નવા પાયામાં સંક્રમણ. લઘુગણક સૂત્રો

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા રશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશમાં સરકારી સત્તાવાળાઓની જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા માટે. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

આજે આપણે તેના વિશે વાત કરીશું લઘુગણક સૂત્રોઅને અમે સૂચક આપીશું ઉકેલ ઉદાહરણો.

તેઓ પોતે લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો અનુસાર સોલ્યુશન પેટર્ન સૂચવે છે. હલ કરવા માટે લઘુગણક સૂત્રો લાગુ કરતાં પહેલાં, ચાલો તમને તમામ ગુણધર્મોની યાદ અપાવીએ:

હવે, આ સૂત્રો (ગુણધર્મો) ના આધારે, આપણે બતાવીશું લઘુગણક ઉકેલવાના ઉદાહરણો.

સૂત્રોના આધારે લઘુગણક ઉકેલવાના ઉદાહરણો.

લઘુગણકબેઝ a માટે ધન સંખ્યા b (લોગ a b દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે) એ ઘાતાંક છે કે જેના પર b > 0, a > 0, અને 1 સાથે b મેળવવા માટે aને ઉભો કરવો આવશ્યક છે.

વ્યાખ્યા મુજબ, લોગ a b = x, જે a x = b ની સમકક્ષ છે, તેથી લોગ a a x = x.

લઘુગણક, ઉદાહરણો:

લોગ 2 8 = 3, કારણ કે 2 3 = 8

લોગ 7 49 = 2, કારણ કે 7 2 = 49

લોગ 5 1/5 = -1, કારણ કે 5 -1 = 1/5

દશાંશ લઘુગણક- આ એક સામાન્ય લઘુગણક છે, જેનો આધાર 10 છે. તે lg તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

લોગ 10 100 = 2, કારણ કે 10 2 = 100

કુદરતી લઘુગણક- એક સામાન્ય લઘુગણક, લઘુગણક પણ, પરંતુ આધાર e સાથે (e = 2.71828... - એક અતાર્કિક સંખ્યા). ln તરીકે સૂચિત.

લઘુગણકના સૂત્રો અથવા ગુણધર્મોને યાદ રાખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, કારણ કે લઘુગણક, લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે આપણને તેની પાછળથી જરૂર પડશે. ચાલો દરેક ફોર્મ્યુલા પર ફરીથી ઉદાહરણો સાથે કામ કરીએ.

• મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• ઉત્પાદનનો લઘુગણક લઘુગણકના સરવાળા સમાન છે
  log a (bc) = log a b + log a c

  લોગ 3 8.1 + લોગ 3 10 = લોગ 3 (8.1*10) = લોગ 3 81 = 4

• ગુણાંકનો લઘુગણક લઘુગણકના તફાવત જેટલો છે
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 લોગ 5 50 /9 લોગ 5 2 = 9 લોગ 5 50- લોગ 5 2 = 9 લોગ 5 25 = 9 2 = 81

• લઘુગણક સંખ્યાની શક્તિ અને લઘુગણકના આધારના ગુણધર્મો

  લઘુગણક સંખ્યાના ઘાતાંક લોગ a b m = mlog a b

  લોગરીધમના આધારનો ઘાતાંક લોગ a n b =1/n*log a b

  લોગ a n b m = m/n * લોગ a b,

  જો m = n, તો આપણને log a n b n = log a b મળે છે

  લોગ 4 9 = લોગ 2 2 3 2 = લોગ 2 3

• નવા પાયામાં સંક્રમણ
  લોગ એ બી = લોગ સી બી/ લોગ સી એ,

  જો c = b, તો આપણને log b b = 1 મળે છે

  પછી લોગ a b = 1/ log b a

  લોગ 0.8 3*લોગ 3 1.25 = લોગ 0.8 3*લોગ 0.8 1.25/લોગ 0.8 3 = લોગ 0.8 1.25 = લોગ 4/5 5/4 = -1

જેમ તમે જોઈ શકો છો, લઘુગણક માટેના સૂત્રો લાગે છે એટલા જટિલ નથી. હવે, લઘુગણક ઉકેલવાના ઉદાહરણો જોઈને, આપણે લઘુગણક સમીકરણો તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ. અમે લેખમાં વધુ વિગતમાં લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો જોઈશું: "". તેને ચૂકશો નહીં!

જો તમને હજી પણ ઉકેલ વિશે પ્રશ્નો હોય, તો તેમને લેખની ટિપ્પણીઓમાં લખો.

નોંધ: અમે એક અલગ વર્ગનું શિક્ષણ મેળવવાનું અને એક વિકલ્પ તરીકે વિદેશમાં અભ્યાસ કરવાનું નક્કી કર્યું.

જેમ જેમ સમાજનો વિકાસ થયો અને ઉત્પાદન વધુ જટિલ બન્યું તેમ ગણિતનો પણ વિકાસ થયો. સરળથી જટિલ તરફ ચળવળ. સરવાળા અને બાદબાકીની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય હિસાબથી, તેમના પુનરાવર્તિત પુનરાવર્તન સાથે, અમે ગુણાકાર અને ભાગાકારની વિભાવના પર આવ્યા. ગુણાકારની પુનરાવર્તિત ક્રિયાને ઘટાડવી એ ઘાતાંકનો ખ્યાલ બની ગયો. આધાર પર સંખ્યાઓની નિર્ભરતા અને ઘાતાંકની સંખ્યાના પ્રથમ કોષ્ટકો 8મી સદીમાં ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી વારસેના દ્વારા પાછા સંકલિત કરવામાં આવ્યા હતા. તેમાંથી તમે લઘુગણકની ઘટનાનો સમય ગણી શકો છો.

ઐતિહાસિક સ્કેચ

16મી સદીમાં યુરોપના પુનરુત્થાનથી પણ મિકેનિક્સનો વિકાસ થયો. ટી મોટી માત્રામાં ગણતરીની જરૂર છેબહુ-અંકની સંખ્યાઓના ગુણાકાર અને ભાગાકાર સાથે સંબંધિત. પ્રાચીન કોષ્ટકો મહાન સેવાના હતા. તેઓએ જટિલ કામગીરીને સરળ સાથે બદલવાનું શક્ય બનાવ્યું - ઉમેરા અને બાદબાકી. એક મોટું પગલું ગણિતશાસ્ત્રી માઈકલ સ્ટીફેલનું કાર્ય હતું, જે 1544 માં પ્રકાશિત થયું હતું, જેમાં તેણે ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓના વિચારને સાકાર કર્યો હતો. આનાથી માત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સ્વરૂપમાં શક્તિઓ માટે જ નહીં, પણ મનસ્વી તર્કસંગત રાશિઓ માટે પણ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરવાનું શક્ય બન્યું.

1614 માં, સ્કોટ્સમેન જ્હોન નેપિયરે, આ વિચારો વિકસાવતા, સૌપ્રથમ નવો શબ્દ "સંખ્યાનો લઘુગણક" રજૂ કર્યો. સાઈન અને કોસાઈન્સ તેમજ સ્પર્શકોના લઘુગણકની ગણતરી માટે નવા જટિલ કોષ્ટકોનું સંકલન કરવામાં આવ્યું હતું. આનાથી ખગોળશાસ્ત્રીઓના કામમાં ઘણો ઘટાડો થયો.

નવા કોષ્ટકો દેખાવા લાગ્યા, જેનો વૈજ્ઞાનિકો ત્રણ સદીઓથી સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ કરતા હતા. બીજગણિતમાં નવા ઓપરેશને તેનું ફિનિશ્ડ સ્વરૂપ મેળવ્યું તે પહેલાં ઘણો સમય વીતી ગયો. લઘુગણકની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી હતી અને તેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

માત્ર 20મી સદીમાં, કેલ્ક્યુલેટર અને કોમ્પ્યુટરના આગમન સાથે, માનવતાએ 13મી સદી દરમિયાન સફળતાપૂર્વક કામ કરતા પ્રાચીન કોષ્ટકોનો ત્યાગ કર્યો.

આજે આપણે b ના લઘુગણકને a સંખ્યા xનો આધાર ગણીએ છીએ જે b બનાવવા માટે a ની શક્તિ છે. આ એક સૂત્ર તરીકે લખાયેલ છે: x = log a(b).

ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 3(9) 2 ની બરાબર હશે. જો તમે વ્યાખ્યાને અનુસરો છો તો આ સ્પષ્ટ છે. જો આપણે 3 ને 2 ની ઘાતમાં વધારીએ, તો આપણને 9 મળશે.

આમ, ઘડવામાં આવેલી વ્યાખ્યા માત્ર એક જ પ્રતિબંધ સેટ કરે છે: સંખ્યાઓ a અને b વાસ્તવિક હોવી જોઈએ.

લઘુગણકના પ્રકાર

ક્લાસિક વ્યાખ્યાને વાસ્તવિક લઘુગણક કહેવામાં આવે છે અને વાસ્તવમાં એ x = b સમીકરણનો ઉકેલ છે. વિકલ્પ a = 1 એ સીમારેખા છે અને તેમાં રસ નથી. ધ્યાન આપો: 1 ની કોઈપણ શક્તિ 1 ની બરાબર છે.

લઘુગણકનું વાસ્તવિક મૂલ્યજ્યારે આધાર અને દલીલ 0 કરતા વધારે હોય ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને આધાર 1 ની બરાબર ન હોવો જોઈએ.

ગણિતના ક્ષેત્રમાં વિશેષ સ્થાનલોગરીધમ વગાડો, જેનું નામ તેમના આધારના કદના આધારે રાખવામાં આવશે:

નિયમો અને પ્રતિબંધો

લઘુગણકનો મૂળભૂત ગુણધર્મ એ નિયમ છે: ઉત્પાદનનો લઘુગણક લઘુગણક સરવાળો સમાન છે. લોગ એબીપી = લોગ એ(બી) + લોગ એ(પી).

આ વિધાનના વેરિઅન્ટ તરીકે તે હશે: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), અવશેષ ફંક્શન ફંક્શનના તફાવતની બરાબર છે.

અગાઉના બે નિયમો પરથી તે જોવાનું સરળ છે કે: log a(b p) = p * log a(b).

અન્ય ગુણધર્મોમાં શામેલ છે:

ટિપ્પણી. સામાન્ય ભૂલ કરવાની જરૂર નથી - સરવાળોનો લઘુગણક લઘુગણકના સરવાળા જેટલો નથી.

ઘણી સદીઓથી, લઘુગણક શોધવાનું કાર્ય એક જગ્યાએ સમય માંગી લેતું કાર્ય હતું. ગણિતશાસ્ત્રીઓએ બહુપદી વિસ્તરણના લઘુગણક સિદ્ધાંતના જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), જ્યાં n એ 1 કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યા છે, જે ગણતરીની ચોકસાઈ નક્કી કરે છે.

અન્ય પાયા સાથેના લઘુગણકની ગણતરી એક આધારથી બીજામાં સંક્રમણ અને ઉત્પાદનના લઘુગણકની મિલકત વિશેના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવી હતી.

કારણ કે આ પદ્ધતિ ખૂબ જ શ્રમ-સઘન છે અને વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતેઅમલમાં મૂકવું મુશ્કેલ છે, અમે લોગરીધમ્સના પૂર્વ-સંકલિત કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કર્યો, જેણે તમામ કાર્યને નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી બનાવ્યું.

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, લોગરીધમ્સના ખાસ સંકલિત ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, જેણે ઓછી સચોટતા આપી હતી, પરંતુ ઇચ્છિત મૂલ્યની શોધને નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી બનાવી હતી. ફંક્શન y = log a(x) નો વળાંક, ઘણા બધા બિંદુઓ પર બનેલ છે, જે તમને અન્ય કોઈપણ બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમત શોધવા માટે નિયમિત શાસકનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. લાંબા સમય સુધી, ઇજનેરો આ હેતુઓ માટે કહેવાતા ગ્રાફ પેપરનો ઉપયોગ કરતા હતા.

17મી સદીમાં, પ્રથમ સહાયક એનાલોગ કમ્પ્યુટિંગ શરતો દેખાઈ, જેણે 19મી સદી સુધીમાં સંપૂર્ણ સ્વરૂપ પ્રાપ્ત કર્યું. સૌથી સફળ ઉપકરણને સ્લાઇડ નિયમ કહેવામાં આવતું હતું. ઉપકરણની સરળતા હોવા છતાં, તેના દેખાવે તમામ એન્જિનિયરિંગ ગણતરીઓની પ્રક્રિયાને નોંધપાત્ર રીતે વેગ આપ્યો, અને આને વધુ પડતો અંદાજ કાઢવો મુશ્કેલ છે. હાલમાં, થોડા લોકો આ ઉપકરણથી પરિચિત છે.

કેલ્ક્યુલેટર અને કોમ્પ્યુટરના આગમનથી અન્ય કોઈપણ ઉપકરણોનો ઉપયોગ અર્થહીન બની ગયો.

સમીકરણો અને અસમાનતાઓ

લઘુગણકનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે, નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

• એક આધારથી બીજામાં સંક્રમણ: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• અગાઉના વિકલ્પના પરિણામ સ્વરૂપે: લોગ a(b) = 1 / log b(a).

અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે તે જાણવું ઉપયોગી છે:

• લઘુગણકનું મૂલ્ય માત્ર ત્યારે જ હકારાત્મક હશે જો આધાર અને દલીલ બંને એક કરતા વધારે અથવા ઓછા હોય; જો ઓછામાં ઓછી એક શરતનું ઉલ્લંઘન થયું હોય, તો લઘુગણક મૂલ્ય નકારાત્મક હશે.
• જો લઘુગણક કાર્ય અસમાનતાની જમણી અને ડાબી બાજુએ લાગુ કરવામાં આવે છે, અને લઘુગણકનો આધાર એક કરતા વધારે છે, તો અસમાનતાનું ચિહ્ન સાચવવામાં આવે છે; અન્યથા તે બદલાય છે.

નમૂના સમસ્યાઓ

ચાલો લોગરીધમ્સ અને તેમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવા માટેના ઘણા વિકલ્પો ધ્યાનમાં લઈએ. સમીકરણો ઉકેલવા સાથેના ઉદાહરણો:

લોગરીધમને પાવરમાં મૂકવાના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લો:

• સમસ્યા 3. 25^લોગ 5(3)ની ગણતરી કરો. ઉકેલ: સમસ્યાની સ્થિતિમાં, એન્ટ્રી નીચેના (5^2)^log5(3) અથવા 5^(2 * લોગ 5(3)) જેવી જ છે. ચાલો તેને અલગ રીતે લખીએ: 5^log 5(3*2), અથવા ફંક્શન આર્ગ્યુમેન્ટ તરીકે સંખ્યાના વર્ગને ફંક્શનના જ વર્ગ તરીકે લખી શકાય છે (5^log 5(3))^2. લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આ અભિવ્યક્તિ 3^2 ની બરાબર છે. જવાબ: ગણતરીના પરિણામે આપણને 9 મળે છે.

પ્રાયોગિક એપ્લિકેશન

સંપૂર્ણ રીતે ગાણિતિક સાધન હોવાને કારણે, વાસ્તવિક જીવનથી દૂર લાગે છે કે વાસ્તવિક દુનિયામાં વસ્તુઓનું વર્ણન કરવા માટે લોગરીધમ અચાનક ખૂબ મહત્વ પ્રાપ્ત કરે છે. જ્યાં તેનો ઉપયોગ ન થતો હોય તેવું વિજ્ઞાન શોધવું મુશ્કેલ છે. આ માત્ર કુદરતી જ નહીં, પણ જ્ઞાનના માનવતાવાદી ક્ષેત્રોને પણ સંપૂર્ણપણે લાગુ પડે છે.

લઘુગણક નિર્ભરતા

અહીં સંખ્યાત્મક નિર્ભરતાના કેટલાક ઉદાહરણો છે:

મિકેનિક્સ અને ભૌતિકશાસ્ત્ર

ઐતિહાસિક રીતે, મિકેનિક્સ અને ભૌતિકશાસ્ત્ર હંમેશા ગાણિતિક સંશોધન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વિકસિત થયા છે અને તે જ સમયે લઘુગણક સહિત ગણિતના વિકાસ માટે પ્રોત્સાહન તરીકે સેવા આપે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રના મોટાભાગના નિયમોનો સિદ્ધાંત ગણિતની ભાષામાં લખાયેલો છે. ચાલો લોગરીધમનો ઉપયોગ કરીને ભૌતિક નિયમોનું વર્ણન કરવાના માત્ર બે ઉદાહરણો આપીએ.

રોકેટ સ્પીડ જેવા જટિલ જથ્થાની ગણતરી કરવાની સમસ્યા ત્સિઓલકોવ્સ્કી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે, જેણે અવકાશ સંશોધનના સિદ્ધાંતનો પાયો નાખ્યો હતો:

V = I * ln (M1/M2), જ્યાં

• વી એ એરક્રાફ્ટની અંતિમ ગતિ છે.
• હું - એન્જિનનો ચોક્કસ આવેગ.
• એમ 1 - રોકેટનો પ્રારંભિક સમૂહ.
• એમ 2 - અંતિમ સમૂહ.

બીજું મહત્વનું ઉદાહરણ- આનો ઉપયોગ અન્ય મહાન વૈજ્ઞાનિક મેક્સ પ્લાન્કના સૂત્રમાં થાય છે, જે થર્મોડાયનેમિક્સમાં સંતુલન સ્થિતિનું મૂલ્યાંકન કરે છે.

S = k * ln (Ω), જ્યાં

• એસ - થર્મોડાયનેમિક પ્રોપર્ટી.
• k - બોલ્ટ્ઝમેન સતત.
• Ω એ વિવિધ રાજ્યોનું આંકડાકીય વજન છે.

રસાયણશાસ્ત્ર

રસાયણશાસ્ત્રમાં લઘુગણકનો ગુણોત્તર ધરાવતા સૂત્રોનો ઉપયોગ ઓછો સ્પષ્ટ છે. ચાલો ફક્ત બે ઉદાહરણો આપીએ:

• નેર્ન્સ્ટ સમીકરણ, પદાર્થોની પ્રવૃત્તિ અને સંતુલન સ્થિરતાના સંબંધમાં માધ્યમની રેડોક્સ સંભવિતતાની સ્થિતિ.
• ઑટોલિસિસ ઇન્ડેક્સ અને સોલ્યુશનની એસિડિટી જેવા સ્થિરાંકોની ગણતરી પણ આપણા કાર્ય વિના કરી શકાતી નથી.

મનોવિજ્ઞાન અને જીવવિજ્ઞાન

અને મનોવિજ્ઞાનનો તેની સાથે શું સંબંધ છે તે બિલકુલ સ્પષ્ટ નથી. તે તારણ આપે છે કે ઉત્તેજનાની તીવ્રતાના મૂલ્ય અને નીચલા તીવ્રતાના મૂલ્યના વ્યસ્ત ગુણોત્તર તરીકે આ કાર્ય દ્વારા સંવેદનાની શક્તિ સારી રીતે વર્ણવવામાં આવી છે.

ઉપરોક્ત ઉદાહરણો પછી, તે હવે આશ્ચર્યજનક નથી કે લોગરીધમ્સનો વિષય બાયોલોજીમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. લોગરીધમિક સર્પાકારને અનુરૂપ જૈવિક સ્વરૂપો વિશે સંપૂર્ણ વોલ્યુમો લખી શકાય છે.

અન્ય વિસ્તારો

એવું લાગે છે કે આ કાર્ય સાથે જોડાણ વિના વિશ્વનું અસ્તિત્વ અશક્ય છે, અને તે તમામ કાયદાઓનું નિયમન કરે છે. ખાસ કરીને જ્યારે પ્રકૃતિના નિયમો ભૌમિતિક પ્રગતિ સાથે સંકળાયેલા હોય. MatProfi વેબસાઇટ તરફ વળવું તે યોગ્ય છે, અને પ્રવૃત્તિના નીચેના ક્ષેત્રોમાં આવા ઘણા ઉદાહરણો છે:

સૂચિ અનંત હોઈ શકે છે. આ કાર્યના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તમે અનંત શાણપણની દુનિયામાં ડૂબી શકો છો.

ચાલો લઘુગણક સમીકરણોના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1: સમીકરણ ઉકેલો

આને ઉકેલવા માટે, અમે પોટેન્શિએશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અસમાનતા >0 અને >0 સમીકરણના સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી નક્કી કરશે. અસમાનતા >0 એ x ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે માન્ય છે, કારણ કે 5x>0 માત્ર x ના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે જ છે. આનો અર્થ એ છે કે ODZ સમીકરણ એ શૂન્યથી વત્તા અનંત સુધીની સંખ્યાઓનો સમૂહ છે. સમીકરણ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણની સમકક્ષ છે. આ સમીકરણના મૂળ નંબરો 2 અને 3 છે, કારણ કે આ સંખ્યાઓનો ગુણાંક 6 બરાબર છે, અને આ સંખ્યાઓનો સરવાળો 5 બરાબર છે - ગુણાંક b ની વિરુદ્ધ કિંમત? આ બંને સંખ્યાઓ અંતરાલમાં આવેલી છે, જેનો અર્થ છે કે તે આ સમીકરણના મૂળ છે. નોંધ કરો કે અમે આ સમીકરણ સરળતાથી હલ કર્યું છે.

ઉદાહરણ 2: સમીકરણ ઉકેલો

(દસ x માઈનસ નવ થી બેઝ ત્રણ સુધીની અભિવ્યક્તિનો લઘુગણક x થી આધાર એક તૃતીયાંશના લઘુગણક સમાન છે)

આ સમીકરણ પાછલા સમીકરણથી અલગ છે જેમાં લોગરીધમ્સ વિવિધ પાયા ધરાવે છે. અને સમીકરણને ઉકેલવા માટેની માનવામાં આવતી પદ્ધતિનો હવે અહીં ઉપયોગ કરી શકાશે નહીં, જો કે તમે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી શોધી શકો છો અને કાર્યાત્મક ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. અસમાનતા >0 અને x>0 સમીકરણના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી નક્કી કરે છે, જેનો અર્થ થાય છે. ચાલો આ સમીકરણનું ગ્રાફિકલ ચિત્ર જોઈએ. આ કરવા માટે, ચાલો ફંક્શનનો પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ ગ્રાફ બનાવીએ અને. આપણે ફક્ત એટલું જ કહી શકીએ કે આ સમીકરણનું એક જ મૂળ છે, તે હકારાત્મક છે અને 1 થી 2 ના અંતરાલમાં આવેલું છે. મૂળની ચોક્કસ કિંમત આપવી શક્ય નથી.

અલબત્ત, આ સમીકરણ માત્ર એક જ નથી જેમાં વિવિધ પાયા સાથે લઘુગણક હોય છે. આવા સમીકરણો નવા લઘુગણક આધાર પર જઈને જ ઉકેલી શકાય છે. વિવિધ પાયાના લઘુગણક સાથે સંકળાયેલી મુશ્કેલીઓ અન્ય પ્રકારના કાર્યોમાં પણ આવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે સંખ્યાઓની તુલના અને.

આવી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં સહાયક એ પ્રમેય છે

પ્રમેય: જો a,b,c ધન સંખ્યાઓ છે અને a અને c 1 થી અલગ છે, તો સમાનતા ધરાવે છે

આ સૂત્રને નવા આધાર પર જવા માટેનું સૂત્ર કહેવામાં આવે છે)

આમ, થી અને વધુ. ત્યારથી, નવા આધાર પર જવા માટેના સૂત્ર મુજબ, સમાન અને સમાન

ચાલો લોગરીધમના નવા આધાર પર સંક્રમણ વિશે પ્રમેય સાબિત કરીએ.

આ સાબિત કરવા માટે, અમે નોટેશન = રજૂ કરીએ છીએ m, =n, =k(બેઝ a ની સંખ્યા BE નો લઘુગણક em ની બરાબર છે, સંખ્યા BE ની બેઝ CE નો લઘુગણક en બરાબર છે, સંખ્યા a નો લોગરીધમ બેઝ CE ka ની બરાબર છે). લઘુગણકની વ્યાખ્યા: સંખ્યા b એ m ની ઘાત માટે a છે, સંખ્યા b એ n ની ઘાત માટે c છે, સંખ્યા a એ c ની ઘાત k છે. તેથી, જ્યારે ડિગ્રીને ઘાતમાં વધારીએ ત્યારે તેના મૂલ્યને બદલીએ, શક્તિઓના ઘાતાંકનો ગુણાકાર થાય છે, આપણને તે =, પરંતુ તેથી =, જો ડિગ્રીના પાયા સમાન હોય, તો આપેલ ડિગ્રીના ઘાતાંક સમાન હોય છે. =. તો = ચાલો વિપરીત અવેજીમાં પાછા આવીએ: (સંખ્યા BE નું લઘુગણક અને આધાર a એ સંખ્યા BE ના લઘુગણકના ગુણોત્તર બેઝ CE અને a ની સંખ્યા CE ના લઘુગણકના ગુણોત્તર સમાન છે)

ચાલો આ પ્રમેયના બે કોરોલરીને ધ્યાનમાં લઈએ.

પ્રથમ પરિણામ. ચાલો આ પ્રમેયમાં આપણે આધાર b પર જવા માંગીએ છીએ. પછી

(સંખ્યા BE થી આધાર BE ની સંખ્યાનો લઘુગણક a થી આધાર BE ની સંખ્યા દ્વારા ભાગ્યા)

એકની બરાબર છે, પછી તે બરાબર છે

આનો અર્થ એ થયો કે જો a અને b હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે અને 1 થી અલગ છે, તો સમાનતા સાચી છે

કોરોલરી 2. જો a અને b ધન સંખ્યાઓ છે, અને એસંખ્યા એકની બરાબર નથી, પછી કોઈપણ સંખ્યા માટે m, શૂન્યની બરાબર નથી, સમાનતા સાચી છે

લઘુગણક bપર આધારિત છે એલઘુગણક સમાન bએક ડિગ્રી સુધી mપર આધારિત છે aએક ડિગ્રી સુધી m.

ચાલો આ સમાનતાને જમણેથી ડાબે સાબિત કરીએ. ચાલો અભિવ્યક્તિ (સંખ્યાનો લઘુગણક એ બેઝ a થી પાવર em સુધીનો હોય) થી બેઝ સાથે લઘુગણક તરફ આગળ વધીએ. એ.લઘુગણકના ગુણધર્મ દ્વારા, સબલોગરિધમના ઘાતાંકને આગળ ખસેડી શકાય છે - લઘુગણકની સામે. =1. અમે તે મેળવીશું. (અંશ em માંનો એક અપૂર્ણાંક જે સંખ્યાના લઘુગણક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને છેદ em માં હોય છે) સંખ્યા m શરત દ્વારા શૂન્યની બરાબર નથી, જેનો અર્થ છે કે પરિણામી અપૂર્ણાંક m વડે ઘટાડી શકાય છે. અમે તે મેળવીશું. Q.E.D.

આનો અર્થ એ છે કે લઘુગણકના નવા આધાર પર જવા માટે, ત્રણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે

ઉદાહરણ 2: સમીકરણ ઉકેલો

(દસ x માઈનસ નવ થી બેઝ ત્રણ સુધીના એક્સપ્રેશનનો લઘુગણક x થી બેઝ એક તૃતીયાંશના લઘુગણક સમાન છે)

અમને આ સમીકરણ માટે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી અગાઉ મળી. ચાલો 3 ને નવા આધાર પર લાવીએ આ કરવા માટે, તેને આ લોગરીધમમાં અપૂર્ણાંક તરીકે લખો. અંશ એ x થી આધાર ત્રણનો લઘુગણક હશે, છેદ એક તૃતીયાંશ થી આધાર ત્રણનો લઘુગણક હશે. માઈનસ વનની બરાબર છે, તો સમીકરણની જમણી બાજુ માઈનસની બરાબર હશે

ચાલો તેને સમીકરણની ડાબી બાજુએ ખસેડીએ અને તેને આ રીતે લખીએ: ગુણધર્મ દ્વારા, લઘુગણકનો સરવાળો ઉત્પાદનના લઘુગણક જેટલો હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે (દસ x માઈનસ નવ થી બેઝ ત્રણનો લઘુગણક વત્તા x થી બેઝ ત્રણનો લઘુગણક) તરીકે લખી શકાય છે દસ x ઓછા નવ અને x થી આધાર ત્રણ) ચાલો ગુણાકાર કરીએ અને સમીકરણના ભાગો મેળવીએ

અને જમણી બાજુએ આપણે શૂન્ય લખીશું, કારણ કે ત્રણની શૂન્ય શક્તિ એક છે.

પોટેન્શિએશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ =0 મેળવીએ છીએ. a+b+c=0 ગુણાંકના ગુણધર્મ દ્વારા, સમીકરણના મૂળ 1 અને 0.1 સમાન છે.

પરંતુ વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં માત્ર એક જ મૂળ છે. આ નંબર વન છે.

ઉદાહરણ 3. ગણતરી કરો. (ત્રણથી ચાર ગણા લઘુગણકના ઘાતના બેના આધાર ત્રણ વત્તા બેના મૂળના લઘુગણકના પાંચ ગુણ્યા પચીસના પાયાના ચારના લઘુગણકની ઘાત)

પ્રથમ, ચાલો ત્રણની શક્તિ જોઈએ. જો શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તો પછી એક શક્તિને શક્તિમાં વધારવાની ક્રિયા કરવામાં આવે છે, તેથી ત્રણની શક્તિને ચારની ઘાત તરીકે ત્રણ તરીકે લખી શકાય છે. વિવિધ પાયા સાથેના ઉત્પાદનમાં લઘુગણક; આધાર ચાર સાથેના લઘુગણકને પાંચ સાથે સંકળાયેલ બેઝમાં ઘટાડવાનું વધુ અનુકૂળ છે. તેથી, ચાલો તેને તેના સમાન અભિવ્યક્તિ સાથે બદલીએ. નવા આધાર પર જવાની ફોર્મ્યુલા મુજબ.

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ અનુસાર (અને ઘાત માટે, bes ની સંખ્યાનો લઘુગણક a બેઝ a ની સંખ્યા સમાન છે)

તેના બદલે આપણને અભિવ્યક્તિમાં મળે છે, આપણે આધારનો ચોરસ અને સબલોગરીધમિક સમીકરણ પસંદ કરીએ છીએ. અમે તે મેળવીશું. નવા આધાર પર સંક્રમણ માટેના સૂત્ર મુજબ, તે ઉકેલની જમણી બાજુએ લખાયેલું છે, આપણે ફક્ત તેના બદલે મેળવીએ છીએ. આપણે બે ના વર્ગમૂળને બે ની ઘાત સાથે એક-અડધા લખીએ છીએ અને લઘુગણકના ગુણધર્મ દ્વારા, ઘાતાંકને લઘુગણકની આગળ મૂકીએ છીએ. ચાલો અભિવ્યક્તિ મેળવીએ. આમ, ગણતરી કરેલ અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લેશે...

વધુમાં, આ 16 છે, અને ઉત્પાદન એક સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય 16.5 છે.

ઉદાહરણ 4. ગણતરી કરો જો log2= a,લોગ3= b

ગણતરી કરવા માટે, અમે લોગરીધમના ગુણધર્મો અને નવા આધાર પર સંક્રમણ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીશું.

ચાલો 18 ને છ અને ત્રણના ગુણાંક તરીકે કલ્પીએ. ઉત્પાદનનો લઘુગણક લઘુગણક-પરિબળોના સરવાળા સમાન છે, એટલે કે, જ્યાં 1 ની બરાબર છે. આપણે દશાંશ લઘુગણક જાણીએ છીએ, તેથી આપણે બેઝ 6 સાથેના લઘુગણકથી દશાંશ લઘુગણક તરફ આગળ વધીએ છીએ, આપણે તેમાં અપૂર્ણાંક મેળવીએ છીએ. અંશ (ત્રણનો દશાંશ લઘુગણક) અને છેદમાં (છ નો દશાંશ લઘુગણક). આ કિસ્સામાં, તમે તેને પહેલેથી જ બદલી શકો છો bચાલો બે અને ત્રણના અવયવમાં છ અવયવ કરીએ. અમે પરિણામી ઉત્પાદનને લઘુગણકના સરવાળા તરીકે લખીએ છીએ lg2 અને lg 3. તેમને અનુક્રમે a અને b સાથે બદલો. અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લેશે: . જો આ અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડા દ્વારા અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે, તો જવાબ હશે

નવા લઘુગણક આધાર પર સંક્રમણ સંબંધિત કાર્યો સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કરવા માટે, તમારે નવા લઘુગણક આધાર પર સંક્રમણ માટેના સૂત્રો જાણવાની જરૂર છે.

1. , જ્યાં a,b,c ધન સંખ્યાઓ છે, a, c
2. , જ્યાં a, b ધન સંખ્યાઓ છે, a, b
3. , જ્યાં a,b હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે a, m

બેઝ a (a>0, a 1 ની બરાબર નથી) ની સકારાત્મક સંખ્યા b નો લઘુગણક એ સંખ્યા c છે જેમ કે c = b: લોગ a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

નોંધ કરો કે બિન-ધન સંખ્યાનો લઘુગણક અવ્યાખ્યાયિત છે. વધુમાં, લઘુગણકનો આધાર ધન સંખ્યા હોવી જોઈએ જે 1 ની બરાબર ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે -2 નો વર્ગ કરીએ, તો આપણને 4 નંબર મળે છે, પરંતુ તેનો અર્થ એ નથી કે 4 ના આધાર -2 માટે લઘુગણક 2 ની બરાબર છે.

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

તે મહત્વનું છે કે આ સૂત્રની જમણી અને ડાબી બાજુઓની વ્યાખ્યાનો અવકાશ અલગ છે. ડાબી બાજુ ફક્ત b>0, a>0 અને a ≠ 1 માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. જમણી બાજુ કોઈપણ b માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે, અને તે બિલકુલ a પર નિર્ભર નથી. આમ, સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે મૂળભૂત લઘુગણક "ઓળખ" નો ઉપયોગ OD માં ફેરફાર તરફ દોરી શકે છે.

લઘુગણકની વ્યાખ્યાના બે સ્પષ્ટ પરિણામો

ખરેખર, જ્યારે a ને પ્રથમ ઘાત સુધી વધારીએ છીએ, ત્યારે આપણને સમાન સંખ્યા મળે છે, અને જ્યારે તેને શૂન્ય ઘાત સુધી વધારીએ છીએ, ત્યારે આપણને એક મળે છે.

ગુણાંકનો લઘુગણક અને ભાગનો લઘુગણક

લોગ a b c = લોગ a b − લોગ a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે હું આ સૂત્રોનો વિચાર વગર ઉપયોગ કરવા સામે શાળાના બાળકોને ચેતવણી આપવા માંગુ છું. જ્યારે "ડાબેથી જમણે" તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ODZ સંકુચિત થાય છે, અને જ્યારે લઘુગણકના સરવાળા અથવા તફાવતથી ઉત્પાદન અથવા ભાગના લઘુગણક સુધી ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે ODZ વિસ્તરે છે.

ખરેખર, અભિવ્યક્તિ લોગ a (f (x) g (x)) બે કિસ્સાઓમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: જ્યારે બંને કાર્યો સખત હકારાત્મક હોય અથવા જ્યારે f (x) અને g (x) બંને શૂન્ય કરતા ઓછા હોય.

આ અભિવ્યક્તિને સરવાળા લોગ a f(x) + log a g (x) માં રૂપાંતરિત કરીને, અમને ફક્ત f(x)>0 અને g(x)>0 સુધી મર્યાદિત રાખવાની ફરજ પડી છે. સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીમાં સંકુચિતતા છે, અને આ સ્પષ્ટપણે અસ્વીકાર્ય છે, કારણ કે તે ઉકેલોની ખોટ તરફ દોરી શકે છે. ફોર્મ્યુલા (6) માટે સમાન સમસ્યા અસ્તિત્વમાં છે.

લઘુગણકના ચિહ્નમાંથી ડિગ્રી લઈ શકાય છે

અને ફરીથી હું ચોકસાઈ માટે કૉલ કરવા માંગુ છું. નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો:

લોગ a (f (x) 2 = 2 લોગ a f (x)

સમાનતાની ડાબી બાજુ સ્પષ્ટપણે શૂન્ય સિવાય f(x) ના તમામ મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. જમણી બાજુ માત્ર f(x)>0 માટે છે! લઘુગણકમાંથી ડિગ્રી લઈને, અમે ફરીથી ODZ ને સંકુચિત કરીએ છીએ. વિપરીત પ્રક્રિયા સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીના વિસ્તરણ તરફ દોરી જાય છે. આ બધી ટીપ્પણી માત્ર પાવર 2 પર જ નહીં, પણ કોઈપણ સમ શક્તિને પણ લાગુ પડે છે.

નવા ફાઉન્ડેશન પર જવા માટેની ફોર્મ્યુલા

તે દુર્લભ કેસ જ્યારે પરિવર્તન દરમિયાન ODZ બદલાતું નથી. જો તમે બેઝ સીને સમજદારીપૂર્વક પસંદ કર્યું છે (ધનાત્મક અને 1 ની બરાબર નથી), તો નવા આધાર પર જવા માટેની ફોર્મ્યુલા સંપૂર્ણપણે સલામત છે.

જો આપણે b ને નવા આધાર c તરીકે પસંદ કરીએ, તો આપણને સૂત્ર (8) નો મહત્વનો વિશેષ કેસ મળે છે:

લોગ a b = 1 લોગ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

લઘુગણક સાથેના કેટલાક સરળ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1. ગણતરી કરો: log2 + log50.
ઉકેલ. log2 + log50 = log100 = 2. અમે લઘુગણક સૂત્ર (5) નો સરવાળો અને દશાંશ લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કર્યો.

ઉદાહરણ 2. ગણતરી કરો: lg125/lg5.
ઉકેલ. log125/log5 = log 5 125 = 3. અમે નવા આધાર (8) પર જવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો.

લઘુગણકથી સંબંધિત સૂત્રોનું કોષ્ટક