સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે, ઘણી વખત બહુપદીનું પરિબળ બનાવવું જરૂરી છે જેની ડિગ્રી ત્રણ કે તેથી વધુ હોય. આ લેખમાં આપણે આ કરવાની સૌથી સહેલી રીત જોઈશું.
હંમેશની જેમ, ચાલો મદદ માટે સિદ્ધાંત તરફ વળીએ.
બેઝાઉટનું પ્રમેયજણાવે છે કે બહુપદીને દ્વિપદી વડે વિભાજિત કરતી વખતે શેષ છે.
પરંતુ આપણા માટે જે મહત્વનું છે તે પ્રમેય પોતે નથી, પરંતુ તેમાંથી પરિણામ:
જો સંખ્યા એ બહુપદીનું મૂળ છે, તો બહુપદી એ શેષ વિના દ્વિપદી વડે વિભાજ્ય છે.
બહુપદીનું ઓછામાં ઓછું એક રુટ શોધવાનું, પછી બહુપદીને , બહુપદીનું મૂળ ક્યાં છે વડે વિભાજિત કરવાના કાર્યનો આપણે સામનો કરી રહ્યા છીએ. પરિણામે, આપણે બહુપદી મેળવીએ છીએ જેની ડિગ્રી મૂળની ડિગ્રી કરતા એક ઓછી છે. અને પછી, જો જરૂરી હોય તો, તમે પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરી શકો છો.
આ કાર્ય બે ભાગમાં વિભાજિત થાય છે: બહુપદીનું મૂળ કેવી રીતે શોધવું અને બહુપદીને દ્વિપદી વડે કેવી રીતે વિભાજિત કરવું.
ચાલો આ મુદ્દાઓ પર નજીકથી નજર કરીએ.
1. બહુપદીનું મૂળ કેવી રીતે શોધવું.
પ્રથમ, આપણે તપાસીએ કે નંબર 1 અને -1 બહુપદીના મૂળ છે કે કેમ.
નીચેના તથ્યો અમને અહીં મદદ કરશે:
જો બહુપદીના તમામ ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય હોય, તો સંખ્યા એ બહુપદીનું મૂળ છે.
ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદીમાં ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય છે: . બહુપદીનું મૂળ શું છે તે તપાસવું સરળ છે.
જો બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો એકી સત્તાઓ પરના ગુણાંકના સરવાળા જેટલો હોય, તો સંખ્યા એ બહુપદીનું મૂળ છે.મુક્ત શબ્દને એક સમાન ડિગ્રી માટે ગુણાંક ગણવામાં આવે છે, કારણ કે , a એ એક સમાન સંખ્યા છે.
ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદીમાં સમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો છે: , અને વિષમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો છે: . બહુપદીનું મૂળ શું છે તે તપાસવું સરળ છે.
જો 1 કે -1 એ બહુપદીના મૂળ નથી, તો આપણે આગળ વધીએ છીએ.
ડિગ્રીના ઘટાડેલા બહુપદી માટે (એટલે કે, બહુપદી જેમાં અગ્રણી ગુણાંક - પર ગુણાંક - એકતા સમાન છે), વિએટા સૂત્ર માન્ય છે:
બહુપદીના મૂળ ક્યાં છે.
બહુપદીના બાકીના ગુણાંકને લગતા વિએટા સૂત્રો પણ છે, પરંતુ અમને આમાં રસ છે.
આ વિએટા સૂત્રમાંથી તે અનુસરે છે જો બહુપદીના મૂળ પૂર્ણાંકો છે, તો તે તેના મુક્ત પદના વિભાજક છે, જે પૂર્ણાંક પણ છે.
આના આધારે, આપણે બહુપદીના મુક્ત પદને પરિબળ કરવાની જરૂર છે, અને ક્રમિક રીતે, નાનાથી મોટા સુધી, તપાસો કે કયું પરિબળ બહુપદીનું મૂળ છે.
ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદીનો વિચાર કરો
ફ્રી ટર્મના વિભાજકો: ;
;
;
બહુપદીના તમામ ગુણાંકનો સરવાળો બરાબર છે, તેથી, સંખ્યા 1 એ બહુપદીનું મૂળ નથી.
સમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો:
વિષમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો:
તેથી, સંખ્યા -1 એ બહુપદીનું મૂળ પણ નથી.
ચાલો જોઈએ કે નંબર 2 એ બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ: તેથી, સંખ્યા 2 એ બહુપદીનું મૂળ છે. આનો અર્થ એ છે કે, બેઝાઉટના પ્રમેય મુજબ, બહુપદી એ શેષ વિના દ્વિપદી વડે વિભાજ્ય છે.
2. બહુપદીને દ્વિપદીમાં કેવી રીતે વિભાજીત કરવી.
બહુપદીને કૉલમ દ્વારા દ્વિપદીમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
કૉલમનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીને દ્વિપદી દ્વારા વિભાજીત કરો: બહુપદીને દ્વિપદી દ્વારા વિભાજીત કરવાની બીજી રીત છે - હોર્નરની યોજના.
સમજવા માટે આ વિડિયો જુઓ
સ્તંભ સાથે દ્વિપદી દ્વારા બહુપદીને કેવી રીતે વિભાજીત કરવી અને હોર્નરના ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને.
હું નોંધું છું કે જો, જ્યારે કૉલમ દ્વારા ભાગાકાર કરવામાં આવે ત્યારે, મૂળ બહુપદીમાં અજ્ઞાતની અમુક ડિગ્રી ખૂટે છે, તો અમે તેની જગ્યાએ 0 લખીએ છીએ - તે જ રીતે જ્યારે હોર્નરની યોજના માટે કોષ્ટકનું સંકલન કરતી વખતે. તેથી, જો આપણે બહુપદીને દ્વિપદી વડે ભાગવાની જરૂર હોય અને ભાગાકારના પરિણામે આપણને બહુપદી મળે, તો આપણે હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીના ગુણાંક શોધી શકીએ છીએ:આપણે પણ ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ
હોર્નર યોજના
આપેલ સંખ્યા બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે: જો સંખ્યા બહુપદીનું મૂળ છે, તો બહુપદીને વડે વિભાજિત કરતી વખતે બાકીની રકમ શૂન્યની બરાબર છે, એટલે કે, બીજી પંક્તિની છેલ્લી કૉલમમાં હોર્નરની આકૃતિ આપણને 0 મળે છે.હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, અમે "એક પથ્થરથી બે પક્ષીઓને મારીએ છીએ": અમે એક સાથે તપાસ કરીએ છીએ કે સંખ્યા બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ અને આ બહુપદીને દ્વિપદી વડે વિભાજીત કરીએ છીએ.
ઉદાહરણ.
સમીકરણ ઉકેલો:
1. ચાલો મુક્ત પદના વિભાજકો લખીએ અને મુક્ત પદના વિભાજકોમાં બહુપદીના મૂળ શોધીએ.
24 ના વિભાજકો:
2. ચાલો તપાસ કરીએ કે નંબર 1 એ બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ.
બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો, તેથી, સંખ્યા 1 એ બહુપદીનું મૂળ છે.
3. હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને મૂળ બહુપદીને દ્વિપદીમાં વિભાજીત કરો.
A) ચાલો કોષ્ટકની પ્રથમ હરોળમાં મૂળ બહુપદીના ગુણાંક લખીએ.
છેલ્લી કૉલમમાં, અપેક્ષા મુજબ, અમને શૂન્ય મળ્યું; અમે મૂળ બહુપદીને દ્વિપદી દ્વારા શેષ વિના વિભાજિત કર્યું. વિભાજનના પરિણામે બહુપદીના ગુણાંક કોષ્ટકની બીજી હરોળમાં વાદળી રંગમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે:
તે તપાસવું સરળ છે કે સંખ્યાઓ 1 અને -1 બહુપદીના મૂળ નથી
બી) ચાલો કોષ્ટક ચાલુ રાખીએ. ચાલો તપાસ કરીએ કે નંબર 2 એ બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ:
તેથી બહુપદીની ડિગ્રી, જે એક વડે વિભાજનના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે, તે મૂળ બહુપદીની ડિગ્રી કરતાં ઓછી છે, તેથી, ગુણાંકની સંખ્યા અને કૉલમની સંખ્યા એક ઓછી છે.
છેલ્લી કૉલમમાં આપણને -40 મળ્યો - એક એવી સંખ્યા જે શૂન્યની બરાબર નથી, તેથી, બહુપદી એ શેષ સાથે દ્વિપદી વડે વિભાજ્ય છે, અને સંખ્યા 2 એ બહુપદીનું મૂળ નથી.
C) ચાલો તપાસ કરીએ કે નંબર -2 એ બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ. અગાઉનો પ્રયાસ નિષ્ફળ ગયો હોવાથી, ગુણાંક સાથે મૂંઝવણ ટાળવા માટે, હું આ પ્રયાસને અનુરૂપ લાઇન ભૂંસીશ:
સરસ! અમને શેષ તરીકે શૂન્ય મળ્યું, તેથી, બહુપદીને શેષ વિના દ્વિપદીમાં વિભાજિત કરવામાં આવી હતી, તેથી, સંખ્યા -2 એ બહુપદીનું મૂળ છે. બહુપદીના ગુણાંક કે જે બહુપદીને દ્વિપદી વડે ભાગવાથી મેળવવામાં આવે છે તે કોષ્ટકમાં લીલા રંગમાં બતાવવામાં આવે છે.
વિભાજનના પરિણામે આપણને ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી મળે છે 
, જેના મૂળ વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી શોધી શકાય છે:
તેથી, મૂળ સમીકરણના મૂળ છે:
{
}
જવાબ: ( 
}
શું થયું છે પરિબળીકરણ?અસુવિધાજનક અને જટિલ ઉદાહરણને સરળ અને સુંદરમાં ફેરવવાની આ એક રીત છે.) એક ખૂબ જ શક્તિશાળી તકનીક! તે પ્રાથમિક અને ઉચ્ચ ગણિત બંનેમાં દરેક પગલા પર જોવા મળે છે.
ગાણિતિક ભાષામાં આવા પરિવર્તનોને અભિવ્યક્તિના સમાન પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે. જેઓ જાણતા નથી તેમના માટે, લિંક પર એક નજર નાખો. ત્યાં બહુ ઓછું, સરળ અને ઉપયોગી છે.) કોઈપણ ઓળખ પરિવર્તનનો અર્થ અભિવ્યક્તિનું રેકોર્ડિંગ છે. બીજા સ્વરૂપમાંજ્યારે તેનો સાર જાળવી રાખે છે.
અર્થ ફેક્ટરીકરણઅત્યંત સરળ અને સ્પષ્ટ. નામથી જ. ગુણાકાર શું છે તે તમે ભૂલી શકો છો (અથવા જાણતા નથી), પરંતુ તમે સમજી શકો છો કે આ શબ્દ "ગુણાકાર" શબ્દ પરથી આવ્યો છે?) ફેક્ટરિંગનો અર્થ છે: કંઈક વડે ગુણાકાર કરવાના સ્વરૂપમાં અભિવ્યક્તિનું પ્રતિનિધિત્વ કરો. ગણિત અને રશિયન ભાષા મને માફ કરે...) બસ.
ઉદાહરણ તરીકે, તમારે નંબર 12 ને વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે. તમે સુરક્ષિત રીતે લખી શકો છો:
તેથી અમે 12 નંબરને 3 બાય 4ના ગુણાકાર તરીકે રજૂ કર્યો છે. કૃપા કરીને નોંધો કે જમણી બાજુની સંખ્યાઓ (3 અને 4) ડાબી બાજુના (1 અને 2) કરતા સંપૂર્ણપણે અલગ છે. પરંતુ આપણે સારી રીતે સમજીએ છીએ કે 12 અને 3 4 એક અને સમાન.પરિવર્તનમાંથી નંબર 12 નો સાર બદલાયો નથી.
શું 12 ને અલગ રીતે વિઘટિત કરવું શક્ય છે? સરળતાથી!
12=3·4=2·6=3·2·2=0.5·24=........
વિઘટન વિકલ્પો અનંત છે.
ફેક્ટરિંગ નંબરો એક ઉપયોગી વસ્તુ છે. તે ખૂબ મદદ કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, મૂળ સાથે કામ કરતી વખતે. પરંતુ બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓનું પરિબળ માત્ર ઉપયોગી નથી, તે છે જરૂરી!માત્ર ઉદાહરણ તરીકે:
સરળ બનાવો:
જેઓ અભિવ્યક્તિને કેવી રીતે પરિબળ બનાવવું તે જાણતા નથી તેઓ બાજુ પર આરામ કરે છે. જેઓ જાણે છે કે કેવી રીતે - સરળ બનાવો અને મેળવો:
અસર આશ્ચર્યજનક છે, બરાબર?) માર્ગ દ્વારા, ઉકેલ એકદમ સરળ છે. તમે તમારા માટે નીચે જોશો. અથવા, ઉદાહરણ તરીકે, આ કાર્ય:
સમીકરણ ઉકેલો:
x 5 - x 4 = 0
તે મનમાં નક્કી છે, માર્ગ દ્વારા. ફેક્ટરાઇઝેશનનો ઉપયોગ કરવો. અમે નીચે આ ઉદાહરણ હલ કરીશું. જવાબ: x 1 = 0; x 2 = 1.
અથવા, તે જ વસ્તુ, પરંતુ વૃદ્ધો માટે):
સમીકરણ ઉકેલો:
આ ઉદાહરણોમાં મેં બતાવ્યું મુખ્ય હેતુઅવયવીકરણ: અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવી અને કેટલાક પ્રકારના સમીકરણોને ઉકેલવા. અહીં યાદ રાખવા માટે અંગૂઠાનો નિયમ છે:
જો આપણી સામે ડરામણી અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ હોય, તો આપણે અંશ અને છેદને ફેક્ટર કરવાનો પ્રયાસ કરી શકીએ છીએ. ઘણી વાર અપૂર્ણાંક ઘટાડવામાં આવે છે અને સરળ બનાવવામાં આવે છે.
જો આપણી સામે કોઈ સમીકરણ હોય, જ્યાં જમણી બાજુ શૂન્ય છે અને ડાબી બાજુ - મને સમજાતું નથી કે શું, આપણે ડાબી બાજુને ફેક્ટરાઇઝ કરવાનો પ્રયાસ કરી શકીએ. કેટલીકવાર તે મદદ કરે છે).
ફેક્ટરાઇઝેશનની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ.
અહીં તે છે, સૌથી વધુ લોકપ્રિય પદ્ધતિઓ:
4. ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું વિસ્તરણ.
આ પદ્ધતિઓ યાદ રાખવી જોઈએ. બરાબર એ ક્રમમાં. જટિલ ઉદાહરણો તપાસવામાં આવે છે તમામ સંભવિત વિઘટન પદ્ધતિઓ માટે.અને મૂંઝવણમાં ન આવે તે માટે ક્રમમાં તપાસવું વધુ સારું છે... તો ચાલો ક્રમમાં શરૂ કરીએ.)
1. સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું.
એક સરળ અને વિશ્વસનીય રીત. તેની પાસેથી કંઈ ખરાબ આવતું નથી! તે કાં તો સારું થાય છે અથવા બિલકુલ નહીં.) તેથી જ તે પ્રથમ આવે છે. ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.
દરેક જણ જાણે છે (હું માનું છું!) નિયમ:
a(b+c) = ab+ac
અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
બધી સમાનતાઓ ડાબેથી જમણે અને ઊલટું, જમણેથી ડાબે એમ બંને રીતે કામ કરે છે. તમે લખી શકો છો:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવાનો આ સમગ્ર મુદ્દો છે.
ડાબી બાજુએ એ - સામાન્ય ગુણકબધી શરતો માટે. અસ્તિત્વમાં છે તે દરેક વસ્તુ દ્વારા ગુણાકાર). જમણી બાજુએ સૌથી વધુ છે એપહેલેથી જ સ્થિત છે કૌંસની બહાર.
અમે ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને પદ્ધતિના વ્યવહારિક ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈશું. શરૂઆતમાં વિકલ્પ સરળ છે, આદિમ પણ.) પરંતુ આ વિકલ્પમાં હું કોઈપણ પરિબળીકરણ માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ બિંદુઓને (લીલા રંગમાં) ચિહ્નિત કરીશ.
ફેક્ટરાઇઝ કરો:
ah+9x
જે સામાન્યશું ગુણક બંને શબ્દોમાં દેખાય છે? એક્સ, અલબત્ત! અમે તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીશું. ચાલો આ કરીએ. અમે તરત જ કૌંસની બહાર X લખીએ છીએ:
ax+9x=x(
અને કૌંસમાં આપણે ભાગાકારનું પરિણામ લખીએ છીએ દરેક ટર્મઆ ખૂબ જ X પર. ક્રમમાં:
બસ. અલબત્ત, આટલું વિગતવાર વર્ણન કરવાની જરૂર નથી, આ મનમાં થાય છે. પરંતુ શું છે તે સમજવાની સલાહ આપવામાં આવે છે). અમે મેમરીમાં રેકોર્ડ કરીએ છીએ:
અમે કૌંસની બહાર સામાન્ય પરિબળ લખીએ છીએ. કૌંસમાં આપણે આ સામાન્ય પરિબળ દ્વારા તમામ પદોને વિભાજીત કરવાના પરિણામો લખીએ છીએ. ક્રમમાં.
તેથી અમે અભિવ્યક્તિનો વિસ્તાર કર્યો છે ah+9xગુણક દ્વારા. તેને x વડે ગુણાકારમાં ફેરવો (a+9).હું નોંધું છું કે મૂળ અભિવ્યક્તિમાં ગુણાકાર પણ હતો, બે પણ: a·x અને 9·x.પરંતુ તે ફેક્ટરાઇઝ્ડ ન હતું!કારણ કે ગુણાકાર ઉપરાંત, આ અભિવ્યક્તિમાં ઉમેરો પણ છે, “+” ચિહ્ન! અને અભિવ્યક્તિમાં x(a+9) ગુણાકાર સિવાય કશું જ નથી!
કેવી રીતે!? - હું લોકોનો ગુસ્સે અવાજ સાંભળું છું - અને કૌંસમાં!?)
હા, કૌંસની અંદર ઉમેરણ છે. પરંતુ યુક્તિ એ છે કે જ્યારે કૌંસ ખોલવામાં આવતા નથી, ત્યારે અમે તેમને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ એક અક્ષરની જેમ.અને અમે બધી ક્રિયાઓ સંપૂર્ણપણે કૌંસ સાથે કરીએ છીએ, એક અક્ષરની જેમ.આ અર્થમાં, અભિવ્યક્તિમાં x(a+9)ગુણાકાર સિવાય કશું જ નથી. આ ફેક્ટરાઇઝેશનનો આખો મુદ્દો છે.
માર્ગ દ્વારા, શું આપણે બધું બરાબર કર્યું છે કે કેમ તે તપાસવું શક્ય છે? સરળતાથી! તમે જે (x) મૂક્યું છે તેને કૌંસ દ્વારા પાછું ગુણાકાર કરવા અને તે કામ કરે છે કે કેમ તે જોવા માટે તે પૂરતું છે મૂળઅભિવ્યક્તિ? જો તે કામ કરે છે, તો બધું સરસ છે!)
x(a+9)=ax+9x
તે કામ કર્યું.)
આ આદિમ ઉદાહરણમાં કોઈ સમસ્યા નથી. પરંતુ જો ત્યાં ઘણી બધી શરતો હોય, અને તે પણ વિવિધ ચિહ્નો સાથે... ટૂંકમાં, દરેક ત્રીજા વિદ્યાર્થી ગડબડ કરે છે). તેથી:
જો જરૂરી હોય તો, વ્યસ્ત ગુણાકાર દ્વારા અવયવીકરણ તપાસો.
ફેક્ટરાઇઝ કરો:
3ax+9x
અમે એક સામાન્ય પરિબળ શોધી રહ્યા છીએ. સારું, એક્સ સાથે બધું સ્પષ્ટ છે, તે બહાર લઈ શકાય છે. ત્યાં વધુ છે સામાન્યપરિબળ? હા! આ ત્રણ છે. તમે આ રીતે અભિવ્યક્તિ લખી શકો છો:
3ax+3 3x
અહીં તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે સામાન્ય પરિબળ હશે 3x. અહીં અમે તેને બહાર કાઢીએ છીએ:
3ax+3 3x=3x(a+3)
ફેલાવો.
જો તમે તેને બહાર કાઢો તો શું થશે માત્ર x?ખાસ કંઈ નથી:
3ax+9x=x(3a+9)
આ પણ એક પરિબળ હશે. પરંતુ આ રસપ્રદ પ્રક્રિયામાં, જ્યારે તક હોય ત્યારે દરેક વસ્તુને મર્યાદામાં મૂકવાનો રિવાજ છે. અહીં કૌંસમાં ત્રણ મૂકવાની તક છે. તે બહાર આવશે:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
તે જ વસ્તુ, માત્ર એક વધારાની ક્રિયા સાથે.) યાદ રાખો:
સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢતી વખતે, અમે બહાર કાઢવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ મહત્તમસામાન્ય ગુણક.
શું આપણે આનંદ ચાલુ રાખીએ?)
અભિવ્યક્તિનું પરિબળ:
3ak+9х-8а-24
આપણે શું લઈ જઈશું? ત્રણ, એક્સ? ના... તમે કરી શકતા નથી. હું તમને યાદ કરાવું છું કે તમે ફક્ત બહાર લઈ શકો છો સામાન્યગુણક છે બધામાંઅભિવ્યક્તિની શરતો. તે શા માટે છે સામાન્યઅહીં આવું કોઈ ગુણક નથી... શું, તમારે તેને વિસ્તૃત કરવાની જરૂર નથી!? સારું, હા, અમે ઘણા ખુશ હતા... મળો:
2. જૂથીકરણ.
વાસ્તવમાં, જૂથીકરણને ભાગ્યે જ ફેક્ટરાઇઝેશનની સ્વતંત્ર પદ્ધતિ કહી શકાય. આ, તેના બદલે, જટિલ ઉદાહરણમાંથી બહાર નીકળવાનો માર્ગ છે.) તમારે શરતોને જૂથબદ્ધ કરવાની જરૂર છે જેથી બધું કાર્ય કરે. આ ફક્ત ઉદાહરણ દ્વારા જ બતાવી શકાય છે. તેથી, અમારી પાસે અભિવ્યક્તિ છે:
3ak+9х-8а-24
તે જોઈ શકાય છે કે કેટલાક સામાન્ય અક્ષરો અને સંખ્યાઓ છે. પણ... જનરલબધી શરતોમાં કોઈ ગુણક નથી. ચાલો હિંમત ન ગુમાવીએ અને અભિવ્યક્તિને ટુકડાઓમાં તોડી નાખો.ચાલો જૂથ કરીએ. જેથી દરેક ટુકડામાં એક સામાન્ય પરિબળ હોય, ત્યાં દૂર કરવા માટે કંઈક છે. આપણે તેને કેવી રીતે તોડી શકીએ? હા, અમે ફક્ત કૌંસ મૂકીએ છીએ.
ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે કૌંસ ગમે ત્યાં અને તમે ઇચ્છો તેમ મૂકી શકાય છે. માત્ર ઉદાહરણનો સાર બદલાયો નથી.ઉદાહરણ તરીકે, તમે આ કરી શકો છો:
3ak+9х-8а-24=(3ah+9х)-(8а+24)
કૃપા કરીને બીજા કૌંસ પર ધ્યાન આપો! તેમની આગળ માઈનસ ચિહ્ન છે, અને 8 એઅને 24 સકારાત્મક બન્યું! જો, તપાસવા માટે, અમે કૌંસને પાછું ખોલીએ છીએ, ચિહ્નો બદલાશે, અને અમને મળશે મૂળઅભિવ્યક્તિ તે. કૌંસમાંથી અભિવ્યક્તિનો સાર બદલાયો નથી.
પરંતુ જો તમે ચિહ્નના ફેરફારને ધ્યાનમાં લીધા વિના ફક્ત કૌંસ દાખલ કર્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે, આના જેવું:
3ak+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )
તે એક ભૂલ હશે. જમણી બાજુએ - પહેલેથી જ અન્યઅભિવ્યક્તિ કૌંસ ખોલો અને બધું દેખાશે. તમારે આગળ નિર્ણય લેવાની જરૂર નથી, હા...)
પરંતુ ચાલો ફેક્ટરાઇઝેશન પર પાછા આવીએ. ચાલો પ્રથમ કૌંસ જોઈએ (3ax+9x)અને આપણે વિચારીએ છીએ કે, શું આપણે બહાર કાઢી શકીએ છીએ? ઠીક છે, અમે ઉપર આ ઉદાહરણ હલ કર્યું છે, અમે તેને લઈ શકીએ છીએ 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
ચાલો બીજા કૌંસનો અભ્યાસ કરીએ, આપણે ત્યાં આઠ ઉમેરી શકીએ:
(8a+24)=8(a+3)
અમારી સંપૂર્ણ અભિવ્યક્તિ હશે:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
કારણભૂત? ના. વિઘટનનું પરિણામ હોવું જોઈએ માત્ર ગુણાકારપરંતુ અમારી સાથે માઈનસ ચિહ્ન બધું બગાડે છે. પરંતુ... બંને શબ્દોમાં એક સામાન્ય પરિબળ છે! આ (a+3). મેં કહ્યું હતું કે આખું કૌંસ એક અક્ષર જેવું હતું તેવું નહોતું. આનો અર્થ એ છે કે આ કૌંસને કૌંસમાંથી બહાર લઈ શકાય છે. હા, તે બરાબર એવું જ લાગે છે.)
અમે ઉપર વર્ણવ્યા પ્રમાણે કરીએ છીએ. અમે સામાન્ય પરિબળ લખીએ છીએ (a+3), બીજા કૌંસમાં આપણે શબ્દોને વડે વિભાજીત કરવાના પરિણામો લખીએ છીએ (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
બધા! ગુણાકાર સિવાય જમણી બાજુ કંઈ નથી! આનો અર્થ એ છે કે ફેક્ટરાઇઝેશન સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ થયું છે!) તે અહીં છે:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
ચાલો જૂથના સારનું સંક્ષિપ્તમાં પુનરાવર્તન કરીએ.
જો અભિવ્યક્તિ ન થાય સામાન્યમાટે ગુણક દરેક વ્યક્તિશરતો, અમે અભિવ્યક્તિને કૌંસમાં તોડીએ છીએ જેથી કૌંસની અંદર સામાન્ય પરિબળ હોય હતી.અમે તેને બહાર કાઢીએ છીએ અને જોઈએ છીએ કે શું થાય છે. જો તમે નસીબદાર છો અને કૌંસમાં એકદમ સમાન અભિવ્યક્તિઓ બાકી છે, તો અમે આ કૌંસને કૌંસની બહાર ખસેડીએ છીએ.
હું ઉમેરીશ કે જૂથ એક સર્જનાત્મક પ્રક્રિયા છે). તે હંમેશા પ્રથમ વખત કામ કરતું નથી. તે બરાબર છે. કેટલીકવાર તમારે શરતોની અદલાબદલી કરવી પડે છે અને જ્યાં સુધી તમને સફળ ન મળે ત્યાં સુધી જુદા જુદા જૂથ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેવું પડે છે. અહીં મુખ્ય વસ્તુ હિંમત ગુમાવવી નથી!)
ઉદાહરણો.
હવે, તમારી જાતને જ્ઞાનથી સમૃદ્ધ કર્યા પછી, તમે મુશ્કેલ ઉદાહરણો ઉકેલી શકો છો.) પાઠની શરૂઆતમાં આમાંથી ત્રણ હતા...
સરળ બનાવો:
સારમાં, અમે આ ઉદાહરણને પહેલાથી જ હલ કરી દીધું છે. આપણાથી અજાણ છે.) હું તમને યાદ કરાવું છું: જો આપણને ભયંકર અપૂર્ણાંક આપવામાં આવે છે, તો અમે અંશ અને છેદને પરિબળ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. અન્ય સરળીકરણ વિકલ્પો માત્ર ના.
ઠીક છે, અહીં છેદ વિસ્તૃત નથી, પરંતુ અંશ... અમે પાઠ દરમિયાન પહેલાથી જ અંશનો વિસ્તાર કર્યો છે! આની જેમ:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
અમે અપૂર્ણાંકના અંશમાં વિસ્તરણનું પરિણામ લખીએ છીએ:
અપૂર્ણાંક (અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત) ઘટાડવાના નિયમ અનુસાર, આપણે અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ દ્વારા વિભાજિત કરી શકીએ છીએ (એક જ સમયે!) આમાંથી અપૂર્ણાંક બદલાતું નથી.તેથી આપણે અભિવ્યક્તિ દ્વારા અંશ અને છેદને વિભાજિત કરીએ છીએ (3x-8). અને અહીં અને ત્યાં આપણને મળશે. સરળીકરણનું અંતિમ પરિણામ:
હું ખાસ કરીને ભારપૂર્વક જણાવવા માંગુ છું: અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનું શક્ય છે જો અને માત્ર જો અંશ અને છેદમાં, ગુણાકાર અભિવ્યક્તિઓ ઉપરાંત ત્યાં કંઈ નથી.એટલા માટે સરવાળો (તફાવત) માં રૂપાંતર થાય છે ગુણાકારસરળીકરણ માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. અલબત્ત, જો અભિવ્યક્તિઓ અલગપછી કંઈપણ ઘટશે નહીં. તે થશે. પરંતુ ફેક્ટરાઇઝેશન તક આપે છે.વિઘટન વિના આ તક ખાલી નથી.
સમીકરણ સાથેનું ઉદાહરણ:
સમીકરણ ઉકેલો:
x 5 - x 4 = 0
અમે સામાન્ય પરિબળને બહાર કાઢીએ છીએ x 4કૌંસની બહાર. અમને મળે છે:
x 4 (x-1)=0
આપણે જાણીએ છીએ કે અવયવોનું ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે પછી અને ત્યારે જ,જ્યારે તેમાંથી કોઈપણ શૂન્ય હોય. જો શંકા હોય તો, મને એવી કેટલીક બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓ શોધો કે જે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે શૂન્ય આપશે.) તેથી આપણે લખીએ છીએ, પ્રથમ પ્રથમ પરિબળ:
આવી સમાનતા સાથે, બીજું પરિબળ આપણને ચિંતા કરતું નથી. કોઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ અંતે તે હજુ પણ શૂન્ય હશે. શૂન્ય ચોથા ઘાતને કઈ સંખ્યા આપે છે? માત્ર શૂન્ય! અને બીજું નહીં... તેથી:
અમે પ્રથમ પરિબળ શોધી કાઢ્યું અને એક મૂળ શોધી કાઢ્યું. ચાલો બીજા પરિબળને જોઈએ. હવે અમે પ્રથમ ગુણકની કાળજી લેતા નથી.):
અહીં અમને એક ઉકેલ મળ્યો: x 1 = 0; x 2 = 1. આમાંથી કોઈપણ મૂળ આપણા સમીકરણને બંધબેસે છે.
ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ નોંધ. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અમે સમીકરણ હલ કર્યું છે ટુકડે ટુકડે!દરેક પરિબળ શૂન્ય સમાન હતું, અન્ય પરિબળોને ધ્યાનમાં લીધા વિના.બાય ધ વે, જો આવા સમીકરણમાં આપણા જેવા બે નહીં, પણ ત્રણ, પાંચ, તમને ગમે તેટલા પરિબળો હોય, તો અમે હલ કરીશું. બરાબર એ જ.ટુકડો ટુકડો. ઉદાહરણ તરીકે:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
કોઈપણ જે કૌંસ ખોલશે અને બધું ગુણાકાર કરશે તે આ સમીકરણ પર કાયમ માટે અટકી જશે.) એક સાચો વિદ્યાર્થી તરત જ જોશે કે ગુણાકાર સિવાય ડાબી બાજુ કંઈ નથી, અને જમણી બાજુ શૂન્ય છે. અને તે (તેના મગજમાં!) શૂન્યના ક્રમમાં તમામ કૌંસને સમાન કરવાનું શરૂ કરશે. અને તેને સાચો ઉકેલ (10 સેકન્ડમાં!) મળશે: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
કૂલ, બરાબર?) જો સમીકરણની ડાબી બાજુ હોય તો આવા ભવ્ય ઉકેલ શક્ય છે કારણભૂતસંકેત મળ્યો?)
સારું, એક છેલ્લું ઉદાહરણ, વૃદ્ધો માટે):
સમીકરણ ઉકેલો:
તે કંઈક અંશે પાછલા એક જેવું જ છે, તમને નથી લાગતું?) અલબત્ત. તે યાદ રાખવાનો સમય છે કે સાતમા ધોરણના બીજગણિતમાં, સાઈન, લઘુગણક અને બીજું કંઈપણ અક્ષરોની નીચે છુપાવી શકાય છે! સમગ્ર ગણિતમાં ફેક્ટરિંગ કામ કરે છે.
અમે સામાન્ય પરિબળને બહાર કાઢીએ છીએ એલજી 4 એક્સકૌંસની બહાર. અમને મળે છે:
લોગ 4 x=0
આ એક મૂળ છે. ચાલો બીજા પરિબળને જોઈએ.
અહીં અંતિમ જવાબ છે: x 1 = 1; x 2 = 10.
હું આશા રાખું છું કે તમે અપૂર્ણાંકોને સરળ બનાવવા અને સમીકરણો ઉકેલવામાં ફેક્ટરિંગની શક્તિનો અહેસાસ કર્યો હશે.)
આ પાઠમાં આપણે સામાન્ય પરિબળ અને જૂથીકરણ વિશે શીખ્યા. સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર અને ચતુર્ભુજ ત્રિપદી માટેના સૂત્રો સાથે વ્યવહાર કરવાનું બાકી છે.
જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...
માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)
તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)
તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.
આ પાઠમાં, આપણે બહુપદીના પરિબળની અગાઉ અભ્યાસ કરેલી તમામ પદ્ધતિઓને યાદ કરીશું અને તેના ઉપયોગના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈશું, વધુમાં, અમે એક નવી પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરીશું - સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની પદ્ધતિ અને વિવિધ સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખીશું. .
વિષય:ફેક્ટરિંગ બહુપદી
પાઠ:ફેક્ટરિંગ બહુપદી. સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ. પદ્ધતિઓનું સંયોજન
ચાલો આપણે બહુપદીને પરિબળ બનાવવાની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ યાદ કરીએ જેનો અગાઉ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો:
સામાન્ય અવયવને કૌંસની બહાર મૂકવાની પદ્ધતિ, એટલે કે, બહુપદીની તમામ શરતોમાં હાજર અવયવ. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
યાદ કરો કે એકવિધ શક્તિઓ અને સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન છે. અમારા ઉદાહરણમાં, બંને શબ્દોમાં કેટલાક સામાન્ય, સમાન તત્વો છે.
તેથી, ચાલો સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ:
;
ચાલો તમને યાદ અપાવીએ કે કૌંસ વડે લીધેલા અવયવનો ગુણાકાર કરીને, તમે લીધેલા અવયવની શુદ્ધતા ચકાસી શકો છો.
જૂથ પદ્ધતિ. બહુપદીમાં સામાન્ય અવયવ કાઢવાનું હંમેશા શક્ય નથી. આ કિસ્સામાં, તમારે તેના સભ્યોને જૂથોમાં એવી રીતે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે કે દરેક જૂથમાં તમે એક સામાન્ય પરિબળ લઈ શકો અને તેને તોડવાનો પ્રયાસ કરી શકો જેથી જૂથોમાંના પરિબળોને બહાર કાઢ્યા પછી, એક સામાન્ય પરિબળ દેખાય. સંપૂર્ણ અભિવ્યક્તિ, અને તમે વિઘટન ચાલુ રાખી શકો છો. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
ચાલો પ્રથમ પદને ચોથા સાથે, બીજાને પાંચમા સાથે અને ત્રીજાને છઠ્ઠા સાથે જૂથ કરીએ:
ચાલો જૂથોમાંના સામાન્ય પરિબળોને ધ્યાનમાં લઈએ:
અભિવ્યક્તિમાં હવે એક સામાન્ય પરિબળ છે. ચાલો તેને બહાર કાઢીએ:
સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
;
ચાલો અભિવ્યક્તિને વિગતવાર લખીએ:
દેખીતી રીતે, આપણી સમક્ષ વર્ગના તફાવત માટેનું સૂત્ર છે, કારણ કે તે બે સમીકરણોના વર્ગોનો સરવાળો છે અને તેમાંથી તેમના બેવડા ગુણાંકને બાદ કરવામાં આવે છે. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
આજે આપણે બીજી પદ્ધતિ શીખીશું - સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ. તે સરવાળાના વર્ગ અને તફાવતના વર્ગના સૂત્રો પર આધારિત છે. ચાલો તેમને યાદ અપાવીએ:
સરવાળો (તફાવત) ના ચોરસ માટેનું સૂત્ર;
આ સૂત્રોની ખાસિયત એ છે કે તેમાં બે સમીકરણોના ચોરસ અને તેમના બેવડા ઉત્પાદનનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
ચાલો અભિવ્યક્તિ લખીએ:
તેથી, પ્રથમ અભિવ્યક્તિ છે , અને બીજી છે.
સરવાળો અથવા તફાવતના વર્ગ માટે સૂત્ર બનાવવા માટે, સમીકરણોના ગુણાંકનો બમણું પૂરતું નથી. તેને ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાની જરૂર છે:
ચાલો સરવાળોનો વર્ગ પૂર્ણ કરીએ:
ચાલો પરિણામી અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરીએ:
ચાલો વર્ગોના તફાવત માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ, યાદ કરો કે બે અભિવ્યક્તિઓના વર્ગોનો તફાવત એ તેમના તફાવતનો ગુણાંક અને સરવાળો છે:
તેથી, આ પદ્ધતિનો સમાવેશ થાય છે, સૌ પ્રથમ, સમીકરણો a અને b ને ઓળખવામાં કે જેનો વર્ગ છે, એટલે કે, આ ઉદાહરણમાં કઈ સમીકરણોનો વર્ગ છે તે નક્કી કરવું. આ પછી, તમારે ડબલ ઉત્પાદનની હાજરી તપાસવાની જરૂર છે અને જો તે ત્યાં ન હોય, તો તેને ઉમેરો અને બાદબાકી કરો, આનાથી ઉદાહરણનો અર્થ બદલાશે નહીં, પરંતુ બહુપદીના વર્ગ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પરિબળ બનાવી શકાય છે. જો શક્ય હોય તો ચોરસનો સરવાળો અથવા તફાવત અને તફાવત.
ચાલો ઉદાહરણો ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ.
ઉદાહરણ 1 - ફેક્ટરાઇઝ કરો:
ચાલો સમીકરણો શોધીએ જે ચોરસ છે:
ચાલો આપણે લખીએ કે તેમનું ડબલ ઉત્પાદન શું હોવું જોઈએ:
ચાલો ઉત્પાદનને બમણું ઉમેરીએ અને બાદ કરીએ:
ચાલો સરવાળોનો વર્ગ પૂર્ણ કરીએ અને સમાન આપીએ:
ચાલો તેને ચોરસ ફોર્મ્યુલાના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને લખીએ:
ઉદાહરણ 2 - સમીકરણ ઉકેલો:
;
સમીકરણની ડાબી બાજુએ ત્રિનોમી છે. તમારે તેને પરિબળોમાં પરિબળ કરવાની જરૂર છે. અમે સ્ક્વેર્ડ ડિફરન્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
અમારી પાસે પ્રથમ અભિવ્યક્તિનો વર્ગ અને ડબલ ઉત્પાદન છે, બીજી અભિવ્યક્તિનો વર્ગ ખૂટે છે, ચાલો તેને ઉમેરીએ અને બાદ કરીએ:
ચાલો એક સંપૂર્ણ ચોરસ ફોલ્ડ કરીએ અને સમાન શબ્દો આપીએ:
ચાલો ચોરસ ફોર્મ્યુલાના તફાવતને લાગુ કરીએ:
તો આપણી પાસે સમીકરણ છે 
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે જો ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય સમાન હોય. ચાલો તેના આધારે નીચેના સમીકરણો બનાવીએ:
ચાલો પ્રથમ સમીકરણ હલ કરીએ:
ચાલો બીજું સમીકરણ હલ કરીએ:
જવાબ: અથવા
;
અમે અગાઉના ઉદાહરણની જેમ જ આગળ વધીએ છીએ - તફાવતનો ચોરસ પસંદ કરો.
સમીકરણને ફેક્ટરિંગ એ તે શબ્દો અથવા અભિવ્યક્તિઓ શોધવાની પ્રક્રિયા છે જે, જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રારંભિક સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે. ફેક્ટરિંગ એ મૂળભૂત બીજગણિત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઉપયોગી કૌશલ્ય છે, અને જ્યારે ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને અન્ય બહુપદીઓ સાથે કામ કરવામાં આવે ત્યારે તે લગભગ આવશ્યક બની જાય છે. બીજગણિતીય સમીકરણોને સરળ બનાવવા માટે ફેક્ટરિંગનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેથી તેમને ઉકેલવામાં સરળતા રહે. ફેક્ટરિંગ તમને હાથથી સમીકરણ ઉકેલવા કરતાં ચોક્કસ સંભવિત જવાબોને ઝડપથી દૂર કરવામાં મદદ કરી શકે છે.
પગલાં
ફેક્ટરિંગ નંબરો અને મૂળભૂત બીજગણિત સમીકરણો
-
ફેક્ટરિંગ નંબરો.ફેક્ટરાઇઝેશનની વિભાવના સરળ છે, પરંતુ વ્યવહારમાં, ફેક્ટરિંગ પડકારરૂપ બની શકે છે (જો જટિલ સમીકરણ આપવામાં આવે તો). તો પ્રથમ, ચાલો ઉદાહરણ તરીકે સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને ફેક્ટરિંગની વિભાવના જોઈએ, સરળ સમીકરણો સાથે ચાલુ રાખીએ અને પછી જટિલ સમીકરણો તરફ આગળ વધીએ. આપેલ સંખ્યાના અવયવો એ સંખ્યાઓ છે જેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે મૂળ સંખ્યા આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 12 ના અવયવો સંખ્યાઓ છે: 1, 12, 2, 6, 3, 4, ત્યારથી 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.
- તેવી જ રીતે, તમે સંખ્યાના અવયવોને તેના વિભાજક તરીકે વિચારી શકો છો, એટલે કે સંખ્યાઓ જેના દ્વારા વિભાજ્ય છે.
- સંખ્યા 60 ના તમામ પરિબળો શોધો. આપણે ઘણી વાર 60 નંબરનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (ઉદાહરણ તરીકે, એક કલાકમાં 60 મિનિટ, એક મિનિટમાં 60 સેકન્ડ, વગેરે.) અને આ સંખ્યામાં ઘણા બધા પરિબળો છે.
- 60 ગુણક: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 અને 60.
-
યાદ રાખો:ગુણાંક (સંખ્યા) અને ચલ ધરાવતી અભિવ્યક્તિની શરતો પણ પરિબળ બનાવી શકાય છે. આ કરવા માટે, ચલ માટે ગુણાંકના પરિબળો શોધો. સમીકરણોની શરતોનું પરિબળ કેવી રીતે બનાવવું તે જાણીને, તમે સરળતાથી આ સમીકરણને સરળ બનાવી શકો છો.
- ઉદાહરણ તરીકે, 12x શબ્દને 12 અને xના ગુણાંક તરીકે લખી શકાય છે. તમે 12x ને 3(4x), 2(6x), વગેરે તરીકે પણ લખી શકો છો, જે તમારા માટે શ્રેષ્ઠ કામ કરતા પરિબળોમાં 12 ને તોડીને.
- તમે એક પંક્તિમાં 12x ઘણી વખત ડીલ કરી શકો છો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તમારે 3(4x) અથવા 2(6x) પર રોકવું જોઈએ નહીં; વિસ્તરણ ચાલુ રાખો: 3(2(2x)) અથવા 2(3(2x)) (દેખીતી રીતે 3(4x)=3(2(2x)), વગેરે)
- ઉદાહરણ તરીકે, 12x શબ્દને 12 અને xના ગુણાંક તરીકે લખી શકાય છે. તમે 12x ને 3(4x), 2(6x), વગેરે તરીકે પણ લખી શકો છો, જે તમારા માટે શ્રેષ્ઠ કામ કરતા પરિબળોમાં 12 ને તોડીને.
-
બીજગણિતીય સમીકરણો પર ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મ લાગુ કરો.સંખ્યાઓ અને અભિવ્યક્તિ પદો (ચલો સાથેના ગુણાંક) કેવી રીતે પરિબળ કરવા તે જાણીને, તમે સંખ્યા અને અભિવ્યક્તિ પદના સામાન્ય અવયવને શોધીને સાદા બીજગણિત સમીકરણોને સરળ બનાવી શકો છો. સામાન્ય રીતે, સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે, તમારે સૌથી સામાન્ય સામાન્ય પરિબળ (GCD) શોધવાની જરૂર છે. આ સરળીકરણ ગુણાકારના વિતરક ગુણધર્મને કારણે શક્ય છે: કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b, c, સમાનતા a(b+c) = ab+ac સાચી છે.
- ઉદાહરણ. 12x + 6 સમીકરણને અવયવિત કરો. પ્રથમ, 12x અને 6 ની gcd શોધો. 6 એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે જે 12x અને 6 બંનેને વિભાજિત કરે છે, તેથી તમે આ સમીકરણને આના દ્વારા પરિબળ કરી શકો છો: 6(2x+1).
- આ પ્રક્રિયા નકારાત્મક અને અપૂર્ણાંક શબ્દો ધરાવતા સમીકરણો માટે પણ સાચી છે. ઉદાહરણ તરીકે, x/2+4 ને 1/2(x+8) માં પરિબળ કરી શકાય છે; ઉદાહરણ તરીકે, -7x+(-21) ને -7(x+3) માં પરિબળ કરી શકાય છે.
ચતુર્ભુજ સમીકરણો ફેક્ટરિંગ
-
ખાતરી કરો કે સમીકરણ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં આપવામાં આવ્યું છે (ax 2 + bx + c = 0).ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું સ્વરૂપ છે: ax 2 + bx + c = 0, જ્યાં a, b, c એ 0 સિવાયના સંખ્યાત્મક ગુણાંક છે. જો તમને એક ચલ (x) સાથેનું સમીકરણ આપવામાં આવે અને આ સમીકરણમાં એક અથવા વધુ પદો હોય સેકન્ડ-ઓર્ડર વેરીએબલ સાથે, તમે સમીકરણની તમામ શરતોને સમીકરણની એક બાજુએ ખસેડી શકો છો અને તેને શૂન્યની બરાબર સેટ કરી શકો છો.
- ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ આપેલ છે: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. આને સમીકરણ x 2 + 6x + 9 = 0 માં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, જે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે.
- મોટા ઓર્ડરના ચલ x સાથેના સમીકરણો, ઉદાહરણ તરીકે, x 3, x 4, વગેરે. ચતુર્ભુજ સમીકરણો નથી. આ ક્યુબિક સમીકરણો, ચોથા ક્રમના સમીકરણો, અને તેથી વધુ છે (જ્યાં સુધી આવા સમીકરણોને 2 ની ઘાત સુધી વધારીને x ચલ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં સરળ બનાવી શકાય નહીં).
-
ચતુર્ભુજ સમીકરણો, જ્યાં a = 1, વિસ્તૃત થાય છે (x+d)(x+e), જ્યાં d*e=c અને d+e=b.જો તમને આપવામાં આવેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: x 2 + bx + c = 0 (એટલે કે, x 2 નો ગુણાંક 1 છે), તો આવા સમીકરણને ઉપરોક્ત પરિબળોમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે (પરંતુ ખાતરી નથી) આ કરવા માટે, તમારે બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે, જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે "c" આપો, અને જ્યારે ઉમેરવામાં આવે, "b". એકવાર તમે આ બે સંખ્યાઓ (d અને e) શોધી લો, પછી તેમને નીચેના અભિવ્યક્તિમાં બદલો: (x+d)(x+e), જે, કૌંસ ખોલતી વખતે, મૂળ સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે.
- ઉદાહરણ તરીકે, એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 + 5x + 6 = 0 આપેલ છે. 3*2=6 અને 3+2=5, જેથી તમે આ સમીકરણને (x+3)(x+2) માં પરિબળ કરી શકો.
- નકારાત્મક શરતો માટે, ફેક્ટરાઇઝેશન પ્રક્રિયામાં નીચેના નાના ફેરફારો કરો:
- જો ચતુર્ભુજ સમીકરણનું સ્વરૂપ x 2 -bx+c હોય, તો તે આમાં વિસ્તરે છે: (x-_)(x-_).
- જો ચતુર્ભુજ સમીકરણનું સ્વરૂપ x 2 -bx-c હોય, તો તે આમાં વિસ્તરે છે: (x+_)(x-_).
- નોંધ: સ્પેસને અપૂર્ણાંક અથવા દશાંશ સાથે બદલી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x 2 + (21/2)x + 5 = 0 (x+10)(x+1/2) માં વિસ્તૃત થાય છે.
-
ટ્રાયલ અને એરર દ્વારા ફેક્ટરાઇઝેશન.જ્યાં સુધી તમને સાચો ઉકેલ ન મળે ત્યાં સુધી સરળ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને સંભવિત ઉકેલોમાં સંખ્યાઓને બદલીને પરિબળ બનાવી શકાય છે. જો સમીકરણનું સ્વરૂપ ax 2 +bx+c છે, જ્યાં a>1, સંભવિત ઉકેલો ફોર્મ (dx +/- _)(ex +/- _) માં લખવામાં આવે છે, જ્યાં d અને e બિન-શૂન્ય સંખ્યાત્મક ગુણાંક છે , જેનો ગુણાકાર થાય ત્યારે a આપે છે. ક્યાં તો d અથવા e (અથવા બંને ગુણાંક) 1 ની બરાબર હોઈ શકે છે. જો બંને ગુણાંક 1 ના સમાન હોય, તો ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.
- ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ 3x 2 - 8x + 4 આપેલ છે. અહીં 3 માં માત્ર બે અવયવ છે (3 અને 1), તેથી સંભવિત ઉકેલો (3x +/- _)(x +/- _) તરીકે લખવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, જગ્યાઓ માટે -2 ને બદલીને, તમને સાચો જવાબ મળશે: -2*3x=-6x અને -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x અને -2*-2=4, એટલે કે, કૌંસ ખોલતી વખતે આવું વિસ્તરણ મૂળ સમીકરણની શરતો તરફ દોરી જશે.
તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.
વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ
વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.
જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.
અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.
અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:
- જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.
અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:
- અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
- સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
- અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
- જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત
અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.
અપવાદો:
- જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
- પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ
અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.
કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો
તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.
