રીગ્રેસન વિશ્લેષણ કયા પ્રકારની પદ્ધતિઓથી સંબંધિત છે? બહુવિધ રીગ્રેસન માટે સહસંબંધ

રીગ્રેસન અને સહસંબંધ વિશ્લેષણ એ આંકડાકીય સંશોધન પદ્ધતિઓ છે. એક અથવા વધુ સ્વતંત્ર ચલો પર પરિમાણની અવલંબન દર્શાવવાની આ સૌથી સામાન્ય રીતો છે.

નીચે, ચોક્કસ વ્યવહારુ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને, અમે અર્થશાસ્ત્રીઓમાં આ બે ખૂબ જ લોકપ્રિય વિશ્લેષણોને ધ્યાનમાં લઈશું. અમે તેમને સંયોજિત કરતી વખતે પરિણામો મેળવવાનું ઉદાહરણ પણ આપીશું.

એક્સેલમાં રીગ્રેશન એનાલિસિસ

આશ્રિત ચલ પર કેટલાક મૂલ્યો (સ્વતંત્ર, સ્વતંત્ર) નો પ્રભાવ દર્શાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આર્થિક રીતે સક્રિય વસ્તીની સંખ્યા એન્ટરપ્રાઇઝની સંખ્યા, વેતન અને અન્ય પરિમાણો પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે. અથવા: વિદેશી રોકાણો, ઉર્જાના ભાવો, વગેરે જીડીપીના સ્તરને કેવી રીતે અસર કરે છે.

વિશ્લેષણનું પરિણામ તમને પ્રાથમિકતાઓને પ્રકાશિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. અને મુખ્ય પરિબળોના આધારે, આગાહી કરો, અગ્રતા ક્ષેત્રોના વિકાસની યોજના બનાવો અને મેનેજમેન્ટ નિર્ણયો લો.

રીગ્રેશન થાય છે:

• રેખીય (y = a + bx);
• પેરાબોલિક (y = a + bx + cx 2);
• ઘાતાંકીય (y = a * exp(bx));
• શક્તિ (y = a*x^b);
• હાયપરબોલિક (y = b/x + a);
• લઘુગણક (y = b * 1n(x) + a);
• ઘાતાંકીય (y = a * b^x).

ચાલો એક્સેલમાં રીગ્રેસન મોડલ બનાવવા અને પરિણામોનું અર્થઘટન કરવાનું ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો રેખીય પ્રકારનું રીગ્રેસન લઈએ.

કાર્ય. 6 સાહસો પર, સરેરાશ માસિક પગાર અને નોકરી છોડનારા કર્મચારીઓની સંખ્યાનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હતું. સરેરાશ પગાર પર છોડનારા કર્મચારીઓની સંખ્યાની અવલંબન નક્કી કરવી જરૂરી છે.

રેખીય રીગ્રેસન મોડેલ આના જેવું દેખાય છે:

Y = a 0 + a 1 x 1 +…+a k x k.

જ્યાં a રીગ્રેશન ગુણાંક છે, x એ ચલોને પ્રભાવિત કરે છે, k એ પરિબળોની સંખ્યા છે.

અમારા ઉદાહરણમાં, Y એ કર્મચારીઓને છોડવાનું સૂચક છે. અસરકર્તા પરિબળ વેતન (x) છે.

એક્સેલમાં બિલ્ટ-ઇન ફંક્શન્સ છે જે તમને રેખીય રીગ્રેશન મોડલના પરિમાણોની ગણતરી કરવામાં મદદ કરી શકે છે. પરંતુ "વિશ્લેષણ પેકેજ" એડ-ઓન આ ઝડપથી કરશે.

અમે એક શક્તિશાળી વિશ્લેષણાત્મક સાધનને સક્રિય કરીએ છીએ:

એકવાર સક્રિય થયા પછી, એડ-ઓન ડેટા ટેબમાં ઉપલબ્ધ થશે.

હવે રીગ્રેશન એનાલિસિસ પોતે જ કરીએ.

સૌ પ્રથમ, અમે આર-સ્ક્વેર્ડ અને ગુણાંક પર ધ્યાન આપીએ છીએ.

આર-સ્ક્વેર એ નિર્ધારણનો ગુણાંક છે. અમારા ઉદાહરણમાં - 0.755, અથવા 75.5%. આનો અર્થ એ છે કે મોડેલના ગણતરી કરેલ પરિમાણો અભ્યાસ કરેલ પરિમાણો વચ્ચેના 75.5% સંબંધને સમજાવે છે. નિર્ધારણનું ગુણાંક જેટલું ઊંચું છે, તેટલું સારું મોડેલ. સારું - 0.8 ઉપર. ખરાબ - 0.5 કરતા ઓછું (આવા વિશ્લેષણને ભાગ્યે જ વાજબી ગણી શકાય). અમારા ઉદાહરણમાં - "ખરાબ નથી".

ગુણાંક 64.1428 બતાવે છે કે જો વિચારણા હેઠળના મોડેલના તમામ ચલ 0 ની બરાબર હોય તો Y શું હશે. એટલે કે, વિશ્લેષણ કરેલ પરિમાણનું મૂલ્ય મોડેલમાં વર્ણવેલ ન હોય તેવા અન્ય પરિબળોથી પણ પ્રભાવિત થાય છે.

ગુણાંક -0.16285 એ Y પર ચલ X નું વજન દર્શાવે છે. એટલે કે, આ મોડેલની અંદર સરેરાશ માસિક પગાર -0.16285 (આ પ્રભાવની થોડી માત્રા છે) સાથે છોડનારાઓની સંખ્યાને અસર કરે છે. "-" ચિહ્ન નકારાત્મક અસર સૂચવે છે: પગાર જેટલો વધારે છે, ઓછા લોકો છોડી દે છે. જે વાજબી છે.

એક્સેલમાં સહસંબંધ વિશ્લેષણ

સહસંબંધ વિશ્લેષણ એ નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે કે એક કે બે નમૂનાઓમાં સૂચકો વચ્ચે સંબંધ છે કે કેમ. ઉદાહરણ તરીકે, મશીનના ઓપરેટિંગ સમય અને સમારકામના ખર્ચ વચ્ચે, સાધનસામગ્રીની કિંમત અને ઓપરેશનનો સમયગાળો, બાળકોની ઊંચાઈ અને વજન વગેરે.

જો ત્યાં કનેક્શન હોય, તો શું એક પરિમાણમાં વધારો થવાથી બીજામાં વધારો (સકારાત્મક સહસંબંધ) અથવા ઘટાડો (નકારાત્મક) થાય છે. સહસંબંધ વિશ્લેષણ વિશ્લેષકને તે નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે કે શું એક સૂચકના મૂલ્યનો ઉપયોગ બીજાના સંભવિત મૂલ્યની આગાહી કરવા માટે થઈ શકે છે.

સહસંબંધ ગુણાંક r દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. +1 થી -1 સુધી બદલાય છે. વિવિધ ક્ષેત્રો માટે સહસંબંધોનું વર્ગીકરણ અલગ હશે. જ્યારે ગુણાંક 0 છે, ત્યારે નમૂનાઓ વચ્ચે કોઈ રેખીય સંબંધ નથી.

ચાલો જોઈએ કે એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધ ગુણાંક કેવી રીતે શોધવો.

જોડી કરેલ ગુણાંક શોધવા માટે, CORREL ફંક્શનનો ઉપયોગ થાય છે.

ઉદ્દેશ્ય: લેથના સંચાલનના સમય અને તેની જાળવણીના ખર્ચ વચ્ચે કોઈ સંબંધ છે કે કેમ તે નક્કી કરો.

કર્સરને કોઈપણ સેલમાં મૂકો અને fx બટન દબાવો.

1. "આંકડાકીય" શ્રેણીમાં, કોરલ ફંક્શન પસંદ કરો.
2. દલીલ "એરે 1" - મૂલ્યોની પ્રથમ શ્રેણી - મશીન ઓપરેટિંગ સમય: A2:A14.
3. દલીલ "એરે 2" - મૂલ્યોની બીજી શ્રેણી - સમારકામ ખર્ચ: B2:B14. OK પર ક્લિક કરો.

કનેક્શનનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે, તમારે ગુણાંકની સંપૂર્ણ સંખ્યા જોવાની જરૂર છે (પ્રવૃત્તિના દરેક ક્ષેત્રનું પોતાનું સ્કેલ છે).

કેટલાક પરિમાણો (2 કરતાં વધુ) ના સહસંબંધ વિશ્લેષણ માટે, "ડેટા વિશ્લેષણ" ("વિશ્લેષણ પેકેજ" એડ-ઓન) નો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે. તમારે સૂચિમાંથી સહસંબંધ પસંદ કરવાની અને એરેને નિયુક્ત કરવાની જરૂર છે. બધા.

પરિણામી ગુણાંક સહસંબંધ મેટ્રિક્સમાં દર્શાવવામાં આવશે. આની જેમ:

સહસંબંધ અને રીગ્રેસન વિશ્લેષણ

વ્યવહારમાં, આ બે તકનીકોનો વારંવાર એકસાથે ઉપયોગ થાય છે.

ઉદાહરણ:

હવે રીગ્રેસન વિશ્લેષણ ડેટા દૃશ્યમાન થઈ ગયો છે.

તેમના અભ્યાસ દરમિયાન, વિદ્યાર્થીઓ ઘણીવાર વિવિધ સમીકરણોનો સામનો કરે છે. તેમાંથી એક - રીગ્રેસન સમીકરણ - આ લેખમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. આ પ્રકારના સમીકરણનો ઉપયોગ ખાસ કરીને ગાણિતિક પરિમાણો વચ્ચેના સંબંધની લાક્ષણિકતાઓનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે. આ પ્રકારની સમાનતાનો ઉપયોગ આંકડાશાસ્ત્ર અને અર્થશાસ્ત્રમાં થાય છે.

રીગ્રેશનની વ્યાખ્યા

ગણિતમાં, રીગ્રેસનનો અર્થ ચોક્કસ જથ્થો છે જે અન્ય જથ્થાના મૂલ્યો પર ડેટાના સમૂહના સરેરાશ મૂલ્યની અવલંબનનું વર્ણન કરે છે. રીગ્રેસન સમીકરણ, ચોક્કસ લાક્ષણિકતાના કાર્ય તરીકે, અન્ય લાક્ષણિકતાનું સરેરાશ મૂલ્ય દર્શાવે છે. રીગ્રેસન ફંક્શનમાં એક સરળ સમીકરણ y = xનું સ્વરૂપ છે, જેમાં y એક આશ્રિત ચલ તરીકે અને x સ્વતંત્ર ચલ (ફીચર-ફેક્ટર) તરીકે કાર્ય કરે છે. હકીકતમાં, રીગ્રેશનને y = f (x) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

ચલો વચ્ચેના સંબંધોના પ્રકારો શું છે?

સામાન્ય રીતે, સંબંધોના બે વિરોધી પ્રકારો છે: સહસંબંધ અને રીગ્રેસન.

પ્રથમ શરતી ચલોની સમાનતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. આ કિસ્સામાં, તે વિશ્વસનીય રીતે જાણીતું નથી કે કયા ચલ અન્ય પર આધાર રાખે છે.

જો ચલો વચ્ચે કોઈ સમાનતા ન હોય અને શરતો કહે છે કે કયું ચલ સ્પષ્ટીકરણ છે અને કયું નિર્ભર છે, તો આપણે બીજા પ્રકારના જોડાણની હાજરી વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણ બનાવવા માટે, કયા પ્રકારનો સંબંધ જોવામાં આવે છે તે શોધવાનું જરૂરી રહેશે.

રીગ્રેશનના પ્રકાર

આજે, રીગ્રેશનના 7 વિવિધ પ્રકારો છે: હાઇપરબોલિક, રેખીય, બહુવિધ, બિનરેખીય, જોડી પ્રમાણે, વ્યસ્ત, લઘુગણકની રીતે રેખીય.

હાઇપરબોલિક, રેખીય અને લઘુગણક

રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણનો ઉપયોગ આંકડાઓમાં સમીકરણના પરિમાણોને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવા માટે થાય છે. તે y = c+t*x+E જેવું લાગે છે. હાઇપરબોલિક સમીકરણમાં નિયમિત હાઇપરબોલા y = c + m / x + E નું સ્વરૂપ હોય છે. એક લઘુગણક રૂપે રેખીય સમીકરણ લઘુગણક કાર્યનો ઉપયોગ કરીને સંબંધને વ્યક્ત કરે છે: In y = In c + m * In x + E માં.

બહુવિધ અને બિનરેખીય

રીગ્રેસનના બે વધુ જટિલ પ્રકારો બહુવિધ અને બિનરેખીય છે. બહુવિધ રીગ્રેસન સમીકરણ y = f(x 1, x 2 ... x c) + E દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આ પરિસ્થિતિમાં, y એક આશ્રિત ચલ તરીકે કાર્ય કરે છે, અને x એક સ્પષ્ટીકરણ ચલ તરીકે કાર્ય કરે છે. E ચલ એ સ્ટોકેસ્ટિક છે; તેમાં સમીકરણમાં અન્ય પરિબળોનો પ્રભાવ શામેલ છે. બિનરેખીય રીગ્રેસન સમીકરણ થોડું વિવાદાસ્પદ છે. એક તરફ, ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા સૂચકાંકોની તુલનામાં, તે રેખીય નથી, પરંતુ બીજી તરફ, સૂચકાંકોનું મૂલ્યાંકન કરવાની ભૂમિકામાં, તે રેખીય છે.

રિગ્રેશન્સના વ્યસ્ત અને જોડીવાળા પ્રકારો

વ્યસ્ત એક પ્રકારનું કાર્ય છે જેને રેખીય સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. સૌથી પરંપરાગત એપ્લિકેશન પ્રોગ્રામ્સમાં, તે ફંક્શન y = 1/c + m*x+E નું સ્વરૂપ ધરાવે છે. જોડી પ્રમાણે રીગ્રેસન સમીકરણ y = f (x) + E ના કાર્ય તરીકે ડેટા વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. અન્ય સમીકરણોની જેમ, y x પર આધાર રાખે છે, અને E એ સ્ટોકેસ્ટિક પરિમાણ છે.

સહસંબંધનો ખ્યાલ

આ એક સૂચક છે જે બે ઘટના અથવા પ્રક્રિયાઓ વચ્ચેના સંબંધનું અસ્તિત્વ દર્શાવે છે. સંબંધની મજબૂતાઈ સહસંબંધ ગુણાંક તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તેનું મૂલ્ય અંતરાલ [-1;+1] ની અંદર વધઘટ થાય છે. નકારાત્મક સૂચક પ્રતિસાદની હાજરી સૂચવે છે, સકારાત્મક સૂચક સીધો પ્રતિસાદ સૂચવે છે. જો ગુણાંક 0 ની બરાબર મૂલ્ય લે છે, તો ત્યાં કોઈ સંબંધ નથી. મૂલ્ય 1 ની નજીક છે, પરિમાણો વચ્ચે મજબૂત સંબંધ 0 ની નજીક છે, તે નબળો છે.

પદ્ધતિઓ

સહસંબંધ પેરામેટ્રિક પદ્ધતિઓ સંબંધની મજબૂતાઈનું મૂલ્યાંકન કરી શકે છે. સામાન્ય વિતરણના કાયદાનું પાલન કરતા પરિમાણોનો અભ્યાસ કરવા માટે તેઓ વિતરણ અંદાજના આધારે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણના પરિમાણો નિર્ભરતાના પ્રકાર, રીગ્રેસન સમીકરણનું કાર્ય અને પસંદ કરેલ સંબંધ સૂત્રના સૂચકોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે જરૂરી છે. સહસંબંધ ક્ષેત્રનો ઉપયોગ જોડાણ ઓળખ પદ્ધતિ તરીકે થાય છે. આ કરવા માટે, બધા અસ્તિત્વમાંના ડેટાને ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરવું આવશ્યક છે. બધા જાણીતા ડેટાને લંબચોરસ દ્વિ-પરિમાણીય સંકલન પ્રણાલીમાં પ્લોટ કરવો આવશ્યક છે. આ એક સહસંબંધ ક્ષેત્ર બનાવે છે. વર્ણન કરતા પરિબળના મૂલ્યો એબ્સીસા અક્ષ સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે, જ્યારે નિર્ભર પરિબળના મૂલ્યો ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે. જો પરિમાણો વચ્ચે વિધેયાત્મક સંબંધ હોય, તો તે એક રેખાના સ્વરૂપમાં રેખાંકિત છે.

જો આવા ડેટાનો સહસંબંધ ગુણાંક 30% કરતા ઓછો હોય, તો આપણે જોડાણની લગભગ સંપૂર્ણ ગેરહાજરી વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. જો તે 30% અને 70% ની વચ્ચે હોય, તો આ મધ્યમ-બંધ જોડાણોની હાજરી સૂચવે છે. 100% સૂચક કાર્યાત્મક જોડાણનો પુરાવો છે.

બિનરેખીય રીગ્રેશન સમીકરણ, રેખીય સમીકરણની જેમ, સહસંબંધ ઇન્ડેક્સ (R) સાથે પૂરક હોવું આવશ્યક છે.

બહુવિધ રીગ્રેસન માટે સહસંબંધ

નિર્ધારણનો ગુણાંક એ બહુવિધ સહસંબંધના વર્ગનું સૂચક છે. તે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી લાક્ષણિકતા સાથે પ્રસ્તુત સૂચકોના સમૂહના ગાઢ સંબંધ વિશે વાત કરે છે. તે પરિણામ પરના પરિમાણોના પ્રભાવની પ્રકૃતિ વિશે પણ વાત કરી શકે છે. આ સૂચકનો ઉપયોગ કરીને બહુવિધ રીગ્રેસન સમીકરણનો અંદાજ લગાવવામાં આવે છે.

બહુવિધ સહસંબંધ સૂચકની ગણતરી કરવા માટે, તેના અનુક્રમણિકાની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિ રીગ્રેસન પરિબળોનો અંદાજ કાઢવાનો એક માર્ગ છે. તેનો સાર એ છે કે કાર્ય પર પરિબળની અવલંબનને પરિણામે મેળવેલા ચોરસ વિચલનોનો સરવાળો ઓછો કરવો.

આવી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોડી પ્રમાણે રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણનો અંદાજ લગાવી શકાય છે. આ પ્રકારના સમીકરણોનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે સૂચકો વચ્ચે જોડી રેખીય સંબંધ શોધાય છે.

સમીકરણ પરિમાણો

રેખીય રીગ્રેસન કાર્યના દરેક પરિમાણનો ચોક્કસ અર્થ છે. જોડી કરેલ રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણ બે પરિમાણો ધરાવે છે: c અને m પરિમાણ m ફંક્શન y ના અંતિમ સૂચકમાં સરેરાશ ફેરફાર દર્શાવે છે, જો કે ચલ x એક પરંપરાગત એકમથી ઘટે (વધારે). જો ચલ x શૂન્ય હોય, તો ફંક્શન c પેરામીટરની બરાબર છે. જો ચલ x શૂન્ય ન હોય, તો પરિબળ c આર્થિક અર્થ ધરાવતું નથી. ફંક્શન પરનો એકમાત્ર પ્રભાવ એ પરિબળ c ની સામેનું ચિહ્ન છે. જો માઈનસ હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે પરિબળની સરખામણીમાં પરિણામમાં ફેરફાર ધીમો છે. જો ત્યાં વત્તા છે, તો આ પરિણામમાં ઝડપી ફેરફાર સૂચવે છે.

રીગ્રેશન સમીકરણના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરતા દરેક પરિમાણને સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પરિબળ c નું સ્વરૂપ c = y - mx છે.

જૂથબદ્ધ ડેટા

ત્યાં કાર્ય શરતો છે જેમાં તમામ માહિતીને લક્ષણ x દ્વારા જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે, પરંતુ ચોક્કસ જૂથ માટે આશ્રિત સૂચકના અનુરૂપ સરેરાશ મૂલ્યો સૂચવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સરેરાશ મૂલ્યો દર્શાવે છે કે x પર આધાર રાખીને સૂચક કેવી રીતે બદલાય છે. આમ, જૂથબદ્ધ માહિતી રીગ્રેશન સમીકરણ શોધવામાં મદદ કરે છે. તેનો ઉપયોગ સંબંધોના વિશ્લેષણ તરીકે થાય છે. જો કે, આ પદ્ધતિમાં તેની ખામીઓ છે. કમનસીબે, સરેરાશ સૂચકાંકો ઘણીવાર બાહ્ય વધઘટને આધિન હોય છે. આ વધઘટ સંબંધોની પેટર્નને પ્રતિબિંબિત કરતી નથી; સરેરાશ રેખીય રીગ્રેશન સમીકરણ કરતાં વધુ ખરાબ સંબંધોની પેટર્ન દર્શાવે છે. જો કે, તેઓનો ઉપયોગ સમીકરણ શોધવા માટેના આધાર તરીકે થઈ શકે છે. અનુરૂપ સરેરાશ દ્વારા વ્યક્તિગત વસ્તીની સંખ્યાને ગુણાકાર કરીને, વ્યક્તિ જૂથમાં y સરવાળો મેળવી શકે છે. આગળ, તમારે પ્રાપ્ત થયેલ તમામ રકમ ઉમેરવાની અને અંતિમ સૂચક y શોધવાની જરૂર છે. સરવાળા સૂચક xy સાથે ગણતરી કરવી થોડી વધુ મુશ્કેલ છે. જો અંતરાલ નાના હોય, તો આપણે શરતી રીતે તમામ એકમો (જૂથની અંદર) માટે x સૂચક સમાન હોઈ શકીએ છીએ. x અને y ના ઉત્પાદનોનો સરવાળો શોધવા માટે તમારે તેને y ના સરવાળા સાથે ગુણાકાર કરવો જોઈએ. આગળ, બધી રકમો એકસાથે ઉમેરવામાં આવે છે અને કુલ રકમ xy મેળવવામાં આવે છે.

બહુવિધ જોડી પ્રમાણે રીગ્રેસન સમીકરણ: સંબંધના મહત્વનું મૂલ્યાંકન

અગાઉ ચર્ચા કર્યા મુજબ, બહુવિધ રીગ્રેશન ફોર્મ y = f (x 1,x 2,…,x m)+E નું કાર્ય ધરાવે છે. મોટેભાગે, આવા સમીકરણનો ઉપયોગ ઉત્પાદન માટે પુરવઠા અને માંગની સમસ્યાને ઉકેલવા, પુનઃખરીદી કરેલ શેર પર વ્યાજની આવક અને ઉત્પાદન ખર્ચ કાર્યના કારણો અને પ્રકારનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે. તે વિવિધ પ્રકારના મેક્રોઇકોનોમિક અભ્યાસ અને ગણતરીઓમાં પણ સક્રિયપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે, પરંતુ સૂક્ષ્મ અર્થશાસ્ત્રના સ્તરે આ સમીકરણનો ઉપયોગ થોડો ઓછો વારંવાર થાય છે.

મલ્ટિપલ રીગ્રેસનનું મુખ્ય કાર્ય એ છે કે દરેક પરિબળો વ્યક્તિગત રીતે અને તેમની સંપૂર્ણતામાં જે સૂચક અને તેના ગુણાંકને મોડેલ કરવાની જરૂર છે તેના પર શું પ્રભાવ પાડે છે તે નિર્ધારિત કરવા માટે વિશાળ માત્રામાં માહિતી ધરાવતા ડેટાનું એક મોડેલ બનાવવું. રીગ્રેસન સમીકરણ વિવિધ મૂલ્યો લઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, સંબંધનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, સામાન્ય રીતે બે પ્રકારનાં કાર્યોનો ઉપયોગ થાય છે: રેખીય અને બિનરેખીય.

રેખીય કાર્ય નીચેના સંબંધના સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે: y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2, + ... + a m x m. આ કિસ્સામાં, a2, a m "શુદ્ધ" રીગ્રેસન ગુણાંક ગણવામાં આવે છે. અન્ય સૂચકોના સ્થિર મૂલ્યોની સ્થિતિ સાથે, દરેક અનુરૂપ પરિમાણ x માં એક એકમ દ્વારા ફેરફાર (ઘટાડો અથવા વધારો) સાથે પરિમાણ y માં સરેરાશ ફેરફારને દર્શાવવા માટે તેઓ જરૂરી છે.

બિનરેખીય સમીકરણોમાં, ઉદાહરણ તરીકે, પાવર ફંક્શનનું સ્વરૂપ y=ax 1 b1 x 2 b2 ...x m bm છે. આ કિસ્સામાં, સૂચકાંકો b 1, b 2 ..... b m ને સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, તેઓ દર્શાવે છે કે અનુરૂપ સૂચક x માં 1% વધારો (ઘટાડો) સાથે પરિણામ કેવી રીતે બદલાશે (કેટલા% દ્વારા) અને અન્ય પરિબળોના સ્થિર સૂચક સાથે.

બહુવિધ રીગ્રેસન બનાવતી વખતે કયા પરિબળોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે

મલ્ટિપલ રીગ્રેશનને યોગ્ય રીતે બનાવવા માટે, કયા પરિબળો પર વિશેષ ધ્યાન આપવું જોઈએ તે શોધવાનું જરૂરી છે.

આર્થિક પરિબળો વચ્ચેના સંબંધોની પ્રકૃતિ અને જેનું મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે તેની થોડી સમજ હોવી જરૂરી છે. જે પરિબળોને સમાવવાની જરૂર પડશે તે નીચેના માપદંડોને પૂર્ણ કરવા આવશ્યક છે:

• જથ્થાત્મક માપનને આધીન હોવું આવશ્યક છે. ઑબ્જેક્ટની ગુણવત્તાનું વર્ણન કરતા પરિબળનો ઉપયોગ કરવા માટે, કોઈ પણ સંજોગોમાં તેને માત્રાત્મક સ્વરૂપ આપવું જોઈએ.
• પરિબળોનો કોઈ આંતરસંબંધ અથવા કાર્યાત્મક સંબંધ હોવો જોઈએ નહીં. આવી ક્રિયાઓ મોટાભાગે ઉલટાવી શકાય તેવા પરિણામો તરફ દોરી જાય છે - સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમ બિનશરતી બની જાય છે, અને આ તેની અવિશ્વસનીયતા અને અસ્પષ્ટ અંદાજોને સમાવે છે.
• વિશાળ સહસંબંધ સૂચકના કિસ્સામાં, સૂચકના અંતિમ પરિણામ પરના પરિબળોના અલગ-અલગ પ્રભાવને શોધવાનો કોઈ રસ્તો નથી, તેથી, સહગુણાંકો અર્થહીન બની જાય છે.

બાંધકામ પદ્ધતિઓ

ત્યાં ઘણી બધી પદ્ધતિઓ અને પદ્ધતિઓ છે જે સમજાવે છે કે તમે સમીકરણ માટે પરિબળો કેવી રીતે પસંદ કરી શકો છો. જો કે, આ બધી પદ્ધતિઓ સહસંબંધ સૂચકનો ઉપયોગ કરીને ગુણાંકની પસંદગી પર આધારિત છે. તેમની વચ્ચે છે:

• દૂર કરવાની પદ્ધતિ.
• સ્વિચિંગ પદ્ધતિ.
• તબક્કાવાર રીગ્રેસન વિશ્લેષણ.

પ્રથમ પદ્ધતિમાં કુલ સમૂહમાંથી તમામ ગુણાંકને ફિલ્ટર કરવાનો સમાવેશ થાય છે. બીજી પદ્ધતિમાં ઘણા વધારાના પરિબળોનો સમાવેશ થાય છે. ઠીક છે, ત્રીજું એ પરિબળોને દૂર કરવાનું છે જે અગાઉ સમીકરણ માટે ઉપયોગમાં લેવાતા હતા. આમાંની દરેક પદ્ધતિને અસ્તિત્વમાં રહેવાનો અધિકાર છે. તેમની પાસે તેમના ગુણદોષ છે, પરંતુ તેઓ બધા પોતાની રીતે બિનજરૂરી સૂચકાંકોને દૂર કરવાના મુદ્દાને હલ કરી શકે છે. એક નિયમ તરીકે, દરેક વ્યક્તિગત પદ્ધતિ દ્વારા પ્રાપ્ત પરિણામો તદ્દન નજીક છે.

બહુવિધ વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓ

પરિબળ નક્કી કરવા માટેની આવી પદ્ધતિઓ આંતરસંબંધિત લાક્ષણિકતાઓના વ્યક્તિગત સંયોજનોના વિચારણા પર આધારિત છે. આમાં ભેદભાવપૂર્ણ વિશ્લેષણ, આકારની ઓળખ, મુખ્ય ઘટક વિશ્લેષણ અને ક્લસ્ટર વિશ્લેષણનો સમાવેશ થાય છે. વધુમાં, ત્યાં પરિબળ વિશ્લેષણ પણ છે, પરંતુ તે ઘટક પદ્ધતિના વિકાસને કારણે દેખાય છે. તે બધા ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં લાગુ થાય છે, ચોક્કસ શરતો અને પરિબળોને આધિન.

સહસંબંધ વિશ્લેષણ દ્વારા ચલો વચ્ચેના આંકડાકીય સંબંધોની હાજરી અને તેમની નિકટતાની ડિગ્રીનું મૂલ્યાંકન કર્યા પછી, અમે સામાન્ય રીતે રીગ્રેસન વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ પ્રકારના નિર્ભરતાના ગાણિતિક વર્ણન તરફ આગળ વધીએ છીએ. આ હેતુ માટે, ફંક્શનનો વર્ગ પસંદ કરવામાં આવ્યો છે જે પરિણામી સૂચક y અને દલીલો x 1, x 2, ..., x k ને જોડે છે, સૌથી વધુ માહિતીપ્રદ દલીલો પસંદ કરવામાં આવી છે, પરિમાણોના અજાણ્યા મૂલ્યોના અંદાજો સંચાર સમીકરણની ગણતરી કરવામાં આવે છે, અને પરિણામી સમીકરણના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે.

ફંક્શન f(x 1, x 2,..., x k) દલીલોના આપેલ મૂલ્યો પર પરિણામી લાક્ષણિકતા y ના સરેરાશ મૂલ્યની અવલંબનનું વર્ણન કરે છે તેને રીગ્રેશન ફંક્શન (સમીકરણ) કહેવામાં આવે છે. શબ્દ "રીગ્રેસન" (લેટિન -રીગ્રેશન - પીછેહઠ, કંઈક પર પાછા ફરો) અંગ્રેજી મનોવિજ્ઞાની અને માનવશાસ્ત્રી એફ. ગાલ્ટન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને તે પ્રથમ વિશિષ્ટ ઉદાહરણોમાંના એકની વિશિષ્ટતા સાથે સંકળાયેલ છે જેમાં આ ખ્યાલનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આમ, ઊંચાઈની આનુવંશિકતાના પૃથ્થકરણના સંબંધમાં આંકડાકીય માહિતીની પ્રક્રિયા કરતી વખતે, એફ. ગાલ્ટને જાણવા મળ્યું કે જો પિતા તમામ પિતાની સરેરાશ ઊંચાઈથી x ઇંચથી વિચલિત થાય છે, તો તેમના પુત્રો તમામ પુત્રોની સરેરાશ ઊંચાઈથી x કરતાં ઓછી વિચલિત થાય છે. ઇંચ ઓળખાયેલ વલણને "મધ્યમાં રીગ્રેશન" કહેવામાં આવતું હતું. ત્યારથી, "રીગ્રેસન" શબ્દનો આંકડાકીય સાહિત્યમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, જો કે ઘણા કિસ્સાઓમાં તે આંકડાકીય અવલંબનની વિભાવનાને ચોક્કસ રીતે દર્શાવતું નથી.

રીગ્રેસન સમીકરણનું ચોક્કસ વર્ણન કરવા માટે, અસરકારક સૂચક y ના વિતરણ કાયદાને જાણવું જરૂરી છે. આંકડાકીય પ્રેક્ટિસમાં, વ્યક્તિએ સામાન્ય રીતે અજ્ઞાત સાચા રીગ્રેસન કાર્ય માટે યોગ્ય અંદાજની શોધમાં પોતાને મર્યાદિત રાખવું પડે છે, કારણ કે સંશોધકને આપેલ મૂલ્યો માટે વિશ્લેષણ કરેલ પરિણામી સૂચક y ના શરતી સંભાવના વિતરણ કાયદાનું ચોક્કસ જ્ઞાન હોતું નથી. દલીલ x.

ચાલો સાચા f(x) = M(y1x), મોડેલ રીગ્રેશન વચ્ચેના સંબંધને ધ્યાનમાં લઈએ? અને રીગ્રેશન અંદાજ y. અસરકારક સૂચક y ને સંબંધ દ્વારા દલીલ x સાથે સંબંધિત થવા દો:

જ્યાં એક રેન્ડમ ચલ છે જેનો સામાન્ય વિતરણ કાયદો છે, અને Me = 0 અને D e = y 2. આ કિસ્સામાં સાચું રીગ્રેશન ફંક્શન ફોર્મ ધરાવે છે: f (x) = M(y/x) = 2x 1.5.

ચાલો ધારીએ કે આપણે સાચા રીગ્રેસન સમીકરણનું ચોક્કસ સ્વરૂપ જાણતા નથી, પરંતુ આપણી પાસે yi = 2x1.5 + e સંબંધ દ્વારા સંબંધિત દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલના નવ અવલોકનો છે અને ફિગમાં પ્રસ્તુત છે. 1

આકૃતિ 1 - સત્ય f (x) અને સૈદ્ધાંતિકની સંબંધિત સ્થિતિ? રીગ્રેશન મોડલ્સ

ફિગમાં પોઈન્ટનું સ્થાન. 1 આપણને ફોર્મની રેખીય નિર્ભરતાના વર્ગ સુધી મર્યાદિત કરવાની મંજૂરી આપે છે? = 0 માં + 1 x માં. ન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે રીગ્રેસન સમીકરણ y = b 0 + b 1 x નો અંદાજ શોધીએ છીએ. સરખામણી માટે, ફિગમાં. 1 સાચા રીગ્રેશન ફંક્શન y = 2x 1.5 ના ગ્રાફ બતાવે છે, સૈદ્ધાંતિક અંદાજિત રીગ્રેસન કાર્ય? = 0 માં + 1 x માં .

અમે રીગ્રેશન ફંક્શનનો વર્ગ પસંદ કરવામાં ભૂલ કરી હોવાથી, અને આંકડાકીય સંશોધનની પ્રેક્ટિસમાં આ એકદમ સામાન્ય છે, અમારા આંકડાકીય તારણો અને અંદાજો ભૂલભરેલા સાબિત થશે. અને ભલે આપણે અવલોકનોની સંખ્યામાં કેટલો વધારો કરીએ, અમારો નમૂનો અંદાજ y સાચા રીગ્રેશન ફંક્શન f(x) ની નજીક નહીં હોય. જો આપણે રીગ્રેશન ફંક્શનનો વર્ગ યોગ્ય રીતે પસંદ કર્યો હોય, તો પછી f(x) નો ઉપયોગ કરીને વર્ણન કરવામાં અચોક્કસતા? માત્ર નમૂના મર્યાદાઓ દ્વારા સમજાવી શકાય છે.

શ્રેષ્ઠ પુનઃસ્થાપિત કરવા માટે, મૂળ આંકડાકીય માહિતીમાંથી, અસરકારક સૂચક y(x) અને અજ્ઞાત રીગ્રેશન ફંક્શન f(x) = M(y/x)નું શરતી મૂલ્ય, નીચેના પર્યાપ્તતા માપદંડ (નુકસાન કાર્યો) સૌથી વધુ છે. ઘણીવાર વપરાય છે.

ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ. તે મુજબ, મોડેલ મૂલ્યોમાંથી અસરકારક સૂચક y, (i = 1,2,..., n) ના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના વિચલનનો વર્ગ,? = f(x i), જ્યાં x i એ i-th અવલોકનમાં દલીલ વેક્ટરનું મૂલ્ય છે: ?(y i - f(x i) 2 > min. પરિણામી રીગ્રેશનને સરેરાશ ચોરસ કહેવામાં આવે છે.

સૌથી નાના મોડ્યુલોની પદ્ધતિ. તે મુજબ, મોડ્યુલર મૂલ્યોમાંથી અસરકારક સૂચકના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના સંપૂર્ણ વિચલનોનો સરવાળો ઓછો કરવામાં આવે છે. અને અમે મેળવીએ છીએ,? = f(x i), મતલબ સંપૂર્ણ મધ્ય રીગ્રેશન? |y i - f(x i)| >મિનિટ

રીગ્રેસન વિશ્લેષણ એ ચલ x j = (j = 1,2,..., k) પરના રેન્ડમ ચલ y ની અવલંબનના આંકડાકીય વિશ્લેષણની પદ્ધતિ છે, જેને રીગ્રેસન વિશ્લેષણમાં બિન-રેન્ડમ ચલ તરીકે ગણવામાં આવે છે, સાચા વિતરણ કાયદાને ધ્યાનમાં લીધા વગર x j નું.

સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે રેન્ડમ ચલ y પાસે શરતી અપેક્ષા y સાથે સામાન્ય વિતરણ કાયદો છે, જે દલીલોનું કાર્ય છે x/ (/ = 1, 2,..., k) અને સ્થિર ચલ y 2 થી સ્વતંત્ર દલીલો

સામાન્ય રીતે, રેખીય રીગ્રેશન વિશ્લેષણ મોડેલનું સ્વરૂપ છે:

વાય = Y k j=0વી j ts j(x 1 , x 2 . . .. ,x k)+ઇ

જ્યાં q j એ તેના ચલોનું અમુક કાર્ય છે - x 1, x 2. . .. ,x k, E એ શૂન્ય ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા y 2 સાથેનું રેન્ડમ ચલ છે.

રીગ્રેસન વિશ્લેષણમાં, રીગ્રેસન સમીકરણનો પ્રકાર અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાની ભૌતિક પ્રકૃતિ અને અવલોકનના પરિણામોના આધારે પસંદ કરવામાં આવે છે.

રીગ્રેસન સમીકરણના અજાણ્યા પરિમાણોના અંદાજો સામાન્ય રીતે ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. નીચે આપણે આ સમસ્યા પર વધુ વિગતવાર ધ્યાન આપીશું.

બાયવેરિયેટ રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણ. ચાલો, અભ્યાસ હેઠળની ઘટનાના પૃથ્થકરણના આધારે માની લઈએ કે "સરેરાશ" y એ x નું રેખીય કાર્ય છે, એટલે કે એક રીગ્રેશન સમીકરણ છે

y=M(y/x)=0 માં + 1 x માં)

જ્યાં M(y1x) એ આપેલ x માટે રેન્ડમ ચલ y ની શરતી ગાણિતિક અપેક્ષા છે; 0 અને 1 પર - સામાન્ય વસ્તીના અજાણ્યા પરિમાણો, જેનો અંદાજ નમૂના અવલોકનોના પરિણામોના આધારે હોવો જોઈએ.

ધારો કે 0 અને 1 પર પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટે, કદ n નો નમૂનો દ્વિ-પરિમાણીય વસ્તી (x, y)માંથી લેવામાં આવે છે, જ્યાં (x, y,) એ i-th અવલોકનનું પરિણામ છે (i = 1 , 2,..., n) . આ કિસ્સામાં, રીગ્રેસન વિશ્લેષણ મોડેલનું સ્વરૂપ છે:

y j = 0 માં + 1 x+e j માં .

જ્યાં e j સ્વતંત્ર છે સામાન્ય રીતે શૂન્ય ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિચલન y 2 સાથે રેન્ડમ ચલ વિતરિત થાય છે, એટલે કે M e j. = 0;

D e j .= y 2 બધા માટે i = 1, 2,..., n.

ઓછામાં ઓછી ચોરસ પદ્ધતિ અનુસાર, 0 અને 1 પર અજાણ્યા પરિમાણોના અંદાજ મુજબ, વ્યક્તિએ નમૂનાની લાક્ષણિકતાઓ b 0 અને b 1 ના આવા મૂલ્યો લેવા જોઈએ જે પરિણામી મૂલ્યોના વર્ગ વિચલનોના સરવાળાને ઘટાડે છે. શરતી ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી i માટે લાક્ષણિકતા? i

અમે સરેરાશ કદ અને આર્થિક પ્રવૃત્તિના સૂચકાંકો સાથેના સત્તર લાક્ષણિક સાહસોના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને એન્ટરપ્રાઇઝના નફા પર માર્કેટિંગ લાક્ષણિકતાઓના પ્રભાવને નિર્ધારિત કરવા માટેની પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈશું.

સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, નીચેની લાક્ષણિકતાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી, જે પ્રશ્નાવલી સર્વેક્ષણના પરિણામે સૌથી નોંધપાત્ર (મહત્વપૂર્ણ) તરીકે ઓળખાય છે:

* એન્ટરપ્રાઇઝની નવીન પ્રવૃત્તિ;

* ઉત્પાદિત ઉત્પાદનોની શ્રેણીનું આયોજન;

* કિંમત નીતિની રચના;

* જાહેર સંબંધો;

* વેચાણ સિસ્ટમ;

* કર્મચારી પ્રોત્સાહન સિસ્ટમ.

પરિબળો દ્વારા સરખામણીની સિસ્ટમના આધારે, સંલગ્નતાના ચોરસ મેટ્રિસિસ બનાવવામાં આવ્યા હતા, જેમાં દરેક પરિબળ માટે સંબંધિત પ્રાથમિકતાઓના મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં આવી હતી: એન્ટરપ્રાઇઝની નવીન પ્રવૃત્તિ, ઉત્પાદનોની શ્રેણીનું આયોજન, કિંમત નીતિની રચના, જાહેરાત , જનસંપર્ક, વેચાણ પ્રણાલી, કર્મચારી પ્રોત્સાહન સિસ્ટમ.

એન્ટરપ્રાઇઝ નિષ્ણાતોના સર્વેક્ષણના પરિણામે "જાહેર સાથેના સંબંધ" પરિબળ માટેની પ્રાથમિકતાઓના અંદાજો મેળવવામાં આવ્યા હતા. નીચેના સંકેતો સ્વીકારવામાં આવે છે: > (વધુ સારું), > (વધુ સારું અથવા સમાન), = (સમાન),< (хуже или одинаково), <

આગળ, એન્ટરપ્રાઇઝના માર્કેટિંગ સ્તરના વ્યાપક મૂલ્યાંકનની સમસ્યા હલ થઈ. સૂચકની ગણતરી કરતી વખતે, માનવામાં આવતી આંશિક લાક્ષણિકતાઓનું મહત્વ (વજન) નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું અને આંશિક સૂચકોના રેખીય સંક્રમણની સમસ્યા હલ કરવામાં આવી હતી. ખાસ વિકસિત પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ કરીને ડેટા પ્રોસેસિંગ હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું.

આગળ, એન્ટરપ્રાઇઝના માર્કેટિંગ સ્તરના વ્યાપક મૂલ્યાંકનની ગણતરી કરવામાં આવે છે - માર્કેટિંગ ગુણાંક, જે કોષ્ટક 1 માં દાખલ કરવામાં આવ્યો છે. વધુમાં, કોષ્ટકમાં સમગ્ર એન્ટરપ્રાઇઝને દર્શાવતા સૂચકાંકોનો સમાવેશ થાય છે. કોષ્ટકમાંના ડેટાનો ઉપયોગ રીગ્રેશન વિશ્લેષણ કરવા માટે કરવામાં આવશે. પરિણામી લક્ષણ નફો છે. માર્કેટિંગ ગુણાંક સાથે, નીચેના સૂચકાંકોનો પરિબળ સૂચક તરીકે ઉપયોગ થતો હતો: કુલ ઉત્પાદનનું પ્રમાણ, સ્થિર સંપત્તિની કિંમત, કર્મચારીઓની સંખ્યા અને વિશેષતા ગુણાંક.

કોષ્ટક 1 - રીગ્રેસન વિશ્લેષણ માટે પ્રારંભિક ડેટા

કોષ્ટક ડેટા અનુસાર અને સહસંબંધ ગુણાંકના સૌથી નોંધપાત્ર મૂલ્યો સાથેના પરિબળોના આધારે, પરિબળો પર નફાની અવલંબનના રીગ્રેસન કાર્યોનું નિર્માણ કરવામાં આવ્યું હતું.

અમારા કિસ્સામાં રીગ્રેસન સમીકરણ ફોર્મ લેશે:

નફાના જથ્થા પર ઉપર ચર્ચા કરેલ પરિબળોનો જથ્થાત્મક પ્રભાવ રીગ્રેસન સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તેઓ દર્શાવે છે કે જ્યારે પરિબળ લાક્ષણિકતા એક એકમ દ્વારા બદલાય છે ત્યારે તેની કિંમત કેટલા હજાર રુબેલ્સ બદલાય છે. સમીકરણમાંથી નીચે મુજબ, એક એકમ દ્વારા માર્કેટિંગ મિશ્રણ ગુણાંકમાં વધારો નફામાં 1547.7 હજાર રુબેલ્સનો વધારો આપે છે. આ સૂચવે છે કે માર્કેટિંગ પ્રવૃત્તિઓમાં સુધારો એ એન્ટરપ્રાઇઝના આર્થિક પ્રદર્શનમાં સુધારો કરવાની પ્રચંડ સંભાવના ધરાવે છે.

માર્કેટિંગ અસરકારકતાનો અભ્યાસ કરતી વખતે, સૌથી રસપ્રદ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિબળ એ પરિબળ X5 છે - માર્કેટિંગ ગુણાંક. આંકડાશાસ્ત્રના સિદ્ધાંત અનુસાર, હાલના બહુવિધ રીગ્રેસન સમીકરણનો ફાયદો એ માર્કેટિંગ પરિબળ સહિત દરેક પરિબળના અલગ પ્રભાવનું મૂલ્યાંકન કરવાની ક્ષમતા છે.

રીગ્રેશન વિશ્લેષણના પરિણામોમાં સમીકરણના પરિમાણોની ગણતરી કરતાં વધુ વ્યાપક એપ્લિકેશન છે. (Kef) એન્ટરપ્રાઇઝને પ્રમાણમાં વધુ સારા કે પ્રમાણમાં ખરાબ તરીકે વર્ગીકૃત કરવાનો માપદંડ પરિણામના સંબંધિત સૂચક પર આધારિત છે:

જ્યાં Y facti એ i-th એન્ટરપ્રાઇઝનું વાસ્તવિક મૂલ્ય છે, હજાર રુબેલ્સ;

Y ગણતરી - i-th એન્ટરપ્રાઇઝના નફાની રકમ, રીગ્રેસન સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી દ્વારા મેળવવામાં આવે છે

સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાના સંદર્ભમાં, મૂલ્યને "કાર્યક્ષમતા ગુણાંક" કહેવામાં આવે છે. એન્ટરપ્રાઇઝની પ્રવૃત્તિ એવા કિસ્સાઓમાં અસરકારક ગણી શકાય કે જ્યાં ગુણાંકનું મૂલ્ય એક કરતા વધારે હોય. આનો અર્થ એ છે કે વાસ્તવિક નફો નમૂના પરના સરેરાશ નફા કરતા વધારે છે.

વાસ્તવિક અને અંદાજિત નફાના મૂલ્યો કોષ્ટકમાં પ્રસ્તુત છે. 2.

કોષ્ટક 2 - રીગ્રેસન મોડેલમાં પરિણામી લાક્ષણિકતાનું વિશ્લેષણ

કોષ્ટકનું વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે અમારા કિસ્સામાં, સમીક્ષા હેઠળના સમયગાળા માટે એન્ટરપ્રાઇઝ 3, 5, 7, 9, 12, 14, 15, 17 ની પ્રવૃત્તિઓ સફળ ગણી શકાય.

રીગ્રેસન વિશ્લેષણ એ આંકડાકીય સંશોધનની સૌથી લોકપ્રિય પદ્ધતિઓમાંની એક છે. તેનો ઉપયોગ આશ્રિત ચલ પર સ્વતંત્ર ચલોના પ્રભાવની ડિગ્રી સ્થાપિત કરવા માટે થઈ શકે છે. માઈક્રોસોફ્ટ એક્સેલ પાસે આ પ્રકારનું વિશ્લેષણ કરવા માટે રચાયેલ સાધનો છે. ચાલો જોઈએ કે તેઓ શું છે અને તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો.

પરંતુ, ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવા માટે જે તમને રીગ્રેસન વિશ્લેષણ કરવા માટે પરવાનગી આપે છે, તમારે પ્રથમ વિશ્લેષણ પેકેજ સક્રિય કરવાની જરૂર છે. ત્યારે જ આ પ્રક્રિયા માટે જરૂરી સાધનો એક્સેલ રિબન પર દેખાશે.

હવે જ્યારે આપણે ટેબ પર જઈએ "ડેટા", ટૂલબોક્સમાં રિબન પર "વિશ્લેષણ"આપણે એક નવું બટન જોશું - "ડેટા વિશ્લેષણ".

રીગ્રેશન એનાલિસિસના પ્રકાર

રીગ્રેશનના ઘણા પ્રકારો છે:

• પેરાબોલિક
• શામક;
• લઘુગણક
• ઘાતાંકીય;
• પ્રદર્શનકારી
• અતિશય
• રેખીય રીગ્રેસન.

અમે પછીથી Excel માં છેલ્લા પ્રકારનું રીગ્રેસન વિશ્લેષણ કરવા વિશે વધુ વિગતવાર વાત કરીશું.

એક્સેલમાં લીનિયર રીગ્રેશન

નીચે, ઉદાહરણ તરીકે, બહારનું સરેરાશ દૈનિક હવાનું તાપમાન અને સંબંધિત કામકાજના દિવસ માટે સ્ટોર ગ્રાહકોની સંખ્યા દર્શાવતું કોષ્ટક છે. ચાલો રીગ્રેશન વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને શોધી કાઢીએ કે હવાના તાપમાનના સ્વરૂપમાં હવામાનની સ્થિતિ છૂટક સંસ્થાની હાજરીને કેવી રીતે અસર કરી શકે છે.

સામાન્ય રેખીય રીગ્રેશન સમીકરણ નીચે મુજબ છે: Y = a0 + a1x1 +…+ akhk. આ સૂત્રમાં વાયચલનો અર્થ થાય છે, પરિબળોનો પ્રભાવ જેના પર આપણે અભ્યાસ કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છીએ. અમારા કિસ્સામાં, આ ખરીદદારોની સંખ્યા છે. અર્થ xચલને પ્રભાવિત કરતા વિવિધ પરિબળો છે. વિકલ્પો aરીગ્રેસન ગુણાંક છે. એટલે કે, તેઓ તે છે જે ચોક્કસ પરિબળનું મહત્વ નક્કી કરે છે. અનુક્રમણિકા kઆ સમાન પરિબળોની કુલ સંખ્યા દર્શાવે છે.

વિશ્લેષણ પરિણામો વિશ્લેષણ

રીગ્રેસન વિશ્લેષણના પરિણામો સેટિંગ્સમાં ઉલ્લેખિત સ્થાન પર કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં પ્રદર્શિત થાય છે.

મુખ્ય સૂચકોમાંનું એક છે આર-ચોરસ. તે મોડેલની ગુણવત્તા સૂચવે છે. અમારા કિસ્સામાં, આ ગુણાંક 0.705 અથવા લગભગ 70.5% છે. આ ગુણવત્તાનું સ્વીકાર્ય સ્તર છે. 0.5 કરતા ઓછી અવલંબન ખરાબ છે.

અન્ય મહત્વપૂર્ણ સૂચક રેખાના આંતરછેદ પરના કોષમાં સ્થિત છે "વાય-છેદન"અને કૉલમ "ઓડ્સ". આ સૂચવે છે કે Y ની કિંમત શું હશે, અને અમારા કિસ્સામાં, આ ખરીદદારોની સંખ્યા છે, અન્ય તમામ પરિબળો શૂન્ય સમાન છે. આ કોષ્ટકમાં, આ મૂલ્ય 58.04 છે.

ગ્રાફના આંતરછેદ પરનું મૂલ્ય "ચલ X1"અને "ઓડ્સ" X પર Y ની અવલંબનનું સ્તર દર્શાવે છે. અમારા કિસ્સામાં, આ તાપમાન પર સ્ટોર ગ્રાહકોની સંખ્યાની અવલંબનનું સ્તર છે. 1.31 ના ગુણાંકને એકદમ ઉચ્ચ પ્રભાવ સૂચક માનવામાં આવે છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, માઈક્રોસોફ્ટ એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેશન એનાલિસિસ ટેબલ બનાવવું એકદમ સરળ છે. પરંતુ માત્ર એક પ્રશિક્ષિત વ્યક્તિ જ આઉટપુટ ડેટા સાથે કામ કરી શકે છે અને તેના સારને સમજી શકે છે.

1908 ની તેમની કૃતિઓમાં. તેણે રિયલ એસ્ટેટ વેચતા એજન્ટના કામના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને તેનું વર્ણન કર્યું. તેમના રેકોર્ડ્સમાં, હાઉસ સેલ્સ નિષ્ણાત દરેક ચોક્કસ બિલ્ડિંગ માટે ઇનપુટ ડેટાની વિશાળ શ્રેણીનો ટ્રૅક રાખતા હતા. હરાજીના પરિણામોના આધારે, તે નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું કે વ્યવહારની કિંમત પર કયા પરિબળનો સૌથી વધુ પ્રભાવ હતો.

મોટી સંખ્યામાં વ્યવહારોના વિશ્લેષણથી રસપ્રદ પરિણામો મળ્યા. અંતિમ કિંમત ઘણા પરિબળોથી પ્રભાવિત હતી, કેટલીકવાર વિરોધાભાસી તારણો તરફ દોરી જાય છે અને જ્યારે ઉચ્ચ પ્રારંભિક સંભવિતતા ધરાવતા ઘરને ઓછી કિંમતે વેચવામાં આવે ત્યારે સ્પષ્ટ "આઉટલીયર" પણ થાય છે.

આવા વિશ્લેષણની અરજીનું બીજું ઉદાહરણ એ છે કે જેનું કામ કર્મચારીનું મહેનતાણું નક્કી કરવા માટે સોંપવામાં આવ્યું હતું. કાર્યની જટિલતા એ હકીકતમાં રહેલી છે કે તેને દરેકને નિશ્ચિત રકમનું વિતરણ કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ ચોક્કસ કાર્ય સાથે તેના કડક પત્રવ્યવહારની જરૂર છે. વ્યવહારિક રીતે સમાન ઉકેલો સાથે ઘણી સમસ્યાઓના ઉદભવ માટે ગાણિતિક સ્તરે તેનો વધુ વિગતવાર અભ્યાસ જરૂરી છે.

"રીગ્રેસન વિશ્લેષણ" વિભાગને એક નોંધપાત્ર સ્થાન ફાળવવામાં આવ્યું હતું, જે રીગ્રેસનની વિભાવના હેઠળ આવતી અવલંબનનો અભ્યાસ કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી વ્યવહારિક પદ્ધતિઓને જોડે છે. આંકડાકીય અભ્યાસોમાંથી મેળવેલા ડેટા વચ્ચે આ સંબંધો જોવા મળે છે.

હલ કરવાના ઘણા કાર્યો પૈકી, મુખ્ય લક્ષ્યો ત્રણ છે: સામાન્ય રીગ્રેસન સમીકરણનું નિર્ધારણ; રીગ્રેસન સમીકરણનો ભાગ હોય તેવા અજ્ઞાત પરિમાણોના અંદાજો બાંધવા; આંકડાકીય રીગ્રેસન પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ. પ્રાયોગિક અવલોકનોના પરિણામે મેળવેલા જથ્થાની જોડી વચ્ચેના સંબંધના અભ્યાસ દરમિયાન અને પ્રકાર (x1, y1), ..., (xn, yn) ની શ્રેણી (સમૂહ) ની રચના કરતી વખતે, તેઓ પર આધાર રાખે છે. રીગ્રેશન થિયરીની જોગવાઈઓ અને ધારો કે એક જથ્થા Y માટે ચોક્કસ સંભાવના વિતરણ છે, જ્યારે અન્ય X નિશ્ચિત રહે છે.

પરિણામ Y ચલ X ના મૂલ્ય પર આધારિત છે; આ નિર્ભરતા વિવિધ પેટર્ન દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે, જ્યારે પ્રાપ્ત પરિણામોની ચોકસાઈ અવલોકનોની પ્રકૃતિ અને વિશ્લેષણના હેતુથી પ્રભાવિત થાય છે. પ્રાયોગિક મોડલ અમુક ધારણાઓ પર આધારિત છે જે સરળ પરંતુ બુદ્ધિગમ્ય છે. મુખ્ય શરત એ છે કે પરિમાણ X એ નિયંત્રિત જથ્થો છે. તેના મૂલ્યો પ્રયોગની શરૂઆત પહેલાં સેટ કરવામાં આવે છે.

જો પ્રયોગ દરમિયાન અનિયંત્રિત ચલોની જોડી XY નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, તો રીગ્રેશન વિશ્લેષણ એ જ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે, પરંતુ પરિણામોનું અર્થઘટન કરવા માટે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે દરમિયાન અભ્યાસ હેઠળના રેન્ડમ ચલોના સંબંધનો ગાણિતિક આંકડાઓની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે અમૂર્ત વિષય નથી. તેઓ માનવ પ્રવૃત્તિના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં જીવનમાં એપ્લિકેશન શોધે છે.

વૈજ્ઞાનિક સાહિત્યમાં, ઉપરોક્ત પદ્ધતિને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે રેખીય રીગ્રેસન વિશ્લેષણ શબ્દનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ચલ X માટે, રીગ્રેસર અથવા પ્રિડિક્ટર શબ્દનો ઉપયોગ થાય છે, અને આશ્રિત Y ચલોને માપદંડ ચલો પણ કહેવામાં આવે છે. આ પરિભાષા ચલોની માત્ર ગાણિતિક અવલંબનને પ્રતિબિંબિત કરે છે, પરંતુ કારણ-અને-અસર સંબંધને નહીં.

રીગ્રેશન વિશ્લેષણ એ વિવિધ પ્રકારના અવલોકનોના પરિણામોની પ્રક્રિયામાં ઉપયોગમાં લેવાતી સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ભૌતિક અને જૈવિક અવલંબનનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તે અર્થશાસ્ત્ર અને તકનીક બંનેમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. અન્ય ઘણા ક્ષેત્રો રીગ્રેસન વિશ્લેષણ મોડેલોનો ઉપયોગ કરે છે. ભિન્નતાનું વિશ્લેષણ અને બહુવિધ આંકડાકીય વિશ્લેષણ અભ્યાસની આ પદ્ધતિ સાથે નજીકથી કામ કરે છે.