આંકડાઓમાં વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

ઘણીવાર મૂલ્યાંકનકર્તાએ તે સેગમેન્ટના રિયલ એસ્ટેટ માર્કેટનું વિશ્લેષણ કરવાનું હોય છે જેમાં મિલકતનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે. જો બજાર વિકસિત હોય, તો પ્રસ્તુત ઑબ્જેક્ટ્સના સમગ્ર સમૂહનું વિશ્લેષણ કરવું મુશ્કેલ બની શકે છે, તેથી વિશ્લેષણ માટે ઑબ્જેક્ટના નમૂનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ નમૂનો હંમેશા એકરૂપ થતો નથી; કેટલીકવાર તેને આત્યંતિક મુદ્દાઓ - ખૂબ ઊંચા અથવા ખૂબ નીચા બજાર ઑફર્સથી સાફ કરવું જરૂરી છે. આ હેતુ માટે તેનો ઉપયોગ થાય છે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. આ અભ્યાસનો હેતુ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી માટે બે પદ્ધતિઓનું તુલનાત્મક વિશ્લેષણ કરવાનો છે અને estimatica.pro સિસ્ટમમાં વિવિધ નમૂનાઓ સાથે કામ કરતી વખતે શ્રેષ્ઠ ગણતરી વિકલ્પ પસંદ કરવાનો છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ એ નમૂનાના આધારે ગણવામાં આવતા વિશેષતા મૂલ્યોનું અંતરાલ છે, જે જાણીતી સંભાવના સાથે સામાન્ય વસ્તીના અંદાજિત પરિમાણ ધરાવે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાનો મુદ્દો એ છે કે નમૂના ડેટાના આધારે આવા અંતરાલનું નિર્માણ કરવું જેથી તે આપેલ સંભાવના સાથે કહી શકાય કે અંદાજિત પરિમાણનું મૂલ્ય આ અંતરાલમાં છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિશ્વાસ અંતરાલ ચોક્કસ સંભાવના સાથે અંદાજિત મૂલ્યનું અજ્ઞાત મૂલ્ય ધરાવે છે. અંતરાલ જેટલો વિશાળ છે, તેટલી અચોક્કસતા વધારે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરવા માટે વિવિધ પદ્ધતિઓ છે. આ લેખમાં આપણે 2 પદ્ધતિઓ જોઈશું:

• મધ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલન દ્વારા;
• ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી ગુણાંક) ના નિર્ણાયક મૂલ્ય દ્વારા.

CI ની ગણતરી માટે વિવિધ પદ્ધતિઓના તુલનાત્મક વિશ્લેષણના તબક્કાઓ:

1. ડેટા સેમ્પલ બનાવવું;

2. અમે આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેની પ્રક્રિયા કરીએ છીએ: અમે સરેરાશ મૂલ્ય, મધ્ય, વિચલન, વગેરેની ગણતરી કરીએ છીએ;

3. બે રીતે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરો;

4. સાફ કરેલા નમૂનાઓ અને પરિણામી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોનું વિશ્લેષણ કરો.

સ્ટેજ 1. ડેટા સેમ્પલિંગ

estimatica.pro સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાની રચના કરવામાં આવી હતી. નમૂનામાં "ખ્રુશ્ચેવ" પ્રકારના લેઆઉટ સાથે 3જી પ્રાઇસ ઝોનમાં 1-રૂમના એપાર્ટમેન્ટના વેચાણ માટેની 91 ઑફરોનો સમાવેશ થાય છે.

કોષ્ટક 1. પ્રારંભિક નમૂના

ફિગ.1. પ્રારંભિક નમૂના

સ્ટેજ 2. પ્રારંભિક નમૂનાની પ્રક્રિયા

આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાની પ્રક્રિયા કરવા માટે નીચેના મૂલ્યોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે:

1. અંકગણિત સરેરાશ

2. મધ્યક - નમૂનાનું લક્ષણ દર્શાવતી સંખ્યા: નમૂનાના ઘટકોનો બરાબર અડધો ભાગ મધ્યક કરતાં મોટો છે, બાકીનો અડધો ભાગ મધ્યક કરતાં ઓછો છે

(મૂલ્યોની વિચિત્ર સંખ્યાવાળા નમૂના માટે)

3. શ્રેણી - નમૂનામાં મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત

4. ભિન્નતા - ડેટાની વિવિધતાનો વધુ ચોક્કસ અંદાજ કાઢવા માટે વપરાય છે

5. નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન (ત્યારબાદ - SD) એ અંકગણિત સરેરાશની આસપાસ ગોઠવણ મૂલ્યોના વિક્ષેપનું સૌથી સામાન્ય સૂચક છે.

6. વિવિધતાનો ગુણાંક - ગોઠવણ મૂલ્યોના સ્કેટરિંગની ડિગ્રીને પ્રતિબિંબિત કરે છે

7. ઓસિલેશન ગુણાંક - સરેરાશની આસપાસના નમૂનામાં આત્યંતિક કિંમત મૂલ્યોની સંબંધિત વધઘટને પ્રતિબિંબિત કરે છે

કોષ્ટક 2. મૂળ નમૂનાના આંકડાકીય સૂચકાંકો

વિવિધતાનો ગુણાંક, જે ડેટાની એકરૂપતાને દર્શાવે છે, તે 12.29% છે, પરંતુ ઓસિલેશનનો ગુણાંક ખૂબ વધારે છે. આમ, આપણે કહી શકીએ કે મૂળ નમૂનો એકરૂપ નથી, તેથી ચાલો વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા આગળ વધીએ.

સ્ટેજ 3. કોન્ફિડન્સ અંતરાલની ગણતરી

પદ્ધતિ 1. મધ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નીચે પ્રમાણે નક્કી કરવામાં આવે છે: ન્યૂનતમ મૂલ્ય - પ્રમાણભૂત વિચલન મધ્યમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે; મહત્તમ મૂલ્ય - પ્રમાણભૂત વિચલન મધ્યમાં ઉમેરવામાં આવે છે.

આમ, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ (47179 CU; 60689 CU)

ચોખા. 2. વિશ્વાસ અંતરાલમાં આવતા મૂલ્યો 1.

પદ્ધતિ 2. ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી ગુણાંક) ના નિર્ણાયક મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવવો

એસ.વી. ગ્રિબોવ્સ્કી તેમના પુસ્તક "સંપત્તિ મૂલ્યના અંદાજ માટે ગાણિતિક પદ્ધતિઓ" માં વિદ્યાર્થી ગુણાંક દ્વારા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિનું વર્ણન કરે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતી વખતે, અંદાજકર્તાએ પોતે જ મહત્ત્વનું સ્તર ∝ સેટ કરવું જોઈએ, જે સંભવિતતા નક્કી કરે છે કે જેની સાથે વિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવામાં આવશે. સામાન્ય રીતે, 0.1 ના મહત્વના સ્તરોનો ઉપયોગ થાય છે; 0.05 અને 0.01. તેઓ 0.9 ની આત્મવિશ્વાસ સંભાવનાઓને અનુરૂપ છે; 0.95 અને 0.99. આ પદ્ધતિ સાથે, ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતાના સાચા મૂલ્યો વ્યવહારીક રીતે અજાણ હોવાનું માનવામાં આવે છે (જે વ્યવહારિક અંદાજની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે લગભગ હંમેશા સાચું હોય છે).

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સૂત્ર:

n - નમૂનાનું કદ;

મહત્વના સ્તર સાથે ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી વિતરણ) નું નિર્ણાયક મૂલ્ય ∝, સ્વતંત્રતા n-1 ની ડિગ્રીની સંખ્યા, જે વિશિષ્ટ આંકડાકીય કોષ્ટકો અથવા MS એક્સેલ (→"આંકડાકીય"→ STUDIST) નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે;

∝ - મહત્વ સ્તર, ∝=0.01 લો.

ચોખા. 2. વિશ્વાસ અંતરાલમાં આવતા મૂલ્યો 2.

સ્ટેજ 4. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે વિવિધ પદ્ધતિઓનું વિશ્લેષણ

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની બે પદ્ધતિઓ - મધ્ય અને વિદ્યાર્થીના ગુણાંક દ્વારા - અંતરાલોના વિવિધ મૂલ્યો તરફ દોરી જાય છે. તદનુસાર, અમને બે અલગ-અલગ ક્લીન સેમ્પલ મળ્યા.

કોષ્ટક 3. ત્રણ નમૂનાઓ માટે આંકડા.

કરવામાં આવેલ ગણતરીઓના આધારે, અમે કહી શકીએ કે વિવિધ પદ્ધતિઓ દ્વારા મેળવેલ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ મૂલ્યો એકબીજાને છેદે છે, તેથી તમે મૂલ્યાંકનકર્તાના વિવેકબુદ્ધિથી કોઈપણ ગણતરી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

જો કે, અમે માનીએ છીએ કે estimatica.pro સિસ્ટમમાં કામ કરતી વખતે, બજારના વિકાસની ડિગ્રીના આધારે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટેની પદ્ધતિ પસંદ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

• જો બજાર અવિકસિત છે, તો મધ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો, કારણ કે આ કિસ્સામાં નિવૃત્ત વસ્તુઓની સંખ્યા ઓછી છે;
• જો બજાર વિકસિત હોય, તો ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી ગુણાંક) ના નિર્ણાયક મૂલ્ય દ્વારા ગણતરી લાગુ કરો, કારણ કે મોટા પ્રારંભિક નમૂનાનું નિર્માણ શક્ય છે.

લેખ તૈયાર કરવા માટે નીચેનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો:

1. ગ્રિબોવ્સ્કી એસ.વી., સિવેટ્સ એસ.એ., લેવીકીના આઈ.એ. મિલકતના મૂલ્યનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેની ગાણિતિક પદ્ધતિઓ. મોસ્કો, 2014

2. સિસ્ટમ ડેટા estimatica.pro

સેવાનો હેતુ. આ સેવાનો ઉપયોગ કરીને, તમે નક્કી કરી શકો છો:

• સામાન્ય સરેરાશ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ, તફાવત માટે વિશ્વાસ અંતરાલ;
• પ્રમાણભૂત વિચલન માટે વિશ્વાસ અંતરાલ, સામાન્ય શેર માટે વિશ્વાસ અંતરાલ;

ઉદાહરણ નંબર 1. સામૂહિક ખેતરમાં, કુલ 1000 ઘેટાંના ટોળામાંથી, 100 ઘેટાંને પસંદગીયુક્ત નિયંત્રણ કાતરવામાં આવ્યું. પરિણામે, ઘેટાં દીઠ સરેરાશ 4.2 કિલો ઊન ક્લિપિંગની સ્થાપના કરવામાં આવી હતી. ઘેટાં દીઠ સરેરાશ ઊન ઉતારવાનું નક્કી કરતી વખતે નમૂનાની સરેરાશ ચોરસ ભૂલ 0.99 ની સંભાવના સાથે નક્કી કરો અને જો તફાવત 2.5 હોય તો શીયરિંગ મૂલ્ય સમાયેલ છે તે મર્યાદા. નમૂના બિન-પુનરાવર્તિત છે.
ઉદાહરણ નંબર 2. મોસ્કો ઉત્તરી કસ્ટમ્સની પોસ્ટ પર આયાતી ઉત્પાદનોના બેચમાંથી, ઉત્પાદન "A" ના 20 નમૂનાઓ રેન્ડમ પુનરાવર્તિત નમૂના દ્વારા લેવામાં આવ્યા હતા. પરીક્ષણના પરિણામે, નમૂનામાં ઉત્પાદન "A" ની સરેરાશ ભેજની સામગ્રી સ્થાપિત થઈ, જે 1% ના પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે 6% ની બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું.
આયાતી ઉત્પાદનોના સમગ્ર બેચમાં ઉત્પાદનની સરેરાશ ભેજ સામગ્રીની મર્યાદા 0.683 ની સંભાવના સાથે નક્કી કરો.
ઉદાહરણ નંબર 3. 36 વિદ્યાર્થીઓના સર્વેક્ષણમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે શૈક્ષણિક વર્ષ દરમિયાન તેમના દ્વારા વાંચવામાં આવેલા પાઠ્યપુસ્તકોની સરેરાશ સંખ્યા 6 જેટલી હતી. એક વિદ્યાર્થી દ્વારા પ્રતિ સેમેસ્ટર વાંચવામાં આવેલા પાઠ્યપુસ્તકોની સંખ્યા 6 ની સમાન પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે સામાન્ય વિતરણ કાયદો ધરાવે છે તેમ ધારી રહ્યા છીએ. : A) આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે 0 .99 અંતરાલ અંદાજની વિશ્વસનીયતા સાથે; બી) આપણે કેટલી સંભાવના સાથે કહી શકીએ કે આ નમૂનામાંથી ગણતરી કરાયેલ, પ્રતિ સેમેસ્ટર વિદ્યાર્થી દ્વારા વાંચવામાં આવતી પાઠ્યપુસ્તકોની સરેરાશ સંખ્યા, સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં ગાણિતિક અપેક્ષાથી 2 કરતાં વધુ નહીં વિચલિત થશે.

આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોનું વર્ગીકરણ

નમૂના પ્રકાર દ્વારા:

1. અનંત નમૂના માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ;
2. અંતિમ નમૂના માટે વિશ્વાસ અંતરાલ;

રેન્ડમ સેમ્પલિંગ માટે સરેરાશ સેમ્પલિંગ ભૂલની ગણતરી

સરેરાશ સેમ્પલિંગ ભૂલ ફોર્મ્યુલા
ફરીથી પસંદગી		બિન-પુનરાવર્તિત પસંદગી
સરેરાશ માટે	શેર માટે	સરેરાશ માટે	શેર માટે

સંપૂર્ણ રેન્ડમ સેમ્પલિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાના કદની ગણતરી માટેના સૂત્રો

આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોનો અંદાજ

આંકડા નીચેનાને ધ્યાનમાં લે છે બે મુખ્ય કાર્યો:

અમારી પાસે સેમ્પલ ડેટાના આધારે કેટલાક અંદાજો છે અને અમે અંદાજિત પેરામીટરનું સાચું મૂલ્ય ક્યાં છે તે વિશે કેટલાક સંભવિત નિવેદનો કરવા માંગીએ છીએ.

અમારી પાસે એક વિશિષ્ટ પૂર્વધારણા છે જે નમૂના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને પરીક્ષણ કરવાની જરૂર છે.

આ વિષયમાં આપણે પ્રથમ કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. ચાલો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની વ્યાખ્યા પણ રજૂ કરીએ.

આ વિષય પરની સામગ્રીનો અભ્યાસ કર્યા પછી, તમે:

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શું છે તે જાણો;

આંકડાકીય સમસ્યાઓનું વર્ગીકરણ કરવાનું શીખો;

આંકડાકીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અને સૉફ્ટવેર ટૂલ્સનો ઉપયોગ કરીને, આત્મવિશ્વાસના અંતરાલો બનાવવાની તકનીકમાં નિપુણતા મેળવો;

આંકડાકીય અંદાજોની ચોકસાઈના ચોક્કસ પરિમાણો હાંસલ કરવા માટે જરૂરી નમૂના માપો નક્કી કરવાનું શીખો.

નમૂનાની લાક્ષણિકતાઓનું વિતરણ

ઉપર ચર્ચા કર્યા મુજબ, રેન્ડમ ચલનું વિતરણ 0 અને 1 પરિમાણો સાથે પ્રમાણિત સામાન્ય વિતરણની નજીક છે. કારણ કે આપણે σ ની કિંમત જાણતા નથી, અમે તેને s ના અમુક અંદાજ સાથે બદલીએ છીએ. જથ્થામાં પહેલેથી જ અલગ વિતરણ છે, એટલે કે અથવા વિદ્યાર્થી વિતરણ, જે પરિમાણ n -1 (સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ વિતરણ સામાન્ય વિતરણની નજીક છે (જેટલું મોટું n, વિતરણોની નજીક).

ફિગ માં. 95
સ્વતંત્રતાના 30 ડિગ્રી સાથે વિદ્યાર્થી વિતરણ પ્રસ્તુત છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, તે સામાન્ય વિતરણની ખૂબ નજીક છે.

સામાન્ય વિતરણ NORMIDIST અને NORMINV સાથે કામ કરવા માટેના કાર્યોની જેમ જ, t-વિતરણ સાથે કામ કરવા માટેના કાર્યો છે - STUDIST (TDIST) અને STUDRASOBR (TINV). આ કાર્યોનો ઉપયોગ કરવાનું ઉદાહરણ STUDRASP.XLS (ટેમ્પલેટ અને સોલ્યુશન) ફાઇલમાં અને ફિગમાં જોઈ શકાય છે. 96
.

જેમ આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ, ગાણિતિક અપેક્ષાના અંદાજની ચોકસાઈ નક્કી કરવા માટે, આપણને ટી-વિતરણની જરૂર છે. અન્ય પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટે, જેમ કે વિચલન, વિવિધ વિતરણો જરૂરી છે. તેમાંથી બે એફ-વિતરણ અને છે x 2 -વિતરણ.

સરેરાશ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ- આ એક અંતરાલ છે જે પરિમાણના અંદાજિત મૂલ્યની આસપાસ બાંધવામાં આવે છે અને દર્શાવે છે કે અંદાજિત પરિમાણનું સાચું મૂલ્ય પ્રાથમિક રીતે નિર્દિષ્ટ સંભાવના સાથે ક્યાં સ્થિત છે.

સરેરાશ મૂલ્ય માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનું નિર્માણ થાય છે નીચે પ્રમાણે:

ઉદાહરણ

ફાસ્ટ ફૂડ રેસ્ટોરન્ટ નવા પ્રકારની સેન્ડવીચ સાથે તેની શ્રેણીને વિસ્તૃત કરવાની યોજના ધરાવે છે. તેની માંગનો અંદાજ લગાવવા માટે, મેનેજર તે લોકોમાંથી 40 મુલાકાતીઓને અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવાની યોજના ધરાવે છે જેમણે પહેલેથી જ તેનો પ્રયાસ કર્યો છે અને તેમને નવા ઉત્પાદન પ્રત્યેના તેમના વલણને 1 થી 10 ના સ્કેલ પર રેટ કરવાનું કહે છે. મેનેજર અપેક્ષિત અંદાજ કાઢવા માંગે છે. પોઈન્ટની સંખ્યા કે જે નવી પ્રોડક્ટ પ્રાપ્ત કરશે અને આ અંદાજ માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલ બનાવશે. આ કેવી રીતે કરવું? (ફાઈલ જુઓ SANDWICH1.XLS (નમૂનો અને ઉકેલ).

ઉકેલ

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે તમે ઉપયોગ કરી શકો છો. પરિણામો ફિગમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. 97
.

કુલ મૂલ્ય માટે વિશ્વાસ અંતરાલ

કેટલીકવાર, નમૂનાના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, ગાણિતિક અપેક્ષાનો નહીં, પરંતુ મૂલ્યોના કુલ સરવાળાનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઑડિટર સાથેની પરિસ્થિતિમાં, વ્યાજ સરેરાશ એકાઉન્ટ કદના અંદાજમાં નહીં, પરંતુ તમામ એકાઉન્ટ્સના સરવાળામાં હોઈ શકે છે.

ચાલો N એ તત્વોની કુલ સંખ્યા હોઈ, n નમૂનાનું કદ હોઈ શકે, T 3 એ નમૂનામાંના મૂલ્યોનો સરવાળો હોય, T" સમગ્ર વસ્તીના સરવાળા માટેનો અંદાજ હોય, પછી , અને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે, જ્યાં s એ નમૂના માટે પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ છે, અને નમૂના માટે સરેરાશનો અંદાજ છે.

ઉદાહરણ

ધારો કે એક ટેક્સ એજન્સી 10,000 કરદાતાઓ માટે કુલ ટેક્સ રિફંડનો અંદાજ કાઢવા માંગે છે. કરદાતા કાં તો રિફંડ મેળવે છે અથવા વધારાના કર ચૂકવે છે. રિફંડની રકમ માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલ શોધો, 500 લોકોના નમૂનાનું કદ ધારીને (રિફંડની AMOUNT.XLS ફાઇલ જુઓ (નમૂનો અને ઉકેલ).

ઉકેલ

સ્ટેટપ્રો પાસે આ કેસ માટે ખાસ પ્રક્રિયા નથી, જો કે, એ નોંધી શકાય છે કે ઉપરોક્ત સૂત્રોના આધારે સરેરાશ માટે સીમાઓમાંથી સીમાઓ મેળવી શકાય છે (ફિગ. 98
).

પ્રમાણ માટે વિશ્વાસ અંતરાલ

p એ ક્લાયન્ટના શેરની ગાણિતિક અપેક્ષા હોવા દો, અને p b ને કદ n ના નમૂનામાંથી મેળવેલ આ શેરનો અંદાજ દો. તે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે બતાવી શકાય છે ગાણિતિક અપેક્ષા p અને પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે આકારણી વિતરણ સામાન્યની નજીક હશે . આ કિસ્સામાં અંદાજની પ્રમાણભૂત ભૂલ આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવી છે , અને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ આટલો છે .

ઉદાહરણ

ફાસ્ટ ફૂડ રેસ્ટોરન્ટ નવા પ્રકારની સેન્ડવીચ સાથે તેની શ્રેણીને વિસ્તૃત કરવાની યોજના ધરાવે છે. તેની માંગનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, મેનેજરે અવ્યવસ્થિત રીતે 40 મુલાકાતીઓની પસંદગી કરી હતી જેમણે પહેલેથી જ તેનો પ્રયાસ કર્યો હતો અને તેમને નવા ઉત્પાદન પ્રત્યેના તેમના વલણને 1 થી 10 ના સ્કેલ પર રેટ કરવાનું કહ્યું હતું. મેનેજર તેના અપેક્ષિત પ્રમાણનો અંદાજ કાઢવા માંગે છે. જે ગ્રાહકો નવી પ્રોડક્ટને ઓછામાં ઓછા 6 પોઈન્ટથી રેટ કરે છે (તેને અપેક્ષા છે કે આ ગ્રાહકો નવા ઉત્પાદનના ગ્રાહકો હશે).

ઉકેલ

શરૂઆતમાં, જો ક્લાયંટનું રેટિંગ 6 પોઈન્ટથી વધુ હોય અને અન્યથા 0 હોય તો અમે એટ્રિબ્યુટ 1 પર આધારિત નવી કૉલમ બનાવીએ છીએ (ફાઈલ SANDWICH2.XLS (ટેમ્પલેટ અને સોલ્યુશન) જુઓ.

પદ્ધતિ 1

1 ની સંખ્યાની ગણતરી કરીને, અમે શેરનો અંદાજ લગાવીએ છીએ, અને પછી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

zcr મૂલ્ય વિશેષ સામાન્ય વિતરણ કોષ્ટકોમાંથી લેવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, 95% વિશ્વાસ અંતરાલ માટે 1.96).

95% અંતરાલ બનાવવા માટે આ અભિગમ અને વિશિષ્ટ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેના પરિણામો મેળવીએ છીએ (ફિગ. 99
). zcr પરિમાણનું નિર્ણાયક મૂલ્ય 1.96 છે. અંદાજની પ્રમાણભૂત ભૂલ 0.077 છે. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની નીચલી મર્યાદા 0.475 છે. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ઉપલી મર્યાદા 0.775 છે. આમ, મેનેજરને 95% વિશ્વાસ સાથે વિશ્વાસ કરવાનો અધિકાર છે કે નવા ઉત્પાદનને 6 પોઈન્ટ અથવા તેનાથી વધુ રેટ કરનારા ગ્રાહકોની ટકાવારી 47.5 અને 77.5 ની વચ્ચે હશે.

પદ્ધતિ 2

આ સમસ્યા પ્રમાણભૂત StatPro સાધનોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. આ કરવા માટે, તે નોંધવું પૂરતું છે કે આ કિસ્સામાં શેર પ્રકાર કૉલમના સરેરાશ મૂલ્ય સાથે એકરુપ છે. આગળ અમે અરજી કરીએ છીએ સ્ટેટપ્રો/આંકડાકીય અનુમાન/એક-નમૂના વિશ્લેષણપ્રકાર કૉલમ માટે સરેરાશ (ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ)નો વિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવો. આ કિસ્સામાં પ્રાપ્ત પરિણામો 1 લી પદ્ધતિ (ફિગ. 99) ના પરિણામોની ખૂબ નજીક હશે.

પ્રમાણભૂત વિચલન માટે વિશ્વાસ અંતરાલ

s નો ઉપયોગ પ્રમાણભૂત વિચલનના અંદાજ તરીકે થાય છે (સૂત્ર વિભાગ 1 માં આપવામાં આવ્યું છે). અંદાજ s નું ઘનતા કાર્ય એ ચી-સ્ક્વેર ફંક્શન છે, જે t-વિતરણની જેમ, સ્વતંત્રતાના n-1 ડિગ્રી ધરાવે છે. આ વિતરણ CHIDIST અને CHIINV સાથે કામ કરવા માટે વિશેષ કાર્યો છે.

આ કિસ્સામાં આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ હવે સપ્રમાણ રહેશે નહીં. પરંપરાગત સીમા રેખાકૃતિ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 100.

ઉદાહરણ

મશીનને 10 સે.મી.ના વ્યાસવાળા ભાગો બનાવવા જોઈએ, જો કે, વિવિધ સંજોગોને લીધે, ભૂલો થાય છે. ગુણવત્તા નિયંત્રક બે સંજોગો વિશે ચિંતિત છે: પ્રથમ, સરેરાશ મૂલ્ય 10 સેમી હોવું જોઈએ; બીજું, આ કિસ્સામાં પણ, જો વિચલનો મોટા હોય, તો ઘણા ભાગોને નકારવામાં આવશે. દરરોજ તે 50 ભાગોના નમૂના બનાવે છે (જુઓ ફાઇલ ગુણવત્તા નિયંત્રણ. એક્સએલએસ (ટેમ્પલેટ અને સોલ્યુશન). આવા નમૂના શું તારણો આપી શકે?

ઉકેલ

ચાલો સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવીએ સ્ટેટપ્રો/આંકડાકીય અનુમાન/એક-નમૂના વિશ્લેષણ(ફિગ. 101
).

આગળ, વ્યાસના સામાન્ય વિતરણની ધારણાનો ઉપયોગ કરીને, અમે 0.065 નું મહત્તમ વિચલન સેટ કરીને, ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોના પ્રમાણની ગણતરી કરીએ છીએ. અવેજી કોષ્ટક (બે પરિમાણોનો કેસ) ની ક્ષમતાઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે સરેરાશ મૂલ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલન (ફિગ. 102) પર ખામીના પ્રમાણની નિર્ભરતાને કાવતરું કરીશું.
).

બે માધ્યમો વચ્ચેના તફાવત માટે વિશ્વાસ અંતરાલ

આ આંકડાકીય પદ્ધતિઓની સૌથી મહત્વપૂર્ણ એપ્લિકેશનોમાંની એક છે. પરિસ્થિતિઓના ઉદાહરણો.

કપડાની દુકાનના મેનેજર એ જાણવા માંગે છે કે સરેરાશ સ્ત્રી ગ્રાહક સરેરાશ પુરૂષ ગ્રાહક કરતાં સ્ટોરમાં કેટલો વધુ કે ઓછો ખર્ચ કરે છે.

બંને એરલાઇન્સ સમાન રૂટ પર ઉડાન ભરે છે. ગ્રાહક સંસ્થા બંને એરલાઇન્સ માટે સરેરાશ અપેક્ષિત ફ્લાઇટ વિલંબના સમય વચ્ચેના તફાવતની તુલના કરવા માંગે છે.

કંપની ચોક્કસ પ્રકારના સામાન માટે એક શહેરમાં કૂપન મોકલે છે અને બીજા શહેરમાં નહીં. મેનેજર્સ આગામી બે મહિનામાં આ ઉત્પાદનોની સરેરાશ ખરીદી વોલ્યુમની તુલના કરવા માંગે છે.

કાર ડીલર ઘણીવાર પરિણીત યુગલો સાથે પ્રસ્તુતિઓમાં વ્યવહાર કરે છે. પ્રસ્તુતિ પ્રત્યેની તેમની વ્યક્તિગત પ્રતિક્રિયાઓને સમજવા માટે, યુગલોની ઘણીવાર અલગથી મુલાકાત લેવામાં આવે છે. મેનેજર પુરુષો અને સ્ત્રીઓ દ્વારા આપવામાં આવેલા રેટિંગમાં તફાવતનું મૂલ્યાંકન કરવા માંગે છે.

સ્વતંત્ર નમૂનાઓનો કેસ

માધ્યમો વચ્ચેના તફાવતમાં n 1 + n 2 - 2 ડિગ્રી સ્વતંત્રતા સાથે ટી-વિતરણ હશે. μ 1 - μ 2 માટે વિશ્વાસ અંતરાલ સંબંધ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

આ સમસ્યા માત્ર ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જ નહીં, પણ પ્રમાણભૂત StatPro ટૂલ્સનો ઉપયોગ કરીને પણ ઉકેલી શકાય છે. આ કરવા માટે, તેનો ઉપયોગ કરવા માટે પૂરતું છે

પ્રમાણ વચ્ચેના તફાવત માટે વિશ્વાસ અંતરાલ

શેરની ગાણિતિક અપેક્ષા રહેવા દો. અનુક્રમે કદ n 1 અને n 2 ના નમૂનાઓ પરથી બાંધવામાં આવેલા તેમના નમૂનાના અંદાજો બનીએ. પછી તફાવત માટે એક અંદાજ છે. તેથી, આ તફાવતનો વિશ્વાસ અંતરાલ આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

અહીં z cr એ વિશિષ્ટ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય વિતરણમાંથી મેળવેલ મૂલ્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે, 95% વિશ્વાસ અંતરાલ માટે 1.96).

અનુમાનની પ્રમાણભૂત ભૂલ આ કિસ્સામાં સંબંધ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

.

ઉદાહરણ

મોટા વેચાણની તૈયારી કરી રહેલા સ્ટોરે નીચેના માર્કેટિંગ સંશોધન હાથ ધર્યા. ટોચના 300 ખરીદદારોની પસંદગી કરવામાં આવી હતી અને તેમને દરેક 150 સભ્યોના બે જૂથોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યા હતા. વેચાણમાં ભાગ લેવા માટે તમામ પસંદ કરેલા ગ્રાહકોને આમંત્રણો મોકલવામાં આવ્યા હતા, પરંતુ માત્ર પ્રથમ જૂથના સભ્યોને 5% ડિસ્કાઉન્ટ માટે હકદાર કૂપન પ્રાપ્ત થઈ હતી. વેચાણ દરમિયાન, તમામ 300 પસંદ કરેલા ખરીદદારોની ખરીદી રેકોર્ડ કરવામાં આવી હતી. મેનેજર પરિણામોનું અર્થઘટન કેવી રીતે કરી શકે અને કૂપનની અસરકારકતા વિશે નિર્ણય કેવી રીતે લઈ શકે? (ફાઈલ જુઓ COUPONS.XLS (નમૂનો અને ઉકેલ)).

ઉકેલ

અમારા ચોક્કસ કેસ માટે, ડિસ્કાઉન્ટ કૂપન મેળવનારા 150 ગ્રાહકોમાંથી 55એ વેચાણ પર ખરીદી કરી હતી અને 150માંથી જેમને કૂપન ન મળી હતી, માત્ર 35એ ખરીદી કરી હતી (ફિગ. 103
). પછી નમૂનાના પ્રમાણના મૂલ્યો અનુક્રમે 0.3667 અને 0.2333 છે. અને તેમની વચ્ચેના નમૂનાનો તફાવત અનુક્રમે 0.1333 જેટલો છે. 95% વિશ્વાસ અંતરાલ ધારી રહ્યા છીએ, અમે સામાન્ય વિતરણ કોષ્ટક zcr = 1.96 માંથી શોધીએ છીએ. નમૂનાના તફાવતની પ્રમાણભૂત ભૂલની ગણતરી 0.0524 છે. અમે અંતે શોધીએ છીએ કે 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની નીચલી મર્યાદા અનુક્રમે 0.0307 છે, અને ઉપલી મર્યાદા અનુક્રમે 0.2359 છે. પ્રાપ્ત પરિણામોને એવી રીતે અર્થઘટન કરી શકાય છે કે ડિસ્કાઉન્ટ કૂપન મેળવનારા દરેક 100 ગ્રાહકો માટે, અમે 3 થી 23 નવા ગ્રાહકો પાસેથી અપેક્ષા રાખી શકીએ છીએ. જો કે, આપણે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે આ નિષ્કર્ષનો અર્થ કૂપનનો ઉપયોગ કરવાની અસરકારકતા નથી (કારણ કે ડિસ્કાઉન્ટ આપીને, અમે નફો ગુમાવીએ છીએ!). ચાલો ચોક્કસ ડેટા સાથે આને દર્શાવીએ. ચાલો ધારીએ કે સરેરાશ ખરીદીનું કદ 400 રુબેલ્સ છે, જેમાંથી 50 રુબેલ્સ છે. સ્ટોર માટે નફો છે. પછી કૂપન ન મેળવનાર 100 ગ્રાહકો પર અપેક્ષિત નફો છે:

50 0.2333 100 = 1166.50 ઘસવું.

કૂપન મેળવનાર 100 ગ્રાહકો માટે સમાન ગણતરીઓ આપે છે:

30 0.3667 100 = 1100.10 ઘસવું.

સરેરાશ નફામાં 30 નો ઘટાડો એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે, ડિસ્કાઉન્ટનો ઉપયોગ કરીને, કૂપન મેળવનારા ગ્રાહકો સરેરાશ 380 રુબેલ્સ માટે ખરીદી કરશે.

આમ, અંતિમ નિષ્કર્ષ આ ચોક્કસ પરિસ્થિતિમાં આવા કૂપનનો ઉપયોગ કરવાની બિનઅસરકારકતા સૂચવે છે.

ટિપ્પણી. આ સમસ્યા પ્રમાણભૂત StatPro સાધનોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. આ કરવા માટે, પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે સરેરાશ વચ્ચેના તફાવતનો અંદાજ કાઢવાની સમસ્યામાં આ સમસ્યાને ઘટાડવા માટે તે પૂરતું છે અને પછી અરજી કરો. સ્ટેટપ્રો/આંકડાકીય અનુમાન/બે-નમૂના વિશ્લેષણબે સરેરાશ મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવત માટે વિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવા માટે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની લંબાઈને નિયંત્રિત કરવી

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે નીચેની શરતો:

ડેટા સીધો (માનક વિચલન);

મહત્વ સ્તર;

નમૂનાનું કદ.

સરેરાશ અંદાજ માટે નમૂનાનું કદ

પ્રથમ, ચાલો સામાન્ય કિસ્સામાં સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો આપણે B (ફિગ. 104) તરીકે અમને આપેલ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની અડધી લંબાઈનું મૂલ્ય દર્શાવીએ
). આપણે જાણીએ છીએ કે કેટલાક રેન્ડમ ચલ X ના સરેરાશ મૂલ્ય માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે , ક્યાં . માનતા:

અને n વ્યક્ત કરવાથી, આપણને મળે છે.

કમનસીબે, અમે રેન્ડમ ચલ X ના ભિન્નતાનું ચોક્કસ મૂલ્ય જાણતા નથી. વધુમાં, આપણે tcr નું મૂલ્ય જાણતા નથી, કારણ કે તે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા દ્વારા n પર આધાર રાખે છે. આ સ્થિતિમાં, અમે નીચે મુજબ કરી શકીએ છીએ. ભિન્નતા s ને બદલે, અમે અભ્યાસ હેઠળના રેન્ડમ ચલના કોઈપણ ઉપલબ્ધ અમલીકરણના આધારે વિભિન્નતાના કેટલાક અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. tcr મૂલ્યને બદલે, અમે સામાન્ય વિતરણ માટે zcr મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ તદ્દન સ્વીકાર્ય છે, કારણ કે સામાન્ય અને ટી-વિતરણો માટે વિતરણ ઘનતા કાર્યો ખૂબ જ નજીક છે (નાના n ના કેસ સિવાય). આમ, જરૂરી સૂત્ર ફોર્મ લે છે:

.

ફોર્મ્યુલા સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બિન-પૂર્ણાંક પરિણામો આપે છે, તેથી વધુ પરિણામ સાથે રાઉન્ડિંગને ઇચ્છિત નમૂનાના કદ તરીકે લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ

ફાસ્ટ ફૂડ રેસ્ટોરન્ટ નવા પ્રકારની સેન્ડવીચ સાથે તેની શ્રેણીને વિસ્તૃત કરવાની યોજના ધરાવે છે. તેની માંગનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, મેનેજર અવ્યવસ્થિત રીતે તે લોકોમાંથી સંખ્યાબંધ મુલાકાતીઓને પસંદ કરવાની યોજના ધરાવે છે જેમણે પહેલેથી જ તેનો પ્રયાસ કર્યો છે અને તેઓને 1 થી 10 ના સ્કેલ પર નવા ઉત્પાદન પ્રત્યેના તેમના વલણને રેટ કરવાનું કહે છે. મેનેજર અંદાજ કાઢવા માંગે છે. પોઈન્ટની અપેક્ષિત સંખ્યા જે નવા ઉત્પાદનને પ્રાપ્ત થશે અને આ અંદાજ માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલ બનાવશે. તે જ સમયે, તે ઇચ્છે છે કે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની અડધી-પહોળાઈ 0.3 થી વધુ ન હોય. તેણે કેટલા મુલાકાતીઓનો ઇન્ટરવ્યુ લેવાની જરૂર છે?

આના જેવો દેખાય છે:

અહીં r otsપ્રમાણ p નો અંદાજ છે, અને B એ વિશ્વાસ અંતરાલની આપેલ અડધી લંબાઈ છે. મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને n માટે અતિશય અંદાજ મેળવી શકાય છે r ots= 0.5. આ કિસ્સામાં, વિશ્વાસ અંતરાલની લંબાઈ p ના કોઈપણ સાચા મૂલ્ય માટે નિર્દિષ્ટ મૂલ્ય B કરતાં વધી જશે નહીં.

ઉદાહરણ

અગાઉના ઉદાહરણ પરથી મેનેજરને નવા પ્રકારની પ્રોડક્ટ પસંદ કરતા ગ્રાહકોના શેરનો અંદાજ કાઢવા દો. તે 90% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવવા માંગે છે જેની અડધી લંબાઈ 0.05 થી વધુ ન હોય. રેન્ડમ નમૂનામાં કેટલા ગ્રાહકોનો સમાવેશ કરવો જોઈએ?

ઉકેલ

અમારા કિસ્સામાં, z cr = 1.645 ની કિંમત. તેથી, જરૂરી જથ્થો તરીકે ગણવામાં આવે છે .

જો મેનેજર પાસે એવું માનવા માટેનું કારણ હોય કે ઇચ્છિત p-મૂલ્ય, ઉદાહરણ તરીકે, આશરે 0.3 છે, તો પછી આ મૂલ્યને ઉપરોક્ત સૂત્રમાં બદલીને, આપણે એક નાનું રેન્ડમ નમૂના મૂલ્ય મેળવીશું, એટલે કે 228.

નક્કી કરવા માટેની ફોર્મ્યુલા બે માધ્યમો વચ્ચેના તફાવતના કિસ્સામાં રેન્ડમ નમૂનાનું કદઆ રીતે લખાયેલ:

.

ઉદાહરણ

અમુક કોમ્પ્યુટર કંપની પાસે ગ્રાહક સેવા કેન્દ્ર છે. તાજેતરમાં, સેવાની નબળી ગુણવત્તા અંગે ગ્રાહકોની ફરિયાદોની સંખ્યામાં વધારો થયો છે. સેવા કેન્દ્ર મુખ્યત્વે બે પ્રકારના કર્મચારીઓને રોજગારી આપે છે: જેઓ વધુ અનુભવ ધરાવતા નથી, પરંતુ ખાસ પ્રારંભિક અભ્યાસક્રમો પૂર્ણ કર્યા છે, અને જેઓ વ્યાપક વ્યવહારુ અનુભવ ધરાવે છે, પરંતુ ખાસ અભ્યાસક્રમો પૂર્ણ કર્યા નથી. કંપની છેલ્લા છ મહિનામાં ગ્રાહકોની ફરિયાદોનું વિશ્લેષણ કરવા અને કર્મચારીઓના બે જૂથોમાંથી પ્રત્યેકની ફરિયાદોની સરેરાશ સંખ્યાની સરખામણી કરવા માંગે છે. એવું માનવામાં આવે છે કે બંને જૂથો માટેના નમૂનાઓમાં સંખ્યાઓ સમાન હશે. 2 કરતા વધારે ન હોય તેવા અડધા લંબાઈ સાથે 95% અંતરાલ મેળવવા માટે નમૂનામાં કેટલા કર્મચારીઓનો સમાવેશ કરવો જોઈએ?

ઉકેલ

અહીં σ ots એ ધારણા હેઠળ બંને રેન્ડમ ચલોના પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ છે કે તેઓ નજીક છે. આમ, અમારી સમસ્યામાં આપણે કોઈક રીતે આ અંદાજ મેળવવાની જરૂર છે. આ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, નીચે પ્રમાણે. છેલ્લા છ મહિનામાં ગ્રાહકોની ફરિયાદો પરના ડેટાને જોયા પછી, મેનેજર નોંધ કરી શકે છે કે દરેક કર્મચારીને સામાન્ય રીતે 6 થી 36 ફરિયાદો મળે છે. એ જાણીને કે સામાન્ય વિતરણ માટે લગભગ તમામ મૂલ્યો સરેરાશથી ત્રણ પ્રમાણભૂત વિચલનોથી વધુ દૂર નથી, તે વ્યાજબી રીતે માની શકે છે કે:

, જ્યાંથી σ ots = 5.

આ મૂલ્યને સૂત્રમાં બદલીને, આપણને મળે છે .

નક્કી કરવા માટેની ફોર્મ્યુલા પ્રમાણ વચ્ચેના તફાવતનો અંદાજ કાઢવાના કિસ્સામાં રેન્ડમ નમૂનાનું કદફોર્મ ધરાવે છે:

ઉદાહરણ

કેટલીક કંપનીમાં સમાન ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરતી બે ફેક્ટરીઓ છે. કંપની મેનેજર બંને ફેક્ટરીઓમાં ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની ટકાવારીની તુલના કરવા માંગે છે. ઉપલબ્ધ માહિતી અનુસાર, બંને ફેક્ટરીઓમાં ખામી દર 3 થી 5% સુધીની છે. તે 0.005 (અથવા 0.5%) કરતા વધુ ન હોય તેવા અડધા લંબાઈ સાથે 99% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવવાનો હેતુ ધરાવે છે. દરેક ફેક્ટરીમાંથી કેટલા ઉત્પાદનો પસંદ કરવા જોઈએ?

ઉકેલ

અહીં p 1ots અને p 2ots એ 1લી અને 2જી ફેક્ટરીમાં ખામીના બે અજાણ્યા શેરનો અંદાજ છે. જો આપણે p 1ots = p 2ots = 0.5 મૂકીએ, તો આપણને n માટે અતિશય અંદાજિત મૂલ્ય મળે છે. પરંતુ અમારા કિસ્સામાં અમારી પાસે આ શેરો વિશે કેટલીક પ્રાથમિક માહિતી હોવાથી, અમે આ શેરનો ઉપલા અંદાજ એટલે કે 0.05 લઈએ છીએ. અમને મળે છે

નમૂનાના ડેટામાંથી વસ્તીના કેટલાક પરિમાણોનો અંદાજ કાઢતી વખતે, પેરામીટરનો માત્ર પોઈન્ટ અંદાજ જ નહીં, પણ વિશ્વાસ અંતરાલ પ્રદાન કરવા માટે પણ ઉપયોગી છે જે દર્શાવે છે કે અંદાજિત પરિમાણનું ચોક્કસ મૂલ્ય ક્યાં હોઈ શકે છે.

આ પ્રકરણમાં, અમે જથ્થાત્મક સંબંધોથી પણ પરિચિત થયા જે અમને વિવિધ પરિમાણો માટે આવા અંતરાલો બનાવવાની મંજૂરી આપે છે; આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની લંબાઈને નિયંત્રિત કરવાની રીતો શીખી.

એ પણ નોંધ કરો કે નમૂનાના કદનો અંદાજ કાઢવાની સમસ્યા (પ્રયોગના આયોજનની સમસ્યા) પ્રમાણભૂત StatPro સાધનોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે, એટલે કે StatPro/આંકડાકીય અનુમાન/નમૂના માપ પસંદગી.

અગાઉના પેટાવિભાગોમાં અમે અજાણ્યા પરિમાણનો અંદાજ કાઢવાના મુદ્દા પર વિચાર કર્યો હતો એએક નંબર. આને "બિંદુ" અંદાજ કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાબંધ કાર્યોમાં, તમારે માત્ર પેરામીટર શોધવાની જરૂર નથી એયોગ્ય સંખ્યાત્મક મૂલ્ય, પણ તેની ચોકસાઈ અને વિશ્વસનીયતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે. તમારે જાણવાની જરૂર છે કે પરિમાણને બદલવાથી કઈ ભૂલો થઈ શકે છે એતેના બિંદુ અંદાજ એઅને આપણે કેટલા આત્મવિશ્વાસ સાથે અપેક્ષા રાખી શકીએ કે આ ભૂલો જાણીતી મર્યાદાને ઓળંગશે નહીં?

આ પ્રકારની સમસ્યાઓ ખાસ કરીને નાની સંખ્યામાં અવલોકનો સાથે સંબંધિત છે, જ્યારે બિંદુ અંદાજ અને માંમોટાભાગે રેન્ડમ છે અને a દ્વારા a નું અંદાજિત ફેરબદલ ગંભીર ભૂલો તરફ દોરી શકે છે.

અંદાજની ચોકસાઈ અને વિશ્વસનીયતાનો ખ્યાલ આપવા માટે એ,

ગાણિતિક આંકડાઓમાં, કહેવાતા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અને આત્મવિશ્વાસની સંભાવનાઓનો ઉપયોગ થાય છે.

પરિમાણ માટે દો એઅનુભવમાંથી મેળવેલ નિષ્પક્ષ અંદાજ એ.અમે આ કિસ્સામાં સંભવિત ભૂલનો અંદાજ કાઢવા માંગીએ છીએ. ચાલો આપણે કેટલીક પૂરતી મોટી સંભાવના p (ઉદાહરણ તરીકે, p = 0.9, 0.95 અથવા 0.99) અસાઇન કરીએ જેથી p સંભાવના સાથેની ઘટના વ્યવહારીક રીતે વિશ્વસનીય ગણી શકાય, અને મૂલ્ય s શોધીએ જેના માટે

પછી રિપ્લેસમેન્ટ દરમિયાન ઉદ્ભવતી ભૂલના વ્યવહારીક સંભવિત મૂલ્યોની શ્રેણી એપર એ, ± s હશે; સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં મોટી ભૂલો માત્ર ઓછી સંભાવના a = 1 - p સાથે દેખાશે. ચાલો ફરીથી લખીએ (14.3.1) આ રીતે:

સમાનતા (14.3.2) નો અર્થ છે કે સંભાવના p સાથે પરિમાણનું અજ્ઞાત મૂલ્ય એઅંતરાલમાં આવે છે

એક સંજોગોની નોંધ લેવી જરૂરી છે. અગાઉ, અમે આપેલ બિન-રેન્ડમ અંતરાલમાં રેન્ડમ ચલની સંભાવનાને વારંવાર ધ્યાનમાં લીધી છે. અહીં પરિસ્થિતિ અલગ છે: તીવ્રતા એરેન્ડમ નથી, પરંતુ અંતરાલ / p રેન્ડમ છે. x-અક્ષ પર તેની સ્થિતિ રેન્ડમ છે, તેના કેન્દ્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે એ; સામાન્ય રીતે, અંતરાલ 2s ની લંબાઈ પણ અવ્યવસ્થિત છે, કારણ કે s નું મૂલ્ય પ્રાયોગિક ડેટામાંથી નિયમ તરીકે ગણવામાં આવે છે. તેથી, આ કિસ્સામાં, p મૂલ્યનું અર્થઘટન કરવું વધુ સારું રહેશે બિંદુને "હિટ" કરવાની સંભાવના તરીકે નહીં. એઅંતરાલ / p માં, અને રેન્ડમ અંતરાલ / p બિંદુને આવરી લેશે તેવી સંભાવના તરીકે એ(ફિગ. 14.3.1).

ચોખા. 14.3.1

સંભાવના p ને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે આત્મવિશ્વાસની સંભાવના, અને અંતરાલ / p - આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ.અંતરાલ સીમાઓ જો. a x = a- s અને a 2 = a +અને કહેવાય છે વિશ્વાસની સીમાઓ.

ચાલો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની વિભાવનાનું બીજું અર્થઘટન કરીએ: તેને પરિમાણ મૂલ્યોના અંતરાલ તરીકે ગણી શકાય. એ,પ્રાયોગિક ડેટા સાથે સુસંગત છે અને તેનો વિરોધાભાસ નથી. ખરેખર, જો આપણે સંભાવના a = 1-p વ્યવહારીક રીતે અશક્ય સાથેની ઘટનાને ધ્યાનમાં લેવા સંમત થઈએ, તો પરિમાણ a ના તે મૂલ્યો જેના માટે a - a> s ને પ્રાયોગિક ડેટાના વિરોધાભાસી તરીકે ઓળખવામાં આવવી જોઈએ, અને જેના માટે |a - એ a t na 2 .

પરિમાણ માટે દો એએક નિષ્પક્ષ અંદાજ છે એ.જો આપણે જથ્થાના વિતરણનો કાયદો જાણતા હોત એ, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધવાનું કાર્ય ખૂબ જ સરળ હશે: તે મૂલ્ય શોધવા માટે પૂરતું હશે જેના માટે

મુશ્કેલી એ છે કે અંદાજની વહેંચણીનો કાયદો એજથ્થાના વિતરણ કાયદા પર આધાર રાખે છે એક્સઅને, તેથી, તેના અજાણ્યા પરિમાણો પર (ખાસ કરીને, પરિમાણ પર જ એ).

આ મુશ્કેલીને દૂર કરવા માટે, તમે નીચેની અંદાજિત અંદાજિત તકનીકનો ઉપયોગ કરી શકો છો: s માટે અભિવ્યક્તિમાં અજાણ્યા પરિમાણોને તેમના બિંદુ અંદાજ સાથે બદલો. પ્રમાણમાં મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો સાથે n(લગભગ 20...30) આ તકનીક સામાન્ય રીતે એવા પરિણામો આપે છે જે ચોકસાઈની દ્રષ્ટિએ સંતોષકારક હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ગાણિતિક અપેક્ષા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો.

તેને ઉત્પન્ન થવા દો n X,જેની લાક્ષણિકતાઓ ગાણિતિક અપેક્ષા છે ટીઅને તફાવત ડી- અજ્ઞાત. આ પરિમાણો માટે નીચેના અંદાજો મેળવવામાં આવ્યા હતા:

ગાણિતિક અપેક્ષા માટે આત્મવિશ્વાસની સંભાવના p ને અનુરૂપ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ / p બનાવવો જરૂરી છે ટીજથ્થો એક્સ.

આ સમસ્યાને હલ કરતી વખતે, અમે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીશું કે જથ્થો ટીસરવાળો રજૂ કરે છે nસ્વતંત્ર સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો X કઅને કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય અનુસાર, પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે nતેનો વિતરણ કાયદો સામાન્યની નજીક છે. વ્યવહારમાં, પ્રમાણમાં નાની સંખ્યાના શબ્દો (લગભગ 10...20) સાથે પણ, સરવાળાના વિતરણનો નિયમ લગભગ સામાન્ય ગણી શકાય. અમે ધારીશું કે મૂલ્ય ટીસામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત. આ કાયદાની લાક્ષણિકતાઓ - ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા - અનુક્રમે સમાન છે ટીઅને

(પ્રકરણ 13 પેટાકલમ 13.3 જુઓ). ચાલો આપણે ધારીએ કે મૂલ્ય ડીઅમે જાણીએ છીએ અને મૂલ્ય Ep શોધીશું જેના માટે

પ્રકરણ 6 ના સૂત્ર (6.3.5) નો ઉપયોગ કરીને, અમે સામાન્ય વિતરણ કાર્ય દ્વારા (14.3.5) ની ડાબી બાજુએ સંભાવના વ્યક્ત કરીએ છીએ.

અંદાજનું પ્રમાણભૂત વિચલન ક્યાં છે ટી.

Eq થી.

Sp ની કિંમત શોધો:

જ્યાં arg Ф* (х) એ Ф* નું વ્યસ્ત કાર્ય છે (X),તે દલીલનું આવું મૂલ્ય કે જેના માટે સામાન્ય વિતરણ કાર્ય બરાબર છે એક્સ.

વિખેરી નાખવું ડી,જેના દ્વારા જથ્થો વ્યક્ત કરવામાં આવે છે એ 1P, અમે બરાબર જાણતા નથી; તેના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે, તમે અંદાજનો ઉપયોગ કરી શકો છો ડી(14.3.4) અને આશરે મૂકો:

આમ, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવવાની સમસ્યા લગભગ હલ થઈ ગઈ છે, જે બરાબર છે:

જ્યાં gp ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી થાય છે (14.3.7).

s p ની ગણતરી કરતી વખતે ફંક્શન Ф* (l) ના કોષ્ટકોમાં વિપરીત પ્રક્ષેપણ ટાળવા માટે, એક વિશિષ્ટ કોષ્ટક (કોષ્ટક 14.3.1) કમ્પાઇલ કરવું અનુકૂળ છે, જે જથ્થાના મૂલ્યો આપે છે.

આર પર આધાર રાખીને. મૂલ્ય (p સામાન્ય કાયદા માટે પ્રમાણભૂત વિચલનોની સંખ્યા નક્કી કરે છે કે જે વિખેરવાના કેન્દ્રમાંથી જમણી અને ડાબી બાજુએ પ્લોટ કરવી આવશ્યક છે જેથી પરિણામી વિસ્તારમાં પ્રવેશવાની સંભાવના p ની બરાબર હોય.

મૂલ્ય 7 p નો ઉપયોગ કરીને, વિશ્વાસ અંતરાલ આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

કોષ્ટક 14.3.1

ઉદાહરણ 1. જથ્થા પર 20 પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા એક્સ;પરિણામો કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે. 14.3.2.

કોષ્ટક 14.3.2

તે જથ્થાની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે અંદાજ શોધવા માટે જરૂરી છે એક્સઅને આત્મવિશ્વાસની સંભાવના p = 0.8 ને અનુરૂપ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવો.

ઉકેલ.અમારી પાસે છે:

સંદર્ભ બિંદુ તરીકે l: = 10 પસંદ કરવાથી, ત્રીજા સૂત્ર (14.2.14) નો ઉપયોગ કરીને અમને નિષ્પક્ષ અંદાજ મળે છે. ડી :

ટેબલ મુજબ 14.3.1 આપણે શોધીએ છીએ

આત્મવિશ્વાસની મર્યાદા:

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ:

પરિમાણ મૂલ્યો ટી,આ અંતરાલમાં પડેલા કોષ્ટકમાં આપેલા પ્રાયોગિક ડેટા સાથે સુસંગત છે. 14.3.2.

વિભિન્નતા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ સમાન રીતે બાંધી શકાય છે.

તેને ઉત્પન્ન થવા દો nરેન્ડમ ચલ પર સ્વતંત્ર પ્રયોગો એક્સ A અને dispersion બંને માટે અજાણ્યા પરિમાણો સાથે ડીએક નિષ્પક્ષ અંદાજ પ્રાપ્ત થયો હતો:

વિભિન્નતા માટે આશરે વિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવો જરૂરી છે.

સૂત્ર (14.3.11) થી તે સ્પષ્ટ છે કે જથ્થો ડીરજૂ કરે છે

રકમ nફોર્મના રેન્ડમ ચલો. આ મૂલ્યો નથી

સ્વતંત્ર, કારણ કે તેમાંના કોઈપણમાં જથ્થો શામેલ છે ટી,બીજા બધા પર નિર્ભર. જો કે, તે વધારીને બતાવી શકાય છે nતેમની રકમના વિતરણનો નિયમ પણ સામાન્ય છે. લગભગ પર n= 20...30 તે પહેલાથી જ સામાન્ય ગણી શકાય.

ચાલો ધારીએ કે આ આવું છે, અને ચાલો આ કાયદાની લાક્ષણિકતાઓ શોધીએ: ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ. આકારણી થી ડી- નિષ્પક્ષ, તો પછી M[D] = D.

વિચલનની ગણતરી ડી ડીપ્રમાણમાં જટિલ ગણતરીઓ સાથે સંકળાયેલ છે, તેથી અમે વ્યુત્પત્તિ વિના તેની અભિવ્યક્તિ રજૂ કરીએ છીએ:

જ્યાં q 4 એ મેગ્નિટ્યુડની ચોથી કેન્દ્રિય ક્ષણ છે એક્સ.

આ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરવા માટે, તમારે મૂલ્યોને બદલવાની જરૂર છે \u003d 4 અને ડી(ઓછામાં ઓછા નજીકના). ની જગ્યાએ ડીતમે તેના મૂલ્યાંકનનો ઉપયોગ કરી શકો છો ડી.સૈદ્ધાંતિક રીતે, ચોથા કેન્દ્રિય ક્ષણને અંદાજ દ્વારા પણ બદલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મનું મૂલ્ય:

પરંતુ આવા રિપ્લેસમેન્ટ અત્યંત ઓછી ચોકસાઈ આપશે, કારણ કે સામાન્ય રીતે, મર્યાદિત સંખ્યામાં પ્રયોગો સાથે, ઉચ્ચ-ક્રમની ક્ષણો મોટી ભૂલો સાથે નક્કી કરવામાં આવે છે. જો કે, વ્યવહારમાં તે ઘણીવાર થાય છે કે જથ્થો વિતરણ કાયદો પ્રકાર એક્સઅગાઉથી જાણીતું છે: ફક્ત તેના પરિમાણો અજ્ઞાત છે. પછી તમે μ 4 દ્વારા વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો ડી.

ચાલો સૌથી સામાન્ય કેસ લઈએ, જ્યારે મૂલ્ય એક્સસામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત. પછી તેની ચોથી કેન્દ્રિય ક્ષણ વિખેરવાની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે (જુઓ પ્રકરણ 6, પેટાકલમ 6.2);

અને સૂત્ર (14.3.12) આપે છે અથવા

(14.3.14) માં અજાણ્યાને બદલવું ડીતેનું મૂલ્યાંકન ડી, અમને મળે છે: ક્યાંથી

ક્ષણ μ 4 દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે ડીકેટલાક અન્ય કિસ્સાઓમાં પણ, જ્યારે મૂલ્યનું વિતરણ એક્સસામાન્ય નથી, પરંતુ તેનો દેખાવ જાણીતો છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમાન ઘનતાના કાયદા માટે (જુઓ પ્રકરણ 5) અમારી પાસે છે:

જ્યાં (a, P) એ અંતરાલ છે જેના પર કાયદો નિર્દિષ્ટ છે.

આથી,

ફોર્મ્યુલા (14.3.12) નો ઉપયોગ કરીને આપણે મેળવીએ છીએ: આપણે લગભગ ક્યાં શોધી શકીએ

જથ્થા 26 માટેના વિતરણ કાયદાનો પ્રકાર અજ્ઞાત હોય તેવા કિસ્સામાં, મૂલ્ય a/)નો અંદાજિત અંદાજ કાઢતી વખતે, સૂત્ર (14.3.16) નો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે, સિવાય કે આ કાયદો માનવા માટે વિશેષ કારણો ન હોય. સામાન્ય કરતા ખૂબ જ અલગ છે (નોંધપાત્ર હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક કર્ટોસિસ છે).

જો અંદાજિત મૂલ્ય a/) એક રીતે અથવા બીજી રીતે મેળવવામાં આવે છે, તો આપણે વિભિન્નતા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ તે જ રીતે બનાવી શકીએ છીએ જે રીતે આપણે તેને ગાણિતિક અપેક્ષા માટે બનાવ્યું છે:

જ્યાં આપેલ સંભાવના p ને આધારે મૂલ્ય કોષ્ટક મુજબ જોવા મળે છે. 14.3.1.

ઉદાહરણ 2. રેન્ડમ ચલના ભિન્નતા માટે આશરે 80% વિશ્વાસ અંતરાલ શોધો એક્સઉદાહરણ 1 ની શરતો હેઠળ, જો તે જાણીતું હોય કે મૂલ્ય એક્સસામાન્યની નજીકના કાયદા અનુસાર વિતરિત.

ઉકેલ.મૂલ્ય કોષ્ટકની જેમ જ રહે છે. 14.3.1:

સૂત્ર મુજબ (14.3.16)

ફોર્મ્યુલા (14.3.18) નો ઉપયોગ કરીને આપણે વિશ્વાસ અંતરાલ શોધીએ છીએ:

પ્રમાણભૂત વિચલન મૂલ્યોની અનુરૂપ શ્રેણી: (0.21; 0.29).

14.4. સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલના પરિમાણો માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવા માટેની ચોક્કસ પદ્ધતિઓ

પાછલા પેટાવિભાગમાં, અમે ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવા માટે આશરે અંદાજિત પદ્ધતિઓની તપાસ કરી. અહીં આપણે એ જ સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની ચોક્કસ પદ્ધતિઓનો ખ્યાલ આપીશું. અમે ભારપૂર્વક જણાવીએ છીએ કે આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોને ચોક્કસ રીતે શોધવા માટે, જથ્થાના વિતરણ કાયદાના સ્વરૂપને અગાઉથી જાણવું એકદમ જરૂરી છે. X,જ્યારે અંદાજિત પદ્ધતિઓના ઉપયોગ માટે આ જરૂરી નથી.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવા માટેની સચોટ પદ્ધતિઓનો વિચાર નીચે મુજબ આવે છે. કોઈપણ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અમુક અસમાનતાઓને પરિપૂર્ણ કરવાની સંભાવના વ્યક્ત કરતી શરતમાંથી જોવા મળે છે, જેમાં અમને રસ હોય તે અંદાજનો સમાવેશ થાય છે. એ.મૂલ્યાંકન વિતરણનો કાયદો એસામાન્ય કિસ્સામાં જથ્થાના અજાણ્યા પરિમાણો પર આધાર રાખે છે એક્સ.જો કે, કેટલીકવાર રેન્ડમ ચલમાંથી અસમાનતાઓ પસાર કરવી શક્ય છે એઅવલોકન કરેલ મૂલ્યોના કેટલાક અન્ય કાર્ય માટે X p X 2, ..., એક્સ પી.જેનો વિતરણ કાયદો અજાણ્યા પરિમાણો પર આધાર રાખતો નથી, પરંતુ માત્ર પ્રયોગોની સંખ્યા અને જથ્થાના વિતરણ કાયદાના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે. એક્સ.આ પ્રકારના રેન્ડમ ચલો ગાણિતિક આંકડાઓમાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે; જથ્થાના સામાન્ય વિતરણના કિસ્સામાં તેઓનો સૌથી વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે એક્સ.

ઉદાહરણ તરીકે, તે સાબિત થયું છે કે મૂલ્યના સામાન્ય વિતરણ સાથે એક્સરેન્ડમ ચલ

કહેવાતા પાળે છે વિદ્યાર્થી વિતરણ કાયદોસાથે n- સ્વતંત્રતાના 1 ડિગ્રી; આ કાયદાની ઘનતાનું સ્વરૂપ છે

જ્યાં G(x) જાણીતું ગામા ફંક્શન છે:

તે પણ સાબિત થયું છે કે રેન્ડમ ચલ

સાથે "%2 વિતરણ" ધરાવે છે n- સ્વતંત્રતાની 1 ડિગ્રી (પ્રકરણ 7 જુઓ), જેની ઘનતા સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

ડિસ્ટ્રિબ્યુશન (14.4.2) અને (14.4.4) ના વ્યુત્પત્તિ પર ધ્યાન આપ્યા વિના, અમે બતાવીશું કે પરિમાણો માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધતી વખતે તેઓ કેવી રીતે લાગુ કરી શકાય છે. ty ડી.

તેને ઉત્પન્ન થવા દો nરેન્ડમ ચલ પર સ્વતંત્ર પ્રયોગો X,સામાન્ય રીતે અજ્ઞાત પરિમાણો સાથે વિતરિત ટી એન્ડ ઓ.આ પરિમાણો માટે, અંદાજો મેળવવામાં આવ્યા હતા

આત્મવિશ્વાસની સંભાવના p ને અનુરૂપ બંને પરિમાણો માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો બનાવવી જરૂરી છે.

ચાલો પહેલા ગાણિતિક અપેક્ષા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવીએ. આ અંતરાલને સંદર્ભમાં સપ્રમાણતામાં લેવું સ્વાભાવિક છે ટી; ચાલો અંતરાલની અડધી લંબાઈ દર્શાવીએ. મૂલ્ય s p પસંદ કરવું આવશ્યક છે જેથી કરીને સ્થિતિ સંતુષ્ટ થાય

ચાલો રેન્ડમ ચલમાંથી સમાનતા (14.4.5)ની ડાબી બાજુએ જવાનો પ્રયાસ કરીએ. ટીરેન્ડમ ચલ માટે ટી,વિદ્યાર્થીઓના કાયદા અનુસાર વિતરિત. આ કરવા માટે, અસમાનતાની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરો |m-w?|

હકારાત્મક મૂલ્ય દ્વારા: અથવા, સંકેતનો ઉપયોગ કરીને (14.4.1),

ચાલો એવી સંખ્યા /p શોધીએ કે શરતમાંથી મૂલ્ય /p શોધી શકાય

સૂત્ર (14.4.2) થી તે સ્પષ્ટ છે કે (1) એક સમાન કાર્ય છે, તેથી (14.4.8) આપે છે.

સમાનતા (14.4.9) p ના આધારે મૂલ્ય / p નક્કી કરે છે. જો તમારી પાસે તમારા નિકાલ પર અભિન્ન મૂલ્યોનું ટેબલ છે

પછી કોષ્ટકમાં રિવર્સ ઇન્ટરપોલેશન દ્વારા /p ની કિંમત શોધી શકાય છે. જો કે, અગાઉથી /p મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવવું વધુ અનુકૂળ છે. આવી કોષ્ટક પરિશિષ્ટ (કોષ્ટક 5) માં આપવામાં આવી છે. આ કોષ્ટક આત્મવિશ્વાસ સ્તર p અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યાના આધારે મૂલ્યો દર્શાવે છે n- 1. ટેબલ પરથી / p નક્કી કર્યા પછી. 5 અને ધારી રહ્યા છીએ

આપણે કોન્ફીડન્સ ઈન્ટરવલ/pની અડધી પહોળાઈ અને ઈન્ટરવલ પોતે જ શોધીશું

ઉદાહરણ 1. રેન્ડમ ચલ પર 5 સ્વતંત્ર પ્રયોગો કરવામાં આવ્યા હતા X,સામાન્ય રીતે અજ્ઞાત પરિમાણો સાથે વિતરિત ટીઅને ઓ. પ્રયોગોના પરિણામો કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે. 14.4.1.

કોષ્ટક 14.4.1

રેટિંગ શોધો ટીગાણિતિક અપેક્ષા માટે અને તેના માટે 90% વિશ્વાસ અંતરાલ/p બનાવો (એટલે ​​​​કે, વિશ્વાસની સંભાવના p = 0.9 ને અનુરૂપ અંતરાલ).

ઉકેલ.અમારી પાસે છે:

માટેની અરજીના કોષ્ટક 5 મુજબ p - 1 = 4 અને p = 0.9 આપણે શોધીએ છીએ જ્યાં

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ રહેશે

ઉદાહરણ 2. પેટાકલમ 14.3 ના ઉદાહરણ 1 ની શરતો માટે, મૂલ્ય ધારીને એક્સસામાન્ય રીતે વિતરિત, ચોક્કસ વિશ્વાસ અંતરાલ શોધો.

ઉકેલ.પરિશિષ્ટના કોષ્ટક 5 મુજબ આપણે ક્યારે શોધીએ છીએ p - 1 = 19ir =

0.8 / p = 1.328; અહીંથી

પેટાકલમ 14.3 (e p = 0.072) ના ઉદાહરણ 1 ના ઉકેલ સાથે સરખામણી કરતા, અમને ખાતરી છે કે વિસંગતતા ખૂબ જ નજીવી છે. જો આપણે બીજા દશાંશ સ્થાને ચોકસાઈ જાળવી રાખીએ, તો ચોક્કસ અને અંદાજિત પદ્ધતિઓ દ્વારા મળેલા આત્મવિશ્વાસના અંતરાલ એકરૂપ થાય છે:

ચાલો ભિન્નતા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવા તરફ આગળ વધીએ. નિષ્પક્ષ ભિન્નતા અનુમાનકને ધ્યાનમાં લો

અને રેન્ડમ ચલ વ્યક્ત કરો ડીતીવ્રતા દ્વારા વી(14.4.3), વિતરણ x 2 (14.4.4):

જથ્થાના વિતરણના કાયદાને જાણવું વી,તમે અંતરાલ /(1) શોધી શકો છો જેમાં તે આપેલ સંભાવના p સાથે આવે છે.

વિતરણનો કાયદો kn_x(v)મેગ્નિટ્યુડ I 7 ફિગમાં બતાવેલ ફોર્મ ધરાવે છે. 14.4.1.

ચોખા. 14.4.1

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: અંતરાલ / પી કેવી રીતે પસંદ કરવું? જો તીવ્રતાના વિતરણનો કાયદો વીસપ્રમાણ હતું (સામાન્ય કાયદો અથવા વિદ્યાર્થી વિતરણની જેમ), ગાણિતિક અપેક્ષાના સંદર્ભમાં અંતરાલ /p સપ્રમાણ લેવું સ્વાભાવિક છે. આ કિસ્સામાં કાયદો k p_x (v)અસમપ્રમાણ ચાલો અંતરાલ /p પસંદ કરવા માટે સંમત થઈએ જેથી મૂલ્ય હોવાની સંભાવના વીજમણી અને ડાબી તરફના અંતરાલથી આગળ (ફિગ. 14.4.1 માં છાંયેલા વિસ્તારો) સમાન અને સમાન હતા

આ ગુણધર્મ સાથે અંતરાલ/p બનાવવા માટે, અમે કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. 4 એપ્લિકેશન્સ: તેમાં સંખ્યાઓ છે y)જેમ કે

કિંમત માટે વી,સ્વતંત્રતાની r ડિગ્રી સાથે x 2 -વિતરણ. અમારા કિસ્સામાં r = n- 1. ચાલો ઠીક કરીએ r = n- 1 અને કોષ્ટકની અનુરૂપ હરોળમાં શોધો. 4 બે અર્થ x 2 -એક સંભાવનાને અનુરૂપ અન્ય - સંભાવના ચાલો આપણે આને સૂચિત કરીએ

મૂલ્યો 2 પરઅને xl?અંતરાલ છે y 2,તમારી ડાબી સાથે, અને y~જમણો છેડો.

હવે ચાલો અંતરાલ / p થી ઇચ્છિત આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ /|, સીમાઓ D સાથે વિખેરવા માટે શોધીએ, અને D2,જે બિંદુને આવરી લે છે ડીસંભાવના p સાથે:

ચાલો એક અંતરાલ / (, = (?> ь А) બનાવીએ જે બિંદુને આવરી લે છે ડીજો અને માત્ર જો કિંમત વીઅંતરાલ /r માં આવે છે. ચાલો બતાવીએ કે અંતરાલ

આ સ્થિતિને સંતોષે છે. ખરેખર, અસમાનતાઓ અસમાનતાઓ સમાન છે

અને આ અસમાનતાઓ સંભાવના p સાથે સંતુષ્ટ છે. આમ, ભિન્નતા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ મળી આવ્યો છે અને તે સૂત્ર (14.4.13) દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો છે.

ઉદાહરણ 3. પેટાકલમ 14.3 ના ઉદાહરણ 2 ની શરતો હેઠળ તફાવત માટે વિશ્વાસ અંતરાલ શોધો, જો તે જાણીતું હોય કે મૂલ્ય એક્સસામાન્ય રીતે વિતરિત.

ઉકેલ.અમારી પાસે છે . પરિશિષ્ટના કોષ્ટક 4 મુજબ

અમે શોધીએ છીએ g = n - 1 = 19

ફોર્મ્યુલા (14.4.13) નો ઉપયોગ કરીને આપણે તફાવત માટે વિશ્વાસ અંતરાલ શોધીએ છીએ

પ્રમાણભૂત વિચલન માટે અનુરૂપ અંતરાલ (0.21; 0.32) છે. આ અંતરાલ અંદાજિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પેટાકલમ 14.3 ના ઉદાહરણ 2 માં મેળવેલ અંતરાલ (0.21; 0.29) કરતાં થોડો વધારે છે.

• આકૃતિ 14.3.1 એ વિશે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સપ્રમાણ ગણે છે. સામાન્ય રીતે, જેમ આપણે પછી જોઈશું, આ જરૂરી નથી.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ- આંકડાકીય પરિમાણોના અંદાજ (બિંદુથી વિપરીત) અંતરાલ માટે ગાણિતિક આંકડાઓમાં વપરાતો શબ્દ, જે નમૂનાનું કદ નાનું હોય ત્યારે પ્રાધાન્યક્ષમ છે. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ તે છે જે આપેલ વિશ્વસનીયતા સાથે અજાણ્યા પરિમાણને આવરી લે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોની પદ્ધતિ અમેરિકન આંકડાશાસ્ત્રી જેર્ઝી ન્યુમેન દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી, જે અંગ્રેજી આંકડાશાસ્ત્રી રોનાલ્ડ ફિશરના વિચારોના આધારે બનાવવામાં આવી હતી.

વ્યાખ્યા

પરિમાણનો વિશ્વાસ અંતરાલ θ રેન્ડમ ચલ વિતરણ એક્સઆત્મવિશ્વાસ સ્તર 100 સાથે p%, નમૂના દ્વારા પેદા ( x 1 ,…,x n), તેને સીમાઓ સાથેનું અંતરાલ કહેવામાં આવે છે ( x 1 ,…,x n) અને ( x 1 ,…,x n), જે રેન્ડમ ચલોની અનુભૂતિ છે એલ(એક્સ 1 ,…,એક્સ n) અને યુ(એક્સ 1 ,…,એક્સ n), જેમ કે

કોન્ફિડન્સ ઈન્ટરવલના બાઉન્ડ્રી પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે આત્મવિશ્વાસ મર્યાદા.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનું અંતર્જ્ઞાન-આધારિત અર્થઘટન આ હશે: જો પીમોટું છે (કહો 0.95 અથવા 0.99), પછી વિશ્વાસ અંતરાલ લગભગ ચોક્કસપણે સાચું મૂલ્ય ધરાવે છે θ .

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની વિભાવનાનું બીજું અર્થઘટન: તેને પરિમાણ મૂલ્યોના અંતરાલ તરીકે ગણી શકાય θ પ્રાયોગિક ડેટા સાથે સુસંગત છે અને તેનો વિરોધાભાસ નથી.

ઉદાહરણો

• સામાન્ય નમૂનાની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ;
• સામાન્ય નમૂનાના તફાવત માટે વિશ્વાસ અંતરાલ.

બેયસિયન આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

બેયેસિયન આંકડાઓમાં, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની કેટલીક મુખ્ય વિગતોની વ્યાખ્યામાં સમાન પરંતુ અલગ છે. અહીં, અનુમાનિત પરિમાણ પોતે આપેલ કેટલાક અગાઉના વિતરણ સાથે રેન્ડમ ચલ માનવામાં આવે છે (સૌથી સરળ કિસ્સામાં, એકસમાન), અને નમૂના નિશ્ચિત છે (શાસ્ત્રીય આંકડામાં બધું બરાબર વિરુદ્ધ છે). બાયસિયન કોન્ફિડન્સ અંતરાલ એ એક અંતરાલ છે જે પશ્ચાદવર્તી સંભાવના સાથે પરિમાણના મૂલ્યને આવરી લે છે:

સામાન્ય રીતે, ક્લાસિકલ અને બાયેશિયન આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અલગ છે. અંગ્રેજી-ભાષાના સાહિત્યમાં, બાયસિયન આત્મવિશ્વાસ અંતરાલને સામાન્ય રીતે શબ્દ કહેવામાં આવે છે વિશ્વસનીય અંતરાલ, અને ક્લાસિક એક - આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ.

નોંધો

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

• 2010.
• બાળકો (ફિલ્મ)

વસાહતી

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલઅન્ય શબ્દકોશોમાં "વિશ્વાસ અંતરાલ" શું છે તે જુઓ: - નમૂનાના ડેટામાંથી ગણતરી કરેલ અંતરાલ, જે આપેલ સંભાવના (વિશ્વાસ) સાથે અંદાજિત વિતરણ પરિમાણના અજ્ઞાત સાચા મૂલ્યને આવરી લે છે. સ્ત્રોત: GOST 20522 96: જમીન. પરિણામોની આંકડાકીય પ્રક્રિયા માટેની પદ્ધતિઓ...

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલપ્રમાણભૂત અને તકનીકી દસ્તાવેજીકરણની શરતોની શબ્દકોશ-સંદર્ભ પુસ્તક - વસ્તીના સ્કેલર પેરામીટર માટે, આ એક સેગમેન્ટ છે જેમાં મોટે ભાગે આ પરિમાણ હોય છે. આ વાક્ય વધુ વિસ્તરણ વિના અર્થહીન છે. વિશ્વાસ અંતરાલની મર્યાદા નમૂના પરથી અંદાજવામાં આવતી હોવાથી, તે સ્વાભાવિક છે... ...

સમાજશાસ્ત્રીય આંકડાશાસ્ત્રનો શબ્દકોશકોન્ફિડન્સ ઈન્ટરવલ - પરિમાણોના અંદાજની પદ્ધતિ જે બિંદુ અંદાજથી અલગ હોય છે. ચાલો નમૂના x1, . . ., xn સંભાવના ઘનતા f(x, α), અને a*=a*(x1, . ., xn) અંદાજ α, g(a*, α) સંભાવના ઘનતા અંદાજ સાથેના વિતરણમાંથી. અમે શોધી રહ્યા છીએ.......

સમાજશાસ્ત્રીય આંકડાશાસ્ત્રનો શબ્દકોશ- (વિશ્વાસ અંતરાલ) એક અંતરાલ જેમાં નમૂનાના સર્વેક્ષણના આધારે મેળવેલ વસ્તી માટે પરિમાણ મૂલ્યની વિશ્વસનીયતા ચોક્કસ અંશે સંભાવના ધરાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે 95%, જે નમૂનાને કારણે છે. પહોળાઈ…… આર્થિક શબ્દકોશ

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ- એ અંતરાલ છે જેમાં નિર્ધારિત જથ્થાનું સાચું મૂલ્ય આપેલ વિશ્વાસ સંભાવના સાથે સ્થિત છે. સામાન્ય રસાયણશાસ્ત્ર: પાઠ્યપુસ્તક / A. V. Zholnin ... રાસાયણિક શરતો

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ CI- કોન્ફિડન્સ ઈન્ટરવલ, CI * ડેટા ઈન્ટરવલ, CI * કોન્ફિડન્સ ઈન્ટરવલ ઈન્ટરવલ, લાક્ષણિકતા મૂલ્યનું, k.l માટે ગણવામાં આવે છે. વિતરણ પરિમાણ (ઉદાહરણ તરીકે, લાક્ષણિકતાનું સરેરાશ મૂલ્ય) સમગ્ર નમૂનામાં અને ચોક્કસ સંભાવના સાથે (ઉદાહરણ તરીકે, 95% માટે 95% ... જિનેટિક્સ. જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

સમાજશાસ્ત્રીય આંકડાશાસ્ત્રનો શબ્દકોશ- એક ખ્યાલ જે આંકડાકીય પરિમાણનો અંદાજ કાઢતી વખતે ઉદ્ભવે છે. મૂલ્યોના અંતરાલ દ્વારા વિતરણ. ડી. અને. પરિમાણ q માટે, આ ગુણાંકને અનુરૂપ. ટ્રસ્ટ પી, આવા અંતરાલ (q1, q2) ની બરાબર છે જે અસમાનતાના કોઈપણ સંભવિત વિતરણ માટે... ... ભૌતિક જ્ઞાનકોશ

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ- - ટેલિકોમ્યુનિકેશન વિષયો, મૂળભૂત ખ્યાલો EN વિશ્વાસ અંતરાલ ... ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ- pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standardtizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: engl. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ વોક. Vertrauensbereich, m rus.…… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ- pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: engl. વિશ્વાસ અંતરાલ રસ. ટ્રસ્ટ વિસ્તાર; આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas