તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તનના વિષયની સમજૂતી. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન, પરિવર્તનના પ્રકારો, ઉદાહરણો

લેખ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તન વિશે વાત કરે છે. ચાલો તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના પ્રકારો, તેમના રૂપાંતરણો, જૂથો અને સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાં લઈએ. ચાલો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓને તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાનું શીખીએ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓની વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો

અપૂર્ણાંક રેખાની હાજરી સાથે સંખ્યાઓ, ચલ, કૌંસ, સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકારની ક્રિયાઓ સાથેની શક્તિઓથી બનેલા અભિવ્યક્તિને કહેવામાં આવે છે. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ.

ઉદાહરણ તરીકે, આપણી પાસે તે 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

એટલે કે, આ એવા અભિવ્યક્તિઓ છે જે ચલો સાથેના અભિવ્યક્તિઓમાં વિભાજિત નથી. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનો અભ્યાસ ગ્રેડ 8 માં શરૂ થાય છે, જ્યાં તેમને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ કહેવામાં આવે છે, ખાસ ધ્યાન અંશમાં અપૂર્ણાંક પર આપવામાં આવે છે, જે પરિવર્તનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને પરિવર્તિત થાય છે.

આ આપણને મનસ્વી સ્વરૂપના તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના પરિવર્તન તરફ આગળ વધવાની મંજૂરી આપે છે. આવી અભિવ્યક્તિને ક્રિયા ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો અને પૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓની હાજરી સાથે અભિવ્યક્તિ તરીકે ગણી શકાય.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતરણના મુખ્ય પ્રકારો

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ સમાન રૂપાંતરણ કરવા, જૂથબંધી કરવા, સમાન લાવવા અને સંખ્યાઓ સાથે અન્ય ક્રિયાઓ કરવા માટે થાય છે. આવા અભિવ્યક્તિઓનો હેતુ સરળીકરણ છે.

ઉદાહરણ 1

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરો 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

ઉકેલ

તે જોઈ શકાય છે કે આવી તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ 3 x x y - 1 અને 2 x x y - 1 વચ્ચેનો તફાવત છે. અમે નોંધ્યું છે કે તેમના છેદ સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે સમાન શરતોનો ઘટાડો ફોર્મ લેશે

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

જવાબ: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

ઉદાહરણ 2

2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) કન્વર્ટ કરો.

ઉકેલ

શરૂઆતમાં, અમે કૌંસમાં ક્રિયાઓ કરીએ છીએ 3 · x − x = 2 · x. અમે આ અભિવ્યક્તિને 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ છીએ. અમે એક અભિવ્યક્તિ પર પહોંચીએ છીએ જેમાં એક પગલા સાથેની ક્રિયાઓ હોય છે, એટલે કે તેમાં સરવાળો અને બાદબાકી હોય છે.

વિભાજન ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને આપણે કૌંસમાંથી છુટકારો મેળવીએ છીએ. પછી આપણને મળે છે કે 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x.

અમે સંખ્યાત્મક પરિબળોને ચલ x સાથે જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ, જેના પછી આપણે શક્તિઓ સાથે કામગીરી કરી શકીએ છીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

જવાબ: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

ઉદાહરણ 3

x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરો.

ઉકેલ

પ્રથમ, આપણે અંશ અને છેદનું રૂપાંતર કરીએ છીએ. પછી આપણને ફોર્મની અભિવ્યક્તિ મળે છે (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2 , અને કૌંસમાંની ક્રિયાઓ પહેલા કરવામાં આવે છે. અંશમાં, કામગીરી કરવામાં આવે છે અને પરિબળોને જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. પછી આપણને x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ મળે છે. + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

આપણે અંશમાં ચોરસ સૂત્રના તફાવતને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, પછી આપણને તે મળે છે

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

જવાબ આપો: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક રજૂઆત

બીજગણિત અપૂર્ણાંકને ઉકેલવામાં આવે ત્યારે મોટાભાગે સરળ બનાવવામાં આવે છે. દરેક તર્કસંગતને અલગ અલગ રીતે આમાં લાવવામાં આવે છે. બહુપદી સાથે તમામ જરૂરી ક્રિયાઓ કરવી જરૂરી છે જેથી તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ આખરે તર્કસંગત અપૂર્ણાંક આપી શકે.

ઉદાહરણ 4

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક તરીકે પ્રસ્તુત કરો a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

ઉકેલ

આ અભિવ્યક્તિને 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ગુણાકાર મુખ્યત્વે નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે.

આપણે ગુણાકારથી શરૂઆત કરવી જોઈએ, પછી આપણને તે મળે છે

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a) + 5) = a - 5 (a + 3) a

અમે પ્રાપ્ત પરિણામને મૂળ સાથે રજૂ કરીએ છીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

હવે બાદબાકી કરીએ:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 એ 2 - 9

જે પછી તે સ્પષ્ટ છે કે મૂળ અભિવ્યક્તિ 16 a 2 - 9 સ્વરૂપ લેશે.

જવાબ: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

ઉદાહરણ 5

x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x ને તર્કસંગત અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરો.

ઉકેલ

આપેલ અભિવ્યક્તિ અપૂર્ણાંક તરીકે લખાયેલ છે, જેનો અંશ x x + 1 + 1 છે, અને છેદ 2 x - 1 1 + x છે. x x + 1 + 1 રૂપાંતરણ કરવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે તમારે અપૂર્ણાંક અને સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે. આપણને મળે છે કે x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

તે અનુસરે છે કે x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

પરિણામી અપૂર્ણાંક 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x તરીકે લખી શકાય.

વિભાજન પછી આપણે ફોર્મના તર્કસંગત અપૂર્ણાંક પર પહોંચીએ છીએ

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

તમે આને અલગ રીતે હલ કરી શકો છો.

2 x - 1 1 + x વડે ભાગવાને બદલે, આપણે તેના વ્યસ્ત 1 + x 2 x - 1 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. ચાલો વિતરણ મિલકત લાગુ કરીએ અને તે શોધીએ

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

જવાબ: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન. સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં. એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ગ્રેડ 8 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં શૈક્ષણિક સહાય અને સિમ્યુલેટર
પાઠ્યપુસ્તક માટે મેન્યુઅલ મુરાવિન જી.કે. મકરીચેવ યુ.એન. દ્વારા પાઠ્યપુસ્તક માટે મેન્યુઅલ.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિનો ખ્યાલ

પ્રાથમિક ગ્રેડમાં ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, અંકગણિત કામગીરી કર્યા પછી, અમને ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો મળ્યા, મોટાભાગે અપૂર્ણાંક. હવે ઑપરેશન કર્યા પછી આપણે બીજગણિતીય અપૂર્ણાંક મેળવીશું. મિત્રો, યાદ રાખો: સાચો જવાબ મેળવવા માટે, તમારે શક્ય તેટલું શક્ય અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાની જરૂર છે જેની સાથે તમે કામ કરી રહ્યાં છો. વ્યક્તિએ શક્ય તેટલી નાની ડિગ્રી મેળવવી આવશ્યક છે; અંશ અને છેદમાં સમાન અભિવ્યક્તિઓ ઘટાડવી જોઈએ; ભાંગી શકાય તેવા અભિવ્યક્તિઓ સાથે, વ્યક્તિએ આમ કરવું જોઈએ. એટલે કે, ક્રિયાઓની શ્રેણી કર્યા પછી, આપણે સૌથી સરળ બીજગણિતીય અપૂર્ણાંક મેળવવો જોઈએ.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ સાથે પ્રક્રિયા

ઓળખ સાબિત કરવાનો અર્થ એ છે કે ચલોના તમામ મૂલ્યો માટે જમણી અને ડાબી બાજુઓ સમાન છે. ઓળખ સાબિત કરવાના ઘણા ઉદાહરણો છે.

ઓળખ ઉકેલવાના મુખ્ય માર્ગોમાં સમાવેશ થાય છે.

• ડાબી બાજુને જમણી બાજુની સમાન બનાવવા માટે રૂપાંતરિત કરો.
• જમણી બાજુનું રૂપાંતર ડાબી બાજુની બરાબર કરો.
• જ્યાં સુધી તમને સમાન અભિવ્યક્તિ ન મળે ત્યાં સુધી ડાબી અને જમણી બાજુઓને અલગથી રૂપાંતરિત કરો.
• જમણી બાજુ ડાબી બાજુથી બાદ કરવામાં આવે છે, અને પરિણામ શૂન્ય હોવું જોઈએ.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર. સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a) ^2+5)(a+1)=a-1$.

ઉકેલ.
દેખીતી રીતે, આપણે ડાબી બાજુ પરિવર્તન કરવાની જરૂર છે.
પ્રથમ, ચાલો કૌંસમાંનાં પગલાંઓ કરીએ:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1) )(5a-1))$

તમારે સામાન્ય પરિબળોને મહત્તમ લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ.
2) અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરો જેના દ્વારા આપણે વિભાજીત કરીએ છીએ:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

$\frac((a+5)(6a))(a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a) +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) ઉમેરણ કામગીરી કરો:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

જમણા અને ડાબા ભાગો એકરૂપ થયા. આનો અર્થ એ છે કે ઓળખ સાબિત થઈ છે.
મિત્રો, આ ઉદાહરણને હલ કરતી વખતે અમને ઘણા સૂત્રો અને કામગીરીના જ્ઞાનની જરૂર હતી. આપણે જોઈએ છીએ કે રૂપાંતર પછી, મોટી અભિવ્યક્તિ ખૂબ જ નાનીમાં ફેરવાઈ ગઈ છે. લગભગ તમામ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, પરિવર્તન સામાન્ય રીતે સરળ અભિવ્યક્તિઓ તરફ દોરી જાય છે.

ઉદાહરણ 2.
અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

ઉકેલ.
ચાલો પ્રથમ કૌંસ સાથે પ્રારંભ કરીએ.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. બીજા કૌંસને રૂપાંતરિત કરો.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b) )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)(a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. ચાલો ભાગાકાર કરીએ.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

જવાબ: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

ઉદાહરણ 3.
આ પગલાં અનુસરો:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16) )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))(k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k) +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)(k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2) )(k^2+2k+4))$.

2. હવે ચાલો ભાગાકાર કરીએ.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)(k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))(k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))(k- 4)^2)$.

3. ચાલો પ્રોપર્ટીનો ઉપયોગ કરીએ: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. ચાલો બાદબાકીની ક્રિયા કરીએ.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b) )(9b-3b^2)=b+4$.

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાંથી આપણે વિશિષ્ટતાઓ તરફ આગળ વધીએ છીએ. આ લેખમાં આપણે એક વિશેષ પ્રકારના તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનો વિગતવાર અભ્યાસ કરીશું - તર્કસંગત અપૂર્ણાંક, અને એ પણ ધ્યાનમાં લો કે કઈ લાક્ષણિકતા સમાન છે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું રૂપાંતરણસ્થાન લેવું.

ચાલો આપણે તરત જ નોંધ લઈએ કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો જે અર્થમાં આપણે નીચે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ તેને કેટલાક બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકોમાં બીજગણિતીય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. એટલે કે, આ લેખમાં આપણે તર્કસંગત અને બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકોને સમાન વસ્તુનો અર્થ સમજીશું.

હંમેશની જેમ, ચાલો વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો સાથે પ્રારંભ કરીએ. આગળ આપણે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને નવા છેદમાં લાવવા અને અપૂર્ણાંકના સભ્યોના ચિહ્નો બદલવા વિશે વાત કરીશું. આ પછી, આપણે અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે ઘટાડવું તે જોઈશું. છેલ્લે, ચાલો ઘણા અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરીએ. અમે ઉદાહરણો અને ઉકેલોના વિગતવાર વર્ણન સાથે તમામ માહિતી પ્રદાન કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો

8મા ધોરણના બીજગણિત પાઠમાં તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. અમે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીશું, જે યુ એન. મકરીચેવ એટ અલ દ્વારા 8મા ધોરણ માટે બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકમાં આપવામાં આવી છે.

આ વ્યાખ્યા સ્પષ્ટ કરતી નથી કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં બહુપદીઓ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપની બહુપદી હોવી જોઈએ કે નહીં. તેથી, અમે ધારીશું કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો માટેના સંકેતોમાં પ્રમાણભૂત અને બિન-માનક બહુપદી બંને હોઈ શકે છે.

અહીં થોડા છે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો. તેથી, x/8 અને - તર્કસંગત અપૂર્ણાંક. અને અપૂર્ણાંક અને તર્કસંગત અપૂર્ણાંકની જણાવેલ વ્યાખ્યામાં બંધબેસતું નથી, કારણ કે તેમાંના પ્રથમ અંશમાં બહુપદી હોતી નથી, અને બીજામાં, અંશ અને છેદ બંનેમાં એવા અભિવ્યક્તિઓ હોય છે જે બહુપદી નથી.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનું રૂપાંતર

કોઈપણ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ એ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના કિસ્સામાં, બહુપદીઓ અને સંખ્યાઓ છે; તેથી, સમાન રૂપાંતરણ કોઈપણ અભિવ્યક્તિની જેમ, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ સાથે કરી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશમાં અભિવ્યક્તિને છેદની જેમ, સમાન સમાન અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલી શકાય છે.

તમે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં સમાન પરિવર્તન કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, અંશમાં તમે સમાન શબ્દોને જૂથ બનાવી શકો છો અને ઘટાડી શકો છો, અને છેદમાં તમે ઘણી સંખ્યાઓના ગુણાંકને તેના મૂલ્ય સાથે બદલી શકો છો. અને કારણ કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બહુપદીઓ છે, તેથી તેમની સાથે બહુપદીની લાક્ષણિકતા રૂપાંતરણ કરવું શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો અથવા ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં રજૂઆત.

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો કેટલાક ઉદાહરણોના ઉકેલોને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને કન્વર્ટ કરો જેથી અંશ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપનું બહુપદી ધરાવે છે, અને છેદમાં બહુપદીનું ઉત્પાદન હોય છે.

ઉકેલ.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને નવા છેદમાં ઘટાડવાનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવા માટે થાય છે.

અપૂર્ણાંકની સામે, તેમજ તેના અંશ અને છેદમાં બદલાતા ચિહ્નો

અપૂર્ણાંકના મુખ્ય ગુણધર્મનો ઉપયોગ અપૂર્ણાંકના સભ્યોના ચિહ્નોને બદલવા માટે થઈ શકે છે. ખરેખર, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને -1 વડે ગુણાકાર કરવો એ તેમના ચિહ્નોને બદલવા સમાન છે, અને પરિણામ આપેલ અપૂર્ણાંક સમાન અપૂર્ણાંક છે. તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતી વખતે આ રૂપાંતરણનો વારંવાર ઉપયોગ કરવો પડે છે.

આમ, જો તમે એકસાથે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદના ચિહ્નો બદલો છો, તો તમને મૂળ એક સમાન અપૂર્ણાંક મળશે. આ નિવેદનનો જવાબ સમાનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને ફોર્મના અંશ અને છેદના બદલાયેલા ચિહ્નો સાથે સમાન સમાન અપૂર્ણાંક દ્વારા બદલી શકાય છે.

અપૂર્ણાંક સાથે, તમે અન્ય સમાન પરિવર્તન કરી શકો છો, જેમાં અંશ અથવા છેદનું ચિહ્ન બદલાય છે. ચાલો અનુરૂપ નિયમ જણાવીએ. જો તમે અપૂર્ણાંકના ચિહ્નને અંશ અથવા છેદના ચિહ્ન સાથે બદલો છો, તો તમને એક અપૂર્ણાંક મળે છે જે મૂળ સમાન હોય છે. લેખિત નિવેદન સમાનતાઓને અનુરૂપ છે અને .

આ સમાનતાઓ સાબિત કરવી મુશ્કેલ નથી. સાબિતી સંખ્યાઓના ગુણાકારના ગુણધર્મો પર આધારિત છે. ચાલો તેમાંથી પ્રથમ સાબિત કરીએ: . સમાન પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, સમાનતા સાબિત થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંકને અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલી શકાય છે અથવા.

આ મુદ્દાને સમાપ્ત કરવા માટે, અમે બે વધુ ઉપયોગી સમાનતાઓ રજૂ કરીએ છીએ અને. એટલે કે, જો તમે માત્ર અંશ અથવા માત્ર છેદનું ચિહ્ન બદલો છો, તો અપૂર્ણાંક તેની નિશાની બદલશે. ઉદાહરણ તરીકે, અને .

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરતી વખતે ગણવામાં આવતા પરિવર્તનો, જે અપૂર્ણાંકની શરતોના સંકેતને બદલવાની મંજૂરી આપે છે, તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર થાય છે.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો ઘટાડવા

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું નીચેનું રૂપાંતરણ, જેને તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનો ઘટાડો કહેવાય છે, તે અપૂર્ણાંકના સમાન મૂળભૂત ગુણધર્મ પર આધારિત છે. આ રૂપાંતરણ સમાનતાને અનુરૂપ છે, જ્યાં a, b અને c કેટલાક બહુપદી છે, અને b અને c બિન-શૂન્ય છે.

ઉપરોક્ત સમાનતા પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો અર્થ તેના અંશ અને છેદમાં સામાન્ય પરિબળથી છૂટકારો મેળવવાનો થાય છે.

ઉદાહરણ.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક રદ કરો.

ઉકેલ.

સામાન્ય પરિબળ 2 તરત જ દૃશ્યમાન છે, ચાલો તેના દ્વારા ઘટાડો કરીએ (લખતી વખતે, સામાન્ય પરિબળોને વટાવવું અનુકૂળ છે જેના દ્વારા ઘટાડો કરવામાં આવે છે). અમારી પાસે છે . x 2 =x·x અને y 7 =y 3 ·y 4 (જો જરૂરી હોય તો જુઓ), તે સ્પષ્ટ છે કે x એ પરિણામી અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો સામાન્ય પરિબળ છે, જેમ કે y 3 છે. ચાલો આ પરિબળો દ્વારા ઘટાડીએ: . આ ઘટાડો પૂર્ણ કરે છે.

ઉપર અમે અનુક્રમે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનો ઘટાડો કર્યો. અથવા અપૂર્ણાંકને 2 x y 3 દ્વારા તરત જ ઘટાડીને, એક પગલામાં ઘટાડો કરવાનું શક્ય હતું. આ કિસ્સામાં, ઉકેલ આના જેવો દેખાશે: .

જવાબ:

.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને ઘટાડતી વખતે, મુખ્ય સમસ્યા એ છે કે અંશ અને છેદનો સામાન્ય પરિબળ હંમેશા દેખાતો નથી. તદુપરાંત, તે હંમેશા અસ્તિત્વમાં નથી. સામાન્ય પરિબળ શોધવા અથવા તેની ગેરહાજરી ચકાસવા માટે, તમારે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને અવયવિત કરવાની જરૂર છે. જો ત્યાં કોઈ સામાન્ય પરિબળ નથી, તો મૂળ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની જરૂર નથી, અન્યથા, ઘટાડો હાથ ધરવામાં આવે છે.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને ઘટાડવાની પ્રક્રિયામાં વિવિધ ઘોંઘાટ ઊભી થઈ શકે છે. મુખ્ય સૂક્ષ્મતાની ચર્ચા ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને અને વિગતવાર રીતે બીજગણિતીય અપૂર્ણાંક ઘટાડવા લેખમાં કરવામાં આવી છે.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોના ઘટાડા વિશેની વાતચીતને સમાપ્ત કરીને, અમે નોંધીએ છીએ કે આ રૂપાંતર સમાન છે, અને તેના અમલીકરણમાં મુખ્ય મુશ્કેલી અંશ અને છેદમાં બહુપદીઓના પરિબળમાં રહેલી છે.

અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ

તદ્દન ચોક્કસ, પરંતુ કેટલાક કિસ્સાઓમાં ખૂબ જ ઉપયોગી, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું રૂપાંતર છે, જે તેની રજૂઆતમાં કેટલાક અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે અથવા સંપૂર્ણ અભિવ્યક્તિ અને અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે સમાવે છે.

એક તર્કસંગત અપૂર્ણાંક, જેનો અંશ અનેક મોનોમિયલ્સના સરવાળાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી બહુપદી ધરાવે છે, તે હંમેશા સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે, જેનાં અંશ અનુરૂપ મોનોમિઅલ્સ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, . આ પ્રતિનિધિત્વ સમાન છેદ સાથે બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, કોઈપણ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે ઘણી જુદી જુદી રીતે રજૂ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક a/b ને બે અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે - એક મનસ્વી અપૂર્ણાંક c/d અને અપૂર્ણાંક a/b અને c/d વચ્ચેના તફાવતની બરાબર. આ વિધાન સાચું છે, કારણ કે સમાનતા ધરાવે છે . ઉદાહરણ તરીકે, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને વિવિધ રીતે અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: ચાલો મૂળ અપૂર્ણાંકને પૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ અને અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે કલ્પના કરીએ. અંશને છેદ વડે કૉલમ વડે ભાગવાથી, આપણને સમાનતા મળે છે . કોઈપણ પૂર્ણાંક n માટે અભિવ્યક્તિ n 3 +4 ની કિંમત પૂર્ણાંક છે. અને અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય પૂર્ણાંક છે જો અને માત્ર જો તેનો છેદ 1, −1, 3, અથવા −3 હોય. આ મૂલ્યો અનુક્રમે n=3, n=1, n=5 અને n=−1 મૂલ્યોને અનુરૂપ છે.

જવાબ:

−1 , 1 , 3 , 5 .

સંદર્ભો.

• બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 7 મી ગ્રેડ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ. - 13મી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: નેમોસીન, 2009. - 160 પૃષ્ઠ.: બીમાર. ISBN 978-5-346-01198-9.
• મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 8 મી ગ્રેડ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ. - 11મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2009. - 215 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01155-2.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.

અગાઉના પાઠમાં, તર્કસંગત અભિવ્યક્તિનો ખ્યાલ પહેલેથી જ રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો; ચોક્કસ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને, અમે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતરણ અને તેમની સાથે સંકળાયેલી ઓળખને સાબિત કરતી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ પર વિચાર કરીશું.

વિષય:બીજગણિત અપૂર્ણાંક. બીજગણિત અપૂર્ણાંક પર અંકગણિત કામગીરી

પાઠ:તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર

ચાલો પહેલા તર્કસંગત અભિવ્યક્તિની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ.

વ્યાખ્યા.તર્કસંગતઅભિવ્યક્તિ- એક બીજગણિત અભિવ્યક્તિ કે જેમાં મૂળ નથી અને તેમાં ફક્ત સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારની ક્રિયાઓ શામેલ છે (એક શક્તિમાં વધારો).

"તર્કસંગત અભિવ્યક્તિનું પરિવર્તન" ની વિભાવના દ્વારા અમારો અર્થ, સૌ પ્રથમ, તેનું સરળીકરણ. અને આ અમને જાણીતી ક્રિયાઓના ક્રમમાં હાથ ધરવામાં આવે છે: પ્રથમ કૌંસમાં ક્રિયાઓ, પછી સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન(ઘાતો), સંખ્યાઓ વિભાજિત કરવી, અને પછી ક્રિયાઓ ઉમેરી/બાદબાકી કરવી.

આજના પાઠનો મુખ્ય ધ્યેય તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવાની વધુ જટિલ સમસ્યાઓ ઉકેલવાનો અનુભવ મેળવવાનો રહેશે.

ઉદાહરણ 1.

ઉકેલ.શરૂઆતમાં એવું લાગે છે કે આ અપૂર્ણાંકો ઘટાડી શકાય છે, કારણ કે અપૂર્ણાંકના અંશમાં અભિવ્યક્તિઓ તેમના અનુરૂપ છેદના સંપૂર્ણ ચોરસ માટેના સૂત્રો સાથે ખૂબ સમાન છે. આ કિસ્સામાં, ઉતાવળ કરવી નહીં, પરંતુ આવું છે કે કેમ તે અલગથી તપાસવું મહત્વપૂર્ણ છે.

ચાલો પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશને તપાસીએ: . હવે બીજો અંશ: .

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમારી અપેક્ષાઓ પૂરી થઈ નથી, અને અંશમાં અભિવ્યક્તિઓ સંપૂર્ણ ચોરસ નથી, કારણ કે તેમની પાસે ઉત્પાદનનું બમણું નથી. આવા અભિવ્યક્તિઓ, જો તમે 7 મા ધોરણનો અભ્યાસક્રમ યાદ કરો છો, તો તેને અપૂર્ણ ચોરસ કહેવામાં આવે છે. તમારે આવા કિસ્સાઓમાં ખૂબ કાળજી લેવી જોઈએ, કારણ કે અપૂર્ણ વર્ગ સાથે સંપૂર્ણ ચોરસના સૂત્રને ગૂંચવવું એ ખૂબ જ સામાન્ય ભૂલ છે, અને આવા ઉદાહરણો વિદ્યાર્થીની સચેતતાની કસોટી કરે છે.

ઘટાડો અશક્ય હોવાથી, અમે અપૂર્ણાંકનો ઉમેરો કરીશું. છેદમાં સામાન્ય અવયવ હોતા નથી, તેથી સૌથી નીચો સામાન્ય છેદ મેળવવા માટે તેનો માત્ર ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને દરેક અપૂર્ણાંક માટે વધારાનું પરિબળ એ બીજા અપૂર્ણાંકનો છેદ છે.

અલબત્ત, પછી તમે કૌંસ ખોલી શકો છો અને પછી સમાન શરતો લાવી શકો છો, જો કે, આ કિસ્સામાં તમે ઓછા પ્રયત્નો કરીને મેળવી શકો છો અને નોંધ લો કે અંશમાં પ્રથમ પદ એ ક્યુબ્સના સરવાળા માટેનું સૂત્ર છે, અને બીજું છે સમઘનનો તફાવત. સગવડ માટે, ચાલો આ સૂત્રોને સામાન્ય સ્વરૂપમાં યાદ કરીએ:

અમારા કિસ્સામાં, અંશમાં અભિવ્યક્તિઓ નીચે પ્રમાણે સંકુચિત થાય છે:

, બીજી અભિવ્યક્તિ સમાન છે. અમારી પાસે છે:

જવાબ આપો..

ઉદાહરણ 2.તર્કસંગત અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો .

ઉકેલ.આ ઉદાહરણ અગાઉના એક જેવું જ છે, પરંતુ અહીં તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે અપૂર્ણાંકના અંશમાં આંશિક ચોરસ હોય છે, તેથી ઉકેલના પ્રારંભિક તબક્કે ઘટાડો અશક્ય છે. અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, આપણે અપૂર્ણાંક ઉમેરીએ છીએ:

અહીં, ઉપર દર્શાવેલ પદ્ધતિની જેમ જ, અમે સમઘનનો સરવાળો અને તફાવત માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓ નોંધી અને સંકુચિત કરી.

જવાબ આપો..

ઉદાહરણ 3.તર્કસંગત અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ.તમે નોંધ કરી શકો છો કે બીજા અપૂર્ણાંકનો છેદ સમઘન સૂત્રના સરવાળાનો ઉપયોગ કરીને ફેક્ટરાઇઝ્ડ છે. આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ તેમ, અપૂર્ણાંકના સૌથી નીચા સામાન્ય છેદને વધુ શોધવા માટે ફેક્ટરિંગ છેદ ઉપયોગી છે.

ચાલો આપણે અપૂર્ણાંકનો સૌથી નીચો સામાન્ય છેદ સૂચવીએ, તે સમાન છે: , કારણ કે તે ત્રીજા અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા વિભાજિત થાય છે, અને પ્રથમ અભિવ્યક્તિ સામાન્ય રીતે પૂર્ણાંક હોય છે, અને કોઈપણ છેદ તેના માટે યોગ્ય છે. સ્પષ્ટ વધારાના પરિબળો સૂચવ્યા પછી, અમે લખીએ છીએ:

જવાબ આપો.

ચાલો "મલ્ટી-સ્ટોરી" અપૂર્ણાંક સાથેના વધુ જટિલ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 4.ચલના તમામ અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની ઓળખ સાબિત કરો.

પુરાવો.આ ઓળખને સાબિત કરવા માટે, અમે તેની ડાબી બાજુ (જટિલ) ને સરળ સ્વરૂપમાં સરળ બનાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું જે આપણા માટે જરૂરી છે. આ કરવા માટે, અમે અંશ અને છેદમાં અપૂર્ણાંક સાથેની બધી ક્રિયાઓ કરીશું, અને પછી અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરીશું અને પરિણામને સરળ બનાવીશું.

ચલના તમામ અનુમતિપાત્ર મૂલ્યો માટે સાબિત.

સાબિત.

આગળના પાઠમાં આપણે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓને કન્વર્ટ કરવાના વધુ જટિલ ઉદાહરણો પર વિગતવાર જોઈશું.

સંદર્ભો

1. બશ્માકોવ એમ.આઈ. બીજગણિત 8 મા ધોરણ. - એમ.: શિક્ષણ, 2004.

2. ડોરોફીવ જી.વી., સુવેરોવા એસ.બી., બુનિમોવિચ ઇ.એ. અને અન્ય બીજગણિત 8. - 5મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2010.

3. નિકોલ્સ્કી એસ.એમ., પોટાપોવ એમ.એ., રેશેટનિકોવ એન.એન., શેવકિન એ.વી. બીજગણિત 8 મા ધોરણ. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠયપુસ્તક. - એમ.: શિક્ષણ, 2006.

2. પાઠ વિકાસ, પ્રસ્તુતિઓ, પાઠ નોંધો ().

હોમવર્ક

1. નંબર 96-101. ડોરોફીવ જી.વી., સુવોરોવા એસ.બી., બુનિમોવિચ ઇ.એ. અને અન્ય બીજગણિત 8. - 5મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2010.

2. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો .

3. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

4. ઓળખ સાબિત કરો.