કેનોનિકલ એન્સેમ્બલ. ગિબ્સ વિતરણ. આંકડાકીય સરવાળો.

ચાલો આપણે ઝડપ અને ઊર્જા રાજ્યોને ધ્યાનમાં લઈએ જે આ કિસ્સામાં અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી સિસ્ટમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પરંતુ આ સિસ્ટમ હવે બંધ નથી. કારણ કે તે અન્ય કણો સાથે ઊર્જાનું વિનિમય કરે છે જે એકસાથે બંધ સિસ્ટમ બનાવે છે.

બિન-બંધ આંકડાકીય પ્રણાલીઓના સમૂહને કેનોનિકલ એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે.

કેનોનિકલ એન્સેમ્બલની વ્યક્તિગત સિસ્ટમમાં એક અથવા ઘણા કણો હોઈ શકે છે. એકમાત્ર મહત્વની બાબત એ છે કે તેના કણોની સંખ્યા મોટી સિસ્ટમના કણોની સંખ્યા કરતા નોંધપાત્ર રીતે ઓછી છે. કેનોનિકલ એન્સેમ્બલની વિવિધ સિસ્ટમોની ઊર્જા અલગ છે. અને સમસ્યા આ જોડાણની સિસ્ટમોની વિવિધ ઊર્જા સ્થિતિઓની સંભાવના નક્કી કરવાની છે. ગિબ્સ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન અથવા કેનોનિકલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન અનુસાર, સિસ્ટમ ઊર્જા સાથેની સ્થિતિમાં હોવાની સંભાવના ε a:

P a =A*e - βεa,

A=Гα 0 / Г 0 ,

જ્યાં Г 0 એ માઇક્રોકેનોનિકલ એન્સેમ્બલ સાથે જોડાયેલા રાજ્યોની સંખ્યા છે, અને Гα 0 એ સંપૂર્ણ સિસ્ટમની માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યા છે, જેના દ્વારા વિચારણા હેઠળની કેનોનિકલ સબસિસ્ટમની શૂન્ય-ઊર્જા સ્થિતિ પ્રાપ્ત થાય છે. ગિબ્સ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનને પાર્ટીશન ફંક્શનના સંદર્ભમાં પણ લખી શકાય છે

P a =(e - βεа)/(∑ a e - βεа)

પાર્ટીશન ફંક્શન એ એક સાથે તમામ માઇક્રોસ્ટેટ્સનું કાર્ય છે.

ગેસના મોલેક્યુલર ગતિ સિદ્ધાંતનું મૂળભૂત સમીકરણ (દબાણ માટે)

જહાજની દિવાલો પર ગેસનું દબાણ પરમાણુઓની અસરને કારણે થાય છે. પરમાણુઓ સંપૂર્ણપણે અવ્યવસ્થિત રીતે આગળ વધે છે. ચળવળની તમામ દિશાઓ સમાન રીતે સંભવિત છે. આ નિવેદનનો આધાર એ પ્રાયોગિક હકીકત છે કે જહાજની દિવાલો પર ગેસનું દબાણ દરેક જગ્યાએ સમાન છે. દબાણની ગણતરીની સમસ્યાના ઉકેલને ગાણિતિક રીતે સરળ બનાવવા માટે, અમે બે ધારણાઓ સ્વીકારીએ છીએ:

1) અણુઓ ત્રણ પરસ્પર લંબ દિશાઓ સાથે આગળ વધે છે.

2) બધા અણુઓની ગતિ સમાન હોય છે.

ચાલો ગેસમાં ડેલ્ટા S નો વિસ્તાર પસંદ કરીએ, જેની સ્થિતિ બાહ્ય સામાન્ય n દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવશે. (3) ડેલ્ટા t સમય દરમિયાન, તમામ પરમાણુઓ કે જે બેઝ એરિયા ∆S અને ઊંચાઈ v*∆t સાથે સિલિન્ડરમાં હોય છે તે તત્વ ડેલ્ટા S સુધી પહોંચશે.

1/6n*v*∆t*∆S=N

∆k=2mv*1/6n*v*∆t*∆S=1/3nmv 2 ∆S

∆F=∆k/∆t=1/3 nmv 2 ∆S

P=∆F/∆S=1/3 nmv 2 =2/3nε

આ અભિવ્યક્તિ એવી ધારણા હેઠળ મેળવવામાં આવી હતી કે બધા પરમાણુઓ સમાન ગતિએ આગળ વધે છે. એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે પરમાણુઓ જુદી જુદી ઝડપે આગળ વધે છે, કે દબાણ સમાન છે

જો આપેલ તાપમાને વિવિધ વાયુઓનું મિશ્રણ હોય, તો પછી જુદા જુદા માસના પરમાણુઓની સરેરાશ ઝડપ અલગ હશે, પરંતુ અણુઓની સરેરાશ ઊર્જા સમાન હશે. આ કિસ્સામાં કુલ દબાણ સમાન હશે

p = nkT = (n 1 +n 2 +…+n i)kT= n 1 kT+n 2 kT+n i kT

આ ડાલ્ટનનો નિયમ છે: વાયુઓના મિશ્રણમાં દબાણ આ મિશ્રણને બનાવતા વાયુઓના આંશિક દબાણના સરવાળા જેટલું છે.

હવા: 77% N 2 + 20% O 2

આ સમીકરણ માત્ર અણુઓની અનુવાદ ગતિની ઊર્જાને ધ્યાનમાં લે છે. જો કે, પરમાણુનું પરિભ્રમણ અને પરમાણુ બનાવે છે તે અણુઓના કંપન પણ શક્ય છે. સ્વાભાવિક રીતે, આ બે પ્રકારની ગતિ ચોક્કસ માત્રામાં ઊર્જા સાથે પણ સંકળાયેલી હોય છે, જે પરમાણુની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીઓ પર ઊર્જાના સમાન વિતરણ પર આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્ર દ્વારા સ્થાપિત સ્થિતિ દ્વારા ગણતરી કરી શકાય છે. યાંત્રિક સિસ્ટમની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા એ સ્વતંત્ર જથ્થાઓની સંખ્યા છે જેની સાથે સિસ્ટમની સ્થિતિ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. ભૌતિક બિંદુ, ઉદાહરણ તરીકે, સ્વતંત્રતાના ત્રણ ડિગ્રી ધરાવે છે. ભૌતિક બિંદુથી કઠોર શરીર તરફ જવા માટે, જડતાના કેન્દ્રની વિભાવના રજૂ કરવી જરૂરી છે. નક્કર શરીરના જડતાનું કેન્દ્ર એ એક ભૌતિક બિંદુ છે જેમાં આ શરીરનો સમૂહ હોય છે અને જે શરીર પર કાર્ય કરતી દળોના પ્રભાવ હેઠળ તે જ રીતે આગળ વધે છે જે રીતે શરીર પોતે ફરે છે. એકદમ કઠોર શરીરમાં છ ડિગ્રી સ્વતંત્રતા હોય છે.

જો પરમાણુમાં સમાવિષ્ટ અણુઓની સ્થિતિ નિશ્ચિત નથી, તો પછી કંપનની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી ઉમેરવામાં આવે છે. તે ધ્યાનમાં રાખવું આવશ્યક છે કે સ્વતંત્રતાની કંપનશીલ ડિગ્રી ટ્રાન્સલેશનલ અથવા રોટેશનલની તુલનામાં બમણી ઊર્જા ક્ષમતા ધરાવે છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે ઓસિલેશન દરમિયાન ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા બંને બદલાય છે, જેનાં સરેરાશ મૂલ્યો સમાન છે.

i=n પોસ્ટ +n પરિભ્રમણ +2n ગણતરી

આદર્શ ગેસની આંતરિક ઊર્જા

આદર્શ ગેસના પરમાણુઓ એકબીજા સાથે અંતરે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા ન હોવાથી, સિસ્ટમની આંતરિક ઊર્જામાં વ્યક્તિગત પરમાણુઓની ઊર્જાનો સમાવેશ થાય છે.

ગરમીની ક્ષમતા એ શરીરના તાપમાનમાં એક ડિગ્રી (K) વધારો કરવા માટે શરીરને અપાતી ગરમીની માત્રા જેટલી ભૌતિક માત્રા છે.

વધુમાં, મોલેક્યુલર ફિઝિક્સમાં, ગરમીની ક્ષમતા સતત વોલ્યુમ પર અને સતત દબાણ પર રજૂ કરવામાં આવે છે, જે સિસ્ટમને ગરમી પૂરી પાડવામાં આવે છે તેના આધારે. જો હીટિંગ સતત વોલ્યુમ પર થાય છે, તો સિસ્ટમ બાહ્ય શરીર પર કામ કરતી નથી અને સિસ્ટમને આપવામાં આવતી બધી ગરમી આંતરિક ઊર્જાને બદલવામાં જાય છે.

જો હીટિંગ સતત દબાણ પર થાય છે, તો ગેસ વિસ્તૃત થઈ શકે છે અને બાહ્ય શરીર પર કામ કરી શકે છે

મેયરના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને આપણે ગણતરી કરી શકીએ છીએ

થર્મોડાયનેમિક્સનો પરિચય.

મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે સિસ્ટમોનું મેક્રોસ્કોપિક વર્ણન. અલગ અને બંધ સિસ્ટમો. મેક્રોસ્કોપિક સિસ્ટમની સબસિસ્ટમ્સ. થર્મોડાયનેમિક સંતુલન અને થર્મોડાયનેમિક્સનો શૂન્ય કાયદો. તાપમાનનો ખ્યાલ.

થર્મોડાયનેમિક્સની ઔપચારિકતા.

અર્ધ-સ્થિર પ્રક્રિયાઓ, બંધ સિસ્ટમ પર પ્રાથમિક કાર્ય અને પ્રમાણભૂત રીતે મેક્રોપેરામીટર્સનું જોડાણ. સબસિસ્ટમ્સ અને થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ વચ્ચે ગરમીનું વિનિમય.

થર્મોડાયનેમિક્સનો બીજો નિયમ. એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા. એન્ટ્રોપી અને તાપમાનનું નિર્ધારણ. એન્ટ્રોપીની ઉમેરણ. મહત્તમ એન્ટ્રોપીનો સિદ્ધાંત.

થર્મોડાયનેમિક પોટેન્શિયલ અને તેમના ગુણધર્મો (એન્ટ્રોપી, ફ્રી એનર્જી, એન્થાલ્પી, ગિબ્સ થર્મોડાયનેમિક પોટેન્શિયલ, લાર્જ થર્મોડાયનેમિક પોટેન્શિયલ). સરળ સબસિસ્ટમ્સમાં વ્યાપક અને સઘન પરિમાણો. લે ચેટેલિયરનો સિદ્ધાંત અને થર્મોડાયનેમિક અસમાનતાઓ.

થર્મલ મશીનો. બંધ બિનસંતુલન સિસ્ટમમાંથી મહત્તમ કાર્ય કાઢવામાં આવે છે. ચક્રીય પ્રક્રિયાઓ, ચક્ર કાર્યક્ષમતા, કાર્નોટ ચક્રમાં કામ કરો. બાહ્ય વાતાવરણમાં શરીરનું મહત્તમ કાર્ય. આંતરિક કમ્બશન એન્જિનના નમૂનાઓ.

આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રની ઔપચારિકતા

હેમિલ્ટનના પ્રમાણભૂત સમીકરણો પર આધારિત મેક્રોસ્કોપિક સિસ્ટમની ગતિશીલતાનું સૂક્ષ્મ વર્ણન. આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રનું મુખ્ય કાર્ય. રિવર્સિબિલિટી વિરોધાભાસ અને આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રની મૂળભૂત ધારણા. તેમના માઇક્રોએનાલોગની સરેરાશના પરિણામે મેક્રોસ્કોપિક પરિમાણો.

એર્ગોડિક પૂર્વધારણા અને સિસ્ટમોનું આંકડાકીય જોડાણ. તબક્કો જગ્યા, વિતરણ કાર્ય અને લિઓવિલે ગતિ સમીકરણ. આપેલ વિતરણ કાર્ય માટે વિવિધ સંભાવના વિતરણોની ગણતરી. બંધ સિસ્ટમમાં સ્થિર વિતરણ કાર્યો. એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા અને તેનું અભિન્ન અંગ.

માઇક્રોકેનોનિકલ વિતરણ.

એડિબેટિક પ્રક્રિયાની સરેરાશની પદ્ધતિ દ્વારા મેક્રોસ્કોપિક પરિમાણોની ગણતરી કરવા માટે યોગ્ય વિતરણ કાર્યની મર્યાદા તરીકે માઇક્રોકેનોનિકલ વિતરણ. માઇક્રોસ્ટેટ્સની સમાન સંભાવના અને મેક્રોસ્ટેટ્સની અસમાન સંભાવના. વિવિધ પરિમાણો માટે સંભાવના વિતરણની ગણતરી.

બંધ સિસ્ટમની એન્ટ્રોપીનું આંકડાકીય નિર્ધારણ (એન્ટ્રોપીના મહત્તમ સિદ્ધાંત અને ઉમેરણ, થર્મોડાયનેમિક્સનો પરિચય).

રાજ્યના આદર્શ ગેસ સમીકરણની આંકડાકીય ગણતરી. બાહ્ય સંભવિત ક્ષેત્રમાં આદર્શ ગેસ. આદર્શ ગેસમાં મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેનનું વિતરણ.

શાસ્ત્રીય આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રના માળખામાં ગિબ્સ વિરોધાભાસ અને તેનું રીઝોલ્યુશન. સમાન કણોની સિસ્ટમની એન્ટ્રોપીનું નિર્ધારણ.

ગિબ્સ વિતરણ

થર્મોસ્ટેટમાં સંતુલન સબસિસ્ટમનું આંકડાકીય વર્ણન. શાસ્ત્રીય આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પ્રમાણભૂત વિતરણ. સિસ્ટમની આંકડાકીય અભિન્ન અને મુક્ત ઊર્જા.

પ્રમાણભૂત વિતરણનું પોસ્ટ્યુલેશન. કેનોનિકલ અને માઇક્રોકેનોનિકલ એન્સેમ્બલ્સના આધારે બનેલ મેક્રોસ્કોપિક થર્મોડાયનેમિક્સની સમાનતા.

વિવિધ પ્રકારો અને થર્મોડાયનેમિક સંભવિતતાના થર્મોસ્ટેટ્સમાં પ્રમાણભૂત વિતરણ. થર્મોડાયનેમિક સંબંધોના અનુરૂપ ફોર્મ્યુલેશનની સમાનતા.

ગિબ્સ વિતરણના માળખામાં આદર્શ ગેસનું વિશ્લેષણ. મોનોટોમિક આદર્શ ગેસની સ્થિતિ અને ગરમીની ક્ષમતાનું સમીકરણ. બાહ્ય સંભવિત ક્ષેત્રમાં આદર્શ ગેસ. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીઓ પર ગતિ ઊર્જાના સમાન વિતરણનો કાયદો. પોલિઆટોમિક વાયુઓની ગરમીની ક્ષમતા. શાસ્ત્રીય આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રની હાર.

ક્વોન્ટમ ગીબ્સ વિતરણ

પ્રમાણભૂત ગિબ્સ વિતરણનું ક્વોન્ટમ સામાન્યીકરણ. પાર્ટીશન કાર્ય અને તેની અર્ધશાસ્ત્રીય રજૂઆત. સરેરાશ ઓસિલેટર ઊર્જા માટે પ્લાન્કનું સૂત્ર. નીચા તાપમાને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી "જામવું" નેર્ન્સ્ટનું પ્રમેય.

સ્વતંત્રતાની અનુવાદાત્મક ડિગ્રીનું પરિમાણ. સમાન કણોની વિભાવના, પરિબળની ઉત્પત્તિ અને બિન-ડિજનરેટ આદર્શ ગેસના શાસ્ત્રીય વર્ણન માટેની શરતો.

સમાન કણો

સમાન કણો (રોટેટર, ઓસિલેટર) ની સરળ સિસ્ટમોની આંકડાકીય ગણતરી.

મોટી સંખ્યામાં બિન-પરસ્પર ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા સમાન કણો ધરાવતી સિસ્ટમો શૂન્ય સ્પિન સાથે સમાન ઓસિલેટરનું જોડાણ. ક્વોન્ટમ આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વ્યવસાય નંબરો અને મોટા પ્રમાણભૂત વિતરણનું પ્રતિનિધિત્વ.

સમાન કણોનો આદર્શ ગેસ. બોઝ-આઈન્સ્ટાઈન અને ફર્મી-ડીરાક વિતરણ. સમાન કણોના ગેસમાં અધોગતિની અસરો, બોસ ગેસનું ઘનીકરણ, ફર્મી ઉર્જા અને સંપૂર્ણપણે અધોગતિ પામેલા ફર્મી ગેસ. ડીજનરેટ ફર્મી ગેસની ગરમીની ક્ષમતા અને થર્મોડાયનેમિક્સ. બાહ્ય ક્ષેત્રોમાં આદર્શ ગેસનો ક્ષય કરો. ઘન (બેન્ડ થિયરીનો પરિચય) માં ઇલેક્ટ્રોનનો આદર્શ ગેસ.

સંતુલન કિરણોત્સર્ગ

બંધ જથ્થામાં સંતુલન કિરણોત્સર્ગ (ફોટન ગેસ મોડલ અને ફીલ્ડ ઓસિલેટર મોડલ). પ્લાન્ક વિતરણ. ફોટોન ગેસની ઊર્જા, દબાણ અને થર્મોડાયનેમિક્સ.

રેન્ડમ ક્ષેત્રની સ્પેક્ટ્રલ લાક્ષણિકતાઓ (ઊર્જા ઘનતા અને થર્મલ રેડિયેશન તીવ્રતા). પારદર્શક અસંગત માધ્યમમાં થર્મલ રેડિયેશનનું ટ્રાન્સફર. "કાળા" અને "ગ્રે" શરીરમાંથી રેડિયેશન.

બિન-આદર્શ વાયુઓ

પરમાણુઓ વચ્ચેની નબળી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સાથે દુર્લભ વાસ્તવિક ગેસનું આંકડાકીય વર્ણન. વાન ડેર વાલ્સ મોડલના માળખામાં બિનઆદર્શ ગેસનું થર્મોડાયનેમિક્સ. જૌલ-થોમ્પસન પ્રક્રિયા. ક્લાસિકલ પ્લાઝ્માનું થર્મોડાયનેમિક્સ.

પ્રકરણ I ના §7 માં અમે બતાવ્યું કે બંધ સિસ્ટમ ઊર્જા સાથેની સ્થિતિમાં છે તેવી સંભાવના ઇ"સંબંધ દ્વારા નક્કી થાય છે

આ સંબંધ ફક્ત બંધ સિસ્ટમોને લાગુ પડે છે. ચાલો હવે ઓપન સિસ્ટમ માટે સંભાવના વિતરણ મેળવીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ ખુલ્લી સિસ્ટમને કેટલીક મોટી સિસ્ટમના ભાગ તરીકે ગણી શકાય, જેને પહેલાથી જ બંધ ગણી શકાય. આ વિશાળ સિસ્ટમ, જેમાં પ્રશ્નમાં રહેલી સિસ્ટમ એક ભાગ છે, કહેવામાં આવે છે થર્મોસ્ટેટ, અને સૌથી વધુ ખુલ્લી સિસ્ટમ તરીકે બોલાય છે થર્મોસ્ટેટમાં ડૂબેલી સિસ્ટમ.

સિસ્ટમની કુલ ઊર્જા છે

જ્યાં E 0 -થર્મોસ્ટેટ ઊર્જા, E 0p- થર્મોસ્ટેટ સાથે સિસ્ટમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની ઊર્જા. અમે મેક્રોસિસ્ટમ વિશે વાત કરી રહ્યા હોવાથી, અમે હંમેશા તે ધારી શકીએ છીએ

ચાલો થર્મોસ્ટેટમાં સિસ્ટમમાં સમાનતા (3.1) લાગુ કરીએ:

હવે ક્યાં w-સિસ્ટમ ઊર્જા સાથે સ્થિતિમાં છે તેવી સંભાવના ઇ p, અને થર્મોસ્ટેટ ઊર્જા Eq સાથેની સ્થિતિમાં છે.

અસમાનતાને કારણે (3.2), થર્મોસ્ટેટ અને સિસ્ટમને આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર ગણી શકાય, અને તેથી,

તે જોવાનું સરળ છે કે સમાનતાની સિસ્ટમને સંતોષવાનો એકમાત્ર રસ્તો (3.3) - (3.5) મૂકવો છે.

આમ, સિસ્ટમ ઊર્જા સાથે ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં હોવાની સંભાવના ઇ"ની સમાન

સમાનતામાં (3.6) તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે કે ક્વોન્ટમ સ્ટેટ્સ ડિજનરેટ થઈ શકે છે. દો G(E p) -ઊર્જા મૂલ્યને અનુરૂપ સિસ્ટમ સ્ટેટ્સની સંખ્યા E = E„.પછી

સંભાવના વિતરણ (3.7) એ સામાન્યીકરણની સ્થિતિને સંતોષવી આવશ્યક છે

સિસ્ટમના ઉર્જા સ્તરો ચડતા ક્રમમાં ક્રમાંકિત હોવાથી: ઇ 0<...>અભિવ્યક્તિમાં O પદ (3.8) ઝડપથી વધે છે અને સરવાળો એક સમાન ન હોઈ શકે (તે સ્પષ્ટ છે કે રાજ્યોની સંખ્યા Г(/?„) > 1).

તેથી, મૂલ્ય p નેગેટિવ હોવું જોઈએ અમે તેને તરીકે દર્શાવીએ છીએ

જ્યાં 0 > 0. પછી

ઘાતાંકમાં પરિમાણહીન જથ્થો હોવો આવશ્યક હોવાથી, 0 પાસે ઊર્જાનું પરિમાણ છે.

(3.8) થી તે જથ્થાને અનુસરે છે

કહેવાય છે આંકડાકીય સરવાળો.

રજૂ કરાયેલ નોટેશનને ધ્યાનમાં લેતા, વિતરણ (3.7) ફોર્મ લે છે

સંબંધ (3.9) કહેવાય છે કેનોનિકલ ગિબ્સ વિતરણ.પરિમાણ 0>O ને પ્રમાણભૂત વિતરણ અથવા મોડ્યુલસ કહેવામાં આવે છે આંકડાકીય તાપમાન.

ગિબ્સ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનની વ્યુત્પત્તિમાંથી, તેની લાગુ થવાની શરતો નીચે મુજબ છે:

• 1. કેટલીક બંધ મેક્રોસ્કોપિક સિસ્ટમની હાજરી જે વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમનું વાતાવરણ બનાવે છે (થર્મોસ્ટેટ).
• 2. સિસ્ટમ અને થર્મોસ્ટેટ વચ્ચે નબળા ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની હાજરી.

નહિંતર, સિસ્ટમના ગુણધર્મો સંપૂર્ણપણે મનસ્વી છે. ગિબ્સ વિતરણની એક નોંધપાત્ર વિશેષતા એ છે કે તે કોઈપણ રીતે પર્યાવરણ સાથે સબસિસ્ટમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની પદ્ધતિને સૂચવતું નથી.

કોઈપણ ચોક્કસ ભૌતિક પ્રણાલી માટે ગિબ્સનું વિતરણ જાણીતું ગણી શકાય જો સિસ્ટમના ઉર્જા સ્તરો, એટલે કે સંભવિત ઉર્જા મૂલ્યો જાણીતા હોય. ઇ"અને સિસ્ટમના રાજ્યોની અધોગતિની બહુવિધતા - આપેલ ઊર્જા સ્તરને અનુરૂપ વિવિધ રાજ્યોની સંખ્યા Г(?„) ઇ પી.

ગિબ્સ વિતરણને જાણીને, તમે સંભાવના સિદ્ધાંતના સામાન્ય નિયમો અનુસાર સિસ્ટમની સ્થિતિનું વર્ણન કરતા કોઈપણ જથ્થાના સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરી શકો છો:

એવા કિસ્સામાં જ્યારે સિસ્ટમની સ્થિતિઓ બિન-અધોગતિશીલ હોય, ત્યારે અભિવ્યક્તિઓ (3.9)-(3.10) સ્વરૂપ લે છે

પ્રાપ્ત પરિણામો ક્લાસિકલ આંકડાઓનું પાલન કરતી સિસ્ટમ્સના કિસ્સામાં સરળતાથી સામાન્યીકરણ થાય છે. આ કિસ્સામાં, આપણે આપેલ ઊર્જા મૂલ્યને અનુરૂપ રાજ્યો વિશે વાત કરવી જોઈએ નહીં ઇ પી,અને એવા રાજ્યો વિશે કે જેમની ઉર્જાથી શ્રેણીમાં આવેલું છે ઇથી E+dE.અનુક્રમે G(E p)તબક્કાની જગ્યાના વોલ્યુમ તત્વમાં જાય છે

પછી, અનુરૂપ સંભાવના એ છે કે જ્યાં મૂલ્ય છે

કહેવાય છે રાજ્યોનું અભિન્ન અંગ.

જો કે, નીચેના સંજોગોને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, બે સરખા કણોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે, તો પછી, આવી પુન: ગોઠવણી પછી, શરીરની સ્થિતિ બીજા તબક્કાના બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે, જે કોઓર્ડિનેટ્સ અને એક કણના મોમેન્ટાના કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટાના પ્રારંભિક રિપ્લેસમેન્ટના પરિણામે થાય છે. અન્ય કણ. જો કે, સમાન કણો ફરીથી ગોઠવાયેલા હોવાને કારણે, શરીરની આ સ્થિતિઓ શારીરિક રીતે સમાન છે. આમ, તબક્કાની જગ્યામાં સંખ્યાબંધ બિંદુઓ શરીરની સમાન સ્થિતિને અનુરૂપ છે. દરમિયાન, અભિવ્યક્તિ (3.14) માં સંકલિત કરતી વખતે, દરેક રાજ્યને માત્ર એક જ વાર ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે ફક્ત તબક્કાની જગ્યાના તે પ્રદેશો પર એકીકૃત થવું જોઈએ જે શરીરની શારીરિક રીતે જુદી જુદી સ્થિતિઓને અનુરૂપ છે. તેથી, ફોર્મમાં (3.13) અને (3.14) લખવાનું વધુ અનુકૂળ છે

જ્યાં અવિભાજ્ય પ્રતીકની ઉપરના અવિભાજ્યનો અર્થ છે કે એકીકરણ ભૌતિક રીતે અવકાશના વિવિધ પ્રદેશો પર હાથ ધરવામાં આવે છે.

જો, ઉદાહરણ તરીકે, અમે એવા ગેસ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ જેમાં સમાવેશ થાય છે એનસમાન અણુઓ, તો પછી (3.16) માં એકીકરણ ગેસના સમગ્ર જથ્થા પર હાથ ધરવામાં આવવું જોઈએ, જો કે, તેના બે અણુઓની કોઈપણ પુન: ગોઠવણી તેની સ્થિતિમાં ફેરફાર કરશે નહીં, એટલે કે, અંતિમ પરિણામ હોવું જોઈએ. સંભવિત પુન: ગોઠવણોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત એનઅણુ તેથી આ કિસ્સામાં:

જ્યાં ગેસના સમગ્ર વોલ્યુમ પર એકીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે.

• પ્રકરણ I ના §4 જુઓ.

મેક્સવેલ અને બોલ્ટ્ઝમેનની તુલનામાં આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રનું વિસ્તૃત અર્થઘટન ગિબ્સ દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું. તેના અર્થઘટનમાં, કાર્ય ભૌતિક જથ્થાના સરેરાશ મૂલ્યોની ગણતરી કરવાનું છે. એક સિસ્ટમમાં સમયની સરેરાશને બદલે, ચોક્કસ રીતે અવ્યવસ્થિત, મોટી સંખ્યામાં સમાન સિસ્ટમોનો સંગ્રહ ગણવામાં આવે છે. બંધ સિસ્ટમને સતત ઊર્જા, કણોની સતત સંખ્યા અને સતત વોલ્યુમ ધરાવતી સિસ્ટમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ વર્ણનમાં મૂળભૂત ખ્યાલો એસેમ્બલ, કણોનો સંગ્રહ અને તબક્કાની જગ્યાની વિભાવનાઓ છે.

હેઠળ તબક્કો જી-સ્પેસ બધા સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સની જગ્યા સમજો qઅને આવેગ આર. સિસ્ટમ અથવા તેના માઇક્રોસ્ટેટ તબક્કો આ જગ્યામાં એક બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. મુ ઉપલબ્ધતા n સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી અમારી પાસે 2n-પરિમાણોની જગ્યા છે.

ચાલો કલ્પના કરીએ કે અભ્યાસ હેઠળ સિસ્ટમના N પ્રકારો છે, જે મેક્રોસ્કોપિક દ્રષ્ટિએ સંપૂર્ણપણે પર્યાપ્ત છે: તે બધા સમાન બાહ્ય પરિસ્થિતિઓમાં છે, સમાન રચના અને માળખું ધરાવે છે. સમાન સિસ્ટમોના આવા શરતી સંગ્રહને કહેવામાં આવે છે જે એકબીજા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા નથી ગિબ્સ એન્સેમ્બલ.એન્સેમ્બલની વિવિધ સિસ્ટમો માઇક્રોસ્ટેટ્સમાં એકબીજાથી અલગ છે. અમે ધારીશું કે જોડાણમાં શામેલ છે તમામ શક્યઆપેલ બાહ્ય પરિસ્થિતિઓ સાથે સુસંગત માઇક્રોસ્કોપિક સ્થિતિઓ. સમય જતાં, કણોની હિલચાલને કારણે, માઇક્રોસ્કોપિક અવસ્થાઓ એકબીજાને બદલે છે.

શાસ્ત્રીય આંકડાઓમાં, સિસ્ટમના દરેક માઇક્રોસ્ટેટને એક બિંદુ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. 6N-પરિમાણીય જગ્યાના વોલ્યુમ DpDq માં સ્થિત છે. સિસ્ટમના આપેલ માઇક્રોસ્ટેટની સંભાવના, અથવા કણોના કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટા આપેલ અંતરાલ Dx, Dp માં હોય તેવી સંભાવના:

જ્યાં N એ જોડાણમાં સિસ્ટમોની કુલ સંખ્યા છે, DN એ આપેલ વોલ્યુમની અંદર રહેલા બિંદુઓ દ્વારા રજૂ કરાયેલ માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યા છે.

સિસ્ટમની ચોક્કસ સ્થિતિની સંભાવના આપેલ તબક્કાના જથ્થા DpDq અને તબક્કા અવકાશમાં એન્સેમ્બલ સિસ્ટમ્સની સ્થિતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા બિંદુઓની વિતરણ ઘનતાના પ્રમાણસર છે.

વિતરણ કાર્ય(સ્ટેટ ફંક્શન) f(p,q) એ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ડેન્સિટી (ફેઝ સ્પેસના એકમ વોલ્યુમ દીઠ પોઈન્ટની સંખ્યા) એન એસેમ્બલ N માં સિસ્ટમોની કુલ સંખ્યા સાથે સંબંધિત છે.

(1.6.2)

સંભાવનાની વ્યાખ્યાથી તે અનુસરે છે કે સામાન્યકરણની સ્થિતિ થવી જોઈએ

આમ, અમુક અલગ (થર્મોસ્ટેટમાં સ્થિત) સિસ્ટમ માટે વિતરણ કાર્ય ફોર્મ ધરાવે છે

, (1.6.4)

જ્યાં W(p,q) એ સિસ્ટમની કુલ ઊર્જા છે, અને ગુણાંક A(T) નોર્મલાઇઝેશન સ્થિતિ (1.6.2) પરથી નક્કી થાય છે. પરિણામી વિતરણ કહેવામાં આવે છે ગિબ્સ વિતરણઅથવા પ્રમાણભૂત વિતરણ.

ક્વોન્ટમ આંકડાઓના કિસ્સામાં, વિવિધ રાજ્યોના સતત વિતરણને તેમના અલગ સેટ સાથે બદલવું જરૂરી છે. બંધ સિસ્ટમની લાક્ષણિકતા એન્ટ્રોપી છે. દરેક ઉર્જા મૂલ્ય Wi ક્વોન્ટમ સ્ટેટ્સ (અધોગતિની ડિગ્રી) ના ચોક્કસ જૂથ N(W i) ને અનુલક્ષે છે.

આપેલ ઉર્જા સાથેના તમામ રાજ્યો સમાન રીતે સંભવિત હોવાથી, આપેલ ઉર્જા સાથેના રાજ્યોમાંના એકમાં સિસ્ટમની સંભાવના

આ માઇક્રોકેનોનિકલ ગિબ્સ વિતરણ. તે દર્શાવે છે કે આપેલ ઉર્જા સાથે રાજ્યમાંના એકમાં બંધ સિસ્ટમ હોવાની સંભાવના તેની અધોગતિના ગુણોત્તર માટે પ્રમાણસર છે.(ગ્રંથસૂચિ (3) જુઓ).

સામાન્યીકરણ સ્થિતિ:

આ કેનોનિકલ ગિબ્સ વિતરણ સૂચવે છે

(1.6.6)

ગિબ્સ વિતરણનો ઉપયોગ કરીને, તમે સિસ્ટમની સ્થિતિના આધારે કોઈપણ જથ્થાના સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરી શકો છો. ગિબ્સના મહત્તમ વિતરણને અનુરૂપ રાજ્ય સૌથી વધુ સંભવિત છે.

1.3. ગિબ્સનું વિતરણ

આંકડાકીય પદ્ધતિ સાથે, મુખ્ય લાક્ષણિકતા નક્કી કરવા માટે (X એ સિસ્ટમના તમામ કણોના કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટાનો સંપૂર્ણતા છે), પ્રશ્નમાં રહેલા શરીરની રચનાના ચોક્કસ મોડેલોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. .

સામાન્ય આંકડાકીય પેટર્નના સામાન્ય ગુણધર્મો શોધવાનું શક્ય બન્યું છે જે પદાર્થની રચના પર આધારિત નથી અને સાર્વત્રિક છે. આવા દાખલાઓને ઓળખવા એ થર્મલ પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરવાની થર્મોડાયનેમિક પદ્ધતિનું મુખ્ય કાર્ય છે. થર્મોડાયનેમિક્સના તમામ મૂળભૂત ખ્યાલો અને નિયમો આંકડાકીય સિદ્ધાંતના આધારે જાહેર કરી શકાય છે.

એક અલગ (બંધ) સિસ્ટમ અથવા સતત બાહ્ય ક્ષેત્રમાં સિસ્ટમ માટે, રાજ્ય કહેવામાં આવે છે આંકડાકીય સંતુલન,જો વિતરણ કાર્ય સમય પર આધારિત નથી.

વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમના વિતરણ કાર્યનું વિશિષ્ટ સ્વરૂપ બાહ્ય પરિમાણોના સમૂહ અને આસપાસના શરીર સાથેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની પ્રકૃતિ બંને પર આધારિત છે. આ કિસ્સામાં, બાહ્ય પરિમાણો દ્વારા અમારો મતલબ વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમમાં શામેલ ન હોય તેવા શરીરની સ્થિતિ દ્વારા નિર્ધારિત જથ્થા છે. આ, ઉદાહરણ તરીકે, સિસ્ટમનું વોલ્યુમ છે વી, બળ ક્ષેત્રની તાકાત, વગેરે. ચાલો બે સૌથી મહત્વપૂર્ણ કેસોને ધ્યાનમાં લઈએ:

1) વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમ ઊર્જાસભર રીતે અલગ છે. કુલ કણ ઊર્જા ઇસતત છે. તે જ સમયે . ઇ માં સમાવેશ કરી શકાય છે એ, પરંતુ તેને પ્રકાશિત કરવું E ની વિશેષ ભૂમિકા પર ભાર મૂકે છે. આપેલ બાહ્ય પરિમાણો માટે સિસ્ટમને અલગ કરવાની સ્થિતિ સમાનતા દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે:

2) સિસ્ટમ બંધ નથી - ઊર્જા વિનિમય શક્ય છે. આ કિસ્સામાં, તે શોધવું અશક્ય છે, તે આસપાસના શરીરના કણોના સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટા પર આધારિત છે. જો આસપાસના સંસ્થાઓ સાથે વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની ઊર્જા હોય તો આ શક્ય બને છે.

આ સ્થિતિ હેઠળ, માઇક્રોસ્ટેટ્સનું વિતરણ કાર્ય આસપાસના શરીરની થર્મલ ગતિની સરેરાશ તીવ્રતા પર આધારિત છે, જે તાપમાન દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. ટીઆસપાસના શરીર: .

તાપમાન પણ વિશેષ ભૂમિકા ભજવે છે. તેણી પાસે નથી (વિપરિત એ) મિકેનિક્સમાં એનાલોગ: (આના પર નિર્ભર નથી ટી).

આંકડાકીય સંતુલનની સ્થિતિમાં, તે સમય પર આધારિત નથી, અને તમામ આંતરિક પરિમાણો અપરિવર્તિત છે. થર્મોડાયનેમિક્સમાં, આ સ્થિતિને રાજ્ય કહેવામાં આવે છે થર્મોડાયનેમિક સંતુલન. આંકડાકીય અને થર્મોડાયનેમિક સંતુલનની વિભાવનાઓ સમકક્ષ છે.

માઇક્રોસ્કોપિક આઇસોલેટેડ સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય - માઇક્રોકેનોનિકલ ગિબ્સ વિતરણ

એક ઊર્જાસભર અલગ સિસ્ટમનો કેસ. ચાલો આ કેસ માટે વિતરણ કાર્યનું સ્વરૂપ શોધીએ.

ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન શોધવામાં નોંધપાત્ર ભૂમિકા માત્ર ગતિના અભિન્ન ઘટકો દ્વારા ભજવવામાં આવે છે - ઊર્જા, - સિસ્ટમની ગતિ અને - કોણીય ગતિ. માત્ર તેઓ નિયંત્રિત છે.

હેમિલ્ટોનિયન મિકેનિક્સમાં વિશેષ ભૂમિકા ભજવે છે, કારણ કે તે હેમિલ્ટોનિયન કાર્ય છે જે કણ ગતિના સમીકરણનું સ્વરૂપ નક્કી કરે છે. સિસ્ટમના કુલ વેગ અને કોણીય વેગનું સંરક્ષણ એ ગતિના સમીકરણોનું પરિણામ છે.

તેથી, તે ચોક્કસપણે લિઓવિલે સમીકરણના આવા ઉકેલો છે જે જ્યારે હેમિલ્ટોનિયન દ્વારા જ પરાધીનતા પ્રગટ થાય છે ત્યારે અલગ પડે છે:

.

કારણ કે, .

તમામ સંભવિત મૂલ્યોમાંથી એક્સ(સિસ્ટમમાંના તમામ કણોના કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટાનો સમૂહ), જે સ્થિતિ સાથે સુસંગત છે તે પસંદ કરવામાં આવે છે. સતત સાથેનોર્મલાઇઝેશન શરતમાંથી શોધી શકાય છે:

,

તબક્કા અવકાશમાં હાઇપરસર્ફેસનો વિસ્તાર ક્યાં છે, જે સતત ઊર્જાની સ્થિતિ દ્વારા ફાળવવામાં આવે છે.

તે. - માઇક્રોકેનોનિકલ ગિબ્સ વિતરણ.

સંતુલનના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતમાં, માઇક્રોકેનોનિકલ ગિબ્સનું વિતરણ પણ છે. ચાલો આપણે નીચેના સંકેતો રજૂ કરીએ: – કણ સિસ્ટમના માઇક્રોસ્ટેટને દર્શાવતી ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ, – અનુરૂપ અનુમતિપાત્ર ઊર્જા મૂલ્યો. તેઓ વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમના તરંગ કાર્ય માટે સ્થિર સમીકરણ ઉકેલીને શોધી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં માઇક્રોસ્ટેટ વિતરણ કાર્ય સિસ્ટમની ચોક્કસ સ્થિતિમાં હોવાની સંભાવનાને રજૂ કરશે: .

ક્વોન્ટમ માઇક્રોકેનોનિકલ ગિબ્સ વિતરણ આ રીતે લખી શકાય છે:

,

જ્યાં - ક્રોનેકર પ્રતીક, - નોર્મલાઇઝેશનથી: - આપેલ ઉર્જા મૂલ્ય (તેમજ) સાથે માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યા. તે કહેવાય છે આંકડાકીય વજન.

વ્યાખ્યામાંથી શરતને સંતોષતા તમામ રાજ્યોની સમાન સંભાવના છે, સમાન છે. આમ, ક્વોન્ટમ માઇક્રોકેનોનિકલ ગિબ્સ વિતરણ સમાન પૂર્વ સંભાવનાઓના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.

થર્મોસ્ટેટમાં સિસ્ટમના માઇક્રોસ્ટેટ્સનું વિતરણ કાર્ય કેનોનિકલ ગિબ્સ વિતરણ છે.

ચાલો હવે આસપાસના શરીર સાથે ઊર્જાની આપલે કરતી સિસ્ટમ પર વિચાર કરીએ. થર્મોડાયનેમિક દૃષ્ટિકોણથી આ અભિગમને અનુરૂપ એક તાપમાન સાથે ખૂબ મોટા થર્મોસ્ટેટથી ઘેરાયેલી સિસ્ટમ છે. ટી. મોટી સિસ્ટમ (અમારી સિસ્ટમ + થર્મોસ્ટેટ) માટે, માઇક્રોકેનોનિકલ વિતરણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, કારણ કે આવી સિસ્ટમને અલગ ગણી શકાય. અમે માની લઈશું કે વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમ T તાપમાન અને તેમાં રહેલા કણોની સંખ્યા ધરાવતી મોટી સિસ્ટમનો એક નાનો પણ મેક્રોસ્કોપિક ભાગ છે. એટલે કે સમાનતા (>>) સંતુષ્ટ છે .

અમે અમારી સિસ્ટમના ચલોને આના દ્વારા દર્શાવીશું એક્સ, અને થર્મોસ્ટેટ ચલો દ્વારા એક્સ 1 .

પછી સમગ્ર સિસ્ટમ માટે અમે માઇક્રોકેનોનિકલ વિતરણ લખીએ છીએ:

અમને સિસ્ટમની સ્થિતિની સંભાવનામાં રસ હશે એન કોઈપણ સંભવિત થર્મોસ્ટેટ શરતો હેઠળ કણો. આ સંભાવના થર્મોસ્ટેટની સ્થિતિઓ પર આ સમીકરણને એકીકૃત કરીને શોધી શકાય છે

સિસ્ટમ અને થર્મોસ્ટેટના હેમિલ્ટન કાર્યને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે

અમે સિસ્ટમ અને થર્મોસ્ટેટ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની ઊર્જાને સિસ્ટમની ઊર્જા અને થર્મોસ્ટેટની ઊર્જા બંનેની સરખામણીમાં અવગણીશું. આ કરી શકાય છે કારણ કે મેક્રોસિસ્ટમ માટેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જા તેના સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે, જ્યારે સિસ્ટમની ઊર્જા તેના જથ્થાના પ્રમાણસર હોય છે. જો કે, સિસ્ટમની ઊર્જાની તુલનામાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જાની અવગણનાનો અર્થ એ નથી કે તે શૂન્યની બરાબર છે, અન્યથા સમસ્યાનું નિર્માણ તેનો અર્થ ગુમાવે છે.

આમ, વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમ માટે સંભાવના વિતરણ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

ચાલો થર્મોસ્ટેટ ઊર્જા પર એકીકરણ તરફ આગળ વધીએ

,

તેથી, ડી-ફંક્શનની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને

,

જ્યારે થર્મોસ્ટેટ ખૂબ મોટું હોય ત્યારે અમે પછીથી મર્યાદિત કેસ તરફ આગળ વધીશું. જ્યારે થર્મોસ્ટેટ એક આદર્શ ગેસ સાથે હોય ત્યારે આપણે વિશિષ્ટ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ એન 1 સમૂહ સાથેના કણો mદરેક

ચાલો તે જથ્થા શોધીએ જે જથ્થાને રજૂ કરે છે

,

જ્યાં હાઇપરસર્ફેસમાં સમાવિષ્ટ તબક્કાની જગ્યાનું પ્રમાણ દર્શાવે છે . પછી હાયપરસ્ફિયર લેયરના જથ્થાને રજૂ કરે છે (ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા માટેની અભિવ્યક્તિ સાથે સરખામણી કરો

આદર્શ ગેસ માટે, એકીકરણ ક્ષેત્ર શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે

.

સૂચવેલ સીમાઓની અંદર એકીકરણના પરિણામે, અમે વોલ્યુમ 3 મેળવીએ છીએ એનત્રિજ્યા સાથે 1-પરિમાણીય બોલ જે સમાન હશે. આમ અમારી પાસે છે

.

અમે તે ક્યાંથી મેળવીએ છીએ?

.

આમ, સંભાવના વિતરણ માટે અમારી પાસે છે

.

ચાલો હવે મર્યાદા તરફ આગળ વધીએ એન 1 ®¥, તેમ છતાં, એમ ધારી રહ્યા છીએ કે ગુણોત્તર સ્થિર રહે છે (કહેવાતી થર્મોડાયનેમિક મર્યાદા). પછી આપણને મળે છે

.

તે ધ્યાનમાં લેતા

,

.

પછી થર્મોસ્ટેટમાં સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય આ રીતે લખી શકાય છે

,

જ્યાં સાથેનોર્મલાઇઝેશન કંડિશનમાંથી જોવા મળે છે:

કાર્ય કહેવાય છે શાસ્ત્રીય આંકડાકીય અભિન્ન.આમ, થર્મોસ્ટેટમાં સિસ્ટમના વિતરણ કાર્યને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

- આ તે છે પ્રમાણભૂત ગિબ્સ વિતરણ(1901).

આ વિતરણમાં ટીથર્મલ ચળવળની સરેરાશ તીવ્રતાને લાક્ષણિકતા આપે છે - પર્યાવરણીય કણોનું સંપૂર્ણ તાપમાન.

ગિબ્સ વિતરણ લખવાનું બીજું સ્વરૂપ

,

વ્યાખ્યામાં, માઇક્રોસ્કોપિક અવસ્થાઓ અલગ માનવામાં આવતી હતી, જે ફક્ત વ્યક્તિગત કણોની પુનઃ ગોઠવણીમાં અલગ હતી. આનો અર્થ એ છે કે આપણે દરેક કણનો ટ્રેક રાખવામાં સક્ષમ છીએ. જો કે, આવી ધારણા વિરોધાભાસ તરફ દોરી જાય છે.

ક્વોન્ટમ કેનોનિકલ ગિબ્સ વિતરણ માટેની અભિવ્યક્તિ ક્લાસિકલ સાથે સામ્યતા દ્વારા લખી શકાય છે:

- આંકડાકીય સરવાળો: .