પ્લેન પર લંબરૂપ સીધી રેખા કેવી રીતે બનાવવી. આપેલ પ્લેનને લંબરૂપ બનાવવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

પરસ્પર લંબરૂપ સીધા અને વિમાનોનું નિર્માણ

પ્લેનને છેદતી રેખાની તમામ સંભવિત સ્થિતિઓમાંથી, જ્યારે રેખા પ્લેન પર લંબ હોય ત્યારે અમે તે કેસની નોંધ લઈએ છીએ અને આવી રેખાના અંદાજોના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

ફિગ માં. 185 ને બે છેદતી સીધી રેખાઓ AN અને AM દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરાયેલ એક પ્લેન આપવામાં આવ્યું છે, જેમાં AN આડા છે અને AM આ પ્લેનનો આગળનો ભાગ છે. સમાન ડ્રોઇંગમાં દર્શાવેલ સીધી રેખા AB, AN અને AM માટે લંબ છે અને તેથી, તેમના દ્વારા નિર્ધારિત પ્લેન પર લંબ છે.

પ્લેન પર લંબ એ તે પ્લેનમાં દોરેલી કોઈપણ રેખા માટે લંબ છે. પરંતુ આ પ્લેનની કોઈપણ સીધી રેખા પર સમાન નામના પ્રક્ષેપણ માટે સામાન્ય પ્લેન પર લંબરૂપ પ્રક્ષેપણ માટે, સીધી રેખા આડી, અથવા આગળની, અથવા પ્રોફાઇલ સીધી પ્લેન હોવી આવશ્યક છે. તેથી, પ્લેન પર લંબ બાંધવા માંગતા હોય, સામાન્ય કિસ્સામાં તેઓ આવી બે સીધી રેખાઓ (ઉદાહરણ તરીકે, આડી અને આગળની, ફિગ. 185 માં બતાવ્યા પ્રમાણે) લે છે.

તેથી, પ્લેન પર લંબરૂપ માટે, તેનું આડું પ્રક્ષેપણ આડાના આડા પ્રક્ષેપણ માટે લંબરૂપ છે, આગળનું પ્રક્ષેપણ આગળના આગળના પ્રક્ષેપણ માટે લંબરૂપ છે, પ્રોફાઇલ પ્રક્ષેપણ આની પ્રોફાઇલ લાઇનના પ્રોફાઇલ પ્રક્ષેપણને લંબરૂપ છે. વિમાન

દેખીતી રીતે, એવા કિસ્સામાં જ્યારે પ્લેન નિશાનો (ફિગ. 186) દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તો અમે નીચેના નિષ્કર્ષ પર મેળવીએ છીએ: જો કોઈ સીધી રેખા પ્લેન પર લંબરૂપ હોય, તો આ રેખાનું આડું પ્રક્ષેપણ પ્લેનના આડા ટ્રેસને લંબરૂપ છે. , અને આગળનો પ્રક્ષેપણ પ્લેનના આગળના ટ્રેસને લંબરૂપ છે.

તેથી, જો સિસ્ટમ π 1 p 2 માં રેખાનું આડું પ્રક્ષેપણ આડા ટ્રેસને લંબરૂપ હોય અને રેખાનું આગળનું પ્રક્ષેપણ વિમાનના આગળના ટ્રેસને લંબરૂપ હોય, તો સામાન્ય સ્થિતિના વિમાનોના કિસ્સામાં (ફિગ. 186), તેમજ આડા અને આગળના ભાગમાં પ્રક્ષેપણ, રેખા પ્લેન પર લંબ છે. પરંતુ પ્રોફાઇલ-પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન માટે તે બહાર આવી શકે છે કે આ પ્લેનની સીધી રેખા કાટખૂણે નથી, જો કે સીધી રેખાના અંદાજો પ્લેનના આડા અને આગળના નિશાનોને અનુરૂપ રીતે લંબરૂપ છે. તેથી, પ્રોફાઈલ-પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેનના કિસ્સામાં, સીધી રેખાના પ્રોફાઈલ પ્રોજેક્શનની સંબંધિત સ્થિતિ અને આપેલ પ્લેનના પ્રોફાઈલ ટ્રેસને ધ્યાનમાં લેવું પણ જરૂરી છે, અને તે પછી જ નક્કી કરો કે આપેલ સીધી રેખા અને પ્લેન એકબીજાને લંબરૂપ હશે.

દેખીતી રીતે (ફિગ. 187), પ્લેન પર કાટખૂણેનું આડું પ્રક્ષેપણ કાટખૂણેના પાયા દ્વારા પ્લેનમાં દોરેલી ઢાળ રેખાના આડી પ્રક્ષેપણ સાથે ભળી જાય છે.

ફિગ માં. 186 બિંદુ A થી ચોરસ તરફ લંબ દોરવામાં આવે છે. a (А"С" ⊥ f" 0a, А"С" ⊥ h" 0a) અને બિંદુ E નું બાંધકામ દર્શાવે છે કે જેના પર લંબરૂપ AC pl ને છેદે છે. એ. બાંધકામ આડા પ્રોજેક્ટિંગ સ્ક્વેરનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવ્યું હતું. β કાટખૂણે AE દ્વારા દોરવામાં આવે છે.

ફિગ માં. 188 ત્રિકોણ ABC દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્લેન પર લંબરૂપ બાંધકામ બતાવે છે. બિંદુ A દ્વારા લંબ દોરવામાં આવે છે.

પ્લેન પર લંબનો આગળનો પ્રક્ષેપણ પ્લેનના આગળના આગળના પ્રક્ષેપણને લંબરૂપ હોવો જોઈએ, અને તેનું આડું પ્રક્ષેપણ આડાના આડા પ્રક્ષેપણને લંબરૂપ હોવું જોઈએ, તો પછી પ્લેનમાં બિંદુ A મારફતે આગળના પ્રક્ષેપણ A સાથે "D" અને A"D" અને આડી A"E ", A"E" દોરવામાં આવે છે. અલબત્ત, આ રેખાઓ બિંદુ A દ્વારા બરાબર દોરવાની જરૂર નથી.

નીચે કાટખૂણેના અંદાજો છે: M"N" ⊥ A"D", M"N" ⊥ A"E". ફિગમાં અંદાજો શા માટે છે. વિભાગ A"N" અને A"M" માં 188 ડૅશવાળી રેખાઓ દ્વારા બતાવવામાં આવે છે? કારણ કે અહીં આપણે ત્રિકોણ ABC દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્લેનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, અને માત્ર આ ત્રિકોણ જ નહીં: કાટખૂણે અંશતઃ વિમાનની આગળ છે, અંશતઃ તેની પાછળ છે.

ફિગ માં. 189 અને 190 સીધી રેખા BC થી લંબરૂપ બિંદુ Aમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું બાંધકામ દર્શાવે છે. ફિગ માં. 189 પ્લેન નિશાનો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. બિંદુ A દ્વારા ઇચ્છિત પ્લેનની આડી રેખા દોરવાથી બાંધકામ શરૂ થયું: કારણ કે પ્લેનનું આડું ટ્રેસ B "C" ને લંબરૂપ હોવું જોઈએ, તો પછી આડી રેખાનું આડું પ્રક્ષેપણ B "C" ને લંબરૂપ હોવું જોઈએ. તેથી, A"N" ⊥ B"C. x અક્ષનું પ્રોજેક્શન A"N" ||, કારણ કે તે આડું હોવું જોઈએ. પછી બિંદુ N" દ્વારા દોરો (N" એ આગળના ટ્રેસનું આગળનું પ્રક્ષેપણ છે આડી AN) ટ્રેસ f" 0a ⊥ B "C", બિંદુ X a મેળવવામાં આવે છે અને h" 0a A"N" (h" 0a ⊥ B"C") દોરવામાં આવે છે.

ફિગ માં. 190 પ્લેન તેના આગળના AM અને આડા AN દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આ રેખાઓ BC (А"М"" ⊥ В"С", A"N" ⊥ В"С) માટે લંબરૂપ છે; તેઓ જે પ્લેન વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે સૂર્યને લંબરૂપ છે.

આ સમતલમાં દોરવામાં આવેલી દરેક સીધી રેખાને સમતલની લંબ લંબ હોવાથી, એક સીધી રેખાને કાટખૂણે દોરવાનું શીખ્યા પછી, તમે ચોક્કસ બિંદુ A થી સામાન્ય રેખા BC સુધી લંબ દોરવા માટે તેનો ઉપયોગ કરી શકો છો. દેખીતી રીતે, અમે ઇચ્છિત રેખાના અંદાજો બાંધવા માટે નીચેની યોજનાની રૂપરેખા આપી શકીએ છીએ:

1) બિંદુ A દ્વારા એક વિમાન દોરો (ચાલો તેને ϒ કહીએ) BC ને લંબરૂપ છે;

2) ચોરસ સાથે સીધી રેખા BC ના આંતરછેદના બિંદુ K નક્કી કરો. ϒ;

3) બિંદુ A અને K ને એક સીધી રેખા સેગમેન્ટ સાથે જોડો.

રેખાઓ AK અને BC પરસ્પર લંબ છે.

બાંધકામનું ઉદાહરણ ફિગમાં આપવામાં આવ્યું છે. 191. એક સમતલ (ϒ) બિંદુ A દ્વારા દોરવામાં આવે છે, જે BC ને લંબ છે. આ ફ્રન્ટલનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, આગળનો પ્રક્ષેપણ A"F" જેમાંથી આગળના પ્રક્ષેપણ B"C" ને લંબ છે અને એક આડું છે, જેનું આડું પ્રક્ષેપણ B"C" ને લંબરૂપ છે.

પછી બિંદુ K જોવા મળે છે કે જેના પર સીધી રેખા BC ચોરસને છેદે છે. ϒ. આ કરવા માટે, એક આડું પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન β સીધી રેખા BC દ્વારા દોરવામાં આવે છે (ડ્રોઇંગમાં તે ફક્ત આડી ટ્રેસ β" દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે). સ્ક્વેર β 1"2' અને 1"2 અંદાજો સાથે સીધી રેખામાં ચોરસ ϒ ને છેદે છે. " સીધી રેખા BC સાથે આ રેખાના આંતરછેદ પર, બિંદુ K મેળવવામાં આવે છે, જે BC માટે ઇચ્છિત લંબ છે. ખરેખર, સીધી રેખા AK સીધી રેખા BC ને છેદે છે અને ચોરસમાં છે. ϒ, સીધી રેખા BC ને લંબરૂપ; તેથી, AK ⊥ BC.

ફિગ માં. 192 સામાન્ય સ્થિતિ aનું પ્લેન બતાવે છે, જે બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે, અને આ પ્લેન પર લંબરૂપ AM, પ્લેન સાથે આંતરછેદ સુધી વિસ્તરેલ છે. n 1, બિંદુ B પર"

pl વચ્ચે કોણ f 1. a અને pl. n 1 અને સીધી રેખા AM અને ચોરસ વચ્ચેનો કોણ f. p 1 એ કાટકોણ ત્રિકોણ B "AM" ના તીવ્ર ખૂણા છે અને તેથી, φ 1 + φ = 90°. તેવી જ રીતે, જો pl. અને રકમ pl. p 2 કોણ σ 2, અને સીધી રેખા AM, a ને લંબરૂપ, c pl બનાવે છે. n 2 કોણ σ, પછી σ 2 + σ = 90°. આમાંથી, સૌ પ્રથમ, તે અનુસરે છે કે સામાન્ય સ્થિતિનું પ્લેન, જે pl ની બરાબર હોવું જોઈએ. p 1 કોણ f 1 a સાથે pl. n 2 કોણ σ 2 180° > Ф 1 + σ2 > 90° હોય તો જ બાંધી શકાય.

ખરેખર, Ф 1 + Ф = 90° અને σ 2 + σ = 90° દ્વારા શબ્દ ઉમેરવાથી, આપણે Ф 1 + σ 2 + Ф + σ = 180°, એટલે કે Ф 1 + σ 2 મેળવીએ છીએ.< 180, а так как Ф + σ < 90 , то Ф 1 + σ 2 >90°. જો તમે Ф 1 + σ 2 =90° લો છો, તો તમને પ્રોફાઈલ-પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન મળશે, અને જો તમે Ф 1 + σ 2 = 180° લો છો, તો તમને પ્રોફાઈલ પ્લેન મળશે, એટલે કે આ બંને કેસમાં પ્લેન નથી. સામાન્ય સ્થિતિ, પરંતુ ચોક્કસ સ્થિતિ.

પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનોનું નિર્માણ

પ્લેન β નું નિર્માણ, પ્લેન a ને લંબરૂપ, બે રીતે કરી શકાય છે: 1) pl. β એ ચોરસની લંબ રેખા દ્વારા દોરવામાં આવે છે. એ; 2) પી.એલ. β ચોરસમાં પડેલી રેખાને લંબરૂપ દોરવામાં આવે છે. a અથવા આ પ્લેનની સમાંતર. અનન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે, વધારાની શરતો જરૂરી છે.

ફિગ માં. 193 ત્રિકોણ CDE દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્લેન પર લંબરૂપ પ્લેનનું બાંધકામ બતાવે છે. અહીં એક વધારાની શરત એ છે કે ઇચ્છિત પ્લેન A B રેખામાંથી પસાર થવું જોઈએ. પરિણામે, ઇચ્છિત પ્લેન સીધી રેખા AB અને ત્રિકોણના પ્લેન પર લંબ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ લંબને ચોરસ પર દોરવા માટે. CDE તેમાં આગળનો CN અને આડું CM લેવામાં આવે છે: જો B"F" ⊥ C"N" અને B"F"⊥C"M", તો BF⊥ ચોરસ CDE.

AB અને BF ને છેદતી સીધી રેખાઓ દ્વારા બનેલ સમતલ ચોરસ પર લંબ છે. COE, કારણ કે તે આ પ્લેન પર લંબમાંથી પસાર થાય છે. ફિગ માં. 194 આડું પ્રક્ષેપણ કરતું પ્લેન β ત્રિકોણ ABC દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્લેન પર લંબરૂપ બિંદુ Kમાંથી પસાર થાય છે. અહીં, એક વધારાની શરત એ હતી કે ઇચ્છિત વિમાનની લંબરૂપતા એક સાથે બે વિમાનો પર: ચોરસ સુધી. ABC અને to pl. પૃષ્ઠ 1. તેથી, જવાબ આડી પ્રક્ષેપણ પ્લેન છે. અને કારણ કે તે આડી રેખા AD, એટલે કે pl ને લગતી સીધી રેખા પર લંબરૂપ દોરવામાં આવે છે. ABC, પછી pl. β ચોરસ માટે લંબ છે. ABC.

શું વિમાનોના સમાન નામના નિશાનોની લંબરૂપતા વિમાનોની લંબરૂપતાના સંકેત તરીકે સેવા આપી શકે છે?

દેખીતી રીતે જ્યાં આ કેસ છે તેમાં બે આડા પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેનની પરસ્પર લંબરૂપતાનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં આડા ટ્રેસ પરસ્પર લંબ હોય છે. આ ત્યારે પણ થાય છે જ્યારે ફ્રન્ટલી પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન્સના આગળના નિશાનો પરસ્પર લંબરૂપ હોય છે; આ વિમાનો પરસ્પર લંબરૂપ છે.

ચાલો વિચારીએ (ફિગ. 195) એક આડા પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન β, જે સામાન્ય પ્લેન a ને લંબરૂપ છે.

જો pl. β ચોરસ માટે લંબ છે. l, p 1 pl. a, પછી β⊥h" 0a વિસ્તાર a અને વિસ્તાર p 1 ના આંતરછેદની રેખા તરીકે. તેથી h" 0a ⊥ β અને તેથી, h" 0a ⊥ β, વિસ્તાર β માંની એક રેખા તરીકે.

તેથી, સામાન્ય પ્લેન અને આડા પ્રક્ષેપિત પ્લેનના આડા ટ્રેસની લંબરૂપતા આ વિમાનોની પરસ્પર લંબતાને અનુલક્ષે છે.

દેખીતી રીતે, ફ્રન્ટલી પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન અને સામાન્ય સ્થિતિ પ્લેનના આગળના નિશાનોની લંબરૂપતા પણ આ વિમાનોની પરસ્પર લંબતાને અનુરૂપ છે.

પરંતુ જો સામાન્ય સ્થિતિમાં બે વિમાનોના સમાન નામના નિશાનો પરસ્પર લંબરૂપ હોય, તો પછી વિમાનો પોતે એકબીજાને લંબરૂપ નથી, કારણ કે આ વિભાગની શરૂઆતમાં જણાવેલી કોઈપણ શરતો અહીં પૂરી થતી નથી.

નિષ્કર્ષમાં, ચાલો ફિગમાં જોઈએ. 196. અહીં તેમની જોડીમાં સમાન નામના ટ્રેસની પરસ્પર લંબરૂપતાનો કેસ છે અને પ્લેનની પોતાની લંબતા છે: વિશેષ (વિશિષ્ટ) સ્થિતિના બંને પ્લેન - પ્રોફાઇલ ϒ અને પ્રોફાઇલ-પ્રોજેક્ટિંગ a.

મૌખિક સ્વરૂપ	ગ્રાફિક સ્વરૂપ
1. તે જાણીતું છે કે પ્લેન પર લંબરૂપ સીધી રેખા બાંધવા માટે, પ્લેનમાં આડી અને આગળની રેખા બાંધવી જરૂરી છે. a) નોંધ કરો કે કાટખૂણેનું બાંધકામ સરળ છે, કારણ કે પ્લેન Q(D ABC) ની બાજુઓ સ્તરની સીધી રેખાઓ છે: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) - આગળનું AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – આડું . b) સીધી લીટી પર લો
l મનસ્વી બિંદુ K 2. બિંદુ K દ્વારા, જે રેખાથી સંબંધિત છે lઅમે ડાયરેક્ટ ચલાવીએ છીએ a) નોંધ કરો કે કાટખૂણેનું બાંધકામ સરળ છે, કારણ કે પ્લેન Q(D ABC) ની બાજુઓ સ્તરની સીધી રેખાઓ છે: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) - આગળનું AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – આડું . n l^Q, એટલે કે. a) નોંધ કરો કે કાટખૂણેનું બાંધકામ સરળ છે, કારણ કે પ્લેન Q(D ABC) ની બાજુઓ સ્તરની સીધી રેખાઓ છે: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) - આગળનું AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – આડું . n 1 ^ A 1 C 1 અને n 2 ^ A 2 B 2 .

ઇચ્છિત પ્લેન બે છેદતી રેખાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે, જેમાંથી એક આપેલ છે -

, અને અન્ય -

આપેલ પ્લેન પર લંબ છે: P(

n)^Q (D ABC)

કામનો અંત -

આ વિષય વિભાગનો છે:

આ વિભાગના તમામ વિષયો:

વર્ણનાત્મક ભૂમિતિ
ફાર ઇસ્ટર્ન રિજનલ એજ્યુકેશનલ એન્ડ મેથોડોલોજિકલ સેન્ટર દ્વારા વિશેષતા 210700 "ઓટોમેશન, ટેલીમિકેનિક્સ અને રેલ્વે કમ્યુનિકેશન્સ" ના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠયપુસ્તક તરીકે ભલામણ કરેલ.

ભૌમિતિક છબીઓ
1. પ્રોજેક્શન પ્લેન: p - મનસ્વી;

p1 - આડી;
p2 - આગળનો;

p3 - પ્રોફાઇલ;
એસ - કેન્દ્ર પ્રક્ષેપણ

સેટ-સૈદ્ધાંતિક સંકેત
પ્રક્ષેપણ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે કેટલીક ભૌમિતિક છબીની પ્રક્ષેપણ એ.પી

પ્રોજેક્શન કેન્દ્રીય
સેન્ટ્રલ એક પ્રક્ષેપણ છે જેમાં તમામ પ્રક્ષેપણ કિરણો એક બિંદુ Sમાંથી નીકળે છે, જેને પ્રક્ષેપણ કેન્દ્ર કહેવાય છે. ફિગ માં. 1.3 કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણનું ઉદાહરણ આપે છે, જ્યાં p સપાટ છે

સમાંતર પ્રક્ષેપણ
સમાંતર પ્રક્ષેપણ એ એક પ્રક્ષેપણ છે જેમાં તમામ પ્રક્ષેપણ કિરણો એકબીજાની સમાંતર હોય છે.

સમાંતર અંદાજો ત્રાંસી (ફિગ. 1.7) અને લંબચોરસ (ફિગ. 1.8) હોઈ શકે છે.
ઓર્થોગોનલ અંદાજોના ગુણધર્મો

1. બિંદુનું પ્રક્ષેપણ એક બિંદુ છે (ફિગ. 1.9).
ચોખા. 1.9 2. સામાન્ય રીતે રેખાનું પ્રક્ષેપણ

ડ્રોઇંગની વિપરીતતા. મોંગે પદ્ધતિ
§ 2 અને § 3 માં ચર્ચા કરેલ અંદાજોને એક પ્લેન પર પ્રક્ષેપિત કરવાની પદ્ધતિ, સીધી સમસ્યાને ઉકેલવાનું શક્ય બનાવે છે (એક ઑબ્જેક્ટ હોય, તો તમે તેનું પ્રક્ષેપણ શોધી શકો છો), પરંતુ વિપરીત સમસ્યાને હલ કરવાની મંજૂરી આપતી નથી

બે પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનોની સિસ્ટમ
ડ્રોઇંગની ઉલટાવી શકાય તેવું, અગાઉ ઉલ્લેખ કર્યો છે, એટલે કે, તેના અનુમાનોમાંથી અવકાશમાં બિંદુની સ્થિતિનું અસ્પષ્ટ નિર્ધારણ, બે પરસ્પર લંબ પર પ્રક્ષેપણ દ્વારા સુનિશ્ચિત કરી શકાય છે.

ત્રણ પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનોની સિસ્ટમ
વ્યવહારમાં, સંશોધન અને ઇમેજિંગમાં, બે પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનોની સિસ્ટમ હંમેશા અસ્પષ્ટ ઉકેલની શક્યતા પૂરી પાડતી નથી. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે બિંદુ A ને ધરી સાથે ખસેડો

જટિલ રેખાંકન અને અષ્ટકોષ I–IV માં બિંદુનું દ્રશ્ય રજૂઆત
ચાલો વિવિધ અષ્ટકોષ (કોષ્ટક 2.4) માં બિંદુઓ A, B, C, D બનાવવાના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ.

કોષ્ટક 2.4 ઓક્ટન્ટ વિઝ્યુઅલ રજૂઆત
અમારા ઉદાહરણમાં, અમે પ્રથમ ક્વાર્ટર (કોષ્ટક 3.3) માં સામાન્ય લાઇનના બાંધકામને ધ્યાનમાં લઈશું.

કોષ્ટક 3.3 મૌખિક સ્વરૂપ
જમણો ત્રિકોણ પદ્ધતિ. સીધી રેખાના સેગમેન્ટના કુદરતી કદનું નિર્ધારણ અને પ્રક્ષેપણ વિમાનો તરફ સીધી રેખાના ઝોકના ખૂણા

સામાન્ય અને ચોક્કસ સ્થિતિમાં સીધી રેખા સેગમેન્ટના અંદાજો બાંધવાથી માત્ર સ્થિતિકીય સમસ્યાઓ (પ્રક્ષેપણ વિમાનોને સંબંધિત સ્થાન) જ નહીં, પણ મેટ્રિક મુદ્દાઓ પણ ઉકેલવાનું શક્ય બને છે - થી લંબાઈ નક્કી કરવી.
સામાન્ય સ્થિતિમાં રેખાખંડના કુદરતી મૂલ્યનું નિર્ધારણ

બે પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનોની સિસ્ટમ
તેના અંદાજો પરથી સામાન્ય સ્થિતિમાં સીધી રેખા ખંડનું કુદરતી મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે, જમણી બાજુએ ત્રિકોણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ચાલો આ સ્થિતિના ક્રમને ધ્યાનમાં લઈએ (કોષ્ટક.
અવકાશમાં બે સીધી રેખાઓ અલગ અલગ સ્થાનો ધરાવી શકે છે: છેદે છે (એક જ પ્લેનમાં આવેલા છે). આંતરછેદનો એક વિશિષ્ટ કેસ જમણા ખૂણા પર છે; સમાંતર હોઈ શકે છે

પ્રક્ષેપણ વિમાનોને સંબંધિત રેખાઓની દૃશ્યતા નક્કી કરવી
સ્પર્ધાત્મક બિંદુઓનો ઉપયોગ પ્રક્ષેપણ વિમાનોની તુલનામાં રેખાઓની દૃશ્યતા નક્કી કરવા માટે થાય છે. ચાલો a અને b (ફિગ. 4.1 અને ફિગ. 4.2) ને છેદતી સીધી રેખાઓના જટિલ ચિત્રને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો નક્કી કરીએ કે જે

છેદતી રેખાઓ બાંધવા માટે અલ્ગોરિધમ
મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક સ્વરૂપ 1. બિંદુ K દ્વારા એક સીધી રેખા h || દોરો p1 અને છેદતી રેખા a

પ્રોજેક્ટિંગ વિમાનો
વ્યાખ્યા વિઝ્યુઅલ ઈમેજ કોમ્પ્લેક્સ ડ્રોઈંગ આડું પ્રક્ષેપણ કરતું પ્લેન એ પ્લેન લંબરૂપ છે

સ્તરના વિમાનો
લાક્ષણિકતાઓ વિઝ્યુઅલ પ્રતિનિધિત્વ ડાયાગ્રામ આગળનો પ્લેન એ p2 પ્લેનની સમાંતર પ્લેન છે. આ

પ્લેનમાં વિશેષ સ્થિતિની સીધી રેખાઓ
પ્લેનમાં વિશેષ સ્થિતિની રેખાઓ આડી h, આગળનો f અને પ્રક્ષેપણ વિમાનો તરફ સૌથી વધુ ઝોકની રેખાઓ છે. ચાલો આ રેખાઓની ગ્રાફિકલ રજૂઆત જોઈએ (કોષ્ટક 5.6).

તા
આગળનો બાંધકામ અલ્ગોરિધમનો

મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક સ્વરૂપ આપેલ પ્લેન a (a|| b), તેથી a1 || b1; a2
બિંદુ K ના બીજા પ્રક્ષેપણના નિર્માણ માટે અલ્ગોરિધમ

મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક સ્વરૂપ પ્લેન a - સપાટ આકૃતિ a (D ABC), K2 - બિંદુ K ના આગળના પ્રક્ષેપણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત
આપેલ એકની સમાંતર પ્લેન બાંધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

પ્લેનની સમાંતર સીધી રેખા બાંધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ
મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક સ્વરૂપ 1. ચાલો પ્લેન P(D ABC) માં એક સીધી રેખા A1 બનાવીએ, જે P પ્લેન સાથે સંબંધિત છે.

સામાન્ય વિમાન સાથે સીધી રેખાના આંતરછેદ માટે અલ્ગોરિધમ
મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક સ્વરૂપ 1. પ્લેન સાથે સીધી રેખા l ના આંતરછેદના બિંદુને બાંધવા

પ્લેન પર લંબ બાંધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ
મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક સ્વરૂપ 1. બિંદુ D દ્વારા પ્લેન P(D ABC) પર લંબ બાંધવા માટે, તમારે પહેલા

પ્રકરણ 3 સુધી
1. રેખા AB (ફિગ. 3) ના પ્રક્ષેપણનું નિર્માણ કરો જો તે: a) p1 ની સમાંતર હોય;

b) p2 ની સમાંતર;
c) OX ની સમાંતર;

d) p1 ને લંબરૂપ
પ્રકરણ 5 સુધી

બે સમાંતર સીધી રેખાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્લેનમાં, p1 (ફિગ. 9) થી 15 મીમીના અંતરે આગળનો ભાગ બનાવો:
પ્રકરણ 6 સુધી

1. બિંદુ Dમાંથી પસાર થતી રેખા mનું પ્લેન P(a|| b) અને આગળનો પ્રક્ષેપણ m2 આપેલ છે. રેખા m1 નું આડું પ્રક્ષેપણ બનાવો જેથી રેખા m સમતલની સમાંતર હોય
પ્રકરણ 3 માટે પરીક્ષણો

સેગમેન્ટ AB ના હોદ્દો અને તેની છબી (ફિગ. 6) વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર પસંદ કરો: 1. AB || પૃષ્ઠ 1 2. એબી || p 2 3. AB ^ p 1 4.
પ્રકરણ 6 માટે પરીક્ષણો

1. કયા રેખાંકનોમાં (ફિગ. 12) પ્લેન S (D ABC) પ્લેન P(m C n) ની સમાંતર છે.

ભલામણ કરેલ ગ્રંથસૂચિ

1. GOST 2.001-70. સામાન્ય જોગવાઈઓ // સંગ્રહમાં. ડિઝાઇન દસ્તાવેજીકરણની એકીકૃત સિસ્ટમ. મૂળભૂત જોગવાઈઓ. – એમ.: સ્ટાન્ડર્ડ્સ પબ્લિશિંગ હાઉસ, 1984. – પૃષ્ઠ 3-5.

સમસ્યાનો માત્ર એક જ (એટલે કે, અનન્ય) ઉકેલ છે. ખરેખર, ચાલો વિપરીત ધારીએ. પછી, પ્લેન a ઉપરાંત, અન્ય પ્લેન P બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે, જે સીધી રેખા a (ફિગ. 2.18) ને લંબરૂપ છે. ચાલો બિંદુ A માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા P પ્લેન માં લઈએ અને પ્લેન a માં ન પડે. ચાલો a અને છેદતી રેખાઓ દ્વારા પ્લેન y દોરીએ. y પ્લેન એ પ્લેનને સીધી રેખા q સાથે છેદે છે. રેખા q રેખા સાથે સુસંગત નથી, કારણ કે q માં આવેલું છે અને a માં આવેલ નથી. આ બંને રેખાઓ y સમતલમાં આવેલી છે, બિંદુ A માંથી પસાર થાય છે અને a ત્યારથી અને તે જ રીતે ત્યારથી અને લાઇનને લંબરૂપ છે. પરંતુ આ પ્લેનિમેટ્રીના જાણીતા પ્રમેયનો વિરોધાભાસ કરે છે, જે મુજબ પ્લેનમાં દરેક બિંદુમાંથી માત્ર એક સીધી રેખા પસાર થાય છે, જે આપેલ સીધી રેખાને લંબરૂપ છે.

તેથી, ધારી લઈએ કે બિંદુ A થી પસાર થતી રેખાને બે વિમાનો લંબરૂપ છે, અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચ્યા છીએ. તેથી, સમસ્યાનો એક અનન્ય ઉકેલ છે.

સમસ્યા 2. આપેલ બિંદુ A દ્વારા, જે આપેલ રેખા a પર રહેતું નથી, આ રેખા પર લંબરૂપ સમતલ દોરો.

બિંદુ A દ્વારા આપણે રેખા a પર લંબરૂપ રેખા b દોરીએ છીએ. ચાલો B એ a અને b ના આંતરછેદ બિંદુ છે. બિંદુ B દ્વારા આપણે એક સીધી રેખા c પણ દોરીએ છીએ, જે સીધી રેખા a (ફિગ. 2.19) ને લંબરૂપ છે. બંને દોરેલી રેખાઓમાંથી પસાર થતું વિમાન લંબરૂપતા માપદંડ (પ્રમેય 2) અનુસાર લંબરૂપ હશે.

સમસ્યા 1 ની જેમ, બાંધવામાં આવેલ પ્લેન અનન્ય છે. ખરેખર, ચાલો બિંદુ A માંથી પસાર થતા કોઈપણ વિમાનને સીધી રેખા a પર લંબરૂપ લઈએ. આવા પ્લેનમાં રેખા a અને બિંદુ A માંથી પસાર થતી એક રેખા કાટખૂણે હોય છે. પરંતુ આવી એક જ રેખા હોય છે. આ એક રેખા b છે જે બિંદુ B માંથી પસાર થાય છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે A માંથી પસાર થતા પ્લેન અને રેખા aને કાટખૂણે બિંદુ B ધરાવતા હોવા જોઈએ, અને માત્ર એક પ્લેન બિંદુ Bમાંથી પસાર થાય છે, જે રેખા a (સમસ્યા 1) ને લંબ છે. તેથી, આ બાંધકામ સમસ્યાઓ હલ કર્યા પછી અને તેમના ઉકેલોની વિશિષ્ટતા સાબિત કરી, અમે નીચેના મહત્વપૂર્ણ પ્રમેયને સાબિત કર્યું છે.

પ્રમેય 3 (રેખાને લંબરૂપ સમતલ વિશે). દરેક બિંદુ દ્વારા આપેલ રેખાને લંબરૂપ વિમાન પસાર થાય છે, અને વધુમાં, ફક્ત એક જ.

કોરોલરી (લંબના પ્લેન વિશે). આપેલ બિંદુ પર આપેલ રેખાને લંબરૂપ રેખાઓ સમાન સમતલમાં રહે છે અને તેને આવરી લે છે.

આપેલ લીટી બનવા દો અને A તેના પર કોઈપણ બિંદુ હોઈ શકે છે. તેમાંથી એક વિમાન પસાર થાય છે. રેખા અને સમતલની લંબરૂપતાની વ્યાખ્યા દ્વારા, તે આવરી લેવામાં આવે છે

બિંદુ A પર સીધી રેખા a ને કાટખૂણે સીધી રેખાઓ દ્વારા આવરી લેવામાં આવે છે, એટલે કે. સમતલના દરેક બિંદુમાંથી a ત્યાં રેખા a ને લંબરૂપ રેખા પસાર કરે છે.

ચાલો ધારીએ કે એક સીધી રેખા બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે અને પ્લેન a માં રહેતી નથી. ચાલો તેના દ્વારા પ્લેન P દોરીએ અને પ્લેન P એ ચોક્કસ સીધી રેખા c સાથે છેદે છે (ફિગ. 2.20). અને કારણ કે તે બહાર આવ્યું છે કે પ્લેન P માં બિંદુ A દ્વારા બે સીધી રેખાઓ b અને c પસાર થાય છે, સીધી રેખા a ને લંબરૂપ છે. આ અશક્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ A પર a રેખાને લંબરૂપ કોઈ રેખાઓ નથી અને પ્લેન a માં આવેલી નથી. તેઓ બધા આ વિમાનમાં આવેલા છે.

પ્રમેય 3 ના કોરોલરીનું ઉદાહરણ વ્હીલમાં પ્રવક્તા દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે, તેની ધરીને લંબરૂપ છે: જ્યારે ફરતી હોય ત્યારે, તેઓ પરિભ્રમણની અક્ષને લંબરૂપ તમામ સ્થિતિઓ લઈને પ્લેન (વધુ ચોક્કસ રીતે, એક વર્તુળ) દોરે છે.

પ્રમેય 2 અને 3 નીચેની સમસ્યાનો સરળ ઉકેલ આપવામાં મદદ કરે છે.

સમસ્યા 3. આ સમતલને લંબરૂપ આપેલ સમતલ પરના બિંદુ દ્વારા સીધી રેખા દોરો.

પ્લેન a અને પ્લેન a માં એક બિંદુ A આપવા દો. ચાલો પ્લેન a થી પોઈન્ટ A માં અમુક રેખા a દોરીએ. બિંદુ A દ્વારા આપણે રેખા a (સમસ્યા 1) ને લંબરૂપ સમતલ દોરીએ છીએ. પ્લેન પ્લેન a ને અમુક સીધી રેખા b સાથે છેદે છે (ફિગ. 2.21). ચાલો બિંદુ A થી પ્લેન P માં રેખા c દોરીએ, જે રેખા b ને લંબ છે. ત્યારથી (c પ્લેનમાં આવેલું હોવાથી

અને), પછી પ્રમેય 2 દ્વારા. તેના ઉકેલની વિશિષ્ટતા વિભાગ 2.1 માં સ્થાપિત થયેલ છે.

ટિપ્પણી. અવકાશમાં બાંધકામો વિશે. ચાલો યાદ કરીએ કે પ્રકરણ 1 માં આપણે "માળખાકીય ભૂમિતિ" નો અભ્યાસ કરીએ છીએ. અને આ બિંદુએ અમે અવકાશમાં બાંધકામને લગતી ત્રણ સમસ્યાઓ હલ કરી. સ્ટીરિયોમેટ્રીમાં “કન્સ્ટ્રક્ટ”, “ડ્રો”, “ઇનસ્ક્રાઇબ” વગેરે શબ્દોનો અર્થ શું છે? પ્રથમ, ચાલો આપણે ત્રિકોણની આસપાસનું વર્તુળ કેવી રીતે બનાવવું તે સૂચવીને યાદ કરીએ આમ સામાન્ય રીતે, બાંધકામની સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, અમે આપેલ ગુણધર્મો સાથે આકૃતિના અસ્તિત્વ માટે એક પ્રમેય સાબિત કરીએ છીએ. જરૂરી પરિણામ તરફ દોરી જતી સૌથી સરળ કામગીરી એ છે કે વર્તુળો દોરવા અને તેમના આંતરછેદ બિંદુઓને શોધવા પછી, આકૃતિ સીધી કાગળ પર અથવા બોર્ડ પર બનાવવામાં આવે છે.

તેથી, પ્લાનિમેટ્રીમાં, બાંધકામની સમસ્યાના ઉકેલમાં, બે બાજુઓ છે: સૈદ્ધાંતિક - બાંધકામ અલ્ગોરિધમનો - અને વ્યવહારુ - આ અલ્ગોરિધમનો અમલ, ઉદાહરણ તરીકે, હોકાયંત્ર અને શાસક સાથે.

સ્ટીરિયોમેટ્રિક બાંધકામ કાર્યમાં માત્ર એક બાજુ બાકી છે - સૈદ્ધાંતિક, કારણ કે જગ્યામાં બાંધકામ માટે કોઈ સાધનો નથી, હોકાયંત્ર અને શાસક જેવા.

અવકાશમાં મૂળભૂત બાંધકામો સીધી રેખાઓ અને વિમાનોના અસ્તિત્વ પરના સ્વયંસિદ્ધ અને પ્રમેય દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે. આ બે બિંદુઓ દ્વારા એક રેખા દોરે છે, એક પ્લેન દોરે છે (કલમ 1.1 ની દરખાસ્તો અને કલમ 1.4 ના સ્વયંસિદ્ધ 1), તેમજ કોઈપણ બે બાંધેલા પ્લેન (કલમ 1.4 નું સ્વયંસિદ્ધ 2) ના આંતરછેદની રેખા બનાવવી. વધુમાં, અમે કુદરતી રીતે ધારીશું કે પહેલેથી જ બાંધવામાં આવેલા વિમાનોમાં પ્લાનમેટ્રિક બાંધકામો હાથ ધરવાનું શક્ય છે.

અવકાશમાં બાંધકામની સમસ્યાને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે મૂળભૂત બાંધકામોનો ક્રમ સૂચવે છે જે ઇચ્છિત આકૃતિમાં પરિણમે છે. સામાન્ય રીતે, તમામ મૂળભૂત બાંધકામો સ્પષ્ટપણે સૂચવવામાં આવતાં નથી, પરંતુ પહેલાથી જ ઉકેલાયેલી બાંધકામ સમસ્યાઓનો સંદર્ભ આપવામાં આવે છે, એટલે કે. આવા બાંધકામોની શક્યતા વિશે પહેલાથી જ સાબિત દરખાસ્તો અને પ્રમેયો પર.

સ્ટીરિયોમેટ્રીમાં બાંધકામો - અસ્તિત્વના પ્રમેય ઉપરાંત, બાંધકામોને લગતી વધુ બે પ્રકારની સમસ્યાઓ શક્ય છે.

પ્રથમ, કાર્યો ચિત્ર અથવા ચિત્રમાં છે. આ પોલિહેડ્રા અથવા અન્ય સંસ્થાઓને કાપવા માટેની સમસ્યાઓ છે. અમે વાસ્તવમાં વિભાગ પોતે જ બનાવતા નથી, પરંતુ ફક્ત તેનું નિરૂપણ કરીએ છીએ

ડ્રોઇંગ અથવા ડ્રોઇંગ કે જે અમારી પાસે પહેલેથી જ છે. સ્ટીરિયોમેટ્રી અને ઇમેજ નિયમોના સ્વયંસિદ્ધ અને પ્રમેયને ધ્યાનમાં લેતા, આવા બાંધકામો પ્લાનમેટ્રિક તરીકે હાથ ધરવામાં આવે છે. આ પ્રકારની સમસ્યાઓ ડ્રોઇંગ અને ડિઝાઇન પ્રેક્ટિસમાં સતત ઉકેલવામાં આવે છે.

બીજું, સપાટી પર શરીર બનાવવાનું કામ. કાર્ય: "સમઘનની સપાટી પર આપેલ અંતરે આપેલ શિરોબિંદુથી દૂરના બિંદુઓનું નિર્માણ કરો" - હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે (કેવી રીતે?). કાર્ય: "બૉલની સપાટી પર બિંદુઓનું નિર્માણ કરો જે આપેલ અંતરે આપેલ બિંદુથી દૂર હોય" - હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને પણ ઉકેલી શકાય છે (કેવી રીતે?). આ પ્રકારની સમસ્યાઓ ભૂમિતિના પાઠોમાં ઉકેલાતી નથી - તે માર્કર દ્વારા સતત ઉકેલવામાં આવે છે, અલબત્ત, તેના સાધનો તેને પ્રાપ્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે તે ચોકસાઈ સાથે. પરંતુ આવી સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે તે ભૂમિતિ પર આધાર રાખે છે.

ફિગ માં. 185 ને બે છેદતી સીધી રેખાઓ AN અને AM દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરેલ પ્લેન આપવામાં આવ્યું છે, જ્યાં AN આડી છે અને AM આ પ્લેનનો આગળનો ભાગ છે. સમાન ડ્રોઇંગમાં દર્શાવેલ સીધી રેખા AB, AN અને AM માટે લંબ છે અને તેથી, તેમના દ્વારા નિર્ધારિત પ્લેન પર લંબ છે.

તેથી, પ્લેનના કાટખૂણે, તેનું આડું પ્રક્ષેપણ આડાના આડા પ્રક્ષેપણને લંબરૂપ છે, આગળનું પ્રક્ષેપણ આગળના આગળના પ્રક્ષેપણને લંબરૂપ છે, પ્રોફાઇલ પ્રક્ષેપણ આ વિમાનની પ્રોફાઇલ લાઇનના પ્રોફાઇલ પ્રક્ષેપણને લંબરૂપ છે.

દેખીતી રીતે, એવા કિસ્સામાં જ્યારે પ્લેન નિશાનો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે (ફિગ. 186), અમને નીચેના નિષ્કર્ષ મળે છે: જો કોઈ રેખા પ્લેન પર લંબ હોય, તો આ રેખાનું આડું પ્રક્ષેપણ વિમાનના આડા ટ્રેસને લંબરૂપ હોય છે, અને આગળનો પ્રક્ષેપણ વિમાનના આગળના ટ્રેસને લંબરૂપ હોય છે.

તેથી, જો સિસ્ટમ π 1, π 2 માં રેખાનું આડું પ્રક્ષેપણ આડા ટ્રેસને લંબરૂપ છે અને રેખાનું આગળનું પ્રક્ષેપણ વિમાનના આગળના ટ્રેસને લંબરૂપ છે, તો પછી સામાન્ય સ્થિતિના વિમાનોના કિસ્સામાં (ફિગ. 186), તેમજ આડા અને આગળના પ્રક્ષેપણમાં, સીધી રેખા પ્લેન પર લંબ છે. પરંતુ પ્રોફાઇલ-પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન માટે તે બહાર આવી શકે છે કે આ પ્લેનની સીધી રેખા લંબરૂપ નથી, તેમ છતાં

સીધી રેખાના અનુમાનો અનુક્રમે પ્લેનના આડા અને આગળના નિશાનને લંબરૂપ છે. તેથી, પ્રોફાઇલ-પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેનના કિસ્સામાં, સીધી રેખાના પ્રોફાઇલ પ્રક્ષેપણની સંબંધિત સ્થિતિ અને આપેલ પ્લેનના પ્રોફાઇલ ટ્રેસને ધ્યાનમાં લેવું પણ જરૂરી છે અને તે પછી જ તે નક્કી કરવું જરૂરી છે કે આપેલ સીધી રેખા અને પ્લેન એકબીજાને લંબરૂપ હોવું,

ફિગ માં. 186 બિંદુ A થી ચોરસ તરફ લંબ દોરવામાં આવે છે. α (А"С"⊥ f" 0α , А"С"⊥h" 0α) અને બિંદુ E નું બાંધકામ દર્શાવે છે કે જેના પર લંબરૂપ AC pl ને છેદે છે. α. બાંધકામ આડા પ્રોજેક્ટિંગ સ્ક્વેરનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવ્યું હતું. β કાટખૂણે AE દ્વારા દોરવામાં આવે છે.

પ્લેન પર લંબનો આગળનો પ્રક્ષેપણ પ્લેનના આગળના આગળના પ્રક્ષેપણને લંબરૂપ હોવો જોઈએ, અને તેનું આડું પ્રક્ષેપણ આડાના આડા પ્રક્ષેપણને લંબરૂપ હોવું જોઈએ, તો પછી પ્લેનમાં બિંદુ A મારફતે આગળના પ્રક્ષેપણ A સાથે "D" અને A"D" અને એક આડી A"E દોરવામાં આવે છે ", A"E", અલબત્ત, આ રેખાઓ બિંદુ A દ્વારા બરાબર દોરવામાં આવતી નથી.

નીચે કાટખૂણેના અંદાજો છે: M"N"⊥A"D", M"N"⊥A"E". ફિગમાં અંદાજો શા માટે છે. વિભાગ A"N" અને A"M" માં 188 ડૅશવાળી રેખાઓ દ્વારા બતાવવામાં આવે છે? કારણ કે અહીં આપણે ત્રિકોણ ABC દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્લેનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, અને માત્ર આ ત્રિકોણ જ નહીં: કાટખૂણે અંશતઃ વિમાનની આગળ છે, અંશતઃ તેની પાછળ છે.

ફિગ માં. 189 અને 190 સીધી રેખા BC થી લંબરૂપ બિંદુ Aમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું બાંધકામ દર્શાવે છે. ફિગ માં. 189 પ્લેન નિશાનો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. બિંદુ A દ્વારા ઇચ્છિત પ્લેનની આડી રેખા દોરવાથી બાંધકામ શરૂ થયું: કારણ કે પ્લેનનું આડું ટ્રેસ B "C" ને લંબરૂપ હોવું જોઈએ, તો પછી આડી રેખાનું આડું પ્રક્ષેપણ B "C" ને લંબરૂપ હોવું જોઈએ. તેથી A"N"⊥B"C". A"N"||x-અક્ષનું પ્રક્ષેપણ, કારણ કે તે આડા પર હોવું જોઈએ. પછી ટ્રેસ f" 0α ⊥B"C બિંદુ N"(N" - આડી રેખા AN ના આગળના ટ્રેસનું આગળનું પ્રક્ષેપણ) દ્વારા દોરવામાં આવે છે, બિંદુ X α મેળવવામાં આવે છે અને ટ્રેસ h" 0α ||A મળે છે. "N" (h" 0α ⊥B" સાથે દોરવામાં આવે છે").

ફિગ માં. 190 પ્લેન તેના આગળના AM અને આડા AN દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આ રેખાઓ BC (A"M"⊥B"C", A"N"⊥B"C") માટે લંબરૂપ છે; તેઓ જે પ્લેન વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે સૂર્યને લંબરૂપ છે.

1) બિંદુ A દ્વારા એક વિમાન દોરો (ચાલો તેને γ કહીએ) BC ને લંબરૂપ છે;

2) ચોરસ સાથે સીધી રેખા BC ના આંતરછેદના બિંદુ K નક્કી કરો. γ;

3) બિંદુ A અને K ને એક સીધી રેખા સેગમેન્ટ સાથે જોડો.

રેખાઓ AK અને BC પરસ્પર લંબ છે.

બાંધકામનું ઉદાહરણ ફિગમાં આપવામાં આવ્યું છે. 191. એક સમતલ (γ) બિંદુ A દ્વારા દોરવામાં આવે છે, જે BC ને લંબ છે. આ આગળનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, આગળનો પ્રક્ષેપણ A"F" જેમાંથી આગળના પ્રક્ષેપણ B"C" ને લંબરૂપ છે, અને એક આડું, જેનું આડું પ્રક્ષેપણ B"C" ને લંબ છે.

પછી બિંદુ K જોવા મળે છે કે જેના પર સીધી રેખા BC ચોરસને છેદે છે. γ. આ કરવા માટે, એક આડું પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન β સીધી રેખા BC દ્વારા દોરવામાં આવે છે (ડ્રોઇંગમાં તે ફક્ત આડી ટ્રેસ (β") દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. સ્ક્વેર β 1"2" અને 1" અંદાજો સાથે સીધી રેખા સાથે ચોરસ γ ને છેદે છે. 2". સીધી રેખા ВС સાથેની આ સીધી રેખાના આંતરછેદ પર બિંદુ K છે. સીધી રેખા АК એ ВС માટે જરૂરી કાટખૂણે છે. ખરેખર, સીધી રેખા АК સીધી રેખા ВСને છેદે છે અને γ વિસ્તારમાં છે, તેથી , АК⊥ВС.

§ 15 માં તે બતાવવામાં આવ્યું હતું (ફિગ. 92) કેવી રીતે કાટખૂણે એક બિંદુથી રેખા તરફ દોરી શકાય છે. પરંતુ ત્યાં સિસ્ટમ π 1, π 2 માં વધારાના પ્લેન દાખલ કરીને અને આ રીતે સિસ્ટમ π 3, π 1 ની રચના કરીને આ પરિપૂર્ણ થયું, જેમાં pl. π 3 આપેલ સીધી રેખાની સમાંતર દોરવામાં આવે છે. અમે ફિગમાં આપેલ બાંધકામોની તુલના કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ. 92 અને 191.

ફિગ માં. 192 સામાન્ય સ્થિતિમાં એક પ્લેન બતાવે છે - α, બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે, અને આ પ્લેન પર લંબરૂપ AM, ચોરસ સાથે આંતરછેદ સુધી વિસ્તૃત છે. બિંદુ B પર π 1"

ચોરસ વચ્ચે કોણ φ 1. α, અને pl.π 1 અને કોણ φ સીધી રેખા AM અને pl વચ્ચે. π 1 એ કાટકોણ ત્રિકોણ B"AM" ના તીવ્ર ખૂણા છે અને તેથી, φ 1 +φ=90°. તેવી જ રીતે, જો pl.α બરાબર pl. π 2 એ કોણ σ 2 છે, અને સીધી રેખા AM, α ને લંબરૂપ છે, sq છે. π 2 કોણ σ, પછી σ 2 +σ=90°. આમાંથી, સૌ પ્રથમ, તે અનુસરે છે કે પ્લેન સામાન્ય સ્થિતિમાં છે, જેણે pl.π 1 સાથે અને pl સાથે કોણ φ 1 બનાવવો જોઈએ. જો 180° > φ 1 +σ 2 >90° હોય તો જ π 2 કોણ σ 2 બાંધી શકાય.

ખરેખર, φ 1 + φ=90° અને σ 2 +σ=90° દ્વારા પદ ઉમેરીને, આપણે φ 1 +σ 2 +φ+σ=180° મેળવીએ છીએ, એટલે કે φ 1 +σ 2 90°. જો તમે φ 1 +σ 2 =90° લો છો, તો તમને પ્રોફાઇલ-પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન મળશે, અને જો તમે φ 1 +σ 2 =180° લો છો, તો તમને પ્રોફાઇલ પ્લેન મળશે, એટલે કે. આ બંને કિસ્સાઓમાં પ્લેન સામાન્ય સ્થિતિનું નથી, પરંતુ ચોક્કસ સ્થિતિનું છે.

ચોખા. 4.17 ફિગ. 4.18

જો પ્લેન સીધી રેખાઓ (ફિગ. 4.17) ને છેદતી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તો સમસ્યાનું નિરાકરણ બિંદુ દ્વારા દોરવામાં ઘટાડો થાય છે. એઆપેલ રેખાઓની સમાંતર રેખાઓની જોડી.

જો પ્લેન ટ્રેસ (4.18) દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો પછી નીચેના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામ કરી શકાય છે:

1. એક બિંદુ દ્વારા એદોરો, ઉદાહરણ તરીકે, ઇચ્છિત પ્લેન Q ની આડી, આપેલ પ્લેનની આડી સમાંતર આર.

2. આ આડી રેખા દ્વારા આપણે આપેલ એકની સમાંતર ઇચ્છિત પ્લેન દોરીએ છીએ. આગળનો ટ્રેસ પ્ર વીઆગળના પ્રક્ષેપણ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે p"આગળનો ટ્રેક ટ્રેકની આડી સમાંતર પી વી; આડી ટ્રેસ QH- એક બિંદુ દ્વારા Q Xપગેરુંની સમાંતર આર એન.

કાર્ય 2.બિંદુ દ્વારા એ(a, a") એક વિમાન દોરો પ્ર, રેખાને લંબરૂપ (ફિગ. 4.19).

a) રેખાઓને છેદે છે તે દ્વારા ઇચ્છિત પ્લેન દર્શાવવું જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, પ્લેન બનાવવું સૌથી સરળ છે પ્રમુખ્ય રેખાઓ - આડી અને આગળની, બિંદુમાંથી પસાર થતી A (a, a").

ચોખા. 4.19 ફિગ. 4.20

b) ટ્રેસ સાથે ઇચ્છિત પ્લેન દર્શાવવું જરૂરી છે. નીચેના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામ કરી શકાય છે. બિંદુ દ્વારા એઆડી પ્લેન દોરો પ્રરેખાખંડને લંબરૂપ સૂર્ય.પછી, આ આડી રેખા દ્વારા આપણે ઇચ્છિત પ્લેનને સીધી રેખા પર લંબરૂપ દોરીએ છીએ સૂર્ય.આગળનો ટ્રેસ પ્ર વીઆગળના પ્રક્ષેપણ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે p"ફ્રન્ટલ ટ્રેસ આડી કાટખૂણે b"с′; આડી ટ્રેસ QH- એક બિંદુ દ્વારા Q Xમાટે લંબરૂપ પૂર્વે

સમસ્યા 3. બિંદુ દ્વારા A (a, a")એક વિમાન દોરો પ્ર,આપેલ વિમાનને લંબરૂપ આરઅને પાટા ના અદ્રશ્ય બિંદુ પરથી પસાર થાય છે Q Xધરી પર એક્સ(ફિગ. 4.20).

તે જાણીતું છે કે વિમાન પ્રઆપેલ પ્લેન પર લંબરૂપ હશે આર,જો તે તેની તરફના કાટખૂણેથી પસાર થાય છે અથવા પ્લેનમાં પડેલી રેખાને કાટખૂણેથી પસાર થાય છે આર.

ફિગ માં. 4.20 સમસ્યાનું નિરાકરણ આ શરતોમાંથી પ્રથમનો ઉપયોગ કરીને યોજના અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે:

1. આપેલ બિંદુ દ્વારા એપ્લેન પર લંબરૂપ આર(am+P H , a′m′+P V).

2. આ લંબ અને આપેલ બિંદુ દ્વારા Q Xજરૂરી પ્લેન દોરવામાં આવે છે પ્ર. તે જ સમયે, ટ્રેસ ક્યૂ એનઆડી પ્રક્ષેપણ દ્વારા દોરવામાં આવે છે ટીલંબ અને બિંદુનું આડું ટ્રેસ Q X; ટ્રેક પ્ર વી- આગળના પ્રક્ષેપણ દ્વારા p′લંબ અને બિંદુનો આગળનો ટ્રેસ Q X.

ઇચ્છિત પ્લેન સીધી રેખાઓને છેદન કરીને પણ બનાવી શકાય છે, જો કોઈ બિંદુ દ્વારા Q Xએક સીધી રેખા દોરો જેમાં લંબ સાથે સામાન્ય બિંદુ હોય.

કાર્ય 4.બિંદુ દ્વારા એ (a, a")રેખાને લંબરૂપ રેખા દોરો સૂર્ય.

જરૂરી કાટખૂણે આપેલ રેખાના કાટખૂણે સમતલમાં રહેલું છે સૂર્ય.

તેથી, નીચેના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરી શકાય છે:

1. એક બિંદુ દ્વારા એએક વિમાન દોરો પ્ર, રેખાને લંબરૂપ સૂર્ય.

2. બિંદુ નક્કી કરો K (k, k")સીધી રેખાનું આંતરછેદ સૂર્યવિમાન સાથે પ્રઆડી પ્રક્ષેપણ પ્લેનનો ઉપયોગ કરીને એસ.

3. બિંદુઓને જોડવું એઅને TO.

ડાયાગ્રામ પર, આ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું નિરાકરણ કરીને, તમે પ્લેનને બે છેદતી મુખ્ય રેખાઓ સાથે બતાવી શકો છો ( h×f) (ફિગ. 4.21) અથવા નિશાનો (ફિગ. 4.22).

ચોખા. 4.21 ફિગ. 4.22

કાર્ય 5.વિમાનોના આંતરછેદની રેખા બનાવો ABCઅને DEF.

આ સમસ્યાને રેખા અને વિમાનના આંતરછેદની સમસ્યાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. ફિગ માં. આકૃતિ 4.23 ત્રિકોણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિમાનોના આંતરછેદની રેખાનું નિર્માણ બતાવે છે ABCઅને DEF. સીધું MNબાજુઓના આંતરછેદના મળેલા બિંદુઓના આધારે બનાવવામાં આવે છે ડીએફઅને ઇ.એફ.ત્રિકોણ DEFત્રિકોણ વિમાન સાથે ABC.

ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ શોધવા માટે એમક્રોસિંગ બાજુઓ ડીએફવિમાન સાથે ABC, એક સીધી રેખા દ્વારા ડીએફફ્રન્ટલ પ્રોજેક્શન પ્લેન દોરો આર ABCસીધી રેખામાં I II ડીએફઅને 12 mઇચ્છિત બિંદુ એમ. પછી આગળનો પ્રક્ષેપણ શોધો m"બિંદુઓ એમ. પૂર્ણવિરામ એનસીધી રેખાનું આંતરછેદ ઇ.એફ.વિમાન સાથે ABCફ્રન્ટ-પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેનનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે પ્ર, જે ત્રિકોણના સમતલને છેદે છે ABCસીધી રેખામાં III IV. આડી અંદાજોના આંતરછેદ પર efઅને 34 આડી પ્રક્ષેપણ મેળવો lઇચ્છિત બિંદુ એન.

જોડીમાં બિંદુઓને જોડવું m"અને l", mઅને l, આંતરછેદ રેખાના અંદાજો મેળવો MNવિમાનો ABCઅને DEF.

પ્લેન સેગમેન્ટના ભાગોની દૃશ્યતા સ્પર્ધાત્મક પોઈન્ટ પદ્ધતિ દ્વારા સ્થાપિત થાય છે.