બિંદુ K(x 0 ; y 0) અને રેખા y = kx + a ની સમાંતરમાંથી પસાર થતી રેખા સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

જ્યાં k એ રેખાનો ઢોળાવ છે.

વૈકલ્પિક સૂત્ર:
બિંદુ M 1 (x 1 ; y 1)માંથી પસાર થતી અને Ax+By+C=0 રેખાની સમાંતર રેખા સમીકરણ દ્વારા રજૂ થાય છે.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

ઉદાહરણ નંબર 2. રેખા 2x + 5y = 0 ની સમાંતર રેખાનું સમીકરણ લખો અને સંકલન અક્ષો સાથે મળીને રચના કરો, એક ત્રિકોણ જેનું ક્ષેત્રફળ 5 છે.
ઉકેલ . રેખાઓ સમાંતર હોવાથી, ઇચ્છિત રેખાનું સમીકરણ 2x + 5y + C = 0 છે. કાટકોણ ત્રિકોણનો વિસ્તાર, જ્યાં a અને b તેના પગ છે. ચાલો સંકલન અક્ષો સાથે ઇચ્છિત રેખાના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ:
;
.
તેથી, A(-C/2,0), B(0,-C/5). ચાલો તેને વિસ્તાર માટેના સૂત્રમાં બદલીએ: . અમને બે ઉકેલો મળે છે: 2x + 5y + 10 = 0 અને 2x + 5y – 10 = 0.

ઉદાહરણ નંબર 3. બિંદુ (-2; 5) અને રેખા 5x-7y-4=0 ની સમાંતરમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો.
ઉકેલ. આ સીધી રેખા સમીકરણ y = 5 / 7 x – 4 / 7 (અહીં a = 5 / 7) દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. ઇચ્છિત રેખાનું સમીકરણ y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)) છે, એટલે કે. 7(y-5)=5(x+2) અથવા 5x-7y+45=0 .

ઉદાહરણ નંબર 4. ફોર્મ્યુલા (2) નો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણ 3 (A=5, B=-7) ઉકેલ્યા પછી, આપણે 5(x+2)-7(y-5)=0 શોધીએ છીએ.

ઉદાહરણ નંબર 5. બિંદુ (-2;5) અને રેખા 7x+10=0 ની સમાંતરમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો.
ઉકેલ. અહીં A=7, B=0. ફોર્મ્યુલા (2) 7(x+2)=0 આપે છે, એટલે કે. x+2=0. ફોર્મ્યુલા (1) લાગુ પડતું નથી, કારણ કે આ સમીકરણ y ના સંદર્ભમાં ઉકેલી શકાતું નથી (આ સીધી રેખા ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર છે).

સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ:

સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણના વિશેષ કિસ્સાઓ:

a) જો સી= 0, સમીકરણ (2) નું સ્વરૂપ હશે

કુહાડી + દ્વારા = 0,

અને આ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સીધી રેખા મૂળમાંથી પસાર થાય છે, કારણ કે મૂળના કોઓર્ડિનેટ્સ છે x = 0, y= 0 આ સમીકરણને સંતોષે છે.

b) જો સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં (2) બી= 0, પછી સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

કુહાડી + સાથે= 0, અથવા.

સમીકરણમાં ચલ નથી y, અને આ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સીધી રેખા અક્ષની સમાંતર છે ઓય.

c) જો સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં (2) એ= 0, પછી આ સમીકરણ ફોર્મ લેશે

દ્વારા + સાથે= 0, અથવા ;

સમીકરણમાં ચલ નથી x, અને તે જે સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે અક્ષની સમાંતર છે બળદ.

તે યાદ રાખવું જોઈએ: જો કોઈ સીધી રેખા અમુક સંકલન અક્ષની સમાંતર હોય, તો તેના સમીકરણમાં આ અક્ષ જેવા સમાન નામનું સંકલન ધરાવતો કોઈ શબ્દ નથી.

ડી) ક્યારે સી= 0 અને એ= 0 સમીકરણ (2) સ્વરૂપ લે છે દ્વારા= 0, અથવા y = 0.

આ અક્ષનું સમીકરણ છે બળદ.

ડી) ક્યારે સી= 0 અને બી= 0 સમીકરણ (2) ફોર્મમાં લખવામાં આવશે કુહાડી= 0 અથવા x = 0.

આ અક્ષનું સમીકરણ છે ઓય.

પ્લેન પર રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ. પ્લેન પર સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો. સમાંતર રેખાઓ માટેની સ્થિતિ. રેખાઓની લંબરૂપતાની સ્થિતિ.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 વેક્ટર S 1 અને S 2 ને તેમની રેખાઓ માટે માર્ગદર્શિકા કહેવામાં આવે છે.

સીધી રેખાઓ l 1 અને l 2 વચ્ચેનો કોણ દિશા વેક્ટર વચ્ચેના ખૂણા દ્વારા નક્કી થાય છે.
પ્રમેય 1: l 1 અને l 2 વચ્ચેના ખૂણાની cos = cos(l 1 ; l 2) =

પ્રમેય 2: 2 લીટીઓ સમાન બનવા માટે તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે:

પ્રમેય 3: 2 સીધી રેખાઓ લંબરૂપ બનવા માટે તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

સામાન્ય પ્લેન સમીકરણ અને તેના ખાસ કિસ્સાઓ. સેગમેન્ટમાં પ્લેનનું સમીકરણ.

સામાન્ય વિમાન સમીકરણ:

Ax+ By + Cz + D = 0

ખાસ કિસ્સાઓ:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – પ્લેન મૂળમાંથી પસાર થાય છે

2. С=0 Ax+By+D = 0 – પ્લેન || ઓઝેડ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – વિમાન || ઓ.વાય

4. A=0 બાય+Cz+D = 0 – પ્લેન || ઓક્સ

5. A=0 અને D=0 By+Cz = 0 – પ્લેન OX માંથી પસાર થાય છે

6. B=0 અને D=0 Ax+Cz = 0 – પ્લેન OYમાંથી પસાર થાય છે

7. C=0 અને D=0 Ax+By = 0 – પ્લેન OZ માંથી પસાર થાય છે

અવકાશમાં વિમાનો અને સીધી રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ:

1. અવકાશમાં સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો તેમના દિશા વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો છે.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. વિમાનો વચ્ચેનો કોણ તેમના સામાન્ય વેક્ટર વચ્ચેના કોણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. લાઇન અને પ્લેન વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇનને રેખાના દિશા વેક્ટર અને પ્લેનના સામાન્ય વેક્ટર વચ્ચેના કોણના પાપ દ્વારા શોધી શકાય છે.

4. 2 સીધા || અવકાશમાં જ્યારે તેમના || વેક્ટર માર્ગદર્શિકાઓ

5. 2 વિમાનો || જ્યારે || સામાન્ય વેક્ટર

6. રેખાઓ અને વિમાનોની લંબરૂપતાના ખ્યાલો સમાન રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

પ્રશ્ન નંબર 14

પ્લેન પર સીધી રેખાના વિવિધ પ્રકારના સમીકરણ (સેગમેન્ટમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ, કોણ ગુણાંક સાથે, વગેરે)

વિભાગોમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ:
ચાલો ધારીએ કે સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – સીધી રેખા મૂળમાંથી પસાર થાય છે.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

ઢોળાવ સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ:

કોઈપણ સીધી રેખા જે op-amp અક્ષ (B not = 0) ની બરાબર નથી તે આગળની લીટીમાં લખી શકાય છે. ફોર્મ:

k = tanα α – સીધી રેખા અને હકારાત્મક રીતે નિર્દેશિત રેખા OX વચ્ચેનો ખૂણો

b – op-amp ની ધરી સાથે સીધી રેખાના આંતરછેદનું બિંદુ

દસ્તાવેજ:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

બે બિંદુઓ પર આધારિત સીધી રેખાનું સમીકરણ:

પ્રશ્ન નંબર 16

એક બિંદુ પર અને x→∞ માટે ફંક્શનની મર્યાદિત મર્યાદા

x0 પર સમાપ્તિ મર્યાદા:

સંખ્યા A એ x→x 0 માટે વિધેય y = f(x) ની મર્યાદા કહેવાય છે જો કોઈપણ E > 0 માટે b > 0 અસ્તિત્વમાં હોય તો x ≠x 0 માટે અસમાનતા સંતોષે |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

મર્યાદા આના દ્વારા દર્શાવેલ છે: = A

બિંદુ +∞ પર સમાપ્તિ મર્યાદા:

સંખ્યા A ને x પર ફંક્શન y = f(x) ની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે → + ∞ , જો કોઈ E > 0 માટે C > 0 અસ્તિત્વમાં હોય તો x > C માટે અસમાનતા |f(x) - A|< Е

મર્યાદા આના દ્વારા દર્શાવેલ છે: = A

બિંદુ પર સમાપ્તિ મર્યાદા -∞:

સંખ્યા A ને ફંક્શન y = f(x) માટેની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે x→-∞,જો કોઈ ઇ માટે< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

અવકાશમાં રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો એ સમીકરણો છે જે દિશા વેક્ટરને આપેલ બિંદુ સમસ્તરમાંથી પસાર થતી રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

એક બિંદુ અને દિશા વેક્ટર આપવા દો. એક મનસ્વી બિંદુ એક રેખા પર આવેલું છે lમાત્ર જો વેક્ટર અને સમરેખા હોય, એટલે કે, તેમના માટે સ્થિતિ સંતુષ્ટ હોય:

.

ઉપરોક્ત સમીકરણો સીધી રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો છે.

સંખ્યાઓ m , nઅને પીસંકલન અક્ષો પર દિશા વેક્ટરના અંદાજો છે. વેક્ટર બિન-શૂન્ય હોવાથી, પછી બધી સંખ્યાઓ m , nઅને પીએક સાથે શૂન્યની બરાબર ન હોઈ શકે. પરંતુ તેમાંથી એક કે બે શૂન્ય થઈ શકે છે. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની એન્ટ્રીની મંજૂરી છે:

,

જેનો અર્થ છે કે ધરી પરના વેક્ટરના અંદાજો ઓયઅને ઓઝશૂન્ય સમાન છે. તેથી, પ્રામાણિક સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર અને સીધી રેખા બંને અક્ષોને લંબરૂપ છે ઓયઅને ઓઝ, એટલે કે વિમાનો yOz .

ઉદાહરણ 1.પ્લેન પર લંબરૂપ અવકાશમાં રેખા માટે સમીકરણો લખો અને ધરી સાથે આ પ્લેનના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થવું ઓઝ .

ઉકેલ. ચાલો ધરી સાથે આ વિમાનના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ ઓઝ. કોઈપણ બિંદુ ધરી પર બોલતી હોવાથી ઓઝ, કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, તો પછી, પ્લેનના આપેલ સમીકરણમાં ધારી રહ્યા છીએ x = y = 0, આપણને 4 મળે છે z- 8 = 0 અથવા z= 2. તેથી, ધરી સાથે આ પ્લેનનું આંતરછેદ બિંદુ ઓઝકોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (0; 0; 2) . ઇચ્છિત રેખા પ્લેન પર લંબ હોવાથી, તે તેના સામાન્ય વેક્ટરની સમાંતર છે. તેથી, સીધી રેખાનો નિર્દેશક વેક્ટર સામાન્ય વેક્ટર હોઈ શકે છે આપેલ વિમાન.

હવે એક બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના જરૂરી સમીકરણો લખીએ એ= (0; 0; 2) વેક્ટરની દિશામાં:

આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણો

એક સીધી રેખા તેના પર પડેલા બે બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અને આ કિસ્સામાં, સીધી રેખાનો નિર્દેશક વેક્ટર વેક્ટર હોઈ શકે છે. પછી રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો સ્વરૂપ લે છે

.

ઉપરોક્ત સમીકરણો આપેલ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા નક્કી કરે છે.

ઉદાહરણ 2.બિંદુઓમાંથી પસાર થતી અવકાશમાં રેખા માટે સમીકરણ લખો અને .

ઉકેલ. ચાલો સૈદ્ધાંતિક સંદર્ભમાં ઉપર આપેલા ફોર્મમાં જરૂરી સીધી રેખા સમીકરણો લખીએ:

.

ત્યારથી, પછી ઇચ્છિત સીધી રેખા અક્ષને લંબરૂપ છે ઓય .

વિમાનોના આંતરછેદની રેખા તરીકે સીધી

અવકાશમાં એક સીધી રેખાને બે બિન-સમાંતર વિમાનોના આંતરછેદની રેખા તરીકે અને એટલે કે, બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સંતોષતા બિંદુઓના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

સિસ્ટમના સમીકરણોને અવકાશમાં સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણો પણ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3.સામાન્ય સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલ અવકાશમાં રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો બનાવો

ઉકેલ. લીટીના પ્રામાણિક સમીકરણો અથવા, સમાન શું છે, આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણો લખવા માટે, તમારે રેખા પરના કોઈપણ બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ કોઈપણ બે કોઓર્ડિનેટ પ્લેન સાથે સીધી રેખાના આંતરછેદના બિંદુઓ હોઈ શકે છે yOzઅને xOz .

રેખા અને વિમાનના આંતરછેદનું બિંદુ yOzએબ્સિસા છે x= 0. તેથી, સમીકરણોની આ સિસ્ટમમાં ધારી રહ્યા છીએ x= 0, અમને બે ચલો સાથેની સિસ્ટમ મળે છે:

તેણીનો નિર્ણય y = 2 , z= 6 સાથે x= 0 એક બિંદુ વ્યાખ્યાયિત કરે છે એ(0; 2; 6) ઇચ્છિત રેખા. પછી આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ધારી રહ્યા છીએ y= 0, અમને સિસ્ટમ મળે છે

તેણીનો નિર્ણય x = -2 , z= 0 સાથે મળીને y= 0 એક બિંદુ વ્યાખ્યાયિત કરે છે બી(-2; 0; 0) વિમાન સાથેની રેખાનું આંતરછેદ xOz .

હવે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણો લખીએ એ(0; 2; 6) અને બી (-2; 0; 0) :

,

અથવા છેદને -2 વડે વિભાજિત કર્યા પછી:

,

પ્લેન પર સીધી રેખાનું સમીકરણ.
દિશા વેક્ટર સીધી છે. સામાન્ય વેક્ટર

પ્લેન પરની સીધી રેખા એ સૌથી સરળ ભૌમિતિક આકૃતિઓમાંથી એક છે, જે તમને પ્રાથમિક શાળાથી પરિચિત છે, અને આજે આપણે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેની સાથે કેવી રીતે વ્યવહાર કરવો તે શીખીશું. સામગ્રીમાં નિપુણતા મેળવવા માટે, તમારે એક સીધી રેખા બનાવવા માટે સમર્થ હોવા જોઈએ; જાણો શું સમીકરણ સીધી રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, ખાસ કરીને, કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા અને સંકલન અક્ષની સમાંતર સીધી રેખાઓ. આ માહિતી મેન્યુઅલમાં મળી શકે છે પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો, મેં તેને માથન માટે બનાવ્યું છે, પરંતુ રેખીય કાર્ય વિશેનો વિભાગ ખૂબ સફળ અને વિગતવાર બન્યો. તેથી, પ્રિય ટીપોટ્સ, પહેલા ત્યાં ગરમ ​​કરો. વધુમાં, તમારે વિશે મૂળભૂત જ્ઞાન હોવું જરૂરી છે વેક્ટર, અન્યથા સામગ્રીની સમજ અધૂરી રહેશે.

આ પાઠમાં આપણે એવી રીતો જોઈશું કે જેમાં તમે પ્લેન પર સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવી શકો. હું પ્રાયોગિક ઉદાહરણોની અવગણના ન કરવાની ભલામણ કરું છું (ભલે તે ખૂબ જ સરળ લાગે), કારણ કે હું તેમને પ્રાથમિક અને મહત્વપૂર્ણ તથ્યો અને તકનીકો પ્રદાન કરીશ જે ભવિષ્યમાં ઉચ્ચ ગણિતના અન્ય વિભાગો સહિતની જરૂર પડશે.

• કોણ ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?
• કેવી રીતે ?
• સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને દિશા વેક્ટર કેવી રીતે શોધી શકાય?
• એક બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?

અને અમે શરૂ કરીએ છીએ:

ઢોળાવ સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ

સીધી રેખા સમીકરણનું જાણીતું "શાળા" સ્વરૂપ કહેવાય છે ઢોળાવ સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ. ઉદાહરણ તરીકે, જો સમીકરણ દ્વારા સીધી રેખા આપવામાં આવે, તો તેનો ઢોળાવ છે: . ચાલો આ ગુણાંકના ભૌમિતિક અર્થને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેનું મૂલ્ય રેખાના સ્થાનને કેવી રીતે અસર કરે છે:

ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં તે સાબિત થાય છે સીધી રેખાનો ઢોળાવ બરાબર છે કોણની સ્પર્શકહકારાત્મક ધરીની દિશા વચ્ચેઅને આ લાઇન: , અને કોણ ઘડિયાળની કાઉન્ટરવાઇઝમાં "અનસ્ક્રૂ કરે છે".

ડ્રોઇંગને ગડબડ ન કરવા માટે, મેં ફક્ત બે સીધી રેખાઓ માટે ખૂણા દોર્યા. ચાલો "લાલ" રેખા અને તેના ઢોળાવને ધ્યાનમાં લઈએ. ઉપર મુજબ: ("આલ્ફા" કોણ લીલા ચાપ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે). કોણ ગુણાંક સાથે "વાદળી" સીધી રેખા માટે, સમાનતા સાચી છે ("બીટા" કોણ ભૂરા ચાપ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે). અને જો કોણની સ્પર્શક જાણીતી હોય, તો જો જરૂરી હોય તો તે શોધવાનું સરળ છે અને ખૂણો પોતેવ્યસ્ત કાર્યનો ઉપયોગ કરીને - આર્કટેન્જેન્ટ. જેમ તેઓ કહે છે, ત્રિકોણમિતિ ટેબલ અથવા તમારા હાથમાં માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર. આમ, કોણીય ગુણાંક એબ્સીસા અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકની ડિગ્રી દર્શાવે છે.

નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1) જો ઢોળાવ નકારાત્મક છે: તો પછી રેખા, આશરે કહીએ તો, ઉપરથી નીચે સુધી જાય છે. ડ્રોઇંગમાં "વાદળી" અને "રાસ્પબેરી" સીધી રેખાઓ ઉદાહરણો છે.

2) જો ઢોળાવ ધન છે: , તો રેખા નીચેથી ઉપર તરફ જાય છે. ઉદાહરણો - ડ્રોઇંગમાં "કાળી" અને "લાલ" સીધી રેખાઓ.

3) જો ઢોળાવ શૂન્ય છે: , તો સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે, અને અનુરૂપ સીધી રેખા અક્ષની સમાંતર છે. ઉદાહરણ "પીળી" સીધી રેખા છે.

4) અક્ષની સમાંતર રેખાઓના પરિવાર માટે (ચિત્રમાં કોઈ ઉદાહરણ નથી, ધરી સિવાય), કોણીય ગુણાંક અસ્તિત્વમાં નથી (90 ડિગ્રીની સ્પર્શક વ્યાખ્યાયિત નથી).

નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં ઢાળ ગુણાંક જેટલો મોટો હશે, સીધી રેખાનો આલેખ જેટલો વધારે છે..

ઉદાહરણ તરીકે, બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો. અહીં, તેથી, સીધી રેખામાં વધુ ઢાળ છે. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે મોડ્યુલ તમને ચિહ્નને અવગણવાની મંજૂરી આપે છે, અમને ફક્ત તેમાં જ રસ છે સંપૂર્ણ મૂલ્યોકોણીય ગુણાંક.

બદલામાં, એક સીધી રેખા સીધી રેખાઓ કરતા વધારે છે .

તેનાથી વિપરિત: નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં ઢાળ ગુણાંક જેટલો નાનો હશે, તેટલી સીધી રેખા ચપટી હશે.

સીધી રેખાઓ માટે અસમાનતા સાચી છે, આમ સીધી રેખા ચપટી છે. ચિલ્ડ્રન્સ સ્લાઇડ, જેથી તમારી જાતને ઉઝરડા અને મુશ્કેલીઓ ન આવે.

આ શા માટે જરૂરી છે?

તમારી યાતનાને લંબાવો ઉપરોક્ત તથ્યોનું જ્ઞાન તમને તમારી ભૂલો, ખાસ કરીને, આલેખ બનાવતી વખતે ભૂલોને તરત જ જોવાની મંજૂરી આપે છે - જો ડ્રોઇંગ "સ્પષ્ટપણે કંઈક ખોટું" હોવાનું બહાર આવે છે. તે સલાહભર્યું છે કે તમે તરત જતે સ્પષ્ટ હતું કે, ઉદાહરણ તરીકે, સીધી રેખા ખૂબ જ ઢાળવાળી છે અને નીચેથી ઉપર તરફ જાય છે, અને સીધી રેખા ખૂબ જ સપાટ છે, ધરીની નજીક દબાવવામાં આવે છે અને ઉપરથી નીચે સુધી જાય છે.

ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં, ઘણી સીધી રેખાઓ વારંવાર દેખાય છે, તેથી તેમને કોઈક રીતે નિયુક્ત કરવું અનુકૂળ છે.

હોદ્દો: સીધી રેખાઓ નાના લેટિન અક્ષરોમાં નિયુક્ત કરવામાં આવી છે: . કુદરતી સબસ્ક્રિપ્ટ્સ સાથે સમાન અક્ષરનો ઉપયોગ કરીને તેમને નિયુક્ત કરવાનો એક લોકપ્રિય વિકલ્પ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે હમણાં જ જોઈ છે તે પાંચ લીટીઓ દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે .

કોઈપણ સીધી રેખા અનન્ય રીતે બે બિંદુઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવતી હોવાથી, તેને આ બિંદુઓ દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે: વગેરે હોદ્દો સ્પષ્ટપણે સૂચવે છે કે બિંદુઓ રેખાના છે.

થોડો ગરમ થવાનો સમય છે:

કોણ ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?

જો કોઈ ચોક્કસ રેખાથી સંબંધિત બિંદુ અને આ રેખાનો કોણીય ગુણાંક જાણીતો હોય, તો આ રેખાનું સમીકરણ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 1

ઢોળાવ સાથેની રેખા માટે સમીકરણ લખો જો તે જાણીતું હોય કે બિંદુ આપેલ રેખાનો છે.

ઉકેલ: ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ . આ કિસ્સામાં:

જવાબ આપો:

પરીક્ષાસરળ રીતે કરવામાં આવે છે. પ્રથમ, આપણે પરિણામી સમીકરણને જોઈએ છીએ અને ખાતરી કરીએ છીએ કે આપણો ઢોળાવ તેની જગ્યાએ છે. બીજું, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આ સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ. ચાલો તેમને સમીકરણમાં પ્લગ કરીએ:

સાચી સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ પરિણામી સમીકરણને સંતોષે છે.

નિષ્કર્ષ: સમીકરણ યોગ્ય રીતે મળ્યું.

તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટે વધુ મુશ્કેલ ઉદાહરણ:

ઉદાહરણ 2

સીધી રેખા માટે સમીકરણ લખો જો તે જાણીતું હોય કે અક્ષની સકારાત્મક દિશા તરફ તેનો ઝોકનો કોણ છે અને બિંદુ આ સીધી રેખાથી સંબંધિત છે.

જો તમને કોઈ મુશ્કેલીઓ હોય, તો સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને ફરીથી વાંચો. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, વધુ વ્યવહારુ, હું ઘણા બધા પુરાવાઓને છોડી દઉં છું.

છેલ્લી ઘંટડી વાગી છે, પદવીદાન સમારોહ સમાપ્ત થયો છે, અને અમારી મૂળ શાળાના દરવાજાની બહાર, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ પોતે જ આપણી રાહ જુએ છે. જોક્સ પૂરા થઈ ગયા... અથવા કદાચ તેઓ માત્ર શરૂઆત કરી રહ્યા છે =)

અમે નોસ્ટાલ્જિક રીતે અમારી પેનને પરિચિત તરફ લહેરાવીએ છીએ અને સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણથી પરિચિત થઈએ છીએ. કારણ કે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં આનો બરાબર ઉપયોગ થાય છે:

સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: , અમુક સંખ્યાઓ ક્યાં છે. તે જ સમયે, ગુણાંક સાથે સાથેશૂન્ય સમાન નથી, કારણ કે સમીકરણ તેનો અર્થ ગુમાવે છે.

ચાલો પોશાક પહેરીએ અને ઢાળ ગુણાંક સાથે સમીકરણ બાંધીએ. પ્રથમ, ચાલો બધી શરતોને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ:

"X" સાથેનો શબ્દ પ્રથમ સ્થાને મૂકવો આવશ્યક છે:

સૈદ્ધાંતિક રીતે, સમીકરણ પહેલાથી જ સ્વરૂપ ધરાવે છે, પરંતુ ગાણિતિક શિષ્ટાચારના નિયમો અનુસાર, પ્રથમ શબ્દનો ગુણાંક (આ કિસ્સામાં) હકારાત્મક હોવો જોઈએ. બદલાતા ચિહ્નો:

આ તકનીકી સુવિધા યાદ રાખો!અમે પ્રથમ ગુણાંક (મોટાભાગે) હકારાત્મક બનાવીએ છીએ!

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં, સીધી રેખાનું સમીકરણ લગભગ હંમેશા સામાન્ય સ્વરૂપમાં આપવામાં આવશે. ઠીક છે, જો જરૂરી હોય તો, તેને કોણીય ગુણાંક સાથે સરળતાથી "શાળા" સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે (ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખાઓના અપવાદ સાથે).

ચાલો આપણી જાતને પૂછીએ કે શું પર્યાપ્તસીધી રેખા બાંધવાનું જાણો છો? બે પોઈન્ટ. પરંતુ બાળપણની આ ઘટના વિશે વધુ પાછળથી, હવે તીર શાસન સાથે લાકડી. દરેક સીધી રેખામાં ખૂબ જ ચોક્કસ ઢોળાવ હોય છે, જેને "અનુકૂલન" કરવું સરળ છે. વેક્ટર.

જે વેક્ટર રેખાની સમાંતર હોય તેને તે રેખાનો દિશા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ સીધી રેખામાં અનંતપણે ઘણા દિશા વેક્ટર હોય છે, અને તે બધા સમરેખા હશે (સહ-દિશામાં કે નહીં - તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી).

હું દિશા વેક્ટરને નીચે પ્રમાણે દર્શાવીશ: .

પરંતુ એક વેક્ટર સીધી રેખા બાંધવા માટે પૂરતું નથી; તેથી, રેખા સાથે સંબંધિત કેટલાક બિંદુઓને જાણવું પણ જરૂરી છે.

બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?

જો કોઈ ચોક્કસ બિંદુ જે રેખા સાથે જોડાયેલ છે અને આ રેખાની દિશા વેક્ટર જાણીતી છે, તો પછી આ રેખાનું સમીકરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંકલિત કરી શકાય છે:

ક્યારેક તેને કહેવામાં આવે છે રેખાનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ .

ત્યારે શું કરવું કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એકશૂન્યની બરાબર છે, આપણે નીચે વ્યવહારુ ઉદાહરણોમાં સમજીશું. માર્ગ દ્વારા, કૃપા કરીને નોંધો - બંને એક સાથેકોઓર્ડિનેટ્સ શૂન્યની બરાબર હોઈ શકતા નથી, કારણ કે શૂન્ય વેક્ટર ચોક્કસ દિશા નિર્દિષ્ટ કરતું નથી.

ઉદાહરણ 3

બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા માટે સમીકરણ લખો

ઉકેલ: ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ. આ કિસ્સામાં:

પ્રમાણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને આપણે અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવીએ છીએ:

અને અમે સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

જવાબ આપો:

એક નિયમ તરીકે, આવા ઉદાહરણોમાં ચિત્ર બનાવવાની જરૂર નથી, પરંતુ સમજણ માટે:

ડ્રોઇંગમાં આપણે પ્રારંભિક બિંદુ, મૂળ દિશા વેક્ટર (તે પ્લેન પરના કોઈપણ બિંદુથી પ્લોટ કરી શકાય છે) અને બાંધેલી સીધી રેખા જોઈએ છીએ. માર્ગ દ્વારા, ઘણા કિસ્સાઓમાં કોણીય ગુણાંક સાથેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા બાંધવી એ સૌથી અનુકૂળ છે. આપણા સમીકરણને સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું અને સીધી રેખા બાંધવા માટે સરળતાથી અન્ય બિંદુ પસંદ કરવાનું સરળ છે.

ફકરાની શરૂઆતમાં નોંધ્યું છે તેમ, એક સીધી રેખામાં અસંખ્ય દિશા વેક્ટર હોય છે, અને તે બધા સમરેખા હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેં આવા ત્રણ વેક્ટર દોર્યા: . આપણે ગમે તે દિશા વેક્ટર પસંદ કરીએ, પરિણામ હંમેશા સમાન સીધી રેખા સમીકરણ હશે.

ચાલો બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ:

પ્રમાણનું નિરાકરણ:

બંને બાજુઓને –2 વડે વિભાજીત કરો અને પરિચિત સમીકરણ મેળવો:

રસ ધરાવતા લોકો એ જ રીતે વેક્ટર્સનું પરીક્ષણ કરી શકે છે અથવા કોઈપણ અન્ય સમસ્તર વેક્ટર.

ચાલો હવે વિપરીત સમસ્યા હલ કરીએ:

સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને દિશા વેક્ટર કેવી રીતે શોધી શકાય?

ખૂબ જ સરળ:

જો લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા રેખા આપવામાં આવે છે, તો વેક્ટર એ આ રેખાની દિશા વેક્ટર છે.

સીધી રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધવાના ઉદાહરણો:

વિધાન અમને અનંત સંખ્યામાંથી માત્ર એક દિશા વેક્ટર શોધવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ અમને વધુની જરૂર નથી. જોકે કેટલાક કિસ્સાઓમાં દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ઘટાડવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

આમ, સમીકરણ એક સીધી રેખાનો ઉલ્લેખ કરે છે જે ધરીની સમાંતર હોય અને પરિણામી દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સને -2 દ્વારા અનુકૂળ રીતે વિભાજિત કરવામાં આવે છે, દિશા વેક્ટર તરીકે બરાબર આધાર વેક્ટર મેળવે છે. તાર્કિક.

એ જ રીતે, સમીકરણ ધરીની સમાંતર સીધી રેખા સ્પષ્ટ કરે છે, અને વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સને 5 વડે વિભાજિત કરીને, આપણે દિશા વેક્ટર તરીકે એકમ વેક્ટર મેળવીએ છીએ.

હવે ચાલો તે કરીએ તપાસી રહ્યું છે ઉદાહરણ 3. ઉદાહરણ આગળ વધ્યું, તેથી હું તમને યાદ કરાવું છું કે તેમાં આપણે બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાના સમીકરણનું સંકલન કર્યું છે.

સૌપ્રથમ, સીધી રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને આપણે તેના દિશા વેક્ટરનું પુનઃનિર્માણ કરીએ છીએ: - બધું બરાબર છે, અમને મૂળ વેક્ટર પ્રાપ્ત થયો છે (કેટલાક કિસ્સાઓમાં પરિણામ મૂળ વેક્ટર માટે સમરેખા વેક્ટર હોઈ શકે છે, અને આ સામાન્ય રીતે અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સના પ્રમાણ દ્વારા નોંધવું સરળ છે).

બીજું, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષતા હોવા જોઈએ. અમે તેમને સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થઈ હતી, જેનાથી અમે ખૂબ જ ખુશ છીએ.

નિષ્કર્ષ: કાર્ય યોગ્ય રીતે પૂર્ણ થયું હતું.

ઉદાહરણ 4

બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા માટે સમીકરણ લખો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે. હમણાં જ ચર્ચા કરેલ એલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને તપાસ કરવાનું ખૂબ જ સલાહભર્યું છે. હંમેશા (જો શક્ય હોય તો) ડ્રાફ્ટ તપાસવાનો પ્રયાસ કરો. ભૂલો કરવી મૂર્ખ છે જ્યાં તે 100% ટાળી શકાય.

જો દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક શૂન્ય હોય, તો ખૂબ જ સરળ રીતે આગળ વધો:

ઉદાહરણ 5

ઉકેલ: સૂત્ર યોગ્ય નથી કારણ કે જમણી બાજુનો છેદ શૂન્ય છે. ત્યાં એક માર્ગ છે! પ્રમાણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફોર્મ્યુલાને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ, અને બાકીનાને ઊંડા રુટ સાથે વળેલું છે:

જવાબ આપો:

પરીક્ષા:

1) લાઇનના નિર્દેશન વેક્ટરને પુનઃસ્થાપિત કરો:
- પરિણામી વેક્ટર મૂળ દિશા વેક્ટર સાથે સમરેખા છે.

2) બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને સમીકરણમાં બદલો:

યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે

નિષ્કર્ષ: કાર્ય યોગ્ય રીતે પૂર્ણ થયું

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે, જો કોઈ સાર્વત્રિક સંસ્કરણ છે જે કોઈપણ સંજોગોમાં કામ કરશે તો સૂત્રથી શા માટે પરેશાન થવું? બે કારણો છે. પ્રથમ, સૂત્ર અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં છે વધુ સારી રીતે યાદ. અને બીજું, સાર્વત્રિક સૂત્રનો ગેરલાભ એ છે કે મૂંઝવણ થવાનું જોખમ નોંધપાત્ર રીતે વધે છેજ્યારે કોઓર્ડિનેટ્સ બદલી રહ્યા હોય.

ઉદાહરણ 6

બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા માટે સમીકરણ લખો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો.

ચાલો સર્વવ્યાપક બે મુદ્દાઓ પર પાછા આવીએ:

બે બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?

જો બે બિંદુઓ જાણીતા છે, તો પછી આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંકલિત કરી શકાય છે:

હકીકતમાં, આ એક પ્રકારનું સૂત્ર છે અને અહીં શા માટે છે: જો બે બિંદુઓ જાણીતા છે, તો વેક્ટર એ આપેલ રેખાની દિશા વેક્ટર હશે. વર્ગમાં ડમી માટે વેક્ટર્સઅમે સૌથી સરળ સમસ્યા ધ્યાનમાં લીધી - બે બિંદુઓમાંથી વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધી શકાય. આ સમસ્યા અનુસાર, દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

નોંધ : પોઈન્ટ "સ્વેપ" કરી શકાય છે અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે . આવા ઉકેલ સમકક્ષ હશે.

ઉદાહરણ 7

બે બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો .

ઉકેલ: અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

છેદને કોમ્બિંગ:

અને ડેકને શફલ કરો:

અત્યારે અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓથી છૂટકારો મેળવવો અનુકૂળ છે. આ કિસ્સામાં, તમારે બંને બાજુઓને 6 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

કૌંસ ખોલો અને સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

જવાબ આપો:

પરીક્ષાસ્પષ્ટ છે - પ્રારંભિક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ પરિણામી સમીકરણને સંતોષવા આવશ્યક છે:

1) બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલો:

સાચી સમાનતા.

2) બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલો:

સાચી સમાનતા.

નિષ્કર્ષ: લીટીનું સમીકરણ યોગ્ય રીતે લખાયેલું છે.

જો ઓછામાં ઓછું એકપોઈન્ટ્સ સમીકરણને સંતોષતા નથી, ભૂલ માટે જુઓ.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે આ કિસ્સામાં ગ્રાફિકલ વેરિફિકેશન મુશ્કેલ છે, કારણ કે એક સીધી રેખા બનાવવી અને તે પોઈન્ટ તેના છે કે કેમ તે જોવું , એટલું સરળ નથી.

હું ઉકેલના કેટલાક વધુ તકનીકી પાસાઓની નોંધ લઈશ. કદાચ આ સમસ્યામાં મિરર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવો વધુ નફાકારક છે અને, તે જ બિંદુઓ પર એક સમીકરણ બનાવો:

ઓછા અપૂર્ણાંક. જો તમે ઇચ્છો, તો તમે ઉકેલને અંત સુધી લઈ શકો છો, પરિણામ સમાન સમીકરણ હોવું જોઈએ.

બીજો મુદ્દો એ છે કે અંતિમ જવાબ જોવાનો અને તે શોધવાનો છે કે શું તેને વધુ સરળ બનાવી શકાય? ઉદાહરણ તરીકે, જો તમને સમીકરણ મળે છે, તો તેને બેથી ઘટાડવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: - સમીકરણ સમાન સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરશે. જો કે, આ પહેલેથી જ ચર્ચાનો વિષય છે રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ.

જવાબ પ્રાપ્ત કર્યા ઉદાહરણ 7 માં, માત્ર કિસ્સામાં, મેં તપાસ્યું કે સમીકરણના તમામ ગુણાંક 2, 3 અથવા 7 વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ. જો કે, મોટેભાગે આવા ઘટાડા ઉકેલ દરમિયાન કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 8

બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો .

આ એક સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેનું ઉદાહરણ છે, જે તમને ગણતરીની તકનીકોને વધુ સારી રીતે સમજવા અને પ્રેક્ટિસ કરવાની મંજૂરી આપશે.

પાછલા ફકરાની જેમ જ: જો સૂત્રમાં હોય એક છેદ (દિશા વેક્ટરનું સંકલન) શૂન્ય બને છે, પછી આપણે તેને ફોર્મમાં ફરીથી લખીશું. ફરીથી, નોંધ લો કે તેણી કેટલી બેડોળ અને મૂંઝવણભરી દેખાય છે. મને વ્યવહારુ ઉદાહરણો આપવાનો બહુ અર્થ દેખાતો નથી, કારણ કે આપણે પહેલાથી જ આ સમસ્યાનું નિરાકરણ કર્યું છે (જુઓ નંબર 5, 6).

ડાયરેક્ટ નોર્મલ વેક્ટર (સામાન્ય વેક્ટર)

સામાન્ય શું છે? સાદા શબ્દોમાં, સામાન્ય એક લંબ છે. એટલે કે, લીટીનો સામાન્ય વેક્ટર આપેલ રેખાને લંબરૂપ હોય છે. દેખીતી રીતે, કોઈપણ સીધી રેખામાં અનંત સંખ્યામાં તે (તેમજ દિશા વેક્ટર) હોય છે, અને સીધી રેખાના તમામ સામાન્ય વેક્ટર સમરેખા હશે (કોડાયરેક્શનલ કે નહીં, તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી).

માર્ગદર્શક વેક્ટર્સ કરતાં તેમની સાથે વ્યવહાર કરવો વધુ સરળ હશે:

જો લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા રેખા આપવામાં આવે છે, તો વેક્ટર આ રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર છે.

જો દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સને સમીકરણમાંથી કાળજીપૂર્વક "ખેંચવા" હોય, તો સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ફક્ત "દૂર" કરી શકાય છે.

સામાન્ય વેક્ટર હંમેશા રેખાના દિશા વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ હોય છે. ચાલો આ વેક્ટર્સનો ઉપયોગ કરીને ઓર્થોગોનાલિટી ચકાસીએ ડોટ ઉત્પાદન:

હું દિશા વેક્ટર માટે સમાન સમીકરણો સાથે ઉદાહરણો આપીશ:

શું એક બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ બાંધવું શક્ય છે? હું તેને મારા આંતરડામાં અનુભવું છું, તે શક્ય છે. જો સામાન્ય વેક્ટર જાણીતું હોય, તો સીધી રેખાની દિશા સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે - આ 90 ડિગ્રીના કોણ સાથે "કઠોર માળખું" છે.

એક બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?

જો કોઈ ચોક્કસ બિંદુ જે રેખાથી સંબંધિત છે અને આ રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર જાણીતો છે, તો આ રેખાનું સમીકરણ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

અહીં બધું અપૂર્ણાંક અને અન્ય આશ્ચર્ય વિના કામ કર્યું. આ આપણું સામાન્ય વેક્ટર છે. તેને પ્રેમ કરો. અને આદર =)

ઉદાહરણ 9

એક બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો. રેખાની દિશા વેક્ટર શોધો.

ઉકેલ: અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ પ્રાપ્ત થયું છે, ચાલો તપાસીએ:

1) સમીકરણમાંથી સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ "દૂર કરો": – હા, ખરેખર, મૂળ વેક્ટર શરતમાંથી મેળવવામાં આવ્યો હતો (અથવા કોલિનિયર વેક્ટર મેળવવો જોઈએ).

2) ચાલો તપાસીએ કે બિંદુ સમીકરણને સંતોષે છે કે કેમ:

સાચી સમાનતા.

અમને ખાતરી થઈ જાય કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે બનેલું છે, અમે કાર્યનો બીજો, સરળ ભાગ પૂર્ણ કરીશું. અમે સીધી રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરને બહાર કાઢીએ છીએ:

જવાબ આપો:

ડ્રોઇંગમાં પરિસ્થિતિ આના જેવી લાગે છે:

તાલીમ હેતુઓ માટે, સ્વતંત્ર રીતે હલ કરવા માટે સમાન કાર્ય:

ઉદાહરણ 10

એક બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો. રેખાની દિશા વેક્ટર શોધો.

પાઠનો અંતિમ વિભાગ ઓછા સામાન્ય, પણ પ્લેન પરની રેખાના સમીકરણોના મહત્વપૂર્ણ પ્રકારોને સમર્પિત કરવામાં આવશે.

સેગમેન્ટ્સમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ.
પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ

સેગમેન્ટ્સમાં સીધી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે, જ્યાં બિનશૂન્ય સ્થિરાંકો છે. કેટલાક પ્રકારના સમીકરણો આ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાતા નથી, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા (કારણ કે મુક્ત શબ્દ શૂન્યની બરાબર છે અને જમણી બાજુએ એક મેળવવાનો કોઈ રસ્તો નથી).

આ, અલંકારિક રીતે કહીએ તો, "તકનીકી" પ્રકારનું સમીકરણ છે. એક સામાન્ય કાર્ય એ રેખાના સામાન્ય સમીકરણને સેગમેન્ટ્સમાં રેખાના સમીકરણ તરીકે રજૂ કરવાનું છે. તે કેવી રીતે અનુકૂળ છે? વિભાગોમાં રેખાનું સમીકરણ તમને સંકલન અક્ષો સાથેની રેખાના આંતરછેદના બિંદુઓને ઝડપથી શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે, જે ઉચ્ચ ગણિતની કેટલીક સમસ્યાઓમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ હોઈ શકે છે.

ચાલો ધરી સાથે રેખાના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ. અમે "y" ને ફરીથી સેટ કરીએ છીએ અને સમીકરણ ફોર્મ લે છે. ઇચ્છિત બિંદુ આપમેળે પ્રાપ્ત થાય છે: .

ધરી સાથે સમાન - બિંદુ કે જેના પર સીધી રેખા ઓર્ડિનેટ અક્ષને છેદે છે.

યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં સીધી રેખાના ગુણધર્મો.

કોઈપણ બિંદુ દ્વારા અનંત સંખ્યામાં સીધી રેખાઓ દોરી શકાય છે.

કોઈપણ બે બિન-સંયોગી બિંદુઓ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરી શકાય છે.

પ્લેનમાં બે અલગ-અલગ રેખાઓ કાં તો એક બિંદુ પર છેદે છે અથવા છે

સમાંતર (અગાઉના એકને અનુસરે છે).

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, બે રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ માટે ત્રણ વિકલ્પો છે:

• રેખાઓ છેદે છે;

• રેખાઓ સમાંતર છે;

• સીધી રેખાઓ છેદે છે.

સીધું રેખા— પ્રથમ ક્રમનો બીજગણિત વળાંક: કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં એક સીધી રેખા

પ્રથમ ડિગ્રી (રેખીય સમીકરણ) ના સમીકરણ દ્વારા પ્લેન પર આપવામાં આવે છે.

સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ.

વ્યાખ્યા. પ્લેન પરની કોઈપણ સીધી રેખા પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે

Ax + Wu + C = 0,

અને સતત A, Bતે જ સમયે શૂન્ય સમાન નથી. આ પ્રથમ ક્રમ સમીકરણ કહેવાય છે સામાન્ય

સીધી રેખાનું સમીકરણ.સ્થિરાંકોના મૂલ્યો પર આધાર રાખીને A, Bઅને સાથેનીચેના વિશિષ્ટ કેસો શક્ય છે:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- એક સીધી રેખા મૂળમાંથી પસાર થાય છે

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (બાય + C = 0)- ધરીની સમાંતર સીધી રેખા ઓહ

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ધરીની સમાંતર સીધી રેખા ઓહ

. B = C = 0, A ≠0- સીધી રેખા ધરી સાથે એકરુપ છે ઓહ

. A = C = 0, B ≠0- સીધી રેખા ધરી સાથે એકરુપ છે ઓહ

કોઈપણ આપેલ પર આધાર રાખીને સીધી રેખાના સમીકરણને વિવિધ સ્વરૂપોમાં રજૂ કરી શકાય છે

પ્રારંભિક શરતો.

બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટરમાંથી સીધી રેખાનું સમીકરણ.

વ્યાખ્યા. કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, ઘટકો સાથે વેક્ટર (A, B)

સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ રેખાને લંબરૂપ

Ax + Wu + C = 0.

ઉદાહરણ. બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો A(1, 2)વેક્ટરને લંબરૂપ (3, -1).

ઉકેલ. A = 3 અને B = -1 સાથે, ચાલો સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ: 3x - y + C = 0. ગુણાંક C શોધવા માટે

ચાલો આપેલ બિંદુ A ના કોઓર્ડિનેટ્સને પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ: 3 - 2 + C = 0, તેથી

C = -1. કુલ: જરૂરી સમીકરણ: 3x - y - 1 = 0.

બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ.

અવકાશમાં બે બિંદુઓ આપવા દો M 1 (x 1 , y 1 , z 1)અને M2 (x 2, y 2, z 2),પછી રેખાનું સમીકરણ,

આ બિંદુઓમાંથી પસાર થવું:

જો કોઈપણ છેદ શૂન્ય હોય, તો અનુરૂપ અંશ શૂન્યની બરાબર સેટ કરવો જોઈએ. ચાલુ

પ્લેન, ઉપર લખેલી સીધી રેખાનું સમીકરણ સરળ છે:

જો x 1 ≠ x 2અને x = x 1, જો x 1 = x 2 .

અપૂર્ણાંક = kકહેવાય છે ઢાળ પ્રત્યક્ષ.

ઉદાહરણ. A(1, 2) અને B(3, 4) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ઉકેલ. ઉપર લખેલા સૂત્રને લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે:

બિંદુ અને ઢાળનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ.

જો રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ Ax + Wu + C = 0તરફ દોરી જાય છે:

અને નિયુક્ત કરો , પછી પરિણામી સમીકરણ કહેવામાં આવે છે

ઢાળ k સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ.

બિંદુ અને દિશા વેક્ટરથી સીધી રેખાનું સમીકરણ.

સામાન્ય વેક્ટર દ્વારા સીધી રેખાના સમીકરણને ધ્યાનમાં લેતા બિંદુ સાથે સામ્યતા દ્વારા, તમે કાર્ય દાખલ કરી શકો છો

બિંદુ દ્વારા એક સીધી રેખા અને સીધી રેખાનો નિર્દેશન વેક્ટર.

વ્યાખ્યા. દરેક બિન-શૂન્ય વેક્ટર (α 1 , α 2), જેના ઘટકો સ્થિતિને સંતોષે છે

Aα 1 + Bα 2 = 0કહેવાય છે સીધી રેખાનું નિર્દેશન વેક્ટર.

Ax + Wu + C = 0.

ઉદાહરણ. દિશા વેક્ટર (1, -1) અને બિંદુ A(1, 2) માંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ઉકેલ. અમે ફોર્મમાં ઇચ્છિત રેખાનું સમીકરણ શોધીશું: Ax + By + C = 0.વ્યાખ્યા મુજબ,

ગુણાંકોએ નીચેની શરતોને સંતોષવી આવશ્યક છે:

1 * A + (-1) * B = 0, એટલે કે. A = B.

પછી સીધી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: કુહાડી + અય + સી = 0,અથવા x + y + C / A = 0.

ખાતે x = 1, y = 2અમે મેળવીએ છીએ C/A = -3, એટલે કે જરૂરી સમીકરણ:

x + y - 3 = 0

સેગમેન્ટ્સમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ.

જો સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં Ах + Ву + С = 0 С≠0, તો, -С વડે ભાગતાં, આપણને મળે છે:

અથવા ક્યાં

ગુણાંકનો ભૌમિતિક અર્થ એ છે કે ગુણાંક a એ આંતરછેદ બિંદુનું સંકલન છે

ધરી સાથે સીધા ઓહ,એ b- ધરી સાથે રેખાના આંતરછેદના બિંદુનું સંકલન ઓહ.

ઉદાહરણ. સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે x - y + 1 = 0.આ રેખાના સમીકરણને ભાગોમાં શોધો.

C = 1, , a = -1, b = 1.

રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ.

જો સમીકરણની બંને બાજુ Ax + Wu + C = 0સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો જે કહેવાય છે

સામાન્યકરણ પરિબળ, પછી આપણને મળે છે

xcosφ + ysinφ - p = 0 -રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ.

સામાન્યીકરણ પરિબળનું ચિહ્ન ± પસંદ કરવું આવશ્યક છે જેથી કરીને μ*C< 0.

આર- કાટખૂણેની લંબાઇ મૂળથી સીધી રેખા સુધી ઘટી છે,

એ φ - ધરીની સકારાત્મક દિશા સાથે આ લંબ દ્વારા રચાયેલ કોણ ઓહ.

ઉદાહરણ. રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે 12x - 5y - 65 = 0. વિવિધ પ્રકારના સમીકરણો લખવા માટે જરૂરી છે

આ સીધી રેખા.

વિભાગોમાં આ રેખાનું સમીકરણ:

ઢાળ સાથે આ રેખાનું સમીકરણ: (5 વડે ભાગાકાર)

રેખાનું સમીકરણ:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

એ નોંધવું જોઈએ કે દરેક સીધી રેખા સેગમેન્ટમાં સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, સીધી રેખાઓ,

અક્ષોની સમાંતર અથવા મૂળમાંથી પસાર થવું.

પ્લેન પર સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો.

વ્યાખ્યા. જો બે લીટીઓ આપવામાં આવે છે y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, પછી આ રેખાઓ વચ્ચેનો તીવ્ર કોણ

તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે

બે રેખાઓ સમાંતર છે જો k 1 = k 2. બે રેખાઓ લંબ છે

જો k 1 = -1/ k 2 .

પ્રમેય.

પ્રત્યક્ષ Ax + Wu + C = 0અને A 1 x + B 1 y + C 1 = 0જ્યારે ગુણાંક પ્રમાણસર હોય ત્યારે સમાંતર

A 1 = λA, B 1 = λB. જો પણ С 1 = λС, પછી રેખાઓ એકરૂપ થાય છે. બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ

આ રેખાઓના સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલ તરીકે જોવા મળે છે.

આપેલ રેખાના લંબરૂપ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ.

વ્યાખ્યા. એક બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા M 1 (x 1, y 1)અને રેખા પર લંબ છે y = kx + b

સમીકરણ દ્વારા રજૂ:

એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર.

પ્રમેય. જો એક બિંદુ આપવામાં આવે છે M(x 0, y 0),પછી સીધી રેખાનું અંતર Ax + Wu + C = 0તરીકે વ્યાખ્યાયિત:

પુરાવો. બિંદુ દો M 1 (x 1, y 1)- એક બિંદુ પરથી કાટખૂણે પડતો આધાર એમઆપેલ માટે

પ્રત્યક્ષ પછી પોઈન્ટ વચ્ચેનું અંતર એમઅને એમ 1:

(1)

કોઓર્ડિનેટ્સ x 1અને 1 પરસમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલ તરીકે શોધી શકાય છે:

સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ એ આપેલ બિંદુ M 0 માંથી કાટખૂણે પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

સીધી રેખા આપેલ છે. જો આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + બાય 0 + C = 0,

પછી, હલ કરવાથી, આપણને મળે છે:

આ સમીકરણોને સમીકરણ (1) માં બદલીને, આપણે શોધીએ છીએ:

પ્રમેય સાબિત થયો છે.