લાક્ષણિક કાર્યરેન્ડમ ચલ એક્સરેન્ડમ ચલના વિતરણનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કહેવાય છે:

ગુણધર્મો

પુરાવો.

પુરાવો.

સ્વાભાવિક રીતે, આ મિલકત મોટી સંખ્યામાં શરતો સુધી વિસ્તરે છે:

.

φ (t) સમાનરૂપે સતત છે.

પુરાવો.

પરિણામી અંતિમ અભિવ્યક્તિ ફક્ત તેના પર આધાર રાખે છે h. સતત રેન્ડમ ચલ માટે આપણે લખી શકીએ છીએ

.

પુરાવો. જો અસ્તિત્વમાં છે kતીવ્રતાની મી ક્ષણ એક્સ, પછી, અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને (જે શક્ય છે, ત્યારથી પી(x) અસ્તિત્વમાં છે), અમને મળે છે

દરેક અનુગામી ભિન્નતા સાથે, તે "વહન" થાય છે i ઇ[ એક્સ], તેથી પછી kભિન્નતા આપણને મળે છે i kઇ[ એક્સ k]. આ પરિણામ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

.

લાક્ષણિક કાર્ય અનન્ય રીતે રેન્ડમ ચલનું વિતરણ નક્કી કરે છે.

વિશિષ્ટ કેસોનો પુરાવો

દો એક્સ - પૂર્ણાંક અલગ રેન્ડમ ચલ ( k ઝેડ), પછી (વિપરીત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ)

(ફુરિયર શ્રેણી જેના ગુણાંક છે પી k), પછી

જેના માટે તમામ શરતો k≠m, 0 આપો (ઓર્થોગોનાલિટી દ્વારા), અને રહે છે

.

દો φ (t) વાસ્તવિક રેખા પર સંપૂર્ણપણે અવિભાજ્ય છે, અને ત્યાં વિતરણ ઘનતા છે પી(x) 11 .

ચાલો પ્રયત્ન કરીએવ્યક્ત પી(xલાક્ષણિક કાર્ય દ્વારા. ચાલો ફંક્શનનું ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ લખીએ φ :

.

આને ધ્યાનમાં રાખીને

ત્યારથી

ચલોને બદલીને આપણને મળે છે

અને તેથી

.

જો બીજા અવિભાજ્યમાં (*) માં એકીકરણની બંને મર્યાદાઓ સમાન ચિહ્નો ધરાવે છે, તો આપણને 0 મળે છે; જો અલગ હોય તો - મર્યાદિત સંખ્યા. એટલે કે, પર બિન-શૂન્ય મર્યાદા છે a<y<b. આ કિસ્સામાં, −∞ થી ∞ સુધીનો પૂર્ણાંક દેખાશે, સમાન π . અહીંથી

પ્રાપ્ત:

,

તેથી, પીસંપૂર્ણપણે લાક્ષણિકતા કાર્ય દ્વારા નક્કી થાય છે.

.

પુરાવો..

લાક્ષણિક કાર્ય માપદંડ

કાર્ય φ એક્સ (t) - રેન્ડમ ચલની લાક્ષણિકતા એક્સજો અને માત્ર જો:

φ એક્સ (0) = 1,

φ એક્સ (t) હકારાત્મક ચોક્કસ.

કાર્ય φ (t) કહેવાય છે હકારાત્મક ચોક્કસ(સકારાત્મક નિશ્ચિત), જો

અને શૂન્યની સમાનતા ત્યારે જ પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે z i = 0i. જો આપણે શૂન્યની સમાનતા હાંસલ કરવાની શરતને નબળી બનાવીએ, તો આપણને મળે છે બિન-નકારાત્મક નિશ્ચિતકાર્ય

ચાલો તપાસીએકે લાક્ષણિક કાર્ય ચોક્કસ હકારાત્મક છે:

તર્કસંગત. મિલકત 5 દ્વારા),

મુ k= 1, આપણને મળે છે,

મુ k= 2 -.

જો ઇ એક્સ= 0.ડી એક્સ=E[ એક્સ 2 ] = 1,
.

20.2 ઉદાહરણો

ઉકેલ. ચાલો અભિવ્યક્તિને ફોર્મમાં ઘટાડીએ

તે જોવું મુશ્કેલ નથી
. રૂપાંતર પછી તમે લખી શકો છો
.

ચાલો મૂલ્યો જોઈએ પી i :

નિષ્કર્ષ:કોસ 2 t સંભાવના 1/2 સાથે મૂલ્ય 0 અને સંભાવના 1/4 સાથે મૂલ્યો 2 અને −2 લેતા અલગ રેન્ડમ ચલનું લાક્ષણિક કાર્ય છે.

લાક્ષણિક કાર્યની ગણતરી કરો અધોગતિરેન્ડમ ચલ: પી(એક્સ= 0) = 1.

ઉકેલ..

જો પી(એક્સ=સી) = 1, આપણને મળે છે.

ઉકેલ. ચાલો અભિવ્યક્તિને ફોર્મમાં ઘટાડીએ

.

ચાલો મૂલ્યો જોઈએ પી i :

પ્રાપ્ત: આ એક અલગ રેન્ડમ ચલનું લાક્ષણિક કાર્ય છે.

ઉકેલ. દો વાય=એક્સ–એક્સ′ , પછી

નિષ્કર્ષ: કોઈપણ લાક્ષણિક કાર્યના મોડ્યુલસનો વર્ગ ફરીથી એક લાક્ષણિક કાર્ય છે.

દો એક્સ,વાય - લાક્ષણિક કાર્યો સાથે રેન્ડમ ચલો φ એક્સ (t) અને φ વાય (t);a,b> 0 - સ્થિરાંકો જેમ કે a+b= 1. કાર્યને ધ્યાનમાં લો

શું તે લાક્ષણિકતા છે, અને જો એમ હોય, તો કયા રેન્ડમ ચલ માટે?

જવાબ આપો: હા, તે છે. અનુરૂપ વિતરણ કાર્યો કરવા દો એક્સઅને વાય - એફ એક્સ (x) અને એફ વાય (y). ચાલો કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. દેખીતી રીતે આ એક વિતરણ કાર્ય છે, ત્યારથી

પછી સંભાવના ઘનતા

જો φ (t) - લાક્ષણિક કાર્ય એક્સ, તે φ (−t) - લાક્ષણિક કાર્ય (- એક્સ).

દો φ (tએક્સ(ઉદાહરણ 4) થી).

, પછી છે (t f φ (t)]

ઉકેલ) = પુનઃ[

દો φ (t. દેખીતી રીતે, એફ એક્સ (x) વિતરણ કાર્યને અનુરૂપ છે φ (t)]:

દો φ (t), પછી પુનઃ માટે[ એક્સ(ઉદાહરણ 4) થી).

, પછી છે (t) - જથ્થાનું લાક્ષણિક કાર્ય φ (t)]

) =ઇમ[

ઉકેલકેટલાક રેન્ડમ ચલનું લાક્ષણિક કાર્ય? , પછી છે (0) = 0.

. ના, એવું નથી, કારણ કે

1. એક્સ ~ સામાન્ય વિતરણનું લાક્ષણિક કાર્ય શોધો.(0, 1):

એન φ (tચાલો ગણતરી કરીએ

), અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ તફાવત:
ચાલો વિભેદક સમીકરણ હલ કરીએ φ (0) = 1:

એક્સ~સામાન્ય વિતરણનું લાક્ષણિક કાર્ય શોધો.(a,σ પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે એક્સ 0 ~સામાન્ય વિતરણનું લાક્ષણિક કાર્ય શોધો. 2): ચાલો આ મૂલ્યની સાથે સરખામણી કરીએ એક્સ=a+σ એક્સ(0, 1). તે જોવાનું સરળ છે

0

પછી, મિલકત 2 દ્વારા)
માર્ગ દ્વારા, તમે હમણાં જ હિમાયત કરી હતી કે વિદ્યાર્થીને સમાન સાતત્ય વિશે કંઈપણ જાણવું જોઈએ નહીં, અને હવે તમે તેને ડેલ્ટા કાર્યો ઓફર કરી રહ્યા છો? યોગ્ય રીતે, હું કંઈપણ કહીશ નહીં.
આપેલ ફંક્શન એ HF છે તે બતાવવાની બે રીતો છે: કાં તો તમારે ફ્યુરિયરને અનુરૂપ ફંક્શન શોધવું જોઈએ અને તપાસવું જોઈએ કે તે સામાન્યકરણની સ્થિતિને સંતોષે છે અને હકારાત્મક છે, અથવા તમારે આપેલની બિન-નકારાત્મક નિશ્ચિતતા સાબિત કરવી જોઈએ. ફંક્શન અને બોચનર-ખિનચિન પ્રમેયનો સંદર્ભ લો. તે જ સમયે, અન્ય Rademacher SV ના રેખીય સંયોજનના સ્વરૂપમાં એસવીને રજૂ કરવા માટેના પ્રમેયનો ઉપયોગ કોઈપણ રીતે HF ના મૂળભૂત ગુણધર્મોને સમજવામાં ફાળો આપતું નથી, વધુમાં, મેં ઉપર સૂચવ્યું છે, તમારા ઉકેલમાં શામેલ છે; એક પડદોવાળી ફ્યુરિયર શ્રેણી, એટલે કે, તે વાસ્તવમાં પ્રથમ પદ્ધતિને અનુરૂપ છે.
જ્યારે તે બતાવવા માટે જરૂરી છે કે આપેલ કાર્ય કોઈપણ SV નું HF ન હોઈ શકે, તો તે HF ના ગુણધર્મોમાંથી એકની નિષ્ફળતાને સ્થાપિત કરવા માટે પૂરતું છે: શૂન્ય પર એકમ મૂલ્ય, એક દ્વારા બાઉન્ડેડ મોડ્યુલસ, યોગ્ય મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરીને પીડીએફની ક્ષણો માટે, સમાન સાતત્ય. આપેલ કાર્ય દ્વારા ગણતરી કરેલ ક્ષણોના મૂલ્યોની શુદ્ધતા તપાસવી એ એક સમાન સાતત્યની ગાણિતિક રીતે સમકક્ષ તપાસ છે કે આમાંના કોઈપણ ગુણધર્મોને પરિપૂર્ણ કરવામાં નિષ્ફળતા આપેલ કાર્યની અયોગ્યતાને ઓળખવા માટે સમાન આધાર તરીકે સેવા આપી શકે છે. જો કે, ક્ષણ મૂલ્યોની શુદ્ધતા તપાસવાનું ઔપચારિક છે: તફાવત કરો અને તપાસો. એકસમાન સાતત્ય, સામાન્ય કિસ્સામાં, સાબિત કરવું જરૂરી છે, જે સમસ્યા હલ કરવાની સફળતાને વિદ્યાર્થીની સર્જનાત્મક ક્ષમતા, તેની "અનુમાન" કરવાની ક્ષમતા પર આધારિત બનાવે છે.
SV ના "બાંધકામ" ની ચર્ચાના ભાગ રૂપે, હું એક સરળ સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું: ચાલો ફોર્મના HF સાથે SV બનાવીએ: જ્યાં

સૂત્ર દ્વારા સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર આપેલ છે

એક્સ. એફ. રેન્ડમ ચલ X, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, X. f છે. તેની સંભાવના વિતરણ

X. f ના ઉપયોગ સાથે સંકળાયેલી પદ્ધતિ એ.એમ. લાયપુનોવ દ્વારા સૌપ્રથમ ઉપયોગમાં લેવામાં આવી હતી અને બાદમાં તે મુખ્ય વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓમાંની એક બની હતી. સંભાવના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ. ઉદાહરણ તરીકે, સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મર્યાદા પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે તેનો ઉપયોગ ખાસ કરીને અસરકારક રીતે થાય છે. 2 ક્ષણો સાથે સ્વતંત્ર રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો માટે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય પ્રાથમિક સંબંધમાં ઘટાડો કરે છે

X. f ના મૂળભૂત ગુણધર્મો 1) અને હકારાત્મક ચોક્કસ, એટલે કે.

જટિલ સંખ્યાઓ અને દલીલોના કોઈપણ મર્યાદિત સંગ્રહ માટે

2) સમગ્ર ધરી સાથે સમાનરૂપે સતત

4)ખાસ કરીને, માત્ર વાસ્તવિક મૂલ્યો લે છે (અને એક સમાન કાર્ય છે) જો અને માત્ર જો અનુરૂપ સંભાવના સપ્રમાણ હોય, એટલે કે જ્યાં

5) X. f. અસ્પષ્ટપણે માપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે; એક અપીલ છે:

કોઈપણ અંતરાલો માટે (a, 6) જેના છેડા શૂન્ય એમ-માપ ધરાવે છે. જો તે અવિભાજ્ય હોય (ચોક્કસપણે, જો રીમેનિયન અર્થમાં સમજવામાં આવે), તો અનુરૂપ વિતરણ કાર્ય ધરાવે છે

6) X. f. બે સંભાવના માપનો (બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો) એ તેમનો X. f છે.

નીચેના ત્રણ ગુણધર્મો રેન્ડમ ચલની ક્ષણોના અસ્તિત્વ અને તેના X. કાર્યની સરળતાની ડિગ્રી વચ્ચેના જોડાણને વ્યક્ત કરે છે.

7) જો કેટલાક કુદરતી માટે p,પછી તમામ પ્રાકૃતિક વસ્તુઓ માટે X. f થી ઓર્ડર r ના ડેરિવેટિવ્ઝ અસ્તિત્વમાં છે. રેન્ડમ ચલ X અને સમાનતા ધરાવે છે

8) જો અસ્તિત્વમાં હોય તો

9) જો દરેક માટે

પછી તે દરેક માટે ધરાવે છે

X.f પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મુખ્યત્વે X. કાર્યોના ઉપરોક્ત ગુણધર્મો તેમજ નીચેના બે પ્રમેય પર આધારિત છે.
બોચનરનું પ્રમેય (X. વિધેયોના વર્ગનું વર્ણન). ફંકશન f ને ચાલુ રાખવા દો અને f(0)=1. એફ માટે X. f. ચોક્કસ સંભાવના માપ, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તે સતત અને સકારાત્મક નિશ્ચિત હોય.
લેવીનું પ્રમેય (પત્રવ્યવહાર). સંભાવનાના માપનો ક્રમ બનીએ અને તેમના X.f નો ક્રમ બનીએ. પછી નબળા રીતે ચોક્કસ સંભાવના માપદંડમાં કન્વર્જ થાય છે (એટલે ​​​​કે, મનસ્વી સતત બાઉન્ડેડ ફંક્શન માટે, જો અને માત્ર જો દરેક બિંદુએ તે ચોક્કસ સતત ફંક્શન f માં કન્વર્જ થાય છે; કન્વર્જન્સના કિસ્સામાં, ફંક્શન તે અનુસરે છે કે સંબંધિત (અર્થમાં) નબળા કન્વર્જન્સનું) સંભાવનાના માપદંડોના પરિવારની અનુરૂપ X. ફંક્શન્સના પરિવારના શૂન્ય પર સમાનતા સમાન છે.
બોચનરનું પ્રમેય આપણને ફોરીયર-સ્ટીલટજેસ રૂપાંતરણમાં સંભાવના માપના અર્ધજૂથ (બિંદુવાર ગુણાકારના સંદર્ભમાં) અને શૂન્ય પર એક સમાન સકારાત્મક નિશ્ચિત સતત કાર્યોના અર્ધજૂથ તરીકે જોવાની મંજૂરી આપે છે પ્રમેય જણાવે છે કે આ બીજગણિત. આઇસોમોર્ફિઝમ પણ ટોપોલોજીકલ છે. હોમોમોર્ફિઝમ, જો સંભાવના માપોના અર્ધજૂથમાં અમારો અર્થ નબળા કન્વર્જન્સની ટોપોલોજી છે, અને હકારાત્મક ચોક્કસ કાર્યોના અર્ધજૂથમાં - બાઉન્ડેડ સેટ પર સમાન કન્વર્જન્સની ટોપોલોજી.
X. f ના અભિવ્યક્તિઓ જાણીતી છે. મૂળભૂત સંભવિત રોગો (જુઓ,), ઉદાહરણ તરીકે, X. f. સરેરાશ તફાવત સાથે ગૌસીયન માપ છે
બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક રેન્ડમ ચલો માટે X, X. f. સાથે, તેના એનાલોગનો ઉપયોગ થાય છે -

X. f સાથે સંકળાયેલ. ગુણોત્તર
એક્સ. એફ. મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યામાં સંભાવના માપ સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

જ્યાં x>અર્થ ઉપર ઘડવામાં આવેલ હકીકતો X. f માટે પણ સાચી છે. માં સંભાવના માપો

લિટ.: લુકાચ ઇ., લાક્ષણિક કાર્યો, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, એમ., 1979; ફેલર વી., ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ પ્રોબેબિલિટી થિયરી એન્ડ ઇટ્સ એપ્લીકેશન, વોલ્યુમ 2. ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, એમ., 1967; પ્રોખોરોવ યુ., રોઝાનોવ યુ., સંભાવનાનો સિદ્ધાંત. મૂળભૂત ખ્યાલો. પ્રમેય મર્યાદિત કરો. રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ, 2જી આવૃત્તિ, એમ., 1973; 3olotarev V. M., વન-ડાયમેન્શનલ સ્ટેબલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન્સ, મોસ્કો, 1983.
એન.એચ. વાઘાણીયા.

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ. - એમ.: સોવિયેત જ્ઞાનકોશ.

આઇ.એમ. વિનોગ્રાડોવ.

1977-1985.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "ચાર્યાત્મક કાર્ય" શું છે તે જુઓ: લાક્ષણિક કાર્ય: થર્મોડાયનેમિક્સમાં લાક્ષણિક કાર્ય એ એક કાર્ય છે જેના દ્વારા સિસ્ટમના થર્મોડાયનેમિક ગુણધર્મો નક્કી કરવામાં આવે છે. સમૂહનું લાક્ષણિક કાર્ય એ એક કાર્ય છે જે સમૂહમાં તત્વનું સભ્યપદ સ્થાપિત કરે છે ... ... વિકિપીડિયા

થર્મોડાયનેમિક્સમાં, સ્વતંત્ર પરિમાણોની સ્થિતિનું કાર્ય જે થર્મોડાયનેમિક્સની સ્થિતિ નક્કી કરે છે. સિસ્ટમો થી X. f. થર્મોડાયનેમિક અને એન્ટ્રોપી પોટેન્શિયલનો સમાવેશ થાય છે. X દ્વારા...ભૌતિક જ્ઞાનકોશ લાક્ષણિક કાર્ય

- અનુરૂપ સ્વતંત્ર થર્મોડાયનેમિક પરિમાણોની થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમની સ્થિતિનું કાર્ય, જે હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે આ પરિમાણોના સંદર્ભમાં આ કાર્ય અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ દ્વારા, તમામ થર્મોડાયનેમિક ... ...ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા લાક્ષણિક કાર્ય

થર્મોડાયનેમિક્સમાં, સ્વતંત્ર પરિમાણોની સ્થિતિનું કાર્ય જે થર્મોડાયનેમિક્સની સ્થિતિ નક્કી કરે છે. સિસ્ટમો થી X. f. થર્મોડાયનેમિક અને એન્ટ્રોપી પોટેન્શિયલનો સમાવેશ થાય છે. X દ્વારા...- સહકારી રમતોના સિદ્ધાંતમાં, એક ગુણોત્તર જે રમતમાં કોઈપણ ગઠબંધન માટે ન્યૂનતમ જીતની રકમ નક્કી કરે છે. જ્યારે બે ગઠબંધન એક થાય છે, ત્યારે H.f નું મૂલ્ય અસંયોજિત માટે આવા કાર્યોના સરવાળો કરતા ઓછા નહીં હોય... ... આર્થિક-ગાણિતિક શબ્દકોશ

થર્મોડાયનેમિક્સમાં, સ્વતંત્ર પરિમાણોની સ્થિતિનું કાર્ય જે થર્મોડાયનેમિક્સની સ્થિતિ નક્કી કરે છે. સિસ્ટમો થી X. f. થર્મોડાયનેમિક અને એન્ટ્રોપી પોટેન્શિયલનો સમાવેશ થાય છે. X દ્વારા...- būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: engl. લાક્ષણિક કાર્ય rus. લાક્ષણિક કાર્ય... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas - būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. લાક્ષણિક કાર્ય વોક. કેરેક્ટરિસ્ટિસ ફંકશન, એફ રુસ. લાક્ષણિક કાર્ય, f pranc. ફંક્શન લાક્ષણિકતા, f…

રેન્ડમ ચલો અનન્ય રીતે સંબંધિત છે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ. ઉદાહરણ તરીકે, રેન્ડમ ચલ X ની ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ડેન્સિટી f(x) વિશિષ્ટ રીતે તેના લાક્ષણિક કાર્ય દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ:

જ્યાં υ X (k) (0) એ t = 0 પર લાક્ષણિક કાર્યના kth વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે.

રેન્ડમ ચલ એ શરતોના લાક્ષણિક કાર્યોના ઉત્પાદન સમાન છે:

લેક્ચર 8 દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ. દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ કાયદો

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (X,Y) એ બે એક-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલોનો સમૂહ છે જે સમાન પ્રયોગના પરિણામે મૂલ્યો લે છે.

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલોને તેમના ઘટકોના મૂલ્યોના સમૂહ Ω X , Ω Y અને સંયુક્ત (દ્વિ-પરિમાણીય) વિતરણ કાયદા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. ઘટકોના પ્રકાર પર આધાર રાખીને X,Y, અલગ, સતત અને મિશ્રિત દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલોને અલગ પાડવામાં આવે છે.

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (X, Y) ને x0y પ્લેન પર રેન્ડમ બિંદુ (X, Y) તરીકે અથવા મૂળથી બિંદુ (X, Y) તરફ નિર્દેશિત રેન્ડમ વેક્ટર તરીકે ભૌમિતિક રીતે રજૂ કરી શકાય છે.

દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ કાર્ય દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ

(X ,Y ) એ બે ઘટનાઓના સંયુક્ત અમલની સંભાવના સમાન છે (X<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

ભૌમિતિક રીતે દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ કાર્ય F(x, y)

દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ કાર્યના ગુણધર્મો:

1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.

સંભાવના છે

. (x,y)

પુરાવો. પ્રોપર્ટી એ પ્રોબેબિલિટી તરીકે ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શનની વ્યાખ્યાને અનુસરે છે: સંભાવના એ એક બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે જે 1 કરતા વધારે નથી.

2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), જો x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), જો y 2 >y 1 હોય તો.

પુરાવો. ચાલો સાબિત કરીએ કે F (x,y ) ના સંદર્ભમાં ઘટતું ન થતું કાર્ય છે

ચલ x. સંભાવના ધ્યાનમાં લો

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

ત્યારથી p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y ) = p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

તેવી જ રીતે y માટે.

4. એક-પરિમાણીય લાક્ષણિકતાઓમાં સંક્રમણ:

વિતરણ મેટ્રિક્સ

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (X,Y) અલગ હોય છે જો તેના ઘટકો Ω X અને Ω Y ના મૂલ્યોના સેટ ગણી શકાય તેવા સેટ હોય. આવા જથ્થાઓની સંભવિત લાક્ષણિકતાઓનું વર્ણન કરવા માટે, દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ કાર્ય અને વિતરણ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

વિતરણ મેટ્રિક્સએક લંબચોરસ કોષ્ટક છે જેમાં ઘટક X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), ઘટક Y − Ω Y =( y 1 ,y 2) ના મૂલ્યો સમાવે છે , …,y m ) અને મૂલ્યોની તમામ સંભવિત જોડીની સંભાવનાઓ p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.

i = 1

દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ ઘનતા

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (X ,Y ) જો તે સતત હોય

વિતરણ કાર્ય F (x,y) એ દરેક દલીલો માટે સતત, વિભેદક કાર્ય છે અને ત્યાં એક સેકન્ડ છે

મિશ્ર વ્યુત્પન્ન ∂ 2 F (x, y).

∂ x ∂y

દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ ઘનતા f(x, y ) કોઓર્ડિનેટ્સ ( x, y ) અને વિતરણ કાર્યના બીજા મિશ્ર વ્યુત્પન્ન સમાન છે:

∫∫ f(x, y) dxdy.

દ્વિ-પરિમાણીય ઘનતાના ગુણધર્મો:

1. f (x ,y )≥ 0.

2. સામાન્યીકરણ સ્થિતિ:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y = 1 .