મોડ્યુલઅથવા સંપૂર્ણ મૂલ્યવાસ્તવિક સંખ્યાને જ નંબર કહેવાય છે જો એક્સબિન-ઋણાત્મક, અને વિરોધી સંખ્યા, એટલે કે. -x જો એક્સનકારાત્મક:

દેખીતી રીતે, પરંતુ વ્યાખ્યા દ્વારા, |x| > 0. નિરપેક્ષ મૂલ્યોના નીચેના ગુણધર્મો જાણીતા છે:

1) xy| = |dg| |g/1;
2>- -H;

યુખાતે

3) |x+r/|
4) |dt-g/|

બે સંખ્યાઓના તફાવતનું મોડ્યુલસ એક્સ - એ| બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે એક્સઅને એનંબર લાઇન પર (કોઈપણ માટે એક્સઅને એ).

તે આનાથી અનુસરે છે, ખાસ કરીને, અસમાનતાના ઉકેલો એક્સ - એ 0) બધા પોઈન્ટ છે એક્સઅંતરાલ (એ- g, a + c), એટલે કે અસમાનતાને સંતોષતી સંખ્યાઓ a-d + જી.

આ અંતરાલ (એ- 8, એ+ d) બિંદુની 8-પડોશી કહેવાય છે એ.

કાર્યોના મૂળભૂત ગુણધર્મો

આપણે પહેલેથી જ કહ્યું છે તેમ, ગણિતમાં તમામ જથ્થાઓને સ્થિરાંકો અને ચલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. સતત મૂલ્યસમાન મૂલ્ય જાળવી રાખતો જથ્થો કહેવાય છે.

ચલ મૂલ્યએક એવો જથ્થો છે જે વિવિધ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો લઈ શકે છે.

વ્યાખ્યા 10.8. ચલ મૂલ્ય ખાતેકહેવાય છે કાર્યચલ મૂલ્ય xમાંથી, જો, અમુક નિયમ મુજબ, દરેક મૂલ્ય x e એક્સચોક્કસ મૂલ્ય અસાઇન કર્યું ખાતે e યુ; સ્વતંત્ર ચલ x સામાન્ય રીતે દલીલ અને પ્રદેશ કહેવાય છે એક્સતેના ફેરફારોને કાર્યની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે.

હકીકત એ છે કે ખાતેત્યાં એક ફંક્શન ઓટીએક્સ છે, જે મોટે ભાગે પ્રતીકાત્મક રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: ખાતે= /(x).

કાર્યોને સ્પષ્ટ કરવાની ઘણી રીતો છે. મુખ્યને ત્રણ ગણવામાં આવે છે: વિશ્લેષણાત્મક, ટેબ્યુલર અને ગ્રાફિકલ.

વિશ્લેષણાત્મકમાર્ગ આ પદ્ધતિમાં દલીલ (સ્વતંત્ર ચલ) અને ફોર્મ્યુલા (અથવા સૂત્રો) ના રૂપમાં કાર્ય વચ્ચેના સંબંધને સ્પષ્ટ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્ય રીતે f(x) એ અમુક વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ છે જેમાં x હોય છે. આ કિસ્સામાં, ફંક્શનને સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હોવાનું કહેવાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ખાતે= 2x + 1, ખાતે= tgx, વગેરે.

ટેબ્યુલરફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની રીત એ છે કે ફંક્શન એ દલીલ x ની કિંમતો અને ફંક્શન /(.r) ના અનુરૂપ મૂલ્યો ધરાવતા કોષ્ટક દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણોમાં ચોક્કસ સમયગાળા માટેના ગુનાઓની સંખ્યાના કોષ્ટકો, પ્રાયોગિક માપનના કોષ્ટકો અને લઘુગણકનું કોષ્ટક શામેલ છે.

ગ્રાફિકમાર્ગ પ્લેન પર કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સની સિસ્ટમ આપવા દો xOy.કાર્યનું ભૌમિતિક અર્થઘટન નીચેના પર આધારિત છે.

વ્યાખ્યા 10.9. સમયપત્રકફંક્શનને પ્લેનના બિંદુઓના ભૌમિતિક સ્થાન, કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y)જે શરતને સંતોષે છે: U-Ah).

ફંક્શનને ગ્રાફિકલી આપવામાં આવે તેમ કહેવાય છે જો તેનો ગ્રાફ દોરવામાં આવે. રેકોર્ડિંગ સાધનોનો ઉપયોગ કરીને પ્રાયોગિક માપનમાં ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

તમારી આંખો સમક્ષ ફંક્શનનો વિઝ્યુઅલ ગ્રાફ રાખવાથી, તેના ઘણા ગુણધર્મોની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ નથી, જે ગ્રાફને કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટે અનિવાર્ય સાધન બનાવે છે. તેથી, ગ્રાફનું કાવતરું બનાવવું એ કાર્યના અભ્યાસનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ (સામાન્ય રીતે અંતિમ) ભાગ છે.

દરેક પદ્ધતિમાં તેના ફાયદા અને ગેરફાયદા બંને છે. આમ, ગ્રાફિક પદ્ધતિના ફાયદાઓમાં તેની સ્પષ્ટતા શામેલ છે, અને ગેરફાયદામાં તેની અચોક્કસતા અને મર્યાદિત રજૂઆતનો સમાવેશ થાય છે.

ચાલો હવે ફંક્શનના મૂળભૂત ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

સમ અને વિષમ.કાર્ય y = f(x)કહેવાય છે સમ,જો કોઈના માટે એક્સશરત પૂરી થાય છે f(-x) = f(x).જો માટે એક્સવ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી શરત /(-x) = -/(x) સંતુષ્ટ છે, પછી કાર્ય કહેવામાં આવે છે વિચિત્રજે ફંક્શન સમ કે વિષમ ન હોય તેને ફંક્શન કહેવાય છે સામાન્ય દેખાવ.

1) y = x 2એક સમાન કાર્ય છે, ત્યારથી f(-x) = (-x) 2 = x 2,એટલે કે/(-x) =/(.r);
2) y = x 3 - એક વિચિત્ર કાર્ય, કારણ કે (-x) 3 = -x 3, t.s. /(-x) = -/(x);
3) y = x 2 + x એ સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય છે. અહીં /(x) = x 2 + x, /(-x) = (-x) 2 +
(-x) = x 2 - x,/(-x) */(x);/(-x) -/"/(-x).

સમ કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે ઓહ,અને વિષમ કાર્યનો ગ્રાફ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે.

મોનોટોન. કાર્ય ખાતે=/(x) કહેવાય છે વધારોવચ્ચે X,જો કોઈ x માટે, x 2 e એક્સઅસમાનતા x 2 > x માંથી, તે /(x 2) > /(x,) ને અનુસરે છે. કાર્ય ખાતે=/(x) કહેવાય છે ઘટતું,જો x 2 > x હોય, તો તે /(x 2) (x,) ને અનુસરે છે.

કાર્ય કહેવાય છે એકવિધવચ્ચે X,જો તે કાં તો આ સમગ્ર અંતરાલ પર વધે છે અથવા તેના પર ઘટે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય y = x 2 (-°°; 0) થી ઘટે છે અને (0; +°°) વધે છે.

નોંધ કરો કે અમે ફંક્શનની વ્યાખ્યા આપી છે જે કડક અર્થમાં મોનોટોનિક છે. સામાન્ય રીતે, એકવિધ કાર્યોમાં બિન-ઘટતા કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. જેમ કે જેના માટે x 2 > x, તે અનુસરે છે/(x 2) >/(x,), અને બિન-વધતા કાર્યો, એટલે કે. જેમ કે જેના માટે x 2 > x માંથી, તે અનુસરે છે/(x 2)

મર્યાદા. કાર્ય ખાતે=/(x) કહેવાય છે મર્યાદિતવચ્ચે X,જો આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છે M > 0, જે |/(x)| કોઈપણ x e માટે M એક્સ.

ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય ખાતે =-

સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર બંધાયેલ છે, તેથી

સામયિકતા. કાર્ય ખાતે = f(x)કહેવાય છે સામયિક, જો આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છે ટી^ ઓહ શું f(x + T = f(x)દરેક માટે એક્સફંક્શનના ડોમેનમાંથી.

આ કિસ્સામાં ટીકાર્યનો સમયગાળો કહેવાય છે. દેખીતી રીતે, જો ટી -કાર્યનો સમયગાળો y = f(x),પછી આ કાર્યનો સમયગાળો પણ 2Г, 3 છે ટીવગેરે તેથી, કાર્યના સમયગાળાને સામાન્ય રીતે સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો કહેવામાં આવે છે (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો). ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન / = cos.g નો સમયગાળો છે ટી = 2p,અને કાર્ય y = tg Zx -સમયગાળો p/3.

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને આ કાર્યમાં રસ હોય, તો કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

લક્ષ્યો:

સાધનો: પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન, પર્સનલ કમ્પ્યુટર, મલ્ટીમીડિયા પ્રેઝન્ટેશન

પાઠ પ્રગતિ

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

2. વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરવું.

2.1. હોમવર્ક વિશે વિદ્યાર્થીઓના પ્રશ્નોના જવાબ આપો.

2.2. ક્રોસવર્ડ પઝલ ઉકેલો (સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીનું પુનરાવર્તન) (સ્લાઇડ 2):

કંઈક વ્યક્ત કરતા ગાણિતિક પ્રતીકોનું સંયોજન

નિવેદન ( ફોર્મ્યુલા.)
અનંત દશાંશ બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક. ( અતાર્કિકસંખ્યાઓ)

અંક અથવા અંકોનો સમૂહ અનંત દશાંશમાં પુનરાવર્તિત થાય છે. ( સમયગાળો.)

વસ્તુઓની ગણતરી કરવા માટે વપરાતી સંખ્યાઓ. ( કુદરતીસંખ્યાઓ.)

અનંત દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંક. (તર્કસંગતસંખ્યાઓ .)

તર્કસંગત સંખ્યાઓ + અતાર્કિક સંખ્યાઓ = ?સંખ્યાઓ .)

(માન્ય - ક્રોસવર્ડ પઝલ ઉકેલ્યા પછી, હાઇલાઇટ કરેલી ઊભી કૉલમમાં આજના પાઠના વિષયનું નામ વાંચો.

(સ્લાઇડ્સ 3, 4)

3. નવા વિષયની સમજૂતી. 3.1. – મિત્રો, તમે મોડ્યુલના ખ્યાલને પહેલાથી જ મળ્યા છો, તમે નોટેશનનો ઉપયોગ કર્યો છે | a

| . પહેલાં, અમે ફક્ત તર્કસંગત સંખ્યાઓ વિશે વાત કરતા હતા. હવે આપણે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે મોડ્યુલસનો ખ્યાલ રજૂ કરવાની જરૂર છે.

દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા સંખ્યા રેખા પરના એક બિંદુને અનુલક્ષે છે, અને તેનાથી વિપરીત, સંખ્યા રેખા પરનો દરેક બિંદુ એક વાસ્તવિક સંખ્યાને અનુલક્ષે છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓના તમામ મૂળભૂત ગુણધર્મો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સાચવેલ છે. વાસ્તવિક સંખ્યાના મોડ્યુલસની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી છે.

(સ્લાઇડ 5). વ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ x વ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ| = વ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસઆ નંબર પર જ કૉલ કરો: | એક્સ; નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ વ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ| = – વ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ .

– વિરુદ્ધ નંબર પર કૉલ કરો: |

તમારી નોટબુકમાં પાઠનો વિષય અને મોડ્યુલની વ્યાખ્યા લખો: વ્યવહારમાં, વિવિધમોડ્યુલ ગુણધર્મો , ઉદાહરણ તરીકે. :

(સ્લાઇડ 6) મોડ્યુલની વ્યાખ્યા, ગુણધર્મો લાગુ કરવા માટે મૌખિક રીતે નંબર 16.3 (a, b) – 16.5 (a, b) પૂર્ણ કરો. .

(સ્લાઇડ 7) એક્સ 3.4. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસગણતરી કરી શકાય છે | | = |વ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ| .

, એટલે કે આપણે કાર્ય વિશે વાત કરી શકીએ છીએ y = |વ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ| કાર્ય 1. ગ્રાફ બનાવો અને ફંક્શનના ગુણધર્મોની સૂચિ બનાવો