લઘુગણક અસમાનતા મૂળભૂત સ્તર. જટિલ લઘુગણક અસમાનતા

લઘુગણક અસમાનતાઓની સમગ્ર વિવિધતાઓમાં, ચલ આધાર સાથેની અસમાનતાઓનો અલગથી અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. તેઓ વિશિષ્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવે છે, જે કોઈ કારણોસર ભાગ્યે જ શાળામાં શીખવવામાં આવે છે:

લોગ k (x) f (x) ∨ લોગ k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

“∨” ચેકબોક્સને બદલે, તમે કોઈપણ અસમાનતા ચિહ્ન મૂકી શકો છો: વધુ કે ઓછું. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે બંને અસમાનતાઓમાં ચિહ્નો સમાન છે.

આ રીતે આપણે લઘુગણકથી છુટકારો મેળવીએ છીએ અને સમસ્યાને તર્કસંગત અસમાનતામાં ઘટાડીશું. બાદમાં ઉકેલવા માટે ખૂબ સરળ છે, પરંતુ જ્યારે લોગરીધમ્સ કાઢી નાખવામાં આવે છે, ત્યારે વધારાના મૂળ દેખાઈ શકે છે. તેમને કાપી નાખવા માટે, સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી શોધવા માટે તે પૂરતું છે. જો તમે લોગરિધમનો ODZ ભૂલી ગયા હો, તો હું તેને પુનરાવર્તન કરવાની ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું - જુઓ "લોગરિધમ શું છે".

સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીથી સંબંધિત દરેક વસ્તુ અલગથી લખી અને હલ કરવી આવશ્યક છે:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

આ ચાર અસમાનતાઓ એક પ્રણાલીની રચના કરે છે અને તે એકસાથે સંતુષ્ટ થવી જોઈએ. જ્યારે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી મળી આવે, ત્યારે જે બાકી રહે છે તે તેને તર્કસંગત અસમાનતાના ઉકેલ સાથે છેદવાનું છે - અને જવાબ તૈયાર છે.

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

પ્રથમ, ચાલો લોગરીધમનો ODZ લખીએ:

પ્રથમ બે અસમાનતા આપોઆપ સંતોષાય છે, પરંતુ છેલ્લી એક લખવી પડશે. સંખ્યાનો વર્ગ શૂન્ય હોવાથી અને જો સંખ્યા પોતે શૂન્ય હોય તો જ, આપણી પાસે છે:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

તે તારણ આપે છે કે લઘુગણકની ODZ એ શૂન્ય સિવાયની બધી સંખ્યાઓ છે: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). હવે અમે મુખ્ય અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ:

અમે લઘુગણક અસમાનતામાંથી તર્કસંગત એકમાં સંક્રમણ કરીએ છીએ. મૂળ અસમાનતામાં "ઓછું" ચિહ્ન હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે પરિણામી અસમાનતામાં "ઓછું" ચિહ્ન પણ હોવું જોઈએ. અમારી પાસે છે:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 −1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

આ અભિવ્યક્તિના શૂન્ય છે: x = 3; x = −3; x = 0. વધુમાં, x = 0 એ બીજા ગુણાકારનું મૂળ છે, જેનો અર્થ છે કે જ્યારે તેમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે કાર્યની નિશાની બદલાતી નથી. અમારી પાસે છે:

આપણને x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) મળે છે. આ સમૂહ લઘુગણકના ODZ માં સંપૂર્ણપણે સમાયેલ છે, જેનો અર્થ છે કે આ જવાબ છે.

લઘુગણક અસમાનતાઓનું રૂપાંતર

ઘણી વાર મૂળ અસમાનતા ઉપરની અસમાનતા કરતાં અલગ હોય છે. લોગરીધમ્સ સાથે કામ કરવા માટેના માનક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આને સરળતાથી સુધારી શકાય છે - "લોગરીધમના મૂળભૂત ગુણધર્મો" જુઓ. જેમ કે:

1. કોઈપણ સંખ્યાને આપેલ આધાર સાથે લઘુગણક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે;
2. સમાન પાયા સાથે લઘુગણકનો સરવાળો અને તફાવત એક લઘુગણક દ્વારા બદલી શકાય છે.

અલગથી, હું તમને સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી વિશે યાદ અપાવવા માંગુ છું. મૂળ અસમાનતામાં ઘણા લઘુગણક હોઈ શકે છે, તેથી તે દરેકના VA શોધવા જરૂરી છે. આમ, લઘુગણક અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની સામાન્ય યોજના નીચે મુજબ છે:

1. અસમાનતામાં સમાવિષ્ટ દરેક લઘુગણકનો VA શોધો;
2. લોગરીધમ ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાને પ્રમાણભૂતમાં ઘટાડો;
3. ઉપર આપેલ યોજના અનુસાર પરિણામી અસમાનતાને ઉકેલો.

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

ચાલો પ્રથમ લોગરીધમનું ડોમેન ઓફ ડેફિનેશન (DO) શોધીએ:

અમે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ. અંશનું શૂન્ય શોધવું:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

પછી - છેદના શૂન્ય:

x − 1 = 0;
x = 1.

અમે સંકલન તીર પર શૂન્ય અને ચિહ્નોને ચિહ્નિત કરીએ છીએ:

આપણને x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) મળે છે. બીજા લઘુગણકમાં સમાન VA હશે. જો તમને મારા પર વિશ્વાસ ન હોય, તો તમે તેને ચકાસી શકો છો. હવે આપણે બીજા લઘુગણકને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ જેથી આધાર બે હોય:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બેઝ પર અને લોગરીધમની સામેના થ્રીને ઘટાડવામાં આવ્યા છે. અમને સમાન આધાર સાથે બે લઘુગણક મળ્યા. ચાલો તેમને ઉમેરીએ:

લોગ 2 (x − 1) 2< 2;
લોગ 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

અમે પ્રમાણભૂત લઘુગણક અસમાનતા મેળવી છે. આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લોગરીધમથી છુટકારો મેળવીએ છીએ. મૂળ અસમાનતામાં "ઓછું" ચિહ્ન હોવાથી, પરિણામી તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ પણ શૂન્ય કરતાં ઓછી હોવી જોઈએ. અમારી પાસે છે:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

અમને બે સેટ મળ્યા:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. ઉમેદવારનો જવાબ: x ∈ (−1; 3).

તે આ સેટ્સને છેદવાનું બાકી છે - અમને વાસ્તવિક જવાબ મળે છે:

અમને સેટના આંતરછેદમાં રસ છે, તેથી અમે અંતરાલો પસંદ કરીએ છીએ જે બંને તીરો પર છાંયો છે. આપણને x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) મળે છે - બધા બિંદુઓ પંચર થયેલ છે.

શું તમને લાગે છે કે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલા હજુ સમય છે અને તમારી પાસે તૈયારી કરવા માટે સમય હશે? કદાચ આ એવું છે. પરંતુ કોઈ પણ સંજોગોમાં, વિદ્યાર્થી જેટલી વહેલી તૈયારી શરૂ કરે છે, તેટલી સફળતાપૂર્વક તે પરીક્ષાઓ પાસ કરે છે. આજે અમે લઘુગણક અસમાનતાઓને એક લેખ સમર્પિત કરવાનું નક્કી કર્યું છે. આ એક કાર્ય છે, જેનો અર્થ છે વધારાની ક્રેડિટ મેળવવાની તક.

શું તમે પહેલાથી જ જાણો છો કે લઘુગણક શું છે? અમે ખરેખર એવી આશા રાખીએ છીએ. પરંતુ જો તમારી પાસે આ પ્રશ્નનો જવાબ ન હોય તો પણ, તે કોઈ સમસ્યા નથી. લઘુગણક શું છે તે સમજવું ખૂબ જ સરળ છે.

શા માટે 4? 81 મેળવવા માટે તમારે નંબર 3 ને આ ઘાતમાં વધારવાની જરૂર છે. એકવાર તમે સિદ્ધાંતને સમજી લો, પછી તમે વધુ જટિલ ગણતરીઓ પર આગળ વધી શકો છો.

તમે થોડા વર્ષો પહેલા અસમાનતામાંથી પસાર થયા હતા. અને ત્યારથી તમે સતત ગણિતમાં તેમનો સામનો કર્યો છે. જો તમને અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં સમસ્યા હોય, તો યોગ્ય વિભાગ તપાસો.
હવે જ્યારે આપણે વિભાવનાઓથી વ્યક્તિગત રીતે પરિચિત થઈ ગયા છીએ, તો ચાલો તેને સામાન્ય રીતે ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ.

સૌથી સરળ લઘુગણક અસમાનતા.

સૌથી સરળ લઘુગણક અસમાનતાઓ આ ઉદાહરણ સુધી મર્યાદિત નથી, ત્યાં વધુ ત્રણ છે, ફક્ત વિવિધ ચિહ્નો સાથે. આ શા માટે જરૂરી છે? લોગરીધમ્સ સાથે અસમાનતાઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે. હવે આપણે એક વધુ લાગુ પડતું ઉદાહરણ આપીએ, હજુ પણ એકદમ સરળ;

આ કેવી રીતે ઉકેલવું? તે બધું ODZ થી શરૂ થાય છે. જો તમે હંમેશા કોઈપણ અસમાનતાને સરળતાથી ઉકેલવા માંગતા હોવ તો તેના વિશે વધુ જાણવું યોગ્ય છે.

ODZ શું છે? લઘુગણક અસમાનતાઓ માટે ODZ

સંક્ષેપ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી માટે વપરાય છે. આ ફોર્મ્યુલેશન ઘણીવાર યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટેના કાર્યોમાં આવે છે. ODZ ફક્ત લઘુગણક અસમાનતાના કિસ્સામાં જ તમારા માટે ઉપયોગી થશે.

ઉપરના ઉદાહરણ પર ફરીથી જુઓ. અમે તેના પર આધારિત ODZ ને ધ્યાનમાં લઈશું, જેથી તમે સિદ્ધાંતને સમજી શકો અને લઘુગણક અસમાનતાઓને ઉકેલવાથી કોઈ પ્રશ્નો ઉભા ન થાય. લઘુગણકની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે 2x+4 શૂન્ય કરતાં મોટો હોવો જોઈએ. અમારા કિસ્સામાં આનો અર્થ નીચે મુજબ છે.

આ સંખ્યા, વ્યાખ્યા દ્વારા, હકારાત્મક હોવી જોઈએ. ઉપર પ્રસ્તુત અસમાનતા ઉકેલો. આ મૌખિક રીતે પણ કરી શકાય છે; અહીં તે સ્પષ્ટ છે કે X 2 કરતા ઓછો ન હોઈ શકે. અસમાનતાનો ઉકેલ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીની વ્યાખ્યા હશે.
હવે ચાલો સરળ લઘુગણક અસમાનતાને ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ.

અમે અસમાનતાની બંને બાજુથી લઘુગણકને કાઢી નાખીએ છીએ. પરિણામે આપણી પાસે શું બાકી છે? સરળ અસમાનતા.

તેને ઉકેલવું મુશ્કેલ નથી. X -0.5 કરતા વધારે હોવો જોઈએ. હવે આપણે બે પ્રાપ્ત મૂલ્યોને સિસ્ટમમાં જોડીએ છીએ. આમ,

આ વિચારણા હેઠળ લઘુગણક અસમાનતા માટે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી હશે.

આપણને ODZ ની જરૂર કેમ છે? આ ખોટા અને અશક્ય જવાબોને નીંદણ કરવાની તક છે. જો જવાબ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની મર્યાદામાં ન હોય, તો જવાબનો કોઈ અર્થ નથી. આ લાંબા સમય માટે યાદ રાખવા યોગ્ય છે, કારણ કે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં ઘણીવાર ODZ શોધવાની જરૂર હોય છે, અને તે માત્ર લઘુગણક અસમાનતાઓની ચિંતા કરે છે.

લઘુગણક અસમાનતા ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ

સોલ્યુશનમાં ઘણા તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ, તમારે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી શોધવાની જરૂર છે. ODZ માં બે અર્થ હશે, અમે ઉપર ચર્ચા કરી છે. આગળ, તમારે અસમાનતા પોતે જ ઉકેલવાની જરૂર છે. ઉકેલની પદ્ધતિઓ નીચે મુજબ છે:

• ગુણક રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ;
• વિઘટન;
• તર્કસંગતીકરણ પદ્ધતિ.

પરિસ્થિતિ પર આધાર રાખીને, ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓમાંથી એકનો ઉપયોગ કરવો તે યોગ્ય છે. ચાલો સીધા ઉકેલ તરફ આગળ વધીએ. ચાલો આપણે સૌથી વધુ લોકપ્રિય પદ્ધતિ જાહેર કરીએ, જે લગભગ તમામ કેસોમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના કાર્યોને ઉકેલવા માટે યોગ્ય છે. આગળ આપણે વિઘટન પદ્ધતિ જોઈશું. જો તમે ખાસ કરીને મુશ્કેલ અસમાનતાનો સામનો કરો છો તો તે મદદ કરી શકે છે. તેથી, લઘુગણક અસમાનતાને ઉકેલવા માટે એક અલ્ગોરિધમ.

ઉકેલોના ઉદાહરણો :

અમે આ અસમાનતા બરાબર લીધી તે કંઈ માટે નથી! આધાર પર ધ્યાન આપો. યાદ રાખો: જો તે એક કરતા વધારે હોય, તો સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી શોધતી વખતે ચિહ્ન સમાન રહે છે; અન્યથા, તમારે અસમાનતા ચિહ્ન બદલવાની જરૂર છે.

પરિણામે, અમને અસમાનતા મળે છે:

હવે આપણે ડાબી બાજુને શૂન્ય સમાન સમીકરણના સ્વરૂપમાં ઘટાડીશું. "ઓછા કરતાં" ચિહ્નને બદલે આપણે "સમાન" મૂકીએ છીએ અને સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ. આમ, આપણે ODZ શોધીશું. અમે આશા રાખીએ છીએ કે તમને આવા સરળ સમીકરણને હલ કરવામાં સમસ્યા નહીં હોય. જવાબો -4 અને -2 છે. એટલું જ નહીં. તમારે “+” અને “-” મૂકીને ગ્રાફ પર આ બિંદુઓને પ્રદર્શિત કરવાની જરૂર છે. આ માટે શું કરવાની જરૂર છે? અંતરાલોમાંથી સંખ્યાઓને અભિવ્યક્તિમાં બદલો. જ્યાં મૂલ્યો સકારાત્મક છે, ત્યાં આપણે “+” મૂકીએ છીએ.

જવાબ આપો: x -4 કરતા વધારે અને -2 કરતા ઓછું ન હોઈ શકે.

અમને ફક્ત ડાબી બાજુ માટે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી મળી છે; હવે આપણે જમણી બાજુ માટે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી શોધવાની જરૂર છે. આ ઘણું સરળ છે. જવાબ:-2. અમે બંને પરિણામી વિસ્તારોને છેદે છે.

અને માત્ર હવે આપણે અસમાનતાને જ સંબોધવાનું શરૂ કર્યું છે.

ચાલો તેને શક્ય તેટલું સરળ બનાવીએ જેથી તેને ઉકેલવામાં સરળતા રહે.

અમે ફરીથી ઉકેલમાં અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો ગણતરીઓ છોડીએ; અગાઉના ઉદાહરણથી તેની સાથે બધું સ્પષ્ટ છે. જવાબ આપો.

પરંતુ આ પદ્ધતિ યોગ્ય છે જો લઘુગણક અસમાનતા સમાન પાયા ધરાવે છે.

વિવિધ પાયા સાથે લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સમાન આધાર પર પ્રારંભિક ઘટાડો જરૂરી છે. આગળ, ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો. પરંતુ એક વધુ જટિલ કેસ છે. ચાલો લઘુગણક અસમાનતાના સૌથી જટિલ પ્રકારોમાંના એકને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચલ આધાર સાથે લઘુગણક અસમાનતા

આવી લાક્ષણિકતાઓ સાથે અસમાનતાને કેવી રીતે હલ કરવી? હા, અને આવા લોકો યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં મળી શકે છે. નીચેની રીતે અસમાનતાઓને ઉકેલવાથી તમારી શૈક્ષણિક પ્રક્રિયા પર પણ ફાયદાકારક અસર પડશે. ચાલો આ મુદ્દાને વિગતવાર જોઈએ. ચાલો સિદ્ધાંતને છોડી દઈએ અને સીધા પ્રેક્ટિસ પર જઈએ. લઘુગણક અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે, એકવાર ઉદાહરણ સાથે પોતાને પરિચિત કરવા માટે તે પૂરતું છે.

પ્રસ્તુત ફોર્મની લઘુગણક અસમાનતાને ઉકેલવા માટે, જમણી બાજુની બાજુને સમાન આધાર સાથે લઘુગણક સુધી ઘટાડવી જરૂરી છે. સિદ્ધાંત સમકક્ષ સંક્રમણો જેવું લાગે છે. પરિણામે, અસમાનતા આના જેવી દેખાશે.

વાસ્તવમાં, જે બાકી છે તે લોગરીધમ વિના અસમાનતાની સિસ્ટમ બનાવવાનું છે. તર્કસંગત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે અસમાનતાઓની સમકક્ષ પ્રણાલી તરફ આગળ વધીએ છીએ. જ્યારે તમે યોગ્ય મૂલ્યોને અવેજી કરશો અને તેમના ફેરફારોને ટ્રૅક કરશો ત્યારે તમે નિયમ પોતે જ સમજી શકશો. સિસ્ટમમાં નીચેની અસમાનતાઓ હશે.

અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે તર્કસંગત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, તમારે નીચેની બાબતો યાદ રાખવાની જરૂર છે: એકને આધારમાંથી બાદબાકી કરવી આવશ્યક છે, x, લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા, અસમાનતાની બંને બાજુથી બાદબાકી કરવામાં આવે છે (જમણેથી ડાબે), બે અભિવ્યક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. અને શૂન્યના સંબંધમાં મૂળ ચિહ્ન હેઠળ સેટ કરો.

અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આગળનો ઉકેલ હાથ ધરવામાં આવે છે, અહીં બધું સરળ છે. તમારા માટે ઉકેલની પદ્ધતિઓના તફાવતોને સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે, પછી બધું સરળતાથી કામ કરવાનું શરૂ કરશે.

લઘુગણક અસમાનતાઓમાં ઘણી ઘોંઘાટ છે. તેમાંથી સૌથી સરળ ઉકેલવા માટે એકદમ સરળ છે. તમે સમસ્યાઓ વિના તેમાંથી દરેકને કેવી રીતે હલ કરી શકો? તમને આ લેખમાંના બધા જવાબો મળી ગયા છે. હવે તમારી આગળ લાંબી પ્રેક્ટિસ છે. પરીક્ષામાં વિવિધ પ્રકારની સમસ્યાઓ હલ કરવાની સતત પ્રેક્ટિસ કરો અને તમે સૌથી વધુ સ્કોર મેળવી શકશો. તમારા મુશ્કેલ કાર્યમાં તમને સારા નસીબ!

ઘણીવાર, લઘુગણક અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે, ચલ લઘુગણક આધાર સાથે સમસ્યાઓ હોય છે. આમ, ફોર્મની અસમાનતા

પ્રમાણભૂત શાળા અસમાનતા છે. એક નિયમ તરીકે, તેને ઉકેલવા માટે, સિસ્ટમોના સમકક્ષ સમૂહમાં સંક્રમણનો ઉપયોગ થાય છે:

આ પદ્ધતિનો ગેરલાભ એ સાત અસમાનતાઓને ઉકેલવાની જરૂરિયાત છે, બે સિસ્ટમો અને એક વસ્તીની ગણતરી ન કરવી. પહેલેથી જ આ ચતુર્ભુજ કાર્યો સાથે, વસ્તીને હલ કરવામાં ઘણો સમય લાગી શકે છે.

આ પ્રમાણભૂત અસમાનતાને ઉકેલવા માટે વૈકલ્પિક, ઓછા શ્રમ-સઘન માર્ગનો પ્રસ્તાવ મૂકવો શક્ય છે. આ કરવા માટે, અમે નીચેના પ્રમેયને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

પ્રમેય 1. સેટ X પર સતત વધતા ફંક્શન રહેવા દો. પછી આ સેટ પર ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટનું ચિહ્ન દલીલની વૃદ્ધિના ચિહ્ન સાથે મેળ ખાશે, એટલે કે. , ક્યાં .

નોંધ: જો સેટ X પર સતત ઘટતું કાર્ય, તો .

ચાલો અસમાનતા પર પાછા ફરીએ. ચાલો દશાંશ લઘુગણક પર આગળ વધીએ (તમે એક કરતા વધુ સ્થિર આધાર સાથે કોઈપણ પર આગળ વધી શકો છો).

હવે તમે પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકો છો, અંશમાં કાર્યોના વધારાને ધ્યાનમાં રાખીને અને છેદમાં. તેથી તે સાચું છે

પરિણામે, જવાબ તરફ દોરી જતી ગણતરીઓની સંખ્યા લગભગ અડધી થઈ જાય છે, જે ફક્ત સમય બચાવે છે, પણ તમને સંભવિત રીતે ઓછા અંકગણિત અને બેદરકાર ભૂલો કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ 1.

(1) સાથે સરખામણી કરીએ છીએ , , .

(2) તરફ આગળ વધતાં આપણી પાસે હશે:

ઉદાહરણ 2.

(1) સાથે સરખામણી કરતા આપણે શોધીએ છીએ , , .

(2) તરફ આગળ વધતાં આપણી પાસે હશે:

ઉદાહરણ 3.

અસમાનતાની ડાબી બાજુ એ અને તરીકે વધતું કાર્ય છે , તો જવાબ ઘણા હશે.

ઘણા ઉદાહરણો કે જેમાં થીમ 1 લાગુ કરી શકાય છે તે થીમ 2 ને ધ્યાનમાં લઈને સરળતાથી વિસ્તૃત કરી શકાય છે.

સેટ પર જવા દો એક્સકાર્યો , , , વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને આ સમૂહ પર ચિહ્નો અને એકરૂપ થાય છે, એટલે કે. , પછી તે ન્યાયી હશે.

ઉદાહરણ 4.

ઉદાહરણ 5.

પ્રમાણભૂત અભિગમ સાથે, ઉદાહરણ નીચેની યોજના અનુસાર હલ કરવામાં આવે છે: જ્યારે પરિબળો વિવિધ ચિહ્નોના હોય ત્યારે ઉત્પાદન શૂન્ય કરતા ઓછું હોય છે. તે. અસમાનતાની બે પ્રણાલીઓનો સમૂહ ગણવામાં આવે છે, જેમાં, શરૂઆતમાં સૂચવ્યા મુજબ, દરેક અસમાનતા વધુ સાતમાં તૂટી જાય છે.

જો આપણે પ્રમેય 2 ને ધ્યાનમાં લઈએ, તો દરેક પરિબળ, (2) ને ધ્યાનમાં લેતા, આ ઉદાહરણ O.D.Z માં સમાન ચિહ્ન ધરાવતા અન્ય કાર્ય દ્વારા બદલી શકાય છે.

પ્રમેય 2 ને ધ્યાનમાં લેતા, દલીલના વધારા સાથે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટને બદલવાની પદ્ધતિ, લાક્ષણિક C3 યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે ખૂબ જ અનુકૂળ છે.

ઉદાહરણ 6.

ઉદાહરણ 7.

. ચાલો સૂચિત કરીએ. અમને મળે છે

. નોંધ કરો કે રિપ્લેસમેન્ટ સૂચિત કરે છે: . સમીકરણ પર પાછા ફરતા, આપણને મળે છે .

ઉદાહરણ 8.

આપણે જે પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તેમાં વિધેયોના વર્ગો પર કોઈ નિયંત્રણો નથી. આ લેખમાં, ઉદાહરણ તરીકે, લઘુગણક અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે પ્રમેય લાગુ કરવામાં આવ્યા હતા. નીચેના કેટલાક ઉદાહરણો અન્ય પ્રકારની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિના વચનને દર્શાવશે.