આર્જેમોના યુનિવર્સિટીના પ્રિય વિદ્યાર્થીઓ, શુભેચ્છાઓ!

આજે આપણે વસ્તુઓને કેવી રીતે સાકાર કરવી તે શીખવાનું ચાલુ રાખીશું. છેલ્લી વખતે અમે સપાટ આકૃતિઓ ફેરવી અને વોલ્યુમેટ્રિક બોડી મેળવી. તેમાંના કેટલાક ખૂબ જ આકર્ષક અને ઉપયોગી છે. મને લાગે છે કે જાદુગર જે શોધ કરે છે તેનો મોટાભાગનો ઉપયોગ ભવિષ્યમાં થઈ શકે છે.

આજે આપણે વળાંકો ફેરવીશું. તે સ્પષ્ટ છે કે આ રીતે આપણે ખૂબ જ પાતળી કિનારીઓ સાથે કેટલીક વસ્તુ મેળવી શકીએ છીએ (પોશન માટે શંકુ અથવા બોટલ, ફૂલદાની, પીણાં માટેનો ગ્લાસ, વગેરે), કારણ કે ફરતો વળાંક બરાબર આ પ્રકારની વસ્તુઓ બનાવી શકે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વળાંકને ફેરવવાથી આપણે અમુક પ્રકારની સપાટી મેળવી શકીએ છીએ - બધી બાજુઓ પર બંધ છે કે નહીં. કેમ અત્યારે મને એ લીકી કપ યાદ આવી ગયો કે જેમાંથી સર શર્ફ લોનલી-લોકલે હંમેશા પીતા હતા.

તેથી અમે છિદ્રો સાથેનો બાઉલ અને છિદ્રો વિનાનો બાઉલ બનાવીશું અને બનાવેલ સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીશું. મને લાગે છે કે તે (સામાન્ય રીતે સપાટી વિસ્તાર) કંઈક માટે જરૂરી હશે - સારું, ઓછામાં ઓછું ખાસ જાદુઈ પેઇન્ટ લાગુ કરવા માટે. બીજી બાજુ, જાદુઈ કલાકૃતિઓના ક્ષેત્રોને તેમના પર લાગુ કરાયેલા જાદુઈ દળો અથવા અન્ય કોઈ વસ્તુની ગણતરી કરવાની જરૂર પડી શકે છે. અમે તેને શોધવાનું શીખીશું, અને અમે તેને ક્યાં લાગુ કરવું તે શોધીશું.

તેથી, પેરાબોલાનો ટુકડો આપણને બાઉલનો આકાર આપી શકે છે. ચાલો અંતરાલ પર સૌથી સરળ y=x 2 લઈએ. તે જોઈ શકાય છે કે જ્યારે તમે તેને OY અક્ષની આસપાસ ફેરવો છો, ત્યારે તમને માત્ર એક બાઉલ મળે છે. કોઈ તળિયે નથી.

પરિભ્રમણના સપાટી વિસ્તારની ગણતરી માટે જોડણી નીચે મુજબ છે:

અહીં |y| - આ પરિભ્રમણની અક્ષથી ફરતા વળાંક પરના કોઈપણ બિંદુ સુધીનું અંતર છે. જેમ તમે જાણો છો, અંતર એક લંબ છે.
જોડણીના બીજા તત્વ સાથે થોડું વધુ મુશ્કેલ: ds એ આર્ક ડિફરન્સિયલ છે. આ શબ્દો આપણને કંઈ આપતા નથી, તેથી ચાલો આપણે પરેશાન ન થઈએ, પરંતુ ચાલો સૂત્રોની ભાષા તરફ આગળ વધીએ, જ્યાં આ તફાવત અમને જાણીતા તમામ કેસો માટે સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે:
- કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ;
- પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં વળાંક રેકોર્ડ કરવું;
- ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી.

અમારા કિસ્સામાં, પરિભ્રમણની અક્ષથી વળાંક પરના કોઈપણ બિંદુ સુધીનું અંતર x છે. અમે પરિણામી હોલી બાઉલના સપાટી વિસ્તારની ગણતરી કરીએ છીએ:

તળિયા સાથે બાઉલ બનાવવા માટે, તમારે બીજો ભાગ લેવાની જરૂર છે, પરંતુ એક અલગ વળાંક સાથે: અંતરાલ પર આ રેખા y=1 છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે તે OY અક્ષની આસપાસ ફરે છે, ત્યારે બાઉલની નીચે એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળના સ્વરૂપમાં હશે. અને આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે (સૂત્ર pi*r^2 નો ઉપયોગ કરીને. અમારા કિસ્સામાં, વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ pi બરાબર હશે), પરંતુ ચાલો એક નવા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરીએ - તપાસવા માટે.
પરિભ્રમણની ધરીથી વળાંકના આ ટુકડાના કોઈપણ બિંદુ સુધીનું અંતર પણ x જેટલું છે.

સારું, અમારી ગણતરી સાચી છે, જે સારા સમાચાર છે.

અને હવે હોમવર્ક.

1. તૂટેલી રેખા ABC ને ફેરવીને મેળવેલ સપાટી વિસ્તાર શોધો, જ્યાં A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), OX અક્ષની આસપાસ.
સલાહ. પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં બધા સેગમેન્ટ્સ લખો.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
માર્ગ દ્વારા, પરિણામી વસ્તુ કેવી દેખાય છે?

2. સારું, હવે તમારી જાતે કંઈક સાથે આવો. મને લાગે છે કે ત્રણ વસ્તુઓ પૂરતી હશે.

જો વક્ર પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો આ વળાંકને ધરીની આસપાસ ફેરવવાથી મેળવેલ સપાટી વિસ્તારની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે. . આ કિસ્સામાં, લાઇનની "ડ્રોઇંગની દિશા", જેના વિશે લેખમાં ઘણી નકલો તૂટી ગઈ હતી, તે ઉદાસીન છે. પરંતુ, અગાઉના ફકરાની જેમ, તે મહત્વનું છે કે વળાંક સ્થિત છે ઉચ્ચ abscissa axis - અન્યથા "રમત માટે જવાબદાર" ફંક્શન નકારાત્મક મૂલ્યો લેશે અને તમારે ઇન્ટિગ્રલની સામે "માઈનસ" ચિહ્ન મૂકવું પડશે.

ઉદાહરણ 3

ધરીની ફરતે વર્તુળ ફેરવીને મેળવેલા ગોળાના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો.

ઉકેલ: લેખમાંથી પરિમાણિક રીતે વ્યાખ્યાયિત રેખા માટે વિસ્તાર અને વોલ્યુમ વિશેતમે જાણો છો કે સમીકરણો ત્રિજ્યા 3 ના મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે વર્તુળને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

વેલ ગોળા , જેઓ ભૂલી ગયા છે, આ સપાટી છે બોલ(અથવા ગોળાકાર સપાટી).

અમે સ્થાપિત ઉકેલ યોજનાનું પાલન કરીએ છીએ. ચાલો ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:

ચાલો "સૂત્ર" રુટને કંપોઝ અને સરળ બનાવીએ:

કહેવાની જરૂર નથી, તે કેન્ડી હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ફિચટેનહોલ્ટ્ઝે વિસ્તાર સાથે કેવી રીતે માથું નાખ્યું તેની સરખામણી માટે તપાસો ક્રાંતિનો લંબગોળ.

સૈદ્ધાંતિક ટિપ્પણી અનુસાર, અમે ઉપલા અર્ધવર્તુળને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. જ્યારે પરિમાણ મૂલ્ય મર્યાદામાં બદલાય ત્યારે તે "ડ્રો" થાય છે (તે જોવાનું સરળ છે આ અંતરાલ પર), આમ:

જવાબ આપો:

જો તમે સમસ્યાને સામાન્ય સ્વરૂપમાં હલ કરો છો, તો તમને ગોળાના ક્ષેત્રફળ માટે બરાબર શાળા સૂત્ર મળશે, તેની ત્રિજ્યા ક્યાં છે.

તે ખૂબ જ પીડાદાયક સરળ કાર્ય હતું, મને શરમ પણ આવી હતી ... હું સૂચન કરું છું કે તમે આ ભૂલને ઠીક કરો =)

ઉદાહરણ 4

સાયક્લોઇડની પ્રથમ ચાપને ધરીની ફરતે ફેરવીને મેળવેલા સપાટી વિસ્તારની ગણતરી કરો.

કાર્ય સર્જનાત્મક છે. ઓર્ડિનેટ અક્ષની ફરતે વળાંકને ફેરવીને મેળવેલા સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે સૂત્ર મેળવવાનો અથવા સાહજિક રીતે અનુમાન કરવાનો પ્રયાસ કરો. અને, અલબત્ત, પેરામેટ્રિક સમીકરણોનો ફાયદો ફરીથી નોંધવો જોઈએ - તેમને કોઈપણ રીતે સંશોધિત કરવાની જરૂર નથી; અન્ય એકીકરણ મર્યાદાઓ શોધવામાં પરેશાન થવાની જરૂર નથી.

સાયક્લોઇડ ગ્રાફ પૃષ્ઠ પર જોઈ શકાય છે ક્ષેત્રફળ અને વોલ્યુમ, જો રેખા પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત હોય. પરિભ્રમણની સપાટી મળતી આવે છે... મને એ પણ ખબર નથી કે તેની સાથે શું સરખામણી કરવી... કંઈક અસ્પષ્ટ - મધ્યમાં પોઈન્ટેડ ડિપ્રેશન સાથે આકારમાં ગોળાકાર. અક્ષની આસપાસ સાયક્લોઇડના પરિભ્રમણના કિસ્સામાં, તરત જ એક જોડાણ ધ્યાનમાં આવ્યું - એક લંબચોરસ રગ્બી બોલ.

ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે.

અમે કેસ સાથે અમારી રસપ્રદ સમીક્ષા સમાપ્ત કરીએ છીએ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ. હા, માત્ર એક સમીક્ષા, જો તમે ગાણિતિક વિશ્લેષણ (ફિચટેનહોલ્ટ્ઝ, બોખાન, પિસ્કુનોવ અને અન્ય લેખકો) પરના પાઠ્યપુસ્તકો જુઓ છો, તો તમને એક સારા ડઝન (અથવા તેથી વધુ) પ્રમાણભૂત ઉદાહરણો મળી શકે છે, જેમાંથી તમને સમસ્યા સારી રીતે મળી શકે છે. જરૂર

ક્રાંતિના સપાટી વિસ્તારની ગણતરી કેવી રીતે કરવી,
જો રેખા ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં આપવામાં આવે તો?

જો વળાંક અંદર આપવામાં આવે છે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સસમીકરણ, અને ફંક્શન આપેલ અંતરાલ પર સતત વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે, પછી ધ્રુવીય ધરીની આસપાસ આ વળાંકને ફેરવવાથી મેળવેલ સપાટી વિસ્તારની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે. , વળાંકના છેડાને અનુરૂપ કોણીય મૂલ્યો ક્યાં છે.

સમસ્યાના ભૌમિતિક અર્થ અનુસાર, એકીકૃત કાર્ય , અને આ ફક્ત શરત હેઠળ પ્રાપ્ત થાય છે (અને દેખીતી રીતે બિન-નકારાત્મક છે). તેથી, શ્રેણીમાંથી ખૂણાના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વળાંક સ્થિત હોવો જોઈએ ઉચ્ચધ્રુવીય અક્ષ અને તેની ચાલુતા. જેમ તમે જોઈ શકો છો, તે જ વાર્તા અગાઉના બે ફકરામાં છે.

ઉદાહરણ 5

ધ્રુવીય ધરીની ફરતે કાર્ડિયોઇડને ફેરવીને રચાયેલ સપાટી વિસ્તારની ગણતરી કરો.

ઉકેલ: આ વળાંકનો ગ્રાફ તેના વિશેના પાઠના ઉદાહરણ 6 માં જોઈ શકાય છે ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી. કાર્ડિયોઇડ ધ્રુવીય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે, તેથી અમે અંતરાલમાં તેના ઉપરના અડધા ભાગને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ (જે હકીકતમાં, ઉપરની ટિપ્પણીને કારણે છે).

પરિભ્રમણની સપાટી બુલસી જેવી હશે.

ઉકેલની તકનીક પ્રમાણભૂત છે. ચાલો "ફી" ના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો મૂળને કંપોઝ અને સરળ બનાવીએ:

હું નિયમિત સાથે આશા રાખું છું ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોકોઈને કોઈ મુશ્કેલી ન હતી.

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

વચ્ચે , તેથી: (મેં લેખમાં મૂળમાંથી યોગ્ય રીતે કેવી રીતે છુટકારો મેળવવો તે વિશે વિગતવાર વાત કરી વળાંક ચાપ લંબાઈ).

જવાબ આપો:

તમારા માટે એક રસપ્રદ અને ટૂંકું કાર્ય તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટે:

ઉદાહરણ 6

ગોળાકાર પટ્ટાના વિસ્તારની ગણતરી કરો,

બોલ બેલ્ટ શું છે? ટેબલ પર ગોળ, છાલ વગરનો નારંગી મૂકો અને છરી ઉપાડો. બે બનાવો સમાંતરકાપો, ત્યાં ફળોને મનસ્વી કદના 3 ભાગોમાં વિભાજીત કરો. હવે કેન્દ્ર લો, જેની બંને બાજુઓ પર રસદાર માંસ ખુલ્લું છે. આ શરીર કહેવાય છે ગોળાકાર સ્તર, અને તેને બાંધતી સપાટી (નારંગીની છાલ) - બોલ બેલ્ટ.

વાચકો પરિચિત છે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ, સરળતાથી સમસ્યાનું ચિત્ર રજૂ કર્યું: સમીકરણ ત્રિજ્યાના ધ્રુવ પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળનો ઉલ્લેખ કરે છે, જેમાંથી કિરણો કાપી નાખવું ઓછુંચાપ આ ચાપ ધ્રુવીય ધરીની આસપાસ ફરે છે અને આમ ગોળાકાર પટ્ટો બનાવે છે.

હવે તમે સ્પષ્ટ અંતઃકરણ અને હળવા હૃદય સાથે નારંગી ખાઈ શકો છો, અને આ સ્વાદિષ્ટ નોંધ પર અમે પાઠ સમાપ્ત કરીશું, અન્ય ઉદાહરણો સાથે તમારી ભૂખ બગાડશો નહીં =)

ઉકેલો અને જવાબો:

ઉદાહરણ 2:ઉકેલ : ઉપલા શાખાના પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલ સપાટી વિસ્તારની ગણતરી કરો એબ્સીસા અક્ષની આસપાસ. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ .
આ કિસ્સામાં: ;

આમ:


જવાબ આપો:

ઉદાહરણ 4:ઉકેલ : સૂત્રનો ઉપયોગ કરો . સાયક્લોઇડનો પ્રથમ ચાપ સેગમેન્ટ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે .
ચાલો ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:

ચાલો મૂળને કંપોઝ અને સરળ બનાવીએ:

આમ, પરિભ્રમણનો સપાટી વિસ્તાર છે:

વચ્ચે , એટલે જ

પ્રથમ અભિન્નભાગો દ્વારા એકીકૃત :

બીજા અભિન્નમાં આપણે ઉપયોગ કરીએ છીએત્રિકોણમિતિ સૂત્ર .


જવાબ આપો:

ઉદાહરણ 6:ઉકેલ : સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:


જવાબ આપો:

પત્રવ્યવહાર વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉચ્ચ ગણિત અને વધુ >>>

(મુખ્ય પૃષ્ઠ પર જાઓ)

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કેવી રીતે કરવી
ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલા અને સિમ્પસનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને?

સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ ઉચ્ચ ગણિતનો એકદમ મોટો વિભાગ છે અને આ વિષય પરના ગંભીર પાઠ્યપુસ્તકોમાં સેંકડો પૃષ્ઠો છે. વ્યવહારમાં, પરીક્ષણ પેપર પરંપરાગત રીતે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકે છે, અને સામાન્ય સમસ્યાઓમાંની એક અંદાજિત ગણતરી છે. ચોક્કસ અવિભાજ્ય. આ લેખમાં હું ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની અંદાજિત ગણતરી માટે બે પદ્ધતિઓ જોઈશ - ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિઅને સિમ્પસન પદ્ધતિ.

આ પદ્ધતિઓમાં નિપુણતા મેળવવા માટે તમારે શું જાણવાની જરૂર છે? તે રમુજી લાગે છે, પરંતુ તમે સંકલનને બિલકુલ લઈ શકતા નથી. અને તમે એ પણ સમજી શકતા નથી કે અવિભાજ્ય શું છે. તકનીકી માધ્યમથી તમારે માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટરની જરૂર પડશે. હા, હા, શાળાની નિયમિત ગણતરીઓ આપણી રાહ જુએ છે. હજી વધુ સારું, મારું ડાઉનલોડ કરો ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિ અને સિમ્પસન પદ્ધતિ માટે અર્ધ-સ્વચાલિત કેલ્ક્યુલેટર. કેલ્ક્યુલેટર એક્સેલમાં લખાયેલું છે અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા અને પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી સમય દસ ગણો ઘટાડશે. એક્સેલ ડમીઝ માટે, વિડિઓ મેન્યુઅલ શામેલ છે! માર્ગ દ્વારા, મારા અવાજ સાથે પ્રથમ વિડિઓ રેકોર્ડિંગ.

પ્રથમ, ચાલો આપણી જાતને પૂછીએ, શા માટે આપણને અંદાજિત ગણતરીઓની જરૂર છે? એવું લાગે છે કે તમે ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ શોધી શકો છો અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલના ચોક્કસ મૂલ્યની ગણતરી કરીને, ન્યૂટન-લેબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો. પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો તરત જ ચિત્ર સાથેનું ડેમો ઉદાહરણ જોઈએ.

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

બધું સારું હશે, પરંતુ આ ઉદાહરણમાં અવિભાજ્ય લેવામાં આવ્યું નથી - તમારી સામે એક અવિભાજ્ય અભિન્ન છે, કહેવાતા અભિન્ન લઘુગણક. શું આ અભિન્ન પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે? ચાલો ડ્રોઇંગમાં ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફંક્શનના ગ્રાફનું નિરૂપણ કરીએ:

બધું સારું છે. ઇન્ટિગ્રેન્ડ સતતસેગમેન્ટ પર અને ચોક્કસ અવિભાજ્ય સંખ્યાત્મક રીતે છાંયેલા વિસ્તારની બરાબર છે. ત્યાં માત્ર એક કેચ છે: અભિન્ન લઈ શકાતું નથી. અને આવા કિસ્સાઓમાં, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ બચાવમાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સમસ્યા બે ફોર્મ્યુલેશનમાં થાય છે:

1) લગભગ ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરો , પરિણામને ચોક્કસ દશાંશ સ્થાન પર રાઉન્ડિંગ. ઉદાહરણ તરીકે, બે દશાંશ સ્થાનો સુધી, ત્રણ દશાંશ સ્થાનો સુધી, વગેરે. ચાલો ધારીએ કે અંદાજિત જવાબ 5.347 છે. વાસ્તવમાં, તે સંપૂર્ણપણે સાચું ન પણ હોઈ શકે (વાસ્તવમાં, કહો, વધુ સચોટ જવાબ 5.343 છે). અમારું કાર્ય છે માત્ર તેપરિણામને ત્રણ દશાંશ સ્થાનો પર રાઉન્ડ કરવા માટે.

2) લગભગ ચોક્કસ અભિન્નની ગણતરી કરો, ચોક્કસ ચોકસાઈ સાથે. ઉદાહરણ તરીકે, લગભગ 0.001 ની ચોકસાઈ સાથે ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરો. તેનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ થયો કે જો અંદાજિત જવાબ 5.347 છે, તો બધાનંબરો પ્રબલિત કોંક્રિટ હોવા જ જોઈએ યોગ્ય. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જવાબ 5.347 એ સત્યથી સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં (એક દિશામાં અથવા બીજી દિશામાં) 0.001 કરતા વધારે નહીં હોવા જોઈએ.

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની અંદાજિત ગણતરી માટે ઘણી મૂળભૂત પદ્ધતિઓ છે જે સમસ્યાઓમાં થાય છે:

લંબચોરસ પદ્ધતિ. એકીકરણ સેગમેન્ટને કેટલાક ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને એક પગલું આકૃતિ બનાવવામાં આવે છે ( હિસ્ટોગ્રામ), જે ઇચ્છિત વિસ્તારની નજીક છે:

રેખાંકનો દ્વારા સખત રીતે નિર્ણય ન કરો, ચોકસાઈ આદર્શ નથી - તે ફક્ત પદ્ધતિઓના સારને સમજવામાં મદદ કરે છે.

આ ઉદાહરણમાં, એકીકરણ સેગમેન્ટને ત્રણ વિભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:
. દેખીતી રીતે, વધુ વારંવાર પાર્ટીશનીંગ (વધુ નાના મધ્યવર્તી ભાગો), ચોકસાઈ વધારે છે. લંબચોરસ પદ્ધતિ વિસ્તારનો આશરે અંદાજ આપે છે, જે દેખીતી રીતે શા માટે તે વ્યવહારમાં ખૂબ જ ભાગ્યે જ જોવા મળે છે (મને માત્ર એક વ્યવહારુ ઉદાહરણ યાદ છે). આ સંદર્ભે, હું લંબચોરસ પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈશ નહીં, અને હું એક સરળ સૂત્ર પણ આપીશ નહીં. એટલા માટે નહીં કે હું આળસુ છું, પરંતુ મારી વર્કબુકના સિદ્ધાંતને કારણે: વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં જે અત્યંત દુર્લભ છે તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી.

ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ. વિચાર સમાન છે. એકીકરણ સેગમેન્ટ કેટલાક મધ્યવર્તી ભાગોમાં વિભાજિત થયેલ છે, અને ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફંક્શનનો ગ્રાફ નજીક આવે છે તૂટેલી લાઇનરેખા:

આમ, આપણો વિસ્તાર (વાદળી શેડિંગ) ટ્રેપેઝોઇડ્સ (લાલ) ના વિસ્તારોના સરવાળા દ્વારા અંદાજે છે. તેથી પદ્ધતિનું નામ. તે જોવાનું સરળ છે કે ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ લંબચોરસ પદ્ધતિ (પાર્ટીશન વિભાગોની સમાન સંખ્યા સાથે) કરતાં વધુ સારી અંદાજ આપે છે. અને, સ્વાભાવિક રીતે, આપણે જેટલા નાના મધ્યવર્તી ભાગોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, તેટલી વધુ ચોકસાઈ હશે. ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ પ્રાયોગિક કાર્યોમાં સમયાંતરે જોવા મળે છે, અને આ લેખમાં ઘણા ઉદાહરણોની ચર્ચા કરવામાં આવશે.

સિમ્પસનની પદ્ધતિ (પેરાબોલા પદ્ધતિ). આ એક વધુ અદ્યતન પદ્ધતિ છે - ઇન્ટિગ્રેન્ડનો ગ્રાફ તૂટેલી રેખા દ્વારા નહીં, પરંતુ નાના પેરાબોલાસ દ્વારા અંદાજવામાં આવે છે. મધ્યવર્તી ભાગો જેટલા નાના પેરાબોલાસ છે. જો આપણે સમાન ત્રણ વિભાગો લઈએ, તો સિમ્પસનની પદ્ધતિ લંબચોરસ પદ્ધતિ અથવા ટ્રેપેઝોઈડ પદ્ધતિ કરતાં પણ વધુ સચોટ અંદાજ આપશે.

મને ડ્રોઇંગ બનાવવાનો મુદ્દો દેખાતો નથી, કારણ કે વિઝ્યુઅલ અંદાજ ફંક્શનના ગ્રાફ પર સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવશે (અગાઉના ફકરાની તૂટેલી લાઇન - અને તે પછી પણ તે લગભગ એકરુપ છે).

સિમ્પસનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરવાની સમસ્યા વ્યવહારમાં સૌથી લોકપ્રિય કાર્ય છે. અને પેરાબોલા પદ્ધતિ પર નોંધપાત્ર ધ્યાન આપવામાં આવશે.

ક્રાંતિની સપાટી- એક મનસ્વી રેખા (સીધી, સપાટ અથવા અવકાશી વળાંક) ની સીધી રેખા (સપાટી ધરી) ની આસપાસ પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલી સપાટી. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ સીધી રેખા પરિભ્રમણની અક્ષને છેદે છે, તો જ્યારે તે પરિભ્રમણ કરે છે, તો એક શંકુ સપાટી પ્રાપ્ત થશે, જો તે અક્ષની સમાંતર હોય, તો તે નળાકાર હશે, એક સિંગલ-શીટ હાઇપરબોલોઇડ; ક્રાંતિ પ્રાપ્ત થશે. સમાન સપાટીને વિવિધ પ્રકારના વળાંકોને ફેરવીને મેળવી શકાય છે. વળાંકના સમતલમાં આવેલા પરંતુ વળાંકને છેદતી ન હોય તેવી અક્ષની આસપાસ મર્યાદિત લંબાઈના સમતલ વળાંકના પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલી ક્રાંતિની સપાટીનો વિસ્તાર વળાંકની લંબાઈ અને લંબાઈના ગુણાંક જેટલો છે. અક્ષથી વળાંકના સમૂહના કેન્દ્ર સુધીના અંતરની સમાન ત્રિજ્યા સાથેનું વર્તુળ. આ વિધાનને ગિલ્ડેનનું બીજું પ્રમેય, અથવા પપ્પસનું સેન્ટ્રોઇડ પ્રમેય કહેવામાં આવે છે.

અક્ષની ફરતે વળાંકના પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલી ક્રાંતિની સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

જ્યારે ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં વળાંકનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સૂત્ર માન્ય છે

ચોક્કસ અભિન્ન (દળોનું કાર્ય, સ્થિર ક્ષણો, ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર) ની યાંત્રિક એપ્લિકેશન.

દળોના કાર્યની ગણતરી

ભૌતિક બિંદુ સતત વિભેદક વળાંક સાથે આગળ વધે છે, જ્યારે તે ગતિની દિશામાં બોલ તરફ સ્પર્શક રીતે નિર્દેશિત બળ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે. ફોર્સ F(ઓ) દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય:

જો ગતિ માર્ગ પરના બિંદુની સ્થિતિ અન્ય પરિમાણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, તો સૂત્ર ફોર્મ લે છે:

સ્થિર ક્ષણો અને ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રની ગણતરી
કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર Oxy કેટલાક સમૂહ M ને P = p(y) સાથે બિંદુઓના ચોક્કસ સમૂહ પર વિતરિત કરવા દો (આ વળાંકની ચાપ અથવા બાઉન્ડેડ સપાટ આકૃતિ હોઈ શકે છે). ચાલો s(y) - ઉલ્લેખિત સમૂહ (ચાપની લંબાઈ અથવા વિસ્તાર) નું માપ દર્શાવીએ.

વ્યાખ્યા 2. સંખ્યા Ox અક્ષની સાપેક્ષ M ની kth ક્ષણ કહેવાય છે.
k = 0 M 0 = M - સમૂહ પર,
k = 1 M 1 - સ્થિર ક્ષણ,
k = 2 M 2 - જડતાની ક્ષણ.

ઓય અક્ષ વિશેની ક્ષણો એ જ રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે. અવકાશમાં, સમન્વયિત વિમાનોના સાપેક્ષ સમૂહની ક્ષણોની વિભાવનાઓ સમાન રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે.
જો p = 1 હોય, તો અનુરૂપ ક્ષણોને ભૌમિતિક કહેવામાં આવે છે. એક સમાન (p - const) સપાટ આકૃતિના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

જ્યાં M 1 y, M 1 x એ Oy અને Ox અક્ષને સંબંધિત આકૃતિની ભૌમિતિક સ્થિર ક્ષણો છે; S એ આકૃતિનો વિસ્તાર છે.

આ સૂત્રને સમાંતર વિભાગોના ક્ષેત્ર દ્વારા શરીરના જથ્થા માટેનું સૂત્ર કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ. લંબગોળનું કદ શોધો x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

ઓયઝ પ્લેનની સમાંતર પ્લેન સાથે લંબગોળને કાપીને અને તેનાથી અંતરે (-а ≤х ≤а), આપણે એક લંબગોળ મેળવીએ છીએ (જુઓ. આકૃતિ 15):

આ અંડાકારનો વિસ્તાર છે

તેથી, સૂત્ર (16) મુજબ, અમારી પાસે છે

ક્રાંતિના સપાટી વિસ્તારની ગણતરી

વળાંક AB એ ફંક્શન y = f (x) ≥ 0 નો ગ્રાફ છે, જ્યાં x [a,b], ફંક્શન y = f (x) અને તેના વ્યુત્પન્ન y" = f" (x) આના પર સતત છે સેગમેન્ટ

પછી ઓક્સ અક્ષની ફરતે વળાંક AB ના પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલી સપાટીનો વિસ્તાર S સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

જો AB વળાંક પેરામેટ્રિક સમીકરણો х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤t 2 દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો પરિભ્રમણની સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર સ્વરૂપ લે છે.

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

ઉદાહરણ R ત્રિજ્યાના બોલની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો. ઉકેલ:

આપણે ધારી શકીએ કે દડાની સપાટી ઓક્સ અક્ષની આસપાસ અર્ધવર્તુળ y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R ના પરિભ્રમણ દ્વારા રચાય છે. સૂત્ર (19) નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

-આર

ઉદાહરણ. સાયક્લોઇડ x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π આપેલ છે. y = a (1− કિંમત) ,

ઓક્સ અક્ષની આસપાસ તેને ફેરવીને રચાયેલ સપાટી વિસ્તાર શોધો. ઉકેલ:

જ્યારે સાયક્લોઇડ ચાપનો અડધો ભાગ ઓક્સ અક્ષની આસપાસ ફરે છે, ત્યારે પરિભ્રમણનો સપાટી વિસ્તાર બરાબર છે

પ્લેન વળાંકની ચાપ લંબાઈની ગણતરી

લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ

એક ચાપમાં ચાલો, જ્યારે તૂટેલી રેખાની લિંક્સની સંખ્યા અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે, અને સૌથી મોટા લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સની લંબાઈને સપાટ વળાંક AB આપવામાં આવે છે, જેનું સમીકરણ y = f(x) છે, જ્યાં a ≤ x≤ b .

આર્ક AB ની લંબાઈ એ મર્યાદા તરીકે સમજવામાં આવે છે કે જેમાં આ કડીમાં લખેલી તૂટેલી રેખાની લંબાઈ શૂન્ય તરફ વળે છે. ચાલો બતાવીએ કે જો ફંક્શન y = f(x) અને તેનું વ્યુત્પન્ન y′ = f′ (x) સેગમેન્ટ [a,b] પર સતત હોય, તો વળાંક AB ની લંબાઈ સમાન હોય છે.

જો AB વળાંકનું સમીકરણ પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં આપવામાં આવ્યું હોય

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

જ્યાં x (t) અને y (t) એ સતત ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સતત કાર્યો છે અને x (α) = a, x (β) = b, તો સૂત્ર દ્વારા વળાંક AB ની લંબાઈ l જોવા મળે છે.

આનો અર્થ છે l = 2π R. જો વર્તુળનું સમીકરણ પેરામેટ્રિક સ્વરૂપ = R કિંમત, y = R સિંટ (0 ≤t ≤ 2π ) માં લખેલું હોય, તો

ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ

ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β માં સમીકરણ દ્વારા વળાંક AB ને આપવા દો. ચાલો ધારીએ કે r (ϕ ) અને r" (ϕ ) અંતરાલ [α , β ] પર સતત છે.

જો સમાનતામાં x = r cosϕ, y = r sinϕ, ધ્રુવીય અને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સને જોડતા હોય,

કોણ ϕ ને પરિમાણ ગણવામાં આવે છે, પછી વળાંક AB ને parametrically સેટ કરી શકાય છેx = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

ફોર્મ્યુલા (15) લાગુ કરીને, આપણે l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ કાર્ડિયોઇડ r =a (1 + cosϕ ) ની લંબાઈ શોધો. ઉકેલ:

કાર્ડિયોઇડ r =a (1 + cosϕ) આકૃતિ 14 માં બતાવેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે. તે ધ્રુવીય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે. ચાલો કાર્ડિયોઇડની અડધી લંબાઈ શોધીએ:

આમ, 1 2 l = 4 a. આનો અર્થ છે l = 8a.