સંખ્યાઓની સંખ્યા સૌથી નાની સામાન્ય છે. LCM શોધવાના લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ, પદ્ધતિઓ, ઉદાહરણો શોધવી

પરંતુ ઘણી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અન્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ દ્વારા પણ વિભાજ્ય હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

સંખ્યા 12 એ 1, 2, 3, 4, 6, 12 વડે વિભાજ્ય છે;

સંખ્યા 36 એ 1 વડે, 2 વડે, 3 વડે, 4 વડે 6, 12 વડે 18, 36 વડે વિભાજ્ય છે.

સંખ્યાઓ કે જેના દ્વારા સંખ્યાને પૂર્ણ વડે ભાગી શકાય છે (12 માટે આ 1, 2, 3, 4, 6 અને 12 છે) કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓના વિભાજકો. કુદરતી સંખ્યાનો વિભાજક a- એક કુદરતી સંખ્યા છે જે આપેલ સંખ્યાને વિભાજિત કરે છે aટ્રેસ વિના. બે કરતા વધુ વિભાજકો ધરાવતી કુદરતી સંખ્યા કહેવાય છે સંયુક્ત .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે 12 અને 36 નંબરોમાં સામાન્ય પરિબળો છે. આ સંખ્યાઓ છે: 1, 2, 3, 4, 6, 12. આ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો વિભાજક 12 છે. આ બે સંખ્યાઓનો સામાન્ય વિભાજક aઅને b- આ તે સંખ્યા છે જેના દ્વારા આપેલ બંને સંખ્યાઓને બાકી વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે aઅને b.

સામાન્ય ગુણાંકઅનેક સંખ્યાઓ એ એક સંખ્યા છે જે આ દરેક સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 9, 18 અને 45 નંબરો 180 નો સામાન્ય ગુણાંક ધરાવે છે. પરંતુ 90 અને 360 તેમના સામાન્ય ગુણાંક પણ છે. બધા સામાન્ય ગુણાંકમાં હંમેશા સૌથી નાનો હોય છે, આ કિસ્સામાં તે 90 છે. આ સંખ્યા કહેવાય છે સૌથી નાનુંસામાન્ય બહુવિધ (સીએમએમ).

LCM એ હંમેશા કુદરતી સંખ્યા છે જે સૌથી મોટી સંખ્યા કરતાં મોટી હોવી જોઈએ જેના માટે તે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM). ગુણધર્મો.

પરિવર્તનશીલતા:

સહયોગ:

ખાસ કરીને, જો અને કોપ્રાઈમ નંબરો છે, તો પછી:

બે પૂર્ણાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક mઅને nઅન્ય તમામ સામાન્ય ગુણાંકનો વિભાજક છે mઅને n. તદુપરાંત, સામાન્ય ગુણાંકનો સમૂહ m, n LCM માટે ગુણાંકના સમૂહ સાથે સુસંગત છે( m, n).

માટે એસિમ્પ્ટોટીક્સ કેટલાક સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક કાર્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે.

તેથી, ચેબીશેવ કાર્ય. અને એ પણ:

આ લેન્ડૌ કાર્યની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મોમાંથી અનુસરે છે g(n).

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણના નિયમમાંથી શું અનુસરે છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવી.

NOC( a, b) ની ગણતરી ઘણી રીતે કરી શકાય છે:

1. જો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક જાણીતો હોય, તો તમે LCM સાથે તેના જોડાણનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

2. અવિભાજ્ય પરિબળોમાં બંને સંખ્યાઓના પ્રમાણભૂત વિઘટનને જાણવા દો:

જ્યાં પૃષ્ઠ 1, ...,p કે- વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, અને d 1,...,d kઅને e 1,...,e k— બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો (જો અનુરૂપ પ્રાઇમ વિસ્તરણમાં ન હોય તો તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે).

પછી NOC ( a,b) ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, LCM વિઘટનમાં સંખ્યાઓના ઓછામાં ઓછા એક વિઘટનમાં સમાવિષ્ટ તમામ મુખ્ય પરિબળોનો સમાવેશ થાય છે. a, b, અને આ ગુણકના બે ઘાતાંકમાંથી સૌથી મોટો લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ:

ઘણી સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરીને બે સંખ્યાઓના LCMની સંખ્યાબંધ અનુક્રમિક ગણતરીઓમાં ઘટાડી શકાય છે:

નિયમ.સંખ્યાઓની શ્રેણીનું LCM શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

- સંખ્યાઓને મુખ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત કરો;

- ઇચ્છિત ઉત્પાદનના પરિબળોમાં સૌથી મોટા વિઘટન (આપેલ સંખ્યાની સૌથી મોટી સંખ્યાના પરિબળોનું ઉત્પાદન) સ્થાનાંતરિત કરો, અને પછી અન્ય સંખ્યાઓના વિઘટનમાંથી પરિબળો ઉમેરો જે પ્રથમ નંબરમાં દેખાતા નથી અથવા તેમાં દેખાતા નથી. ઓછી વખત;

— અવિભાજ્ય પરિબળોનું પરિણામી ઉત્પાદન આપેલ સંખ્યાઓનો LCM હશે.

કોઈપણ બે અથવા વધુ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું પોતાનું LCM હોય છે. જો સંખ્યાઓ એકબીજાના ગુણાકાર ન હોય અથવા વિસ્તરણમાં સમાન અવયવ ધરાવતા ન હોય, તો તેમનો LCM આ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

સંખ્યા 28 (2, 2, 7) ના અવિભાજ્ય અવયવો 3 (સંખ્યા 21) ના અવયવ સાથે પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન (84) એ સૌથી નાની સંખ્યા હશે જે 21 અને 28 વડે વિભાજ્ય છે.

સૌથી મોટી સંખ્યા 30 ના અવિભાજ્ય અવયવો સંખ્યા 25 ના પરિબળ 5 દ્વારા પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન 150 સૌથી મોટી સંખ્યા 30 કરતા વધારે છે અને બાકીની બધી સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. આ સૌથી નાનું શક્ય ઉત્પાદન છે (150, 250, 300...) જે આપેલ તમામ સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે.

સંખ્યાઓ 2,3,11,37 અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમનો LCM આપેલ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

નિયમ. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આ બધી સંખ્યાઓને એકસાથે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

બીજો વિકલ્પ:

તમને જરૂરી સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવા માટે:

1) દરેક સંખ્યાને તેના મુખ્ય પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરો, ઉદાહરણ તરીકે:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) તમામ મુખ્ય પરિબળોની શક્તિઓ લખો:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) આ દરેક સંખ્યાના તમામ મુખ્ય વિભાજકો (ગુણાકાર) લખો;

4) તેમાંથી દરેકની સૌથી મોટી ડિગ્રી પસંદ કરો, જે આ સંખ્યાઓના તમામ વિસ્તરણમાં જોવા મળે છે;

5) આ શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ. સંખ્યાઓનું LCM શોધો: 168, 180 અને 3024.

ઉકેલ. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

અમે તમામ મુખ્ય વિભાજકોની સૌથી મોટી શક્તિઓ લખીએ છીએ અને તેમને ગુણાકાર કરીએ છીએ:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

કુદરતી સંખ્યાઓ માટે વિભાજ્યતા માપદંડ.

શેષ વિના 2 વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓ કહેવાય છેસમ .

જે સંખ્યાઓ 2 વડે સરખી રીતે ભાગી શકાતી નથી તેને કહેવામાં આવે છેવિચિત્ર .

2 દ્વારા વિભાજ્યતા માટે પરીક્ષણ

જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એક સમાન અંક સાથે સમાપ્ત થાય છે, તો પછી આ સંખ્યા બાકીના વિના 2 વડે વિભાજ્ય છે, અને જો કોઈ સંખ્યા એક વિષમ અંક સાથે સમાપ્ત થાય છે, તો આ સંખ્યા 2 વડે સરખી રીતે વિભાજ્ય નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 60 , 30 8 , 8 4 શેષ વગર 2 વડે ભાગી શકાય છે, અને સંખ્યાઓ 5 છે1 , 8 5 , 16 7 શેષ વિના 2 વડે વિભાજ્ય નથી.

3 દ્વારા વિભાજ્યતા માટે પરીક્ષણ

જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 3 વડે વિભાજ્ય હોય, તો સંખ્યા 3 વડે વિભાજ્ય છે; જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 3 વડે વિભાજ્ય ન હોય, તો તે સંખ્યા 3 વડે ભાગી શકાતી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે શું 2772825 નંબર 3 વડે વિભાજ્ય છે. આ કરવા માટે, ચાલો આ સંખ્યાના અંકોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - 3 વડે વિભાજ્ય. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા 2772825 3 વડે વિભાજ્ય છે.

5 દ્વારા વિભાજ્યતા પરીક્ષણ

જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો રેકોર્ડ અંક 0 અથવા 5 સાથે સમાપ્ત થાય છે, તો આ સંખ્યા બાકીના વિના 5 વડે ભાગી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 શેષ વિના 5 વડે ભાગી શકાય છે, અને સંખ્યાઓ 1 છે7 , 37 8 , 9 1 શેર કરશો નહીં.

9 સુધીમાં વિભાજ્યતા પરીક્ષણ

જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 વડે વિભાજ્ય હોય, તો સંખ્યા 9 વડે વિભાજ્ય છે; જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 વડે વિભાજ્ય ન હોય, તો તે સંખ્યા 9 વડે ભાગી શકાતી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે 5402070 નંબર 9 વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ. આ કરવા માટે, ચાલો આ સંખ્યાના અંકોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - 9 વડે વિભાજ્ય નથી. આનો અર્થ છે કે 5402070 નંબર 9 વડે વિભાજ્ય નથી.

10 સુધીમાં વિભાજ્યતા પરીક્ષણ

જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા અંક 0 સાથે સમાપ્ત થાય છે, તો આ સંખ્યા બાકીના વિના 10 વડે ભાગી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 40 , 17 0 , 1409 0 શેષ વિના 10 વડે ભાગી શકાય છે, અને સંખ્યાઓ 17 , 9 3 , 1430 7 - શેર કરશો નહીં.

સૌથી સામાન્ય વિભાજક (GCD) શોધવાનો નિયમ.

કેટલીક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

2) આમાંની એક સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અન્ય સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં શામેલ ન હોય તેવા પરિબળોને પાર કરો;

3) બાકીના પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો.

ઉદાહરણ. ચાલો GCD (48;36) શોધીએ. ચાલો નિયમનો ઉપયોગ કરીએ.

1. ચાલો 48 અને 36 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવમાં પરિબળ કરીએ.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. નંબર 48 ના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અમે તે કાઢી નાખીએ છીએ જે નંબર 36 ના વિસ્તરણમાં શામેલ નથી.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

બાકીના પરિબળો 2, 2 અને 3 છે.

3. બાકીના અવયવોનો ગુણાકાર કરો અને 12 મેળવો. આ સંખ્યા 48 અને 36 સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક છે.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવાનો નિયમ.

કેટલીક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

1) તેમને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરો;

2) સંખ્યાઓમાંથી એકના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળો લખો;

3) બાકીની સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળોને તેમાં ઉમેરો;

4) પરિણામી પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો.

ઉદાહરણ.ચાલો LOC (75;60) શોધીએ. ચાલો નિયમનો ઉપયોગ કરીએ.

1. ચાલો 75 અને 60 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવમાં પરિબળ કરીએ.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. ચાલો નંબર 75: 3, 5, 5 ના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોને લખીએ.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. સંખ્યા 60 ના વિસ્તરણમાંથી ગુમ થયેલ પરિબળોને તેમાં ઉમેરો, એટલે કે. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. પરિણામી પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક અને લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક એ મુખ્ય અંકગણિત ખ્યાલો છે જે અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવાનું સરળ બનાવે છે. LCM અને મોટાભાગે અનેક અપૂર્ણાંકોના સામાન્ય છેદ શોધવા માટે વપરાય છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો

પૂર્ણાંક X નો વિભાજક એ બીજો પૂર્ણાંક Y છે જેના દ્વારા X ને શેષ છોડ્યા વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4 નો વિભાજક 2 છે, અને 36 4, 6, 9 છે. પૂર્ણાંક X નો ગુણાકાર એ સંખ્યા Y છે જે શેષ વિના X વડે ભાગી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3 એ 15 નો ગુણાંક છે, અને 6 એ 12 નો ગુણાંક છે.

સંખ્યાઓની કોઈપણ જોડી માટે આપણે તેમના સામાન્ય વિભાજકો અને ગુણાંક શોધી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, 6 અને 9 માટે, સામાન્ય ગુણાંક 18 છે, અને સામાન્ય વિભાજક 3 છે. દેખીતી રીતે, જોડીમાં અનેક વિભાજકો અને ગુણાંક હોઈ શકે છે, તેથી ગણતરીઓ સૌથી મોટા વિભાજક GCD અને સૌથી નાના બહુવિધ LCMનો ઉપયોગ કરે છે.

લઘુત્તમ વિભાજક અર્થહીન છે, કારણ કે કોઈપણ સંખ્યા માટે તે હંમેશા એક જ હોય ​​છે. સૌથી મહાન ગુણાંક પણ અર્થહીન છે, કારણ કે ગુણાંકનો ક્રમ અનંત સુધી જાય છે.

જીસીડી શોધવી

સૌથી સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટેની ઘણી પદ્ધતિઓ છે, જેમાંથી સૌથી પ્રસિદ્ધ છે:

• વિભાજકોની અનુક્રમિક શોધ, જોડી માટે સામાન્યની પસંદગી અને તેમાંથી સૌથી મોટાની શોધ;
• અવિભાજ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓનું વિઘટન;
• યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ;
• દ્વિસંગી અલ્ગોરિધમનો.

આજે શૈક્ષણિક સંસ્થાઓમાં સૌથી વધુ લોકપ્રિય પદ્ધતિઓ મુખ્ય પરિબળો અને યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમમાં વિઘટન છે. બાદમાં, બદલામાં, ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો ઉકેલતી વખતે વપરાય છે: પૂર્ણાંકોમાં રીઝોલ્યુશનની સંભાવના માટે સમીકરણ તપાસવા માટે GCD માટે શોધ જરૂરી છે.

NOC શોધવી

લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક પણ અનુક્રમિક ગણતરી દ્વારા અથવા અવિભાજ્ય પરિબળોમાં અવયવીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વધુમાં, જો સૌથી મોટો વિભાજક પહેલેથી જ નક્કી કરવામાં આવ્યો હોય તો LCM શોધવાનું સરળ છે. X અને Y નંબરો માટે, LCM અને GCD નીચેના સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

ઉદાહરણ તરીકે, જો GCM(15,18) = 3, તો LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM નો ઉપયોગ કરવાનું સૌથી સ્પષ્ટ ઉદાહરણ સામાન્ય છેદ શોધવાનું છે, જે સૌથી ઓછા સામાન્ય ગુણાંક છે. આપેલ અપૂર્ણાંક.

કોપ્રાઈમ નંબરો

જો સંખ્યાઓની જોડીમાં કોઈ સામાન્ય વિભાજકો ન હોય, તો આવી જોડીને કોપ્રાઈમ કહેવામાં આવે છે. આવા જોડીઓ માટેનું gcd હંમેશા એક સમાન હોય છે, અને વિભાજકો અને ગુણાંક વચ્ચેના જોડાણના આધારે, coprime જોડીઓ માટે gcd તેમના ઉત્પાદનની બરાબર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 25 અને 28 સંખ્યાઓ પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે, કારણ કે તેમની પાસે કોઈ સામાન્ય વિભાજક નથી, અને LCM(25, 28) = 700, જે તેમના ઉત્પાદનને અનુરૂપ છે. કોઈપણ બે અવિભાજ્ય સંખ્યા હંમેશા પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય હશે.

સામાન્ય વિભાજક અને બહુવિધ કેલ્ક્યુલેટર

અમારા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને તમે પસંદ કરવા માટે સંખ્યાઓની મનસ્વી સંખ્યા માટે GCD અને LCM ની ગણતરી કરી શકો છો. સામાન્ય વિભાજકો અને ગુણાંકની ગણતરી કરવાના કાર્યો 5મા અને 6ઠ્ઠા ધોરણના અંકગણિતમાં જોવા મળે છે, પરંતુ GCD અને LCM ગણિતમાં મુખ્ય વિભાવનાઓ છે અને તેનો ઉપયોગ નંબર થિયરી, પ્લાનિમેટ્રી અને કોમ્યુનિકેટિવ બીજગણિતમાં થાય છે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણો

અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ

બહુવિધ અપૂર્ણાંકોના સામાન્ય છેદને શોધતી વખતે ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકનો ઉપયોગ થાય છે. ચાલો કહીએ કે અંકગણિત સમસ્યામાં તમારે 5 અપૂર્ણાંકનો સરવાળો કરવાની જરૂર છે:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવી આવશ્યક છે, જે LCM શોધવાની સમસ્યાને ઘટાડે છે. આ કરવા માટે, કેલ્ક્યુલેટરમાં 5 નંબરો પસંદ કરો અને યોગ્ય કોષોમાં છેદના મૂલ્યો દાખલ કરો. પ્રોગ્રામ LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ની ગણતરી કરશે. હવે તમારે દરેક અપૂર્ણાંક માટે વધારાના પરિબળોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, જેને LCM અને છેદના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી વધારાના ગુણક આના જેવા દેખાશે:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

આ પછી, અમે અનુરૂપ વધારાના પરિબળ દ્વારા તમામ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

આપણે સરળતાથી આવા અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ અને પરિણામ 159/360 મેળવી શકીએ છીએ. આપણે અપૂર્ણાંકને 3 થી ઘટાડીએ છીએ અને અંતિમ જવાબ જોઈએ છીએ - 53/120.

રેખીય ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો ઉકેલવા

લીનિયર ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો એ ax + by = d સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે. જો ગુણોત્તર d/gcd(a, b) પૂર્ણાંક છે, તો સમીકરણ પૂર્ણાંકોમાં ઉકેલી શકાય તેવું છે. ચાલો કેટલાક સમીકરણો તપાસીએ કે તેમની પાસે પૂર્ણાંક ઉકેલ છે કે નહીં. પ્રથમ, ચાલો સમીકરણ 150x + 8y = 37 તપાસીએ. કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, આપણે GCD (150.8) = 2 શોધીએ છીએ. 37/2 = 18.5 ને વિભાજિત કરો. સંખ્યા પૂર્ણાંક નથી, તેથી સમીકરણમાં પૂર્ણાંક મૂળ નથી.

ચાલો સમીકરણ 1320x + 1760y = 10120 તપાસીએ. GCD(1320, 1760) = 440 શોધવા માટે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો. 10120/440 = 23 ને વિભાજિત કરો. પરિણામે, આપણને પૂર્ણાંક મળે છે, તેથી, ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણમાં સમીકરણ યોગ્ય છે. .

નિષ્કર્ષ

સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં GCD અને LCM મોટી ભૂમિકા ભજવે છે, અને ગણિતના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં વિભાવનાઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. કોઈપણ સંખ્યાના સૌથી મોટા વિભાજકો અને ઓછામાં ઓછા ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે અમારા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો.

શાળાના બાળકોને ગણિતમાં ઘણાં કાર્યો આપવામાં આવે છે. તેમાંથી, ઘણી વાર નીચેની રચનામાં સમસ્યાઓ હોય છે: ત્યાં બે અર્થ છે. આપેલ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક કેવી રીતે શોધવો? આવા કાર્યો કરવા માટે સક્ષમ બનવું જરૂરી છે, કારણ કે હસ્તગત કુશળતાનો ઉપયોગ વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવા માટે થાય છે. આ લેખમાં આપણે LOC અને મૂળભૂત ખ્યાલો કેવી રીતે શોધવી તે જોઈશું.

LCM કેવી રીતે શોધવું તે પ્રશ્નનો જવાબ શોધતા પહેલા, તમારે બહુવિધ શબ્દ વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે. મોટેભાગે, આ ખ્યાલની રચના આના જેવી લાગે છે: ચોક્કસ મૂલ્ય A નો ગુણાંક એ એક કુદરતી સંખ્યા છે જે બાકીના વિના A વડે ભાગી શકાય છે તેથી, 4 માટે, ગુણાંક 8, 12, 16, 20 હશે. અને તેથી વધુ, જરૂરી મર્યાદા સુધી.

આ કિસ્સામાં, ચોક્કસ મૂલ્ય માટે વિભાજકોની સંખ્યા મર્યાદિત હોઈ શકે છે, પરંતુ ગુણાંક અનંતપણે ઘણા છે. કુદરતી મૂલ્યો માટે પણ સમાન મૂલ્ય છે. આ એક સૂચક છે જે તેમને બાકીના વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ચોક્કસ સૂચકાંકો માટે સૌથી નાના મૂલ્યની વિભાવનાને સમજ્યા પછી, ચાલો તેને કેવી રીતે શોધવું તે તરફ આગળ વધીએ.

NOC શોધવી

બે અથવા વધુ ઘાતાંકનો લઘુત્તમ ગુણાંક એ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે તમામ ઉલ્લેખિત સંખ્યાઓ દ્વારા સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.

આવી કિંમત શોધવાની ઘણી રીતો છે, નીચેની પદ્ધતિઓનો વિચાર કરો:

1. જો સંખ્યાઓ નાની હોય, તો તેના વડે ભાગી શકાય તે તમામને એક લીટી પર લખો. જ્યાં સુધી તમને તેમની વચ્ચે કંઈક સામાન્ય ન મળે ત્યાં સુધી આ કરવાનું ચાલુ રાખો. લેખિતમાં તેઓ K અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4 અને 3 માટે, સૌથી નાનો ગુણાંક 12 છે.
2. જો આ મોટા હોય અથવા તમારે 3 અથવા વધુ મૂલ્યોના ગુણાંક શોધવાની જરૂર હોય, તો તમારે બીજી તકનીકનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ જેમાં સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં વિઘટન કરવું શામેલ હોય. પ્રથમ, સૂચિબદ્ધ સૌથી મોટું મૂકો, પછી બીજા બધા. તેમાંના દરેકના પોતાના ગુણકની સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 20 (2*2*5) અને 50 (5*5*2)નું વિઘટન કરીએ. નાના માટે, પરિબળોને રેખાંકિત કરો અને તેમને સૌથી મોટામાં ઉમેરો. પરિણામ 100 હશે, જે ઉપરોક્ત સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક હશે.
3. જ્યારે 3 નંબરો (16, 24 અને 36) શોધો ત્યારે સિદ્ધાંતો અન્ય બે માટે સમાન હોય છે. ચાલો તે દરેકને વિસ્તૃત કરીએ: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. 16 નંબરના વિસ્તરણમાંથી ફક્ત બે બે જ સૌથી મોટાના વિસ્તરણમાં શામેલ નથી અમે તેમને ઉમેરીએ છીએ અને 144 મેળવીએ છીએ, જે અગાઉ દર્શાવેલ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો માટે સૌથી નાનું પરિણામ છે.

હવે આપણે જાણીએ છીએ કે બે, ત્રણ અથવા વધુ મૂલ્યો માટે સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટેની સામાન્ય તકનીક શું છે. જો કે, ત્યાં ખાનગી પદ્ધતિઓ પણ છે, NOC શોધવામાં મદદ કરે છે જો અગાઉના લોકો મદદ ન કરે.

GCD અને NOC કેવી રીતે શોધવી.

શોધવાની ખાનગી પદ્ધતિઓ

કોઈપણ ગાણિતિક વિભાગની જેમ, LCM શોધવાના ખાસ કિસ્સાઓ છે જે ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં મદદ કરે છે:

• જો સંખ્યાઓમાંથી એક બાકીના વિના અન્ય દ્વારા વિભાજ્ય હોય, તો આ સંખ્યાઓનો સૌથી નીચો ગુણાંક તેની બરાબર છે (60 અને 15 નો LCM 15 છે);
• પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય પરિબળો હોતા નથી. તેમનું સૌથી નાનું મૂલ્ય આ સંખ્યાઓના ઉત્પાદન જેટલું છે. આમ, 7 અને 8 નંબરો માટે તે 56 હશે;
• આ જ નિયમ અન્ય કેસો માટે કામ કરે છે, જેમાં વિશેષ મુદ્દાઓ પણ સામેલ છે, જે વિશેષ સાહિત્યમાં વાંચી શકાય છે. આમાં સંયુક્ત સંખ્યાઓના વિઘટનના કિસ્સાઓનો પણ સમાવેશ થવો જોઈએ, જે વ્યક્તિગત લેખો અને ઉમેદવાર નિબંધોનો વિષય છે.

વિશિષ્ટ કેસો પ્રમાણભૂત ઉદાહરણો કરતાં ઓછા સામાન્ય છે. પરંતુ તેમના માટે આભાર, તમે જટિલતાના વિવિધ ડિગ્રીના અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવાનું શીખી શકો છો. આ ખાસ કરીને અપૂર્ણાંક માટે સાચું છે, જ્યાં અસમાન છેદ છે.

થોડા ઉદાહરણો

ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ જે તમને ઓછામાં ઓછા બહુવિધ શોધવાના સિદ્ધાંતને સમજવામાં મદદ કરશે:

1. LOC (35; 40) શોધો. આપણે પહેલા 35 = 5*7, પછી 40 = 5*8 વિઘટન કરીએ છીએ. સૌથી નાની સંખ્યામાં 8 ઉમેરો અને LOC 280 મેળવો.
2. NOC (45; 54). અમે તેમાંના દરેકને વિઘટિત કરીએ છીએ: 45 = 3*3*5 અને 54 = 3*3*6. આપણે 45 માં 6 નંબર ઉમેરીએ છીએ. આપણને 270 ની બરાબર LCM મળે છે.
3. સારું, છેલ્લું ઉદાહરણ. ત્યાં 5 અને 4 છે. તેમાંના કોઈ અવિભાજ્ય ગુણાંક નથી, તેથી આ કિસ્સામાં લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક તેમનું ઉત્પાદન હશે, જે 20 ની બરાબર છે.

ઉદાહરણો માટે આભાર, તમે સમજી શકો છો કે NOC કેવી રીતે સ્થિત છે, ઘોંઘાટ શું છે અને આવા મેનિપ્યુલેશન્સનો અર્થ શું છે.

NOC શોધવું તે શરૂઆતમાં લાગે તે કરતાં ઘણું સરળ છે. આ કરવા માટે, એકબીજા દ્વારા સરળ મૂલ્યોના સરળ વિસ્તરણ અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ થાય છે. ગણિતના આ વિભાગ સાથે કામ કરવાની ક્ષમતા ગાણિતિક વિષયોના વધુ અભ્યાસમાં મદદ કરે છે, ખાસ કરીને જટિલતાના વિવિધ ડિગ્રીના અપૂર્ણાંક.

સમયાંતરે વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણો ઉકેલવાનું ભૂલશો નહીં; આવા ઘાતાંકને કેવી રીતે શોધવું તે શીખો અને તમે બાકીના ગણિત વિભાગોમાં સારું પ્રદર્શન કરી શકશો. ગણિત શીખવાની ખુશી!

વિડિયો

આ વિડિયો તમને ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકને કેવી રીતે શોધવો તે સમજવા અને યાદ રાખવામાં મદદ કરશે.

બે કે તેથી વધુ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક કેવી રીતે શોધવો તે શીખવા માટે, તમારે કુદરતી, અવિભાજ્ય અને જટિલ સંખ્યાઓ શું છે તે સમજવાની જરૂર છે.

કુદરતી સંખ્યા એ કોઈપણ સંખ્યા છે જેનો ઉપયોગ સંપૂર્ણ વસ્તુઓની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

જો પ્રાકૃતિક સંખ્યાને ફક્ત પોતાના અને એકમાં જ વિભાજિત કરી શકાય, તો તેને અવિભાજ્ય કહેવામાં આવે છે.

બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને પોતાના અને એક વડે વિભાજિત કરી શકાય છે, પરંતુ એકમાત્ર સમાન અવિભાજ્ય સંખ્યા 2 છે, અન્ય તમામને બે વડે ભાગી શકાય છે. તેથી, માત્ર બેકી સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય હોઈ શકે છે.

ત્યાં ઘણી બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે; તેમની કોઈ સંપૂર્ણ સૂચિ નથી. GCD શોધવા માટે આવા નંબરો સાથે વિશિષ્ટ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે.

મોટાભાગની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને માત્ર એક દ્વારા જ નહીં, પણ અન્ય સંખ્યાઓ દ્વારા પણ વિભાજિત કરી શકાય છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, 15 નંબરને 3 અને 5 વડે ભાગી શકાય છે. તે બધાને 15 નંબરના વિભાજક કહેવામાં આવે છે.

આમ, કોઈપણ A નો વિભાજક એ સંખ્યા છે જેના દ્વારા તેને શેષ વિના ભાગી શકાય છે. જો કોઈ સંખ્યામાં બે કરતાં વધુ કુદરતી પરિબળો હોય, તો તેને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે.

30 નંબરમાં 1, 3, 5, 6, 15, 30 જેવા વિભાજકો હોઈ શકે છે.

તમે જોશો કે 15 અને 30 ના સમાન વિભાજકો 1, 3, 5, 15 છે. આ બે સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક 15 છે.

આમ, સંખ્યાઓ A અને B નો સામાન્ય વિભાજક એ સંખ્યા છે જેના દ્વારા તેમને સંપૂર્ણ રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે. સૌથી મોટી મહત્તમ કુલ સંખ્યા ગણી શકાય જેના દ્વારા તેમને વિભાજિત કરી શકાય.

સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે, નીચેના સંક્ષિપ્ત શિલાલેખનો ઉપયોગ થાય છે:

GCD (A; B).

ઉદાહરણ તરીકે, gcd (15; 30) = 30.

કુદરતી સંખ્યાના તમામ વિભાજકો લખવા માટે, સંકેતનો ઉપયોગ કરો:

D (15) = (1, 3, 5, 15)

GCD (9; 15) = 1

આ ઉદાહરણમાં, કુદરતી સંખ્યાઓમાં માત્ર એક સામાન્ય વિભાજક છે. તેમને પ્રમાણમાં પ્રાઇમ કહેવામાં આવે છે, તેથી એકતા તેમના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક છે.

સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક કેવી રીતે શોધવો

અનેક સંખ્યાઓની જીસીડી શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાના તમામ વિભાજકોને અલગથી શોધો, એટલે કે, તેમને અવયવ (અવિભાજ્ય સંખ્યા) માં પરિબળ કરો;

આપેલ સંખ્યાઓના તમામ સમાન પરિબળો પસંદ કરો;

તેમને એકસાથે ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ તરીકે, 30 અને 56 નંબરોના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકની ગણતરી કરવા માટે, તમે નીચે મુજબ લખશો:

મૂંઝવણ ટાળવા માટે, ઊભી કૉલમનો ઉપયોગ કરીને પરિબળો લખવાનું અનુકૂળ છે. લાઇનની ડાબી બાજુએ તમારે ડિવિડન્ડ મૂકવાની જરૂર છે, અને જમણી બાજુએ - વિભાજક. ડિવિડન્ડ હેઠળ, તમારે પરિણામી ભાગ સૂચવવો જોઈએ.

તેથી, જમણી સ્તંભમાં ઉકેલ માટે જરૂરી તમામ પરિબળો હશે.

સમાન વિભાજકો (મળેલા પરિબળો) સુવિધા માટે રેખાંકિત કરી શકાય છે. તેઓ ફરીથી લખવા જોઈએ અને ગુણાકાર કરવા જોઈએ અને સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક લખવા જોઈએ.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

સંખ્યાઓના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકને શોધવાનું આ ખરેખર કેટલું સરળ છે. જો તમે થોડી પ્રેક્ટિસ કરો છો, તો તમે આ લગભગ આપમેળે કરી શકો છો.