રેખીય ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને તેમના ઉકેલો માટે અસમાનતા. ચતુર્ભુજ અસમાનતા

અંતરાલોની પદ્ધતિને યોગ્ય રીતે અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સાર્વત્રિક પદ્ધતિ ગણવામાં આવે છે. એક ચલમાં ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવો સૌથી સરળ છે. આ સામગ્રીમાં આપણે ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાના તમામ પાસાઓને ધ્યાનમાં લઈશું. સામગ્રીના એસિમિલેશનને સરળ બનાવવા માટે, અમે જટિલતાના વિવિધ ડિગ્રીના ઉદાહરણોની મોટી સંખ્યામાં વિચારણા કરીશું.

Yandex.RTB R-A-339285-1

અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે અલ્ગોરિધમ

ચાલો અનુકૂલિત સંસ્કરણમાં અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીએ, જે ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે યોગ્ય છે. તે અંતરાલ પદ્ધતિનું આ સંસ્કરણ છે જેનો વિદ્યાર્થીઓને બીજગણિત પાઠોમાં પરિચય આપવામાં આવે છે. ચાલો કાર્યને પણ જટિલ ન કરીએ.

ચાલો અલ્ગોરિધમ પર જ આગળ વધીએ.

આપણી પાસે ચતુર્ભુજની અસમાનતાની ડાબી બાજુએથી એક · x 2 + b · x + c છે. આપણે આ ત્રિનોમીના શૂન્ય શોધીએ છીએ.

સંકલન પ્રણાલીમાં આપણે સંકલન રેખા દર્શાવીએ છીએ. અમે તેના પર મૂળને ચિહ્નિત કરીએ છીએ. સગવડ માટે, અમે કડક અને બિન-કડક અસમાનતાઓ માટે પોઈન્ટ નોંધવાની વિવિધ રીતો રજૂ કરી શકીએ છીએ. ચાલો સંમત થઈએ કે કડક અસમાનતા ઉકેલતી વખતે કોઓર્ડિનેટ્સને ચિહ્નિત કરવા માટે અમે "ખાલી" બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીશું, અને બિન-કડક મુદ્દાઓને ચિહ્નિત કરવા માટે સામાન્ય બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીશું. બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીને, આપણે સંકલન અક્ષ પર ઘણા અંતરાલો મેળવીએ છીએ.

જો પ્રથમ પગલા પર આપણને શૂન્ય મળ્યું, તો પછી આપણે દરેક પરિણામી અંતરાલો માટે ત્રિનોમીના મૂલ્યોના ચિહ્નો નક્કી કરીએ છીએ. જો આપણને શૂન્ય પ્રાપ્ત ન થાય, તો અમે આ ક્રિયા સમગ્ર સંખ્યા રેખા માટે કરીએ છીએ. અમે "+" અથવા "-" ચિહ્નો સાથે અંતરને ચિહ્નિત કરીએ છીએ.

વધુમાં, અમે એવા કિસ્સાઓમાં શેડિંગ રજૂ કરીશું કે જ્યાં અમે ચિહ્નો > અથવા ≥ અને સાથે અસમાનતા ઉકેલીએ છીએ< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».

ત્રિનોમીના મૂલ્યોના ચિહ્નોને નોંધીને અને સેગમેન્ટ્સ પર શેડિંગ લાગુ કરીને, અમે ચોક્કસ સંખ્યાત્મક સમૂહની ભૌમિતિક છબી મેળવીએ છીએ, જે વાસ્તવમાં અસમાનતાનો ઉકેલ છે. આપણે ફક્ત જવાબ લખવાનો છે.

ચાલો આપણે અલ્ગોરિધમના ત્રીજા પગલા પર વધુ વિગતમાં રહીએ, જેમાં ગેપનું ચિહ્ન નક્કી કરવું શામેલ છે. ચિહ્નો વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ઘણા અભિગમો છે. ચાલો તેમને ક્રમમાં જોઈએ, સૌથી સચોટ સાથે શરૂ કરીને, જો કે સૌથી ઝડપી નથી. આ પદ્ધતિમાં પરિણામી અંતરાલોમાં કેટલાક બિંદુઓ પર ત્રિપદીના મૂલ્યોની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે.

ઉદાહરણ 1

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ત્રિકોણીય x 2 + 4 · x − 5 લઈએ.

આ ત્રિનોમી 1 અને - 5 ના મૂળ સંકલન અક્ષને ત્રણ અંતરાલો (− ∞, − 5), (− 5, 1) અને (1, + ∞) માં વિભાજીત કરે છે.

ચાલો અંતરાલ (1, + ∞) થી શરૂ કરીએ. અમારા કાર્યને સરળ બનાવવા માટે, ચાલો x = 2 લઈએ. આપણને 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7 મળે છે.

7 એ ધન સંખ્યા છે. આનો અર્થ એ છે કે અંતરાલ (1, + ∞) પરના આ ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીના મૂલ્યો હકારાત્મક છે અને "+" ચિહ્ન દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે.

અંતરાલ (− 5, 1) ની નિશાની નક્કી કરવા માટે આપણે x = 0 લઈએ છીએ. અમારી પાસે 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 છે. અંતરાલની ઉપર "-" ચિહ્ન મૂકો.

અંતરાલ (− ∞, − 5) માટે આપણે x = −6 લઈએ છીએ, આપણને (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7 મળે છે. અમે આ અંતરાલને “+” ચિહ્ન વડે ચિહ્નિત કરીએ છીએ.

તમે નીચેના તથ્યોને ધ્યાનમાં લઈને ચિહ્નોને વધુ ઝડપથી ઓળખી શકો છો.

સકારાત્મક ભેદભાવ સાથે, બે મૂળ સાથેનો ચોરસ ત્રિનોમીલ અંતરાલો પર તેના મૂલ્યોના ચિહ્નોનો ફેરબદલ આપે છે જેમાં સંખ્યા રેખા આ ત્રિનોમીના મૂળ દ્વારા વિભાજિત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે દરેક અંતરાલ માટે સંકેતોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર નથી. ફેરબદલના સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લેતા, એક માટે ગણતરીઓ હાથ ધરવા અને બાકીના માટે સંકેતો મૂકવા માટે તે પૂરતું છે.

જો ઇચ્છિત હોય, તો તમે અગ્રણી ગુણાંકના મૂલ્યના આધારે ચિહ્નો વિશે તારણો દોરીને ગણતરીઓ વિના કરી શકો છો. જો a > 0 હોય, તો આપણને +, −, +, અને જો a નો ક્રમ મળે છે< 0 – то − , + , − .

એક મૂળ સાથે ચતુર્ભુજ ત્રિપદીઓ માટે, જ્યારે ભેદભાવ શૂન્ય હોય, ત્યારે આપણને સમાન ચિહ્નો સાથે સંકલન અક્ષ પર બે અંતરાલ મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે એક અંતરાલ માટે ચિહ્ન નક્કી કરીએ છીએ અને બીજા માટે તે જ સેટ કરીએ છીએ.

અહીં આપણે ગુણાંક a ના મૂલ્યના આધારે ચિહ્ન નક્કી કરવાની પદ્ધતિ પણ લાગુ કરીએ છીએ: જો a > 0, તો તે +, +, અને જો a< 0 , то − , − .

જો ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું કોઈ મૂળ ન હોય, તો સમગ્ર સંકલન રેખા માટે તેના મૂલ્યોના ચિહ્નો અગ્રણી ગુણાંક a ના ચિહ્ન અને મુક્ત શબ્દ c ના ચિહ્ન બંને સાથે મેળ ખાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી − 4 x 2 − 7 લઈએ, તો તેનું કોઈ મૂળ નથી (તેનો ભેદભાવ નકારાત્મક છે). x 2 નો ગુણાંક નકારાત્મક − 4 છે, અને વિક્ષેપ − 7 પણ નકારાત્મક છે. આનો અર્થ એ છે કે અંતરાલ (− ∞, + ∞) પર તેના મૂલ્યો નકારાત્મક છે.

ચાલો ઉપર ચર્ચા કરેલ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને ઉકેલવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 2

અસમાનતા 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0 ઉકેલો.

ઉકેલ

અસમાનતાને ઉકેલવા માટે અમે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, ચાલો ત્રિકોણીય 8 x 2 − 4 x − 1 ના મૂળ શોધીએ. x નો ગુણાંક સમ છે તે હકીકતને કારણે, ભેદભાવની નહીં, પરંતુ ભેદભાવના ચોથા ભાગની ગણતરી કરવી આપણા માટે વધુ અનુકૂળ રહેશે: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .

ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં મોટો છે. આ આપણને ચોરસ ત્રિનોમીના બે મૂળ શોધવાની મંજૂરી આપે છે: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 અને x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . ચાલો આ મૂલ્યોને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ. સમીકરણ કડક ન હોવાથી, અમે ગ્રાફ પર સામાન્ય બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

હવે, અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે ત્રણ પરિણામી અંતરાલોનાં ચિહ્નો નક્કી કરીએ છીએ. x 2 નો ગુણાંક 8 ની બરાબર છે, એટલે કે, હકારાત્મક, તેથી, ચિહ્નોનો ક્રમ +, −, + હશે.

અમે ≥ ચિહ્ન વડે અસમાનતાને હલ કરી રહ્યા હોવાથી, અમે વત્તા ચિહ્નો સાથે અંતરાલો પર શેડિંગ દોરીએ છીએ:

ચાલો પરિણામી ગ્રાફિક ઈમેજમાંથી વિશ્લેષણાત્મક રીતે સંખ્યાત્મક સમૂહ લખીએ. અમે આ બે રીતે કરી શકીએ છીએ:

જવાબ:(- ∞; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) અથવા x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

ઉદાહરણ 3

ચતુર્ભુજ અસમાનતા - 1 7 x 2 + 2 x - 7 ઉકેલો< 0 методом интервалов.

ઉકેલ

પ્રથમ, ચાલો અસમાનતાની ડાબી બાજુએથી ચતુર્ભુજ ત્રિપદીના મૂળ શોધીએ:

D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

આ એક કડક અસમાનતા છે, તેથી અમે ગ્રાફ પર "ખાલી" બિંદુનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. સંકલન 7 સાથે.

હવે આપણે પરિણામી અંતરાલો (− ∞, 7) અને (7, + ∞) પરના ચિહ્નો નક્કી કરવાની જરૂર છે. ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનો ભેદભાવ શૂન્ય હોવાથી અને અગ્રણી ગુણાંક નકારાત્મક હોવાથી, અમે ચિહ્નો નીચે મુકીએ છીએ − , − :

કારણ કે આપણે ચિહ્ન વડે અસમાનતાને હલ કરી રહ્યા છીએ< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

આ કિસ્સામાં, ઉકેલો બંને અંતરાલો છે (− ∞ , 7), (7 , + ∞) .

જવાબ:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) અથવા અન્ય સંકેતમાં x ≠ 7 .

ઉદાહરણ 4

ચતુર્ભુજ અસમાનતા x 2 + x + 7 કરે છે< 0 решения?

ઉકેલ

ચાલો અસમાનતાની ડાબી બાજુએથી ચતુર્ભુજ ત્રિપદીના મૂળ શોધીએ. આ કરવા માટે, ચાલો ભેદભાવ શોધીએ: D = 1 2 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = − 27 . ભેદભાવ શૂન્ય કરતા ઓછો છે, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી.

ગ્રાફિક ઇમેજ તેના પર ચિહ્નિત બિંદુઓ વિના સંખ્યા રેખા જેવી દેખાશે.

ચાલો ચતુર્ભુજ ત્રિપદીના મૂલ્યોની નિશાની નક્કી કરીએ. ખાતે ડી< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

આ કિસ્સામાં, અમે "-" ચિહ્ન સાથે જગ્યાઓ પર શેડિંગ લાગુ કરી શકીએ છીએ. પરંતુ અમારી પાસે આવા અંતર નથી. તેથી, ચિત્ર આના જેવું લાગે છે:

ગણતરીઓના પરિણામે, અમને એક ખાલી સેટ મળ્યો. આનો અર્થ એ છે કે આ ચતુર્ભુજ અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી.

જવાબ:ના.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

પ્રાચીન કાળથી વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે જથ્થા અને જથ્થાની તુલના કરવી જરૂરી છે. તે જ સમયે, વધુ અને ઓછા, ઉચ્ચ અને નીચલા, હળવા અને ભારે, શાંત અને મોટેથી, સસ્તું અને વધુ ખર્ચાળ, વગેરે જેવા શબ્દો દેખાયા, જે સજાતીય જથ્થાની તુલનાના પરિણામો સૂચવે છે.

વસ્તુઓની ગણતરી કરવા, માપવા અને જથ્થાની તુલના કરવાના સંબંધમાં વધુ અને ઓછા ખ્યાલો ઉદ્ભવ્યા. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાચીન ગ્રીસના ગણિતશાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા કે કોઈપણ ત્રિકોણની બાજુ અન્ય બે બાજુઓના સરવાળા કરતા ઓછી હોય છે અને ત્રિકોણમાં મોટા કોણની સામે મોટી બાજુ હોય છે. આર્કિમિડીઝ, પરિઘની ગણતરી કરતી વખતે, સ્થાપિત કરે છે કે કોઈપણ વર્તુળની પરિમિતિ વ્યાસના સાતમા ભાગ કરતાં ઓછી હોય છે, પરંતુ વ્યાસના દસ સિત્તેર ગણા કરતાં વધુ હોય છે.

ચિહ્નો > અને b નો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ અને જથ્થા વચ્ચે સાંકેતિક રીતે સંબંધ લખો. રેકોર્ડ જેમાં બે સંખ્યાઓ એક ચિહ્નો દ્વારા જોડાયેલ છે: > (તેના કરતાં વધુ), તમે નીચલા ગ્રેડમાં સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓનો પણ સામનો કર્યો. તમે જાણો છો કે અસમાનતાઓ સાચી હોઈ શકે છે, અથવા તે ખોટી હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) એ સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા છે, 0.23 > 0.235 એ ખોટી સંખ્યાત્મક અસમાનતા છે.

અજ્ઞાત સાથે સંકળાયેલી અસમાનતાઓ અજ્ઞાતના કેટલાક મૂલ્યો માટે સાચી અને અન્ય માટે ખોટી હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા 2x+1>5 એ x = 3 માટે સાચી છે, પરંતુ x = -3 માટે ખોટી છે. એક અજાણ્યા સાથે અસમાનતા માટે, તમે કાર્ય સેટ કરી શકો છો: અસમાનતાને હલ કરો. વ્યવહારમાં, સમીકરણો ઉકેલવાની સમસ્યાઓ કરતાં ઓછી વાર અસમાનતાઓને ઉકેલવાની સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે અને ઉકેલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણી આર્થિક સમસ્યાઓ રેખીય અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓના અભ્યાસ અને ઉકેલ માટે નીચે આવે છે. ગણિતની ઘણી શાખાઓમાં, સમીકરણો કરતાં અસમાનતાઓ વધુ સામાન્ય છે.

કેટલીક અસમાનતાઓ ચોક્કસ પદાર્થના અસ્તિત્વને સાબિત કરવા અથવા તેને સાબિત કરવાના એકમાત્ર સહાયક માધ્યમ તરીકે સેવા આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણનું મૂળ.

સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ

તમે પૂર્ણ સંખ્યાઓ અને દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરી શકો છો. સમાન છેદ સાથે પરંતુ વિવિધ અંશ સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંકની તુલના કરવાના નિયમો જાણો; સમાન અંશ સાથે પરંતુ વિવિધ છેદ સાથે. અહીં તમે શીખી શકશો કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓની તેમના તફાવતની નિશાની શોધીને તેની તુલના કેવી રીતે કરવી.

વ્યવહારમાં સંખ્યાઓની સરખામણીનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અર્થશાસ્ત્રી આયોજિત સૂચકાંકોને વાસ્તવિક સાથે સરખાવે છે, ડૉક્ટર દર્દીના તાપમાનને સામાન્ય સાથે સરખાવે છે, ટર્નર મશીનવાળા ભાગના પરિમાણોને પ્રમાણભૂત સાથે સરખાવે છે. આવા તમામ કિસ્સાઓમાં, કેટલીક સંખ્યાઓની સરખામણી કરવામાં આવે છે. સંખ્યાઓની સરખામણીના પરિણામે, સંખ્યાત્મક અસમાનતા ઊભી થાય છે.

વ્યાખ્યા.જો તફાવત a-b ધન હોય તો સંખ્યા b સંખ્યા કરતાં મોટી છે. જો તફાવત a-b નકારાત્મક હોય તો સંખ્યા b સંખ્યા કરતાં ઓછી છે.

જો a b કરતા મોટો હોય, તો તેઓ લખે છે: a > b; જો a એ b કરતાં ઓછું હોય, તો તેઓ લખે છે: a આમ, અસમાનતા a > b નો અર્થ એ છે કે તફાવત a - b હકારાત્મક છે, એટલે કે. a - b > 0. અસમાનતા a નીચેના ત્રણ સંબંધોમાંથી કોઈપણ બે સંખ્યાઓ a અને b માટે a > b, a = b, a a અને b સંખ્યાઓની સરખામણી કરવાનો અર્થ એ છે કે કયા સંકેતો >, = અથવા પ્રમેય.જો a > b અને b > c, તો a > c.

પ્રમેય.જો તમે અસમાનતાની બંને બાજુએ સમાન સંખ્યા ઉમેરશો, તો અસમાનતાની નિશાની બદલાશે નહીં.
પરિણામ.કોઈપણ શબ્દ અસમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજામાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, આ શબ્દના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલીને.

પ્રમેય.જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન હકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો અસમાનતાની નિશાની બદલાશે નહીં. જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો અસમાનતાનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાશે.
પરિણામ.જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન ધન સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવામાં આવે, તો અસમાનતાની નિશાની બદલાશે નહીં. જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન નકારાત્મક સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવામાં આવે, તો અસમાનતાનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાઈ જશે.

તમે જાણો છો કે સંખ્યાત્મક સમાનતા ઉમેરી શકાય છે અને ટર્મ દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે. આગળ, તમે અસમાનતા સાથે સમાન ક્રિયાઓ કેવી રીતે કરવી તે શીખીશું. અસમાનતા શબ્દને શબ્દ દ્વારા ઉમેરવા અને ગુણાકાર કરવાની ક્ષમતાનો ઉપયોગ વ્યવહારમાં વારંવાર થાય છે. આ ક્રિયાઓ અભિવ્યક્તિના અર્થોનું મૂલ્યાંકન અને તુલના કરવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં મદદ કરે છે.

વિવિધ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, ઘણીવાર અસમાનતા શબ્દની ડાબી અને જમણી બાજુઓને શબ્દ દ્વારા ઉમેરવા અથવા ગુણાકાર કરવાની જરૂર પડે છે. તે જ સમયે, એવું કહેવાય છે કે અસમાનતાઓ ઉમેરે છે અથવા ગુણાકાર કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ પ્રવાસી પહેલા દિવસે 20 કિમીથી વધુ અને બીજા દિવસે 25 કિમીથી વધુ ચાલ્યો હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે બે દિવસમાં તે 45 કિમીથી વધુ ચાલ્યો. તેવી જ રીતે, જો લંબચોરસની લંબાઈ 13 સેમીથી ઓછી હોય અને પહોળાઈ 5 સેમી કરતા ઓછી હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે આ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ 65 સેમી 2 કરતા ઓછું છે.

આ ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લેતા, નીચેનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો: અસમાનતાના ઉમેરા અને ગુણાકાર પરના પ્રમેય:

પ્રમેય.સમાન ચિહ્નની અસમાનતા ઉમેરતી વખતે, સમાન ચિહ્નની અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે: જો a > b અને c > d, તો a + c > b + d.

પ્રમેય.જ્યારે સમાન ચિહ્નની અસમાનતાઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે, જેની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ધન છે, સમાન ચિહ્નની અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે: જો a > b, c > d અને a, b, c, d ધન સંખ્યાઓ હોય, તો ac > bd.

ચિહ્ન સાથેની અસમાનતાઓ > (તેના કરતાં વધુ) અને 1/2, 3/4 b, c કડક અસમાનતાના ચિહ્નો સાથે > અને તે જ રીતે, અસમાનતા \(a \geq b \) નો અર્થ એ છે કે સંખ્યા a છે b કરતાં વધુ અથવા બરાબર, એટલે કે .અને b ઓછું નહીં.

\(\geq \) ચિહ્ન અથવા \(\leq \) ચિહ્ન ધરાવતી અસમાનતાને બિન-કડક કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) કડક અસમાનતા નથી.

કડક અસમાનતાના તમામ ગુણધર્મો બિન-કડક અસમાનતાઓ માટે પણ માન્ય છે. તદુપરાંત, જો સખત અસમાનતાઓ માટે > ચિહ્નો વિરુદ્ધ ગણવામાં આવે અને તમે જાણો છો કે સંખ્યાબંધ લાગુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તમારે સમીકરણ અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમના રૂપમાં ગાણિતિક મોડેલ બનાવવું પડશે. આગળ, તમે શીખી શકશો કે ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવા માટેના ગાણિતિક મોડેલો અજાણ્યાઓ સાથેની અસમાનતા છે. અસમાનતાને ઉકેલવાનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવશે અને આપેલ સંખ્યા ચોક્કસ અસમાનતાનો ઉકેલ છે કે કેમ તે કેવી રીતે ચકાસવું તે બતાવવામાં આવશે.

ફોર્મની અસમાનતા
\(ax > b, \quad ax જેમાં a અને b સંખ્યાઓ આપવામાં આવે છે, અને x એ અજ્ઞાત છે, તેને કહેવામાં આવે છે એક અજ્ઞાત સાથે રેખીય અસમાનતા.

વ્યાખ્યા.એક અજ્ઞાત સાથેની અસમાનતાનો ઉકેલ એ અજ્ઞાતનું મૂલ્ય છે જેના પર આ અસમાનતા સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા બની જાય છે. અસમાનતાને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલો શોધવા અથવા સ્થાપિત કરવું કે ત્યાં કોઈ નથી.

તમે સમીકરણોને સરળ સમીકરણોમાં ઘટાડીને ઉકેલ્યા. તેવી જ રીતે, અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે, વ્યક્તિ તેમને ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, સરળ અસમાનતાના સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરે છે.

એક ચલ સાથે બીજી ડિગ્રીની અસમાનતાઓને ઉકેલવી

ફોર્મની અસમાનતા
\(ax^2+bx+c >0 \) અને \(ax^2+bx+c જ્યાં x ચલ છે, a, b અને c અમુક સંખ્યાઓ છે અને \(a \neq 0 \), કહેવાય છે એક ચલ સાથે બીજી ડિગ્રીની અસમાનતા.

અસમાનતાનો ઉકેલ
\(ax^2+bx+c >0 \) અથવા \(ax^2+bx+c શોધવાના અંતરાલ તરીકે ગણી શકાય જેમાં કાર્ય \(y= ax^2+bx+c \) હકારાત્મક કે નકારાત્મક લે છે મૂલ્યો આ કરવા માટે, ફંક્શનનો ગ્રાફ \(y= ax^2+bx+c\) કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં કેવી રીતે સ્થિત છે તેનું વિશ્લેષણ કરવા માટે તે પૂરતું છે: જ્યાં પેરાબોલાની શાખાઓ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે - ઉપર અથવા નીચે, પછી ભલે પેરાબોલા x અક્ષને છેદે છે અને જો તે કરે છે, તો પછી કયા બિંદુઓ પર.

એક ચલ સાથે બીજી ડિગ્રીની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:
1) ત્રિનોમીના ચોરસ \(ax^2+bx+c\) ના ભેદભાવ શોધો અને ત્રિનોમીના મૂળ છે કે કેમ તે શોધો;
2) જો ત્રિનોમીના મૂળ હોય, તો તેને x-અક્ષ પર ચિહ્નિત કરો અને ચિહ્નિત બિંદુઓ દ્વારા યોજનાકીય પેરાબોલા દોરો, જેની શાખાઓ a > 0 માટે ઉપરની તરફ અથવા 0 માટે નીચે અથવા 3 માટે તળિયે નિર્દેશિત છે) x-અક્ષ પર અંતરાલો શોધો કે જેના માટે પોઈન્ટ પેરાબોલાસ x-અક્ષની ઉપર સ્થિત છે (જો તેઓ અસમાનતાને ઉકેલે \(ax^2+bx+c >0\)) અથવા x-અક્ષની નીચે (જો તેઓ હલ કરે છે અસમાનતા
\(ax^2+bx+c અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

કાર્યને ધ્યાનમાં લો
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

આ ફંક્શનનું ડોમેન એ બધી સંખ્યાઓનો સમૂહ છે. ફંક્શનના શૂન્ય એ સંખ્યાઓ છે -2, 3, 5. તેઓ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરે છે \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) અને \(5; +\infty)\)

ચાલો જોઈએ કે દરેક દર્શાવેલ અંતરાલોમાં આ કાર્યના ચિહ્નો શું છે.

અભિવ્યક્તિ (x + 2)(x - 3)(x - 5) એ ત્રણ પરિબળોનું ઉત્પાદન છે. વિચારણા હેઠળના અંતરાલોમાં આ દરેક પરિબળોની નિશાની કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:

સામાન્ય રીતે, ફંક્શનને સૂત્ર દ્વારા આપવા દો
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
જ્યાં x એ ચલ છે, અને x 1, x 2, ..., x n એ સંખ્યાઓ છે જે એકબીજાની સમાન નથી. સંખ્યાઓ x 1 , x 2 , ..., x n એ ફંક્શનના શૂન્ય છે. દરેક અંતરાલો જેમાં વ્યાખ્યાના ડોમેનને ફંક્શનના શૂન્ય દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ફંક્શનની નિશાની સાચવવામાં આવે છે, અને જ્યારે શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તેનું ચિહ્ન બદલાય છે.

આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ ફોર્મની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે થાય છે
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) જ્યાં x 1, x 2, ..., x n એ સંખ્યાઓ એકબીજાની સમાન નથી

પદ્ધતિ ગણવામાં આવે છે અસમાનતાઓને ઉકેલવાને અંતરાલ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવાના ઉદાહરણો આપીએ.

અસમાનતા ઉકેલો:

અમે સંખ્યા અક્ષ પર ફંક્શનના શૂન્યને કાવતરું કરીએ છીએ અને દરેક અંતરાલ પર ચિહ્નની ગણતરી કરીએ છીએ:

અમે એવા અંતરાલોને પસંદ કરીએ છીએ કે જેના પર ફંક્શન શૂન્ય કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોય અને જવાબ લખીએ.

જવાબ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

ચતુર્ભુજ અસમાનતાકહેવાય છે, જેને \(ax^2+bx+c\) \(⋁\) \(0\), જ્યાં \(a\),\(b\) અને \(c\) સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. કોઈપણ સંખ્યા છે (અને \(a≠0\)), \(x\) અજ્ઞાત છે, અને \(⋁\) કોઈપણ સરખામણી ચિહ્નો છે (\(>\),\(<\),\(≤\),\(≥\)).

સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, આવી અસમાનતાઓ જેવી દેખાય છે, પરંતુ સમાન ચિહ્નને બદલે.
ઉદાહરણો:

\(x^2+2x-3>0\)
\(3x^2-x≥0\)
\(2x+5)(x-1)≤5\)

ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓ કેવી રીતે હલ કરવી?

ચતુર્ભુજ અસમાનતા સામાન્ય રીતે ઉકેલવામાં આવે છે. નીચે શૂન્ય કરતાં વધુ ભેદભાવ સાથે ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ છે. શૂન્ય સમાન અથવા શૂન્ય કરતા ઓછા ભેદભાવ સાથે ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે અલગથી ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

ઉદાહરણ. ચતુર્ભુજ અસમાનતા ઉકેલો \(≥\) \(\frac(8)(15)\)
ઉકેલ:

\(\frac(x^2)(5)+\frac(2x)(3)\)\(≥\) \(\frac(8)(15)\)
\(D=100+4⋅3⋅8=196=14^2\) \(x_1=\frac(-10-14)(6)=-4\) \(x_2=\frac(-10+14)(6)=\frac(2)(3)\)		જ્યારે મૂળ મળી આવે છે, ત્યારે આપણે અસમાનતા લખીએ છીએ ફોર્મ
\(3(x+4)(x-\frac(2)(3))≥0\)		હવે ચાલો એક સંખ્યા રેખા દોરીએ, તેના પર મૂળને ચિહ્નિત કરીએ અને અંતરાલો પર ચિહ્નો મૂકીએ.
		અમને રસ હોય તેવા અંતરાલ લખીએ. અસમાનતાનું ચિહ્ન \(≥\) હોવાથી, અમને \(+\) ચિહ્ન સાથે અંતરાલની જરૂર છે, અને અમે મૂળનો જ જવાબમાં સમાવેશ કરીએ છીએ (આ બિંદુઓ પરના કૌંસ ચોરસ છે).

જવાબ આપો : \(x∈(-∞;-4]∪[ \frac(2)(3);∞)\)

નકારાત્મક અને શૂન્ય ભેદભાવ સાથે ચતુર્ભુજ અસમાનતા

ઉપરોક્ત અલ્ગોરિધમ ત્યારે કાર્ય કરે છે જ્યારે ભેદભાવ શૂન્ય કરતા વધારે હોય, એટલે કે, તેના મૂળ \(2\) હોય. અન્ય કિસ્સાઓમાં શું કરવું? ઉદાહરણ તરીકે, આ:

જો \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

એટલે કે, અભિવ્યક્તિ:
\(x^2+2x+9\) – કોઈપણ \(x\) માટે હકારાત્મક, કારણ કે \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - કોઈપણ \(x\) માટે નકારાત્મક, કારણ કે \(a=-1<0\)

જો \(D=0\), તો પછી એક મૂલ્ય \(x\) માટેનો ચતુર્ભુજ ત્રિકોણીય શૂન્ય બરાબર છે, અને અન્ય તમામ માટે તે અચળ ચિન્હ ધરાવે છે, જે ગુણાંક \(a\) ના ચિહ્ન સાથે એકરુપ છે.

એટલે કે, અભિવ્યક્તિ:
\(x^2+6x+9\) \(x=-3\) માટે શૂન્ય બરાબર છે અને અન્ય તમામ x માટે ધન છે, કારણ કે \(a=1>0\)
\(x^2-4x-4\) - \(x=-2\) માટે શૂન્ય બરાબર અને અન્ય તમામ માટે નકારાત્મક, કારણ કે \(a=-1<0\).

x ને કેવી રીતે શોધી શકાય કે જેના પર ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી શૂન્ય બરાબર છે? આપણે અનુરૂપ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવાની જરૂર છે.

આ માહિતી જોતાં, ચાલો ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને હલ કરીએ:

ચતુર્ભુજ અસમાનતા – “ફ્રોમ અને ટુ”.આ લેખમાં આપણે ચતુર્ભુજ અસમાનતાના ઉકેલને જોઈશું, જેમ કે તેઓ કહે છે, સૂક્ષ્મતા સુધી. હું કંઈપણ ગુમાવ્યા વિના લેખમાંની સામગ્રીનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરવાની ભલામણ કરું છું. તમે તરત જ લેખમાં નિપુણતા મેળવી શકશો નહીં, હું તેને ઘણા અભિગમોમાં કરવાની ભલામણ કરું છું, ત્યાં ઘણી બધી માહિતી છે.

સામગ્રી:

પરિચય. મહત્વપૂર્ણ!

પરિચય. મહત્વપૂર્ણ!

ચતુર્ભુજ અસમાનતા એ સ્વરૂપની અસમાનતા છે:

જો તમે ચતુર્ભુજ સમીકરણ લો અને ઉપરના કોઈપણ સાથે સમાન ચિહ્નને બદલો, તો તમને ચતુર્ભુજ અસમાનતા મળશે. અસમાનતાને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે આ અસમાનતા x ના કયા મૂલ્યો સાચા હશે તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવો. ઉદાહરણો:

10 x 2 – 6 x+12 ≤ 0

2 x 2 + 5 x –500 > 0

– 15 x 2 – 2 x+13 > 0

8 x 2 – 15 x+45≠ 0

ચતુર્ભુજ અસમાનતા સ્પષ્ટ રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે:

10 x 2 – 6 x+14 x 2 –5 x +2≤ 56

2 x 2 > 36

8 x 2 <–15 x 2 – 2 x+13

0> – 15 x 2 – 2 x+13

આ કિસ્સામાં, બીજગણિત પરિવર્તન કરવું અને તેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવું જરૂરી છે (1).

*ગુણાંકો અપૂર્ણાંક અને અતાર્કિક હોઈ શકે છે, પરંતુ આવા ઉદાહરણો શાળાના અભ્યાસક્રમમાં દુર્લભ છે, અને યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોમાં બિલકુલ જોવા મળતા નથી. પરંતુ ગભરાશો નહીં જો, ઉદાહરણ તરીકે, તમે આવો છો:

આ પણ એક ચતુર્ભુજ અસમાનતા છે.

પ્રથમ, ચાલો એક સરળ સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીએ કે જેમાં ચતુર્ભુજ કાર્ય શું છે અને તેનો ગ્રાફ સંકલન અક્ષોની તુલનામાં સંકલન પ્લેન પર કેવો દેખાય છે તે સમજવાની જરૂર નથી. જો તમે માહિતીને નિશ્ચિતપણે અને લાંબા સમય સુધી યાદ રાખવામાં સક્ષમ છો, અને તેને નિયમિતપણે પ્રેક્ટિસ સાથે મજબૂત કરો છો, તો અલ્ગોરિધમ તમને મદદ કરશે. ઉપરાંત, જો, જેમ તેઓ કહે છે, તમારે આવી અસમાનતાને "એક જ સમયે" હલ ​​કરવાની જરૂર છે, તો અલ્ગોરિધમ તમને મદદ કરશે. તેને અનુસરીને, તમે ઉકેલને સરળતાથી અમલમાં મૂકશો.

જો તમે શાળામાં અભ્યાસ કરી રહ્યાં છો, તો હું ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું કે તમે બીજા ભાગથી લેખનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરો, જે ઉકેલનો સંપૂર્ણ અર્થ જણાવે છે (બિંદુથી નીચે જુઓ -). જો તમે સારને સમજો છો, તો પછી સ્પષ્ટ કરેલ અલ્ગોરિધમ શીખવાની અથવા યાદ રાખવાની જરૂર રહેશે નહીં, તમે કોઈપણ ચતુર્ભુજ અસમાનતાને સરળતાથી હલ કરી શકો છો.

અલબત્ત, મારે તરત જ ચતુર્ભુજ ફંક્શનના ગ્રાફ અને અર્થની સમજૂતી સાથે સમજૂતી શરૂ કરવી જોઈતી હતી, પરંતુ મેં લેખને આ રીતે "રચના" કરવાનું નક્કી કર્યું.

બીજો સૈદ્ધાંતિક મુદ્દો! ચતુર્ભુજ ત્રિપદીના પરિબળ માટે સૂત્ર જુઓ:

જ્યાં x 1 અને x 2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 ના મૂળ છે+ bx+c=0

*ચતુર્ભુજ અસમાનતાને ઉકેલવા માટે, ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું પરિબળ બનાવવું જરૂરી રહેશે.

નીચે પ્રસ્તુત અલ્ગોરિધમને અંતરાલ પદ્ધતિ પણ કહેવામાં આવે છે. તે ફોર્મની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે યોગ્ય છે f(x)>0, f(x)<0 , f(x)≥0 અનેf(x)≤0 . મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બે કરતાં વધુ ગુણક હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0

ઉકેલ અલ્ગોરિધમનો. અંતરાલ પદ્ધતિ. ઉદાહરણો.

અસમાનતા આપી કુહાડી 2 + bx+ c > 0 (કોઈપણ ચિહ્ન).

1. ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખો કુહાડી 2 + bx+ c = 0 અને તેને હલ કરો. અમને મળે છે x 1 અને x 2- ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ.

2. ગુણાંકને સૂત્રમાં બદલો (2) a અને મૂળ. :

a(x – x 1 )(x – x 2)>0

3. સંખ્યા રેખા પર અંતરાલો વ્યાખ્યાયિત કરો (સમીકરણના મૂળ સંખ્યા રેખાને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે):

4. અભિવ્યક્તિમાં દરેક પરિણામી અંતરાલમાંથી મનસ્વી "x" મૂલ્યને બદલીને અંતરાલો (+ અથવા –) પર "ચિહ્નો" નક્કી કરો:

a(x – x 1 )(x – x2)

અને તેમને ઉજવો.

5. જે બાકી રહે છે તે અંતરાલો લખવાનું છે જે આપણને રુચિ આપે છે, તે ચિહ્નિત થયેલ છે:

- જો અસમાનતામાં “>0” અથવા “≥0” હોય તો “+” ચિહ્ન સાથે.

- જો અસમાનતા શામેલ હોય તો "-" પર સહી કરો<0» или «≤0».

ધ્યાન આપો !!! અસમાનતાના ચિહ્નો આ હોઈ શકે છે:

કડક - આ છે ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

આ નિર્ણયના પરિણામને કેવી રીતે અસર કરે છે?

સખત અસમાનતા ચિહ્નો સાથે, અંતરાલની સીમાઓ ઉકેલમાં શામેલ નથી, જ્યારે જવાબમાં અંતરાલ પોતે ફોર્મમાં લખાયેલ છે ( x 1 ; x 2 ) - રાઉન્ડ કૌંસ.

નબળા અસમાનતા ચિહ્નો માટે, અંતરાલની સીમાઓ ઉકેલમાં શામેલ છે, અને જવાબ ફોર્મમાં લખવામાં આવે છે [ x 1 ; x 2 ] – ચોરસ કૌંસ.

*આ માત્ર ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને જ લાગુ પડતું નથી. ચોરસ કૌંસનો અર્થ એ છે કે અંતરાલ સીમા પોતે ઉકેલમાં શામેલ છે.

તમે આ ઉદાહરણોમાં જોશો. ચાલો આ વિશેના તમામ પ્રશ્નોને સ્પષ્ટ કરવા માટે થોડા જોઈએ. સિદ્ધાંતમાં, અલ્ગોરિધમ કંઈક અંશે જટિલ લાગે છે, પરંતુ વાસ્તવમાં બધું સરળ છે.

ઉદાહરણ 1: ઉકેલો x 2 – 60 x+500 ≤ 0

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું x 2 –60 x+500=0

ડી = b 2 –4 એસી = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

મૂળ શોધવું:

ગુણાંકને બદલો a

x 2 –60 x+500 = (x–50)(x–10)

અમે ફોર્મમાં અસમાનતા લખીએ છીએ (x–50)(x–10) ≤ 0

સમીકરણના મૂળ સંખ્યા રેખાને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે. ચાલો તેમને નંબર લાઇન પર બતાવીએ:

અમને ત્રણ અંતરાલ (–∞;10), (10;50) અને (50;+∞) મળ્યાં છે.

અમે અંતરાલો પર "ચિહ્નો" નક્કી કરીએ છીએ; અમે દરેક પરિણામી અંતરાલના મનસ્વી મૂલ્યોને અભિવ્યક્તિ (x–50)(x–10) માં બદલીને કરીએ છીએ અને સાઇન ઇન માટે પરિણામી "સાઇન" ના પત્રવ્યવહારને જોઈએ છીએ. અસમાનતા (x–50)(x–10) ≤ 0:

x=2 (x–50)(x–10) પર = 384 > 0 ખોટું

x=20 (x–50)(x–10) પર = –300 < 0 верно

x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 પર ખોટું

ઉકેલ અંતરાલ હશે.

આ અંતરાલમાંથી x ના તમામ મૂલ્યો માટે અસમાનતા સાચી હશે.

*નોંધ કરો કે અમે ચોરસ કૌંસનો સમાવેશ કર્યો છે.

x = 10 અને x = 50 માટે, અસમાનતા પણ સાચી હશે, એટલે કે, સીમાઓ ઉકેલમાં સમાવવામાં આવેલ છે.

જવાબ: x∊

ફરીથી:

જ્યારે શરતમાં ≤ અથવા ≥ (બિન-કડક અસમાનતા) ચિહ્ન હોય ત્યારે અંતરાલની સીમાઓ અસમાનતાના ઉકેલમાં શામેલ હોય છે. આ કિસ્સામાં, પરિણામી મૂળને હેશેડ વર્તુળ સાથેના સ્કેચમાં પ્રદર્શિત કરવાનો રિવાજ છે.

- જ્યારે શરતમાં ચિહ્ન હોય ત્યારે અસમાનતાના ઉકેલમાં અંતરાલની સીમાઓનો સમાવેશ થતો નથી.< или >(સખત અસમાનતા). આ કિસ્સામાં, સ્કેચમાં રુટને UNHASHED વર્તુળ તરીકે દર્શાવવાનો રિવાજ છે.

ઉદાહરણ 2: ઉકેલો x 2 + 4 x–21 > 0

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું x 2 + 4 x–21 = 0

ડી = b 2 –4 એસી = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

મૂળ શોધવું:

ગુણાંકને બદલો aઅને સૂત્ર (2) માં મૂળ, આપણને મળે છે:

x 2 + 4 x–21 = (x–3)(x+7)

અમે ફોર્મમાં અસમાનતા લખીએ છીએ (x–3)(x+7) > 0.

સમીકરણના મૂળ સંખ્યા રેખાને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે. ચાલો તેમને નંબર લાઇન પર ચિહ્નિત કરીએ:

*અસમાનતા કડક નથી, તેથી મૂળના હોદ્દા છાંયો નથી. અમે ત્રણ અંતરાલ (–∞;–7), (–7;3) અને (3;+∞) મેળવ્યા.

અમે અંતરાલો પર "ચિહ્નો" નક્કી કરીએ છીએ, અમે આ અંતરાલોનાં મનસ્વી મૂલ્યોને અભિવ્યક્તિ (x–3)(x+7) માં બદલીને કરીએ છીએ અને અસમાનતાનું પાલન કરીએ છીએ. (x–3)(x+7)> 0:

x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 સાચો

x= 0 (0–3)(0 +7) = –21 પર< 0 неверно

x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 સાચા પર

ઉકેલ બે અંતરાલ (–∞;–7) અને (3;+∞) હશે. આ અંતરાલોમાંથી x ના તમામ મૂલ્યો માટે અસમાનતા સાચી હશે.

*નોંધ કરો કે અમે કૌંસનો સમાવેશ કર્યો છે. x = 3 અને x = –7 પર અસમાનતા ખોટી હશે - સીમાઓ ઉકેલમાં સમાવેલ નથી.

જવાબ: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

ઉદાહરણ 3: ઉકેલો – x 2 –9 x–20 > 0

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું – x 2 –9 x–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

ડી = b 2 –4 એસી = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

મૂળ શોધવું:

ગુણાંકને બદલો aઅને સૂત્ર (2) માં મૂળ, આપણને મળે છે:

– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

અમે ફોર્મમાં અસમાનતા લખીએ છીએ –(x+5)(x+4) > 0.

સમીકરણના મૂળ સંખ્યા રેખાને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે. ચાલો સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ:

*અસમાનતા કડક છે, તેથી મૂળ માટેના પ્રતીકો છાંયો નથી. અમને ત્રણ અંતરાલ (–∞;–5), (–5; –4) અને (–4;+∞) મળ્યાં.

અમે અંતરાલો પર "ચિહ્નો" ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, અમે અભિવ્યક્તિમાં સ્થાનાંતરિત કરીને આ કરીએ છીએ –(x+5)(x+4)આ અંતરાલોના મનસ્વી મૂલ્યો અને અસમાનતાના પત્રવ્યવહારને જુઓ –(x+5)(x+4)>0:

x= –10 પર – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

x= –4.5 પર – (–4.5+5)(–4.5+4) = 0.25 > 0 સાચો

x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20 પર< 0 неверно

ઉકેલ અંતરાલ (–5,–4) હશે. તેની સાથે જોડાયેલા "x" ના તમામ મૂલ્યો માટે, અસમાનતા સાચી હશે.

*કૃપા કરીને નોંધ કરો કે સીમાઓ ઉકેલનો ભાગ નથી. x = –5 અને x = –4 માટે અસમાનતા સાચી નહીં હોય.

ટિપ્પણી કરો!

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, આપણે એક મૂળ અથવા કોઈ મૂળ સાથે સમાપ્ત થઈ શકીએ છીએ, પછી આ પદ્ધતિનો આંધળો ઉપયોગ કરતી વખતે, ઉકેલ નક્કી કરવામાં મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ શકે છે.

એક નાનો સારાંશ! પદ્ધતિ સારી અને વાપરવા માટે અનુકૂળ છે, ખાસ કરીને જો તમે ચતુર્ભુજ કાર્યથી પરિચિત હોવ અને તેના ગ્રાફના ગુણધર્મો જાણો છો. જો નહિં, તો કૃપા કરીને એક નજર નાખો અને આગળના વિભાગ પર જાઓ.

ચતુર્ભુજ કાર્યના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને. હું ભલામણ કરું છું!

ચતુર્ભુજ એ ફોર્મનું કાર્ય છે:

તેનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે, પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર અથવા નીચે તરફ નિર્દેશિત છે:

ગ્રાફને નીચે પ્રમાણે સ્થિત કરી શકાય છે: તે x-અક્ષને બે બિંદુઓ પર છેદે છે, તે તેને એક બિંદુ (શિરોબિંદુ) પર સ્પર્શ કરી શકે છે, અથવા તે છેદશે નહીં. આ વિશે પછીથી વધુ.

હવે આ અભિગમને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ. સમગ્ર ઉકેલ પ્રક્રિયામાં ત્રણ તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો અસમાનતા ઉકેલીએ x 2 +2 x –8 >0.

પ્રથમ તબક્કો

સમીકરણ ઉકેલવું x 2 +2 x–8=0.

ડી = b 2 –4 એસી = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

મૂળ શોધવું:

આપણને x 1 = 2 અને x 2 = – 4 મળ્યા.

બીજો તબક્કો

પેરાબોલા બનાવવું y=x 2 +2 x–8 પોઈન્ટ દ્વારા:

પોઈન્ટ 4 અને 2 એ પેરાબોલા અને x અક્ષના આંતરછેદ બિંદુઓ છે. તે સરળ છે! તમે શું કર્યું? અમે ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કર્યું x 2 +2 x–8=0. તેની આ પોસ્ટ જુઓ:

0 = x 2+2x – 8

આપણા માટે શૂન્ય એ “y” નું મૂલ્ય છે. જ્યારે y = 0 હોય, ત્યારે આપણને x અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુઓનો એબ્સીસા મળે છે. આપણે કહી શકીએ કે શૂન્ય મૂલ્ય “y” એ x અક્ષ છે.

હવે x ની અભિવ્યક્તિની કિંમતો જુઓ x 2 +2 x – 8 શૂન્ય કરતાં વધારે (અથવા ઓછું)? પેરાબોલા ગ્રાફ પરથી આ નક્કી કરવું મુશ્કેલ નથી કારણ કે તેઓ કહે છે, બધું દૃષ્ટિમાં છે:

1. એક્સ ખાતે< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 હકારાત્મક રહેશે.

2. મુ -4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 નકારાત્મક રહેશે.

3. x > 2 માટે, પેરાબોલાની શાખા x અક્ષની ઉપર આવેલી છે. ઉલ્લેખિત x માટે, ત્રિનોમી x 2 +2 x –8 હકારાત્મક રહેશે.

ત્રીજો તબક્કો

પેરાબોલામાંથી આપણે તરત જ જોઈ શકીએ છીએ કે એક્સ શું છે x 2 +2 x–8 શૂન્ય કરતાં મોટું, શૂન્ય બરાબર, શૂન્ય કરતાં ઓછું. આ ઉકેલના ત્રીજા તબક્કાનો સાર છે, એટલે કે ડ્રોઇંગમાં સકારાત્મક અને નકારાત્મક વિસ્તારોને જોવા અને ઓળખવા. અમે મૂળ અસમાનતા સાથે મેળવેલ પરિણામની તુલના કરીએ છીએ અને જવાબ લખીએ છીએ. અમારા ઉદાહરણમાં, x ના તમામ મૂલ્યો નક્કી કરવા જરૂરી છે જેના માટે અભિવ્યક્તિ x 2 +2 x–8 શૂન્ય કરતાં વધુ. અમે બીજા તબક્કામાં આ કર્યું.

માત્ર જવાબ લખવાનું બાકી છે.

જવાબ: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

ચાલો સારાંશ આપીએ: પ્રથમ પગલામાં સમીકરણના મૂળની ગણતરી કર્યા પછી, આપણે પરિણામી બિંદુઓને x-અક્ષ પર ચિહ્નિત કરી શકીએ છીએ (આ x-અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુઓ છે). આગળ, આપણે યોજનાકીય રીતે પેરાબોલા બનાવીએ છીએ અને આપણે પહેલાથી જ ઉકેલ જોઈ શકીએ છીએ. શા માટે યોજનાકીય? અમને ગાણિતિક રીતે ચોક્કસ સમયપત્રકની જરૂર નથી. અને કલ્પના કરો, ઉદાહરણ તરીકે, જો મૂળ 10 અને 1500 છે, તો આવા મૂલ્યોની શ્રેણી સાથે કાગળની શીટ પર સચોટ ગ્રાફ બનાવવાનો પ્રયાસ કરો. પ્રશ્ન ઉભો થાય છે! સારું, અમને મૂળ મળી ગયા, સારું, અમે તેમને ઓ-અક્ષ પર ચિહ્નિત કર્યા છે, પરંતુ શું આપણે પેરાબોલાના સ્થાનનું સ્કેચ કરવું જોઈએ - તેની શાખાઓ ઉપર અથવા નીચે? અહીં બધું સરળ છે! x 2 માટે ગુણાંક તમને કહેશે:

- જો તે શૂન્ય કરતા વધારે હોય, તો પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર તરફ દિશામાન થાય છે.

- જો શૂન્ય કરતાં ઓછી હોય, તો પેરાબોલાની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

અમારા ઉદાહરણમાં, તે એક સમાન છે, એટલે કે, સકારાત્મક.

*નોંધ! જો અસમાનતામાં બિન-કડક ચિહ્ન હોય છે, એટલે કે, ≤ અથવા ≥, તો પછી સંખ્યા રેખા પરના મૂળને છાંયો હોવો જોઈએ, આ પરંપરાગત રીતે સૂચવે છે કે અંતરાલની સીમા પોતે અસમાનતાના ઉકેલમાં શામેલ છે. આ કિસ્સામાં, મૂળ શેડ નથી (પંકચર આઉટ), કારણ કે અમારી અસમાનતા કડક છે (ત્યાં એક ">" ચિહ્ન છે). તદુપરાંત, આ કિસ્સામાં, જવાબ ચોરસને બદલે કૌંસનો ઉપયોગ કરે છે (સોલ્યુશનમાં બોર્ડર્સ શામેલ નથી).

ઘણું લખવામાં આવ્યું છે, હું કદાચ કોઈને મૂંઝવણમાં મૂકું છું. પરંતુ જો તમે પેરાબોલાસનો ઉપયોગ કરીને ઓછામાં ઓછી 5 અસમાનતાઓને હલ કરો છો, તો તમારી પ્રશંસાની કોઈ સીમા રહેશે નહીં. તે સરળ છે!

તેથી, સંક્ષિપ્તમાં:

1. અમે અસમાનતા લખીએ છીએ અને તેને ધોરણમાં ઘટાડીએ છીએ.

2. ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખો અને તેને હલ કરો.

3. x અક્ષ દોરો, પરિણામી મૂળને ચિહ્નિત કરો, જો x 2 નો ગુણાંક સકારાત્મક હોય તો ઉપર શાખાઓ સાથે, અથવા જો નકારાત્મક હોય તો શાખાઓ નીચે દોરો.

4. સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક વિસ્તારોને દૃષ્ટિની રીતે ઓળખો અને મૂળ અસમાનતાનો જવાબ લખો.

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1: ઉકેલો x 2 –15 x+50 > 0

પ્રથમ તબક્કો.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું x 2 –15 x+50=0

ડી = b 2 –4 એસી = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

મૂળ શોધવું:

બીજો તબક્કો.

અમે ધરી ઓ બનાવી રહ્યા છીએ. ચાલો પરિણામી મૂળને ચિહ્નિત કરીએ. અમારી અસમાનતા કડક હોવાથી, અમે તેમને છાંયો નહીં આપીએ. અમે યોજનાકીય રીતે પેરાબોલાને બનાવીએ છીએ, તે તેની શાખાઓ સાથે સ્થિત છે, કારણ કે x 2 નો ગુણાંક હકારાત્મક છે:

ત્રીજો તબક્કો.

અમે દૃષ્ટિની સકારાત્મક અને નકારાત્મક ક્ષેત્રોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, અહીં અમે સ્પષ્ટતા માટે તેમને વિવિધ રંગોમાં ચિહ્નિત કર્યા છે, તમારે આ કરવાની જરૂર નથી.

અમે જવાબ લખીએ છીએ.

જવાબ: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*U ચિહ્ન એકીકરણ ઉકેલ સૂચવે છે. અલંકારિક રીતે કહીએ તો, ઉકેલ "આ" અને "આ" અંતરાલ છે.

ઉદાહરણ 2: ઉકેલો – x 2 + x+20 ≤ 0

પ્રથમ તબક્કો.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું – x 2 + x+20=0

ડી = b 2 –4 એસી = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

મૂળ શોધવું:

બીજો તબક્કો.

અમે ધરી ઓ બનાવી રહ્યા છીએ. ચાલો પરિણામી મૂળને ચિહ્નિત કરીએ. અમારી અસમાનતા કડક ન હોવાથી, અમે મૂળના હોદ્દાઓને છાંયો આપીએ છીએ. અમે યોજનાકીય રીતે પેરાબોલાને બનાવીએ છીએ, તે નીચે શાખાઓ સાથે સ્થિત છે, કારણ કે x 2 નો ગુણાંક નકારાત્મક છે (તે -1 બરાબર છે):

ત્રીજો તબક્કો.

અમે સકારાત્મક અને નકારાત્મક ક્ષેત્રોને દૃષ્ટિની રીતે ઓળખીએ છીએ. અમે તેને મૂળ અસમાનતા સાથે સરખાવીએ છીએ (અમારું ચિહ્ન ≤ 0 છે). અસમાનતા x ≤ – 4 અને x ≥ 5 માટે સાચી હશે.

અમે જવાબ લખીએ છીએ.

જવાબ: x∊(–∞;–4] U. તેમાં સંકલન રેખા પર મૂકવામાં આવેલ સંખ્યાઓના સમૂહનો સમાવેશ થાય છે અને સીમાઓ સહિત -7 અને 7 ની વચ્ચે સ્થિત છે. આ કિસ્સામાં, ગ્રાફ પરના બિંદુઓને ભરેલા તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યા છે. વર્તુળો, અને અંતરાલનો ઉપયોગ કરીને રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે

બીજો આંકડો કડક અસમાનતાનું ગ્રાફિકલ રજૂઆત છે. આ કિસ્સામાં, બોર્ડરલાઈન નંબર -7 અને 7, જે પંચર (ભરેલા નથી) બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે, તે ઉલ્લેખિત સમૂહમાં સમાવિષ્ટ નથી. અને અંતરાલ પોતે કૌંસમાં નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: (-7; 7).

એટલે કે, આ પ્રકારની અસમાનતાઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે શોધી કાઢ્યા પછી અને સમાન જવાબ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે તેમાં -7 અને 7 સિવાય, પ્રશ્નની સીમાઓ વચ્ચેની સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. આગામી બે કેસોનું મૂલ્યાંકન એ સમાન રીતે. ત્રીજી આકૃતિ અંતરાલોની છબીઓ બતાવે છે (-∞; -7] U)