રુટ ડિગ્રી nવાસ્તવિક સંખ્યામાંથી a, ક્યાં n- કુદરતી સંખ્યા, આવી વાસ્તવિક સંખ્યા કહેવાય છે x, nજેની મી ડિગ્રી બરાબર છે a.

રુટ ડિગ્રી nવચ્ચેથી aપ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યા મુજબ.

મૂળ શોધવી n- વચ્ચેથી મી ડિગ્રી aમૂળ નિષ્કર્ષણ કહેવાય છે. નંબર એરેડિકલ નંબર (અભિવ્યક્તિ) કહેવાય છે, n- રુટ સૂચક. વિષમ માટે nએક મૂળ છે n-કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે મી પાવર a. જ્યારે પણ nએક મૂળ છે nમાત્ર બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે જ પાવર a. મૂળને અસંદિગ્ધ કરવા n- વચ્ચેથી મી ડિગ્રી a, એક અંકગણિત મૂળનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે n- વચ્ચેથી મી ડિગ્રી a.

ડિગ્રી N ના અંકગણિત મૂળનો ખ્યાલ

જો અને n- કુદરતી સંખ્યા, વધુ 1 , પછી ત્યાં છે, અને માત્ર એક, બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા એક્સ, જેમ કે સમાનતા સંતુષ્ટ છે. આ નંબર એક્સઅંકગણિત મૂળ કહેવાય છે nબિન-ઋણાત્મક સંખ્યાની મી ઘાત એઅને નિયુક્ત થયેલ છે. નંબર એરેડિકલ નંબર કહેવાય છે, n- રુટ સૂચક.

તેથી, વ્યાખ્યા અનુસાર, સંકેત , જ્યાં , નો અર્થ થાય છે, પ્રથમ, તે અને, બીજું, તે, એટલે કે. .

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો ખ્યાલ

કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી: ચાલો એવાસ્તવિક સંખ્યા છે, અને n- એક કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યા, nસંખ્યાની -મી શક્તિ એકામ પર કૉલ કરો nપરિબળો, જેમાંથી દરેક સમાન છે એ, એટલે કે . નંબર એ- ડિગ્રીનો આધાર, n- ઘાતાંક. શૂન્ય ઘાતાંક સાથેની શક્તિ: વ્યાખ્યા દ્વારા, જો , તો . સંખ્યાની શૂન્ય શક્તિ 0 અર્થ નથી. નકારાત્મક પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી: વ્યાખ્યા દ્વારા ધારવામાં આવે છે જો અને nપછી કુદરતી સંખ્યા છે. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી: તે વ્યાખ્યા દ્વારા ધારવામાં આવે છે જો અને n- કુદરતી સંખ્યા, mપછી પૂર્ણાંક છે.

મૂળ સાથે કામગીરી.

નીચેના તમામ સૂત્રોમાં, પ્રતીકનો અર્થ અંકગણિત મૂળ (આમૂલ અભિવ્યક્તિ હકારાત્મક છે).

1. ઘણા પરિબળોના ઉત્પાદનનું મૂળ આ પરિબળોના મૂળના ઉત્પાદન જેટલું છે:

2. ગુણોત્તરનું મૂળ ડિવિડન્ડ અને વિભાજકના મૂળના ગુણોત્તર સમાન છે:

3. જ્યારે રુટને પાવરમાં વધારતા હોય, ત્યારે આ પાવરમાં રેડિકલ નંબર વધારવા માટે તે પૂરતું છે:

4. જો તમે રૂટની ડિગ્રી n વખત વધારશો અને તે જ સમયે આમૂલ સંખ્યાને nમી ઘાતમાં વધારશો, તો રુટનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:

5. જો તમે રુટની ડિગ્રીને n ગણો ઘટાડી દો અને સાથે સાથે આમૂલ સંખ્યાના nમા મૂળને બહાર કાઢો, તો રુટનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:

ડિગ્રીની વિભાવનાને વિસ્તૃત કરવી. અત્યાર સુધી આપણે માત્ર કુદરતી ઘાતાંક સાથેની ડીગ્રીઓ ગણી છે; પરંતુ સત્તાઓ અને મૂળ સાથેની કામગીરી પણ નકારાત્મક, શૂન્ય અને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક તરફ દોરી શકે છે. આ તમામ ઘાતાંકને વધારાની વ્યાખ્યાની જરૂર છે.

નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી. ઋણ (પૂર્ણાંક) ઘાતાંક સાથેની ચોક્કસ સંખ્યાની શક્તિને નકારાત્મક ઘાતાંકના ચોક્કસ મૂલ્યની સમાન ઘાત સાથે સમાન સંખ્યાની ઘાત વડે ભાગ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

હવે સૂત્ર a m: a n = a m - n નો ઉપયોગ માત્ર n કરતાં મોટા m માટે જ નહીં, પણ n કરતાં ઓછા m માટે પણ થઈ શકે છે.

ઉદાહરણ a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

જો આપણે ફોર્મ્યુલા a m: a n = a m - n ને m = n માટે માન્ય રાખવા માંગતા હોય, તો આપણને ડિગ્રી શૂન્યની વ્યાખ્યાની જરૂર છે.

શૂન્ય અનુક્રમણિકા સાથેની ડિગ્રી. ઘાતાંક શૂન્ય સાથેની કોઈપણ બિન-શૂન્ય સંખ્યાની શક્તિ 1 છે.

ઉદાહરણો. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી. વાસ્તવિક સંખ્યા a ને m/n ની ઘાતમાં વધારવા માટે, તમારે આ સંખ્યાની mth ઘાતનું nth મૂળ કાઢવાની જરૂર છે a:

અભિવ્યક્તિઓ વિશે કે જેનો કોઈ અર્થ નથી. આવા અનેક અભિવ્યક્તિઓ છે.

કેસ 1.

જ્યાં ≠ 0 અસ્તિત્વમાં નથી.

વાસ્તવમાં, જો આપણે ધારીએ કે x એ ચોક્કસ સંખ્યા છે, તો પછી વિભાજન કામગીરીની વ્યાખ્યા અનુસાર આપણી પાસે છે: a = 0 x, એટલે કે. a = 0, જે શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે: a ≠ 0

કેસ 2.

કોઈપણ નંબર.

વાસ્તવમાં, જો આપણે ધારીએ કે આ અભિવ્યક્તિ ચોક્કસ સંખ્યા x જેટલી છે, તો પછી વિભાજન ક્રિયાની વ્યાખ્યા મુજબ આપણી પાસે છે: 0 = 0 · x. પરંતુ આ સમાનતા કોઈપણ સંખ્યા x માટે ધરાવે છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ખરેખર,

ચાલો ત્રણ મુખ્ય કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

1) x = 0 - આ મૂલ્ય આ સમીકરણને સંતોષતું નથી

2) x > 0 માટે આપણને મળે છે: x / x = 1, એટલે કે. 1 = 1, જેનો અર્થ છે કે x એ કોઈપણ સંખ્યા છે; પરંતુ ધ્યાનમાં લેતા કે અમારા કિસ્સામાં x > 0, જવાબ છે x > 0;

3) x પર< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

આ કિસ્સામાં કોઈ ઉકેલ નથી. આમ x > 0.

બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાની nમી ઘાતનું અંકગણિત મૂળ એ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેની nમી ઘાત બરાબર છે:

મૂળની શક્તિ 1 કરતા મોટી કુદરતી સંખ્યા છે.

3.

4.

ખાસ કિસ્સાઓ:

1. જો મૂળ ઘાતાંક એક વિષમ પૂર્ણાંક છે(), પછી આમૂલ અભિવ્યક્તિ નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

એક વિષમ ઘાતાંકના કિસ્સામાં, સમીકરણકોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્ય અને પૂર્ણાંક માટે હંમેશા એક જ મૂળ હોય છે:

વિચિત્ર ડિગ્રીના મૂળ માટે નીચેની ઓળખ ધરાવે છે:

,

2. જો મૂળ ઘાતાંક એક સમાન પૂર્ણાંક છે (), પછી આમૂલ અભિવ્યક્તિ નકારાત્મક હોઈ શકતી નથી.

સમ ઘાતાંકના કિસ્સામાં, Eq.ધરાવે છે

ખાતે એક મૂળ

અને, જો અને

સમાન ડિગ્રીના મૂળ માટે નીચેની ઓળખ ધરાવે છે:

સમાન ડિગ્રીના મૂળ માટે નીચેની સમાનતાઓ માન્ય છે::

પાવર ફંક્શન, તેના ગુણધર્મો અને ગ્રાફ.

પાવર ફંક્શન અને તેના ગુણધર્મો.

કુદરતી ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન. ફંક્શન y = x n, જ્યાં n એ કુદરતી સંખ્યા છે, તેને કુદરતી ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન કહેવામાં આવે છે. n = 1 માટે આપણે ફંક્શન y = x મેળવીએ છીએ, તેના ગુણધર્મો:

પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા. પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા એ એક કાર્ય છે જે સૂત્ર y = kx n દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં સંખ્યા k ને પ્રમાણસરતા ગુણાંક કહેવામાં આવે છે.

ચાલો ફંક્શન y = kx ના ગુણધર્મોની યાદી કરીએ.

ફંક્શનનું ડોમેન એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

y = kx - વિચિત્ર કાર્ય (f(- x) = k (- x) = - kx = -k(x)).

3) k > 0 માટે ફંક્શન વધે છે, અને k માટે< 0 убывает на всей числовой прямой.

આલેખ (સીધી રેખા) આકૃતિ II.1 માં બતાવેલ છે.

ચોખા. II.1.

જ્યારે n=2 આપણને ફંક્શન y = x 2 મળે છે, ત્યારે તેના ગુણધર્મો:

કાર્ય y -x 2. ચાલો ફંક્શન y = x 2 ના ગુણધર્મોને સૂચિબદ્ધ કરીએ.

y = x 2 - સમ કાર્ય (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

કાર્ય અંતરાલ પર ઘટે છે.

હકીકતમાં, જો , તો - x 1 > - x 2 > 0, અને તેથી

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, એટલે કે, અને આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય ઘટી રહ્યું છે.

ફંક્શન y=x2 નો આલેખ એક પેરાબોલા છે. આ આલેખ આકૃતિ II.2 માં દર્શાવેલ છે.

ચોખા. II.2.

જ્યારે n = 3 આપણે ફંક્શન y = x 3 મેળવીએ છીએ, ત્યારે તેના ગુણધર્મો:

ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ સમગ્ર સંખ્યા રેખા છે.

y = x 3 - વિચિત્ર કાર્ય (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) કાર્ય y = x 3 સમગ્ર સંખ્યા રેખા સાથે વધે છે. ફંક્શન y = x 3 નો ગ્રાફ આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. તેને ક્યુબિક પેરાબોલા કહેવામાં આવે છે.

આલેખ (ક્યુબિક પેરાબોલા) આકૃતિ II.3 માં બતાવેલ છે.

ચોખા. II.3.

ચાલો n ને બે કરતા મોટી કુદરતી સંખ્યા પણ મનસ્વી હોઈએ:

n = 4, 6, 8,... . આ કિસ્સામાં, ફંક્શન y = x n ફંક્શન y = x 2 જેવા જ ગુણધર્મો ધરાવે છે. આવા ફંક્શનનો ગ્રાફ પેરાબોલા y = x 2 જેવો દેખાય છે, માત્ર |n| પર ગ્રાફની શાખાઓ >1 જેટલો ઊંચો તેઓ ઉપરની તરફ જાય છે, તેટલું મોટું n અને x અક્ષ પર જેટલું વધારે "દબાવવામાં આવે છે", તેટલું મોટું n.

ચાલો n ને ત્રણ કરતા મોટી મનસ્વી વિષમ સંખ્યા હોઈએ: n = = 5, 7, 9, ... . આ કિસ્સામાં, ફંક્શન y = x n ફંક્શન y = x 3 જેવા જ ગુણધર્મો ધરાવે છે. આવા ફંક્શનનો ગ્રાફ ક્યુબિક પેરાબોલા જેવો હોય છે (માત્ર ગ્રાફની શાખાઓ સ્ટીપર ઉપર અને નીચે જાય છે, તેટલું મોટું n છે. એ પણ નોંધ કરો કે અંતરાલ પર (0; 1) પાવર ફંક્શનનો ગ્રાફ y = x n ફરે છે x અક્ષથી વધુ ધીમેથી દૂર જેમ x વધે છે, n કરતાં વધુ.

ઋણ પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન. કાર્ય y = x - n ને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં n એ કુદરતી સંખ્યા છે. જ્યારે n = 1 આપણને મળે છે y = x - n અથવા y = આ કાર્યના ગુણધર્મો:

આલેખ (હાયપરબોલા) આકૃતિ II.4 માં દર્શાવેલ છે.

પ્રવેશ સ્તર

રુટ અને તેના ગુણધર્મો. ઉદાહરણો સાથે વિગતવાર સિદ્ધાંત (2019)

ચાલો એ સમજવાનો પ્રયત્ન કરીએ કે “મૂળ” ની આ વિભાવના શું છે અને “તે શેની સાથે ખવાય છે.” આ કરવા માટે, ચાલો એવા ઉદાહરણો જોઈએ કે જેનો તમે વર્ગમાં પહેલેથી જ સામનો કર્યો છે (સારું, અથવા તમે હમણાં જ આનો સામનો કરી રહ્યા છો).

ઉદાહરણ તરીકે, આપણી પાસે એક સમીકરણ છે. આ સમીકરણનો ઉકેલ શું છે? કઈ સંખ્યાઓનો વર્ગ કરી શકાય અને મેળવી શકાય? ગુણાકાર કોષ્ટકને યાદ રાખીને, તમે સરળતાથી જવાબ આપી શકો છો: અને (છેવટે, જ્યારે બે નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે હકારાત્મક સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે)! સરળ બનાવવા માટે, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ વર્ગમૂળની વિશેષ વિભાવના રજૂ કરી અને તેને વિશિષ્ટ પ્રતીક સોંપ્યું.

ચાલો અંકગણિત વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

નંબર બિન-ઋણાત્મક કેમ હોવો જોઈએ? ઉદાહરણ તરીકે, તે શું સમાન છે? સારું, સારું, ચાલો એક પસંદ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. કદાચ ત્રણ? ચાલો તપાસીએ: , નહીં. કદાચ , ? ફરીથી, અમે તપાસીએ છીએ: . સારું, તે બંધબેસતું નથી? આ અપેક્ષિત છે - કારણ કે ત્યાં કોઈ સંખ્યાઓ નથી કે જ્યારે વર્ગ કરવામાં આવે, ત્યારે નકારાત્મક સંખ્યા આપે!
તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે તે આ છે: મૂળ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ બિન-નકારાત્મક હોવી જોઈએ!

જો કે, સૌથી વધુ સચેત લોકોએ કદાચ પહેલેથી જ નોંધ્યું છે કે વ્યાખ્યા કહે છે કે “એક સંખ્યાના વર્ગમૂળના ઉકેલને આ કહેવામાં આવે છે. બિન-નકારાત્મકસંખ્યા જેનો વર્ગ " બરાબર છે. તમારામાંથી કેટલાક કહેશે કે ખૂબ જ શરૂઆતમાં અમે ઉદાહરણનું વિશ્લેષણ કર્યું, પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ કે જેનો વર્ગ કરી શકાય છે અને મેળવી શકાય છે, જવાબ હતો અને, પરંતુ અહીં આપણે અમુક પ્રકારની "બિન-નકારાત્મક સંખ્યા" વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ! આ ટિપ્પણી એકદમ યોગ્ય છે. અહીં તમારે માત્ર ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ખ્યાલો અને સંખ્યાના અંકગણિત વર્ગમૂળ વચ્ચે તફાવત કરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિની સમકક્ષ નથી.

તે અનુસરે છે, એટલે કે, અથવા. (વિષય "" વાંચો)

અને તે તેને અનુસરે છે.

અલબત્ત, આ ખૂબ જ ગૂંચવણભર્યું છે, પરંતુ એ યાદ રાખવું જરૂરી છે કે ચિહ્નો એ સમીકરણ ઉકેલવાનું પરિણામ છે, કારણ કે સમીકરણ ઉકેલતી વખતે આપણે બધા X લખવા જોઈએ, જે, જ્યારે મૂળ સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, ત્યારે તે આપશે. સાચું પરિણામ. બંને અને આપણા ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં બંધબેસે છે.

જો કે, જો માત્ર વર્ગમૂળ લોકંઈક થી, પછી હંમેશા અમને એક બિન-નકારાત્મક પરિણામ મળે છે.

હવે આ સમીકરણ ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરો. હવે બધું એટલું સરળ અને સરળ નથી, તે છે? નંબરોમાંથી પસાર થવાનો પ્રયાસ કરો, કદાચ કંઈક કામ કરશે? ચાલો શરૂઆતથી જ શરૂ કરીએ - શરૂઆતથી: - બંધબેસતું નથી, આગળ વધો - ત્રણ કરતા ઓછા, પણ બાજુ પર સાફ કરો, જો શું. ચાલો તપાસીએ: - પણ યોગ્ય નથી, કારણ કે... તે ત્રણ કરતાં વધુ છે. તે નકારાત્મક નંબરો સાથે સમાન વાર્તા છે. તો હવે શું કરવું જોઈએ? શું શોધે ખરેખર અમને કંઈ આપ્યું નથી? બિલકુલ નહીં, હવે આપણે ખાતરીપૂર્વક જાણીએ છીએ કે જવાબ અને વચ્ચેની કેટલીક સંખ્યા હશે, તેમજ અને વચ્ચે. ઉપરાંત, દેખીતી રીતે ઉકેલો પૂર્ણાંકો હશે નહીં. વધુમાં, તેઓ તર્કસંગત નથી. તો આગળ શું? ચાલો ફંક્શનનો આલેખ કરીએ અને તેના પર ઉકેલોને ચિહ્નિત કરીએ.

ચાલો સિસ્ટમને છેતરવાનો પ્રયાસ કરીએ અને કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવીએ! ચાલો તેના મૂળમાંથી બહાર નીકળીએ! ઓહ-ઓહ-ઓહ, તે બહાર આવ્યું છે. આ સંખ્યા ક્યારેય સમાપ્ત થતી નથી. તમે આ કેવી રીતે યાદ રાખી શકો, કારણ કે પરીક્ષામાં કેલ્ક્યુલેટર હશે નહીં!? બધું ખૂબ જ સરળ છે, તમારે તેને યાદ રાખવાની જરૂર નથી, તમારે ફક્ત અંદાજિત મૂલ્યને યાદ રાખવાની (અથવા ઝડપથી અંદાજ કાઢવામાં સમર્થ થવાની) જરૂર છે. અને જવાબો પોતાને. આવી સંખ્યાઓને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે.

ચાલો આને વધુ મજબૂત કરવા માટે બીજું ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો નીચેની સમસ્યા જોઈએ: તમારે કિમીની બાજુ ત્રાંસા સાથે ચોરસ ક્ષેત્રને પાર કરવાની જરૂર છે, તમારે કેટલા કિમી જવું પડશે?

અહીં સૌથી સ્પષ્ટ બાબત એ છે કે ત્રિકોણને અલગથી ધ્યાનમાં લેવું અને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવો: . આમ, . તો અહીં જરૂરી અંતર શું છે? દેખીતી રીતે, અંતર નકારાત્મક હોઈ શકતું નથી, આપણે તે મેળવીએ છીએ. બેનું મૂળ લગભગ સમાન છે, પરંતુ, જેમ આપણે અગાઉ નોંધ્યું છે, - પહેલેથી જ સંપૂર્ણ જવાબ છે.

સમસ્યાઓ ઉભી કર્યા વિના મૂળ સાથે ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે, તમારે તેમને જોવાની અને ઓળખવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, તમારે ઓછામાં ઓછા સંખ્યાના વર્ગો જાણવાની જરૂર છે, અને તેમને ઓળખવામાં પણ સમર્થ હોવા જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે ચોરસ બરાબર શું છે તે જાણવાની જરૂર છે, અને તેનાથી વિપરીત, ચોરસની બરાબર શું છે.

શું તમે સમજ્યું કે વર્ગમૂળ શું છે? પછી કેટલાક ઉદાહરણો ઉકેલો.

ઉદાહરણો.

સારું, તે કેવી રીતે કામ કર્યું? હવે ચાલો આ ઉદાહરણો જોઈએ:

જવાબો:

ક્યુબ રુટ

ઠીક છે, આપણે વર્ગમૂળનો ખ્યાલ ગોઠવી દીધો હોય તેમ લાગે છે, હવે આપણે ઘનમૂળ શું છે અને તેમનો તફાવત શું છે તે શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ.

સંખ્યાનું ઘનમૂળ એ સંખ્યા છે જેના ઘન સમાન છે. શું તમે નોંધ્યું છે કે અહીં બધું ખૂબ સરળ છે? ક્યુબ રુટ ચિહ્ન હેઠળના મૂલ્ય અને કાઢવામાં આવતી સંખ્યા બંનેના સંભવિત મૂલ્યો પર કોઈ નિયંત્રણો નથી. એટલે કે, ઘનમૂળ કોઈપણ સંખ્યામાંથી કાઢી શકાય છે: .

શું તમે સમજો છો કે ઘનમૂળ શું છે અને તેને કેવી રીતે કાઢવું? પછી આગળ વધો અને ઉદાહરણો ઉકેલો.

ઉદાહરણો.

જવાબો:

રુટ - ઓહ ડિગ્રી

સારું, આપણે ચોરસ અને ઘનમૂળની વિભાવનાઓ સમજી ગયા છીએ. હવે ખ્યાલ સાથે મેળવેલ જ્ઞાનનો સારાંશ આપીએ 1 લી મૂળ.

1 લી મૂળસંખ્યાની સંખ્યા એ એક સંખ્યા છે જેની મી ઘાત સમાન છે, એટલે કે.

સમકક્ષ

જો - પણ, તે:

• નકારાત્મક સાથે, અભિવ્યક્તિનો અર્થ નથી (નકારાત્મક સંખ્યાઓના સમ-મુ મૂળ દૂર કરી શકાતું નથી!);
• બિન-નકારાત્મક માટે() અભિવ્યક્તિમાં એક બિન-નકારાત્મક મૂળ છે.

જો - વિચિત્ર છે, તો અભિવ્યક્તિ કોઈપણ માટે અનન્ય મૂળ ધરાવે છે.

ગભરાશો નહીં, ચોરસ અને ઘનમૂળ જેવા જ સિદ્ધાંતો અહીં લાગુ પડે છે. એટલે કે, વર્ગમૂળની વિચારણા કરતી વખતે આપણે જે સિદ્ધાંતો લાગુ કર્યા છે તે સમાન ડિગ્રીના તમામ મૂળ સુધી વિસ્તૃત છે.

અને ક્યુબિક રુટ માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ગુણધર્મો વિચિત્ર ડિગ્રીના મૂળને લાગુ પડે છે.

સારું, શું તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે? ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:

અહીં બધું વધુ કે ઓછું સ્પષ્ટ છે: પ્રથમ આપણે જોઈએ છીએ - હા, ડિગ્રી સમાન છે, મૂળ હેઠળની સંખ્યા સકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે આપણું કાર્ય એવી સંખ્યા શોધવાનું છે જેની ચોથી શક્તિ આપણને આપશે. સારું, કોઈ અનુમાન છે? કદાચ , ? બરાબર!

તેથી, ડિગ્રી સમાન છે - વિચિત્ર, મૂળ હેઠળની સંખ્યા નકારાત્મક છે. અમારું કાર્ય એવી સંખ્યા શોધવાનું છે જે, જ્યારે પાવર સુધી વધે છે, ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે. તુરંત જ મૂળની નોંધ લેવી ખૂબ મુશ્કેલ છે. જો કે, તમે તરત જ તમારી શોધને સંકુચિત કરી શકો છો, બરાબર? પ્રથમ, જરૂરી સંખ્યા ચોક્કસપણે નકારાત્મક છે, અને બીજું, કોઈ નોંધ કરી શકે છે કે તે વિચિત્ર છે, અને તેથી ઇચ્છિત સંખ્યા વિચિત્ર છે. મૂળ શોધવાનો પ્રયાસ કરો. અલબત્ત, તમે તેને સુરક્ષિત રીતે બરતરફ કરી શકો છો. કદાચ , ?

હા, આ તે છે જે અમે શોધી રહ્યા હતા! નોંધ કરો કે ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે અમે ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કર્યો: .

મૂળના મૂળભૂત ગુણધર્મો

તે સ્પષ્ટ છે? જો નહીં, તો પછી ઉદાહરણો જોયા પછી, બધું જ જગ્યાએ આવવું જોઈએ.

ગુણાકાર મૂળ

મૂળનો ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો? સૌથી સરળ અને સૌથી મૂળભૂત મિલકત આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવામાં મદદ કરે છે:

ચાલો કંઈક સરળ સાથે પ્રારંભ કરીએ:

શું પરિણામી સંખ્યાઓના મૂળ બરાબર કાઢવામાં આવતા નથી? કોઈ વાંધો નથી - અહીં કેટલાક ઉદાહરણો છે:

જો ત્યાં બે નહીં, પરંતુ વધુ ગુણક હોય તો શું? એ જ! મૂળના ગુણાકાર માટેનું સૂત્ર કોઈપણ સંખ્યાના પરિબળો સાથે કામ કરે છે:

આપણે તેની સાથે શું કરી શકીએ? સારું, અલબત્ત, ત્રણને મૂળની નીચે છુપાવો, યાદ રાખો કે ત્રણનું વર્ગમૂળ છે!

આપણને આની શા માટે જરૂર છે? હા, ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે ફક્ત અમારી ક્ષમતાઓને વિસ્તૃત કરવા માટે:

તમને મૂળની આ મિલકત કેવી રીતે ગમશે? શું તે જીવનને ખૂબ સરળ બનાવે છે? મારા માટે, તે બરાબર છે! તમારે ફક્ત તે યાદ રાખવું પડશે અમે માત્ર એક સમાન ડિગ્રીના મૂળ ચિન્હ હેઠળ હકારાત્મક સંખ્યાઓ દાખલ કરી શકીએ છીએ.

ચાલો જોઈએ કે આ બીજુ ક્યાં ઉપયોગી થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમસ્યા માટે બે સંખ્યાઓની સરખામણી કરવાની જરૂર છે:

વધુ શું છે:

તમે તરત જ કહી શકતા નથી. સારું, ચાલો મૂળ ચિન્હ હેઠળ સંખ્યા દાખલ કરવાની ડિસએસેમ્બલ મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ? પછી આગળ વધો:

સારું, એ જાણીને કે રુટ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યા જેટલી મોટી છે, તેટલું જ રુટ પોતે જ મોટું છે! તે. જો, પછી, . આના પરથી અમે નિશ્ચિતપણે તારણ કાઢીએ છીએ. અને અન્યથા કોઈ અમને સહમત કરશે નહીં!

આ પહેલાં, અમે રુટની નિશાની હેઠળ ગુણક દાખલ કર્યું છે, પરંતુ તેને કેવી રીતે દૂર કરવું? તમારે ફક્ત તેને પરિબળોમાં પરિબળ કરવાની જરૂર છે અને તમે જે બહાર કાઢો છો તે બહાર કાઢો!

એક અલગ રસ્તો લેવો અને અન્ય પરિબળોમાં વિસ્તરણ કરવું શક્ય હતું:

ખરાબ તો નથી ને? આમાંથી કોઈપણ અભિગમ સાચો છે, તમારી ઈચ્છા મુજબ નિર્ણય કરો.

ઉદાહરણ તરીકે, અહીં એક અભિવ્યક્તિ છે:

આ ઉદાહરણમાં, ડિગ્રી સમાન છે, પરંતુ જો તે વિચિત્ર હોય તો શું? ફરીથી, ઘાતાંકના ગુણધર્મો લાગુ કરો અને દરેક વસ્તુને અવયવિત કરો:

આ સાથે બધું સ્પષ્ટ લાગે છે, પરંતુ સંખ્યાના મૂળને પાવરમાં કેવી રીતે કાઢવું? અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, આ છે:

ખૂબ સરળ, અધિકાર? જો ડિગ્રી બે કરતા વધારે હોય તો શું? અમે ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સમાન તર્કને અનુસરીએ છીએ:

સારું, બધું સ્પષ્ટ છે? પછી અહીં એક ઉદાહરણ છે:

આ મુશ્કેલીઓ છે, તેમના વિશે હંમેશા યાદ રાખવા યોગ્ય. આ ખરેખર મિલકત ઉદાહરણોમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે:

તે સ્પષ્ટ છે? ઉદાહરણો સાથે મજબૂત કરો:

અરે વાહ, આપણે જોઈએ છીએ કે મૂળ એક સમ ઘાત માટે છે, મૂળની નીચેની નકારાત્મક સંખ્યા પણ એક સમાન ઘાત માટે છે. સારું, શું તે જ કામ કરે છે? અહીં શું છે:

બસ! હવે અહીં કેટલાક ઉદાહરણો છે:

સમજાયું? પછી આગળ વધો અને ઉદાહરણો ઉકેલો.

ઉદાહરણો.

જવાબો.

જો તમને જવાબો મળ્યા છે, તો પછી તમે માનસિક શાંતિ સાથે આગળ વધી શકો છો. જો નહીં, તો ચાલો આ ઉદાહરણો સમજીએ:

ચાલો મૂળના અન્ય બે ગુણધર્મો જોઈએ:

આ ગુણધર્મોનું ઉદાહરણોમાં વિશ્લેષણ કરવું આવશ્યક છે. સારું, ચાલો આ કરીએ?

સમજાયું? ચાલો તેને સુરક્ષિત કરીએ.

ઉદાહરણો.

જવાબો.

મૂળ અને તેમની મિલકતો. મધ્યમ સ્તર

અંકગણિત વર્ગમૂળ

સમીકરણમાં બે ઉકેલો છે: અને. આ એવી સંખ્યાઓ છે જેનો વર્ગ બરાબર છે.

સમીકરણ ધ્યાનમાં લો. ચાલો તેને ગ્રાફિકલી હલ કરીએ. ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ અને સ્તર પર એક રેખા દોરીએ. આ રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુઓ ઉકેલો હશે. આપણે જોઈએ છીએ કે આ સમીકરણમાં પણ બે ઉકેલો છે - એક સકારાત્મક, બીજો નકારાત્મક:

પરંતુ આ કિસ્સામાં ઉકેલો પૂર્ણાંકો નથી. વધુમાં, તેઓ તર્કસંગત નથી. આ અતાર્કિક નિર્ણયો લખવા માટે, અમે વિશિષ્ટ વર્ગમૂળ પ્રતીક રજૂ કરીએ છીએ.

અંકગણિત વર્ગમૂળબિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ બરાબર છે. જ્યારે અભિવ્યક્તિ વ્યાખ્યાયિત નથી, કારણ કે એવી કોઈ સંખ્યા નથી કે જેનો વર્ગ નકારાત્મક સંખ્યાના બરાબર હોય.

વર્ગમૂળ: .

ઉદાહરણ તરીકે, . અને તે તેને અનુસરે છે અથવા.

ચાલો હું ફરી એકવાર તમારું ધ્યાન દોરું, આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે: વર્ગમૂળ હંમેશા બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે: !

ક્યુબ રુટસંખ્યાની સંખ્યા એ સંખ્યા છે જેનું ઘન બરાબર છે. ક્યુબ રુટ દરેક માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તે કોઈપણ નંબર પરથી કાઢી શકાય છે: . જેમ આપણે જોઈએ છીએ, તે નકારાત્મક મૂલ્યો પણ લઈ શકે છે.

સંખ્યાનું મી રુટ એવી સંખ્યા છે જેની મી ઘાત સમાન છે, એટલે કે.

જો તે સમાન હોય, તો પછી:

• જો, તો પછી a નું મુળ અવ્યાખ્યાયિત છે.
• જો, તો સમીકરણના બિન-નકારાત્મક મૂળને ની ડિગ્રીનું અંકગણિત મૂળ કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે.

જો - વિચિત્ર છે, તો સમીકરણ કોઈપણ માટે અનન્ય મૂળ ધરાવે છે.

શું તમે નોંધ્યું છે કે મૂળના ચિહ્નની ઉપર ડાબી બાજુએ આપણે તેની ડિગ્રી લખીએ છીએ? પરંતુ વર્ગમૂળ માટે નહીં! જો તમે ડિગ્રી વગરનું મૂળ જુઓ છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તે ચોરસ (ડિગ્રી) છે.

ઉદાહરણો.

મૂળના મૂળભૂત ગુણધર્મો

મૂળ અને તેમની મિલકતો. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

વર્ગમૂળ (અંકગણિત વર્ગમૂળ)બિન-નેગેટિવ નંબર પરથી આને કહેવામાં આવે છે બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા જેનો વર્ગ છે

મૂળના ગુણધર્મો:

આ લેખમાં અમે પરિચય કરીશું સંખ્યાના મૂળનો ખ્યાલ. આપણે ક્રમશઃ આગળ વધીશું: આપણે વર્ગમૂળથી શરૂઆત કરીશું, ત્યાંથી આપણે ઘનમૂળના વર્ણન તરફ આગળ વધીશું, જે પછી આપણે nમા મૂળને વ્યાખ્યાયિત કરીને મૂળના ખ્યાલને સામાન્ય બનાવીશું. તે જ સમયે, અમે વ્યાખ્યાઓ, સંકેતો રજૂ કરીશું, મૂળના ઉદાહરણો આપીશું અને જરૂરી સ્પષ્ટતા અને ટિપ્પણીઓ આપીશું.

વર્ગમૂળ, અંકગણિત વર્ગમૂળ

સંખ્યાના મૂળ અને ખાસ કરીને વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા સમજવા માટે, તમારી પાસે હોવું જરૂરી છે. આ બિંદુએ આપણે ઘણીવાર સંખ્યાની બીજી શક્તિનો સામનો કરીશું - સંખ્યાનો વર્ગ.

સાથે શરૂઆત કરીએ વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાઓ.

વ્યાખ્યા

a નું વર્ગમૂળએક એવી સંખ્યા છે જેનો વર્ગ a બરાબર છે.

નેતૃત્વ કરવું વર્ગમૂળના ઉદાહરણો, ઘણી સંખ્યાઓ લો, ઉદાહરણ તરીકે, 5, −0.3, 0.3, 0, અને તેનો વર્ગ કરો, આપણને અનુક્રમે 25, 0.09, 0.09 અને 0 નંબરો મળે છે (5 2 =5·5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 અને 0 2 =0·0=0 ). પછી, ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા પ્રમાણે, સંખ્યા 5 એ સંખ્યા 25નું વર્ગમૂળ છે, સંખ્યાઓ −0.3 અને 0.3 એ 0.09નું વર્ગમૂળ છે, અને 0 એ શૂન્યનું વર્ગમૂળ છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે કોઈપણ સંખ્યા માટે a અસ્તિત્વમાં નથી જેનો વર્ગ a બરાબર છે. જેમ કે, કોઈપણ ઋણ સંખ્યા a માટે કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા b નથી જેનો વર્ગ a બરાબર હોય. હકીકતમાં, સમાનતા a=b 2 કોઈપણ ઋણ a માટે અશક્ય છે, કારણ કે b 2 એ કોઈપણ b માટે બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે. આમ, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર નકારાત્મક સંખ્યાનું કોઈ વર્ગમૂળ નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર નકારાત્મક સંખ્યાના વર્ગમૂળને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતું નથી અને તેનો કોઈ અર્થ નથી.

આ એક તાર્કિક પ્રશ્ન તરફ દોરી જાય છે: "શું કોઈ બિન-નકારાત્મક a માટે a નું વર્ગમૂળ છે"? જવાબ હા છે. વર્ગમૂળની કિંમત શોધવા માટે વપરાતી રચનાત્મક પદ્ધતિ દ્વારા આ હકીકતને ન્યાયી ઠેરવી શકાય છે.

પછી આગળનો તાર્કિક પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: "આપેલ બિન-નકારાત્મક સંખ્યાના તમામ વર્ગમૂળની સંખ્યા a - એક, બે, ત્રણ અથવા તેથી વધુ"? અહીં જવાબ છે: જો a શૂન્ય છે, તો શૂન્યનું એકમાત્ર વર્ગમૂળ શૂન્ય છે; જો a અમુક ધન સંખ્યા છે, તો સંખ્યા a ના વર્ગમૂળની સંખ્યા બે છે, અને મૂળ છે. ચાલો આને યોગ્ય ઠેરવીએ.

ચાલો કેસ a=0 થી શરુ કરીએ. પ્રથમ, ચાલો બતાવીએ કે શૂન્ય ખરેખર શૂન્યનું વર્ગમૂળ છે. આ સ્પષ્ટ સમાનતા 0 2 =0·0=0 અને વર્ગમૂળની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે.

હવે સાબિત કરીએ કે 0 એ શૂન્યનું એક માત્ર વર્ગમૂળ છે. ચાલો વિપરીત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. ધારો કે અમુક બિનશૂન્ય સંખ્યા b છે જે શૂન્યનું વર્ગમૂળ છે. પછી શરત b 2 =0 સંતોષવી જોઈએ, જે અશક્ય છે, કારણ કે કોઈપણ બિન-શૂન્ય b માટે સમીકરણ b 2 નું મૂલ્ય હકારાત્મક છે. અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચ્યા છીએ. આ સાબિત કરે છે કે 0 એ શૂન્યનું એકમાત્ર વર્ગમૂળ છે.

ચાલો એવા કિસ્સાઓ તરફ આગળ વધીએ કે જ્યાં a એ ધન સંખ્યા છે. આપણે ઉપર કહ્યું છે કે કોઈપણ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ હંમેશા હોય છે, a નું વર્ગમૂળ નંબર b હોઈ દો. ચાલો કહીએ કે એક સંખ્યા c છે, જે a નું વર્ગમૂળ પણ છે. પછી, વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, સમાનતા b 2 =a અને c 2 =a સાચી છે, જેમાંથી તે b 2 −c 2 =a−a=0 ને અનુસરે છે, પરંતુ ત્યારથી b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , પછી (b−c)·(b+c)=0 . પરિણામી સમાનતા માન્ય છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે કામગીરીના ગુણધર્મોજ્યારે b−c=0 અથવા b+c=0 હોય ત્યારે જ શક્ય છે. આમ, સંખ્યાઓ b અને c સમાન અથવા વિરુદ્ધ છે.

જો આપણે માની લઈએ કે ત્યાં એક સંખ્યા d છે, જે a સંખ્યાનું બીજું વર્ગમૂળ છે, તો પહેલાથી આપેલા સમાન તર્ક દ્વારા, તે સાબિત થાય છે કે d એ સંખ્યા b અથવા સંખ્યા c સમાન છે. તેથી, ધન સંખ્યાના વર્ગમૂળની સંખ્યા બે છે, અને વર્ગમૂળ વિરોધી સંખ્યાઓ છે.

વર્ગમૂળ સાથે કામ કરવાની સુવિધા માટે, નકારાત્મક મૂળને સકારાત્મકથી "અલગ" કરવામાં આવે છે. આ હેતુ માટે, તે રજૂ કરવામાં આવે છે અંકગણિત વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા.

વ્યાખ્યા

બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાનું અંકગણિત વર્ગમૂળ aબિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ a બરાબર છે.

a ના અંકગણિત વર્ગમૂળ માટે સંકેત છે. ચિહ્નને અંકગણિત વર્ગમૂળ ચિહ્ન કહેવામાં આવે છે. તેને આમૂલ ચિહ્ન પણ કહેવામાં આવે છે. તેથી, તમે કેટલીકવાર "રુટ" અને "આમૂલ" બંને સાંભળી શકો છો, જેનો અર્થ એ જ પદાર્થ છે.

અંકગણિત વર્ગમૂળ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યા કહેવાય છે આમૂલ સંખ્યા, અને મૂળ ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિ છે આમૂલ અભિવ્યક્તિ, જ્યારે "આમૂલ સંખ્યા" શબ્દને ઘણીવાર "આમૂલ અભિવ્યક્તિ" દ્વારા બદલવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નોટેશનમાં નંબર 151 એ રેડિકલ નંબર છે અને નોટેશનમાં a એ રેડિકલ એક્સપ્રેશન છે.

વાંચતી વખતે, "અંકગણિત" શબ્દને ઘણીવાર છોડી દેવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, એન્ટ્રી "સાત પોઈન્ટ ઓગણત્રીસનું વર્ગમૂળ" તરીકે વાંચવામાં આવે છે. "અંકગણિત" શબ્દનો ઉપયોગ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે તેઓ ભારપૂર્વક જણાવવા માંગતા હોય કે આપણે સંખ્યાના હકારાત્મક વર્ગમૂળ વિશે ખાસ વાત કરી રહ્યા છીએ.

રજૂ કરાયેલ નોટેશનના પ્રકાશમાં, તે અંકગણિત વર્ગમૂળની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે જે કોઈપણ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા માટે a.

ધન સંખ્યા a ના વર્ગમૂળ અંકગણિત વર્ગમૂળ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે અને . ઉદાહરણ તરીકે, 13 ના વર્ગમૂળ છે અને . શૂન્યનું અંકગણિત વર્ગમૂળ શૂન્ય છે, એટલે કે. ઋણ સંખ્યાઓ a માટે, જ્યાં સુધી આપણે અભ્યાસ નહીં કરીએ ત્યાં સુધી અમે સંકેત સાથે અર્થ જોડીશું નહીં જટિલ સંખ્યાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિઓ અને અર્થહીન છે.

વર્ગમૂળની વ્યાખ્યાના આધારે, વર્ગમૂળના ગુણધર્મો સાબિત થાય છે, જેનો વ્યવહારમાં વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.

આ ફકરાના નિષ્કર્ષમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે સંખ્યા a ના વર્ગમૂળ એ x ચલ x ના સંદર્ભમાં ફોર્મ x 2 =a ના ઉકેલો છે.

સંખ્યાનું ઘનમૂળ

ઘનમૂળની વ્યાખ્યાનંબર a એ વર્ગમૂળની વ્યાખ્યાની જેમ જ આપવામાં આવે છે. માત્ર તે સંખ્યાના સમઘન પર આધારિત છે, ચોરસ નહીં.

વ્યાખ્યા

a નું ઘનમૂળએક સંખ્યા છે જેનું ઘન a બરાબર છે.

ચાલો આપીએ ક્યુબ મૂળના ઉદાહરણો. આ કરવા માટે, ઘણી સંખ્યાઓ લો, ઉદાહરણ તરીકે, 7, 0, −2/3, અને તેમને ક્યુબ કરો: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . પછી, ઘનમૂળની વ્યાખ્યાના આધારે, આપણે કહી શકીએ કે નંબર 7 એ 343નું ઘનમૂળ છે, 0 એ શૂન્યનું ઘનમૂળ છે, અને −2/3 એ −8/27નું ઘનમૂળ છે.

તે બતાવી શકાય છે કે સંખ્યાનું ઘનમૂળ, વર્ગમૂળથી વિપરીત, હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે, માત્ર બિન-નકારાત્મક a માટે જ નહીં, પરંતુ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા a માટે પણ. આ કરવા માટે, તમે તે જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો જેનો અમે વર્ગમૂળનો અભ્યાસ કરતી વખતે ઉલ્લેખ કર્યો છે.

વધુમાં, આપેલ સંખ્યા aનું માત્ર એક જ ઘનમૂળ છે. ચાલો છેલ્લું નિવેદન સાબિત કરીએ. આ કરવા માટે, ત્રણ કેસોને અલગથી ધ્યાનમાં લો: a એ સકારાત્મક સંખ્યા છે, a=0 અને a એ નકારાત્મક સંખ્યા છે.

તે બતાવવાનું સરળ છે કે જો a ધન હોય, તો a નું ઘનમૂળ ન તો નકારાત્મક સંખ્યા હોઈ શકે કે ન તો શૂન્ય. ખરેખર, b એ a નું ઘનમૂળ છે, પછી વ્યાખ્યા દ્વારા આપણે સમાનતા b 3 =a લખી શકીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે આ સમાનતા નકારાત્મક b અને b=0 માટે સાચી હોઈ શકતી નથી, કારણ કે આ કિસ્સાઓમાં b 3 = b·b·b અનુક્રમે નકારાત્મક સંખ્યા અથવા શૂન્ય હશે. તેથી ધન સંખ્યા a નું ઘનમૂળ એ ધન સંખ્યા છે.

હવે ધારો કે સંખ્યા b ઉપરાંત a સંખ્યાનું બીજું ઘનમૂળ છે, ચાલો તેને c સૂચવીએ. પછી c 3 =a. તેથી, b 3 −c 3 =a−a=0, પરંતુ b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(આ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્ર છે સમઘનનો તફાવત), ક્યાંથી (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. પરિણામી સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે b−c=0 અથવા b 2 +b·c+c 2 =0. પ્રથમ સમાનતામાંથી આપણી પાસે b=c છે, અને બીજી સમાનતા પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે તેની ડાબી બાજુ કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યાઓ b અને c માટે ત્રણ હકારાત્મક શબ્દો b 2, b·c અને c 2 ના સરવાળા તરીકે ધન સંખ્યા છે. આ ધન સંખ્યા a ના ઘનમૂળની વિશિષ્ટતા સાબિત કરે છે.

જ્યારે a=0, સંખ્યા aનું ઘનમૂળ માત્ર શૂન્ય સંખ્યા છે. ખરેખર, જો આપણે ધારીએ કે ત્યાં એક સંખ્યા b છે, જે શૂન્યનું બિન-શૂન્ય ઘનમૂળ છે, તો સમાનતા b 3 =0 હોવી જોઈએ, જે b=0 હોય ત્યારે જ શક્ય છે.

નકારાત્મક a માટે, હકારાત્મક a માટેના કેસ જેવી દલીલો આપી શકાય છે. પ્રથમ, અમે બતાવીએ છીએ કે ઋણ સંખ્યાનું ઘનમૂળ સકારાત્મક સંખ્યા અથવા શૂન્ય સમાન હોઈ શકતું નથી. બીજું, આપણે ધારીએ છીએ કે નકારાત્મક સંખ્યાનું બીજું ઘનમૂળ છે અને બતાવીએ છીએ કે તે આવશ્યકપણે પ્રથમ સાથે સુસંગત હશે.

તેથી, આપેલ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા aનું ઘનમૂળ હંમેશા હોય છે અને એક અનન્ય હોય છે.

ચાલો આપીએ અંકગણિત ક્યુબ રુટની વ્યાખ્યા.

વ્યાખ્યા

બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાનું અંકગણિત ઘનમૂળ aબિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેનું ઘન a બરાબર છે.

બિન-નકારાત્મક સંખ્યા a ના અંકગણિત ઘનમૂળ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, ચિહ્નને અંકગણિત ઘનમૂળનું ચિહ્ન કહેવામાં આવે છે, આ સંકેતમાં નંબર 3 કહેવામાં આવે છે રુટ ઇન્ડેક્સ. મૂળ ચિન્હ હેઠળનો નંબર છે આમૂલ સંખ્યા, રુટ ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિ છે આમૂલ અભિવ્યક્તિ.

જો કે અંકગણિત ક્યુબ રુટ માત્ર બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ a માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તે સંકેતોનો ઉપયોગ કરવા માટે પણ અનુકૂળ છે જેમાં અંકગણિત ઘનમૂળની નિશાની હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યાઓ જોવા મળે છે. અમે તેમને નીચે પ્રમાણે સમજીશું: , જ્યાં a એ ધન સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, .

આપણે મૂળના સામાન્ય લેખમાં ક્યુબ રૂટના ગુણધર્મો વિશે વાત કરીશું.

ક્યુબ રુટના મૂલ્યની ગણતરી કરવી એ ક્યુબ રુટ કાઢવા કહેવાય છે;

આ બિંદુને સમાપ્ત કરવા માટે, ચાલો કહીએ કે સંખ્યા aનું ઘનમૂળ એ x 3 =a સ્વરૂપનું સોલ્યુશન છે.

nમું મૂળ, ડિગ્રી n નું અંકગણિત મૂળ

ચાલો સંખ્યાના મૂળના ખ્યાલને સામાન્ય બનાવીએ - અમે પરિચય કરીએ nth મૂળની વ્યાખ્યા n માટે.

વ્યાખ્યા

a નું nમું મૂળએવી સંખ્યા છે જેની nમી ઘાત a ની બરાબર છે.

આ વ્યાખ્યા પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે સંખ્યા a નું પ્રથમ ડિગ્રી રુટ એ જ સંખ્યા છે, કારણ કે કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે આપણે 1 =a લીધો હતો.

ઉપર આપણે n=2 અને n=3 - વર્ગમૂળ અને ઘનમૂળ માટે nમા મૂળના વિશેષ કિસ્સાઓ જોયા. એટલે કે, વર્ગમૂળ એ બીજી ડિગ્રીનું મૂળ છે, અને ઘનમૂળ એ ત્રીજા ડિગ્રીનું મૂળ છે. n = 4, 5, 6, ... માટે nમી ડિગ્રીના મૂળનો અભ્યાસ કરવા માટે, તેમને બે જૂથોમાં વિભાજિત કરવું અનુકૂળ છે: પ્રથમ જૂથ - સમ ડિગ્રીના મૂળ (એટલે ​​​​કે, n = 4, 6, 8 માટે) , ...), બીજો જૂથ - મૂળ વિષમ ડિગ્રી (એટલે ​​​​કે, n=5, 7, 9, ... સાથે). આ એ હકીકતને કારણે છે કે સમ શક્તિઓના મૂળ વર્ગમૂળ જેવા હોય છે, અને વિષમ શક્તિના મૂળ ઘનમૂળ જેવા હોય છે. ચાલો તેમની સાથે એક પછી એક વ્યવહાર કરીએ.

ચાલો એવા મૂળથી શરૂ કરીએ કે જેની શક્તિઓ સમ સંખ્યાઓ 4, 6, 8, છે... જેમ આપણે પહેલેથી જ કહ્યું છે, તે સંખ્યા a ના વર્ગમૂળ સમાન છે. એટલે કે, સંખ્યાની કોઈપણ સમાન ડિગ્રીનું મૂળ માત્ર બિન-નકારાત્મક a માટે અસ્તિત્વમાં છે. તદુપરાંત, જો a=0 હોય, તો a નું મૂળ અનન્ય છે અને શૂન્યની બરાબર છે, અને જો a>0, તો પછી સંખ્યા a ના સમ ડિગ્રીના બે મૂળ છે, અને તે વિરોધી સંખ્યાઓ છે.

ચાલો છેલ્લા વિધાનને સાબિત કરીએ. ચાલો b એ સંખ્યા a ના એક સમાન મૂળ (આપણે તેને 2·m તરીકે દર્શાવીએ છીએ, જ્યાં m અમુક કુદરતી સંખ્યા છે) ધારો કે ત્યાં સંખ્યા c છે - સંખ્યા a થી ડિગ્રી 2·m નું બીજું મૂળ. પછી b 2·m −c 2·m =a−a=0 . પરંતુ આપણે b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) સ્વરૂપ જાણીએ છીએ. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), પછી (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. આ સમાનતામાંથી તે અનુસરે છે કે b−c=0, અથવા b+c=0, અથવા b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. પ્રથમ બે સમાનતાઓનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાઓ b અને c સમાન છે અથવા b અને c વિરુદ્ધ છે. અને છેલ્લી સમાનતા ફક્ત b=c=0 માટે જ માન્ય છે, કારણ કે તેની ડાબી બાજુએ એક અભિવ્યક્તિ છે જે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે કોઈપણ b અને c માટે બિન-નકારાત્મક છે.

વિષમ n માટે nમી ડિગ્રીના મૂળની વાત કરીએ તો, તે ઘનમૂળ સમાન છે. એટલે કે, સંખ્યાની કોઈપણ વિચિત્ર ડિગ્રીનું મૂળ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા a માટે અસ્તિત્વમાં છે, અને આપેલ સંખ્યા a માટે તે અનન્ય છે.

સંખ્યા aના વિષમ ડિગ્રી 2·m+1ના મૂળની વિશિષ્ટતા એ a ના ઘનમૂળની વિશિષ્ટતાના પુરાવા સાથે સાદ્રશ્ય દ્વારા સાબિત થાય છે. માત્ર અહીં સમાનતાને બદલે a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = ફોર્મની સમાનતા વપરાય છે (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). છેલ્લા કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). ઉદાહરણ તરીકે, m=2 સાથે આપણી પાસે છે b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). જ્યારે a અને b બંને સકારાત્મક અથવા બંને નકારાત્મક હોય છે, ત્યારે તેમનો ગુણાંક એક ધન સંખ્યા છે, તો ઉચ્ચતમ નેસ્ટેડ કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ b 2 +c 2 +b·c સકારાત્મક સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે ધન છે. હવે, નેસ્ટિંગની અગાઉની ડિગ્રીના કૌંસમાંના અભિવ્યક્તિઓ પર ક્રમિક રીતે આગળ વધીએ છીએ, અમને ખાતરી છે કે તેઓ પણ સકારાત્મક સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે સકારાત્મક છે. પરિણામે, આપણે મેળવીએ છીએ કે સમાનતા b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે b−c=0, એટલે કે જ્યારે b સંખ્યા c ની બરાબર હોય.

આ nth મૂળના સંકેતને સમજવાનો સમય છે. આ હેતુ માટે આપવામાં આવે છે nth ડિગ્રીના અંકગણિત મૂળની વ્યાખ્યા.

વ્યાખ્યા

બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાની nમી ડિગ્રીનું અંકગણિત મૂળ aબિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેની nમી ઘાત a ની બરાબર છે.

ચાલો એક ચોરસની બાજુ શોધવાની એક સરળ સમસ્યા હલ કરીએ જેનું ક્ષેત્રફળ 9 સેમી 2 છે. જો આપણે ધારીએ કે ચોરસની બાજુ એ cm, પછી આપણે સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

એએક્સ A = 9

A 2 =9

A 2 -9 =0

(A-3)(A+3)=0

A=3 અથવા A=-3

ચોરસની બાજુની લંબાઈ નકારાત્મક સંખ્યા હોઈ શકતી નથી, તેથી ચોરસની જરૂરી બાજુ 3 સે.મી.

સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, અમને સંખ્યાઓ 3 અને -3 મળી, જેના વર્ગો 9 છે. આ દરેક સંખ્યાને 9 નંબરનું વર્ગમૂળ કહેવામાં આવે છે. આ મૂળના બિન-ઋણાત્મક, એટલે કે, 3 નંબર, સંખ્યાનું અંકગણિત મૂળ કહેવાય છે.

એ હકીકત સ્વીકારવી તદ્દન તાર્કિક છે કે મૂળ સંખ્યાઓથી ત્રીજી શક્તિ (ક્યુબ રુટ), ચોથી ઘાત વગેરે સુધી શોધી શકાય છે. અને સૈદ્ધાંતિક રીતે, રુટ એ ઘાતીકરણની વ્યસ્ત ક્રિયા છે.

રુટn મી ડિગ્રીવચ્ચેથી α આવી સંખ્યા છે b, ક્યાં b n = α .

અહીં n- સામાન્ય રીતે કુદરતી સંખ્યા કહેવાય છે રુટ ઇન્ડેક્સ(અથવા રુટની ડિગ્રી); એક નિયમ તરીકે, તે 2 કરતા વધારે અથવા બરાબર છે, કારણ કે કેસ n = 1 કોર્ની

અક્ષર પર જમણી બાજુએ પ્રતીક (મૂળ ચિહ્ન) તરીકે નિયુક્ત કહેવામાં આવે છે આમૂલ. નંબર α - આમૂલ અભિવ્યક્તિ. પક્ષ સાથેના અમારા ઉદાહરણ માટે, ઉકેલ આના જેવો દેખાઈ શકે છે: કારણ કે (± 3) 2 = 9 .

અમને મૂળના હકારાત્મક અને નકારાત્મક મૂલ્યો મળ્યા. આ સુવિધા ગણતરીઓને જટિલ બનાવે છે. અસ્પષ્ટતા પ્રાપ્ત કરવા માટે, ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અંકગણિત મૂળ, જેનું મૂલ્ય હંમેશા વત્તા ચિહ્ન સાથે હોય છે, એટલે કે માત્ર હકારાત્મક.

રુટકહેવાય છે અંકગણિત, જો તે ધન સંખ્યામાંથી કાઢવામાં આવે છે અને તે પોતે એક ધન સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ તરીકે,

આપેલ સંખ્યામાંથી આપેલ ડિગ્રીનું માત્ર એક અંકગણિત મૂળ છે.

ગણતરીની કામગીરીને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે " મૂળ નિષ્કર્ષણ nની ડિગ્રી" વચ્ચેથી α . સારમાં, અમે પાવર વધારવા માટે ઑપરેશન ઇનવર્સ કરીએ છીએ, એટલે કે પાવરનો આધાર શોધવા bજાણીતા સૂચક અનુસાર nઅને શક્તિ વધારવાનું પરિણામ

α = bn.

બીજા અને ત્રીજા ડિગ્રીના મૂળનો વ્યવહારમાં અન્ય કરતા વધુ વખત ઉપયોગ થાય છે અને તેથી તેમને વિશેષ નામો આપવામાં આવ્યા હતા.

વર્ગમૂળ: આ કિસ્સામાં, ઘાતાંક 2 ન લખવાનો રિવાજ છે, અને ઘાતાંક દર્શાવ્યા વિના "મૂળ" શબ્દનો અર્થ મોટાભાગે વર્ગમૂળ થાય છે. ભૌમિતિક રીતે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, તે ચોરસની બાજુની લંબાઈ છે જેનું ક્ષેત્રફળ બરાબર છે α .

ક્યુબ રુટ: ભૌમિતિક રીતે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, ક્યુબની ધારની લંબાઈ જેનું વોલ્યુમ બરાબર છે α .

અંકગણિત મૂળના ગુણધર્મો.

1) ગણતરી કરતી વખતે ઉત્પાદનનું અંકગણિત મૂળ, દરેક પરિબળમાંથી તેને અલગથી કાઢવા જરૂરી છે

ઉદાહરણ તરીકે,

2) ગણતરી માટે અપૂર્ણાંકનું મૂળ, આ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાંથી તેને કાઢવા જરૂરી છે

ઉદાહરણ તરીકે,

3) ગણતરી કરતી વખતે ડિગ્રીનું મૂળ, ઘાતાંકને મૂળ ઘાતાંક વડે વિભાજિત કરવું જરૂરી છે

ઉદાહરણ તરીકે,

વર્ગમૂળ કાઢવા સંબંધિત પ્રથમ ગણતરીઓ પ્રાચીન બેબીલોન અને ચીન, ભારત, ગ્રીસના ગણિતશાસ્ત્રીઓના કાર્યોમાં મળી આવી હતી (આ સંદર્ભમાં પ્રાચીન ઇજિપ્તની સિદ્ધિઓ વિશે સ્ત્રોતોમાં કોઈ માહિતી નથી).

પ્રાચીન બેબીલોનના ગણિતશાસ્ત્રીઓ (બીજી સહસ્ત્રાબ્દી પૂર્વે) વર્ગમૂળ કાઢવા માટે ખાસ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા હતા. વર્ગમૂળ માટે પ્રારંભિક અંદાજ મૂળની સૌથી નજીકની પ્રાકૃતિક સંખ્યા (નાની દિશામાં)ના આધારે મળી આવ્યો હતો. n. ફોર્મમાં આમૂલ અભિવ્યક્તિ રજૂ કરવી: α=n 2 +r, અમને મળે છે: x 0 =n+r/2n, પછી પુનરાવર્તિત શુદ્ધિકરણ પ્રક્રિયા લાગુ કરવામાં આવી હતી:

આ પદ્ધતિમાં પુનરાવૃત્તિઓ ખૂબ જ ઝડપથી એકરૂપ થાય છે. માટે,

ઉદાહરણ તરીકે, α=5; n=2; r=1; x 0 =9/4=2.25અને અમને અંદાજનો ક્રમ મળે છે:

અંતિમ મૂલ્યમાં, છેલ્લી એક સિવાય તમામ સંખ્યાઓ સાચી છે.

ગ્રીક લોકોએ ક્યુબને બમણું કરવાની સમસ્યા ઘડી હતી, જે હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને ક્યુબ રુટ બનાવવા માટે ઉકાળી હતી. પૂર્ણાંકની કોઈપણ ડિગ્રીની ગણતરી કરવાના નિયમોનો અભ્યાસ ભારત અને આરબ રાજ્યોમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કરવામાં આવ્યો છે. પછી તેઓ મધ્યયુગીન યુરોપમાં વ્યાપકપણે વિકસિત થયા.

આજે, ચોરસ અને ઘનમૂળની ગણતરી કરવાની સુવિધા માટે, કેલ્ક્યુલેટરનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.