 4, a 5 ઉપરની તરફ લખવામાં આવે છે (ઇન્ડેક્સ વધે છે), અને a 2, a 1, અને 0 નીચેની તરફ લખવામાં આવે છે. બાકીની બાકીની જગ્યાઓ શૂન્યથી ભરેલી છે.

ડી
હર્વિટ્ઝ નિર્ણાયકની સાચી ભરણ તપાસવા માટે, તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે કે પંક્તિઓ સાથે એકાંતરે વિષમ અને સમાન સૂચકાંકો સાથેના ગુણાંક. તેથી પ્રથમ લીટી વિષમ છે a 1 a 3 a 5 a 7 ..., બીજી લીટી એ 0 a 2 a 4 a 6 વગેરે છે.

ચાલો 6ઠ્ઠી ઓર્ડર સિસ્ટમ માટે હર્વિટ્ઝ નિર્ણાયકમાં સગીરોની ગણતરી બતાવીએ.

છેલ્લા નિર્ણાયકની સામાન્ય રીતે ગણતરી થતી નથી. આ કિસ્સામાં
. જો પ્રથમ જરૂરી સ્થિરતાની સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે (બધા a>0), તો ક્યારે >0હંમેશા હકારાત્મક.

પાંચમા ક્રમની સિસ્ટમની સ્થિરતા નક્કી કરવા માટે તે જરૂરી છે. પછી 6 =0 >0 અસમાનતાઓ સ્વરૂપ લે છે:

જો ચોથા-ક્રમની સિસ્ટમની સ્થિરતા નક્કી કરવી જરૂરી છે, તો પછી

અસમાનતાઓ સ્વરૂપ લે છે:

તૃતીય-ક્રમ સિસ્ટમની સ્થિરતા માટે, તે પૂરતું છે

.

સાતમા ક્રમની સિસ્ટમો માટે, હુર્વિટ્ઝ સ્થિરતાનું નિર્ધારણ સામાન્ય રીતે ગણતરીના બોજારૂપ સ્વભાવને કારણે થતું નથી.

ઉદાહરણ 1. નીચેના લાક્ષણિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને Hurwitz માપદંડ અનુસાર ACS ની સ્થિરતા નક્કી કરો:

ઉકેલ. 1. લાક્ષણિક સમીકરણના તમામ ગુણાંક હકારાત્મક છે. આનો અર્થ એ છે કે જરૂરી સ્થિરતાની સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે.

2. હર્વિટ્ઝ નિર્ધારક સંકલિત છે

અસમાનતાઓ અનુસાર સગીરોના મૂલ્યો નક્કી કરો:

જવાબ આપો. હર્વિટ્ઝ નિર્ધારકના તમામ સગીર સકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળનો વાસ્તવિક ભાગ નકારાત્મક છે અને, લ્યાપુનોવના પ્રમેય મુજબ, ACS સ્થિર છે.

રૂથ સ્થિરતા માપદંડ

સિસ્ટમો સ્થિર હોય તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે રૂથ કોષ્ટકની પ્રથમ કૉલમમાં તમામ ગુણાંક હકારાત્મક હોય.

રૂથ ટેબલ નિયમો અનુસાર સંકલિત કરવામાં આવે છે:

a) રૂથ કોષ્ટકની પ્રથમ લાઇનમાં, ગુણાંક a 0, a 2, અને 4 તે મુજબ લખાયેલ છે;

b) રાઉથ કોષ્ટકની બીજી લાઇનમાં, ગુણાંક a 1, a 3, અને 5 તે મુજબ લખાયેલ છે;

c) રૂથ કોષ્ટકની ત્રીજી પંક્તિના ગુણાંકની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

d) રૂથ કોષ્ટકની ચોથી પંક્તિના ગુણાંક સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

e) રૂથ કોષ્ટકની nમી પંક્તિના ગુણાંકની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

જ્યાં હું કૉલમ નંબર છે; j - લાઇન નંબર.

ઉદાહરણ 2. ઉદાહરણ 1 ના લાક્ષણિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને રૂથ માપદંડ અનુસાર ACS ની સ્થિરતા નક્કી કરો.

ઉકેલ. 1. રૂથ ટેબલની ત્રીજી પંક્તિની ગણતરી કરો:

2. ચોથી લાઇન વ્યાખ્યાયિત કરો:

3. પાંચમી લાઇનની ગણતરી કરો:

4. છઠ્ઠી લીટી વ્યાખ્યાયિત કરો:

ગણતરીના પરિણામોના આધારે, રૂથ ટેબલ કમ્પાઈલ કરવામાં આવે છે.

કોષ્ટક 1

રૂથ ટેબલ

હર્વિટ્ઝ પસંદગી સિદ્ધાંત સિદ્ધાંતના ભારિત મૂલ્યોના ઉપયોગ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે ખાતરીપૂર્વકનું પરિણામ(નિરાશાવાદ) અને સિદ્ધાંત આશાવાદ. અહીં, દરેક વ્યૂહરચના તેના વ્યૂહરચના મહત્વ ગુણાંક α,β = દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. હર્વિટ્ઝ સિદ્ધાંતનું વર્ણન કરતી પસંદગી કાર્યને આ રીતે લખી શકાય છે:

u (y*)= α u 1 (y)+(1-α) u 2 (y),

જ્યાં u 1 (y) એ બાંયધરીકૃત પરિણામના સિદ્ધાંતને દર્શાવતી પસંદગીની વ્યૂહરચના છે;

u 2 (y) એ આશાવાદના સિદ્ધાંતને દર્શાવતી પસંદગીની વ્યૂહરચના છે.

તે ધ્યાનમાં લેતા

u 1 (y) = મહત્તમ મિનિટ U i j

u 2 (y) = મહત્તમ મહત્તમ U i j

અમે ફોર્મમાં હર્વિટ્ઝ સિદ્ધાંત માટે સામાન્ય અભિવ્યક્તિનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકીએ છીએ

u (y*)= α મહત્તમ મિનિટ U i j + (1-α) · મહત્તમ મહત્તમ U i j (3)

u (y*)= મહત્તમ [α min U i j + (1-α)· મહત્તમ U i j ]. (4)

તેથી, સૌથી વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ વ્યૂહરચના Y* છે, જેના માટે શરત (4) સંતુષ્ટ છે. વધુમાં, વેઇટીંગ ગુણાંક α ના મૂલ્યના આધારે, તમે તેને 0≤ α ≤ 1 ની શ્રેણીમાં બદલતી વખતે વિવિધ પસંદગીની વ્યૂહરચના મેળવી શકો છો:

જો α = 1, તો આપણને સિદ્ધાંત મળે છે ખાતરીપૂર્વકનું પરિણામ;

જો α = 0, તો આપણે સિદ્ધાંત મેળવીએ છીએ આશાવાદ.

ચાલો આ તકનીકનો ઉપયોગ કરીને મૂળ સમસ્યા (કોષ્ટક 9) હલ કરીએ.

હર્વિટ્ઝ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું નિરાકરણ.

અમે ગુણાંક  સેટ કરીએ છીએ, જે મેક્સિમિન અથવા આશાવાદના સિદ્ધાંત અને      તરફના અભિગમને દર્શાવે છે.

ચાલો  = 0.6.

અમે સૂત્ર Y *  max i ( min U ij + (1 - ) max j U ij) નો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને બે તબક્કામાં હલ કરીએ છીએ:

2.1. દરેક વિકલ્પ માટે, અમે *min j U ij +(1-)* max j U ij શોધીએ છીએ, જેના માટે અમે અગાઉના કાર્યો માટે પહેલેથી જ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (મૂલ્યો Min U ij , મહત્તમ U ij માં કોષ્ટક 10). આ મૂલ્યોની ગણતરી નીચે પ્રમાણે રચાય છે.

Hurwitz પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પસંદગી માટેનો પ્રારંભિક ડેટા નીચેની વ્યૂહરચનાઓમાંથી મેળવેલ ડેટા હશે:

આશાવાદ વ્યૂહરચના માટે:

હર્વિટ્ઝ સિદ્ધાંત કોષ્ટક 10

પસંદ કરે છે હર્વિટ્ઝ અનુસાર

વેઇટીંગ ગુણાંકને અનુરૂપ પ્રથમ વ્યૂહરચનાનાં મહત્વની ડિગ્રી દર્શાવવા દો અને તેનું મૂલ્ય  = 0.6 લો. પછી અમે પ્રથમ તબક્કા માટે વિચાર

અમને મળેલી સિસ્ટમમાં અનુરૂપ મૂલ્યોને બદલીને:

ચાલો તેમને કોષ્ટક 10 માં "હર્વિટ્ઝ અનુસાર પસંદગીઓનું મૂલ્ય" કૉલમમાં બદલીએ.

2.2. બીજા તબક્કે, અમે નિયમ અનુસાર પસંદગી કરીએ છીએ:

શ્રેષ્ઠ વિકલ્પ (સંયુક્ત હુરવિટ્ઝ સિદ્ધાંત મુજબ) Y 3 હશે, જેનાં ઉપયોગિતા કાર્યનું મૂલ્ય 4.2 છે.

હુર્વિટ્ઝ અનુસાર પસંદગીના સ્તર પર ગુણાંક  ના પ્રભાવનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, અમે વિવિધ ગુણાંક (કોષ્ટક 11) માટેના મૂલ્યોનું વિશ્લેષણ કરીશું.

વેઇટીંગ ગુણાંકના સંભવિત મૂલ્યો a

આ મૂલ્યોના આધારે, અમે કહી શકીએ કે  ના તમામ મૂલ્યો માટે સામાન્ય પસંદગીનો નિયમ  = 0.1 સાથે મેટ્રિક હશે, જ્યારે અસરકારક વિકલ્પ વિકલ્પ 1 (Y1) પસંદગી કાર્ય = 7.3 સાથે છે. સંકલિત સિસ્ટમમાં આ સમસ્યાનું નિરાકરણએક્સેલ

કોષ્ટક 12 અને કોષ્ટક 13 માં આપેલા અલ્ગોરિધમ અને સૂત્રો અનુસાર કોષ્ટક 10-11 માં આપેલા સૂચકાંકોની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયાનો સમાવેશ થાય છે. આ કોષ્ટકોનું સ્ક્રીન સ્વરૂપ આકૃતિ 10, 11 માં બતાવવામાં આવ્યું છે.

હર્વિટ્ઝ સિદ્ધાંત અનુસાર સૂચકોની ગણતરી કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ, સ્ક્રીન સ્વરૂપના સ્વરૂપમાં, ફિગ. 12 માં બતાવવામાં આવ્યું છે.

ફિગ. 10. હર્વિટ્ઝ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું નિરાકરણ

ફિગ. 11.

ગુણાંકના વિવિધ મૂલ્યો માટે શ્રેષ્ઠ ઉકેલનું વિશ્લેષણ (હુર્વિટ્ઝ મુજબ) 

MAX(E5:E7)

MAX(G5:G7)

MAX(I20:I22)

Hurwitz માપદંડ નીચેની બે ધારણાઓ પર આધારિત છે: "પ્રકૃતિ" સંભાવના (1 - y) સાથે સૌથી પ્રતિકૂળ સ્થિતિમાં હોઈ શકે છે અને સંભાવના y સાથે સૌથી ફાયદાકારક સ્થિતિમાં હોઈ શકે છે, જ્યાં y વિશ્વાસ ગુણાંક છે. જો પરિણામ h ji નફો, ઉપયોગિતા, આવક વગેરે છે, તો Hurwitz માપદંડ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

W = મહત્તમ[ y મહત્તમ+(1- y)મિનિટ]

જ્યારે ઉદ્દેશ્ય કાર્ય ખર્ચ (નુકસાન) રજૂ કરે છે, ત્યારે:

W = મિનિટ[ y મિનિટ+(1- y)મહત્તમ]

સેવાનો હેતુ. ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, હર્વિટ્ઝ માપદંડનો ઉપયોગ કરીને શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના પસંદ કરવામાં આવે છે. ગણતરીના પરિણામો વર્ડ ફોર્મેટમાં રિપોર્ટમાં રજૂ કરવામાં આવે છે (ફોર્મેટિંગનું ઉદાહરણ જુઓ).

સૂચનાઓ વર્ડ અને એક્સેલ ફોર્મેટમાં ઉકેલની ગણતરી અને તૈયારી કરવા માટે, તમારે પસંદ કરવું આવશ્યક છે

હુરવિટ્ઝ માપદંડ યોગ્ય વજન (1 - y) અને y સાથે બંને વર્તણૂકોનું વજન કરીને ભારે નિરાશાવાદ અને આત્યંતિક આશાવાદના કિસ્સાઓ વચ્ચે સંતુલન સ્થાપિત કરે છે, જ્યાં 0 ઉદાહરણ છે. પ્રારંભિક ડેટા:

મિનિમેક્સ સોલ્યુશન. હર્વિટ્ઝ માપદંડ

અનિશ્ચિતતાની સ્થિતિમાં લીધેલા નિર્ણયો મેનેજરો દ્વારા લેવામાં આવેલા નિર્ણયોના સમગ્ર સમૂહનો નોંધપાત્ર ભાગ ધરાવે છે. પરંતુ, એક નિયમ તરીકે, વ્યવહારમાં સંપૂર્ણ અનિશ્ચિતતાની પરિસ્થિતિઓ હેઠળ લેવામાં આવેલા નિર્ણયો થતા નથી. નિર્ણયો લેવા માટે, એન્ટરપ્રાઇઝે સંબંધિત માહિતીની જરૂરી વધારાની રકમ એકત્રિત કરવી જોઈએ અને પરિસ્થિતિનું વિશ્લેષણ કરવું જોઈએ અથવા મેનેજરના સંચિત અનુભવના નિર્ણય, અંતર્જ્ઞાન અને વિશ્લેષણના આધારે નિર્ણય લેવો જોઈએ. શ્રેષ્ઠ નિર્ણયો લેવા માટે, વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વૈજ્ઞાનિક અભિગમનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

નિર્ણયના નિયમો કે જે સંભવિત પરિણામોના આંકડાકીય મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા નથી તેમાં અગાઉ ચર્ચા કરાયેલા મેક્સિમેક્સ અને મેક્સિમિન નિર્ણયો તેમજ મિનિમેક્સ નિર્ણય અને હર્વિટ્ઝ માપદંડનો સમાવેશ થાય છે.

મિનિમેક્સ સોલ્યુશનએક ઉકેલ છે જે મહત્તમ નુકસાનને ઘટાડે છે. નિર્ણય લેવાનો આ સૌથી સાવધ અભિગમ છે અને જે તમામ સંભવિત જોખમોને ધ્યાનમાં લે છે.

ન્યૂનતમ નિયમ ( સંભવિત નુકસાનનો ન્યૂનતમ નિયમ) દરેક નિર્ણય માટે મહત્તમ સંભવિત નુકસાન પસંદ કરવાનું છે. પછી ઉકેલ કે જે મહત્તમ નુકસાનના લઘુત્તમ મૂલ્ય તરફ દોરી જાય છે તે પસંદ કરવામાં આવે છે.

નુકસાન ફક્ત વાસ્તવિક નુકસાન જ નહીં, પણ ચૂકી ગયેલી તકોને પણ ધ્યાનમાં લે છે. આ નિયમનો ઉપયોગ કરતી વખતે, આવકને બદલે સંભવિત નુકસાન પર ધ્યાન આપવામાં આવે છે.

કેકના વેચાણ પરના અગાઉના ઉદાહરણના ડેટાના આધારે, અમે સંભવિત નુકસાનનું કોષ્ટક બનાવીશું, જે ખોટા નિર્ણય લેવાના પરિણામે ગુમાવેલા દરેક પરિણામના નફાનો ખ્યાલ આપે છે (સંખ્યા એકમો ખરીદ્યા).

દિવસ દીઠ સંભવિત નુકસાનનું કોષ્ટક

ટેબલ નીચે મુજબ ભરેલ છે.

જો ખરીદેલી કેકની સંખ્યા દિવસની માંગની બરાબર હોય, તો સંભવિત નુકસાન શૂન્ય છે.

જો ખરીદવાનો નિર્ણય લેવામાં આવ્યો હતો, ઉદાહરણ તરીકે, 1 કેક, અને તે દિવસે માંગ 2 ટુકડાઓ હતી, તો ખોવાયેલ નફો 1 * (60-50) = 10 રુબેલ્સ હશે. આ સંભવિત નુકસાન છે. વેચી શકાય તેવા કેકના 2 ટુકડાઓ માટે, સંભવિત નુકસાનની રકમ 20 રુબેલ્સ છે, 3 કેક માટે - 30 રુબેલ્સ.

એવા કિસ્સામાં જ્યાં ખરીદેલ એકમ વેચવામાં આવ્યું ન હતું, તે 1* (50-30) = 20 નું નુકસાન લાવે છે, આ પણ સંભવિત નુકસાન છે.

દરેક ઉકેલ માટે, સંભવિત નુકસાનની મહત્તમ સંખ્યા પસંદ કરવામાં આવે છે. આ સંખ્યાઓ 30, 20, 40, 60 છે અને અમે તેમાંથી ન્યૂનતમ 20 નક્કી કરીએ છીએ આ મૂલ્ય 2 ટુકડાઓ ખરીદવાના નિર્ણયને અનુરૂપ છે. તેથી, મિનિમેક્સ નિયમના આધારે, દરરોજ બે કેક ખરીદવાના પરિણામે મહત્તમ નુકસાનનું લઘુત્તમ મૂલ્ય થાય છે.

હર્વિટ્ઝ માપદંડ(Hurwicz માપદંડ) એ નિર્ણયો લેવાની એક સમાધાનકારી રીત છે.

બે ચરમસીમાઓમાંથી ઉકેલ પસંદ કરતી વખતે: મેક્સિમિન માપદંડ અનુસાર નિરાશાવાદી આકારણી અને મેક્સિમેક્સનું આશાવાદી મૂલ્યાંકન, મધ્યવર્તી સ્થિતિનું પાલન કરવું તર્કસંગત છે, જેની સીમા નિરાશાવાદ-આશાવાદ સૂચક µ દ્વારા નિયંત્રિત થાય છે, જેને ડિગ્રી કહેવાય છે. હર્વિટ્ઝ માપદંડમાં આશાવાદ.

આ સમાધાન ઉકેલ અનુસાર લઘુત્તમ અને મહત્તમ ચૂકવણીનું રેખીય સંયોજન હશે

જ્યાં 0< µ < 1,

gnm એ સંભવિત આવકની રકમ છે જે આપેલ પરિણામો માટેના નિર્ણયોને અનુરૂપ છે.

વધુમાં, µ નું મૂલ્ય સંશોધક અથવા નિર્ણય લેનાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યારે મૂલ્ય µ = 1 એ મેક્સિમિન નિયમ (વાલ્ડ માપદંડ) સાથે હર્વિટ્ઝ માપદંડને અનુરૂપ છે, અને મૂલ્ય µ = 0 મહત્તમ નિયમ (સેવેજ માપદંડ) ને અનુરૂપ છે. ).

હર્વિટ્ઝ માપદંડ એ છે કે દરેક નિર્ણયના લઘુત્તમ અને મહત્તમ પરિણામોને "વજન" સોંપવામાં આવે છે. પરિણામોને યોગ્ય વજન દ્વારા ગુણાકાર કરીને અને તેનો સરવાળો કરીને, નિર્ણય લેનાર એકંદર પરિણામ પર પહોંચે છે. આગળ, ઉચ્ચતમ પરિણામ સાથેનો ઉકેલ પસંદ થયેલ છે.

ચાલો પાછલા ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ અને Hurwitz પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કોષ્ટક ભરો.

ચાર સંભવિત ઉકેલો માટે, મેક્સિમેક્સ અને મેક્સમિન ઉકેલો અગાઉ મેળવવામાં આવ્યા હતા. લઘુત્તમ પરિણામનું વજન 0.4 રહેવા દો, તેથી, મહત્તમનું વજન 0.6 છે.

શક્ય ઉકેલોનું કોષ્ટક

આ ઉદાહરણમાં, હર્વિટ્ઝ માપદંડ એક કેક ખરીદવાના નિર્ણયની તરફેણમાં બોલે છે. મહત્તમ રકમ 10 હતી. દેખીતી રીતે, અન્ય વજન પસંદ કરતી વખતે, પરિણામ અલગ છે

તેથી, હુરવિટ્ઝ માપદંડનો ફાયદો અને તે જ સમયે ગેરલાભ એ સંભવિત પરિણામોને વજન સોંપવાની જરૂરિયાત છે: આ પરિસ્થિતિની વિશિષ્ટતાઓને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ હંમેશા એક વ્યક્તિલક્ષી માનવ પરિબળ હોય છે - વિશ્લેષકની પસંદગીઓ.

કોઈપણ ક્રમના વિભેદક સમીકરણો દ્વારા વર્ણવેલ સિસ્ટમો માટે સ્થિરતા માપદંડ શોધવાની સમસ્યા મેક્સવેલ દ્વારા 1868 માં ઘડવામાં આવી હતી. આ સમસ્યા સૌપ્રથમ બીજગણિત સ્વરૂપમાં 1873 માં રુથ દ્વારા ચોથા અને પાંચમી ડિગ્રીના સમીકરણો માટે અને 1877 માં - સંપૂર્ણ રીતે ઉકેલવામાં આવી હતી.

કારણ કે રાઉથ માપદંડ એલ્ગોરિધમના સ્વરૂપમાં આપવામાં આવ્યો છે જે સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી ગાણિતિક ક્રિયાઓનો ક્રમ નક્કી કરે છે, વ્યવહારમાં તેનો ઉપયોગ અસુવિધાજનક છે. તેથી, ગણિતશાસ્ત્રી એ. હર્વિટ્ઝ દ્વારા 1895માં ઘડવામાં આવેલ બીજગણિતીય સ્થિરતા માપદંડ વધુ વ્યાપક બન્યો. આ માપદંડ સ્લોવાક પ્રોફેસર સ્ટોડોલાની વિનંતી પર હર્વિટ્ઝ દ્વારા મળી આવ્યો હતો, જેઓ ટર્બાઇનને નિયંત્રિત કરવાની પ્રક્રિયા પર સંશોધન કરી રહ્યા હતા.

નીચે, Hurwitz માપદંડ પુરાવા વિના આપવામાં આવે છે.

લાક્ષણિક સમીકરણ (6.9) માટે, અમે n પંક્તિઓ અને n કૉલમ ધરાવતા ગુણાંકનું ચોરસ મેટ્રિક્સ (કોષ્ટક) બનાવીએ છીએ:

આ કોષ્ટક નીચે પ્રમાણે સંકલિત કરવામાં આવ્યું છે.

દરેક રેખા ગુણાંક સાથે પૂરક છે

ડાબેથી જમણે સૂચકાંકો વધારવા સાથે જેથી વિષમ અને સમ સૂચકાંકો વૈકલ્પિક સાથે પંક્તિઓ હોય. જો આ ગુણાંક ગેરહાજર હોય, અથવા જો તેની અનુક્રમણિકા શૂન્ય કરતાં ઓછી હોય અથવા n કરતાં વધુ હોય, તો તેની જગ્યાએ શૂન્ય લખવામાં આવે છે.

ત્યાં વધુ હોવું જોઈએ

ગુણાંકના ચોરસ મેટ્રિક્સમાંથી મેળવેલ તમામ n Hurwitz નિર્ધારકો શૂન્ય છે.

Hurwitz નિર્ધારકો નીચેના નિયમ અનુસાર બનેલા છે (જુઓ (6.11)):

છેલ્લા નિર્ણાયકમાં સમગ્ર મેટ્રિક્સનો સમાવેશ થાય છે. પરંતુ મેટ્રિક્સની છેલ્લી કોલમમાં તળિયા સિવાયના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોવાથી, છેલ્લું હર્વિટ્ઝ નિર્ણાયક ઉપાંતીય એક દ્વારા નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

એટલે કે, લાક્ષણિક સમીકરણના મુક્ત શબ્દની સકારાત્મકતા તરફ.

પ્રથમ શરત પ્રથમ પ્રકારની સ્થિરતા સીમાને અનુલક્ષે છે (એપિરીયોડિક સ્થિરતા સીમા) અને બીજી - બીજા પ્રકારની સ્થિરતા સીમા (ઓસીલેટરી સ્થિરતા સીમા) સાથે.

હુર્વિટ્ઝ સ્થિરતા માપદંડના સામાન્ય રચનામાં દેખાતા નિર્ણાયકોને જાહેર કરીને, પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા, ચોથા અને ઉચ્ચ ઓર્ડરની સિસ્ટમ માટે સ્થિરતા માપદંડ, વિશિષ્ટ કેસોના સ્વરૂપમાં મેળવવાનું શક્ય છે.

ઓર્ડર

આ સમીકરણ માટે, હર્વિટ્ઝ માપદંડ આપે છે

એટલે કે, લાક્ષણિક સમીકરણના ગુણાંક હકારાત્મક હોવા જોઈએ.

ઓર્ડર

આ સમીકરણ માટે, Hurwitz માપદંડ જરૂરી છે

આમ, બીજા ક્રમના સમીકરણ માટે, સ્થિરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ એ લાક્ષણિકતા સમીકરણના તમામ ગુણાંકની હકારાત્મકતા છે.

3. ત્રીજા ક્રમનું સમીકરણ

આ સમીકરણ માટે આપણે શરતો મેળવીએ છીએ

4. ચોથા ક્રમનું સમીકરણ

હર્વિટ્ઝ માપદંડના આધારે, તે મેળવી શકાય છે કે ચોથા ક્રમના સમીકરણ માટે, તમામ ગુણાંકોની હકારાત્મકતા ઉપરાંત, નીચેની શરત પૂરી કરવી આવશ્યક છે:

પાંચમો ક્રમ

પાંચમા ક્રમના સમીકરણ માટે, તમામ ગુણાંકોની હકારાત્મકતા ઉપરાંત, વધુ બે શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે:

જોઈ શકાય છે તેમ, પાંચમી ડિગ્રીના સમીકરણ માટે પણ, હર્વિટ્ઝ માપદંડ માટે સ્થિરતાની સ્થિતિ ખૂબ જ બોજારૂપ છે. તેથી, આ માપદંડનો ઉપયોગ વ્યવહારીક રીતે ચોથા ક્રમના સમીકરણો સુધી મર્યાદિત છે.

હર્વિટ્ઝ માપદંડનો નોંધપાત્ર ગેરલાભ એ પણ છે કે ઉચ્ચ-ક્રમના સમીકરણો માટે, શ્રેષ્ઠ રીતે, સ્વચાલિત નિયંત્રણ સિસ્ટમ સ્થિર છે કે અસ્થિર છે તે અંગેનો જવાબ મેળવવાનું શક્ય છે. તદુપરાંત, સિસ્ટમની અસ્થિરતાના કિસ્સામાં, માપદંડ તેને સ્થિર બનાવવા માટે સિસ્ટમના પરિમાણોને કેવી રીતે બદલવું જોઈએ તેનો જવાબ આપતો નથી. આ સંજોગો અન્ય માપદંડોની શોધ તરફ દોરી ગયા જે એન્જિનિયરિંગ પ્રેક્ટિસમાં વધુ અનુકૂળ હશે.

હર્વિટ્ઝ માપદંડના ઉપયોગને સમજાવવા માટે, રિમોટ ટ્રેકિંગ સિસ્ટમની સ્થિરતા નક્કી કરવા માટે એક ઉદાહરણનો વિચાર કરો. સિદ્ધાંત અને બ્લોક ડાયાગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યા છે. 6.4. ટ્રાન્સફોર્મર સર્કિટ દ્વારા જોડાયેલા બે સિંક્રોનાઇઝર્સ (SD અને SP) નો ઉપયોગ સંવેદનશીલ તત્વ તરીકે થતો હતો. સેલ્સિનનું સ્થાનાંતરણ કાર્ય સર્કિટના ટ્રાન્સમિશન ગુણાંક જેટલું છે:

એમ્પ્લીફાયરના અંતિમ તબક્કા સાથે મોટરનો ઇલેક્ટ્રોમિકેનિકલ સમય સતત. ગિયરબોક્સ ટ્રાન્સફર ફંક્શન (P) તેના ટ્રાન્સમિશન ગુણાંકની બરાબર છે, જે ગિયર રેશિયો દ્વારા નક્કી થાય છે:

કંટ્રોલ સર્કિટમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલ લિંક્સનો સમાવેશ થતો હોવાથી, ઓપન સર્કિટનું ટ્રાન્સફર ફંક્શન વ્યક્તિગત લિંક્સના ટ્રાન્સફર ફંક્શનના ઉત્પાદન જેટલું હશે:

એકંદરે ઓપન સર્કિટ ગેઇન.

લાક્ષણિક સમીકરણ:

અમે મેળવીએ છીએ

આ કિસ્સામાં, લાક્ષણિકતા સમીકરણ ત્રીજા ક્રમનું છે. તે જોવાનું સરળ છે કે જો K>O શરત સંતુષ્ટ હોય તો તમામ ગુણાંક હકારાત્મક છે તે શરત હંમેશા સંતુષ્ટ થાય છે, જો એન્જિનના પરિભ્રમણની દિશા મિસમેચની નિશાની સાથે યોગ્ય રીતે મેળ ખાતી હોય તો તે થશે.

ગુણાંકના મૂલ્યોને બદલીને લાક્ષણિકતાના સમીકરણના ગુણાંક પર સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે છે.

અસમાનતા તરફ

જે વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમની સ્થિરતા માટેની શરત છે.

આ અસમાનતામાંથી, ખાસ કરીને, તે નોંધી શકાય છે કે દરેક વખતે સતત વધારો સિસ્ટમની સ્થિરતા પર નકારાત્મક અસર કરે છે, ત્યારથી

આ કુલ ગેઇન k ના મર્યાદિત મૂલ્યને ઘટાડે છે, જેના પર સિસ્ટમ હજુ પણ સ્થિર રહે છે.

તે ગાયરો-સ્થિર પ્લેટફોર્મ પર સ્થાપિત એન્ગલ સેન્સર (નોટેન્ટિઓમેટ્રિક, ઇન્ડક્શન, વગેરે) દ્વારા માપવામાં આવે છે. સેન્સર ટ્રાન્સફર કાર્ય

કંટ્રોલ એલ્ગોરિધમ બનાવવા માટે, એક કોણીય વેગ સેન્સર (ARS) વધુમાં ઇન્સ્ટોલ કરેલ છે. તેના આઉટપુટ પરનો વોલ્ટેજ વિચલનના વ્યુત્પન્નના પ્રમાણસર છે. આદર્શ કિસ્સામાં DUS નું સ્થાનાંતરણ કાર્ય

સારાંશ આપવામાં આવે છે:

અને વિચલનનું વ્યુત્પન્ન (જુઓ § 2.2). એમ્પ્લીફાયર-કન્વર્ટર ઉપકરણનું સ્થાનાંતરણ કાર્ય