ગોલ્ડન રેશિયો વિશે રસપ્રદ તથ્યો. સુવર્ણ ગુણોત્તરના પ્રાચીન ઇતિહાસમાંથી

ઘણી વાર તેઓ કહે છે કે ગણિતની પોતાની સુંદરતા છે, પરંતુ 5મી સદી બીસીના મધ્ય સુધીમાં. ઇ. અથવા તો બહુ પહેલા તે જાણીતું બન્યું હતું કે સુંદરતામાં ગણિતનો મોટો જથ્થો છે.

ફી નંબર

ગોલ્ડન રેશિયોની ગણતરી

સુવર્ણ ગુણોત્તરને ગાણિતિક રીતે વ્યક્ત કરવાની ઘણી બધી રીતો છે, અને આ બધી પદ્ધતિઓની પોતાની ચોક્કસ સરળતા, ચોકસાઇ અને વશીકરણ છે. યુક્લિડે તેને "અત્યંત અને સરેરાશ ગુણોત્તરમાં એક વિભાગ" તરીકે વર્ણવ્યું. વધુ "ગાણિતિક" અભિવ્યક્તિ આના જેવી દેખાય છે: જો સુવર્ણ ગુણોત્તર x બરાબર હોય, તો . અથવા આની જેમ: x/1 = 1/x -1. શબ્દોમાં, સુવર્ણ ગુણોત્તરને તે પ્રમાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં "સમગ્ર રેખાની લંબાઈ તેના મોટા ભાગ સાથે તે જ રીતે સંબંધિત છે જે રીતે તેના નાના ભાગ સાથે સંબંધિત છે."

ગોલ્ડન રેશિયો નંબર 3 વિશે રસપ્રદ હકીકત. સોનેરી લંબચોરસને કદમાં ઘટતા સોનેરી લંબચોરસની અસંખ્ય સંખ્યામાં વિભાજિત કરી શકાય છે, તેના ભાગોને સૌથી ટૂંકી રેખા સાથે "કાપી નાખે છે". ગણિતશાસ્ત્રીઓની ગ્રીક શાળાની પરિભાષામાં, આ ગુણધર્મ સોનેરી લંબચોરસને જીનોમોન બનાવે છે - એક પદાર્થ જેમ જેમ તે વધે છે (અથવા સંકોચાય છે) ત્યારે તેનો આકાર જાળવી રાખવામાં સક્ષમ છે.

ગોલ્ડન રેશિયોનું એક સારું ઉદાહરણ ક્રેડિટ કાર્ડ છે, જે સમગ્ર વિશ્વમાં સમાન પ્રમાણભૂત કદ ધરાવે છે. સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમો અનુસાર, તેની ટૂંકી બાજુ અને તેની લાંબી બાજુનો ગુણોત્તર તેની લાંબી બાજુના ગુણોત્તર અને ટૂંકી અને લાંબી બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા જેટલો જ છે. આ ક્રેડિટ કાર્ડને સોનેરી લંબચોરસ બનાવે છે. આ આકાર તેના સંતુલિત દેખાવ માટે પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો - તે ખૂબ લાંબો અથવા ખૂબ પહોળો દેખાતો નથી. લંબચોરસ સોનેરી છે કે કેમ તે ચકાસવાની એક રીત એ છે કે બે લંબચોરસને બાજુમાં રાખો, એક નાની કિનારી પર ઊભી રીતે “ઊભા” રહે અને બીજી લાંબી ધાર પર પ્રથમને સ્પર્શતી “ઊભી” હોય. જો આડા લંબચોરસના ખૂણાઓમાંથી પસાર થતો વિકર્ણ લંબચોરસના ઉપરના ખૂણા સુધી પહોંચવાનું ચાલુ રાખે છે, તો લંબચોરસ સોનેરી છે. ઘણી વાર આ સિદ્ધાંત આર્કિટેક્ચરમાં જોવા મળે છે. આમ, સોનેરી લંબચોરસ ન્યુ યોર્કમાં યુએન બિલ્ડિંગનો રવેશ છે.

કલા અને પ્રકૃતિમાં ગણિત

સુવર્ણ ગુણોત્તર વિશે કંઈક અસ્પષ્ટ છે - ઓછામાં ઓછા તે લોકો માટે કે જેઓ ગાણિતિક રીતે વલણ ધરાવતા નથી. અમે તેની સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. બીજગણિત અભિવ્યક્તિ x 2 – x – 1 = 0 માં x ની કિંમત 1.6180339887 છે... અને તેથી વધુ. જો કે, સુવર્ણ ગુણોત્તર પશ્ચિમી કલા સાથે સૌથી સીધો સંબંધ ધરાવે છે. મોટા પ્રમાણમાં, આ જોડાણ 16મી સદીના અંતમાં લુકા પેસિઓલીના કાર્યોને આભારી દેખાયું. પેસીઓલી સમકાલીન હતા, અને ઉસ્તાદના કેટલાક ચિત્રો - વિટ્રુવિયન માણસની સૌથી પ્રખ્યાત છબી સહિત - 1509માં પ્રકાશિત પેસીઓલીના પુસ્તક ડી ડિવિના પ્રોપોર્શન ("ધ ડિવાઈન પ્રોપોર્શન") માં દેખાય છે. આ પુસ્તક મૂળભૂત ભૌમિતિક નિયમો મૂકે છે. સૌંદર્ય, અને નિર્માતા નંબર ફીને પ્રેરણા આપી. આમ, માનવ શરીરના સંપૂર્ણ પ્રમાણમાં, નાભિ અને સંપૂર્ણ ઊંચાઈની ઊંચાઈનો ગુણોત્તર સોનેરી છે. કમનસીબે, વાસ્તવિક માપન સૂચવે છે કે વાસ્તવમાં કોઈ "સંપૂર્ણ" શરીર નથી. 20મી સદીમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર કુદરતી સ્વરૂપોમાં જોવામાં આવ્યું હતું. જેમણે આ સતત કર્યું તેઓને તે પાંદડાના પ્રમાણ, દાંડી પર કળીઓનું વિતરણ (કુદરતી પેટર્ન લગભગ ફિબોનાકી ક્રમના સિદ્ધાંતનું પાલન કરે છે) અને શિકારના બાજના ડાઇવ ટ્રેજેક્ટરીમાં પણ જોવા મળ્યું. કેટલાક માટે, આ ચોક્કસ યોજનાના અસ્તિત્વની તરફેણમાં પુરાવા હતા, જે મુજબ પ્રકૃતિ પોતે જ વ્યવસ્થિત છે. અન્ય લોકો માટે, તેનો અર્થ એ થયો કે સૌંદર્ય વિશેની આપણી ધારણા (અથવા ઓછામાં ઓછી આંખ માટે આનંદદાયક પ્રમાણ) વૃદ્ધિના ગણિત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવી હતી, જે તેમના એકંદર આકારને ગુમાવ્યા વિના કદમાં વધતા માળખાને રજૂ કરે છે.

રસપ્રદ હકીકત #5. વાસ્તવિક માપન સૂચવે છે કે વાસ્તવમાં કોઈ "સંપૂર્ણ" સંસ્થાઓ નથી જે સુવર્ણ વિભાગના નિયમને સંતોષે છે.

ગોલ્ડન સર્પાકાર

સુવર્ણ ગુણોત્તરના સિદ્ધાંત અનુસાર સર્પાકાર પ્રગટ થાય છે તે સુવર્ણ લંબચોરસની શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે. આ એક અક્ષીય બિંદુથી અચળ કોણ પર વિચલિત થતા લઘુગણક સર્પાકારનો વિશેષ કેસ છે (ગાણિતિક રીતે, આ રીતે ઘડવું વધુ યોગ્ય છે: એક વળાંક જેની સ્પર્શક દરેક બિંદુ પર ત્રિજ્યા વેક્ટર સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે). આ સર્પાકાર જેકબ બર્નૌલીના નામ સાથે સંકળાયેલું છે (તે હકીકત હોવા છતાં કે તે તેની રૂપરેખા આપનાર પ્રથમ હતો), તેના ગુણધર્મોના મુખ્ય સંશોધક. બર્નૌલી પણ ઇચ્છતા હતા કે આવા સર્પાકાર તેના સમાધિના પત્થર પર કોતરવામાં આવે, પરંતુ મેસન, ભૂમિતિમાં નબળા વાકેફ હતા, તેણે ત્યાં આર્કિમીડીયન સર્પાકારનું પુનઃઉત્પાદન કર્યું.

વ્યક્તિ તેના આકાર દ્વારા તેની આસપાસની વસ્તુઓને અલગ પાડે છે. કોઈ વસ્તુના આકારમાં રસ મહત્વપૂર્ણ આવશ્યકતા દ્વારા નિર્ધારિત કરી શકાય છે, અથવા તે આકારની સુંદરતાને કારણે થઈ શકે છે. ફોર્મ, જેનું નિર્માણ સપ્રમાણતા અને સુવર્ણ ગુણોત્તરના સંયોજન પર આધારિત છે, તે શ્રેષ્ઠ દ્રશ્ય દ્રષ્ટિ અને સૌંદર્ય અને સંવાદિતાની લાગણીના દેખાવમાં ફાળો આપે છે. સમગ્રમાં હંમેશા ભાગોનો સમાવેશ થાય છે, વિવિધ કદના ભાગો એકબીજા સાથે અને સમગ્ર સાથે ચોક્કસ સંબંધમાં હોય છે. સુવર્ણ ગુણોત્તરનો સિદ્ધાંત કલા, વિજ્ઞાન, ટેકનોલોજી અને પ્રકૃતિમાં સમગ્ર અને તેના ભાગોની માળખાકીય અને કાર્યાત્મક પૂર્ણતાનું ઉચ્ચતમ અભિવ્યક્તિ છે.

સુવર્ણ ગુણોત્તર - હાર્મોનિક પ્રમાણ

સીધો સેગમેન્ટ એબીનીચેની રીતે બે ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

બે સમાન ભાગોમાં - એબી : એસી = એબી : સૂર્ય;





કોઈપણ સંદર્ભમાં બે અસમાન ભાગોમાં (આવા ભાગો પ્રમાણ બનાવતા નથી);





આમ, જ્યારે એબી : એસી = એસી : સૂર્ય.

સુવર્ણ ગુણોત્તર એ એક સેગમેન્ટનું અસમાન ભાગોમાં પ્રમાણસર વિભાજન છે, જેમાં સમગ્ર સેગમેન્ટ મોટા ભાગ સાથે સંબંધિત છે કારણ કે મોટો ભાગ પોતે નાના ભાગ સાથે સંબંધિત છે; અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, નાનો સેગમેન્ટ મોટા માટે છે કારણ કે મોટો ભાગ સંપૂર્ણ છે

a : b = b : cઅથવા સાથે : b = b : એ.

ચોખા. 1.સુવર્ણ ગુણોત્તરની ભૌમિતિક છબી

સુવર્ણ ગુણોત્તર સાથે વ્યવહારુ પરિચય હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને સુવર્ણ પ્રમાણમાં એક સીધી રેખા સેગમેન્ટને વિભાજીત કરવાથી શરૂ થાય છે.

ચોખા. 2.સુવર્ણ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા સેગમેન્ટનું વિભાજન. બી.સી. = 1/2 એબી; સીડી = બી.સી.

બિંદુ પરથી INઅડધા સમાન લંબ પુનઃસ્થાપિત થાય છે એબી. પ્રાપ્ત બિંદુ સાથેએક બિંદુ સાથે રેખા દ્વારા જોડાયેલ એ. પરિણામી રેખા પર એક સેગમેન્ટ રચાયેલ છે સૂર્યએક બિંદુ સાથે અંત ડી. સેગમેન્ટ ઈ.સસીધા સ્થાનાંતરિત એબી. પરિણામી બિંદુ ઇએક સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે એબીગોલ્ડન રેશિયો રેશિયોમાં.

સુવર્ણ ગુણોત્તરના ભાગોને અનંત અતાર્કિક અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે A.E.= 0.618..., જો એબીએક તરીકે લો BE= 0.382... વ્યવહારુ હેતુઓ માટે, 0.62 અને 0.38 ના અંદાજિત મૂલ્યોનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. જો સેગમેન્ટ એબી 100 ભાગો તરીકે લેવામાં આવે છે, પછી સેગમેન્ટનો મોટો ભાગ 62 ની બરાબર છે, અને નાનો ભાગ 38 ભાગો છે.

સુવર્ણ ગુણોત્તરના ગુણધર્મો સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

x 2 - x - 1 = 0.

આ સમીકરણનો ઉકેલ:

સુવર્ણ ગુણોત્તરના ગુણધર્મોએ આ સંખ્યાની આસપાસ રહસ્ય અને લગભગ રહસ્યવાદી પૂજાની રોમેન્ટિક આભા બનાવી છે.

બીજો સુવર્ણ ગુણોત્તર

આ પ્રમાણ આર્કિટેક્ચરમાં જોવા મળે છે, અને વિસ્તરેલ આડી ફોર્મેટની છબીઓની રચનાઓ બનાવતી વખતે પણ થાય છે.

ચોખા. 3.બીજા ગોલ્ડન રેશિયોનું બાંધકામ

વિભાજન નીચે પ્રમાણે હાથ ધરવામાં આવે છે (ફિગ 3 જુઓ). સેગમેન્ટ એબીસુવર્ણ ગુણોત્તર અનુસાર વિભાજિત. બિંદુ પરથી સાથેલંબ પુનઃસ્થાપિત થાય છે સીડી. ત્રિજ્યા એબીએક બિંદુ છે ડી, જે એક બિંદુ સાથે રેખા દ્વારા જોડાયેલ છે એ. જમણો ખૂણો એસીડીઅડધા ભાગમાં વહેંચાયેલું છે. બિંદુ પરથી સાથેજ્યાં સુધી તે રેખા સાથે છેદે નહીં ત્યાં સુધી રેખા દોરવામાં આવે છે ઈ.સ. ડોટ ઇએક સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે ઈ.સ 56:44 ના સંબંધમાં.

ચોખા. 4.બીજા સુવર્ણ ગુણોત્તરની રેખા સાથે લંબચોરસ વિભાજન

ફિગ માં. આકૃતિ 4 બીજા સુવર્ણ ગુણોત્તરની રેખાની સ્થિતિ દર્શાવે છે. તે સુવર્ણ ગુણોત્તર રેખા અને લંબચોરસની મધ્ય રેખા વચ્ચે મધ્યમાં સ્થિત છે.

સુવર્ણ ત્રિકોણ

ચોખા. 5.નિયમિત પેન્ટાગોન અને પેન્ટાગ્રામનું નિર્માણ

પેન્ટાગ્રામ બનાવવા માટે, તમારે નિયમિત પેન્ટાગોન બનાવવાની જરૂર છે. તેના બાંધકામની પદ્ધતિ જર્મન ચિત્રકાર અને ગ્રાફિક કલાકાર આલ્બ્રેક્ટ ડ્યુરેર (1471...1528) દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી. દો ઓ- વર્તુળનું કેન્દ્ર, એ- વર્તુળ પર એક બિંદુ અને ઇ- સેગમેન્ટની મધ્યમાં ઓએ. ત્રિજ્યા માટે લંબ છે ઓએ, બિંદુ પર પુનઃસ્થાપિત વિશે, બિંદુ પર વર્તુળને છેદે છે ડી. હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને, વ્યાસ પર એક સેગમેન્ટ બનાવો C.E. = ઇડી. વર્તુળમાં અંકિત નિયમિત પેન્ટાગોનની બાજુની લંબાઈ છે ડીસી. વર્તુળ પર સેગમેન્ટ્સ મૂકો ડીસીઅને નિયમિત પેન્ટાગોન દોરવા માટે આપણને પાંચ પોઈન્ટ મળે છે. અમે પેન્ટાગોનના ખૂણાઓને એક બીજા દ્વારા કર્ણ સાથે જોડીએ છીએ અને પેન્ટાગ્રામ મેળવીએ છીએ. પેન્ટાગોનના તમામ કર્ણ એકબીજાને સુવર્ણ ગુણોત્તર દ્વારા જોડાયેલા ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.

પંચકોણીય તારાનો દરેક છેડો સુવર્ણ ત્રિકોણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેની બાજુઓ શિખર પર 36°નો ખૂણો બનાવે છે અને બાજુ પર મૂકેલો આધાર તેને સુવર્ણ ગુણોત્તરના પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે.

ચોખા. 6.સુવર્ણ ત્રિકોણનું બાંધકામ

અમે ડાયરેક્ટ હાથ ધરીએ છીએ એબી. બિંદુ પરથી એતેના પર ત્રણ વખત એક ભાગ મૂકો વિશેપરિણામી બિંદુ દ્વારા મનસ્વી મૂલ્ય આરરેખા પર લંબ દોરો એબી, બિંદુની જમણી અને ડાબી બાજુએ કાટખૂણે આરસેગમેન્ટ્સને બાજુ પર રાખો વિશે. પોઈન્ટ મેળવ્યા ડીઅને ડી 1 એક બિંદુ સાથે સીધી રેખાઓ સાથે જોડો એ. સેગમેન્ટ ડીડીલીટી પર 1 મૂકો એડ 1, એક પોઇન્ટ મેળવવો સાથે. તેણીએ રેખા વિભાજીત કરી એડગોલ્ડન રેશિયોના પ્રમાણમાં 1. રેખાઓ એડ 1 અને ડીડી 1 નો ઉપયોગ "ગોલ્ડન" લંબચોરસ બનાવવા માટે થાય છે.

સુવર્ણ ગુણોત્તરનો ઇતિહાસ

ગ્રીક કુશળ જીઓમીટર હતા. તેઓ તેમના બાળકોને ભૌમિતિક આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરીને અંકગણિત પણ શીખવતા હતા. પાયથાગોરિયન ચોરસ અને આ ચોરસનો કર્ણ ગતિશીલ લંબચોરસના નિર્માણ માટેનો આધાર હતો.

ચોખા. 7.ગતિશીલ લંબચોરસ

પ્લેટો (427...347 બીસી) પણ સુવર્ણ વિભાગ વિશે જાણતા હતા. તેમનો સંવાદ "ટિમેયસ" પાયથાગોરિયન શાળાના ગાણિતિક અને સૌંદર્યલક્ષી મંતવ્યો અને ખાસ કરીને, સુવર્ણ વિભાગના મુદ્દાઓને સમર્પિત છે.

પાર્થેનોનના પ્રાચીન ગ્રીક મંદિરનો અગ્રભાગ સુવર્ણ પ્રમાણ ધરાવે છે. તેના ખોદકામ દરમિયાન, હોકાયંત્રો મળી આવ્યા હતા જેનો ઉપયોગ પ્રાચીન વિશ્વના આર્કિટેક્ટ અને શિલ્પકારો દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. પોમ્પીયન હોકાયંત્ર (નેપલ્સમાં સંગ્રહાલય) પણ સુવર્ણ વિભાગનું પ્રમાણ ધરાવે છે.

ચોખા. 8.એન્ટિક ગોલ્ડન રેશિયો હોકાયંત્ર

પ્રાચીન સાહિત્યમાં જે આપણી પાસે આવ્યું છે, સુવર્ણ વિભાગનો પ્રથમ ઉલ્લેખ યુક્લિડના તત્વોમાં કરવામાં આવ્યો હતો. "સિદ્ધાંતો" ના 2 જી પુસ્તકમાં યુક્લિડ પછી, સુવર્ણ વિભાગનો અભ્યાસ હાઇપ્સિકલ્સ (III સદી એડી), અને અન્ય દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો મધ્યયુગીન યુરોપ, સુવર્ણ વિભાગ સાથે અમે યુક્લિડના તત્વોના અરબી અનુવાદો દ્વારા મળ્યા. Navarre (III સદી) ના અનુવાદક જે. કેમ્પનોએ અનુવાદ પર ટિપ્પણી કરી. સુવર્ણ વિભાગના રહસ્યો ઈર્ષ્યાથી રક્ષિત હતા અને કડક ગુપ્તતામાં રાખવામાં આવ્યા હતા. તેઓ માત્ર દીક્ષા માટે જાણીતા હતા.

પુનરુજ્જીવન દરમિયાન, ભૂમિતિ અને કલા, ખાસ કરીને આર્કિટેક્ચરમાં લિયોનાર્ડો દા વિન્સીના ઉપયોગને કારણે વૈજ્ઞાનિકો અને કલાકારોમાં સુવર્ણ વિભાગમાં રસ વધ્યો હતો, તેણે જોયું કે ઇટાલિયન કલાકારો પાસે ઘણો પ્રયોગમૂલક અનુભવ હતો, પરંતુ ઓછો હતો. જ્ઞાન તેણે કલ્પના કરી અને ભૂમિતિ પર એક પુસ્તક લખવાનું શરૂ કર્યું, પરંતુ તે સમયે સાધુ લુકા પેસિઓલીનું એક પુસ્તક દેખાયું, અને લિયોનાર્ડોએ તેનો વિચાર છોડી દીધો. વિજ્ઞાનના સમકાલીન અને ઈતિહાસકારોના મતે, લુકા પેસિઓલી એક વાસ્તવિક લ્યુમિનરી હતા, જે ફિબોનાકી અને ગેલિલિયો વચ્ચેના સમયગાળામાં ઈટાલીના સૌથી મહાન ગણિતશાસ્ત્રી હતા. લુકા પેસિઓલી કલાકાર પીરો ડેલા ફ્રાન્સેચીના વિદ્યાર્થી હતા, જેમણે બે પુસ્તકો લખ્યા હતા, જેમાંથી એકનું નામ હતું "પેઈન્ટિંગમાં પરિપ્રેક્ષ્ય પર." તેમને વર્ણનાત્મક ભૂમિતિના સર્જક માનવામાં આવે છે.

લુકા પેસિઓલી કલા માટે વિજ્ઞાનના મહત્વને સંપૂર્ણ રીતે સમજે છે. 1496 માં, ડ્યુક ઓફ મોરેઉના આમંત્રણ પર, તેઓ મિલાન આવ્યા, જ્યાં તેમણે ગણિત પર પ્રવચન આપ્યું. લિયોનાર્ડો દા વિન્સીએ તે સમયે મિલાનમાં મોરો કોર્ટમાં પણ કામ કર્યું હતું. 1509 માં, લુકા પેસિઓલીનું પુસ્તક "ધ ડિવાઈન પ્રોપોર્શન" વેનિસમાં તેજસ્વી રીતે ચલાવવામાં આવેલા ચિત્રો સાથે પ્રકાશિત થયું હતું, તેથી જ એવું માનવામાં આવે છે કે તેઓ લિયોનાર્ડો દા વિન્સી દ્વારા બનાવવામાં આવ્યા હતા. પુસ્તક સુવર્ણ ગુણોત્તર માટે એક ઉત્સાહી સ્તોત્ર હતું. સુવર્ણ પ્રમાણના ઘણા ફાયદાઓમાં, સાધુ લુકા પેસિઓલી તેના "દૈવી સાર" ને દૈવી ત્રૈક્યની અભિવ્યક્તિ તરીકે નામ આપવામાં નિષ્ફળ ગયા ન હતા - ભગવાન પુત્ર, ભગવાન પિતા અને ભગવાન પવિત્ર આત્મા (તે સૂચિત હતું કે નાના સેગમેન્ટ એ ભગવાન પુત્રનું અવતાર છે, મોટા સેગમેન્ટ - ભગવાન પિતા, અને સમગ્ર સેગમેન્ટ - પવિત્ર આત્માના ભગવાન).

લિયોનાર્ડો દા વિન્સીએ પણ સુવર્ણ વિભાગના અભ્યાસ પર ઘણું ધ્યાન આપ્યું. તેણે નિયમિત પેન્ટાગોન્સ દ્વારા રચાયેલી સ્ટીરીઓમેટ્રિક બોડીના વિભાગો બનાવ્યા, અને દરેક વખતે તેણે સુવર્ણ વિભાગમાં પાસા રેશિયો સાથે લંબચોરસ મેળવ્યા. તેથી જ તેણે આ વિભાગને નામ આપ્યું સુવર્ણ ગુણોત્તર. તેથી તે હજુ પણ સૌથી લોકપ્રિય તરીકે રહે છે.

તે જ સમયે, યુરોપના ઉત્તરમાં, જર્મનીમાં, આલ્બ્રેક્ટ ડ્યુરેર સમાન સમસ્યાઓ પર કામ કરી રહ્યા હતા. તેમણે પ્રમાણ પરના ગ્રંથના પ્રથમ સંસ્કરણના પરિચયનું સ્કેચ કર્યું. ડ્યુરેર લખે છે. “એ જરૂરી છે કે જે વ્યક્તિ કંઈક કેવી રીતે કરવું તે જાણે છે તેણે તે અન્ય લોકોને શીખવવું જોઈએ જેમને તેની જરૂર છે. આ તે છે જે મેં કરવાનું નક્કી કર્યું છે."

ડ્યુરેરના એક પત્રને આધારે, તે ઇટાલીમાં લુકા પેસિઓલી સાથે મળ્યો હતો. આલ્બ્રેક્ટ ડ્યુરર માનવ શરીરના પ્રમાણના સિદ્ધાંતનો વિગતવાર વિકાસ કરે છે. ડ્યુરેરે તેમના સંબંધોની સિસ્ટમમાં સુવર્ણ વિભાગને મહત્વપૂર્ણ સ્થાન સોંપ્યું. વ્યક્તિની ઊંચાઈને પટ્ટાની રેખા દ્વારા સુવર્ણ પ્રમાણમાં વહેંચવામાં આવે છે, તેમજ નીચલા હાથની મધ્ય આંગળીઓની ટીપ્સ દ્વારા દોરવામાં આવેલી રેખા દ્વારા, મોં દ્વારા ચહેરાનો નીચેનો ભાગ વગેરે. ડ્યુરેરનું પ્રમાણસર હોકાયંત્ર જાણીતું છે.

16મી સદીના મહાન ખગોળશાસ્ત્રી. જોહાન્સ કેપ્લરે સુવર્ણ ગુણોત્તરને ભૂમિતિના ખજાનામાંનો એક ગણાવ્યો હતો. વનસ્પતિશાસ્ત્ર (છોડની વૃદ્ધિ અને તેમની રચના) માટેના સુવર્ણ પ્રમાણના મહત્વ તરફ ધ્યાન દોરનારા તેઓ સૌપ્રથમ હતા.

કેપ્લરે સુવર્ણ પ્રમાણને સ્વ-નિરંતર ગણાવ્યું હતું, "તે એવી રીતે રચાયેલ છે," તેણે લખ્યું, "આ ક્યારેય ન સમાપ્ત થતા પ્રમાણના બે સૌથી નીચા પદો ત્રીજી અવધિમાં ઉમેરાય છે, અને કોઈપણ બે છેલ્લા પદો, જો એકસાથે ઉમેરવામાં આવે છે. , આગળની મુદત આપો, અને તે જ પ્રમાણ અનંત સુધી જાળવવામાં આવે છે."

સુવર્ણ પ્રમાણના વિભાગોની શ્રેણીનું નિર્માણ વધારોની દિશામાં (વધતી શ્રેણી) અને ઘટાડા (ઉતરતી શ્રેણી) બંને દિશામાં કરી શકાય છે.

જો મનસ્વી લંબાઈની સીધી રેખા પર હોય, તો સેગમેન્ટને બાજુ પર રાખો m, તેની બાજુમાં સેગમેન્ટ મૂકો એમ. આ બે વિભાગોના આધારે, અમે ચડતા અને ઉતરતા શ્રેણીના સુવર્ણ પ્રમાણના સેગમેન્ટ્સનો સ્કેલ બનાવીએ છીએ.

ચોખા. 9.સુવર્ણ પ્રમાણના સેગમેન્ટ્સના સ્કેલનું નિર્માણ

ત્યારપછીની સદીઓમાં, સુવર્ણ પ્રમાણનો નિયમ એક શૈક્ષણિક સિદ્ધાંતમાં ફેરવાઈ ગયો, અને જ્યારે સમય જતાં, કલામાં શૈક્ષણિક દિનચર્યા સામે સંઘર્ષ શરૂ થયો, સંઘર્ષની ગરમીમાં "તેઓએ બાળકને નહાવાના પાણીથી બહાર ફેંકી દીધું." 19મી સદીના મધ્યમાં ફરીથી સુવર્ણ ગુણોત્તર "શોધવામાં આવ્યો" હતો. 1855 માં, સુવર્ણ ગુણોત્તરના જર્મન સંશોધક, પ્રોફેસર ઝેઇસિંગે તેમની કૃતિ "એસ્થેટિક સ્ટડીઝ" પ્રકાશિત કરી. ઝીસિંગ સાથે જે બન્યું તે જ સંશોધક સાથે અનિવાર્યપણે થવું જોઈએ જે અન્ય ઘટનાઓ સાથે જોડાણ વિના, ઘટનાને આવી રીતે માને છે. તેમણે સુવર્ણ વિભાગના પ્રમાણને નિરપેક્ષપણે જાહેર કર્યું, તેને પ્રકૃતિ અને કલાની તમામ ઘટનાઓ માટે સાર્વત્રિક જાહેર કર્યું. ઝીસિંગના અસંખ્ય અનુયાયીઓ હતા, પરંતુ એવા વિરોધીઓ પણ હતા જેમણે તેમના પ્રમાણના સિદ્ધાંતને "ગાણિતિક સૌંદર્ય શાસ્ત્ર" તરીકે જાહેર કર્યું.

ચોખા. 10.માનવ શરીરના ભાગોમાં સુવર્ણ પ્રમાણ

ઝીસિંગે જબરદસ્ત કામ કર્યું. તેમણે લગભગ બે હજાર માનવ શરીર માપ્યા અને એવા નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે સુવર્ણ ગુણોત્તર સરેરાશ આંકડાકીય કાયદાને વ્યક્ત કરે છે. નાભિના બિંદુ દ્વારા શરીરનું વિભાજન એ સુવર્ણ ગુણોત્તરનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ સૂચક છે. પુરુષ શરીરનું પ્રમાણ 13: 8 = 1.625 ના સરેરાશ ગુણોત્તરમાં વધઘટ થાય છે અને સ્ત્રી શરીરના પ્રમાણ કરતાં સોનેરી ગુણોત્તરની નજીક છે, જેના સંબંધમાં પ્રમાણનું સરેરાશ મૂલ્ય ગુણોત્તર 8 માં દર્શાવવામાં આવે છે: 5 = 1.6. નવજાત શિશુમાં પ્રમાણ 1:1 છે, 13 વર્ષની ઉંમર સુધીમાં તે 1.6 છે, અને 21 વર્ષની ઉંમરે તે એક માણસની બરાબર છે. સુવર્ણ ગુણોત્તરનું પ્રમાણ શરીરના અન્ય ભાગોના સંબંધમાં પણ દેખાય છે - ખભા, હાથ અને હાથ, હાથ અને આંગળીઓ વગેરેની લંબાઈ.

ચોખા. 11.માનવ આકૃતિમાં સુવર્ણ પ્રમાણ

ઝીસિંગે ગ્રીક મૂર્તિઓ પર તેમના સિદ્ધાંતની માન્યતાની ચકાસણી કરી. તેણે એપોલો બેલ્વેડેરનું પ્રમાણ સૌથી વધુ વિગતવાર વિકસાવ્યું. ગ્રીક વાઝ, વિવિધ યુગની આર્કિટેક્ચરલ રચનાઓ, છોડ, પ્રાણીઓ, પક્ષીઓના ઇંડા, સંગીતના ટોન અને કાવ્યાત્મક મીટરનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. ઝીસિંગે સુવર્ણ ગુણોત્તરની વ્યાખ્યા આપી અને બતાવ્યું કે તે સીધી રેખાના ભાગોમાં અને સંખ્યાઓમાં કેવી રીતે વ્યક્ત થાય છે. જ્યારે સેગમેન્ટ્સની લંબાઈ દર્શાવતી સંખ્યાઓ મેળવવામાં આવી, ત્યારે ઝીસિંગે જોયું કે તેઓ ફિબોનાકી શ્રેણીની રચના કરે છે, જે એક દિશામાં અથવા બીજી દિશામાં અનિશ્ચિત સમય સુધી ચાલુ રાખી શકાય છે. તેમના આગામી પુસ્તકનું શીર્ષક હતું "ધ ગોલ્ડન ડિવિઝન એઝ ધ બેઝિક મોર્ફોલોજિકલ લો ઇન નેચર એન્ડ આર્ટ." 1876 ​​માં, એક નાનું પુસ્તક, લગભગ એક બ્રોશર, રશિયામાં પ્રકાશિત થયું હતું, જે ઝાઇઝિંગના આ કાર્યની રૂપરેખા આપે છે. લેખકે યુ.એફ.વી. આ આવૃત્તિમાં પેઇન્ટિંગના એક પણ કાર્યનો ઉલ્લેખ નથી.

19મીના અંતમાં - 20મી સદીની શરૂઆતમાં. કલા અને આર્કિટેક્ચરના કાર્યોમાં સુવર્ણ ગુણોત્તરના ઉપયોગ વિશે ઘણા શુદ્ધ ઔપચારિક સિદ્ધાંતો દેખાયા. ડિઝાઇન અને તકનીકી સૌંદર્ય શાસ્ત્રના વિકાસ સાથે, સુવર્ણ ગુણોત્તરનો કાયદો કાર, ફર્નિચર વગેરેની ડિઝાઇન સુધી વિસ્તૃત થયો.

ફિબોનાકી શ્રેણી

સંખ્યાઓની શ્રેણી 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, વગેરે. ફિબોનાકી શ્રેણી તરીકે ઓળખાય છે. સંખ્યાઓના ક્રમની ખાસિયત એ છે કે ત્રીજાથી શરૂ થતા તેના દરેક પદો અગાઉના બે 2 + 3 = 5 ના સરવાળા સમાન છે; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, વગેરે, અને શ્રેણીમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર સુવર્ણ વિભાગના ગુણોત્તર સુધી પહોંચે છે. તેથી, 21: 34 = 0.617, અને 34: 55 = 0.618. આ સંબંધ પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે એફ. માત્ર આ ગુણોત્તર - 0.618: 0.382 - સોનેરી પ્રમાણમાં સીધી રેખાના સેગમેન્ટનો સતત વિભાજન આપે છે, તેને અનંત સુધી વધારીને અથવા ઘટાડીને, જ્યારે નાનો સેગમેન્ટ મોટા ભાગ સાથે સંબંધિત હોય છે કારણ કે મોટો ભાગ સંપૂર્ણ હોય છે.

ફિબોનાકી વેપારની વ્યવહારિક જરૂરિયાતો સાથે પણ કામ કરે છે: ઉત્પાદનનું વજન કરવા માટે ઉપયોગમાં લઈ શકાય તેવા વજનની સૌથી નાની સંખ્યા શું છે? ફિબોનાકી સાબિત કરે છે કે વજનની શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ છે: 1, 2, 4, 8, 16...

સામાન્યકૃત સુવર્ણ ગુણોત્તર

વૈજ્ઞાનિકોએ ફિબોનાકી નંબરો અને ગોલ્ડન રેશિયોના સિદ્ધાંતને સક્રિયપણે વિકસાવવાનું ચાલુ રાખ્યું. યુ મતિયાસેવિચ ફિબોનાકી નંબરોનો ઉપયોગ કરીને હિલ્બર્ટની 10મી સમસ્યાનું નિરાકરણ કરે છે. ફિબોનાકી નંબરો અને ગોલ્ડન રેશિયોનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાબંધ સાયબરનેટિક સમસ્યાઓ (શોધ સિદ્ધાંત, રમતો, પ્રોગ્રામિંગ) ઉકેલવા માટે ભવ્ય પદ્ધતિઓ ઉભરી રહી છે. યુએસએમાં, મેથેમેટિકલ ફિબોનાકી એસોસિએશન પણ બનાવવામાં આવી રહ્યું છે, જે 1963 થી વિશેષ જર્નલ પ્રકાશિત કરી રહ્યું છે.

સામાન્યકૃત ફિબોનાકી સંખ્યાઓ અને સામાન્યકૃત સુવર્ણ ગુણોત્તરની શોધ આ ક્ષેત્રમાંની એક સિદ્ધિ છે.

ફિબોનાકી શ્રેણી (1, 1, 2, 3, 5, 8) અને તેમના દ્વારા શોધાયેલ વજનની "દ્વિસંગી" શ્રેણી 1, 2, 4, 8, 16... પ્રથમ નજરમાં સંપૂર્ણપણે અલગ છે. પરંતુ તેમના બાંધકામ માટેના અલ્ગોરિધમ્સ એકબીજા સાથે ખૂબ સમાન છે: પ્રથમ કિસ્સામાં, દરેક સંખ્યા એ અગાઉની સંખ્યાનો સરવાળો છે 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., બીજામાં તે અગાઉની બે સંખ્યાઓનો સરવાળો છે 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... શું સામાન્ય ગાણિતિક શોધવું શક્ય છે? ફોર્મ્યુલા જેમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ અને “ દ્વિસંગી શ્રેણી અને ફિબોનાકી શ્રેણી? અથવા કદાચ આ સૂત્ર આપણને નવા આંકડાકીય સેટ આપશે જેમાં કેટલાક નવા અનન્ય ગુણધર્મો છે?

ખરેખર, ચાલો સંખ્યાત્મક પરિમાણ સેટ કરીએ એસ, જે કોઈપણ મૂલ્યો લઈ શકે છે: 0, 1, 2, 3, 4, 5... સંખ્યાની શ્રેણીને ધ્યાનમાં લો, એસ+ 1 જેમાંથી પ્રથમ પદો એકમો છે, અને પછીના દરેક પદો અગાઉના એકના બે પદોના સરવાળા સમાન છે અને અગાઉના એકથી અલગ પડે છે. એસપગલાં જો nઅમે φ S ( દ્વારા આ શ્રેણીની મી ટર્મ દર્શાવીએ છીએ n), પછી આપણે સામાન્ય સૂત્ર φ S ( મેળવીએ છીએ n) = φ એસ ( n- 1) + φ S ( n - એસ - 1).

તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે એસ= 0 આ સૂત્રમાંથી આપણને "દ્વિસંગી" શ્રેણી મળે છે એસ= 1 - ફિબોનાકી શ્રેણી, સાથે એસ= 2, 3, 4. સંખ્યાઓની નવી શ્રેણી, જેને કહેવામાં આવે છે એસ- ફિબોનાકી નંબરો.

એકંદરે સોનેરી એસ-પ્રમાણ એ સુવર્ણ સમીકરણનું હકારાત્મક મૂળ છે એસ-વિભાગો x S+1 - x S - 1 = 0.

તે બતાવવાનું સરળ છે કે જ્યારે એસ= 0, સેગમેન્ટ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલું છે, અને ક્યારે એસ= 1 - પરિચિત ક્લાસિકલ ગોલ્ડન રેશિયો.

પડોશીઓ વચ્ચેના સંબંધો એસ- ફિબોનાકી નંબરો સોના સાથેની મર્યાદામાં સંપૂર્ણ ગાણિતિક ચોકસાઈ સાથે મેળ ખાય છે એસ-પ્રમાણ! આવા કિસ્સાઓમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે કે સોનું એસ-વિભાગો સંખ્યાત્મક અવ્યવસ્થિત છે એસ- ફિબોનાકી નંબરો.

સોનાના અસ્તિત્વની પુષ્ટિ કરતા તથ્યો એસપ્રકૃતિમાં વિભાગો, બેલારુસિયન વૈજ્ઞાનિક E.M. "સિસ્ટમ્સની સ્ટ્રક્ચરલ હાર્મની" પુસ્તકમાં સોરોકો (મિન્સ્ક, "સાયન્સ એન્ડ ટેકનોલોજી", 1984). ઉદાહરણ તરીકે, તે તારણ આપે છે કે સારી રીતે અભ્યાસ કરેલ દ્વિસંગી એલોયમાં વિશિષ્ટ, ઉચ્ચારણ કાર્યાત્મક ગુણધર્મો (થર્મલ સ્થિર, સખત, વસ્ત્રો-પ્રતિરોધક, ઓક્સિડેશન માટે પ્રતિરોધક, વગેરે) હોય છે, જો મૂળ ઘટકોની ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ એકબીજા સાથે સંબંધિત હોય. સોનામાંથી એક દ્વારા એસ- પ્રમાણ. આનાથી લેખકને સોનાની પૂર્વધારણા આગળ મૂકવાની મંજૂરી મળી એસ-વિભાગો સ્વ-સંગઠન પ્રણાલીના સંખ્યાત્મક અવિચારી છે. એકવાર પ્રાયોગિક રીતે પુષ્ટિ થઈ જાય, આ પૂર્વધારણા સિનેર્જેટિક્સના વિકાસ માટે મૂળભૂત મહત્વની હોઈ શકે છે - વિજ્ઞાનનું એક નવું ક્ષેત્ર જે સ્વ-સંગઠિત પ્રણાલીઓમાં પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરે છે.

ગોલ્ડ કોડ્સનો ઉપયોગ એસ-પ્રમાણ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા સોનાની શક્તિઓના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે એસ-પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે પ્રમાણ.

એન્કોડિંગ નંબરોની આ પદ્ધતિ વચ્ચેનો મૂળભૂત તફાવત એ છે કે નવા કોડના પાયા, જે સોનેરી હોય છે. એસ- પ્રમાણ, સાથે એસ> 0 અતાર્કિક સંખ્યાઓ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આમ, અતાર્કિક પાયા સાથેની નવી સંખ્યા પ્રણાલીઓ "માથાથી પગ સુધી" તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ વચ્ચેના સંબંધોના ઐતિહાસિક રીતે સ્થાપિત વંશવેલો મૂકે છે. હકીકત એ છે કે કુદરતી સંખ્યાઓ પ્રથમ "શોધવામાં આવી હતી"; પછી તેમના ગુણોત્તર પરિમેય સંખ્યાઓ છે. અને માત્ર પછીથી - પાયથાગોરિયનો દ્વારા અસંતુલિત ભાગોની શોધ પછી - અતાર્કિક સંખ્યાઓનો જન્મ થયો. ઉદાહરણ તરીકે, દશાંશ, ક્વિનરી, દ્વિસંગી અને અન્ય ક્લાસિકલ પોઝિશનલ નંબર સિસ્ટમ્સમાં, કુદરતી સંખ્યાઓ એક પ્રકારના મૂળભૂત સિદ્ધાંત તરીકે પસંદ કરવામાં આવી હતી - 10, 5, 2 - જેમાંથી, ચોક્કસ નિયમો અનુસાર, અન્ય તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ, તેમજ તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવી હતી.

નોટેશનની હાલની પદ્ધતિઓનો એક પ્રકારનો વિકલ્પ એ એક નવી, અતાર્કિક સિસ્ટમ છે, મૂળભૂત સિદ્ધાંત તરીકે, જેની શરૂઆત અતાર્કિક સંખ્યા છે (જે, યાદ કરો, સુવર્ણ ગુણોત્તર સમીકરણનું મૂળ છે); અન્ય વાસ્તવિક સંખ્યાઓ તેના દ્વારા પહેલેથી જ વ્યક્ત કરવામાં આવી છે.

આવી સંખ્યા પ્રણાલીમાં, કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાને હંમેશા મર્યાદિત તરીકે રજૂ કરી શકાય છે - અને અનંત નહીં, જેમ કે અગાઉ વિચાર્યું હતું! - કોઈપણ સોનાની ડિગ્રીનો સરવાળો એસ- પ્રમાણ. આ એક કારણ છે કે શા માટે "અતાર્કિક" અંકગણિત, અદ્ભુત ગાણિતિક સરળતા અને સુઘડતા ધરાવે છે, એવું લાગે છે કે તે શાસ્ત્રીય દ્વિસંગી અને "ફિબોનાકી" અંકગણિતના શ્રેષ્ઠ ગુણોને શોષી લે છે.

પ્રકૃતિમાં રચનાના સિદ્ધાંતો

શેલ સર્પાકારમાં ટ્વિસ્ટેડ છે. જો તમે તેને ખોલો છો, તો તમને સાપની લંબાઈ કરતા થોડી નાની લંબાઈ મળશે. નાના દસ-સેન્ટીમીટર શેલમાં સર્પાકાર 35 સેમી લાંબી હોય છે. સર્પાકાર વિશે વાત કર્યા વિના ગોલ્ડન રેશિયોનો વિચાર અધૂરો રહેશે.

ચોખા. 12.આર્કિમિડીઝ સર્પાકાર

સર્પાકાર વળાંકવાળા શેલના આકારે આર્કિમિડીઝનું ધ્યાન આકર્ષિત કર્યું. તેણે તેનો અભ્યાસ કર્યો અને સર્પાકાર માટે સમીકરણ સાથે આવ્યા. આ સમીકરણ અનુસાર દોરવામાં આવેલ સર્પાકાર તેના નામથી ઓળખાય છે. તેના પગલામાં વધારો હંમેશા સમાન હોય છે. હાલમાં, આર્કિમિડીઝ સર્પાકારનો વ્યાપકપણે ટેકનોલોજીમાં ઉપયોગ થાય છે.

ગોથેએ સર્પાકારતા તરફ પ્રકૃતિના વલણ પર પણ ભાર મૂક્યો. ઝાડની ડાળીઓ પર પાંદડાઓની હેલિકલ અને સર્પાકાર ગોઠવણી લાંબા સમય પહેલા જોવા મળી હતી. સર્પાકાર સૂર્યમુખીના બીજ, પાઈન શંકુ, અનાનસ, થોર વગેરેની ગોઠવણમાં જોવા મળ્યો હતો. વનસ્પતિશાસ્ત્રીઓ અને ગણિતશાસ્ત્રીઓના સંયુક્ત કાર્યએ આ અદ્ભુત કુદરતી ઘટનાઓ પર પ્રકાશ પાડ્યો છે. તે બહાર આવ્યું છે કે ફિબોનાકી શ્રેણી શાખા (ફાયલોટેક્સિસ), સૂર્યમુખીના બીજ અને પાઈન શંકુ પર પાંદડાઓની ગોઠવણીમાં પોતાને પ્રગટ કરે છે, અને તેથી, સુવર્ણ ગુણોત્તરનો કાયદો પોતાને પ્રગટ કરે છે. સ્પાઈડર તેના જાળાને સર્પાકાર પેટર્નમાં વણાટ કરે છે. હરિકેન સર્પાકારની જેમ ફરતું હોય છે. શીત પ્રદેશનું હરણનું ડરી ગયેલું ટોળું સર્પાકારમાં વિખેરી રહ્યું છે. ડીએનએ પરમાણુ ડબલ હેલિક્સમાં ટ્વિસ્ટેડ છે. ગોથે સર્પાકારને "જીવનનો વળાંક" કહે છે.

રસ્તાની બાજુની ઔષધિઓમાં એક અવિશ્વસનીય છોડ ઉગે છે - ચિકોરી. ચાલો તેના પર નજીકથી નજર કરીએ. મુખ્ય દાંડીમાંથી અંકુરની રચના થઈ છે. પહેલું પાંદડું ત્યાં જ હતું.

ચોખા. 13.ચિકોરી

શૂટ અવકાશમાં મજબૂત ઇજેક્શન કરે છે, અટકી જાય છે, એક પર્ણ છોડે છે, પરંતુ આ વખતે તે પ્રથમ કરતા ટૂંકા હોય છે, ફરીથી અવકાશમાં ઇજેક્શન કરે છે, પરંતુ ઓછા બળ સાથે, તેનાથી પણ નાના કદના પાંદડા છોડે છે અને ફરીથી બહાર કાઢવામાં આવે છે. . જો પ્રથમ ઉત્સર્જન 100 એકમો તરીકે લેવામાં આવે છે, તો બીજું 62 એકમ જેટલું છે, ત્રીજું - 38, ચોથું - 24, વગેરે. પાંખડીઓની લંબાઈ પણ સોનેરી પ્રમાણને આધીન છે. વધતી જતી અને જીતવાની જગ્યામાં, છોડ ચોક્કસ પ્રમાણ જાળવી રાખે છે. સુવર્ણ ગુણોત્તરના પ્રમાણમાં તેની વૃદ્ધિના આવેગમાં ધીમે ધીમે ઘટાડો થતો ગયો.

ચોખા. 14.વિવિપેરસ ગરોળી

પ્રથમ નજરમાં, ગરોળીમાં પ્રમાણ હોય છે જે આપણી આંખો માટે સુખદ હોય છે - તેની પૂંછડીની લંબાઈ શરીરના બાકીના ભાગની લંબાઈ સાથે 62 થી 38 જેટલી હોય છે.

વનસ્પતિ અને પ્રાણીજગત બંનેમાં, પ્રકૃતિની રચનાત્મક વૃત્તિ સતત તૂટી જાય છે - વૃદ્ધિ અને ચળવળની દિશાને લગતી સમપ્રમાણતા. અહીં સુવર્ણ ગુણોત્તર વૃદ્ધિની દિશાને લંબરૂપ ભાગોના પ્રમાણમાં દેખાય છે.

કુદરતે સપ્રમાણ ભાગો અને સુવર્ણ પ્રમાણમાં વિભાજન કર્યું છે. ભાગો સમગ્ર રચનાનું પુનરાવર્તન દર્શાવે છે.

ચોખા. 15.પક્ષી ઇંડા

મહાન ગોથે, એક કવિ, પ્રકૃતિવાદી અને કલાકાર (તેણે પાણીના રંગોમાં દોર્યું અને દોર્યું), કાર્બનિક શરીરના સ્વરૂપ, રચના અને રૂપાંતરનો એકીકૃત સિદ્ધાંત બનાવવાનું સ્વપ્ન જોયું. તેમણે જ મોર્ફોલોજી શબ્દને વૈજ્ઞાનિક ઉપયોગ માટે રજૂ કર્યો હતો.

આ સદીની શરૂઆતમાં પિયર ક્યુરીએ સમપ્રમાણતા વિશે ઘણા ગહન વિચારો ઘડ્યા હતા. તેમણે દલીલ કરી હતી કે પર્યાવરણની સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લીધા વિના કોઈપણ શરીરની સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લઈ શકાતી નથી.

"સુવર્ણ" સમપ્રમાણતાના નિયમો પ્રાથમિક કણોના ઉર્જા સંક્રમણોમાં, કેટલાક રાસાયણિક સંયોજનોની રચનામાં, ગ્રહો અને બ્રહ્માંડ પ્રણાલીઓમાં, જીવંત જીવોના જનીન માળખામાં પ્રગટ થાય છે. આ દાખલાઓ, ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, વ્યક્તિગત માનવ અવયવો અને સમગ્ર શરીરની રચનામાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને મગજના બાયોરિધમ્સ અને કાર્ય અને દ્રશ્ય દ્રષ્ટિમાં પણ પોતાને પ્રગટ કરે છે.

સુવર્ણ ગુણોત્તર અને સમપ્રમાણતા

સુવર્ણ વિભાગ એ અસમપ્રમાણતાનું અભિવ્યક્તિ નથી, આધુનિક વિચારો અનુસાર, સુવર્ણ વિભાગ અસમપ્રમાણતા છે. સમપ્રમાણતાના વિજ્ઞાનમાં આવા ખ્યાલોનો સમાવેશ થાય છે સ્થિરઅને ગતિશીલ સમપ્રમાણતા. સ્થિર સમપ્રમાણતા શાંતિ અને સંતુલનને દર્શાવે છે, જ્યારે ગતિશીલ સમપ્રમાણતા ચળવળ અને વૃદ્ધિને દર્શાવે છે. આમ, પ્રકૃતિમાં, સ્થિર સમપ્રમાણતા સ્ફટિકોની રચના દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, અને કલામાં તે શાંતિ, સંતુલન અને સ્થિરતા દર્શાવે છે. ગતિશીલ સમપ્રમાણતા પ્રવૃત્તિને વ્યક્ત કરે છે, ચળવળ, વિકાસ, લયને લાક્ષણિકતા આપે છે, તે જીવનનો પુરાવો છે. સ્થિર સમપ્રમાણતા સમાન સેગમેન્ટ્સ અને સમાન મૂલ્યો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. ગતિશીલ સમપ્રમાણતા વિભાગોમાં વધારો અથવા તેમના ઘટાડા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, અને તે વધતી અથવા ઘટતી શ્રેણીના સુવર્ણ વિભાગના મૂલ્યોમાં વ્યક્ત થાય છે.

પ્રાચીન લોકોએ સુવર્ણ ગુણોત્તરને કોસ્મિક ઓર્ડરના પ્રતિબિંબ તરીકે જોયો, અને જોહાન્સ કેપ્લરે તેને ભૂમિતિના ખજાનામાંનો એક ગણાવ્યો. આધુનિક વિજ્ઞાન સુવર્ણ ગુણોત્તરને "અસમપ્રમાણ સમપ્રમાણતા" તરીકે માને છે, તેને વ્યાપક અર્થમાં એક સાર્વત્રિક નિયમ કહે છે જે આપણા વિશ્વ વ્યવસ્થાની રચના અને વ્યવસ્થાને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

વ્યાખ્યા

સુવર્ણ ગુણોત્તરની સૌથી વ્યાપક વ્યાખ્યા જણાવે છે કે નાનો ભાગ મોટા ભાગ સાથે સંબંધિત છે, કારણ કે મોટો ભાગ સમગ્ર સાથે છે. તેની અંદાજિત કિંમત 1.6180339887 છે. ગોળાકાર ટકાવારી મૂલ્યમાં, સમગ્ર ભાગોનું પ્રમાણ 62% થી 38% જેટલું હશે. આ સંબંધ અવકાશ અને સમયના સ્વરૂપમાં ચાલે છે.

પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓને સુવર્ણ પ્રમાણ વિશે ખ્યાલ હતો, તેઓ તેમના વિશે રુસમાં જાણતા હતા, પરંતુ પ્રથમ વખત સુવર્ણ ગુણોત્તર વૈજ્ઞાનિક રીતે સાધુ લુકા પેસિઓલી દ્વારા પુસ્તક "ડિવાઇન પ્રોપોર્શન" (1509) માં સમજાવવામાં આવ્યું હતું, જેના માટેના ચિત્રો હતા. માનવામાં આવે છે કે લિયોનાર્ડો દા વિન્સી દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. પેસીઓલીએ સુવર્ણ વિભાગમાં દૈવી ત્રૈક્ય જોયું: નાનો ભાગ પુત્રને, મોટો ભાગ પિતાને અને સમગ્ર પવિત્ર આત્માને મૂર્તિમંત કરે છે. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો ફિબોનાકીનું નામ સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમ સાથે સીધું સંકળાયેલું છે. એક સમસ્યાને ઉકેલવાના પરિણામે, વૈજ્ઞાનિકે સંખ્યાઓનો ક્રમ રજૂ કર્યો જે હવે ફિબોનાકી શ્રેણી તરીકે ઓળખાય છે: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, વગેરે. કેપ્લરે આ ક્રમના સુવર્ણ પ્રમાણ સાથેના સંબંધ તરફ ધ્યાન દોર્યું: “તે એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે આ ક્યારેય ન સમાપ્ત થતા પ્રમાણના બે નીચલા પદો ત્રીજા પદમાં ઉમેરાય છે, અને કોઈપણ બે છેલ્લી પદો, જો ઉમેરવામાં આવે તો, આપે છે. આગળની મુદત, અને તે જ પ્રમાણ અનંત સુધી જાળવવામાં આવે છે " હવે ફિબોનાકી શ્રેણી તેના તમામ અભિવ્યક્તિઓમાં સુવર્ણ ગુણોત્તરના પ્રમાણની ગણતરી કરવા માટેનો અંકગણિત આધાર છે. લિયોનાર્ડો દા વિન્સીએ પણ સુવર્ણ ગુણોત્તરની વિશેષતાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે ઘણો સમય ફાળવ્યો, સંભવતઃ, આ શબ્દ પોતે જ તેનો છે; નિયમિત પંચકોણ દ્વારા રચાયેલા સ્ટીરિયોમેટ્રિક બોડીના તેમના રેખાંકનો સાબિત કરે છે કે વિભાગ દ્વારા મેળવેલ દરેક લંબચોરસ સુવર્ણ વિભાગમાં પાસા રેશિયો આપે છે. સમય જતાં, સુવર્ણ ગુણોત્તરનો નિયમ શૈક્ષણિક દિનચર્યા બની ગયો, અને માત્ર ફિલસૂફ એડોલ્ફ ઝીસિંગે તેને 1855માં બીજું જીવન આપ્યું. તેમણે સુવર્ણ વિભાગના પ્રમાણને નિરપેક્ષતામાં લાવ્યા, તેમને આસપાસના વિશ્વની તમામ ઘટનાઓ માટે સાર્વત્રિક બનાવ્યા. જો કે, તેમના "ગાણિતિક સૌંદર્ય શાસ્ત્ર" ને કારણે ઘણી ટીકા થઈ.

ગણતરીમાં ગયા વિના પણ, સુવર્ણ ગુણોત્તર પ્રકૃતિમાં સરળતાથી મળી શકે છે. તેથી, ગરોળીની પૂંછડી અને શરીરનો ગુણોત્તર, શાખા પરના પાંદડા વચ્ચેનું અંતર તેની નીચે આવે છે, ઇંડાના આકારમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર હોય છે, જો તેના પહોળા ભાગ દ્વારા શરતી રેખા દોરવામાં આવે છે. બેલારુસિયન વૈજ્ઞાનિક એડ્યુઅર્ડ સોરોકો, જેમણે પ્રકૃતિમાં સુવર્ણ વિભાગોના સ્વરૂપોનો અભ્યાસ કર્યો હતો, નોંધ્યું હતું કે અવકાશમાં વધતી જતી અને તેનું સ્થાન લેવા માટે પ્રયત્નશીલ દરેક વસ્તુ સુવર્ણ વિભાગના પ્રમાણથી સંપન્ન છે. તેમના મતે, સૌથી રસપ્રદ સ્વરૂપોમાંનું એક સર્પાકાર વળી જતું છે. આર્કિમીડીસે, સર્પાકાર પર ધ્યાન આપીને, તેના આકારના આધારે એક સમીકરણ મેળવ્યું, જેનો ઉપયોગ હજી પણ ટેક્નોલોજીમાં થાય છે. ગોથેએ પાછળથી સર્પાકાર સ્વરૂપો પ્રત્યે પ્રકૃતિના આકર્ષણની નોંધ લીધી, સર્પાકારને "જીવનનો વળાંક" ગણાવ્યો. આધુનિક વૈજ્ઞાનિકોએ શોધી કાઢ્યું છે કે ગોકળગાયના શેલ તરીકે પ્રકૃતિમાં સર્પાકાર સ્વરૂપોના આવા અભિવ્યક્તિઓ, સૂર્યમુખીના બીજની ગોઠવણી, સ્પાઈડર વેબ પેટર્ન, વાવાઝોડાની હિલચાલ, ડીએનએની રચના અને તારાવિશ્વોની રચનામાં પણ ફિબોનાકી શ્રેણી છે.

ફેશન ડિઝાઇનર્સ અને કપડાં ડિઝાઇનરો ગોલ્ડન રેશિયોના પ્રમાણને આધારે તમામ ગણતરીઓ કરે છે. સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમોનું પરીક્ષણ કરવા માટે માણસ એ સાર્વત્રિક સ્વરૂપ છે. અલબત્ત, પ્રકૃતિ દ્વારા, બધા લોકોમાં આદર્શ પ્રમાણ હોતું નથી, જે કપડાંની પસંદગીમાં ચોક્કસ મુશ્કેલીઓ બનાવે છે. લિયોનાર્ડો દા વિન્સીની ડાયરીમાં એક નગ્ન માણસનું ચિત્ર એક વર્તુળમાં, બે સુપરઇમ્પોઝ્ડ સ્થિતિમાં લખેલું છે. રોમન આર્કિટેક્ટ વિટ્રુવિયસના સંશોધનના આધારે, લિયોનાર્ડોએ સમાન રીતે માનવ શરીરના પ્રમાણને સ્થાપિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. પાછળથી, ફ્રેન્ચ આર્કિટેક્ટ લે કોર્બુઝિયરે, લિયોનાર્ડોના "વિટ્રુવિયન મેન" નો ઉપયોગ કરીને "હાર્મોનિક પ્રમાણ"નું પોતાનું સ્કેલ બનાવ્યું, જેણે 20મી સદીના આર્કિટેક્ચરના સૌંદર્ય શાસ્ત્રને પ્રભાવિત કર્યું. એડોલ્ફ ઝીસિંગ, વ્યક્તિની પ્રમાણસરતાનો અભ્યાસ કરીને, એક પ્રચંડ કાર્ય કર્યું. તેણે લગભગ બે હજાર માનવ શરીર, તેમજ ઘણી પ્રાચીન મૂર્તિઓ માપી અને તારણ કાઢ્યું કે સુવર્ણ ગુણોત્તર સરેરાશ આંકડાકીય કાયદાને વ્યક્ત કરે છે. વ્યક્તિમાં, શરીરના લગભગ તમામ ભાગો તેને ગૌણ હોય છે, પરંતુ સુવર્ણ ગુણોત્તરનું મુખ્ય સૂચક એ નાભિ બિંદુ દ્વારા શરીરનું વિભાજન છે. માપનના પરિણામ સ્વરૂપે, સંશોધકને જાણવા મળ્યું કે પુરૂષના શરીરનું પ્રમાણ 13:8 સ્ત્રી શરીરના પ્રમાણ કરતાં સુવર્ણ ગુણોત્તરની નજીક છે - 8:5.

અવકાશી સ્વરૂપોની કળા

કલાકાર વસિલી સુરીકોવ કહે છે કે "રચનામાં એક અપરિવર્તનશીલ કાયદો છે, જ્યારે તમે ચિત્રમાં કંઈપણ દૂર કરી શકતા નથી અને ઉમેરી શકતા નથી, તો તમે એક વધારાનો બિંદુ પણ ઉમેરી શકતા નથી, આ વાસ્તવિક ગણિત છે." લાંબા સમયથી, કલાકારોએ આ કાયદાનું સાહજિક રીતે પાલન કર્યું છે, પરંતુ લિયોનાર્ડો દા વિન્સી પછી, પેઇન્ટિંગ બનાવવાની પ્રક્રિયા હવે ભૌમિતિક સમસ્યાઓ હલ કર્યા વિના પૂર્ણ થઈ શકશે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, આલ્બ્રેક્ટ ડ્યુરેરે સુવર્ણ વિભાગના બિંદુઓ નક્કી કરવા માટે શોધેલા પ્રમાણસર હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કર્યો. કલા વિવેચક એફ.વી. કોવાલેવ, નિકોલાઈ જીની પેઇન્ટિંગ "મિખાઈલોવસ્કોયે ગામમાં એલેક્ઝાન્ડર સર્ગેવિચ પુશ્કિન" ની વિગતવાર તપાસ કરીને નોંધે છે કે કેનવાસની દરેક વિગત, પછી ભલે તે સગડી હોય, બુકકેસ હોય, ખુરશી હોય અથવા કવિ પોતે જ હોય. સોનેરી પ્રમાણમાં. સુવર્ણ ગુણોત્તરના સંશોધકો અથાકપણે આર્કિટેક્ચરલ માસ્ટરપીસનો અભ્યાસ કરે છે અને માપે છે, દાવો કરે છે કે તેઓ આવા બન્યા છે કારણ કે તેઓ સુવર્ણ સિદ્ધાંતો અનુસાર બનાવવામાં આવ્યા હતા: તેમની સૂચિમાં ગીઝાના મહાન પિરામિડ, નોટ્રે ડેમ કેથેડ્રલ, સેન્ટ બેસિલ કેથેડ્રલ અને પાર્થેનોનનો સમાવેશ થાય છે. અને આજે, અવકાશી સ્વરૂપોની કોઈપણ કળામાં, તેઓ સુવર્ણ વિભાગના પ્રમાણને અનુસરવાનો પ્રયાસ કરે છે, કારણ કે, કલા વિવેચકોના મતે, તેઓ કાર્યની ધારણાને સરળ બનાવે છે અને દર્શકમાં સૌંદર્યલક્ષી લાગણી બનાવે છે. અસ્થાયી કલાના શબ્દ, ધ્વનિ અને ફિલ્મ સ્વરૂપો તેમની પોતાની રીતે અમને સુવર્ણ વિભાગના સિદ્ધાંતનું નિદર્શન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સાહિત્યિક વિદ્વાનોએ નોંધ્યું છે કે પુષ્કિનના કામના અંતના સમયગાળાની કવિતાઓમાં સૌથી વધુ લોકપ્રિય પંક્તિઓ ફિબોનાકી શ્રેણીને અનુરૂપ છે - 5, 8, 13, 21, 34. સુવર્ણ ગુણોત્તરનો નિયમ આમાં પણ લાગુ પડે છે. રશિયન ક્લાસિકના વ્યક્તિગત કાર્યો. આમ, "ધ ક્વીન ઓફ સ્પેડ્સ" નું ક્લાઈમેક્સ એ હર્મન અને કાઉન્ટેસનું નાટકીય દ્રશ્ય છે, જે બાદમાંના મૃત્યુ સાથે સમાપ્ત થાય છે. વાર્તામાં 853 લીટીઓ છે, અને પરાકાષ્ઠા 535 લીટી પર થાય છે (853:535 = 1.6) - આ સુવર્ણ ગુણોત્તરનો મુદ્દો છે. સોવિયેત સંગીતશાસ્ત્રી E.K. રોસેનોવ જોહાન સેબેસ્ટિયન બાચના કાર્યોના કડક અને મુક્ત સ્વરૂપોમાં સુવર્ણ ગુણોત્તરની અદ્ભુત ચોકસાઈની નોંધ લે છે, જે માસ્ટરની વિચારશીલ, કેન્દ્રિત, તકનીકી રીતે ચકાસાયેલ શૈલીને અનુરૂપ છે. આ અન્ય સંગીતકારોના ઉત્કૃષ્ટ કાર્યો માટે પણ સાચું છે, જ્યાં સૌથી વધુ આકર્ષક અથવા અનપેક્ષિત સંગીત ઉકેલ સામાન્ય રીતે સુવર્ણ ગુણોત્તર બિંદુ પર થાય છે. ફિલ્મ દિગ્દર્શક સર્ગેઈ આઈઝેનસ્ટીને તેમની ફિલ્મ "બેટલશિપ પોટેમકિન" ની સ્ક્રિપ્ટને સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમ સાથે જાણીજોઈને સંકલન કરી, ફિલ્મને પાંચ ભાગોમાં વિભાજીત કરી. પ્રથમ ત્રણ વિભાગોમાં ક્રિયા વહાણ પર થાય છે, અને છેલ્લા બેમાં - ઓડેસામાં. સિટીમાં સીનનું સંક્રમણ એ ફિલ્મનું ગોલ્ડન મિડલ છે.

સુવર્ણ ગુણોત્તર એ માળખાકીય સંવાદિતાનું સાર્વત્રિક અભિવ્યક્તિ છે. તે પ્રકૃતિ, વિજ્ઞાન, કલા - દરેક વસ્તુમાં જોવા મળે છે જેની સાથે વ્યક્તિ સંપર્કમાં આવી શકે છે. એકવાર સુવર્ણ નિયમથી પરિચિત થયા પછી, માનવતા હવે તેની સાથે દગો કરશે નહીં.

વ્યાખ્યા.

પ્રાચીન લોકોએ સુવર્ણ ગુણોત્તરને કોસ્મિક ઓર્ડરના પ્રતિબિંબ તરીકે જોયો અને જોહાન્સ કેપ્લરે તેને ભૂમિતિના ખજાનામાંનો એક ગણાવ્યો. આધુનિક વિજ્ઞાન સુવર્ણ ગુણોત્તરને "અસમપ્રમાણ સમપ્રમાણતા" તરીકે માને છે, તેને વ્યાપક અર્થમાં એક સાર્વત્રિક નિયમ કહે છે જે આપણા વિશ્વ વ્યવસ્થાની રચના અને વ્યવસ્થાને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

વાર્તા.
પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓને સુવર્ણ પ્રમાણ વિશે ખ્યાલ હતો, તેઓ તેમના વિશે રુસમાં જાણતા હતા, પરંતુ પ્રથમ વખત સુવર્ણ ગુણોત્તર વૈજ્ઞાનિક રીતે સાધુ લુકા પેસિઓલી દ્વારા પુસ્તક "ડિવાઇન પ્રોપોર્શન" (1509) માં સમજાવવામાં આવ્યું હતું, જેના માટેના ચિત્રો હતા. માનવામાં આવે છે કે લિયોનાર્ડો દા વિન્સી દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. પેસીઓલીએ સુવર્ણ વિભાગમાં દૈવી ત્રૈક્ય જોયું: નાનો ભાગ પુત્રને, મોટો ભાગ પિતાને અને સમગ્ર પવિત્ર આત્માને મૂર્તિમંત કરે છે.

ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો ફિબોનાકીનું નામ સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમ સાથે સીધું સંકળાયેલું છે. એક સમસ્યા ઉકેલવાના પરિણામે, વૈજ્ઞાનિક સંખ્યાઓના ક્રમ પર પહોંચ્યા જે હવે ફિબોનાકી શ્રેણી તરીકે ઓળખાય છે: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, વગેરે. કેપ્લરે ધ્યાન દોર્યું આ ક્રમનો સુવર્ણ ગુણોત્તર સાથેનો સંબંધ : "તે એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે સરવાળામાં આ અનંત પ્રમાણના બે નાના સભ્યો ત્રીજા સભ્યને આપે છે, અને કોઈપણ બે છેલ્લા સભ્યો, જો ઉમેરવામાં આવ્યા હોય, તો પછીના સભ્યને આપો, વધુમાં, સમાન પ્રમાણ અનંત સુધી સાચવેલ છે. હવે ફિબોનાકી શ્રેણી એ તેના તમામ અભિવ્યક્તિઓમાં સુવર્ણ ગુણોત્તરના પ્રમાણની ગણતરી કરવા માટેનો અંકગણિત આધાર છે.

ફિબોનાકી નંબરો એક હાર્મોનિક ડિવિઝન છે, જે સુંદરતાનું માપ છે. પ્રકૃતિ, માણસ, કલા, સ્થાપત્ય, શિલ્પ, ડિઝાઇન, ગણિત, સંગીતમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર https://psihologiyaotnoshenij.com/stati/zolotoe-sechenie-kak-eto-rabotaet

લિયોનાર્ડો દા વિન્સીએ પણ સુવર્ણ ગુણોત્તરની વિશેષતાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે ઘણો સમય ફાળવ્યો, સંભવતઃ, આ શબ્દ પોતે જ તેનો છે; નિયમિત પંચકોણ દ્વારા રચાયેલા સ્ટીરિયોમેટ્રિક બોડીના તેમના રેખાંકનો સાબિત કરે છે કે વિભાગ દ્વારા મેળવેલ દરેક લંબચોરસ સુવર્ણ વિભાગમાં પાસા રેશિયો આપે છે.

સમય જતાં, સુવર્ણ ગુણોત્તરનો નિયમ શૈક્ષણિક દિનચર્યા બની ગયો, અને માત્ર ફિલસૂફ એડોલ્ફ ઝીસિંગે તેને 1855માં બીજું જીવન આપ્યું. તેમણે સુવર્ણ વિભાગના પ્રમાણને નિરપેક્ષતામાં લાવ્યા, તેમને આસપાસના વિશ્વની તમામ ઘટનાઓ માટે સાર્વત્રિક બનાવ્યા. જો કે, તેમના "ગાણિતિક સૌંદર્ય શાસ્ત્ર" ને કારણે ઘણી ટીકા થઈ.

કુદરત.
ગણતરીમાં ગયા વિના પણ, સુવર્ણ ગુણોત્તર પ્રકૃતિમાં સરળતાથી મળી શકે છે. તેથી, ગરોળીની પૂંછડી અને શરીરનો ગુણોત્તર, શાખા પરના પાંદડા વચ્ચેનું અંતર તેની નીચે આવે છે, ઇંડાના આકારમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર હોય છે, જો તેના પહોળા ભાગ દ્વારા શરતી રેખા દોરવામાં આવે છે.

બેલારુસિયન વૈજ્ઞાનિક એડ્યુઅર્ડ સોરોકો, જેમણે પ્રકૃતિમાં સુવર્ણ વિભાગોના સ્વરૂપોનો અભ્યાસ કર્યો હતો, નોંધ્યું હતું કે અવકાશમાં વધતી જતી અને તેનું સ્થાન લેવા માટે પ્રયત્નશીલ દરેક વસ્તુ સુવર્ણ વિભાગના પ્રમાણથી સંપન્ન છે. તેમના મતે, સૌથી રસપ્રદ સ્વરૂપોમાંનું એક સર્પાકાર વળી જતું છે.
આર્કિમીડીસે, સર્પાકાર પર ધ્યાન આપીને, તેના આકારના આધારે એક સમીકરણ મેળવ્યું, જેનો ઉપયોગ હજી પણ ટેક્નોલોજીમાં થાય છે. ગોથેએ પાછળથી સર્પાકાર સ્વરૂપો પ્રત્યે પ્રકૃતિના આકર્ષણની નોંધ લીધી, સર્પાકારને "જીવનનો વળાંક" ગણાવ્યો. આધુનિક વૈજ્ઞાનિકોએ શોધી કાઢ્યું છે કે ગોકળગાયના શેલ તરીકે પ્રકૃતિમાં સર્પાકાર સ્વરૂપોના આવા અભિવ્યક્તિઓ, સૂર્યમુખીના બીજની ગોઠવણી, સ્પાઈડર વેબ પેટર્ન, વાવાઝોડાની હિલચાલ, ડીએનએની રચના અને તારાવિશ્વોની રચનામાં પણ ફિબોનાકી શ્રેણી છે.

માનવ.
ફેશન ડિઝાઇનર્સ અને કપડાં ડિઝાઇનરો ગોલ્ડન રેશિયોના પ્રમાણને આધારે તમામ ગણતરીઓ કરે છે. સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમોનું પરીક્ષણ કરવા માટે માણસ એ સાર્વત્રિક સ્વરૂપ છે. અલબત્ત, પ્રકૃતિ દ્વારા, બધા લોકોમાં આદર્શ પ્રમાણ હોતું નથી, જે કપડાંની પસંદગીમાં ચોક્કસ મુશ્કેલીઓ બનાવે છે.

લિયોનાર્ડો દા વિન્સીની ડાયરીમાં એક નગ્ન માણસનું ચિત્ર એક વર્તુળમાં, બે સુપરઇમ્પોઝ્ડ સ્થિતિમાં લખેલું છે. રોમન આર્કિટેક્ટ વિટ્રુવિયસના સંશોધનના આધારે, લિયોનાર્ડોએ સમાન રીતે માનવ શરીરના પ્રમાણને સ્થાપિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. પાછળથી, ફ્રેન્ચ આર્કિટેક્ટ લે કોર્બુઝિયરે, લિયોનાર્ડોના "વિટ્રુવિયન મેન" નો ઉપયોગ કરીને "હાર્મોનિક પ્રમાણ"નું પોતાનું સ્કેલ બનાવ્યું, જેણે 20મી સદીના આર્કિટેક્ચરના સૌંદર્ય શાસ્ત્રને પ્રભાવિત કર્યું.

એડોલ્ફ ઝીસિંગે, વ્યક્તિની પ્રમાણસરતાની શોધ કરીને, એક પ્રચંડ કાર્ય કર્યું. તેણે લગભગ બે હજાર માનવ શરીર, તેમજ ઘણી પ્રાચીન મૂર્તિઓ માપી અને તારણ કાઢ્યું કે સુવર્ણ ગુણોત્તર સરેરાશ આંકડાકીય કાયદાને વ્યક્ત કરે છે. વ્યક્તિમાં, શરીરના લગભગ તમામ ભાગો તેને ગૌણ હોય છે, પરંતુ સુવર્ણ ગુણોત્તરનું મુખ્ય સૂચક એ નાભિ બિંદુ દ્વારા શરીરનું વિભાજન છે.
માપનના પરિણામ સ્વરૂપે, સંશોધકને જાણવા મળ્યું કે પુરૂષના શરીરનું પ્રમાણ 13:8 સ્ત્રી શરીરના પ્રમાણ કરતાં સુવર્ણ ગુણોત્તરની નજીક છે - 8:5.

અવકાશી સ્વરૂપોની કળા.
કલાકાર વસિલી સુરીકોવ કહે છે, "કે કમ્પોઝિશનમાં એક અપરિવર્તનશીલ કાયદો છે, જ્યારે કોઈ ચિત્રમાં તમે કંઈપણ દૂર કરી શકતા નથી અથવા ઉમેરી શકતા નથી, ત્યારે તમે એક વધારાનો મુદ્દો પણ મૂકી શકતા નથી, આ વાસ્તવિક ગણિત છે." લાંબા સમય સુધી, કલાકારોએ સાહજિક રીતે આ કાયદાનું પાલન કર્યું, પરંતુ લિયોનાર્ડો દા વિન્સી પછી, ભૌમિતિક સમસ્યાઓ હલ કર્યા વિના પેઇન્ટિંગ બનાવવાની પ્રક્રિયા હવે પૂર્ણ થતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, આલ્બ્રેક્ટ ડ્યુરેરે સુવર્ણ વિભાગના બિંદુઓ નક્કી કરવા માટે શોધેલા પ્રમાણસર હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કર્યો.

કલા વિવેચક એફ. વી. કોવાલેવે, નિકોલાઈ જીની પેઇન્ટિંગ "મિખાઈલોવસ્કાયના ગામમાં એલેક્ઝાન્ડર સર્ગેવિચ પુશકિન" ની વિગતવાર તપાસ કરી, નોંધ્યું છે કે કેનવાસની દરેક વિગત, પછી ભલે તે ફાયરપ્લેસ હોય, બુકકેસ હોય, ખુરશી હોય અથવા કવિ પોતે જ સોનેરી પ્રમાણમાં સખત રીતે લખાયેલ હોય. .

સુવર્ણ ગુણોત્તરના સંશોધકો અથાકપણે આર્કિટેક્ચરલ માસ્ટરપીસનો અભ્યાસ કરે છે અને માપે છે, દાવો કરે છે કે તેઓ આવા બન્યા છે કારણ કે તેઓ સુવર્ણ સિદ્ધાંતો અનુસાર બનાવવામાં આવ્યા હતા: તેમની સૂચિમાં ગીઝાના મહાન પિરામિડ, નોટ્રે ડેમ કેથેડ્રલ, સેન્ટ બેસિલ કેથેડ્રલ અને પાર્થેનોનનો સમાવેશ થાય છે.
અને આજે, અવકાશી સ્વરૂપોની કોઈપણ કળામાં, તેઓ સુવર્ણ વિભાગના પ્રમાણને અનુસરવાનો પ્રયાસ કરે છે, કારણ કે, કલા વિવેચકોના મતે, તેઓ કાર્યની ધારણાને સરળ બનાવે છે અને દર્શકમાં સૌંદર્યલક્ષી લાગણી બનાવે છે.

શબ્દ, અવાજ અને ફિલ્મ.
ફોર્મ કામચલાઉ છે? ગો આર્ટ્સ તેમની પોતાની રીતે અમને સુવર્ણ વિભાગના સિદ્ધાંતનું નિદર્શન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સાહિત્યિક વિદ્વાનોએ નોંધ્યું છે કે પુષ્કિનના કામના અંતના સમયગાળાની કવિતાઓમાં સૌથી વધુ લોકપ્રિય પંક્તિઓ ફિબોનાકી શ્રેણીને અનુરૂપ છે - 5, 8, 13, 21, 34.

સુવર્ણ વિભાગનો નિયમ રશિયન ક્લાસિકના વ્યક્તિગત કાર્યોમાં પણ લાગુ પડે છે. આમ, "ધ ક્વીન ઓફ સ્પેડ્સ" નું ક્લાઈમેક્સ એ હર્મન અને કાઉન્ટેસનું નાટકીય દ્રશ્ય છે, જે બાદમાંના મૃત્યુ સાથે સમાપ્ત થાય છે. વાર્તામાં 853 રેખાઓ છે, અને પરાકાષ્ઠા 535 લાઇન પર થાય છે (853: 535 = 1, 6) - આ સુવર્ણ ગુણોત્તરનો મુદ્દો છે.

સોવિયત સંગીતશાસ્ત્રી ઇ. કે. રોસેનોવ જોહાન સેબેસ્ટિયન બાચના કાર્યોના કડક અને મુક્ત સ્વરૂપોમાં સુવર્ણ વિભાગના સંબંધોની અદ્ભુત ચોકસાઈની નોંધ લે છે, જે માસ્ટરની વિચારશીલ, કેન્દ્રિત, તકનીકી રીતે ચકાસાયેલ શૈલીને અનુરૂપ છે. આ અન્ય સંગીતકારોના ઉત્કૃષ્ટ કાર્યો માટે પણ સાચું છે, જ્યાં સૌથી વધુ આકર્ષક અથવા અનપેક્ષિત સંગીત ઉકેલ સામાન્ય રીતે સુવર્ણ ગુણોત્તર બિંદુ પર થાય છે.
ફિલ્મ દિગ્દર્શક સર્ગેઈ આઈઝેનસ્ટીને તેમની ફિલ્મ "બેટલશીપ પોટેમકીન" ની સ્ક્રિપ્ટને સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમ સાથે જાણીજોઈને સંકલિત કરી, ફિલ્મને પાંચ ભાગોમાં વિભાજીત કરી. પ્રથમ ત્રણ વિભાગોમાં ક્રિયા વહાણ પર થાય છે, અને છેલ્લા બેમાં - ઓડેસામાં. સિટીમાં સીનનું સંક્રમણ એ ફિલ્મનું ગોલ્ડન મિડલ છે.

સુવર્ણ ગુણોત્તર એ માળખાકીય સંવાદિતાનું સાર્વત્રિક અભિવ્યક્તિ છે. તે પ્રકૃતિ, વિજ્ઞાન, કલા - દરેક વસ્તુમાં જોવા મળે છે જેની સાથે વ્યક્તિ સંપર્કમાં આવી શકે છે. એકવાર સુવર્ણ નિયમથી પરિચિત થયા પછી, માનવતા હવે તેને દગો કરશે નહીં.

સુવર્ણ ગુણોત્તર એ માળખાકીય સંવાદિતાનું સાર્વત્રિક અભિવ્યક્તિ છે. તે પ્રકૃતિ, વિજ્ઞાન, કલા - દરેક વસ્તુમાં જોવા મળે છે જેની સાથે વ્યક્તિ સંપર્કમાં આવી શકે છે. એકવાર સુવર્ણ નિયમથી પરિચિત થયા પછી, માનવતા હવે તેને દગો કરશે નહીં.

વ્યાખ્યા
સુવર્ણ ગુણોત્તરની સૌથી વ્યાપક વ્યાખ્યા જણાવે છે કે નાનો ભાગ મોટા ભાગનો હોય છે જેટલો મોટો ભાગ સંપૂર્ણ હોય છે. તેની અંદાજિત કિંમત 1.6180339887 છે. ગોળાકાર ટકાવારી મૂલ્યમાં, સમગ્ર ભાગોનું પ્રમાણ 62% થી 38% જેટલું હશે. આ સંબંધ અવકાશ અને સમયના સ્વરૂપમાં ચાલે છે.

પ્રાચીન લોકોએ સુવર્ણ ગુણોત્તરને કોસ્મિક ઓર્ડરના પ્રતિબિંબ તરીકે જોયો, અને જોહાન્સ કેપ્લરે તેને ભૂમિતિના ખજાનામાંનો એક ગણાવ્યો. આધુનિક વિજ્ઞાન સુવર્ણ ગુણોત્તરને "અસમપ્રમાણ સમપ્રમાણતા" તરીકે માને છે, તેને વ્યાપક અર્થમાં એક સાર્વત્રિક નિયમ કહે છે જે આપણા વિશ્વ વ્યવસ્થાની રચના અને વ્યવસ્થાને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

વાર્તા
પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓને સુવર્ણ પ્રમાણ વિશે ખ્યાલ હતો, તેઓ તેમના વિશે રુસમાં જાણતા હતા, પરંતુ પ્રથમ વખત સુવર્ણ ગુણોત્તર વૈજ્ઞાનિક રીતે સાધુ લુકા પેસિઓલી દ્વારા પુસ્તક "ડિવાઇન પ્રોપોર્શન" (1509) માં સમજાવવામાં આવ્યું હતું, જેના માટેના ચિત્રો હતા. માનવામાં આવે છે કે લિયોનાર્ડો દા વિન્સી દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. પેસીઓલીએ સુવર્ણ વિભાગમાં દૈવી ત્રૈક્ય જોયું: નાનો ભાગ પુત્રને, મોટો ભાગ પિતાને અને સમગ્ર પવિત્ર આત્માને મૂર્તિમંત કરે છે.

ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો ફિબોનાકીનું નામ સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમ સાથે સીધું સંકળાયેલું છે. એક સમસ્યા ઉકેલવાના પરિણામે, વૈજ્ઞાનિકે સંખ્યાઓનો ક્રમ રજૂ કર્યો જે હવે ફિબોનાકી શ્રેણી તરીકે ઓળખાય છે: 0, 1, 1, 2, 3... વગેરે. કેપ્લરે આ ક્રમના સુવર્ણ પ્રમાણ સાથેના સંબંધ તરફ ધ્યાન દોર્યું: “તે એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે આ ક્યારેય ન સમાપ્ત થતા પ્રમાણના બે નીચલા પદો ત્રીજા પદમાં ઉમેરાય છે, અને કોઈપણ બે છેલ્લી શરતો, જો ઉમેરવામાં આવે તો, આપે છે. આગામી મુદત, અને તે જ પ્રમાણ અનંત સુધી જાળવવામાં આવે છે " હવે ફિબોનાકી શ્રેણી તેના તમામ અભિવ્યક્તિઓમાં સુવર્ણ ગુણોત્તરના પ્રમાણની ગણતરી કરવા માટેનો અંકગણિત આધાર છે.

લિયોનાર્ડો દા વિન્સીએ પણ સુવર્ણ ગુણોત્તરની વિશેષતાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે ઘણો સમય ફાળવ્યો, સંભવતઃ, આ શબ્દ પોતે જ તેનો છે. નિયમિત પંચકોણ દ્વારા રચાયેલા સ્ટીરિયોમેટ્રિક બોડીના તેમના રેખાંકનો સાબિત કરે છે કે વિભાગ દ્વારા મેળવેલ દરેક લંબચોરસ સુવર્ણ વિભાગમાં પાસા રેશિયો આપે છે.

સમય જતાં, સુવર્ણ ગુણોત્તરનો નિયમ શૈક્ષણિક દિનચર્યા બની ગયો, અને માત્ર ફિલસૂફ એડોલ્ફ ઝીસિંગે તેને 1855માં બીજું જીવન આપ્યું. તેમણે સુવર્ણ વિભાગના પ્રમાણને નિરપેક્ષતામાં લાવ્યા, તેમને આસપાસના વિશ્વની તમામ ઘટનાઓ માટે સાર્વત્રિક બનાવ્યા. જો કે, તેમના "ગાણિતિક સૌંદર્ય શાસ્ત્ર" ને કારણે ઘણી ટીકા થઈ.

કુદરત
ગણતરીમાં ગયા વિના પણ, સુવર્ણ ગુણોત્તર પ્રકૃતિમાં સરળતાથી મળી શકે છે. તેથી, ગરોળીની પૂંછડી અને શરીરનો ગુણોત્તર, શાખા પરના પાંદડા વચ્ચેનું અંતર તેની નીચે આવે છે, ઇંડાના આકારમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર હોય છે, જો તેના પહોળા ભાગ દ્વારા શરતી રેખા દોરવામાં આવે છે.

બેલારુસિયન વૈજ્ઞાનિક એડ્યુઅર્ડ સોરોકો, જેમણે પ્રકૃતિમાં સુવર્ણ વિભાગોના સ્વરૂપોનો અભ્યાસ કર્યો હતો, નોંધ્યું હતું કે અવકાશમાં વધતી જતી અને તેનું સ્થાન લેવા માટે પ્રયત્નશીલ દરેક વસ્તુ સુવર્ણ વિભાગના પ્રમાણથી સંપન્ન છે. તેમના મતે, સૌથી રસપ્રદ સ્વરૂપોમાંનું એક સર્પાકાર વળી જતું છે.
આર્કિમીડીસે, સર્પાકાર પર ધ્યાન આપીને, તેના આકારના આધારે એક સમીકરણ મેળવ્યું, જેનો ઉપયોગ હજી પણ ટેક્નોલોજીમાં થાય છે. ગોથેએ પાછળથી સર્પાકાર સ્વરૂપો પ્રત્યે પ્રકૃતિના આકર્ષણની નોંધ લીધી, સર્પાકારને "જીવનનો વળાંક" ગણાવ્યો. આધુનિક વૈજ્ઞાનિકોએ શોધી કાઢ્યું છે કે ગોકળગાયના શેલ તરીકે પ્રકૃતિમાં સર્પાકાર સ્વરૂપોના આવા અભિવ્યક્તિઓ, સૂર્યમુખીના બીજની ગોઠવણી, સ્પાઈડર વેબ પેટર્ન, વાવાઝોડાની હિલચાલ, ડીએનએની રચના અને તારાવિશ્વોની રચનામાં પણ ફિબોનાકી શ્રેણી છે.

માનવ
ફેશન ડિઝાઇનર્સ અને કપડાં ડિઝાઇનર્સ સુવર્ણ ગુણોત્તરના પ્રમાણને આધારે તમામ ગણતરીઓ કરે છે. સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમોનું પરીક્ષણ કરવા માટે માણસ એ સાર્વત્રિક સ્વરૂપ છે. અલબત્ત, પ્રકૃતિ દ્વારા, બધા લોકોમાં આદર્શ પ્રમાણ હોતું નથી, જે કપડાંની પસંદગીમાં ચોક્કસ મુશ્કેલીઓ બનાવે છે.

લિયોનાર્ડો દા વિન્સીની ડાયરીમાં એક નગ્ન માણસનું ચિત્ર એક વર્તુળમાં, બે સુપરઇમ્પોઝ્ડ સ્થિતિમાં અંકિત છે. રોમન આર્કિટેક્ટ વિટ્રુવિયસના સંશોધનના આધારે, લિયોનાર્ડોએ સમાન રીતે માનવ શરીરના પ્રમાણને સ્થાપિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. પાછળથી, ફ્રેન્ચ આર્કિટેક્ટ લે કોર્બુઝિયરે, લિયોનાર્ડોના "વિટ્રુવિયન મેન" નો ઉપયોગ કરીને "હાર્મોનિક પ્રમાણ"નું પોતાનું સ્કેલ બનાવ્યું, જેણે 20મી સદીના આર્કિટેક્ચરના સૌંદર્ય શાસ્ત્રને પ્રભાવિત કર્યું.

એડોલ્ફ ઝીસિંગ, વ્યક્તિની પ્રમાણસરતાનો અભ્યાસ કરીને, એક પ્રચંડ કાર્ય કર્યું. તેણે લગભગ બે હજાર માનવ શરીર, તેમજ ઘણી પ્રાચીન મૂર્તિઓ માપી અને તારણ કાઢ્યું કે સુવર્ણ ગુણોત્તર સરેરાશ આંકડાકીય કાયદાને વ્યક્ત કરે છે. વ્યક્તિમાં, શરીરના લગભગ તમામ ભાગો તેને ગૌણ હોય છે, પરંતુ સુવર્ણ ગુણોત્તરનું મુખ્ય સૂચક એ નાભિ બિંદુ દ્વારા શરીરનું વિભાજન છે.
માપનના પરિણામ સ્વરૂપે, સંશોધકને જાણવા મળ્યું કે પુરૂષના શરીરનું પ્રમાણ 13:8 સ્ત્રી શરીરના પ્રમાણ કરતાં સુવર્ણ ગુણોત્તરની નજીક છે - 8:5.

અવકાશી સ્વરૂપોની કળા
કલાકાર વસિલી સુરીકોવ કહે છે કે "રચનામાં એક અપરિવર્તનશીલ કાયદો છે, જ્યારે તમે ચિત્રમાં કંઈપણ દૂર કરી શકતા નથી અને ઉમેરી શકતા નથી, તો તમે એક વધારાનો બિંદુ પણ ઉમેરી શકતા નથી, આ વાસ્તવિક ગણિત છે." લાંબા સમયથી, કલાકારોએ આ કાયદાનું સાહજિક રીતે પાલન કર્યું છે, પરંતુ લિયોનાર્ડો દા વિન્સી પછી, પેઇન્ટિંગ બનાવવાની પ્રક્રિયા હવે ભૌમિતિક સમસ્યાઓ હલ કર્યા વિના પૂર્ણ થઈ શકશે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, આલ્બ્રેક્ટ ડ્યુરેરે સુવર્ણ વિભાગના બિંદુઓ નક્કી કરવા માટે શોધેલા પ્રમાણસર હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કર્યો.

કલા વિવેચક એફ.વી. કોવાલેવ, નિકોલાઈ જીની પેઇન્ટિંગ "મિખાઈલોવસ્કોયે ગામમાં એલેક્ઝાન્ડર સર્ગેવિચ પુશ્કિન" ની વિગતવાર તપાસ કરીને નોંધે છે કે કેનવાસની દરેક વિગત, પછી ભલે તે સગડી હોય, બુકકેસ હોય, ખુરશી હોય અથવા કવિ પોતે જ હોય. સોનેરી પ્રમાણમાં.

સુવર્ણ ગુણોત્તરના સંશોધકો અથાકપણે આર્કિટેક્ચરલ માસ્ટરપીસનો અભ્યાસ કરે છે અને માપે છે, દાવો કરે છે કે તેઓ આવા બન્યા છે કારણ કે તેઓ સુવર્ણ સિદ્ધાંતો અનુસાર બનાવવામાં આવ્યા હતા: તેમની સૂચિમાં ગીઝાના મહાન પિરામિડ, નોટ્રે ડેમ કેથેડ્રલ, સેન્ટ બેસિલ કેથેડ્રલ અને પાર્થેનોનનો સમાવેશ થાય છે.
અને આજે, અવકાશી સ્વરૂપોની કોઈપણ કળામાં, તેઓ સુવર્ણ વિભાગના પ્રમાણને અનુસરવાનો પ્રયાસ કરે છે, કારણ કે, કલા વિવેચકોના મતે, તેઓ કાર્યની ધારણાને સરળ બનાવે છે અને દર્શકમાં સૌંદર્યલક્ષી લાગણી બનાવે છે.

શબ્દ, અવાજ અને ફિલ્મ
અસ્થાયી કલાના સ્વરૂપો તેમની પોતાની રીતે અમને સુવર્ણ વિભાગના સિદ્ધાંતને દર્શાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સાહિત્યિક વિદ્વાનોએ નોંધ્યું છે કે પુષ્કિનના કામના અંતના સમયગાળાની કવિતાઓમાં સૌથી વધુ લોકપ્રિય પંક્તિઓ ફિબોનાકી શ્રેણીને અનુરૂપ છે - 5, 8, 13, 21, 34.

સુવર્ણ વિભાગનો નિયમ રશિયન ક્લાસિકના વ્યક્તિગત કાર્યોમાં પણ લાગુ પડે છે. આમ, "ધ ક્વીન ઓફ સ્પેડ્સ" નું ક્લાઈમેક્સ એ હર્મન અને કાઉન્ટેસનું નાટકીય દ્રશ્ય છે, જે બાદમાંના મૃત્યુ સાથે સમાપ્ત થાય છે. વાર્તામાં 853 લીટીઓ છે, અને પરાકાષ્ઠા 535 લીટી પર થાય છે (853:535 = 1.6) - આ સુવર્ણ ગુણોત્તરનો મુદ્દો છે.

સોવિયેત સંગીતશાસ્ત્રી E.K. રોસેનોવ જોહાન સેબેસ્ટિયન બાચના કાર્યોના કડક અને મુક્ત સ્વરૂપોમાં સુવર્ણ ગુણોત્તરની અદ્ભુત ચોકસાઈની નોંધ લે છે, જે માસ્ટરની વિચારશીલ, કેન્દ્રિત, તકનીકી રીતે ચકાસાયેલ શૈલીને અનુરૂપ છે. આ અન્ય સંગીતકારોના ઉત્કૃષ્ટ કાર્યો માટે પણ સાચું છે, જ્યાં સૌથી વધુ આકર્ષક અથવા અનપેક્ષિત સંગીત ઉકેલ સામાન્ય રીતે સુવર્ણ ગુણોત્તર બિંદુ પર થાય છે.
ફિલ્મ દિગ્દર્શક સર્ગેઈ આઈઝેનસ્ટીને તેમની ફિલ્મ "બેટલશિપ પોટેમકિન" ની સ્ક્રિપ્ટને સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમ સાથે જાણીજોઈને સંકલન કરી, ફિલ્મને પાંચ ભાગોમાં વિભાજીત કરી. પ્રથમ ત્રણ વિભાગોમાં ક્રિયા વહાણ પર થાય છે, અને છેલ્લા બેમાં - ઓડેસામાં. સિટીમાં સીનનું સંક્રમણ એ ફિલ્મનું ગોલ્ડન મિડલ છે.