આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ $R$ એ તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ દ્વારા રચાય છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓને હંમેશા દશાંશ અપૂર્ણાંક (મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

અતાર્કિક સંખ્યાઓ અનંત પરંતુ બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે લખવામાં આવે છે.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં $R$ તત્વો $-\infty $ અને $+\infty $નો પણ સમાવેશ કરે છે, જેના માટે અસમાનતા $-\infty ધરાવે છે

ચાલો વાસ્તવિક સંખ્યાઓને રજૂ કરવાની રીતો જોઈએ.

સામાન્ય અપૂર્ણાંક

સામાન્ય અપૂર્ણાંક બે કુદરતી સંખ્યાઓ અને આડી અપૂર્ણાંક રેખાનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંક પટ્ટી વાસ્તવમાં વિભાજન ચિહ્નને બદલે છે. રેખાની નીચેની સંખ્યા અપૂર્ણાંક (વિભાજક) નો છેદ છે, રેખાની ઉપરની સંખ્યા અંશ (ડિવિડન્ડ) છે.

વ્યાખ્યા

અપૂર્ણાંકને યોગ્ય કહેવામાં આવે છે જો તેનો અંશ તેના છેદ કરતા ઓછો હોય. તેનાથી વિપરિત, અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે જો તેનો અંશ છેદ કરતા મોટો અથવા તેની સમાન હોય.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો માટે, ત્યાં સરળ, લગભગ સ્પષ્ટ, સરખામણી નિયમો છે ($m$,$n$,$p$ - કુદરતી સંખ્યાઓ):

1. સમાન છેદ સાથેના બે અપૂર્ણાંકમાંથી, મોટા અંશ સાથેનો એક મોટો છે, એટલે કે, $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ $m>n$ માટે;
2. સમાન અંશ સાથેના બે અપૂર્ણાંકમાંથી, નાના છેદ ધરાવતો એક મોટો છે, એટલે કે, $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ $ m માટે
3. યોગ્ય અપૂર્ણાંક હંમેશા એક કરતા ઓછો હોય છે; અયોગ્ય અપૂર્ણાંક હંમેશા એક કરતા મોટો હોય છે; એક અપૂર્ણાંક જેમાં અંશ સમાન છેદ સમાન છે;
4. દરેક અયોગ્ય અપૂર્ણાંક દરેક યોગ્ય અપૂર્ણાંક કરતાં મોટો છે.

દશાંશ સંખ્યાઓ

દશાંશ સંખ્યા (દશાંશ અપૂર્ણાંક) ના સંકેતનું સ્વરૂપ છે: પૂર્ણાંક ભાગ, દશાંશ બિંદુ, અપૂર્ણાંક ભાગ. સામાન્ય અપૂર્ણાંકનું દશાંશ સંકેત "કોણ" સાથે છેદ દ્વારા અંશને વિભાજિત કરીને મેળવી શકાય છે. આ કાં તો મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં પરિણમી શકે છે.

વ્યાખ્યા

અપૂર્ણાંક ભાગના અંકોને દશાંશ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, દશાંશ બિંદુ પછીના પ્રથમ અંકને દસમો અંક, બીજો - સોમો અંક, ત્રીજો - હજારમો અંક, વગેરે કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1

દશાંશ નંબર 3.74 નું મૂલ્ય નક્કી કરો. અમને મળે છે: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

દશાંશ સંખ્યાને ગોળાકાર કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, તમારે તે અંક સૂચવવો આવશ્યક છે કે જેના પર રાઉન્ડિંગ કરવામાં આવે છે.

રાઉન્ડિંગ નિયમ નીચે મુજબ છે:

1. આ અંકની જમણી બાજુના તમામ અંકોને શૂન્યથી બદલવામાં આવે છે (જો આ અંકો દશાંશ બિંદુ પહેલા હોય તો) અથવા કાઢી નાખવામાં આવે છે (જો આ અંકો દશાંશ બિંદુ પછીના હોય);
2. જો આપેલ અંક પછીનો પ્રથમ અંક 5 કરતા ઓછો હોય, તો આ અંકનો અંક બદલાતો નથી;
3. જો આપેલ અંક પછીનો પ્રથમ અંક 5 કે તેથી વધુ હોય, તો આ અંકનો અંક એક વડે વધે છે.

ઉદાહરણ 2

1. ચાલો સંખ્યા 17302 થી હજારો સુધી રાઉન્ડ કરીએ: 17000.
2. ચાલો સંખ્યા 17378 ને સેંકડો સુધી લઈએ: 17400.
3. ચાલો નંબર 17378.45 થી દસ સુધી રાઉન્ડ કરીએ: 17380.
4. ચાલો નંબર 378.91434 ને નજીકના સોમાં રાઉન્ડ કરીએ: 378.91.
5. ચાલો નંબર 378.91534 ને નજીકના સોમાં રાઉન્ડ કરીએ: 378.92.

દશાંશ સંખ્યાને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.

કેસ 1

દશાંશ સંખ્યા સમાપ્ત થતા દશાંશ અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

નીચેનું ઉદાહરણ રૂપાંતરણ પદ્ધતિ દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ 2

અમારી પાસે છે: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

અમે તેને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકાય છે: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

કેસ 2

દશાંશ અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

રૂપાંતરણ પદ્ધતિ એ હકીકત પર આધારિત છે કે સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના સામયિક ભાગને અનંત ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય.

ઉદાહરણ 4

$0,\left(74\જમણે)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ છે $a=0.74$, પ્રગતિનો છેદ $q=0.01$ છે.

ઉદાહરણ 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ છે $a=0.08$, પ્રગતિનો છેદ $q=0.1$ છે.

અનંત ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો $s=\frac(a)(1-q) $ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $q$ એ પ્રગતિ $ નો છેદ છે. \ડાબે (0

ઉદાહરણ 6

ચાલો અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક $0,\left(72\right)$ ને નિયમિતમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ છે $a=0.72$, પ્રગતિનો છેદ $q=0.01$ છે. અમને મળે છે: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)(99) =\frac(8) )(11) $. આમ, $0,\left(72\જમણે)=\frac(8)(11) $.

ઉદાહરણ 7

ચાલો અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક $0.5\left(3\right)$ ને નિયમિતમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ છે $a=0.03$, પ્રગતિનો છેદ $q=0.1$ છે. અમને મળે છે: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)(90) =\frac(1) )(30) $.

આમ, $0.5\left(3\જમણે)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓને સંખ્યા અક્ષ પરના બિંદુઓ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં, અમે સંખ્યા અક્ષને એક અનંત સીધી રેખા કહીએ છીએ જેના પર મૂળ (બિંદુ $O$), હકારાત્મક દિશા (તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે) અને સ્કેલ (મૂલ્યો પ્રદર્શિત કરવા માટે) પસંદ કરવામાં આવે છે.

તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને સંખ્યા અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે: દરેક બિંદુ એક સંખ્યાને અનુલક્ષે છે અને તેનાથી વિપરીત, દરેક સંખ્યા એક બિંદુને અનુરૂપ છે. પરિણામે, વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ સતત અને અનંત છે, જેમ સંખ્યા રેખા સતત અને અનંત છે.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહના કેટલાક ઉપગણોને સંખ્યાત્મક અંતરાલ કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાત્મક અંતરાલના ઘટકો એ R$ માં $x\n સંખ્યાઓ છે જે ચોક્કસ અસમાનતાને સંતોષે છે. ચાલો $a\in R$, $b\in R$ અને $a\le b$. આ કિસ્સામાં, અંતરાલોના પ્રકારો નીચે મુજબ હોઈ શકે છે:

1. અંતરાલ $\left(a,\; b\જમણે)$. તે જ સમયે $a
2. સેગમેન્ટ $\left$. વધુમાં, $a\le x\le b$.
3. અર્ધ-સેગમેન્ટ્સ અથવા અડધા-અંતરો $\left$. વધુમાં $ a \le x
4. અનંત અંતરાલો, ઉદાહરણ તરીકે $a

બિંદુની પડોશી તરીકે ઓળખાતા અંતરાલનો પ્રકાર પણ મહત્વપૂર્ણ છે. આપેલ બિંદુ $x_(0) \in R$ ની પડોશ એ એક મનસ્વી અંતરાલ $\left(a,\; b\right)$ છે જેમાં આ બિંદુ પોતાની અંદર છે, એટલે કે, $a 0$ તેની ત્રિજ્યા છે.

સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય

વાસ્તવિક સંખ્યા $x$નું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (અથવા મોડ્યુલસ) એ બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા છે $\left|x\right|$, જે સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે: $\left|x\right|=\left\(\ બીન(એરે)(c) (\; \; x\; \; (\rm at)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm at)\; \; x

ભૌમિતિક રીતે, $\left|x\right|$ એટલે અંક રેખા પર $x$ અને 0 વચ્ચેનું અંતર.

સંપૂર્ણ મૂલ્યોના ગુણધર્મો:

1. વ્યાખ્યામાંથી તે અનુસરે છે કે $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. સરવાળાના મોડ્યુલસ માટે અને બે સંખ્યાઓના તફાવતના મોડ્યુલસ માટે, નીચેની અસમાનતાઓ માન્ય છે: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, તેમજ $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. ઉત્પાદનના મોડ્યુલસ અને બે સંખ્યાના ભાગના મોડ્યુલસ માટે, નીચેની સમાનતાઓ સાચી છે: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ અને $\left|\frac(x)(y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

મનસ્વી સંખ્યા $a>0$ માટે સંપૂર્ણ મૂલ્યની વ્યાખ્યાના આધારે, કોઈ પણ અસમાનતાની નીચેની જોડીની સમાનતા સ્થાપિત કરી શકે છે:

1. જો $\left|x\right|
2. જો $\left|x\right|\le a$, તો $-a\le x\le a$;
3. જો $\left|x\right|>a$, તો કાં તો $xa$;
4. જો $\left|x\right|\ge a$, તો કાં તો $x\le -a$ અથવા $x\ge a$.

ઉદાહરણ 8

અસમાનતા ઉકેલો $\left|2\cdot x+1\right|

આ અસમાનતા $-7 ની અસમાનતાની સમકક્ષ છે

અહીંથી આપણને મળે છે: $-8

નંબર 1. તર્કસંગત સંખ્યાઓના ગુણધર્મો.

 સુવ્યવસ્થિતતા . કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે, ત્યાં એક નિયમ છે જે વ્યક્તિને તેમની વચ્ચે અનન્ય રીતે ઓળખવા માટે પરવાનગી આપે છે અને ત્રણમાંથી માત્ર એક સંબંધો: "", "" અથવા "". આ નિયમ કહેવાય છે ઓર્ડર કરવાનો નિયમઅને નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: બે હકારાત્મક સંખ્યાઓ અને બે પૂર્ણાંકો જેવા સમાન સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે; બે બિન-ધન સંખ્યાઓ બે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ જેવા જ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે; જો અચાનક તે નકારાત્મક નથી, પરંતુ નકારાત્મક છે, તો પછી.

અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છે

 એડિશન ઓપરેશન . સરવાળો નિયમ, જે તેમને અમુક તર્કસંગત સંખ્યા સાથે પત્રવ્યવહારમાં મૂકે છે. આ કિસ્સામાં, નંબર પોતે જ કહેવાય છે રકમ સંખ્યાઓ અને સૂચવવામાં આવે છે, અને આવી સંખ્યા શોધવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સમીકરણ. સરવાળો નિયમ નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે: .

 ગુણાકાર કામગીરી . કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે કહેવાતી સંખ્યા છે ગુણાકારનો નિયમ, જે તેમને અમુક તર્કસંગત સંખ્યા સાથે પત્રવ્યવહારમાં મૂકે છે. આ કિસ્સામાં, નંબર પોતે જ કહેવાય છે કામ સંખ્યાઓ અને સૂચવવામાં આવે છે, અને આવી સંખ્યા શોધવાની પ્રક્રિયાને પણ કહેવામાં આવે છે ગુણાકાર. ગુણાકારનો નિયમ આના જેવો દેખાય છે: .

 સંક્રમણ ઓર્ડર સંબંધો.તર્કસંગત સંખ્યાઓના કોઈપણ ત્રિવિધ માટે, અને જો ઓછા અને ઓછા, તો ઓછા, અને જો સમાન, તો સમાન.

 કોમ્યુટેટીવીટી વધુમાંતર્કસંગત શબ્દોના સ્થાનો બદલવાથી સરવાળો બદલાતો નથી.

 સહયોગી વધુમાંજે ક્રમમાં ત્રણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ ઉમેરવામાં આવે છે તે પરિણામને અસર કરતું નથી.

 ઉપલબ્ધતાશૂન્ય . એક તર્કસંગત સંખ્યા 0 છે જે ઉમેરવામાં આવે ત્યારે દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.

 વિરોધી સંખ્યાઓની હાજરી.કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાની વિરુદ્ધ તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે, જે ઉમેરવાથી 0 મળે છે.

 ગુણાકારની કોમ્યુટેટીવીટી.તર્કસંગત પરિબળોના સ્થાનો બદલવાથી ઉત્પાદન બદલાતું નથી.

 ગુણાકારની સહયોગીતા.જે ક્રમમાં ત્રણ તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તે પરિણામને અસર કરતું નથી.

 ઉપલબ્ધતાએકમો . એક તર્કસંગત સંખ્યા 1 છે જે જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે દરેક અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાને સાચવે છે.

 ઉપલબ્ધતાપારસ્પરિક સંખ્યાઓ . કોઈપણ બિન-શૂન્ય તર્કસંગત સંખ્યા એક વ્યસ્ત તર્કસંગત સંખ્યા ધરાવે છે, જેનો ગુણાકાર કરવાથી 1 મળે છે.

 વિતરણક્ષમતા ઉમેરાને સંબંધિત ગુણાકાર.ગુણાકારની કામગીરી વિતરણ કાયદા દ્વારા ઉમેરા સાથે સંકલિત કરવામાં આવે છે:

 ઉમેરાની કામગીરી સાથે ઓર્ડર સંબંધનું જોડાણ.તર્કસંગત અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન તર્કસંગત સંખ્યા ઉમેરી શકાય છે.

 ઓર્ડર સંબંધ અને ગુણાકારની ક્રિયા વચ્ચેનું જોડાણ.તર્કસંગત અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓને સમાન સકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે.

 આર્કિમિડીઝનું સ્વયંસિદ્ધ . તર્કસંગત સંખ્યા ગમે તે હોય, તમે એટલા બધા એકમો લઈ શકો છો કે તેમનો સરવાળો વધી જાય.

નંબર 2. વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ.

વ્યાખ્યા . બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા xનું મોડ્યુલસ એ સંખ્યા જ છે: | x | = x; નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા x નું મોડ્યુલસ વિરુદ્ધ સંખ્યા છે: I x | = - એક્સ.

ટૂંકમાં તે આ રીતે લખાયેલું છે:

2. વાસ્તવિક સંખ્યાના મોડ્યુલસનો ભૌમિતિક અર્થ

ચાલો વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ R અને તેના ભૌમિતિક પર પાછા આવીએ મોડેલો- સંખ્યા રેખા. ચાલો સીધી રેખા પર બે બિંદુઓ a અને b (બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b) ને ચિહ્નિત કરીએ અને (a, b) બિંદુઓ a અને b (ગ્રીક મૂળાક્ષર "rho" નો અક્ષર) વચ્ચેનું અંતર દર્શાવીએ. આ અંતર b - a, જો b > a (ફિગ. 101) ની બરાબર છે, તો તે a - b, જો a > b (ફિગ. 102), અને અંતે, તે શૂન્ય બરાબર છે જો a = b.

ત્રણેય કેસ એક સૂત્ર દ્વારા આવરી લેવામાં આવ્યા છે:

b) સમીકરણ | x + 3.2 | = 2 અમે ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ | x - (- 3.2) | = 2 અને આગળ (x, - 3.2) = 2. સંકલન રેખા પર બે બિંદુઓ છે જે બિંદુ પરથી દૂર કરવામાં આવે છે - 3.2 બાય 2 જેટલું અંતર. આ બિંદુઓ છે - 5.2 અને - 1.2 (ફિગ. 104) . તેથી સમીકરણ બે છે મૂળ: -5.2 અને - 1.2.

№4.વાસ્તવિક નંબરોનો સમૂહ

તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહ અને અતાર્કિક સંખ્યાઓના સમૂહના જોડાણને સમૂહ કહેવામાં આવે છે માન્ય (અથવા વાસ્તવિક ) સંખ્યાઓ . વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે આર. દેખીતી રીતે, .

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર બતાવવામાં આવે છે સંખ્યા અક્ષ ઓહબિંદુઓ (ફિગ.). આ કિસ્સામાં, દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા સંખ્યાત્મક અક્ષ પરના ચોક્કસ બિંદુને અનુલક્ષે છે, અને ધરી પરનો દરેક બિંદુ ચોક્કસ વાસ્તવિક સંખ્યાને અનુરૂપ છે.

તેથી, "વાસ્તવિક સંખ્યા" શબ્દોને બદલે તમે "બિંદુ" કહી શકો છો.

નંબર 5. સંખ્યાત્મક અંતરાલો.

નંબર 6. સંખ્યાત્મક કાર્ય.

જો દરેક સંખ્યા એક જ સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોય તો સંખ્યા સમૂહ આપવા દો y, પછી તેઓ સેટ પર કહે છે ડીઆંકડાકીય આપેલ છે કાર્ય :

ઘણા ડીકહેવાય છે કાર્યનું ડોમેન અને નિયુક્ત થયેલ છે ડી (f (x)). એક સમૂહ જેમાં તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે f (x), જ્યાં તેને કહેવામાં આવે છે કાર્ય શ્રેણી અને નિયુક્ત થયેલ છે ઇ (f (x)).

નંબર xઘણીવાર બોલાવવામાં આવે છે કાર્ય દલીલ અથવા સ્વતંત્ર ચલ, અને સંખ્યા y- આશ્રિત ચલ અથવા, હકીકતમાં, કાર્ય ચલ x. મૂલ્યને અનુરૂપ સંખ્યા કહેવામાં આવે છે કાર્ય મૂલ્ય એક બિંદુ પર અને સૂચિત કરો

ફંક્શન સેટ કરવા માટે f, તમારે સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર છે:

1) તેની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર ડી (f (x));

2) નિયમ સ્પષ્ટ કરો f, જેના દ્વારા દરેક મૂલ્ય ચોક્કસ મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલું છે y = f (x).

№7. વ્યસ્ત કાર્ય,

વ્યસ્ત કાર્ય

જો દલીલ અને કાર્યની ભૂમિકાઓ ઉલટી હોય, તો xનું કાર્ય બની જશે y. આ કિસ્સામાં આપણે એક નવા કાર્ય વિશે વાત કરીએ છીએ જેને કહેવાય છે વ્યસ્ત કાર્ય.ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે એક કાર્ય છે:

વિ = u 2 ,

જ્યાં u- દલીલ, એ વિ- કાર્ય. જો આપણે તેમની ભૂમિકા બદલીએ, તો આપણને મળે છે u કાર્ય તરીકે વિ :

જો આપણે બંને વિધેયોમાં દલીલને દ્વારા સૂચિત કરીએ x , અને કાર્ય - દ્વારા y, પછી અમારી પાસે બે કાર્યો છે:

જેમાંથી દરેક બીજાના વ્યસ્ત છે.

ઉદાહરણો. આ કાર્યો એકબીજાના વિપરીત છે:

1) પાપ xઅને આર્ક્સીન x, કારણ કે જો y= પાપ x, તે x= આર્ક્સીન y;

2) cos xઅને આર્કોસ x, કારણ કે જો y=cos x, તે x= આર્કોસ y;

3) ટેન xઅને આર્ક્ટન x, કારણ કે જો y= ટેન x, તે x= આર્ક્ટન y;

4) ઇ xઅને એલ.એન x, કારણ કે જો y= ઇ x, તે x= લોગ y.

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો- ગાણિતિક કાર્યો કે જે ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના વ્યસ્ત છે. છ કાર્યોને સામાન્ય રીતે વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:

આર્ક્સીન(પ્રતીક: આર્ક્સીન)

આર્ક કોસાઇન(પ્રતીક: આર્કોસ)

આર્કટેન્જેન્ટ(હોદ્દો: arctg; વિદેશી સાહિત્ય આર્ક્ટનમાં)

આર્કોટેન્જેન્ટ(હોદ્દો: arcctg; વિદેશી સાહિત્યમાં arccotan)

આર્કસેકન્ટ(પ્રતીક: arcsec)

આર્કોસેકન્ટ(હોદ્દો: આર્કોસેક; વિદેશી સાહિત્યમાં arccsc)

№8. મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો. પ્રાથમિક કાર્યો

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો બહુ-મૂલ્યવાળા (અનંત નોંધપાત્ર) છે, અને તેમની સાથે કામ કરતી વખતે, કહેવાતા મુખ્ય મૂલ્યોનો ઉપયોગ થાય છે.

№9. જટિલ સંખ્યાઓ

ફોર્મમાં લખાયેલ છે: a+ દ્વિ. અહીં aઅને b – વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, એ i – કાલ્પનિક એકમ, એટલે કે. i 2 = –1. નંબર a કહેવાય છે એબ્સીસા, એ b – ઓર્ડિનેટજટિલ સંખ્યા a+ દ્વિ બે જટિલ સંખ્યાઓ a+ દ્વિ અને a – દ્વિ કહેવાય છે જોડાણજટિલ સંખ્યાઓ.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓને સીધી રેખા પરના બિંદુઓ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, જ્યાં બિંદુ A નંબર 4 અને બિંદુ B નંબર -5 દર્શાવે છે. સમાન સંખ્યાઓ સેગમેન્ટ્સ OA, OB દ્વારા પણ રજૂ કરી શકાય છે, ફક્ત તેમની લંબાઈ જ નહીં, પણ તેમની દિશા પણ ધ્યાનમાં લેતા.

સંખ્યા રેખાનો દરેક બિંદુ M અમુક વાસ્તવિક સંખ્યાને રજૂ કરે છે (જો સેગમેન્ટ OM લંબાઈના એકમ સાથે સુસંગત હોય તો તર્કસંગત અને જો તે અસંગત હોય તો અતાર્કિક). આનાથી સંખ્યા રેખા પર જટિલ સંખ્યાઓ માટે કોઈ જગ્યા રહેતી નથી.

પરંતુ જટિલ સંખ્યાઓ નંબર પ્લેન પર દર્શાવી શકાય છે. આ કરવા માટે, અમે પ્લેન પર એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પસંદ કરીએ છીએ, બંને અક્ષો પર સમાન સ્કેલ સાથે.

જટિલ સંખ્યા a + b iએક બિંદુ M દ્વારા રજૂ થાય છે જેનું abscissa x abscissa બરાબર છે aજટિલ સંખ્યા, અને y નો ઓર્ડિનેટ ઓર્ડિનેટ બરાબર છે bજટિલ સંખ્યા.

વાસ્તવિક નંબરો II

§ 44 વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ભૌમિતિક રજૂઆત

ભૌમિતિક રીતે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જેમ કે તર્કસંગત સંખ્યાઓ, રેખા પરના બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

દો l એક મનસ્વી સીધી રેખા છે, અને O તેના કેટલાક બિંદુઓ છે (ફિગ. 58). દરેક હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા α ના અંતરે O ની જમણી બાજુએ આવેલા બિંદુ A ને સાંકળીએ α લંબાઈના એકમો.

જો, ઉદાહરણ તરીકે, α = 2.1356..., પછી

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

વગેરે. દેખીતી રીતે, આ કિસ્સામાં બિંદુ A સીધી રેખા પર હોવો જોઈએ l સંખ્યાઓને અનુરૂપ બિંદુઓની જમણી બાજુએ

2; 2,1; 2,13; ... ,

પરંતુ સંખ્યાઓને અનુરૂપ બિંદુઓની ડાબી બાજુએ

3; 2,2; 2,14; ... .

તે બતાવી શકાય છે કે આ શરતો સીધી રેખા પર વ્યાખ્યાયિત કરે છે l એકમાત્ર બિંદુ A, જેને આપણે વાસ્તવિક સંખ્યાની ભૌમિતિક છબી તરીકે ગણીએ છીએ α = 2,1356... .

તેવી જ રીતે, દરેક નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે β ચાલો O ની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ B ને | ના અંતરે સાંકળીએ β | લંબાઈના એકમો. અંતે, આપણે "શૂન્ય" નંબરને બિંદુ O સાથે સાંકળીએ છીએ.

તેથી, નંબર 1 સીધી રેખા પર દર્શાવવામાં આવશે l બિંદુ A, O ની જમણી બાજુએ લંબાઈના એક એકમના અંતરે સ્થિત છે (ફિગ. 59), સંખ્યા - √2 - બિંદુ B દ્વારા, O ની ડાબી બાજુએ લંબાઈના √2 એકમના અંતરે સ્થિત છે, વગેરે .

ચાલો બતાવીએ કે કેવી રીતે સીધી રેખા પર l હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને, તમે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ √2, √3, √4, √5, વગેરેને અનુરૂપ બિંદુઓ શોધી શકો છો. આ કરવા માટે, સૌ પ્રથમ, અમે બતાવીશું કે તમે કેવી રીતે સેગમેન્ટ્સ બનાવી શકો છો જેની લંબાઈ વ્યક્ત કરવામાં આવી હોય. આ સંખ્યાઓ દ્વારા. ચાલો AB ને લંબાઈના એકમ તરીકે લેવાયેલ સેગમેન્ટ તરીકે ગણીએ (ફિગ. 60).

બિંદુ A પર, અમે આ સેગમેન્ટને લંબ બાંધીએ છીએ અને તેના પર AB સેગમેન્ટ AC સમાન સેગમેન્ટ બનાવીએ છીએ. પછી, કાટકોણ ત્રિકોણ ABC પર પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

તેથી, સેગમેન્ટ BC ની લંબાઈ √2 છે. હવે ચાલો બિંદુ C પર સેગમેન્ટ BC ને કાટખૂણે બાંધીએ અને તેના પર બિંદુ D પસંદ કરીએ જેથી સેગમેન્ટ CD લંબાઈ AB ના એક એકમ સમાન હોય. પછી જમણા ત્રિકોણ BCD માંથી આપણે શોધીએ છીએ:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

તેથી, BD સેગમેન્ટની લંબાઈ √3 છે. વર્ણવેલ પ્રક્રિયાને આગળ ચાલુ રાખીને, અમે સેગમેન્ટ્સ BE, BF, ... મેળવી શકીએ છીએ, જેની લંબાઈ √4, √5, વગેરે નંબરો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

હવે સીધી લીટી પર l તે બિંદુઓને શોધવાનું સરળ છે જે સંખ્યાઓ √2, √3, √4, √5, વગેરેની ભૌમિતિક રજૂઆત તરીકે સેવા આપે છે.

બિછાવીને, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ O (ફિગ. 61) ની જમણી બાજુએ BC સેગમેન્ટ, અમે બિંદુ C મેળવીએ છીએ, જે સંખ્યા √2 ની ભૌમિતિક છબી તરીકે સેવા આપે છે. એ જ રીતે, બિંદુ O ની જમણી બાજુએ BD સેગમેન્ટ મુકવાથી, આપણને બિંદુ D" મળે છે, જે સંખ્યા √3, વગેરેની ભૌમિતિક છબી છે.

જો કે, કોઈએ એવું ન વિચારવું જોઈએ કે નંબર લાઇન પર હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરવો l કોઈ પણ આપેલ વાસ્તવિક સંખ્યાને અનુરૂપ બિંદુ શોધી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે સાબિત થયું છે કે, તમારા નિકાલ પર માત્ર હોકાયંત્ર અને શાસક હોવાને કારણે, તે સેગમેન્ટનું નિર્માણ કરવું અશક્ય છે જેની લંબાઈ સંખ્યા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. π = 3.14.... તેથી, નંબર લાઇન પર l આવા બાંધકામોની મદદથી આ સંખ્યાને અનુરૂપ બિંદુ દર્શાવવું અશક્ય છે, તેમ છતાં, આવા બિંદુ અસ્તિત્વમાં છે.

તેથી, દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે α અમુક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત બિંદુને સીધી રેખા સાથે સાંકળવાનું શક્ય છે l . આ બિંદુ | ના અંતરે હશે α | લંબાઈના એકમો અને જો O ની જમણી બાજુએ હોય α > 0, અને O ની ડાબી બાજુએ, જો α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . હકીકતમાં, નંબર દો α બિંદુ A અનુલક્ષે છે, અને સંખ્યા β - બિંદુ B. પછી, જો α > β , પછી A એ B ની જમણી બાજુ હશે (ફિગ. 62, a); જો α < β , પછી A, B ની ડાબી બાજુએ સૂશે (ફિગ. 62, b).

તર્કસંગત સંખ્યાઓની ભૌમિતિક છબી વિશે § 37 માં બોલતા, અમે પ્રશ્ન ઉઠાવ્યો: શું રેખા પરના કોઈપણ બિંદુને કેટલાકની ભૌમિતિક છબી તરીકે ગણી શકાય? તર્કસંગતસંખ્યાઓ? ત્યારે અમે આ પ્રશ્નનો જવાબ આપી શક્યા નહિ; હવે આપણે તેનો ચોક્કસ જવાબ આપી શકીએ છીએ. રેખા પર એવા બિંદુઓ છે જે અતાર્કિક સંખ્યાઓની ભૌમિતિક રજૂઆત તરીકે સેવા આપે છે (ઉદાહરણ તરીકે, √2). તેથી, રેખા પરનો દરેક બિંદુ તર્કસંગત સંખ્યાને રજૂ કરતું નથી. પરંતુ આ કિસ્સામાં, બીજો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું સંખ્યા રેખા પરના કોઈપણ બિંદુને કેટલાકની ભૌમિતિક છબી તરીકે ગણી શકાય? માન્યસંખ્યાઓ? આ મુદ્દો પહેલેથી જ સકારાત્મક રીતે ઉકેલાઈ ગયો છે.

ખરેખર, A ને લીટી પર એક મનસ્વી બિંદુ બનવા દો l , O (ફિગ. 63) ની જમણી બાજુએ બોલવું.

સેગમેન્ટ OA ની લંબાઈ અમુક હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે α (જુઓ § 41). તેથી, બિંદુ A એ સંખ્યાની ભૌમિતિક છબી છે α . તે જ રીતે સ્થાપિત થયેલ છે કે O ની ડાબી બાજુએ આવેલ દરેક બિંદુ B ને નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાની ભૌમિતિક છબી તરીકે ગણી શકાય - β , ક્યાં β - સેગમેન્ટ VO ની લંબાઈ. અંતે, બિંદુ O શૂન્ય સંખ્યાના ભૌમિતિક પ્રતિનિધિત્વ તરીકે સેવા આપે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે એક રેખા પર બે જુદા જુદા બિંદુઓ l સમાન વાસ્તવિક સંખ્યાની ભૌમિતિક છબી હોઈ શકતી નથી.

ઉપર જણાવેલ કારણોસર, એક સીધી રેખા કે જેના પર ચોક્કસ બિંદુ O "પ્રારંભિક" બિંદુ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે (લંબાઈના આપેલ એકમ માટે) કહેવામાં આવે છે. સંખ્યા રેખા.

નિષ્કર્ષ. તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ અને સંખ્યા રેખા પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ એક-થી-એક પત્રવ્યવહારમાં છે.

આનો અર્થ એ છે કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા સંખ્યા રેખા પરના એક, સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત બિંદુને અનુલક્ષે છે, અને તેનાથી વિપરીત, સંખ્યા રેખા પરના દરેક બિંદુને, આવા પત્રવ્યવહાર સાથે, ત્યાં એક, સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક સંખ્યાને અનુરૂપ છે.

કસરતો

320. જો આ બિંદુઓ સંખ્યાઓને અનુરૂપ હોય તો બેમાંથી કયો બિંદુ ડાબી બાજુએ છે અને કયો જમણી બાજુએ છે તે શોધો:

a) 1.454545... અને 1.455454...; c) 0 અને - 1.56673...;

b) - 12.0003... અને - 12.0002...; ડી) 13.24... અને 13.00....

321. જો આ બિંદુઓ સંખ્યાઓને અનુરૂપ હોય તો બે બિંદુઓમાંથી કયું બિંદુ પ્રારંભિક બિંદુ O થી આગળ સંખ્યા રેખા પર સ્થિત છે તે શોધો:

a) 5.2397... અને 4.4996...; .. c) -0.3567... અને 0.3557...

ડી) - 15.0001 અને - 15.1000...;

322. આ વિભાગમાં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે √ લંબાઈનો સેગમેન્ટ બાંધવો n હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને, તમે નીચે પ્રમાણે આગળ વધી શકો છો: પહેલા √2 લંબાઈનો સેગમેન્ટ, પછી લંબાઈ √3, વગેરેનો સેગમેન્ટ બનાવો, જ્યાં સુધી આપણે લંબાઈના સેગમેન્ટ સુધી પહોંચીએ √ n . પરંતુ દરેક નિશ્ચિત માટે n > 3 આ પ્રક્રિયાને ઝડપી બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે √10 લંબાઈનો સેગમેન્ટ કેવી રીતે બાંધવાનું શરૂ કરશો?

323*. નંબર 1 / ને અનુરૂપ નંબર લાઇન પર બિંદુ શોધવા માટે હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો α , જો બિંદુની સ્થિતિ સંખ્યાને અનુરૂપ હોય α , તે જાણીતું છે?

મોડ્યુલો સાથે સમીકરણો, ઉકેલ પદ્ધતિઓ. ભાગ 1.

આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની તકનીકોનો સીધો અભ્યાસ શરૂ કરતા પહેલા, મોડ્યુલનો સાર અને તેના ભૌમિતિક અર્થને સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે. તે મોડ્યુલની વ્યાખ્યા અને તેના ભૌમિતિક અર્થને સમજવામાં છે કે આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓ મૂકવામાં આવે છે. મોડ્યુલર કૌંસ ખોલતી વખતે અંતરાલોની કહેવાતી પદ્ધતિ એટલી અસરકારક છે કે તેનો ઉપયોગ કરીને મોડ્યુલી સાથે કોઈપણ સમીકરણ અથવા અસમાનતાને હલ કરવાનું શક્ય છે. આ ભાગમાં, અમે બે પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓનો વિગતવાર અભ્યાસ કરીશું: અંતરાલ પદ્ધતિ અને વસ્તી બદલવાની પદ્ધતિ.

જો કે, જેમ આપણે જોઈશું, આ પદ્ધતિઓ હંમેશા અસરકારક હોય છે, પરંતુ હંમેશા અનુકૂળ હોતી નથી અને લાંબી અને ખૂબ અનુકૂળ ગણતરીઓ તરફ દોરી શકે છે, જેને ઉકેલવા માટે કુદરતી રીતે વધુ સમયની જરૂર પડે છે. તેથી, તે પદ્ધતિઓ જાણવી મહત્વપૂર્ણ છે જે ચોક્કસ સમીકરણ માળખાના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવે છે. સમીકરણની બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ, નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ, ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ, મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ મોડ્યુલસ ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા. આગળના ભાગમાં આપણે આ પદ્ધતિઓ જોઈશું.

સંખ્યાના મોડ્યુલસનું નિર્ધારણ. મોડ્યુલનો ભૌમિતિક અર્થ.

સૌ પ્રથમ, ચાલો મોડ્યુલના ભૌમિતિક અર્થથી પરિચિત થઈએ:

સંખ્યાઓનું મોડ્યુલસ a (|a|)મૂળ (બિંદુ 0) થી બિંદુ સુધીની સંખ્યા રેખા પરના અંતરને કૉલ કરો A(a).

આ વ્યાખ્યાના આધારે, ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ:

|7| - આ 0 થી બિંદુ 7 સુધીનું અંતર છે, અલબત્ત તે 7 ની બરાબર છે. → | 7 |=7

|-5|- આ 0 થી બિંદુ સુધીનું અંતર -5 અને તે બરાબર છે: 5. → |-5| = 5

આપણે બધા સમજીએ છીએ કે અંતર નકારાત્મક હોઈ શકે નહીં! તેથી |x| ≥ 0 હંમેશા!

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ: |x |=4

આ સમીકરણ આ રીતે વાંચી શકાય છે: બિંદુ 0 થી બિંદુ x સુધીનું અંતર 4 છે. હા, તે તારણ આપે છે કે 0 થી આપણે ડાબી અને જમણી બંને તરફ ખસેડી શકીએ છીએ, જેનો અર્થ થાય છે કે સમાન અંતરે ડાબી બાજુ ખસેડવું 4 આપણે બિંદુ પર સમાપ્ત થઈશું: -4, અને જમણી તરફ જઈશું તો આપણે બિંદુ પર સમાપ્ત થઈશું: 4. ખરેખર, |-4 |=4 અને |4 |=4.

તેથી જવાબ છે x=±4.

જો તમે અગાઉના સમીકરણનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરશો, તો તમે જોશો કે: 0 થી બિંદુ સુધીની સંખ્યા રેખાની સાથે જમણી બાજુનું અંતર પોઈન્ટ જેટલું જ છે, અને 0 થી સંખ્યા સુધીનું ડાબી બાજુનું અંતર વિપરીત સમાન છે. નંબર 0 ની જમણી બાજુની સંખ્યાઓ ધન છે અને 0 ની ડાબી બાજુની સંખ્યાઓ ઋણ છે તે સમજીને, અમે ઘડીએ છીએ સંખ્યાના મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા: સંખ્યાનું મોડ્યુલસ (સંપૂર્ણ મૂલ્ય) એક્સ(|x|) એ જ સંખ્યા છે એક્સ, જો x ≥0, અને સંખ્યા - એક્સ, જો x<0.

અહીં આપણે સંખ્યા રેખા પર બિંદુઓનો સમૂહ શોધવાની જરૂર છે, 0 થી જેનું અંતર 3 કરતા ઓછું હશે, ચાલો એક સંખ્યા રેખાની કલ્પના કરીએ, તેના પર બિંદુ 0, ડાબી બાજુએ જઈને એક (-1), બે ગણીએ. (-2) અને ત્રણ (-3), રોકો. આગળ એવા બિંદુઓ હશે જે 3 કરતા આગળ આવેલા છે અથવા જે અંતર 0 થી 3 કરતા વધારે છે, હવે આપણે જમણી તરફ જઈએ છીએ: એક, બે, ત્રણ, ફરીથી રોકો. હવે આપણે આપણા બધા પોઈન્ટ પસંદ કરીએ છીએ અને ઈન્ટરવલ x: (-3;3) મેળવીએ છીએ.

તે મહત્વનું છે કે તમે આ સ્પષ્ટપણે જુઓ, જો તમે હજી પણ ન કરી શકો, તો તેને કાગળ પર દોરો અને જુઓ જેથી આ ચિત્ર તમારા માટે સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ થાય, આળસુ ન બનો અને તમારા મનમાં નીચેના કાર્યોના ઉકેલો જોવાનો પ્રયાસ કરો. :

|x |=11, x=? |x|=-5, x=?

|x |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, x-? |x|> -3, x-?

|π-3|=? |-x²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|x²+2|=? |x²+4|=0

|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0

શું તમે બીજી કૉલમમાં વિચિત્ર કાર્યોની નોંધ લીધી? ખરેખર, અંતર નકારાત્મક હોઈ શકતું નથી તેથી: |x|=-5- પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, અલબત્ત તે 0 કરતા ઓછું હોઈ શકતું નથી, તેથી: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 બધી સંખ્યાઓ છે.

તમે ઉકેલો સાથે ચિત્રો ઝડપથી જોવાનું શીખ્યા પછી, આગળ વાંચો.

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને આ કાર્યમાં રસ હોય, તો કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

લક્ષ્યો:

સાધનો: પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન, પર્સનલ કમ્પ્યુટર, મલ્ટીમીડિયા પ્રેઝન્ટેશન

પાઠ પ્રગતિ

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

2. વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરવું.

2.1. હોમવર્ક વિશે વિદ્યાર્થીઓના પ્રશ્નોના જવાબ આપો.

2.2. ક્રોસવર્ડ પઝલ ઉકેલો (સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીનું પુનરાવર્તન) (સ્લાઇડ 2):

(માન્ય - ક્રોસવર્ડ પઝલ ઉકેલ્યા પછી, હાઇલાઇટ કરેલી ઊભી કૉલમમાં આજના પાઠના વિષયનું નામ વાંચો.

(સ્લાઇડ્સ 3, 4)

3. નવા વિષયની સમજૂતી. a 3.1. – મિત્રો, તમે મોડ્યુલના ખ્યાલને પહેલાથી જ મળ્યા છો, તમે નોટેશનનો ઉપયોગ કર્યો છે |

| . પહેલાં, અમે ફક્ત તર્કસંગત સંખ્યાઓ વિશે વાત કરતા હતા. હવે આપણે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે મોડ્યુલસનો ખ્યાલ રજૂ કરવાની જરૂર છે.

દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા સંખ્યા રેખા પરના એક બિંદુને અનુલક્ષે છે, અને તેનાથી વિપરીત, સંખ્યા રેખા પરનો દરેક બિંદુ એક વાસ્તવિક સંખ્યાને અનુલક્ષે છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓના તમામ મૂળભૂત ગુણધર્મો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સાચવેલ છે. વાસ્તવિક સંખ્યાના મોડ્યુલસની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી છે.

(સ્લાઇડ 5). xવ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ x| = xઆ નંબર પર જ કૉલ કરો: | એક્સ; નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ x| = – x .

– વિરુદ્ધ નંબર પર કૉલ કરો: |

તમારી નોટબુકમાં પાઠનો વિષય અને મોડ્યુલની વ્યાખ્યા લખો: વ્યવહારમાં, વિવિધમોડ્યુલ ગુણધર્મો , ઉદાહરણ તરીકે. :

(સ્લાઇડ 6) મોડ્યુલની વ્યાખ્યા, ગુણધર્મો લાગુ કરવા માટે મૌખિક રીતે નંબર 16.3 (a, b) – 16.5 (a, b) પૂર્ણ કરો. .

(સ્લાઇડ 7) એક્સ 3.4. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે xગણતરી કરી શકાય છે | y = |x| .

| , એટલે કે આપણે કાર્ય વિશે વાત કરી શકીએ છીએ = |x| કાર્ય 1. ગ્રાફ બનાવો અને ફંક્શનના ગુણધર્મોની સૂચિ બનાવો

એક વિદ્યાર્થી બોર્ડ પર ફંક્શનનો આલેખ કરી રહ્યો છે

ફિગ 1.

મિલકતો વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા યાદી થયેલ છે. (સ્લાઇડ 10)

1) વ્યાખ્યાનું ડોમેન – (– ∞; + ∞) .

2) y = 0 પર x = 0; y > 0 અને x< 0 и x > 0.

3) કાર્ય સતત છે.

4) x = 0 માટે y naim = 0, y નાયબ અસ્તિત્વમાં નથી.

5) કાર્ય નીચેથી મર્યાદિત છે, ઉપરથી મર્યાદિત નથી.

6) કિરણ પર કાર્ય ઘટે છે (– ∞; 0) અને કિરણ પર વધે છે