શું સમાન મૂળને બાદ કરવું શક્ય છે? વર્ગમૂળ ઉમેરવાનો નિયમ

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

ગણિતમાં, મૂળ ચોરસ, ઘન અથવા અન્ય કોઈ ઘાતાંક (શક્તિ) હોઈ શકે છે, જે મૂળ ચિન્હની ઉપર ડાબી બાજુએ લખાયેલું હોય છે. મૂળ ચિહ્ન હેઠળની અભિવ્યક્તિને આમૂલ અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે. મૂળ ઉમેરવા એ બીજગણિત અભિવ્યક્તિના શબ્દો ઉમેરવા સમાન છે, એટલે કે, તેને સમાન મૂળ ઓળખવાની જરૂર છે.

પગલાં

મૂળનું હોદ્દો.રુટ ચિહ્ન () હેઠળની અભિવ્યક્તિનો અર્થ એ છે કે આ અભિવ્યક્તિમાંથી ચોક્કસ ડિગ્રીના મૂળને બહાર કાઢવું ​​​​જરૂરી છે.

• મૂળ નિશાની દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
• રુટનો ઘાતાંક (ડિગ્રી) રુટ ચિહ્નની ઉપર ડાબી બાજુએ લખાયેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, 27 નું ઘનમૂળ આ રીતે લખાયેલું છે: (27)
• જો મૂળનો કોઈ ઘાતાંક (ડિગ્રી) ન હોય, તો ઘાતાંક 2 ની બરાબર ગણવામાં આવે છે, એટલે કે, તે વર્ગમૂળ (અથવા બીજી ડિગ્રીનું મૂળ) છે.
• મૂળ ચિન્હ પહેલાં લખેલી સંખ્યાને ગુણક કહેવાય છે (એટલે ​​​​કે, આ સંખ્યાને મૂળ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે), ઉદાહરણ તરીકે 5 (2)
• જો રુટની સામે કોઈ અવયવ ન હોય, તો તે 1 ની બરાબર છે (યાદ કરો કે 1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવેલ કોઈપણ સંખ્યા પોતે સમાન છે).
• જો તમે મૂળ સાથે પ્રથમ વખત કામ કરી રહ્યા છો, તો મૂંઝવણ ટાળવા અને તેમના હેતુને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે ગુણક અને રુટ ઘાતાંક પર યોગ્ય નોંધો બનાવો.

યાદ રાખો કે કયા મૂળને ફોલ્ડ કરી શકાય છે અને કયા નથી.જેમ તમે અભિવ્યક્તિના વિવિધ શબ્દો ઉમેરી શકતા નથી, ઉદાહરણ તરીકે, 2a + 2b 4ab, તમે વિવિધ મૂળ ઉમેરી શકતા નથી.

સમાન મૂળને ઓળખો અને જૂથ બનાવો.સમાન મૂળ એવા મૂળ છે જે સમાન સૂચકાંકો અને સમાન આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિને ધ્યાનમાં લો:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• પ્રથમ, અભિવ્યક્તિને ફરીથી લખો જેથી સમાન અનુક્રમણિકા સાથેના મૂળ ક્રમિક રીતે સ્થિત હોય.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• પછી અભિવ્યક્તિને ફરીથી લખો જેથી કરીને સમાન ઘાતાંક સાથે અને સમાન આમૂલ અભિવ્યક્તિ સાથેના મૂળ ક્રમિક રીતે સ્થિત હોય.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

મૂળને સરળ બનાવો.આ કરવા માટે, આમૂલ અભિવ્યક્તિઓને બે પરિબળોમાં વિઘટિત કરો (જ્યાં શક્ય હોય), જેમાંથી એક મૂળની નીચેથી બહાર કાઢવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, દૂર કરેલ સંખ્યા અને મૂળ પરિબળ ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

સમાન મૂળના પરિબળો ઉમેરો.અમારા ઉદાહરણમાં, 2 ના સમાન વર્ગમૂળ (તે ઉમેરી શકાય છે) અને 3 ના સમાન વર્ગમૂળ છે (તે પણ ઉમેરી શકાય છે). 3 ના ઘનમૂળમાં આવા કોઈ મૂળ નથી.

• અભિવ્યક્તિમાં મૂળ લખેલા ક્રમ માટે સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત નિયમો નથી. તેથી, તમે મૂળ તેમના સૂચકોના ચડતા ક્રમમાં અને આમૂલ અભિવ્યક્તિઓના ચડતા ક્રમમાં લખી શકો છો.

બધું રસપ્રદ

જે સંખ્યા રુટ ચિહ્ન હેઠળ છે તે ઘણીવાર સમીકરણ ઉકેલવામાં દખલ કરે છે અને તેની સાથે કામ કરવામાં અસુવિધાજનક હોય છે. જો તે ઘાત, અપૂર્ણાંક, અથવા ચોક્કસ ઘાત માટે સંપૂર્ણ સંખ્યા તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી, તો પણ તમે તેને આમાંથી મેળવવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો...

સંખ્યા xનું મૂળ એ એવી સંખ્યા છે જેને જ્યારે મૂળની ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે, ત્યારે તે x બરાબર હોય છે. ગુણાકાર એ સંખ્યા છે જેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. એટલે કે, x*ª-&radic-y ફોર્મની અભિવ્યક્તિમાં તમારે રૂટ હેઠળ x દાખલ કરવાની જરૂર છે. સૂચનાઓ 1 ડિગ્રી નક્કી કરો...

જો આમૂલ અભિવ્યક્તિમાં ચલો સાથે ગાણિતિક ક્રિયાઓનો સમૂહ હોય છે, તો કેટલીકવાર તેના સરળીકરણના પરિણામે પ્રમાણમાં સરળ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરવાનું શક્ય છે, જેનો ભાગ મૂળની નીચેથી લઈ શકાય છે. આ સરળીકરણ ઉપયોગી થઈ શકે છે...

વિવિધ ડિગ્રીના મૂળ સાથે અંકગણિત કામગીરી ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકમાં ગણતરીઓને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવી શકે છે અને તેમને વધુ સચોટ બનાવી શકે છે. ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરતી વખતે, દરેક અવયવ અથવા ડિવિડન્ડ અને વિભાજકના મૂળને બહાર કાઢવાનું વધુ અનુકૂળ નથી, પરંતુ પહેલા...

સંખ્યા x નું વર્ગમૂળ એ એક સંખ્યા છે, જેનો જ્યારે તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે તે સંખ્યા x આપે છે: a * a = a^2 = x, x = a. કોઈપણ સંખ્યાની જેમ, તમે વર્ગમૂળ સાથે સરવાળો અને બાદબાકીની અંકગણિત ક્રિયાઓ કરી શકો છો. સૂચનાઓ...

ગણિતમાં મૂળના બે અર્થ હોઈ શકે છે: તે એક અંકગણિત ક્રિયા છે અને સમીકરણ, બીજગણિત, પેરામેટ્રિક, વિભેદક અથવા અન્ય કોઈપણ ઉકેલો છે. સૂચનાઓ 1 a નું nમું મૂળ એવી સંખ્યા છે કે...

મૂળ સાથે વિવિધ અંકગણિત કામગીરી કરતી વખતે, આમૂલ અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કરવાની ક્ષમતા ઘણીવાર જરૂરી હોય છે. ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, તમારે ગુણકને આમૂલ ચિહ્નની બહાર ખસેડવાની અથવા તેને તેની નીચે ઉમેરવાની જરૂર પડી શકે છે. આ ક્રિયા કરી શકે છે ...

રુટ એ એક આયકન છે જે સંખ્યા શોધવાની ગાણિતિક ક્રિયા સૂચવે છે, જેને મૂળ ચિન્હની સામે દર્શાવેલ શક્તિને વધારવાથી આ જ ચિહ્ન હેઠળ દર્શાવેલ સંખ્યા આપવી જોઈએ. ઘણી વખત, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે કે જેમાં સમાવેશ થાય છે ...

ગાણિતિક વિજ્ઞાનમાં, મૂળ ચિહ્ન એ મૂળ માટેનું પ્રતીક છે. મૂળ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યાને આમૂલ અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે. જો કોઈ ઘાતાંક ન હોય, તો મૂળ એ વર્ગમૂળ છે, અન્યથા અંક સૂચવે છે...

વાસ્તવિક સંખ્યા a ની nમી ઘાતનું અંકગણિત મૂળ એ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા x છે જેની nમી ઘાત એ સંખ્યા a જેટલી છે. તે. (n) a = x, x^n = a. અંકગણિત મૂળ અને તર્કસંગત સંખ્યા ઉમેરવાની વિવિધ રીતો છે...

વાસ્તવિક સંખ્યા aનું nમું મૂળ એ સંખ્યા b છે જેના માટે સમાનતા b^n = a ધરાવે છે. નકારાત્મક અને સકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે વિચિત્ર મૂળ અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ મૂળ માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.…

શુભેચ્છાઓ, બિલાડીઓ! છેલ્લી વખતે અમે મૂળ શું છે તેની વિગતવાર ચર્ચા કરી હતી (જો તમને યાદ ન હોય, તો હું તેને વાંચવાની ભલામણ કરું છું). તે પાઠમાંથી મુખ્ય ઉપાડ: મૂળની માત્ર એક જ સાર્વત્રિક વ્યાખ્યા છે, જે તમારે જાણવાની જરૂર છે. બાકી બકવાસ અને સમયનો બગાડ છે.

આજે આપણે વધુ આગળ વધીએ છીએ. આપણે મૂળનો ગુણાકાર કરવાનું શીખીશું, આપણે ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી કેટલીક સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કરીશું (જો આ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ ન આવે તો તે પરીક્ષામાં જીવલેણ બની શકે છે) અને આપણે યોગ્ય રીતે પ્રેક્ટિસ કરીશું. તેથી પોપકોર્નનો સ્ટોક કરો, આરામદાયક થાઓ અને ચાલો પ્રારંભ કરીએ :)

તમે હજી સુધી ધૂમ્રપાન કર્યું નથી, ખરું ને?

પાઠ ખૂબ લાંબો બન્યો, તેથી મેં તેને બે ભાગોમાં વહેંચ્યો:

1. પહેલા આપણે ગુણાકારના નિયમો જોઈશું. કેપ ઇશારો કરતી હોય તેવું લાગે છે: આ ત્યારે છે જ્યારે બે મૂળ હોય છે, તેમની વચ્ચે "ગુણાકાર" ચિહ્ન હોય છે - અને અમે તેની સાથે કંઈક કરવા માંગીએ છીએ.
2. પછી ચાલો વિપરીત પરિસ્થિતિ જોઈએ: એક મોટું મૂળ છે, પરંતુ અમે તેને બે સરળ મૂળના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવાની પ્રેરણા આપી હતી. આ શા માટે જરૂરી છે, તે એક અલગ પ્રશ્ન છે. અમે ફક્ત અલ્ગોરિધમનું વિશ્લેષણ કરીશું.

જેઓ તરત જ બીજા ભાગ પર જવા માટે રાહ જોઈ શકતા નથી, તેઓ માટે તમારું સ્વાગત છે. ચાલો બાકીના ક્રમમાં શરૂ કરીએ.

ગુણાકારનો મૂળભૂત નિયમ

ચાલો સૌથી સરળ વસ્તુથી શરૂ કરીએ - ક્લાસિક ચોરસ મૂળ. તે જ જે $\sqrt(a)$ અને $\sqrt(b)$ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તેમના માટે બધું સ્પષ્ટ છે:

ગુણાકારનો નિયમ. એક વર્ગમૂળને બીજા વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમે ફક્ત તેમના આમૂલ અભિવ્યક્તિઓનો ગુણાકાર કરો અને સામાન્ય આમૂલ હેઠળ પરિણામ લખો:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

જમણી કે ડાબી બાજુની સંખ્યાઓ પર કોઈ વધારાના નિયંત્રણો લાદવામાં આવ્યા નથી: જો મૂળ પરિબળો અસ્તિત્વમાં છે, તો ઉત્પાદન પણ અસ્તિત્વમાં છે.

ઉદાહરણો. ચાલો એકસાથે સંખ્યાઓ સાથે ચાર ઉદાહરણો જોઈએ:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ નિયમનો મુખ્ય અર્થ અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવાનો છે. અને જો પ્રથમ ઉદાહરણમાં આપણે કોઈપણ નવા નિયમો વિના 25 અને 4 ના મૂળ જાતે કાઢ્યા હોત, તો વસ્તુઓ અઘરી બની જાય છે: $\sqrt(32)$ અને $\sqrt(2)$ પોતાને દ્વારા ગણવામાં આવતા નથી, પરંતુ તેમનું ઉત્પાદન સંપૂર્ણ ચોરસ હોવાનું બહાર આવ્યું છે, તેથી તેનું મૂળ તર્કસંગત સંખ્યા જેટલું છે.

હું ખાસ કરીને છેલ્લી લાઇનને પ્રકાશિત કરવા માંગુ છું. ત્યાં, બંને આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ અપૂર્ણાંક છે. ઉત્પાદન માટે આભાર, ઘણા પરિબળો રદ કરવામાં આવે છે, અને સમગ્ર અભિવ્યક્તિ પર્યાપ્ત સંખ્યામાં ફેરવાય છે.

અલબત્ત, વસ્તુઓ હંમેશા એટલી સુંદર હોતી નથી. કેટલીકવાર મૂળ હેઠળ સંપૂર્ણ વાસણ હશે - તે સ્પષ્ટ નથી કે તેની સાથે શું કરવું અને ગુણાકાર પછી તેને કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું. થોડી વાર પછી, જ્યારે તમે અતાર્કિક સમીકરણો અને અસમાનતાઓનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરશો, ત્યાં તમામ પ્રકારના ચલો અને કાર્યો હશે. અને ઘણી વાર, સમસ્યા લેખકો એ હકીકત પર વિશ્વાસ કરે છે કે તમે કેટલીક રદ કરવાની શરતો અથવા પરિબળો શોધી શકશો, જેના પછી સમસ્યા ઘણી વખત સરળ કરવામાં આવશે.

વધુમાં, બરાબર બે મૂળનો ગુણાકાર કરવો જરૂરી નથી. તમે એક સાથે ત્રણ, ચાર અથવા તો દસનો ગુણાકાર કરી શકો છો! આનાથી નિયમ બદલાશે નહીં. એક નજર નાખો:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

અને ફરીથી બીજા ઉદાહરણ પર એક નાની નોંધ. જેમ તમે જોઈ શકો છો, રુટ હેઠળ ત્રીજા પરિબળમાં દશાંશ અપૂર્ણાંક છે - ગણતરીની પ્રક્રિયામાં આપણે તેને નિયમિત સાથે બદલીએ છીએ, જેના પછી બધું સરળતાથી ઘટે છે. તેથી: હું કોઈપણ અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓ (એટલે ​​​​કે ઓછામાં ઓછું એક આમૂલ પ્રતીક ધરાવતું) માં દશાંશ અપૂર્ણાંકથી છૂટકારો મેળવવાની ખૂબ ભલામણ કરું છું. આ તમને ભવિષ્યમાં ઘણો સમય અને ચેતા બચાવશે.

પરંતુ આ એક ગીતાત્મક વિષયાંતર હતું. હવે ચાલો વધુ સામાન્ય કેસને ધ્યાનમાં લઈએ - જ્યારે રુટ ઘાતાંકમાં મનસ્વી સંખ્યા $n$ હોય છે, અને માત્ર "શાસ્ત્રીય" બે જ નહીં.

મનસ્વી સૂચકનો કેસ

તેથી, અમે વર્ગમૂળને સૉર્ટ કર્યા છે. ક્યુબિક રાશિઓ સાથે શું કરવું? અથવા મનસ્વી ડિગ્રીના મૂળ સાથે પણ $n$? હા, બધું સરખું છે. નિયમ એ જ રહે છે:

ડિગ્રી $n$ ના બે મૂળનો ગુણાકાર કરવા માટે, તે તેમના આમૂલ અભિવ્યક્તિઓનો ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે, અને પછી પરિણામને એક રેડિકલ હેઠળ લખો.

સામાન્ય રીતે, કંઈ જટિલ નથી. તે સિવાય ગણતરીની રકમ વધારે હોઈ શકે છે. ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ:

ઉદાહરણો. ઉત્પાદનોની ગણતરી કરો:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3)) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

અને ફરીથી, બીજી અભિવ્યક્તિ પર ધ્યાન આપો. આપણે ઘનમૂળનો ગુણાકાર કરીએ છીએ, દશાંશ અપૂર્ણાંકથી છૂટકારો મેળવીએ છીએ અને અંતમાં છેદ 625 અને 25 નંબરના ગુણાંક તરીકે આવે છે. આ ઘણી મોટી સંખ્યા છે - વ્યક્તિગત રીતે, હું વ્યક્તિગત રીતે સમજી શકતો નથી કે તે બરાબર શું છે. બેટ

તેથી અમે ફક્ત અંશ અને છેદમાં ચોક્કસ સમઘનને અલગ કર્યું, અને પછી $n$th મૂળના મુખ્ય ગુણધર્મો (અથવા, જો તમે પસંદ કરો, તો વ્યાખ્યા)માંથી એકનો ઉપયોગ કર્યો:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right| \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

આવા "કાવચનો" પરીક્ષા અથવા પરીક્ષામાં તમારો ઘણો સમય બચાવી શકે છે, તેથી યાદ રાખો:

આમૂલ અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે ઉતાવળ કરશો નહીં. પ્રથમ, તપાસો: જો કોઈપણ અભિવ્યક્તિની ચોક્કસ ડિગ્રી ત્યાં “એનક્રિપ્ટેડ” હોય તો શું?

આ ટિપ્પણીની સ્પષ્ટતા હોવા છતાં, મારે સ્વીકારવું જોઈએ કે મોટાભાગના તૈયારી વિનાના વિદ્યાર્થીઓ પોઈન્ટ-બ્લેન્ક રેન્જમાં ચોક્કસ ડિગ્રી જોતા નથી. તેના બદલે, તેઓ દરેક વસ્તુનો સંપૂર્ણ ગુણાકાર કરે છે, અને પછી આશ્ચર્ય થાય છે: તેમને આવા ક્રૂર નંબરો કેમ મળ્યા :)?

જો કે, હવે આપણે જે અભ્યાસ કરીશું તેની તુલનામાં આ બધી બેબી ટોક છે.

વિવિધ ઘાતાંક સાથે મૂળનો ગુણાકાર

ઠીક છે, હવે આપણે સમાન સૂચકાંકો સાથે મૂળનો ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ. જો સૂચકાંકો અલગ હોય તો શું? ચાલો કહીએ કે, સામાન્ય $\sqrt(2)$ ને $\sqrt(23)$ જેવા કેટલાક વાહિયાત વડે કેવી રીતે ગુણાકાર કરવો? શું આ કરવું પણ શક્ય છે?

હા અલબત્ત તમે કરી શકો છો. બધું આ સૂત્ર અનુસાર કરવામાં આવે છે:

મૂળના ગુણાકાર માટેનો નિયમ. $\sqrt[n](a)$ ને $\sqrt[p](b)$ વડે ગુણાકાર કરવા માટે, નીચેના રૂપાંતરણ કરવા માટે તે પૂરતું છે:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))\]

જો કે, આ સૂત્ર માત્ર ત્યારે જ કામ કરે છે જો આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ બિન-નકારાત્મક છે. આ એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ મુદ્દો છે જેના પર આપણે થોડા સમય પછી પાછા આવીશું.

હમણાં માટે, ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, કંઈ જટિલ નથી. હવે આપણે જાણીએ કે બિન-નકારાત્મકતાની આવશ્યકતા ક્યાંથી આવી છે અને જો આપણે તેનું ઉલ્લંઘન કરીશું તો શું થશે :)

શા માટે આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ બિન-નકારાત્મક હોવી જોઈએ?

અલબત્ત, તમે શાળાના શિક્ષકો જેવા બની શકો છો અને સ્માર્ટ દેખાવ સાથે પાઠ્યપુસ્તકને ટાંકી શકો છો:

બિન-નકારાત્મકતાની જરૂરિયાત સમાન અને વિષમ ડિગ્રીના મૂળની વિવિધ વ્યાખ્યાઓ સાથે સંકળાયેલી છે (તે મુજબ, તેમની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રો પણ અલગ છે).

સારું, શું તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે? અંગત રીતે, જ્યારે મેં 8મા ધોરણમાં આ નોનસેન્સ વાંચ્યું, ત્યારે મને નીચે મુજબ કંઈક સમજાયું: "નૉન-નેગેટિવિટીની જરૂરિયાત *#&^@(*#@^#)~%" સાથે સંકળાયેલી છે - ટૂંકમાં, મેં સમજી લીધું તે સમયે કંઈ સમજાયું નહીં :)

તો હવે હું બધું સામાન્ય રીતે સમજાવીશ.

પ્રથમ, ચાલો જોઈએ કે ઉપરોક્ત ગુણાકાર સૂત્ર ક્યાંથી આવે છે. આ કરવા માટે, ચાલો હું તમને રુટની એક મહત્વપૂર્ણ મિલકતની યાદ અપાવીશ:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે આમૂલ અભિવ્યક્તિને કોઈપણ કુદરતી શક્તિ $k$ સુધી સરળતાથી વધારી શકીએ છીએ - આ કિસ્સામાં, મૂળના ઘાતાંકને સમાન શક્તિથી ગુણાકાર કરવો પડશે. તેથી, આપણે કોઈપણ મૂળને સામાન્ય ઘાતાંકમાં સરળતાથી ઘટાડી શકીએ છીએ, અને પછી તેનો ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ. આ તે છે જ્યાંથી ગુણાકાર સૂત્ર આવે છે:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))\]

પરંતુ એક સમસ્યા છે જે આ તમામ સૂત્રોના ઉપયોગને તીવ્રપણે મર્યાદિત કરે છે. આ નંબર ધ્યાનમાં લો:

હમણાં આપેલ સૂત્ર મુજબ, આપણે કોઈપણ ડિગ્રી ઉમેરી શકીએ છીએ. ચાલો $k=2$ ઉમેરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

\[\sqrt(-5)=\sqrt((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt((5)^(2))\]

અમે માઈનસને ચોક્કસ રીતે દૂર કર્યું કારણ કે ચોરસ માઈનસને બાળે છે (અન્ય સમાન ડિગ્રીની જેમ). હવે ચાલો રિવર્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન કરીએ: ઘાતાંક અને શક્તિમાં બેને "ઘટાડો". છેવટે, કોઈપણ સમાનતાને ડાબેથી જમણે અને જમણેથી ડાબે વાંચી શકાય છે:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

પરંતુ પછી તે એક પ્રકારની વાહિયાત હોવાનું બહાર આવ્યું છે:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

આ થઈ શકતું નથી, કારણ કે $\sqrt(-5) \lt 0$, અને $\sqrt(5) \gt 0$. આનો અર્થ એ છે કે શક્તિઓ અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે પણ આપણું સૂત્ર હવે કામ કરતું નથી. તે પછી અમારી પાસે બે વિકલ્પો છે:

1. દિવાલ પર ટક્કર મારવી અને જણાવવું કે ગણિત એક મૂર્ખ વિજ્ઞાન છે, જ્યાં "કેટલાક નિયમો છે, પરંતુ તે અચોક્કસ છે";
2. વધારાના નિયંત્રણો રજૂ કરો કે જેના હેઠળ ફોર્મ્યુલા 100% કાર્યરત બનશે.

પ્રથમ વિકલ્પમાં, અમારે સતત "નૉન-વર્કિંગ" કેસ પકડવા પડશે - તે મુશ્કેલ, સમય માંગી લે તેવું અને સામાન્ય રીતે ઉફ છે. તેથી, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ બીજો વિકલ્પ પસંદ કર્યો :)

પરંતુ ચિંતા કરશો નહીં! વ્યવહારમાં, આ મર્યાદા ગણતરીઓને કોઈપણ રીતે અસર કરતી નથી, કારણ કે વર્ણવેલ બધી સમસ્યાઓ ફક્ત વિચિત્ર ડિગ્રીના મૂળની ચિંતા કરે છે, અને તેમાંથી ઓછા લઈ શકાય છે.

તેથી, ચાલો આપણે એક વધુ નિયમ ઘડીએ, જે સામાન્ય રીતે મૂળ સાથેની બધી ક્રિયાઓને લાગુ પડે છે:

મૂળનો ગુણાકાર કરતા પહેલા, ખાતરી કરો કે આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ બિન-નકારાત્મક છે.

ઉદાહરણ. $\sqrt(-5)$ નંબરમાં તમે મૂળ ચિહ્નની નીચેથી બાદબાકી દૂર કરી શકો છો - પછી બધું સામાન્ય થઈ જશે:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

શું તમે તફાવત અનુભવો છો? જો તમે મૂળની નીચે માઈનસ છોડો છો, તો પછી જ્યારે આમૂલ અભિવ્યક્તિ ચોરસ થાય છે, ત્યારે તે અદૃશ્ય થઈ જશે, અને વાહિયાત શરૂ થશે. અને જો તમે પહેલા માઈનસ કાઢો છો, તો તમે જ્યાં સુધી ચહેરા પર વાદળી ન થઈ જાઓ ત્યાં સુધી તમે ચોરસ બનાવી/દૂર કરી શકો છો - સંખ્યા નકારાત્મક રહેશે :)

આમ, મૂળનો ગુણાકાર કરવાની સૌથી સાચી અને સૌથી વિશ્વસનીય રીત નીચે મુજબ છે:

1. રેડિકલમાંથી તમામ નકારાત્મક દૂર કરો. માઈનસ માત્ર વિચિત્ર ગુણાકારના મૂળમાં જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે - તે મૂળની સામે મૂકી શકાય છે અને જો જરૂરી હોય તો ઘટાડી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો આમાંથી બે ઓછા હોય તો).
2. આજના પાઠમાં ઉપર જણાવેલ નિયમો અનુસાર ગુણાકાર કરો. જો મૂળના સૂચકાંકો સમાન હોય, તો આપણે ફક્ત આમૂલ અભિવ્યક્તિઓનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. અને જો તેઓ અલગ હોય, તો અમે દુષ્ટ સૂત્ર \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ^(n) ))\].
3. 3. પરિણામ અને સારા ગ્રેડનો આનંદ માણો. :)

સારું? શું આપણે પ્રેક્ટિસ કરીશું?

ઉદાહરણ 1: અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \sqrt(64)=-4; \અંત(સંરેખિત કરો)\]

આ સૌથી સરળ વિકલ્પ છે: મૂળ સમાન અને વિચિત્ર છે, એકમાત્ર સમસ્યા એ છે કે બીજું પરિબળ નકારાત્મક છે. અમે આ બાદબાકીને ચિત્રમાંથી બહાર લઈએ છીએ, જેના પછી બધું સરળતાથી ગણવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2: અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left((2)^(5)) \right)^(3))\cdot ((\left((2)^(2)) \જમણે))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( સંરેખિત કરો)\]

અહીં, ઘણા લોકો એ હકીકતથી મૂંઝવણમાં હશે કે આઉટપુટ અતાર્કિક સંખ્યા હોવાનું બહાર આવ્યું છે. હા, તે થાય છે: અમે મૂળથી સંપૂર્ણપણે છુટકારો મેળવી શક્યા નથી, પરંતુ ઓછામાં ઓછા અમે અભિવ્યક્તિને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવી છે.

ઉદાહરણ 3: અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \જમણે))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

હું આ કાર્ય તરફ તમારું ધ્યાન દોરવા માંગુ છું. અહીં બે મુદ્દા છે:

1. રુટ એ ચોક્કસ સંખ્યા અથવા શક્તિ નથી, પરંતુ ચલ $a$ છે. પ્રથમ નજરમાં, આ થોડું અસામાન્ય છે, પરંતુ વાસ્તવમાં, ગાણિતિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે મોટાભાગે ચલો સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે.
2. અંતે, અમે આમૂલ સૂચક અને આમૂલ અભિવ્યક્તિની ડિગ્રીને "ઘટાડવા" વ્યવસ્થાપિત થયા. આ ઘણી વાર થાય છે. અને આનો અર્થ એ છે કે જો તમે મૂળભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ ન કર્યો હોય તો ગણતરીઓને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવવાનું શક્ય હતું.

ઉદાહરણ તરીકે, તમે આ કરી શકો છો:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((a)^(8)) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\અંત(સંરેખિત કરો)\]

વાસ્તવમાં, બધા પરિવર્તનો માત્ર બીજા આમૂલ સાથે કરવામાં આવ્યા હતા. અને જો તમે બધા મધ્યવર્તી પગલાઓનું વિગતવાર વર્ણન કરશો નહીં, તો અંતે ગણતરીઓની માત્રામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થશે.

વાસ્તવમાં, જ્યારે અમે $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ ઉદાહરણને હલ કર્યું ત્યારે અમે ઉપર સમાન કાર્યનો સામનો કરી ચૂક્યા છીએ. હવે તે વધુ સરળ લખી શકાય છે:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ઠીક છે, અમે મૂળના ગુણાકારને છટણી કરી છે. હવે ચાલો વિપરીત કામગીરીને ધ્યાનમાં લઈએ: જ્યારે રુટ હેઠળ ઉત્પાદન હોય ત્યારે શું કરવું?

સંખ્યાનું વર્ગમૂળ એક્સનંબર કહેવાય છે એ, જે પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની પ્રક્રિયામાં ( A*A) નંબર આપી શકે છે એક્સ.
તે. A * A = A 2 = X, અને √X = A.

ચોરસ મૂળ ઉપર ( √x), અન્ય સંખ્યાઓની જેમ, તમે બાદબાકી અને સરવાળો જેવી અંકગણિત કામગીરી કરી શકો છો. બાદબાકી કરવા અને મૂળ ઉમેરવા માટે, તેમને આ ક્રિયાઓને અનુરૂપ ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને કનેક્ટ કરવાની જરૂર છે (ઉદાહરણ તરીકે √x — √y ).
અને પછી મૂળને તેમના સરળ સ્વરૂપમાં લાવો - જો તેમની વચ્ચે સમાન હોય, તો ઘટાડો કરવો જરૂરી છે. તે અનુરૂપ પદોના ચિહ્નો સાથે સમાન પદોના ગુણાંક લેવા, પછી તેને કૌંસમાં મૂકવા અને પરિબળના કૌંસની બહારના સામાન્ય મૂળને ઘટાડવાનો સમાવેશ કરે છે. અમે મેળવેલ ગુણાંક સામાન્ય નિયમો અનુસાર સરળ છે.

પગલું 1: ચોરસ મૂળ કાઢવા

સૌપ્રથમ, વર્ગમૂળ ઉમેરવા માટે, તમારે પહેલા આ મૂળ કાઢવાની જરૂર છે. જો મૂળ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યાઓ સંપૂર્ણ ચોરસ હોય તો આ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપેલ અભિવ્યક્તિ લો √4 + √9 . પ્રથમ નંબર 4 સંખ્યાનો વર્ગ છે 2 . બીજો નંબર 9 સંખ્યાનો વર્ગ છે 3 . આમ, આપણે નીચેની સમાનતા મેળવી શકીએ છીએ: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
તે છે, ઉદાહરણ ઉકેલાઈ ગયું છે. પરંતુ તે હંમેશા આસાનીથી બનતું નથી.

પગલું 2. મૂળની નીચેથી સંખ્યાના ગુણકને બહાર કાઢો

જો રુટ ચિહ્ન હેઠળ કોઈ સંપૂર્ણ ચોરસ ન હોય, તો તમે મૂળ ચિહ્નની નીચેથી સંખ્યાના ગુણકને દૂર કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો અભિવ્યક્તિ લઈએ √24 + √54 .

સંખ્યાઓનો પરિબળ કરો:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

વચ્ચે 24 અમારી પાસે ગુણક છે 4 , તે વર્ગમૂળ ચિહ્ન હેઠળથી બહાર લઈ શકાય છે. વચ્ચે 54 અમારી પાસે ગુણક છે 9 .

અમને સમાનતા મળે છે:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

આ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લેતા, અમે રુટ ચિહ્નની નીચેથી ગુણકને દૂર કરીએ છીએ, આ રીતે આપેલ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ છીએ.

પગલું 3: છેદ ઘટાડવું

નીચેની પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લો: બે વર્ગમૂળનો સરવાળો એ અપૂર્ણાંકનો છેદ છે, ઉદાહરણ તરીકે, A/(√a + √b).
હવે આપણે "છેદમાં અતાર્કિકતાથી છૂટકારો મેળવવા" ના કાર્યનો સામનો કરી રહ્યા છીએ.
ચાલો નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ: અભિવ્યક્તિ દ્વારા અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરો √a - √b.

હવે આપણને છેદમાં સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્ર મળે છે:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

તેવી જ રીતે, જો છેદમાં મૂળ તફાવત હોય તો: √a - √b, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે √a + √b.

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે અપૂર્ણાંક લઈએ:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

જટિલ છેદ ઘટાડાનું ઉદાહરણ

હવે આપણે છેદમાં અતાર્કિકતાથી છુટકારો મેળવવાના એક જટિલ ઉદાહરણ પર વિચાર કરીશું.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો એક અપૂર્ણાંક લઈએ: 12 / (√2 + √3 + √5) .
તમારે તેના અંશ અને છેદ લેવા અને અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

પગલું 4. કેલ્ક્યુલેટર પર અંદાજિત મૂલ્યની ગણતરી કરો

જો તમને માત્ર અંદાજિત મૂલ્યની જરૂર હોય, તો આ વર્ગમૂળના મૂલ્યની ગણતરી કરીને કેલ્ક્યુલેટર પર કરી શકાય છે. મૂલ્ય દરેક સંખ્યા માટે અલગથી ગણવામાં આવે છે અને જરૂરી ચોકસાઈ સાથે લખવામાં આવે છે, જે દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આગળ, સામાન્ય સંખ્યાઓની જેમ તમામ જરૂરી કામગીરી કરવામાં આવે છે.

અંદાજિત મૂલ્યની ગણતરીનું ઉદાહરણ

આ અભિવ્યક્તિના અંદાજિત મૂલ્યની ગણતરી કરવી જરૂરી છે √7 + √5 .

પરિણામે આપણને મળે છે:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: કોઈ પણ સંજોગોમાં તમારે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ તરીકે વર્ગમૂળ ઉમેરવું જોઈએ નહીં; આ સંપૂર્ણપણે અસ્વીકાર્ય છે. એટલે કે, જો આપણે પાંચનું વર્ગમૂળ અને ત્રણનું વર્ગમૂળ ઉમેરીએ, તો આપણે આઠનું વર્ગમૂળ મેળવી શકતા નથી.

મદદરૂપ સલાહ: જો તમે કોઈ સંખ્યાને અવયવિત કરવાનું નક્કી કરો છો, તો મૂળ ચિન્હની નીચેથી ચોરસ મેળવવા માટે, તમારે વિપરીત તપાસ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, ગણતરીઓથી પરિણમેલા તમામ પરિબળોનો ગુણાકાર કરો અને આના અંતિમ પરિણામ ગાણિતિક ગણતરી એ સંખ્યા હોવી જોઈએ જે મૂળરૂપે અમને આપવામાં આવી હતી.

મૂળ બાદબાકી માટે નિયમો

1. બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓના ઉત્પાદનમાંથી ડિગ્રીનું મૂળ પરિબળોમાંથી સમાન ડિગ્રીના મૂળના ગુણાંક જેટલું છે: જ્યાં (ઉત્પાદનમાંથી મૂળ કાઢવાનો નિયમ).

2. જો , તો y (અપૂર્ણાંકનું મૂળ કાઢવાનો નિયમ).

3. જો પછી (મૂળમાંથી મૂળ કાઢવાનો નિયમ).

4. જો પછી મૂળને શક્તિમાં વધારવાનો નિયમ).

5. જો પછી ક્યાં, એટલે કે, મૂળના ઘાતાંક અને આમૂલ અભિવ્યક્તિના ઘાતાંકને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરી શકાય.

6. જો પછી 0, એટલે કે, મોટી સકારાત્મક આમૂલ અભિવ્યક્તિ મૂળના મોટા મૂલ્યને અનુલક્ષે છે.

7. ઉપરોક્ત તમામ સૂત્રો વારંવાર વિપરીત ક્રમમાં લાગુ કરવામાં આવે છે (એટલે ​​કે જમણેથી ડાબે). ઉદાહરણ તરીકે,

(મૂળના ગુણાકારનો નિયમ);

(રુટ વિભાજનનો નિયમ);

8. રૂટ ચિહ્નની નીચેથી ગુણકને દૂર કરવાનો નિયમ. મુ

9. વ્યસ્ત સમસ્યા મૂળની નિશાની હેઠળ ગુણક રજૂ કરી રહી છે. ઉદાહરણ તરીકે,

10. અપૂર્ણાંકના છેદમાં અતાર્કિકતા દૂર કરવી.

ચાલો કેટલાક લાક્ષણિક કિસ્સાઓ જોઈએ.

• શબ્દનો અર્થ શબ્દોનો અર્થ સમજાવો: કાયદો, વ્યાજખોર, ગુલામ-દેવાદાર. શબ્દોનો અર્થ સમજાવો: કાયદો, વ્યાજખોર, ગુલામ-દેવાદાર. સ્વાદિષ્ટ સ્ટ્રોબેરી (અતિથિ) શાળાઓ વિષય પર પ્રશ્નો 1. કયા 3 પ્રકારો વિભાજિત કરી શકાય […]
• શું તમને કારમાં રેડિયો વાપરવા માટે પરવાનગીની જરૂર છે? હું તેને ક્યાં વાંચી શકું? તમારે કોઈપણ સંજોગોમાં તમારા રેડિયો સ્ટેશનની નોંધણી કરવાની જરૂર છે. વોકી-ટોકી જે 462MHz ની આવર્તન પર કાર્ય કરે છે, જો તમે આંતરિક બાબતોના મંત્રાલયના પ્રતિનિધિ નથી, તો તે નથી […]
• સિંગલ ટેક્સ રેટ - 2018 ધ સિંગલ ટેક્સ રેટ - પ્રથમ અને બીજા જૂથના ઉદ્યોગસાહસિકો-વ્યક્તિઓ માટે 2018 ની ગણતરી જીવન ખર્ચની ટકાવારી અને 1 જાન્યુઆરીથી સ્થાપિત લઘુત્તમ વેતન તરીકે કરવામાં આવે છે […]
• Avto વીમા કાયદેસરતા ગેરંટી. શું તમે જાતે OSAGO ઇમેઇલ સરનામું બનાવવાનું નક્કી કર્યું છે, પરંતુ તમારા માટે કંઈ કામ કરતું નથી? !!હું તમારા માટે વીમા ઇલેક્ટ્રોનિક એપ્લિકેશનમાં તમામ જરૂરી ડેટા દાખલ કરીશ […]
• આબકારી કરની ગણતરી અને ચૂકવણી માટેની પ્રક્રિયા આબકારી કર એ સામાન અને સેવાઓ પરના પરોક્ષ કરમાંથી એક છે, જે તેમની કિંમતમાં સામેલ છે. એક્સાઇઝ ટેક્સ VAT કરતા અલગ છે કારણ કે તે તેના પર લાદવામાં આવે છે […]
• અરજી. રોસ્ટોવ-ઓન-ડોન શહેરની જમીનના ઉપયોગ અને વિકાસ માટેના નિયમો જૂન 17, 2008 ના સિટી ડુમાના નિર્ણયને પરિશિષ્ટ N 405 જમીનના ઉપયોગ અને રોસ્ટોવ-ઓન-ડોન શહેરના વિકાસ માટેના નિયમો અને [... ]

ઉદાહરણ તરીકે,

11. અંકગણિત મૂળ સાથેની કામગીરીમાં સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર ઓળખનો ઉપયોગ:

12. મૂળની સામેના અવયવને તેનો ગુણાંક કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અહીં 3 ગુણાંક છે.

13. જો મૂળ સૂચકાંકો અને સમાન આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ હોય અને માત્ર ગુણાંકમાં જ ભિન્ન હોય તો મૂળ (રેડિકલ) સમાન કહેવાય છે. આ મૂળ (રેડિકલ) સમાન છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે, તમારે તેમને તેમના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અને ત્યારથી સમાન છે

ઉકેલો સાથેની કસરતો

1. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

ઉકેલ. 1) આમૂલ અભિવ્યક્તિનો ગુણાકાર કરવાનો કોઈ અર્થ નથી, કારણ કે દરેક પરિબળ પૂર્ણાંકના વર્ગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ચાલો ઉત્પાદનના મૂળને કાઢવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:

ભવિષ્યમાં, અમે આવી ક્રિયાઓ મૌખિક રીતે કરીશું.

2) ચાલો, જો શક્ય હોય તો, આમૂલ અભિવ્યક્તિને પરિબળના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, જેમાંથી દરેક પૂર્ણાંકનો ઘન છે, અને ઉત્પાદનના મૂળ વિશેનો નિયમ લાગુ કરો:

2. અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો:

ઉકેલ. 1) અપૂર્ણાંકના મૂળને કાઢવાના નિયમ મુજબ, અમારી પાસે છે:

3) આમૂલ અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરો અને મૂળ કાઢો:

3. જ્યારે સરળ બનાવો

ઉકેલ. મૂળમાંથી મૂળ કાઢતી વખતે, મૂળના સૂચકાંકો ગુણાકાર થાય છે, પરંતુ આમૂલ અભિવ્યક્તિ યથાવત રહે છે.

જો રુટની નીચે સ્થિત મૂળની સામે કોઈ ગુણાંક હોય, તો મૂળને કાઢવાની કામગીરી કરતા પહેલા, આ ગુણાંકને આમૂલની નિશાની હેઠળ દાખલ કરો જેની સામે તે દેખાય છે.

ઉપરોક્ત નિયમોના આધારે, ચાલો છેલ્લા બે મૂળ કાઢીએ:

4. શક્તિમાં વધારો:

ઉકેલ. જ્યારે મૂળને ઘાતમાં વધારતા હોય, ત્યારે મૂળના ઘાતાંક યથાવત રહે છે, અને આમૂલ અભિવ્યક્તિના ઘાતાંકનો ઘાતાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

(તે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી, પછી);

જો આપેલ રુટમાં ગુણાંક હોય, તો આ ગુણાંકને અલગથી ઘાતમાં વધારવામાં આવે છે અને પરિણામ મૂળના ગુણાંક તરીકે લખવામાં આવે છે.

અહીં અમે નિયમનો ઉપયોગ કર્યો છે કે મૂળના સૂચક અને આમૂલ અભિવ્યક્તિના સૂચકને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે (અમે વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, એટલે કે, 2 વડે ભાગ્યા છીએ).

ઉદાહરણ તરીકે, અથવા

4) કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ, જે બે અલગ-અલગ રેડિકલના સરવાળાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તેને ઘન અને સરળ બનાવેલ છે:

કારણ કે અમારી પાસે છે:

5. છેદમાં અતાર્કિકતા દૂર કરો:

ઉકેલ. અપૂર્ણાંકના છેદમાં અતાર્કિકતાને દૂર કરવા (નાશ) કરવા માટે, તમારે સૌથી સરળ અભિવ્યક્તિ શોધવાની જરૂર છે, જે છેદ સાથેના ઉત્પાદનમાં તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ આપે છે અને આ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને મળેલા પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો અપૂર્ણાંકના છેદમાં દ્વિપદી હોય, તો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને છેદના સંયોજક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે, એટલે કે, સરવાળો અનુરૂપ તફાવત દ્વારા ગુણાકાર કરવો જોઈએ અને તેનાથી ઊલટું.

વધુ જટિલ કેસોમાં, અતાર્કિકતા તરત જ નાશ પામતી નથી, પરંતુ કેટલાક તબક્કામાં.

1) અભિવ્યક્તિ હોવી આવશ્યક છે

અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવાથી આપણને મળે છે:

2) અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સરવાળાના આંશિક વર્ગ દ્વારા ગુણાકાર કરવાથી, આપણને મળે છે:

3) ચાલો અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ:

આ ઉદાહરણને ઉકેલતી વખતે, આપણે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે દરેક અપૂર્ણાંકનો એક અર્થ છે, એટલે કે, દરેક અપૂર્ણાંકનો છેદ શૂન્ય નથી. ઉપરાંત,

રેડિકલ ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરતી વખતે, ઘણી વાર ભૂલો થાય છે. તેઓ અંકગણિત મૂળ અને સંપૂર્ણ મૂલ્યની ખ્યાલ (વ્યાખ્યા) ને યોગ્ય રીતે લાગુ કરવામાં અસમર્થતાને કારણે થાય છે.

મૂળ બાદબાકી માટે નિયમો

અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરો

ઉકેલ.

સમજૂતી.
આમૂલ અભિવ્યક્તિને સંકુચિત કરવા માટે, તેની આમૂલ અભિવ્યક્તિના બીજા અવયવમાં 15+16 ના સરવાળા તરીકે 31 નંબરની કલ્પના કરો. (લાઇન 2)

રૂપાંતર પછી, તે સ્પષ્ટ છે કે બીજા આમૂલ અભિવ્યક્તિમાંના સરવાળાને સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સરવાળાના વર્ગ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. (લાઇન 3)

હવે ચાલો આ ઉત્પાદનના દરેક મૂળની શક્તિ તરીકે કલ્પના કરીએ. (લાઇન 4)

ચાલો અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ (પંક્તિ 5)

કારણ કે ઉત્પાદનની ડિગ્રી દરેક પરિબળની ડિગ્રીના ગુણાંક જેટલી હોય છે, અમે તેને તે મુજબ રજૂ કરીએ છીએ (લાઇન 6)

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આપણી પાસે બે સંખ્યાના વર્ગો વચ્ચેનો તફાવત છે. ત્યાંથી આપણે અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ (લાઇન 7)

અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

સમજૂતી.

આપણે મૂળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે સંખ્યાઓના ભાગની મનસ્વી શક્તિનું મૂળ આ સંખ્યાઓના મૂળના ભાગ (રેખા 2) બરાબર છે.

સમાન શક્તિની સંખ્યાની મનસ્વી શક્તિનું મૂળ આ સંખ્યા (રેખા 3) બરાબર છે

ચાલો પ્રથમ અવયવના કૌંસમાંથી બાદબાકી લઈએ. આ કિસ્સામાં, કૌંસની અંદરના તમામ ચિહ્નો વિરુદ્ધમાં બદલાશે (લાઇન 4)

ચાલો અપૂર્ણાંક ઘટાડો કરીએ (પંક્તિ 5)

ચાલો નંબર 729 ને નંબર 27 ના વર્ગ તરીકે અને નંબર 27 ને નંબર 3 ના ઘન તરીકે કલ્પના કરીએ. ત્યાંથી આપણે આમૂલ અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય મેળવીએ છીએ.

ચોરસ મૂળ. પ્રવેશ સ્તર.

શું તમે તમારી શક્તિનું પરીક્ષણ કરવા અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અથવા યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે તમે કેટલા તૈયાર છો તેનું પરિણામ જાણવા માંગો છો?

1. અંકગણિત વર્ગમૂળના ખ્યાલનો પરિચય

બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ (અંકગણિત વર્ગમૂળ) એ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ બરાબર છે.
.

મૂળ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ બિન-નકારાત્મક હોવી જોઈએ

2. ચોરસનું કોષ્ટક

3. અંકગણિત વર્ગમૂળના ગુણધર્મો

અંકગણિત વર્ગમૂળની વિભાવનાનો પરિચય

ચાલો એ સમજવાનો પ્રયત્ન કરીએ કે આ “મૂળ” કેવા પ્રકારનો ખ્યાલ છે અને “તે શેની સાથે ખવાય છે.” આ કરવા માટે, ચાલો એવા ઉદાહરણો જોઈએ કે જેનો તમે વર્ગમાં પહેલેથી જ સામનો કર્યો છે (સારું, અથવા તમે હમણાં જ આનો સામનો કરી રહ્યા છો).

ઉદાહરણ તરીકે, આપણી પાસે એક સમીકરણ છે. આ સમીકરણનો ઉકેલ શું છે? કઈ સંખ્યાઓનો વર્ગ કરી શકાય અને મેળવી શકાય? ગુણાકાર કોષ્ટકને યાદ રાખીને, તમે સરળતાથી જવાબ આપી શકો છો: અને (છેવટે, જ્યારે બે નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે હકારાત્મક સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે)! સરળ બનાવવા માટે, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ વર્ગમૂળની વિશેષ વિભાવના રજૂ કરી અને તેને વિશિષ્ટ પ્રતીક સોંપ્યું.

ચાલો અંકગણિત વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

નંબર બિન-ઋણાત્મક કેમ હોવો જોઈએ? ઉદાહરણ તરીકે, તે શું સમાન છે? સારું, સારું, ચાલો એક પસંદ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. કદાચ ત્રણ? ચાલો તપાસીએ: , નહીં. કદાચ , ? ફરીથી, અમે તપાસીએ છીએ: . સારું, તે બંધબેસતું નથી? આ અપેક્ષિત છે - કારણ કે ત્યાં કોઈ સંખ્યાઓ નથી કે જ્યારે વર્ગ કરવામાં આવે, ત્યારે નકારાત્મક સંખ્યા આપે!

જો કે, તમે કદાચ પહેલેથી જ નોંધ્યું છે કે વ્યાખ્યા કહે છે કે "એક સંખ્યા એ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ બરાબર છે." ના વર્ગમૂળનો ઉકેલ. અને ખૂબ જ શરૂઆતમાં અમે ઉદાહરણનું વિશ્લેષણ કર્યું, પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ કે જેનો વર્ગ કરી શકાય છે અને મેળવી શકાય છે, જવાબ હતો અને, પરંતુ અહીં આપણે અમુક પ્રકારની "બિન-નકારાત્મક સંખ્યા" વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ! આ ટિપ્પણી એકદમ યોગ્ય છે. અહીં તમારે માત્ર ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ખ્યાલો અને સંખ્યાના અંકગણિત વર્ગમૂળ વચ્ચે તફાવત કરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિની સમકક્ષ નથી.

અને તે તેને અનુસરે છે.

અલબત્ત, આ ખૂબ જ ગૂંચવણભર્યું છે, પરંતુ એ યાદ રાખવું જરૂરી છે કે ચિહ્નો એ સમીકરણ ઉકેલવાનું પરિણામ છે, કારણ કે સમીકરણ ઉકેલતી વખતે આપણે બધા X લખવા જોઈએ, જે, જ્યારે મૂળ સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, ત્યારે તે આપશે. સાચું પરિણામ. બંને અને અમારા ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં બંધબેસે છે.

જો કે, જો તમે ખાલી કોઈ વસ્તુનું વર્ગમૂળ લો, તો તમને હંમેશા એક બિન-નકારાત્મક પરિણામ મળે છે.

હવે આ સમીકરણ ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરો. બધું હવે એટલું સરળ અને સરળ નથી, તે છે? નંબરોમાંથી પસાર થવાનો પ્રયાસ કરો, કદાચ કંઈક કામ કરશે?

ચાલો શરૂઆતથી જ શરૂ કરીએ - શરૂઆતથી: - બંધબેસતું નથી, આગળ વધો; - ત્રણ કરતા ઓછા, અમે તેને બરતરફ પણ કરીએ છીએ, પરંતુ જો? ચાલો તપાસીએ: - પણ ફિટ નથી, કારણ કે તે ત્રણ કરતાં વધુ છે. તે નકારાત્મક નંબરો સાથે સમાન વાર્તા છે. તો હવે શું કરવું જોઈએ? શું શોધે ખરેખર અમને કંઈ આપ્યું નથી? બિલકુલ નહીં, હવે આપણે ખાતરીપૂર્વક જાણીએ છીએ કે જવાબ અને વચ્ચેની કેટલીક સંખ્યા હશે, તેમજ અને વચ્ચે. ઉપરાંત, દેખીતી રીતે ઉકેલો પૂર્ણાંકો હશે નહીં. વધુમાં, તેઓ તર્કસંગત નથી. તો આગળ શું? ચાલો ફંક્શનનો આલેખ કરીએ અને તેના પર ઉકેલોને ચિહ્નિત કરીએ.

ચાલો સિસ્ટમને મૂર્ખ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીએ અને કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવીએ! ચાલો તેના મૂળમાંથી બહાર નીકળીએ! ઓહ-ઓહ-ઓહ, તે તારણ આપે છે કે આ સંખ્યા ક્યારેય સમાપ્ત થતી નથી. તમે આ કેવી રીતે યાદ રાખી શકો, કારણ કે પરીક્ષામાં કેલ્ક્યુલેટર હશે નહીં!? બધું ખૂબ જ સરળ છે, તમારે તેને યાદ રાખવાની જરૂર નથી, તમારે ફક્ત અંદાજિત મૂલ્ય યાદ રાખવાની જરૂર છે (અથવા ઝડપથી અંદાજ કાઢવામાં સક્ષમ) અને જવાબો પોતાને. આવી સંખ્યાઓને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે.
ચાલો આને વધુ મજબૂત કરવા માટે બીજું ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો નીચેની સમસ્યા જોઈએ: તમારે કિમીની બાજુ ત્રાંસા સાથે ચોરસ ક્ષેત્રને પાર કરવાની જરૂર છે, તમારે કેટલા કિમી જવું પડશે?

અહીં સૌથી સ્પષ્ટ બાબત એ છે કે ત્રિકોણને અલગથી ધ્યાનમાં લેવું અને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવો: . આમ, . તો અહીં જરૂરી અંતર શું છે? દેખીતી રીતે, અંતર નકારાત્મક હોઈ શકતું નથી, આપણે તે મેળવીએ છીએ. બેનું મૂળ લગભગ સમાન છે, પરંતુ, જેમ આપણે અગાઉ નોંધ્યું છે, - પહેલેથી જ સંપૂર્ણ જવાબ છે.

રુટ નિષ્કર્ષણ

સમસ્યાઓ ઉભી કર્યા વિના મૂળ સાથે ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે, તમારે તેમને જોવાની અને ઓળખવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, તમારે ઓછામાં ઓછા સંખ્યાના વર્ગો જાણવાની જરૂર છે, અને તેમને ઓળખવામાં પણ સમર્થ હોવા જોઈએ.

એટલે કે, તમારે જાણવાની જરૂર છે કે ચોરસ બરાબર શું છે, અને તેનાથી વિપરીત, ચોરસ બરાબર શું છે. શરૂઆતમાં, આ કોષ્ટક તમને રુટ કાઢવામાં મદદ કરશે.

જલદી તમે પૂરતા પ્રમાણમાં ઉદાહરણો હલ કરશો, તેની જરૂરિયાત આપોઆપ અદૃશ્ય થઈ જશે.
નીચેના અભિવ્યક્તિઓનું વર્ગમૂળ જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો:

સારું, તે કેવી રીતે કામ કર્યું? હવે ચાલો આ ઉદાહરણો જોઈએ:

અંકગણિત વર્ગમૂળના ગુણધર્મો

હવે તમે જાણો છો કે મૂળ કેવી રીતે કાઢવું, તે અંકગણિત વર્ગમૂળના ગુણધર્મો વિશે જાણવાનો સમય છે. તેમાંના ફક્ત 3 છે:

• ગુણાકાર;
• વિભાજન
• ઘાત

તેઓ આ કોષ્ટકની મદદથી યાદ રાખવા માટે ખૂબ જ સરળ છે અને, અલબત્ત, તાલીમ:

કેવી રીતે નક્કી કરવું
ચતુર્ભુજ સમીકરણો

અગાઉના પાઠોમાં આપણે “રેખીય સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા”, ​​એટલે કે પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણો પર ધ્યાન આપ્યું. આ પાઠમાં આપણે જોઈશું જેને ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છેઅને તેને કેવી રીતે ઉકેલવું.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ શું છે?

સમીકરણની ડિગ્રી એ ઉચ્ચતમ ડિગ્રી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે કે જ્યાં અજ્ઞાત રહે છે.

જો મહત્તમ શક્તિ જેમાં અજ્ઞાત "2" છે, તો તમારી પાસે ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉદાહરણો

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

“a”, “b” અને “c” શોધવા માટે તમારે તમારા સમીકરણને ચતુર્ભુજ સમીકરણ “ax 2 + bx + c = 0” ના સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવવાની જરૂર છે.

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં "a", "b" અને "c" ગુણાંકને ઓળખવાનો અભ્યાસ કરીએ.

• a = 5
• b = −14
• c = 17

• a = −7
• b = −13
• c = 8

• a = −1
• b = 1

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા

રેખીય સમીકરણોથી વિપરીત, ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે એક ખાસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. મૂળ શોધવાનું સૂત્ર.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે તમારે આની જરૂર છે:

• ચતુર્ભુજ સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપ “ax 2 + bx + c = 0” માં ઘટાડી દો. એટલે કે, ફક્ત "0" જમણી બાજુએ રહેવું જોઈએ;
• મૂળ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તેનું ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ.

સમીકરણ “x 2 − 3x − 4 = 0” પહેલાથી જ સામાન્ય સ્વરૂપ “ax 2 + bx + c = 0” માં ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે અને તેને વધારાના સરળીકરણની જરૂર નથી. તેને ઉકેલવા માટે, આપણે ફક્ત અરજી કરવાની જરૂર છે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટેનું સૂત્ર.

ચાલો આ સમીકરણ માટે "a", "b" અને "c" ગુણાંક નક્કી કરીએ.

• a = 1
• b = −3
• c = −4

ચાલો તેમને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ અને મૂળ શોધીએ.

મૂળ શોધવા માટે સૂત્ર યાદ રાખવાની ખાતરી કરો.

તેનો ઉપયોગ કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણનું બીજું ઉદાહરણ જોઈએ.

આ સ્વરૂપમાં, ગુણાંક “a”, “b” અને “c” નક્કી કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. ચાલો પહેલા સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપ “ax 2 + bx + c = 0” માં ઘટાડીએ.

હવે તમે મૂળ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

એવા સમયે હોય છે જ્યારે ચતુર્ભુજ સમીકરણોના કોઈ મૂળ હોતા નથી. આ પરિસ્થિતિ ત્યારે થાય છે જ્યારે સૂત્રમાં રૂટ હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યા હોય છે.

આપણે વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા પરથી યાદ રાખીએ છીએ કે નકારાત્મક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ લેવું અશક્ય છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણનું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો કે જેમાં કોઈ મૂળ નથી.

તેથી, આપણી પાસે એવી પરિસ્થિતિ છે કે જ્યાં રૂટ પાસે નકારાત્મક સંખ્યા છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી. તેથી, જવાબમાં, અમે લખ્યું કે "ત્યાં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી."

"વાસ્તવિક મૂળ નથી" શબ્દોનો અર્થ શું છે? શા માટે તમે ફક્ત "કોઈ મૂળ" લખી શકતા નથી?

હકીકતમાં, આવા કિસ્સાઓમાં મૂળ હોય છે, પરંતુ તે શાળાના અભ્યાસક્રમમાં શીખવવામાં આવતા નથી, તેથી જવાબમાં અમે લખીએ છીએ કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં કોઈ મૂળ નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, "ત્યાં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી."

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો

કેટલીકવાર ત્યાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો હોય છે જેમાં ગુણાંક “b” અને/અથવા “c” સ્પષ્ટપણે ગેરહાજર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ સમીકરણમાં:

આવા સમીકરણોને અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. તેમને કેવી રીતે ઉકેલવા તે "અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો" પાઠમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

સામગ્રી:

તમે વર્ગમૂળ ઉમેરી અને બાદ કરી શકો છો જો તેમની પાસે સમાન આમૂલ અભિવ્યક્તિ હોય, એટલે કે, તમે 2√3 અને 4√3 ઉમેરી અથવા બાદ કરી શકો છો, પરંતુ 2√3 અને 2√5 નહીં. તમે આમૂલ અભિવ્યક્તિઓને સમાન આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ સાથે મૂળમાં ઘટાડવા માટે સરળ બનાવી શકો છો (અને પછી તેમને ઉમેરો અથવા બાદબાકી કરો).

પગલાં

ભાગ 1 મૂળભૂત બાબતોને સમજવી

1. 1 (રુટ ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિ).આ કરવા માટે, આમૂલ સંખ્યાને બે પરિબળોમાં પરિબળ કરો, જેમાંથી એક ચોરસ સંખ્યા છે (એક સંખ્યા જેમાંથી તમે સંપૂર્ણ મૂળ લઈ શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, 25 અથવા 9). આ પછી, ચોરસ સંખ્યાનું મૂળ કાઢો અને મૂળ ચિન્હની સામે મળેલ મૂલ્ય લખો (બીજો પરિબળ મૂળ ચિન્હ હેઠળ રહેશે). ઉદાહરણ તરીકે, 6√50 - 2√8 + 5√12. રુટ ચિહ્નની સામેની સંખ્યાઓ અનુરૂપ મૂળના પરિબળો છે, અને મૂળ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યાઓ આમૂલ સંખ્યાઓ (અભિવ્યક્તિઓ) છે. આ સમસ્યાને કેવી રીતે હલ કરવી તે અહીં છે:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. અહીં તમે 50 ને 25 અને 2 ના અવયવોમાં ગણો છો; પછી 25 માંથી તમે 5 બરાબર રુટ કાઢો અને રુટની નીચેથી 5 કાઢો. પછી 5 ને 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો (મૂળ પરનો ગુણક) અને 30√2 મેળવો.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. અહીં તમે 8 ને 4 અને 2 ના અવયવોમાં ગણો છો; પછી 4 થી તમે 2 ના બરાબર રુટ લો, અને રુટની નીચેથી 2 લો. પછી 2 ને 2 દ્વારા ગુણાકાર કરો (મૂળ પરનો ગુણક) અને 4√2 મેળવો.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. અહીં તમે 12 ને 4 અને 3 ના અવયવોમાં ગણો છો; પછી 4 થી તમે 2 ના બરાબર રુટ લો, અને રુટની નીચેથી 2 લો. પછી 2 ને 5 દ્વારા ગુણાકાર કરો (મૂળ પરનો ગુણક) અને 10√3 મેળવો.
2. 2 મૂળને રેખાંકિત કરો જેમના આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ સમાન છે.અમારા ઉદાહરણમાં, સરળ અભિવ્યક્તિ આના જેવી દેખાય છે: 30√2 - 4√2 + 10√3. તેમાં તમારે પ્રથમ અને બીજા શબ્દોને રેખાંકિત કરવું આવશ્યક છે ( 30√2 અને 4√2 ), કારણ કે તેમની પાસે સમાન આમૂલ સંખ્યા 2 છે. ફક્ત આવા મૂળ તમે ઉમેરી અને બાદ કરી શકો છો.
3. 3 જો તમને મોટી સંખ્યામાં પદો સાથે અભિવ્યક્તિ આપવામાં આવે છે, જેમાંના ઘણા સમાન આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ ધરાવે છે, તો અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા માટે આવા શબ્દો દર્શાવવા માટે સિંગલ, ડબલ અથવા ટ્રિપલ અંડરસ્કોર્સનો ઉપયોગ કરો.
4. 4 મૂળો માટે જેમની આમૂલ અભિવ્યક્તિ સમાન હોય, મૂળ ચિન્હની સામેના પરિબળોને ઉમેરો અથવા બાદબાકી કરો, અને આમૂલ અભિવ્યક્તિને તે જ રાખો (મૂળની સંખ્યાઓ ઉમેરો કે બાદબાકી કરશો નહીં!). આ વિચાર એ બતાવવાનો છે કે આપેલ અભિવ્યક્તિમાં ચોક્કસ આમૂલ અભિવ્યક્તિ સાથે કેટલા મૂળ સમાયેલ છે.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

ભાગ 2 ચાલો ઉદાહરણો સાથે અભ્યાસ કરીએ

1. 1 ઉદાહરણ 1: √(45) + 4√5.
   • સરળ બનાવો √(45). અવયવ 45: √(45) = √(9 x 5).
   • મૂળ (√9 = 3): √(45) = 3√5 નીચેથી 3 લો.
   • હવે મૂળમાં પરિબળો ઉમેરો: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 ઉદાહરણ 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • 6√(40) ને સરળ બનાવો. અવયવ 40: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • મૂળની નીચેથી 2 લો (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • રુટ પહેલા અવયવોનો ગુણાકાર કરો અને 12√10 મેળવો.
   • હવે સમીકરણ 12√10 - 3√(10) + √5 તરીકે લખી શકાય છે. પ્રથમ બે પદો સમાન આમૂલ હોવાથી, તમે બીજા પદને પ્રથમમાંથી બાદ કરી શકો છો અને પ્રથમને યથાવત છોડી શકો છો.
   • તમને મળશે: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 ઉદાહરણ 3. 9√5 -2√3 - 4√5. અહીં, કોઈપણ આમૂલ અભિવ્યક્તિને પરિબળ બનાવી શકાતી નથી, તેથી આ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી શકાતી નથી. તમે પ્રથમમાંથી ત્રીજી મુદત બાદ કરી શકો છો (કારણ કે તેઓ સમાન રેડિકલ ધરાવે છે) અને બીજા શબ્દને યથાવત છોડી શકો છો. તમને મળશે: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 ઉદાહરણ 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • હવે તમે 5 મેળવવા માટે ફક્ત 3 + 2 ઉમેરી શકો છો.
   • અંતિમ જવાબ: 5 - 3√2.
5. 5 ઉદાહરણ 5.મૂળ અને અપૂર્ણાંક ધરાવતી અભિવ્યક્તિ ઉકેલો. તમે સામાન્ય (સમાન) છેદ ધરાવતા અપૂર્ણાંકોને જ ઉમેરી અને ગણતરી કરી શકો છો. અભિવ્યક્તિ (√2)/4 + (√2)/2 આપવામાં આવી છે.
   • આ અપૂર્ણાંકોનો સૌથી ઓછો સામાન્ય છેદ શોધો. આ એક એવી સંખ્યા છે જે દરેક છેદ દ્વારા સમાનરૂપે વિભાજ્ય છે. અમારા ઉદાહરણમાં, નંબર 4 એ 4 અને 2 વડે વિભાજ્ય છે.
   • હવે બીજા અપૂર્ણાંકને 2/2 વડે ગુણાકાર કરો (તેને સામાન્ય છેદ પર લાવવા; પ્રથમ અપૂર્ણાંક પહેલાથી જ તેમાં ઘટાડો થયો છે): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • અપૂર્ણાંકના અંશ ઉમેરો અને છેદને એ જ છોડો: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• મૂળનો સરવાળો અથવા બાદબાકી કરતા પહેલા, આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ (જો શક્ય હોય તો) સરળ બનાવવાની ખાતરી કરો.

ચેતવણીઓ

• વિવિધ આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ સાથે મૂળ ક્યારેય ઉમેરશો નહીં અથવા બાદબાકી કરશો નહીં.
• પૂર્ણ સંખ્યા અને મૂળ ક્યારેય ઉમેરશો કે બાદબાકી કરશો નહીં, દા.ત. 3 + (2x) 1/2 .
  • નોંધ: "x" થી બીજી ઘાત અને "x" નું વર્ગમૂળ એક જ વસ્તુ છે (એટલે ​​​​કે, x 1/2 = √x).