પ્રવેશ સ્તર

રુટ અને તેના ગુણધર્મો. ઉદાહરણો સાથે વિગતવાર સિદ્ધાંત (2019)

ચાલો એ સમજવાનો પ્રયત્ન કરીએ કે “મૂળ” ની આ વિભાવના શું છે અને “તે શેની સાથે ખવાય છે.” આ કરવા માટે, ચાલો એવા ઉદાહરણો જોઈએ કે જેનો તમે વર્ગમાં પહેલેથી જ સામનો કર્યો છે (સારું, અથવા તમે હમણાં જ આનો સામનો કરી રહ્યા છો).

ઉદાહરણ તરીકે, આપણી પાસે એક સમીકરણ છે. આ સમીકરણનો ઉકેલ શું છે? કઈ સંખ્યાઓનો વર્ગ કરી શકાય અને મેળવી શકાય? ગુણાકાર કોષ્ટકને યાદ રાખીને, તમે સરળતાથી જવાબ આપી શકો છો: અને (છેવટે, જ્યારે બે નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે હકારાત્મક સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે)! સરળ બનાવવા માટે, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ વર્ગમૂળની વિશેષ વિભાવના રજૂ કરી અને તેને વિશિષ્ટ પ્રતીક સોંપ્યું.

ચાલો અંકગણિત વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

નંબર બિન-ઋણાત્મક કેમ હોવો જોઈએ? ઉદાહરણ તરીકે, તે શું સમાન છે? સારું, સારું, ચાલો એક પસંદ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. કદાચ ત્રણ? ચાલો તપાસીએ: , નહીં. કદાચ , ? ફરીથી, અમે તપાસીએ છીએ: . સારું, તે બંધબેસતું નથી? આ અપેક્ષિત છે - કારણ કે ત્યાં કોઈ સંખ્યાઓ નથી કે જ્યારે વર્ગ કરવામાં આવે, ત્યારે નકારાત્મક સંખ્યા આપે!
તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે તે આ છે: મૂળ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ બિન-નકારાત્મક હોવી જોઈએ!

જો કે, સૌથી વધુ સચેત લોકોએ કદાચ પહેલેથી જ નોંધ્યું છે કે વ્યાખ્યા કહે છે કે “એક સંખ્યાના વર્ગમૂળના ઉકેલને આ કહેવામાં આવે છે. બિન-નકારાત્મકસંખ્યા જેનો વર્ગ " બરાબર છે. તમારામાંથી કેટલાક કહેશે કે ખૂબ જ શરૂઆતમાં અમે ઉદાહરણનું વિશ્લેષણ કર્યું, પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ કે જેનો વર્ગ કરી શકાય છે અને મેળવી શકાય છે, જવાબ હતો અને, પરંતુ અહીં આપણે અમુક પ્રકારની "બિન-નકારાત્મક સંખ્યા" વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ! આ ટિપ્પણી એકદમ યોગ્ય છે. અહીં તમારે માત્ર ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ખ્યાલો અને સંખ્યાના અંકગણિત વર્ગમૂળ વચ્ચે તફાવત કરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિની સમકક્ષ નથી.

તે અનુસરે છે, એટલે કે, અથવા. (વિષય "" વાંચો)

અને તે તેને અનુસરે છે.

અલબત્ત, આ ખૂબ જ ગૂંચવણભર્યું છે, પરંતુ એ યાદ રાખવું જરૂરી છે કે ચિહ્નો એ સમીકરણ ઉકેલવાનું પરિણામ છે, કારણ કે સમીકરણ ઉકેલતી વખતે આપણે બધા X લખવા જોઈએ, જે, જ્યારે મૂળ સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, ત્યારે તે આપશે. સાચું પરિણામ. બંને અને આપણા ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં બંધબેસે છે.

જો કે, જો માત્ર વર્ગમૂળ લોકંઈક થી, પછી હંમેશા અમને એક બિન-નકારાત્મક પરિણામ મળે છે.

હવે આ સમીકરણ ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરો. હવે બધું એટલું સરળ અને સરળ નથી, તે છે? નંબરોમાંથી પસાર થવાનો પ્રયાસ કરો, કદાચ કંઈક કામ કરશે? ચાલો શરૂઆતથી જ શરૂ કરીએ - શરૂઆતથી: - બંધબેસતું નથી, આગળ વધો - ત્રણ કરતા ઓછા, પણ બાજુ પર સાફ કરો, જો શું. ચાલો તપાસીએ: - પણ યોગ્ય નથી, કારણ કે... તે ત્રણ કરતાં વધુ છે. તે નકારાત્મક નંબરો સાથે સમાન વાર્તા છે. તો હવે શું કરવું જોઈએ? શું શોધે ખરેખર અમને કંઈ આપ્યું નથી? બિલકુલ નહીં, હવે આપણે ખાતરીપૂર્વક જાણીએ છીએ કે જવાબ અને વચ્ચેની કેટલીક સંખ્યા હશે, તેમજ અને વચ્ચે. ઉપરાંત, દેખીતી રીતે ઉકેલો પૂર્ણાંકો હશે નહીં. વધુમાં, તેઓ તર્કસંગત નથી. તો આગળ શું? ચાલો ફંક્શનનો આલેખ કરીએ અને તેના પર ઉકેલોને ચિહ્નિત કરીએ.

ચાલો સિસ્ટમને છેતરવાનો પ્રયાસ કરીએ અને કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવીએ! ચાલો તેના મૂળમાંથી બહાર નીકળીએ! ઓહ-ઓહ-ઓહ, તે બહાર આવ્યું છે. આ સંખ્યા ક્યારેય સમાપ્ત થતી નથી. તમે આ કેવી રીતે યાદ રાખી શકો, કારણ કે પરીક્ષામાં કેલ્ક્યુલેટર હશે નહીં!? બધું ખૂબ જ સરળ છે, તમારે તેને યાદ રાખવાની જરૂર નથી, તમારે ફક્ત અંદાજિત મૂલ્યને યાદ રાખવાની (અથવા ઝડપથી અંદાજ કાઢવામાં સમર્થ થવાની) જરૂર છે. અને જવાબો પોતાને. આવી સંખ્યાઓને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે.

ચાલો આને વધુ મજબૂત કરવા માટે બીજું ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો નીચેની સમસ્યા જોઈએ: તમારે કિમીની બાજુ ત્રાંસા સાથે ચોરસ ક્ષેત્રને પાર કરવાની જરૂર છે, તમારે કેટલા કિમી જવું પડશે?

અહીં સૌથી સ્પષ્ટ બાબત એ છે કે ત્રિકોણને અલગથી ધ્યાનમાં લેવું અને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવો: . આમ, . તો અહીં જરૂરી અંતર શું છે? દેખીતી રીતે, અંતર નકારાત્મક હોઈ શકતું નથી, આપણે તે મેળવીએ છીએ. બેનું મૂળ લગભગ સમાન છે, પરંતુ, જેમ આપણે અગાઉ નોંધ્યું છે, - પહેલેથી જ સંપૂર્ણ જવાબ છે.

સમસ્યાઓ ઉભી કર્યા વિના મૂળ સાથે ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે, તમારે તેમને જોવાની અને ઓળખવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, તમારે ઓછામાં ઓછા સંખ્યાના વર્ગો જાણવાની જરૂર છે, અને તેમને ઓળખવામાં પણ સમર્થ હોવા જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે ચોરસ બરાબર શું છે તે જાણવાની જરૂર છે, અને તેનાથી વિપરીત, ચોરસની બરાબર શું છે.

શું તમે સમજ્યું કે વર્ગમૂળ શું છે? પછી કેટલાક ઉદાહરણો ઉકેલો.

ઉદાહરણો.

સારું, તે કેવી રીતે કામ કર્યું? હવે ચાલો આ ઉદાહરણો જોઈએ:

જવાબો:

ક્યુબ રુટ

ઠીક છે, આપણે વર્ગમૂળનો ખ્યાલ ગોઠવી દીધો હોય તેમ લાગે છે, હવે આપણે ઘનમૂળ શું છે અને તેમનો તફાવત શું છે તે શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ.

સંખ્યાનું ઘનમૂળ એ સંખ્યા છે જેના ઘન સમાન છે. શું તમે નોંધ્યું છે કે અહીં બધું ખૂબ સરળ છે? ક્યુબ રુટ ચિહ્ન હેઠળના મૂલ્ય અને કાઢવામાં આવતી સંખ્યા બંનેના સંભવિત મૂલ્યો પર કોઈ નિયંત્રણો નથી. એટલે કે, ઘનમૂળ કોઈપણ સંખ્યામાંથી કાઢી શકાય છે: .

શું તમે સમજો છો કે ઘનમૂળ શું છે અને તેને કેવી રીતે કાઢવું? પછી આગળ વધો અને ઉદાહરણો ઉકેલો.

ઉદાહરણો.

જવાબો:

રુટ - ઓહ ડિગ્રી

સારું, આપણે ચોરસ અને ઘનમૂળની વિભાવનાઓ સમજી ગયા છીએ. હવે ખ્યાલ સાથે મેળવેલ જ્ઞાનનો સારાંશ આપીએ 1 લી મૂળ.

1 લી મૂળસંખ્યાની સંખ્યા એ એક સંખ્યા છે જેની મી શક્તિ સમાન છે, એટલે કે.

સમકક્ષ

જો - પણ, તે:

• નકારાત્મક સાથે, અભિવ્યક્તિનો અર્થ નથી (નકારાત્મક સંખ્યાઓના સમ-મુ મૂળ દૂર કરી શકાતું નથી!);
• બિન-નકારાત્મક માટે() અભિવ્યક્તિમાં એક બિન-નકારાત્મક મૂળ છે.

જો - વિચિત્ર છે, તો અભિવ્યક્તિ કોઈપણ માટે અનન્ય મૂળ ધરાવે છે.

ગભરાશો નહીં, ચોરસ અને ઘનમૂળ જેવા જ સિદ્ધાંતો અહીં લાગુ પડે છે. એટલે કે, વર્ગમૂળની વિચારણા કરતી વખતે આપણે જે સિદ્ધાંતો લાગુ કર્યા છે તે સમાન ડિગ્રીના તમામ મૂળ સુધી વિસ્તૃત છે.

અને ક્યુબિક રુટ માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ગુણધર્મો વિચિત્ર ડિગ્રીના મૂળને લાગુ પડે છે.

સારું, શું તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે? ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:

અહીં બધું વધુ કે ઓછું સ્પષ્ટ છે: પ્રથમ આપણે જોઈએ છીએ - હા, ડિગ્રી સમાન છે, મૂળ હેઠળની સંખ્યા સકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે આપણું કાર્ય એવી સંખ્યા શોધવાનું છે જેની ચોથી શક્તિ આપણને આપશે. સારું, કોઈ અનુમાન છે? કદાચ , ? બરાબર!

તેથી, ડિગ્રી સમાન છે - વિચિત્ર, મૂળ હેઠળની સંખ્યા નકારાત્મક છે. અમારું કાર્ય એવી સંખ્યા શોધવાનું છે જે, જ્યારે પાવર સુધી વધે છે, ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે. તુરંત જ મૂળની નોંધ લેવી ખૂબ મુશ્કેલ છે. જો કે, તમે તરત જ તમારી શોધને સંકુચિત કરી શકો છો, બરાબર? પ્રથમ, જરૂરી સંખ્યા ચોક્કસપણે નકારાત્મક છે, અને બીજું, કોઈ નોંધ કરી શકે છે કે તે વિચિત્ર છે, અને તેથી ઇચ્છિત સંખ્યા વિચિત્ર છે. મૂળ શોધવાનો પ્રયાસ કરો. અલબત્ત, તમે તેને સુરક્ષિત રીતે બરતરફ કરી શકો છો. કદાચ , ?

હા, આ તે છે જે અમે શોધી રહ્યા હતા! નોંધ કરો કે ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે અમે ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કર્યો: .

મૂળના મૂળભૂત ગુણધર્મો

તે સ્પષ્ટ છે? જો નહીં, તો પછી ઉદાહરણો જોયા પછી, બધું જ જગ્યાએ આવવું જોઈએ.

ગુણાકાર મૂળ

મૂળનો ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો? સૌથી સરળ અને સૌથી મૂળભૂત મિલકત આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવામાં મદદ કરે છે:

ચાલો કંઈક સરળ સાથે પ્રારંભ કરીએ:

શું પરિણામી સંખ્યાઓના મૂળ બરાબર કાઢવામાં આવતા નથી? કોઈ વાંધો નથી - અહીં કેટલાક ઉદાહરણો છે:

જો ત્યાં બે નહીં, પરંતુ વધુ ગુણક હોય તો શું? એ જ! મૂળના ગુણાકાર માટેનું સૂત્ર કોઈપણ સંખ્યાના પરિબળો સાથે કામ કરે છે:

આપણે તેની સાથે શું કરી શકીએ? સારું, અલબત્ત, ત્રણને મૂળની નીચે છુપાવો, યાદ રાખો કે ત્રણનું વર્ગમૂળ છે!

આપણને આની શા માટે જરૂર છે? હા, ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે ફક્ત અમારી ક્ષમતાઓને વિસ્તૃત કરવા માટે:

તમને મૂળની આ મિલકત કેવી રીતે ગમશે? શું તે જીવનને ખૂબ સરળ બનાવે છે? મારા માટે, તે બરાબર છે! તમારે ફક્ત તે યાદ રાખવું પડશે અમે માત્ર એક સમાન ડિગ્રીના મૂળ ચિન્હ હેઠળ હકારાત્મક સંખ્યાઓ દાખલ કરી શકીએ છીએ.

ચાલો જોઈએ કે આ બીજુ ક્યાં ઉપયોગી થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમસ્યા માટે બે સંખ્યાઓની સરખામણી કરવાની જરૂર છે:

વધુ શું છે:

તમે તરત જ કહી શકતા નથી. સારું, ચાલો મૂળ ચિન્હ હેઠળ સંખ્યા દાખલ કરવાની ડિસએસેમ્બલ મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ? પછી આગળ વધો:

સારું, એ જાણીને કે રુટ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યા જેટલી મોટી છે, તેટલું જ રુટ પોતે જ મોટું છે! તે. જો, પછી, . આના પરથી અમે નિશ્ચિતપણે તારણ કાઢીએ છીએ. અને અન્યથા કોઈ અમને સહમત કરશે નહીં!

આ પહેલાં, અમે રુટની નિશાની હેઠળ ગુણક દાખલ કર્યું છે, પરંતુ તેને કેવી રીતે દૂર કરવું? તમારે ફક્ત તેને પરિબળોમાં પરિબળ કરવાની જરૂર છે અને તમે જે બહાર કાઢો છો તે બહાર કાઢો!

એક અલગ રસ્તો લેવો અને અન્ય પરિબળોમાં વિસ્તરણ કરવું શક્ય હતું:

ખરાબ તો નથી ને? આમાંથી કોઈપણ અભિગમ સાચો છે, તમારી ઈચ્છા મુજબ નિર્ણય કરો.

ઉદાહરણ તરીકે, અહીં એક અભિવ્યક્તિ છે:

આ ઉદાહરણમાં, ડિગ્રી સમાન છે, પરંતુ જો તે વિચિત્ર હોય તો શું? ફરીથી, ઘાતાંકના ગુણધર્મો લાગુ કરો અને દરેક વસ્તુને અવયવિત કરો:

આ સાથે બધું સ્પષ્ટ લાગે છે, પરંતુ સંખ્યાના મૂળને પાવરમાં કેવી રીતે કાઢવું? અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, આ છે:

ખૂબ સરળ, અધિકાર? જો ડિગ્રી બે કરતા વધારે હોય તો શું? અમે ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સમાન તર્કને અનુસરીએ છીએ:

સારું, બધું સ્પષ્ટ છે? પછી અહીં એક ઉદાહરણ છે:

આ મુશ્કેલીઓ છે, તેમના વિશે હંમેશા યાદ રાખવા યોગ્ય. આ ખરેખર મિલકત ઉદાહરણોમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે:

તે સ્પષ્ટ છે? ઉદાહરણો સાથે મજબૂત કરો:

અરે વાહ, આપણે જોઈએ છીએ કે મૂળ એક સમ ઘાત માટે છે, મૂળની નીચેની નકારાત્મક સંખ્યા પણ એક સમાન ઘાત માટે છે. સારું, શું તે જ કામ કરે છે? અહીં શું છે:

બસ! હવે અહીં કેટલાક ઉદાહરણો છે:

સમજાયું? પછી આગળ વધો અને ઉદાહરણો ઉકેલો.

ઉદાહરણો.

જવાબો.

જો તમને જવાબો મળ્યા છે, તો પછી તમે માનસિક શાંતિ સાથે આગળ વધી શકો છો. જો નહીં, તો ચાલો આ ઉદાહરણો સમજીએ:

ચાલો મૂળના અન્ય બે ગુણધર્મો જોઈએ:

આ ગુણધર્મોનું ઉદાહરણોમાં વિશ્લેષણ કરવું આવશ્યક છે. સારું, ચાલો આ કરીએ?

સમજાયું? ચાલો તેને સુરક્ષિત કરીએ.

ઉદાહરણો.

જવાબો.

મૂળ અને તેમની મિલકતો. મધ્યમ સ્તર

અંકગણિત વર્ગમૂળ

સમીકરણમાં બે ઉકેલો છે: અને. આ એવી સંખ્યાઓ છે જેનો વર્ગ બરાબર છે.

સમીકરણ ધ્યાનમાં લો. ચાલો તેને ગ્રાફિકલી હલ કરીએ. ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ અને સ્તર પર એક રેખા દોરીએ. આ રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુઓ ઉકેલો હશે. આપણે જોઈએ છીએ કે આ સમીકરણમાં પણ બે ઉકેલો છે - એક સકારાત્મક, બીજો નકારાત્મક:

પરંતુ આ કિસ્સામાં ઉકેલો પૂર્ણાંકો નથી. વધુમાં, તેઓ તર્કસંગત નથી. આ અતાર્કિક નિર્ણયો લખવા માટે, અમે વિશિષ્ટ વર્ગમૂળ પ્રતીક રજૂ કરીએ છીએ.

અંકગણિત વર્ગમૂળબિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ બરાબર છે. જ્યારે અભિવ્યક્તિ વ્યાખ્યાયિત નથી, કારણ કે એવી કોઈ સંખ્યા નથી કે જેનો વર્ગ નકારાત્મક સંખ્યાના બરાબર હોય.

વર્ગમૂળ: .

ઉદાહરણ તરીકે, . અને તે તેને અનુસરે છે અથવા.

ચાલો હું ફરી એકવાર તમારું ધ્યાન દોરું, આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે: વર્ગમૂળ હંમેશા બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે: !

ક્યુબ રુટસંખ્યાની સંખ્યા એ સંખ્યા છે જેનું ઘન બરાબર છે. ક્યુબ રુટ દરેક માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તે કોઈપણ નંબર પરથી કાઢી શકાય છે: . જેમ આપણે જોઈએ છીએ, તે નકારાત્મક મૂલ્યો પણ લઈ શકે છે.

સંખ્યાનું મી રુટ એવી સંખ્યા છે જેની મી ઘાત સમાન છે, એટલે કે.

જો તે સમાન હોય, તો પછી:

• જો, તો પછી a નું મુળ અવ્યાખ્યાયિત છે.
• જો, તો સમીકરણના બિન-નકારાત્મક મૂળને ની ડિગ્રીનું અંકગણિત મૂળ કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે.

જો - વિચિત્ર છે, તો સમીકરણ કોઈપણ માટે અનન્ય મૂળ ધરાવે છે.

શું તમે નોંધ્યું છે કે મૂળના ચિહ્નની ઉપર ડાબી બાજુએ આપણે તેની ડિગ્રી લખીએ છીએ? પરંતુ વર્ગમૂળ માટે નહીં! જો તમે ડિગ્રી વગરનું મૂળ જુઓ છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તે ચોરસ (ડિગ્રી) છે.

ઉદાહરણો.

મૂળના મૂળભૂત ગુણધર્મો

મૂળ અને તેમની મિલકતો. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

વર્ગમૂળ (અંકગણિત વર્ગમૂળ)બિન-નેગેટિવ નંબર પરથી આને કહેવામાં આવે છે બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા જેનો વર્ગ છે

મૂળના ગુણધર્મો:

પાવર ફંક્શનના મૂળભૂત ગુણધર્મો આપવામાં આવે છે, જેમાં સૂત્રો અને મૂળના ગુણધર્મોનો સમાવેશ થાય છે. પાવર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન, અવિભાજ્ય, પાવર શ્રેણી વિસ્તરણ અને જટિલ સંખ્યા રજૂ કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા

વ્યાખ્યા
ઘાતાંક p સાથે પાવર ફંક્શનફંક્શન f છે (x) = x p, બિંદુ x પર જેનું મૂલ્ય બિંદુ p પર આધાર x સાથે ઘાતાંકીય કાર્યના મૂલ્ય જેટલું છે.
વધુમાં, એફ (0) = 0 પી = 0 p માટે > 0 .

ઘાતાંકના કુદરતી મૂલ્યો માટે, પાવર ફંક્શન એ x ની બરાબર n સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન છે:
.
તે બધા માન્ય માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

ઘાતાંકના હકારાત્મક તર્કસંગત મૂલ્યો માટે, પાવર ફંક્શન એ સંખ્યા xના ડિગ્રી m ના n મૂળનું ઉત્પાદન છે:
.
વિચિત્ર એમ માટે, તે બધા વાસ્તવિક x માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

એમ પણ માટે, પાવર ફંક્શન બિન-નકારાત્મક લોકો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
.
નકારાત્મક માટે, પાવર ફંક્શન સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

તેથી, તે બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત નથી.
,
ઘાતાંક p ના અતાર્કિક મૂલ્યો માટે, પાવર ફંક્શન સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
જ્યારે , તે માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
જ્યારે, પાવર ફંક્શન માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

સાતત્ય. પાવર ફંક્શન તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સતત છે.

x ≥ 0 માટે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો અને સૂત્રો

અહીં આપણે દલીલ x ના બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈશું.

ઉપર જણાવ્યા મુજબ, ઘાતાંક p ના કેટલાક મૂલ્યો માટે, પાવર ફંક્શન x ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
(1.1) આ કિસ્સામાં, તેના ગુણધર્મો સમ અથવા વિષમનો ઉપયોગ કરીને ના ગુણધર્મોમાંથી મેળવી શકાય છે. આ કિસ્સાઓ "" પૃષ્ઠ પર વિગતવાર ચર્ચા અને સચિત્ર છે.
પાવર ફંક્શન, y = x p, ઘાતાંક p સાથે નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:
સેટ પર નિર્ધારિત અને સતત
(1.2) ખાતે,
પાવર ફંક્શન, y = x p, ઘાતાંક p સાથે નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:
સેટ પર નિર્ધારિત અને સતત
(1.3) ખાતે;
ઘણા અર્થો છે
(1.4) સેટ પર નિર્ધારિત અને સતત
સેટ પર નિર્ધારિત અને સતત
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

સાથે કડક રીતે વધે છે,

સખત રીતે ઘટે છે;

વ્યાખ્યા
ગુણધર્મોનો પુરાવો "પાવર ફંક્શન (સાતત્ય અને ગુણધર્મોનો પુરાવો)" પૃષ્ઠ પર આપવામાં આવે છે.મૂળ - વ્યાખ્યા, સૂત્રો, ગુણધર્મો
.
ડિગ્રી n ની સંખ્યા xનું મૂળ 2, 3, 4, ... તે સંખ્યા છે જે જ્યારે પાવર n સુધી વધારવામાં આવે છે ત્યારે x આપે છે:

અહીં n =
.
- એક કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યા.

તમે એમ પણ કહી શકો છો કે ડિગ્રી n ની સંખ્યા xનું મૂળ એ સમીકરણનું મૂળ (એટલે ​​​​કે ઉકેલ) છેનોંધ કરો કે ફંક્શન એ ફંક્શનનું વ્યસ્ત છે.

x નું વર્ગમૂળડિગ્રી 2 નું મૂળ છે: .

x નું ઘનમૂળ

ડિગ્રી 3 નું મૂળ છે: . ડિગ્રી પણસમ શક્તિઓ માટે n = 0 2 મી
.
, રુટ x ≥ માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે
.

.

એક સૂત્ર જેનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે તે હકારાત્મક અને નકારાત્મક x બંને માટે માન્ય છે:

વર્ગમૂળ માટે:
;
.

જે ક્રમમાં કામગીરી કરવામાં આવે છે તે અહીં મહત્વપૂર્ણ છે - એટલે કે, પ્રથમ વર્ગ કરવામાં આવે છે, પરિણામે બિન-નકારાત્મક સંખ્યા આવે છે, અને પછી તેમાંથી મૂળ લેવામાં આવે છે (વર્ગમૂળ બિન-નકારાત્મક સંખ્યામાંથી લઈ શકાય છે. ). જો આપણે ક્રમ બદલીએ તો: , તો પછી ઋણ x માટે રુટ અવ્યાખ્યાયિત હશે, અને તેની સાથે સમગ્ર અભિવ્યક્તિ અવ્યાખ્યાયિત હશે.

વિચિત્ર ડિગ્રી
.
વિષમ શક્તિઓ માટે, રુટ બધા x માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: 0 મૂળના ગુણધર્મો અને સૂત્રો
;
;
, ;
.

x નું મૂળ પાવર ફંક્શન છે:

જ્યારે x ≥

નીચેના સૂત્રો લાગુ પડે છે:
આ સૂત્રો ચલોના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પણ લાગુ કરી શકાય છે.
તમારે ફક્ત ખાતરી કરવાની જરૂર છે કે સમ શક્તિઓની આમૂલ અભિવ્યક્તિ નકારાત્મક નથી.
ખાનગી મૂલ્યો

0 નું મૂળ 0 છે: .

રૂટ 1 બરાબર 1: .
.
0 નું વર્ગમૂળ 0 છે: .
.
હવે મૂળ મૂળને બદલીએ:
.
તેથી,
.

ઘાતાંક p ના વિવિધ મૂલ્યો માટે y = x p.

દલીલ x ના બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો માટે ફંક્શનના આલેખ અહીં છે.

x ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે નિર્ધારિત પાવર ફંક્શનના ગ્રાફ "પાવર ફંક્શન, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ" પૃષ્ઠ પર આપવામાં આવ્યા છે.

વ્યસ્ત કાર્ય

ઘાતાંક p સાથે પાવર ફંક્શનનું વ્યસ્ત એ ઘાત 1/p સાથેનું પાવર ફંક્શન છે.

જો, તો.

પાવર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન
;

nમા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન:

વ્યુત્પન્ન સૂત્રો >>>

પાવર ફંક્શનનું ઇન્ટિગ્રલ 1 ;
.

પી ≠ -

પાવર શ્રેણી વિસ્તરણ 1 < x < 1 ખાતે -

નીચેના વિઘટન થાય છે:

જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓ
જટિલ ચલ z ના કાર્યને ધ્યાનમાં લો: f.
(z) = z t
ચાલો જટિલ ચલ z ને મોડ્યુલસ r અને દલીલ φ (r = |z|) ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ:
z = r e i φ .
અમે જટિલ સંખ્યા t ને વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોના સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ છીએ:
t = p + i q .

અમારી પાસે છે:
,

આગળ, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે દલીલ φ અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી: 0 ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે q =
.

, એટલે કે, ઘાતાંક એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, t = p.
.
પછી

જો p પૂર્ણાંક છે, તો kp પૂર્ણાંક છે. પછી, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની સામયિકતાને કારણે: એટલે કે, આપેલ z માટે, પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેના ઘાતાંકીય કાર્ય, માત્ર એક મૂલ્ય ધરાવે છે અને તેથી તે અસંદિગ્ધ છે.જો p અતાર્કિક છે, તો કોઈપણ k માટે ઉત્પાદનો kp પૂર્ણાંક બનાવતા નથી. કારણ કે k મૂલ્યોની અનંત શ્રેણીમાંથી પસાર થાય છે k = 0, 1, 2, 3, ..., પછી ફંક્શન z p માં અનંતપણે ઘણી કિંમતો છે. જ્યારે પણ દલીલ z વધારો થાય છે

2π
(એક વળાંક), આપણે ફંક્શનની નવી શાખામાં જઈએ છીએ. જો p તર્કસંગત છે, તો તેને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:, ક્યાં
.
m, n - પૂર્ણાંકો જેમાં સામાન્ય વિભાજકો ન હોય. પછીપ્રથમ n મૂલ્યો, k = k સાથે
.
0 = 0, 1, 2, ... n-1 , kp ના વિવિધ મૂલ્યો આપો:જો કે, અનુગામી મૂલ્યો એવા મૂલ્યો આપે છે જે પૂર્ણાંક દ્વારા અગાઉના મૂલ્યોથી અલગ પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે k = k
.
0+n અમારી પાસે છે:ત્રિકોણમિતિ વિધેયો જેની દલીલો ના ગુણાંક દ્વારા અલગ પડે છે - પૂર્ણાંકો જેમાં સામાન્ય વિભાજકો ન હોય. પછી.

2π અમારી પાસે છે:, સમાન મૂલ્યો ધરાવે છે. તેથી, k માં વધુ વધારા સાથે, આપણે k = k માટે z p ના સમાન મૂલ્યો મેળવીએ છીએ

ખાસ કરીને, ડિગ્રી n ના મૂળમાં n મૂલ્યો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વાસ્તવિક હકારાત્મક સંખ્યા z = x ના nમા મૂળને ધ્યાનમાં લો. આ કિસ્સામાં φ, .
.
0 = 0 , z = r = |z| = x 2 ,
.
તેથી, વર્ગમૂળ માટે, n = સમ k માટે,(- 1 ) k = 1 ..
વિચિત્ર k માટે,

(- 1 ) k = - 1
એટલે કે, વર્ગમૂળના બે અર્થ છે: + અને -.

વપરાયેલ સાહિત્ય:

આઈ.એન. બ્રોન્સ્ટીન, કે.એ. સેમેન્દ્યાયેવ, ઇજનેરો અને કોલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક, "લેન", 2009.

અભિનંદન: આજે આપણે મૂળ જોઈશું - 8મા ધોરણમાં સૌથી વધુ મનને ફૂંકાતા વિષયોમાંથી એક :)

ઘણા લોકો મૂળ વિશે મૂંઝવણમાં મૂકે છે કારણ કે તે જટિલ છે (તેમાં શું જટિલ છે - કેટલીક વ્યાખ્યાઓ અને થોડા વધુ ગુણધર્મો), પરંતુ કારણ કે મોટાભાગની શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં મૂળને આવા જંગલ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે ફક્ત પાઠ્યપુસ્તકોના લેખકો જ આ લખાણ સમજી શકે છે. અને પછી પણ માત્ર સારી વ્હિસ્કીની બોટલ સાથે :)

તેથી, હવે હું રુટની સૌથી સાચી અને સૌથી સક્ષમ વ્યાખ્યા આપીશ - ફક્ત એક જ જે તમારે ખરેખર યાદ રાખવું જોઈએ. અને પછી હું સમજાવીશ: આ બધું શા માટે જરૂરી છે અને તેને વ્યવહારમાં કેવી રીતે લાગુ કરવું.

પરંતુ પ્રથમ, એક મહત્વપૂર્ણ મુદ્દો યાદ રાખો કે ઘણા પાઠ્યપુસ્તક કમ્પાઇલર્સ કોઈ કારણોસર "ભૂલી જાય છે":

મૂળ સમાન ડિગ્રી (અમારા મનપસંદ $\sqrt(a)$, તેમજ તમામ પ્રકારના $\sqrt(a)$ અને સમ $\sqrt(a)$) અને વિષમ ડિગ્રી ($\sqrt ના તમામ પ્રકારના) હોઈ શકે છે (a)$, $\ sqrt(a)$, વગેરે). અને એક વિષમ ડિગ્રીના મૂળની વ્યાખ્યા સમ એકથી કંઈક અલગ છે. સંભવતઃ મૂળ સાથે સંકળાયેલ તમામ ભૂલો અને ગેરસમજણોમાંથી 95% આ અશ્લીલ "કંઈક અલગ" માં છુપાયેલ છે. તો ચાલો એકવાર અને બધા માટે પરિભાષા સાફ કરીએ:વ્યાખ્યા. પણ મૂળ બિન-નકારાત્મક n

નંબરમાંથી $a$ કોઈપણ છે

સંખ્યા $b$ એવી છે કે $((b)^(n))=a$. અને સમાન સંખ્યાનું વિચિત્ર મૂળ $a$ સામાન્ય રીતે કોઈપણ સંખ્યા $b$ છે જેના માટે સમાન સમાનતા ધરાવે છે: $((b)^(n))=a$.

કોઈ પણ સંજોગોમાં, રુટ આ રીતે સૂચવવામાં આવે છે:

\(a)\]

આવા સંકેતમાં $n$ નંબરને મૂળ ઘાતાંક કહેવામાં આવે છે, અને $a$ નંબરને આમૂલ અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, $n=2$ માટે આપણને અમારું "મનપસંદ" વર્ગમૂળ મળે છે (માર્ગ દ્વારા, આ સમ ડિગ્રીનું મૂળ છે), અને $n=3$ માટે આપણને ઘનમૂળ (વિષમ ડિગ્રી) મળે છે, જે ઘણીવાર સમસ્યાઓ અને સમીકરણોમાં પણ જોવા મળે છે.

ઉદાહરણો. વર્ગમૂળના ઉત્તમ ઉદાહરણો:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

સારું, કેટલાક "વિદેશી ઉદાહરણો":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જો તમે સમજી શકતા નથી કે સમ અને વિષમ ડિગ્રી વચ્ચે શું તફાવત છે, તો વ્યાખ્યાને ફરીથી વાંચો. આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે!

આ દરમિયાન, અમે મૂળના એક અપ્રિય લક્ષણને ધ્યાનમાં લઈશું, જેના કારણે અમારે સમ અને વિષમ ઘાતાંક માટે અલગ વ્યાખ્યા રજૂ કરવાની જરૂર છે.

શા માટે મૂળની જરૂર છે?

વ્યાખ્યા વાંચ્યા પછી, ઘણા વિદ્યાર્થીઓ પૂછશે: "જ્યારે ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ સાથે આવ્યા ત્યારે તેઓ શું ધૂમ્રપાન કરતા હતા?" અને ખરેખર: આ બધા મૂળની જરૂર કેમ છે?

આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો થોડીવાર માટે પ્રાથમિક શાળામાં પાછા જઈએ. યાદ રાખો: તે દૂરના સમયમાં, જ્યારે વૃક્ષો હરિયાળા હતા અને ડમ્પલિંગ વધુ સ્વાદિષ્ટ હતા, ત્યારે અમારી મુખ્ય ચિંતા સંખ્યાઓને યોગ્ય રીતે ગુણાકાર કરવાની હતી. સારું, "પાંચ બાય પાંચ - પચીસ" જેવું કંઈક, બસ. પરંતુ તમે સંખ્યાઓને જોડીમાં નહીં, પરંતુ ત્રિપુટી, ચાર ગણા અને સામાન્ય રીતે સંપૂર્ણ સેટમાં ગુણાકાર કરી શકો છો:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

જો કે, આ મુદ્દો નથી. યુક્તિ અલગ છે: ગણિતશાસ્ત્રીઓ આળસુ લોકો છે, તેથી તેમને દસ પાંચનો ગુણાકાર આ રીતે લખવામાં મુશ્કેલ સમય હતો:

તેથી જ તેઓ ડિગ્રી લઈને આવ્યા. લાંબા સ્ટ્રિંગને બદલે સુપરસ્ક્રિપ્ટ તરીકે પરિબળોની સંખ્યા કેમ ન લખવી? આના જેવું કંઈક:

તે ખૂબ અનુકૂળ છે! બધી ગણતરીઓ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી દેવામાં આવી છે, અને તમારે લગભગ 5,183 લખવા માટે ચર્મપત્ર અને નોટબુકના સમૂહનો બગાડ કરવાની જરૂર નથી. આ રેકોર્ડને સંખ્યાની શક્તિ કહેવામાં આવતી હતી; તેમાં ઘણી બધી મિલકતો મળી આવી હતી, પરંતુ ખુશી અલ્પજીવી હતી.

એક ભવ્ય ડ્રિંકિંગ પાર્ટી પછી, જે ફક્ત ડિગ્રીની "શોધ" માટે આયોજિત કરવામાં આવી હતી, કેટલાક ખાસ કરીને હઠીલા ગણિતશાસ્ત્રીએ અચાનક પૂછ્યું: "જો આપણે સંખ્યાની ડિગ્રી જાણીએ, પરંતુ સંખ્યા પોતે અજાણ હોય તો શું?" હવે, ખરેખર, જો આપણે જાણીએ કે ચોક્કસ સંખ્યા $b$, કહો કે, 5મી ઘાત 243 આપે છે, તો પછી આપણે કેવી રીતે અનુમાન કરી શકીએ કે $b$ પોતે જ શું સંખ્યા છે?

આ સમસ્યા પ્રથમ નજરમાં લાગે તે કરતાં ઘણી વધુ વૈશ્વિક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. કારણ કે તે બહાર આવ્યું છે કે મોટાભાગની "તૈયાર" શક્તિઓ માટે આવી કોઈ "પ્રારંભિક" સંખ્યાઓ નથી. તમારા માટે ન્યાયાધીશ:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જો $((b)^(3))=50$? તે તારણ આપે છે કે આપણે એક ચોક્કસ સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે જે, જ્યારે તેના દ્વારા ત્રણ વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે આપણને 50 મળશે. પરંતુ આ સંખ્યા શું છે? તે સ્પષ્ટપણે 3 કરતા વધારે છે, કારણ કે 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. એટલે કે આ સંખ્યા ક્યાંક ત્રણ અને ચાર વચ્ચે છે, પરંતુ તમે સમજી શકશો નહીં કે તે શું છે.

આ જ કારણ છે કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ $n$th મૂળ સાથે આવ્યા. આ કારણે જ આમૂલ પ્રતીક $\sqrt(*)$ રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. ખૂબ જ નંબર $b$ નિયુક્ત કરવા માટે, જે દર્શાવેલ ડિગ્રી સુધી અમને અગાઉ જાણીતું મૂલ્ય આપશે

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

હું દલીલ કરતો નથી: ઘણીવાર આ મૂળની સરળતાથી ગણતરી કરવામાં આવે છે - અમે ઉપરના આવા ઘણા ઉદાહરણો જોયા છે. પરંતુ તેમ છતાં, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, જો તમે મનસ્વી સંખ્યા વિશે વિચારો છો અને પછી તેમાંથી મનસ્વી ડિગ્રીના મૂળને કાઢવાનો પ્રયાસ કરો છો, તો તમે ભયંકર બમરનો સામનો કરશો.

ત્યાં શું છે! સૌથી સરળ અને સૌથી વધુ પરિચિત $\sqrt(2)$ પણ આપણા સામાન્ય સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાતું નથી - પૂર્ણાંક અથવા અપૂર્ણાંક તરીકે. અને જો તમે આ નંબરને કેલ્ક્યુલેટરમાં દાખલ કરો છો, તો તમે આ જોશો:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, દશાંશ બિંદુ પછી સંખ્યાઓનો અનંત ક્રમ છે જે કોઈપણ તર્કનું પાલન કરતું નથી. તમે, અલબત્ત, અન્ય નંબરો સાથે ઝડપથી સરખામણી કરવા માટે આ નંબરને રાઉન્ડ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે:

\[\sqrt(2)=1.4142...\અંદાજે 1.4 \lt 1.5\]

અથવા અહીં બીજું ઉદાહરણ છે:

\[\sqrt(3)=1.73205...\અંદાજે 1.7 \gt 1.5\]

પરંતુ આ તમામ રાઉન્ડિંગ્સ, પ્રથમ, તદ્દન રફ છે; અને બીજું, તમારે અંદાજિત મૂલ્યો સાથે કામ કરવામાં પણ સક્ષમ હોવું જરૂરી છે, અન્યથા તમે અસ્પષ્ટ ભૂલોનો સમૂહ પકડી શકો છો (માર્ગ દ્વારા, પ્રોફાઇલ યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન પર સરખામણી અને રાઉન્ડિંગની કુશળતા તપાસવી જરૂરી છે).

તેથી, ગંભીર ગણિતમાં તમે મૂળ વિના કરી શકતા નથી - તે બધા વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહના સમાન સમાન પ્રતિનિધિઓ છે $\mathbb(R)$, જેમ કે અપૂર્ણાંક અને પૂર્ણાંકો જે આપણને લાંબા સમયથી પરિચિત છે.

$\frac(p)(q)$ ફોર્મના અપૂર્ણાંક તરીકે રુટને રજૂ કરવામાં અસમર્થતાનો અર્થ છે કે આ રુટ કોઈ તર્કસંગત સંખ્યા નથી. આવી સંખ્યાઓને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે, અને આ માટે ખાસ રચાયેલ આમૂલ અથવા અન્ય બાંધકામો (લોગરિધમ્સ, સત્તાઓ, મર્યાદાઓ, વગેરે) ની મદદ સિવાય તેમને ચોક્કસ રીતે રજૂ કરી શકાતા નથી. પરંતુ અન્ય સમયે તેના પર વધુ.

ચાલો ઘણા ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ જ્યાં, બધી ગણતરીઓ પછી, અતાર્કિક સંખ્યાઓ હજુ પણ જવાબમાં રહેશે.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\અંદાજે 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\અંદાજે -1.2599... \\ \end(align)\]

સ્વાભાવિક રીતે, મૂળના દેખાવ પરથી અનુમાન લગાવવું લગભગ અશક્ય છે કે દશાંશ બિંદુ પછી કઈ સંખ્યાઓ આવશે. જો કે, તમે કેલ્ક્યુલેટર પર ગણતરી કરી શકો છો, પરંતુ સૌથી અદ્યતન તારીખ કેલ્ક્યુલેટર પણ અમને અતાર્કિક સંખ્યાના પ્રથમ થોડા અંકો જ આપે છે. તેથી, $\sqrt(5)$ અને $\sqrt(-2)$ સ્વરૂપમાં જવાબો લખવા તે વધુ યોગ્ય છે.

આ બરાબર શા માટે તેઓની શોધ કરવામાં આવી હતી. સરળતાથી જવાબો રેકોર્ડ કરવા માટે.

શા માટે બે વ્યાખ્યાઓની જરૂર છે?

સચેત વાચકે કદાચ પહેલેથી જ નોંધ્યું હશે કે ઉદાહરણોમાં આપેલા તમામ વર્ગમૂળ ધન સંખ્યાઓમાંથી લેવામાં આવ્યા છે. સારું, ઓછામાં ઓછું શરૂઆતથી. પરંતુ ઘનમૂળને એકદમ કોઈપણ સંખ્યામાંથી શાંતિથી કાઢી શકાય છે - પછી તે સકારાત્મક હોય કે નકારાત્મક.

આવું કેમ થઈ રહ્યું છે? ફંક્શન $y=(x)^(2))$ ના ગ્રાફ પર એક નજર નાખો:

ચાલો આ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને $\sqrt(4)$ ની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, ગ્રાફ પર એક આડી રેખા $y=4$ દોરવામાં આવી છે (લાલ રંગમાં ચિહ્નિત), જે બે બિંદુઓ પર પેરાબોલાને છેદે છે: $((x)_(1))=2$ અને $(x )_(2)) =-2$. આ તદ્દન તાર્કિક છે, ત્યારથી

પ્રથમ નંબર સાથે બધું સ્પષ્ટ છે - તે હકારાત્મક છે, તેથી તે મૂળ છે:

પણ પછી બીજા મુદ્દાનું શું કરવું? જેમ કે ચાર એક સાથે બે મૂળ હોય છે? છેવટે, જો આપણે સંખ્યા −2 નો વર્ગ કરીએ, તો આપણને 4 પણ મળે છે. તો પછી શા માટે $\sqrt(4)=-2$ લખતા નથી? અને શા માટે શિક્ષકો આવી પોસ્ટ્સ જુએ છે જાણે તેઓ તમને ખાવા માંગતા હોય :)

મુશ્કેલી એ છે કે જો તમે કોઈ વધારાની શરતો લાદતા નથી, તો ક્વાડમાં બે ચોરસ મૂળ હશે - હકારાત્મક અને નકારાત્મક. અને કોઈપણ ધન સંખ્યા પણ તેમાંથી બે હશે. પરંતુ ઋણ સંખ્યાઓનું કોઈ મૂળ હશે જ નહીં - આ એક જ ગ્રાફ પરથી જોઈ શકાય છે, કારણ કે પેરાબોલા ક્યારેય ધરીથી નીચે આવતું નથી. y, એટલે કે નકારાત્મક મૂલ્યો સ્વીકારતા નથી.

સમાન ઘાતાંકવાળા તમામ મૂળ માટે સમાન સમસ્યા થાય છે:

1. કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક સકારાત્મક સંખ્યાના બે મૂળ હશે જેમાં ઘાતાંક $n$ હશે;
2. ઋણ સંખ્યાઓમાંથી, સમ $n$ સાથેનું મૂળ બિલકુલ કાઢવામાં આવતું નથી.

તેથી જ એક સમાન ડિગ્રી $n$ ના મૂળની વ્યાખ્યામાં તે ખાસ રીતે નિર્ધારિત છે કે જવાબ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા હોવી જોઈએ. આ રીતે આપણે અસ્પષ્ટતામાંથી છુટકારો મેળવીએ છીએ.

પરંતુ વિચિત્ર $n$ માટે આવી કોઈ સમસ્યા નથી. આ જોવા માટે, ચાલો ફંક્શન $y=((x)^(3))$ નો ગ્રાફ જોઈએ:

આ ગ્રાફમાંથી બે તારણો કાઢી શકાય છે:

1. ક્યુબિક પેરાબોલાની શાખાઓ, નિયમિતથી વિપરીત, બંને દિશામાં અનંત તરફ જાય છે - ઉપર અને નીચે બંને. તેથી, આપણે ગમે તેટલી ઊંચાઈએ આડી રેખા દોરીએ, આ રેખા ચોક્કસપણે આપણા ગ્રાફ સાથે છેદે છે. પરિણામે, ઘનમૂળ હંમેશા સંપૂર્ણપણે કોઈપણ સંખ્યામાંથી લઈ શકાય છે;
2. વધુમાં, આવા આંતરછેદ હંમેશા અનન્ય રહેશે, તેથી તમારે કઈ સંખ્યાને "સાચો" મૂળ ગણવામાં આવે છે અને કઈ અવગણના કરવી તે વિશે વિચારવાની જરૂર નથી. તેથી જ એક વિષમ ડિગ્રી માટે મૂળ નક્કી કરવું એ એક સમાન ડિગ્રી કરતાં વધુ સરળ છે (ત્યાં બિન-નકારાત્મકતા માટે કોઈ આવશ્યકતા નથી).

તે અફસોસની વાત છે કે મોટા ભાગની પાઠ્યપુસ્તકોમાં આ સરળ બાબતો સમજાવવામાં આવી નથી. તેના બદલે, આપણું મગજ તમામ પ્રકારના અંકગણિત મૂળ અને તેના ગુણધર્મો સાથે ઉડવા લાગે છે.

હા, હું દલીલ કરતો નથી: તમારે એ પણ જાણવાની જરૂર છે કે અંકગણિત મૂળ શું છે. અને હું આ વિશે એક અલગ પાઠમાં વિગતવાર વાત કરીશ. આજે આપણે તેના વિશે પણ વાત કરીશું, કારણ કે તેના વિના $n$-th ગુણાકારના મૂળ વિશેના બધા વિચારો અધૂરા હશે.

પરંતુ પ્રથમ તમારે સ્પષ્ટપણે સમજવાની જરૂર છે કે મેં ઉપર આપેલી વ્યાખ્યા. નહિંતર, શરતોની વિપુલતાને લીધે, તમારા માથામાં એવી ગડબડ શરૂ થશે કે અંતે તમે કંઈપણ સમજી શકશો નહીં.

તમારે માત્ર સમ અને વિષમ સૂચકાંકો વચ્ચેનો તફાવત સમજવાની જરૂર છે. તેથી, ચાલો ફરી એકવાર તમને મૂળ વિશે જાણવાની જરૂર હોય તે બધું એકત્રિત કરીએ:

1. સમ ડિગ્રીનું મૂળ માત્ર બિન-નકારાત્મક સંખ્યાથી અસ્તિત્વમાં છે અને તે હંમેશા બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે. ઋણ સંખ્યાઓ માટે આવા મૂળ અવ્યાખ્યાયિત છે.
2. પરંતુ વિષમ ડિગ્રીનું મૂળ કોઈપણ સંખ્યામાંથી અસ્તિત્વમાં છે અને તે કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે: હકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે તે હકારાત્મક છે, અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે, કેપ સંકેતો મુજબ, તે નકારાત્મક છે.

શું તે મુશ્કેલ છે? ના, તે મુશ્કેલ નથી. તે સ્પષ્ટ છે? હા, તે સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ છે! તો હવે આપણે ગણતરીઓ સાથે થોડી પ્રેક્ટિસ કરીશું.

મૂળભૂત ગુણધર્મો અને મર્યાદાઓ

મૂળમાં ઘણી વિચિત્ર ગુણધર્મો અને મર્યાદાઓ છે - આની ચર્ચા એક અલગ પાઠમાં કરવામાં આવશે. તેથી, હવે આપણે ફક્ત સૌથી મહત્વપૂર્ણ "યુક્તિ" પર વિચાર કરીશું, જે ફક્ત સમાન ઇન્ડેક્સવાળા મૂળને જ લાગુ પડે છે. ચાલો આ ગુણધર્મને સૂત્ર તરીકે લખીએ:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આપણે સંખ્યાને એક સમાન ઘાતમાં વધારીએ અને પછી તેમાંથી સમાન શક્તિનું મૂળ લઈએ, તો આપણને મૂળ સંખ્યા નહીં, પરંતુ તેનું મોડ્યુલસ મળશે. આ એક સરળ પ્રમેય છે જે સરળતાથી સાબિત થઈ શકે છે (બિન-નકારાત્મક $x$ અલગથી અને પછી નકારાત્મકને અલગથી ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે). શિક્ષકો સતત તેના વિશે વાત કરે છે, તે દરેક શાળાના પાઠ્યપુસ્તકમાં આપવામાં આવે છે. પરંતુ જલદી અતાર્કિક સમીકરણો (એટલે ​​​​કે, આમૂલ ચિહ્ન ધરાવતા સમીકરણો) ઉકેલવાની વાત આવે છે, વિદ્યાર્થીઓ સર્વસંમતિથી આ સૂત્ર ભૂલી જાય છે.

આ મુદ્દાને વિગતવાર સમજવા માટે, ચાલો એક મિનિટ માટે બધા સૂત્રો ભૂલી જઈએ અને સીધા આગળ બે સંખ્યાઓની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

આ ખૂબ જ સરળ ઉદાહરણો છે. મોટા ભાગના લોકો પ્રથમ ઉદાહરણ ઉકેલશે, પરંતુ ઘણા લોકો બીજા પર અટકી જાય છે. સમસ્યા વિના આવી કોઈપણ વાહિયાત હલ કરવા માટે, હંમેશા પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લો:

1. પ્રથમ, સંખ્યાને ચોથા ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે. સારું, તે એક પ્રકારનું સરળ છે. તમને એક નવો નંબર મળશે જે ગુણાકાર કોષ્ટકમાં પણ મળી શકે છે;
2. અને હવે આ નવા નંબરમાંથી ચોથું મૂળ કાઢવું ​​જરૂરી છે. તે. મૂળ અને શક્તિઓનો કોઈ "ઘટાડો" થતો નથી - આ ક્રમિક ક્રિયાઓ છે.

ચાલો પ્રથમ અભિવ્યક્તિ જોઈએ: $\sqrt(((3)^(4)))$. દેખીતી રીતે, તમારે પહેલા રુટ હેઠળ અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:

\[(3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

પછી આપણે નંબર 81 નું ચોથું મૂળ કાઢીએ છીએ:

હવે બીજા અભિવ્યક્તિ સાથે તે જ કરીએ. સૌપ્રથમ, આપણે સંખ્યા −3 ને ચોથી ઘાતમાં વધારીએ છીએ, જેના માટે તેને પોતાનાથી 4 વખત ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

\[(\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ડાબે(-3 \જમણે)=81\]

અમને સકારાત્મક સંખ્યા મળી છે, કારણ કે ઉત્પાદનમાં બાદબાકીની કુલ સંખ્યા 4 છે, અને તે બધા એકબીજાને રદ કરશે (છેવટે, બાદબાકી માટે બાદબાકી વત્તા આપે છે). પછી અમે ફરીથી રુટ કાઢીએ છીએ:

સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ પંક્તિ લખી શકાઈ ન હતી, કારણ કે તે કોઈ વિચારસરણી નથી કે જવાબ સમાન હશે. તે. સમાન શક્તિનું એક સમાન મૂળ, બાદબાકીને "બર્ન" કરે છે, અને આ અર્થમાં પરિણામ નિયમિત મોડ્યુલથી અસ્પષ્ટ છે:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

આ ગણતરીઓ એક સમાન ડિગ્રીના મૂળની વ્યાખ્યા સાથે સારી રીતે સંમત છે: પરિણામ હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે, અને આમૂલ ચિહ્નમાં પણ હંમેશા બિન-નકારાત્મક સંખ્યા હોય છે. નહિંતર, રુટ અવ્યાખ્યાયિત છે.

પ્રક્રિયા પર નોંધ

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ નો અર્થ એ છે કે આપણે પહેલા $a$ નંબરનો વર્ગ કરીએ છીએ અને પછી પરિણામી મૂલ્યનું વર્ગમૂળ લઈએ છીએ. તેથી, અમે ખાતરી કરી શકીએ છીએ કે મૂળ ચિહ્ન હેઠળ હંમેશા બિન-નકારાત્મક સંખ્યા હોય છે, કારણ કે $((a)^(2))\ge 0$ કોઈપણ સંજોગોમાં;
2. પરંતુ નોટેશન $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, તેનાથી વિપરિત, એનો અર્થ એ છે કે આપણે પહેલા ચોક્કસ સંખ્યા $a$નું મૂળ લઈએ છીએ અને પછી જ પરિણામનો વર્ગ કરીએ છીએ. તેથી, $a$ નંબર કોઈ પણ સંજોગોમાં નકારાત્મક હોઈ શકે નહીં - આ વ્યાખ્યામાં સમાવિષ્ટ ફરજિયાત આવશ્યકતા છે.

આમ, કોઈ પણ સંજોગોમાં કોઈએ વિચારવિહીન રીતે મૂળ અને ડિગ્રી ઘટાડવી જોઈએ, ત્યાં કથિત રીતે મૂળ અભિવ્યક્તિને "સરળ" બનાવવી જોઈએ. કારણ કે જો મૂળમાં ઋણ સંખ્યા હોય અને તેનો ઘાતાંક સમ હોય, તો આપણને ઘણી સમસ્યાઓ આવે છે.

જો કે, આ બધી સમસ્યાઓ માત્ર સૂચકાંકો માટે જ સંબંધિત છે.

રુટ ચિહ્નની નીચેથી માઈનસ ચિહ્ન દૂર કરવું

સ્વાભાવિક રીતે, વિષમ ઘાતાંકવાળા મૂળની પણ પોતાની વિશેષતા હોય છે, જે સૈદ્ધાંતિક રીતે સમ સાથે અસ્તિત્વમાં નથી. જેમ કે:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

ટૂંકમાં, તમે વિષમ ડિગ્રીના મૂળના ચિહ્નની નીચેથી માઈનસને દૂર કરી શકો છો. આ એક ખૂબ જ ઉપયોગી મિલકત છે જે તમને તમામ ગેરફાયદાને "ફેંકવાની" પરવાનગી આપે છે:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

આ સરળ મિલકત ઘણી ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. હવે તમારે ચિંતા કરવાની જરૂર નથી: જો કોઈ નકારાત્મક અભિવ્યક્તિ મૂળની નીચે છુપાયેલ હોય, પરંતુ મૂળની ડિગ્રી સમાન હોય તો શું? તે ફક્ત મૂળની બહારના તમામ ગેરફાયદાઓને "ફેંકી દેવા" માટે પૂરતું છે, જેના પછી તેઓ એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે, વિભાજિત કરી શકાય છે અને સામાન્ય રીતે ઘણી શંકાસ્પદ વસ્તુઓ કરી શકે છે, જે "શાસ્ત્રીય" મૂળના કિસ્સામાં આપણને દોરી જવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે. એક ભૂલ.

અને અહીં બીજી વ્યાખ્યા દ્રશ્ય પર આવે છે - તે જ જેની સાથે મોટાભાગની શાળાઓમાં તેઓ અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનો અભ્યાસ શરૂ કરે છે. અને જેના વિના આપણી ચર્ચાઓ અધૂરી રહેશે. મળો!

અંકગણિત મૂળ

ચાલો એક ક્ષણ માટે માની લઈએ કે મૂળ ચિન્હ હેઠળ ફક્ત હકારાત્મક સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે અથવા, આત્યંતિક કિસ્સાઓમાં, શૂન્ય. ચાલો બેકી/વિષમ સૂચકાંકો વિશે ભૂલી જઈએ, ઉપર આપેલી બધી વ્યાખ્યાઓ ભૂલી જઈએ - આપણે ફક્ત બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથે જ કામ કરીશું. પછી શું?

અને પછી આપણે એક અંકગણિત મૂળ મેળવીશું - તે આંશિક રીતે અમારી "માનક" વ્યાખ્યાઓ સાથે ઓવરલેપ થાય છે, પરંતુ તેમ છતાં તે તેનાથી અલગ છે.

વ્યાખ્યા. બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાની $n$th ડિગ્રીનું અંકગણિત મૂળ $a$ એ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા $b$ છે જેમ કે $((b)^(n))=a$.

જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, અમને હવે સમાનતામાં રસ નથી. તેના બદલે, એક નવો પ્રતિબંધ દેખાયો: આમૂલ અભિવ્યક્તિ હવે હંમેશા બિન-નકારાત્મક છે, અને મૂળ પોતે પણ બિન-નકારાત્મક છે.

અંકગણિત મૂળ સામાન્ય કરતાં કેવી રીતે અલગ પડે છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચોરસ અને ક્યુબિક પેરાબોલાના ગ્રાફ પર એક નજર નાખો જેનાથી આપણે પહેલાથી જ પરિચિત છીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, હવેથી અમને ગ્રાફના તે ટુકડાઓમાં જ રસ છે જે પ્રથમ કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટરમાં સ્થિત છે - જ્યાં કોઓર્ડિનેટ્સ $x$ અને $y$ ધન છે (અથવા ઓછામાં ઓછું શૂન્ય). અમને રૂટ હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યા મૂકવાનો અધિકાર છે કે નહીં તે સમજવા માટે તમારે હવે સૂચક જોવાની જરૂર નથી. કારણ કે ઋણ સંખ્યાઓને હવે સિદ્ધાંતમાં ગણવામાં આવતી નથી.

તમે પૂછી શકો છો: "સારું, શા માટે આપણને આવી ન્યુટર્ડ વ્યાખ્યાની જરૂર છે?" અથવા: "ઉપર આપેલ પ્રમાણભૂત વ્યાખ્યા સાથે આપણે કેમ મેળવી શકતા નથી?"

ઠીક છે, હું ફક્ત એક મિલકત આપીશ જેના કારણે નવી વ્યાખ્યા યોગ્ય બને. ઉદાહરણ તરીકે, ઘાત માટેનો નિયમ:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: આપણે કોઈ પણ ઘાતમાં આમૂલ અભિવ્યક્તિ વધારી શકીએ છીએ અને તે જ સમયે મૂળ ઘાતાંકને સમાન શક્તિથી ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ - અને પરિણામ સમાન સંખ્યા હશે! અહીં ઉદાહરણો છે:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(સંરેખિત)\]

તો શું મોટી વાત છે? આપણે આ પહેલા કેમ ન કરી શક્યા? અહીં શા માટે છે. ચાલો એક સરળ અભિવ્યક્તિ ધ્યાનમાં લઈએ: $\sqrt(-2)$ - આ સંખ્યા આપણી શાસ્ત્રીય સમજમાં એકદમ સામાન્ય છે, પરંતુ અંકગણિત મૂળના દૃષ્ટિકોણથી સંપૂર્ણપણે અસ્વીકાર્ય છે. ચાલો તેને કન્વર્ટ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt((\left(-2 \right))^(2))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પ્રથમ કિસ્સામાં અમે રેડિકલની નીચેથી બાદબાકી દૂર કરી છે (અમારી પાસે દરેક અધિકાર છે, કારણ કે ઘાતાંક વિષમ છે), અને બીજા કિસ્સામાં અમે ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો છે. તે. ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, બધું નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે.

WTF?! સમાન સંખ્યા હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને કેવી રીતે હોઈ શકે? કોઈ રસ્તો નથી. તે માત્ર એટલું જ છે કે ઘાતાંકનું સૂત્ર, જે સકારાત્મક સંખ્યાઓ અને શૂન્ય માટે સરસ કામ કરે છે, તે નકારાત્મક સંખ્યાઓના કિસ્સામાં સંપૂર્ણ પાખંડ પેદા કરવાનું શરૂ કરે છે.

આવી અસ્પષ્ટતાથી છુટકારો મેળવવા માટે અંકગણિત મૂળની શોધ કરવામાં આવી હતી. એક અલગ મોટો પાઠ તેમને સમર્પિત છે, જ્યાં અમે તેમની બધી મિલકતોને વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. તેથી અમે હવે તેમના પર ધ્યાન આપીશું નહીં - પાઠ પહેલેથી જ ખૂબ લાંબો થઈ ગયો છે.

બીજગણિત મૂળ: જેઓ વધુ જાણવા માંગે છે તેમના માટે

મેં લાંબા સમય સુધી વિચાર્યું કે આ વિષયને અલગ ફકરામાં મૂકવો કે નહીં. અંતે મેં તેને અહીં છોડવાનું નક્કી કર્યું. આ સામગ્રી એવા લોકો માટે બનાવાયેલ છે જેઓ મૂળને વધુ સારી રીતે સમજવા માંગે છે - હવે સરેરાશ "શાળા" સ્તર પર નહીં, પરંતુ ઓલિમ્પિયાડ સ્તરની નજીક છે.

તેથી: સંખ્યાના $n$th મૂળની "શાસ્ત્રીય" વ્યાખ્યા અને સમ અને વિચિત્ર ઘાતાંકમાં સંકળાયેલ વિભાજન ઉપરાંત, એક વધુ "પુખ્ત" વ્યાખ્યા છે જે સમાનતા અને અન્ય સૂક્ષ્મતા પર બિલકુલ આધાર રાખતી નથી. તેને બીજગણિત મૂળ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. કોઈપણ $a$ નું બીજગણિત $n$th મૂળ એ તમામ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે $b$ જેમ કે $((b)^(n))=a$. આવા મૂળ માટે કોઈ સ્થાપિત હોદ્દો નથી, તેથી અમે ફક્ત ટોચ પર ડેશ મૂકીશું:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

પાઠની શરૂઆતમાં આપેલ પ્રમાણભૂત વ્યાખ્યાથી મૂળભૂત તફાવત એ છે કે બીજગણિતીય મૂળ એ ચોક્કસ સંખ્યા નથી, પરંતુ સમૂહ છે. અને કારણ કે આપણે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરીએ છીએ, આ સમૂહ ફક્ત ત્રણ પ્રકારોમાં આવે છે:

1. ખાલી સેટ. ત્યારે થાય છે જ્યારે તમારે ઋણ સંખ્યામાંથી એક સમાન ડિગ્રીનું બીજગણિતીય મૂળ શોધવાની જરૂર હોય;
2. એક જ તત્વનો સમાવેશ કરતો સમૂહ. વિષમ શક્તિઓના તમામ મૂળ, તેમજ શૂન્યની સમાન શક્તિના મૂળ, આ શ્રેણીમાં આવે છે;
3. છેલ્લે, સમૂહમાં બે સંખ્યાઓ શામેલ હોઈ શકે છે - સમાન $((x)_(1))$ અને $((x)_(2))=-((x)_(1))$ જે અમે આલેખ ચતુર્ભુજ કાર્ય. તદનુસાર, આવી ગોઠવણ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે ધન સંખ્યામાંથી એક સમાન ડિગ્રીના મૂળને બહાર કાઢો.

છેલ્લો કેસ વધુ વિગતવાર વિચારણાને પાત્ર છે. ચાલો તફાવત સમજવા માટે થોડા ઉદાહરણો ગણીએ.

ઉદાહરણ. અભિવ્યક્તિઓનું મૂલ્યાંકન કરો:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

ઉકેલ. પ્રથમ અભિવ્યક્તિ સાથે બધું સરળ છે:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

તે બે સંખ્યાઓ છે જે સમૂહનો ભાગ છે. કારણ કે તેમાંનો દરેક વર્ગ ચાર આપે છે.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

અહીં આપણે ફક્ત એક જ સંખ્યાનો સમૂહ જોઈ શકીએ છીએ. આ તદ્દન તાર્કિક છે, કારણ કે મૂળ ઘાતાંક વિચિત્ર છે.

છેલ્લે, છેલ્લી અભિવ્યક્તિ:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

અમને એક ખાલી સેટ મળ્યો. કારણ કે ત્યાં એક પણ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી કે જે, જ્યારે ચોથા (એટલે ​​​​કે, પણ!) ઘાત સુધી વધારવામાં આવે, ત્યારે તે આપણને નકારાત્મક સંખ્યા −16 આપશે.

અંતિમ નોંધ. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: એવું ન હતું કે મેં દરેક જગ્યાએ નોંધ્યું છે કે અમે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરીએ છીએ. કારણ કે ત્યાં જટિલ સંખ્યાઓ પણ છે - ત્યાં $\sqrt(-16)$ અને અન્ય ઘણી વિચિત્ર વસ્તુઓની ગણતરી કરવી તદ્દન શક્ય છે.

જો કે, આધુનિક શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમોમાં જટિલ સંખ્યાઓ લગભગ ક્યારેય દેખાતી નથી. મોટાભાગની પાઠ્યપુસ્તકોમાંથી તેમને દૂર કરવામાં આવ્યા છે કારણ કે અમારા અધિકારીઓ વિષયને "સમજવા માટે ખૂબ જ મુશ્કેલ" માને છે.