અસમાનતામાંથી અસમાનતા આવે છે. ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર

પ્રાચીન કાળથી વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે જથ્થા અને જથ્થાની તુલના કરવી જરૂરી છે. તે જ સમયે, વધુ અને ઓછા, ઉચ્ચ અને નીચલા, હળવા અને ભારે, શાંત અને મોટેથી, સસ્તા અને વધુ ખર્ચાળ, વગેરે જેવા શબ્દો દેખાયા, જે સજાતીય જથ્થાની તુલનાના પરિણામો સૂચવે છે.

વસ્તુઓની ગણતરી કરવા, માપવા અને જથ્થાની તુલના કરવાના સંબંધમાં વધુ અને ઓછા ખ્યાલો ઉદ્ભવ્યા. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાચીન ગ્રીસના ગણિતશાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા કે કોઈપણ ત્રિકોણની બાજુ અન્ય બે બાજુઓના સરવાળા કરતા ઓછી હોય છે અને ત્રિકોણની મોટી બાજુ મોટા ખૂણાની વિરુદ્ધ હોય છે. આર્કિમિડીઝ, પરિઘની ગણતરી કરતી વખતે, સ્થાપિત કરે છે કે કોઈપણ વર્તુળની પરિમિતિ વ્યાસના સાતમા ભાગ કરતાં ઓછી હોય છે, પરંતુ વ્યાસના દસ સિત્તેર ગણા કરતાં વધુ હોય છે.

ચિહ્નો > અને b નો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ અને જથ્થા વચ્ચે સાંકેતિક રીતે સંબંધ લખો. રેકોર્ડ જેમાં બે સંખ્યાઓ એક ચિહ્નો દ્વારા જોડાયેલ છે: > (તેના કરતાં વધુ), તમે નીચલા ગ્રેડમાં સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓનો પણ સામનો કર્યો. તમે જાણો છો કે અસમાનતાઓ સાચી હોઈ શકે છે, અથવા તે ખોટી હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) એ સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા છે, 0.23 > 0.235 એ ખોટી સંખ્યાત્મક અસમાનતા છે.

અજ્ઞાત સાથે સંકળાયેલી અસમાનતાઓ અજ્ઞાતના કેટલાક મૂલ્યો માટે સાચી અને અન્ય માટે ખોટી હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા 2x+1>5 x = 3 માટે સાચી છે, પરંતુ x = -3 માટે ખોટી છે. એક અજાણ્યા સાથે અસમાનતા માટે, તમે કાર્ય સેટ કરી શકો છો: અસમાનતાને હલ કરો. વ્યવહારમાં અસમાનતાઓને હલ કરવાની સમસ્યાઓ સમીકરણો ઉકેલવાની સમસ્યાઓ કરતાં ઓછી વાર ઉભી થાય છે અને ઉકેલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણી આર્થિક સમસ્યાઓ રેખીય અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓના અભ્યાસ અને ઉકેલ માટે નીચે આવે છે. ગણિતની ઘણી શાખાઓમાં, સમીકરણો કરતાં અસમાનતાઓ વધુ સામાન્ય છે.

કેટલીક અસમાનતાઓ ચોક્કસ પદાર્થના અસ્તિત્વને સાબિત કરવા અથવા તેને સાબિત કરવાના એકમાત્ર સહાયક માધ્યમ તરીકે સેવા આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણનું મૂળ.

સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ

તમે પૂર્ણ સંખ્યાઓ અને દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરી શકો છો. સમાન છેદ સાથે પરંતુ વિવિધ અંશ સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવાના નિયમો જાણો; સમાન અંશ સાથે પરંતુ વિવિધ છેદ સાથે. અહીં તમે શીખી શકશો કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓની તેમના તફાવતની નિશાની શોધીને તેની તુલના કેવી રીતે કરવી.

વ્યવહારમાં સંખ્યાઓની સરખામણીનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અર્થશાસ્ત્રી આયોજિત સૂચકાંકોને વાસ્તવિક સાથે સરખાવે છે, ડૉક્ટર દર્દીના તાપમાનને સામાન્ય સાથે સરખાવે છે, ટર્નર મશીનવાળા ભાગના પરિમાણોને પ્રમાણભૂત સાથે સરખાવે છે. આવા તમામ કિસ્સાઓમાં, કેટલીક સંખ્યાઓની સરખામણી કરવામાં આવે છે. સંખ્યાઓની સરખામણીના પરિણામે, સંખ્યાત્મક અસમાનતા ઊભી થાય છે.

વ્યાખ્યા.જો તફાવત a-b ધન હોય તો સંખ્યા b સંખ્યા કરતાં મોટી છે. જો તફાવત a-b નકારાત્મક હોય તો સંખ્યા b સંખ્યા કરતાં ઓછી છે.

જો a b કરતા મોટો હોય, તો તેઓ લખે છે: a > b; જો a એ b કરતાં ઓછું હોય, તો તેઓ લખે છે: a આમ, અસમાનતા a > b નો અર્થ એ છે કે તફાવત a - b હકારાત્મક છે, એટલે કે. a - b > 0. અસમાનતા a નીચેના ત્રણ સંબંધોમાંથી કોઈપણ બે સંખ્યાઓ a અને b માટે a > b, a = b, a a અને b સંખ્યાઓની સરખામણી કરવાનો અર્થ એ છે કે કયા સંકેતો >, = અથવા પ્રમેય.જો a > b અને b > c, તો a > c.

પ્રમેય.જો તમે અસમાનતાની બંને બાજુએ સમાન સંખ્યા ઉમેરશો, તો અસમાનતાની નિશાની બદલાશે નહીં.
પરિણામ.કોઈપણ શબ્દને અસમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજામાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, આ શબ્દના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલીને.

પ્રમેય.જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન હકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો અસમાનતાની નિશાની બદલાતી નથી. જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો અસમાનતાનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાશે.
પરિણામ.જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન ધન સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવામાં આવે, તો અસમાનતાની નિશાની બદલાશે નહીં. જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન નકારાત્મક સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવામાં આવે, તો અસમાનતાનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાઈ જશે.

તમે જાણો છો કે સંખ્યાત્મક સમાનતા ઉમેરી શકાય છે અને શબ્દ દ્વારા શબ્દનો ગુણાકાર કરી શકાય છે. આગળ, તમે અસમાનતા સાથે સમાન ક્રિયાઓ કેવી રીતે કરવી તે શીખીશું. અસમાનતા શબ્દને શબ્દ દ્વારા ઉમેરવા અને ગુણાકાર કરવાની ક્ષમતાનો ઉપયોગ વ્યવહારમાં થાય છે. આ ક્રિયાઓ અભિવ્યક્તિના અર્થોનું મૂલ્યાંકન અને તુલના કરવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં મદદ કરે છે.

વિવિધ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, ઘણીવાર અસમાનતા શબ્દની ડાબી અને જમણી બાજુઓને શબ્દ દ્વારા ઉમેરવા અથવા ગુણાકાર કરવાની જરૂર પડે છે. તે જ સમયે, એવું કહેવાય છે કે અસમાનતાઓ ઉમેરે છે અથવા ગુણાકાર કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ પ્રવાસી પહેલા દિવસે 20 કિમીથી વધુ અને બીજા દિવસે 25 કિમીથી વધુ ચાલ્યો હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે બે દિવસમાં તે 45 કિમીથી વધુ ચાલ્યો. તેવી જ રીતે, જો લંબચોરસની લંબાઈ 13 સેમીથી ઓછી હોય અને પહોળાઈ 5 સેમી કરતા ઓછી હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે આ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ 65 સેમી 2 કરતા ઓછું છે.

આ ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લેતા, નીચેનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો: અસમાનતાના ઉમેરા અને ગુણાકાર પરના પ્રમેય:

પ્રમેય.સમાન ચિહ્નની અસમાનતા ઉમેરતી વખતે, સમાન ચિહ્નની અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે: જો a > b અને c > d, તો a + c > b + d.

પ્રમેય.જ્યારે સમાન ચિહ્નની અસમાનતાઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે, જેની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ધન છે, સમાન ચિહ્નની અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે: જો a > b, c > d અને a, b, c, d ધન સંખ્યાઓ હોય, તો ac > bd.

ચિહ્ન સાથેની અસમાનતાઓ > (તેના કરતાં વધુ) અને 1/2, 3/4 b, c કડક અસમાનતાના ચિહ્નો સાથે > અને તે જ રીતે, અસમાનતા \(a \geq b \) નો અર્થ એ છે કે સંખ્યા a છે b થી વધુ અથવા બરાબર, એટલે કે .અને b ઓછું નહીં.

\(\geq \) ચિહ્ન અથવા \(\leq \) ચિહ્ન ધરાવતી અસમાનતાઓને બિન-કડક કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) કડક અસમાનતા નથી.

કડક અસમાનતાના તમામ ગુણધર્મો બિન-કડક અસમાનતાઓ માટે પણ માન્ય છે. તદુપરાંત, જો સખત અસમાનતાઓ માટે > ચિહ્નો વિરુદ્ધ ગણવામાં આવે અને તમે જાણો છો કે સંખ્યાબંધ લાગુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તમારે સમીકરણ અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમના રૂપમાં ગાણિતિક મોડેલ બનાવવું પડશે. આગળ, તમે શીખી શકશો કે ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવા માટેના ગાણિતિક મોડેલો અજાણ્યાઓ સાથેની અસમાનતા છે. અસમાનતાને ઉકેલવાનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવશે અને આપેલ સંખ્યા ચોક્કસ અસમાનતાનો ઉકેલ છે કે કેમ તે કેવી રીતે ચકાસવું તે બતાવવામાં આવશે.

ફોર્મની અસમાનતા
\(ax > b, \quad ax જેમાં a અને b સંખ્યાઓ આપવામાં આવી છે, અને x એ અજ્ઞાત છે, તેને કહેવામાં આવે છે. એક અજ્ઞાત સાથે રેખીય અસમાનતા.

વ્યાખ્યા.એક અજ્ઞાત સાથેની અસમાનતાનો ઉકેલ એ અજ્ઞાતનું મૂલ્ય છે જેના પર આ અસમાનતા સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા બની જાય છે. અસમાનતાને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલો શોધવા અથવા સ્થાપિત કરવું કે ત્યાં કોઈ નથી.

તમે સમીકરણોને સરળ સમીકરણોમાં ઘટાડીને ઉકેલ્યા. તેવી જ રીતે, અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે, વ્યક્તિ તેમને ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, સરળ અસમાનતાના સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરે છે.

એક ચલ સાથે બીજી ડિગ્રીની અસમાનતાઓને ઉકેલવી

ફોર્મની અસમાનતા
\(ax^2+bx+c >0 \) અને \(ax^2+bx+c જ્યાં x ચલ છે, a, b અને c અમુક સંખ્યાઓ છે અને \(a \neq 0 \), કહેવાય છે એક ચલ સાથે બીજી ડિગ્રીની અસમાનતા.

અસમાનતાનો ઉકેલ
\(ax^2+bx+c >0 \) અથવા \(ax^2+bx+c શોધવાના અંતરાલ તરીકે ગણી શકાય જેમાં કાર્ય \(y= ax^2+bx+c \) હકારાત્મક કે નકારાત્મક લે છે મૂલ્યો આ કરવા માટે, ફંક્શનનો ગ્રાફ \(y= ax^2+bx+c\) કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં કેવી રીતે સ્થિત છે તેનું વિશ્લેષણ કરવા માટે તે પૂરતું છે: જ્યાં પેરાબોલાની શાખાઓ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે - ઉપર અથવા નીચે, પછી ભલે પેરાબોલા x અક્ષને છેદે છે અને જો તે કરે છે, તો પછી કયા બિંદુઓ પર.

એક ચલ સાથે બીજી ડિગ્રીની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:
1) ત્રિનોમીના ચોરસ \(ax^2+bx+c\) ના ભેદભાવ શોધો અને ત્રિનોમીના મૂળ છે કે કેમ તે શોધો;
2) જો ત્રિનોમીના મૂળ હોય, તો તેને x-અક્ષ પર ચિહ્નિત કરો અને ચિહ્નિત બિંદુઓ દ્વારા યોજનાકીય પેરાબોલા દોરો, જેની શાખાઓ a > 0 માટે ઉપરની તરફ અથવા 0 માટે નીચે અથવા 3 માટે તળિયે નિર્દેશિત છે) x-અક્ષ પર અંતરાલો શોધો કે જેના માટે પોઈન્ટ પેરાબોલાસ x-અક્ષની ઉપર સ્થિત છે (જો તેઓ અસમાનતાને ઉકેલે \(ax^2+bx+c >0\)) અથવા x-અક્ષની નીચે (જો તેઓ હલ કરે છે અસમાનતા
\(ax^2+bx+c અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

કાર્યને ધ્યાનમાં લો
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

આ ફંક્શનનું ડોમેન એ બધી સંખ્યાઓનો સમૂહ છે. ફંક્શનના શૂન્ય એ સંખ્યાઓ છે -2, 3, 5. તેઓ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરે છે \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) અને \(5; +\infty)\)

ચાલો જોઈએ કે દરેક દર્શાવેલ અંતરાલોમાં આ કાર્યના ચિહ્નો શું છે.

અભિવ્યક્તિ (x + 2)(x - 3)(x - 5) એ ત્રણ પરિબળોનું ઉત્પાદન છે. વિચારણા હેઠળના અંતરાલોમાં આ દરેક પરિબળોની નિશાની કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:

સામાન્ય રીતે, ફંક્શનને સૂત્ર દ્વારા આપવા દો
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
જ્યાં x એ ચલ છે, અને x 1, x 2, ..., x n એ સંખ્યાઓ છે જે એકબીજાની સમાન નથી. સંખ્યાઓ x 1 , x 2 , ..., x n એ ફંક્શનના શૂન્ય છે. દરેક અંતરાલો જેમાં વ્યાખ્યાના ડોમેનને ફંક્શનના શૂન્ય દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ફંક્શનની નિશાની સાચવવામાં આવે છે, અને જ્યારે શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તેનું ચિહ્ન બદલાય છે.

આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ ફોર્મની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે થાય છે
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) જ્યાં x 1, x 2, ..., x n એ સંખ્યાઓ એકબીજાની સમાન નથી

પદ્ધતિ ગણવામાં આવે છે અસમાનતાઓને ઉકેલવાને અંતરાલ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવાના ઉદાહરણો આપીએ.

અસમાનતા ઉકેલો:

અમે સંખ્યા અક્ષ પર ફંક્શનના શૂન્યને કાવતરું કરીએ છીએ અને દરેક અંતરાલ પર ચિહ્નની ગણતરી કરીએ છીએ:

અમે એવા અંતરાલોને પસંદ કરીએ છીએ કે જેના પર ફંક્શન શૂન્ય કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોય અને જવાબ લખીએ.

જવાબ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા એ અભિવ્યક્તિ છે \(x>5\).

અસમાનતાના પ્રકારો:

જો \(a\) અને \(b\) સંખ્યાઓ અથવા , તો અસમાનતા કહેવાય છે સંખ્યાત્મક. તે વાસ્તવમાં માત્ર બે સંખ્યાઓની સરખામણી કરે છે. આવી અસમાનતાઓને વિભાજિત કરવામાં આવે છે વિશ્વાસુઅને બેવફા.

ઉદાહરણ તરીકે:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) એ અયોગ્ય સંખ્યાત્મક અસમાનતા છે, કારણ કે \(17+3=20\), અને \(20\) \(115\) કરતા ઓછી છે (અને તેનાથી મોટી કે બરાબર નથી) .

જો \(a\) અને \(b\) એ ચલ ધરાવતા સમીકરણો છે, તો આપણી પાસે છે ચલ સાથે અસમાનતા. આવી અસમાનતાઓને સામગ્રીના આધારે પ્રકારોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:

અસમાનતાનો ઉકેલ શું છે?

જો તમે ચલને બદલે કોઈ સંખ્યાને અસમાનતામાં બદલો છો, તો તે સંખ્યાત્મકમાં ફેરવાઈ જશે.

જો x માટે આપેલ મૂલ્ય મૂળ અસમાનતાને સાચા આંકડાકીયમાં ફેરવે છે, તો તેને કહેવામાં આવે છે અસમાનતાનો ઉકેલ. જો નહીં, તો આ મૂલ્ય કોઈ ઉકેલ નથી. અને તેથી તે અસમાનતા ઉકેલો- તમારે તેના બધા ઉકેલો શોધવાની જરૂર છે (અથવા બતાવો કે ત્યાં કોઈ નથી).

ઉદાહરણ તરીકે,જો આપણે સંખ્યા \(7\) ને રેખીય અસમાનતા \(x+6>10\) માં બદલીએ, તો આપણને સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા મળે છે: \(13>10\). અને જો આપણે \(2\) ને બદલીએ, તો ત્યાં એક ખોટી સંખ્યાત્મક અસમાનતા \(8>10\) હશે. એટલે કે, \(7\) એ મૂળ અસમાનતાનો ઉકેલ છે, પરંતુ \(2\) નથી.

જો કે, અસમાનતા \(x+6>10\) પાસે અન્ય ઉકેલો છે. ખરેખર, \(5\), અને \(12\), અને \(138\) ને બદલે ત્યારે આપણે સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા મેળવીશું... અને આપણે બધા સંભવિત ઉકેલો કેવી રીતે શોધી શકીએ? આ માટે તેઓ ઉપયોગ કરે છે અમારા કેસ માટે અમારી પાસે છે:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

એટલે કે, ચાર કરતા મોટી કોઈપણ સંખ્યા આપણને અનુકૂળ આવશે. હવે તમારે જવાબ લખવાની જરૂર છે. અસમાનતાના ઉકેલો સામાન્ય રીતે સંખ્યાત્મક રીતે લખવામાં આવે છે, વધુમાં તેમને શેડિંગ સાથે સંખ્યા અક્ષ પર ચિહ્નિત કરે છે. અમારા કેસ માટે અમારી પાસે છે:

જવાબ: \(x\in(4;+\infty)\)

અસમાનતાની નિશાની ક્યારે બદલાય છે?

અસમાનતાઓમાં એક મોટી જાળ છે જેમાં વિદ્યાર્થીઓને પડવું ખરેખર "પ્રેમ" છે:

અસમાનતાને નકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર (અથવા ભાગાકાર) કરતી વખતે, તે ઉલટાવી દેવામાં આવે છે ("વધુ" "ઓછા", "વધુ અથવા સમાન" દ્વારા "ઓછા અથવા સમાન", અને તેથી વધુ)

આવું કેમ થઈ રહ્યું છે? આ સમજવા માટે, ચાલો સંખ્યાત્મક અસમાનતા \(3>1\) ના પરિવર્તનો જોઈએ. તે સાચું છે, ત્રણ ખરેખર એક કરતા વધારે છે. પ્રથમ, ચાલો તેને કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, બે:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, ગુણાકાર પછી અસમાનતા સાચી રહે છે. અને પછી ભલેને આપણે કઈ સકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ, આપણને હંમેશા સાચી અસમાનતા મળશે. હવે ચાલો નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, ઓછા ત્રણ:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

પરિણામ એ ખોટી અસમાનતા છે, કારણ કે માઈનસ નવ એ માઈનસ ત્રણ કરતા ઓછો છે! એટલે કે, અસમાનતા સાચી બનવા માટે (અને તેથી, નકારાત્મક દ્વારા ગુણાકારનું રૂપાંતર "કાયદેસર" હતું), તમારે આની જેમ સરખામણી ચિહ્નને વિપરીત કરવાની જરૂર છે: \(−9<− 3\).
વિભાજન સાથે તે એ જ રીતે કાર્ય કરશે, તમે તેને જાતે ચકાસી શકો છો.

ઉપર લખેલ નિયમ તમામ પ્રકારની અસમાનતાઓને લાગુ પડે છે, માત્ર સંખ્યાત્મક જ નહીં.

જવાબ: \(x\in(-1;\infty)\)

અસમાનતા અને અપંગતા

અસમાનતાઓ, સમીકરણોની જેમ, પર પ્રતિબંધો હોઈ શકે છે, એટલે કે, x ના મૂલ્યો પર. તદનુસાર, તે મૂલ્યો કે જે ડીઝેડ અનુસાર અસ્વીકાર્ય છે તે ઉકેલોની શ્રેણીમાંથી બાકાત રાખવા જોઈએ.

ઉદાહરણ: અસમાનતા ઉકેલો \(\sqrt(x+1)<3\)

ઉકેલ: તે સ્પષ્ટ છે કે ડાબી બાજુ \(3\) કરતાં ઓછી હોય તે માટે, આમૂલ અભિવ્યક્તિ \(9\) કરતાં ઓછી હોવી જોઈએ (છેવટે, \(9\) માત્ર \(3\) થી). અમને મળે છે:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

બધા? \(8\) કરતાં નાની x ની કોઈપણ કિંમત આપણને અનુકૂળ પડશે? ના! કારણ કે જો આપણે, ઉદાહરણ તરીકે, જરૂરિયાતને અનુરૂપ લાગતું મૂલ્ય \(-5\) લઈએ, તો તે મૂળ અસમાનતાનો ઉકેલ નહીં હોય, કારણ કે તે આપણને નકારાત્મક સંખ્યાના મૂળની ગણતરી તરફ દોરી જશે.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

તેથી, આપણે X ના મૂલ્ય પરના નિયંત્રણોને પણ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ - તે એવું ન હોઈ શકે કે મૂળ હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યા હોય. આમ, અમારી પાસે x માટે બીજી આવશ્યકતા છે:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

અને x માટે અંતિમ ઉકેલ બનવા માટે, તે એક જ સમયે બંને આવશ્યકતાઓને સંતોષવી આવશ્યક છે: તે \(8\) (સોલ્યુશન બનવા માટે) કરતાં ઓછું અને \(-1\) કરતાં વધુ હોવું જોઈએ (સૈદ્ધાંતિક રીતે સ્વીકાર્ય હોવું). નંબર લાઇન પર કાવતરું કરીને, અમારી પાસે અંતિમ જવાબ છે:

જવાબ: \(\ડાબે[-1;8\જમણે)\)

વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં ઓર્ડર કરવાની મિલકત છે (વિભાગ 6, પૃષ્ઠ. 35): કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b, એક અને ત્રણમાંથી માત્ર એક સંબંધ ધરાવે છે: અથવા . આ કિસ્સામાં, પ્રવેશ a > b નો અર્થ છે કે તફાવત હકારાત્મક છે, અને પ્રવેશ તફાવત નકારાત્મક છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્રથી વિપરીત, જટિલ સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર ક્રમાંકિત નથી: જટિલ સંખ્યાઓ માટે "વધુ" અને "ઓછા" ની વિભાવનાઓ વ્યાખ્યાયિત નથી; તેથી, આ પ્રકરણ માત્ર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે સંબંધિત છે.

આપણે સંબંધોને અસમાનતા કહીએ છીએ, સંખ્યાઓ a અને b એ અસમાનતાના શબ્દો (અથવા ભાગો) છે, ચિહ્નો > (તેના કરતાં વધુ) અને અસમાનતા a > b અને c > d એ સમાન (અથવા એક અને સમાન) ની અસમાનતાઓ કહેવાય છે. અર્થ અસમાનતા a > b અને c અસમાનતાની વ્યાખ્યાથી તે તરત જ તેને અનુસરે છે

1) શૂન્ય કરતાં મોટી કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા;

2) કોઈપણ નકારાત્મક સંખ્યા શૂન્ય કરતાં ઓછી છે;

3) કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા કોઈપણ નકારાત્મક સંખ્યા કરતા મોટી હોય છે;

4) બે નકારાત્મક સંખ્યાઓમાંથી, જેની સંપૂર્ણ કિંમત નાની છે તે મોટી છે.

આ તમામ નિવેદનો એક સરળ ભૌમિતિક અર્થઘટનને સ્વીકારે છે. સંખ્યા અક્ષની હકારાત્મક દિશાને પ્રારંભિક બિંદુની જમણી બાજુએ જવા દો; પછી, સંખ્યાઓના ચિહ્નો ગમે તે હોય, તેમાંથી મોટાને બિંદુની જમણી બાજુએ આવેલા બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જે નાની સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

અસમાનતામાં નીચેના મૂળભૂત ગુણધર્મો છે.

1. અસમપ્રમાણતા (અપરિવર્તનક્ષમતા): જો , પછી , અને ઊલટું.

ખરેખર, જો તફાવત હકારાત્મક છે, તો તફાવત નકારાત્મક છે. તેઓ કહે છે કે અસમાનતાની શરતોને ફરીથી ગોઠવતી વખતે, અસમાનતાનો અર્થ વિરુદ્ધમાં બદલવો જોઈએ.

2. સંક્રમણ: જો , તો . ખરેખર, તફાવતોની સકારાત્મકતાથી તે તેને અનુસરે છે

અસમાનતા ચિહ્નો ઉપરાંત, અસમાનતાના ચિહ્નો અને તેનો ઉપયોગ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે: પ્રવેશનો અર્થ એ છે કે ક્યાં તો અથવા તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, તમે લખી શકો છો, અને પણ. સામાન્ય રીતે, ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવેલી અસમાનતાઓને કડક અસમાનતા કહેવામાં આવે છે, અને જે ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે તેને બિન-કડક અસમાનતા કહેવામાં આવે છે. તદનુસાર, ચિહ્નોને પોતાને કડક અથવા બિન-કડક અસમાનતાના ચિહ્નો કહેવામાં આવે છે. ઉપર ચર્ચા કરેલ ગુણધર્મો 1 અને 2 બિન-કડક અસમાનતાઓ માટે પણ સાચી છે.

ચાલો હવે એક અથવા વધુ અસમાનતાઓ પર કરી શકાય તેવી ક્રિયાઓ પર વિચાર કરીએ.

3. અસમાનતાની શરતોમાં સમાન સંખ્યા ઉમેરવાથી અસમાનતાનો અર્થ બદલાતો નથી.

પુરાવો. અસમાનતા અને મનસ્વી નંબર આપવા દો. વ્યાખ્યા દ્વારા, તફાવત હકારાત્મક છે. ચાલો આ સંખ્યામાં બે વિરોધી સંખ્યાઓ ઉમેરીએ, જે તેને બદલશે નહીં, એટલે કે.

આ સમાનતાને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

તે આનાથી અનુસરે છે કે તફાવત હકારાત્મક છે, એટલે કે

અને આ તે હતું જે સાબિત કરવાનું હતું.

આ અસમાનતાના કોઈપણ સભ્યને વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે એક ભાગથી બીજા ભાગમાં ત્રાંસી થવાની સંભાવના માટેનો આધાર છે. ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતામાંથી

તે તેને અનુસરે છે

4. જ્યારે અસમાનતાની શરતોને સમાન હકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે અસમાનતાનો અર્થ બદલાતો નથી; જ્યારે અસમાનતાની શરતોને સમાન નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે અસમાનતાનો અર્થ વિરુદ્ધમાં બદલાય છે.

પુરાવો. ચાલો પછી જો પછી ધન સંખ્યાઓનો ગુણાંક ધન છે. છેલ્લી અસમાનતાની ડાબી બાજુએ કૌંસ ખોલીને, આપણે મેળવીએ છીએ, એટલે કે. આ કેસને સમાન રીતે ગણવામાં આવે છે.

શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા અસમાનતાના ભાગોના વિભાજન અંગે બરાબર એ જ નિષ્કર્ષ કાઢી શકાય છે, કારણ કે સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર એ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકારની સમકક્ષ છે અને સંખ્યાઓ સમાન ચિહ્નો ધરાવે છે.

5. અસમાનતાની શરતોને હકારાત્મક રહેવા દો. પછી, જ્યારે તેની શરતો સમાન હકારાત્મક શક્તિમાં ઉભી કરવામાં આવે છે, ત્યારે અસમાનતાનો અર્થ બદલાતો નથી.

પુરાવો. આ કિસ્સામાં, ટ્રાન્ઝિટિવિટી પ્રોપર્ટી દ્વારા, અને . પછી, પાવર ફંક્શન ફોર અને ધનના એકવિધ વધારાને કારણે, આપણી પાસે હશે

ખાસ કરીને, જો કુદરતી સંખ્યા ક્યાં છે, તો આપણને મળે છે

એટલે કે જ્યારે સકારાત્મક શબ્દો સાથે અસમાનતાની બંને બાજુથી મૂળ કાઢવામાં આવે છે, ત્યારે અસમાનતાનો અર્થ બદલાતો નથી.

અસમાનતાની શરતોને નકારાત્મક રહેવા દો. પછી તે સાબિત કરવું મુશ્કેલ નથી કે જ્યારે તેની શરતોને એક વિચિત્ર કુદરતી શક્તિમાં વધારવામાં આવે છે, ત્યારે અસમાનતાનો અર્થ બદલાતો નથી, પરંતુ જ્યારે સમાન કુદરતી શક્તિમાં ઉછેરવામાં આવે છે, ત્યારે તે વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. નકારાત્મક શબ્દો સાથેની અસમાનતાઓમાંથી કોઈ પણ વિષમ ડિગ્રીનું મૂળ કાઢી શકે છે.

ચાલો, આગળ, અસમાનતાની શરતોમાં વિવિધ ચિહ્નો છે. પછી, જ્યારે તેને એક વિષમ શક્તિમાં વધારતા હોય, ત્યારે અસમાનતાનો અર્થ બદલાતો નથી, પરંતુ જ્યારે તેને સમ શક્તિ સુધી વધારીએ ત્યારે, સામાન્ય કિસ્સામાં, પરિણામી અસમાનતાના અર્થ વિશે ચોક્કસ કંઈ કહી શકાય નહીં. વાસ્તવમાં, જ્યારે કોઈ સંખ્યાને વિષમ ઘાતમાં વધારવામાં આવે છે, ત્યારે સંખ્યાની નિશાની સાચવવામાં આવે છે અને તેથી અસમાનતાનો અર્થ બદલાતો નથી. જ્યારે અસમાનતા એક સમાન શક્તિમાં ઉભી કરવામાં આવે છે, ત્યારે સકારાત્મક શબ્દો સાથેની અસમાનતા રચાય છે, અને તેનો અર્થ મૂળ અસમાનતાની શરતોના સંપૂર્ણ મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે, અસમાનતાના સમાન અર્થ સાથે વિપરીત અર્થનો, અને સમાનતા પણ મેળવી શકાય છે!

નીચેના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને સત્તામાં અસમાનતા વધારવા વિશે જે કહેવામાં આવ્યું છે તે બધું તપાસવું ઉપયોગી છે.

ઉદાહરણ 1. જો જરૂરી હોય તો, અસમાનતાના ચિહ્નને વિરુદ્ધ અથવા સમાન ચિહ્નમાં બદલીને, નીચેની અસમાનતાને દર્શાવેલ શક્તિમાં વધારો.

a) 3 > 2 થી 4 ની ઘાત; b) ડિગ્રી 3 સુધી;

c) ડિગ્રી 3 સુધી; ડી) ડિગ્રી 2 સુધી;

e) 5 ની શક્તિ સુધી; e) ડિગ્રી 4 સુધી;

g) 2 > -3 થી 2 ની ઘાત; h) 2 ની શક્તિ સુધી,

6. અસમાનતામાંથી આપણે અસમાનતા તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ જો અસમાનતાની શરતો હકારાત્મક અથવા બંને નકારાત્મક હોય, તો તેમના પરસ્પર વચ્ચે વિરુદ્ધ અર્થની અસમાનતા છે:

પુરાવો. જો a અને b એક જ ચિહ્નના હોય, તો તેમનું ઉત્પાદન ધન છે. અસમાનતા દ્વારા વિભાજીત કરો

એટલે કે, શું મેળવવાની જરૂર હતી.

જો અસમાનતાની શરતોમાં વિરોધી ચિહ્નો હોય, તો પછી તેમના પારસ્પરિક વચ્ચેની અસમાનતાનો સમાન અર્થ છે, કારણ કે પારસ્પરિકતાના ચિહ્નો પોતે જથ્થાના ચિહ્નો જેવા જ છે.

ઉદાહરણ 2. નીચેની અસમાનતાઓનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લી મિલકત 6 તપાસો:

7. અસમાનતાનો લઘુગણક માત્ર ત્યારે જ કરી શકાય છે જ્યારે અસમાનતાઓની શરતો હકારાત્મક હોય (નકારાત્મક સંખ્યાઓ અને શૂન્ય લઘુગણક નથી).

દો . પછી હશે

અને જ્યારે ત્યાં હશે

આ વિધાનોની શુદ્ધતા લઘુગણક કાર્યની એકવિધતા પર આધારિત છે, જે જો આધાર સાથે ઘટે તો વધે છે

તેથી, જ્યારે સકારાત્મક પદોનો સમાવેશ કરતી અસમાનતાના લઘુગણકને એક કરતાં વધુ આધાર પર લેતી વખતે, આપેલ સમાન અર્થની અસમાનતા રચાય છે, અને જ્યારે લઘુગણકને એક કરતાં ઓછા સકારાત્મક આધાર પર લઈ જવામાં આવે છે, ત્યારે તેની અસમાનતા વિરોધી અર્થ રચાય છે.

8. જો, પછી જો, પરંતુ, પછી.

આ તરત જ ઘાતાંકીય કાર્ય (વિભાગ 42) ના એકવિધતા ગુણધર્મોને અનુસરે છે, જે કિસ્સામાં વધે છે અને જો ઘટે છે

સમાન અર્થની પરિભાષા પ્રમાણે અસમાનતા ઉમેરતી વખતે, ડેટા જેવા સમાન અર્થની અસમાનતા રચાય છે.

પુરાવો. ચાલો આ વિધાનને બે અસમાનતાઓ માટે સાબિત કરીએ, જો કે તે કોઈપણ વધારાની અસમાનતાઓ માટે સાચું છે. અસમાનતાઓ આપવા દો

વ્યાખ્યા દ્વારા, સંખ્યાઓ હકારાત્મક હશે; પછી તેમનો સરવાળો પણ હકારાત્મક નીકળે છે, એટલે કે.

શરતોને અલગ રીતે જૂથબદ્ધ કરીને, આપણને મળે છે

અને તેથી

અને આ તે હતું જે સાબિત કરવાનું હતું.

વિવિધ અર્થોની બે કે તેથી વધુ અસમાનતાઓ ઉમેરીને મેળવેલી અસમાનતાના અર્થ વિશે સામાન્ય કિસ્સામાં ચોક્કસ કશું કહેવું અશક્ય છે.

10. જો એક અસમાનતામાંથી આપણે શબ્દ વડે વિપરીત અર્થની બીજી અસમાનતાને બાદ કરીએ, તો પહેલા અર્થની સમાનતાની અસમાનતા રચાય છે.

પુરાવો. જુદા જુદા અર્થોવાળી બે અસમાનતાઓ આપીએ. તેમાંથી બીજો, અપરિવર્તનશીલતાના ગુણધર્મ અનુસાર, નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે: d > c. ચાલો હવે એક જ અર્થની બે અસમાનતા ઉમેરીએ અને અસમાનતા મેળવીએ

સમાન અર્થ. બાદમાં આપણે શોધીએ છીએ

અને આ તે હતું જે સાબિત કરવાનું હતું.

એક અસમાનતામાંથી એક જ અર્થની બીજી અસમાનતાને બાદ કરીને મેળવેલી અસમાનતાના અર્થ વિશે સામાન્ય કિસ્સામાં ચોક્કસ કંઈપણ કહેવું અશક્ય છે.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

અસમાનતાને રેખીય કહેવામાં આવે છેજેની ડાબી અને જમણી બાજુઓ અજાણ્યા જથ્થાના સંદર્ભમાં રેખીય કાર્યો છે. આમાં શામેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતાઓ:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) સખત અસમાનતાઓ: કુહાડી +b>0અથવા કુહાડી+બી<0

2) બિન-કડક અસમાનતાઓ: કુહાડી +b≤0અથવા કુહાડી+બી≫ 0

ચાલો આ કાર્યનું વિશ્લેષણ કરીએ. સમાંતરગ્રામની એક બાજુ 7cm છે. બીજી બાજુની લંબાઈ કેટલી હોવી જોઈએ જેથી સમાંતરગ્રામની પરિમિતિ 44 સે.મી.થી વધુ હોય?

જરૂરી બાજુ રહેવા દો એક્સ cm આ કિસ્સામાં, સમાંતરગ્રામની પરિમિતિ (14 + 2x) cm દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે. જો આપણે આ અસમાનતામાં ચલને બદલીએ એક્સઉદાહરણ તરીકે, નંબર 16 પર, પછી આપણે સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા 14 + 32 > 44 મેળવીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, તેઓ કહે છે કે નંબર 16 એ અસમાનતા 14 + 2x > 44 નો ઉકેલ છે.

અસમાનતાનું નિરાકરણચલના મૂલ્યને નામ આપો જે તેને સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં ફેરવે છે.

તેથી, દરેક સંખ્યા 15.1 છે; 20;73 અસમાનતા 14 + 2x > 44 ના ઉકેલ તરીકે કાર્ય કરે છે, પરંતુ સંખ્યા 10, ઉદાહરણ તરીકે, તેનો ઉકેલ નથી.

અસમાનતા ઉકેલોતેનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલો સ્થાપિત કરવા અથવા સાબિત કરવું કે કોઈ ઉકેલો નથી.

અસમાનતાના ઉકેલની રચના સમીકરણના મૂળની રચના જેવી જ છે. અને તેમ છતાં "અસમાનતાના મૂળ" ને નિયુક્ત કરવાનો રિવાજ નથી.

સંખ્યાત્મક સમાનતાના ગુણધર્મોએ અમને સમીકરણો ઉકેલવામાં મદદ કરી. એ જ રીતે, સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો અસમાનતાને ઉકેલવામાં મદદ કરશે.

સમીકરણ હલ કરતી વખતે, આપણે તેને બીજા, સરળ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, પરંતુ આપેલ સમકક્ષ. અસમાનતાનો જવાબ પણ એવી જ રીતે મળે છે. સમીકરણને સમકક્ષ સમીકરણમાં બદલતી વખતે, તેઓ સમીકરણની એક બાજુથી વિરુદ્ધમાં પદોને સ્થાનાંતરિત કરવા વિશે અને સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવા વિશે પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે. અસમાનતાને ઉકેલતી વખતે, તેની અને સમીકરણ વચ્ચે નોંધપાત્ર તફાવત છે, જે એ હકીકતમાં રહેલો છે કે સમીકરણના કોઈપણ ઉકેલને ફક્ત મૂળ સમીકરણમાં બદલીને ચકાસી શકાય છે. અસમાનતાઓમાં, આ પદ્ધતિ ગેરહાજર છે, કારણ કે મૂળ અસમાનતામાં અસંખ્ય ઉકેલોને સ્થાનાંતરિત કરવું શક્ય નથી. તેથી, એક મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ છે, આ તીરો<=>સમકક્ષ, અથવા સમકક્ષ, પરિવર્તનની નિશાની છે. રૂપાંતરણ કહેવાય છે સમકક્ષઅથવા સમકક્ષ, જો તેઓ ઉકેલોના સમૂહને બદલતા નથી.

અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સમાન નિયમો.

જો આપણે કોઈ પણ શબ્દને અસમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં લઈ જઈએ છીએ, તો તેના ચિહ્નને વિરુદ્ધ સાથે બદલીએ છીએ, તો આપણને આની સમકક્ષ અસમાનતા મળે છે.

જો અસમાનતાની બંને બાજુઓ સમાન હકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર (વિભાજિત) કરવામાં આવે, તો આપણે આ એકની સમકક્ષ અસમાનતા મેળવીએ છીએ.

જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન નકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર (વિભાજિત) કરવામાં આવે, તો અસમાનતાના ચિહ્નને વિરુદ્ધ એક સાથે બદલીને, આપણે આપેલ એકની સમકક્ષ અસમાનતા મેળવીએ છીએ.

આનો ઉપયોગ કરીને નિયમોચાલો નીચેની અસમાનતાઓની ગણતરી કરીએ.

1) ચાલો અસમાનતાનું વિશ્લેષણ કરીએ 2x - 5 > 9.

આ રેખીય અસમાનતા, અમે તેનો ઉકેલ શોધીશું અને મૂળભૂત ખ્યાલોની ચર્ચા કરીશું.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે ડાબી બાજુએ ખસેડવામાં આવ્યું હતું), પછી અમે દરેક વસ્તુને 2 વડે વિભાજીત કરી અને અમારી પાસે x > 7. ચાલો ધરી પર સોલ્યુશનના સમૂહનું કાવતરું કરીએ x

અમે સકારાત્મક નિર્દેશિત બીમ મેળવી છે. અમે ઉકેલોના સમૂહને અસમાનતાના સ્વરૂપમાં નોંધીએ છીએ x > 7, અથવા અંતરાલ x(7; ∞) ના સ્વરૂપમાં. આ અસમાનતાનો ચોક્કસ ઉકેલ શું છે? ઉદાહરણ તરીકે, x = 10આ અસમાનતાનો ચોક્કસ ઉકેલ છે, x = 12- આ અસમાનતાનો પણ આ એક ખાસ ઉકેલ છે.

ઘણા આંશિક ઉકેલો છે, પરંતુ અમારું કાર્ય બધા ઉકેલો શોધવાનું છે. અને સામાન્ય રીતે અસંખ્ય ઉકેલો છે.

ચાલો તેને સૉર્ટ કરીએ ઉદાહરણ 2:

2) અસમાનતા ઉકેલો 4a - 11 > a + 13.

ચાલો તેને હલ કરીએ: એતેને એક બાજુ ખસેડો 11 તેને બીજી બાજુ ખસેડો, આપણને 3a મળે છે< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 અસમાનતાનું સ્વરૂપ છે a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

ચાલો સેટ પણ પ્રદર્શિત કરીએ a< 8 , પરંતુ પહેલેથી જ ધરી પર એ.

આપણે કાં તો અસમાનતાના રૂપમાં જવાબ લખીએ છીએ a< 8, либо એ(-∞;8), 8 ચાલુ થતું નથી.