ભૂમિતિ આપણી આસપાસ છે. ડાયહેડ્રલ કોણ

ત્રિકોણના તત્વો ત્રિકોણમાં અન્ય વિભાગો પણ ગણવામાં આવે છે: મધ્ય (ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને વિરુદ્ધ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સાથે જોડતા વિભાગો.) દ્વિભાજકો (ત્રિકોણની અંદર બંધ આવેલા ભાગો જે તેના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે) ઊંચાઈ (શિરોબિંદુઓમાંથી નીચે પડેલા લંબ વિરુદ્ધ બાજુ ધરાવતી રેખાનો ત્રિકોણ)

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ પ્રમેય સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર ખૂણા સમાન હોય છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, પાયાના ખૂણાઓ સમાન હોય છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર તરફ દોરવામાં આવેલ દ્વિભાજક એ મધ્ય અને ઊંચાઈ છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર તરફ દોરવામાં આવેલ દ્વિભાજક એ મધ્ય અને ઊંચાઈ છે.

વપરાયેલ સાહિત્ય: પાઠ્યપુસ્તક "ભૂમિતિ" ગ્રેડ 7-9 / L.S. Atanasyan - પબ્લિશિંગ હાઉસ "Prosveshchenie", 2007 Textbook "Geometry" ગ્રેડ 7-9 / L.S. Atanasyan - પબ્લિશિંગ હાઉસ "Prosveshchenie", 2007 EnMacycled. / મુખ્ય સંપાદક એમ.ડી. અક્સેનોવા-એમ.: અવંતા+, 1998. બાળકો માટે જ્ઞાનકોશ 11. ગણિત / મુખ્ય સંપાદક. એમ.ડી. અક્સેનોવા-એમ.: અવંતા+, 1998.

આપણી આસપાસની ઘણી વસ્તુઓનો આકાર ભૌમિતિક આકારો જેવો હોય છે. આલ્બમ શીટમાં લંબચોરસનો આકાર હોય છે. જો તમે કાગળના ટુકડા પર ગોળ કાચ મૂકો છો અને તેને પેન્સિલથી ટ્રેસ કરો છો, તો તમને વર્તુળ દર્શાવતી એક રેખા મળશે. રિંગ અથવા હૂપ આકારમાં વર્તુળ જેવું લાગે છે, જ્યારે સર્કસ એરેના, કાચ અથવા પ્લેટની નીચે વર્તુળનો આકાર હોય છે. નારંગી, સોકર બોલ અને તરબૂચ બોલ જેવા દેખાય છે. એક ષટ્કોણ પેન્સિલ અને ઇજિપ્તીયન પિરામિડ પણ ભૌમિતિક આકારના છે.

ભૂમિતિ એ ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મોનું વિજ્ઞાન છે: ત્રિકોણ, ચોરસ, વર્તુળ, પિરામિડ, ગોળા, વગેરે.

"ભૂમિતિ" શબ્દ ગ્રીક છે અને રશિયનમાં અનુવાદિત થાય છે તેનો અર્થ "જમીન સર્વેક્ષણ" થાય છે. તે સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે કે ભૂમિતિનો ઉદ્દભવ પ્રાચીન ગ્રીસમાં થયો હતો. પરંતુ ગ્રીકોએ ઇજિપ્તવાસીઓ પાસેથી જમીન સર્વેક્ષણની મૂળભૂત બાબતો અપનાવી અને સામાન્ય કાયદાઓ સ્થાપિત કરીને તેને વૈજ્ઞાનિક શિસ્તમાં ફેરવી દીધું. ભૂમિતિ પરનું મુખ્ય કાર્ય એ પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક યુક્લિડનું "તત્વો" છે, જે લગભગ 300 બીસીમાં સંકલિત છે. આ કાર્ય લાંબા સમયથી અનુકરણીય માનવામાં આવતું હતું. યુક્લિડિયન ભૂમિતિ સૌથી સરળ ભૌમિતિક સ્વરૂપોનો અભ્યાસ કરે છે: બિંદુઓ, સીધી રેખાઓ, સેગમેન્ટ્સ, બહુકોણ, દડાઓ, પિરામિડ, વગેરે. ભૂમિતિના આ વિભાગનો અભ્યાસ શાળામાં થાય છે.

1877 માં, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી ફેલિક્સ ક્લેઇને, તેમના એર્લેન્જર પ્રોગ્રામમાં, ભૂમિતિની વિવિધ શાખાઓના વર્ગીકરણની દરખાસ્ત કરી હતી, જેનો ઉપયોગ આજે પણ થાય છે: યુક્લિડિયન ભૂમિતિ, પ્રક્ષેપણ, અફિન, વર્ણનાત્મક, બહુપરીમાણીય, રીમેનિયન, નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ, મેનફોલ્ડ ભૂમિતિ. , ટોપોલોજી.

યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં બે ભાગોનો સમાવેશ થાય છે: પ્લાનિમેટ્રી અને સ્ટીરિયોમેટ્રી.

પ્લાનિમેટ્રી એ ભૂમિતિની એક શાખા છે જેમાં પ્લેન પરની ભૌમિતિક આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

સ્ટીરીઓમેટ્રી એ ભૂમિતિની એક શાખા છે જે અવકાશમાં આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરે છે.

પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ આકૃતિઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે જે જ્યારે પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે ત્યારે સાચવવામાં આવે છે (વિવિધ કદના સમાન આકૃતિઓ સાથે બદલવામાં આવે છે).

Affine ભૂમિતિ પ્લેન અને અવકાશમાં વિવિધ ફેરફારો હેઠળ આકૃતિઓના સતત ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે.

એન્જિનિયરિંગ શિસ્ત - વર્ણનાત્મક ભૂમિતિ ઑબ્જેક્ટને દર્શાવવા માટે ઘણા અંદાજોનો ઉપયોગ કરે છે, જે તમને ઑબ્જેક્ટની ત્રિ-પરિમાણીય છબી બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

બહુપરિમાણીય ભૂમિતિ ચોથા પરિમાણના વૈકલ્પિક અસ્તિત્વની શોધ કરે છે.

ત્યાં અલગ ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ પેટાવિભાગો છે: વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, જે ભૌમિતિક આકૃતિઓનું વર્ણન કરવા માટે બીજગણિતીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છે, અને વિભેદક ભૂમિતિ, જે વિવિધ કાર્યોના ગ્રાફનો અભ્યાસ કરે છે.

blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

ભૂમિતિ -ગણિતની એક શાખા જે અવકાશી સંબંધો અને આકારોનો અભ્યાસ કરે છે, તેમજ અવકાશી સંબંધો અને આકારો જેવા અન્ય કોઈપણ સંબંધો.

રશિયનમાં (જેમ કે અન્ય ઘણા લોકોમાં), શબ્દ "ભૂમિતિ" નો ઉપયોગ માત્ર અનુરૂપ વિજ્ઞાન માટે જ નહીં, પરંતુ પ્રશ્નમાં રહેલા પદાર્થના અવકાશી અથવા સમાન સ્વરૂપો અને ગુણધર્મોના સમૂહ માટે પણ થાય છે.

આધુનિક ભૂમિતિને અભ્યાસના મુખ્ય ઉદ્દેશ્યો અને ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિઓ બંને પ્રમાણે વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ઘણી વિદ્યાશાખાઓમાં, વિભાગ જુઓ ભૂમિતિની મુખ્ય શાખાઓ, જેમાં મૂળભૂત અને લાગુ બંને મહત્વ છે. તે બધા એક જ ભૌમિતિક અભિગમ દ્વારા એક થાય છે, જેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે મુખ્યત્વે વિચારણા હેઠળની વસ્તુઓની ગુણાત્મક લાક્ષણિકતાઓ પર ધ્યાન આપવામાં આવે છે, તેમજ અભ્યાસના તમામ તબક્કે સ્પષ્ટતાની ઇચ્છા, સમસ્યાને સેટ કરવાથી લઈને ફોર્મ્યુલેટીંગ સુધી. પરિણામ ભૂમિતિમાં અસંખ્ય એપ્લિકેશનો છે, આધુનિક વિશ્વમાં ભૂમિતિનું સ્થાન વિભાગ જુઓ, જે બદલામાં, તેના વિકાસને ઉત્તેજીત કરે છે.

ભૂમિતિ માનવ પ્રવૃત્તિના લગભગ તમામ ક્ષેત્રોમાં પ્રવેશ કરે છે. સૌંદર્ય અને સંવાદિતા વિશે, કડક પુરાવા વિશે, દોષરહિત તાર્કિક બંધારણ વિશેના અમારા વિચારો ભૂમિતિ સાથે અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલા છે. છેવટે, માનવ દ્રષ્ટિની સમૃદ્ધિ વિશ્લેષણની શક્યતાઓને મોટા પ્રમાણમાં વધારે છે અને વ્યક્તિને જટિલ સંબંધોને શોધવાની મંજૂરી આપે છે જે અભ્યાસ કરવામાં આવતી વસ્તુઓની દ્રશ્ય છબી વિના સ્પષ્ટ નથી. કદાચ તેથી જ, જ્યારે કોઈ જટિલ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરવામાં આવે છે, ત્યારે આપણે ઘણીવાર ચિત્ર (યોજના, યોજના, આકૃતિ) દોરવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે સફળ વિઝ્યુલાઇઝેશન શોધવા, ભૌમિતિક મોડેલ બનાવવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ, એટલે કે. સમસ્યાને ભૌમિતિકમાં ઘટાડો.

ભૂમિતિનો વિકાસ.

ભૂમિતિ એ માનવ પ્રવૃત્તિના સૌથી જૂના પ્રકારોમાંનું એક છે. પ્રાગૈતિહાસિક સમયમાં પણ, લોકો ગુફાઓની દિવાલો પર શિકારની પેટર્ન તેમજ જટિલ ભૌમિતિક પેટર્ન દર્શાવતા હતા. પાછળથી, પ્રાચીન ઇજિપ્ત અને બેબીલોનમાં કૃષિના ઉદભવ સાથે, જમીનના પ્લોટને વિભાજીત કરવાની જરૂરિયાત ઊભી થઈ. દેખીતી રીતે, તે પછી જ વિજ્ઞાનના મૂળ ભૂમિતિમાં રચવાનું શરૂ થયું: કેટલાક સામાન્ય દાખલાઓ અને ક્ષેત્ર અને લંબાઈ જેવા ભૌમિતિક જથ્થાઓ વચ્ચેના સંબંધો શોધવામાં અને સમજવામાં આવ્યા. ચાલો નોંધ લઈએ કે, સારમાં, આ પ્રયોગમૂલક તથ્યો હતા તે સમયે કાં તો સંપૂર્ણપણે ગેરહાજર હતા અથવા આદિમ સ્તરે હતા.

છેવટે, લગભગ અઢી હજાર વર્ષ પહેલાં, ઇતિહાસકારોના મતે, ભૂમિતિને ઇજિપ્તથી ગ્રીસ લાવવામાં આવી હતી. અહીં ભૂમિતિને માત્ર તેનું આધુનિક નામ જ મળતું નથી (શબ્દ "ભૂમિતિ" ગ્રીક ભાષામાંથી આવ્યો છે અને તેનો અર્થ "પૃથ્વીને માપવા" થાય છે), પણ ધીમે ધીમે જ્ઞાનની સુસંગત સિસ્ટમમાં પણ વિકાસ પામે છે, નવા તથ્યો એકઠા થાય છે, પુરાવા માટેની કેટલીક આવશ્યકતાઓ વિકસિત થાય છે. , અને ભૌમિતિક આકૃતિઓ અને હલનચલનની પ્રથમ અમૂર્ત વિભાવનાઓ. વૈજ્ઞાનિક શાળાઓ દેખાય છે (તેમાંની સૌથી પ્રખ્યાત શાળા છે પાયથાગોરસ). પરિણામે, ગુણાત્મક લીપ થાય છે, અને ભૂમિતિ એક અલગ ગાણિતિક વિજ્ઞાન બની જાય છે, જેના નિવેદનો પુરાવા સાથે પ્રદાન કરવામાં આવે છે. ગ્રીક સમયગાળાનું તેજસ્વી પરિણામ "સિદ્ધાંતો" હતું યુક્લિડ(લગભગ 300 બીસી). યુક્લિડની પ્રસ્તુતિમાં, ભૂમિતિ (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, પ્રાથમિક ભૂમિતિ) આપણને, વ્યવહારીક રીતે, તેના આધુનિક સ્વરૂપમાં, સ્પષ્ટપણે ઘડવામાં આવેલા મૂળભૂત સિદ્ધાંતોના આધારે વિકસિત, સરળ અવકાશી સ્વરૂપો અને સંબંધોના વિજ્ઞાન તરીકે દેખાય છે. કડક લોજિકલ ક્રમ. પ્રાચીન ગ્રીસમાં પણ, કોનિક વિભાગોનો સિદ્ધાંત ઉભો થયો ( એપોલોનિયસ), ત્રિકોણમિતિની શરૂઆત ( હિપ્પાર્ચસ), વગેરે.

પુનરુજ્જીવન દરમિયાન, ભૂમિતિમાં રસ મુખ્યત્વે વ્યવહારિક જરૂરિયાતો દ્વારા સંચાલિત હતો. કાર્ટોગ્રાફી વિકસિત થઈ રહી છે ( મર્કેટર), ખગોળશાસ્ત્ર ( કેપ્લર), સંભાવના સિદ્ધાંત ( લિયોનાર્ડો દા વિન્સી, વિટ્રુવિયસ). જો કે, મૂળભૂત રીતે નવું પગલું 17મી સદીની શરૂઆતમાં જ લેવામાં આવ્યું હતું. રેને ડેકાર્ટેસ (રેને ડેસકાર્ટેસ; રેનાટસ કાર્ટેસિયસ), જેમણે તેમના મૂળભૂત કાર્ય "પદ્ધતિ પર પ્રવચન..." (1637) માં ભૌમિતિક સંશોધનમાં બીજગણિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા. આ હાંસલ કરવા માટે, ડેસકાર્ટેસે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ રજૂ કરી અને (બીજગણિત) સમીકરણોના ઉકેલોના સેટ તરીકે વણાંકો અને સપાટીઓ રજૂ કરી. તેમની પદ્ધતિની મદદથી, ડેસકાર્ટેસ સંખ્યાબંધ નવા તથ્યો શોધી શક્યા, જેણે તેમનો અભિગમ ખૂબ જ લોકપ્રિય બનાવ્યો. આધુનિક શબ્દોમાં, ડેસકાર્ટેસે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ બનાવી અને બીજગણિત ભૂમિતિ બનાવવાની નજીક આવ્યા. 17મી સદીમાં પણ ડિસર્ગેસ (ગેરાર્ડ દેસર્ગ્યુસ) અને તેનો વિદ્યાર્થી પાસ્કલ (બ્લેઝ પાસ્કલ) પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ અને વર્ણનાત્મક ભૂમિતિનો પાયો નાખ્યો.

ડેસકાર્ટેસની સંકલન પદ્ધતિએ ભૂમિતિને બીજગણિત સાથે જોડવાનું શક્ય બનાવ્યું, જે તે સમયે ઝડપથી વિકાસ પામી રહી હતી અને કાર્યમાં ઉદ્ભવ્યું હતું. લીબનીઝઅને ન્યુટનગાણિતિક વિશ્લેષણ. પરિણામે, 18મી સદીમાં યુલર (લિયોનહાર્ડ યુલર), મોંગે (Gaspard Monge) અને પોન્સલેટ (જીન-વિક્ટર પોન્સલેટ) પહેલેથી જ મનસ્વી રીતે પર્યાપ્ત સરળ કાર્યો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વણાંકો અને સપાટીઓનો અભ્યાસ કરો (જરૂરી નથી કે બીજગણિત). આ રીતે વિભેદક ભૂમિતિનો જન્મ થયો, જે તેનું નામ મુખ્યત્વે વિભેદક કલનનો ઉપયોગ આધારિત પદ્ધતિઓને આભારી છે. આ ક્ષમતામાં, તેણી તેના કાર્યોમાં ખીલે છે ગૌસ (જોહાન કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસ) અને બોન (પિયર ઓસિયન બોનેટ).

આગળની ગુણાત્મક છલાંગ 19મી સદીમાં થઈ ચૂકી છે. દેખીતી રીતે, સામાન્ય સપાટીઓનો અભ્યાસ અને પ્રાથમિક (યુક્લિડિયન) ભૂમિતિ સાથે મેળવેલા પરિણામોની સરખામણીએ અન્ય, બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિઓના અસ્તિત્વની શક્યતાને સમજવા માટે ભૂમિતિઓને દોરી. નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિના વિકાસનો આધાર એ યુક્લિડનું પ્રખ્યાત "પાંચમું અનુમાન" હતું, જે જણાવે છે કે (સૂત્રમાં પ્રોકલા), આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા પ્લેનમાં, મૂળ એકની સમાંતર એક અને માત્ર એક જ રેખા દોરી શકાય છે. પ્રાચીન કાળથી લઈને 18મી સદી સુધી, યુક્લિડિયન ભૂમિતિના અન્ય સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોમાંથી આ વિધાન મેળવવા માટે સમયાંતરે પ્રયાસો કરવામાં આવ્યા હતા. આ વિષય પર સંબોધન કરનારા ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં હતા ટોલેમી(2જી સદી) અને પ્રોક્લસ(5મી સદી), ઇબ્ન અલ-હેથમઅને ઓમર ખય્યામ(XI સદી), સાચેરીઅને દંતકથા(XVIII સદી). છેવટે, 19મી સદીની શરૂઆતમાં, એક સમજણ ઉભરાવા લાગી કે પાંચમી ધારણા વિના અર્થપૂર્ણ સિદ્ધાંતનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે. નવી ભૂમિતિ શોધવાનું સન્માન નું છે N.I. Lobachevsky, જેમણે 1829 માં "ભૂમિતિના સિદ્ધાંતો પર" કૃતિ પ્રકાશિત કરી, જે પાંચમી ધારણાને સાબિત કરવાની અશક્યતા અને વિરુદ્ધ નિવેદનના આધારે સુસંગત સિદ્ધાંતનું અસ્તિત્વ જણાવે છે. એક હંગેરિયન ગણિતશાસ્ત્રી સ્વતંત્ર રીતે સમાન નિષ્કર્ષ પર આવ્યા બોલ્યાયી (જનોસ બોલ્યાય), જેમણે 1832 માં તેમનું કાર્ય પ્રકાશિત કર્યું. બાદમાં તે બહાર આવ્યું છે ગૌસબિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિના અસ્તિત્વની સંભાવનાને કંઈક અંશે અગાઉ સમજાયું, પરંતુ આ વિષય પરના કાર્યો પ્રકાશિત કર્યા નથી. લોબાચેવ્સ્કીએ બનાવેલી ભૂમિતિને હવે લોબાચેવ્સ્કી ભૂમિતિ કહેવામાં આવે છે.

ઓપનિંગ લોબાચેવ્સ્કીઅને બોલ્યાયીસપાટીઓના સામાન્ય સિદ્ધાંતમાં ઉત્તેજિત રસ. તે સ્પષ્ટ થાય છે કે લોબાચેવ્સ્કીની "કાલ્પનિક ભૂમિતિ" વક્ર જગ્યાઓમાં વાસ્તવિક છે. કૃતિઓમાં વક્રતાનો ખ્યાલ ઉભો થયો ગૌસ 19મી સદીના 20 ના દાયકામાં સપાટીના સિદ્ધાંત પર. ગૌસસપાટીની આંતરિક ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરે છે, એટલે કે. ભૂમિતિ જે આસપાસની જગ્યામાં સપાટીના સ્થાન પર આધારિત નથી અને બેન્ડિંગ દરમિયાન બદલાતી નથી. સાબિત ગૌસથિયોરેમા એગ્રેજિયમ ("બ્રિલિયન્ટ પ્રમેય") જણાવે છે કે જ્યારે તે વળેલું હોય ત્યારે સપાટીની (ગૌસીયન) વક્રતા બદલાતી નથી. ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે અંતરને વિકૃત કર્યા વિના ગોળાના કોઈપણ ભાગને પ્લેન પર મૂકી શકાતો નથી, જે મહત્વપૂર્ણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ટોગ્રાફીમાં.

કૃતિઓમાં સપાટીઓનો સિદ્ધાંત વધુ વિકસાવવામાં આવ્યો હતો રીમન (જ્યોર્જફ્રેડરિકબર્નહાર્ડ રીમેન), જેણે આધુનિક બહુપરીમાણીય રીમેનિયન ભૂમિતિ ("સપાટીઓનો બહુપરીમાણીય સિદ્ધાંત") નો પાયો નાખ્યો. તે કામમાં છે રીમનપ્રથમ વખત, મેનીફોલ્ડ, રીમેનિયન મેટ્રિક અને વક્રતા ટેન્સર જેવા મૂળભૂત ખ્યાલો દેખાય છે. તેઓ મેટ્રિક્સ, અવકાશની વક્રતા અને ભૌતિક દળો વચ્ચેના જોડાણને સમજનારા પ્રથમ લોકોમાંના એક હતા, જેણે સાપેક્ષતાના સામાન્ય સિદ્ધાંતની રચનાની અપેક્ષા રાખી હતી. રીમેનસમજાયું કે માઇક્રોકોઝમ અને મેક્રોકોઝમની ભૂમિતિ યુક્લિડિયનથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોઈ શકે છે, જે આધુનિક ભૌતિક ડેટા સાથે સારી રીતે સંમત છે. રીમેનતે જટિલ વિશ્લેષણમાં પણ સક્રિયપણે સામેલ હતો. તેમના કાર્યોમાં, બહુમૂલ્ય ધરાવતા જટિલ કાર્યોની સપાટીઓ રીમેન પ્રથમ વખત બાંધવામાં આવી હતી.

તે જ સમયે, ટોપોલોજીનો જન્મ થાય છે. ટોપોલોજીકલ પ્રકૃતિના પ્રથમ પરિણામો 18મી સદીમાં પાછા મેળવવામાં આવ્યા હતા (ઉદાહરણ તરીકે, બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન માટે યુલરનું સૂત્ર, યુલર આલેખ). મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ, ખાસ કરીને, રીમેન સપાટીઓ, જોડાણ અને ઓરિએન્ટેબિલિટી જેવા ગુણધર્મોની શોધ તરફ દોરી જાય છે, જે મેટ્રિક અથવા વક્રતા દ્વારા નિર્ધારિત નથી. ટોપોલોજીકલ પ્રકૃતિની વિચારણાઓ પહેલાથી જ કાર્યોમાં ઉપયોગમાં લેવામાં આવી હતી ગૌસ , રીમન, મોબીયસ, જોર્ડનાઅને કેન્ટોરા. જો કે, સ્વતંત્ર વિજ્ઞાન તરીકે, ટોપોલોજીની રચના 20મી સદીમાં જ થઈ હતી, તેના કાર્યોને કારણે હોસડોર્ફ(ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના મહત્વના વર્ગનું વર્ણન કર્યું, જેને આજે હૌસડોર્ફ સ્પેસ કહેવાય છે), કુરાતોવ્સ્કી(સામાન્ય ટોપોલોજીકલ જગ્યા વ્યાખ્યાયિત), પોઈનકેર(હોમોટોપીઝ અને હોમોલોજીના સિદ્ધાંતનો પાયો નાખ્યો, મૂળભૂત જૂથ અને બેટી નંબરોને ધ્યાનમાં લીધા) એલેક્ઝાન્ડ્રોવાઅને યુરીસન(પરિમાણોનો આધુનિક સિદ્ધાંત અને કોમ્પેક્ટ સ્પેસનો સિદ્ધાંત બનાવ્યો).

આમ, 19મી સદીને ભૂમિતિના પરાકાષ્ઠાની સદી તરીકે દર્શાવી શકાય. પરિણામે, ઘણી જુદી જુદી ભૂમિતિઓ મળી આવી હતી, જે સક્રિય રીતે વિકાસ કરતી વખતે, એકબીજાથી વધુ અને વધુ આગળ વધતી જણાતી હતી. ફેલિક્સ ક્લેઈનતેમના પ્રસિદ્ધ એર્લાંગેન પ્રોગ્રામ (1872) માં, તેમણે એકીકૃત બીજગણિત અભિગમનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો જે મેનીફોલ્ડના પરિવર્તનના પૂર્વનિર્ધારિત જૂથના અસ્પષ્ટોના વર્ણનમાં ભૌમિતિક અભ્યાસને ઘટાડે છે. પરિવર્તન જૂથને બદલીને, અમે વિચારણા હેઠળની ભૂમિતિ બદલીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, આ દૃષ્ટિકોણથી, યુક્લિડિયન ભૂમિતિ યુક્લિડિયન અવકાશની ગતિના જૂથને અનુલક્ષે છે, પ્રક્ષેપણ ભૂમિતિ - પ્રોજેક્ટિવ રૂપાંતરણના જૂથને, ટોપોલોજી - હોમોમોર્ફિઝમ્સના જૂથને, વગેરે. નોંધ કરો કે ભૂમિતિના પાયા પરના તેમના કાર્ય માટે ક્લેઈનલોબાચેવ્સ્કી પુરસ્કાર (1897) એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો.

ઇન્વેરિઅન્ટ્સના સિદ્ધાંતમાં નોંધપાત્ર યોગદાન આપ્યું ગિલ્બર્ટ(ઇનવેરિયન્ટ્સ પર પ્રખ્યાત પ્રમેય). ગિલ્બર્ટતેમણે સામાન્ય રીતે ગણિતના ઔપચારિકકરણની સમસ્યાઓનો પણ સામનો કર્યો, ખાસ કરીને, તેમણે યુક્લિડિયન ભૂમિતિ (મૂળભૂત કાર્ય "જ્યોમેટ્રીના પાયા", 1899)ના આધુનિક અક્ષીયશાસ્ત્રની રચના કરી. ઉપરાંત, ગિલ્બર્ટ 20મી સદીની શરૂઆતમાં ભૂમિતિ (અને સામાન્ય રીતે ગણિત)ના વિકાસનો સારાંશ આપે છે. II ઇન્ટરનેશનલ મેથેમેટિકલ કોંગ્રેસ (1900, પેરિસ) માં બોલતા, ગિલ્બર્ટ 23 સમસ્યાઓની રચના કરી, જે તેમના મતે, આવનારી સદીના ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે સૌથી વધુ દબાવનારી બની હોવી જોઈએ. તેમાંથી ઓછામાં ઓછી છ ભૌમિતિક સમસ્યાઓ છે જેણે ખરેખર 20મી સદીમાં ભૂમિતિના વધુ વિકાસની દિશા નિર્ધારિત કરી હતી.

અમે આગામી વિભાગમાં વિકાસની મુખ્ય દિશાઓ અને 20મી સદીની ભૂમિતિના વિભાગોનું વર્ણન કરીશું. અહીં આપણે ફક્ત એ વાત પર ભાર મૂકીશું કે ભૂમિતિ ચાલુ રહી છે અને સક્રિયપણે વિકાસ કરવાનું ચાલુ રાખે છે અને ગાણિતિક વિજ્ઞાનમાં અગ્રણી સ્થાનોમાંથી એક ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે નીચેના રસપ્રદ તથ્યો રજૂ કરીએ છીએ. જેમ તમે જાણો છો, આજે ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાસે નોબેલ પુરસ્કારના બે એનાલોગ છે - ફીલ્ડ્સ પ્રાઈઝ અને એબેલ પ્રાઈઝ. ફિલ્ડ્સ મેડલ 1936નો છે. તેના પ્રથમ બે વિજેતાઓ (1936) જીઓમીટર હતા: લાર્સ Ahlfors(રીમેન સપાટીઓનો સિદ્ધાંત) અને જેસી ડગ્લાસ(ન્યૂનતમ સપાટી પર પ્લેટુની સમસ્યાનો ઉકેલ). ત્યારથી, ક્ષેત્રોના વિજેતાઓમાં હંમેશા જીઓમીટર હોય છે. અબેલ પુરસ્કાર ખૂબ નાનો છે, તે 21 મી સદીમાં એનાયત થવાનું શરૂ થયું. કુલ, 2010 માં 8 અબેલ પુરસ્કારો એનાયત કરવામાં આવ્યા હતા, તેમાંથી ત્રણ ભૂમિતિમાં ( જીન પિયર સેરે 2003, માઈકલ અટિયાહઅને ઇસાડોર સિંગર 2004, મિખાઇલ ગ્રોમોવ 2009) અને અન્ય વિજ્ઞાનમાં ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ માટે બે ( પીટર લૅક્સ 2005, લેનાર કાર્લેસન 2006).

21મી સદીમાં હિલ્બર્ટની યાદીના એનાલોગમાંની એક કહેવાતી સહસ્ત્રાબ્દી સમસ્યાઓ છે ( મિલેનિયમપુરસ્કારસમસ્યાઓ), ક્લે ઇન્સ્ટિટ્યુટ દ્વારા ઘડવામાં આવે છે, જેની સ્થાપના 1998 માં નામના ઉદ્યોગપતિ દ્વારા કરવામાં આવી હતી લેન્ડન ક્લે (લેન્ડન ટી. ક્લે) અને ગણિતશાસ્ત્રી આર્થર જાફે (આર્થર જાફે) ગાણિતિક જ્ઞાનને પ્રોત્સાહન આપવાના હેતુથી. સહસ્ત્રાબ્દીની 7 સમસ્યાઓમાંથી, ત્રણ ભૂમિતિમાં છે, એટલે કે, હોજ અનુમાન (એક પ્રક્ષેપણની વિવિધતાના કોહોમોલોજી વર્ગોનું માળખું, બીજગણિત પેટા જાતો દ્વારા અનુભૂતિ થાય છે), પોઈનકેરે અનુમાન (સમાનશાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર પર, ઉકેલવામાં આવે છે. જી. પેરેલમેન), બિર્ચ અને સ્વિનર્ટન-ડાયર અનુમાન (લંબગોળ વળાંકોના તર્કસંગત બિંદુઓ પર). યાંગ-મિલ્સ ક્ષેત્રોના અભ્યાસને લગતી સમસ્યાને ભૌમિતિક તરીકે પણ વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.

આધુનિક ભૂમિતિના મુખ્ય વિભાગો.

આધુનિક સાર્વત્રિક દશાંશ વર્ગીકરણ (http://udk-codes.net/) માં 50 થી વધુ વસ્તુઓ છે જેમાં તેમના નામમાં "ભૂમિતિ" શબ્દનો સમાવેશ થાય છે. અહીં અમે તેમાંથી માત્ર થોડાને જ સૂચિબદ્ધ કરીશું, જે સૌથી નોંધપાત્ર અને અમારા મતે, ભૂમિતિના સક્રિયપણે વિકાસશીલ વિભાગોને અનુરૂપ છે.

બીજગણિતીય ભૂમિતિ P=0 ફોર્મની સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉકેલોનો અભ્યાસ કરે છે, જ્યાં P એ અનેક ચલોમાં બહુપદી છે. તે જ સમયે, આવા ઉકેલોના અસ્તિત્વના પ્રશ્નો અને તમામ ઉકેલોના સમૂહના ગુણધર્મો બંનેની તપાસ કરવામાં આવે છે. આવા સમૂહોને બીજગણિત સમૂહ અથવા બીજગણિતીય જાતો કહેવામાં આવે છે. બીજગણિત ભૂમિતિ અને ભૂમિતિની અન્ય શાખાઓ વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે, અન્ય ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ ઉપરાંત, તે અમૂર્ત બીજગણિતના વિચારો અને પદ્ધતિઓનો ખૂબ ઉપયોગ કરે છે, ખાસ કરીને તેના પેટાવિભાગો જેમ કે વિનિમયાત્મક બીજગણિત અને હોમોલોજિકલ બીજગણિત. બીજગણિત ભૂમિતિની સૌથી પ્રસિદ્ધ સિદ્ધિઓમાંની એક ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેયનો પુરાવો છે.
વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ બનાવી ડેકાર્ટેસ, તેમના દ્વારા આધુનિક અર્થમાં બીજગણિત ભૂમિતિ તરીકે કલ્પના કરવામાં આવી હતી. આજે, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ એ બીજગણિત ભૂમિતિનો પેટાવિભાગ છે જે પ્લેન અને અવકાશમાં રેખીય અથવા ચતુર્ભુજ સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉકેલોનો અભ્યાસ કરે છે. આમ, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના પદાર્થો સીધી રેખાઓ, વિમાનો, તેમજ વણાંકો અને બીજા ક્રમની સપાટીઓ છે. આ ઑબ્જેક્ટ્સને વર્ગીકૃત કરવાની સમસ્યા સંપૂર્ણપણે હલ થઈ ગઈ છે, જો કે, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિએ તેનું મહત્વ ગુમાવ્યું નથી. તે ચોક્કસ ગણતરીઓ અને શીખવાની પ્રક્રિયા બંને માટે મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તેમાં કોઓર્ડિનેટ્સની પદ્ધતિ અને અવિચારીઓની પદ્ધતિ જેવી મહત્વપૂર્ણ પદ્ધતિઓનો પાયો છે.
બહિર્મુખ ભૂમિતિ બહિર્મુખ સમૂહોની ભૂમિતિના અભ્યાસ સાથે વહેવાર કરે છે, મુખ્યત્વે યુક્લિડિયન જગ્યાઓમાં. કામો સાથે શરૂ મિન્કોવ્સ્કી (હર્મન મિન્કોવસ્કી) અને બ્રુના (હર્મન બ્રુન) તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે બહિર્મુખતાની મિલકત આપણને ભિન્નતા વિશે વધારાની ધારણાઓ વિના, સ્વતંત્ર સિદ્ધાંત બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. બહિર્મુખ ભૂમિતિના સૌથી આકર્ષક પરિણામોમાંનું એક એ છે કે તેના ચહેરાના ગુણધર્મોમાંથી બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનના પુનર્નિર્માણ પર મિન્કોવસ્કી-અલેકસાન્ડ્રોવ પ્રમેય. બહિર્મુખ ભૂમિતિમાં ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓમાં અસંખ્ય એપ્લિકેશનો છે, ખાસ કરીને બહિર્મુખ પ્રોગ્રામિંગ અને રેખીય પ્રોગ્રામિંગમાં.
કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ ભૌમિતિક સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે સંયુક્ત અલ્ગોરિધમ્સના નિર્માણ અને અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે, તેમજ ભૌમિતિક મોડેલિંગ, એટલે કે. સતત વણાંકો અને સપાટીઓના અલગ મોડલનો અભ્યાસ. કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિના ઉત્તમ પરિણામોમાં બહિર્મુખ હલ, યુક્લિડિયન લઘુત્તમ સ્પેનિંગ ટ્રી, ડેલૌનેય ત્રિકોણ, વોરોનોઈ ડાયાગ્રામ, નજીકની પડોશી સમસ્યાનું નિરાકરણ વગેરે માટેના અલ્ગોરિધમનો સમાવેશ થાય છે. ભૌમિતિક મોડેલિંગની સૌથી જાણીતી પદ્ધતિઓ સ્પ્લાઈન્સ અને બેઝિયર વણાંકોનો ઉપયોગ કરે છે. કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિમાં અસંખ્ય એપ્લિકેશનો છે, મુખ્યત્વે રોબોટિક્સમાં, પેટર્નની ઓળખ, કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ વગેરે.
બનાચ અને હિલ્બર્ટ જગ્યાઓની ભૂમિતિ સામાન્ય અને યુક્લિડિયન જગ્યાઓના અનંત-પરિમાણીય એનાલોગનો અભ્યાસ કરે છે. વિધેયાત્મક વિશ્લેષણ, માપ સિદ્ધાંત, સંભાવના સિદ્ધાંત, વિવિધતાઓની ગણતરી સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. બહિર્મુખ વિશ્લેષણ, રેખીય બીજગણિત, ટોપોલોજી અને, અલબત્ત, કાર્ય સિદ્ધાંતમાંથી વિચારોનો ઉપયોગ કરે છે. સૌથી આકર્ષક પરિણામોમાં સતત રેખીય કાર્યાત્મક, પ્રમેયના ચાલુ રાખવા પર હેન-બાનાચ પ્રમેયનો સમાવેશ થાય છે. બનાચએક નિશ્ચિત બિંદુ પર, રીસ-ફ્રેચેટ પ્રમેય મૂળમાં ડ્યુઅલ હિલ્બર્ટ સ્પેસના આઇસોમોર્ફિઝમ પર.
જૂથોની ભૂમિતિ અને લાઇ બીજગણિત વધારાના બીજગણિતીય માળખાથી સજ્જ જાતોની ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરે છે, એટલે કે, જૂથની રચના. આ કિસ્સામાં, જૂથ કામગીરી સરળ હોવાનું માનવામાં આવે છે. આ બીજગણિતીય ક્રિયા જૂથના એકમ પર સ્પર્શક જગ્યા પર વધારાનું બીજગણિત માળખું બનાવે છે અને તેને લાઇ બીજગણિતમાં ફેરવે છે. નોર્વેજીયન ગણિતશાસ્ત્રી પછી નામ આપવામાં આવ્યું સોફુસા લી (મારિયસ સોફસ લાઇ). લાઇ જૂથોના સૌથી સરળ ઉદાહરણો પરિવર્તન જૂથો છે, જેમ કે, કહો, યુક્લિડિયન અવકાશ અથવા લોબાચેવસ્કી અવકાશની ગતિના જૂથો. લાઇ જૂથોની આંતરિક રચનાની સમૃદ્ધિ, એક તરફ, ઊંડા બિન-તુચ્છ પરિણામો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે, જેમ કે કોમ્પેક્ટ લાઇ જૂથો માટે વર્ગીકરણ પ્રમેય, અને બીજી તરફ, અંત સુધી ઘણી ચોક્કસ ગણતરીઓ હાથ ધરવા. . જૂઠ્ઠાણા જૂથો પણ એપ્લિકેશનમાં વારંવાર દેખાય છે, મુખ્યત્વે મિકેનિક્સ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં.
ગતિશીલ પ્રણાલીઓની ભૂમિતિ વિવિધ પ્રકારની ગતિશીલ પ્રણાલીઓના ગુણાત્મક (એટલે કે ભૌમિતિક અને ટોપોલોજીકલ) ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે. ગતિશીલ સિસ્ટમના આવા ગુણધર્મોના ઉદાહરણો સંતુલન સ્થિતિ અથવા સામયિક ઉકેલોની સંખ્યા, તેમની સ્થિરતા અથવા અસ્થિરતા, ઉકેલોની અસ્તવ્યસ્ત અથવા નિયમિત વર્તણૂક, સિસ્ટમના અનિવાર્ય મેનીફોલ્ડ્સની ટોપોલોજી અથવા તેના સમગ્ર તબક્કાની જગ્યા હોઈ શકે છે. સામાન્ય રીતે, ગતિશીલ પ્રણાલીઓના ગુણાત્મક અભ્યાસમાં, તેઓને અમુક સમકક્ષતા સુધી ગણવામાં આવે છે (ટ્રેજેક્ટરી, ટોપોલોજિકલ, સ્મૂથ, વગેરે), અને કાર્ય આ સમતુલાને અનુરૂપ અવિવર્તી શોધવાનું છે (ખાસ કરીને, અવિચારીઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ શોધવા માટે. , એટલે કે યોગ્ય સમકક્ષતા સુધી સિસ્ટમોનું વર્ગીકરણ).

સંખ્યા ભૂમિતિ સંખ્યા સિદ્ધાંતના ભૌમિતિક પાસાઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે. સંખ્યા ભૂમિતિમાં એક લાક્ષણિક સમસ્યા બહુપરિમાણીય અવકાશમાં બહિર્મુખ પદાર્થોના સંદર્ભમાં પૂર્ણાંક વેક્ટરની ગોઠવણી છે. પ્રથમ કામમાં દેખાયા મિન્કોવ્સ્કી, જેમણે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા જથ્થાના સપ્રમાણ શરીરમાં પૂર્ણાંક બિંદુ (પૂર્ણાંક આધાર) ની હાજરી સાબિત કરી. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ, ડાયોફેન્ટાઇન અને તર્કસંગત અંદાજો સાથે નજીકથી સંબંધિત.
ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓની ભૂમિતિ ભૌમિતિક વસ્તુઓનો અભ્યાસ કરે છે જે ચોક્કસ ભૌમિતિક કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓ છે, જેમ કે વળાંકની લંબાઈ, સપાટી વિસ્તાર અને ઊર્જા કાર્યાત્મક. આ પ્રકારના ઑબ્જેક્ટ્સમાં ન્યૂનતમ અને હાર્મોનિક સપાટીઓ, જીઓડેસિક્સ, એક્સ્ટ્રીમલ નેટવર્ક્સ, મિનિમલ ફિલિંગ વગેરેનો સમાવેશ થાય છે. આ સિદ્ધાંતના સૌથી આકર્ષક પરિણામોમાં ન્યૂનતમ સપાટી પર પ્લેટુની સમસ્યાનો ઉકેલ, મેનીફોલ્ડ પર ત્રણ બંધ નેસ્ટેડ જીઓડેસિક્સના અસ્તિત્વનો પુરાવો શામેલ છે. દ્વિ-પરિમાણીય ગોળામાં હોમોમોર્ફિક, અને સતત બિન-નકારાત્મક વક્રતાની સપાટી પર સ્થાનિક રીતે બંધ ન્યૂનતમ નેટવર્કનું વર્ગીકરણ. આ પ્રકારની સમસ્યાઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર, મિકેનિક્સ, રસાયણશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન, લોજિસ્ટિક્સ વગેરેમાં અસંખ્ય એપ્લિકેશનો ધરાવે છે.
અલગ અને સંયુક્ત ભૂમિતિ ભૌમિતિક સમસ્યાઓને જોડે છે જે અલગ ભૌમિતિક વસ્તુઓના સંયોજન ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે, જેમ કે બિંદુઓના સેટ, રેખાઓ, દડાઓ વગેરે. આ કિસ્સામાં, એક નિયમ તરીકે, સંબંધિત સ્થિતિ અથવા આસપાસની જગ્યામાં આ ઑબ્જેક્ટ્સના શ્રેષ્ઠ સ્થાન વિશેના પ્રશ્નો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. આ પ્રકારની સૌથી પ્રસિદ્ધ સમસ્યાઓમાં કેપ્લર અને ન્યૂટનની સમસ્યા છે કે આપેલ એકને સ્પર્શતા વલયોની મહત્તમ સંખ્યા વિશે, અવકાશમાં અથવા મર્યાદિત વોલ્યુમમાં બોલના શ્રેષ્ઠ પેકિંગ વિશેની સમસ્યા, ગોળાકાર કોડ વિશે ટેમની સમસ્યા. અલગ ભૂમિતિમાં આસપાસની જગ્યાઓમાં આલેખની એક અથવા બીજી ગોઠવણીને લગતા પ્રશ્નોનો પણ સમાવેશ થાય છે. આમાં કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ સંબંધિત સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓનો પણ સમાવેશ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, વોરોનોઈ આકૃતિઓ, ડેલૌનેય ત્રિકોણ વગેરે.
વિભેદક ભૂમિતિ ચોક્કસ વધારાના બંધારણો સાથે સરળ મેનીફોલ્ડનો અભ્યાસ કરે છે. તે, સૌ પ્રથમ, તેની પદ્ધતિઓ માટે, જે ગાણિતિક વિશ્લેષણ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, ખાસ કરીને, કાર્યોના વિભેદક ગુણધર્મો માટે અલગ છે. દ્વારા બનાવેલ વણાંકો અને સપાટીઓના શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતમાંથી વિકસિત ગૌસઅને મોંગે. વિભેદક ભૂમિતિ પરંપરાગત રીતે સ્થાનિકમાં વિભાજિત થાય છે, એટલે કે. જે એક બિંદુના નાના પડોશમાં મેનીફોલ્ડના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે, અને વૈશ્વિક (કહેવાતી ભૂમિતિ "સંપૂર્ણ રીતે"), જે મેનીફોલ્ડના નાના ટુકડાઓના ગુણધર્મો અને સમગ્ર મેનીફોલ્ડની લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના જોડાણોનો અભ્યાસ કરે છે. . એક અર્થમાં, ભૂમિતિના કેટલાક વ્યક્તિગત વિભાગો કે જેને આપણે ઓળખ્યા છે, જેમ કે રીમેનિયન ભૂમિતિ અને સિમ્પ્લેટિક ભૂમિતિ, પણ વિભેદક ભૂમિતિના પેટાવિભાગો તરીકે ગણી શકાય.
ઇન્ટિગ્રલ ભૂમિતિ શાસ્ત્રીય સંકલનથી વિપરીત સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કરે છે, એટલે કે, તે મૂળ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનના ચોક્કસ સબસેટ પર તેના અભિન્ન મૂલ્યોના સમૂહમાંથી ફંક્શનને પુનઃસ્થાપિત કરવાની સંભાવનાની શોધ કરે છે. "અભિન્ન ભૂમિતિ" શબ્દ XX સદીના 30 ના દાયકામાં કાર્યોમાં ઉદ્ભવ્યો તકતીઅને મૂળ અર્થ કંઈક સંપૂર્ણપણે અલગ હતો: મેનીફોલ્ડના ચોક્કસ સબસેટ પર ફંક્શનના ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે, માપ સાથેની જગ્યાઓ. આધુનિક અવિભાજ્ય ભૂમિતિ સજાતીય જગ્યાઓના સિદ્ધાંત, ફાઇબરવાળી જગ્યાઓના સિદ્ધાંત, રજૂઆતના સિદ્ધાંત અને માપના સિદ્ધાંત સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. તેની પાસે અસંખ્ય એપ્લિકેશનો છે, ઉદાહરણ તરીકે ગણતરી કરેલ ટોમોગ્રાફીમાં.
જટિલ ભૂમિતિ જટિલ રચના સાથે મેનીફોલ્ડ્સની ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરે છે. તેની પ્રારંભિક શાખા રીમેન સપાટીઓનો સિદ્ધાંત છે, જે બનાવેલ છે રીમેનઅને એક-પરિમાણીય જટિલ મેનીફોલ્ડ્સના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવો. જટિલ ભૂમિતિ જટિલ વિશ્લેષણ અને બીજગણિત સાથે નજીકના જોડાણો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. તાજેતરમાં, જટિલ ભૂમિતિ વચ્ચે નજીકના જોડાણો (ખાસ કરીને, ભૂમિતિ Teichmuller જગ્યાઓ) આધુનિક સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે.
કમ્પ્યુટર ભૂમિતિ ભૌમિતિક મોડેલોના વિઝ્યુલાઇઝેશનથી સંબંધિત સામાન્ય કમ્પ્યુટર મોડેલિંગ સાથે વ્યવહાર કરે છે. કમ્પ્યુટર ભૂમિતિમાં કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ તે તેના સુધી મર્યાદિત નથી. કોમ્પ્યુટર ભૂમિતિના માળખામાં, મેનીફોલ્ડ્સ, નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિઓ, સપાટી પરના ભૌગોલિક પ્રવાહ, વિભેદક સમીકરણના ઘણા ઉકેલો, વગેરે જેવા જટિલ પદાર્થોના નમૂનાઓ, કમ્પ્યુટર ભૂમિતિ આધુનિક સંશોધકને એ ચલાવવા માટે એક શક્તિશાળી સાધન આપે છે કમ્પ્યુટર પ્રયોગોની વિવિધતા, જેના પરિણામે અમુક પૂર્વધારણાઓ.
મેટ્રિક ભૂમિતિ શાસ્ત્રીય વસ્તુઓ જેમ કે વણાંકો અને સપાટીઓ પર કુદરતી રીતે વ્યાખ્યાયિત અંતર કાર્યના સંદર્ભમાં ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરે છે. આ કિસ્સામાં, વિભેદક શબ્દોમાં વ્યાખ્યાયિત ગુણધર્મો, જેમ કે વક્રતા, અંતર કાર્ય માટે ચોક્કસ સંબંધોના સંદર્ભમાં અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. પરિણામે, એક તરફ, વિભેદક ભૂમિતિના ઘણા પરિણામોને સરળતા વિશે ધારણાઓ વિના નોંધપાત્ર રીતે વધુ સામાન્ય પદાર્થોના કિસ્સામાં સ્થાનાંતરિત કરવું શક્ય છે, જે ઘણા કિસ્સાઓમાં વિચારણા હેઠળની વસ્તુઓની જગ્યાઓની સંપૂર્ણતા પ્રાપ્ત કરવાનું શક્ય બનાવે છે. . પરિણામે, દેખીતી રીતે દૂરના ગાણિતિક પદાર્થો વચ્ચે અનપેક્ષિત જોડાણો ઉદ્ભવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેનહટન મેટ્રિક કહેવાતા ( ગ્રોમોવ). બીજી બાજુ, આવી અર્થઘટન આપણને વિભેદક ભૌમિતિક પરિણામો પર પુનર્વિચાર કરવાની અને વક્રતા ટેન્સર જેવા જટિલ પદાર્થોની સમજણમાં આગળ વધવા દે છે.
વર્ણનાત્મક ભૂમિતિ તેમના બહુવિધ ઓર્થોગોનલ અંદાજોનો ઉપયોગ કરીને અવકાશી આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરે છે. ડ્રોઇંગ બનાવવા અને વાંચવા માટેના મુખ્ય સાધન તરીકે એન્જિનિયરિંગમાં ઉદ્દભવ્યું. વર્ણનાત્મક ભૂમિતિનો પાયો નાખવામાં આવ્યો મોંગે, જે તે સમયે એન્જિનિયરિંગ સ્કૂલમાં ભણાવતા હતા અને કિલ્લેબંધીની ગણતરી માટેના ઓર્ડરને પૂરા કરતા હતા. તાજેતરમાં, કોમ્પ્યુટર-સહાયિત ડિઝાઇન પ્રણાલીઓના વિકાસના સંદર્ભમાં, વર્ણનાત્મક ભૂમિતિની ભૂમિકા વધુને વધુ સંપૂર્ણ રીતે શૈક્ષણિક બની રહી છે.
નોન-કોમ્યુટેટીવ ભૂમિતિ ચોક્કસ વર્ગોની જગ્યાઓ પર ફંક્શન બીજગણિતના બિન-કમ્યુટેટીવ એનાલોગના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે. પ્રારંભિક બિંદુ કે જેણે આ વિચારને જીવંત બનાવ્યો તે ગેલફંડ-નાઈમાર્ક પ્રમેય છે, જે 1940 ના દાયકાની શરૂઆતમાં સાબિત થયું હતું, કોમ્પેક્ટ ટોપોલોજીકલ જગ્યાઓ અને વિનિમયાત્મક C * - બીજગણિતની શ્રેણીની સમાનતા પર. તે બહાર આવ્યું છે કે અહીં ઉદભવતી બીજગણિત રચનાઓ કોમ્યુટેટીવીટી પ્રોપર્ટી છોડી દેવામાં આવ્યા પછી પણ અર્થપૂર્ણ રહે છે. બિન-વિનિમયાત્મક ભૂમિતિના માળખામાં, આધુનિક ગણિતના વિવિધ વિભાગોની પદ્ધતિઓને જોડવામાં આવી હતી: ટોપોલોજી, વિભેદક ભૂમિતિ, કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ, માપન સિદ્ધાંત, પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત અને કેટલીક અન્ય. બિન-વિનિમયાત્મક સામાન્યીકરણનો વિચાર મૂળભૂત છે, કારણ કે તેના માટે આભાર, માત્ર ઘણી મહત્વપૂર્ણ સમસ્યાઓ હલ થઈ નથી, પરંતુ ઉપરોક્ત વિસ્તારો પણ નવી પદ્ધતિઓ અને પરિણામોથી પરસ્પર સમૃદ્ધ થયા છે. શબ્દ "બિન-વિનિમયાત્મક ભૂમિતિ" દેખીતી રીતે મોનોગ્રાફને આભારી છે. એ. કોન્ના"બિન-કમ્યુટેટિવ ભૂમિતિ".
રીમેનિયન અને ફિન્સલેરીયન ભૂમિતિ મેનીફોલ્ડનો અભ્યાસ કરે છે જેના પર વધારાનું માળખું આપવામાં આવે છે જે વ્યક્તિને સ્પર્શક વેક્ટરની લંબાઈની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. આવી રચનાઓના મુખ્ય ઉદાહરણો છે રીમેનિયન અને સ્યુડો-રીમેનિયન મેટ્રિક્સ (ટેન્જેન્ટ સ્પેસ પર બિન-ડિજનરેટ સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપો જે મેનીફોલ્ડના બિંદુ પર સરળતાથી આધાર રાખે છે) અને ફિન્સલર માળખું (ટેન્જેન્ટ સ્પેસ પરના ધોરણોનું કુટુંબ કે જે સરળતાથી આધાર રાખે છે. મેનીફોલ્ડનો બિંદુ અને તેમાં સંખ્યાબંધ વધારાના ગુણધર્મો છે). રીમેનિયન ભૂમિતિનો પાયો નાખવામાં આવ્યો હતો રીમેન, જેમણે સપાટીના સિદ્ધાંતને બહુપરીમાણીય કેસમાં સામાન્ય બનાવ્યો, શાસ્ત્રીય પરિણામોને તેમાં સ્થાનાંતરિત કર્યા ગૌસ, બોનવગેરે. રીમેનિયન ભૂમિતિના માળખામાં, દ્વિ-પરિમાણીય સપાટીની વક્રતા (વિભાગીય વક્રતા, રિક્કી વક્રતા, રીમેન વક્રતા)ની સમાન સ્થાનિક લાક્ષણિકતાઓના સંદર્ભમાં મેનીફોલ્ડ્સની વૈશ્વિક રચના પર પ્રતિબંધો મેળવવાનું શક્ય છે.
સિમ્પ્લેટિક ભૂમિતિ સિમ્પ્લેટિક મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ કરે છે, એટલે કે. મેનીફોલ્ડ્સ કે જેના પર બંધ બિન-ડિજનરેટ 2-ફોર્મ (સિમ્પ્લેટિક માળખું) આપવામાં આવે છે. વાસ્તવમાં, ભૂમિતિની એક અલગ શાખા તરીકે સિમ્પ્લેટિક ભૂમિતિ લગભગ 200 વર્ષ પહેલાં ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં સમસ્યાઓ માટે અનુકૂળ ભાષા તરીકે ઊભી થઈ હતી. અને હવે સિમ્પ્લેટિક મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ કરવા માટેનું એક મુખ્ય પ્રોત્સાહન એ છે કે તેમને ગતિશીલ પ્રણાલીઓના તબક્કાની જગ્યાઓ તરીકે ધ્યાનમાં લેવાનું સ્વાભાવિક છે જે મિકેનિક્સ, ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ભૂમિતિની વિવિધ સમસ્યાઓનું વર્ણન કરે છે. જો કે, 1970-80 ના દાયકાથી શરૂ કરીને (કામ પછી V.I. આર્નોલ્ડ, A. વેઈનસ્ટાઈન(એ. વેઈનસ્ટીન), એમ.એલ) સિમ્પ્લેટિક ભૂમિતિ ગણિતના એક અલગ સ્વતંત્ર ક્ષેત્રમાં ફેરવાઈ ગઈ છે, જેનો વિકાસ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર, નિમ્ન-પરિમાણીય ટોપોલોજી, ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો સિદ્ધાંત, બીજગણિત ભૂમિતિ અને જટિલ વિશ્લેષણ સાથે ગાઢ જોડાણ દ્વારા ઉત્તેજિત થાય છે.
સ્ટોકેસ્ટિક ભૂમિતિ એ સ્ટોકેસ્ટિક વિશ્લેષણની એક શાખા છે. તે અનંત-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ અને સ્મૂથ હિલ્બર્ટ મેનીફોલ્ડ્સ પર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરે છે, જે સ્ટોકેસ્ટિક ઇટો સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આવી પ્રક્રિયાઓની સંક્રમણ સંભાવનાઓની સરળતાના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને અનંત-પરિમાણીય જૂઠ્ઠાણા જૂથો પર અર્ધ-અવિવર્તી પગલાંનું નિર્માણ રજૂ કરવામાં આવે છે. સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક ભૂમિતિનો પાયો નાખ્યો છે યુ.એલઅને Y.I. Belopolskaya XX સદીના 70 ના દાયકામાં
ફ્રેક્ટલ ભૂમિતિ કહેવાતા ફ્રેકટલ્સ (સ્વ-સમાન સેટ) નો અભ્યાસ કરે છે. અસામાન્ય ગુણધર્મોવાળા આવા સેટના પ્રથમ ઉદાહરણો 19મી સદીમાં દેખાયા હતા (ઉદાહરણ તરીકે, કેન્ટર સેટ). "ફ્રેક્ટલ" શબ્દ રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો બી. મેન્ડેલબ્રોટ 1975માં અને 1977માં તેમના પુસ્તક Fractal Geometry of Nature ના પ્રકાશન સાથે વ્યાપક લોકપ્રિયતા મેળવી. જો કે, "ફ્રેકટલ" (lat. અસ્થિભંગ- કચડી, તૂટેલી, તૂટેલી) એ ગાણિતિક શબ્દ નથી અને તેની સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત કડક ગાણિતિક વ્યાખ્યા નથી. ફ્રેક્ટલ એ એક જટિલ ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે સ્વ-સમાનતાની મિલકત ધરાવે છે, એટલે કે, ઘણા ભાગોથી બનેલું છે, જેમાંથી દરેક સંપૂર્ણ આકૃતિ સમાન છે. વ્યાપક અર્થમાં, અપૂર્ણાંકને યુક્લિડિયન અવકાશમાં બિંદુઓના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે જેમાં અપૂર્ણાંક મેટ્રિક પરિમાણ હોય છે (અર્થમાં મિન્કોવ્સ્કીઅથવા હોસડોર્ફ), અથવા મેટ્રિક પરિમાણ ટોપોલોજિકલ એક કરતા સખત રીતે વધારે છે. આધુનિક ખંડિત ભૂમિતિમાં, રેન્ડમ ફ્રેકટલ્સનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. ખંડીય ભૂમિતિ સંખ્યા સિદ્ધાંત અને આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે ઊંડા જોડાણ ધરાવે છે

જ્ઞાનના આ બધા ખૂબ જ વિવિધ ક્ષેત્રો એકરૂપ છે ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ.

ભૌમિતિક સંશોધન પદ્ધતિઓ.

ભૌમિતિક ઑબ્જેક્ટ્સની સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિશેષતા એ તેમની અવ્યવસ્થા (સંકલન પ્રણાલીની સ્વતંત્રતા) છે. આ સંદર્ભમાં, ભૂમિતિ વિશ્વનું વિશિષ્ટ, લાક્ષણિક ચિત્ર બનાવે છે, જે મુખ્યત્વે સૂત્રો અને ગણતરીઓ પર આધારિત નથી, પરંતુ ગુણાત્મક વિશ્લેષણ પર આધારિત છે; આ ચિત્ર અંતર્જ્ઞાનના વ્યાપક ઉપયોગ સાથે સંપૂર્ણ ગાણિતિક કઠોરતાના સંયોજન દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. ચાલો આપણે અમુક, અમારા મતે, ભૌમિતિક વસ્તુઓનો અભ્યાસ કરવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓની સૂચિ બનાવીએ.

એક અથવા બીજી વધારાની રચનાથી સજ્જ સજાતીય પદાર્થો (બિંદુઓ) ની જગ્યાના ગુણધર્મોની વ્યાખ્યા અને વર્ણન. ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડિયન જગ્યાઓની ભૂમિતિનું વર્ણન, નિયમિત સપાટીઓ, સરળ મેનીફોલ્ડ્સ (ખાસ કરીને, વિવિધ બંધારણો સાથે મેનીફોલ્ડ્સ - રીમેનિયન, સ્યુડો-રીમેનિયન, જટિલ, બીજગણિત, સિમ્પ્લેટિક, સંપર્ક, ફિન્સલર કેહલર, વગેરે), હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ, અસત્ય જૂથો, સામાન્ય ટોપોલોજીકલ જગ્યાઓ, સેલ્યુલર સંકુલ વગેરે.
ભૂમિતિની કેન્દ્રીય પદ્ધતિઓમાંની એક (અને સામાન્ય રીતે ગણિત) સંકલન કરવાની પદ્ધતિ છે. ભૌમિતિક ઑબ્જેક્ટનો અભ્યાસ કરવા માટે, એક સંકલન સિસ્ટમ રજૂ કરવામાં આવે છે જે વિશ્લેષણાત્મક અથવા બીજગણિત ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને તેના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવાનું શક્ય બનાવે છે. શબ્દો "વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ", "વિભેદક ભૂમિતિ", "બીજગણિત ભૂમિતિ", "સિમ્પ્લેટિક ભૂમિતિ" પોતે જ સંકળાયેલા છે, ખાસ કરીને, ભૂમિતિના આ વિભાગોમાં ઉપયોગમાં લેવાતી સંકલન પદ્ધતિના તે પ્રકારો સાથે. આ અભિગમ સાથે, વિવિધ ભૌમિતિક બંધારણોની હાજરી સંકલન પ્રણાલીના વિવિધ વર્ગો અને સંકલન અવેજીમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, સિમ્પ્લેટિક ભૂમિતિમાં, સિમ્પ્લેટિક કોઓર્ડિનેટ્સ અને કેનોનિકલ ટ્રાન્સફોર્મેશન, જટિલ ભૂમિતિમાં - વિશ્લેષણાત્મક કોઓર્ડિનેટ્સ અને હોલોમોર્ફિક અવેજી વગેરે) . ભૌમિતિક ઓબ્જેક્ટો પોતે સ્વાભાવિક રૂપે અવિચલ છે, તેથી સંકલન પદ્ધતિનો એક મહત્વનો ભાગ એ છે કે જ્યારે કોઓર્ડિનેટ્સ બદલવામાં આવે ત્યારે ચોક્કસ સૂત્રો કેવી રીતે બદલાય છે તેનું વર્ણન કરવું.
ભૌમિતિક ઑબ્જેક્ટની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા તેની "સપ્રમાણતાઓ" નો સમૂહ છે, એટલે કે. પરિવર્તનનું જૂથ જે તેના ગુણધર્મોને સાચવે છે. આમ, ઓર્થોગોનલ ઓપરેટર્સનું જૂથ યુક્લિડિયન સ્પેસ સાથે સંકળાયેલું છે, ડિફિયોમોર્ફિઝમનું જૂથ સરળ મેનીફોલ્ડ સાથે સંકળાયેલું છે, આઇસોમેટ્રીઝનું જૂથ રીમેનિયન મેનીફોલ્ડ સાથે સંકળાયેલું છે, વગેરે. પરિવર્તનના જૂથનો અભ્યાસ કરવાથી તમે ઑબ્જેક્ટ વિશે જ મહત્વપૂર્ણ માહિતી મેળવી શકો છો; ઉદાહરણ તરીકે, સજાતીય જગ્યાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, પરિવર્તન જૂથના ગુણધર્મો મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે.
ભૂમિતિમાં મેટ્રિક અભિગમ બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના એનાલોગની રજૂઆત અને આ અંતરના ગુણધર્મોના અભ્યાસ સાથે સંકળાયેલ છે (મેટ્રિક જગ્યાઓનો સામાન્ય સિદ્ધાંત, બનાચ જગ્યાઓની ભૂમિતિ અને તેમાંના ઓપરેટરોના ગુણધર્મો, સેમિનોર્મ્સ અને ફ્રીચેટ સ્પેસ, વગેરે).
ભૂમિતિમાં તેની શરૂઆતથી જ સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તે એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે ભૌમિતિક બંધારણોનું વર્ણન સ્વયંસિદ્ધોની સૂચિનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, જેમાંથી અન્ય ગુણધર્મો પછીથી મેળવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડિયન ભૂમિતિને રેખીય અવકાશમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (એટલે કે, સંખ્યા દ્વારા સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ સાથેનો સમૂહ કે જે ચોક્કસ સમૂહને સંતોષે છે) એક સ્કેલર ઉત્પાદન સાથે (વેક્ટર્સની જોડીનું કાર્ય જે સંતોષે છે. કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ). બીજું ઉદાહરણ: મેનીફોલ્ડ પરના જોડાણને વેક્ટર ક્ષેત્રોના ભિન્નતાના ઓપરેશન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે રેખીયતા સ્વયંસિદ્ધ અને લીબનીઝના નિયમને સંતોષે છે.
તાજેતરના દાયકાઓમાં, કમ્પ્યુટર ભૌમિતિક મોડેલિંગ સક્રિયપણે વિકસિત થઈ રહ્યું છે. ઘણા પ્રોગ્રામ્સ વિકસાવવામાં આવ્યા છે જે વ્યક્તિને વિવિધ પ્રકારની પ્રક્રિયાઓનું મોડેલિંગ કરતી વખતે ઉદ્ભવતા ભૌમિતિક પદાર્થોની કલ્પના કરવા, તેમના ગુણધર્મોને દૃષ્ટિની રીતે દર્શાવવા અને ગાણિતિક, ભૌતિક, જૈવિક, આર્થિક અને અન્ય પૂર્વધારણાઓને ચકાસવા માટે કમ્પ્યુટર પ્રયોગો કરવા દે છે. વધુમાં, કોમ્પ્યુટર મોડેલીંગનો ઉપયોગ ગાણિતિક પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે પણ થાય છે (જોકે, આવા પુરાવાઓ અચૂકપણે ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં શંકા પેદા કરે છે); પ્રખ્યાત ઉદાહરણો - સાબિતી એપલઅને હેકન 1976 માં, ચાર-રંગી અનુમાન અને 1989 માં સાબિતી લેમ 10મા ક્રમના મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનનું અસ્તિત્વ નથી.

આધુનિક વિશ્વમાં ભૂમિતિનું સ્થાન.

ગણિત.વિશ્વનો ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણ તમામ આધુનિક ગણિતમાં ફેલાયેલો છે; તેના મોટાભાગના વિભાગો ભૌમિતિક ભાષાનો ઉપયોગ કરે છે અને ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ લાગુ કરે છે. ઘણીવાર ભૌમિતિક વિચારોના ઘૂંસપેંઠથી નવા સિદ્ધાંતોની રચના, નવી સમસ્યાઓ અને અણધાર્યા પરિણામોની રચના થાય છે: ખાસ કરીને, સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં ભૌમિતિક વિચારો ગુણાત્મક સિદ્ધાંત અને ગતિશીલ પ્રણાલીઓના સિદ્ધાંતની રચના તરફ દોરી જાય છે; આંશિક વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં - માઇક્રોલોકલ વિશ્લેષણ, બિન-માનક લાક્ષણિકતાઓનો સિદ્ધાંત, સોલિટોન અને યાંગ-મિલ્સ ક્ષેત્રોનો સિદ્ધાંત; ભિન્નતાઓની ગણતરીમાં - ભૌમિતિક વિવિધતા સમસ્યાઓ સુધી, જીઓડેસિક પ્રવાહનો સિદ્ધાંત.

કુદરતી વિજ્ઞાન.આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્ર ભૂમિતિ સાથે ગાઢ રીતે જોડાયેલું છે. ક્લાસિકલ મિકેનિક્સ રીમેનિયન અને સિમ્પલેક્ટિક ભૂમિતિ, ઓપ્ટિક્સ અને થર્મોડાયનેમિક્સ - સિમ્પ્લેટિક અને સંપર્ક ભૂમિતિની ભાષા, પદ્ધતિઓ અને પરિણામોનો ઉપયોગ કરે છે, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ જટિલ ભૂમિતિ, સિમ્પ્લેટિક ભૂમિતિ અને હિલ્બર્ટ સ્પેસની ભૂમિતિ, ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરી, ડિફરન્સિયલ સિમ્પ્લેક્ટિક ભૂમિતિ, સિમ્પ્લેક્ટિક ભૂમિતિ અને અલજીબ્રાક્સનો ઉપયોગ કરે છે. ભૂમિતિ સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રના લગભગ તમામ વિભાગોમાં, ભૌમિતિક વિચારો, પદ્ધતિઓ અથવા રચનાઓ એક અથવા બીજી રીતે આવી છે. ચાલો નોંધ લઈએ કે ભૌતિક વિચારો, બદલામાં, ભૂમિતિમાં દેખાય છે; ઘણીવાર ભૌતિક સિદ્ધાંતોના વિશ્લેષણથી ભૌમિતિક બાંધકામોના વિકાસને પ્રોત્સાહન મળે છે (ઉદાહરણ તરીકે, સિમ્પ્લેટિક અને સંપર્ક ભૂમિતિ સીધી રીતે ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે સંબંધિત છે).

ભૂગોળ હંમેશા ભૌમિતિક ભાષાનો ઉપયોગ કરે છે; ખાસ કરીને, નકશા અને સંકલનનો ઉપયોગ કરીને સપાટીનું વર્ણન કરવાનો વિચાર આ વિજ્ઞાનને નજીકથી જોડે છે. ગોળાકાર ભૂમિતિનો ઉપયોગ જહાજો અને એરક્રાફ્ટ માટે રૂટ ડિઝાઇન કરવા માટે થાય છે.

ભૂમિતિનો ઉપયોગ રસાયણશાસ્ત્ર અને મોલેક્યુલર બાયોલોજીમાં થાય છે; જટિલ સંયોજનો (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોટીન) સમૃદ્ધ ભૌમિતિક માળખું ધરાવે છે, જે, તે બહાર આવ્યું છે, પ્રશ્નમાં રહેલા પદાર્થના રાસાયણિક અને જૈવિક ગુણધર્મોને નોંધપાત્ર રીતે અસર કરે છે; ભૂમિતિનો ઉપયોગ પરમાણુઓના ઊર્જાસભર અને ક્વોન્ટમ ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવા માટે પણ થાય છે.

ટેકનીક.આધુનિક ટેકનોલોજી સક્રિયપણે ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ અને પરિણામોનો ઉપયોગ કરે છે. કાર, એરોપ્લેન, પુલ અને અન્ય ઘણી તકનીકી વસ્તુઓની ડિઝાઇનમાં કમ્પ્યુટર ભૂમિતિનો ઉપયોગ થાય છે; કિંમતી પથ્થરો કાપતી વખતે, મોબાઇલ નેવિગેશન વગેરે બાબતોમાં ભૌમિતિક સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે. પેટર્નની ઓળખની ભૌમિતિક પદ્ધતિઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, અને આધુનિક સાઇફર અને કોડ્સ મોટાભાગે લંબગોળ વળાંકોના બીજગણિત ગુણધર્મો પર આધારિત હોય છે.

દવા.ફોટોગ્રાફ્સ (મેડિકલ ટોમોગ્રાફી) પર દેખાતા તેમના અંદાજોમાંથી આંતરિક અવયવોના ચિત્રને પુનઃનિર્માણ કરવાનું કાર્ય ભૌમિતિક પ્રકૃતિનું છે અને તે અવિભાજ્ય ભૂમિતિ સાથે સંકળાયેલું છે (મેનીફોલ્ડ પરના ફંક્શનના ગુણધર્મોને મેનીફોલ્ડ પરના સબમેનિફોલ્ડ પરિવારો પર તેના ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા વર્ણવવું). દવામાં, હાડપિંજરના વિવિધ ભાગોના ભૌમિતિક મોડલનો ઉપયોગ થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, ડેન્ટલ પ્રોસ્થેટિક્સ, ઘૂંટણ અને કોણીના સાંધા, વગેરે માટે ફરતા જડબા). આધુનિક 3D તકનીકોના વિકાસથી દર્દીના 3D સ્કેનના પરિણામોના આધારે વ્યક્તિગત હાડકાના કૃત્રિમ અંગો બનાવવાનું શક્ય બન્યું છે. વ્યક્તિગત અંગો અને તેમની પ્રણાલીઓના કોમ્પ્યુટર મોડલ પણ આધુનિક દવામાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે હૃદય પર મોટી કામગીરી વિકસાવવામાં આવે છે, ત્યારે તેના ભૌમિતિક કમ્પ્યુટર મોડેલનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.

કલા.લલિત કળા અને સ્થાપત્યમાં ભૌમિતિક છબીઓનો લાંબા સમયથી ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પરિપ્રેક્ષ્યનું ભૌમિતિક વિજ્ઞાન માં જોવા મળે છે એસ્કિલસઅને ડેમોક્રિટસ(જોકે, અલબત્ત, તેના તત્વોનો ઉપયોગ ખૂબ પહેલા કરવામાં આવ્યો હતો - ઉદાહરણ તરીકે, ઇજિપ્તના મંદિરો અને પિરામિડના નિર્માણમાં). ત્યારબાદ, ભૂમિતિનો આ વિભાગ ઘણા કલાકારો અને વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો (ખાસ કરીને, તેના વિકાસમાં એક મહાન યોગદાન દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. લિયોનાર્ડો દા વિન્સી, ડ્યુરર, ડિસર્ગેસ, મોંગેઅને અન્ય). હવે પરિપ્રેક્ષ્ય ભૂમિતિ અને વર્ણનાત્મક ભૂમિતિ કલાકારો, આર્કિટેક્ટ્સ અને ડિઝાઇનરો માટે પ્રમાણભૂત સાધનો છે. ચાલો કહીએ કે શર્મ અલ-શેખ (ઇજિપ્ત) માં એરપોર્ટ ટર્મિનલની છત એક ન્યૂનતમ સપાટીનું મોડેલ છે. સંગીતમાં ભૂમિતિ પણ મહત્વપૂર્ણ છે: સંગીતનાં સાધનનો આકાર, કોન્સર્ટ હોલ, મંદિર એ સૂક્ષ્મ ભૌમિતિક અને એકોસ્ટિક ગણતરીઓનું પરિણામ છે. છેવટે, 3D તકનીકો, જે પ્રોજેક્ટિવ અને કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ પર આધારિત છે, તેનો ઉપયોગ ફિલ્મ અને ટેલિવિઝનમાં વધુને વધુ થાય છે, જે તેમને વિકાસના આગલા તબક્કામાં લઈ જાય છે.

માનવતા.ભૂમિતિનો ઉપયોગ માનવશાસ્ત્રમાં પણ થાય છે: અર્થશાસ્ત્ર (પરિવહન સમસ્યાઓ, ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ, ઉત્પાદનના ભૌમિતિક મોડલ, આર્થિક સંતુલન શોધવા માટે સતત મેપિંગના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ); ભાષાશાસ્ત્ર (શબ્દ જગ્યાઓની ભૂમિતિ), વગેરે.

ધર્મ.પવિત્ર ભૂમિતિ - વિશ્વના સ્વરૂપો અને અવકાશ વિશેના ધાર્મિક વિચારોની એક પ્રણાલી, તેના પ્રમાણ અને સંવાદિતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે - મોટાભાગના વિશ્વ ધર્મોમાં હાજર છે. તે પવિત્ર આર્કિટેક્ચર, પેઇન્ટિંગ અને સંગીત અને આઇકોનોગ્રાફીમાં પોતાને પ્રગટ કરે છે. ભૌમિતિક આકારોનો ઉપયોગ લગભગ તમામ ધર્મો પવિત્ર પ્રતીકો તરીકે કરે છે.

શિક્ષણ.આધુનિક શાળા શિક્ષણમાં, ભૂમિતિ અસાધારણ ભૂમિકા ભજવે છે. તે ભૂમિતિના પાઠોમાં છે કે બાળકો સખત સાબિતી શું છે તે શીખે છે, તાર્કિક રીતે વિચારવાનું શીખે છે અને પરિસરમાંથી સારી રીતે સ્થાપિત તારણો દોરે છે. તે જ સમયે, શાળા ભૂમિતિ દ્રશ્ય (એટલે કે, અપરિવર્તક) ગણિત દર્શાવે છે, જે સૂત્રો પર આધારિત નથી, પરંતુ ભૌમિતિક પદાર્થોના ગુણાત્મક ગુણધર્મોના વિગતવાર અભ્યાસ પર આધારિત છે. સ્પષ્ટતા સાથે કઠોરતાનું આ સંયોજન વિશ્વના કુદરતી વૈજ્ઞાનિક ચિત્રને નીચે આપે છે; આમ, ભૂમિતિનો અભ્યાસ એ તમામ વૈજ્ઞાનિક શિક્ષણમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ તબક્કો છે. , ટ્રાન્સ. જર્મનમાંથી, એમ.-એલ., 1937.

પરિચય

1862-1943 ) CIC સદીના અંતે.

– – માપ

ભૂમિતિ બાંધકામ યોજના

મુખ્ય અવ્યાખ્યાયિત ખ્યાલો સૂચિબદ્ધ છે.

મૂળભૂત વિભાવનાઓના ગુણધર્મો - સ્વયંસિદ્ધ - ઘડવામાં આવે છે.

અન્ય ભૌમિતિક ખ્યાલો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

ભૌમિતિક ખ્યાલોના ગુણધર્મો - પ્રમેય - ઘડવામાં આવે છે અને સાબિત થાય છે.

સ્ટીરિયોમેટ્રીના એક્સિઓમ્સ. Axioms માંથી પરિણામો

સ્ટીરિયોમેટ્રીની મૂળભૂત વિભાવનાઓ: બિંદુ, રેખા, વિમાન, અંતર.

વ્યાખ્યા: સ્વયંસિદ્ધ એ એક પ્રસ્તાવ છે જેને પુરાવાની જરૂર નથી .

પોઈન્ટ, લીટીઓ અને પ્લેન્સની તેમની સંબંધિત સ્થિતિ સંબંધિત મૂળભૂત ગુણધર્મો સ્વયંસિદ્ધમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. સ્ટીરિયોમેટ્રીના સ્વયંસિદ્ધોની સમગ્ર પ્રણાલીમાં પ્લેનિમેટ્રી કોર્સમાંથી અમને જાણીતા ઘણા સ્વયંસિદ્ધ અને અવકાશમાં બિંદુઓ, રેખાઓ અને વિમાનોની સંબંધિત સ્થિતિ વિશેના સ્વયંસિદ્ધનો સમાવેશ થાય છે.

સ્ટીરિયોમેટ્રીના એક્સિઓમ્સ

આઈ. સંબંધના સ્વયંસિદ્ધ

હું 1. ઓછામાં ઓછી એક સીધી રેખા અને ઓછામાં ઓછું એક વિમાન છે. દરેક સીધી રેખા અને દરેક પ્લેન એ પોઈન્ટનો બિન-ખાલી સમૂહ છે જે અવકાશ સાથે મેળ ખાતો નથી.

હોદ્દો:

A, B, C, D - બિંદુઓ

a, b, c - સીધું

a, b, g - વિમાનો

એ Î એ– બિંદુ A રેખા a સાથે સંબંધિત છે, રેખા A બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે;

ઇ Ï એ –બિંદુ E રેખા a સાથે સંબંધિત નથી;

S Î a– બિંદુ C પ્લેન a નું છે, પ્લેન a બિંદુ C માંથી પસાર થાય છે;

ઇ Ï a –બિંદુ E પ્લેન a સાથે સંબંધિત નથી.

નિષ્કર્ષ: એવા બિંદુઓ છે જે રેખા સાથે સંબંધિત નથી અને તે બિંદુઓ છે જે પ્લેન સાથે સંબંધિત નથી અને તે પ્લેન સાથે સંબંધિત નથી.

હું 2. બે જુદા જુદા બિંદુઓમાંથી એક અને માત્ર એક જ સીધી રેખા પસાર થાય છે.

હોદ્દો:

અને એમ a –પ્લેન a લાઇન aમાંથી પસાર થાય છે;

b Ë a–પ્લેન a રેખા bમાંથી પસાર થતું નથી.

હું 4. ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા જે એક જ લાઇનથી સંબંધિત નથી, ત્યાં એક અને માત્ર એક જ વિમાન પસાર થાય છે.

હોદ્દો: a = ABC

નિષ્કર્ષ: વિમાનો જેમાં ત્રણ અલગ અલગ સામાન્ય બિંદુઓ હોય છે.

હું 5. જો બે અલગ-અલગ વિમાનોમાં સામાન્ય બિંદુ હોય, તો તેમનું આંતરછેદ એક સીધી રેખા છે.

હોદ્દો: M Î એ , એમÎ b , a ¹ b , aìü b = l.

II. અંતરની ધરી

II 1. કોઈપણ બે પોઈન્ટ માટે એઅને INત્યાં એક બિન-ઋણાત્મક જથ્થો છે જેને થી અંતર કહેવાય છે એથી IN. અંતર એબીશૂન્ય બરાબર જો અને માત્ર જો પોઈન્ટ હોય એઅને INમેળ

હોદ્દો: AB³ 0.

II 2. થી અંતર એથી INથી અંતર જેટલું INથી એ.

હોદ્દો: AB = BA.

II 3. કોઈપણ ત્રણ પોઈન્ટ માટે એ, IN, સાથેથી અંતર એથી સાથેથી અંતરના સરવાળા કરતાં વધુ નહીં એથી INઅને થી INથી સાથે.

હોદ્દો: AC £ AB + BC.

III. ક્રમના સ્વયંસિદ્ધ

III 1. કોઈપણ બિંદુ વિશેપ્રત્યક્ષ આરએક બિંદુથી અલગ બધી વસ્તુઓના સમૂહને વિભાજિત કરે છે વિશેસીધી રેખાના બિંદુઓ આરબે બિન-ખાલી સેટમાં જેથી કોઈપણ બે પોઈન્ટ માટે એઅને IN, વિવિધ સમૂહો સાથે જોડાયેલા, બિંદુ વિશેબિંદુઓ વચ્ચે આવેલું છે એઅને IN; જો પોઈન્ટ એઅને INસમાન સમૂહ સાથે સંબંધિત છે, પછી તેમાંથી એક બીજા અને બિંદુ વચ્ચે આવેલું છે વિશે.

III 3. જો બિંદુ સાથેબિંદુઓ વચ્ચે આવેલું છે એઅને IN, પછી પોઈન્ટ એ, IN, સાથેસમાન લાઇનથી સંબંધિત છે.

III 4. કોઈપણ સીધી રેખા આર, પ્લેનમાં પડેલો a આર આર.

IV. પ્લેન ગતિશીલતાનું સ્વયંસિદ્ધ

જો પોઈન્ટ એ, IN, એ 1, બી 1વિમાનમાં સૂવું a, અને AB > 0અને એબી= A 1 B 1, તો પછી આ પ્લેનની બે અને માત્ર બે હિલચાલ છે, જેમાંથી દરેક એક બિંદુ દર્શાવે છે એબિંદુ દીઠ એ 1અને બિંદુ INબિંદુ દીઠ બી 1.

વી. સમાંતરનું સ્વયંસિદ્ધ

બિંદુ દ્વારા એઆપેલ રેખાની સમાંતર વધુમાં વધુ એક રેખા છે આર.

Axioms માંથી પરિણામો

કોરોલરી 1: એક સીધી રેખા અને તેની સાથે સંબંધિત ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, એક અને માત્ર એક જ સમતલ દોરી શકાય છે.

આપેલ: M, a, M Ï એ

સાબિત કરો:

2. .

પુરાવો:

1. ચાલો લીટી a પર પોઈન્ટ A અને B પસંદ કરીએ (સ્વતત્ય I 1 ): એÎ એ, બીÎ એ.

): a = MAV.

કારણ કે બિંદુઓ A, B પ્લેન a સાથે સંબંધિત છે, તો પછી સીધી રેખા a પ્લેન a સાથે સંબંધિત છે (સ્વતત્ય I 3 ): એÌ a

પરિણામે, ત્યાં એક પ્લેન છે જે રેખા a અને બિંદુ Mમાંથી પસાર થાય છે જે તેની સાથે નથી: .

2. પ્લેન a માં રેખા a અને બિંદુ M સમાવે છે, એટલે કે, તે M, A, B બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ત્રણ બિંદુઓમાંથી જે એક જ રેખાથી સંબંધિત નથી, ત્યાં એક સમતલ છે (સ્વતત્યહું 4 ).

કોરોલરી 2: બે છેદતી રેખાઓ દ્વારા એક અને માત્ર એક જ સમતલ દોરી શકાય છે.

આપેલ: a, b, a ´ b

સાબિત કરો:

2. .

પુરાવો:

1. ચાલો a અને b રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને સૂચવીએ:

ચાલો લીટી a પર પોઈન્ટ A અને લીટી b પર પોઈન્ટ B પસંદ કરીએ (સ્વતત્ય I 1 ): એÎ એ, બીÎ b

પ્લેન a એ પોઈન્ટ M, A, Bમાંથી પસાર થાય છે (એક્સિમ I 4 ): a = MAV.

પોઈન્ટ A, M પ્લેન a સાથે સંબંધિત હોવાથી, પછી સીધી રેખા a પ્લેન a સાથે સંબંધિત છે (સ્વતત્ય I 3 ): AM = aÌ a

કારણ કે બિંદુઓ B, M પ્લેન a સાથે સંબંધિત છે, તો પછી સીધી રેખા b પ્લેન a સાથે સંબંધિત છે (એક્સિમ I 3 ): VM = b Ì a

પરિણામે, બે છેદતી રેખાઓ a અને bમાંથી પસાર થતું એક વિમાન છે: .

2. પ્લેન a માં a અને b રેખાઓ હોય છે, એટલે કે, તે M, A, B બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ત્રણ બિંદુઓમાંથી જે એક જ રેખાથી સંબંધિત નથી, ત્યાં એક જ પ્લેન છે (સ્વતત્ય I 4 ).

વ્યાખ્યા: રેખાઓને સમાંતર કહેવામાં આવે છે જો તે એક જ પ્લેનમાં હોય અને તેમાં સામાન્ય બિંદુઓ ન હોય અથવા એકરૂપ ન હોય.

કોરોલરી 3: બે સમાંતર રેખાઓ દ્વારા એક અને માત્ર એક જ સમતલ દોરી શકાય છે.

આપેલ: a, b,

સાબિત કરો:

2. .

પુરાવો:

1. બે સમાંતર રેખાઓ a અને bમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું અસ્તિત્વ સમાંતર રેખાઓની વ્યાખ્યાને અનુસરે છે.

2. ધારો કે ત્યાં a અને b રેખાઓ ધરાવતું બીજું પ્લેન છે. ચાલો લીટી a પર પોઈન્ટ A, લીટી b પર પોઈન્ટ B અને M પસંદ કરીએ (સ્વતત્ય I 1 ): એÎ એ, બીÎ b, MÎ b અમે જોયું કે બે વિમાનો A, B, M બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, જે સ્વયંસિદ્ધનો વિરોધાભાસ કરે છેહું 4. તેથી, ધારણા સાચી નથી, પ્લેન એ–એકમાત્ર

કસરતો:

c) ;

2. ચિત્રમાંથી નામ:

a) વિમાનો જેમાં સીધી રેખાઓ PE, MK, DB, AB, EC આવેલી છે;

b) પ્લેન ABC સાથે સીધી રેખા DK ના આંતરછેદના બિંદુઓ, પ્લેન ADV સાથે સીધી રેખા CE;

c) એડીબી અને ડીબીસી પ્લેનમાં પડેલા બિંદુઓ;

ડી) સીધી રેખાઓ જેની સાથે એબીસી અને ડીસીબી, એબીડી અને સીડીએ, પીડીસી અને એબીસી એકબીજાને છેદે છે.

3. ચિત્રમાંથી નામ:

a) DCC 1 અને BQC પ્લેનમાં પડેલા પોઈન્ટ;

b) વિમાનો જેમાં સીધી રેખા AA 1 આવેલું છે;

c) પ્લેન АВD સાથે સીધી રેખા MK ના આંતરછેદના બિંદુઓ, સીધી રેખાઓ DК અને ВР પ્લેન સાથે А 1 В 1 С 1;

d) સીધી રેખાઓ જેની સાથે વિમાનો AA 1 B 1 અને ACD, PB 1 C 1 અને ABC છેદે છે;

e) સીધી રેખાઓ MK અને DC, B 1 C 1 અને BP, C 1 M અને DC ના આંતરછેદના બિંદુઓ.

3. અવકાશમાં બે સીધી રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ

સીધી રેખાઓ પાર કરવાની નિશાની

ચોખા. 1. ફિગ. 2. ફિગ. 3.

વ્યાખ્યા: વિમાનો સમાંતર હોય છે જો તેમાં સામાન્ય બિંદુઓ ન હોય અથવા એકરૂપ ન હોય.

ટેટ્રાહેડ્રોન. PARALLELEPIPED

"ભૌમિતિક સંસ્થાઓ, તેમની સપાટીઓ અને વોલ્યુમો" વિષયમાં આપણે પોલિહેડ્રા - ભૌમિતિક સંસ્થાઓનો અભ્યાસ કરીશું જેની સપાટીઓ બહુકોણથી બનેલી છે. અવકાશમાં રેખાઓ અને વિમાનોની સંબંધિત સ્થિતિ સાથે સંકળાયેલ વિભાવનાઓને સમજાવવા માટે, ચાલો બે પોલિહેડ્રા સાથે પરિચિત થઈએ - એક ટેટ્રાહેડ્રોન અને એક સમાંતર.

મનસ્વી ત્રિકોણનો વિચાર કરો ABC અને સમયગાળો ડી , આ ત્રિકોણના સમતલમાં સૂવું નહીં. બિંદુને કનેક્ટ કરી રહ્યું છે ડી ત્રિકોણ શિરોબિંદુઓ સાથે વિભાગો ABC , આપણને ત્રિકોણ મળે છે ડીએબી , ડીબીસી ,ડીસીએ .

ચાર ત્રિકોણથી બનેલી સપાટી ABC , ડીએબી , ડીબીસી ,ડીસીએ , કહેવાય છે ટેટ્રાહેડ્રોનઅને નિયુક્ત થયેલ છે ડીએબીસી .

ત્રિકોણ જે ટેટ્રાહેડ્રોન બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે ધાર, તેમની બાજુઓ - પાંસળી, અને શિરોબિંદુઓ છે ટેટ્રેહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ. ટેટ્રાહેડ્રોન ચાર મુખ, છ ધાર અને ચાર શિરોબિંદુઓ ધરાવે છે.

ટેટ્રેહેડ્રોનની બે કિનારીઓ કે જેમાં સામાન્ય શિરોબિંદુઓ નથી તેને કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ. ટેટ્રાહેડ્રોન પર ડીએબીસી પાંસળી વિરુદ્ધ છે ઈ.સ અને સૂર્ય , ВD અને એસી , સીડી અને એબી . ઘણીવાર ટેટ્રાહેડ્રોનના ચહેરાઓમાંથી એક કહેવામાં આવે છે આધાર, અને અન્ય ત્રણ - બાજુના ચહેરા.

બે સમાન સમાંતરગ્રામો ધ્યાનમાં લો એબીસીડી અને A 1 B 1 C 1 D 1 , સમાંતર વિમાનોમાં સ્થિત છે જેથી વિભાગો એએ 1 , BB 1 , એસએસ 1 અને ડીડી 1 સમાંતર ચતુર્ભુજ АВВ 1 А 1 , VSS 1 IN 1 , SDD 1 С 1 ,DAA 1 D 1 સમાંતરગ્રામ પણ છે, કારણ કે તેમાંના દરેક સમાંતર વિરુદ્ધ બાજુઓની જોડી ધરાવે છે.

બે સમાન સમાંતરગ્રામોથી બનેલી સપાટી એબીસીડી અને A 1 B 1 C 1 D 1 અને ચાર સમાંતરગ્રામ АВВ 1 А 1 , VSS 1 IN 1 , SDD 1 С 1 ,DA A 1 D 1 , તેને સમાંતર કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

પેરેલલેલોગ્રામ્સ કે જે સમાંતર પાઇપ બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે ધાર, તેમની બાજુઓ - પાંસળી, અને સમાંતરગ્રામના શિરોબિંદુઓ છે સમાંતર નળીઓના શિરોબિંદુઓ. સમાંતર નાળામાં છ મુખ, બાર ધાર અને આઠ શિરોબિંદુઓ હોય છે. સમાન ધાર ધરાવતા સમાંતર નાળાના બે ચહેરા કહેવામાં આવે છે અડીને, અને સામાન્ય ધાર ન હોય - વિરુદ્ધ. બે શિરોબિંદુઓ કે જે એક જ ચહેરાના નથી તેને કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ. વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ કહેવાય છે સમાંતરપાઇપ્ડ કર્ણ. દરેક સમાંતર નળીમાં ચાર કર્ણ હોય છે.

સમાંતર નળીવાળા કર્ણ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 સેગમેન્ટ્સ છે એસી 1 , ВD 1 , સીએ 1 , DВ 1 .

ઘણીવાર કેટલાક બે વિરોધી ચહેરાઓને ઓળખીને બોલાવવામાં આવે છે કારણો, અને બાકીના ચહેરા છે સમાંતર ના પાર્શ્વીય ચહેરાઓ. સમાંતર પાઇપની ધાર કે જે પાયા સાથે સંબંધિત નથી તેને કહેવામાં આવે છે બાજુની પાંસળી.

જો સમાંતર ના પાયા તરીકે ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ચહેરા પસંદ કરો એબીસીડી અને A 1 B 1 C 1 D 1 , પછી બાજુના ચહેરાઓ સમાંતરગ્રામ હશે АВВ 1 А 1 , VSS 1 IN 1 , SDD 1 С 1 ,DA A 1 D 1 , અને બાજુની કિનારીઓ સેગમેન્ટ્સ છે એએ 1 , BB 1 , એસએસ 1 અને ડીડી 1 .

કસરતો:

1. ટેટ્રાહેડ્રોન DABC માં બિંદુઓ M, N, Q, P છે સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુઓ ВD, DC, AC, AB. ચતુષ્કોણ MNQP ની પરિમિતિ શોધો જો AD = 12 cm, BC = 14 cm.

સીધા વચ્ચેનો કોણ

વ્યાખ્યા: બિન-સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો ટીઅને nછેદતી રેખાઓ દ્વારા રચાતા અડીને આવેલા ખૂણાઓમાંથી સૌથી નાનો છે ટી"અને p", ક્યાં ટી"|| ટી,p"|| n.

, , .

ટિપ્પણી: સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શૂન્ય સમાન ગણવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા: અવકાશમાં બે રેખાઓ લંબરૂપ કહેવાય છે જો તેમની વચ્ચેનો કોણ સમાન હોય .

હોદ્દો:

લંબ રેખાઓ છેદે છે અને ત્રાંસી હોઈ શકે છે.

કાર્ય: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ક્યુબ આપેલ છે.

શોધો: ; ; .

ઉકેલ:

બે રેખાઓની સમાંતરતાના આધારે:

અને તેથી . .

. , કારણ કે CDD 1 C 1 એક ચોરસ છે.

છેદતી રેખાઓના આધારે:

, તેથી, · .

, તેથી, .

નિષ્કર્ષ:

ત્રિજ્યા 3 dm ના વર્તુળના કેન્દ્ર O થી, તેના પ્લેન પર લંબ OB પુનઃસ્થાપિત થાય છે. બિંદુ A પર વર્તુળ તરફ સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે અને આ સ્પર્શક પર 2 dm જેવો એક સેગમેન્ટ AC સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુથી દૂર કરવામાં આવે છે. જો કાટખૂણે OB ની લંબાઈ 6 dm હોય તો વળેલું BC ની લંબાઈ શોધો.

5. લંબચોરસ ABCD ના શિરોબિંદુ D થી, જેની બાજુઓ AB = 9 cm અને BC = 8 cm છે, લંબચોરસ DF = 12 cm એ લંબચોરસના બિંદુ F થી લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ સુધીનું અંતર શોધો.

8. ડાયહેડ્રલ એન્ગલ. લીનિયર એન્ગલ ડાયહેડ્રલ એન્ગલ

III 4.કોઈપણ સીધી રેખા આર , પ્લેનમાં પડેલો a , આ પ્લેનના પોઈન્ટના સમૂહને વિભાજિત કરે છે જે તેની સાથે જોડાયેલા નથી બે બિન-ખાલી સેટમાં વિભાજિત કરે છે જેથી કરીને જુદા જુદા સેટ સાથે જોડાયેલા કોઈપણ બે બિંદુઓને સીધી રેખા દ્વારા અલગ કરવામાં આવે. આર ; સમાન સમૂહ સાથે જોડાયેલા કોઈપણ બે બિંદુઓ રેખા દ્વારા અલગ થતા નથી આર .

સેટ કે જેના પર સીધી રેખા છે આરપ્લેન પર પોઈન્ટના સમૂહને વિભાજિત કરે છે જે તેની સાથે જોડાયેલા નથી aબાઉન્ડ્રી સાથે ખુલ્લા હાફ-પ્લેન કહેવાય છે આર.

લંબચોરસ ABCD ની બાજુ BC ત્રિકોણ BCF ની બાજુ તરીકે કામ કરે છે, શિરોબિંદુ F DC પર પ્રક્ષેપિત છે. પ્લેન ABC અને BCF (ફિગ. 1.) દ્વારા રચાયેલા ડાયહેડ્રલ એંગલના રેખીય કોણનું નામ આપો.

ચોખા. 1. ફિગ. 2.

સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ ABCD અને ત્રિકોણ ABM ની છબી આપવામાં આવી છે. MC સેગમેન્ટ એબીસી પ્લેન પર લંબ છે. ABC અને ВСМ વિમાનો દ્વારા રચાયેલા ડાયહેડ્રલ એંગલનો રેખીય કોણ બનાવો જેથી તેની એક બાજુ બિંદુ M (ફિગ. 2.)માંથી પસાર થાય.

3. 45° ના સમાન ડાયહેડ્રલ એંગલના ચહેરા પર, એક બિંદુ આપવામાં આવે છે જે ધારથી 4 સેમી દૂર છે. આ બિંદુથી બીજા ચહેરા સુધીનું અંતર શોધો.

બહુકોણને એક શિરોબિંદુમાંથી ત્રિકોણની મર્યાદિત સંખ્યામાં દોરેલા કર્ણ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી પ્રત્યેક પ્રમેય સાચું છે. તેથી, પ્રમેય બધા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના સરવાળા માટે પણ સાચું હશે જેમના પ્લેન પ્રોજેક્શન પ્લેન સાથે સમાન કોણ બનાવે છે.

ટિપ્પણી: સાબિત થયેલ પ્રમેય બંધ વળાંક દ્વારા બંધાયેલ કોઈપણ સમતલ આકૃતિ માટે માન્ય છે.

કસરતો:

1. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેનું પ્લેન એક ખૂણા પર પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ વળેલું હોય, જો તેનું પ્રક્ષેપણ એ બાજુ a સાથેનો નિયમિત ત્રિકોણ હોય.

2. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો કે જેનું પ્લેન એક ખૂણા પર પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ વળેલું હોય, જો તેનું પ્રક્ષેપણ 10 સેમીની બાજુ અને 12 સેમીનો આધાર ધરાવતો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોય.

3. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો કે જેનું પ્લેન એક ખૂણા પર પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ વળેલું હોય, જો તેનું પ્રક્ષેપણ 9, 10 અને 17 સેમી બાજુઓ સાથેનો ત્રિકોણ હોય.

4. ટ્રેપેઝોઈડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો, જેનું પ્લેન એક ખૂણા પર પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ વળેલું છે, જો તેનું પ્રક્ષેપણ સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઈડ છે, જેનો મોટો આધાર 44 સેમી છે, બાજુ 17 સેમી છે અને કર્ણ છે. 39 સેમી છે.

5. 8 સે.મી.ની બાજુ સાથે નિયમિત ષટ્કોણના પ્રક્ષેપણ ક્ષેત્રની ગણતરી કરો, જેનું પ્લેન એક ખૂણા પર પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ વળેલું છે.

6. 12 સે.મી.ની બાજુ અને તીવ્ર ખૂણો ધરાવતો સમચતુર્ભુજ આપેલ સમતલ સાથે એક ખૂણો બનાવે છે. આ પ્લેન પર રોમ્બસના પ્રક્ષેપણના ક્ષેત્રની ગણતરી કરો.

7. 20 સે.મી.ની બાજુ અને 32 સે.મી.ના કર્ણ સાથેનો સમચતુર્ભુજ આપેલ સમતલ સાથેનો ખૂણો બનાવે છે. આ પ્લેન પર રોમ્બસના પ્રક્ષેપણના ક્ષેત્રની ગણતરી કરો.

8. આડી સમતલ પર છત્રનું પ્રક્ષેપણ એ બાજુઓ અને સાથેનો લંબચોરસ છે. છત્રનું ક્ષેત્રફળ શોધો જો બાજુના ચહેરાઓ એક ખૂણા પર આડી સમતલ તરફ વળેલા સમાન લંબચોરસ હોય, અને છત્રનો મધ્ય ભાગ પ્રોજેક્શન પ્લેનનો ચોરસ સમાંતર હોય.

11. "અવકાશમાં રેખાઓ અને વિમાનો" વિષય પરની કસરતો:

ત્રિકોણની બાજુઓ 20 સે.મી., 65 સે.મી., ત્રિકોણના મોટા ખૂણાના શિરોબિંદુથી 60 સે.મી.ની બરાબર હોય છે ત્રિકોણની મોટી બાજુ.

2. પ્લેનથી સે.મી.ના અંતરે સ્થિત બિંદુ પરથી, બે ઝુકાવ દોરવામાં આવે છે, જે સમતલ સાથેના ખૂણા બનાવે છે અને તેમની વચ્ચે એક કાટખૂણો બનાવે છે. વલણવાળા વિમાનોના આંતરછેદના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

3. નિયમિત ત્રિકોણની બાજુ 12 સે.મી. બિંદુ M છે જેથી કરીને બિંદુ M ને ત્રિકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડતા ભાગો તેના સમતલ સાથે ખૂણા બનાવે. બિંદુ M થી ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ અને બાજુઓ સુધીનું અંતર શોધો.

4. એક પ્લેન ચોરસની બાજુમાંથી ચોરસના કર્ણના ખૂણા પર દોરવામાં આવે છે. ચોરસની બે બાજુઓ સમતલ તરફ વળેલી હોય તેવા ખૂણા શોધો.

5. સમદ્વિબાજુ જમણા ત્રિકોણનો પગ એક ખૂણા પર કર્ણમાંથી પસાર થતા સમતલ તરફ વળેલું છે. સાબિત કરો કે પ્લેન a અને ત્રિકોણના પ્લેન વચ્ચેનો કોણ બરાબર છે.

6. ત્રિકોણ ABC અને DBC ના વિમાનો વચ્ચેનો ડાયહેડ્રલ કોણ બરાબર છે. AD શોધો જો AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

"અવકાશમાં રેખાઓ અને વિમાનો" વિષય પર પરીક્ષણ પ્રશ્નો

1. સ્ટીરિયોમેટ્રીના મૂળભૂત ખ્યાલોની યાદી બનાવો. સ્ટીરિયોમેટ્રીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો ઘડવો.

2. ધરીઓમાંથી પરિણામો સાબિત કરો.

3. અવકાશમાં બે રેખાઓની સાપેક્ષ સ્થિતિ શું છે? છેદતી, સમાંતર અને ત્રાંસી રેખાઓની વ્યાખ્યા આપો.

4. ત્રાંસી રેખાઓની નિશાની સાબિત કરો.

5. રેખા અને વિમાનની સાપેક્ષ સ્થિતિ શું છે? આંતરછેદ, સમાંતર રેખાઓ અને વિમાનોની વ્યાખ્યા આપો.

6. રેખા અને સમતલ વચ્ચેની સમાંતરતાની નિશાની સાબિત કરો.

7. બે વિમાનોની સાપેક્ષ સ્થિતિ શું છે?

8. સમાંતર વિમાનો વ્યાખ્યાયિત કરો. એક ચિહ્ન સાબિત કરો કે બે વિમાનો સમાંતર છે. સમાંતર વિમાનો વિશે રાજ્ય પ્રમેય.

9. સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ વ્યાખ્યાયિત કરો.

10. રેખા અને સમતલની લંબરૂપતાની નિશાની સાબિત કરો.

11. કાટખૂણેનો આધાર, ઝોકનો આધાર, પ્લેન પર ઝોકનું પ્રક્ષેપણ વ્યાખ્યાયિત કરો. એક બિંદુથી પ્લેન પર પડતી કાટખૂણે અને વળેલી રેખાઓના ગુણધર્મો બનાવો.

12. સીધી રેખા અને પ્લેન વચ્ચેના ખૂણોને વ્યાખ્યાયિત કરો.

13. ત્રણ લંબ વિશે પ્રમેય સાબિત કરો.

14. ડાયહેડ્રલ એંગલની વ્યાખ્યા આપો, ડાયહેડ્રલ એન્ગલના રેખીય કોણ.

15. બે વિમાનોની લંબરૂપતાની નિશાની સાબિત કરો.

16. બે જુદા જુદા બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.

17. બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.

18. બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.

19. સીધી રેખા અને તેની સમાંતર સમતલ વચ્ચેનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.

20. સમાંતર વિમાનો વચ્ચેનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.

21. છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.

22. પ્લેન પરના બિંદુના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણને વ્યાખ્યાયિત કરો.

23. પ્લેન પર આકૃતિના ઓર્થોગોનલ પ્રોજેક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરો.

24. પ્લેન પર અંદાજોના ગુણધર્મો ઘડવો.

25. સમતલ બહુકોણના પ્રક્ષેપણ ક્ષેત્ર પર એક પ્રમેય ઘડવો અને સાબિત કરો.

પરિચય

ભૂમિતિની પ્રથમ વૈજ્ઞાનિક રજૂઆત જે આપણી પાસે આવી છે તે એલેક્ઝાન્ડ્રિયા શહેરમાં 3જી સદી બીસીમાં રહેતા પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક યુક્લિડ દ્વારા સંકલિત "તત્વો" કૃતિમાં સમાયેલ છે. યુક્લિડે જ ભૂમિતિની સ્વયંસિદ્ધ પ્રસ્તુતિ આપવાનો પ્રથમ પ્રયાસ કર્યો હતો. પ્રથમ વખત, યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધની વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિ ડી. હિલ્બર્ટ દ્વારા ઘડવામાં આવી હતી ( 1862-1943 ) CIC સદીના અંતે.

શાળા ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં બે ભાગોનો સમાવેશ થાય છે: પ્લાનિમેટ્રી અને સ્ટીરિયોમેટ્રી. પ્લેનિમેટ્રીમાં, પ્લેન પર ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

સ્ટીરીઓમેટ્રી એ ભૂમિતિની એક શાખા છે જે અવકાશમાં આકૃતિઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે.

"સ્ટીરીઓમેટ્રી" શબ્દ ગ્રીક શબ્દ "સ્ટીરીઓસ" પરથી આવ્યો છે. – વોલ્યુમેટ્રિક, અવકાશી અને "મીટરિયો" – માપ

સ્ટીરિયોમેટ્રીમાં અભ્યાસ કરાયેલ ભૌમિતિક સંસ્થાઓનો વિચાર આપણી આસપાસના પદાર્થો દ્વારા આપવામાં આવે છે. વાસ્તવિક વસ્તુઓથી વિપરીત, ભૌમિતિક શરીર કાલ્પનિક પદાર્થો છે. ભૌમિતિક સંસ્થાઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીને, આપણે વાસ્તવિક વસ્તુઓના ભૌમિતિક ગુણધર્મોની સમજ મેળવીએ છીએ અને આ ગુણધર્મોનો વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓમાં ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. ભૂમિતિ, ખાસ કરીને સ્ટીરિયોમેટ્રી, બાંધકામ, આર્કિટેક્ચર, મિકેનિકલ એન્જિનિયરિંગ, જીઓડીસી અને વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજીના અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

ભૂમિતિ બાંધકામ યોજના