સોલ્યુશન સાથે સ્કેલર ફંક્શનના ઉદાહરણોનો ઢાળ શોધો. ફંક્શનનો ગ્રેડિયન્ટ કેવી રીતે શોધવો

ઢાળ કાર્યો- વેક્ટર જથ્થો, જેનું નિર્ધારણ કાર્યના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝના નિર્ધારણ સાથે સંકળાયેલું છે. ઢાળની દિશા સ્કેલર ફીલ્ડના એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી કાર્યની સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિનો માર્ગ સૂચવે છે.

સૂચનાઓ

1. કાર્યના ઢાળની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, વિભેદક કેલ્ક્યુલસની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, ત્રણ ચલોના સંદર્ભમાં પ્રથમ-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા. એવું માનવામાં આવે છે કે ફંક્શન પોતે અને તેના તમામ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ પાસે કાર્યની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સાતત્યની મિલકત છે.

2. ઢાળ એ વેક્ટર છે, જેની દિશા એ ફંક્શન F માં સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા સૂચવે છે. આ કરવા માટે, ગ્રાફ પર બે બિંદુઓ M0 અને M1 પસંદ કરવામાં આવ્યા છે, જે વેક્ટરના છેડા છે. ગ્રેડિયન્ટની તીવ્રતા બિંદુ M0 થી બિંદુ M1 સુધીના કાર્યના વધારાના દર જેટલી છે.

3. આ વેક્ટરના તમામ બિંદુઓ પર ફંક્શન અલગ છે; તેથી, કોઓર્ડિનેટ અક્ષો પરના વેક્ટરના અંદાજો તેના આંશિક વ્યુત્પન્ન છે. પછી ઢાળ સૂત્ર આના જેવો દેખાય છે: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, જ્યાં i, j, k એકમ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ફંક્શનનો ઢાળ એ વેક્ટર છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ તેના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z) છે.

4. ઉદાહરણ 1. ફંક્શન F = sin(x z?)/y આપવા દો. તે બિંદુ (?/6, 1/4, 1) પર તેના ઢાળને શોધવા માટે જરૂરી છે.

5. ઉકેલ '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. બિંદુના પ્રખ્યાત સંકલન મૂલ્યોને બદલો: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. ફંક્શન ગ્રેડિયન્ટ ફોર્મ્યુલા લાગુ કરો:ગ્રેડ F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. ઉદાહરણ 2. બિંદુ (1, 2, 1) પર F = y arсtg (z/x) ફંક્શનના ઢાળના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

9. ઉકેલ.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

સ્કેલર ફીલ્ડ ગ્રેડિયન્ટ એ વેક્ટર જથ્થો છે. આમ, તેને શોધવા માટે, સ્કેલર ક્ષેત્રના વિભાજનના જ્ઞાનના આધારે, સંબંધિત વેક્ટરના તમામ ઘટકો નક્કી કરવા જરૂરી છે.

સૂચનાઓ

1. ઉચ્ચ ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં વાંચો કે સ્કેલર ફીલ્ડનો ગ્રેડિયન્ટ શું છે. જેમ તમે જાણો છો, આ વેક્ટર જથ્થામાં સ્કેલર ફંક્શનના સડોના મહત્તમ દર દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલી દિશા છે. આ વેક્ટર જથ્થાનું આ અર્થઘટન તેના ઘટકો નક્કી કરવા માટે અભિવ્યક્તિ દ્વારા ન્યાયી છે.

2. યાદ રાખો કે કોઈપણ વેક્ટર તેના ઘટકોની તીવ્રતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વેક્ટરના ઘટકો વાસ્તવમાં આ વેક્ટરના એક અથવા બીજા સંકલન અક્ષ પરના અંદાજો છે. આમ, જો ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા ગણવામાં આવે, તો વેક્ટરમાં ત્રણ ઘટકો હોવા આવશ્યક છે.

3. ચોક્કસ ક્ષેત્રના ઢાળવાળા વેક્ટરના ઘટકો કેવી રીતે નિર્ધારિત થાય છે તે લખો. આવા વેક્ટરના તમામ કોઓર્ડિનેટ્સ ચલના સંદર્ભમાં સ્કેલર પોટેન્શિયલના વ્યુત્પન્ન સમાન છે જેના સંકલનની ગણતરી કરવામાં આવી રહી છે. એટલે કે, જો તમારે ફીલ્ડ ગ્રેડિયન્ટ વેક્ટરના "x" ઘટકની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, તો તમારે "x" વેરીએબલના સંદર્ભમાં સ્કેલર ફંક્શનને અલગ કરવાની જરૂર છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે વ્યુત્પન્ન આંશિક હોવું આવશ્યક છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે ભિન્નતા કરવામાં આવે છે, ત્યારે બાકીના ચલો કે જે તેમાં સામેલ નથી તે સ્થિરાંકો ગણવા જોઈએ.

4. સ્કેલર ક્ષેત્ર માટે અભિવ્યક્તિ લખો. જેમ કે જાણીતું છે, આ શબ્દ માત્ર કેટલાક ચલોના એક સ્કેલર ફંક્શનને સૂચિત કરે છે, જે સ્કેલર જથ્થા પણ છે. સ્કેલર ફંક્શનના ચલોની સંખ્યા જગ્યાના પરિમાણ દ્વારા મર્યાદિત છે.

5. દરેક ચલના સંદર્ભમાં સ્કેલર ફંક્શનને અલગથી અલગ કરો. પરિણામે, તમને ત્રણ નવા કાર્યો મળશે. સ્કેલર ફીલ્ડ ગ્રેડિયન્ટ વેક્ટર માટે અભિવ્યક્તિમાં કોઈપણ કાર્ય લખો. પ્રાપ્ત કરેલ દરેક કાર્ય વાસ્તવમાં આપેલ કોઓર્ડિનેટના એકમ વેક્ટર માટે સૂચક છે. આમ, અંતિમ ઢાળ વેક્ટર ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝના સ્વરૂપમાં ઘાતાંક સાથે બહુપદી જેવો હોવો જોઈએ.

જ્યારે ગ્રેડિયન્ટ પ્રતિનિધિત્વ સાથે સંકળાયેલા મુદ્દાઓ પર વિચારણા કરવામાં આવે છે, ત્યારે વિધેયોને સ્કેલર ક્ષેત્રો તરીકે વિચારવું સામાન્ય છે. તેથી, યોગ્ય નોટેશન રજૂ કરવું જરૂરી છે.

તમને જરૂર પડશે

• - તેજી;
• - પેન.

સૂચનાઓ

1. ફંક્શનને ત્રણ દલીલો દ્વારા સ્પષ્ટ કરવા દો u=f(x, y, z). ફંક્શનનું આંશિક વ્યુત્પન્ન, ઉદાહરણ તરીકે, x ના સંદર્ભમાં, આ દલીલના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે બાકીની દલીલોને ઠીક કરીને મેળવવામાં આવે છે. અન્ય દલીલો માટે સમાન. આંશિક વ્યુત્પન્ન માટે સંકેત ફોર્મમાં લખાયેલ છે: df/dx = u’x ...

2. કુલ વિભેદક du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz ની બરાબર હશે. પરિણામે, M(x, y, z) બિંદુ પર આપેલ વેક્ટર s ની દિશાના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન શોધવાનો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે (ભૂલશો નહીં કે દિશા s એ એકમ વેક્ટર s^o દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે). આ કિસ્સામાં, દલીલોનું વેક્ટર-વિભેદક (dx, dy, dz) = (дscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. કુલ વિભેદક ડુના સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લેતા, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે બિંદુ M પર s દિશામાં વ્યુત્પન્ન સમાન છે: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma).જો s=s(sx,sy,sz), તો દિશા કોસાઈન્સ (cos(alpha), cos(beta) ), cos( gamma)) ની ગણતરી કરવામાં આવે છે (ફિગ 1a જુઓ).

4. નિર્દેશાત્મક વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા, બિંદુ M એ ચલને ધ્યાનમાં રાખીને, સ્કેલર ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). આ અભિવ્યક્તિ સ્કેલર ક્ષેત્ર માટે ઉદ્દેશ્ય હશે. જો ફંક્શનને સરળતાથી ગણવામાં આવે, તો gradf એ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ f(x, y, z) સાથે સુસંગત કોઓર્ડિનેટ ધરાવતો વેક્ટર છે.gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/dz) )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. અહીં (i, j, k) લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સંકલન અક્ષોના એકમ વેક્ટર છે.

5. જો આપણે હેમિલ્ટન નાબલા ડિફરન્સિયલ વેક્ટર ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીએ, તો gradf ને સ્કેલર f દ્વારા આ ઓપરેટર વેક્ટરના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે (ફિગ. 1b જુઓ). gradf અને ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવ વચ્ચેના જોડાણના દૃષ્ટિકોણથી, જો આ વેક્ટર ઓર્થોગોનલ હોય તો સમાનતા (gradf, s^o)=0 સ્વીકાર્ય છે. પરિણામે, gradf ને ઘણીવાર સ્કેલર ક્ષેત્રના સૌથી ઝડપી મેટામોર્ફોસિસની દિશા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અને વિભેદક કામગીરીના દૃષ્ટિકોણથી (gradf તેમાંથી એક છે), gradf ના ગુણધર્મો વિભેદક કાર્યોના ગુણધર્મોને બરાબર પુનરાવર્તિત કરે છે. ખાસ કરીને, જો f=uv, તો gradf=(vgradu+u gradv).

વિષય પર વિડિઓ

ઢાળઆ એક એવું સાધન છે જે, ગ્રાફિક એડિટર્સમાં, એક રંગથી બીજા રંગમાં સરળ સંક્રમણ સાથે સિલુએટ ભરે છે. ઢાળસિલુએટને વોલ્યુમનું પરિણામ, લાઇટિંગનું અનુકરણ, ઑબ્જેક્ટની સપાટી પર પ્રકાશની ઝગઝગાટ અથવા ફોટોગ્રાફની પૃષ્ઠભૂમિમાં સૂર્યાસ્તનું પરિણામ આપી શકે છે. આ સાધનનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, તેથી ફોટોગ્રાફ્સ પર પ્રક્રિયા કરવા અથવા ચિત્રો બનાવવા માટે, તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

તમને જરૂર પડશે

• કમ્પ્યુટર, ગ્રાફિક્સ એડિટર Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net અથવા અન્ય.

સૂચનાઓ

1. પ્રોગ્રામમાં એક છબી ખોલો અથવા એક નવી લો. સિલુએટ બનાવો અથવા છબીમાં ઇચ્છિત વિસ્તાર પસંદ કરો.

2. ગ્રાફિક્સ એડિટર ટૂલબાર પર ગ્રેડિયન્ટ ટૂલ ચાલુ કરો. પસંદ કરેલ વિસ્તાર અથવા સિલુએટની અંદરના બિંદુ પર માઉસ કર્સરને મૂકો જ્યાં ગ્રેડિયન્ટનો 1 લા રંગ શરૂ થશે. ડાબું માઉસ બટન ક્લિક કરો અને પકડી રાખો. કર્સરને તે બિંદુ પર ખસેડો જ્યાં તમે ગ્રેડિયન્ટને અંતિમ રંગમાં બદલવા માંગો છો. ડાબું માઉસ બટન છોડો. પસંદ કરેલ સિલુએટ ગ્રેડિયન્ટ ફિલથી ભરવામાં આવશે.

3. ઢાળતમે ભરણના ચોક્કસ બિંદુએ પારદર્શિતા, રંગો અને તેમનો ગુણોત્તર સેટ કરી શકો છો. આ કરવા માટે, ગ્રેડિયન્ટ એડિટિંગ વિંડો ખોલો. ફોટોશોપમાં સંપાદન વિન્ડો ખોલવા માટે, વિકલ્પો પેનલમાં ગ્રેડિયન્ટ ઉદાહરણ પર ક્લિક કરો.

4. જે વિન્ડો ખુલે છે તે ઉદાહરણોના રૂપમાં ઉપલબ્ધ ગ્રેડિયન્ટ ફિલ વિકલ્પો દર્શાવે છે. વિકલ્પોમાંથી એકને સંપાદિત કરવા માટે, તેને માઉસ ક્લિક વડે પસંદ કરો.

5. વિંડોના તળિયે ગ્રેડિયન્ટનું ઉદાહરણ વિશાળ સ્કેલના સ્વરૂપમાં પ્રદર્શિત થાય છે જેના પર સ્લાઇડર્સ સ્થિત છે. સ્લાઇડર્સ પોઈન્ટ દર્શાવે છે કે જેના પર ગ્રેડિયન્ટમાં સ્પષ્ટ કોલેશન્સ હોવા જોઈએ, અને સ્લાઈડર્સ વચ્ચેના અંતરાલમાં રંગ પ્રથમ બિંદુએ ઉલ્લેખિત રંગથી બીજા બિંદુના રંગમાં સમાનરૂપે સંક્રમણ કરે છે.

6. સ્કેલની ટોચ પર સ્થિત સ્લાઇડર્સ, ઢાળની પારદર્શિતા સેટ કરે છે. પારદર્શિતા બદલવા માટે, જરૂરી સ્લાઇડર પર ક્લિક કરો. એક ફીલ્ડ સ્કેલ હેઠળ દેખાશે જેમાં તમે ટકાવારી તરીકે પારદર્શિતાની આવશ્યક ડિગ્રી દાખલ કરો છો.

7. સ્કેલના તળિયે સ્લાઇડર્સ ગ્રેડિયન્ટના રંગોને સેટ કરે છે. તેમાંથી એક પર ક્લિક કરીને, તમે ઇચ્છિત રંગ પસંદ કરી શકશો.

8. ઢાળઘણા સંક્રમણ રંગો હોઈ શકે છે. બીજો રંગ સેટ કરવા માટે, સ્કેલના તળિયે ખાલી જગ્યા પર ક્લિક કરો. તેના પર બીજું સ્લાઇડર દેખાશે. તેને જરૂરી રંગ આપો. સ્કેલ એક વધુ બિંદુ સાથે ઢાળનું ઉદાહરણ પ્રદર્શિત કરશે. તમે ઇચ્છિત સંયોજન હાંસલ કરવા માટે ડાબી માઉસ બટન સાથે સ્લાઇડર્સને પકડીને ખસેડી શકો છો.

9. ઢાળતેઓ ઘણા પ્રકારોમાં આવે છે જે ફ્લેટ સિલુએટ્સને આકાર આપી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વર્તુળને બોલનો આકાર આપવા માટે, રેડિયલ ઢાળનો ઉપયોગ થાય છે, અને શંકુ આકાર આપવા માટે, શંકુ આકારના ઢાળનો ઉપયોગ થાય છે. સપાટીને બહિર્મુખતાનો ભ્રમ આપવા માટે, તમે મિરર ગ્રેડિયન્ટનો ઉપયોગ કરી શકો છો, અને હાઇલાઇટ્સ બનાવવા માટે હીરાના આકારના ઢાળનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

વિષય પર વિડિઓ

વિષય પર વિડિઓ

જો અવકાશના દરેક બિંદુ અથવા અવકાશના ભાગ પર ચોક્કસ જથ્થાનું મૂલ્ય નક્કી કરવામાં આવે છે, તો તેઓ કહે છે કે આ જથ્થાનું ક્ષેત્ર નિર્દિષ્ટ છે. ક્ષેત્રને સ્કેલર કહેવામાં આવે છે જો વિચારણા હેઠળનો જથ્થો સ્કેલર હોય, એટલે કે. સંપૂર્ણપણે તેના સંખ્યાત્મક મૂલ્ય દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, તાપમાન ક્ષેત્ર. સ્કેલર ફીલ્ડ સ્કેલર પોઈન્ટ ફંક્શન u = /(M) દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો અવકાશમાં કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દાખલ કરવામાં આવે, તો ત્યાં ત્રણ ચલોનું કાર્ય છે x, yt z - બિંદુ M: વ્યાખ્યાના કોઓર્ડિનેટ્સ. સ્કેલર ફીલ્ડની લેવલ સપાટી એ બિંદુઓનો સમૂહ છે કે જેના પર ફંક્શન f(M) સમાન મૂલ્ય લે છે. સ્તરની સપાટીનું સમીકરણ ઉદાહરણ 1. સ્કેલર ક્ષેત્રની સ્તરની સપાટીઓ શોધો વેક્ટર વિશ્લેષણ સ્કેલર ક્ષેત્ર સ્તરની સપાટીઓ અને રેખાઓ દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન વ્યુત્પન્ન સ્કેલર ક્ષેત્ર ઢાળ ઢાળના મૂળભૂત ગુણધર્મો ગ્રેડિયન્ટની અસ્પષ્ટ વ્યાખ્યા ગ્રેડિયન્ટની ગણતરી માટેના નિયમો -4 વ્યાખ્યા અનુસાર, સ્તરની સપાટીનું સમીકરણ હશે. આ એક ગોળાનું સમીકરણ છે (Ф 0 સાથે) તેના મૂળમાં કેન્દ્ર છે. સ્કેલર ફિલ્ડને ફ્લેટ કહેવામાં આવે છે જો ફિલ્ડ ચોક્કસ પ્લેનની સમાંતર તમામ પ્લેનમાં સમાન હોય. જો સૂચવેલ પ્લેનને xOy પ્લેન તરીકે લેવામાં આવે છે, તો ફીલ્ડ ફંક્શન z કોઓર્ડિનેટ પર આધારિત રહેશે નહીં, એટલે કે, તે માત્ર x અને y ની દલીલોનું ફંક્શન હશે - a પ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ કે જેના પર ફંક્શન /(x, y) એક છે અને તેનો અર્થ પણ છે. લેવલ લાઇનનું સમીકરણ - ઉદાહરણ 2. સ્કેલર ફિલ્ડની લેવલ લાઇન શોધો લેવલ લાઇન્સ સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યારે c = 0 આપણને સીધી રેખાઓની જોડી મળે છે, ત્યારે આપણને હાઇપરબોલાસનું કુટુંબ મળે છે (ફિગ. 1). 1.1. ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવ સ્કેલર ફંક્શન u = /(Af) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ સ્કેલર ફીલ્ડ હોવા દો. ચાલો બિંદુ Afo લઈએ અને વેક્ટર I દ્વારા નિર્ધારિત દિશા પસંદ કરીએ. ચાલો બીજો બિંદુ M લઈએ જેથી વેક્ટર M0M વેક્ટર 1 (ફિગ. 2) ની સમાંતર હોય. ચાલો MoM વેક્ટરની લંબાઈ A/ દ્વારા દર્શાવીએ, અને ફંક્શન /(Af) - /(Afo) ની વૃદ્ધિ, D1 ની ગતિને અનુરૂપ, Di દ્વારા દર્શાવીએ. ગુણોત્તર આપેલ દિશામાં એકમ લંબાઈ દીઠ સ્કેલર ફીલ્ડના ફેરફારનો સરેરાશ દર નક્કી કરે છે જેથી કરીને વેક્ટર I ની સમાંતર સમાંતર રહે. જો D/O પર સંબંધની મર્યાદિત મર્યાદા હોય (5), તો તેને આપેલ બિંદુ Afo પર આપેલ દિશા I પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન કહેવામાં આવે છે અને તેને 3!^ પ્રતીક દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા, આ વ્યાખ્યા સંકલન પ્રણાલીની પસંદગી સાથે સંબંધિત નથી, એટલે કે, તે **વિવિધ પ્રકૃતિની છે. ચાલો કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવ માટે એક અભિવ્યક્તિ શોધીએ. એક બિંદુ પર ફંક્શન / અલગ થવા દો. ચાલો એક બિંદુ પર /(Af) ની કિંમત ધ્યાનમાં લઈએ. પછી ફંક્શનની કુલ વૃદ્ધિ નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે: ક્યાં અને પ્રતીકોનો અર્થ એ છે કે આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ Afo બિંદુ પર ગણવામાં આવે છે. તેથી અહીં જથ્થાઓ jfi, ^ એ વેક્ટરની દિશા કોસાઇન છે. વેક્ટર MoM અને I સહનિર્દેશક હોવાથી, તેમની દિશા કોસાઈન સમાન છે: M Afo, હંમેશા વેક્ટર 1 ની સમાંતર સીધી રેખા પર હોવાથી, ખૂણાઓ સ્થિર છે તેથી, અંતે, સમાનતા (7) અને (8) માંથી આપણે ઇમુઆન મેળવીએ છીએ. છે 1. વિશિષ્ટ વ્યુત્પન્ન એ કાર્યના વ્યુત્પન્ન છે અને સંકલન અક્ષોની દિશાઓ સાથે છે, તેથી-ઉદાહરણ 3. વેક્ટરની લંબાઈ હોય તે બિંદુની દિશામાં કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો. તેની દિશા કોસાઈન્સ: સૂત્ર (9) મુજબ, આપણી પાસે હકીકત હશે કે, એનો અર્થ એ થાય છે કે વયની આપેલ દિશામાં એક બિંદુ પરનું સ્કેલર ક્ષેત્ર - સપાટ ક્ષેત્ર માટે, બિંદુ પરની દિશા I ના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન છે. સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે જ્યાં a એ કોણ છે જે વેક્ટર I દ્વારા અક્ષ Oh સાથે રચાય છે. Zmmchmm 2. આપેલ બિંદુ પર I દિશાના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર (9) Afo અમલમાં રહે છે જ્યારે બિંદુ M વળાંક સાથે Mo નિર્દેશ કરે છે જેના માટે વેક્ટર I બિંદુ PrIShr 4 પર સ્પર્શક છે. ના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરો પોઈન્ટ Afo(l, 1) પર સ્કેલર ફીલ્ડ આ વળાંકની દિશામાં પેરાબોલા સાથે સંબંધિત છે (વધતી એબ્સિસા દિશામાં). આમ, દિશામાં 1 માં ફંક્શન uનું વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શન u(M) ના ઢાળના સ્કેલર ગુણાંક અને દિશા I. 2.1 ના એકમ વેક્ટર 1° સમાન છે. ગ્રેડિયન્ટ પ્રમેયના મૂળભૂત ગુણધર્મો 1. સ્કેલર ક્ષેત્રનો ઢાળ સ્તરની સપાટી (અથવા જો ક્ષેત્ર સપાટ હોય તો સ્તરની રેખા પર) લંબરૂપ છે. (2) ચાલો મનસ્વી બિંદુ M દ્વારા સ્તરની સપાટી u = const દોરીએ અને આ સપાટી પર M બિંદુમાંથી પસાર થતો સરળ વળાંક L પસંદ કરીએ (ફિગ. 4). મને બિંદુ M પર વળાંક L માટે વેકગોર સ્પર્શક બનવા દો. કોઈપણ બિંદુ Mj e L માટે સ્તરની સપાટી પર u(M) = u(M|), તો બીજી બાજુ, = (ગ્રેડુ, 1°). તેથી જ. આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર ગ્રેડ અને 1° ઓર્થોગોનલ છે આમ, વેક્ટર ગ્રેડ અને બિંદુ M પર સ્તરની સપાટીની કોઈપણ સ્પર્શક માટે ઓર્થોગોનલ છે. આમ, તે બિંદુ M. પ્રમેય 2 પર સ્તરની સપાટી પર જ ઓર્થોગોનલ છે. ગ્રેડિયન્ટ ફીલ્ડ ફંક્શનને વધારવા તરફ નિર્દેશિત છે. ઉપર સાબિત થયેલ સ્કેલર ફીલ્ડ ગ્રેડિયન્ટના ત્રણ ગુણધર્મોના આધારે, અમે ગ્રેડિયન્ટની નીચેની અપરિવર્તક વ્યાખ્યા આપી શકીએ છીએ. વ્યાખ્યા. સ્કેલર ફીલ્ડ ગ્રેડિયન્ટ એ ફીલ્ડ ફંક્શનને વધારવાની દિશામાં લેવલ સપાટી પર સામાન્ય નિર્દેશિત વેક્ટર છે અને તેની લંબાઈ (આપેલ બિંદુ પર) સૌથી મોટા ડેરિવેટિવની બરાબર છે. વધતા ક્ષેત્રની દિશામાં નિર્દેશિત એકમ સામાન્ય વેક્ટર બનવા દો. પછી ઉદાહરણ 2. અંતરનો ઢાળ શોધો - અમુક નિશ્ચિત બિંદુ, અને M(x,y,z) - વર્તમાન. 4 અમારી પાસે એકમ દિશા વેક્ટર ક્યાં છે. ઢાળની ગણતરી માટેના નિયમો જ્યાં c એ સ્થિર સંખ્યા છે. આપેલ સૂત્રો સીધા ઢાળની વ્યાખ્યા અને ડેરિવેટિવ્ઝના ગુણધર્મોમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

1 0 ગ્રેડિયન્ટને સામાન્ય સ્તરની સપાટી પર નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે (અથવા જો ક્ષેત્ર સપાટ હોય તો સ્તરની રેખા તરફ).

2 0 ઢાળ ફીલ્ડ ફંક્શનને વધારવા તરફ નિર્દેશિત છે.

3 0 ગ્રેડિયન્ટ મોડ્યુલસ ક્ષેત્રના આપેલ બિંદુ પર દિશામાં સૌથી મોટા વ્યુત્પન્ન સમાન છે:

આ ગુણધર્મ ઢાળની અપરિવર્તનશીલ લાક્ષણિકતા પ્રદાન કરે છે. તેઓ કહે છે કે વેક્ટર ગ્રેડયુ આપેલ બિંદુ પર સ્કેલર ક્ષેત્રમાં સૌથી મોટા ફેરફારની દિશા અને તીવ્રતા સૂચવે છે.

ટિપ્પણી 2.1.જો ફંક્શન U(x,y) એ બે ચલોનું ફંક્શન છે, તો વેક્ટર

(2.3)

ઓક્સિ પ્લેનમાં આવેલું છે.

U=U(x,y,z) અને V=V(x,y,z) બિંદુ M 0 (x,y,z) ફંક્શન પર ભિન્ન હોઈ શકે છે. પછી નીચેની સમાનતાઓ ધરાવે છે:

a) ગ્રેડ() = ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; ડી) ડી) ગ્રેડ = , વી ;

e) gradU(= gradU, જ્યાં , U=U() ના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન છે.

ઉદાહરણ 2.1.ફંક્શન U=x 2 +y 2 +z 2 આપેલ છે. બિંદુ M(-2;3;4) પર ફંક્શનનો ઢાળ નક્કી કરો.

ઉકેલ.સૂત્ર (2.2) મુજબ અમારી પાસે છે

.

આ સ્કેલર ફિલ્ડની લેવલ સપાટીઓ ગોળાઓનું કુટુંબ છે x 2 +y 2 +z 2 , વેક્ટર gradU=(-4;6;8) પ્લેનનો સામાન્ય વેક્ટર છે.

ઉદાહરણ 2.2.સ્કેલર ફીલ્ડ U=x-2y+3z નો ઢાળ શોધો.

ઉકેલ.સૂત્ર (2.2) મુજબ અમારી પાસે છે

આપેલ સ્કેલર ફિલ્ડની લેવલ સપાટીઓ પ્લેન છે

x-2y+3z=C; વેક્ટર gradU=(1;-2;3) આ પરિવારના પ્લેનનો સામાન્ય વેક્ટર છે.

ઉદાહરણ 2.3.બિંદુ M(2;2;4) પર U=x y સપાટીના ઉદયની સૌથી મોટી ઢાળ શોધો.

ઉકેલ.અમારી પાસે છે:

ઉદાહરણ 2.4.સ્કેલર ફીલ્ડ U=x 2 +y 2 +z 2 ની લેવલ સપાટી પર એકમ સામાન્ય વેક્ટર શોધો.

ઉકેલ.આપેલ સ્કેલર ફિલ્ડ-સ્ફિયર x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0) ની સ્તરની સપાટીઓ.

ઢાળને સ્તરની સપાટી પર સામાન્ય નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, તેથી

બિંદુ M(x,y,z) પર સ્તરની સપાટી પર સામાન્ય વેક્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. એકમ સામાન્ય વેક્ટર માટે આપણે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ

, ક્યાં

.

ઉદાહરણ 2.5.ફીલ્ડ ગ્રેડિયન્ટ U= શોધો , જ્યાં અને સતત વેક્ટર છે, r એ બિંદુનો ત્રિજ્યા વેક્ટર છે.

ઉકેલ.દો

પછી:
. નિર્ણાયકના ભિન્નતાના નિયમ દ્વારા આપણે મેળવીએ છીએ

આથી,

ઉદાહરણ 2.6.અંતરનો ઢાળ શોધો, જ્યાં P(x,y,z) એ ક્ષેત્ર બિંદુ છે જેનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) એ અમુક નિશ્ચિત બિંદુ છે.

ઉકેલ.અમારી પાસે છે - એકમ દિશા વેક્ટર.

ઉદાહરણ 2.7.બિંદુ M 0 (1,1) પર ફંક્શનના ગ્રેડિયન્ટ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ઉકેલ.અમે બિંદુ M 0 (1,1) પર આ ફંક્શનના ગ્રેડિએન્ટ શોધીએ છીએ, અમારી પાસે છે

; બિંદુ M 0 પર gradU અને gradV વચ્ચેનો કોણ સમાનતા પરથી નક્કી થાય છે

તેથી =0.

ઉદાહરણ 2.8.દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન શોધો, ત્રિજ્યા વેક્ટર બરાબર છે

(2.4)

ઉકેલ.આ કાર્યનો ઢાળ શોધો:

(2.5) ને (2.4) માં બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ

ઉદાહરણ 2.9.બિંદુ M 0 (1;1;1) પર સ્કેલર ક્ષેત્ર U=xy+yz+xz માં સૌથી મોટા ફેરફારની દિશા અને આ બિંદુએ આ સૌથી મોટા ફેરફારની તીવ્રતા શોધો.

ઉકેલ.ક્ષેત્રમાં સૌથી મોટા ફેરફારની દિશા વેક્ટર ગ્રેડ U(M) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. અમે તેને શોધીએ છીએ:

અને તેનો મતલબ... આ વેક્ટર બિંદુ M 0 (1;1;1) પર આ ક્ષેત્રમાં સૌથી વધુ વૃદ્ધિની દિશા નક્કી કરે છે. આ બિંદુએ સૌથી મોટા ક્ષેત્ર પરિવર્તનની તીવ્રતા બરાબર છે

.

ઉદાહરણ 3.1.વેક્ટર ક્ષેત્રની વેક્ટર રેખાઓ શોધો જ્યાં એક સતત વેક્ટર છે.

ઉકેલ.અમારી પાસે એવું છે

(3.3)

પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને x દ્વારા, બીજાને y વડે, ત્રીજાને z વડે ગુણાકાર કરો અને પદ દ્વારા પદ ઉમેરો. પ્રમાણની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

તેથી xdx+ydy+zdz=0, જેનો અર્થ થાય છે

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. હવે પ્રથમ અપૂર્ણાંક (3.3) ના અંશ અને છેદને c 1 વડે, બીજાને c 2 વડે, ત્રીજાને c 3 વડે અને પદ વડે પદ ઉમેરવાથી, આપણને મળે છે.

જ્યાંથી 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

અને, તેથી, 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 સાથે. A 2 -const.

વેક્ટર રેખાઓના જરૂરી સમીકરણો

આ સમીકરણો દર્શાવે છે કે વેક્ટર રેખાઓ વેક્ટરને લંબરૂપ વિમાનો સાથે મૂળમાં એક સામાન્ય કેન્દ્ર ધરાવતા ગોળાઓના આંતરછેદ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. . તે અનુસરે છે કે વેક્ટર રેખાઓ વર્તુળો છે જેના કેન્દ્રો વેક્ટર c ની દિશામાં મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા પર છે. વર્તુળોના વિમાનો નિર્દિષ્ટ રેખા પર લંબ છે.

ઉદાહરણ 3.2.વેક્ટર ફીલ્ડ લાઇન શોધો બિંદુ (1,0,0)માંથી પસાર થવું.

ઉકેલ.વેક્ટર રેખાઓના વિભેદક સમીકરણો

તેથી અમારી પાસે છે . પ્રથમ સમીકરણ ઉકેલવું. અથવા જો આપણે પરિમાણ t દાખલ કરીએ, તો આપણી પાસે આ કિસ્સામાં, સમીકરણ હશે ફોર્મ લે છે અથવા dz=bdt, જ્યાંથી z=bt+c 2.

દો ઝેડ= એફ(એમ) - બિંદુના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કાર્ય M(y; x);એલ={ કોસ; કોસ} – એકમ વેક્ટર (ફિગ. 33 માં 1=  , 2= ); એલ- બિંદુમાંથી પસાર થતી નિર્દેશિત સીધી રેખા એમ; M1(x1; y1), જ્યાં x1=x+x અને y1=y+y- એક લીટી પર બિંદુ એલ;  એલ- સેગમેન્ટની લંબાઈ MM1;  ઝેડ= એફ(x+х, y+у)-એફ(એક્સ, વાય) - કાર્ય વધારો એફ(એમ) બિંદુ પર M(x; y).

વ્યાખ્યા. ગુણોત્તરની મર્યાદા, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન ઝેડ = એફ ( એમ ) બિંદુ પર એમ ( એક્સ ; વાય ) વેક્ટરની દિશામાં એલ .

હોદ્દો.

જો કાર્ય એફ(એમ) બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું M(x;y), પછી બિંદુ પર M(x;y)કોઈપણ દિશામાં વ્યુત્પન્ન છે એલમાંથી નીકળે છે એમ; તે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

(8)

જ્યાં કોસ અને કોસ- વેક્ટરની દિશા કોસાઇન્સ એલ.

ઉદાહરણ 46. ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરો ઝેડ= એક્સ2 + વાય2 એક્સબિંદુ પર M(1; 2)વેક્ટરની દિશામાં MM1, ક્યાં M1- કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ (3; 0).

. ચાલો એકમ વેક્ટર શોધીએ એલ, આ દિશા ધરાવે છે:

જ્યાં કોસ= ; કોસ=- .

ચાલો બિંદુ પર ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરીએ M(1; 2):

સૂત્ર (8) મુજબ આપણને મળે છે

ઉદાહરણ 47. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો યુ = Xy2 ઝેડ3 બિંદુ પર M(3; 2; 1)વેક્ટરની દિશામાં MN, ક્યાં એન(5; 4; 2) .

. ચાલો વેક્ટર અને તેની દિશા કોસાઈન્સ શોધીએ:

ચાલો બિંદુ પર આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ એમ:

આથી,

વ્યાખ્યા. ઢાળ કાર્યોઝેડ= એફ(એમ) બિંદુ M(x; y) પર એક વેક્ટર છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ અનુરૂપ આંશિક ડેરિવેટિવ્સની સમાન હોય છે અને M(x; y) બિંદુ પર લેવામાં આવે છે.

હોદ્દો.

ઉદાહરણ 48. ફંક્શનનો ઢાળ શોધો ઝેડ= એક્સ2 +2 વાય2 -5 બિંદુ પર M(2; -1).

ઉકેલ. આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવી: અને બિંદુ પર તેમના મૂલ્યો M(2; -1):

ઉદાહરણ 49. એક બિંદુ પર કાર્યના ઢાળની તીવ્રતા અને દિશા શોધો

ઉકેલ.ચાલો આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ અને બિંદુ M પર તેમના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ:

આથી,

ત્રણ ચલોના કાર્ય માટે દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે યુ= એફ(એક્સ, વાય, ઝેડ) , સૂત્રો પ્રદર્શિત થાય છે

ઢાળની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી છે

ચાલો તેના પર ભાર મૂકીએ ઢાળ કાર્યના મૂળભૂત ગુણધર્મો આર્થિક ઑપ્ટિમાઇઝેશનના વિશ્લેષણ માટે વધુ મહત્વપૂર્ણ: ઢાળની દિશામાં કાર્ય વધે છે. આર્થિક સમસ્યાઓમાં નીચેના ગ્રેડિયન્ટ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ થાય છે:

1) ફંક્શન આપવા દો ઝેડ= એફ(એક્સ, વાય) , વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે. ચાલો અમુક મુદ્દા ધ્યાનમાં લઈએ M0(x0, y0)વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાંથી. આ બિંદુએ ફંક્શનની કિંમત સમાન થવા દો એફ(એક્સ0 , વાય0 ) . ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ જોઈએ. બિંદુ દ્વારા (એક્સ0 , વાય0 , એફ(એક્સ0 , વાય0 )) ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા આપણે ફંક્શનના ગ્રાફની સપાટી પર સમતલ સ્પર્શક દોરીએ છીએ. પછી બિંદુ પર ગણતરી કરેલ કાર્યનો ઢાળ (x0, y0), એક બિંદુ પર લાગુ વેક્ટર તરીકે ભૌમિતિક રીતે ગણવામાં આવે છે (એક્સ0 , વાય0 , એફ(એક્સ0 , વાય0 )) , સ્પર્શક સમતલને લંબરૂપ હશે. ભૌમિતિક ચિત્ર ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 34.

2) ગ્રેડિયન્ટ ફંક્શન એફ(એક્સ, વાય) બિંદુ પર M0(x0, y0)બિંદુ પર કાર્યમાં સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા સૂચવે છે M0. વધુમાં, કોઈપણ દિશા કે જે ઢાળ સાથે તીવ્ર કોણ બનાવે છે તે બિંદુ પર કાર્યની વૃદ્ધિની દિશા છે M0. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક બિંદુ પરથી એક નાની ચળવળ (x0, y0)આ બિંદુએ કાર્યના ઢાળની દિશામાં કાર્યમાં વધારો થાય છે, અને સૌથી વધુ હદ સુધી.

ઢાળની વિરુદ્ધ વેક્ટરને ધ્યાનમાં લો. તે કહેવાય છે વિરોધી ઢાળ . આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

વિરોધી ઢાળ કાર્ય એફ(એક્સ, વાય) બિંદુ પર M0(x0, y0)બિંદુ પર કાર્યના સૌથી ઝડપી ઘટાડાની દિશા સૂચવે છે M0. કોઈપણ દિશા કે જે એન્ટિગ્રેડિયન્ટ સાથે તીવ્ર કોણ બનાવે છે તે દિશા છે જેમાં તે બિંદુએ કાર્ય ઘટે છે.

3) ફંક્શનનો અભ્યાસ કરતી વખતે, ઘણી વખત આવા જોડીઓ શોધવાની જરૂર પડે છે (x, y)ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી, જેમાં ફંક્શન સમાન મૂલ્યો લે છે. બિંદુઓના સમૂહને ધ્યાનમાં લો (એક્સ, વાય) ફંક્શનના ડોમેનમાંથી એફ(એક્સ, વાય) , જેમ કે એફ(એક્સ, વાય)= કોન્સ્ટ, પ્રવેશ ક્યાં છે “ કોન્સ્ટ” મતલબ કે ફંક્શન વેલ્યુ ફિક્સ છે અને ફંક્શન રેન્જમાંથી અમુક સંખ્યા જેટલી છે.

વ્યાખ્યા. કાર્ય સ્તર રેખા યુ = એફ ( એક્સ , વાય ) રેખા કહેવાય છેએફ(એક્સ, વાય)=C પ્લેનમાંXOy, બિંદુઓ પર કે જ્યાં ફંક્શન સતત મૂલ્ય જાળવી રાખે છેયુ= સી.

સ્તર રેખાઓ વક્ર રેખાઓના સ્વરૂપમાં સ્વતંત્ર ચલોના પરિવર્તનના પ્લેન પર ભૌમિતિક રીતે દર્શાવવામાં આવે છે. નીચે પ્રમાણે સ્તર રેખાઓ મેળવવાની કલ્પના કરી શકાય છે. સમૂહ ધ્યાનમાં લો સાથે, જેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાના બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે (એક્સ, વાય, એફ(એક્સ, વાય)= કોન્સ્ટ), જે, એક તરફ, ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત છે ઝેડ= એફ(એક્સ, વાય), બીજી બાજુ, તેઓ સંકલન વિમાનની સમાંતર સમતલમાં આવેલા છે HOU, અને તેમાંથી આપેલ સ્થિરાંકની સમાન રકમ દ્વારા અંતર. પછી, લેવલ લાઇન બનાવવા માટે, ફંક્શન ગ્રાફની સપાટીને પ્લેન વડે છેદે તે પૂરતું છે ઝેડ= કોન્સ્ટઅને આંતરછેદ રેખાને પ્લેન પર પ્રોજેક્ટ કરો HOU. ઉપરોક્ત તર્ક પ્લેન પર સીધી સ્તરની રેખાઓ બનાવવાની શક્યતાને ન્યાયી ઠેરવે છે HOU.

વ્યાખ્યા. ઘણી સ્તરની રેખાઓ કહેવામાં આવે છે સ્તર રેખા નકશો.

સ્તર રેખાઓના જાણીતા ઉદાહરણો ટોપોગ્રાફિક નકશા પર સમાન ઊંચાઈના સ્તરો અને હવામાનના નકશા પર સમાન બેરોમેટ્રિક દબાણની રેખાઓ છે.

વ્યાખ્યા. ફંક્શનના વધારાનો દર મહત્તમ હોય તે દિશા કહેવાય છે "પસંદગી" દિશા, અથવા સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા.

ફંક્શનના ગ્રેડિયન્ટ વેક્ટર દ્વારા "પ્રિફર્ડ" દિશા આપવામાં આવે છે. ફિગ માં. 35 પ્રતિબંધોની ગેરહાજરીમાં બે ચલોના કાર્યને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવાની સમસ્યામાં મહત્તમ, લઘુત્તમ અને સેડલ બિંદુ બતાવે છે. આકૃતિનો નીચેનો ભાગ સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિના સ્તર અને દિશાની રેખાઓ દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ 50. કાર્ય સ્તર રેખાઓ શોધો યુ= એક્સ2 + વાય2 .

ઉકેલ.સ્તર રેખાઓના કુટુંબનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે એક્સ2 + વાય2 = સી (સી>0) . આપવી સાથેવિવિધ વાસ્તવિક મૂલ્યો, અમે મૂળ પર કેન્દ્ર સાથે કેન્દ્રિત વર્તુળો મેળવીએ છીએ.

લેવલ લાઇનનું બાંધકામ. તેમના વિશ્લેષણનો વ્યાપક ઉપયોગ માઇક્રો- અને મેક્રો-સ્તરની આર્થિક સમસ્યાઓ, સંતુલનનો સિદ્ધાંત અને અસરકારક ઉકેલોમાં થાય છે. Isocosts, isoquants, ઉદાસીનતા વણાંકો - આ તમામ સ્તરની રેખાઓ છે જે વિવિધ આર્થિક કાર્યો માટે બાંધવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 51. નીચેની આર્થિક પરિસ્થિતિનો વિચાર કરો. ઉત્પાદનોના ઉત્પાદનનું વર્ણન કરવા દો કોબ-ડગ્લાસ કાર્ય એફ(એક્સ, વાય)=10x1/3y2/3, ક્યાં એક્સ- મજૂરીની રકમ, યુ- મૂડીની રકમ. સંસાધનોની ખરીદી માટે 30 USD ફાળવવામાં આવ્યા હતા. એકમો, શ્રમ કિંમત 5 USD છે. એકમો, મૂડી - 10 USD. એકમો ચાલો આપણે આપણી જાતને પૂછીએ: આ શરતો હેઠળ મેળવી શકાય તેવું સૌથી મોટું આઉટપુટ શું છે? અહીં, "આપેલ શરતો" નો અર્થ આપેલ તકનીકો, સંસાધનોની કિંમતો અને ઉત્પાદન કાર્યનો પ્રકાર છે. પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, કાર્ય કોબ-ડગ્લાસદરેક ચલ માટે એકવિધ રીતે વધી રહ્યું છે, એટલે કે, દરેક પ્રકારના સંસાધનમાં વધારો આઉટપુટમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે. આ શરતો હેઠળ, તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યાં સુધી પૂરતા પૈસા હોય ત્યાં સુધી સંસાધનોના સંપાદનમાં વધારો કરવો શક્ય છે. સંસાધનોના સેટ, જેની કિંમત 30 USD છે. એકમો, શરત સંતોષો:

5x + 10y = 30,

એટલે કે, તેઓ ફંક્શન લેવલ લાઇન નક્કી કરે છે:

જી(એક્સ, વાય) = 5x + 10y.

બીજી બાજુ, સ્તર રેખાઓનો ઉપયોગ કરીને કોબ-ડગ્લાસ કાર્યો (ફિગ. 36) તમે કાર્યનો વધારો બતાવી શકો છો: સ્તર રેખાના કોઈપણ બિંદુએ, ઢાળની દિશા એ સૌથી વધુ વૃદ્ધિની દિશા છે, અને એક બિંદુ પર ઢાળ બનાવવા માટે તે સ્પર્શક દોરવા માટે પૂરતું છે. આ બિંદુએ સ્તર રેખા પર, સ્પર્શકને લંબ બાંધો અને ઢાળની દિશા સૂચવો. ફિગમાંથી. 36 તે જોઈ શકાય છે કે કોબ-ડગ્લાસ ફંક્શનની લેવલ લાઇનને ગ્રેડિયન્ટ સાથે ખસેડવી જોઈએ જ્યાં સુધી તે લેવલ લાઇનની સ્પર્શક બની ન જાય. 5x + 10y = 30. આમ, લેવલ લાઇન, ગ્રેડિયન્ટ અને ગ્રેડિયન્ટ પ્રોપર્ટીઝની વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરીને, આઉટપુટના વોલ્યુમમાં વધારો કરવાના સંદર્ભમાં સંસાધનોના શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ માટે અભિગમ વિકસાવવાનું શક્ય છે.

વ્યાખ્યા. સપાટી સ્તર કાર્ય યુ = એફ ( એક્સ , વાય , ઝેડ ) સપાટી કહેવાય છેએફ(એક્સ, વાય, ઝેડ)=С, જે બિંદુઓ પર કાર્ય સ્થિર મૂલ્ય જાળવી રાખે છેયુ= સી.

ઉદાહરણ 52. કાર્ય સ્તરની સપાટીઓ શોધો યુ= એક્સ2 + ઝેડ2 - વાય2 .

ઉકેલ.લેવલ સપાટીઓના પરિવાર માટેનું સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે એક્સ2 + ઝેડ2 - વાય2 =C. જો С=0, પછી આપણને મળે છે એક્સ2 + ઝેડ2 - વાય2 =0 - શંકુ; જો સી<0 , તે એક્સ2 + ઝેડ2 - વાય2 =C -બે-શીટ હાઇપરબોલોઇડ્સનું કુટુંબ.