ગાણિતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો શું નક્કી કરે છે? જથ્થા અને પરિમાણોનું હોદ્દો

ટેક્નોલોજી અને આપણી આસપાસની દુનિયામાં આપણે વારંવાર સામનો કરવો પડે છે સામયિક(અથવા લગભગ સામયિક) પ્રક્રિયાઓ જે નિયમિત અંતરાલે પુનરાવર્તિત થાય છે. આવી પ્રક્રિયાઓ કહેવામાં આવે છે ઓસીલેટરી.

ઓસિલેશન એ પ્રકૃતિ અને તકનીકમાં સૌથી સામાન્ય પ્રક્રિયાઓમાંની એક છે. ઉડાનમાં જંતુઓ અને પક્ષીઓની પાંખો, પવનના પ્રભાવ હેઠળ ઊંચી ઇમારતો અને હાઇ-વોલ્ટેજ વાયર, ઘા ઘડિયાળનું લોલક અને ડ્રાઇવિંગ કરતી વખતે ઝરણા પર કાર, સમગ્ર વર્ષ દરમિયાન નદીનું સ્તર અને તાપમાન માંદગી દરમિયાન માનવ શરીર, ધ્વનિ એ હવાની ઘનતા અને દબાણમાં વધઘટ છે, રેડિયો તરંગો - ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની શક્તિમાં સામયિક ફેરફારો, દૃશ્યમાન પ્રકાશ પણ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સ્પંદનો છે, માત્ર થોડી અલગ તરંગલંબાઇ અને આવર્તન સાથે, ધરતીકંપ એ માટીના સ્પંદનો, ધબકારા છે. માનવ હૃદયના સ્નાયુઓનું સામયિક સંકોચન છે, વગેરે.

ઓસિલેશન યાંત્રિક, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક, રાસાયણિક, થર્મોડાયનેમિક અને અન્ય વિવિધ હોઈ શકે છે. આટલી વિવિધતા હોવા છતાં, તે બધામાં ઘણું સામ્ય છે.

વિવિધ શારીરિક પ્રકૃતિની ઓસીલેટરી ઘટના સામાન્ય કાયદાઓને આધીન છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિદ્યુત સર્કિટમાં વર્તમાન ઓસિલેશન અને ગાણિતિક લોલકના ઓસિલેશનને સમાન સમીકરણો દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. ઓસીલેટરી પેટર્નની સમાનતા આપણને એક દ્રષ્ટિકોણથી વિવિધ પ્રકૃતિની ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાઓને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે. ઓસીલેટરી ગતિની નિશાની તેની છે સામયિકતા.

યાંત્રિક સ્પંદનો -આહલનચલન કે જે નિયમિત અંતરાલો પર બરાબર અથવા લગભગ પુનરાવર્તિત થાય છે.

સરળ ઓસીલેટરી સિસ્ટમ્સના ઉદાહરણો સ્પ્રિંગ (સ્પ્રિંગ લોલક) પર લોડ અથવા સ્ટ્રિંગ (ગાણિતિક લોલક) પર બોલ છે.

યાંત્રિક સ્પંદનો દરમિયાન, ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા સમયાંતરે બદલાય છે.

મુ મહત્તમ વિચલનશરીર તેની સંતુલન સ્થિતિ, તેની ગતિ અને તેથી ગતિ ઊર્જા શૂન્ય પર જાય છે. આ સ્થિતિમાં સંભવિત ઊર્જાઓસીલેટીંગ બોડી મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. વસંત પરના ભાર માટે, સંભવિત ઊર્જા એ વસંતના સ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિની ઊર્જા છે. ગાણિતિક લોલક માટે, આ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની ઊર્જા છે.

જ્યારે શરીર, તેની ચળવળમાં, પસાર થાય છે સંતુલન સ્થિતિ, તેની ઝડપ મહત્તમ છે. શરીર જડતાના નિયમ અનુસાર સંતુલન સ્થિતિને ઓવરશૂટ કરે છે. આ ક્ષણે તેની પાસે છે મહત્તમ ગતિ અને લઘુત્તમ સંભવિત ઊર્જા. સંભવિત ઊર્જામાં ઘટાડો થવાને કારણે ગતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

વધુ હલનચલન સાથે, ગતિ ઊર્જા વગેરેમાં ઘટાડો થવાને કારણે સંભવિત ઊર્જા વધવા લાગે છે.

આમ, હાર્મોનિક ઓસિલેશન દરમિયાન, ગતિ ઊર્જાનું સામયિક રૂપાંતર સંભવિત ઊર્જામાં અને ઊલટું થાય છે.

જો ઓસીલેટરી સિસ્ટમમાં કોઈ ઘર્ષણ ન હોય, તો યાંત્રિક સ્પંદનો દરમિયાન કુલ યાંત્રિક ઊર્જા યથાવત રહે છે.

વસંત લોડ માટે:

મહત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં, લોલકની કુલ ઉર્જા વિકૃત ઝરણાની સંભવિત ઉર્જા જેટલી હોય છે:

સંતુલન સ્થિતિમાંથી પસાર થતી વખતે, કુલ ઊર્જા લોડની ગતિ ઊર્જા જેટલી હોય છે:

ગાણિતિક લોલકના નાના ઓસિલેશન માટે:

મહત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં, લોલકની કુલ ઉર્જા h ઊંચાઈ સુધી ઉછરેલી શરીરની સંભવિત ઉર્જા જેટલી હોય છે:

સંતુલન સ્થિતિમાંથી પસાર થતી વખતે, કુલ ઊર્જા શરીરની ગતિ ઊર્જા જેટલી હોય છે:

અહીં h m- પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં લોલકની મહત્તમ ઊંચાઈ, x મીઅને υ m = ω 0 x મી- સંતુલન સ્થિતિ અને તેની ગતિથી લોલકના વિચલનના મહત્તમ મૂલ્યો.

હાર્મોનિક ઓસિલેશન અને તેમની લાક્ષણિકતાઓ. હાર્મોનિક વાઇબ્રેશનનું સમીકરણ.

ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાના સૌથી સરળ પ્રકારો સરળ છે હાર્મોનિક સ્પંદનો, જે સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ છે

x = x મી cos(ω t + φ 0).

અહીં x- સંતુલન સ્થિતિમાંથી શરીરનું વિસ્થાપન,
x મી- ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર, એટલે કે, સંતુલન સ્થિતિમાંથી મહત્તમ વિસ્થાપન,
ω – ચક્રીય અથવા ગોળાકાર આવર્તનખચકાટ,
t- સમય.

ઓસીલેટરી ગતિની લાક્ષણિકતાઓ.

ઓફસેટ x -તેની સંતુલન સ્થિતિથી ઓસીલેટીંગ બિંદુનું વિચલન. માપનનું એકમ 1 મીટર છે.

ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર A -તેની સંતુલન સ્થિતિથી ઓસીલેટીંગ બિંદુનું મહત્તમ વિચલન. માપનનું એકમ 1 મીટર છે.

ઓસિલેશન સમયગાળોટી- લઘુત્તમ સમય અંતરાલ કે જે દરમિયાન એક સંપૂર્ણ ઓસિલેશન થાય છે તેને કહેવામાં આવે છે. માપનનું એકમ 1 સેકન્ડ છે.

T=t/N

જ્યાં t એ ઓસિલેશન સમય છે, N એ આ સમય દરમિયાન પૂર્ણ થયેલા ઓસિલેશનની સંખ્યા છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેશનના ગ્રાફ પરથી, તમે ઓસિલેશનનો સમયગાળો અને કંપનવિસ્તાર નક્કી કરી શકો છો:

ઓસિલેશન આવર્તન ν –એકમ સમય દીઠ ઓસિલેશનની સંખ્યા જેટલી ભૌતિક જથ્થો.

ν=N/t

આવર્તન એ ઓસિલેશન સમયગાળાની પરસ્પર છે:

આવર્તનઓસિલેશન ν બતાવે છે કે 1 સેકન્ડમાં કેટલા ઓસિલેશન થાય છે હર્ટ્ઝ(Hz).

ચક્રીય આવર્તન ω- 2π સેકન્ડમાં ઓસિલેશનની સંખ્યા.

ઓસિલેશન આવર્તન ν સાથે સંબંધિત છે ચક્રીય આવર્તન ωઅને ઓસિલેશન સમયગાળો ટીગુણોત્તર

તબક્કોહાર્મોનિક પ્રક્રિયા - હાર્મોનિક ઓસિલેશનના સમીકરણમાં સાઈન અથવા કોસાઈન ચિહ્ન હેઠળનો જથ્થો φ = ω t + φ 0 . મુ t= 0 φ = φ 0 , તેથી φ 0 કહેવાય છે પ્રારંભિક તબક્કો.

હાર્મોનિક ગ્રાફસાઈન અથવા કોસાઈન તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

વાદળી વળાંકો માટે ત્રણેય કેસોમાં φ 0 = 0:

માત્રવધારે કંપનવિસ્તાર(x" m > x m);

લાલ વળાંક વાદળી કરતા અલગ છે માત્રઅર્થ સમયગાળો(T" = T/2);

લાલ વળાંક વાદળી કરતા અલગ છે માત્રઅર્થ પ્રારંભિક તબક્કો(પ્રસન્ન).

જ્યારે શરીર સીધી રેખા (અક્ષ ઓક્સ) વેગ વેક્ટર હંમેશા આ સીધી રેખા સાથે નિર્દેશિત થાય છે. શરીરની હિલચાલની ઝડપ અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ગણિતમાં, Δ પર Δх/Δt ગુણોત્તરની મર્યાદા શોધવા માટેની પ્રક્રિયા t→ 0 ને ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કહેવામાં આવે છે x(t) સમય દ્વારા tઅને તરીકે સૂચવવામાં આવે છે x"(t).ઝડપ ફંક્શન x(ના વ્યુત્પન્ન સમાન છે) t) સમય દ્વારા t.

ગતિના હાર્મોનિક કાયદા માટે x = x મી cos(ω t+ φ 0) વ્યુત્પન્નની ગણતરી નીચેના પરિણામ તરફ દોરી જાય છે:

υ એક્સ =x"(t)= ω x મીપાપ (ω t + φ 0)

પ્રવેગક સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે a xહાર્મોનિક સ્પંદનો દરમિયાન શરીર. પ્રવેગક aફંક્શનના વ્યુત્પન્ન સમાન છે υ( t) સમય દ્વારા t, અથવા ફંક્શનનું બીજું વ્યુત્પન્ન x(t). ગણતરીઓ આપે છે:

અને x =υ x "(t) =x""(t)= -ω 2 x મી cos(ω t+ φ 0)=-ω 2 x

આ અભિવ્યક્તિમાં ઓછા ચિહ્નનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગક a(t) હંમેશા વિસ્થાપનની વિરુદ્ધ નિશાની ધરાવે છે x(t), અને તેથી, ન્યુટનના બીજા નિયમ મુજબ, શરીરને હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરવા માટેનું કારણ બને છે તે બળ હંમેશા સંતુલન સ્થિતિ તરફ નિર્દેશિત થાય છે ( x = 0).

આકૃતિ હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરતા શરીરના કોઓર્ડિનેટ્સ, ઝડપ અને પ્રવેગકના આલેખ બતાવે છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરતા શરીરના કોઓર્ડિનેટ્સ x(t), વેગ υ(t) અને પ્રવેગક a(t) ના આલેખ.

વસંત લોલક.

વસંત લોલકજડતા k ના સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ કેટલાક માસ m નો ભાર છે, જેનો બીજો છેડો નિશ્ચિતપણે નિશ્ચિત છે.

કુદરતી આવર્તનω 0 સ્પ્રિંગ પરના ભારના મુક્ત ઓસિલેશન સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

સમયગાળો ટી વસંત પરના ભારના હાર્મોનિક સ્પંદનો સમાન છે

આનો અર્થ એ છે કે સ્પ્રિંગ લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો ભારના સમૂહ અને વસંતની જડતા પર આધારિત છે.

ઓસીલેટરી સિસ્ટમના ભૌતિક ગુણધર્મો માત્ર ઓસિલેશનની કુદરતી આવર્તન ω 0 અને સમયગાળો નક્કી કરો ટી . ઓસિલેશન પ્રક્રિયાના પરિમાણો જેમ કે કંપનવિસ્તાર x મીઅને પ્રારંભિક તબક્કો φ 0 એ સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે સિસ્ટમને સંતુલનમાંથી બહાર લાવવાની રીત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

ગાણિતિક લોલક.

ગાણિતિક લોલકપાતળા અક્ષમ થ્રેડ પર લટકાવેલું નાનું શરીર કહેવાય છે, જેનો સમૂહ શરીરના સમૂહની તુલનામાં નજીવો છે.

સંતુલન સ્થિતિમાં, જ્યારે લોલક પ્લમ્બને હેંગ કરે છે, ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ થ્રેડ N ના તાણ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. જ્યારે લોલક સમતુલા સ્થિતિથી ચોક્કસ કોણ φ દ્વારા વિચલિત થાય છે, ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો સ્પર્શક ઘટક દેખાય છે. એફ τ = – મિલિગ્રામપાપ φ. આ સૂત્રમાં ઓછા ચિહ્નનો અર્થ એ છે કે સ્પર્શક ઘટક લોલકના વિચલનની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત છે.

ગાણિતિક લોલક.φ – સમતુલા સ્થિતિથી લોલકનું કોણીય વિચલન,

x= lφ – ચાપ સાથે લોલકનું વિસ્થાપન

ગાણિતિક લોલકના નાના ઓસિલેશનની કુદરતી આવર્તન સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

ગાણિતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો:

આનો અર્થ એ છે કે ગાણિતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો થ્રેડની લંબાઈ અને લોલક સ્થાપિત થયેલ વિસ્તારના મુક્ત પતનના પ્રવેગ પર આધાર રાખે છે.

મફત અને ફરજિયાત સ્પંદનો.

યાંત્રિક સ્પંદનો, અન્ય કોઈપણ ભૌતિક પ્રકૃતિની ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાઓની જેમ, હોઈ શકે છે મફતઅને ફરજ પડી.

મફત સ્પંદનો -આ ઓસિલેશન છે જે સિસ્ટમને સ્થિર સંતુલન સ્થિતિમાંથી દૂર કર્યા પછી આંતરિક દળોના પ્રભાવ હેઠળ સિસ્ટમમાં થાય છે.

સ્પ્રિંગ પરના વજનના ઓસિલેશન અથવા લોલકના ઓસિલેશન એ ફ્રી ઓસિલેશન છે.

હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર મુક્ત સ્પંદનો થાય તે માટે, શરીરને સંતુલન સ્થિતિમાં પાછા લાવવાનું વલણ શરીરના સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિસ્થાપનના પ્રમાણમાં હોય અને વિસ્થાપનની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત હોય તે જરૂરી છે.

વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓમાં, કોઈપણ ઓસીલેટરી સિસ્ટમ ઘર્ષણ દળો (પ્રતિકાર) ના પ્રભાવ હેઠળ હોય છે. આ કિસ્સામાં, યાંત્રિક ઊર્જાનો ભાગ અણુઓ અને પરમાણુઓની થર્મલ ગતિની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે અને સ્પંદનો બને છે. વિલીન.

વિલીન ઓસિલેશન કહેવાય છે જેનું કંપનવિસ્તાર સમય સાથે ઘટતું જાય છે.

ઓસિલેશનને વિલીન થવાથી રોકવા માટે, સિસ્ટમને વધારાની ઊર્જા પ્રદાન કરવી જરૂરી છે, એટલે કે. સામયિક બળ સાથે ઓસીલેટરી સિસ્ટમને પ્રભાવિત કરો (ઉદાહરણ તરીકે, સ્વિંગને રોકવું).

બાહ્ય સમયાંતરે બદલાતા બળના પ્રભાવ હેઠળ થતા ઓસિલેશન કહેવામાં આવે છેફરજ પડી.

બાહ્ય બળ સકારાત્મક કાર્ય કરે છે અને ઓસીલેટરી સિસ્ટમમાં ઊર્જાનો પ્રવાહ પૂરો પાડે છે. ઘર્ષણ દળોની ક્રિયા હોવા છતાં, તે સ્પંદનોને મરી જવા દેતું નથી.

સમયાંતરે બાહ્ય બળ વિવિધ કાયદાઓ અનુસાર બદલાઈ શકે છે. ખાસ રસ એ છે કે જ્યારે બાહ્ય બળ, ફ્રિક્વન્સી ω સાથે હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર અલગ-અલગ હોય છે, ચોક્કસ આવર્તન ω 0 પર તેની પોતાની ઓસિલેશન કરવા સક્ષમ ઓસીલેટરી સિસ્ટમ પર કાર્ય કરે છે.

જો ફ્રી ઓસિલેશન ω 0 આવર્તન પર થાય છે, જે સિસ્ટમના પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તો પછી સ્થિર દબાણયુક્ત ઓસિલેશન હંમેશા થાય છે આવર્તન ω બાહ્ય બળ .

જ્યારે કુદરતી ઓસિલેશનની આવર્તન બાહ્ય પ્રેરક બળની આવર્તન સાથે સુસંગત હોય ત્યારે ફરજિયાત ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારમાં તીવ્ર વૃદ્ધિની ઘટના કહેવામાં આવે છે.પડઘો.

કંપનવિસ્તાર અવલંબન x મીપ્રેરક બળની આવર્તન ω થી દબાણયુક્ત ઓસિલેશન કહેવામાં આવે છે પ્રતિધ્વનિ લાક્ષણિકતાઅથવા પડઘો વળાંક.

વિવિધ એટેન્યુએશન સ્તરે રેઝોનન્સ વણાંકો:

1 - ઘર્ષણ વિના ઓસીલેટરી સિસ્ટમ; પડઘો પર, ફરજિયાત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર x m અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે;

2, 3, 4 - વિવિધ ઘર્ષણ સાથે ઓસીલેટરી સિસ્ટમ્સ માટે વાસ્તવિક રેઝોનન્સ વણાંકો.

ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં, પડઘો દરમિયાન દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર મર્યાદા વિના વધવું જોઈએ. વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓમાં, સ્થિર-સ્થિતિ દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર સ્થિતિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: ઓસિલેશન સમયગાળા દરમિયાન બાહ્ય બળનું કાર્ય ઘર્ષણને કારણે તે જ સમય દરમિયાન યાંત્રિક ઊર્જાના નુકસાન જેટલું હોવું જોઈએ. ઓછું ઘર્ષણ, પડઘો દરમિયાન દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર વધારે છે.

રેઝોનન્સની ઘટના પુલ, ઇમારતો અને અન્ય માળખાના વિનાશનું કારણ બની શકે છે જો તેમના ઓસિલેશનની કુદરતી આવર્તન સમયાંતરે કાર્યકારી બળની આવર્તન સાથે સુસંગત હોય, જે ઉદભવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અસંતુલિત મોટરના પરિભ્રમણને કારણે.

ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો ઘણા સંજોગો પર આધાર રાખે છે: શરીરના કદ અને આકાર પર, ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્ર અને સસ્પેન્શનના બિંદુ વચ્ચેના અંતર પર અને આ બિંદુને સંબંધિત શરીરના સમૂહના વિતરણ પર; તેથી, સસ્પેન્ડેડ બોડીના સમયગાળાની ગણતરી કરવી એ એક મુશ્કેલ કાર્ય છે. ગાણિતિક લોલક માટે પરિસ્થિતિ સરળ છે. આવા લોલકના અવલોકનો પરથી, નીચેના સરળ કાયદાઓ સ્થાપિત કરી શકાય છે.

1. જો, લોલકની સમાન લંબાઈ જાળવતી વખતે (લોડના ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્ર સુધી સસ્પેન્શનના બિંદુથી અંતર), તમે જુદા જુદા લોડને લટકાવશો, તો ઓસિલેશનનો સમયગાળો સમાન હશે, જો કે લોલકનો સમૂહ ભાર ખૂબ જ અલગ છે. ગાણિતિક લોલકનો સમયગાળો ભારના સમૂહ પર આધારિત નથી.

2. જો, લોલકની શરૂઆત કરતી વખતે, આપણે તેને જુદા જુદા (પરંતુ ખૂબ મોટા નહીં) ખૂણાઓ પર વિચલિત કરીએ છીએ, તો તે સમાન સમયગાળા સાથે ઓસીલેટ થશે, જોકે વિવિધ કંપનવિસ્તાર સાથે. જ્યાં સુધી કંપનવિસ્તાર ખૂબ મોટા ન હોય ત્યાં સુધી, ઓસિલેશન તેમના સ્વરૂપમાં હાર્મોનિક (§ 5) ની એકદમ નજીક હોય છે અને ગાણિતિક લોલકનો સમયગાળો એસ્પિલ્યુશનના કંપનવિસ્તાર પર આધાર રાખતો નથી. આ ગુણધર્મને આઇસોક્રોનિઝમ કહેવામાં આવે છે (ગ્રીક શબ્દોમાંથી "આઇસોસ" - સમાન, "ક્રોનોસ" - સમય).

આ હકીકત પ્રથમ 1655 માં ગેલિલિયો દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવી હતી, કથિત રીતે નીચેના સંજોગોમાં. ગેલિલિયોએ પીસા કેથેડ્રલમાં લાંબી સાંકળ પર ઝુમ્મરના સ્વિંગનું અવલોકન કર્યું, જે પ્રગટાવવામાં આવે ત્યારે દબાણ કરવામાં આવ્યું હતું. સેવા દરમિયાન, સ્વિંગ્સ ધીમે ધીમે ઝાંખા પડી ગયા (§ 11), એટલે કે, સ્પંદનોનું કંપનવિસ્તાર ઘટ્યું, પરંતુ સમયગાળો સમાન રહ્યો. ગેલિલિયોએ સમય સૂચક તરીકે પોતાની નાડીનો ઉપયોગ કર્યો.

ચાલો હવે ગાણિતિક લોલકના ઓસિલેશનના સમયગાળા માટે એક સૂત્ર મેળવીએ.

ચોખા. 16. પ્લેનમાં લોલકનું ઓસિલેશન (a) અને શંકુ સાથે હલનચલન (b)

જ્યારે લોલક સ્વિંગ કરે છે, ત્યારે લોડ એક ચાપ (ફિગ. 16, એ) સાથે પુનઃસ્થાપિત બળના પ્રભાવ હેઠળ ઝડપી ગતિ કરે છે, જે ચળવળ દરમિયાન બદલાય છે. ચલ બળના પ્રભાવ હેઠળ શરીરની ગતિની ગણતરી કરવી ખૂબ જટિલ છે. તેથી, સરળતા માટે, અમે નીચે પ્રમાણે આગળ વધીશું.

ચાલો લોલકને એક પ્લેનમાં ઓસીલેટ ન કરીએ, પરંતુ શંકુનું વર્ણન કરીએ જેથી લોડ વર્તુળમાં આગળ વધે (ફિગ. 16, b). આ ચળવળ બે સ્વતંત્ર સ્પંદનોના ઉમેરાના પરિણામે મેળવી શકાય છે: એક - હજી પણ ડ્રોઇંગના પ્લેનમાં અને બીજું - કાટખૂણે. દેખીતી રીતે, આ બંને પ્લેન ઓસિલેશનનો સમયગાળો સમાન છે, કારણ કે કોઈપણ ઓસિલેશનનું પ્લેન કોઈપણ અન્ય કરતા અલગ નથી. પરિણામે, જટિલ ગતિનો સમયગાળો - શંકુ સાથે લોલકનું પરિભ્રમણ - પાણીના વિમાનના સ્વિંગના સમયગાળા જેટલો જ હશે. આ નિષ્કર્ષને સીધા અનુભવ દ્વારા બે સરખા લોલક લઈને અને તેમાંથી એકને પ્લેનમાં સ્વિંગ આપીને અને બીજાને શંકુ સાથે ફેરવીને સરળતાથી દર્શાવી શકાય છે.

પરંતુ "શંક્વાકાર" લોલકની ક્રાંતિનો સમયગાળો લોડ દ્વારા વર્ણવેલ વર્તુળની લંબાઈ જેટલો છે, ઝડપ દ્વારા વિભાજિત:

જો વર્ટિકલમાંથી વિચલનનો કોણ નાનો (નાના કંપનવિસ્તાર) હોય, તો આપણે ધારી શકીએ કે પુનઃસ્થાપિત બળ વર્તુળની ત્રિજ્યા સાથે નિર્દેશિત છે, એટલે કે, કેન્દ્રિય બળની બરાબર:

બીજી બાજુ, ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે. ત્યારથી અહીંથી

બંને સમીકરણોને એકબીજા સાથે સરખાવીને, આપણે પરિભ્રમણ દર માટે મેળવીએ છીએ

અંતે, આને અવધિ અભિવ્યક્તિમાં બદલીને, આપણે શોધીએ છીએ

તેથી, ગાણિતિક લોલકનો સમયગાળો ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ અને લોલકની લંબાઈ પર આધારિત છે, એટલે કે, સસ્પેન્શનના બિંદુથી લોડના ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર. પરિણામી સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે લોલકનો સમયગાળો તેના સમૂહ અને કંપનવિસ્તાર પર આધારિત નથી (જો તે પૂરતું નાનું હોય તો). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે ગણતરી દ્વારા તે મૂળભૂત કાયદાઓ મેળવ્યા હતા જે અગાઉ અવલોકનોમાંથી સ્થાપિત થયા હતા.

પરંતુ અમારું સૈદ્ધાંતિક નિષ્કર્ષ અમને વધુ આપે છે: તે અમને લોલકના સમયગાળા, તેની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ વચ્ચે માત્રાત્મક સંબંધ સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. ગાણિતિક લોલકનો સમયગાળો લોલકની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગના ગુણોત્તરના વર્ગમૂળના પ્રમાણસર હોય છે. પ્રમાણસરતા ગુણાંક છે.

આ પ્રવેગક નક્કી કરવા માટેની ખૂબ જ સચોટ પદ્ધતિ ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ પર લોલકના સમયગાળાની અવલંબન પર આધારિત છે. લોલકની લંબાઈને માપ્યા પછી અને મોટી સંખ્યામાં ઓસિલેશનમાંથી સમયગાળો નક્કી કર્યા પછી, અમે પરિણામી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકીએ છીએ. વ્યવહારમાં આ પદ્ધતિનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

તે જાણીતું છે (જુઓ વોલ્યુમ I, §53) કે ગુરુત્વાકર્ષણનું પ્રવેગ સ્થળના ભૌગોલિક અક્ષાંશ (ધ્રુવ અને વિષુવવૃત્ત પર) પર આધારિત છે. ચોક્કસ પ્રમાણભૂત લોલકના સ્વિંગ સમયગાળાના અવલોકનો અક્ષાંશ પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગકના વિતરણનો અભ્યાસ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. આ પદ્ધતિ એટલી સચોટ છે કે તેનો ઉપયોગ પૃથ્વીની સપાટી પરના મૂલ્યમાં વધુ સૂક્ષ્મ તફાવતો શોધવા માટે થઈ શકે છે. તે તારણ આપે છે કે સમાન સમાંતર પર પણ, પૃથ્વીની સપાટી પર વિવિધ બિંદુઓ પરના મૂલ્યો અલગ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગકના વિતરણમાં આ વિસંગતતાઓ પૃથ્વીના પોપડાની અસમાન ઘનતા સાથે સંકળાયેલી છે. તેનો ઉપયોગ ઘનતાના વિતરણનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે, ખાસ કરીને પૃથ્વીના પોપડામાં કોઈપણ ખનિજોની ઘટના શોધવા માટે. સોવિયેત ભૌતિકશાસ્ત્રી પ્યોટર પેટ્રોવિચના નેતૃત્વમાં વ્યાપક ગુરુત્વાકર્ષણ ફેરફારો, જેણે ગાઢ સમૂહની ઘટનાનો નિર્ણય કરવો શક્ય બનાવ્યો, તે યુએસએસઆરમાં કહેવાતા કુર્સ્ક ચુંબકીય વિસંગતતા (જુઓ વોલ્યુમ II, § 130) ના પ્રદેશમાં કરવામાં આવ્યા હતા. લઝારેવ. પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિસંગતતા પરના ડેટા સાથે સંયોજનમાં, આ ગુરુત્વાકર્ષણ ડેટાએ કુર્સ્ક ચુંબકીય અને ગુરુત્વાકર્ષણીય વિસંગતતાઓને નિર્ધારિત કરતા લોખંડના સમૂહની ઘટનાનું વિતરણ સ્થાપિત કરવાનું શક્ય બનાવ્યું.

ગાણિતિક લોલક શું છે?

અગાઉના પાઠોમાંથી તમારે પહેલાથી જ જાણવું જોઈએ કે લોલક, એક નિયમ તરીકે, એક શરીર કે જે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના પ્રભાવ હેઠળ ઓસીલેટ થાય છે. એટલે કે, આપણે કહી શકીએ કે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, આ ખ્યાલને સામાન્ય રીતે એક નક્કર શરીર તરીકે ગણવામાં આવે છે જે, ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ, નિશ્ચિત બિંદુ અથવા અક્ષની આસપાસ થતી ઓસીલેટરી હલનચલન કરે છે.

ગાણિતિક લોલકનું સંચાલન સિદ્ધાંત

હવે ચાલો ગાણિતિક લોલકના સંચાલનના સિદ્ધાંતને જોઈએ અને તે શું છે તે શોધીએ.

ગાણિતિક લોલકના સંચાલનનો સિદ્ધાંત એ છે કે જ્યારે કોઈ પદાર્થ બિંદુ સંતુલન સ્થિતિથી નાના કોણ a દ્વારા વિચલિત થાય છે, એટલે કે, એક ખૂણો કે જેના પર sina=a સ્થિતિ સંતુષ્ટ થશે, તો બળ F = -mgsina = - mga શરીર પર કાર્ય કરશે.

આપણે જોઈએ છીએ કે બળ F પાસે નકારાત્મક ઘાતાંક છે, અને તે અનુસરે છે કે બાદબાકી ચિહ્ન અમને કહે છે કે આ બળ વિસ્થાપનની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત છે. અને બળ F એ વિસ્થાપન S માટે પ્રમાણસર હોવાથી, તે અનુસરે છે કે આવા બળના પ્રભાવ હેઠળ સામગ્રી બિંદુ હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરશે.

લોલકના ગુણધર્મો

જો આપણે કોઈ અન્ય લોલક લઈએ, તો તેના ઓસિલેશનનો સમયગાળો ઘણા પરિબળો પર આધારિત છે. આ પરિબળોમાં શામેલ છે:

પ્રથમ, શરીરનું કદ અને આકાર;
બીજું, સસ્પેન્શનના બિંદુ અને ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર;
ત્રીજે સ્થાને, આપેલ બિંદુને સંબંધિત શરીરના વજનનું વિતરણ પણ.

લોલકના આ વિવિધ સંજોગોના સંબંધમાં, લટકતા શરીરની અવધિ નક્કી કરવી ખૂબ મુશ્કેલ છે.

અને જો આપણે ગાણિતિક લોલક લઈએ, તો તેમાં તે તમામ ગુણધર્મો છે જે જાણીતા ભૌતિક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે અને તેનો સમયગાળો ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે.

આવી યાંત્રિક પ્રણાલીઓ પર ઘણાં જુદાં જુદાં અવલોકનો કર્યા પછી, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ આવી પેટર્ન નક્કી કરવામાં સક્ષમ હતા જેમ કે:

પ્રથમ, લોલકનો સમયગાળો લોડના સમૂહ પર આધારિત નથી. એટલે કે, જો, લોલકની સમાન લંબાઈ સાથે, આપણે તેમાંથી અલગ અલગ દળ ધરાવતા વજનને સ્થગિત કરીએ છીએ, તો પછી તેમના ઓસિલેશનનો સમયગાળો હજી પણ સમાન રહેશે, પછી ભલે તેમના સમૂહમાં ખૂબ જ નોંધપાત્ર તફાવત હોય.

બીજું, જો આપણે સિસ્ટમ શરૂ કરતી વખતે લોલકને નાના પરંતુ જુદા જુદા ખૂણાઓથી વિચલિત કરીએ, તો તેના ઓસિલેશનનો સમયગાળો સમાન હશે, પરંતુ કંપનવિસ્તાર અલગ હશે. સંતુલન કેન્દ્રમાંથી નાના વિચલનો સાથે, તેમના સ્વરૂપમાં સ્પંદનો લગભગ હાર્મોનિક પાત્ર ધરાવે છે. એટલે કે, આપણે કહી શકીએ કે આવા લોલકનો સમયગાળો ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર પર આધારિત નથી. ગ્રીકમાંથી અનુવાદિત, આ યાંત્રિક પ્રણાલીની આ મિલકતને આઇસોક્રોનિઝમ કહેવામાં આવે છે, જ્યાં "આઇસોસ" નો અર્થ સમાન છે, અને "ક્રોનોસ" નો અર્થ સમય છે.

પેન્ડુલમ ઓસિલેશનનો વ્યવહારિક ઉપયોગ

ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ, ખગોળશાસ્ત્રીઓ, સર્વેક્ષકો અને અન્ય વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા વિવિધ અભ્યાસો માટે ગાણિતિક લોલકનો ઉપયોગ થાય છે. આવા લોલકની મદદથી તેઓ ખનિજોની શોધ કરે છે. ગાણિતિક લોલકના પ્રવેગનું અવલોકન કરીને અને તેના ઓસિલેશનની સંખ્યાની ગણતરી કરીને, વ્યક્તિ આપણી પૃથ્વીના આંતરડામાં કોલસો અને ધાતુના થાપણો શોધી શકે છે.

પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ ખગોળશાસ્ત્રી અને પ્રકૃતિશાસ્ત્રી કે. ફ્લેમરિયોને દાવો કર્યો હતો કે ગાણિતિક લોલકની મદદથી તે તુંગુસ્કા ઉલ્કાના દેખાવ અને નવા ગ્રહની શોધ સહિત ઘણી મહત્વપૂર્ણ શોધો કરવામાં સક્ષમ હતા.

આજકાલ, ઘણા માનસશાસ્ત્રીઓ અને જાદુગરો ગુમ થયેલા લોકોને શોધવા અને ભવિષ્યવાણીની આગાહી કરવા માટે આવી યાંત્રિક પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરે છે.

ગણિતનું લોલક

પરિચય

ઓસિલેશન સમયગાળો

તારણો

સાહિત્ય

પરિચય

હવે તે દંતકથાને ચકાસવી શક્ય નથી કે કેવી રીતે કેથેડ્રલમાં પ્રાર્થનામાં ઉભા રહેલા ગેલિલિયોએ કાંસાના ઝુમ્મરના ઝૂલતા ધ્યાનથી જોયા હતા. મેં અવલોકન કર્યું અને શૈન્ડલિયર આગળ અને પાછળ વિતાવેલો સમય નક્કી કર્યો. આ સમયને પાછળથી ઓસિલેશન સમયગાળો કહેવામાં આવ્યો. ગેલિલિયો પાસે ઘડિયાળ ન હતી, અને વિવિધ લંબાઈની સાંકળો પર લટકાવેલા ઝુમ્મરના ઓસિલેશનના સમયગાળાની તુલના કરવા માટે, તેણે તેના પલ્સની આવર્તનનો ઉપયોગ કર્યો.

લોલકનો ઉપયોગ ઘડિયાળોની ગતિને સમાયોજિત કરવા માટે થાય છે, કારણ કે કોઈપણ લોલકમાં ઓસિલેશનનો ખૂબ જ ચોક્કસ સમયગાળો હોય છે. લોલક ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય સંશોધનમાં મહત્વપૂર્ણ એપ્લિકેશનો પણ શોધે છે. તે જાણીતું છે કે વિશ્વભરમાં વિવિધ સ્થળોએ મૂલ્યો gઅલગ છે. તેઓ અલગ છે કારણ કે પૃથ્વી સંપૂર્ણપણે નિયમિત ગોળ નથી. વધુમાં, એવા વિસ્તારોમાં જ્યાં ગાઢ ખડકો થાય છે, જેમ કે કેટલાક ધાતુના અયસ્ક, મૂલ્ય gઅસામાન્ય રીતે ઉચ્ચ. સચોટ માપન gગાણિતિક લોલકની મદદથી કેટલીકવાર આવી થાપણો શોધવાનું શક્ય બને છે.

ગાણિતિક લોલકની ગતિનું સમીકરણ

ગાણિતિક લોલક એ ભારે સામગ્રી બિંદુ છે જે કાં તો ઊભી વર્તુળ (સપાટ ગાણિતિક લોલક) સાથે અથવા ગોળા (ગોળાકાર લોલક) સાથે આગળ વધે છે. પ્રથમ અંદાજ માટે, અગમ્ય લવચીક થ્રેડ પર લટકાવેલું નાનું વજન ગાણિતિક લોલક ગણી શકાય.

ચાલો ત્રિજ્યાના વર્તુળ સાથે સપાટ ગાણિતિક લોલકની ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ lએક બિંદુ પર કેન્દ્રિત વિશે(ફિગ. 1). અમે બિંદુની સ્થિતિ નક્કી કરીશું એમ(લોલક) વિચલનનો કોણ j ત્રિજ્યા ઓમઊભી માંથી. એક સ્પર્શક નિર્દેશન એમ t હકારાત્મક કોણ j તરફ, આપણે ગતિનું કુદરતી સમીકરણ બનાવીશું. આ સમીકરણ ગતિના સમીકરણમાંથી રચાય છે

mW=એફ+એન, (1)
જ્યાં એફબિંદુ પર કામ કરતું સક્રિય બળ છે, અને એન- સંચાર પ્રતિક્રિયા.

આકૃતિ 1

અમે ન્યૂટનના બીજા નિયમ અનુસાર સમીકરણ (1) મેળવ્યું, જે ગતિશાસ્ત્રનો મૂળભૂત કાયદો છે અને જણાવે છે કે ભૌતિક બિંદુના વેગનો સમય તેના પર કાર્ય કરતા બળ જેટલો છે, એટલે કે.

ધારીએ છીએ કે સમૂહ સ્થિર છે, આપણે અગાઉના સમીકરણને ફોર્મમાં રજૂ કરી શકીએ છીએ

જ્યાં ડબલ્યુબિંદુનું પ્રવેગક છે.

તેથી સમીકરણ (1) ટી અક્ષ પરના પ્રક્ષેપણમાં આપેલ નિશ્ચિત સરળ વળાંક સાથે બિંદુની ગતિ માટે આપણને કુદરતી સમીકરણોમાંથી એક આપશે:

અમારા કિસ્સામાં, અમે ટી અક્ષ પર પ્રક્ષેપણમાં મેળવીએ છીએ

,
જ્યાં mલોલકનો સમૂહ છે.

ત્યારથી અથવા , અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ

.
દ્વારા ઘટાડવું mઅને માનતા

, (3)
અમારી પાસે આખરે હશે:

,

,

,

. (4)
ચાલો પહેલા નાના ઓસિલેશનના કિસ્સાને ધ્યાનમાં લઈએ. પ્રારંભિક ક્ષણે લોલકને એક ખૂણા દ્વારા ઊભીથી વિચલિત થવા દો jઅને પ્રારંભિક ગતિ વિના ઘટાડો. પછી પ્રારંભિક શરતો હશે:

ખાતે t= 0, . (5)
ઊર્જા અભિન્ન માંથી:

, (6)
જ્યાં વી- સંભવિત ઊર્જા, અને hએકીકરણ સ્થિર છે, તે અનુસરે છે કે આ શરતો હેઠળ કોઈપણ સમયે કોણ jЈj 0 . સતત મૂલ્ય hપ્રારંભિક ડેટા પરથી નક્કી થાય છે. ચાલો ધારીએ કે કોણ j 0 નાનો છે (j 0 Ј1); પછી કોણ j પણ નાનો હશે અને આપણે લગભગ sinj»j સેટ કરી શકીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, સમીકરણ (4) ફોર્મ લેશે

. (7)
સમીકરણ (7) એ સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ છે. આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે

, (8)
જ્યાં એઅને બીઅથવા aઅને e એકીકરણના સ્થિરાંકો છે.

અહીંથી આપણે તરત જ અવધિ શોધીએ છીએ ( ટી) ગાણિતિક લોલકના નાના ઓસિલેશન (પીરિયડ - સમયનો સમયગાળો કે જે દરમિયાન બિંદુ સમાન ઝડપે તેની પાછલી સ્થિતિ પર પાછો ફરે છે)

અને

,
કારણ કે પાપનો સમયગાળો 2p, પછી w ટી=2p યુ

(9)

પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ (5) હેઠળ ગતિનો નિયમ શોધવા માટે, અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

. (10)
મૂલ્યો (5) ને સમીકરણો (8) અને (10) માં બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ:

j 0 = એ, 0 = w બી,

તે બી=0. પરિણામે, શરતો (5) હેઠળ નાના ઓસિલેશન માટે ગતિનો નિયમ હશે:

j = j 0 cos wt. (11)

ચાલો હવે સપાટ ગાણિતિક લોલકની સમસ્યાનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ. ચાલો પહેલા ગતિના સમીકરણ (4) નું પ્રથમ અવિભાજ્ય નક્કી કરીએ. કારણ કે

,
પછી (4) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

.
તેથી, સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરો ડી j અને એકીકૃત કરવાથી, આપણને મળે છે:

. (12)
ચાલો અહીં લોલકના મહત્તમ વિચલનનો કોણ j 0 સૂચવીએ; તો j = j 0 માટે આપણી પાસે ક્યાંથી હશે સી= w 2 cosj 0 . પરિણામે, અભિન્ન (12) આપે છે:

, (13)
જ્યાં w સમાનતા દ્વારા નક્કી થાય છે (3).

આ ઇન્ટિગ્રલ એ એનર્જી ઇન્ટિગ્રલ છે અને તે સીધા જ સમીકરણમાંથી મેળવી શકાય છે

, (14)
જ્યાં ખસેડવાનું કામ છે એમ 0 એમસક્રિય બળ એફ, જો આપણે તે અમારા કિસ્સામાં ધ્યાનમાં લઈએ વિ 0 =0, અને (આકૃતિ જુઓ).

સમીકરણ (13) થી તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે લોલક ફરે છે, ત્યારે કોણ j મૂલ્યો +j 0 અને -j 0 (|j|Јj 0, ત્યારથી) વચ્ચે બદલાશે, એટલે કે. લોલક એક ઓસીલેટીંગ ગતિ કરશે. ચાલો સમયની ગણતરી કરવા માટે સંમત થઈએ tક્ષણથી લોલક ઊભીમાંથી પસાર થાય છે ઓ.એ.જ્યારે તે જમણી તરફ જાય છે (આકૃતિ જુઓ). પછી અમારી પાસે પ્રારંભિક સ્થિતિ હશે:

ખાતે t=0, j=0. (15)

વધુમાં, જ્યારે એક બિંદુ પરથી ખસેડવાની એકરશે; સમાનતાની બંને બાજુઓમાંથી વર્ગમૂળ લઈએ (13), આપણે મેળવીએ છીએ:

.
અહીં ચલોને અલગ કરીને, અમારી પાસે છે:

. (16)

, ,
તે

.
આ પરિણામને સમીકરણ (16) માં બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ.

ગાણિતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો થ્રેડની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે: જેમ જેમ થ્રેડની લંબાઈ ઘટે છે તેમ ઓસિલેશનનો સમયગાળો ઘટતો જાય છે.

ગાણિતિક લોલક માટે, કેટલાક કાયદા સંતુષ્ટ છે:

1 કાયદો. જો, લોલકની સમાન લંબાઈ જાળવતી વખતે, અમે વિવિધ લોડને સ્થગિત કરીએ છીએ (ઉદાહરણ તરીકે, 5 કિગ્રા અને 100 કિગ્રા), તો પછી ઓસિલેશનનો સમયગાળો સમાન હશે, જો કે લોડનો સમૂહ ખૂબ જ અલગ છે. ગાણિતિક લોલકનો સમયગાળો ભારના સમૂહ પર આધારિત નથી.

2 જી કાયદો. જો લોલક જુદા જુદા પરંતુ નાના ખૂણાઓ દ્વારા વિચલિત થાય છે, તો તે સમાન સમયગાળા સાથે ઓસીલેટ થશે, જો કે વિવિધ કંપનવિસ્તાર સાથે. જ્યાં સુધી લોલકનું કંપનવિસ્તાર નાનું હોય ત્યાં સુધી, તેમના સ્વરૂપમાંના ઓસિલેશન હાર્મોનિક જેવા જ હશે, અને પછી ગાણિતિક લોલકનો સમયગાળો ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર પર આધાર રાખતો નથી. આ ગુણધર્મને આઇસોક્રોનિઝમ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો ગાણિતિક લોલકના સમયગાળા માટે સૂત્ર મેળવીએ.

ગાણિતિક લોલકના ભાર m પર ગુરુત્વાકર્ષણ mg અને થ્રેડ Fynp ના સ્થિતિસ્થાપક બળ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે. ચાલો સ્પર્શક સાથે 0X અક્ષને ઉપરની ગતિના માર્ગ તરફ દિશામાન કરીએ. ચાલો આ કેસ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લખીએ:

અમે દરેક વસ્તુને OX અક્ષ પર પ્રોજેક્ટ કરીએ છીએ:

નાના ખૂણા પર

અવેજી અને નાના રૂપાંતરણો કર્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ કે સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે:

હાર્મોનિક સ્પંદનોના સમીકરણ સાથે પરિણામી અભિવ્યક્તિની સરખામણી કરીએ તો, આપણને મળે છે:

સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે વસંત લોલકની ચક્રીય આવર્તનનું સ્વરૂપ હશે:

પછી ગાણિતિક લોલકનો સમયગાળો બરાબર હશે:

ગાણિતિક લોલકનો સમયગાળો માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ g ના પ્રવેગ અને લોલક l ની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે. પરિણામી સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે લોલકનો સમયગાળો તેના સમૂહ અને કંપનવિસ્તાર પર આધારિત નથી (જો તે પૂરતું નાનું હોય તો). અમે લોલકની અવધિ, તેની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ વચ્ચે એક માત્રાત્મક સંબંધ પણ સ્થાપિત કર્યો છે. ગાણિતિક લોલકનો સમયગાળો લોલકની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગના ગુણોત્તરના વર્ગમૂળના પ્રમાણસર હોય છે. પ્રમાણસરતા પરિબળ 2p છે

ત્યાં પણ છે:

વસંત લોલકનો સમયગાળો

ભૌતિક લોલકનો સમયગાળો

ટોર્સિયન લોલકનો સમયગાળો