ત્રણ વિમાનોમાં એક સામાન્ય બિંદુ ન હોઈ શકે (જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછા બે સમાંતર હોય, અને જો તેમની આંતરછેદ રેખાઓ સમાંતર હોય તો પણ), સામાન્ય બિંદુઓની અનંત સંખ્યા હોઈ શકે છે (જો તે બધા એક સીધી રેખામાંથી પસાર થાય છે), અથવા માત્ર છે
એક સામાન્ય મુદ્દો. પ્રથમ કિસ્સામાં, સમીકરણોની સિસ્ટમ
કોઈ ઉકેલ નથી, બીજામાં અસંખ્ય ઉકેલો છે, ત્રીજામાં ફક્ત એક જ ઉકેલ છે. સંશોધન માટે, નિર્ધારકો (§ 183, 190) નો ઉપયોગ કરવો સૌથી અનુકૂળ છે, પરંતુ તમે પ્રારંભિક બીજગણિતના માધ્યમનો ઉપયોગ કરીને પણ મેળવી શકો છો.
ઉદાહરણ 1. વિમાનો
કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી, કારણ કે વિમાનો (1) અને (2) સમાંતર છે (§ 125). સમીકરણોની સિસ્ટમ અસંગત છે (સમીકરણો (1) અને (2) એકબીજાથી વિરોધાભાસી છે).
ઉદાહરણ 2. તપાસ કરો કે શું ત્રણ વિમાનોમાં સમાન બિંદુઓ છે
અમે સિસ્ટમ (4)-(6) માટે ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ. (4) અને (5) માંથી 2 ને દૂર કરવાથી, આપણને મળે છે, આ બે સમીકરણો અસંગત છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્રણેય વિમાનોમાં કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી. તેમની વચ્ચે કોઈ સમાંતર વિમાનો ન હોવાથી, ત્રણ રેખાઓ જેની સાથે વિમાનો જોડીમાં છેદે છે તે સમાંતર છે.
ઉદાહરણ 3. તપાસ કરો કે વિમાનોમાં સામાન્ય બિંદુઓ છે કે કેમ
ઉદાહરણ 2 ની જેમ આગળ વધતાં, આપણે બંને વખત મેળવીએ છીએ, એટલે કે, હકીકતમાં, બે નહીં, પરંતુ એક સમીકરણ. તેના અસંખ્ય ઉકેલો છે. એટલે કે ત્રણ
I5 જે પણ ત્રણ બિંદુઓ છે જે એક જ રેખા પર આવેલા નથી, ત્યાં વધુમાં વધુ એક વિમાન આ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
I6 જો રેખાના બે બિંદુઓ A અને B સમતલ a માં આવેલા છે, તો રેખા aનો દરેક બિંદુ સમતલ a માં આવેલો છે. (આ કિસ્સામાં આપણે કહીશું કે લાઇન a પ્લેન a માં રહે છે અથવા તે પ્લેન a એ લાઇન aમાંથી પસાર થાય છે.
I7 જો બે પ્લેન a અને b નો સામાન્ય બિંદુ A હોય, તો તેમની પાસે ઓછામાં ઓછો એક વધુ સામાન્ય બિંદુ B હોય.
I8 ત્યાં ઓછામાં ઓછા ચાર બિંદુઓ છે જે સમાન વિમાનમાં આવેલા નથી.
પહેલેથી જ આ 8 સિદ્ધાંતોમાંથી પ્રાથમિક ભૂમિતિના ઘણા પ્રમેયને અનુમાનિત કરવું શક્ય છે, જે સ્પષ્ટપણે સ્પષ્ટ છે અને તેથી, શાળા ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં સાબિત થતા નથી અને કેટલીકવાર, તાર્કિક કારણોસર, એક અથવા બીજી શાળાના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોમાં શામેલ છે. અભ્યાસક્રમ
ઉદાહરણ તરીકે:
1. બે રેખાઓમાં વધુમાં વધુ એક સામાન્ય બિંદુ હોય છે.
2. જો બે વિમાનોમાં સમાન બિંદુ હોય, તો તેમની પાસે એક સામાન્ય રેખા હોય છે જેના પર આ બે વિમાનોના તમામ સામાન્ય બિંદુઓ આવેલા હોય છે.
પુરાવો: (શો-ઓફ માટે):
I દ્વારા 7 $ B, જે a અને b નું પણ છે, કારણ કે A,B "a, પછી I 6 AB "b અનુસાર. આનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખા AB બે વિમાનો માટે સામાન્ય છે.
3. એક રેખા અને તેના પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, જેમ બે છેદતી રેખાઓમાંથી, ત્યાં એક અને માત્ર એક જ વિમાન પસાર થાય છે.
4. દરેક પ્લેન પર ત્રણ બિંદુઓ છે જે સમાન રેખા પર આવેલા નથી.
ટિપ્પણી કરો: આ સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને તમે થોડા પ્રમેયો સાબિત કરી શકો છો અને તેમાંથી મોટા ભાગના ખૂબ સરળ છે. ખાસ કરીને, ભૌમિતિક તત્વોનો સમૂહ અનંત છે તે આ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો પરથી સાબિત કરવું અશક્ય છે.
ગ્રૂપ II ઑર્ડરના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો.
જો ત્રણ બિંદુઓ સીધી રેખા પર આપવામાં આવે છે, તો તેમાંથી એક "વચ્ચે આવેલા" સંબંધમાં અન્ય બે સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે, જે નીચેના સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે:
II1 જો B એ A અને C વચ્ચે આવેલું છે, તો A, B, C એ જ રેખાના જુદા જુદા બિંદુઓ છે અને B એ C અને A વચ્ચે આવેલું છે.
II2 A અને B બે બિંદુઓ ગમે તે હોય, AB રેખા પર ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ C છે જેમ કે B A અને C વચ્ચે આવેલું છે.
II3 રેખા પરના કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓમાં, અન્ય બે વચ્ચે વધુમાં વધુ એક બિંદુ આવેલું છે
હિલ્બર્ટ મુજબ, સેગમેન્ટ AB(BA) ઉપર અમારો અર્થ એ છે કે પોઈન્ટ A અને Bની જોડી. પોઈન્ટ A અને Bને સેગમેન્ટનો છેડો કહેવામાં આવે છે, અને પોઈન્ટ A અને B વચ્ચે આવેલા કોઈપણ બિંદુને સેગમેન્ટનો આંતરિક બિંદુ કહેવામાં આવે છે. AB(BA).
ટિપ્પણી:પરંતુ II 1-II 3 થી તે હજી સુધી અનુસરતું નથી કે દરેક સેગમેન્ટમાં આંતરિક બિંદુઓ છે, પરંતુ II 2 થી, Þ કે સેગમેન્ટમાં બાહ્ય બિંદુઓ છે.
II4 (પાશનું સ્વયંસિદ્ધ) A, B, C ને ત્રણ બિંદુઓ દો જે એક જ રેખા પર ન હોય, અને ABC સમતલમાં એક સીધી રેખા દો જે કોઈપણ બિંદુ A, B, Cમાંથી પસાર થતી નથી. પછી જો સીધી રેખા a એ સેગમેન્ટ AB પરના બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, તો તે AC અથવા BC ખંડ પરના બિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે.
ક્ર.1: બિંદુઓ A અને C ગમે તે હોય, A અને C ની વચ્ચે આવેલી રેખા AC પર ઓછામાં ઓછો એક બિંદુ D છે.
દસ્તાવેજ: I 3 Þ$ એટલે કે AC લાઇન પર સૂવું નથી
ક્ર.2.જો C એ A અને C વચ્ચે AD અને B સેગમેન્ટ પર આવેલું છે, તો B એ A અને D વચ્ચે અને C B અને D વચ્ચે આવેલું છે.હવે આપણે બે નિવેદનો સાબિત કરી શકીએ છીએ
DC3જો પોઈન્ટ A, B અને C સમાન સીધી રેખા પર હોય તો વિધાન II 4 પણ ધરાવે છે.
અને સૌથી રસપ્રદ બાબત.
સ્તર 4 . રેખા પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચે અનંત સંખ્યામાં અન્ય બિંદુઓ (સ્વ) હોય છે.
જો કે, તે સ્થાપિત કરી શકાતું નથી કે રેખા પરના બિંદુઓનો સમૂહ અગણિત છે .
જૂથ I અને II ના સ્વયંસિદ્ધ અમને આવા મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલો રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે અર્ધ-વિમાન, કિરણ, અર્ધ-જગ્યા અને કોણ. પ્રથમ આપણે પ્રમેય સાબિત કરીએ છીએ.
થ1. સમતલમાં પડેલી રેખા a આ સમતલના બિંદુઓના સમૂહને વિભાજિત કરે છે જે રેખા a પર ન હોય તેવા બે બિન-ખાલી સબસેટમાં વિભાજિત થાય છે જેથી જો બિંદુ A અને B એક જ સબસેટના હોય, તો સેગમેન્ટ AB માં કોઈ સામાન્ય નથી. રેખા a સાથે બિંદુઓ; જો આ બિંદુઓ જુદા જુદા સબસેટના હોય, તો સેગમેન્ટ AB પાસે રેખા a સાથે સામાન્ય બિંદુ છે.
વિચાર: એક સંબંધ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે, એટલે કે, A અને B Ï એજો સેગમેન્ટ AB માં રેખા સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ ન હોય તો Δ સંબંધમાં છે એઅથવા આ બિંદુઓ એકરુપ છે. પછી સંબંધ Δ ના સંદર્ભમાં સમાનતા વર્ગોના સેટને ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા હતા. તે સાબિત થયું છે કે સરળ તર્કનો ઉપયોગ કરીને તેમાંથી ફક્ત બે જ છે.
Odr1અગાઉના પ્રમેય દ્વારા નિર્ધારિત બિંદુઓના દરેક સબસેટને સીમા a સાથે અર્ધ-વિમાન કહેવામાં આવે છે.
એ જ રીતે, આપણે કિરણ અને અર્ધ-અવકાશની વિભાવનાઓ રજૂ કરી શકીએ છીએ.
બીમ- h, અને સીધી રેખા છે.
Odr2કોણ એ એક જ બિંદુ O માંથી નીકળતા અને સમાન સીધી રેખા પર ન પડેલા h અને k કિરણોની જોડી છે. તેથી O એ કોણનું શિરોબિંદુ કહેવાય છે અને h અને k કિરણો કોણની બાજુઓ છે. અમે તેને સામાન્ય રીતે સૂચિત કરીએ છીએ: Ðhk.
બિંદુ M એ કોણ hk નો આંતરિક બિંદુ કહેવાય છે જો બિંદુ M અને રે k સીમા સાથે સમાન અર્ધ-પ્લેનમાં હોય અને બિંદુ M અને રે k સીમા સાથે સમાન અર્ધ-પ્લેનમાં હોય. તમામ આંતરિક બિંદુઓના સમૂહને ખૂણાનો આંતરિક વિસ્તાર કહેવામાં આવે છે.
ખૂણાનો બાહ્ય વિસ્તાર એક અનંત સમૂહ છે, કારણ કે એક ખૂણાની વિવિધ બાજુઓ પર છેડા સાથેના સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ આંતરિક છે. પદ્ધતિસરના કારણોસર નીચેની ગુણધર્મનો વારંવાર સ્વયંસિદ્ધમાં સમાવેશ કરવામાં આવે છે.
મિલકત: જો કિરણ કોઈ ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી આવે છે અને આ ખૂણાના ઓછામાં ઓછા એક આંતરિક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, તો તે ખૂણાની જુદી જુદી બાજુઓ પર છેડાવાળા કોઈપણ સેગમેન્ટને છેદે છે. (સ્વ-નિર્માણ)
જૂથ III. સુસંગતતા (સમાનતા)
વિભાગો અને ખૂણાઓના સમૂહ પર, સુસંગતતા અથવા સમાનતાનો સંબંધ રજૂ કરવામાં આવે છે (“=” દ્વારા સૂચિત), સ્વયંસિદ્ધિઓને સંતોષતા:
III 1 જો એક સેગમેન્ટ AB અને બિંદુ A/માંથી નીકળતો કિરણ આપવામાં આવે, તો $t.B/ આ કિરણ સાથે સંબંધિત છે, જેથી AB = A/B/ .
III 2 જો A / B / =AB અને A // B // =AB, તો A / B / =A // B // .
III 3 ચાલો A-B-C, A/-B/-C/ , AB=A/B/ અને BC=B/C/, પછી AC=A/C/
Odr3જો O/ એ બિંદુ છે, h/ એ આ બિંદુમાંથી નીકળતું કિરણ છે, અને l/ એ સીમા સાથેનું અર્ધ-વિમાન છે, તો O/,h/ અને l/ના ત્રિવિધ પદાર્થોને ધ્વજ (O/,h) કહેવામાં આવે છે. / ,l /).
III 4 Ðhk અને ધ્વજ (О / ,h / ,l /) આપવા દો. પછી અર્ધ-વિમાનમાં l / એક અનોખું કિરણ છે કે / બિંદુ Oમાંથી નીકળે છે / જેમ કે Ðhk = Ðh / k / .
III 5 A, B અને C એ ત્રણ બિંદુઓ છે જે એક જ લાઇન પર આવેલા નથી. જો આ કિસ્સામાં AB = A / B / , AC = A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, તો ÐABC = ÐA / B / C / .
1. બિંદુ B/B III 1 આ બીમ પર એક માત્ર છે (સ્વ)
2. સેગમેન્ટ્સનો કોન્ગ્રુઅન્સ રિલેશન એ સેગમેન્ટ્સના સેટ પર સમાનતા સંબંધ છે.
3. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, પાયા પરના ખૂણાઓ સમાન હોય છે. (III 5 મુજબ).
4. ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો.
5. કોણ સુસંગતતા સંબંધ એ ખૂણાઓના સમૂહ પર સમાનતા સંબંધ છે. (અહેવાલ)
6. ત્રિકોણનો બાહ્ય ખૂણો ત્રિકોણના દરેક ખૂણા કરતા મોટો હોય છે જે તેની બાજુમાં ન હોય.
7. દરેક ત્રિકોણમાં, મોટો કોણ મોટી બાજુની વિરુદ્ધમાં આવેલું છે.
8. કોઈપણ સેગમેન્ટમાં એક અને માત્ર એક જ મધ્યબિંદુ હોય છે
9. કોઈપણ ખૂણામાં એક અને માત્ર એક જ દ્વિભાજક હોય છે
નીચેના ખ્યાલો રજૂ કરી શકાય છે:
Odr4તેના સંલગ્ન એક સમાન ખૂણાને કાટકોણ કહેવામાં આવે છે.
તમે વર્ટિકલ એંગલ, લંબ અને ત્રાંસી, વગેરેને વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો.
^ ની વિશિષ્ટતા સાબિત કરવી શક્ય છે. તમે વિભાવનાઓ રજૂ કરી શકો છો > અને< для отрезков и углов:
Odr5જો સેગમેન્ટ્સ AB અને A/B/ અને $t.C આપવામાં આવ્યા હોય, એટલે કે A/-C-B/ અને A/C = AB, તો A/B/>AB.
Odr6જો બે ખૂણા Ðhk અને Ðh / k / આપવામાં આવે, અને જો આંતરિક પ્રદેશ Ðhk અને તેના શિરોબિંદુ દ્વારા કોઈ એક કિરણ l દોરી શકે કે Ðh / k / = Ðhl, તો Ðhk > Ðh / k / .
અને સૌથી રસપ્રદ બાબત એ છે કે જૂથ I-III ના સ્વયંસિદ્ધોની મદદથી તમે ગતિ (સુપરપોઝિશન) નો ખ્યાલ રજૂ કરી શકો છો.
તે આના જેવું કંઈક કર્યું છે:
ચાલો આપણે માની લઈએ કે આ સમૂહોના બિંદુઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થયેલ છે. સમૂહ p ના પોઈન્ટ M અને Nની દરેક જોડી MN સેગમેન્ટને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. M / અને N / ને સેટ p ના પોઈન્ટ બનવા દો / પોઈન્ટ MN ને અનુરૂપ. ચાલો સેગમેન્ટ M/N/ને અનુરૂપ સેગમેન્ટ MN કૉલ કરવા માટે સંમત થઈએ.
Odr7જો p અને p/ વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર એવો હોય કે અનુરૂપ સેગમેન્ટ્સ હંમેશા પરસ્પર સુસંગત હોય, તો સેટ p અને p/ને એકરૂપ કહેવાય છે . વધુમાં, તેઓ એમ પણ કહે છે કે દરેક સેટ p અને p/ મેળવવામાં આવે છે ચળવળબીજામાંથી અથવા તેમાંથી એક સેટ બીજા પર સુપરઇમ્પોઝ કરી શકાય છે. સેટ p અને p/ ના અનુરૂપ બિંદુઓને ઓવરલેપિંગ કહેવામાં આવે છે.
મંજૂરી1: સીધી રેખા પર પડેલા બિંદુઓ, જ્યારે ખસેડતા હોય ત્યારે, ચોક્કસ સીધી રેખા પર પડેલા બિંદુઓમાં પરિવર્તિત થાય છે.
Utv2 સમૂહના એક બિંદુને તેના અન્ય બે બિંદુઓ સાથે જોડતા બે વિભાગો વચ્ચેનો ખૂણો એકરૂપ સમૂહના અનુરૂપ વિભાગો વચ્ચેના ખૂણા સાથે સુસંગત છે.
તમે પરિભ્રમણ, પાળી, હલનચલનની રચના વગેરેનો ખ્યાલ રજૂ કરી શકો છો.
જૂથ IV. Axioms સાતત્ય અને.
IV 1 (Axiom of Archimedes). AB અને CD ને અમુક સેગમેન્ટ્સ થવા દો. પછી સીધી રેખા AB પર A 1, A 2, ..., A n બિંદુઓનો મર્યાદિત સમૂહ છે જે નીચેની શરતો સંતુષ્ટ છે:
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-An
IV2 (Cantor's Axiom) A1B1, A2B2,... સેગમેન્ટ્સનો અનંત ક્રમ એક મનસ્વી રેખા a પર આપવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક અનુગામી એક પાછલા એકની અંદર આવેલું છે અને વધુમાં, કોઈપણ સેગમેન્ટ CD માટે કુદરતી સંખ્યા છે. n જેમ કે AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
કેન્ટરના સ્વયંસિદ્ધની શરતો પરથી તે તરત જ અનુસરે છે કે આવા m.M અનન્ય છે, કારણ કે જો આ આવું નથી, અને સંજ્ઞા. વધુ એક t.N, પછી સેગમેન્ટ MN
તે સાબિત કરી શકાય છે કે Axioms I-III અને IV 1 , IV 2 એ Dedekind ના નીચેના પ્રસ્તાવના સમકક્ષ છે. ડેડેકાઇન્ડનું પ્રમેયસેગમેન્ટ [AB] ના બિંદુઓના વિભાજનને બે વર્ગો K 1 અને K 2 માં આપીએ, તે K 1 È K 2 = [AB], K 1 ÇK 2 =Æ, બે શરતોને સંતોષતા: a) АОК 1, ВОК 2 અને વર્ગો K 1 અને K 2 માં પોઈન્ટ A અને B થી અલગ પોઈન્ટ છે. b) વર્ગ K 1 નો કોઈપણ બિંદુ, A સિવાયનો, બિંદુ A અને વર્ગ K 2 ના કોઈપણ બિંદુ વચ્ચે આવેલો છે પછી સેગમેન્ટ [AB] ના $ t.M 0, જેમ કે A અને M 0 ની વચ્ચે આવેલો કોઈપણ બિંદુ વર્ગ K 1 નો છે, અને M 0 અને B વચ્ચેનો કોઈપણ બિંદુ વર્ગ K 2 નો છે. સેગમેન્ટ [AB] નું વર્ગ K 1, K 2 સંતોષકારક સ્થિતિ a)-c) કહેવાય છે. Dedekind વિભાગ
. તે સાબિત કરી શકાય છે કે વિભાગ જનરેટ કરતો બિંદુ M 0 અનન્ય છે. જૂથ I-IV ના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના આધારે, સેગમેન્ટ્સ અને ખૂણાઓને માપવાનો સિદ્ધાંત બાંધવો શક્ય છે. તે સાબિત પણ થઈ શકે છે કે $ એ બાયજેક્શન છે. એક લીટી પરના પોઈન્ટનો સમૂહ આરવાસ્તવિક સંખ્યાઓ, ઓર્ડર સાચવેલ છે. પરંતુ વિસ્તારો અને વોલ્યુમોના સિદ્ધાંતનું નિર્માણ કરવું અશક્ય છે, કારણ કે મને સમાંતરતાના સ્વયંસિદ્ધની જરૂર હતી. GROUP V. સમાંતરતાનું સ્વયંસિદ્ધ
.
V. ચાલો એક મનસ્વી રેખા બનીએ, અને A એક બિંદુ આ રેખા પર ન આવે. પછી બિંદુ A અને રેખા a દ્વારા નિર્ધારિત પ્લેનમાં, A માંથી પસાર થતી અને a ને છેદતી નથી વધુમાં વધુ એક સીધી રેખા છે. I-V ના આધારે, વ્યક્તિ સમાનતા, સમાનતા વગેરેનો સિદ્ધાંત બનાવી શકે છે. ત્રિકોણમિતિને ન્યાય આપો, કોઓર્ડિનેટ્સ રજૂ કરો, બતાવો કે રેખા પ્લેન પર છે (પ્રથમ ડિગ્રી સમીકરણની વ્યાખ્યા, વગેરે) ટિપ્પણી કરો: V * a એ એક મનસ્વી સીધી રેખા છે, A એ એક જ સીધી રેખા પર સ્થિત નથી, પછી t.A અને સીધી રેખા a દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવેલ, ત્યાં ઓછામાં ઓછી બે રેખાઓ A માંથી પસાર થાય છે અને a ને છેદતી નથી. જૂથ I-IVÈV * - લોબાચેવ્સ્કી ભૂમિતિ બાંધવામાં આવી છે. તે કેવી રીતે છે કે, માત્ર એક સ્વયંસિદ્ધને બદલીને, આપણને સંપૂર્ણપણે અલગ ભૂમિતિ મળી? અહીં આપણે ગણિતના પાયા અને ગાણિતિક સિદ્ધાંતોના નિર્માણ માટેના નિયમોને સ્પર્શ કરવો પડશે.
પોઈન્ટ કે જે સમાન લાઇન પર આવેલા નથી? એ) છેદે; b) કશું કહી શકાતું નથી; c) છેદશો નહીં; ડી) એકરુપ; e) ત્રણ સામાન્ય મુદ્દાઓ છે.
2. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે? a) જો વર્તુળના બે બિંદુઓ પ્લેનમાં આવેલા હોય, તો પછી આખું વર્તુળ આ પ્લેનમાં આવેલું છે; b) ત્રિકોણના સમતલમાં પડેલી સીધી રેખા તેની બે બાજુઓને છેદે છે; c) કોઈપણ બે વિમાનોમાં માત્ર એક સામાન્ય બિંદુ હોય છે; ડી) પ્લેન બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને માત્ર એક; e) જો તે ત્રિકોણની બાજુઓ ધરાવતી બે રેખાઓને છેદે છે તો આપેલ ત્રિકોણના સમતલમાં રેખા રહે છે.
3. શું બે અલગ-અલગ વિમાનોમાં માત્ર બે સામાન્ય બિંદુઓ હોઈ શકે છે? એ) ક્યારેય નહીં; b) હું કરી શકું છું, પરંતુ વધારાની શરતો હેઠળ; c) હંમેશા હોય છે; ડી) પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકાતો નથી; ડી) બીજો જવાબ.
4. પોઈન્ટ K, L, M એ જ લીટી પર આવેલા છે, પોઈન્ટ N તેના પર આવેલો નથી. દરેક ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા એક પ્લેન દોરવામાં આવે છે. આના પરિણામે કેટલા જુદા જુદા વિમાનો આવ્યા? એ) 1; b) 2; c) 3; ડી) 4; ડી) અનંત ઘણા.
5. સાચું વિધાન પસંદ કરો. a) વિમાન કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને માત્ર એક જ; b) જો રેખાના બે બિંદુઓ પ્લેનમાં આવેલા છે, તો પછી રેખાના તમામ બિંદુઓ આ પ્લેનમાં આવેલા છે; c) જો બે વિમાનોમાં સામાન્ય બિંદુ હોય, તો પછી તેઓ એકબીજાને છેદે નહીં; ડી) એક પ્લેન, અને માત્ર એક જ, એક રેખા અને તેના પર પડેલા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે; e) બે છેદતી સીધી રેખાઓ દ્વારા પ્લેન દોરવાનું અશક્ય છે.
6. PBM અને MAB વિમાનોની સામાન્ય સીધી રેખાને નામ આપો. a) PM; b) એબી; c) પીબી; ડી) બીએમ; e) નક્કી કરી શકાતું નથી.
7. રેખાઓ a અને b બિંદુ M પર છેદે છે. રેખા c, બિંદુ Mમાંથી પસાર થતી નથી, a અને b રેખાઓને છેદે છે. a, b અને c રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ વિશે શું કહી શકાય? a) બધી સીધી રેખાઓ વિવિધ વિમાનોમાં રહે છે; b) સીધી રેખાઓ a અને b સમાન સમતલમાં આવેલી છે; c) બધી સીધી રેખાઓ સમાન વિમાનમાં રહે છે; ડી) કશું કહી શકાતું નથી; e) લીટી c એક લીટી સાથે એકરુપ છે: ક્યાં તો a અથવા b.
8. રેખાઓ a અને b બિંદુ O પર છેદે છે. A € a, B € b, Y € AB. યોગ્ય વિધાન પસંદ કરો. a) બિંદુઓ O અને Y એક જ પ્લેનમાં આવેલા નથી; b) સીધી રેખાઓ OY અને a સમાંતર છે; c) સીધી રેખાઓ a, b અને બિંદુ Y સમાન સમતલમાં આવેલા છે; ડી) બિંદુઓ O અને Y એકરુપ છે; e) પોઈન્ટ Y અને A એકરૂપ થાય છે.
વિકલ્પ 2.1. બે વિમાનોની સાપેક્ષ સ્થિતિ વિશે શું કહી શકાય કે જેમાં ત્રણ સામાન્ય બિંદુઓ છે જે સમાન સીધી રેખા પર આવેલા નથી?
એ) છેદે; b) કશું કહી શકાતું નથી; c) છેદશો નહીં; ડી) એકરુપ; e) ત્રણ સામાન્ય મુદ્દાઓ છે.
2. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
a) જો વર્તુળના બે બિંદુઓ પ્લેનમાં આવેલા હોય, તો પછી આખું વર્તુળ આ પ્લેનમાં આવેલું છે; b) ત્રિકોણના સમતલમાં પડેલી સીધી રેખા તેની બે બાજુઓને છેદે છે; c) કોઈપણ બે વિમાનોમાં માત્ર એક સામાન્ય બિંદુ હોય છે; ડી) એક પ્લેન બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને માત્ર એક; e) જો તે ત્રિકોણની બાજુઓ ધરાવતી બે રેખાઓને છેદે છે તો આપેલ ત્રિકોણના સમતલમાં રેખા રહે છે.
3. શું બે અલગ-અલગ વિમાનોમાં માત્ર બે સામાન્ય બિંદુઓ હોઈ શકે છે?
એ) ક્યારેય નહીં; b) હું કરી શકું છું, પરંતુ વધારાની શરતો હેઠળ; c) હંમેશા હોય છે; ડી) પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકાતો નથી; ડી) બીજો જવાબ.
4. પોઈન્ટ K, L, M એ જ લીટી પર આવેલા છે, પોઈન્ટ N તેના પર આવેલો નથી. દરેક ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા એક પ્લેન દોરવામાં આવે છે. આના પરિણામે કેટલા જુદા જુદા વિમાનો આવ્યા?
એ) 1; b) 2; c) 3; ડી) 4; ડી) અનંત ઘણા.
5. સાચું વિધાન પસંદ કરો.
a) વિમાન કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને માત્ર એક જ; b) જો રેખાના બે બિંદુઓ પ્લેનમાં આવેલા છે, તો પછી રેખાના તમામ બિંદુઓ આ પ્લેનમાં આવેલા છે; c) જો બે વિમાનોમાં સામાન્ય બિંદુ હોય, તો પછી તેઓ એકબીજાને છેદે નહીં; ડી) એક પ્લેન, અને માત્ર એક જ, એક રેખા અને તેના પર પડેલા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે; e) બે છેદતી સીધી રેખાઓ દ્વારા પ્લેન દોરવાનું અશક્ય છે.
6. PBM અને MAB વિમાનોની સામાન્ય સીધી રેખાને નામ આપો.
a) PM; b) એબી; c) પીબી; ડી) બીએમ; e) નક્કી કરી શકાતું નથી.
7. સૂચિબદ્ધ પ્લેનમાંથી ક્યા પ્લેનને સીધી રેખા RM છેદે છે (ફિગ. 1)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; ડી) એબીસી; e) CDA.
B1 C1
8. બે વિમાનો એક સીધી રેખામાં છેદે છે c. પોઈન્ટ M માત્ર એક જ વિમાનમાં આવેલો છે. બિંદુ M અને રેખા cની સંબંધિત સ્થિતિ વિશે શું કહી શકાય?
a) કોઈ નિષ્કર્ષ દોરી શકાતો નથી; b) સીધી રેખા c બિંદુ Mમાંથી પસાર થાય છે; c) બિંદુ M લીટી c પર આવેલું છે; d) સીધી રેખા c બિંદુ Mમાંથી પસાર થતી નથી; ડી) બીજો જવાબ.
9. રેખાઓ a અને b બિંદુ M પર છેદે છે. રેખા c, બિંદુ Mમાંથી પસાર થતી નથી, a અને b રેખાઓને છેદે છે. a, b અને c રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ વિશે શું કહી શકાય?
a) બધી સીધી રેખાઓ વિવિધ વિમાનોમાં રહે છે; b) સીધી રેખાઓ a અને b સમાન સમતલમાં આવેલી છે; c) બધી સીધી રેખાઓ સમાન વિમાનમાં રહે છે; ડી) કશું કહી શકાતું નથી; e) લીટી c એક લીટી સાથે એકરુપ છે: ક્યાં તો a અથવા b.
10. રેખાઓ a અને b બિંદુ O પર છેદે છે. A € a, B € b, Y € AB. યોગ્ય વિધાન પસંદ કરો.
a) બિંદુઓ O અને Y એક જ પ્લેનમાં આવેલા નથી; b) સીધી રેખાઓ OY અને a સમાંતર છે; c) સીધી રેખાઓ a, b અને બિંદુ Y સમાન સમતલમાં આવેલા છે; d) બિંદુઓ O અને Y એકરુપ છે; e) પોઈન્ટ Y અને A એકરૂપ થાય છે.
શું કિરણો AB અને AC તેની ધાર પર લંબરૂપ છે? 2. શું એ સાચું છે કે જો AB અને AC કિરણો ડાયહેડ્રલ એંગલના ચહેરા પર હોય તો રેખીય કોણ BAC એ ડાયહેડ્રલ કોણ છે? 3. શું એ સાચું છે કે કોણ BAC એ ડાયહેડ્રલ એંગલનો રેખીય ખૂણો છે જો કિરણો AB અને AC તેની ધાર પર લંબરૂપ હોય અને E અને C બિંદુઓ કોણના ચહેરા પર હોય? 4. ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ 80 ડિગ્રી છે. શું ખૂણાના એક ચહેરામાં સીધી રેખા છે જે બીજા ચહેરા પર લંબ છે? 5. કોણ ABC એ આલ્ફા કિનારીવાળા ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ છે. શું સીધી રેખા આલ્ફા એબીસી પ્લેન પર લંબ છે? શું એ સાચું છે કે આપેલ સમતલને લંબરૂપ તમામ રેખાઓ અને આપેલ રેખાને છેદે છે તે જ સમતલમાં આવેલી છે?
પ્લાનિમેટ્રીમાં, પ્લેન એ મુખ્ય આકૃતિઓમાંનું એક છે, તેથી, તેની સ્પષ્ટ સમજ હોવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. આ લેખ આ વિષયને આવરી લેવા માટે બનાવવામાં આવ્યો હતો. પ્રથમ, પ્લેનની વિભાવના, તેની ગ્રાફિકલ રજૂઆત આપવામાં આવે છે અને વિમાનોના હોદ્દા બતાવવામાં આવે છે. આગળ, પ્લેનને બિંદુ, સીધી રેખા અથવા અન્ય પ્લેન સાથે એકસાથે ગણવામાં આવે છે, અને અવકાશમાં તેમની સંબંધિત સ્થિતિઓમાંથી વિકલ્પો ઉદ્ભવે છે. લેખના બીજા અને ત્રીજા અને ચોથા ફકરામાં, બે વિમાનો, એક સીધી રેખા અને એક વિમાન, તેમજ બિંદુઓ અને વિમાનોની સંબંધિત સ્થિતિ માટેના તમામ વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે, મૂળભૂત સ્વયંસિદ્ધ અને ગ્રાફિક ચિત્રો આપવામાં આવ્યા છે. નિષ્કર્ષમાં, અવકાશમાં પ્લેનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મુખ્ય પદ્ધતિઓ આપવામાં આવી છે.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
પ્લેન - મૂળભૂત ખ્યાલો, પ્રતીકો અને છબીઓ.
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સૌથી સરળ અને સૌથી મૂળભૂત ભૌમિતિક આકૃતિઓ એક બિંદુ, એક સીધી રેખા અને એક સમતલ છે. અમારી પાસે પહેલાથી જ પ્લેન પર એક બિંદુ અને રેખાનો ખ્યાલ છે. જો આપણે એક પ્લેન મૂકીએ કે જેના પર બિંદુઓ અને રેખાઓ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં દર્શાવવામાં આવી હોય, તો આપણને અવકાશમાં બિંદુઓ અને રેખાઓ મળે છે. અવકાશમાં પ્લેનનો વિચાર આપણને મેળવવાની મંજૂરી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ટેબલ અથવા દિવાલની સપાટી. જો કે, ટેબલ અથવા દિવાલ મર્યાદિત પરિમાણો ધરાવે છે, અને પ્લેન તેની સીમાઓથી આગળ અનંત સુધી વિસ્તરે છે.
અવકાશમાં બિંદુઓ અને સીધી રેખાઓ પ્લેનની જેમ જ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે - અનુક્રમે મોટા અને નાના લેટિન અક્ષરોમાં. ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુઓ A અને Q, રેખાઓ a અને d. જો એક લીટી પર બે બિંદુઓ આપવામાં આવે છે, તો પછી લીટીને આ બિંદુઓને અનુરૂપ બે અક્ષરો દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સીધી રેખા AB અથવા BA બિંદુઓ A અને Bમાંથી પસાર થાય છે. વિમાનો સામાન્ય રીતે નાના ગ્રીક અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, વિમાનો, અથવા.
સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, ડ્રોઇંગમાં વિમાનોનું ચિત્રણ કરવું જરૂરી બને છે. પ્લેનને સામાન્ય રીતે સમાંતરગ્રામ અથવા મનસ્વી સરળ બંધ પ્રદેશ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્લેનને સામાન્ય રીતે બિંદુઓ, સીધી રેખાઓ અથવા અન્ય વિમાનો સાથે ગણવામાં આવે છે અને તેમની સંબંધિત સ્થિતિ માટે વિવિધ વિકલ્પો ઉભા થાય છે. ચાલો તેમના વર્ણન પર આગળ વધીએ.
પ્લેન અને બિંદુની સંબંધિત સ્થિતિ.
ચાલો સ્વયંસિદ્ધ સાથે પ્રારંભ કરીએ: દરેક પ્લેનમાં બિંદુઓ હોય છે. તેમાંથી પ્લેન અને બિંદુની સંબંધિત સ્થિતિ માટેના પ્રથમ વિકલ્પને અનુસરે છે - બિંદુ પ્લેનનો હોઈ શકે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્લેન એક બિંદુમાંથી પસાર થઈ શકે છે. બિંદુ પ્લેનનું છે તે દર્શાવવા માટે, "" ચિહ્નનો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો પ્લેન બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે, તો પછી તમે ટૂંકમાં લખી શકો છો.
તે સમજવું જોઈએ કે અવકાશમાં આપેલ પ્લેન પર અનંત ઘણા બધા બિંદુઓ છે.
નીચેનો સ્વયંસિદ્ધ બતાવે છે કે અવકાશમાં કેટલા બિંદુઓ ચિહ્નિત હોવા જોઈએ જેથી તેઓ ચોક્કસ પ્લેનને વ્યાખ્યાયિત કરે: ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા જે એક જ લાઇન પર ન હોય, એક પ્લેન પસાર થાય છે અને માત્ર એક જ. જો પ્લેનમાં પડેલા ત્રણ બિંદુઓ જાણીતા છે, તો પછી પ્લેનને આ બિંદુઓને અનુરૂપ ત્રણ અક્ષરો દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો પ્લેન A, B અને C બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, તો તેને ABC નામ આપી શકાય છે.
ચાલો આપણે બીજો સ્વયંસિદ્ધ ઘડીએ, જે પ્લેન અને બિંદુની સંબંધિત સ્થિતિનું બીજું સંસ્કરણ આપે છે: ત્યાં ઓછામાં ઓછા ચાર બિંદુઓ છે જે સમાન પ્લેનમાં આવેલા નથી. તેથી, અવકાશમાં એક બિંદુ પ્લેન સાથે સંબંધિત ન હોઈ શકે. ખરેખર, અગાઉના સ્વયંસિદ્ધના આધારે, એક પ્લેન અવકાશમાં ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને ચોથો બિંદુ આ પ્લેન પર હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. સંક્ષિપ્તમાં લખતી વખતે, "" ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો, જે "સંબંધિત નથી" શબ્દસમૂહની સમકક્ષ છે.
ઉદાહરણ તરીકે, જો બિંદુ A પ્લેનમાં રહેતું નથી, તો પછી ટૂંકા સંકેતનો ઉપયોગ કરો.
અવકાશમાં સીધી રેખા અને વિમાન.
પ્રથમ, એક સીધી રેખા પ્લેનમાં પડી શકે છે. આ કિસ્સામાં, આ રેખાના ઓછામાં ઓછા બે બિંદુઓ પ્લેનમાં આવેલા છે. આ સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા સ્થાપિત થયેલ છે: જો રેખાના બે બિંદુઓ પ્લેનમાં આવેલા છે, તો આ રેખાના તમામ બિંદુઓ પ્લેનમાં આવેલા છે. આપેલ પ્લેનમાં ચોક્કસ લાઇનને સંક્ષિપ્તમાં રેકોર્ડ કરવા માટે, "" પ્રતીકનો ઉપયોગ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, નોટેશનનો અર્થ એ છે કે પ્લેનમાં સીધી રેખા એ આવેલું છે.
બીજું, સીધી રેખા વિમાનને છેદે છે. આ કિસ્સામાં, સીધી રેખા અને વિમાનમાં એક જ સામાન્ય બિંદુ હોય છે, જેને સીધી રેખા અને વિમાનના આંતરછેદનું બિંદુ કહેવામાં આવે છે. સંક્ષિપ્તમાં લખતી વખતે, હું "" ચિહ્ન સાથે આંતરછેદને સૂચિત કરું છું. ઉદાહરણ તરીકે, સંકેતનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખા એ પ્લેનને M બિંદુએ છેદે છે. જ્યારે કોઈ પ્લેન કોઈ ચોક્કસ સીધી રેખાને છેદે છે, ત્યારે સીધી રેખા અને પ્લેન વચ્ચેના ખૂણાનો ખ્યાલ આવે છે.
અલગથી, તે એક સીધી રેખા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવા યોગ્ય છે જે પ્લેનને છેદે છે અને આ પ્લેનમાં પડેલી કોઈપણ સીધી રેખાને લંબરૂપ છે. આવી રેખાને પ્લેન પર લંબ કહેવામાં આવે છે. લંબરૂપતાને સંક્ષિપ્તમાં રેકોર્ડ કરવા માટે, "" ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો. સામગ્રીના વધુ ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ માટે, તમે સીધી રેખા અને વિમાનની લંબરૂપતા લેખનો સંદર્ભ લઈ શકો છો.
પ્લેન સંબંધિત સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે વિશેષ મહત્વ એ પ્લેનનું કહેવાતા સામાન્ય વેક્ટર છે. પ્લેનનો સામાન્ય વેક્ટર એ આ પ્લેન પર લંબરૂપ રેખા પર પડેલો કોઈપણ બિન-શૂન્ય વેક્ટર છે.
ત્રીજે સ્થાને, એક સીધી રેખા પ્લેનની સમાંતર હોઈ શકે છે, એટલે કે, તેમાં સામાન્ય બિંદુઓ ન હોઈ શકે. સંક્ષિપ્તમાં સહવર્તી લખતી વખતે, "" ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, જો રેખા a પ્લેનની સમાંતર હોય, તો આપણે લખી શકીએ છીએ. અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે આ કેસનો વધુ વિગતે અભ્યાસ કરો અને આર્ટિકલ લાઇન અને પ્લેનની સમાનતાનો ઉલ્લેખ કરો.
એવું કહેવું જોઈએ કે વિમાનમાં પડેલી સીધી રેખા આ વિમાનને બે અર્ધ-વિમાનોમાં વિભાજિત કરે છે. આ કિસ્સામાં સીધી રેખાને અર્ધ-વિમાનોની સીમા કહેવામાં આવે છે. સમાન અર્ધ-વિમાનના કોઈપણ બે બિંદુઓ એક રેખાની સમાન બાજુ પર આવેલા છે, અને વિવિધ અર્ધ-વિમાનના બે બિંદુઓ સીમા રેખાની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા છે.
વિમાનોની પરસ્પર વ્યવસ્થા.
અવકાશમાં બે વિમાનો એકરૂપ થઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં તેમની પાસે ઓછામાં ઓછા ત્રણ મુદ્દા સમાન છે.
અવકાશમાં બે વિમાન એકબીજાને છેદે છે. બે વિમાનોનું આંતરછેદ એ એક સીધી રેખા છે, જે સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા સ્થાપિત થાય છે: જો બે વિમાનોમાં સમાન બિંદુ હોય, તો તેમની પાસે એક સામાન્ય સીધી રેખા હોય છે જેના પર આ વિમાનોના તમામ સામાન્ય બિંદુઓ આવેલા હોય છે.
આ કિસ્સામાં, છેદતા વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાની વિભાવના ઊભી થાય છે. ખાસ રસ એ છે કે જ્યારે વિમાનો વચ્ચેનો કોણ નેવું ડિગ્રી હોય. આવા વિમાનોને લંબરૂપ કહેવામાં આવે છે. અમે તેમના વિશે વિમાનોની લંબરૂપતા લેખમાં વાત કરી.
છેલ્લે, અવકાશમાં બે વિમાનો સમાંતર હોઈ શકે છે, એટલે કે, કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી. અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે વિમાનોની સંબંધિત ગોઠવણી માટેના આ વિકલ્પની સંપૂર્ણ સમજ મેળવવા માટે પ્લેન્સની સમાંતરતાનો લેખ વાંચો.
પ્લેન વ્યાખ્યાયિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓ.
હવે આપણે અવકાશમાં ચોક્કસ પ્લેનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મુખ્ય રીતોની સૂચિ બનાવીશું.
સૌપ્રથમ, એક વિમાનને અવકાશમાં ત્રણ બિંદુઓને ફિક્સ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે સમાન સીધી રેખા પર ન હોય. આ પદ્ધતિ સ્વયંસિદ્ધ પર આધારિત છે: કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા જે સમાન રેખા પર આવેલા નથી, ત્યાં એક જ પ્લેન છે.
જો પ્લેનને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે અને તેના ત્રણ જુદા જુદા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવે છે જે એક જ સીધી રેખા પર નથી, તો આપણે આપેલા ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિમાનનું સમીકરણ લખી શકીએ.
પ્લેનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની આગામી બે પદ્ધતિઓ અગાઉના એકનું પરિણામ છે. તેઓ ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેન વિશેના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો પર આધારિત છે:
- પ્લેન એક રેખામાંથી પસાર થાય છે અને એક બિંદુ તેના પર ન હોય અને માત્ર એક જ (એક રેખા અને બિંદુમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું લેખ સમીકરણ પણ જુઓ);
- બે છેદતી રેખાઓમાંથી માત્ર એક જ વિમાન પસાર થાય છે (અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે લેખ વાંચો: બે છેદતી રેખાઓમાંથી પસાર થતા વિમાનનું સમીકરણ).
અવકાશમાં પ્લેનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની ચોથી રીત સમાંતર રેખાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા પર આધારિત છે. યાદ કરો કે અવકાશમાં બે રેખાઓ સમાંતર કહેવાય છે જો તે એક જ સમતલમાં હોય અને છેદતી ન હોય. આમ, અવકાશમાં બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવીને, અમે એકમાત્ર પ્લેન નક્કી કરીશું કે જેમાં આ રેખાઓ આવેલી છે.
જો લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીની તુલનામાં ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં દર્શાવેલ રીતે પ્લેન આપવામાં આવે, તો આપણે બે સમાંતર રેખાઓમાંથી પસાર થતા પ્લેન માટે સમીકરણ બનાવી શકીએ છીએ.
હાઈસ્કૂલ ભૂમિતિના પાઠોમાં, નીચેનું પ્રમેય સાબિત થાય છે: અવકાશમાં એક નિશ્ચિત બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખા પર લંબરૂપ એક જ પ્લેન પસાર થાય છે. આમ, આપણે પ્લેનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ જો આપણે તે જે બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેની પર લંબરૂપ રેખાનો ઉલ્લેખ કરીએ.
જો લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં નિશ્ચિત હોય અને પ્લેન સૂચવેલ રીતે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે, તો આપેલ સીધી રેખાના લંબરૂપ બિંદુમાંથી પસાર થતા પ્લેન માટે સમીકરણ બાંધવું શક્ય છે.
પ્લેન પર લંબરૂપ રેખાને બદલે, તમે આ પ્લેનના સામાન્ય વેક્ટરમાંથી એકનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો. આ કિસ્સામાં, લખવું શક્ય છે
