રેખીય જગ્યા V કહેવાય છે n-પરિમાણીય, જો તેમાં n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર્સની સિસ્ટમ હોય, અને વધુ વેક્ટર્સની કોઈપણ સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત હોય. નંબર n કહેવાય છે પરિમાણ (પરિમાણોની સંખ્યા)રેખીય જગ્યા V અને સૂચવવામાં આવે છે \operatorname(મંદ) વી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જગ્યાનું પરિમાણ આ જગ્યાના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરની મહત્તમ સંખ્યા છે. જો આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં હોય, તો જગ્યાને મર્યાદિત-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે. જો, કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે, જગ્યા V માં n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરનો સમાવેશ કરતી સિસ્ટમ હોય, તો આવી જગ્યાને અનંત-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે (લખો: \operatorname(dim)V=\infty). નીચેનામાં, જ્યાં સુધી અન્યથા જણાવ્યું ન હોય, મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે.
આધાર n-પરિમાણીય રેખીય જગ્યા એ n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરનો ક્રમબદ્ધ સંગ્રહ છે ( આધાર વેક્ટર).
આધારની દ્રષ્ટિએ વેક્ટરના વિસ્તરણ પર પ્રમેય 8.1. જો n-પરિમાણીય રેખીય જગ્યા V નો આધાર હોય, તો V માં કોઈપણ વેક્ટર \mathbf(v)\ ને આધાર વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
અને, વધુમાં, એકમાત્ર રીતે, એટલે કે. મતભેદ \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_nઅસ્પષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અવકાશના કોઈપણ વેક્ટરને આધારમાં અને વધુમાં, અનન્ય રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે.
ખરેખર, જગ્યા V નું પરિમાણ n બરાબર છે. વેક્ટર સિસ્ટમ \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nરેખીય રીતે સ્વતંત્ર (આ એક આધાર છે). આધારમાં કોઈપણ વેક્ટર \mathbf(v) ઉમેર્યા પછી, અમે રેખીય રીતે આધારિત સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(કારણ કે આ સિસ્ટમમાં n-પરિમાણીય જગ્યાના (n+1) વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે). 7 રેખીય રીતે આશ્રિત અને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રમેયનો નિષ્કર્ષ મેળવીએ છીએ.
કોરોલરી 1. જો \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nપછી જગ્યા V નો આધાર છે V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), એટલે કે લીનિયર સ્પેસ એ આધાર વેક્ટરનો રેખીય ગાળો છે.
હકીકતમાં, સમાનતા સાબિત કરવા માટે V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n)બે સેટ, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે સમાવેશ V\સબસેટ \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n)અને એક સાથે ચલાવવામાં આવે છે. ખરેખર, એક તરફ, રેખીય અવકાશમાં વેક્ટર્સનું કોઈપણ રેખીય સંયોજન રેખીય અવકાશ સાથે સંબંધિત છે, એટલે કે. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\સબસેટ V. બીજી તરફ, પ્રમેય 8.1 મુજબ, અવકાશના કોઈપણ વેક્ટરને આધાર વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, એટલે કે. V\સબસેટ \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). આ વિચારણા હેઠળના સેટની સમાનતા સૂચવે છે.
કોરોલરી 2. જો \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- રેખીય જગ્યા V ના વેક્ટર્સની એક રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ અને V માં કોઈપણ વેક્ટર \mathbf(v)\ ને રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, તો જગ્યા V પાસે પરિમાણ n અને સિસ્ટમ છે \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_nતેનો આધાર છે.
ખરેખર, અવકાશ V માં n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરની સિસ્ટમ અને કોઈપણ સિસ્ટમ છે \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_nમોટી સંખ્યામાં વેક્ટર્સ (k>n) રેખીય રીતે આધારિત છે, કારણ કે આ સિસ્ટમમાંથી દરેક વેક્ટર રેખીય રીતે વેક્ટરની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત થાય છે \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. અર્થ, \operatorname(મંદ) V=nઅને \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- આધાર વી.
પ્રમેય 8.2 આધારમાં વેક્ટર્સની સિસ્ટમના ઉમેરા પર. n-પરિમાણીય રેખીય જગ્યાના k વેક્ટરની કોઈપણ રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ (1\leqslant k ખરેખર, n-પરિમાણીય અવકાશમાં વેક્ટર્સની રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમ બનવા દો V~(1\leqslant k નોંધો 8.4 1. રેખીય જગ્યાનો આધાર અસ્પષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_nસ્પેસ V નો આધાર છે, પછી વેક્ટરની સિસ્ટમ \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_nકોઈપણ \lambda\ne0 માટે પણ V નો આધાર છે. સમાન મર્યાદિત-પરિમાણીય અવકાશના વિવિધ પાયામાં આધાર વેક્ટરની સંખ્યા, અલબત્ત, સમાન છે, કારણ કે આ સંખ્યા અવકાશના પરિમાણ જેટલી છે. 2. કેટલીક જગ્યાઓમાં, જે ઘણીવાર એપ્લિકેશનમાં આવે છે, સંભવિત પાયામાંથી એક, વ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણથી સૌથી અનુકૂળ, તેને પ્રમાણભૂત કહેવામાં આવે છે. 3. પ્રમેય 8.1 અમને એ કહેવાની મંજૂરી આપે છે કે આધાર એ રેખીય અવકાશના તત્વોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ છે, તે અર્થમાં કે અવકાશના કોઈપણ વેક્ટરને આધાર વેક્ટરના સંદર્ભમાં રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. 4. જો સમૂહ \mathbb(L) એ રેખીય ગાળો છે \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), પછી વેક્ટર \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_kસમૂહ \mathbb(L) ના જનરેટર કહેવાય છે. સમાનતાને કારણે પ્રમેય 8.1 નો કોરોલરી 1 V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)અમને કહેવાની મંજૂરી આપે છે કે આધાર છે ન્યૂનતમ જનરેટર સિસ્ટમરેખીય જગ્યા V, કારણ કે જનરેટરની સંખ્યા ઘટાડવી અશક્ય છે (સેટમાંથી ઓછામાં ઓછું એક વેક્ટર દૂર કરો \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nસમાનતાનું ઉલ્લંઘન કર્યા વિના V=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. પ્રમેય 8.2 અમને કહેવાની મંજૂરી આપે છે કે આધાર છે વેક્ટર્સની મહત્તમ રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમલીનિયર સ્પેસ, કારણ કે આધાર એ વેક્ટર્સની એક રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ છે, અને તેને રેખીય સ્વતંત્રતા ગુમાવ્યા વિના કોઈપણ વેક્ટર સાથે પૂરક બનાવી શકાતું નથી. 6. પ્રમેય 8.1 નો કોરોલરી 2 એ રેખીય જગ્યાનો આધાર અને પરિમાણ શોધવા માટે વાપરવા માટે અનુકૂળ છે. કેટલાક પાઠ્યપુસ્તકોમાં તે આધારને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે લેવામાં આવે છે, એટલે કે: રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nરેખીય અવકાશના વેક્ટરને આધાર કહેવામાં આવે છે જો અવકાશના કોઈપણ વેક્ટરને વેક્ટરના સંદર્ભમાં રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે તો \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. બેઝિસ વેક્ટર્સની સંખ્યા જગ્યાનું પરિમાણ નક્કી કરે છે. અલબત્ત, આ વ્યાખ્યાઓ ઉપર આપેલી વ્યાખ્યાઓ સમાન છે. ચાલો ઉપર ચર્ચા કરેલ રેખીય જગ્યાઓના ઉદાહરણો માટે પરિમાણ અને આધાર સૂચવીએ. 1. શૂન્ય રેખીય જગ્યા \(\mathbf(o)\) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર ધરાવતું નથી. તેથી, આ જગ્યાનું પરિમાણ શૂન્ય હોવાનું માનવામાં આવે છે: \dim\(\mathbf(o)\)=0. આ જગ્યાનો કોઈ આધાર નથી. 2. જગ્યાઓ V_1,\,V_2,\,V_3 અનુક્રમે પરિમાણ 1, 2, 3 ધરાવે છે. ખરેખર, અવકાશ V_1 નું કોઈપણ બિનશૂન્ય વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમ બનાવે છે (રિમાર્કસ 8.2 નો પોઈન્ટ 1 જુઓ), અને જગ્યા V_1 ના કોઈપણ બે નોનઝીરો વેક્ટર સમરેખા છે, એટલે કે. રેખીય રીતે આશ્રિત (ઉદાહરણ 8.1 જુઓ). પરિણામે, \dim(V_1)=1, અને જગ્યા V_1 નો આધાર કોઈપણ બિન-શૂન્ય વેક્ટર છે. એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે \dim(V_2)=2 અને \dim(V_3)=3. અવકાશ V_2 નો આધાર એ ચોક્કસ ક્રમમાં લેવાયેલ કોઈપણ બે બિન-કોલીનિયર વેક્ટર છે (તેમાંના એકને પ્રથમ આધાર વેક્ટર માનવામાં આવે છે, બીજો - બીજો). V_3 અવકાશનો આધાર કોઈ પણ ત્રણ બિન-કોપ્લાનર (સમાન અથવા સમાંતર પ્લેનમાં આવેલા નથી) વેક્ટર છે, જે ચોક્કસ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે. V_1 માં પ્રમાણભૂત આધાર રેખા પર એકમ વેક્ટર \vec(i) છે. V_2 માં પ્રમાણભૂત આધાર એ આધાર છે \vec(i),\,\vec(j), પ્લેનના બે પરસ્પર લંબરૂપ એકમ વેક્ટરનો સમાવેશ કરે છે. અવકાશ V_3 માં પ્રમાણભૂત આધારને આધાર ગણવામાં આવે છે \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), ત્રણ એકમ જોડીની દિશામાં લંબ વેક્ટરથી બનેલો છે જે જમણો ત્રિવિધ બનાવે છે. 3. જગ્યા \mathbb(R)^n માં n કરતાં વધુ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર નથી. વાસ્તવમાં, ચાલો \mathbb(R)^n માંથી k કૉલમ લઈએ અને તેમાંથી n\times k કદનું મેટ્રિક્સ બનાવીએ. જો k>n હોય, તો સ્તંભો મેટ્રિક્સના ક્રમ પર પ્રમેય 3.4 દ્વારા રેખીય રીતે આધાર રાખે છે. આથી, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. જગ્યા \mathbb(R)^n માં n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કૉલમ શોધવાનું મુશ્કેલ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ઓળખ મેટ્રિક્સના કૉલમ \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. રેખીય રીતે સ્વતંત્ર. આથી, \dim(\mathbb(R)^n)=n. જગ્યા \mathbb(R)^n કહેવાય છે n-પરિમાણીય વાસ્તવિક અંકગણિત જગ્યા. વેક્ટરના ઉલ્લેખિત સમૂહને જગ્યાનો પ્રમાણભૂત આધાર ગણવામાં આવે છે \mathbb(R)^n. તેવી જ રીતે, તે સાબિત થાય છે \dim(\mathbb(C)^n)=n, તેથી જગ્યા \mathbb(C)^n કહેવાય છે n-પરિમાણીય જટિલ અંકગણિત જગ્યા. 4. યાદ કરો કે સજાતીય સિસ્ટમ Ax=o ના કોઈપણ ઉકેલને ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે. x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), ક્યાં r=\operatorname(rg)A, એ \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ. આથી, \(Ax=o\)=\operatorname(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), એટલે કે સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોના અવકાશ \(Ax=0\)નો આધાર એ તેની ઉકેલોની મૂળભૂત પદ્ધતિ છે, અને અવકાશનું પરિમાણ \dim\(Ax=o\)=n-r, જ્યાં n એ અજાણ્યાઓની સંખ્યા છે , અને r એ સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો ક્રમ છે. 5. 2\times3 માપના મેટ્રિસિસની જગ્યા M_(2\times3) માં, તમે 6 મેટ્રિસિસ પસંદ કરી શકો છો: \begin(એકત્ર કરેલ)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(એકત્ર કરેલ) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5 \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) માત્ર મામૂલી કિસ્સામાં શૂન્ય મેટ્રિક્સની બરાબર \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. સમાનતા (8.5) જમણેથી ડાબે વાંચ્યા પછી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે M_(2\times3) માંથી કોઈપણ મેટ્રિક્સ પસંદ કરેલ 6 મેટ્રિસિસ દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). આથી, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, અને મેટ્રિસિસ \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6આ જગ્યાનો આધાર (ધોરણ) છે. તેવી જ રીતે, તે સાબિત થાય છે \dim(M_(m\times n))=m\cdot n. 6. જટિલ ગુણાંકવાળા બહુપદીઓની જગ્યા P(\mathbb(C)) માં કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે, n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર તત્વો શોધી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદી \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1)રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, કારણ કે તેમના રેખીય સંયોજન a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) શૂન્ય બહુપદી (o(z)\equiv0) ની બરાબર માત્ર મામૂલી કિસ્સામાં a_1=a_2=\ldots=a_n=0. બહુપદીની આ સિસ્ટમ કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા l માટે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોવાથી, જગ્યા P(\mathbb(C)) અનંત-પરિમાણીય છે. એ જ રીતે, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદીની જગ્યા P(\mathbb(R)) એક અનંત પરિમાણ ધરાવે છે. n કરતાં વધુ ન હોય તેવી ડિગ્રીના બહુપદીની જગ્યા P_n(\mathbb(R)) મર્યાદિત-પરિમાણીય છે. ખરેખર, વેક્ટર્સ \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^nઆ જગ્યાનો (પ્રમાણભૂત) આધાર બનાવે છે, કારણ કે તે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને P_n(\mathbb(R)) માંથી કોઈપણ બહુપદીને આ વેક્ટર્સના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)રેખીય જગ્યાઓના પાયાના ઉદાહરણો
જે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. ખરેખર, તેમનું રેખીય સંયોજન
7. સતત વિધેયોની જગ્યા C(\mathbb(R)) અનંત પરિમાણીય છે. ખરેખર, કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા અને બહુપદી માટે 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), સતત કાર્યો તરીકે ગણવામાં આવે છે, રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમો બનાવે છે (અગાઉનું ઉદાહરણ જુઓ).
અવકાશ મા T_(\ઓમેગા)(\mathbb(R))ત્રિકોણમિતિ દ્વિપદીઓ (આવર્તન \omega\ne0 ની ) વાસ્તવિક ગુણાંકના આધાર સાથે મોનોમિયલ બનાવે છે \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t, ~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. સમાન સમાનતાથી તેઓ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0માત્ર તુચ્છ કેસમાં જ શક્ય છે (a=b=0) ફોર્મનું કોઈપણ કાર્ય f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega tમૂળભૂત લોકો દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. X ની વ્યાખ્યાના ડોમેનના આધારે સેટ X પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક કાર્યોની જગ્યા \mathbb(R)^X, મર્યાદિત-પરિમાણીય અથવા અનંત-પરિમાણીય હોઈ શકે છે. જો X એ મર્યાદિત સમૂહ છે, તો જગ્યા \mathbb(R)^X મર્યાદિત-પરિમાણીય છે (ઉદાહરણ તરીકે, X=\(1,2,\ldots,n\)). જો X અનંત સમૂહ છે, તો જગ્યા \mathbb(R)^X અનંત-પરિમાણીય છે (ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમની જગ્યા \mathbb(R)^N).
9. જગ્યા \mathbb(R)^(+) માં કોઈપણ ધન સંખ્યા \mathbf(e)_1 જે એકની બરાબર નથી તે આધાર તરીકે સેવા આપી શકે છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા \mathbf(e)_1=2 લઈએ. કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા r ને \mathbf(e)_1 દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, એટલે કે. ફોર્મમાં રજૂ કરો \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, જ્યાં \alpha_1=\log_2r. તેથી, આ જગ્યાનું પરિમાણ 1 છે, અને સંખ્યા \mathbf(e)_1=2 એ આધાર છે.
10. ચાલો \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nવાસ્તવિક રેખીય જગ્યા V નો આધાર છે. ચાલો સેટિંગ દ્વારા V પર રેખીય સ્કેલર ફંક્શન્સને વ્યાખ્યાયિત કરીએ:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(કેસ)
આ કિસ્સામાં, ફંક્શન \mathcal(E)_i ની રેખીયતાને લીધે, એક મનસ્વી વેક્ટર માટે આપણે મેળવીએ છીએ \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
તેથી, n તત્વો (કોવેક્ટર્સ) વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_nસંયુક્ત જગ્યા V^(\ast) . ચાલો તે સાબિત કરીએ \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- આધાર V^(\ast) .
પ્રથમ, અમે બતાવીએ છીએ કે સિસ્ટમ \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nરેખીય રીતે સ્વતંત્ર. ખરેખર, ચાલો આ કોવેક્ટર્સનું રેખીય સંયોજન લઈએ (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))=અને તેને શૂન્ય કાર્ય સાથે સરખાવો
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E) )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v) )\ માં વી.
આ સમાનતા માં અવેજી \mathbf(v)=\mathbf(e)_i, ~ i=1,\ldots,n, અમને મળે છે \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. તેથી, તત્વોની સિસ્ટમ \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_nસ્પેસ V^(\ast) સમાનતાના કારણે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o)માત્ર મામૂલી કિસ્સામાં શક્ય છે.
બીજું, અમે સાબિત કરીએ છીએ કે કોઈપણ રેખીય કાર્ય f\in V^(\ast) ને કોવેક્ટર્સના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. ખરેખર, કોઈપણ વેક્ટર માટે \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_nફંક્શન ની રેખીયતાને લીધે આપણે મેળવીએ છીએ:
\begin(સંરેખિત)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(સંરેખિત)
તે ફંક્શન f રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ થાય છે f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_nકાર્યો \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(સંખ્યાઓ \beta_i=f(\mathbf(e)_i)- રેખીય સંયોજન ગુણાંક). તેથી, covector સિસ્ટમ \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nડ્યુઅલ સ્પેસ V^(\ast) અનેનો આધાર છે \dim(V^(\ast))=\dim(V)(સીમિત-પરિમાણીય જગ્યા V માટે).
જો તમને કોઈ ભૂલ, ટાઈપો અથવા કોઈ સૂચનો હોય, તો ટિપ્પણીઓમાં લખો.
જ્યારે અમે n-પરિમાણીય વેક્ટરની વિભાવનાઓની તપાસ કરી અને વેક્ટર પરની ક્રિયાઓ રજૂ કરી, ત્યારે અમને જાણવા મળ્યું કે તમામ n-પરિમાણીય વેક્ટરનો સમૂહ રેખીય જગ્યા બનાવે છે. આ લેખમાં આપણે સૌથી મહત્વપૂર્ણ સંબંધિત ખ્યાલો વિશે વાત કરીશું - વેક્ટર સ્પેસનું પરિમાણ અને આધાર. આપણે મનસ્વી વેક્ટરના આધારમાં વિસ્તરણ અને n-પરિમાણીય અવકાશના વિવિધ પાયા વચ્ચેના જોડાણ પરના પ્રમેયને પણ ધ્યાનમાં લઈશું. ચાલો લાક્ષણિક ઉદાહરણોના ઉકેલોની વિગતવાર તપાસ કરીએ.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
વેક્ટર જગ્યા અને આધારના પરિમાણનો ખ્યાલ.
વેક્ટર સ્પેસના પરિમાણ અને આધારની વિભાવનાઓ સીધી રીતે વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમની વિભાવના સાથે સંબંધિત છે, તેથી જો જરૂરી હોય, તો અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે લેખનો સંદર્ભ લો વેક્ટર્સની સિસ્ટમની રેખીય અવલંબન, રેખીય અવલંબનના ગુણધર્મો અને સ્વતંત્રતા. .
વ્યાખ્યા.
વેક્ટર જગ્યાનું પરિમાણઆ જગ્યામાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરની મહત્તમ સંખ્યા જેટલી સંખ્યા છે.
વ્યાખ્યા.
વેક્ટર જગ્યા આધારઆ જગ્યાના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે, જેની સંખ્યા જગ્યાના પરિમાણ જેટલી છે.
ચાલો આ વ્યાખ્યાઓના આધારે કેટલાક તર્ક આપીએ.
n-પરિમાણીય વેક્ટરની જગ્યાને ધ્યાનમાં લો.
ચાલો બતાવીએ કે આ જગ્યાનું પરિમાણ n છે.
ચાલો ફોર્મના n એકમ વેક્ટરની સિસ્ટમ લઈએ
ચાલો આ વેક્ટર્સને મેટ્રિક્સ A ની પંક્તિઓ તરીકે લઈએ. આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ A એ પરિમાણ n બાય nનું ઓળખ મેટ્રિક્સ હશે. આ મેટ્રિક્સનો ક્રમ n છે (જો જરૂરી હોય તો લેખ જુઓ). તેથી, વેક્ટર્સ સિસ્ટમ 
રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, અને તેની રેખીય સ્વતંત્રતાનું ઉલ્લંઘન કર્યા વિના આ સિસ્ટમમાં એક પણ વેક્ટર ઉમેરી શકાશે નહીં. સિસ્ટમમાં વેક્ટરની સંખ્યા હોવાથી n બરાબર, પછી n-પરિમાણીય વેક્ટરની જગ્યાનું પરિમાણ n છે, અને એકમ વેક્ટર આ જગ્યાનો આધાર છે.
છેલ્લા નિવેદન અને આધારની વ્યાખ્યા પરથી આપણે તે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ n-પરિમાણીય વેક્ટરની કોઈપણ સિસ્ટમ, વેક્ટરની સંખ્યા જેમાં n કરતાં ઓછી હોય, તે આધાર નથી.
હવે ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા વેક્ટરને સ્વેપ કરીએ . તે બતાવવાનું સરળ છે કે વેક્ટરની પરિણામી સિસ્ટમ 
એન-ડાયમેન્શનલ વેક્ટર સ્પેસનો પણ આધાર છે. ચાલો આ સિસ્ટમના વેક્ટરને તેની પંક્તિઓ તરીકે લઈને મેટ્રિક્સ બનાવીએ. આ મેટ્રિક્સ પ્રથમ અને બીજી પંક્તિઓની અદલાબદલી કરીને ઓળખ મેટ્રિક્સમાંથી મેળવી શકાય છે, તેથી તેનો ક્રમ n હશે. આમ, n વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને n-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસનો આધાર છે.
જો આપણે સિસ્ટમના અન્ય વેક્ટરને ફરીથી ગોઠવીએ , પછી આપણને બીજો આધાર મળે છે.
જો આપણે બિન-એકમ વેક્ટરની રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમ લઈએ, તો તે n-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાનો આધાર પણ છે.
આમ, પરિમાણ n ની વેક્ટર જગ્યા n n -પરિમાણીય વેક્ટરની રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમો હોય તેટલા પાયા ધરાવે છે.
જો આપણે દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસ વિશે વાત કરીએ (એટલે કે પ્લેન વિશે), તો તેનો આધાર કોઈપણ બે નોન-કોલિનિયર વેક્ટર છે. ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશનો આધાર કોઈપણ ત્રણ બિન-કોપ્લાનર વેક્ટર છે.
ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.
ઉદાહરણ.
શું વેક્ટર ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસનો આધાર છે?
ઉકેલ.
ચાલો રેખીય અવલંબન માટે વેક્ટર્સની આ સિસ્ટમનું પરીક્ષણ કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો એક મેટ્રિક્સ બનાવીએ જેની પંક્તિઓ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ હશે, અને તેનો ક્રમ શોધીએ: 
આમ, વેક્ટર a, b અને c રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને તેમની સંખ્યા વેક્ટર સ્પેસના પરિમાણ જેટલી છે, તેથી, તેઓ આ જગ્યાનો આધાર છે.
જવાબ:
હા તેઓ છે.
ઉદાહરણ.
શું વેક્ટરની સિસ્ટમ વેક્ટર સ્પેસનો આધાર બની શકે છે?
ઉકેલ.
વેક્ટર્સની આ સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે, કારણ કે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટરની મહત્તમ સંખ્યા ત્રણ છે. પરિણામે, વેક્ટર્સની આ સિસ્ટમ ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસનો આધાર બની શકતી નથી (જોકે વેક્ટરની મૂળ સિસ્ટમની સબસિસ્ટમ એ આધાર છે).
જવાબ:
ના, તે કરી શકતો નથી.
ઉદાહરણ.
વેક્ટર્સ ખાતરી કરો 
ચાર-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાનો આધાર હોઈ શકે છે.
ઉકેલ.
ચાલો મૂળ વેક્ટરને તેની પંક્તિઓ તરીકે લઈને મેટ્રિક્સ બનાવીએ: 
ચાલો શોધીએ: 
આમ, વેક્ટરની સિસ્ટમ a, b, c, d રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને તેમની સંખ્યા વેક્ટર સ્પેસના પરિમાણ જેટલી છે, તેથી, a, b, c, d તેનો આધાર છે.
જવાબ:
મૂળ વેક્ટર ખરેખર ચાર-પરિમાણીય જગ્યાનો આધાર છે.
ઉદાહરણ.
શું વેક્ટર પરિમાણ 4 ની વેક્ટર જગ્યાનો આધાર બનાવે છે?
ઉકેલ.
જો મૂળ વેક્ટર્સ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય, તો પણ તેમાં વેક્ટરની સંખ્યા ચાર-પરિમાણીય જગ્યાના આધાર માટે પૂરતી નથી (આવી જગ્યાના આધારમાં 4 વેક્ટર હોય છે).
જવાબ:
ના, એવું થતું નથી.
વેક્ટર સ્પેસના આધારે વેક્ટરનું વિઘટન.
મનસ્વી વેક્ટર્સ દો n-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસનો આધાર છે. જો આપણે તેમાં કેટલાક n-પરિમાણીય વેક્ટર x ઉમેરીએ, તો વેક્ટરની પરિણામી સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત હશે. રેખીય અવલંબનના ગુણધર્મો પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે રેખીય રીતે નિર્ભર સિસ્ટમનો ઓછામાં ઓછો એક વેક્ટર અન્યો દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેખીય રીતે આશ્રિત સિસ્ટમના ઓછામાં ઓછા એક વેક્ટરને બાકીના વેક્ટરમાં વિસ્તરણ કરવામાં આવે છે.
આ આપણને ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય તરફ લાવે છે.
પ્રમેય.
n-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસના કોઈપણ વેક્ટરને વિશિષ્ટ રીતે આધારમાં વિઘટિત કરી શકાય છે.
પુરાવો.
દો - n-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાનો આધાર. ચાલો આ વેક્ટરમાં n-પરિમાણીય વેક્ટર x ઉમેરીએ. પછી વેક્ટરની પરિણામી સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત હશે અને વેક્ટર x ને વેક્ટરની દ્રષ્ટિએ રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. : , અમુક સંખ્યાઓ ક્યાં છે. આ રીતે આપણે આધારના સંદર્ભમાં વેક્ટર xનું વિસ્તરણ મેળવ્યું. તે સાબિત કરવાનું બાકી છે કે આ વિઘટન અનન્ય છે.
ચાલો માની લઈએ કે બીજું વિઘટન છે, જ્યાં 
- કેટલાક નંબરો. ચાલો છેલ્લી સમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓમાંથી અનુક્રમે સમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓને બાદ કરીએ:
આધાર વેક્ટરની સિસ્ટમ હોવાથી રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, પછી વેક્ટર્સની સિસ્ટમની રેખીય સ્વતંત્રતાની વ્યાખ્યા દ્વારા, પરિણામી સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બધા ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય. તેથી, , જે આધારની દ્રષ્ટિએ વેક્ટરના વિસ્તરણની વિશિષ્ટતા સાબિત કરે છે.
વ્યાખ્યા.
ગુણાંક કહેવામાં આવે છે આધારમાં વેક્ટર x ના કોઓર્ડિનેટ્સ .
વેક્ટરના આધારમાં વિઘટન વિશેના પ્રમેયથી પરિચિત થયા પછી, આપણે અભિવ્યક્તિના સારને સમજવાનું શરૂ કરીએ છીએ “અમને n-પરિમાણીય વેક્ટર આપવામાં આવે છે. 
" આ અભિવ્યક્તિનો અર્થ એ છે કે આપણે x n -પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસના વેક્ટરને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ અમુક ધોરણે નિર્દિષ્ટ છે. તે જ સમયે, આપણે સમજીએ છીએ કે n-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસના અન્ય આધારમાં સમાન વેક્ટર x ના કોઓર્ડિનેટ્સથી અલગ હશે.
ચાલો નીચેની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ.
ચાલો n-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસના અમુક આધાર પર n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરની સિસ્ટમ આપીએ 
અને વેક્ટર . પછી વેક્ટર્સ આ વેક્ટર સ્પેસનો આધાર પણ છે.
ચાલો આધારમાં વેક્ટર x ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની જરૂર છે . ચાલો આ કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે દર્શાવીએ .
વેક્ટર x આધારમાં એક વિચાર છે. ચાલો આ સમાનતાને સંકલન સ્વરૂપમાં લખીએ:
આ સમાનતા n અજ્ઞાત ચલો સાથે n રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમની સમકક્ષ છે :
આ સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ છે 
ચાલો તેને A અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીએ. મેટ્રિક્સ A ના સ્તંભો વેક્ટર્સની રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સિસ્ટમના વેક્ટર્સનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે , તેથી આ મેટ્રિક્સનો ક્રમ n છે, તેથી તેનો નિર્ણાયક બિન-શૂન્ય છે. આ હકીકત સૂચવે છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે જે કોઈપણ પદ્ધતિ દ્વારા શોધી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અથવા.
આ રીતે જરૂરી કોઓર્ડિનેટ્સ મળી જશે આધારમાં વેક્ટર x .
ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને સિદ્ધાંત જોઈએ.
ઉદાહરણ.
ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસના અમુક આધારમાં, વેક્ટર 
ખાતરી કરો કે વેક્ટરની સિસ્ટમ પણ આ જગ્યાનો આધાર છે અને આ આધારમાં વેક્ટર xના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.
ઉકેલ.
વેક્ટરની સિસ્ટમ ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસનો આધાર બનવા માટે, તે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોવી જોઈએ. ચાલો મેટ્રિક્સ A નો ક્રમ નક્કી કરીને આને શોધીએ, જેની પંક્તિઓ વેક્ટર છે. ચાલો ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેન્ક શોધીએ 
તેથી, રેન્ક(A) = 3, જે વેક્ટરની સિસ્ટમની રેખીય સ્વતંત્રતા દર્શાવે છે.
તેથી, વેક્ટર આધાર છે. આ આધારમાં વેક્ટર x પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ હોવા દો. પછી, આપણે ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે, આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા આપવામાં આવે છે. 
શરતમાંથી જાણીતા મૂલ્યોને તેમાં બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ 
ચાલો તેને ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ: 
આમ, આધારમાં વેક્ટર x કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે 
.
જવાબ:
ઉદાહરણ.
અમુક આધાર પર 
ચાર-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસમાં, વેક્ટર્સની એક રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ આપવામાં આવે છે 
તે જાણીતું છે 
. આધારમાં વેક્ટર x ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો .
ઉકેલ.
વેક્ટર્સ સિસ્ટમ થી 
શરત દ્વારા રેખીય રીતે સ્વતંત્ર, પછી તે ચાર-પરિમાણીય જગ્યાનો આધાર છે. પછી સમાનતા મતલબ કે આધારમાં વેક્ટર x કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. ચાલો આધારમાં વેક્ટર x ના કોઓર્ડિનેટ્સ દર્શાવીએ કેવી રીતે .
પાયામાં વેક્ટર xના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરતી સમીકરણોની સિસ્ટમ અને જેવો દેખાય છે 
અમે તેમાં જાણીતા મૂલ્યોને બદલીએ છીએ અને જરૂરી કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ: 
જવાબ:
.
પાયા વચ્ચે સંચાર.
n-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસના અમુક આધારે વેક્ટરની બે રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમો આપવા દો 
અને
એટલે કે, તેઓ આ જગ્યાના પાયા પણ છે.
જો 
- આધારમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ , પછી સંકલન જોડાણ 
અને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા આપવામાં આવે છે (અમે અગાઉના ફકરામાં આ વિશે વાત કરી હતી): 
, જે મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં તરીકે લખી શકાય છે 
એ જ રીતે વેક્ટર માટે આપણે લખી શકીએ છીએ 
અગાઉના મેટ્રિક્સ સમાનતાને એકમાં જોડી શકાય છે, જે બે અલગ-અલગ પાયાના વેક્ટર વચ્ચેના સંબંધને આવશ્યકપણે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. 
એ જ રીતે, આપણે બધા આધાર વેક્ટરને વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ આધાર દ્વારા 
:
વ્યાખ્યા.
મેટ્રિક્સ 
કહેવાય છે આધારમાંથી સંક્રમણ મેટ્રિક્સ આધાર માટે , પછી સમાનતા સાચી છે 
આ સમાનતાની બંને બાજુઓને જમણી બાજુથી વડે ગુણાકાર કરો
અમે મેળવીએ છીએ 
ચાલો ટ્રાન્ઝિશન મેટ્રિક્સ શોધીએ, પરંતુ અમે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અને ગુણાકાર મેટ્રિક્સ શોધવા પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું નહીં (લેખ જુઓ અને જો જરૂરી હોય તો): 
આપેલ પાયામાં વેક્ટર x ના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનો સંબંધ શોધવાનું બાકી છે.
વેક્ટર xને આધારમાં કોઓર્ડિનેટ્સ રાખવા દો 
અને આધારમાં વેક્ટર x કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, પછી 
છેલ્લી બે સમાનતાઓની ડાબી બાજુઓ સમાન હોવાથી, આપણે જમણી બાજુઓને સમાન કરી શકીએ છીએ: 
જો આપણે જમણી બાજુની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરીએ
પછી આપણે મેળવીએ છીએ 
બીજી બાજુ પર 
(વિપરીત મેટ્રિક્સ જાતે શોધો).
છેલ્લી બે સમાનતાઓ આપણને પાયામાં વેક્ટર x ના કોઓર્ડિનેટ્સ અને વચ્ચે જરૂરી સંબંધ આપે છે.
જવાબ:
આધારથી આધાર સુધી સંક્રમણ મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે 
;
પાયામાં વેક્ટર x ના કોઓર્ડિનેટ્સ અને સંબંધો દ્વારા સંબંધિત છે 
અથવા .
અમે વેક્ટર સ્પેસના પરિમાણ અને આધારની વિભાવનાઓની તપાસ કરી, વેક્ટરને આધારમાં વિઘટિત કરવાનું શીખ્યા, અને સંક્રમણ મેટ્રિક્સ દ્વારા n-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસના વિવિધ પાયા વચ્ચેના જોડાણની શોધ કરી.
રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમો
સમસ્યાની રચના. અમુક આધાર શોધો અને સિસ્ટમની રેખીય ઉકેલ જગ્યાનું પરિમાણ નક્કી કરો
ઉકેલ યોજના.
1. સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ લખો:
અને પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને આપણે મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, એટલે કે. આવા સ્વરૂપમાં જ્યારે મુખ્ય કર્ણની નીચેના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય. સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો ક્રમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલો છે, એટલે કે, અમારા કિસ્સામાં, પંક્તિઓની સંખ્યા જેમાં બિન-શૂન્ય તત્વો રહે છે:
સોલ્યુશન સ્પેસનું પરિમાણ છે. જો , તો સજાતીય પ્રણાલીમાં એક જ શૂન્ય ઉકેલ હોય છે, જો , તો સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે.
2. મૂળભૂત અને મફત ચલો પસંદ કરો. મફત ચલો દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. પછી આપણે મૂળભૂત ચલોને મુક્તની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરીએ છીએ, આમ રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ.
3. અમે ક્રમશઃ ફ્રી ચલોમાંના એકને એકના બરાબર અને બાકીનાને શૂન્યના બરાબર સેટ કરીને સિસ્ટમના સોલ્યુશન સ્પેસનો આધાર લખીએ છીએ. સિસ્ટમની રેખીય ઉકેલ જગ્યાનું પરિમાણ બેઝિસ વેક્ટર્સની સંખ્યા જેટલું છે.
નૉૅધ. પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ પરિવર્તનમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:
1. એક શબ્દમાળાને બિન-શૂન્ય પરિબળ વડે ગુણાકાર (ભાગાકાર કરવો);
2. કોઈપણ લીટીમાં બીજી લીટી ઉમેરીને, કોઈપણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર;
3. લીટીઓની પુનઃ ગોઠવણી;
4. સ્તંભો માટે રૂપાંતરણ 1–3 (રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલી ઉકેલવાના કિસ્સામાં, કૉલમના પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ થતો નથી).
કાર્ય 3.અમુક આધાર શોધો અને સિસ્ટમની રેખીય ઉકેલ જગ્યાનું પરિમાણ નક્કી કરો.
અમે સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ લખીએ છીએ અને, પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, તેને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ:
ત્યારે આપણે ધારીએ છીએ
1. સબસ્પેસ દો એલ = એલ(એ 1 , એ 2 , …, અને મી) , તે જ એલ- સિસ્ટમનો રેખીય શેલ એ 1 , એ 2 , …, અને મી; વેક્ટર એ 1 , એ 2 , …, અને મી- આ સબસ્પેસના જનરેટરની સિસ્ટમ. પછી આધાર એલવેક્ટર સિસ્ટમનો આધાર છે એ 1 , એ 2 , …, અને મી, એટલે કે, જનરેટરની સિસ્ટમનો આધાર. પરિમાણ એલજનરેટરની સિસ્ટમના ક્રમની સમાન.
2. સબસ્પેસ દો એલસબસ્પેસનો સરવાળો છે એલ 1 અને એલ 2. સરવાળો માટે સબસ્પેસીસ જનરેટ કરવાની સિસ્ટમ જનરેટ કરતી સબસ્પેસીસની સિસ્ટમ્સને જોડીને મેળવી શકાય છે, જેના પછી સરવાળાનો આધાર મળે છે. રકમનું પરિમાણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
મંદ(એલ 1 + એલ 2) = dimL 1 + dimL 2 – મંદ(એલ 1 Ç એલ 2).
3. સબસ્પેસનો સરવાળો કરીએ એલ 1 અને એલ 2 સીધા છે, એટલે કે એલ = એલ 1 Å એલ 2. જેમાં એલ 1 Ç એલ 2 = {ઓ) અને મંદ(એલ 1 Ç એલ 2) = 0. પ્રત્યક્ષ રકમનો આધાર શરતોના પાયાના જોડાણ સમાન છે. પ્રત્યક્ષ રકમનું પરિમાણ એ શરતોના પરિમાણના સરવાળા જેટલું છે.
4. ચાલો સબસ્પેસ અને રેખીય મેનીફોલ્ડનું મહત્વનું ઉદાહરણ આપીએ.
સજાતીય સિસ્ટમનો વિચાર કરો mસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત ઘણા ઉકેલો એમઆ સિસ્ટમનો 0 એ સમૂહનો સબસેટ છે આર.એનઅને વેક્ટરના ઉમેરા અને વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા તેમના ગુણાકાર હેઠળ બંધ છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં ઘણા છે એમ 0 – અવકાશની સબસ્પેસ આર.એન. સબસ્પેસનો આધાર સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલોનો મૂળભૂત સમૂહ છે;
એક ટોળું એમસામાન્ય સિસ્ટમ ઉકેલો mસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત એ પણ સમૂહનો સબસેટ છે આર.એનઅને સમૂહના સરવાળા સમાન એમ 0 અને વેક્ટર એ, ક્યાં એમૂળ સિસ્ટમ અને સમૂહનો અમુક ચોક્કસ ઉકેલ છે એમ 0 - આ સિસ્ટમની સાથે રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ (તે ફક્ત મફત શરતોમાં મૂળથી અલગ છે),
એમ = એ + એમ 0 = {એ = m, m Î એમ 0 }.
આનો અર્થ એ છે કે ઘણા એમઅવકાશનો રેખીય મેનીફોલ્ડ છે આર.એનશિફ્ટ વેક્ટર સાથે એઅને દિશા એમ 0 .
ઉદાહરણ 8.6.રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સબસ્પેસનો આધાર અને પરિમાણ શોધો:
ઉકેલ. ચાલો આ સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ અને તેના મૂળભૂત ઉકેલો શોધીએ: 
સાથે 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), સાથે 2 = (12, –8, 0, 1, 0), સાથે 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
સબસ્પેસનો આધાર વેક્ટર દ્વારા રચાય છે સાથે 1 , સાથે 2 , સાથે 3, તેનું પરિમાણ ત્રણ છે.
કામનો અંત -
આ વિષય વિભાગનો છે:
રેખીય બીજગણિત
કોસ્ટ્રોમા સ્ટેટ યુનિવર્સિટીનું નામ એન. નેક્રાસોવ.
જો તમને આ વિષય પર વધારાની સામગ્રીની જરૂર હોય, અથવા તમે જે શોધી રહ્યા હતા તે તમને મળ્યું નથી, તો અમે અમારા કાર્યોના ડેટાબેઝમાં શોધનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ:
પ્રાપ્ત સામગ્રી સાથે અમે શું કરીશું:
જો આ સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી, તો તમે તેને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર તમારા પૃષ્ઠ પર સાચવી શકો છો:
| ટ્વીટ |
આ વિભાગના તમામ વિષયો:
BBK 22.174ya73-5
M350 KSU ના એડિટોરિયલ અને પબ્લિશિંગ કાઉન્સિલના નિર્ણય દ્વારા પ્રકાશિત. એન. એ. નેક્રાસોવા સમીક્ષક એ. વી. ચેરેડનિકોવ
BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU નામ આપવામાં આવ્યું છે. એન.એ. નેક્રાસોવા, 2013
સંઘ (અથવા સરવાળો)
વ્યાખ્યા 1.9 A અને B સમૂહ A È B છે, જેમાં તે અને માત્ર તે જ તત્વોનો સમાવેશ થાય છે.
આંતરછેદ (અથવા ઉત્પાદન)
વ્યાખ્યા 1.10. સમૂહ A અને B નું આંતરછેદ એ સમૂહ A Ç B છે, જેમાં તે અને માત્ર તે જ તત્વોનો સમાવેશ થાય છે
તફાવત
વ્યાખ્યા 1.11 સમૂહ A અને B વચ્ચેનો તફાવત એ સમૂહ A B છે, જેમાં તે અને ફક્ત તે જ તત્વોનો સમાવેશ થાય છે જે A સમૂહને અનુસરે છે
કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન (અથવા સીધી ઉત્પાદન)
વ્યાખ્યા 1.14. ઓર્ડર કરેલ જોડી (અથવા જોડી) (a, b) એ બે તત્વો a, b ચોક્કસ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે. જોડી (a1
સેટ કામગીરીના ગુણધર્મો
યુનિયન, આંતરછેદ અને પૂરકની કામગીરીના ગુણધર્મોને કેટલીકવાર સમૂહ બીજગણિતના નિયમો કહેવામાં આવે છે. ચાલો સેટ પરની કામગીરીના મુખ્ય ગુણધર્મોની યાદી કરીએ. યુનિવર્સલ સેટ U આપવા દો
ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ
ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ વિધાનોને સાબિત કરવા માટે કરવામાં આવે છે જેમાં કુદરતી પરિમાણ n સામેલ છે. ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ - ગણિતને સાબિત કરવાની પદ્ધતિ
જટિલ સંખ્યાઓ
સંખ્યાની વિભાવના એ માનવ સંસ્કૃતિની મુખ્ય સિદ્ધિઓમાંની એક છે. પ્રથમ, કુદરતી સંખ્યાઓ N = (1, 2, 3, …, n, …) દેખાયા, પછી પૂર્ણાંકો Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), તર્કસંગત Q
જટિલ સંખ્યાઓનું ભૌમિતિક અર્થઘટન
તે જાણીતું છે કે એક ચલમાં રેખીય સમીકરણોના ઉકેલના સંબંધમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓ રજૂ કરવામાં આવી હતી. ચોક્કસ કાર્યોમાં, નકારાત્મક જવાબને દિશાત્મક જથ્થાના મૂલ્ય તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવ્યું હતું (
જટિલ સંખ્યાનું ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ
વેક્ટરને માત્ર લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા જ નહીં, પણ લંબાઈ દ્વારા પણ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.
ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ પરની કામગીરી
બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ સાથે સરવાળા અને બાદબાકી અને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવા વધુ અનુકૂળ છે. 1. ગુણાકાર બે k આપવા દો
ઘાત
જો z = r(cosj + i×sinj), તો zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), જ્યાં n Î
જટિલ સંખ્યાનું ઘાતાંકીય સ્વરૂપ
ગાણિતિક વિશ્લેષણ પરથી તે જાણી શકાય છે કે e = , e એ અતાર્કિક સંખ્યા છે. આઈલ
સંબંધ ખ્યાલ
વ્યાખ્યા 2.1. A1, A2, …, An સમૂહો પર n-ary (અથવા n-ary) સંબંધ P એ કોઈપણ સબસેટ છે
દ્વિસંગી સંબંધોના ગુણધર્મો
દ્વિસંગી સંબંધ P ને બિન-ખાલી સમૂહ A, એટલે કે P Í A2 પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. વ્યાખ્યા 2.9 સમૂહ પર દ્વિસંગી સંબંધ P
સમાનતા સંબંધ
વ્યાખ્યા 2.15. સમૂહ A પરના દ્વિસંગી સંબંધને સમકક્ષ સંબંધ કહેવાય છે જો તે રીફ્લેક્સિવ, સપ્રમાણ અને સંક્રમિત હોય. ગુણોત્તર સમકક્ષ
કાર્યો
વ્યાખ્યા 2.20 A દ્વિસંગી સંબંધ ƒ Í A ´ B ને સમૂહ A થી B સેટ કરવા માટેનું કાર્ય કહેવામાં આવે છે જો કોઈ x માટે હોય
સામાન્ય ખ્યાલો
વ્યાખ્યા 3.1. મેટ્રિક્સ એ m પંક્તિઓ અને n કૉલમ ધરાવતી સંખ્યાઓનું લંબચોરસ કોષ્ટક છે. m અને n નંબરોને ક્રમ કહેવામાં આવે છે (અથવા
સમાન પ્રકારના મેટ્રિસિસનો ઉમેરો
માત્ર સમાન પ્રકારના મેટ્રિસિસ ઉમેરી શકાય છે. વ્યાખ્યા 3.12. A = (aij) અને B = (bij) બે મેટ્રિસનો સરવાળો, જ્યાં i = 1,
મેટ્રિક્સ ઉમેરણના ગુણધર્મો
1) કોમ્યુટેટીવીટી: "A, B: A + B = B + A; 2) સહયોગીતા: "A, B, C: (A + B) + C = A
સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર
વ્યાખ્યા 3.13. વાસ્તવિક સંખ્યા k દ્વારા મેટ્રિક્સ A = (aij) નું ઉત્પાદન એ મેટ્રિક્સ C = (сij) છે, જેના માટે
મેટ્રિક્સને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાના ગુણધર્મો
1) " A: 1×A = A; 2) " α, β О R, " A: (αβ)×A = α×(β×A) = β×
મેટ્રિક્સ ગુણાકાર
ચાલો બે મેટ્રિસિસના ગુણાકારને વ્યાખ્યાયિત કરીએ; આ કરવા માટે, કેટલાક વધારાના ખ્યાલો રજૂ કરવા જરૂરી છે. વ્યાખ્યા 3.14. મેટ્રિસિસ A અને B ને સુસંગત કહેવામાં આવે છે
મેટ્રિક્સ ગુણાકારના ગુણધર્મો
1) મેટ્રિક્સ ગુણાકાર વિનિમયાત્મક નથી: A×B ≠ B×A. આ ગુણધર્મ ઉદાહરણો સાથે દર્શાવી શકાય છે. ઉદાહરણ 3.6. અ)
ટ્રાન્સપોઝિંગ મેટ્રિસિસ
વ્યાખ્યા 3.16. મેટ્રિક્સ At, આપેલ એકમાંથી તેની દરેક પંક્તિને સમાન નંબર સાથેના સ્તંભ સાથે બદલીને મેળવેલા મેટ્રિક્સ Aમાં સ્થાનાંતરિત કહેવાય છે.
બીજા અને ત્રીજા ક્રમના મેટ્રિસીસના નિર્ધારકો
ક્રમ n નો પ્રત્યેક ચોરસ મેટ્રિક્સ A એ સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ છે, જેને આ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે. હોદ્દો: D, |A|, det A,
વ્યાખ્યા 4.6.
1. n = 1 માટે, મેટ્રિક્સ A એક સંખ્યા ધરાવે છે: |A| = a11. 2. ક્રમના મેટ્રિક્સ (n – 1) ના નિર્ધારકને જાણવા દો. 3. વ્યાખ્યાયિત કરો
નિર્ધારકોના ગુણધર્મો
3 થી વધુ ઓર્ડરના નિર્ધારકોની ગણતરી કરવા માટે, નિર્ધારકોના ગુણધર્મો અને લેપ્લેસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પ્રમેય 4.1 (લાપ્લેસ). ચોરસ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક
નિર્ધારકોની વ્યવહારિક ગણતરી
ત્રણ ઉપરના ક્રમના નિર્ણાયકોની ગણતરી કરવાની એક રીત છે તેને અમુક કૉલમ અથવા પંક્તિ પર વિસ્તૃત કરવી. ઉદાહરણ 4.4 નિર્ણાયક D = ની ગણતરી કરો
મેટ્રિક્સ રેન્કનો ખ્યાલ
A એ પરિમાણ m ´ n નું મેટ્રિક્સ છે. ચાલો આ મેટ્રિક્સમાં k પંક્તિઓ અને k સ્તંભોને મનસ્વી રીતે પસંદ કરીએ, જ્યાં 1 ≤ k ≤ min(m, n).
સગીરોને કિનારી કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવો
મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવા માટેની પદ્ધતિઓમાંની એક સગીરોની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ છે. આ પદ્ધતિ મેટ્રિક્સની રેન્ક નક્કી કરવા પર આધારિત છે. પદ્ધતિનો સાર નીચે મુજબ છે. જો ત્યાં ઓછામાં ઓછું એક તત્વ હોય તો મા
પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવો
ચાલો મેટ્રિક્સની રેન્ક શોધવાની બીજી રીત પર વિચાર કરીએ. વ્યાખ્યા 5.4. નીચેના રૂપાંતરણોને પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ રૂપાંતરણ કહેવામાં આવે છે: 1. ગુણાકાર
વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ખ્યાલ અને તેને શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ
ચોરસ મેટ્રિક્સ A ને વ્યાખ્યા 5.7 આપવા દો. મેટ્રિક્સ A–1 એ મેટ્રિક્સ Aનું વ્યસ્ત કહેવાય છે જો A×A–1
વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ
ચાલો બીજગણિત ઉમેરણોનો ઉપયોગ કરીને આપેલ એકનું વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાની એક રીત પર વિચાર કરીએ. એક ચોરસ મેટ્રિક્સ A આપવા દો 1. મેટ્રિક્સ |A|નો નિર્ણાયક શોધો. ઇયુ
પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવું
ચાલો પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાની બીજી રીતનો વિચાર કરીએ. ચાલો જરૂરી ખ્યાલો અને પ્રમેય ઘડીએ. વ્યાખ્યા 5.11 નામ દ્વારા મેટ્રિક્સ
ક્રેમર પદ્ધતિ
ચાલો રેખીય સમીકરણોની એક સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે, એટલે કે, m = n અને સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે:
વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ
વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને લાગુ પડે છે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે અને મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર નથી હોતો. સિસ્ટમ નોટેશનનું મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ
ગૌસ પદ્ધતિ
આ પદ્ધતિનું વર્ણન કરવા માટે, જે રેખીય સમીકરણોની મનસ્વી પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે યોગ્ય છે, કેટલાક નવા ખ્યાલોની જરૂર છે. વ્યાખ્યા 6.7. ફોર્મ 0×નું સમીકરણ
ગૌસ પદ્ધતિનું વર્ણન
ગૌસ પદ્ધતિ - અજાણ્યાઓને ક્રમિક દૂર કરવાની પદ્ધતિ - એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે, પ્રાથમિક પરિવર્તનની મદદથી, મૂળ સિસ્ટમને પગલાવાર અથવા ટીની સમકક્ષ સિસ્ટમમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે.
રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો અભ્યાસ
રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો અભ્યાસ કરવાનો અર્થ છે, સિસ્ટમને હલ કર્યા વિના, પ્રશ્નનો જવાબ આપવો: સિસ્ટમ સુસંગત છે કે નહીં, અને જો તે સુસંગત છે, તો તેની પાસે કેટલા ઉકેલો છે? આમાં જવાબ આપો
રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓ
વ્યાખ્યા 6.11 રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સજાતીય કહેવામાં આવે છે જો તેની મુક્ત શરતો શૂન્યની બરાબર હોય. m રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ
રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલોના ગુણધર્મો
1. જો વેક્ટર a = (a1, a2, …, an) એ સજાતીય સિસ્ટમનો ઉકેલ છે, તો વેક્ટર k×a = (k×a1, k&t)
રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલોનો મૂળભૂત સમૂહ
ચાલો M0 એ રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ (4) ના ઉકેલોનો સમૂહ છે. વ્યાખ્યા 6.12 વેક્ટર્સ c1, c2, ..., c
વેક્ટર્સની સિસ્ટમની રેખીય અવલંબન અને સ્વતંત્રતા
ચાલો a1, a2, …, аm એ m n-પરિમાણીય વેક્ટરનો સમૂહ છે, જેને સામાન્ય રીતે વેક્ટરની સિસ્ટમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને k1
વેક્ટર્સની સિસ્ટમની રેખીય અવલંબનના ગુણધર્મો
1) શૂન્ય વેક્ટર ધરાવતા વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે. 2) વેક્ટર્સની સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત હોય છે જો તેની કોઈપણ પેટા પ્રણાલીઓ રેખીય રીતે આધારિત હોય. પરિણામ. જો si
એકમ વેક્ટર સિસ્ટમ
વ્યાખ્યા 7.13. અવકાશમાં એકમ વેક્ટરની સિસ્ટમ Rn એ વેક્ટર e1, e2, …, en
રેખીય અવલંબન વિશે બે પ્રમેય
પ્રમેય 7.1. જો વેક્ટરની મોટી સિસ્ટમ નાના દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તો મોટી સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે. ચાલો આ પ્રમેયને વધુ વિગતમાં ઘડીએ: ચાલો a1
વેક્ટર સિસ્ટમનો આધાર અને ક્રમ
ચાલો S એ જગ્યા Rn માં વેક્ટરની સિસ્ટમ છે; તે કાં તો મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે. S" એ સિસ્ટમ S, S" Ì Sની સબસિસ્ટમ છે. ચાલો બે આપીએ
વેક્ટર સિસ્ટમ રેન્ક
ચાલો આપણે વેક્ટરની સિસ્ટમની રેન્કની બે સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ આપીએ. વ્યાખ્યા 7.16. વેક્ટરની સિસ્ટમનો ક્રમ એ આ સિસ્ટમના કોઈપણ આધાર પર વેક્ટર્સની સંખ્યા છે.
વેક્ટરની સિસ્ટમના ક્રમ અને આધારનો વ્યવહારિક નિર્ધારણ
વેક્ટર્સની આ સિસ્ટમમાંથી આપણે મેટ્રિક્સ કંપોઝ કરીએ છીએ, આ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ તરીકે વેક્ટર્સને ગોઠવીએ છીએ. અમે આ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ પર પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સને એકલન સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ. મુ
મનસ્વી ક્ષેત્ર પર વેક્ટર જગ્યાની વ્યાખ્યા
P ને મનસ્વી ક્ષેત્ર બનવા દો. અમને જાણીતા ક્ષેત્રોના ઉદાહરણો તર્કસંગત, વાસ્તવિક અને જટિલ સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર છે. વ્યાખ્યા 8.1. સેટ V ને બોલાવવામાં આવે છે
વેક્ટર સ્પેસના સૌથી સરળ ગુણધર્મો
1) o – શૂન્ય વેક્ટર (તત્વ), ક્ષેત્રની ઉપરની મનસ્વી વેક્ટર જગ્યામાં વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત. 2) કોઈપણ વેક્ટર માટે О V એક અનન્ય છે
સબસ્પેસ. રેખીય મેનીફોલ્ડ્સ
ચાલો V ને વેક્ટર સ્પેસ ગણીએ, L М V (L એ V નો સબસેટ છે). વ્યાખ્યા 8.2. વેક્ટર પ્રોનો સબસેટ L
આંતરછેદ અને સબસ્પેસનો સરવાળો
ચાલો V એ ક્ષેત્ર P, L1 અને L2 તેના પેટાસ્પેસ પર વેક્ટર સ્પેસ છે. વ્યાખ્યા 8.3. સબક્વેસ્ટ પાર કરીને
રેખીય મેનીફોલ્ડ્સ
ચાલો V ને વેક્ટર સ્પેસ, L એ સબસ્પેસ, V એ આર્બિટરી વેક્ટર. વ્યાખ્યા 8.6
મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓ
વ્યાખ્યા 8.7 વેક્ટર સ્પેસ V ને n-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે જો તેમાં n વેક્ટરનો સમાવેશ કરતી વેક્ટરની એક રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ હોય, અને
મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાનો આધાર
V એ P ક્ષેત્ર પરની એક મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા છે, S એ વેક્ટર્સની સિસ્ટમ છે (મર્યાદિત અથવા અનંત). વ્યાખ્યા 8.10. સિસ્ટમનો આધાર એસ
આપેલ આધારને સંબંધિત વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ
પરિમાણ n ના મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસને ધ્યાનમાં લો, વેક્ટર e1, e2, …, અને તેનો આધાર બનાવે છે એક ઉત્પાદન બનવા દો
વિવિધ પાયામાં વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ
ચાલો V ને n-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસ છે જેમાં બે પાયા આપવામાં આવ્યા છે: e1, e2, …, en – જૂના આધાર, e"1, e
યુક્લિડિયન વેક્ટર જગ્યાઓ
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર વેક્ટર જગ્યા V આપેલ છે. આ જગ્યા કાં તો પરિમાણ n ની મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા અથવા અનંત-પરિમાણીય હોઈ શકે છે
કોઓર્ડિનેટ્સમાં ડોટ પ્રોડક્ટ
પરિમાણ n ના યુક્લિડિયન વેક્ટર સ્પેસ V માં, આધાર e1, e2, …, en આપેલ છે. વેક્ટર x અને y વેક્ટરમાં વિઘટિત થાય છે
મેટ્રિક ખ્યાલો
યુક્લિડિયન વેક્ટર સ્પેસમાં, રજૂ કરેલ સ્કેલર પ્રોડક્ટમાંથી આપણે વેક્ટર નોર્મ અને વેક્ટર વચ્ચેના કોણની વિભાવનાઓ તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ. વ્યાખ્યા 8.16. નોર્મા (
ધોરણના ગુણધર્મો
1) ||a|| = 0 Û a = o. 2) ||લા|| = |l|×||a||, કારણ કે ||la|| =
યુક્લિડિયન વેક્ટર સ્પેસનો ઓર્થોનોર્મલ આધાર
વ્યાખ્યા 8.21. યુક્લિડિયન વેક્ટર સ્પેસના આધારને ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે જો બેઝ વેક્ટર પેરવાઈઝ ઓર્થોગોનલ હોય, એટલે કે, જો a1, a
ઓર્થોગોનલાઇઝેશન પ્રક્રિયા
પ્રમેય 8.12. દરેક n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં ઓર્થોનોર્મલ આધાર હોય છે. પુરાવો. ચાલો a1, a2
ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે ડોટ પ્રોડક્ટ
યુક્લિડિયન સ્પેસ V નો ઓર્થોનોર્મલ આધાર e1, e2, …, en આપેલ છે. ત્યારથી (ei, ej) = i માટે 0
સબસ્પેસનું ઓર્થોગોનલ પૂરક
V એ યુક્લિડિયન વેક્ટર સ્પેસ છે, L તેની સબસ્પેસ છે. વ્યાખ્યા 8.23. વેક્ટર a એ સબસ્પેસ L માટે ઓર્થોગોનલ હોવાનું કહેવાય છે જો વેક્ટર હોય
વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ અને તેની છબીના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનો સંબંધ
સ્પેસ V માં રેખીય ઓપરેટર j આપવામાં આવે છે, અને તેનું મેટ્રિક્સ M(j) અમુક આધારો e1, e2, …, en માં જોવા મળે છે. આનો આધાર બનવા દો
સમાન મેટ્રિસિસ
ચાલો આપણે મનસ્વી ક્ષેત્ર P ના તત્વો સાથે ક્રમ n ના ચોરસ મેટ્રિસિસના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ. આ સમૂહ પર આપણે સંબંધ રજૂ કરીએ છીએ
મેટ્રિક્સ સમાનતા સંબંધોના ગુણધર્મો
1. રીફ્લેક્સિવિટી. કોઈપણ મેટ્રિક્સ પોતાના જેવું જ હોય છે, એટલે કે A ~ A. 2. સમપ્રમાણતા. જો મેટ્રિક્સ A B જેવું જ છે, તો B એ A જેવું જ છે, એટલે કે.
eigenvectors ના ગુણધર્મો
1. દરેક eigenvector માત્ર એક eigenvalue થી સંબંધિત છે. પુરાવો. ચાલો x ને બે eigenvalues સાથે eigenvector બનીએ
મેટ્રિક્સની લાક્ષણિકતા બહુપદી
મેટ્રિક્સ આપેલ A О Рn´n (અથવા A О Rn´n). વ્યાખ્યાયિત કરો
શરતો કે જેના હેઠળ મેટ્રિક્સ કર્ણ મેટ્રિક્સ જેવું જ છે
A ને ચોરસ મેટ્રિક્સ થવા દો. અમે ધારી શકીએ છીએ કે આ અમુક આધારમાં વ્યાખ્યાયિત કેટલાક રેખીય ઓપરેટરનું મેટ્રિક્સ છે. તે જાણીતું છે કે બીજા આધારે રેખીય ઓપરેટરનું મેટ્રિક્સ
જોર્ડન સામાન્ય સ્વરૂપ
વ્યાખ્યા 10.5. l0 નંબર સાથે સંબંધિત ઓર્ડર k નો જોર્ડન સેલ એ ઓર્ડર k, 1 ≤ k ≤ n નો મેટ્રિક્સ છે,
મેટ્રિક્સને જોર્ડન (સામાન્ય) સ્વરૂપમાં ઘટાડવું
પ્રમેય 10.3. જોર્ડન સામાન્ય સ્વરૂપ મુખ્ય કર્ણ પર જોર્ડન કોષોની ગોઠવણીના ક્રમ સુધીના મેટ્રિક્સ માટે વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. વગેરે
દ્વિરેખીય સ્વરૂપો
વ્યાખ્યા 11.1. દ્વિરેખીય સ્વરૂપ એ ફંક્શન (નકશો) f: V ´ V ® R (અથવા C) છે, જ્યાં V એક મનસ્વી વેક્ટર છે
દ્વિરેખીય સ્વરૂપોના ગુણધર્મો
કોઈપણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપને સપ્રમાણ અને ત્રાંસી-સપ્રમાણ સ્વરૂપોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. વેક્ટરમાં પસંદ કરેલ આધાર e1, e2, …, en સાથે
જ્યારે નવા આધાર પર પસાર થાય છે ત્યારે દ્વિરેખીય સ્વરૂપના મેટ્રિક્સનું રૂપાંતરણ. દ્વિરેખીય સ્વરૂપનો ક્રમ
ચાલો બે પાયા e = (e1, e2, …, en) અને f = (f1, f2,
ચતુર્ભુજ આકારો
A(x, y) એ વેક્ટર સ્પેસ V પર વ્યાખ્યાયિત સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ છે. વ્યાખ્યા 11.6
ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું
ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ આપેલ છે (2) A(x, x) = , જ્યાં x = (x1
ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોની જડતાનો કાયદો
તે સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું છે કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના બિન-શૂન્ય પ્રમાણભૂત ગુણાંકની સંખ્યા તેના ક્રમની બરાબર છે અને તે બિન-અધોગતિ રૂપાંતરણની પસંદગી પર આધારિત નથી જેની મદદથી ફોર્મ A(x)
ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની નિશાની માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ
વિધાન 11.1. n-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસ V માં વ્યાખ્યાયિત થયેલ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ A(x, x) માટે, સાઇન-ડેફિનેટ થવા માટે, તે જરૂરી છે
અર્ધ-વૈકલ્પિક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ
વિધાન 11.3. અર્ધ-ચિહ્ન-વૈકલ્પિક (એટલે કે,
ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના ચોક્કસ સંકેત માટે સિલ્વેસ્ટર માપદંડ
આધાર e = (e1, e2, …, en) માં A(x, x) ને મેટ્રિક્સ A(e) = (aij) દ્વારા નક્કી કરવા દો.
નિષ્કર્ષ
રેખીય બીજગણિત એ કોઈપણ ઉચ્ચ ગણિત કાર્યક્રમનો ફરજિયાત ભાગ છે. અન્ય કોઈપણ વિભાગ આ શિસ્તના શિક્ષણ દરમિયાન વિકસિત જ્ઞાન, કૌશલ્યો અને ક્ષમતાઓની હાજરીની પૂર્વધારણા કરે છે.
ગ્રંથસૂચિ
બર્મિસ્ટ્રોવા ઇ.બી., લોબાનોવ એસ.જી. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના તત્વો સાથે રેખીય બીજગણિત. – એમ.: એચએસઈ પબ્લિશિંગ હાઉસ, 2007. બેક્લેમિશેવ ડી.વી. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ અને રેખીય બીજગણિતનો કોર્સ.
રેખીય બીજગણિત
ટી. એન. માટિત્સિના, ઇ.કે. કોર્ઝેવિના દ્વારા શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરના માર્ગદર્શિકા સંપાદક અને પ્રૂફરીડર જી. ડી. નેગાનોવા કમ્પ્યુટર ટાઇપિંગ
રેખીય અવકાશનો સબસેટ સબસ્પેસ બનાવે છે જો તે વેક્ટરના ઉમેરા હેઠળ બંધ હોય અને સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે.
ઉદાહરણ 6.1. શું પ્લેનમાં સબસ્પેસ વેક્ટરનો સમૂહ બનાવે છે જેના છેડા આવેલા છે: a) પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં; b) મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા પર? (વેક્ટર્સની ઉત્પત્તિ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર સ્થિત છે)
ઉકેલ.
a) ના, કારણ કે સમૂહ સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર હેઠળ બંધ થતો નથી: જ્યારે નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે વેક્ટરનો અંત ત્રીજા ક્વાર્ટરમાં આવે છે.
b) હા, કારણ કે જ્યારે વેક્ટર ઉમેરતા હોય અને તેમને કોઈપણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ ત્યારે તેમના છેડા એક જ સીધી રેખા પર રહે છે.
વ્યાયામ 6.1. અનુરૂપ રેખીય જગ્યાઓના નીચેના ઉપગણો સબસ્પેસ બનાવે છે:
a) પ્લેન વેક્ટરનો સમૂહ જેનો છેડો પ્રથમ અથવા ત્રીજા ક્વાર્ટરમાં હોય છે;
b) પ્લેન વેક્ટરનો સમૂહ જેનો અંત સીધી રેખા પર હોય છે જે મૂળમાંથી પસાર થતો નથી;
c) સંકલન રેખાઓનો સમૂહ ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);
d) સંકલન રેખાઓનો સમૂહ ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);
e) સંકલન રેખાઓનો સમૂહ ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).
રેખીય અવકાશ Lનું પરિમાણ એ તેના કોઈપણ આધારમાં સમાવિષ્ટ વેક્ટરની મંદ L સંખ્યા છે.
સરવાળાના પરિમાણો અને સબસ્પેસના આંતરછેદ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે
મંદ (U + V) = મંદ U + મંદ V – મંદ (U Ç V).
ઉદાહરણ 6.2. વેક્ટર્સની નીચેની સિસ્ટમો દ્વારા ફેલાયેલ સબસ્પેસના સરવાળા અને આંતરછેદનો આધાર અને પરિમાણ શોધો:
ઉકેલ U અને V નું નિર્માણ કરતી વેક્ટરની દરેક સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, જેનો અર્થ છે કે તે અનુરૂપ સબસ્પેસનો આધાર છે. ચાલો આ વેક્ટર્સના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક મેટ્રિક્સ બનાવીએ, તેમને કૉલમમાં ગોઠવીએ અને એક સિસ્ટમને બીજી સિસ્ટમથી રેખા વડે અલગ કરીએ. ચાલો પરિણામી મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મમાં ઘટાડીએ.
~ 
~ 
~ 
.
આધાર U + V વેક્ટર્સ દ્વારા રચાય છે , , , જેની સાથે સ્ટેપ મેટ્રિક્સના અગ્રણી તત્વો અનુરૂપ છે. તેથી મંદ (U + V) = 3. પછી
મંદ (UÇV) = મંદ U + મંદ V – મંદ (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.
સબસ્પેસનું આંતરછેદ એ વેક્ટરનો સમૂહ બનાવે છે જે સમીકરણને સંતોષે છે (આ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુએ ઊભા રહે છે). અમે આ વેક્ટર સમીકરણને અનુરૂપ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને આંતરછેદનો આધાર મેળવીએ છીએ. આ સિસ્ટમના મેટ્રિક્સને પહેલાથી જ સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવ્યું છે. તેના આધારે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે y 2 એક મફત ચલ છે, અને અમે y 2 = c સેટ કરીએ છીએ. પછી 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. અને સબસ્પેસનું આંતરછેદ ફોર્મના વેક્ટરનો સમૂહ બનાવે છે 
= c (3, 6, 3, 4). પરિણામે, આધાર UÇV વેક્ટર (3, 6, 3, 4) બનાવે છે.
નોંધો. 1. જો આપણે સિસ્ટમને હલ કરવાનું ચાલુ રાખીએ, x ચલોની કિંમતો શોધીએ, તો આપણને x 2 = c, x 1 = c મળે છે અને વેક્ટર સમીકરણની ડાબી બાજુએ આપણને ઉપર મેળવેલ વેક્ટર સમાન વેક્ટર મળે છે. .
2. સૂચવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, તમે વેક્ટરની જનરેટીંગ સિસ્ટમ્સ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે કે કેમ તે ધ્યાનમાં લીધા વગર સરવાળાનો આધાર મેળવી શકો છો. પરંતુ આંતરછેદનો આધાર ત્યારે જ યોગ્ય રીતે પ્રાપ્ત થશે જો ઓછામાં ઓછી બીજી સબસ્પેસ જનરેટ કરતી સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય.
3. જો તે નક્કી કરવામાં આવે કે આંતરછેદનું પરિમાણ 0 છે, તો આંતરછેદનો કોઈ આધાર નથી અને તેને શોધવાની જરૂર નથી.
વ્યાયામ 6.2. વેક્ટર્સની નીચેની સિસ્ટમો દ્વારા ફેલાયેલ સબસ્પેસના સરવાળા અને આંતરછેદનો આધાર અને પરિમાણ શોધો:
અ) 
b) 
યુક્લિડિયન અવકાશ
યુક્લિડિયન સ્પેસ એ ક્ષેત્રની ઉપરની રેખીય જગ્યા છે આર, જેમાં એક સ્કેલર ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે વેક્ટર્સની દરેક જોડીને અસાઇન કરે છે, એક સ્કેલર , અને નીચેની શરતો પૂરી થાય છે:
2) (a + b) = a() + b();
3) ¹Þ > 0.
સ્ટાન્ડર્ડ સ્કેલર પ્રોડક્ટની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે
(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n.
વેક્ટર અને તેને ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે, લખવામાં આવે છે ^ જો તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન 0 ની બરાબર હોય.
વેક્ટરની સિસ્ટમને ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે જો તેમાંના વેક્ટર જોડીમાં ઓર્થોગોનલ હોય.
વેક્ટરની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે.
વેક્ટર્સની સિસ્ટમના ઓર્થોગોનલાઇઝેશનની પ્રક્રિયા , ... , સમકક્ષ ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમમાં સંક્રમણનો સમાવેશ કરે છે, ... , સૂત્રો અનુસાર કરવામાં આવે છે:
, જ્યાં , k = 2, … , n.
ઉદાહરણ 7.1. વેક્ટરની સિસ્ટમને ઓર્થોગોનલાઇઝ કરો
= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).
ઉકેલ અમારી પાસે = = (1, 2, 2, 1);
, = 
= = 1;
= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).
, = 
= =1;
= 
=1;
= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).
વ્યાયામ 7.1. ઓર્થોગોનલાઇઝ વેક્ટર સિસ્ટમ્સ:
a) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);
b) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).
ઉદાહરણ 7.2. વેક્ટરની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ = (1, -1, 1, -1),
= (1, 1, -1, -1), જગ્યાના ઓર્થોગોનલ આધાર પર.
ઉકેલ: મૂળ સિસ્ટમ ઓર્થોગોનલ છે, તેથી સમસ્યાનો અર્થ થાય છે. વેક્ટર ચાર-પરિમાણીય જગ્યામાં આપવામાં આવ્યા હોવાથી, આપણે વધુ બે વેક્ટર શોધવાની જરૂર છે. ત્રીજો વેક્ટર = (x 1, x 2, x 3, x 4) શરતો = 0, = 0 પરથી નક્કી થાય છે. આ શરતો સમીકરણોની સિસ્ટમ આપે છે, જેનું મેટ્રિક્સ વેક્ટરની સંકલન રેખાઓમાંથી બને છે અને . અમે સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ:
~ 
~ 
.
મફત ચલો x 3 અને x 4 શૂન્ય સિવાયના કોઈપણ મૂલ્યોનો સમૂહ આપી શકાય છે. અમે ધારીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, x 3 = 0, x 4 = 1. પછી x 2 = 0, x 1 = 1, અને = (1, 0, 0, 1).
એ જ રીતે, આપણે = (y 1, y 2, y 3, y 4) શોધીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે ઉપર મેળવેલ સ્ટેપવાઇઝ મેટ્રિક્સમાં નવી કોઓર્ડિનેટ લાઇન ઉમેરીએ છીએ અને તેને સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મમાં ઘટાડીએ છીએ:
~ 
~ 
.
ફ્રી વેરીએબલ y 3 માટે આપણે y 3 = 1 સેટ કરીએ છીએ. પછી y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0, અને = (0, 1, 1, 0).
યુક્લિડિયન અવકાશમાં વેક્ટરનો ધોરણ બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
જો વેક્ટરનો ધોરણ 1 હોય તો તેને સામાન્યકૃત કહેવામાં આવે છે.
વેક્ટરને સામાન્ય બનાવવા માટે, તેને તેના ધોરણ દ્વારા વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે.
સામાન્યકૃત વેક્ટરની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમને ઓર્થોનોર્મલ કહેવામાં આવે છે.
વ્યાયામ 7.2. અવકાશના ઓર્થોનોર્મલ આધાર પર વેક્ટર્સની સિસ્ટમ પૂર્ણ કરો:
a) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);
b) = (1/3, -2/3, 2/3).
લીનિયર મેપિંગ્સ
U અને V ને F ક્ષેત્ર પર રેખીય જગ્યાઓ રહેવા દો. A મેપિંગ f: U ® V ને રેખીય જો અને કહેવાય છે.
ઉદાહરણ 8.1. ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના રેખીય પરિવર્તનો છે:
a) f(x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 – x 3, 0);
b) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).
ઉકેલ.
a) અમારી પાસે f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =
= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) – (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 – x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3 , 0) =
F((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3));
f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 – lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 – x 3 , 0) =
L f(x 1, x 2, x 3).
તેથી, પરિવર્તન રેખીય છે.
b) અમારી પાસે f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =
= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);
f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3 ) =
= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).
તેથી, પરિવર્તન રેખીય નથી.
રેખીય મેપિંગની છબી f: U ® V એ U માંથી વેક્ટરની છબીઓનો સમૂહ છે, એટલે કે
Im (f) = (f() ï О U). + … + a m1
વ્યાયામ 8.1. મેટ્રિક્સ દ્વારા આપવામાં આવેલ રેખીય મેપિંગ f ના રેન્ક, ખામી, છબીના પાયા અને કર્નલ શોધો:
એ) એ = ; b) એ = ; c) A = 
.
