ક્રાંતિની સપાટી- એક મનસ્વી રેખા (સીધી, સપાટ અથવા અવકાશી વળાંક) ની સીધી રેખા (સપાટી ધરી) ની આસપાસ પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલી સપાટી. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ સીધી રેખા પરિભ્રમણની અક્ષને છેદે છે, તો જ્યારે તે પરિભ્રમણ કરે છે, તો એક શંક્વાકાર સપાટી પ્રાપ્ત થશે, જો તે અક્ષને છેદે છે, તો તે સિંગલ-શીટ હાઇપરબોલોઇડ હશે; ક્રાંતિ પ્રાપ્ત થશે. સમાન સપાટીને વિવિધ પ્રકારના વળાંકોને ફેરવીને મેળવી શકાય છે. વળાંકના સમતલમાં આવેલા પરંતુ વળાંકને છેદતી ન હોય તેવી અક્ષની આસપાસ મર્યાદિત લંબાઈના સમતલ વળાંકના પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલી ક્રાંતિની સપાટીનો વિસ્તાર વળાંકની લંબાઈ અને લંબાઈના ગુણાંક જેટલો છે. અક્ષથી વળાંકના સમૂહના કેન્દ્ર સુધીના અંતરની સમાન ત્રિજ્યા સાથેનું વર્તુળ. આ વિધાનને ગિલ્ડેનનું બીજું પ્રમેય, અથવા પપ્પસનું સેન્ટ્રોઇડ પ્રમેય કહેવામાં આવે છે.

અક્ષની ફરતે વળાંકના પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલી ક્રાંતિની સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

જ્યારે ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં વળાંકનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સૂત્ર માન્ય છે

ચોક્કસ અભિન્ન (દળોનું કાર્ય, સ્થિર ક્ષણો, ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર) ની યાંત્રિક એપ્લિકેશન.

દળોના કાર્યની ગણતરી

ભૌતિક બિંદુ સતત વિભેદક વળાંક સાથે આગળ વધે છે, જ્યારે તે ગતિની દિશામાં બોલ તરફ સ્પર્શક રીતે નિર્દેશિત બળ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે. ફોર્સ F(ઓ) દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય:

જો ગતિ માર્ગ પરના બિંદુની સ્થિતિ અન્ય પરિમાણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, તો સૂત્ર ફોર્મ લે છે:

સ્થિર ક્ષણો અને ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રની ગણતરી
સંકલન સમતલ પર Oxy કેટલાક સમૂહ M ને P = p(y) સાથે બિંદુઓના ચોક્કસ સમૂહ પર વિતરિત કરવા દો (આ વળાંકની ચાપ અથવા બાઉન્ડેડ સપાટ આકૃતિ હોઈ શકે છે). ચાલો s(y) - ઉલ્લેખિત સમૂહ (ચાપની લંબાઈ અથવા વિસ્તાર) નું માપ દર્શાવીએ.

વ્યાખ્યા 2. સંખ્યા Ox અક્ષની સાપેક્ષ M ની kth ક્ષણ કહેવાય છે.
k = 0 M 0 = M - સમૂહ પર,
k = 1 M 1 - સ્થિર ક્ષણ,
k = 2 M 2 - જડતાની ક્ષણ.

ઓય અક્ષ વિશેની ક્ષણો એ જ રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે. અવકાશમાં, સમન્વયિત વિમાનોના સાપેક્ષ સમૂહની ક્ષણોની વિભાવનાઓ સમાન રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે.
જો p = 1 હોય, તો અનુરૂપ ક્ષણોને ભૌમિતિક કહેવામાં આવે છે. એક સમાન (p - const) સપાટ આકૃતિના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

જ્યાં M 1 y, M 1 x એ Oy અને Ox અક્ષને સંબંધિત આકૃતિની ભૌમિતિક સ્થિર ક્ષણો છે; S એ આકૃતિનો વિસ્તાર છે.

આ સૂત્રને સમાંતર વિભાગોના ક્ષેત્રફળ દ્વારા શરીરના જથ્થા માટેનું સૂત્ર કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ. લંબગોળનું કદ શોધો x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

ઓયઝ પ્લેનની સમાંતર પ્લેન સાથે લંબગોળને કાપીને અને તેનાથી અંતરે (-а ≤х ≤а), આપણે એક લંબગોળ મેળવીએ છીએ (જુઓ. આકૃતિ 15):

આ અંડાકારનો વિસ્તાર છે

તેથી, સૂત્ર (16) મુજબ, અમારી પાસે છે

ક્રાંતિના સપાટી વિસ્તારની ગણતરી

વળાંક AB એ ફંક્શન y = f (x) ≥ 0 નો ગ્રાફ છે, જ્યાં x [a,b], ફંક્શન y = f (x) અને તેના વ્યુત્પન્ન y" = f" (x) આના પર સતત છે સેગમેન્ટ

પછી ઓક્સ અક્ષની ફરતે વળાંક AB ના પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલી સપાટીનો વિસ્તાર S સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

જો AB વળાંક પેરામેટ્રિક સમીકરણો х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤t 2 દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો પરિભ્રમણની સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર સ્વરૂપ લે છે.

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

ઉદાહરણ R ત્રિજ્યાના બોલની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો. ઉકેલ:

આપણે ધારી શકીએ કે દડાની સપાટી ઓક્સ અક્ષની આસપાસ અર્ધવર્તુળ y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R ના પરિભ્રમણ દ્વારા રચાય છે. સૂત્ર (19) નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

-આર

ઉદાહરણ. સાયક્લોઇડ x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π આપેલ છે. y = a (1− કિંમત) ,

ઓક્સ અક્ષની આસપાસ તેને ફેરવીને રચાયેલ સપાટી વિસ્તાર શોધો. ઉકેલ:

જ્યારે સાયક્લોઇડ ચાપનો અડધો ભાગ ઓક્સ અક્ષની આસપાસ ફરે છે, ત્યારે પરિભ્રમણનો સપાટી વિસ્તાર બરાબર છે

પ્લેન વળાંકની ચાપ લંબાઈની ગણતરી

લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ

એક ચાપમાં ચાલો, જ્યારે તૂટેલી રેખાની લિંક્સની સંખ્યા અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે, અને સૌથી મોટા લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સની લંબાઈને સપાટ વળાંક AB આપવામાં આવે છે, જેનું સમીકરણ y = f(x) છે, જ્યાં a ≤ x≤ b .

આર્ક AB ની લંબાઈ એ મર્યાદા તરીકે સમજવામાં આવે છે કે જેમાં આ કડીમાં લખેલી તૂટેલી રેખાની લંબાઈ શૂન્ય તરફ વળે છે. ચાલો બતાવીએ કે જો ફંક્શન y = f(x) અને તેનું વ્યુત્પન્ન y′ = f′ (x) સેગમેન્ટ [a,b] પર સતત હોય, તો વળાંક AB ની લંબાઈ સમાન હોય છે.

જો AB વળાંકનું સમીકરણ પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં આપવામાં આવ્યું હોય

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

જ્યાં x (t) અને y (t) એ સતત ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સતત કાર્યો છે અને x (α) = a, x (β) = b, તો સૂત્ર દ્વારા વળાંક AB ની લંબાઈ l જોવા મળે છે.

આનો અર્થ છે l = 2π R. જો વર્તુળનું સમીકરણ પેરામેટ્રિક સ્વરૂપ = R કિંમત, y = R સિંટ (0 ≤t ≤ 2π ) માં લખેલું હોય, તો

ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ

ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β માં સમીકરણ દ્વારા વળાંક AB ને આપવામાં આવે. ચાલો ધારીએ કે r (ϕ ) અને r" (ϕ ) અંતરાલ [α , β ] પર સતત છે.

જો સમાનતામાં x = r cosϕ, y = r sinϕ, ધ્રુવીય અને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સને જોડતા હોય,

કોણ ϕ ને પરિમાણ ગણવામાં આવે છે, પછી વળાંક AB ને પેરામેટ્રિકલી સેટ કરી શકાય છેx = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

ફોર્મ્યુલા (15) લાગુ કરીને, આપણે l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ કાર્ડિયોઇડ r =a (1 + cosϕ ) ની લંબાઈ શોધો. ઉકેલ:

કાર્ડિયોઇડ r =a (1 + cosϕ) આકૃતિ 14 માં બતાવેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે. તે ધ્રુવીય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે. ચાલો કાર્ડિયોઇડની અડધી લંબાઈ શોધીએ:

આમ, 1 2 l = 4 a. આનો અર્થ છે l = 8a.

5. ક્રાંતિના શરીરનો સપાટી વિસ્તાર શોધવો

વળાંક AB એ ફંક્શન y = f(x) ≥ 0 નો ગ્રાફ છે, જ્યાં x [a; b], અને ફંક્શન y = f(x) અને તેના ડેરિવેટિવ y" = f"(x) આ સેગમેન્ટ પર સતત છે.

ચાલો ઓક્સ અક્ષ (ફિગ. 8) ની આસપાસ વળાંક AB ના પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલી સપાટીનો વિસ્તાર S શોધીએ.

ચાલો સ્કીમ II (વિભેદક પદ્ધતિ) લાગુ કરીએ.

એક મનસ્વી બિંદુ દ્વારા x [a; b] Ox અક્ષ પર કાટખૂણે P પ્લેન દોરો. પ્લેન П ત્રિજ્યા y – f(x) સાથે વર્તુળમાં પરિભ્રમણની સપાટીને છેદે છે. પ્લેનની ડાબી બાજુએ આવેલી ક્રાંતિની આકૃતિના ભાગની સપાટીનું કદ S એ xનું કાર્ય છે, એટલે કે. s = s(x) (s(a) = 0 અને s(b) = S).

ચાલો દલીલ x ને વધારો Δx = dx આપીએ. બિંદુ x + dx દ્વારા [a; b] આપણે ઓક્સ અક્ષ પર લંબરૂપ સમતલ પણ દોરીએ છીએ. ફંક્શન s = s(x) Δs નો વધારો મેળવશે, જે આકૃતિમાં "બેલ્ટ" તરીકે દર્શાવેલ છે.

ચાલો વિભાગો વચ્ચે બનેલી આકૃતિને કાપેલા શંકુ વડે બદલીને વિભેદક ક્ષેત્રફળ ds શોધીએ, જેનો જનરેટ્રીક્સ dl બરાબર છે અને પાયાની ત્રિજ્યા y અને y + dу સમાન છે. તેની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ બરાબર છે: = 2ydl + dydl.

ઉત્પાદન dу d1 ને ds કરતાં ઊંચા ક્રમના અનંત ક્રમ તરીકે નકારવાથી, અમે ds = 2уdl અથવા, d1 = dx થી મેળવીએ છીએ.

પરિણામી સમાનતાને x = a થી x = b સુધીની શ્રેણીમાં એકીકૃત કરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

જો વક્ર AB પેરામેટ્રિક સમીકરણો x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો ક્રાંતિના સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર સ્વરૂપ લે છે.

S=2 તા.

ઉદાહરણ: ત્રિજ્યા R ના બોલનો સપાટી વિસ્તાર શોધો.

S=2 =

6. ચલ બળનું કાર્ય શોધવું

વેરિયેબલ ફોર્સ વર્ક

આ અક્ષની સમાંતર નિર્દેશિત ચલ બળ F = F(x) ની ક્રિયા હેઠળ સામગ્રી બિંદુ M ને Ox અક્ષ સાથે આગળ વધવા દો. બિંદુ M ને સ્થાન x = a માંથી સ્થિતિ x = b (a

જો 100 N નો બળ ઝરણાને 0.01 મીટર સુધી ખેંચે તો સ્પ્રિંગને 0.05 મીટર સુધી લંબાવવા માટે કેટલું કામ કરવું પડશે?

હૂકના નિયમ મુજબ, સ્પ્રિંગને લંબાવતું સ્થિતિસ્થાપક બળ આ સ્ટ્રેચ x માટે પ્રમાણસર છે, એટલે કે. F = kх, જ્યાં k એ પ્રમાણસરતા ગુણાંક છે. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, એક બળ F = 100 N સ્પ્રિંગને x = 0.01 m દ્વારા ખેંચે છે; તેથી, 100 = k 0.01, જ્યાંથી k = 10000; તેથી, F = 10000x.

ફોર્મ્યુલા પર આધારિત જરૂરી કામ

A=

ઊંચાઈ N m અને આધાર ત્રિજ્યા R m (ફિગ. 13) ની ઊભી નળાકાર ટાંકીમાંથી ધાર પર પ્રવાહી પંપ કરવા માટે ખર્ચવામાં આવતું કાર્ય શોધો.

p વજનના શરીરને h ની ઊંચાઈ સુધી ઉપાડવા પાછળ ખર્ચવામાં આવેલ કાર્ય p N બરાબર છે. પરંતુ ટાંકીમાં પ્રવાહીના વિવિધ સ્તરો જુદી જુદી ઊંડાઈએ હોય છે અને ઊંચાઈની ઊંચાઈ (ટાંકીની ધાર સુધી) હોય છે. સ્તરો સમાન નથી.

સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, અમે સ્કીમ II (વિભેદક પદ્ધતિ) લાગુ કરીએ છીએ. ચાલો એક સંકલન સિસ્ટમ દાખલ કરીએ.

1) જળાશયમાંથી x (0 ≤ x ≤ H) જાડાઈના પ્રવાહીના સ્તરને બહાર કાઢવા માટે ખર્ચવામાં આવેલ કાર્ય x નું કાર્ય છે, એટલે કે. A = A(x), જ્યાં (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) ઇન્ક્રીમેન્ટ ΔA નો મુખ્ય ભાગ શોધો જ્યારે x રકમ Δx = dx દ્વારા બદલાય છે, એટલે કે. આપણે ફંક્શન A(x) નો વિભેદક dA શોધીએ છીએ.

dx ની નાનીતાને લીધે, અમે ધારીએ છીએ કે પ્રવાહીનું "પ્રારંભિક" સ્તર સમાન ઊંડાઈ x (જળાશયની ધારથી) પર સ્થિત છે. પછી dA = dрх, જ્યાં dр આ સ્તરનું વજન છે; તે g AV ની બરાબર છે, જ્યાં g એ ગુરુત્વાકર્ષણનું પ્રવેગક છે, પ્રવાહીની ઘનતા છે, dv એ પ્રવાહીના "પ્રાથમિક" સ્તરનું પ્રમાણ છે (તે આકૃતિમાં પ્રકાશિત થયેલ છે), એટલે કે. dр = જી. સૂચવેલ પ્રવાહી સ્તરનું પ્રમાણ દેખીતી રીતે બરાબર છે, જ્યાં dx એ સિલિન્ડર (સ્તર) ની ઊંચાઈ છે, તેના આધારનો વિસ્તાર છે, એટલે કે. dv = .

આમ, dр = . અને

3) પરિણામી સમાનતાને x = 0 થી x = H સુધીની શ્રેણીમાં એકીકૃત કરવાથી, આપણે શોધીએ છીએ

એ

8. MathCAD પેકેજનો ઉપયોગ કરીને ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી

કેટલીક લાગુ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, સાંકેતિક એકીકરણની કામગીરીનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, MathCad પ્રોગ્રામ પ્રારંભિક તબક્કે બંને ઉપયોગી થઈ શકે છે (તેનો જવાબ અગાઉથી જાણવો અથવા તે અસ્તિત્વમાં છે તે જાણવું સારું છે) અને અંતિમ તબક્કે (બીજા સ્ત્રોતમાંથી જવાબનો ઉપયોગ કરીને પરિણામ તપાસવું સારું છે અથવા અન્ય વ્યક્તિનો ઉકેલ).

મોટી સંખ્યામાં સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, તમે MathCad પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓના ઉકેલની કેટલીક વિશેષતાઓ જોઈ શકો છો. ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો સાથે સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ કે આ પ્રોગ્રામ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે, તેની મદદથી મેળવેલા ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરીએ અને અન્ય પદ્ધતિઓ દ્વારા મેળવેલા ઉકેલો સાથે આ ઉકેલોની તુલના કરીએ.

MathCad પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરતી વખતે મુખ્ય સમસ્યાઓ નીચે મુજબ છે:

એ) પ્રોગ્રામ જવાબ આપે છે પરિચિત પ્રારંભિક કાર્યોના સ્વરૂપમાં નહીં, પરંતુ વિશેષ કાર્યોના સ્વરૂપમાં જે દરેકને ખબર નથી;

b) કેટલાક કિસ્સાઓમાં સમસ્યાનો ઉકેલ હોવા છતાં, જવાબ આપવા માટે "નકાર" કરે છે;

c) કેટલીકવાર તેના બોજારૂપતાને કારણે પ્રાપ્ત પરિણામનો ઉપયોગ કરવો અશક્ય છે;

d) સમસ્યાને સંપૂર્ણપણે હલ કરતું નથી અને ઉકેલનું વિશ્લેષણ કરતું નથી.

આ સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે, પ્રોગ્રામની શક્તિ અને નબળાઈઓનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

તેની મદદથી અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યોના અવિભાજ્યની ગણતરી કરવી સરળ અને સરળ છે. તેથી, વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે, એટલે કે. ઉકેલ માટે ઇન્ટિગ્રલ પૂર્વ-તૈયાર કરો. આ હેતુઓ માટે, ઉપર ચર્ચા કરેલ અવેજીનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. તે પણ ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે પ્રાપ્ત પરિણામોને મૂળ કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેન્સ અને પ્રાપ્ત પરિણામના સંયોગ માટે તપાસવું આવશ્યક છે. વધુમાં, મેળવેલા કેટલાક ઉકેલોને વધારાના સંશોધનની જરૂર છે.

મેથકૅડ પ્રોગ્રામ વિદ્યાર્થી અથવા સંશોધકને નિયમિત કાર્યમાંથી મુક્ત કરે છે, પરંતુ સમસ્યા સેટ કરતી વખતે અને કોઈપણ પરિણામ પ્રાપ્ત કરતી વખતે તેને વધારાના વિશ્લેષણથી મુક્ત કરી શકતું નથી.

આ પેપરમાં ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં ચોક્કસ અભિન્ન એપ્લિકેશનના અભ્યાસ સાથે સંબંધિત મુખ્ય જોગવાઈઓની તપાસ કરવામાં આવી હતી.

- ઇન્ટિગ્રલ્સને હલ કરવા માટેના સૈદ્ધાંતિક આધારનું વિશ્લેષણ હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું;

- સામગ્રી વ્યવસ્થિત અને સામાન્યીકરણ કરવામાં આવી હતી.

કોર્સ વર્ક પૂર્ણ કરવાની પ્રક્રિયામાં, ભૌતિકશાસ્ત્ર, ભૂમિતિ અને મિકેનિક્સના ક્ષેત્રમાં વ્યવહારુ સમસ્યાઓના ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા હતા.

નિષ્કર્ષ

ઉપર ચર્ચા કરેલ વ્યવહારુ સમસ્યાઓના ઉદાહરણો આપણને તેમની ઉકેલની ક્ષમતા માટે ચોક્કસ અભિન્નતાના મહત્વનો સ્પષ્ટ ખ્યાલ આપે છે.

એવા વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્રને નામ આપવું મુશ્કેલ છે કે જેમાં સામાન્ય રીતે અભિન્ન કલનની પદ્ધતિઓ અને ચોક્કસ અભિન્નના ગુણધર્મો, ખાસ કરીને, ઉપયોગમાં લેવાતા નથી. તેથી, અભ્યાસક્રમ પૂર્ણ કરવાની પ્રક્રિયામાં, અમે ભૌતિકશાસ્ત્ર, ભૂમિતિ, મિકેનિક્સ, જીવવિજ્ઞાન અને અર્થશાસ્ત્રના ક્ષેત્રમાં વ્યવહારુ સમસ્યાઓના ઉદાહરણો જોયા. અલબત્ત, આ વિજ્ઞાનની સંપૂર્ણ સૂચિથી દૂર છે જે ચોક્કસ સમસ્યાને ઉકેલતી વખતે અને સૈદ્ધાંતિક તથ્યો સ્થાપિત કરતી વખતે સ્થાપિત મૂલ્ય શોધવા માટે અભિન્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે.

ચોક્કસ અભિન્નનો ઉપયોગ ગણિતનો અભ્યાસ કરવા માટે પણ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિભેદક સમીકરણોને હલ કરતી વખતે, જે બદલામાં વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં બદલી ન શકાય તેવું યોગદાન આપે છે. આપણે કહી શકીએ કે ચોક્કસ અભિન્ન એ ગણિતના અભ્યાસ માટે ચોક્કસ પાયો છે. તેથી તેમને કેવી રીતે હલ કરવું તે જાણવાનું મહત્વ છે.

ઉપરોક્ત તમામમાંથી, તે સ્પષ્ટ છે કે શા માટે ચોક્કસ અભિન્ન સાથે પરિચય માધ્યમિક શાળાના માળખામાં થાય છે, જ્યાં વિદ્યાર્થીઓ માત્ર અભિન્ન અને તેના ગુણધર્મોની વિભાવના જ નહીં, પરંતુ તેની કેટલીક એપ્લિકેશનોનો પણ અભ્યાસ કરે છે.

સાહિત્ય

1. વોલ્કોવ ઇ.એ. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ. એમ., નૌકા, 1988.

2. પિસ્કુનોવ એન.એસ. વિભેદક અને અભિન્ન કલન. એમ., ઇન્ટિગ્રલ-પ્રેસ, 2004. ટી. 1.

3. શિપાચેવ વી.એસ. ઉચ્ચ ગણિત. એમ., ઉચ્ચ શાળા, 1990.

આર્જેમોના યુનિવર્સિટીના પ્રિય વિદ્યાર્થીઓ, શુભેચ્છાઓ!

આજે આપણે વસ્તુઓને કેવી રીતે સાકાર કરવી તે શીખવાનું ચાલુ રાખીશું. છેલ્લી વખતે અમે સપાટ આકૃતિઓ ફેરવી અને વોલ્યુમેટ્રિક બોડી મેળવી. તેમાંના કેટલાક ખૂબ જ આકર્ષક અને ઉપયોગી છે. મને લાગે છે કે જાદુગર જે શોધ કરે છે તેનો મોટાભાગનો ઉપયોગ ભવિષ્યમાં થઈ શકે છે.

આજે આપણે વળાંકો ફેરવીશું. તે સ્પષ્ટ છે કે આ રીતે આપણે ખૂબ જ પાતળી કિનારીઓ સાથે કેટલીક વસ્તુ મેળવી શકીએ છીએ (પોશન માટે શંકુ અથવા બોટલ, ફૂલદાની, પીણાં માટેનો ગ્લાસ, વગેરે), કારણ કે ફરતો વળાંક બરાબર આ પ્રકારની વસ્તુઓ બનાવી શકે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વળાંકને ફેરવવાથી આપણે અમુક પ્રકારની સપાટી મેળવી શકીએ છીએ - બધી બાજુઓ પર બંધ છે કે નહીં. કેમ અત્યારે મને એ લીકી કપ યાદ આવી ગયો કે જેમાંથી સર શર્ફ લોનલી-લોકલે હંમેશા પીતા હતા.

તેથી અમે છિદ્રો સાથેનો બાઉલ અને છિદ્રો વિનાનો બાઉલ બનાવીશું અને બનાવેલ સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીશું. મને લાગે છે કે તે (સામાન્ય રીતે સપાટી વિસ્તાર) કંઈક માટે જરૂરી હશે - સારું, ઓછામાં ઓછું ખાસ જાદુઈ પેઇન્ટ લાગુ કરવા માટે. બીજી બાજુ, જાદુઈ કલાકૃતિઓના ક્ષેત્રોને તેમના પર લાગુ કરાયેલા જાદુઈ દળો અથવા અન્ય કોઈ વસ્તુની ગણતરી કરવાની જરૂર પડી શકે છે. અમે તેને શોધવાનું શીખીશું, અને અમે તેને ક્યાં લાગુ કરવું તે શોધીશું.

તેથી, પેરાબોલાનો ટુકડો આપણને બાઉલનો આકાર આપી શકે છે. ચાલો અંતરાલ પર સૌથી સરળ y=x 2 લઈએ. તે જોઈ શકાય છે કે જ્યારે તમે તેને OY અક્ષની આસપાસ ફેરવો છો, ત્યારે તમને માત્ર એક બાઉલ મળે છે. કોઈ તળિયે નથી.

પરિભ્રમણના સપાટી વિસ્તારની ગણતરી માટે જોડણી નીચે મુજબ છે:

અહીં |y| પરિભ્રમણની અક્ષથી ફરતા વળાંક પરના કોઈપણ બિંદુ સુધીનું અંતર છે. જેમ તમે જાણો છો, અંતર એક લંબ છે.
જોડણીના બીજા તત્વ સાથે થોડું વધુ મુશ્કેલ: ds એ આર્ક ડિફરન્સિયલ છે. આ શબ્દો આપણને કંઈ આપતા નથી, તેથી ચાલો આપણે પરેશાન ન થઈએ, પરંતુ ચાલો સૂત્રોની ભાષા તરફ આગળ વધીએ, જ્યાં આ તફાવત અમને જાણીતા તમામ કેસો માટે સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે:
- કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ;
- પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં વળાંક રેકોર્ડ કરવું;
- ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી.

અમારા કિસ્સામાં, પરિભ્રમણની અક્ષથી વળાંક પરના કોઈપણ બિંદુ સુધીનું અંતર x છે. અમે પરિણામી હોલી બાઉલના સપાટી વિસ્તારની ગણતરી કરીએ છીએ:

તળિયા સાથે બાઉલ બનાવવા માટે, તમારે બીજો ભાગ લેવાની જરૂર છે, પરંતુ એક અલગ વળાંક સાથે: અંતરાલ પર આ રેખા y=1 છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે તે OY અક્ષની આસપાસ ફરે છે, ત્યારે બાઉલની નીચે એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળના સ્વરૂપમાં હશે. અને આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે (સૂત્ર pi*r^2 નો ઉપયોગ કરીને. અમારા કિસ્સામાં, વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ pi બરાબર હશે), પરંતુ ચાલો એક નવા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરીએ - તપાસવા માટે.
પરિભ્રમણની ધરીથી વળાંકના આ ટુકડાના કોઈપણ બિંદુ સુધીનું અંતર પણ x જેટલું છે.

સારું, અમારી ગણતરી સાચી છે, જે સારા સમાચાર છે.

અને હવે હોમવર્ક.

1. તૂટેલી રેખા ABC ને ફેરવીને મેળવેલ સપાટી વિસ્તાર શોધો, જ્યાં A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), OX અક્ષની આસપાસ.
સલાહ. પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં બધા સેગમેન્ટ્સ લખો.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
માર્ગ દ્વારા, પરિણામી વસ્તુ કેવી દેખાય છે?

2. ઠીક છે, હવે તમારી જાતે કંઈક સાથે આવો. મને લાગે છે કે ત્રણ વસ્તુઓ પૂરતી હશે.