ઑબ્જેક્ટના ટ્રાન્સફર ફંક્શનને રેશિયો કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય ટ્રાન્સફર ફંક્શન નક્કી કરવા માટે, અમે સિસ્ટમના આઉટપુટ ચલ માટે અભિવ્યક્તિ લખીએ છીએ

DE નું લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મેશન ટ્રાન્સફર ફંક્શનનો અનુકૂળ ખ્યાલ રજૂ કરવાનું શક્ય બનાવે છે જે સિસ્ટમના ગતિશીલ ગુણધર્મોને દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ઓપરેટર સમીકરણ

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

X(s) અને Y(s) ને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીને અને એકબીજા દ્વારા વિભાજન કરીને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

પરિણામી અભિવ્યક્તિને સ્થાનાંતરણ કાર્ય કહેવામાં આવે છે.

ટ્રાન્સફર કાર્ય શૂન્ય પ્રારંભિક શરતો હેઠળ ઇનપુટ X(ઓ) ની આઉટપુટ અસર Y(s) ની છબીનો ગુણોત્તર કહેવાય છે.

(2.4)

ટ્રાન્સફર ફંક્શન એ જટિલ ચલનું અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય છે:

જ્યાં B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - અંશ બહુપદી,

A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - છેદ બહુપદી.

ટ્રાન્સફર ફંક્શનમાં એક ઓર્ડર છે જે છેદ બહુપદી (n) ના ક્રમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

(2.4) થી તે અનુસરે છે કે આઉટપુટ સિગ્નલની છબી તરીકે શોધી શકાય છે

Y(s) = W(s)*X(s).

સિસ્ટમનું સ્થાનાંતરણ કાર્ય તેના ગતિશીલ ગુણધર્મોને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે, તેથી ASR ની ગણતરી કરવાનું પ્રારંભિક કાર્ય તેના સ્થાનાંતરણ કાર્યને નિર્ધારિત કરવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે.

2.6.2 લાક્ષણિક લિંક્સના ઉદાહરણો

સિસ્ટમની લિંક એ સિસ્ટમનું એક તત્વ છે જે ચોક્કસ ગતિશીલ ગુણધર્મો ધરાવે છે. કંટ્રોલ સિસ્ટમ્સની લિંક્સ અલગ ભૌતિક પ્રકૃતિ (ઇલેક્ટ્રિકલ, ન્યુમેટિક, મિકેનિકલ, વગેરે લિંક્સ) ધરાવી શકે છે, પરંતુ તે જ રિમોટ કંટ્રોલ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, અને લિંક્સમાં ઇનપુટ અને આઉટપુટ સિગ્નલનો ગુણોત્તર સમાન ટ્રાન્સફર કાર્યો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. .

TAU માં, સરળ એકમોના જૂથને અલગ પાડવામાં આવે છે, જેને સામાન્ય રીતે લાક્ષણિક કહેવામાં આવે છે. લાક્ષણિક લિંક્સની સ્થિર અને ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. કંટ્રોલ ઑબ્જેક્ટ્સની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવા માટે માનક લિંક્સનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, રેકોર્ડિંગ ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવેલ ક્ષણિક પ્રતિભાવને જાણીને, નિયંત્રણ ઑબ્જેક્ટ કયા પ્રકારની લિંક્સ સાથે સંબંધિત છે તે નિર્ધારિત કરવું ઘણીવાર શક્ય છે, અને તેથી તેનું સ્થાનાંતરણ કાર્ય, વિભેદક સમીકરણ, વગેરે, એટલે કે. ઑબ્જેક્ટ મોડેલ. લાક્ષણિક લિંક્સ કોઈપણ જટિલ લિંકને સરળ લિંક્સના જોડાણ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

સૌથી સરળ લાક્ષણિક લિંક્સમાં શામેલ છે:

એમ્પ્લીફિકેશન

જડતા (પ્રથમ ક્રમ એપિરિયોડિક),

એકીકરણ (વાસ્તવિક અને આદર્શ),

ભિન્નતા (વાસ્તવિક અને આદર્શ),

એપિરિયોડિક 2જી ક્રમ,

ઓસીલેટરી

વિલંબિત

1) રિઇન્ફોર્સિંગ લિંક.

લિંક K વખત દ્વારા ઇનપુટ સિગ્નલને વિસ્તૃત કરે છે. લિંક સમીકરણ y = K*x, ટ્રાન્સફર ફંક્શન W(s) = K. પરિમાણ K કહેવાય છે લાભ .

આવી લિંકનું આઉટપુટ સિગ્નલ K વખત દ્વારા વિસ્તૃત થયેલ ઇનપુટ સિગ્નલનું બરાબર પુનરાવર્તન કરે છે (જુઓ આકૃતિ 1.18).

પગલાવાર ક્રિયા સાથે h(t) = K.

આવી લિંક્સના ઉદાહરણો છે: યાંત્રિક ટ્રાન્સમિશન, સેન્સર્સ, જડતા-મુક્ત એમ્પ્લીફાયર, વગેરે.

2) એકીકરણ.

2.1) આદર્શ સંકલન.

આદર્શ એકીકૃત લિંકનું આઉટપુટ મૂલ્ય ઇનપુટ મૂલ્યના અભિન્નના પ્રમાણસર છે:

; W(s) =

જ્યારે ઇનપુટ પર સ્ટેપ એક્શન લિંક x(t) = 1 લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે આઉટપુટ સિગ્નલ સતત વધે છે (જુઓ આકૃતિ 1.19):

આ લિંક એસ્ટેટિક છે, એટલે કે. સ્થિર સ્થિતિ નથી.

આવી લિંકનું ઉદાહરણ પ્રવાહીથી ભરેલું કન્ટેનર છે. ઇનપુટ પેરામીટર એ ઇનકમિંગ લિક્વિડનો ફ્લો રેટ છે, આઉટપુટ પેરામીટર એ લેવલ છે. શરૂઆતમાં, કન્ટેનર ખાલી છે અને પ્રવાહની ગેરહાજરીમાં સ્તર શૂન્ય છે, પરંતુ જો તમે પ્રવાહી પુરવઠો ચાલુ કરો છો, તો સ્તર સમાનરૂપે વધવાનું શરૂ કરે છે.

2.2) વાસ્તવિક સંકલન.

પી આ લિંકના ટ્રાન્સફર ફંક્શનમાં ફોર્મ છે

W(s) =
.

સંક્રમણ પ્રતિભાવ, આદર્શ કડીથી વિપરીત, એક વળાંક છે (જુઓ. આકૃતિ 1.20):

h(t) = K. (t – T) + K . ટી. e - t / T .

જો સ્ટેટર સપ્લાય વોલ્ટેજને ઇનપુટ ઇફેક્ટ તરીકે લેવામાં આવે અને રોટર રોટેશન એંગલને આઉટપુટ ઇફેક્ટ તરીકે લેવામાં આવે તો ઇન્ટિગ્રેટિંગ લિંકનું ઉદાહરણ સ્વતંત્ર ઉત્તેજના સાથે ડીસી મોટર છે. જો મોટરને વોલ્ટેજ પૂરું પાડવામાં આવતું નથી, તો રોટર આગળ વધતું નથી અને તેના પરિભ્રમણનો કોણ શૂન્યની બરાબર લઈ શકાય છે. જ્યારે વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે રોટર સ્પિન કરવાનું શરૂ કરે છે, અને તેના પરિભ્રમણનો કોણ જડતાને કારણે પ્રથમ ધીમે ધીમે થાય છે, અને પછી ચોક્કસ પરિભ્રમણ ગતિ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી તે ઝડપથી વધે છે.

3) તફાવત.

3.1) આદર્શ વિભેદક.

આઉટપુટ જથ્થો ઇનપુટના સમય વ્યુત્પન્નના પ્રમાણસર છે:

; W(s) = K*s

સ્ટેપ ઇનપુટ સિગ્નલ સાથે, આઉટપુટ સિગ્નલ એક આવેગ છે (-ફંક્શન): h(t) = K. (t).

3.2) વાસ્તવિક તફાવત.

આદર્શ વિભેદક કડીઓ ભૌતિક રીતે અનુભૂતિપાત્ર નથી. મોટા ભાગના ઑબ્જેક્ટ્સ કે જે ડિફરન્ટિએટિંગ લિંક્સનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે તે વાસ્તવિક ડિફરન્ટિએટિંગ લિંક્સથી સંબંધિત છે, જેનું ટ્રાન્સફર ફંક્શન ફોર્મ ધરાવે છે

W(s) =
.

પગલું પ્રતિસાદ:
.

લિંકનું ઉદાહરણ: ઇલેક્ટ્રિક જનરેટર. ઇનપુટ પેરામીટર એ રોટરના પરિભ્રમણનો કોણ છે, આઉટપુટ પરિમાણ વોલ્ટેજ છે. જો રોટરને ચોક્કસ ખૂણા પર ફેરવવામાં આવે તો, ટર્મિનલ્સ પર વોલ્ટેજ દેખાશે, પરંતુ જો રોટરને વધુ ફેરવવામાં નહીં આવે, તો વોલ્ટેજ શૂન્ય થઈ જશે. વિન્ડિંગમાં ઇન્ડક્ટન્સની હાજરીને કારણે તે ઝડપથી ઘટી શકતું નથી.

4) એપિરિયોડિક (જડતા).

આ લિંક ફોર્મના DE અને PF ને અનુરૂપ છે

; W(s) =
.

ચાલો આપણે આ લિંકના આઉટપુટ મૂલ્યમાં ફેરફારની પ્રકૃતિ નક્કી કરીએ જ્યારે ઇનપુટ પર મૂલ્ય x 0 ની સ્ટેપવાઇઝ અસર લાગુ કરવામાં આવે.

પગલાની અસરની છબી: X(s) = . પછી આઉટપુટ જથ્થાની છબી છે:

Y(s) = W(s) X(s) =
= K x 0
.

ચાલો અપૂર્ણાંકને પ્રાઇમમાં તોડીએ:

=
+ =
= -
= -

કોષ્ટક અનુસાર પ્રથમ અપૂર્ણાંકનો મૂળ: L -1 () = 1, બીજો:

L -1 ( } = .

પછી આપણે આખરે મેળવીએ છીએ

y(t) = K x 0 (1 - ).

સતત T કહેવાય છે સમય સતત.

મોટા ભાગની થર્મલ ઓબ્જેક્ટો એપિરીયોડિક લિંક્સ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ઇલેક્ટ્રિક ફર્નેસના ઇનપુટ પર વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું તાપમાન સમાન કાયદા અનુસાર બદલાશે (જુઓ આકૃતિ 1.22).

5) સેકન્ડ ઓર્ડર લિંક્સ

લિંક્સમાં રિમોટ કંટ્રોલ અને ફોર્મનું PF છે

W(s) =
.

જ્યારે ઇનપુટ પર કંપનવિસ્તાર x 0 સાથે સ્ટેપ ઇફેક્ટ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સંક્રમણ વળાંક બેમાંથી એક પ્રકારનો હશે: એપિરિયોડિક (T 1  2T 2 પર) અથવા ઓસીલેટરી (T 1 પર)< 2Т 2).

આ સંદર્ભે, બીજા ક્રમની લિંક્સ અલગ પાડવામાં આવે છે:

એપિરિયોડિક 2જી ક્રમ (T 1  2T 2),

જડતા (T 1< 2Т 2),

રૂઢિચુસ્ત (T 1 = 0).

6) વિલંબિત.

જો, જ્યારે ઑબ્જેક્ટના ઇનપુટ પર કોઈ ચોક્કસ સંકેત લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે તરત જ આ સંકેત પર પ્રતિક્રિયા આપતું નથી, પરંતુ થોડા સમય પછી, તો ઑબ્જેક્ટને વિલંબ થયો હોવાનું કહેવાય છે.

લેગ- ઇનપુટ સિગ્નલ બદલાય ત્યારથી આઉટપુટ સિગ્નલ બદલાવાનું શરૂ ન થાય ત્યાં સુધી આ સમય અંતરાલ છે.

લેગિંગ લિંક એ એક લિંક છે જેમાં આઉટપુટ મૂલ્ય y ઇનપુટ મૂલ્ય xને અમુક વિલંબ સાથે બરાબર પુનરાવર્તન કરે છે :

y(t) = x(t - ).

લિંક ટ્રાન્સફર કાર્ય:

W(s) = e -  s .

વિલંબના ઉદાહરણો: પાઈપલાઈન સાથે પ્રવાહીની હિલચાલ (પાઈપલાઈનની શરૂઆતમાં કેટલો પ્રવાહી પમ્પ કરવામાં આવ્યો હતો, તેટલો ભાગ અંતમાં બહાર આવશે, પરંતુ થોડા સમય પછી જ્યારે પ્રવાહી પાઇપમાંથી પસાર થાય છે), હિલચાલ કન્વેયર સાથે કાર્ગો (વિલંબ કન્વેયરની લંબાઈ અને બેલ્ટની ઝડપ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે), વગેરે. .d.

ઉદાહરણ તરીકે, ઓપરેટર સમીકરણ

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

પરિણામી અભિવ્યક્તિને સ્થાનાંતરણ કાર્ય કહેવામાં આવે છે.

(2.4)

ટ્રાન્સફર ફંક્શન એ જટિલ ચલનું અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય છે:

જ્યાં B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - અંશ બહુપદી,

A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - છેદ બહુપદી.

(2.4) થી તે અનુસરે છે કે આઉટપુટ સિગ્નલની છબી તરીકે શોધી શકાય છે

Y(s) = W(s)*X(s).

લાક્ષણિક લિંક્સના ઉદાહરણો

સૌથી સરળ લાક્ષણિક લિંક્સમાં શામેલ છે:

· તીવ્ર થવું,

· જડતા (પ્રથમ ક્રમ એપિરીયોડિક),

એકીકરણ (વાસ્તવિક અને આદર્શ),

ભિન્નતા (વાસ્તવિક અને આદર્શ),

· એપિરિયોડિક 2જી ક્રમ,

· ઓસીલેટરી,

· વિલંબિત.

1) રિઇન્ફોર્સિંગ લિંક.

પગલાવાર ક્રિયા સાથે h(t) = K.

2) એકીકરણ.

2.1) આદર્શ સંકલન.

આદર્શ એકીકૃત લિંકનું આઉટપુટ મૂલ્ય ઇનપુટ મૂલ્યના અભિન્નના પ્રમાણસર છે:

; W(s) =

આ લિંક એસ્ટેટિક છે, એટલે કે. સ્થિર સ્થિતિ નથી.

2.2) વાસ્તવિક સંકલન.

આ લિંકના ટ્રાન્સફર ફંક્શનમાં ફોર્મ છે

સંક્રમણ પ્રતિભાવ, આદર્શ કડીથી વિપરીત, એક વળાંક છે (જુઓ. આકૃતિ 1.20):

h(t) = K. (t – T) + K . ટી. e - t / T .

3) તફાવત.

3.1) આદર્શ વિભેદક.

આઉટપુટ જથ્થો ઇનપુટના સમય વ્યુત્પન્નના પ્રમાણસર છે:

સ્ટેપ ઇનપુટ સિગ્નલ સાથે, આઉટપુટ સિગ્નલ એ પલ્સ (ડી-ફંક્શન) છે: h(t) = K. d(t).

3.2) વાસ્તવિક તફાવત.

સંક્રમણ લાક્ષણિકતા: .

4) એપિરિયોડિક (જડતા).

આ લિંક ફોર્મના DE અને PF ને અનુરૂપ છે

; W(s) = .

પગલાની અસરની છબી: X(s) = . પછી આઉટપુટ જથ્થાની છબી છે:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .

ચાલો અપૂર્ણાંકને પ્રાઇમમાં તોડીએ:

= + = = - = -

કોષ્ટક અનુસાર પ્રથમ અપૂર્ણાંકનું મૂળ: L -1 ( ) = 1, બીજું:

પછી આપણે આખરે મેળવીએ છીએ

y(t) = K x 0 (1 - )

સતત T કહેવાય છે સમય સતત.

મોટા ભાગની થર્મલ વસ્તુઓ એપિરીયોડિક લિંક્સ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ઇલેક્ટ્રિક ફર્નેસના ઇનપુટ પર વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું તાપમાન સમાન કાયદા અનુસાર બદલાશે (જુઓ આકૃતિ 1.22).

5) સેકન્ડ ઓર્ડર લિંક્સ

લિંક્સમાં રિમોટ કંટ્રોલ અને ફોર્મનું PF છે

W(s) = .

જ્યારે કંપનવિસ્તાર x 0 સાથેની સ્ટેપ ઇફેક્ટ ઇનપુટ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સંક્રમણ વળાંક બેમાંથી એક પ્રકારનો હશે: એપિરિયોડિક (T 1 ³ 2T 2 પર) અથવા ઓસીલેટરી (T 1 પર)< 2Т 2).

આ સંદર્ભે, બીજા ક્રમની લિંક્સ અલગ પાડવામાં આવે છે:

· એપિરિયોડિક 2જી ક્રમ (T 1 ³ 2T 2),

· જડતા (T 1< 2Т 2),

રૂઢિચુસ્ત (T 1 = 0).

6) વિલંબિત.

લેગિંગ લિંક એ એક લિંક છે જેમાં આઉટપુટ મૂલ્ય y ઇનપુટ મૂલ્ય xને અમુક વિલંબ સાથે બરાબર પુનરાવર્તિત કરે છે:

y(t) = x(t - t).

લિંક ટ્રાન્સફર કાર્ય:

W(s) = e - t s .

જોડાણો લિંક કરો

કારણ કે અભ્યાસ હેઠળનો ઑબ્જેક્ટ, તેના કાર્યના વિશ્લેષણને સરળ બનાવવા માટે, લિંક્સમાં વહેંચાયેલું છે, પછી દરેક લિંક માટે ટ્રાન્સફર ફંક્શન્સ નક્કી કર્યા પછી, તેમને ઑબ્જેક્ટના એક ટ્રાન્સફર ફંક્શનમાં જોડવાનું કાર્ય ઉદ્ભવે છે. ઑબ્જેક્ટના ટ્રાન્સફર ફંક્શનનો પ્રકાર લિંક્સના કનેક્શનના ક્રમ પર આધારિત છે:

1) સીરીયલ કનેક્શન.

W રેવ = W 1. W2. W 3...

જ્યારે લિંક્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોય છે, ત્યારે તેમના સ્થાનાંતરણ કાર્યો ગુણાકાર.

2) સમાંતર જોડાણ.

W રેવ = W 1 + W 2 + W 3 + …

જ્યારે લિંક્સ સમાંતર રીતે જોડાયેલ હોય છે, ત્યારે તેમના સ્થાનાંતરણ કાર્યો ફોલ્ડ અપ.

3) પ્રતિસાદ

સંદર્ભ દ્વારા કાર્ય ટ્રાન્સફર (x):

"+" નકારાત્મક OS ને અનુલક્ષે છે,

"-" - હકારાત્મક.

લિંક્સના વધુ જટિલ જોડાણો સાથે ઑબ્જેક્ટના સ્થાનાંતરણ કાર્યોને નિર્ધારિત કરવા માટે, કાં તો સર્કિટના અનુક્રમિક વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, અથવા તેઓ મેસોન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત થાય છે.

ASR ના સ્થાનાંતરણ કાર્યો

સંશોધન અને ગણતરી માટે, સમકક્ષ રૂપાંતરણો દ્વારા ASR ના માળખાકીય રેખાકૃતિને સૌથી સરળ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ "ઑબ્જેક્ટ - કંટ્રોલર" પર લાવવામાં આવે છે (જુઓ આકૃતિ 1.27). નિયમનકારોની સેટિંગ્સની ગણતરી અને નિર્ધારિત કરવા માટેની લગભગ તમામ ઇજનેરી પદ્ધતિઓ આવા પ્રમાણભૂત માળખા પર લાગુ થાય છે.

સામાન્ય કિસ્સામાં, મુખ્ય પ્રતિસાદ સાથેના કોઈપણ એક-પરિમાણીય ASRને ધીમે ધીમે લિંક્સને વિસ્તૃત કરીને આ ફોર્મમાં લાવી શકાય છે.

જો સિસ્ટમ y નું આઉટપુટ તેના ઇનપુટને આપવામાં આવતું નથી, તો ઓપન-લૂપ કંટ્રોલ સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે, જેનું ટ્રાન્સફર ફંક્શન ઉત્પાદન તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

W ¥ = W p . W y

(W p - નિયમનકારનો PF, W y - નિયંત્રણ ઑબ્જેક્ટનો PF).

ખાતે

એક્સ

આકૃતિ 1.28

એટલે કે, W p અને W y લિંક્સનો ક્રમ W ¥ સાથે એક લિંક દ્વારા બદલી શકાય છે. ક્લોઝ્ડ-લૂપ સિસ્ટમના ટ્રાન્સફર ફંક્શનને સામાન્ય રીતે Ф(ઓ) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. તે W¥ ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે:

આ ટ્રાન્સફર ફંક્શન Фз(s) x પર y ની અવલંબન નક્કી કરે છે અને સંદર્ભ ક્રિયાની ચેનલ સાથે (સંદર્ભ દ્વારા) બંધ-લૂપ સિસ્ટમનું ટ્રાન્સફર ફંક્શન કહેવાય છે.

ASR માટે અન્ય ચેનલો દ્વારા ટ્રાન્સફર કાર્યો પણ છે:

Ф e(s) = = - ભૂલથી,

Ф માં (ઓ) = = - ખલેલ દ્વારા,

જ્યાં ડબલ્યુ (ઓ) - ડિસ્ટર્બન્સ ટ્રાન્સમિશન ચેનલ દ્વારા કંટ્રોલ ઑબ્જેક્ટનું ટ્રાન્સફર ફંક્શન.

વિક્ષેપને ધ્યાનમાં લેવાના સંદર્ભમાં, બે વિકલ્પો શક્ય છે:

વિક્ષેપ નિયંત્રણ ક્રિયા પર વધારાની અસર ધરાવે છે (જુઓ આકૃતિ 1.29a);

વિક્ષેપ નિયંત્રિત પરિમાણના માપને અસર કરે છે (જુઓ આકૃતિ 1.29b).

પ્રથમ વિકલ્પનું ઉદાહરણ ઓબ્જેક્ટના હીટિંગ એલિમેન્ટને નિયમનકાર દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા વોલ્ટેજ પર નેટવર્કમાં વોલ્ટેજની વધઘટનો પ્રભાવ હોઈ શકે છે. બીજા વિકલ્પનું ઉદાહરણ: આસપાસના તાપમાનમાં ફેરફારને કારણે નિયંત્રિત પરિમાણને માપવામાં ભૂલો. ડબલ્યુ યુ.વી. - માપન પર પર્યાવરણના પ્રભાવનું મોડેલ.

આકૃતિ 1.30

પરિમાણો K0 = 1, K1 = 3, K2 = 1.5, K4 = 2, K5 = 0.5.

ASR ના બ્લોક ડાયાગ્રામમાં, કંટ્રોલ ડિવાઇસને અનુરૂપ લિંક્સ કંટ્રોલ ઑબ્જેક્ટની લિંક્સની સામે ઊભી છે અને ઑબ્જેક્ટ u પર નિયંત્રણ ક્રિયા જનરેટ કરે છે. આકૃતિ દર્શાવે છે કે રેગ્યુલેટર સર્કિટમાં લિંક્સ 1, 2 અને 3 અને ઑબ્જેક્ટ સર્કિટમાં લિંક્સ 4 અને 5 શામેલ છે.

લિંક્સ 1, 2 અને 3 સમાંતર રીતે જોડાયેલ છે તે ધ્યાનમાં લેતા, અમે કંટ્રોલરના ટ્રાન્સફર ફંક્શનને લિંક્સના ટ્રાન્સફર ફંક્શનના સરવાળા તરીકે મેળવીએ છીએ:

લિંક્સ 4 અને 5 શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે, તેથી કંટ્રોલ ઑબ્જેક્ટના ટ્રાન્સફર ફંક્શનને લિંક્સના ટ્રાન્સફર ફંક્શનના ઉત્પાદન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

ઓપન-લૂપ ટ્રાન્સફર ફંક્શન:

જેમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે અંશ B(s) = 1.5. s 2 + 3 . s + 1, છેદ (ઓપન-લૂપ સિસ્ટમનું લાક્ષણિક બહુપદી પણ) A(s) = 2. s 3 + 3 . s 2 + s. પછી બંધ સિસ્ટમની લાક્ષણિકતા બહુપદી સમાન છે:

D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1.5. s 2 + 3 . s + 1 = 2. s 3 + 4.5. s 2 + 4 . s+1.

બંધ-લૂપ સિસ્ટમ ટ્રાન્સફર કાર્યો:

સોંપણી પર ,

ભૂલથી .

વિક્ષેપમાંથી સ્થાનાંતરણ કાર્ય નક્કી કરતી વખતે, W a.v. = W ou. પછી

. ¨

ACS પૃથ્થકરણનો અંતિમ ધ્યેય સમગ્ર સિસ્ટમના વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવા (જો શક્ય હોય તો) અથવા અભ્યાસ કરવાનો છે. સામાન્ય રીતે વ્યક્તિગત લિંક્સના સમીકરણો જે ACS બનાવે છે તે જાણીતું હોય છે, અને તેની લિંક્સના જાણીતા DEsમાંથી સિસ્ટમના વિભેદક સમીકરણ મેળવવાનું મધ્યવર્તી કાર્ય ઉદ્ભવે છે. DEs ને રજૂ કરવાના શાસ્ત્રીય સ્વરૂપમાં, આ કાર્ય નોંધપાત્ર મુશ્કેલીઓથી ભરપૂર છે. ટ્રાન્સફર ફંક્શનની વિભાવનાનો ઉપયોગ તેને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે.

અમુક સિસ્ટમને ફોર્મના વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવા દો.

નોટેશન = p રજૂ કરીને, જ્યાં p ને ભિન્નતાનો ઓપરેટર, અથવા પ્રતીક કહેવામાં આવે છે, અને હવે આ પ્રતીકને સામાન્ય બીજગણિત નંબર તરીકે ગણીને, કૌંસની બહાર x અને x લીધા પછી, આપણે આ સિસ્ટમનું વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ. ઓપરેટર સ્વરૂપમાં:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x આઉટ = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3.38)

આઉટપુટ મૂલ્ય પર p માં બહુપદી છે

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

eigenoperator કહેવાય છે, અને ઇનપુટ મૂલ્ય પર બહુપદીને પ્રભાવ ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

ટ્રાન્સફર ફંક્શન એ પ્રભાવ ઓપરેટર અને તેના પોતાના ઓપરેટરનો ગુણોત્તર છે:

W(p) = K(p)/D(p) = x આઉટ / x in. (3.41)

નીચેનામાં, આપણે લગભગ દરેક જગ્યાએ વિભેદક સમીકરણો લખવાના ઓપરેટર સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીશું.

લિંક્સના જોડાણોના પ્રકારો અને ટ્રાન્સફર ફંક્શનના બીજગણિત.

સ્વચાલિત નિયંત્રણ પ્રણાલીના સ્થાનાંતરણ કાર્યને મેળવવા માટે લિંક્સના જૂથોના સ્થાનાંતરણ કાર્યો શોધવા માટેના નિયમોનું જ્ઞાન જરૂરી છે જેમાં લિંક્સ ચોક્કસ રીતે એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોય છે. ત્રણ પ્રકારના જોડાણો છે.

1. અનુક્રમિક, જેમાં પહેલાની લિંકનું આઉટપુટ એ આગલી લિંક માટેનું ઇનપુટ છે (ફિગ. 3.12):

x બહાર

ચોખા. 3.14. બેક-ટુ-બેક - સમાંતર જોડાણ.

ઇનપુટ સિગ્નલ xin માં ફીડબેક સિગ્નલ x ઉમેરવામાં આવે છે અથવા તેમાંથી બાદબાકી કરવામાં આવે છે તેના આધારે, હકારાત્મક અને નકારાત્મક પ્રતિસાદને અલગ પાડવામાં આવે છે.

હજુ પણ ટ્રાન્સફર ફંક્શનની મિલકતના આધારે, અમે લખી શકીએ છીએ

W 1 (p) =x આઉટ /(x in ±x); W 2 (p) = x/x આઉટ; W c =x બહાર /x in. (3.44)

પ્રથમ બે સમીકરણોમાંથી આંતરિક સંકલન x નાબૂદ કરીને, અમે આવા જોડાણ માટે ટ્રાન્સફર ફંક્શન મેળવીએ છીએ:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે છેલ્લા અભિવ્યક્તિમાં વત્તા ચિહ્ન અનુલક્ષે છે નકારાત્મકપ્રતિસાદ

એવા કિસ્સામાં જ્યારે લિંકમાં અનેક ઇનપુટ્સ હોય છે (જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, કંટ્રોલ ઑબ્જેક્ટ), આ લિંકના કેટલાક ટ્રાન્સફર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જે દરેક ઇનપુટને અનુરૂપ હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો લિંક સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)

જ્યાં K x (p) અને K z (p) અનુક્રમે x અને z ઇનપુટ્સ પર પ્રભાવના ઓપરેટર છે, તો આ લિંક x અને z ઇનપુટ્સ પર ટ્રાન્સફર ફંક્શન ધરાવે છે:

W x (p) = K x (p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3.47)

ભવિષ્યમાં, ટ્રાન્સફર ફંક્શન્સ અને અનુરૂપ ઓપરેટરોના અભિવ્યક્તિઓમાં પ્રવેશો ઘટાડવા માટે, અમે "p" દલીલને છોડી દઈશું.

અભિવ્યક્તિઓ (3.46) અને (3.47) ના સંયુક્ત વિચારણાથી તે અનુસરે છે

y = W x x+W z z, (3.48)

એટલે કે, સામાન્ય કિસ્સામાં, ઘણા ઇનપુટ્સ સાથેની કોઈપણ લિંકનું આઉટપુટ મૂલ્ય ઇનપુટ મૂલ્યોના ઉત્પાદનોના સરવાળા અને અનુરૂપ ઇનપુટ્સ માટેના ટ્રાન્સફર ફંક્શન્સ જેટલું હોય છે.

ખલેલ પર આધારિત ACS નું સ્થાનાંતરણ કાર્ય.

ACS બંધારણનું સામાન્ય સ્વરૂપ, જે નિયંત્રિત ચલના વિચલન પર કાર્ય કરે છે, તે નીચે મુજબ છે:

W o z =K z /D ઑબ્જેક્ટ W o x =K x /D

W p y

-x

ફિગ.3.15. બંધ ATS.

ચાલો એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે નિયમનકારી પ્રભાવ બદલાયેલ ચિહ્ન સાથે ઑબ્જેક્ટ પર લાગુ થાય છે. ઑબ્જેક્ટના આઉટપુટ અને રેગ્યુલેટર દ્વારા તેના ઇનપુટ વચ્ચેના જોડાણને મુખ્ય પ્રતિસાદ કહેવામાં આવે છે (નિયંત્રકમાં જ શક્ય વધારાના પ્રતિસાદની વિરુદ્ધ). નિયમનના ખૂબ જ દાર્શનિક અર્થ અનુસાર, નિયમનકારની ક્રિયાનો હેતુ છે વિચલન ઘટાડોનિયંત્રિત ચલ, અને તેથી મુખ્ય પ્રતિસાદ હંમેશા નકારાત્મક હોય છે.ફિગ માં. 3.15:

W o z - ખલેલ દ્વારા ઑબ્જેક્ટનું સ્થાનાંતરણ કાર્ય;

W o x - નિયમનકારી પ્રભાવ અનુસાર ઑબ્જેક્ટનું સ્થાનાંતરણ કાર્ય;

W p y - વિચલન y અનુસાર નિયંત્રકનું સ્થાનાંતરણ કાર્ય.

છોડ અને નિયંત્રકના વિભેદક સમીકરણો આના જેવા દેખાય છે:

y=W o x x +W o z z

x = - W p y y. (3.49)

બીજા સમીકરણમાંથી x ને પ્રથમમાં બદલીને અને જૂથબદ્ધ કરીને, અમે ATS સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)

આથી વિક્ષેપ માટે ACS નું સ્થાનાંતરણ કાર્ય

W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p y) . (3.51)

એ જ રીતે, તમે નિયંત્રણ ક્રિયા માટે ACS નું ટ્રાન્સફર ફંક્શન મેળવી શકો છો:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y), (3.52)

જ્યાં W p u એ કંટ્રોલ એક્શન અનુસાર કંટ્રોલરનું ટ્રાન્સફર ફંક્શન છે.

3.4 ફોર્સ્ડ ઓસિલેશન્સ અને ACS ની આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ.

વાસ્તવિક ઓપરેટિંગ પરિસ્થિતિઓમાં, ACS વારંવાર સામયિક ખલેલ પહોંચાડતી દળોના સંપર્કમાં આવે છે, જે નિયંત્રિત જથ્થામાં સમયાંતરે ફેરફારો અને નિયમનકારી પ્રભાવો સાથે હોય છે. આ, ઉદાહરણ તરીકે, ખરબચડી દરિયામાં સફર કરતી વખતે વહાણના સ્પંદનો, પ્રોપેલરના પરિભ્રમણની ગતિમાં વધઘટ અને અન્ય જથ્થાઓ છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, સિસ્ટમના આઉટપુટ જથ્થાના ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર અસ્વીકાર્ય રીતે મોટા મૂલ્યો સુધી પહોંચી શકે છે, અને આ રેઝોનન્સની ઘટનાને અનુરૂપ છે. પ્રતિધ્વનિના પરિણામો ઘણીવાર તેનો અનુભવ કરતી સિસ્ટમ માટે વિનાશક હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, વહાણને કેપ્સાઇઝ કરવું, એન્જિનનો નાશ કરવો. નિયંત્રણ પ્રણાલીઓમાં, આવી ઘટના શક્ય છે જ્યારે વસ્ત્રો, બદલી, પુનઃરૂપરેખાંકન અથવા નિષ્ફળતાને કારણે તત્વોના ગુણધર્મો બદલાય છે. પછી ક્યાં તો ઓપરેટિંગ શરતોની સલામત શ્રેણીઓ નક્કી કરવાની અથવા ATSને યોગ્ય રીતે ગોઠવવાની જરૂર છે. આ મુદ્દાઓ અહીં ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે કારણ કે તે રેખીય સિસ્ટમો પર લાગુ થાય છે.

કેટલીક સિસ્ટમમાં નીચે દર્શાવેલ માળખું હોવા દો:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

ફિગ.3.16. ફરજિયાત ઓસિલેશન મોડમાં ACS.

જો સિસ્ટમ કંપનવિસ્તાર A x અને પરિપત્ર આવર્તન w સાથે સામયિક પ્રભાવને આધીન હોય, તો પછી સંક્રમણ પ્રક્રિયાના અંત પછી, કંપનવિસ્તાર A y સાથે સમાન આવર્તનના ઓસિલેશન અને તબક્કા કોણ j દ્વારા ઇનપુટ ઓસિલેશનની તુલનામાં સ્થાનાંતરિત થશે. આઉટપુટ પર સ્થાપિત થશે. આઉટપુટ ઓસિલેશન પેરામીટર્સ (કંપનવિસ્તાર અને તબક્કો શિફ્ટ) ડ્રાઇવિંગ ફોર્સની આવર્તન પર આધારિત છે. કાર્ય એ ઇનપુટ પર ઓસિલેશનના જાણીતા પરિમાણોમાંથી આઉટપુટ ઓસિલેશનના પરિમાણો નક્કી કરવાનું છે.

ફિગ. 3.14 માં બતાવેલ ACS ટ્રાન્સફર ફંક્શન અનુસાર, તેના વિભેદક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

ચાલો ફિગમાં બતાવેલ x અને y ના સમીકરણોને (3.53) માં બદલીએ. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

જો આપણે સમયગાળાના એક ક્વાર્ટર દ્વારા સ્થાનાંતરિત ઓસિલેશન પેટર્નને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પછી સમીકરણ (3.54) માં સાઈન ફંક્શન્સ કોસાઈન ફંક્શન દ્વારા બદલવામાં આવશે:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

ચાલો સમીકરણ (3.54) ને i = વડે ગુણાકાર કરીએ અને પરિણામ (3.55) સાથે ઉમેરીએ:

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0) A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

ચાલો સમીકરણ (3.56) ને ફોર્મમાં ઘટાડીએ

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0) A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

ચાલો ઓપરેટર p=d/dt દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલ સમયના સંદર્ભમાં ભિન્નતાની કામગીરી કરીએ:

A y exp =

A x exp(iwt). (3.58)

exp(iwt) દ્વારા ઘટાડાને લગતા સરળ પરિવર્તનો પછી, અમે મેળવીએ છીએ

અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુ (3.59) ACS ટ્રાન્સફર ફંક્શનની અભિવ્યક્તિ જેવી જ છે અને p=iw ને બદલીને તેમાંથી મેળવી શકાય છે. સાદ્રશ્ય દ્વારા, તેને જટિલ ટ્રાન્સફર ફંક્શન W(iw), અથવા કંપનવિસ્તાર-તબક્કા લાક્ષણિકતા (APC) કહેવામાં આવે છે. આવર્તન પ્રતિભાવ શબ્દનો પણ વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. તે સ્પષ્ટ છે કે આ અપૂર્ણાંક એક જટિલ દલીલનું કાર્ય છે અને તેને આ સ્વરૂપમાં પણ રજૂ કરી શકાય છે:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3.60)

જ્યાં M(w) અને N(w) અનુક્રમે વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ છે.

ગુણોત્તર A y / A x એ AFC મોડ્યુલસ છે અને આવર્તનનું કાર્ય છે:

A y / A x = R (w)

અને તેને કંપનવિસ્તાર-આવર્તન પ્રતિભાવ (AFC) કહેવામાં આવે છે. તબક્કો

શિફ્ટ j =j (w) પણ આવર્તનનું કાર્ય છે અને તેને ફેઝ ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સ (PFC) કહેવામાં આવે છે. ફ્રીક્વન્સી રેન્જ (0…¥) માટે R(w) અને j(w) ની ગણતરી કરીને, M(w) અને iN(w) (ફિગ. 3.17) કોઓર્ડિનેટ્સમાં જટિલ પ્લેન પર AFC ગ્રાફ બનાવવો શક્ય છે.

આર(ω)

ω સીપી

ω રહે

ફિગ.3.18. કંપનવિસ્તાર-આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ.

સિસ્ટમ 1 ની ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સ ફોર્સ્ડ ઓસિલેશનના સૌથી મોટા કંપનવિસ્તારને અનુરૂપ રેઝોનન્ટ પીક બતાવે છે. રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સીની નજીકના વિસ્તારમાં કામ વિનાશક બની શકે છે અને ચોક્કસ નિયમન કરેલ ઑબ્જેક્ટના ઑપરેટિંગ નિયમો દ્વારા ઘણીવાર સંપૂર્ણપણે અસ્વીકાર્ય છે. ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સ ટાઈપ 2 માં રેઝોનન્ટ પીક નથી અને તે યાંત્રિક સિસ્ટમો માટે વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ છે. તે પણ જોઈ શકાય છે કે જેમ જેમ આવર્તન વધે છે તેમ, આઉટપુટ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટતું જાય છે. ભૌતિક રીતે, આ સરળતાથી સમજાવી શકાય છે: કોઈપણ સિસ્ટમ, તેના આંતરિક જડતા ગુણધર્મોને લીધે, ઉચ્ચ ફ્રીક્વન્સીઝ કરતાં ઓછી ફ્રીક્વન્સીઝ દ્વારા વધુ સરળતાથી ઝૂલતી હોય છે. ચોક્કસ આવર્તનથી શરૂ થતાં, આઉટપુટ ઓસિલેશન નજીવું બની જાય છે, અને આ આવર્તનને કટઓફ આવર્તન કહેવામાં આવે છે, અને કટઓફ આવર્તનથી નીચેની ફ્રીક્વન્સીની શ્રેણીને બેન્ડવિડ્થ કહેવામાં આવે છે. સ્વયંસંચાલિત નિયંત્રણના સિદ્ધાંતમાં, કટઓફ આવર્તન એક માનવામાં આવે છે કે જેના પર આવર્તન પ્રતિભાવ મૂલ્ય શૂન્ય આવર્તન કરતાં 10 ગણું ઓછું હોય છે. ઉચ્ચ-આવર્તન સ્પંદનોને ભીના કરવા માટેની સિસ્ટમની મિલકતને લો-પાસ ફિલ્ટરની મિલકત કહેવામાં આવે છે.

ચાલો બીજા-ક્રમની લિંકના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આવર્તન પ્રતિભાવની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ, જેનું વિભેદક સમીકરણ

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)

દબાણયુક્ત ઓસિલેશન સમસ્યાઓમાં, સમીકરણના વધુ દ્રશ્ય સ્વરૂપનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

જ્યાં ભીનાશની ગેરહાજરીમાં ઓસિલેશનની કુદરતી આવર્તન કહેવાય છે, x =T 1 w 0 /2 એ ભીનાશ ગુણાંક છે.

ટ્રાન્સફર કાર્ય આના જેવો દેખાય છે:

p = iw ને બદલીને આપણે કંપનવિસ્તાર-તબક્કાની લાક્ષણિકતા મેળવીએ છીએ

જટિલ સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, અમે આવર્તન પ્રતિભાવ માટે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

ચાલો રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી નક્કી કરીએ કે જેના પર ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સ મહત્તમ હોય. આ અભિવ્યક્તિના લઘુત્તમ છેદ (3.66) ને અનુરૂપ છે. આવર્તન w થી શૂન્યના સંદર્ભમાં છેદના વ્યુત્પન્નની સમાનતા, અમારી પાસે છે:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

જ્યાંથી આપણે રેઝોનન્ટ આવર્તનનું મૂલ્ય મેળવીએ છીએ, જે શૂન્યની બરાબર નથી:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

ચાલો આ અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરીએ, જેના માટે આપણે એટેન્યુએશન ગુણાંકના વિવિધ મૂલ્યોને અનુરૂપ વ્યક્તિગત કેસોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

1. x = 0. રેઝોનન્ટ આવર્તન કુદરતી આવર્તન સમાન છે, અને આવર્તન પ્રતિભાવની તીવ્રતા અનંતમાં ફેરવાય છે. આ કહેવાતા ગાણિતિક પડઘોનો કેસ છે.

2. આવર્તન સકારાત્મક સંખ્યા તરીકે દર્શાવવામાં આવી હોવાથી, અને (68) થી આ કિસ્સામાં શૂન્ય અથવા કાલ્પનિક સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે, તે અનુસરે છે કે એટેન્યુએશન ગુણાંકના આવા મૂલ્યો પર આવર્તન પ્રતિભાવમાં રેઝોનન્ટ પીક (વળાંક) નથી ફિગમાં 2. 3.18).

3. ફ્રિક્વન્સી રિસ્પોન્સમાં રેઝોનન્ટ પીક હોય છે, અને એટેન્યુએશન ગુણાંકમાં ઘટાડા સાથે, રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી તેની પોતાની નજીક આવે છે અને રેઝોનન્ટ પીક વધારે અને તીક્ષ્ણ બને છે.

અમે ધારીશું કે ACS માં થતી પ્રક્રિયાઓ સતત ગુણાંક સાથે રેખીય વિભેદક સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવી છે. આમ, અમે સતત પરિમાણો સાથે રેખીય ACS ને ધ્યાનમાં લેવા માટે પોતાને મર્યાદિત કરીશું, એટલે કે. પરિમાણો કે જે સમય અથવા સિસ્ટમની સ્થિતિ પર આધાર રાખતા નથી.

ગતિશીલ સિસ્ટમ માટે ચાલો (આકૃતિ જુઓ)

વિભેદક સમીકરણ ઓપરેટર સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે

જ્યાં D(P) અને M(P) P માં બહુપદી છે.

પી - ભિન્નતા ઓપરેટર;

x(t) - સિસ્ટમનું આઉટપુટ કોઓર્ડિનેટ;

g(t) - ઇનપુટ પ્રભાવ.

ચાલો શૂન્ય પ્રારંભિક સ્થિતિ ધારીને, લેપ્લેસ અનુસાર (1) રૂપાંતર કરીએ.

ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ

;
,

તે ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ

અમે નોટેશનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

, (5)

પછી સમીકરણ (3) ફોર્મ લેશે:

. (6)

સમીકરણ (6) સિસ્ટમના આઉટપુટ કોઓર્ડિનેટની ઇમેજ X (S) ને ઇનપુટ ક્રિયાની ઇમેજ G(S) સાથે જોડે છે. કાર્ય Ф(S)સિસ્ટમના ગતિશીલ ગુણધર્મોને દર્શાવે છે. (4) અને (5) માંથી નીચે મુજબ, આ કાર્ય સિસ્ટમ પર લાગુ અસર પર આધારિત નથી, પરંતુ માત્ર સિસ્ટમના પરિમાણો પર આધારિત છે. (6) કાર્યને ધ્યાનમાં લેવું F(એસ) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય

કાર્ય Ф(S)સિસ્ટમનું ટ્રાન્સફર ફંક્શન કહેવાય છે. (7) પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે ટ્રાન્સફર ફંક્શન એ સિસ્ટમના ઇનપુટ કોઓર્ડિનેટની લેપ્લેસ ઇમેજ અને શૂન્ય પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ હેઠળ ઇનપુટ ક્રિયાની લેપ્લેસ ઇમેજનો ગુણોત્તર છે.

સિસ્ટમના સ્થાનાંતરણ કાર્યને જાણવું Ф(S)સિસ્ટમ પર લાગુ g(t) પ્રભાવની ઇમેજ G(S) નક્કી કર્યા પછી, તમે સિસ્ટમ x (t) ના આઉટપુટ કોઓર્ડિનેટની (6) ઇમેજ X(S) દ્વારા શોધી શકો છો, પછીથી, જ્યારે આ સિસ્ટમ પર ઇનપુટ પ્રભાવ લાગુ થાય છે ત્યારે ઇમેજ X(S) થી મૂળ x(t) સિસ્ટમના આઉટપુટ કોઓર્ડિનેટને બદલવાની પ્રક્રિયા મેળવે છે.

ટ્રાન્સફર ફંક્શનના છેદમાં બહુપદીને લાક્ષણિક બહુપદી કહેવાય છે અને સમીકરણ

લાક્ષણિક સમીકરણ.

nth-ક્રમ સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ સિસ્ટમ માટે, લાક્ષણિક સમીકરણ એ nth ડિગ્રીનું બીજગણિતીય સમીકરણ છે અને તે n મૂળ ધરાવે છે, S 1 S 2 ... S n , જેમાંથી વાસ્તવિક અને જટિલ સંયોજન બંને હોઈ શકે છે.

ટ્રાન્સફર ફંક્શનના છેદમાં બહુપદીના મૂળને આ ટ્રાન્સફર ફંક્શનના ધ્રુવો કહેવામાં આવે છે, અને અંશમાં - શૂન્ય.

ચાલો ફોર્મમાં બહુપદીનું પ્રતિનિધિત્વ કરીએ:

તેથી ટ્રાન્સફર કાર્ય

. (11)

તે અનુસરે છે કે શૂન્ય અને ધ્રુવોનો ઉલ્લેખ કરવાથી સ્થિર પરિબળ સુધી ટ્રાન્સફર કાર્ય નક્કી થાય છે .

કિસ્સામાં જ્યારે ટ્રાન્સફર ફંક્શનના તમામ ધ્રુવોના વાસ્તવિક ભાગો નકારાત્મક હોય છે, એટલે કે.

, k=1,2…n, સિસ્ટમને સ્થિર કહેવામાં આવે છે. તેમાં, આઉટપુટ જથ્થા (યોગ્ય ગતિ) ના સંક્રમણ ઘટક સમય જતાં ઝાંખા પડી જાય છે.

સિસ્ટમ આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ

રેખીય સિસ્ટમ દ્વારા હાર્મોનિક ઇનપુટ સિગ્નલનું રૂપાંતર

નિયંત્રણ ક્રિયા g(t) ના સંદર્ભમાં સ્વચાલિત સિસ્ટમનું સ્થાનાંતરણ કાર્ય છે

(1)

અસર થવા દો

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

અને સ્થિર પ્રક્રિયામાં X(t) માં પરિવર્તન નક્કી કરવું જરૂરી છે, એટલે કે. અગાઉ ચર્ચા કરેલ સમીકરણ (1) નો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો.

નોંધ કરો કે પ્રભાવના ઉપયોગના પરિણામે, સિસ્ટમમાં ક્ષણિક પ્રક્રિયા થાય છે, જે સમય જતાં 0 તરફ વળે છે, કારણ કે સિસ્ટમ સ્થિર હોવાનું માનવામાં આવે છે. અમે તેને ધ્યાનમાં લેતા નથી. આવા સંક્રમણ અમને સમગ્ર સમય ધરી પર નિર્દિષ્ટ કરેલ ક્રિયા g(t) ને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે (સિસ્ટમ પર નિયંત્રણ ક્રિયા લાગુ કરવાની પ્રારંભિક ક્ષણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી) અને સાઇનસૉઇડની વર્ણપટ લાક્ષણિકતા માટે અગાઉ મેળવેલ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. .

સ્થિર સ્થિતિમાં x(t) નક્કી કરવા માટે, અમે ફ્યુરિયર અનુસાર વિભેદક સમીકરણ (1) ની બંને બાજુઓને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. આ દ્વારા અમારો અર્થ છે

;

તેની નોંધ લો

ટ્રાન્સફર ફંક્શન જેમાં S

ઉપરાંત

પછી અંકુશિત જથ્થાના દબાણયુક્ત ઓસિલેશનની સ્પેક્ટ્રલ લાક્ષણિકતા ફોર્મમાં (3) થી નક્કી કરવામાં આવે છે.

(4) કાર્યાત્મક ગુણકમાં Ф(jω)જ્યારે પ્રભાવ g(t) રેખીય ગતિશીલ સિસ્ટમમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે વર્ણપટની લાક્ષણિકતામાં ફેરફારને ધ્યાનમાં લે છે.

ચાલો એક જટિલ કાર્યની કલ્પના કરીએ Ф(jω)નિદર્શન સ્વરૂપમાં

અને ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને x(t) શોધો:

ડેલ્ટા ફંક્શનના ફિલ્ટરિંગ પ્રોપર્ટીઝનો ઉપયોગ કરીને અને (5)ને ધ્યાનમાં લેતા, આપણી પાસે હશે

કારણ કે
,,

(6)

તે અનુસરે છે કે સ્થિર સ્થિતિમાં રેખીય સ્વચાલિત સિસ્ટમનો સાઇનસૉઇડલ પ્રભાવો માટે પ્રતિભાવ x(t) પણ એક સાઇનસૉઇડ છે. ઇનપુટ અને આઉટપુટ સિગ્નલોની કોણીય આવર્તન સમાન છે. સિસ્ટમ આઉટપુટ પર કંપનવિસ્તાર A 1 │ છે Ф(jω)│, અને પ્રારંભિક તબક્કો arg છે Ф(jω).

જો રેખીય સિસ્ટમના ઇનપુટ ફોર્મમાં સામયિક પ્રભાવ મેળવે છે

પછી, સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, જે રેખીય સિસ્ટમ માટે માન્ય છે, અમે શોધીએ છીએ કે આ કિસ્સામાં સિસ્ટમની ફરજિયાત સ્થિર ગતિ

(7)

તદુપરાંત, અહીં ω ની કિંમતને અલગ મૂલ્યો આપવી જોઈએ, એટલે કે. ધારો ω=kω 1

ઇનપુટ સિગ્નલના ફ્રીક્વન્સી સ્પેક્ટ્રાને જાણીને, તમે સિસ્ટમ ઇનપુટ પર સિગ્નલની ફ્રીક્વન્સી સ્પેક્ટ્રા સરળતાથી નક્કી કરી શકો છો. જો, ઉદાહરણ તરીકે, ઇનપુટ સિગ્નલ g(t) નું કંપનવિસ્તાર આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ A k જાણીતું છે, તો આઉટપુટ સિગ્નલનું કંપનવિસ્તાર આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ A k │ છે. Ф(jkω 1 ) │.

વિચારણા હેઠળના અભિવ્યક્તિઓમાં, કાર્ય Ф(jω)સ્વયંસંચાલિત સિસ્ટમના જ ગતિશીલ ગુણધર્મોને લાક્ષણિકતા આપે છે અને તે સિસ્ટમ પર લાગુ થતા પ્રભાવોની પ્રકૃતિ પર આધારિત નથી. તે ઔપચારિક રીતે S ને jω સાથે બદલીને ટ્રાન્સફર ફંક્શનમાંથી સરળતાથી મેળવી શકાય છે

કાર્ય Ф(jω)સતત દલીલથી ω એ સિસ્ટમ પર લાગુ નિયંત્રણ ક્રિયા g(t) ના સંબંધમાં AFC સિસ્ટમની કંપનવિસ્તાર-તબક્કો લાક્ષણિકતા કહેવાય છે.

(3) ના આધારે, એએફસીને તેના ઇનપુટ પર સિગ્નલની સ્પેક્ટ્રલ લાક્ષણિકતાઓના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. AF મોડ્યુલ  Ф(જે )  હાર્મોનિક સિગ્નલના કંપનવિસ્તારમાં ફેરફારને લાક્ષણિકતા આપે છે કારણ કે તે સિસ્ટમમાંથી પસાર થાય છે, અને તેની દલીલ એ સિગ્નલની ફેઝ શિફ્ટ છે.

કાર્ય  Ф(જે )  એમ્પ્લિટ્યુડ-ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સ (AFC) નામ અને ફંક્શન આર્ગ પ્રાપ્ત કર્યું Ф(જે ) - ફેઝ-ફ્રિકવન્સી રિસ્પોન્સ (PFC).

આપોઆપ સિસ્ટમ પર લાગુ g(t) પ્રભાવને આવર્તન  1 સાથે જટિલ હાર્મોનિક બનવા દો, એટલે કે.

સ્થિર સ્થિતિમાં આવી અસર માટે સિસ્ટમની પ્રતિક્રિયા સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

અથવા યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને

અને તે પણ

;

આપણે ડેલ્ટા ફંક્શનના ફિલ્ટરિંગ પ્રોપર્ટીઝનો ઉપયોગ કરીને સમાનતાની જમણી બાજુએ ઇન્ટિગ્રલ શોધીશું.

આવર્તન સાથે જટિલ હાર્મોનિકના સ્વરૂપમાં પ્રભાવિત કરવા માટે સિસ્ટમના સ્થિર-સ્થિતિ પ્રતિભાવને જટિલ સ્વરૂપમાં નિર્ધારિત કરે છે 1.

AFC નો ઉપયોગ માત્ર સ્વચાલિત સિસ્ટમના આઉટપુટ પર સ્થિર-સ્થિતિના ઓસિલેશનનું વિશ્લેષણ કરવા માટે જ નહીં, પણ સમગ્ર રીતે નિયંત્રણ પ્રક્રિયાને નિર્ધારિત કરવા માટે પણ થઈ શકે છે. પછીના કિસ્સામાં, કંટ્રોલ સિસ્ટમમાં અરજીના સમય t 0 ની ક્ષણને સમયની શૂન્ય ક્ષણ તરીકે ધ્યાનમાં લેવી અને એકતરફી ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. વર્ણપટની લાક્ષણિકતા નક્કી કર્યા પછી
અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નિયંત્રિત ચલની સ્પેક્ટ્રલ લાક્ષણિકતા શોધવી

પ્રભાવ g(t) લાગુ કર્યા પછી નિયંત્રિત ચલ x(t) માં ફેરફાર ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.